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1.4: Radicales y expresiones racionales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Evalúa las raíces cuadradas.
  • Usa la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas.
  • Usa la regla del cociente para simplificar raíces cuadradas.
  • Suma y resta raíces cuadradas.
  • Racionalizar denominadores.
  • Usa raíces racionales.

Una ferretería vende escaleras de (16 ) pies y escaleras de (24 ) pies. Una ventana se encuentra a (12 ) pies sobre el suelo. Es necesario comprar una escalera que llegue a la ventana desde un punto en el suelo a (5 ) pies del edificio. Para averiguar la longitud de la escalera necesaria, podemos dibujar un triángulo rectángulo como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) y usar el Teorema de Pitágoras.

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 label {1.4.1} [4pt] 5 ^ 2 + 12 ^ 2 & = c ^ 2 label {1.4.2} [4pt] 169 & = c ^ 2 label {1.4.3} end {align *} ]

Ahora, necesitamos averiguar la longitud que, cuando se eleva al cuadrado, es (169 ), para determinar qué escalera elegir. En otras palabras, necesitamos encontrar una raíz cuadrada. En esta sección, investigaremos métodos para encontrar soluciones a problemas como éste.

Evaluación de raíces cuadradas

Cuando la raíz cuadrada de un número se eleva al cuadrado, el resultado es el número original. Como (4 ^ 2 = 16 ), la raíz cuadrada de (16 ) es (4 ). La función de raíz cuadrada es la inversa de la función de elevación al cuadrado, así como la resta es la inversa de la suma. Para deshacer la cuadratura, sacamos la raíz cuadrada.

En términos generales, si (a ) es un número real positivo, entonces la raíz cuadrada de (a ) es un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da (a ). La raíz cuadrada podría ser positiva o negativo porque multiplicar dos números negativos da un número positivo. La raíz cuadrada principal es el número no negativo que cuando se multiplica por sí mismo es igual a (a ). La raíz cuadrada obtenida con una calculadora es la raíz cuadrada principal.

La raíz cuadrada principal de (a ) se escribe como ( sqrt {a} ). El símbolo se llama radical, el término debajo del símbolo se llama radicando y la expresión completa se llama expresión radical.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

¿ ( Sqrt {25} = pm 5 )?

Solución

No. Aunque tanto (5 ^ 2 ) como ((- 5) ^ 2 ) son (25 ), el símbolo radical implica solo un no negativo root, la raíz cuadrada principal. La raíz cuadrada principal de (25 ) es ( sqrt {25} = 5 ).

Nota

La raíz cuadrada principal de (a ) es el número no negativo que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a (a ). Está escrito como una expresión radical, con un símbolo llamado radical sobre el término llamado el radicando: ( sqrt {a} ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de raíces cuadradas

Evalúa cada expresión.

  1. ( sqrt {100} )
  2. ( sqrt { sqrt {16}} )
  3. ( sqrt {25 + 144} )
  4. ( sqrt {49} ) - ( sqrt {81} )

Solución

  1. ( sqrt {100} = 10 ) porque (10 ​​^ 2 = 100 )
  2. ( sqrt { sqrt {16}} = sqrt {4} = 2 ) porque (4 ^ 2 = 16 ) y (2 ^ 2 = 4 )
  3. ( sqrt {25 + 144} = sqrt {169} = 13 ) porque (13 ^ 2 = 169 )
  4. ( sqrt {49} - sqrt {81} = 7−9 = −2 ) porque (7 ^ 2 = 49 ) y (9 ^ 2 = 81 )

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Para ( sqrt {25 + 144} ), ¿podemos encontrar las raíces cuadradas antes de sumar?

Solución

No. ( sqrt {25} + sqrt {144} = 5 + 12 = 17 ). Esto no es equivalente a ( sqrt {25 + 144} = 13 ). El orden de las operaciones requiere que sumemos los términos en el radicando antes de encontrar la raíz cuadrada.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Evalúa cada expresión.

una. ( sqrt {25} )B. ( sqrt { sqrt {81}} )C. ( sqrt {25-9} )D. ( sqrt {36} + sqrt {121} )
Responde una
(5)
Respuesta b
(3)
Respuesta c
(4)
Respuesta d
(17)

Usar la regla del producto para simplificar raíces cuadradas

Para simplificar una raíz cuadrada, la reescribimos de manera que no haya cuadrados perfectos en el radicando. Hay varias propiedades de las raíces cuadradas que nos permiten simplificar expresiones radicales complicadas. La primera regla que veremos es la regla del producto para simplificar raíces cuadradas, que nos permite separar la raíz cuadrada de un producto de dos números en el producto de dos expresiones racionales separadas. Por ejemplo, podemos reescribir ( sqrt {15} ) como ( sqrt {3} times sqrt {5} ). También podemos usar la regla del producto para expresar el producto de múltiples expresiones radicales como una sola expresión radical.

