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1.3: Exponentes y notación científica


Objetivos de aprendizaje

  • Varias reglas de exponentes
  • Notación cientifica

Los matemáticos, científicos y economistas suelen encontrar números muy grandes y muy pequeños. Pero puede que no sea obvio cuán comunes son estas cifras en la vida cotidiana. Por ejemplo, un píxel es la unidad de luz más pequeña que una cámara digital puede percibir y grabar. Una cámara en particular puede grabar una imagen de (2048 ) píxeles por (1536 ) píxeles, que es una imagen de muy alta resolución. También puede percibir una profundidad de color (gradaciones en los colores) de hasta (48 ) bits por fotograma y puede disparar el equivalente a (24 ) fotogramas por segundo. El número máximo posible de bits de información utilizados para filmar una película digital de una hora ( (3600 ) - segundo) es entonces un número extremadamente grande.

Usando una calculadora, ingresamos (2,048 × 1 ), (536 × 48 × 24 × 3 ), (600 ) y presionamos ENTER. La calculadora muestra (1.304596316E13 ). ¿Qué significa esto? La parte " (E13 )" del resultado representa el exponente (13 ) de diez, por lo que hay un máximo de aproximadamente (1.3 times10 ^ {13} ) bits de datos en esa película de una hora . En esta sección, primero revisamos las reglas de los exponentes y luego las aplicamos a los cálculos que involucran números muy grandes o pequeños.

Usando la regla del producto de exponentes

Considere el producto (x ^ 3 times x ^ 4 ). Ambos términos tienen la misma base, (x ), pero se elevan a diferentes exponentes. Expanda cada expresión y luego vuelva a escribir la expresión resultante.

[ begin {align *} x ^ 3 times x ^ 4 & = overbrace {x times x times x} ^ { text {3 factores}} times overbrace {x times x times x times x} ^ { text {4 factores}} [4pt] & = overbrace {x times x times x times x times x times x times x} ^ { text {7 factores }} [4pt] & = x ^ 7 end {align *} ]

El resultado es que (x ^ 3 times x ^ 4 = x ^ {3 + 4} = x ^ 7 ).

Observa que el exponente del producto es la suma de los exponentes de los términos. En otras palabras, al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y sumamos los exponentes. Esta es la regla del producto de los exponentes.

[a ^ m times a ^ n = a ^ {m + n} ]

Ahora considere un ejemplo con números reales.

(2 ^ 3 times2 ^ 4 = 2 ^ {3 + 4} = 2 ^ 7 )

Siempre podemos comprobar que esto es cierto simplificando cada expresión exponencial. Encontramos que (2 ^ 3 ) es (8 ), (2 ^ 4 ) es (16 ) y (2 ^ 7 ) es (128 ). El producto (8 times16 ) es igual a (128 ), por lo que la relación es verdadera. Podemos usar la regla del producto de los exponentes para simplificar expresiones que son producto de dos números o expresiones con la misma base pero con diferentes exponentes.

LA REGLA DEL PRODUCTO DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real ay números naturales (m ) y (n ), la regla del producto de exponentes establece que

[a ^ m times a ^ n = a ^ {m + n} label {prod} ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): uso de la regla del producto

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. (t ^ 5 veces t ^ 3 )
  2. ((- 3) ^ 5 times (−3) )
  3. (x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 )

Solución

Utilice la regla del producto (Ecuación ref {prod}) para simplificar cada expresión.

  1. (t ^ 5 times t ^ 3 = t ^ {5 + 3} = t ^ 8 )
  2. ((- 3) ^ 5 times (−3) = (- 3) ^ 5 times (−3) ^ 1 = (- 3) ^ {5 + 1} = (- 3) ^ 6 )
  3. (x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 )

Al principio, puede parecer que no podemos simplificar un producto de tres factores. Sin embargo, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, comience simplificando las dos primeras.

[x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 = (x ^ 2 times x ^ 5) times x ^ 3 = (x ^ {2 + 5}) times x ^ 3 = x ^ 7 times x ^ 3 = x ^ {7 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

Observe que obtenemos el mismo resultado sumando los tres exponentes en un paso.

[x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 = x ^ {2 + 5 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. (k ^ 6 veces k ^ 9 )
  2. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 4 times left ( dfrac {2} {y} right) )
  3. (t ^ 3 times t ^ 6 times t ^ 5 )
Responde un

(k ^ {15} )

Respuesta b

( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 5 )

Respuesta c

(t ^ {14} )

Usar la regla de los exponentes del cociente

La regla del cociente de los exponentes nos permite simplificar una expresión que divide dos números con la misma base pero con diferentes exponentes. De manera similar a la regla del producto, podemos simplificar una expresión como ( dfrac {y ^ m} {y ^ n} ), donde (m> n ). Considere el ejemplo ( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} ). Realice la división cancelando factores comunes.

[ begin {align *} dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y } {y cdot y cdot y cdot y cdot y} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y} {1} & = y ^ 4 end {align *} ]

Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del divisor y el dividendo.

[ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} ]

En otras palabras, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y restamos los exponentes.

( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} = y ^ {9−5} = y ^ 4 )

Por el momento, debemos ser conscientes de la condición (m> n ). De lo contrario, la diferencia (m-n ) podría ser cero o negativa. Estas posibilidades se explorarán en breve. Además, en lugar de calificar las variables como distintas de cero cada vez, simplificaremos las cosas y asumiremos de aquí en adelante que todas las variables representan números reales distintos de cero.

LA REGLA COCIENTE DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real (a ) y números naturales (m ) y (n ), tales que (m> n ), la regla del cociente de exponentes establece que

[ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} label {quot} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): uso de la regla del cociente

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} )

Solución

Utilice la regla del cociente (Ecuación ref {quot}) para simplificar cada expresión.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} = (- 2) ^ {14−9} = (- 2) ^ 5 )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} = t ^ {23−15} = t ^ 8 )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} = (z sqrt {2}) ^ {5−1} = (z sqrt {2}) ^ 4 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. ( dfrac {s ^ {75}} {s ^ {68}} )
  2. ( dfrac {(- 3) ^ 6} {- 3} )
  3. ( dfrac {(ef ^ 2) ^ 5} {(ef ^ 2) ^ 3} )
Responde un

(s ^ 7 )

Respuesta b

((−3)^5)

Respuesta c

((ef ^ 2) ^ 2 )

Usar la regla de potencia de los exponentes

Suponga que una expresión exponencial se eleva a alguna potencia. ¿Podemos simplificar el resultado? Si. Para hacer esto, usamos la regla de potencia de los exponentes. Considere la expresión ((x ^ 2) ^ 3 ). La expresión entre paréntesis se multiplica dos veces porque tiene un exponente de (2 ). Luego, el resultado se multiplica tres veces porque toda la expresión tiene un exponente de (3 ).

[ begin {align *} (x ^ 2) ^ 3 & = (x ^ 2) times (x ^ 2) times (x ^ 2) & = x times x times x times x times x times x & = x ^ 6 end {align *} ]

El exponente de la respuesta es el producto de los exponentes: ((x ^ 2) ^ 3 = x ^ {2⋅3} = x ^ 6 ). En otras palabras, al elevar una expresión exponencial a una potencia, escribimos el resultado con la base común y el producto de los exponentes.

[(a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} ]

Tenga cuidado de distinguir entre los usos de la regla de producto y la regla de potencia. Cuando se usa la regla del producto, diferentes términos con las mismas bases se elevan a exponentes. En este caso, suma los exponentes. Cuando se usa la regla de la potencia, un término en notación exponencial se eleva a una potencia. En este caso, multiplica los exponentes.

Tabla ( PageIndex {1} )
Regla del productoRegla de poder
(5 ^ {3} times 5 ^ {4} = 5 ^ {3 + 4} = 5 ^ {7} ) ((5 ^ 3) ^ 4 = 5 ^ {3 times4} = 5 ^ {12} )
(x ^ {5} times x ^ {2} = x ^ {5 + 2} = x ^ {7} ) ((x ^ 5) ^ 2 = x ^ {5 times2} = x ^ {10} )
((3a) ^ 7 times (3a) ^ {10} = (3a) ^ {7 + 10} = (3a) ^ {17} ) (((3a) ^ 7) ^ {10} = (3a) ^ {7 times10} = (3a) ^ {70} )

LA REGLA DE PODER DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real a y enteros positivos myn, la regla de potencia de los exponentes establece que

[(a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} label {poder} ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de la regla de potencia

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. ((x ^ 2) ^ 7 )
  2. (((2t) ^ 5) ^ 3 )
  3. (((−3)^5)^{11})

Solución

Usa la regla de la potencia (Ecuación ref {potencia}) para simplificar cada expresión.

  1. ((x ^ 2) ^ 7 = x ^ {2⋅7} = x ^ {14} )
  2. (((2t) ^ 5) ^ 3 = (2t) ^ {5⋅3} = (2t) ^ {15} )
  3. (((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55})

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. (((3y) ^ 8) ^ 3 )
  2. ((t ^ 5) ^ 7 )
  3. (((- g) ^ 4) ^ 4 )
Responde un

((3 años) ^ {24} )

Respuesta b

(t ^ {35} )

Respuesta c

((- g) ^ {16} )

Uso de la regla de exponentes de exponente cero

Regrese a la regla del cociente. Hicimos la condición de que (m> n ) para que la diferencia (m − n ) nunca fuera cero o negativa. ¿Qué pasaría si (m = n )? En este caso, usaríamos la regla del exponente cero de los exponentes para simplificar la expresión a (1 ). Para ver cómo se hace esto, comencemos con un ejemplo.

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = 1 nonumber ]

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = t ^ {8−8} = t ^ 0 nonumber ]

Si equiparamos las dos respuestas, el resultado es (t ^ 0 = 1 ). Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real.

[a ^ 0 = 1 nonumber ]

La única excepción es la expresión (0 ^ 0 ). Esto aparece más adelante en cursos más avanzados, pero por ahora, consideraremos que el valor no está definido.

LA REGLA DE EXPONENTES CERO EXPONENTES

Para cualquier número real a distinto de cero, la regla de exponentes cero establece que

[a ^ 0 = 1 ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la regla de exponente cero

Simplifica cada expresión usando la regla del exponente cero de los exponentes.

  1. ( dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} )
  2. ( dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} )
  3. ( dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} )
  4. ( dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} )

Solución

Usa el exponente cero y otras reglas para simplificar cada expresión.

una. [ begin {align *} dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} & = c ^ {3-3} & = c ^ 0 & = 1 end {align *} ]

B. [ begin {align *} dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times dfrac {x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times x ^ { 5-5} & = -3 times x ^ 0 & = -3 times 1 & = -3 end {align *} ]

C. [ begin {align *} dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {( j ^ 2k) ^ {1 + 3}} && text {Usa la regla del producto en el denominador} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) ^ 4} && text {Simplificar} & = (j ^ 2k) ^ {4-4} && text {Usar la regla del cociente} & = (j ^ 2k) ^ 0 && text {Simplificar} & = 1 fin {alinear *} ]

D. [ begin {align *} dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} & = 5 (rs ^ 2) ^ {2-2} && text {Usa el cociente rule} & = 5 (rs ^ 2) ^ 0 && text {Simplify} & = 5 times1 && text {Use la regla del exponente cero} & = 5 && text {Simplify} end {alinear*}]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Simplifica cada expresión usando la regla del exponente cero de los exponentes.

  1. ( dfrac {t ^ 7} {t ^ 7} )
  2. ( dfrac {(de ^ 2) ^ {11}} {2 (de ^ 2) ^ {11}} )
  3. ( dfrac {w ^ 4 times w ^ 2} {w ^ 6} )
  4. ( dfrac {t ^ 3 times t ^ 4} {t ^ 2 times t ^ 5} )
Responde un

(1)

Respuesta b

( dfrac {1} {2} )

Respuesta c

(1)

Respuesta d

(1)

Usar la regla negativa de exponentes

Otro resultado útil ocurre si relajamos aún más la condición de que (m> n ) en la regla del cociente. Por ejemplo, ¿podemos simplificar ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} )? Cuando (m

Divide una expresión exponencial por otra con un exponente mayor. Utilice nuestro ejemplo, ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} ).

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = dfrac {t times t times t} {t times t times t times t times t} & = dfrac {1} {t times t} & = dfrac {1} {h ^ 2} end {align *} ]

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = h ^ {3-5} & = h ^ {- 2} end {align *} ]

Juntando las respuestas, tenemos (h ^ {- 2} = dfrac {1} {h ^ 2} ). Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real distinto de cero.

Un factor con un exponente negativo se convierte en el mismo factor con un exponente positivo si se mueve a lo largo de la barra de fracciones, del numerador al denominador o viceversa.

(a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) y (a ^ n = dfrac {1} {a ^ {- n}} )

Hemos demostrado que la expresión exponencial an se define cuando (n ) es un número natural, (0 ), o el negativo de un número natural. Eso significa que an se define para cualquier número entero (n ). Además, las reglas de producto y cociente y todas las reglas que veremos pronto son válidas para cualquier número entero (n ).

