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5.1: Áreas y distancias - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Utilice la notación sigma (sumatoria) para calcular sumas y potencias de números enteros.
  • Utilice la suma de áreas rectangulares para aproximar el área bajo una curva.
  • Utilice sumas de Riemann para aproximar el área.

Arquímedes estaba fascinado con el cálculo de las áreas de varias formas, en otras palabras, la cantidad de espacio encerrado por la forma. Usó un proceso que ha llegado a conocerse como el método de agotamiento, que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse exactamente, para rellenar una región irregular y así obtener aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. Luego, estas áreas se suman para aproximar el área de la región curva.

En esta sección, desarrollamos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función (f (x), ) y el eje x en un intervalo cerrado ([a, b]. ) Como Arquímedes, Primero aproximamos el área bajo la curva usando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Al usar rectángulos cada vez más pequeños, nos acercamos cada vez más al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta debajo de la curva.

Comencemos por introducir alguna notación para facilitar los cálculos. Luego consideramos el caso en el que (f (x) ) es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, relajamos algunas de estas restricciones y desarrollamos técnicas que se aplican en casos más generales.

Notación sigma (sumatoria)

Como se mencionó, usaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular delimitada por curvas. Este proceso a menudo requiere sumar largas cadenas de números. Para que sea más fácil escribir estas sumas largas, miramos aquí una nueva notación, llamada notación sigma (también conocido como notación de suma). La letra mayúscula griega (Σ ), sigma, se usa para expresar sumas largas de valores en forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

[1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.]

Probablemente podríamos omitir la escritura de un par de términos y escribir

[1+2+3+4+⋯+19+20,]

que es mejor, pero aún engorroso. Con notación sigma, escribimos esta suma como

[ sum_ {i = 1} ^ {20} i ]

que es mucho más compacto. Normalmente, la notación sigma se presenta en la forma

[ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ]

donde (a_i ) describe los términos que se agregarán, y (i ) se llama (índice ). Cada término se evalúa, luego sumamos todos los valores, comenzando con el valor cuando (i = 1 ) y terminando con el valor cuando (i = n. ) Por ejemplo, una expresión como ( displaystyle sum_ {i = 2} ^ {7} s_i ) se interpreta como (s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 ). Tenga en cuenta que el índice se utiliza solo para realizar un seguimiento de los términos que se agregarán; no se tiene en cuenta en el cálculo de la suma en sí. Por tanto, el índice se denomina variable ficticia. Podemos usar cualquier letra que queramos para el índice. Por lo general, los matemáticos usan (i, , j, , k, , m ) y (n ) para los índices.

Probemos con un par de ejemplos del uso de la notación sigma.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la notación Sigma

  1. Escribe en notación sigma y evalúa la suma de términos (3 ^ i ) para (i = 1,2,3,4,5. )
  2. Escribe la suma en notación sigma:

[1+ dfrac {1} {4} + dfrac {1} {9} + dfrac {1} {16} + dfrac {1} {25}. sin número]

Solución

  1. Escribe [ sum_ {i = 1} ^ {5} 3 ^ i = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 + 3 ^ 5 = 363. sin número]
  2. El denominador de cada término es un cuadrado perfecto. Usando la notación sigma, esta suma se puede escribir como ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ 5 dfrac {1} {i ^ 2} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe en notación sigma y evalúa la suma de términos (2 ^ i ) para (i = 3,4,5,6. )

Insinuación

Utilice los pasos de resolución del Ejemplo ( PageIndex {1} ) como guía.

Respuesta

( Displaystyle sum_ {i = 3} ^ {6} 2 ^ i = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 120 )

Las propiedades asociadas con el proceso de suma se dan en la siguiente regla.

Regla: Propiedades de la notación Sigma

Deje que (a_1, a_2,…, a_n ) y (b_1, b_2,…, b_n ) representen dos secuencias de términos y sea (c ) una constante. Las siguientes propiedades son válidas para todos los enteros positivos (n ) y para los enteros (m ), con (1≤m≤n. )

  1. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n c = nc )
  2. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n ca_i = c sum_ {i = 1} ^ na_i )
  3. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  4. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  5. ( Displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i )

Prueba

Demostramos las propiedades 2. y 3. aquí, y dejamos la prueba de las otras propiedades a los Ejercicios.

2. Tenemos

[ sum_ {i = 1} ^ nca_i = ca_1 + ca_2 + ca_3 + ⋯ + ca_n = c (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) = c sum_ {i = 1} ^ na_i. ]

3. Tenemos

[ begin {align} sum_ {i = 1} ^ {n} (a_i + b_i) & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) + ⋯ + (a_n + b_n) [4pt] & = (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) + (b_1 + b_2 + b_3 + ⋯ + b_n) [4pt] & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1 } ^ nb_i. end {align} ]

Algunas fórmulas más para funciones que se encuentran con frecuencia simplifican aún más el proceso de suma. Estos se muestran en la siguiente regla, para sumas y potencias de enteros, y los usamos en el siguiente conjunto de ejemplos.