La regla del producto para simplificar raíces cuadradas

Si (a ) y (b ) no son negativos, la raíz cuadrada del producto (ab ) es igual al producto de las raíces cuadradas de (a ) y (b )

[ sqrt {ab} = sqrt {a} times sqrt {b} ]

CÓMO: Dada una expresión radical de raíz cuadrada, usa la regla del producto para simplificarla.

  1. Factoriza los cuadrados perfectos del radicando.
  2. Escribe la expresión radical como producto de expresiones radicales.
  3. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la regla del producto para simplificar raíces cuadradas

Simplifica la expresión radical.

  1. ( sqrt {300} )
  2. ( sqrt {162a ^ 5b ^ 4} )

Solución

una. ( sqrt {100 times3} ) Factoriza el cuadrado perfecto a partir del radicando.

( sqrt {100} times sqrt {3} ) Escribe una expresión radical como producto de expresiones radicales.

(10 ​​ sqrt {3} ) Simplificar

B. ( sqrt {81a ^ 4b ^ 4 times2a} ) Factoriza el cuadrado perfecto a partir del radicando

( sqrt {81a ^ 4b ^ 4} times sqrt {2a} ) Escribe una expresión radical como producto de expresiones radicales

(9a ^ 2b ^ 2 sqrt {2a} ) Simplificar

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Simplifica ( sqrt {50x ^ 2y ^ 3z} )

Respuesta

(5 | x || y | sqrt {2yz} )

¿Observa los signos de valor absoluto alrededor de (x ) y (y )? ¡Eso es porque su valor debe ser positivo!

Cómo: dado el producto de múltiples expresiones radicales, use la regla del producto para combinarlas en una expresión radical

  1. Exprese el producto de múltiples expresiones radicales como una sola expresión radical.
  2. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la regla del producto para simplificar el producto de varias raíces cuadradas

Simplifica la expresión radical.

( sqrt {12} times sqrt {3} )

Solución

( begin {align *} & sqrt {12 times3} & & text {Expresa el producto como una sola expresión radical} [5pt] & sqrt {36} & & text {Simplify} [5pt] y 6 end {align *} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Simplifica ( sqrt {50x} times sqrt {2x} ) asumiendo (x> 0 ).

Respuesta

(10 ​​| x | )

Usar la regla del cociente para simplificar raíces cuadradas

Así como podemos reescribir la raíz cuadrada de un producto como un producto de raíces cuadradas, también podemos reescribir la raíz cuadrada de un cociente como un cociente de raíces cuadradas, usando la regla del cociente para simplificar raíces cuadradas. Puede ser útil separar el numerador y el denominador de una fracción debajo de un radical para que podamos sacar sus raíces cuadradas por separado. Podemos reescribir

[ sqrt { dfrac {5} {2}} = dfrac { sqrt {5}} { sqrt {2}}. sin número ]

LA REGLA COCIENTE PARA SIMPLIFICAR LAS RAÍCES CUADRADAS

La raíz cuadrada del cociente ( dfrac {a} {b} ) es igual al cociente de las raíces cuadradas de (a ) y (b ), donde (b ≠ 0 ).

[ sqrt { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt {a}} { sqrt {b}} ]

Cómo: Dada una expresión radical, usa la regla del cociente para simplificarla

  1. Escribe la expresión radical como el cociente de dos expresiones radicales.
  2. Simplifica el numerador y el denominador.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de la regla del cociente para simplificar raíces cuadradas

Simplifica la expresión radical.

( sqrt { dfrac {5} {36}} )

Solución

( begin {align *} & dfrac { sqrt {5}} { sqrt {36}} & & text {Escribe como cociente de dos expresiones radicales} [5pt] & dfrac { sqrt { 5}} {6} & & text {Simplificar denominador} end {align *} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Simplifica ( sqrt { dfrac {2x ^ 2} {9y ^ 4}} )

Respuesta

( dfrac {x sqrt {2}} {3y ^ 2} )

No necesitamos los signos de valor absoluto para (y ^ 2 ) porque ese término siempre será no negativo.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de la regla del cociente para simplificar una expresión con dos raíces cuadradas

Simplifica la expresión radical.

( dfrac { sqrt {234x ^ {11} y}} { sqrt {26x ^ ​​7y}} )

Solución

( begin {align *} & sqrt { dfrac {234x ^ {11} y} {26x ^ ​​7y}} & & text {Combinar numerador y denominador en una expresión radical} [5pt] & sqrt {9x ^ 4} & & text {Simplificar fracción} [5pt] & 3x ^ 2 & & text {Simplificar raíz cuadrada} end {align *} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Simplifica ( dfrac { sqrt {9a ^ 5b ^ {14}}} { sqrt {3a ^ 4b ^ 5}} )

Respuesta

(b ^ 4 sqrt {3ab} )

Sumar y restar raíces cuadradas

Podemos sumar o restar expresiones radicales solo cuando tienen el mismo radicando y cuando tienen el mismo tipo de radical, como raíces cuadradas. Por ejemplo, la suma de ( sqrt {2} ) y (3 sqrt {2} ) es (4 sqrt {2} ). Sin embargo, a menudo es posible simplificar expresiones radicales y eso puede cambiar el radicando. La expresión radical ( sqrt {18} ) se puede escribir con (2 ) en el radicando, como (3 sqrt {2} ), entonces ( sqrt {2} + sqrt { 18} = sqrt {2} +3 sqrt {2} = 4 sqrt {2} )

Cómo: Dada una expresión radical que requiere la suma o resta de raíces cuadradas, resuelve

  1. Simplifica cada expresión radical.
  2. Sumar o restar expresiones con radicandos iguales.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Agregar raíces cuadradas

Agregue (5 sqrt {12} +2 sqrt {3} ).