LA REGLA NEGATIVA DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real a distinto de cero y número natural n, la regla negativa de los exponentes establece que

[a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la regla del exponente negativo

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} )

Solución

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} = theta ^ {3-10} = theta ^ {- 7} = dfrac {1} { theta ^ 7} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} = dfrac {z ^ {2 + 1}} {z ^ 4} = dfrac {z ^ 3} {z ^ 4} = z ^ {3-4} = z ^ {- 1} = dfrac {1} {z} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} = (- 5t ^ 3) ^ {4-8} = (- 5t ^ 3) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 5t ^ 3) ^ 4} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( dfrac {(- 3t) ^ 2} {(- 3t) ^ 8} )
  2. ( dfrac {f ^ {47}} {f ^ {49} times f} )
  3. ( dfrac {2k ^ 4} {5k ^ 7} )
Responde un

( dfrac {1} {(- 3t) ^ 6} )

Respuesta b

( dfrac {1} {f ^ 3} )

Respuesta c

( dfrac {2} {5k ^ 3} )

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de las reglas de producto y cociente

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. (b ^ 2 times b ^ {- 8} )
  2. ((- x) ^ 5 veces (-x) ^ {- 5} )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} )

Solución

  1. (b ^ 2 times b ^ {- 8} = b ^ {2-8} = b ^ {- 6} = dfrac {1} {b ^ 6} )
  2. ((- x) ^ 5 times (-x) ^ {- 5} = (- x) ^ {5-5} = (- x) ^ 0 = 1 )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} = dfrac {(- 7z) ^ 1} {(- 7z) ^ 5} = (- 7z) ^ {1-5} = (- 7z ) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. (t ^ {- 11} veces t ^ 6 )
  2. ( dfrac {25 ^ {12}} {25 ^ {13}} )
Responde una

(t ^ {- 5} = dfrac {1} {t ^ 5} )

Respuesta b

( dfrac {1} {25} )

Encontrar el poder de un producto

Para simplificar la potencia de un producto de dos expresiones exponenciales, podemos usar la regla de potencia de un producto de exponentes, que divide la potencia de un producto de factores en el producto de las potencias de los factores. Por ejemplo, considere ((pq) ^ 3 ). Comenzamos usando las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación para reagrupar los factores.

[ begin {align *} (pq) ^ 3 & = (pq) times (pq) times (pq) & = p times q times p times q times p times q & = p ^ 3 times q ^ 3 end {align *} ]

En otras palabras, ((pq) ^ 3 = p ^ 3 times q ^ 3 ).

EL PODER DE UN PRODUCTO REGLA DE EXPONENTES

Para cualquier número real ayb y cualquier número entero n, la potencia de una regla de producto de exponentes establece que

[(ab) ^ n = a ^ nb ^ n ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Usar el poder de una regla de producto

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ((ab ^ 2) ^ 3 )
  2. ((2t) ^ {15} )
  3. ((- 2w ^ 3) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )
  5. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 )

Solución

Usa las reglas del producto y del cociente y las nuevas definiciones para simplificar cada expresión.

una. ((ab ^ 2) ^ 3 = (a) ^ 3 times (b ^ 2) ^ 3 = a ^ {1 times3} times b ^ {2 times3} = a ^ 3b ^ 6 )

B. ((2t) ^ {15} = (2) ^ {15} times (t) ^ {15} = 2 ^ {15} t ^ {15} = 32,768t ^ {15} )

C. ((- 2w ^ 3) ^ 3 = (- 2) ^ 3 times (w ^ 3) ^ 3 = −8 times w ^ {3 times3} = - 8w ^ 9 )

D. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} = dfrac {1} {(- 7) ^ 4 times (z) ^ 4} = dfrac {1} {2401z ^ 4} )

mi. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = (e ^ {- 2}) ^ 7 times (f ^ 2) ^ 7 = e ^ {- 2 times7} times f ^ {2 times7} = e ^ {- 14} f ^ {14} = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ((g ^ 2h ^ 3) ^ 5 )
  2. ((5t) ^ 3 )
  3. ((- 3y ^ 5) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(a ^ 6b ^ 7) ^ 3} )
  5. ((r ^ 3s ^ {- 2}) ^ 4 )
Responde una

(g ^ {10} h ^ {15} )

Respuesta b

(125t ^ 3 )

Respuesta c

(- 27 años ^ {15} )

Respuesta d

( dfrac {1} {a ^ {18} b ^ {21}} )

Respuesta e

( dfrac {r ^ {12}} {s ^ 8} )

Encontrar el poder de un cociente

Para simplificar la potencia de un cociente de dos expresiones, podemos usar la regla de la potencia de un cociente, que establece que la potencia de un cociente de factores es el cociente de las potencias de los factores. Por ejemplo, veamos el siguiente ejemplo.

[(e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} ]

Reescribamos el problema original de manera diferente y veamos el resultado.

[ begin {align *} (e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 & = left ( dfrac {f ^ 2} {e ^ 2} right) ^ 7 & = dfrac { f ^ {14}} {e ^ {14}} end {align *} ]

De los dos últimos pasos se desprende que podemos usar la regla de la potencia de un producto como una regla de la potencia de un cociente.

[ begin {align *} (e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 & = left ( dfrac {f ^ 2} {e ^ 2} right) ^ 7 & = dfrac { (f ^ 2) ^ 7} {(e ^ 2) ^ 7} & = dfrac {f ^ {2 times7}} {e ^ {2 times7}} & = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} end {align *} ]

EL PODER DE UNA REGLA COCIENTE DE EXPONENTES

Para cualquier número real ayb y cualquier número entero n, la potencia de una regla del cociente de exponentes establece que

[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} ]

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Usar la regla de la potencia de un cociente

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando la regla de la potencia del cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} )
  4. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 )
  5. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 )

Solución

una. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 = dfrac {(4) ^ 3} {(z ^ {11}) ^ 3} = dfrac {64} { z ^ {11 times3}} = dfrac {64} {z ^ {33}} )

B. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 = dfrac {(p) ^ 6} {(q ^ 3) ^ 6} = dfrac {p ^ {1 times6} } {q ^ {3 times6}} = dfrac {p ^ 6} {q ^ {18}} )

C. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} = dfrac {(- 1) ^ {27}} {(t ^ 2) ^ {27}} = dfrac {-1} {t ^ {2 times27}} = dfrac {-1} {t ^ {54}} = - dfrac {1} {t ^ {54}} )

D. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 = left ( dfrac {j ^ 3} {k ^ 2} right) ^ 4 = dfrac {(j ^ 3) ^ 4} {(k ^ 2) ^ 4} = dfrac {j ^ {3 times4}} {k ^ {2 times4}} = dfrac {j ^ {12}} {k ^ 8} )

mi. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 = left ( dfrac {1} {m ^ 2n ^ 2} right) ^ 3 = dfrac {(1) ^ 3} { (m ^ 2n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {(m ^ 2) ^ 3 (n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {m ^ {2 times3} n ^ {2 times3}} = dfrac {1} {m ^ 6n ^ 6} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando la regla de la potencia del cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( left ( dfrac {b ^ 5} {c} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {5} {u ^ 8} right) ^ 4 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {w ^ 3} right) ^ {35} )
  4. ((p ^ {- 4} q ^ 3) ^ 8 )
  5. ((c ^ {- 5} d ^ {- 3}) ^ 4 )
Responde una

( dfrac {b ^ {15}} {c ^ 3} )

Respuesta b

( dfrac {625} {u ^ {32}} )

Respuesta c

( dfrac {-1} {w ^ {105}} )

Respuesta d

( dfrac {q ^ {24}} {p ^ {32}} )

Respuesta e

( dfrac {1} {c ^ {20} d ^ {12}} )


Simplificar expresiones exponenciales

Recuerde que simplificar una expresión significa reescribirla combinando términos o exponentes; en otras palabras, escribir la expresión de forma más sencilla con menos términos. Las reglas de los exponentes se pueden combinar para simplificar expresiones.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar expresiones exponenciales

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta solo con exponentes positivos.

  1. ((6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 )
  2. (17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} )
  3. ( left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 )
  4. ((- 2a ^ 3b ^ {- 1}) (5a ^ {- 2} b ^ 2) )
  5. ((x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2}) ^ {- 4} )
  6. ( dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} )

Solución

una. [ begin {align *} (6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 & = (6) ^ 3 (m ^ 2) ^ 3 (n ^ {- 1}) ^ 3 && text {El poder de una regla de producto} & = 6 ^ 3m ^ {2 times3} n ^ {- 1 times3} && text {La regla de poder} & = 216m ^ 6n ^ {- 3} && text { La regla de la potencia} & = dfrac {216m ^ 6} {n ^ 3} && text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

B. [ begin {align *} 17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} & = 17 ^ {5-4-3} && text {La regla del producto} & = 17 ^ {-2} && text {Simplificar} & = dfrac {1} {17 ^ 2} text {o} dfrac {1} {289} && text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

C. [ begin {align *} left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 & = dfrac {(u ^ {- 1} v) ^ 2} {(v ^ {- 1}) ^ 2} && text {El poder de una regla del cociente} & = dfrac {u ^ {- 2} v ^ 2} {v ^ {- 2}} && text {El poder de una regla de producto} & = u ^ {- 2} v ^ {2 - (- 2)} && text {La regla del cociente} & = u ^ {- 2} v ^ 4 && text {Simplificar} & = dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} && text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

D. [ begin {align *} left (-2a ^ 3b ^ {- 1} right) left (5a ^ {- 2} b ^ 2 right) & = left (-2 times 5 right ) left (a ^ {3} a ^ {- 2} right) left (b ^ {- 1} b ^ {2} right) && text {Leyes conmutativas y asociativas de la multiplicación} & = -10 times a ^ {3-2} times b ^ {- 1 + 2} && text {La regla del producto} & = -10ab && text {Simplify} end {align *} ]

mi. [ begin {align *} left (x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ {- 4} & = left (x ^ 2 sqrt { 2} right) ^ {4-4} && text {La regla del producto} & = left (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ 0 && text {Simplify} & = 1 && text {La regla del exponente cero} end {align *} ]

F. [ begin {align *} dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} & = dfrac {(3) ^ 5 times (w ^ 2) ^ 5 } {(6) ^ 2 times (w ^ {- 2}) ^ 2} && text {El poder de una regla de producto} & = dfrac {3 ^ 5w ^ {2 times5}} {6 ^ 2w ^ {- 2 times2}} && text {La regla del poder} & = dfrac {243w ^ {10}} {36w ^ {- 4}} && text {Simplify} & = dfrac {27w ^ {10 - (- 4)}} {4} && text {La regla del cociente y la fracción de reducción} & = dfrac {27w ^ {14}} {4} && text {Simplificar} fin {alinear *} ]

Usar notación científica

Recuerde al principio de la sección que encontramos el número (1.3 times10 ^ {13} ) al describir bits de información en imágenes digitales. Otros números extremos incluyen el ancho de un cabello humano, que es aproximadamente (0.00005 ; m ), y el radio de un electrón, que es aproximadamente (0.00000000000047 ; m ). ¿Cómo podemos trabajar de manera efectiva, leer, comparar y calcular con números como estos?

Un método abreviado para escribir números muy pequeños y muy grandes se llama notación científica, en la que expresamos los números en términos de exponentes de (10 ​​). Para escribir un número en notación científica, mueva el punto decimal a la derecha del primer dígito del número. Escribe los dígitos como un número decimal entre (1 ) y (10 ​​). Cuente el número de lugares (n ) que movió el punto decimal. Multiplica el número decimal por (10 ​​) elevado a una potencia de (n ). Si movió el decimal a la izquierda como en un número muy grande, (n ) es positivo. Si movió el decimal a la derecha como en un número pequeño y grande, (n ) es negativo.

Por ejemplo, considere el número (2,780,418 ). Mueva el decimal a la izquierda hasta que esté a la derecha del primer dígito distinto de cero, que es (2 ).

Obtenemos (2.780418 ) moviendo el punto decimal (6 ) lugares a la izquierda. Por lo tanto, el exponente de (10 ​​) es (6 ), y es positivo porque movimos el punto decimal hacia la izquierda. Esto es lo que deberíamos esperar de un gran número.

(2.780418 veces {10} ^ 6 )

Trabajar con números pequeños es similar. Tomemos, por ejemplo, el radio de un electrón, (0.00000000000047 ; m ). Realice la misma serie de pasos que el anterior, excepto que mueva el punto decimal hacia la derecha.

Tenga cuidado de no incluir el (0 ) inicial en su recuento. Movemos el punto decimal (13 ) lugares a la derecha, por lo que el exponente de (10 ​​) es (13 ). El exponente es negativo porque movimos el punto decimal a la derecha. Esto es lo que deberíamos esperar de un pequeño número.

(4,7 veces {10} ^ {- 13} )

NOTACIÓN CIENTIFICA

Un número se escribe en notación científica si se escribe en la forma (a times {10} ^ n ), donde (1≤ | a | <10 ) y (n ) es un número entero.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Conversión de notación estándar en notación científica

Escribe cada numero en notacion cientifica.

  1. Distancia a la galaxia de Andrómeda desde la Tierra: (24,000,000,000,000,000,000,000 ; m )
  2. Diámetro de la galaxia de Andrómeda: (1,300,000,000,000,000,000,000 ; m )
  3. Número de estrellas en la galaxia de Andrómeda: (1,000,000,000,000 )
  4. Diámetro del electrón: (0.00000000000094 ; m )
  5. Probabilidad de ser alcanzado por un rayo en cualquier año: (0.00000143 )

Solución

una. (24,000,000,000,000,000,000,000 ; m ) (22 ) lugares

(2.4 veces {10} ^ {22} ; m )

B. (1,300,000,000,000,000,000,000 ; m ) (21 ) lugares

(1.3 veces {10} ^ {21} ; m )

C. (1,000,000,000,000 ) (12 ) lugares

(1 veces {10} ^ {12} )

D. (0.00000000000094 ; m ) (13 ) lugares

(9,4 veces {10} ^ {- 13} ; m )

mi. (0.00000143 ) (6 ) lugares

(1,43 veces {10} ^ 6 )

Análisis

Observe que, si el número dado es mayor que (1 ), como en los ejemplos a – c, el exponente de (10 ​​) es positivo; y si el número es menor que (1 ), como en los ejemplos d – e, el exponente es negativo.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Escribe cada numero en notacion cientifica.