Regla: Sumas y potencias de números enteros

1. La suma de (n ) enteros viene dada por

[ sum_ {i = 1} ^ n i = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2}. label {sum1} ]

2. La suma de números enteros consecutivos al cuadrado está dada por

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}. label {sum2} ]

3. La suma de números enteros consecutivos al cubo está dada por

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4}. label {sum3} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación con notación Sigma

Escribe usando notación sigma y evalúa:

  1. La suma de los términos ((i − 3) ^ 2 ) para (i = 1,2,…, 200. )
  2. La suma de los términos ((i ^ 3 − i ^ 2) ) para (i = 1,2,3,4,5,6 )

Solución

una. Multiplicando ((i − 3) ^ 2 ), podemos dividir la expresión en tres términos.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {200} (i − 3) ^ 2 & = sum_ {i = 1} ^ {200} (i ^ 2−6i + 9) [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2− sum_ {i = 1} ^ {200} 6i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2−6 sum_ {i = 1} ^ {200} i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = dfrac {200 (200 + 1) (400 + 1)} {6} −6 left [ dfrac {200 (200 + 1)} {2} right] +9 (200) [4pt ]
& = 2.686.700−120.600 + 1800 [4pt]
& = 2,567,900 end {align *} ]

B. Utilice la propiedad de notación sigma iv. y las reglas para la suma de términos al cuadrado y la suma de términos al cubo.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {6} (i ^ 3 − i ^ 2) & = sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 3− sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 2 [4pt]
& = dfrac {6 ^ 2 (6 + 1) ^ 2} {4} - dfrac {6 (6 + 1) (2 (6) +1)} {6} [4pt]
& = dfrac {1764} {4} - dfrac {546} {6} [4pt]
& = 350 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra la suma de los valores de (4 + 3i ) para (i = 1,2,…, 100. )

Insinuación

Usa las propiedades de la notación sigma para resolver el problema.

Respuesta

(15,550)

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar la suma de los valores de la función

Encuentra la suma de los valores de (f (x) = x ^ 3 ) sobre los enteros (1,2,3,…, 10. )

Solución

Usando la Ecuación ref {sum3}, tenemos

[ sum_ {i = 0} ^ {10} i ^ 3 = dfrac {(10) ^ 2 (10 + 1) ^ 2} {4} = dfrac {100 (121)} {4} = 3025 sin número]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Evalúa la suma indicada por la notación ( displaystyle sum_ {k = 1} ^ {20} (2k + 1) ).

Insinuación

Use la regla sobre la suma y potencias de los números enteros (Ecuaciones ref {sum1} - ref {sum3}).

Respuesta

(440)

Área aproximada

Ahora que tenemos la notación necesaria, volvemos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Sea (f (x) ) una función continua no negativa definida en el intervalo cerrado ([a, b] ). Queremos aproximar el área (A ) delimitada por (f (x) ) arriba, el eje (x ) - debajo, la línea (x = a ) a la izquierda y la línea (x = b ) a la derecha (Figura ( PageIndex {1} )).

¿Cómo aproximamos el área bajo esta curva? El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área real. Comenzamos dividiendo el intervalo ([a, b] ) en (n ) subintervalos de igual ancho, ( dfrac {b − a} {n} ). Hacemos esto seleccionando puntos (x_0, x_1, x_2,…, x_n ) igualmente espaciados con (x_0 = a, x_n = b, ) y

[x_i − x_ {i − 1} = dfrac {b − a} {n} ]

para (i = 1,2,3,…, n. )

Denotamos el ancho de cada subintervalo con la notación (Δx, ) entonces (Δx = frac {b − a} {n} ) y

[x_i = x_0 + iΔx ]

para (i = 1,2,3,…, n. ) Esta noción de dividir un intervalo ([a, b] ) en subintervalos mediante la selección de puntos dentro del intervalo se utiliza con bastante frecuencia para aproximar el área bajo una curva, definamos una terminología relevante.

Definición: particiones

Un conjunto de puntos (P = {x_i} ) para (i = 0,1,2,…, n ) con (a = x_0 dividir de ([a, b] ). Si todos los subintervalos tienen el mismo ancho, el conjunto de puntos forma una partición regular (o partición uniforme) del intervalo ([a, b]. )

Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva. A continuación, examinamos dos métodos: la aproximación del extremo izquierdo y la aproximación del extremo derecho.

Regla: Aproximación del extremo izquierdo

En cada subintervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) (para (i = 1,2,3,…, n )), construya un rectángulo con ancho (Δx ) y alto igual a (f (x_ {i − 1}) ), que es el valor de la función en el extremo izquierdo del subintervalo. Entonces el área de este rectángulo es (f (x_ {i − 1}) Δx ). Sumando las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado para (A ) (Figura ( PageIndex {2} )). Usamos la notación (L_n ) para denotar que esta es una aproximación del punto final izquierdo de (A ) usando (n ) subintervalos.

[A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (xn − 1) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ]

El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del extremo derecho. Es casi lo mismo que la aproximación del extremo izquierdo, pero ahora las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función a la derecha de cada subintervalo.

Regla: Aproximación del extremo derecho

Construya un rectángulo en cada subintervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ), solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función (f (x_i) ) en el extremo derecho del subintervalo . Entonces, el área de cada rectángulo es (f (x_i) , Δx ) y la aproximación para (A ) está dada por

[A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. ]

La notación (R_n ) indica que esta es una aproximación del punto final derecho para (A ) (Figura ( PageIndex {3} )).