Solución

Podemos reescribir (5 sqrt {12} ) como (5 sqrt {4 times3} ). Según la regla del producto, esto se convierte en (5 sqrt {4} sqrt {3} ). La raíz cuadrada de ( sqrt {4} ) es (2 ), por lo que la expresión se convierte en (5 times2 sqrt {3} ), que es (10 ​​ sqrt {3} ). Ahora podemos los términos tener el mismo radicando para que podamos sumar.

[10 sqrt {3} +2 sqrt {3} = 12 sqrt {3} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Agregar ( sqrt {5} +6 sqrt {20} )

Respuesta

(13 sqrt {5} )

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Restar raíces cuadradas

Restar (20 sqrt {72a ^ 3b ^ 4c} -14 sqrt {8a ^ 3b ^ 4c} )

Solución

Reescribe cada término para que tengan radicandos iguales.

[ begin {align *} 20 sqrt {72a ^ 3b ^ 4c} & = 20 sqrt {9} sqrt {4} sqrt {2} sqrt {a} sqrt {a ^ 2} sqrt {(b ^ 2) ^ 2} sqrt {c} & = 20 (3) (2) | a | b ^ 2 sqrt {2ac} & = 120 | a | b ^ 2 sqrt { 2ac} end {align *} ]

[ begin {align *} 14 sqrt {8a ^ 3b ^ 4c} & = 14 sqrt {2} sqrt {4} sqrt {a} sqrt {a ^ 2} sqrt {(b ^ 2 ) ^ 2} sqrt {c} & = 14 (2) | a | b ^ 2 sqrt {2ac} & = 28 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} end {align *} ]

Ahora los términos tienen el mismo radicando, por lo que podemos restar.

[120 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} -28 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} = 92 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Restar (3 sqrt {80x} -4 sqrt {45x} )

Respuesta

(0)

Racionalización de denominadores

Cuando una expresión que involucra radicales de raíz cuadrada se escribe en su forma más simple, no contendrá un radical en el denominador. Podemos eliminar radicales de los denominadores de fracciones mediante un proceso llamado racionalización del denominador.

Sabemos que multiplicar por (1 ) no cambia el valor de una expresión. Usamos esta propiedad de la multiplicación para cambiar expresiones que contienen radicales en el denominador. Para eliminar radicales de los denominadores de fracciones, multiplique por la forma de (1 ) que eliminará el radical.

Para un denominador que contiene un solo término, multiplique por el radical en el denominador sobre sí mismo. En otras palabras, si el denominador es (b sqrt {c} ), multiplique por ( dfrac { sqrt {c}} { sqrt {c}} ).

Para un denominador que contiene la suma o diferencia de un término racional e irracional, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que se obtiene cambiando el signo de la porción radical del denominador. Si el denominador es (a + b sqrt {c} ), entonces el conjugado es (a-b sqrt {c} ).

Cómo: Dada una expresión con un solo término radical de raíz cuadrada en el denominador, racionalizar el denominador

  1. Multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.
  2. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Racionalización de un denominador que contiene un solo término

Escriba ( dfrac {2 sqrt {3}} {3 sqrt {10}} ) en la forma más simple.

Solución

El radical en el denominador es ( sqrt {10} ). Entonces, multiplique la fracción por ( dfrac { sqrt {10}} { sqrt {10}} ). Luego simplifica.

[ begin {align *} & dfrac {2 sqrt {3}} {3 sqrt {10}} times dfrac { sqrt {10}} { sqrt {10}} [5pt] & dfrac {2 sqrt {30}} {30} [5pt] & dfrac { sqrt {30}} {15} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Escriba ( dfrac {12 sqrt {3}} { sqrt {2}} ) en la forma más simple.

Respuesta

(6 sqrt {6} )

Cómo: Dada una expresión con un término radical y una constante en el denominador, racionalizar el denominador

  1. Encuentra el conjugado del denominador.
  2. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.
  3. Usa la propiedad distributiva.
  4. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Racionalización de un denominador que contiene dos términos

Escribe ( dfrac {4} {1+ sqrt {5}} ) en la forma más simple.

Solución

Empiece por encontrar el conjugado del denominador escribiendo el denominador y cambiando el signo. Entonces, el conjugado de (1+ sqrt {5} ) es (1- sqrt {5} ). Luego multiplica la fracción por ( dfrac {1- sqrt {5}} {1- sqrt {5}} ).