  1. Deuda nacional de EE. UU. Por contribuyente (abril de 2014): ( $ 152,000 )
  2. Población mundial (abril de 2014): (7,158,000,000 )
  3. Ingreso nacional bruto mundial (abril de 2014): ( $ 85,500,000,000,000 )
  4. Tiempo para que la luz viaje (1 ; m: 0.00000000334 ; s )
  5. Probabilidad de ganar la lotería (coincidir (6 ) de (49 ) números posibles): (0.0000000715 )
Responde una

( $ 1,52 veces {10} ^ 5 )

Respuesta b

(7.158 veces {10} ^ 9 )

Respuesta c

( $ 8.55 veces {10} ^ {13} )

Respuesta d

(3.34 veces {10} ^ {- 9} )

Respuesta e

(7.15 veces {10} ^ {- 8} )

Conversión de notación científica a notación estándar

Para convertir un número en notación científica a notación estándar, simplemente invierta el proceso. Mueva el decimal n lugares a la derecha si (n ) es positivo o (n ) lugares a la izquierda si (n ) es negativo y agregue ceros según sea necesario. Recuerde, si (n ) es positivo, el valor del número es mayor que (1 ), y si (n ) es negativo, el valor del número es menor que uno.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Conversión de notación científica a notación estándar

Convierta cada número en notación científica a notación estándar.

  1. (3.547 veces {10} ^ {14} )
  2. (- 2 veces {10} ^ 6 )
  3. (7,91 veces {10} ^ {- 7} )
  4. (- 8.05 veces {10} ^ {- 12} )

Solución

una. (3.547 veces {10} ^ {14} )

(3.54700000000000)

( rightarrow14 ) lugares

(354,700,000,000,000)

B. (- 2 veces {10} ^ 6 )

(−2.000000)

( rightarrow6 ) lugares

(−2,000,000)

C. (7,91 veces {10} ^ {- 7} )

(0000007.91)

( rightarrow7 ) lugares

(0.000000791)

D. (- 8.05 veces {10} ^ {- 12} )

(−000000000008.05)

( rightarrow12 ) lugares

(−0.00000000000805)

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Convierta cada número en notación científica a notación estándar.

  1. (7.03 veces {10} ^ 5 )
  2. (- 8.16 veces {10} ^ {11} )
  3. (- 3,9 veces {10} ^ {- 13} )
  4. (8 veces {10} ^ {- 6} )
Responde una

(703,000)

Respuesta b

(−816,000,000,000)

Respuesta c

(−0.00000000000039)

Respuesta d

(0.000008)

Uso de notación científica en aplicaciones

La notación científica, utilizada con las reglas de los exponentes, hace que calcular con números grandes o pequeños sea mucho más fácil que hacerlo con la notación estándar. Por ejemplo, suponga que se nos pide que calculemos el número de átomos en (1 ; L ) de agua. Cada molécula de agua contiene (3 ) átomos ( (2 ) hidrógeno y (1 ) oxígeno). La gota promedio de agua contiene alrededor de (1.32 times {10} {21} ) moléculas de agua y (1 ; L ) de agua contiene aproximadamente (1.22 times {10} ^ {4} ) gotas promedio. Por lo tanto, hay aproximadamente (3⋅ (1.32 times {10} ^ {21}) ⋅ (1.22 times {10} ^ 4) ≈4.83 times {10} ^ {25} ) átomos en (1 ; L ) de agua. Simplemente multiplicamos los términos decimales y sumamos los exponentes. ¡Imagínese tener que realizar el cálculo sin utilizar la notación científica!

Cuando realice cálculos con notación científica, asegúrese de escribir la respuesta en la notación científica adecuada. Por ejemplo, considere el producto ((7 times {10} ^ 4) ⋅ (5 times {10} ^ 6) = 35 times {10} ^ {10} ). La respuesta no está en la notación científica adecuada porque (35 ) es mayor que (10 ​​). Considere (35 ) como (3,5 times10 ). Eso suma un diez al exponente de la respuesta.

((35) times {10} ^ {10} = (3.5 times10) times {10} ^ {10} = 3.5 times (10 times {10} ^ {10}) = 3.5 times { 10} ^ {11} )

Ejemplo ( PageIndex {12} ): uso de notación científica

Realiza las operaciones y escribe la respuesta en notación científica.

  1. ((8.14 times {10} ^ {- 7}) (6.5 times {10} ^ {10}) )
  2. ((4 times {10} ^ 5) ÷ (−1.52 times {10} ^ {9}) )
  3. ((2.7 veces {10} ^ 5) (6.04 veces {10} ^ {13}) )
  4. ((1.2 times {10} ^ 8) ÷ (9.6 times {10} ^ 5) )
  5. ((3.33 times {10} ^ 4) (- 1.05 times {10} ^ 7) (5.62 times {10} ^ 5) )

Soluciones

una. [ begin {align *} (8.14 times {10} ^ {- 7}) (6.5 times {10} ^ {10}) & = (8.14 times6.5) ({10} ^ {- 7 } times {10} ^ {10}) text {Propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación} & = (52.91) ({10} ^ 3) text {Regla de exponentes del producto} & = 5.291 times {10} ^ 4 text {notación científica} end {align *} ]

B. [ begin {align *} (4 times {10} ^ 5) div (-1.52 times {10} ^ {9}) & = left ( dfrac {4} {- 1.52} right) left ( dfrac {{10} ^ 5} {{10} ^ 9} right) text {Propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación} & approx (-2,63) ({10} ^ {- 4} ) text {Regla de exponentes del cociente} & = -2.63 times {10} ^ {- 4} text {Notación científica} end {align *} ]

C. [ begin {align *} (2.7 times {10} ^ 5) (6.04 times {10} ^ {13}) & = (2.7 times6.04) ({10} ^ 5 times {10} ^ {13}) text {Propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación} & = (16.308) ({10} ^ {18}) text {Regla de exponentes del producto} & = 1.6308 times {10} ^ {18} text {notación científica} end {align *} ]

D. [ begin {align *} (1.2 times {10} ^ 8) ÷ (9.6 times {10} ^ 5) & = left ( dfrac {1.2} {9.6} right) left ( dfrac {{10} ^ 8} {{10} ^ 5} right) text {Propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación} & = (0.125) ({10} ^ 3) text {Regla de exponentes del cociente} & = 1.25 times {10} ^ 2 text {notación científica} end {align *} ]

mi. [ begin {align *} (3.33 times {10} ^ 4) (- 1.05 times {10} ^ 7) (5.62 times {10} ^ 5) & = [3.33 times (-1.05) veces5.62] ({10} ^ 4 veces {10} ^ 7 veces {10} ^ 5) & approx (-19.65) ({10} ^ {16}) & = -1.965 veces {10} ^ {17} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Realiza las operaciones y escribe la respuesta en notación científica.

  1. ((- 7.5 times {10} ^ 8) (1.13 times {10} ^ {- 2}) )
  2. ((1,24 veces {10} ^ {11}) ÷ (1,55 veces {10} ^ {18}) )
  3. ((3,72 veces {10} ^ 9) (8 veces {10} ^ 3) )
  4. ((9,933 veces {10} ^ {23}) ÷ (−2,31 veces {10} ^ {17}) )
  5. ((- 6.04 times {10} ^ 9) (7.3 times {10} ^ 2) (- 2.81 times {10} ^ 2) )
Responde una

(- 8.475 veces {10} ^ 6 )

Respuesta b

(8 veces {10} ^ {- 8} )

Respuesta c

(2.976 veces {10} ^ {13} )

Respuesta d

(- 4,3 veces {10} ^ 6 )

Respuesta e

(≈1.24 times {10} ^ {15} )

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Aplicación de notación científica para resolver problemas

En abril de 2014, la población de Estados Unidos era aproximadamente (308,000,000 ) de personas. La deuda nacional era de aproximadamente ( $ 17,547,000,000,000 ). Escriba cada número en notación científica, redondeando las cifras a dos lugares decimales y encuentre el monto de la deuda por ciudadano estadounidense. Escribe la respuesta en notaciones científicas y estándar.

Solución

La población era (308,000,000 = 3.08 times {10} ^ 8 ).

La deuda nacional era ($ 17,547,000,000,000≈ $ 1.75 times {10} ^ {13} ).

Para encontrar el monto de la deuda por ciudadano, divida la deuda nacional por el número de ciudadanos.

[ begin {align *} (1.75 times {10} ^ {13}) div (3.08 times {10} ^ 8) & = left ( dfrac {1.75} {3.08} right) ({ 10} ^ 5) & approx 0.57 times {10} ^ 5 & = 5.7 times {10} ^ 4 end {align *} ]

La deuda por ciudadano en ese momento era de aproximadamente ($ 5,7 veces {10} ^ 4 ) o ($ 57 000 ).

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Un cuerpo humano promedio contiene alrededor de (30,000,000,000,000 ) glóbulos rojos. Cada celda mide aproximadamente (0.000008 ; m ) de largo. Escriba cada número en notación científica y encuentre la longitud total si las celdas se colocaran de un extremo a otro. Escribe la respuesta en notaciones científicas y estándar.

Respuesta

Número de celdas: (3 times {10} ^ {13} ); longitud de una celda: (8 times {10} ^ {- 6} ; m ); longitud total: (2.4 times {10} ^ 8 ; m ) o (240,000,000 ; m ).

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con exponentes y notación científica.

Ecuaciones clave

Reglas de exponentes para números reales distintos de cero a y b y enteros my n
Regla del producto (a ^ m⋅a ^ n = a ^ {m + n} )
Regla del cociente ( dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} )
Regla de poder ((a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} )
Regla del exponente cero (a ^ 0 = 1 )
Regla negativa (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} )
El poder de una regla de producto ((a⋅b) ^ n = a ^ n⋅b ^ n )
Poder de una regla del cociente ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} )

Conceptos clave

  • Los productos de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar sumando exponentes. Ver ejemplo.
  • Los cocientes de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar restando exponentes. Ver ejemplo.
  • Las potencias de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar multiplicando exponentes. Ver ejemplo.
  • Una expresión con exponente cero se define como 1. Vea el ejemplo.
  • Una expresión con un exponente negativo se define como recíproca. Ver ejemplo y ejemplo.
  • El poder de un producto de factores es el mismo que el producto de los poderes de los mismos factores. Ver ejemplo.
  • La potencia de un cociente de factores es igual que el cociente de las potencias de los mismos factores. Ver ejemplo.
  • Las reglas para expresiones exponenciales se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas. Ver ejemplo.
  • La notación científica usa potencias de 10 para simplificar números muy grandes o muy pequeños. Ver ejemplo y ejemplo.
  • La notación científica se puede utilizar para simplificar los cálculos con números muy grandes o muy pequeños. Ver ejemplo y ejemplo.

1.3: Exponentes y notación científica

En las ciencias, a menudo nos ocupamos de números que pueden diferir en muchos órdenes de magnitud, es decir, por potencias de diez. Por ejemplo, el sol está a 148,986,000,000 metros de distancia (en promedio) de la Tierra, pero la distancia a través de uno de los protones que existen en el plasma del sol es de aproximadamente 0.000000000000001 metros. Hay muchos ceros para controlar y la diferencia entre esos números es inmensa. Notación cientifica nos permite expresar esos números como 1,489 x 10 11 my 1 x 10-15 m, respectivamente. Facilita mucho las cosas.

La conveniencia de las potencias de diez

El gráfico de la izquierda muestra varias potencias de diez, desde 10 9 a 10 -9 y sus traducciones en notación estándar de números enteros o decimales.

Puedes pensar en el poder de diez como un instrucción acerca de dónde mover el decimal. Si comienzas con el dígito 1, que es el número real 1.0, luego 10 9 significa & quot; mueva el punto decimal nueve dígitos al derecho y rellene los espacios con ceros. & quot

10 9 = 1,000,000,000

Del mismo modo, comenzando con 1.0, Si -9 es el poder de 10 (10 -9 ), eso significa & quot; mueva el punto decimal nueve espacios al izquierda y completar con (ocho) ceros. & quot

10 -9 = 0.000000001

Lo común sistema métrico los prefijos se enumeran en magenta para ciertas potencias de diez.

Estos poderes de diez forman la columna vertebral de la notación científica. Ahora veamos la anatomía de un número escrito en notación científica.

Órdenes de magnitud

En ciencias y matemáticas, una diferencia de potencia de diez se llama orden de magnitud. Por ejemplo, 100 (10 2 ) y 1,000,000 (10 6 ) difieren en cuatro órdenes de magnitud.

Una película asombrosa: & quotPowers of Ten & quot

Tómese unos minutos para ver este cortometraje, "Los poderes de diez", producido en 1977 por diseñadores y educadores extraordinarios, Charles y Ray Eames. Mientras lo ve, recuerde que fue filmado (sí, filmado) antes de que tuviéramos muchas capacidades de gráficos digitales. Visto así, es un trabajo realmente asombroso, y realmente ayudará a ilustrar el significado de órdenes de magnitud.

Una versión más nueva

Aquí hay una versión modernizada de esa película narrada por Morgan Freeman. ¡Vale la pena ver!