Las gráficas de la Figura ( PageIndex {4} ) representan la curva (f (x) = dfrac {x ^ 2} {2} ). En la Figura ( PageIndex {4b} ) dividimos la región representada por el intervalo ([0,3] ) en seis subintervalos, cada uno de ancho (0.5 ). Por lo tanto, (Δx = 0.5 ). Luego formamos seis rectángulos dibujando líneas verticales perpendiculares a (x_ {i − 1} ), el extremo izquierdo de cada subintervalo. Determinamos la altura de cada rectángulo calculando (f (x_ {i − 1}) ) para (i = 1,2,3,4,5,6. ) Los intervalos son ([0,0.5 ], [0.5,1], [1,1.5], [1.5,2], [2,2.5], [2.5,3] ). Calculamos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por el ancho. Luego, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre (f (x) ) y el eje (x ). Cuando se utilizan los puntos finales izquierdos para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto final izquierdo. Por lo tanto,

[ begin {align *} A≈L_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_ {i − 1}) Δx = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx [4pt]
& = f (0) 0.5 + f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 [4pt]
& = (0) 0.5+ (0.125) 0.5+ (0.5) 0.5+ (1.125) 0.5+ (2) 0.5+ (3.125) 0.5 [4pt]
& = 0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 [4pt]
& = 3.4375 , text {unidades} ^ 2 end {align *} ]

En la Figura ( PageIndex {4b} ), dibujamos líneas verticales perpendiculares a (x_i ) tal que (x_i ) es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos (f (x_i) ) para (i = 1,2,3,4,5,6 ). Multiplicamos cada (f (x_i) ) por (Δx ) para encontrar las áreas rectangulares y luego las sumamos. Ésta es una aproximación del extremo derecho del área debajo de (f (x) ). Por lo tanto,

[ begin {align *} A≈R_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_i) Δx = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx + f (x_6) Δx [4pt]
& = f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 + f (3) 0.5 [4pt]
& = (0.125) 0.5+ (0.5) 0.5+ (1.125) 0.5+ (2) 0.5+ (3.125) 0.5+ (4.5) 0.5 [4pt]
& = 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 + 2.25 [4pt]
& = 5.6875 , text {unidades} ^ 2. End {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Aproximación del área bajo una curva

Utilice aproximaciones del extremo izquierdo y del extremo derecho para aproximar el área bajo la curva de (f (x) = x ^ 2 ) en el intervalo ([0,2] ); utilice (n = 4 ).

Solución

Primero, divide el intervalo ([0,2] ) en (n ) subintervalos iguales. Usando (n = 4, , Δx = dfrac {(2−0)} {4} = 0.5 ). Este es el ancho de cada rectángulo. Los intervalos ([0,0.5], [0.5,1], [1,1.5], [1.5,2] ) se muestran en la Figura ( PageIndex {5} ). Usando una aproximación del extremo izquierdo, las alturas son (f (0) = 0, , f (0.5) = 0.25, , f (1) = 1, ) y (f (1.5) = 2.25. ) Luego,

[ begin {align *} L_4 & = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx [4pt] & = 0 (0.5) +0.25 (0.5) +1 (0.5) +2.25 (0.5) [4pt] & = 1.75 , text {unidades} ^ 2 end {align *} ]

La aproximación del extremo derecho se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ). Los intervalos son los mismos, (Δx = 0.5, ) pero ahora usa el punto final derecho para calcular la altura de los rectángulos. Tenemos

[ begin {align *} R_4 & = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx [4pt] & = 0.25 (0.5) +1 (0.5) +2.25 (0.5) +4 (0.5) [4pt] & = 3.75 , text {unidades} ^ 2 end {align *} ]

La aproximación del extremo izquierdo es (1,75 , text {unidades} ^ 2 ); la aproximación del extremo derecho es (3.75 , text {unidades} ^ 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dibuje aproximaciones del extremo izquierdo y del extremo derecho para (f (x) = dfrac {1} {x} ) en ([1,2] ); utilice (n = 4 ). Aproxime el área usando ambos métodos.

Insinuación

Siga la estrategia de resolución del Ejemplo ( PageIndex {4} ) paso a paso.

Respuesta

La aproximación del extremo izquierdo es (0,7595 , text {unidades} ^ 2 ). La aproximación del extremo derecho es (0.6345 , text {unidades} ^ 2 ). Vea los medios a continuación.

Observando la Figura ( PageIndex {4} ) y las gráficas del Ejemplo ( PageIndex {4} ), podemos ver que cuando usamos una pequeña cantidad de intervalos, ni la aproximación del extremo izquierdo ni la derecha La aproximación del punto final es una estimación particularmente precisa del área bajo la curva. Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de (A ) mejorará. Tendremos más rectángulos, pero cada rectángulo será más delgado, por lo que podremos ajustar los rectángulos a la curva con mayor precisión.