[ begin {align *} & dfrac {4} {1+ sqrt {5}} times dfrac {1- sqrt {5}} {1- sqrt {5}} [5pt] & dfrac {4-4 sqrt {5}} {- 4} & & text {Usa la propiedad distributiva} [5pt] & sqrt {5} -1 & & text {Simplify} end { alinear*}]

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Escribe ( dfrac {7} {2+ sqrt {3}} ) en la forma más simple.

Respuesta

(14-7 sqrt {3} )

Usar raíces racionales

Aunque las raíces cuadradas son las raíces racionales más comunes, también podemos encontrar raíces cúbicas, raíces (4 ^ {th} ), raíces (5 ^ {th} ) y más. Así como la función de raíz cuadrada es la inversa de la función de cuadratura, estas raíces son la inversa de sus respectivas funciones de potencia. Estas funciones pueden ser útiles cuando necesitamos determinar el número que, elevado a una determinada potencia, da un determinado número.

Comprensión (n ^ {th} ) Raíces

Suponga que sabemos que (a ^ 3 = 8 ). Queremos encontrar qué número elevado a la potencia (3 ^ {rd} ) es igual a (8 ). Como (2 ^ 3 = 8 ), decimos que (2 ) es la raíz cúbica de (8 ).

La raíz (n ^ {th} ) de (a ) es un número que, cuando se eleva a la potencia (n ^ {th} ), da a. Por ejemplo, (- 3 ) es la (5 ^ {th} ) raíz de (- 243 ) porque ({(- 3)} ^ 5 = -243 ). Si (a ) es un número real con al menos una (n ^ {th} ) raíz, entonces la raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) es el número con la misma firmar como (a ) que, cuando se eleva a la potencia (n ^ {th} ), es igual a (a ).

La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) se escribe como ( sqrt [n] {a} ), donde (n ) es un número entero positivo mayor o igual que (2 ). En la expresión radical, (n ) se llama índice del radical.

Principal (n ^ {th} ) Raíz

Si (a ) es un número real con al menos una (n ^ {th} ) raíz, entonces el principal (n ^ {th} ) raíz de (a ), escrito como ( sqrt [n] {a} ), es el número con el mismo signo que (a ) que, cuando se eleva a (n ^ {th} ) potencia, es igual a (a ). La índice del radical es (n ).

Ejemplo ( PageIndex {12} ): simplificar (n ^ {th} ) raíces

Simplifique cada uno de los siguientes:

  1. ( sqrt [5] {- 32} )
  2. ( sqrt [4] {4} times sqrt [4] {10234} )
  3. (- sqrt [3] { dfrac {8x ^ 6} {125}} )
  4. (8 sqrt [4] {3} - sqrt [4] {48} )

Solución

una. ( sqrt [5] {- 32} = - 2 ) porque ((- 2) ^ 5 = -32 )

B. Primero, exprese el producto como una expresión de un solo radical. ( sqrt [4] {4096} = 8 ) porque (8 ^ 4 = 4096 )

C. ( begin {align *} & dfrac {- sqrt [3] {8x ^ 6}} { sqrt [3] {125}} & & text {Escribe como cociente de dos expresiones radicales} [ 5pt] & dfrac {-2x ^ 2} {5} & & text {Simplificar} end {align *} )

D. ( begin {align *} & 8 sqrt [4] {3} -2 sqrt [4] {3} & & text {Simplificar para obtener radicandos iguales} [5pt] & 6 sqrt [4] { 3} & & text {Add} end {align *} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Simplificar

  1. ( sqrt [3] {- 216} )
  2. ( dfrac {3 sqrt [4] {80}} { sqrt [4] {5}} )
  3. (6 sqrt [3] {9000} +7 sqrt [3] {576} )
Responde una

(-6)

Respuesta b

(6)

Respuesta c

(88 sqrt [3] {9} )

Usando exponentes racionales

Las expresiones radicales también se pueden escribir sin usar el símbolo radical. Podemos usar exponentes racionales (fraccionarios). El índice debe ser un número entero positivo. Si el índice (n ) es par, entonces a no puede ser negativo.

[a ^ { tfrac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ]

También podemos tener exponentes racionales con numeradores distintos de (1 ). En estos casos, el exponente debe ser una fracción en términos mínimos. Elevamos la base a una potencia y tomamos una raíz enésima. El numerador nos dice la potencia y el denominador nos dice la raíz.

[a ^ { tfrac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m = sqrt [n] {a ^ m} ]

Todas las propiedades de los exponentes que aprendimos para los exponentes enteros también son válidas para los exponentes racionales.

Exponentes racionales

Los exponentes racionales son otra forma de expresar raíces (n ^ {th} ) principales. La forma general para convertir entre una expresión radical con un símbolo radical y una con un exponente racional es

[a ^ { tfrac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m = sqrt [n] {a ^ m} ]

Cómo: Dada una expresión con un exponente racional, escribe la expresión como un radical

  1. Determina la potencia mirando el numerador del exponente.
  2. Determina la raíz mirando el denominador del exponente.
  3. Usando la base como radicando, eleva el radicando a la potencia y usa la raíz como índice.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): escribir exponentes racionales como radicales

Escribe (343 ^ { tfrac {2} {3}} ) como un radical. Simplificar.