Anatomía de un número en notación científica

Ahora podemos hacer una extensión muy simple de las potencias de diez anteriores para crear lo que llamamos notación científica. A la derecha hay un par de ejemplos de números en notación científica.

2,5 x 10 12 medios para tomar 2.5, mueva el decimal 12 lugares a la derecha y complete los espacios abiertos con ceros para hacer 2,500,000,000,000 o 2,5 billones. En notación científica, el número de la izquierda es siempre un solo dígito seguido de un punto decimal y el número correcto (ver cifras significativas) de dígitos después del decimal.

-3,2 x 10-5 significa tomar el número negativo -3.2, y mueva el decimal 5 lugares a la izquierda, llenando los espacios abiertos con ceros para hacer -0.000032. Observe que el signo menos a la izquierda de 3.2 no tiene nada que ver con el exponente y simplemente indica un número negativo.

Escribiríamos -2,5 billones como -2,5 x 10 12 .

Notación científica: forma

En notación cientifica, el número de la izquierda es siempre un solo dígito seguido de un punto decimal y el número correcto (ver cifras significativas) de dígitos después del decimal.

Convertir números a notación científica

Aquí hay algunos ejemplos de cómo convertir números, grandes y pequeños, a notación científica. Ésta es una de las tareas que quizás tenga que hacer con mayor frecuencia, por lo que es bueno aprenderla.

Ejemplo 1: 12.000.000

Primero, hay un implícito (no se muestra pero hay) decimal después de 12,000,000, y nuestro objetivo es ponerlo después del 1 y antes del 2:

Ahora simplemente contamos cuántos espacios de la derecha (el decimal original) es:

Ahora es muy sencillo formar el número en notación científica. Es 1,2 con 6 ceros (el 7º lugar lo ocupa el 2):

Tenga en cuenta que el número en notación científica es en realidad una especie de receta para recuperar nuestro número original: & quot; Tome 1,2 y mueva el decimal 7 lugares a la derecha & quot. formando la notación científica, el movimiento es en la dirección opuesta, pero eso es solo para formulario 1,2 x 10 7 en primer lugar.

Ejemplo 2: 232,124.5

Este ejemplo es similar al primero, excepto que en realidad hay un decimal en el número original.

Para mover el decimal entre el 2 y el 3, necesitaremos moverlo cinco lugares a la izquierda:

Ahora nuestro número en notación científica es

En este caso, hemos llevado muchos dígitos del número original. Esos deben llevarse siempre que sean significativos de acuerdo con las reglas de los dígitos significativos.

Ejemplo 3: 0.000323

Este es nuestro primer ejemplo de un número menor que uno. Queremos mover el decimal entre el 3 y el 2:

Eso significa mover el decimal cuatro lugares a la derecha:

para obtener nuestro número en notación científica:

Recuerde que este número es una receta para recuperar nuestro número original. Dice, & quot; mueva el decimal cuatro lugares a la derecha, llenando los espacios con ceros, para obtener el número original 0.000323 & quot.

Ejemplo 4: - 0,0000044

Nuestro último ejemplo es un número negativo. La versión en notación científica será entonces -4.4 x 10 ?, determinemos el exponente:

Eso significa mover el decimal cinco lugares a la derecha:

para obtener nuestra notación científica,

Problemas de práctica

Convierta estos números a la forma de notación científica.

Solución del problema 1

Un número en notación científica es una "receta" para reconstruir el número en su forma "nativa". Este, 1.54 & # 215 10 -3, significa: mueva el decimal tres lugares a la izquierda (exponente negativo), llenándolo con ceros, para recuperar la forma nativa.

Solución del problema 2

Solución del problema 3

Solución del problema 4

Solución del problema 5

Solución del problema 6

Solución del problema 7

Solución del problema 8

Solución del problema 9

Multiplicación de números en notación científica

La multiplicación de números en notación científica es fácil. Esa es en gran parte la razón por la que la usamos. Hacemos uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación, es decir a · b = b · a, y a · b · c = a · c · b, y así.

Ejemplo 5

(2,1 x 10 11) (3,2 x 10 3)

Hay dos claves para hacer este tipo de multiplicación. La primera es que la única operación que existe es la multiplicación, por lo que podemos reorganizar fácilmente esta expresión para

Ahora la primera multiplicación es solo 2.1 (3.2) = 6.7 (estoy teniendo cuidado de no usar más dígitos después del decimal de los que debería). La segunda clave es que cuando multiplicamos potencias de la misma base, simplemente sumamos exponentes. Es bastante fácil ver por qué con un ejemplo simple como (10 3) (10 2):

$ begin (10 ^ 3) (10 ^ 2) & = (10 cdot 10 cdot 10) (10 cdot 10) & = 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 & = 10 ^ 5 & = 10 ^ <3 + 2> end$

Ejemplo 6

(3,21 x 10-12) (9,09 x 10 4)

En este ejemplo, 3,21 x 9,09 = 29,2 No nos gusta tener dos dígitos antes del decimal en notación científica, así que tendremos que ajustar el exponente de nuestro resultado al final para volver a colocarlo en el lugar correcto. Primero reorganizamos para

Luego, multiplicando los números y las potencias de diez por separado, tenemos

$ = 29.2 times 10 ^ <-12 + 4> = 29.2 times 10 ^ <-8> $

Ahora tenemos que mover el decimal un lugar a la izquierda para que este número tenga la forma correcta. Observa que la & quot; instrucción & quot 10 -8 dice que debes mover el decimal 8 lugares hacia la izquierda. Si hacemos uno de estos movimientos antes de tiempo, tendremos que cambiar esa & quotinstrucción & quot a 10 -7, por lo que nuestro resultado es

Tómate un minuto para convencerte de que 29,2 x 10 -8 y 2,92 x 10 -7 son el mismo número.

Problemas de práctica

Multiplique estos números y exprese los resultados en la notación científica adecuada:

1. (1.0 × 10 7 )(2.1 × 10 3 ) Solución
2. (9.2 × 10 6 )(4.3 × 10 2 ) Solución
3. (6.26 × 10 -3 )(3.21 × 10 14 ) Solución
4. (6.022 × 10 23 )(1.981 × 10 -19 ) Solución
5. (6.022 × 10 23 )(2 × 10 2 ) Solución
6. (3.11 × 10 18 )(3.11 × 10 -19 ) Solución
7. (4.2822 × 10 3 )(4.2822 × 10 -5 ) Solución
8. (2.22 × 10 -4 )(2.22 × 10 -11 ) Solución
9. (0.334)(7.1 × 10 -10 ) Solución
10. (101,325)(1.981 × 10 -19 ) Solución

Solución del problema 1

Solución del problema 2

Solución del problema 3

Solución del problema 4

Solución del problema 5

Solución del problema 6

Solución del problema 7

Solución del problema 8

Solución del problema 9

Solución del problema 10

División de números en notación científica

La división de un número en notación científica por otro es tan sencilla como la multiplicación. Divida los números, luego divida las potencias de 10 y multiplique los dos. Recuerda que cuando dividimos potencias de la misma base, restamos el exponente del denominador del exponente del numerador. He aquí un ejemplo:

Este es un ejemplo de un problema de división en notación científica. Podemos reagrupar los números decimales y las potencias de diez:

Entonces es solo cuestión de dividir 4.22 por 2.31 y restar los exponentes de las potencias de diez para obtener el resultado.

A continuación se muestran algunos ejercicios de práctica.

Problemas de práctica

Divida estos números y exprese los resultados en la notación científica adecuada:

Solución del problema 1

Solución del problema 2

Solución del problema 3

Solución del problema 4

Solución del problema 5

Solución del problema 6

Notación científica en una calculadora o computadora: EE

En la mayoría de las calculadoras, ingresamos notación científica usando un botón etiquetado Exp o EE. Ambos son una abreviatura de & quot multiplicado por diez elevado a & quot.

Por ejemplo, si quiero ingresar 2,48 x 10 19 , en la calculadora de la izquierda, ingreso la secuencia & quot2.48 [2do] EE 19& quot. En la calculadora que se muestra aquí, EE es la segunda función de la coma ( , ) clave.

En esta calculadora se han introducido y realizado cuatro cálculos & # 8211 dos multiplicaciones y dos divisiones & # 8211. La primera multiplicación es

(2,48 x 10 19) (5,81 x 10 -6)

1,44 x 10 14 .

Vea si puede seguir el resto de esos cálculos.

Puede configurar su calculadora para que muestre los resultados en notación científica si lo desea. En esta calculadora se hace usando el [MODO] botón.

Observe que el tercer resultado se mostró como 4613.333. Esta calculadora no se configuró para usar notación científica para números en el rango de 1000.

Algunas calculadoras tienen un modo tal que cuando presiona algo como EE 4, se imprimirá 10 4 . Eso es bueno, pero no del todo necesario. Úselo si lo tiene y le gusta.

Nota histórica: EE son las siglas de Engineering Exponent. Era un atajo de calculadora desarrollado en un momento en que la mayoría de los usuarios de calculadoras eran ingenieros.


Notación científica con exponentes negativos

Para expresar un decimal en notación científica, debes usar exponentes negativos y usar un número entre uno y diez.

Notación científica con exponentes negativos & # 8211 Ejemplo 1

Por ejemplo, el número .000387 está escrito en notación científica como 3.87 × 10 -4.

Determinando el exponente

Si su número dado es un decimal, debe mover el punto decimal hacia la derecha y contar el número de lugares hacia la izquierda.

Puede contar los lugares decimales a la izquierda como se muestra en la siguiente ilustración:

Como puede ver en la ilustración anterior, debe usar la notación científica con un exponente negativo para su respuesta de 3.87 × 10 -4

Prueba de notación científica

Instrucciones: Para las preguntas 1 a 5, exprese los números en notación científica, utilizando exponentes negativos cuando sea necesario. Para las preguntas 6 a 10, exprese los números como números enteros o decimales.

Examen-resumen

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1. Pregunta

La respuesta es: 8.712 × 10 3
El número antes del signo de la hora debe estar entre 1 y 10, por lo que debemos colocar el decimal tres lugares a la izquierda para obtener 8.712. Entonces necesitamos encontrar la potencia de diez. Como hemos movido el decimal tres lugares, necesitamos usar tres como nuestro exponente para obtener 10 3.
Luego combine los dos pasos para su respuesta:
8.712 × 10 3

La respuesta es: 8.712 × 10 3
El número antes del signo de la hora debe estar entre 1 y 10, por lo que debemos colocar el decimal tres lugares a la izquierda para obtener 8.712. Entonces necesitamos encontrar la potencia de diez. Como hemos movido el decimal tres lugares, necesitamos usar tres como nuestro exponente para obtener 10 3.
Luego combine los dos pasos para su respuesta:
8.712 × 10 3

2. Pregunta

La respuesta es: 1,9875246 × 10 4
Recuerde que el número antes del signo de la hora debe estar entre 1 y 10.
Movemos el decimal cuatro lugares a la izquierda para obtener 1,9875246.
Como hemos movido el decimal cuatro lugares, usamos 4 como nuestro exponente:
1.9875246 × 10 4

La respuesta es: 1,9875246 × 10 4
Recuerde que el número antes del signo de la hora debe estar entre 1 y 10.
Movemos el decimal cuatro lugares a la izquierda para obtener 1,9875246.
Como hemos movido el decimal cuatro lugares, usamos 4 como nuestro exponente:
1.9875246 × 10 4

3. Pregunta

La respuesta es: 6.872 × 10 -3
En este problema, tenemos un número decimal menor que 1 y, como siempre, necesitamos hacer el primer número entre 1 y 10, por lo que debemos usar 6.872 como nuestro primer número.
Hemos movido el decimal a la derecha, por lo que necesitamos usar un exponente negativo.
El decimal se mueve tres lugares, por lo que nuestro exponente es -3.

La respuesta es: 6.872 × 10 -3
En este problema, tenemos un número decimal menor que 1 y, como siempre, necesitamos hacer el primer número entre 1 y 10, por lo que debemos usar 6.872 como nuestro primer número.
Hemos movido el decimal a la derecha, por lo que necesitamos usar un exponente negativo.
El decimal se mueve tres lugares, por lo que nuestro exponente es -3.

4. Pregunta

La respuesta es: 7.7686 × 10 11
Cuando multiplicas así, tienes que multiplicar los números delante de los signos de la hora y sumar los exponentes.
(3.58 × 10 7 )(2.17 × 10 4 ) =
(3.58 × 2.17)(10 7 × 10 4 ) =
7.7686 × 10 7 + 4 =
7.7686 × 10 11

La respuesta es: 7.7686 × 10 11
Cuando multiplicas así, tienes que multiplicar los números delante de los signos de la hora y sumar los exponentes.
(3.58 × 10 7 )(2.17 × 10 4 ) =
(3.58 × 2.17)(10 7 × 10 4 ) =
7.7686 × 10 7 + 4 =
7.7686 × 10 11

5. Pregunta
  • 0.1940816327 × 10 7
  • 19408216327 × 10 2
  • 1.940816327 × 10 6
  • 19.40816327 × 10 5

La respuesta es: 1.940816327 × 10 6
Al dividir dos números que se expresan en notación científica, debes dividir los números frente a los signos de la hora y restar los exponentes.
(9.51 × 10 -2 ) ÷ (4.9 × 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × (10 -2 ÷ 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 – -8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 + 8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 6 =
1.940816327 × 10 6

La respuesta es: 1.940816327 × 10 6
Al dividir dos números que se expresan en notación científica, debes dividir los números frente a los signos de la hora y restar los exponentes.
(9.51 × 10 -2 ) ÷ (4.9 × 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × (10 -2 ÷ 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 – -8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 + 8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 6 =
1.940816327 × 10 6


Exponentes y notación científica

Los matemáticos, científicos y economistas suelen encontrarse con números muy grandes y muy pequeños. Pero puede que no sea obvio cuán comunes son estas cifras en la vida cotidiana. Por ejemplo, un píxel es la unidad de luz más pequeña que una cámara digital puede percibir y grabar. Una cámara en particular puede grabar una imagen de 2048 píxeles por 1536 píxeles, que es una imagen de muy alta resolución. También puede percibir una profundidad de color (gradaciones de colores) de hasta 48 bits por fotograma y puede disparar el equivalente a 24 fotogramas por segundo. El número máximo posible de bits de información utilizados para filmar una película digital de una hora (3600 segundos) es entonces un número extremadamente grande.