Podemos demostrar la aproximación mejorada obtenida a través de intervalos más pequeños con un ejemplo. Exploremos la idea de aumentar (n ), primero en una aproximación del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego ocho rectángulos y finalmente (32 ) rectángulos. Luego, hagamos lo mismo en una aproximación del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos, de la misma región curva. La figura ( PageIndex {7} ) muestra el área de la región bajo la curva (f (x) = (x − 1) ^ 3 + 4 ) en el intervalo ([0,2] ) usando una aproximación del extremo izquierdo donde (n = 4. ) El ancho de cada rectángulo es

[Δx = dfrac {2−0} {4} = dfrac {1} {2}. Nonumber ]

El área es aproximada por las áreas sumadas de los rectángulos, o

[L_4 = f (0) (0.5) + f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) 0.5 = 7.5 , text {unidades} ^ 2 nonumber ]

La figura ( PageIndex {8} ) muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos. Comparando el gráfico con cuatro rectángulos en la Figura ( PageIndex {7} ) con este gráfico con ocho rectángulos, podemos ver que parece haber menos espacio en blanco debajo de la curva cuando (n = 8. ) Este espacio en blanco es área bajo la curva no podemos incluir usando nuestra aproximación. El área de los rectángulos es

[L_8 = f (0) (0.25) + f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25 ) + f (1.5) (0.25) + f (1.75) (0.25) = 7.75 , text {unidades} ^ 2 nonumber ]

El gráfico de la Figura ( PageIndex {9} ) muestra la misma función con (32 ) rectángulos inscritos debajo de la curva. Parece que queda poco espacio en blanco. El área ocupada por los rectángulos es

[L_ {32} = f (0) (0.0625) + f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + ⋯ + f (1.9375) (0.0625) = 7.9375 , text {unidades} ^ 2. nonumber ]

Podemos llevar a cabo un proceso similar para el método de aproximación del punto final derecho. Una aproximación del extremo derecho de la misma curva, utilizando cuatro rectángulos (Figura ( PageIndex {10} )), produce un área

[R_4 = f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) (0.5) + f (2) (0.5) = 8.5 , text {unidades} ^ 2. Nonumber ]

Dividir la región sobre el intervalo ([0,2] ) en ocho rectángulos da como resultado (Δx = dfrac {2−0} {8} = 0.25. ) La gráfica se muestra en la Figura ( PageIndex { 11} ). El area es

[R_8 = f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25) + f (1.5) (0.25 ) + f (1.75) (0.25) + f (2) (0.25) = 8.25 , text {unidades} ^ 2 nonumber ]

Por último, la aproximación del extremo derecho con (n = 32 ) está cerca del área real (Figura ( PageIndex {12} )). El área es aproximadamente

[R_ {32} = f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + f (0.1875) (0.0625) + ⋯ + f (2) (0.0625) = 8.0625 , text {unidades} ^ 2 nonumber ]

Con base en estas cifras y cálculos, parece que estamos en el camino correcto; los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que (n ) se hace más grande. Además, a medida que (n ) aumenta, las aproximaciones del extremo izquierdo y del extremo derecho parecen acercarse a un área de (8 ) unidades cuadradas. La tabla ( PageIndex {15} ) muestra una comparación numérica de los métodos de los extremos izquierdo y derecho. La idea de que las aproximaciones del área bajo la curva mejoran cada vez más a medida que (n ) aumenta cada vez más es muy importante, y ahora exploramos esta idea con más detalle.

Tabla ( PageIndex {15} ): Valores convergentes de aproximaciones de punto final izquierdo y derecho a medida que (n ) aumenta
Valor de (n )Área aproximada (L_n )Área aproximada (R_n )
(n = 4 )(7.5)(8.5)
(n = 8 )(7.75)(8.25)
(n = 32 )(7.94)(8.06)

Formando sumas de Riemann

Hasta ahora hemos estado usando rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se han determinado evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ). En realidad, no hay razón para restringir la evaluación de la función a uno solo de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto (x ^ ∗ _ i ) en el subintervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ), y usar (f (x ^ ∗ _ i) ) como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma

[A≈ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx. ]

Una suma de esta forma se llama suma de Riemann, llamada así por el matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, quien desarrolló la idea.

Definición: suma de Riemann

Sea (f (x) ) definido en un intervalo cerrado ([a, b] ) y sea (P ) cualquier partición de ([a, b] ). Sea (Δx_i ) el ancho de cada subintervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) y para cada (i ), sea ​​ (x ^ ∗ _ i ) cualquier punto en ([x_ {i − 1}, , x_i] ). Una suma de Riemann se define para (f (x) ) como

[ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx_i. ]

En este punto, elegiremos una partición regular (P ), como tenemos en nuestros ejemplos anteriores. Esto obliga a todo (Δx_i ) a ser igual a (Δx = dfrac {b-a} {n} ) para cualquier número natural de intervalos (n ).

Recuerde que con las aproximaciones de los extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen mejorar cada vez más a medida que (n ) aumenta cada vez más. Lo mismo ocurre con las sumas de Riemann. Las sumas de Riemann dan mejores aproximaciones para valores más grandes de (n ). Ahora estamos listos para definir el área bajo una curva en términos de sumas de Riemann.

Definición: área bajo la curva

Sea (f (x) ) una función continua, no negativa en un intervalo ([a, b] ), y sea ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx ) sea una suma de Riemann para (f (x) ) con una partición regular (P ). Entonces el área bajo la curva (y = f (x) ) en ([a, b] ) está dada por

[A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx. ]

Vea una demostración gráfica de la construcción de una suma de Riemann.

Vale la pena discutir algunas sutilezas aquí. Primero, tenga en cuenta que tomar el límite de una suma es un poco diferente de tomar el límite de una función (f (x) ) cuando (x ) llega al infinito. Los límites de las sumas se analizan en detalle en el capítulo sobre Secuencias y Series; sin embargo, por ahora podemos suponer que las técnicas computacionales que usamos para calcular límites de funciones también pueden usarse para calcular límites de sumas.