Solución

(2 ) nos dice la potencia y (3 ) nos dice la raíz.

(343 ^ { tfrac {2} {3}} = {( sqrt [3] {343})} ^ 2 = sqrt [3] {{343} ^ 2} )

Sabemos que ( sqrt [3] {343} = 7 ) porque (7 ^ 3 = 343 ). Debido a que la raíz cúbica es fácil de encontrar, es más fácil encontrar la raíz cúbica antes de cuadrar para este problema. En general, es más fácil encontrar la raíz primero y luego elevarla a una potencia.

[343 ^ { tfrac {2} {3}} = {( sqrt [3] {343})} ^ 2 = 7 ^ 2 = 49 ]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Escribe (9 ^ { tfrac {5} {2}} ) como un radical. Simplificar.

Respuesta

({( sqrt {9})} ^ 5 = 3 ^ 5 = 243 )

Ejemplo ( PageIndex {14} ): escribir radicales como exponentes racionales

Escribe ( dfrac {4} { sqrt [7] {a ^ 2}} ) usando un exponente racional.

Solución

La potencia es (2 ) y la raíz es (7 ), por lo que el exponente racional será ( dfrac {2} {7} ). Obtenemos ( dfrac {4} {a ^ { tfrac {2} {7}}} ). Usando propiedades de exponentes, obtenemos ( dfrac {4} { sqrt [7] {a ^ 2}} = 4a ^ { tfrac {-2} {7}} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Escribe (x sqrt {{(5y)} ^ 9} ) usando un exponente racional.

Respuesta

(x (5y) ^ { dfrac {9} {2}} )

Ejemplo ( PageIndex {15} ): Simplificación de exponentes racionales

Simplificar:

una. (5 (2x ^ { tfrac {3} {4}}) (3x ^ { tfrac {1} {5}}) )

B. ( left ( dfrac {16} {9} right) ^ {- tfrac {1} {2}} )

Solución

una.

( begin {align *} & 30x ^ { tfrac {3} {4}} : x ^ { tfrac {1} {5}} & & text {Multiplica los coeficientes} [5pt] & 30x ^ { tfrac {3} {4} + tfrac {1} {5}} & & text {Usar propiedades de exponentes} [5pt] & 30x ^ { tfrac {19} {20}} & & text {Simplificar} end {align *} )

B.

( begin {align *} & { left ( dfrac {9} {16} right)} ^ { tfrac {1} {2}} & & text {Usar definición de exponentes negativos} [ 5pt] & sqrt { dfrac {9} {16}} & & text {Reescribir como radical} [5pt] & dfrac { sqrt {9}} { sqrt {16}} & & text {Usa la regla del cociente} [5pt] & dfrac {3} {4} & & text {Simplify} end {align *} )



Ejercicio ( PageIndex {13} )

Simplifica ({(8x)} ^ { tfrac {1} {3}} left (14x ^ { tfrac {6} {5}} right) )

Respuesta

(28x ^ { tfrac {23} {15}} )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con radicales y exponentes racionales.

  • Radicales
  • Exponentes racionales
  • Simplifica los radicales
  • Racionalizar el denominador

Conceptos clave

  • La raíz cuadrada principal de un número (a ) es el número no negativo que cuando se multiplica por sí mismo es igual a (a ).
  • Si (a ) y (b ) no son negativos, la raíz cuadrada del producto (ab ) es igual al producto de las raíces cuadradas de (a ) y (b ).
  • Si (a ) y (b ) no son negativos, la raíz cuadrada del cociente ( dfrac {a} {b} ) es igual al cociente de las raíces cuadradas de (a ) y (B).
  • Podemos sumar y restar expresiones radicales si tienen el mismo radicando y el mismo índice.
  • Las expresiones radicales escritas en su forma más simple no contienen un radical en el denominador. Para eliminar el radical de la raíz cuadrada del denominador, multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.
  • La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) es el número con el mismo signo que (a ) que cuando se eleva a la (n ^ {th} ) potencia es igual a (a ). Estas raíces tienen las mismas propiedades que las raíces cuadradas.
  • Los radicales se pueden reescribir como exponentes racionales y los exponentes racionales se pueden reescribir como radicales.
  • Las propiedades de los exponentes se aplican a los exponentes racionales.

Página 4 - Guía de estudio de matemáticas para ACT & reg

Las operaciones en álgebra implican resolver igualdades y desigualdades, trabajar con exponentes y raíces, factorizar y simplificar, resolver polinomios, ecuaciones lineales y cuadráticas y tratar con funciones, problemas de palabras y muchos otros conceptos.

Factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas

La forma estándar para ecuaciones cuadráticas es:

(ax ^ 2 + bx + c = 0 ) donde (a neq 0 )

Una forma de resolver o encontrar las raíces (o ceros) de una ecuación cuadrática es por factorización.