Usando una calculadora, ingresamosy presione ENTER. La calculadora muestra 1.304596316E13. ¿Qué significa esto? La parte "E13" del resultado representa el exponente 13 de diez, por lo que hay un máximo de aproximadamentebits de datos en esa película de una hora. En esta sección, primero revisamos las reglas de los exponentes y luego las aplicamos a los cálculos que involucran números muy grandes o pequeños.

Usando la regla del producto de exponentes

Considere el productoAmbos términos tienen la misma base, X, pero se elevan a diferentes exponentes. Expanda cada expresión y luego vuelva a escribir la expresión resultante.

El resultado es que

Observa que el exponente del producto es la suma de los exponentes de los términos. En otras palabras, al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y sumamos los exponentes. Este es el regla del producto de exponentes.

Ahora considere un ejemplo con números reales.

Siempre podemos comprobar que esto es cierto simplificando cada expresión exponencial. Encontramos esoes 8,tiene 16 años, yes 128. El productoes igual a 128, por lo que la relación es verdadera. Podemos usar la regla del producto de los exponentes para simplificar expresiones que son producto de dos números o expresiones con la misma base pero con diferentes exponentes.

La regla del producto de exponentes

Para cualquier número realy números naturalesyla regla del producto de los exponentes establece que

Usar la regla del producto

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Usa la regla del producto para simplificar cada expresión.

Al principio, puede parecer que no podemos simplificar un producto de tres factores. Sin embargo, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, comience simplificando las dos primeras.

Observe que obtenemos el mismo resultado sumando los tres exponentes en un paso.

[/ respuesta-oculta]

Intentalo

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Usar la regla de los exponentes del cociente

La regla del cociente de exponentes nos permite simplificar una expresión que divide dos números con la misma base pero con diferentes exponentes. De manera similar a la regla del producto, podemos simplificar una expresión comodóndeConsidere el ejemploRealice la división cancelando factores comunes.

Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del divisor y el dividendo.

En otras palabras, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y restamos los exponentes.

Por el momento, debemos estar al tanto de la condiciónDe lo contrario, la diferenciapodría ser cero o negativo. Estas posibilidades se explorarán en breve. Además, en lugar de calificar las variables como distintas de cero cada vez, simplificaremos las cosas y asumiremos de aquí en adelante que todas las variables representan números reales distintos de cero.

La regla del cociente de exponentes

Para cualquier número realy números naturalesytal quela regla del cociente de exponentes establece que

Usar la regla del cociente

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Usa la regla del cociente para simplificar cada expresión.

Intentalo

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Usar la regla de potencia de los exponentes

Suponga que una expresión exponencial se eleva a alguna potencia. ¿Podemos simplificar el resultado? Si. Para hacer esto, usamos el regla de potencia de exponentes. Considere la expresiónLa expresión entre paréntesis se multiplica dos veces porque tiene un exponente de 2. Luego, el resultado se multiplica tres veces porque toda la expresión tiene un exponente de 3.

El exponente de la respuesta es el producto de los exponentes:En otras palabras, al elevar una expresión exponencial a una potencia, escribimos el resultado con la base común y el producto de los exponentes.

Tenga cuidado de distinguir entre los usos de la regla de producto y la regla de potencia. Cuando se usa la regla del producto, diferentes términos con las mismas bases se elevan a exponentes. En este caso, suma los exponentes. Cuando se usa la regla de la potencia, un término en notación exponencial se eleva a una potencia. En este caso, multiplica los exponentes.

La regla de potencia de los exponentes

Para cualquier número realy enteros positivosyla regla de potencia de los exponentes establece que

Usando la regla de la potencia

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Usa la regla de la potencia para simplificar cada expresión.

Intentalo

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

Uso de la regla de exponentes de exponente cero

Regrese a la regla del cociente. Hicimos la condición de quepara que la diferencianunca sería cero o negativo. Que pasaria siEn este caso, usaríamos el regla del exponente cero de los exponentes para simplificar la expresión a 1. Para ver cómo se hace esto, comencemos con un ejemplo.

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

Si equiparamos las dos respuestas, el resultado esEsto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real.

La única excepción es la expresiónEsto aparece más adelante en cursos más avanzados, pero por ahora, consideraremos que el valor no está definido.

La regla de exponentes cero del exponente

Para cualquier número real distinto de cerola regla del exponente cero de los exponentes establece que

Usar la regla del exponente cero

Simplifica cada expresión usando la regla del exponente cero de los exponentes.

Usa el exponente cero y otras reglas para simplificar cada expresión.

  1. & lt& lt / li & gt
  2. & lt& lt / li & gt
  3. & lt& lt / li & gt
  4. & lt& lt / li & gt

Intentalo

Simplifica cada expresión usando la regla del exponente cero de los exponentes.

Usar la regla negativa de exponentes

Otro resultado útil ocurre si relajamos la condición queen la regla del cociente aún más. Por ejemplo, podemos simplificarCuándo-Es decir, donde la diferenciaes negativo, podemos usar el regla negativa de exponentes para simplificar la expresión a su recíproco.

Divide una expresión exponencial por otra con un exponente mayor. Usa nuestro ejemplo,

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

Juntando las respuestas, tenemosEsto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real distinto de cero.

Un factor con un exponente negativo se convierte en el mismo factor con un exponente positivo si se mueve a lo largo de la barra de fracciones, del numerador al denominador o viceversa.

Hemos demostrado que la expresión exponencialse define cuandoes un número natural, 0, o el negativo de un número natural. Eso significa queestá definido para cualquier número enteroAdemás, las reglas de producto y cociente y todas las reglas que veremos pronto son válidas para cualquier número entero.

La regla negativa de los exponentes

Para cualquier número real distinto de ceroy numero naturalla regla negativa de los exponentes establece que

Usar la regla del exponente negativo

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Intentalo

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Uso de las reglas de producto y cociente

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Intentalo

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Encontrar el poder de un producto

Para simplificar la potencia de un producto de dos expresiones exponenciales, podemos usar la potencia de un producto regla de exponentes, que descompone el poder de un producto de factores en el producto de los poderes de los factores. Por ejemplo, considereComenzamos usando las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación para reagrupar los factores.

En otras palabras,

El poder de un producto Regla de exponentes

Para cualquier número realyy cualquier enteroel poder de una regla de producto de exponentes establece que

Usar la regla del poder de un producto

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Usa las reglas del producto y del cociente y las nuevas definiciones para simplificar cada expresión.

Intentalo

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Encontrar el poder de un cociente

Para simplificar la potencia de un cociente de dos expresiones, podemos usar la poder de una regla del cociente, que establece que la potencia de un cociente de factores es el cociente de las potencias de los factores. Por ejemplo, veamos el siguiente ejemplo.

Reescribamos el problema original de manera diferente y veamos el resultado.

De los dos últimos pasos se desprende que podemos usar la regla de la potencia de un producto como una regla de la potencia de un cociente.

La potencia de una regla de exponentes del cociente

Para cualquier número realyy cualquier enterola potencia de una regla del cociente de exponentes establece que

Usar la regla de la potencia de un cociente

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando la regla de la potencia del cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Intentalo

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando la regla de la potencia del cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Simplificar expresiones exponenciales

Recuerde que simplificar una expresión significa reescribirla combinando términos o exponentes en otras palabras, para escribir la expresión de manera más simple con menos términos. Las reglas de los exponentes se pueden combinar para simplificar expresiones.

Simplificar expresiones exponenciales

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta solo con exponentes positivos.

Intentalo

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta solo con exponentes positivos.

Usar notación científica

Recuerde al principio de la sección que encontramos el númeroal describir bits de información en imágenes digitales. Otros números extremos incluyen el ancho de un cabello humano, que es de aproximadamente 0,00005 m, y el radio de un electrón, que es de aproximadamente 0,00000000000047 m. ¿Cómo podemos trabajar de manera efectiva, leer, comparar y calcular con números como estos?

Un método abreviado para escribir números muy pequeños y muy grandes se llama notación científica, en el que expresamos números en términos de exponentes de 10. Para escribir un número en notación científica, mueva el punto decimal a la derecha del primer dígito del número. . Escribe los dígitos como un número decimal entre 1 y 10. Cuenta el número de lugares norte que movió el punto decimal. Multiplica el número decimal por 10 elevado a una potencia de norte. Si movió el decimal a la izquierda como en un número muy grande, /> es positivo. Si movió el decimal a la derecha como en un número pequeño y grande, /> es negativo.

Por ejemplo, considere el número 2,780,418. Mueva el decimal a la izquierda hasta que esté a la derecha del primer dígito distinto de cero, que es 2.

Obtenemos 2.780418 moviendo el punto decimal 6 lugares a la izquierda. Por lo tanto, el exponente de 10 es 6 y es positivo porque movimos el punto decimal hacia la izquierda. Esto es lo que deberíamos esperar de un gran número.

Trabajar con números pequeños es similar. Tomemos, por ejemplo, el radio de un electrón, 0.00000000000047 m. Realice la misma serie de pasos que el anterior, excepto que mueva el punto decimal hacia la derecha.

Tenga cuidado de no incluir el 0 a la izquierda en su conteo. Movemos el punto decimal 13 lugares a la derecha, por lo que el exponente de 10 es 13. El exponente es negativo porque movimos el punto decimal a la derecha. Esto es lo que deberíamos esperar de un pequeño número.

Notación cientifica

Un número se escribe en notación científica si está escrito en la formadóndeyes un número entero.

Conversión de notación estándar en notación científica

Escribe cada numero en notacion cientifica.

  1. Distancia a la galaxia de Andrómeda desde la Tierra: 24.000.000.000.000.000.000.000 m
  2. Diámetro de la galaxia de Andrómeda: 1.300.000.000.000.000.000.000 m
  3. Número de estrellas en la galaxia de Andrómeda: 1,000,000,000,000
  4. Diámetro del electrón: 0.00000000000094 m
  5. Probabilidad de ser alcanzado por un rayo en cualquier año: 0,00000143

Análisis

Observe que, si el número dado es mayor que 1, como en los ejemplos a – c, el exponente de 10 es positivo y si el número es menor que 1, como en los ejemplos d – e, el exponente es negativo.

Intentalo

Escribe cada numero en notacion cientifica.

  1. Deuda nacional de EE. UU. Por contribuyente (abril de 2014): $ 152,000
  2. Población mundial (abril de 2014): 7.158.000.000
  3. Ingreso nacional bruto mundial (abril de 2014): $ 85,500,000,000,000
  4. Tiempo para que la luz viaje 1 m: 0.00000000334 s
  5. Probabilidad de ganar la lotería (coincida con 6 de 49 números posibles): 0.0000000715

Conversión de notación científica a notación estándar

Para convertir un número en notación científica a notación estándar, simplemente invierta el proceso. Mueve el decimallugares a la derecha sies positivo olugares a la izquierda sies negativo y agregue ceros según sea necesario. Recuerda, sies positivo, el valor del número es mayor que 1, y sies negativo, el valor del número es menor que uno.

Conversión de notación científica a notación estándar

Convierta cada número en notación científica a notación estándar.

Intentalo

Convierta cada número en notación científica a notación estándar.

Uso de notación científica en aplicaciones

La notación científica, utilizada con las reglas de los exponentes, hace que calcular con números grandes o pequeños sea mucho más fácil que hacerlo con la notación estándar. Por ejemplo, suponga que se nos pide que calculemos la cantidad de átomos en 1 L de agua. Cada molécula de agua contiene 3 átomos (2 de hidrógeno y 1 de oxígeno). La gota promedio de agua contiene alrededormoléculas de agua y 1 L de agua contiene aproximadamentegotas promedio. Por lo tanto, hay aproximadamenteátomos en 1 L de agua. Simplemente multiplicamos los términos decimales y sumamos los exponentes. ¡Imagínese tener que realizar el cálculo sin utilizar la notación científica!

Cuando realice cálculos con notación científica, asegúrese de escribir la respuesta en la notación científica adecuada. Por ejemplo, considere el productoLa respuesta no está en la notación científica adecuada porque 35 es mayor que 10. Considere 35 comoEso suma un diez al exponente de la respuesta.

Usar notación científica

Realiza las operaciones y escribe la respuesta en notación científica.

Intentalo

Realiza las operaciones y escribe la respuesta en notación científica.

Aplicar la notación científica para resolver problemas

En abril de 2014, la población de los Estados Unidos era de aproximadamente 308.000.000 de personas. La deuda nacional era de aproximadamente $ 17,547,000,000,000. Escriba cada número en notación científica, redondeando las cifras a dos lugares decimales y encuentre el monto de la deuda por ciudadano estadounidense. Escribe la respuesta en notaciones científicas y estándar.

La poblacion era

La deuda nacional fue

Para encontrar el monto de la deuda por ciudadano, divida la deuda nacional por el número de ciudadanos.