En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a diferentes límites para diferentes elecciones de ({x ^ ∗ _ i}. ) Afortunadamente, esto no sucede. Aunque la prueba está más allá del alcance de este texto, se puede demostrar que si (f (x) ) es continuo en el intervalo cerrado ([a, b] ), entonces ( displaystyle lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) existe y es único (en otras palabras, no depende de la elección de ({x ^ ∗ _ i} )).

Veremos algunos ejemplos en breve. Pero, antes de hacerlo, tomemos un momento y hablemos de algunas opciones específicas para ({x ^ ∗ _ i} ). Aunque cualquier elección de ({x ^ ∗ _ i} ) nos da una estimación del área bajo la curva, no sabemos necesariamente si esa estimación es demasiado alta (sobreestimada) o demasiado baja (subestimada). Si es importante saber si nuestra estimación es alta o baja, podemos seleccionar nuestro valor para ({x ^ ∗ _ i} ) para garantizar un resultado u otro.

Si queremos una sobreestimación, por ejemplo, podemos elegir ({x ^ ∗ _ i} ) tal que para (i = 1,2,3,…, n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ≥f (x) ) para todo (x∈ [x_i − 1, x_i] ). En otras palabras, elegimos ({x ^ ∗ _ i} ) de modo que para (i = 1,2,3,…, n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ) es la función máxima valor en el intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ). Si seleccionamos ({x ^ ∗ _ i} ) de esta manera, entonces la suma de Riemann ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) se llama suma superior. De manera similar, si queremos una subestimación, podemos elegir ({x ∗ i} ) de modo que para (i = 1,2,3,…, n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ) es el valor mínimo de la función en el intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ). En este caso, la suma de Riemann asociada se llama suma menor. Tenga en cuenta que si (f (x) ) aumenta o disminuye a lo largo del intervalo ([a, b] ), entonces los valores máximo y mínimo de la función ocurren en los puntos finales de los subintervalos, por lo que el superior y el las sumas más bajas son las mismas que las aproximaciones de los extremos izquierdo y derecho.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar sumas inferiores y superiores

Encuentre una suma menor para (f (x) = 10 − x ^ 2 ) en ([1,2] ); deje (n = 4 ) subintervalos.

Solución

Con (n = 4 ) sobre el intervalo ([1,2], , Δx = dfrac {1} {4} ). Podemos enumerar los intervalos como ([1,1.25], , [1.25,1.5], , [1.5,1.75], ) y ([1.75,2] ). Debido a que la función disminuye en el intervalo ([1,2], ) La figura muestra que se obtiene una suma menor utilizando los puntos finales correctos.

La suma de Riemann es

[ begin {align *} sum_ {k = 1} ^ 4 (10 − x ^ 2) (0.25) & = 0.25 [10− (1.25) ^ 2 + 10− (1.5) ^ 2 + 10− ( 1,75) ^ 2 + 10− (2) ^ 2] [4pt]
& = 0.25 [8.4375 + 7.75 + 6.9375 + 6] [4pt]
& = 7.28 , text {unidades} ^ 2. End {align *} ]

El área de (7.28 ) ( text {unidades} ^ 2 ) es una suma menor y una subestimación.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

  1. Encuentre una suma superior para (f (x) = 10 − x ^ 2 ) en ([1,2] ); sea ​​ (n = 4. )
  2. Dibuja la aproximación.
Insinuación

(f (x) ) está disminuyendo en ([1,2] ), por lo que los valores máximos de la función ocurren en los extremos izquierdos de los subintervalos.

Respuesta

una. Suma superior = (8.0313 , text {unidades} ^ 2. )

B.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar sumas inferiores y superiores para (f (x) = sin x )

Encuentre una suma menor para (f (x) = sin x ) en el intervalo ([a, b] = left [0, frac {π} {2} right] ); sea ​​ (n = 6. )

Solución

Primero observemos el gráfico de la Figura ( PageIndex {14} ) para tener una mejor idea del área de interés.

Los intervalos son ( left [0, frac {π} {12} right], , left [ frac {π} {12}, frac {π} {6} right], , left [ frac {π} {6}, frac {π} {4} right], , left [ frac {π} {4}, frac {π} {3} right], , left [ frac {π} {3}, frac {5π} {12} right] ) y ( left [ frac {5π} {12}, frac {π} {2 }derecho]). Tenga en cuenta que (f (x) = sin x ) aumenta en el intervalo ( left [0, frac {π} {2} right] ), por lo que una aproximación del extremo izquierdo nos da la menor suma. Una aproximación del extremo izquierdo es la suma de Riemann ( sum_ {i = 0} ^ 5 sin x_i left ( tfrac {π} {12} right) ). Tenemos

[A≈ sin (0) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {12} right) left ( tfrac {π} {12 } derecha) + sin izquierda ( tfrac {π} {6} derecha) izquierda ( tfrac {π} {12} derecha) + sin izquierda ( tfrac {π} {4} derecha) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {3} right) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {5π} {12} right) left ( tfrac {π} {12} right) approx 0.863 , text {unidades} ^ 2. sin número]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Usando la función (f (x) = sin x ) sobre el intervalo ( left [0, frac {π} {2} right], ) encuentra una suma superior; sea ​​ (n = 6. )

Insinuación

Siga los pasos del Ejemplo ( PageIndex {6} ).