En la ecuación y haciendo referencia a la forma estándar, (a = 1 ), (b = -9 ) y (c = 20 ).

¿Qué par de números le dará (a cdot c ) cuando se multipliquen y le dará (b ) cuando se sumen? (a cdot c = 20 ) y (b = -9 ). Con conjeturas inteligentes y mucha práctica, obtendrás los números -4 y -5, que cuando se multiplica dan 20 y cuando se agrega dar -9.

Estos números te dan los factores: ((x - 4) ) y ((x - 5) ). Al equipararlos a cero, encuentras el raíces o ceros de la ecuación sea (x = 4 ) y (x = 5 ).


Expresiones racionales

(1) .Def: Una expresión racional es el cociente de dos polinomios.
Ejemplo:

(2) Dominio: el conjunto de todos los números reales para los que se define la expresión.
Para una expresión racional, el dominio es el conjunto de números que forman el denominador
distinto de cero.

entonces el dominio de esta expresión es

(3) Simplificar, multiplicar y dividir expresiones racionales

(3) Sumar y restar expresiones racionales


* Estrategia: (1) simplificar. (2) encuentre el mínimo denominador común (LCD)

6: Notación radical y exponentes racionales:

(1) n-ésimo:

Ejemplo:

(2) (i) si n es par:

(ii) si n es impar:

(i) Def: , donde myn son números enteros


1.4: Radicales y expresiones racionales - Matemáticas

Exponentes Una expresión exponencial es b n.

b se llama base yn exponente.

b n significa multiplicar b por sí mismo n veces.

Raíces y radicales Una expresión radical es.

es el signo radical,
a es el radicando, y
m es el índice.

significa la raíz cuadrada de a.

La raíz cuadrada principal (o positiva) del número 'a' se escribe y es igual al número positivo que cuando se multiplica por sí mismo da 'a'.

Orden de operaciones Estos son pasos generales.

A veces, los pasos deben aplicarse a cada término, como en el ejemplo de la tabla siguiente, y luego aplicarse a toda la expresión.

Ejemplo utilizado en la tabla: evaluar


Pasos Ejemplo
Elimine los símbolos de agrupación: (), <>, [].
Trabaja desde lo más interno hacia afuera.
Evalúa todos los términos que contienen exponentes y raíces.
Evalúe todas las multiplicaciones y / o divisiones en el orden en que ocurren, trabajando de izquierda a derecha. Ya hice este paso en términos anteriores.
Evalúe todas las sumas y / o restas en el orden en que ocurren, trabajando de izquierda a derecha.
-11

Observe cómo se siguieron los pasos dentro de los símbolos de agrupación y luego se siguieron en toda la expresión.

Evaluación de expresiones para un valor de variable específico Esto equivale a "conectarlo".


Transcripción de la presentación

Capítulo 7 Exponentes racionales, radicales y números complejos

Raíces cuadradas Lo contrario de elevar un número al cuadrado es sacar la raíz cuadrada de un número. Un número b es una raíz cuadrada de un número a si b2 = a. Para encontrar una raíz cuadrada de a, necesitas un # que, al elevarlo al cuadrado, sea igual a a.

Raíces cuadradas principales es la raíz cuadrada negativa de a. Raíces cuadradas principal y negativa Si a es un número no negativo, entonces es la raíz cuadrada principal o no negativa de un

Radicandos La expresión radical es una expresión que contiene un signo de radical. Radicando es la expresión bajo un signo de radical. Tenga en cuenta que si el radicando de una raíz cuadrada es un número negativo, el radical NO es un número real.

Cuadrados perfectos Las raíces cuadradas de radicandos cuadrados perfectos se simplifican a números racionales (números que se pueden escribir como un cociente de números enteros). Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos (como 7, 10, etc.) son números irracionales. SI SE SOLICITA, puede encontrar una aproximación decimal para estos números irracionales. De lo contrario, déjelos en forma radical.

Raíces cuadradas perfectas Los radicandos también pueden contener variables y potencias de variables. Para evitar radicandos negativos, suponga para este capítulo que si una variable aparece en el radicando, solo representa números positivos. Ejemplo:

Raíces cúbicas Raíz cúbica La raíz cúbica de un número real a se escribe como

enésimas raíces También se pueden encontrar otras raíces. La raíz n-ésima de a se define como Si el índice, n, es par, la raíz NO es un número real cuando a es negativo. Si el índice es impar, la raíz será un número real.

enésimas raíces Ejemplo: simplifique lo siguiente.

enésimas raíces Ejemplo: simplifique lo siguiente. Suponga que todas las variables representan números positivos.

Si el índice de la raíz es par, entonces la notación representa un número positivo. Enésimas raíces Pero es posible que no sepamos si la variable a es un valor positivo o negativo. Dado que la raíz cuadrada positiva debe ser positiva, es posible que tengamos que usar signos de valor absoluto para garantizar que la respuesta sea positiva.

Encontrar raíces enésimas Si n es un número entero positivo par, entonces Si n es un número entero positivo impar, entonces

Encontrar raíces enésimas Simplifique lo siguiente. Si sabemos con certeza que las variables representan números positivos, podemos escribir nuestro resultado sin el signo del valor absoluto.

Encontrar raíces enésimas Ejemplo: simplifique lo siguiente. Dado que el índice es impar, no tenemos que forzar que la raíz negativa sea un número negativo. Si aob es negativo (y por lo tanto cambia el signo de la respuesta), está bien.

Evaluación de funciones racionales Halla el valor También podemos usar la notación de funciones para representar funciones racionales. Por ejemplo, evaluar una función racional para un valor particular implica reemplazar el valor de las variables involucradas. Ejemplo:

Funciones raíz Dado que cada valor de x que se sustituye en la ecuación produce un valor único de y, la relación raíz en realidad representa una función. El dominio de la función raíz cuando el índice es par, son todos los números no negativos. El dominio de la función raíz cuando el índice es impar es el conjunto de todos los números reales.

Funciones raíz Anteriormente hemos trabajado con la representación gráfica de formas básicas de funciones para que se familiarice un poco con su forma general. También debe tener una familiaridad básica con las funciones raíz.

Grafico y 6 4 2 xy (6,) (4, 2) (2,) 2 x (1, 1) 1 1 (0, 0) 0 0 Gráficas de funciones raíz Ejemplo:

Grafico y xy 8 2 4 (8, 2) (4,) x (1, 1) 1-1-1 1 (-1, -1) (0, 0) 0 0 (-4,) (-8, - 2) -4-8-2 Gráficos de funciones raíz Ejemplo:

§ 7.2 Exponentes racionales

Exponentes con números racionales Hasta ahora, solo hemos trabajado con exponentes enteros. En esta sección, extendemos exponentes a números racionales como una notación abreviada cuando usamos radicales. Se seguirán aplicando las mismas reglas para trabajar con exponentes.

Entendiendo a1 / n Si n es un entero positivo mayor que 1 y es un número real, entonces recuerde que una raíz cúbica se define de modo que Sin embargo, si dejamos b = a1 / 3, dado que ambos valores de b nos dan la misma a,

Usar notación radical Ejemplo: usa notación radical para escribir lo siguiente. Simplifique si es posible.

Entendiendo am / n siempre que sea un número real Si myn son números enteros positivos mayores que 1 con m / n en términos más bajos, entonces

Usar notación radical Ejemplo: usa notación radical para escribir lo siguiente. Simplifique si es posible.

Entendiendo am / n siempre que a-m / n sea un número real distinto de cero.

Usar notación radical Ejemplo: usa notación radical para escribir lo siguiente. Simplifique si es posible.

Usar reglas para exponentes Ejemplo: usa las propiedades de los exponentes para simplificar lo siguiente. Escribe resultados con solo exponentes positivos.

Usando exponentes racionales Ejemplo: usa exponentes racionales para escribir como un solo radical.

§ 7.3 Simplificando expresiones radicales

Si y son números reales, entonces Regla de producto para radicales Regla de producto para radicales

Simplificando Radicales Ejemplo: simplifica las siguientes expresiones radicales. No hay factor de cuadrado perfecto, por lo que el radical ya está simplificado.

Simplificando Radicales Ejemplo: simplifica las siguientes expresiones radicales.

Si y son números reales, Regla del cociente Radicales Regla del cociente para radicales

Simplificando Radicales Ejemplo: simplifica las siguientes expresiones radicales.

La fórmula de la distancia Fórmula de distancia La distancia d entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) viene dada por

La fórmula de la distancia Ejemplo: Encuentre la distancia entre (5, 8) y (2, 2).

La fórmula del punto medio Fórmula del punto medio El punto medio del segmento de línea cuyos extremos son (x1, y1) y (x2, y2) es el punto con coordenadas

La fórmula del punto medio Ejemplo: Encuentre el punto medio del segmento de recta que une los puntos P (5, 8) y P (2, 2).

§ 7.4 Sumar, restar y multiplicar expresiones radicales

Sumas y diferencias Las reglas de la sección anterior nos permitieron dividir los radicales que tenían un radicando que era un producto o un cociente. NO podemos dividir sumas ni diferencias.

Como radicales En capítulos anteriores, discutimos el concepto de términos "similares". Estos son términos con las mismas variables elevadas a las mismas potencias. Se pueden combinar mediante sumas y restas. De manera similar, podemos trabajar con el concepto de radicales "similares" para combinar radicales con el mismo radicando. Los radicales iguales son radicales con el mismo índice y el mismo radicando. Los radicales similares también se pueden combinar con la suma o la resta mediante el uso de la propiedad distributiva.

Sumar y restar expresiones radicales Ejemplo: No se puede simplificar No se puede simplificar

Sumar y restar expresiones radicales Ejemplo: simplifique la siguiente expresión radical.

Sumar y restar expresiones radicales Ejemplo: simplifique la siguiente expresión radical.

Sumar y restar expresiones radicales Ejemplo: simplifique la siguiente expresión radical. Suponga que las variables representan números reales positivos.


1.4: Radicales y expresiones racionales - Matemáticas

Condiciones de uso Persona de contacto: Donna Roberts

Como hemos visto, una expresión radical se puede escribir en una forma equivalente usando un exponente fraccionario (racional) en lugar de un símbolo radical. A menudo es más fácil escribir y manipular una expresión con un exponente fraccionario que una escrita en forma radical. Echemos un vistazo más a fondo a los radicales y exponentes.


El exponente de significa la segunda raíz o raíz cuadrada: .
El exponente de significa la tercera raíz o la raíz cúbica: .
Y así .

Convertir de forma exponencial a radical:

Recuerde que el denominador del exponente fraccionario se convertirá en la raíz del radical y el numerador se convertirá en la potencia.

Crea el poder primero y luego la raíz.

Primero crea la raíz y luego el poder.

De cualquier manera, tendrás una respuesta correcta.

Convertir de forma radical a exponencial:

Recuerde que el índice (raíz) del radical se convertirá en el denominador del exponente fraccionario y la potencia se convertirá en el numerador.
Crea el denominador primero y luego el numerador.
O
Crea el numerador primero y luego el denominador.
De cualquier manera, tendrás una respuesta correcta.

Observe en el último ejemplo, que elevar una raíz cuadrada a una potencia de 2 elimina el radical.
El cuadrado y el enraizamiento cuadrado son operaciones inversas. Uno deshace al otro.

Este problema tratará con una raíz cúbica y un cuadrado. La raíz cúbica de -64 es -4.

Primero, aplique la regla del exponente de elevar una potencia a una potencia. Luego, ocúpate de las raíces y los poderes. En algún momento, reemplace a con 8.


Ejemplos de expresiones racionales

Por ejemplo, encuentre el dominio de

Lo que pide la pregunta son los valores de x para los cuales la función racional
se dice que existe o tiene sentido matemático. En otras palabras, encuentre los valores de
x para el que el denominador no es igual a cero. Entonces el primer paso es equiparar
el denominador a cero es decir

desde donde puedes ver que

y luego decimos que el dominio es: todos los valores de x excepto x = 3

Observe que en la gráfica de la función tenemos una asíntota en x =
3
lo que significa que este valor no está en el dominio. Si no esta en
el dominio, entonces no puede existir un valor de rango (valor y).

Ejemplo: encuentra el dominio de la expresión a continuación

Como antes, comience igualando el denominador a cero y luego encuentre el factor
ecuación resultante para encontrar sus raíces

lo que significa que las raíces del denominador son

Estos son los valores para los cuales el denominador es igual a cero, por eso decimos que
el dominio de la expresión viene dado por:

Ejemplo: Encuentre el dominio de

Igualar el denominador y el factor

por lo que toda la expresión racional se convierte en

Aunque tenemos expresiones tanto en el denominador como en el denominador, la expresión
en el numerador no afecta el dominio de toda la expresión racional, por lo que
solo consideramos el denominador

Y así el dominio de la expresión racional es:

todos los valores de x excepto para x =


Una expresión radical es cualquier expresión o ecuación que contiene una raíz cuadrada. El símbolo de la raíz cuadrada indica que el número dentro es un radical. El número dentro de esa raíz cuadrada se llama radicando. Los números variables también pueden ser expresiones radicales. Por ejemplo:

La industria financiera utiliza exponentes racionales para calcular el interés, la depreciación y la inflación en áreas como la compra de vivienda.

Por ejemplo, para calcular la inflación de una vivienda que aumenta de valor de p1 a p2 durante un período de n años, la tasa de inflación anual (expresada como decimal) es i = (p2 / p1) ^ (1 / n) -1.

Para calcular el interés compuesto, la fórmula es F = P (1 + i) ^ n, donde F es el valor futuro y P es el valor presente, i es la tasa de interés y n es el número de años. Si quisiera calcular el interés compuesto de $ 1,000 durante 18 meses al 5 por ciento, la fórmula sería F = 1000 (1 + .05) ^ (3/2).


1.4: Radicales y Expresiones Racionales - Matemáticas

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How to Solve Radical Equations - Till now, you have learned many mathematical concepts involving square and cube roots. It means that you probably won’t be new to the use of radicals in mathematics. In simplest terms, a radical is known as the nth root of any number for example, x. Here n is assumed to be a positive integer. Any mathematical equation that contains or has a radical expression in it is called a radical equation. To solve a radical equation, you need to have a thorough understanding of applying exponential rules and understanding of basic algebraic principles. Solve a radical equation with the following steps: Separate the radical expression from the equation with the variable. If the equation has more than one radical expression, isolate only one of them. Raise the equation equal to the index of the radical. If the equation still has a radical expression, repeat the above steps otherwise, solve the resulting equation. Raising both sides of an equation may result in a solution that does not make the original equation true. Such solutions are referred to as extraneous solutions.

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    Working with Radicals Step-by-step Lesson- What is the value of the variable that is buried under the radical?

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