La deuda por ciudadano en ese momento era de aproximadamenteo $ 57,000.

Intentalo

Un cuerpo humano promedio contiene alrededor de 30.000.000.000.000 de glóbulos rojos. Cada celda mide aproximadamente 0,000008 m de largo. Escriba cada número en notación científica y encuentre la longitud total si las celdas se colocaran de un extremo a otro. Escribe la respuesta en notaciones científicas y estándar.

Número de celdas:longitud de una celda:m longitud total:m ometro.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con exponentes y notación científica.

Ecuaciones clave

Reglas de exponentes& lt
Para números reales distintos de ceroyy enterosy
Regla del producto
Regla del cociente
Regla de poder
Regla del exponente cero
Regla negativa
El poder de una regla de producto
Poder de una regla del cociente

Conceptos clave

  • Los productos de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar sumando exponentes. Ver figura).
  • Los cocientes de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar restando exponentes. Ver figura).
  • Las potencias de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar multiplicando exponentes. Ver figura).
  • Una expresión con exponente cero se define como 1. Consulte la (Figura).
  • Una expresión con un exponente negativo se define como recíproca. Consulte (Figura) y (Figura).
  • El poder de un producto de factores es el mismo que el producto de los poderes de los mismos factores. Ver figura).
  • La potencia de un cociente de factores es igual que el cociente de las potencias de los mismos factores. Ver figura).
  • Las reglas para expresiones exponenciales se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas. Ver figura).
  • La notación científica usa potencias de 10 para simplificar números muy grandes o muy pequeños. Consulte (Figura) y (Figura).
  • La notación científica se puede utilizar para simplificar los cálculos con números muy grandes o muy pequeños. Consulte (Figura) y (Figura).

Ejercicios de sección

Verbal

Eslo mismo queExplicar.

No, las dos expresiones no son iguales. Un exponente dice cuántas veces multiplicas la base. Entonceses lo mismo queque es 8.es lo mismo queque es 9.

¿Cuándo puedes sumar dos exponentes?

¿Cuál es el propósito de la notación científica?

Es un método para escribir números muy pequeños y muy grandes.

Explica qué hace un exponente negativo.

Numérico

Para los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Para los siguientes ejercicios, escribe cada expresión con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Para los siguientes ejercicios, exprese el decimal en notación científica.

Para los siguientes ejercicios, convierta cada número en notación científica a notación estándar.

Algebraico

Para los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. Escribe respuestas con exponentes positivos.

Aplicaciones del mundo real

Para alcanzar la velocidad de escape, un cohete debe viajar a una velocidad depies / min. Vuelva a escribir la tasa en notación estándar.

Una moneda de diez centavos es la moneda más fina de la moneda estadounidense. El grosor de una moneda de diez centavos midemetro. Reescribe el número en notación estándar.

La distancia promedio entre la Tierra y el Sol es de 92,960,000 millas. Reescribe la distancia usando notación científica.

Un terabyte se compone de aproximadamente 1.099.500.000.000 bytes. Reescribe en notación científica.

El Producto Interno Bruto (PIB) de Estados Unidos en el primer trimestre de 2014 fueVuelva a escribir el PIB en notación estándar.

Un picómetro es aproximadamentepulg. Vuelva a escribir esta longitud utilizando notación estándar.

El valor del sector de servicios de la economía estadounidense en el primer trimestre de 2012 fue de $ 10,633.6 mil millones. Reescribe esta cantidad en notación científica.

Tecnología

Para los siguientes ejercicios, use una calculadora gráfica para simplificar. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

12,230,590,464

Extensiones

Para los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. Escribe respuestas con exponentes positivos.

La constante de Avogadro se usa para calcular el número de partículas en un mol.Un mol es una unidad básica en química para medir la cantidad de una sustancia. La constante esEscribe la constante de Avogadro en notación estándar.

La constante de Planck es una unidad de medida importante en física cuántica. Describe la relación entre energía y frecuencia. La constante se escribe comoEscribe la constante de Planck en notación estándar.

Glosario

notación científica una notación abreviada para escribir números muy grandes o muy pequeños en la formadóndeyes un entero

Introducción

Dado que la astronomía es una de las ciencias más antiguas, ha desarrollado muchas tradiciones a lo largo de los años. Si bien un astrónomo no dudaría ni un instante en aplicar tecnología de vanguardia en el telescopio o la computadora, el lenguaje y las unidades de medida en el campo cambian mucho más lentamente. Entonces, mientras se propone investigar el Universo con nosotros, permítanos presentarle algunas palabras, unidades y taquigrafía que encontrará aquí.

Notación cientifica

Como se discutió en el tutorial La escala del universo, los números importantes en Astronomía abarcan casi 40 órdenes de magnitud en tamaño. Considere la masa del Sol:

M Sol = 1.989.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 gramos

Es engorroso, por decir lo menos, tener que escribir todos esos ceros. Incluso los kilogramos (elimine 3 ceros) o las toneladas métricas (elimine 6 ceros) no ayudan mucho. Además, realmente no conocemos la masa del Sol más allá de la precisión del cuarto dígito. Todos esos ceros son solo marcadores de posición, sin información útil. Por esta razón, los científicos utilizan una abreviatura llamada notación científica para expresar números muy grandes o muy pequeños.
En notación científica, la masa del Sol se convierte en:
M Sol = 1,989 x 10 33 g.
El número por encima del diez, llamado energía de diez o exponente, representa el número de posiciones decimales. Si es positivo, como en la masa del Sol, los lugares decimales están delante del punto decimal. Entonces, 10 33 significa "mover el punto decimal 33 lugares a la derecha y llenar los lugares vacíos con ceros" (o, más matemáticamente, multiplicar por diez 33 veces).

Para números muy pequeños, como la masa del protón,

M p + = 0.000000000000000000000001673 gramos
usamos potencias negativas de 10. La masa del protón se convierte en
M p + = 1,673 x 10-24 gramos
Para exponentes negativos, las potencias de 10 están después del punto decimal. 10 -24 significa "mover el punto decimal 24 lugares a la izquierda y completar con ceros" (o dividir por diez 24 veces).

Hay varias buenas páginas web sobre notación científica. Si desea leer un poco más, pruebe el sitio de Programas de astronomía de la Universidad de Maryland, con un ejercicio de notación científica y una calculadora de distancia astronómica.

Aritmética en notación científica

La aritmética con notación científica es bastante sencilla, pero requiere tratar el exponente por separado. Suponga que quisiera estimar la masa de nuestra galaxia, la Vía Láctea. En números redondos hay alrededor de medio billón de estrellas en la Vía Láctea:


La Vía Láctea: cuenta las estrellas si tienes un poco de tiempo libre.

de modo que una estimación de la masa de la Vía Láctea sería el número de estrellas multiplicado por la masa de una estrella típica:

METROMW N * x Msol 5 x 10 11 estrellas. 2 x 10 33 gramos
Para realizar el cálculo se multiplican el 2 y el 5 y el exponentes 11 y 33 son adicional.

METROMW (2,5) x 10 (11 + 33) gramos 10 x 10 44 gramos = 1 x 10 45 gramos

Esta es, por supuesto, una estimación burda, especialmente porque ahora sabemos que la masa de la Vía Láctea está dominada por materia invisible. La división en notación científica es solo el proceso inverso. Suponga que desea estimar el número de átomos de hidrógeno que hay en el sol. Una estimación sería

norteH Msol / mH 2 x 10 33 gramos / 1,67 x 10-24 gramos
Ahora dividimos el 2 y el 1,67 (de nuevo, esta es una estimación burda, por lo que podemos tomar mH 2 x 10-24 gramos) y reste el exponente del divisor (-24) del exponente del dividendo (33).

norteH (2/2) x 10 (33 - [- 24]) 1 x 10 57
Si usted es muy cuidadoso puede verificar estos cálculos a mano.

Unidades de medida

Antes de que las personas puedan compartir información sobre el mundo físico, necesitan un lenguaje común y unidades de medida estándar. Dado que la ciencia es un esfuerzo humano internacional, los científicos de todo el mundo han acordado utilizar un conjunto de unidades cuando hablan entre ellos sobre su trabajo. Este estándar mundial se llama sistema métrico. Entonces, cuando el científico A en Katmandú dice que la distancia al Sol es de 150 millones de kilómetros, el científico B en Helsinki sabe exactamente lo que eso significa. Aquí hay una lista de unidades fundamentales del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST), anteriormente la Oficina Nacional de Estándares.

El sistema métrico tiene prefijos estándar para indicar tamaños relativos. Como señalamos anteriormente, el científico A informó que la distancia al Sol era de 150 millones de kilómetros. El prefijo "kilo" significa 1.000, por lo que un kilómetro es 1.000 metros. La siguiente tabla proporciona algunos nombres de métricas utilizadas en estas páginas y sus definiciones.

Prefijos métricos
PREFIJO DEFINICIÓN CIENTÍFICO
NOTACIÓN
PREFIJO DEFINICIÓN CIENTÍFICO
NOTACIÓN
tera 1,000,000,000,000 10 12 centi .01 10 -2
giga 1,000,000,000 10 9 mili .001 10 -3
mega 1,000,000 10 6 micro .000001 10 -6
kilo 1,000 10 3 nano .000000001 10 -9
deka 10 10 1 pico .000000000001 10 -12
deci .1 10 -1 femto .000000000000001 10 -15

Aquí hay una lista completa de prefijos del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST).

Algunos ejemplos de cómo usar los prefijos métricos:

10-2 pedes = 1 ciempiés
10-3 vainillis = 1 milivanilli
10-12 abucheos = 1 picoboo
10-15 bismol = 1 femtobismol

Incluso el sistema métrico "estándar mundial" tiene diferentes versiones. Los astrónomos usan una versión del cgs Sistema (Centímetro-Gramo-Segundo), modificado para las inmensas distancias del Universo y enormes masas de objetos astronómicos. La mayoría de los físicos están convergiendo en el uso de la versión MKS (metro-kilogramo-segundo) o Systeme Internacionale. Largo

Para describir distancias y tamaños, definimos un estándar de longitud. La unidad cgs de longitud es el centímetro, abreviado como "cm". Un centímetro es entre un tercio y media pulgada:

Como puede ver en el diagrama, un centímetro es bastante pequeño, no es una unidad muy práctica para las enormes distancias en el Universo. Si nuestro Astrónomo A tuviera que usar centímetros para decirle al Astrónomo B la distancia al Sol, se vería así:

Hay tres unidades especiales de distancia utilizadas por los astrónomos. Estos son los unidad astronómica (AU) , la año luz y el parsec . La unidad astronómica es la distancia promedio de la Tierra al Sol que se muestra arriba.

1 AU = 1,5 x 10 13 cm = 150 millones de km = 93 millones de millas = 8,3 "minutos luz"

A año luz (ly) suena como una medida de tiempo, pero es una longitud: la distancia que recorre la luz en un año (podemos usar un año luz como unidad de medida porque TODA la luz viaja a la misma velocidad, es una constante fundamental del Universo . Más sobre esto más adelante.) Entonces, en un año, la luz viaja:

El nombre parsec proviene de la técnica de medir la distancia llamada paralaje. La estrella más cercana, Alpha Centauri, se encuentra a aproximadamente 1.3 pc o 4 años luz de distancia. La mayoría de las veces nos ceñiremos a años luz en estas páginas, pero es posible que veas distancias estelares en pc, distancias en la Vía Láctea en kiloparsecs (kpc), distancias a otras galaxias en megaparsecs (Mpc) y distancias a objetos cosmológicos muy distantes en gigaparsecs (Gpc).
1 parsec = 3,26 años luz

Además de estas unidades de distancia, los astrónomos utilizan & Aringngstrom (& Aring) como medida de tamaño en la escala atómica.
1 y Aringngstrom = 10 -8 cm.
An & Aringngstrom tiene aproximadamente el tamaño de un átomo de hidrógeno. Los astrónomos ópticos utilizan & Aringngstrom para medir longitudes de onda de luz. La nanómetro (nm = 10-9 m = 10-7 cm = 10 & Aring) también se usa como una medida de la longitud de onda de la luz óptica, y el micrómetro o micrón (& microm = 10 -6 m = 10 -4 cm = 10,000 & Aring) se usa para describir longitudes de onda infrarrojas. Masa

Todo el mundo sabe que los astronautas pesar menos cuando caminan sobre la Luna que cuando regresan a la Tierra. Dado que la Luna es menos masiva que la Tierra, su atracción gravitacional es menor. Es esencial tener una unidad para medir la "cantidad de cosas" que sería la misma en todas partes del Universo. Esa unidad de "material" se llama masa. Entonces, el peso de un astronauta es menor en la Luna, pero su masa es exactamente la misma. En realidad, el peso y la masa son dos cosas diferentes. Tu peso es la atracción gravitacional entre tú y la Tierra. (O cualquier planeta que estés visitando). Tu masa es una medida de tu inercia, tu resistencia a los cambios de movimiento. Aquí hay una buena explicación de la masa.

La unidad de masa CGS es la gramo. Es mucho más pequeño que una onza:

454 gramos = 16 onzas = 1 libra

El estándar de masa que define es un cilindro de platino-iridio de 1 kilogramo ubicado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, Francia. Hay una copia del estándar en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología en Boulder y en otros laboratorios nacionales de todo el mundo.
¿Debería redefinirse el estándar internacional del kilogramo? Lea sobre esto aquí.