Respuesta

(A≈1.125 , text {unidades} ^ 2 )

Conceptos clave

  • El uso de la notación sigma (sumatoria) de la forma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i ) es útil para expresar sumas largas de valores en forma compacta.
  • Para una función continua definida sobre un intervalo ([a, b], ) el proceso de dividir el intervalo en (n ) partes iguales, extender un rectángulo a la gráfica de la función, calcular las áreas de la serie de rectángulos, y luego sumar las áreas produce una aproximación del área de esa región.
  • Cuando se usa una partición regular, el ancho de cada rectángulo es (Δx = dfrac {b − a} {n} ).
  • Las sumas de Riemann son expresiones de la forma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx, ) y se pueden usar para estimar el área bajo la curva (y = f (x). ) Las aproximaciones de los extremos izquierdo y derecho son tipos especiales de sumas de Riemann donde los valores de ({x ^ ∗ _ i} ) se eligen para ser los extremos izquierdo o derecho de los subintervalos, respectivamente.
  • Las sumas de Riemann permiten mucha flexibilidad a la hora de elegir el conjunto de puntos ({x ^ ∗ _ i} ) en el que se evalúa la función, a menudo con miras a obtener una suma inferior o una suma superior.

Ecuaciones clave

  • Propiedades de la notación sigma

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ nc & = nc [4pt]
sum_ {i = 1} ^ nca_i & = c sum_ {i = 1} ^ na_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ na_i & = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i end {align *} ]

  • Sumas y potencias de números enteros

[ sum_ {i = 1} ^ ni = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2} nonumber ]

[ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} nonumber ]

[ sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} nonumber ]

  • Aproximación del extremo izquierdo

(A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (x_ {n − 1}) Δx = Displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx )

  • Aproximación del extremo derecho

(A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = Displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx )

Glosario

aproximación del punto final izquierdo
una aproximación del área bajo una curva calculada usando el punto final izquierdo de cada subintervalo para calcular la altura de los lados verticales de cada rectángulo
suma menor
una suma obtenida usando el valor mínimo de (f (x) ) en cada subintervalo
dividir
un conjunto de puntos que divide un intervalo en subintervalos
partición regular
una partición en la que todos los subintervalos tienen el mismo ancho
suma de riemann
una estimación del área bajo la curva de la forma (A≈ displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )
aproximación del punto final derecho
la aproximación del punto final derecho es una aproximación del área de los rectángulos debajo de una curva usando el punto final derecho de cada subintervalo para construir los lados verticales de cada rectángulo
notación sigma
(además, notación de suma) la letra griega sigma ( (Σ )) indica la suma de los valores; los valores del índice por encima y por debajo del sigma indican dónde comenzar la suma y dónde terminarla
suma superior
una suma obtenida usando el valor máximo de (f (x) ) en cada subintervalo

Contribuyentes y atribuciones

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


Distancia

Distancia es una medida numérica de la distancia entre los objetos o puntos. En física o en el uso diario, la distancia puede referirse a una longitud física o una estimación basada en otros criterios (por ejemplo, "dos condados más"). La distancia de un punto A a un punto B a veces se denota como | A B | < Displaystyle | AB |>. [1] En la mayoría de los casos, "distancia de A a B" es intercambiable con "distancia de B a A". En matemáticas, una función de distancia o métrica es una generalización del concepto de distancia física, es una forma de describir lo que significa que los elementos de un espacio estén "cerca" o "lejos" entre sí. En psicología y ciencias sociales, la distancia es una medida no numérica La distancia psicológica se define como "las diferentes formas en que un objeto puede ser separado" del yo en dimensiones como "el tiempo, el espacio, la distancia social y la hipotética". [2 ]


El polígono gris es un hexágono.

El polígono naranja es un cuadrilátero.

El polígono verde es un octágono.

El polígono marrón es un triángulo.

El polígono violeta es un cuadrado.

El polígono rosa es un triángulo.

El polígono azul es un rectángulo.

El polígono amarillo es un pentágono.

Hay muchas formas de encontrar las áreas de los polígonos. Una forma es dividir cada uno en triángulos y rectángulos. Aquí hay una forma de hacerlo:

El polígono gris tiene un área de 7 unidades cuadradas.

El polígono naranja tiene un área de 28,5 unidades cuadradas.

El polígono verde tiene un área de 7 unidades cuadradas.

El polígono marrón tiene un área de 7 unidades cuadradas.

El polígono violeta tiene un área de 9 unidades cuadradas.

El polígono rosa tiene un área de 6 unidades cuadradas.

El polígono azul tiene un área de 15 unidades cuadradas.

El polígono amarillo tiene un área de 19,5 unidades cuadradas.


  • Hojas de trabajo de números primos y compuestos (temática de Halloween)
  • Hojas de trabajo de fracciones similares (temática CoVid-19)
  • Comparación de fracciones (año nuevo y temática del día n. ° 8217)
  • Hojas de trabajo de resta de fracciones semejantes (temática del año nuevo chino)
  • Conversión de fracciones a decimales (temática de invierno)
  • Hojas de trabajo de fracciones en la recta numérica (temática de verano)
  • Hojas de trabajo de factores y múltiplos (edades 8-10) (temática espacial)
  • Hojas de trabajo de fracciones equivalentes (edades 7-9) (temática de bocadillos)
  • Sumar y restar fracciones similares y números mixtos con problemas verbales (con denominadores 8, 10, 12, 100) Hojas de trabajo
  • Hojas de trabajo de números pares e impares (edades 6-8) (temática del Día del Trabajo)
  • Resta de polinomios (edades 11-13) Hojas de trabajo (temas de salud)
  • Adición de radicales (edades 12-14) Hojas de trabajo (temática del día de San Valentín)
  • Hojas de trabajo de adición de expresiones radicales (edades 12-14) (temática del Día de San Patricio y # 8217)
  • Adición que involucra dinero (edades 7-8) Hojas de trabajo (temática de supermercado)
  • Suma de números mixtos (edades 10-11) Hojas de trabajo (temática de aviación)
  • Resta de expresiones algebraicas (edades 12-14) Hojas de trabajo (temática del 4 de julio)
  • Adición de funciones (edades 12-14) Hojas de trabajo (temática del festival)
  • Adición de fracciones impropias (edades 9-10) Hojas de trabajo (temática del Black Friday)
  • Adición de polinomios (edades 11-13) Hojas de trabajo (temática del Día Internacional de la Mujer y # 8217)
  • Adición de expresiones algebraicas (edades 12-14) Hojas de trabajo (temática del Día de la Tierra)
  • Suma de fracciones adecuadas (de 9 a 10 años) Hojas de trabajo (temática del día de las elecciones)
  • Aplicación del concepto de estadística inferencial (estimación de parámetros) Hojas de trabajo
  • Comparación de medidas utilizando las hojas de trabajo de unidades SI
  • Resolver hojas de trabajo de decimales de varios dígitos
  • Diferentes herramientas de medición para hojas de trabajo de longitud
  • Resolver problemas verbales que involucran el volumen de cilindros, conos y esferas Hojas de trabajo
  • Multiplicar fracciones con números enteros con problemas verbales (con denominadores del 2 al 6) Hojas de trabajo
  • Escala de hojas de trabajo de gráfico de imagen y gráfico de barras
  • Identificación de patrones aritméticos de hojas de trabajo de números
  • Resolver problemas verbales que involucran hojas de trabajo de números racionales

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Calculadora de distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos en un plano se calcula con las 2 coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Simplemente ingrese los valores de las coordenadas en esta calculadora de distancia entre dos puntos para encontrar su distancia.

La distancia entre dos puntos en un plano se calcula con las 2 coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Simplemente ingrese los valores de las coordenadas en esta calculadora de distancia entre dos puntos para encontrar su distancia.

Fórmula:

La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras. Lo dado distance between two points calculator is used to find the exact length between two points (x1, y1) and (x2, y2) in a 2d geographical coordinate system.

Draw a right-angled triangle with the line formed by the points, the distance between the two points can be calculated by finding the horizontal (x2 - x1) and vertical distances (y2 - y1).

The distance between two points calculation formula is similar to the right triangle rule, where the squared hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides. Provide the x1, y1, x2 and y2 values to find the distance using this distance between two points calculator.


1. Distance Formula

See more about Descartes in Functions and Graphs.

We have a right-angled triangle with hypotenuse length C, as shown:

Recall Pythagoras' Theorem, which tells us the length of the longest side (the hypotenuse) of a right triangle:

We use this to find the distance between any two points (X1, y1) and (X2, y2) on the cartesian (X-y) plane:

The point B (X2, y1) is at the right angle. We can see that:

  • The distance between the points A(X1, y1) y B(X2, y1) is simply X2 &menos X1 y
  • The distance between the points C(X2, y2) y B(X2, y1) is simply y2 &menos y1.

Using Pythagoras' Theorem we can develop a formula for the distance D.


Math Insight

Here's a quick sketch of how to calculate the distance from a point $P=(x_1,y_1,z_1)$ to a plane determined by normal vector $vc=(A,B,C)$ and point $Q=(x_0,y_0,z_0)$. The equation for the plane determined by $vc$ and $Q$ is $A(x-x_0)+B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0$, which we could write as $Ax+By+Cz+D=0$, where $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$.

This applet demonstrates the setup of the problem and the method we will use to derive a formula for the distance from the plane to the point $P$.

Applet loading

Distance from point to plane. A sketch of a way to calculate the distance from point $color

$ (in red) to the plane. The vector $color>$ (in green) is a unit normal vector to the plane. You can drag point $color

$ as well as a second point $vc$ (in yellow) which is confined to be in the plane. Although the vector $color>$ does not change (as the plane is fixed), it moves with $color

$ to always be at the end of a gray line segment from $color

$ that is perpendicular to the plane. This distance from $color

$ to the plane is the length of this gray line segment. This distance is the length of the projection of the vector from $Q$ to $P$ (in purple) onto the normal vector $color>$.

The shortest distance from a point to a plane is along a line perpendicular to the plane. Therefore, the distance from point $P$ to the plane is along a line parallel to the normal vector, which is shown as a gray line segment. If we denote by $R$ the point where the gray line segment touches the plane, then $R$ is the point on the plane closest to $P$. The distance from $P$ to the plane is the distance from $P$ to $R$.

To calculate an expression for this distance in terms of the above quantities defining $P$ and the plane, we first calculate an expression for a unit normal vector $vc$, i.e., a normal vector of length one. It is simply $vc$ divided by its length: egin vc = frac><|vc|> = frac<(A,B,C)>>. final The unit normal vector $vc$ (in green) looks short because in the figure, the $x$, $y$, and $z$ axes each extend from $-5$ to 5.

Let $vc$ be the vector from $Q$ to $P$ (shown in blue). Since $P=(x_1,y_1,z_1)$ and $Q=(x_0,y_0,z_0)$, we calculate that $vc = (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0)$. The length of the gray line, i.e., the distance from $P$ to the plane, is simply the length of the projection of $vc$ onto the unit normal vector $vcPS Since $vc$ is length one, this distance is simply the absolute value of the dot product $vc cdot vcPS We'll label the distance $d$ it is egin d &= | vc cdot vc | otag &= | (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0) cdot vc | otag &= frac<| A(x_1-x_0) +B(y_1-y_0) +C(z_1-z_0)|>>. final This distance is shown on the cyan slider labeled by $d$ to the right of the figure.

Recall that we can also write the equation for the plane as $Ax+By+Cz+D=0$, with $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. We'll substitute into the above formula, to arrive at the following expression for the distance from $P=(x_1,y_1,z_1)$ to the plane $Ax+By+Cz+D=0$: egin d = frac<|Ax_1+By_1+Cz_1 +D|>>. final From this final formula, you can see that the distance didn't depend on the point $Q=(x_0,y_0,z_0)$. As long as $Q$ is in the plane $Ax+By+Cz+D=0$, then we know that $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. The two above formulas for $d$ are equivalent no matter where in the plane $Q$ is. It's clear from the figure how the distance $d$ shouldn't change as you move $Q$ around in the plane. The vector $vc$ changes, but its projection onto $vc$ is constant.

You can see an example of using this formula to calculate the distance from a point to a plane.


Select a starting unit for the Length or Distance conversion:

This table provides a summary of the Length or Distance units within their respective measurement systems.

Unit Symbol Measurement System Descripción
inches in or " US Customary Units/Imperial System 36 inches = 1 yard
feet ft or ' US Customary Units/Imperial System 1 foot = 12 inches
yards yd US Customary Units/Imperial System 1 yard = 3 feet
miles mi US Customary Units/Imperial System 1 mile = 1760 yards or 5280 feet
picometers pm Metric System 1 m = 1,000,000,000,000 pm
nanometers nm Metric System 1 m = 1,000,000,000 nm
micrometers &mum Metric System 1 m = 1,000,000 &mum
millimeters mm Metric System 1 m = 1,000 mm
centimeters cm Metric System 1 m = 100 cm
decimeters dm Metric System 1 m = 10 dm
meters metro Metric System base unit
decameters dam or dkm Metric System 1 dam = 10 m
hectometers hm Metric System 1 hm = 100 m
kilometers km Metric System 1 km = 1,000 m
megameters Mm Metric System 1 Mm = 1,000,000 m
gigameters Gm Metric System 1 Gm = 1,000,000,000 m
nautical miles M or NM or nmi Non-SI (International) 1 nmi = 1,852 meters
angstroms Å Non-SI (International) 10,000,000,000 Å = 1 m
rods rod Non-SI (International) 320 rods = 1 mile

Nota: For Length and Distance conversions, US Customary Units and the Imperial System are equivalent.


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Projections and distances

We've now spent some time talking about projections and distances. This is an attempt to summarize that in some way or another. Recall how we found the vector projection of a vector B onto a vector a (figure 1, to the right): we said that the length of the projection is |B| cos(theta), and so, because

Next consider the other (unlabeled) vector in the figure. Este es el orthogonal projection de B onto a, and its length is (hopefully obviously) |B| sin(theta). Recalling that

Points and Lines

Now, suppose we want to find the distance between a point and a line (top diagram in figure 2, below). That is, we want the distance D from the point PAG to the line L. The key thing to note is that, given some other point Q on the line, the distance D is just the length of the orthogonal projection of the vector QP onto the vector v that points in the direction of the line! That is, we notice that the length D = |QP| sin(theta), where theta is the angle between QP y v. Entonces

Let's do an example. Suppose we want to know the distance between the point PAG = (1,3,8) and the line X(t) = -2 + t, y(t) = 1 - 2t, z(t) = -3 - t. We need some point ("Q") on the line&mdashlet's take the point (-2, 1, -3). Then a vector from this point on the line to the point PAG is . This is the vector QP in the figure. We want the length D, cual es

Points and Planes

Ok, how about the distance from a point to a plane? We'll do the same type of thing here. Consider the lower diagram in figure 2. Here we're trying to find the distance D between a point PAG and the given plane. Again, finding any point on the plane, Q, we can form the vector QP, and what we want is the length of the projection of this vector onto the normal vector to the plane. But this is really easy, because given a plane we know what the normal vector is. So we can say

An example: find the distance from the point PAG = (1,3,8) to the plane X - 2y - z = 12. We need a point on the plane. Hmm. There sure are a lot of them to choose from. :) Let's pick something easy: I'll pick X = 3, y = -3 and z = -3. (Why? Just because they have to satisfy the equation X - 2y - z = 12, and I was picking numbers to try and keep X, y y z moderately small.) Then our point Q = (3,-3,-3). A vector from the plane to PAG es QP = , so

Why did we use the angle theta opposite the component of the vector giving the distance in the case of the line, and the angle adjacent for the plane? It all has to do with what we know: in the case of the line, we already know the vector that points along the line, so if we start doing dot or cross products with this vector, the angle that's involved will be the angle we used. Similarly for a plane, the vector associated with the plane that we know is the normal, so we're interested in angles from this vector to other vectors.