En la escala muy grande (astronómica) y en la escala muy pequeña (atómica) se utilizan otras dos unidades de masa. Para medir masas atómicas el unidad de masa atómica (uma) está empleado. la amu se define como una doceava parte de la masa de un átomo de carbono común:

1 uma = m (12 C) / 12 = 1,66 x 10-24 g

un poco menos que la masa de un protón. Para estrellas, galaxias, etc. usamos el masa solar

donde "" es el símbolo astronómico estándar del sol. La masa de nuestra Vía Láctea es de aproximadamente 10 12 M. Hora

  • Más información sobre los relojes atómicos.
  • Visite la exhibición de la gira del Reloj Atómico.
  • Sincronice el reloj de su PC con el reloj atómico NIST.
    Reloj atómico en NIST

Gran parte de la astronomía y la astrofísica se ocupa de comprender la generación de energía y la salida de energía luminosa de las estrellas, galaxias, etc. La unidad cgs de energía es la ergio . Un ergio es la cantidad de energía contenida en el movimiento de una masa de 1 gramo que se mueve con una velocidad de 1 centímetro / segundo o aproximadamente la energía gastada por una mosca que despega de la pared.

La salida de luz de una estrella o galaxia se llama su luminosidad medido en ergios / segundo. La luminosidad de nuestro sol

A nivel atómico / nuclear, las energías a veces se citan en electronvoltios - eV , la energía de un electrón acelerada a través de un voltaje de 1 voltio (1 eV = 1,6 x 10-12 ergio). Los niveles de energía y las energías de ionización de los átomos comunes son algunos eV, las energías de los fotones de rayos X se citan con frecuencia en kilo-electron-voltios - keV, y los rayos gamma y las energías nucleares se dan con frecuencia en MeV. Debido a la equivalencia masa-energía implícita en la teoría de Einstein

Prof. H. E. (Gene) Smith
CASS 0424 UCSD
9500 Gilman Drive
La Jolla, CA 92093-0424


Última actualización: 19 de noviembre de 1999


Multiplica y divide usando notación científica

Los astrónomos usan números muy grandes para describir distancias en el universo y edades de estrellas y planetas. Los químicos usan números muy pequeños para describir el tamaño de un átomo o la carga de un electrón. Cuando los científicos realizan cálculos con números muy grandes o muy pequeños, utilizan la notación científica. La notación científica proporciona una forma de realizar los cálculos sin escribir muchos ceros. Veremos cómo se utilizan las propiedades de los exponentes para multiplicar y dividir números en notación científica.

Multiplicar. Escriba las respuestas en forma decimal: .

Utilice la propiedad conmutativa para reordenar los factores.
Multiplicar.
Cambie a la forma decimal moviendo el decimal dos lugares a la izquierda.

Multiplicar . Escribe las respuestas en forma decimal.

Multiplicar . Escribe las respuestas en forma decimal.

Dividir. Escriba las respuestas en forma decimal: .

Separe los factores, reescribiendo como el producto de dos fracciones.
Dividir.
Cambie a la forma decimal moviendo el decimal cinco lugares hacia la derecha.

Dividir . Escribe las respuestas en forma decimal.

Dividir . Escribe las respuestas en forma decimal.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con exponentes enteros y notación científica:


Nota: Hay muchos números en esta página que pueden ser más fáciles de leer si el documento está impreso.

¿Por qué utilizar la notación científica?

La notación científica se desarrolló para representar fácilmente números que son muy grandes o muy pequeños. Aquí hay dos ejemplos de números grandes y pequeños. Se expresan en forma decimal en lugar de notación científica para ayudar a ilustrar el problema:

La Galaxia de Andrómeda (la más cercana a nuestra Vía Láctea) contiene al menos 200.000.000.000 de estrellas.

Por otro lado, el peso de una partícula alfa, que se emite en la desintegración radiactiva del plutonio-239, es 0,000,000,000,000,000,000,000,000,006,645 kilogramos.

Como puede ver, puede resultar tedioso escribir esos números repetidamente. Por lo tanto, se desarrolló un sistema para ayudar a representar estos números de una manera fácil de leer y comprender: la notación científica.

¿Qué es la notación científica?

Usando uno de los ejemplos anteriores, el número de estrellas en la Galaxia Adrómeda se puede escribir como:

Es ese gran número, 100.000.000.000, el que causa el problema. Pero eso es solo un múltiplo de diez. De hecho, es diez veces sí mismo once veces:

10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000.000.000

Una forma más conveniente de escribir 100.000.000.000 es 10 11. El número pequeño a la derecha de la decena se llama & # 8220exponent, & # 8221 o & # 8220 potencia de diez. & # 8221 Representa el número de ceros que siguen al 1.

Aunque pensamos que el cero no tiene valor, los ceros pueden hacer que un número sea mucho más grande o más pequeño. Piense en la diferencia entre 10 dólares y 100 dólares. Cualquiera que haya equilibrado una chequera sabe que un cero puede marcar una gran diferencia en el valor del número. De la misma manera, 0.1 (una décima parte) del presupuesto militar de los Estados Unidos es mucho más que 0.01 (una centésima) del presupuesto. (¡Aunque cualquiera de los dos es probablemente más dinero del que la mayoría de nosotros veremos en nuestras chequeras!)

Entonces escribiríamos 200,000,000,000 en notación científica como:

Este número se lee de la siguiente manera: & # 8220 dos punto cero por diez elevado a once. & # 8221

¿Cómo funciona la notación científica?

Como dijimos anteriormente, el exponente se refiere al número de ceros que siguen al 1. Entonces:

10 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1,000, y así sucesivamente.

De manera similar, 10 0 = 1, ya que el exponente cero significa que no hay ceros después del 1.

Los exponentes negativos indican potencias negativas de 10, que se expresan como fracciones con 1 en el numerador (en la parte superior) y la potencia de 10 en el denominador (en la parte inferior).

Entonces:
10 -1 = 1/10
10 -2 = 1/100
10-3 = 1 / 1.000, y así sucesivamente.

Esto nos permite expresar otros números pequeños de esta manera. Por ejemplo:

2,5 x 10-3 = 2,5 x 1 / 1.000 = 0,0025

Cada número se puede expresar en notación científica. En nuestro primer ejemplo, 200.000.000.000 debería escribirse como 2,0 x 10 11. En teoría, se puede escribir como 20 x 10 10, pero por convención, el número generalmente se escribe como 2,0 x 10 11, de modo que el número inicial sea menor que 10, seguido de tantos lugares decimales como sea necesario.

Es fácil ver que todas las variaciones anteriores son solo formas diferentes de representar el mismo número:

200,000,000,000 =
20 x 10 10 (20 x 10,000,000,000)
2,0 x 10 11 (2,0 x 100.000.000.000)
0,2 x 10 12 (0,2 x 1.000.000.000.000)

Esto ilustra otra forma de pensar en la notación científica: el exponente le dirá cómo se mueve el punto decimal, un exponente positivo mueve el punto decimal a la derecha y uno negativo lo mueve a la izquierda. Así por ejemplo:

4.0 x 10 2 = 400 (2 lugares a la derecha de 4)

tiempo
4.0 x 10 -2 = 0.04 (2 lugares a la izquierda de 4).

Tenga en cuenta que la notación científica a veces también se expresa como E (por exponente), como en 4 E 2 (lo que significa 4.0 x 10 elevado a 2). De manera similar, 4 E -2 significa 4 veces 10 elevado a -2, o = 4 x 10 -2 = 0.04. Este método de expresión facilita la escritura en notación científica.

A veces, la ventaja de la notación científica no es inmediatamente obvia. Un número como 340 es mucho más fácil de leer en forma decimal que en notación científica:

¿Qué pasa con el número 380.000? A fines de 1994, el inventario de desechos radiactivos de alta actividad del Departamento de Energía (DOE) era de aproximadamente 378,400 metros cúbicos.

El número 378,400 también es lo suficientemente pequeño como para ser legible. Hay dos razones para expresar 378,400 en notación científica en lugar de en forma decimal:

Cálculo: La notación científica hace que sumar, restar, multiplicar y dividir números sea mucho más simple.
Crear y leer tablas: Echemos un vistazo a la tabla de la que proviene este número:

Volumen acumulado histórico y proyectado de HLW almacenados en tanques, contenedores y cápsulas, por sitio (Tabla 2.1 en el Departamento de Energía & # 8217s Integrated Data Base Report-1994, DOE / RW-006, Rev.11)
Fin del año calendario Volumen, 10 3 m 3
Hanford INEL SRS WVDP Total
1990 253.6 12.0 131.7 1.2 398.5
1991 256.4 10.4 127.9 1.7 396.5
1992 258.7 11.2 126.9 1.6 398.3
1993 261.7 10.5 129.3 2.0 403.5
1994 238.9 11.0 126.3 2.2 378.4

Mire la columna 6. La etiqueta de esa columna tiene unidades de 10 3 m 3 (1,000 metros cúbicos). Haciendo que las unidades sean 10 3 m 3 en lugar de m 3, es posible usar el número 378.4 en lugar de 378,400 en la tabla. Esto hace que la gráfica sea mucho más fácil de leer.

Adición y sustracción

La clave para sumar o restar números en notación científica es asegurarse de que los exponentes sean los mismos. Por ejemplo,

se puede reescribir como:
(0,2 x 10 3) + (3,0 x 10 3)

Ahora solo agrega 0.2 + 3 y mantén los 10 3 intactos. Tu respuesta es 3,2 x 10 3, o 3200. Podemos comprobar esto convirtiendo los números primero a la forma más familiar.

2 x 10 2 + 3,0 x 10 3 = 200 + 3000 = 3200 = 3,2 x 10 3

Probemos & # 8217s con un ejemplo de resta.
(2,0 x 10 7) y # 8211 (6,3 x 10 5)

El problema debe reescribirse para que los exponentes sean los mismos. Para que podamos escribir
(200 x 10 5) y # 8211 (6,3 x 10 5) = 193,7 x 10 5,

que en notación científica se escribiría 1.937 x 10 7.

Dejemos que & # 8217s lo verifique trabajando de otra manera:
2 x 10 7 & # 8211 6.3 x 10 5 = 20,000,000 & # 8211 630,000 = 19,370,000 = 1.937 x 10 7

Multiplicación:

Al multiplicar números expresados ​​en notación científica, los exponentes simplemente se pueden sumar. Esto se debe a que el exponente representa el número de ceros que siguen al uno. Entonces:

10 1 x 10 2 = 10 x 100 = 1,000 = 10 3

Comprobando que vemos: 10 1 x 10 2 = 10 1 + 2 = 10 3

De manera similar, 10 1 x 10-3 = 10 1-3 = 10-2 = 0.01

De nuevo, cuando comprobamos, vemos que: 10 x 1/1000 = 1/100 = 0.01

Mira otro ejemplo:
(4,0 x 10 5) x (3,0 x 10 -1).

El 4 y el 3 se multiplican, dando 12, pero se suman los exponentes 5 y -1, por lo que la respuesta es:
12 x 10 4 o 1,2 x 10 5

Dejemos que & # 8217s compruebe:
(4 x 10 5) x (3 x 10 -1) = 400,00 x 0,3 = 123 000 = 1,2 x 10 5.

Nota interesante: otra forma de ver que 10 0 = 1 es la siguiente:
10 1 x 10 -1 = 10 1-1 = 10 0

División:

Veamos & # 8217s un ejemplo sencillo:
(6,0 x 10 8) ÷ (3,0 x 10 5)

Para resolver este problema, primero divida el 6 por el 3, para obtener 2. El exponente en el denominador se mueve luego al numerador, invirtiendo su signo. (¿Recuerdas ese pequeño truco de tus antiguas clases de matemáticas?) Así que movemos el 10 5 al numerador con un exponente negativo, que luego se ve así:
2 x 10 8 x 10 -5

Todo lo que queda ahora es resolver esto como un problema de multiplicación, recordando que todo lo que necesita hacer para la parte & # 822010 8 x 10 -5 & # 8221 es sumar los exponentes. Entonces la respuesta es:
2,0 x 10 3 o 2000

Fácil, ¿eh? Bueno, incluso el Dr. Egghead no puede aprender nuevos conceptos simplemente leyéndolos. Toma un poco de practica. Afortunadamente para usted, hemos preparado una hoja de trabajo de notación científica + respuestas> hoja de trabajo sobre notación científica. ¡Estarás contando grandes números como un profesional en muy poco tiempo! ¡Buena suerte!

Asunto: Aula. Publicado en julio de 2005. Última modificación en abril de 2012. Descargar esta página como PDF


Tutorial de química de notación científica (notación exponencial)

(3) Determinar el valor del exponente en función de cuántos lugares se ha movido el punto decimal entre su posición en el número decimal y su posición en el coeficiente.

(4) Escribir el número en forma de: coeficiente y multiplicado por 10 exponente

(1) Escribiendo el coeficiente

(2) Decidir de qué manera mover el punto decimal según el signo del exponente:

exponente negativo: mueve el punto decimal a la izquierda

exponente positivo: mueve el punto decimal a la derecha

(3) Decidir cuántos lugares mover el punto decimal en función de la magnitud (tamaño) del exponente

(4) Mueva el punto decimal en el coeficiente el número correcto de lugares en la dirección correcta.

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Números grandes y pequeños en notación científica (notación exponencial)

Los químicos usan regularmente algunos números bastante grandes, algunos ejemplos se dan a continuación:

Imagínese tratando de hacer cálculos que involucren la constante de Avogadro, 602000000000000000000000, ¡es realmente difícil hacer un seguimiento de todos esos ceros!
Si accidentalmente deja solo uno de esos ceros, el número que escriba será 10 veces menor de lo que debería haber sido.
Si perdiera dos ceros, entonces el número sería 100, ¡veces más pequeño de lo que debería ser!
Si perdiera tres ceros, entonces el número sería 1000 veces menor de lo que debería ser.
y estás empezando a ver un patrón aquí?

602000000000000000000000 podría considerarse como el producto de un número multiplicado por 10, o por 10 y por 10 (100), o por 10 y por 10 y por 10 (1000), etc., como se muestra a continuación:

Ahora bien, si tuviéramos una forma abreviada de representar todos esos "y multiplicado por 10", tendríamos una forma útil de realizar un seguimiento de todos esos ceros.

Bueno, los matemáticos han desarrollado esta abreviatura. Usan un número pequeño en superíndice a la derecha del número 10 para decirnos cuántos "y por 10" se necesitan para formar el número.
Vamos a llamar exponente a este número.

El número "10" es solo 1 "y multiplicado por 10", por lo que el exponente es "1": 10 1, pero normalmente solo escribimos 10.

El número "100" es 1 "y multiplicado por 10 y multiplicado por 10", hay, "2"" & times10s "por lo que el exponente es"2": 10 2 .

El número "1,000" es 1 "y multiplicado por 10 y multiplicado por 10 y multiplicado por 10", es decir, "3"" & times10s "por lo que el exponente es"3": 10 3 .

El número "10,000" es 1 "y multiplicado por 10 y multiplicado por 10 y multiplicado por 10 y multiplicado por 10", es decir, "4"" & times10s "por lo que el exponente es"4": 10 4 .

¿Ves surgir otro patrón?
Estamos reemplazando cada "0" en el número con "& times10" y el exponente aumenta en "1".
Así que podríamos contar el número de "0" después del último dígito distinto de cero en nuestro número original para determinar el valor del exponente.

Entonces podríamos representar la constante de Avogadro, 602,000,000,000,000,000,000,000, como 602 con 21 "0" después como:

602 & times 10 21 es mucho más fácil de escribir que 602,000,000,000,000,000,000,000 pero podemos continuar como se muestra a continuación:

602 y tiempos 10 21 = 60,2 y tiempos 10 y tiempos 10 21 = 60,2 y tiempos 10 22

60,2 y tiempos 10 22 = 6,02 y tiempos 10 y tiempos 10 22 = 6,02 y tiempos 10 23

Por lo general, expresamos la constante de Avogadro como 6.02 y multiplicado por 10 23.
Cuando representamos números como un número pequeño entre 0 y 10 (6.02) multiplicado por 10 a la potencia de otro número (y multiplicado por 10 23), lo llamamos notación científica o notación exponencial.
El pequeño número entre 0 y 10 (6,02) se llama coeficiente.
La "potencia" a la que elevamos el "10" se llama exponente (23 en este caso).

Los químicos también trabajan con algunos números realmente pequeños. Por ejemplo:

En estos casos dividimos el número por 10, tomemos como ejemplo el diámetro de un átomo:

Lo cual, usando lo que aprendimos anteriormente sobre exponentes, también podríamos escribir como:

Por lo general, no expresamos los números como una división entre 10 elevado a alguna potencia, sino que escribimos el número en notación científica usando la multiplicación de 10 elevado a alguna potencia.
¿Cómo se puede convertir una división en una multiplicación?

¡Los matemáticos también tienen un truco para esto!
Usan un signo menos (-) antes del primer número del exponente.
Algunos ejemplos se muestran a continuación:

Entonces, usando la notación científica (notación exponencial), el diámetro de un átomo es 2 y veces 10-10 metros.
El coeficiente es 2
El exponente es -10

Para resumir, la notación científica usa un número pequeño (entre 0 y 10) como coeficiente y multiplica ese número por 10 elevado a la potencia de un número llamado exponente.

Si el número es mayor o igual a 10, el exponente será positivo (pero no escribimos el signo +)

Si el número está entre 1 y 10, el exponente será cero (0)

Si el número está entre 0 y 1, el exponente será negativo (SÍ escribimos el signo - antes del valor del exponente)

coeficiente & por 10 - exponente

A veces, es posible que deba convertir un número dado en notación científica (notación exponencial) a un número de sistema decimal.
Por ejemplo, es posible que deba pesar 1,325 veces 103 gramos de sal de mesa (cloruro de sodio).
La pantalla digital de su balanza electrónica solo proporciona números en el sistema decimal, por lo que deberá convertir 1,325 y por 10 3 a un número del sistema decimal.
Debido a que el exponente es positivo (sin signo menos antes del valor del exponente) sabemos que necesitamos multiplicar "1.325" por "3" "y multiplicar por 10" s, es decir:

En efecto, estamos moviendo el punto decimal hacia la derecha. El número de lugares que se mueve el punto decimal es igual al valor del exponente:

punto decimal en el coeficiente y darr
coeficiente 1 . 3 2 5
mover el punto decimal 3 lugares a la derecha & uarr & rarr
1
& rarr
2
& rarr
3
y darr
número de sistema decimal 1 3 2 5 .

¿Qué pasaría si tuviéramos que pesar 7,6 y veces 10-3 gramos de sal de mesa (cloruro de sodio)?
Debido a que el exponente es negativo (un signo menos antes del valor del exponente) sabemos que necesitamos dividir 7,6 entre 10 3, o dividir 7,6 entre "3" "y multiplicado por 10" s, es decir:

7,6 y multiplicado por 10-3 = 7,6 y dividido 10 3 = 7,6 y dividido (10 y multiplicado por 10 y multiplicado por 10) = 7,6 y dividido 1000 = 0,0076

En este caso, estamos moviendo el punto decimal en el coeficiente hacia la izquierda. El número de lugares que se mueve es igual a la magnitud (tamaño) del exponente. Si no hay ningún número en la posición donde se mueve el punto decimal, insertamos un "0"

punto decimal en el coeficiente y darr
coeficiente 7 . 6
mover el punto decimal 3 lugares a la izquierda y darr & larr
3
& larr
2
& larr
1
& uarr
inserte ceros donde sea necesario . 0 0 7 6

Convertir un número a notación científica (notación exponencial)

Podemos escribir cualquier número usando notación científica (notación exponencial) si seguimos unos simples pasos:

La magnitud (o tamaño) de la exponente es ?

Si el número original es 10 o más, el exponente es positivo (NO incluya el signo +)

Si el número original está entre 1 y 10, el exponente es 0

Si el número original está entre 0 y 1, el exponente es negativo (DEBE incluir el signo -)

Ejemplos resueltos de escritura de números usando notación científica (notación exponencial)

Pregunta 1: Escribe el número 0.015 usando notación científica (notación exponencial).

La magnitud (o tamaño) de la exponente es 2

Si el número original es 10 o más, el exponente es positivo (NO incluya el signo +)

Si el número original está entre 1 y 10, el exponente es 0

Si el número original está entre 0 y 1, el exponente es negativo (DEBE incluir el signo -)

Pregunta 2: Escribe el número 256,35 usando notación científica (notación exponencial).

La magnitud (o tamaño) de la exponente es 2

Si el número original es 10 o más, el exponente es positivo (NO incluya el signo +)

Si el número original está entre 1 y 10, el exponente es 0

Si el número original está entre 0 y 1, el exponente es negativo (DEBE incluir el signo -)

Pregunta 3: Escribe el número 42.06 usando notación científica (notación exponencial).

La magnitud (o tamaño) de la exponente es 1

Si el número original es 10 o más, el exponente es positivo (NO incluya el signo +)

Si el número original está entre 1 y 10, el exponente es 0

Si el número original está entre 0 y 1, el exponente es negativo (DEBE incluir el signo -)

Pregunta 4: Escribe el número 3.56 usando notación científica (notación exponencial).

La magnitud (o tamaño) de la exponente es 0

Si el número original es 10 o más, el exponente es positivo (NO incluya el signo +)

Si el número original está entre 1 y 10, el exponente es 0

Si el número original está entre 0 y 1, el exponente es negativo (DEBE incluir el signo -)

Conversión de notación científica a un número de sistema decimal

Utilice los siguientes pasos para convertir un número dado en notación científica (notación exponencial) a un número de sistema decimal:

Exponente positivo: mueva el punto decimal a la derecha

Exponente = 0: no mueva el punto decimal

Exponente negativo: mueve el punto decimal a la izquierda

Ejemplos resueltos de conversión de números en notación científica a números de sistema decimal

Pregunta 1: Escriba 1,23 y multiplicado por 10 3 como un número del sistema decimal.

Exponente positivo: mueva el punto decimal a la derecha

exponente = 3 por lo tanto positivo (sin signo negativo)

Exponente = 0: no mueva el punto decimal

Exponente negativo: mueve el punto decimal a la izquierda

exponente = 3 así que mueva el punto decimal 3 lugares a la derecha

punto decimal en el coeficiente y darr
coeficiente 1 . 2 3
mover el punto decimal 3 lugares a la derecha & uarr & rarr
(1)
& rarr
(2)
& rarr
(3)
y darr
inserte ceros donde sea necesario 1 2 3 0 .

Pregunta 2: Escriba 4,76 y multiplicado por 10-2 como un número del sistema decimal.

Exponente positivo: mueva el punto decimal a la derecha

Exponente = 0: no mueva el punto decimal

Exponente negativo: mueve el punto decimal a la izquierda

exponente = -2 por lo tanto negativo (un signo menos)

exponente = -2 así que mueva el punto decimal 2 lugares a la izquierda

punto decimal en el coeficiente y darr
coeficiente 4 . 7 6
mover el punto decimal 2 lugares a la izquierda y darr & larr
(2)
& larr
(1)
& uarr
inserte ceros donde sea necesario . 0 4 7 6

Pregunta 3: Escriba 5,22 y multiplicado por 10 1 como un número del sistema decimal.

Exponente positivo: mueva el punto decimal a la derecha

exponente = 1 por lo tanto positivo (sin signo negativo)

Exponente = 0: no mueva el punto decimal

Exponente negativo: mueve el punto decimal a la izquierda

exponente = 1 así que mueve el punto decimal 1 lugar a la derecha

punto decimal en el coeficiente y darr
coeficiente 5 . 2 2
mover el punto decimal 1 lugar a la derecha & uarr & rarr
(1)
y darr
inserte ceros donde sea necesario 5 2 . 2

Pregunta 4: Escriba 9,45 y multiplicado por 10 0 como un número del sistema decimal.

Exponente positivo: mueva el punto decimal a la derecha

Exponente = 0: no mueva el punto decimal

exponente = 0 por lo tanto NO movemos el punto decimal

Exponente negativo: mueve el punto decimal a la izquierda

exponente = 0 así que NO mueva el punto decimal

(1) A veces, los ceros a la izquierda del último dígito distinto de cero en el número pueden ser significativos, en cuyo caso estos ceros deben retenerse en el coeficiente.
123450 donde el "0" es significativo se expresaría en notación científica como 1,23450 y multiplicado por 10 5
Si el "0" NO es significativo, entonces el número se expresa en notación científica como 1.2345 y multiplicado por 10 5

(2) Hay ocasiones en las que queremos que el coeficiente sea menor que 1 o mayor que 10.
Por ejemplo, si queremos sumar dos números en notación científica, o si queremos restar un número en notación científica de otro número en notación científica.
También es útil retener un coeficiente mayor cuando estamos convirtiendo entre unidades.
Por ejemplo, una conversión común en química es convertir el volumen en mL a un volumen en L:
25 mL = 25 mL y dividir 1000 mL / L = 25 y dividir 10 3 L = 25 y multiplicar por 10-3 L = 0.025 L
Para los cálculos, a menudo es más seguro usar 25 y veces 10-3 L porque evita errores en los cálculos debido a la colocación incorrecta del punto decimal o el número de ceros.


Cada formato de número requiere una cadena de formato para indicar no solo qué tipo de formato usar, sino también detalles sobre cuántos decimales mostrar. En todas las notaciones numéricas, la cadena de formato podría indicar cuántos dígitos mostrar para la fracción del número. P.ej. 0.00 + E0 forzaría una fracción de 2 decimales si fuera necesario o no.

La cadena de formato de Excel para la notación de ingeniería es similar a la notación científica, excepto que comienza con 3 hashes (#). Vea el ejemplo de arriba. La notación científica actual tanto en Excel como en OOo Calc es la misma excepto en este punto. Ambos usan E + para indicar la notación exponencial. Los dígitos después de esto indican cuántos dígitos usar para el exponente. P.ej. 0.0 + E000 forzaría 3 dígitos para el exponente, si no es necesario, se rellena con ceros. Otro uso de la cadena de formato de Excel es que no solo es posible la notación de ingeniería normal, sino también la notación en otros múltiplos. P.ej. #### E + 0 formatearía 153,100 como 15.310E + 4.

Una alternativa mencionada sería sustituir F por E en su lugar. En este caso ###. 000E + 00 sería equivalente a 0.000F + 0.


En April Fools 2018, se introdujeron dos nuevas notaciones (Infinity y Brackets). Si un jugador era posterior a la eternidad cuando ingresó por primera vez a la página en April Fools, su opción de notación se cambió automáticamente a lo que ahora es la notación entre corchetes. Hevipelle lo convirtió en "una nueva notación predeterminada" y estableció temporalmente el nombre de la notación en "Predeterminado". Estos cambios se cambiaron a lo que son ahora unos días después. Además, April Fools tuvo un evento aleatorio que hizo que tanto el tema como la notación cambiaran a Cáncer.

En April Fools 2020, todo se cambió para que coincida con "COVID-19", con los siguientes cambios: