Artículos

1.2: Números reales - Fundamentos de álgebra


Objetivos de aprendizaje

  • Clasifica un número real como natural, entero, entero, racional o irracional.
  • Realice cálculos usando el orden de operaciones.
  • Utilice las siguientes propiedades de los números reales: conmutativa, asociativa, distributiva, inversa e identidad.
  • Evalúa expresiones algebraicas.
  • Simplifica expresiones algebraicas.

A menudo se dice que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia. El primer uso de números ocurrió hace (100 ) siglos en el Medio Oriente para contar o enumerar elementos. Los agricultores, ganaderos y comerciantes usaban fichas, piedras o marcadores para indicar una sola cantidad: una gavilla de grano, una cabeza de ganado o un tramo fijo de tela, por ejemplo. Hacerlo hizo posible el comercio, lo que condujo a mejores comunicaciones y la expansión de la civilización.

Hace tres o cuatro mil años, los egipcios introdujeron las fracciones. Primero los usaron para mostrar recíprocos. Más tarde, los usaron para representar la cantidad cuando una cantidad se dividió en partes iguales.

Pero, ¿y si no hubiera ganado para comerciar o una cosecha entera de grano se perdiera en una inundación? ¿Cómo podría alguien indicar la existencia de nada? Desde los primeros tiempos, la gente había pensado en un "estado base" mientras contaba y utilizaba varios símbolos para representar esta condición nula. Sin embargo, no fue hasta aproximadamente el siglo V d.C. en la India que se agregó el cero al sistema numérico y se usó como un número en los cálculos.

Claramente, también era necesario que los números representaran pérdidas o deudas. En la India, en el siglo VII d.C., los números negativos se usaban como soluciones a ecuaciones matemáticas y deudas comerciales. Los opuestos de los números de conteo expandieron aún más el sistema numérico.

Debido a la evolución del sistema numérico, ahora podemos realizar cálculos complejos utilizando estas y otras categorías de números reales. En esta sección, exploraremos conjuntos de números, cálculos con diferentes tipos de números y el uso de números en expresiones.

Clasificando un número real

Los números que usamos para contar o enumerar elementos son los números naturales: (1, 2, 3, 4, 5 ) y así sucesivamente. Los describimos en notación de conjuntos como ( {1,2,3, ... } ) donde la elipsis (( cdots) ) indica que los números continúan hasta el infinito. Los números naturales, por supuesto, también se llaman números de conteo. Cada vez que enumeramos a los miembros de un equipo, contamos las monedas en una colección o contamos los árboles en una arboleda, estamos usando el conjunto de números naturales. El conjunto de números enteros es el conjunto de números naturales más cero: ( {0,1,2,3, ... } ).

El conjunto de enteros suma los opuestos de los números naturales al conjunto de números enteros: ( { cdots, -3, -2, -1,0,1,2,3, cdots } ). Es útil notar que el conjunto de enteros se compone de tres subconjuntos distintos: enteros negativos, cero y enteros positivos. En este sentido, los números enteros positivos son solo números naturales. Otra forma de pensarlo es que los números naturales son un subconjunto de los enteros.

[ begin {array} {ccc} [4pt] text {enteros negativos} & text {cero} & text {enteros positivos} [4pt] [4pt] cdots, -3, -2, -1 y 0 y 1,2,3, cdots [4pt] end {array} ]

El conjunto de números racionales se escribe como ( {mn paralelo text {myn son números enteros y} n eq 0 } ). Observe por la definición que los números racionales son fracciones (o cocientes) que contienen el numerador y el denominador, y el denominador nunca es (0 ). También podemos ver que todo número natural, número entero y entero es un número racional con un denominador de (1 ).

Como son fracciones, cualquier número racional también se puede expresar en forma decimal. Cualquier número racional se puede representar como:

  1. un decimal final: ( frac {15} {8} = 1.875 ), o
  2. un decimal periódico: ( frac {4} {11} = 0.36363636 cdots = 0. bar {36} )

Usamos una línea dibujada sobre el bloque repetido de números en lugar de escribir el grupo varias veces.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): escribir enteros como números racionales

Escribe cada uno de los siguientes como un número racional. Escribe una fracción con el número entero en el numerador y (1 ) en el denominador.

  1. (7)
  2. (0)
  3. (-8)

Solución

  1. (0 = frac {0} {1} )
  2. (- 8 = frac {8} {1} )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe cada uno de los siguientes como un número racional.

  1. (11)
  2. (3)
  3. (-4)
Respuesta
  1. ( frac {11} {1} )
  2. ( frac {3} {1} )
  3. (- frac {4} {1} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Identificación de números racionales

Escribe cada uno de los siguientes números racionales como un decimal final o repetido.

  1. (- frac {5} {7} )
  2. ( frac {15} {5} )
  3. ( frac {13} {25} )

Solución

  1. ( frac {15} {5} = 3 ) (o (3.0 )), un decimal final
  2. ( frac {13} {25} = 0.52 ), un decimal final

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Escribe cada uno de los siguientes números racionales como un decimal final o repetido.

  1. ( frac {68} {17} )
  2. ( frac {8} {13} )
  3. (- frac {13} {25} )
Respuesta
  1. (4 ) (o (4.0 )), terminando
  2. (0. overline {615384} ), repitiendo
  3. (- 0.85 ), terminando

Numeros irracionales

En algún momento del pasado antiguo, alguien descubrió que no todos los números son racionales. Un constructor, por ejemplo, puede haber descubierto que la diagonal de un cuadrado con lados unitarios no era (2 ) o incluso (32 ), sino que era otra cosa. O un fabricante de prendas de vestir podría haber observado que la relación entre la circunferencia y el diámetro de un rollo de tela era un poco mayor que (3 ), pero todavía no era un número racional. Se dice que tales números son irracionales porque no se pueden escribir como fracciones. Estos números forman el conjunto de números irracionales. Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción de dos números enteros. Es imposible describir este conjunto de números con una sola regla, excepto para decir que un número es irracional si no es racional. Entonces escribimos esto como se muestra.

[{h mid text {h no es un número racional}} ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): diferenciar números racionales e irracionales

Determina si cada uno de los siguientes números es racional o irracional. Si es racional, determine si es un decimal final o repetido.

  1. ( sqrt {25} )
  2. ( frac {33} {9} )
  3. ( sqrt {11} )
  4. ( frac {17} {34} )
  5. (0.3033033303333…)

Solución

  1. ( sqrt {25} ): Esto se puede simplificar como ( sqrt {25} = 5 ). Por lo tanto, ( sqrt {25} ) es racional.
  2. ( frac {33} {9} ): Debido a que es una fracción, ( frac {33} {9} ) es un número racional. Luego, simplifica y divide. [ frac {33} {9} = cancel { frac {33} {9}} nonumber ] Entonces, ( frac {33} {9} ) es racional y un decimal periódico.
  3. ( sqrt {11} ): Esto no se puede simplificar más. Por lo tanto, ( sqrt {11} ) es un número irracional.
  4. ( frac {17} {34} ): Debido a que es una fracción, ( frac {17} {34} ) es un número racional. Simplifica y divide. [ frac {17} {34} = 0.5 nonumber ] Entonces, ( frac {17} {34} ) es racional y un decimal final.
  5. (0.3033033303333… ) no es un decimal final. También tenga en cuenta que no hay un patrón repetido porque el grupo de (3s ) aumenta cada vez. Por lo tanto, no es un decimal final ni periódico y, por lo tanto, no es un número racional. Es un número irracional.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Determina si cada uno de los siguientes números es racional o irracional. Si es racional, determine si es un decimal final o repetido.

  1. ( frac {7} {77} )
  2. ( sqrt {81} )
  3. (4.27027002700027…)
  4. ( frac {91} {13} )
  5. ( sqrt {39} )
Respuesta
  1. racional y terminante;
  2. racional y repetitivo;
  3. irracional

Numeros reales

Dado cualquier número (n ), sabemos que (n ) es racional o irracional. No pueden ser ambos. Los conjuntos de números racionales e irracionales juntos forman el conjunto de números reales. Como vimos con los números enteros, los números reales se pueden dividir en tres subconjuntos: números reales negativos, cero y números reales positivos. Cada subconjunto incluye fracciones, decimales y números irracionales según su signo algebraico (+ o -). El cero no se considera ni positivo ni negativo.

Los números reales se pueden visualizar en una recta numérica horizontal con un punto arbitrario elegido como (0 ), con números negativos a la izquierda de (0 ) y números positivos a la derecha de (0 ). Luego, se usa una unidad de distancia fija para marcar cada número entero (u otro valor básico) a cada lado de (0 ). Cualquier número real corresponde a una posición única en la recta numérica. Lo contrario también es cierto: cada posición en la recta numérica corresponde exactamente a un número real. Esto se conoce como correspondencia uno a uno. Nos referimos a esto como la recta numérica real como se muestra en la Figura ( ( PageIndex {1} ))

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Clasificación de números reales

Clasifica cada número como positivo o negativo y como racional o irracional. ¿Está el número a la izquierda oa la derecha de (0 ) en la recta numérica?

  1. (- frac {10} {3} )
  2. (- sqrt {5} )
  3. (- 6π )
  4. (0.615384615384…)

Solución

  1. (- frac {10} {3} ) es negativo y racional. Se encuentra a la izquierda de (0 ) en la recta numérica.
  2. (- sqrt {5} ) es positivo e irracional. Se encuentra a la derecha de (0 ).
  3. (- sqrt {289} = - sqrt {17 ^ 2} = -17 ) es negativo y racional. Se encuentra a la izquierda de (0 ).
  4. (- 6π ) es negativo e irracional. Se encuentra a la izquierda de (0 ).
  5. (0.615384615384… ) es un decimal periódico, por lo que es racional y positivo. Se encuentra a la derecha de (0 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Clasifica cada número como positivo o negativo y como racional o irracional. ¿Está el número a la izquierda oa la derecha de (0 ) en la recta numérica?

  1. ( sqrt {73} )
  2. (-11.411411411…)
  3. ( frac {47} {19} )
  4. (- frac { sqrt {5}} {2} )
  5. (6.210735)
Respuesta
  1. positivo, irracional
  2. derecha negativa, racional
  3. izquierda positiva, racional
  4. correcto negativo, irracional
  5. izquierda positiva, racional; derecho

Conjuntos de números como subconjuntos

Comenzando con los números naturales, hemos expandido cada conjunto para formar un conjunto más grande, lo que significa que existe una relación de subconjunto entre los conjuntos de números que hemos encontrado hasta ahora. Estas relaciones se vuelven más obvias cuando se ven como un diagrama, como Figure ( ( PageIndex {2} )).

CONJUNTOS DE NÚMEROS

El conjunto de números naturales incluye los números utilizados para contar: ( {1,2,3, ... } ).

El conjunto de números enteros es el conjunto de números naturales más cero: ( {0,1,2,3, ... } ).

El conjunto de enteros suma los números naturales negativos al conjunto de números enteros: ( {..., - 3, -2, -1,0,1,2,3, ... } ).

El conjunto de números racionales incluye fracciones escritas como ( {mn paralelo text {myn son números enteros y} n eq 0 } ).

El conjunto de números irracionales es el conjunto de números que no son racionales, no se repiten y no terminan: ( {h paralelo text {h no es un número racional} } ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): diferenciar los conjuntos de números

Clasifica cada número como un número natural (N), un número entero (W), un número entero (I), un número racional (Q) y / o un número irracional (Q ′).

  1. ( sqrt {36} )
  2. ( frac {8} {3} )
  3. ( sqrt {73} )
  4. (-6)
  5. (3.2121121112…)

Solución

norteWIQQ '
una. ( sqrt {36} = 6 )XXXX
B. ( frac {8} {3} = 2. overline {6} )X
C. ( sqrt {73} )X
D. (- 6 )XX
mi. (3,2121121112 ... )X

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Clasifica cada número como un número natural (N), un número entero (W), un número entero (I), un número racional (Q) y / o un número irracional (Q ′).

  1. (- frac {35} {7} )
  2. (0)
  3. ( sqrt {169} )
  4. ( sqrt {24} )
  5. (4.763763763...)
Respuesta
norteWIQQ '
una. (- frac {35} {7} )XX
B. (0 )XXX
C. ( sqrt {169} )XXXX
D. ( sqrt {24} )X
mi. (4.763763763 ... )X

Realización de cálculos usando el orden de operaciones

Cuando multiplicamos un número por sí mismo, lo elevamos al cuadrado o lo elevamos a una potencia de (2 ). Por ejemplo, (4 ^ 2 = 4 times4 = 16 ). Podemos elevar cualquier número a cualquier potencia. En general, la notación exponencial an significa que el número o variable (a ) se usa como factor (n ) veces.

[a ^ n = a cdot a cdot a cdots a qquad text {n factores} nonumber ]

En esta notación, (a ^ n ) se lee como la (n ^ {th} ) potencia de (a ), donde (a ) se llama base y (n ) el exponente. Un término en notación exponencial puede ser parte de una expresión matemática, que es una combinación de números y operaciones. Por ejemplo, (24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 ) es una expresión matemática.

Para evaluar una expresión matemática, realizamos las distintas operaciones. Sin embargo, no los realizamos en ningún orden aleatorio. Usamos el orden de operaciones. Esta es una secuencia de reglas para evaluar tales expresiones.

Recuerde que en matemáticas usamos paréntesis (), corchetes [] y llaves {} para agrupar números y expresiones de modo que todo lo que aparezca dentro de los símbolos se trate como una unidad. Además, las barras de fracciones, radicales y barras de valor absoluto se tratan como símbolos de agrupación. Al evaluar una expresión matemática, comience por simplificar expresiones dentro de símbolos de agrupación.

El siguiente paso es abordar cualquier exponente o radical. Luego, realice la multiplicación y división de izquierda a derecha y finalmente la suma y resta de izquierda a derecha.

Echemos un vistazo a la expresión proporcionada.

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 nonumber ]

No hay símbolos de agrupación, por lo que pasamos a exponentes o radicales. El número (4 ) se eleva a una potencia de (2 ), así que simplifica (4 ^ 2 ) como (16 ).

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 nonumber ]

[24 + 6 veces dfrac {2} {3} - 16 nonumber ]

A continuación, realice una multiplicación o división, de izquierda a derecha.

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 16 nonumber ]

[24 + 4-16 nonumber ]

Por último, realice sumas o restas, de izquierda a derecha.

[24 + 4−16 nonumber ]

[28−16 nonumber ]

[12 nonumber ]

Por lo tanto,

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 = 12 nonumber ]

Para algunas expresiones complicadas, se necesitarán varios pasos a través del orden de operaciones. Por ejemplo, puede haber una expresión radical entre paréntesis que debe simplificarse antes de evaluar los paréntesis. Seguir el orden de las operaciones asegura que cualquiera que simplifique la misma expresión matemática obtendrá el mismo resultado.

ORDEN DE OPERACIONES

Las operaciones en expresiones matemáticas deben evaluarse en un orden sistemático, que se puede simplificar utilizando el acrónimo PEMDAS:

  • PAG(síntesis)
  • mi(xponentes)
  • METRO(ultiplicación) y D(ivision)
  • A(dición) y S(ubtracción)

CÓMO: Dada una expresión matemática, simplifícala usando el orden de las operaciones.

  1. Simplifique cualquier expresión dentro de los símbolos de agrupación.
  2. Simplifique cualquier expresión que contenga exponentes o radicales.
  3. Realice cualquier multiplicación y división en orden, de izquierda a derecha.
  4. Realiza cualquier suma y resta en orden, de izquierda a derecha.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso del orden de operaciones

Usa el orden de las operaciones para evaluar cada una de las siguientes expresiones.

  1. ( dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {11-2} )
  2. ( dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} )
  3. (7 times (5 times3) −2 times [(6−3) −4 ^ 2] +1 )

Solución

  1. [ begin {align *} (3 times2) ^ 2-4 times (6 + 2) & = (6) ^ 2-4 times (8) && qquad text {Simplificar paréntesis} & = 36-4 times8 && qquad text {Simplificar exponente} & = 36-32 && qquad text {Simplificar multiplicación} & = 4 && qquad text {Simplificar resta} end { alinear*}]
  2. [ begin {align *} dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {11-2} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {9} && qquad text {Simplificar símbolos de agrupación (radical)} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} -3 && qquad text {Simplificar radical} & = dfrac {25-4} { 7} -3 && qquad text {Simplificar exponente} & = dfrac {21} {7} -3 && qquad text {Simplificar la resta en el numerador} & = 3-3 && qquad text {Simplificar la división} & = 0 && qquad text {Simplificar la resta} end {align *} ]

Tenga en cuenta que en el primer paso, el radical se trata como un símbolo de agrupación, como paréntesis. Además, en el tercer paso, la barra de fracción se considera un símbolo de agrupación, por lo que el numerador se considera agrupado.

  1. [ begin {align *} 6- mid 5-8 mid +3 times (4-1) & = 6- | -3 | +3 times3 && qquad text {Simplificar dentro de los símbolos de agrupación} & = 6-3 + 3 times3 && qquad text {Simplifica el valor absoluto} & = 6-3 + 9 && qquad text {Simplifica la multiplicación} & = 3 + 9 && qquad text {Simplificar la resta} & = 12 && qquad text {Simplificar la suma} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} & = dfrac {14-3 times2} {2 times5-9} && qquad text { Simplificar exponente} & = dfrac {14-6} {10-9} && qquad text {Simplificar productos} & = dfrac {8} {1} && qquad text {Simplificar diferencias} & = 8 && qquad text {Simplificar cociente} end {align *} ]

En este ejemplo, la barra de fracción separa el numerador y el denominador, que simplificamos por separado hasta el último paso.

  1. [ begin {align *} 7 ​​times (5 times3) -2 times [(6-3) -4 ^ 2] + 1 & = 7 times (15) -2 times [(3) -4 ^ 2] +1 && qquad text {Simplificar entre paréntesis} & = 7 times (15) -2 times (3-16) +1 && qquad text {Simplificar exponente} & = 7 times (15) -2 times (-13) +1 && qquad text {Restar} & = 105 + 26 + 1 && qquad text {Multiplicar} & = 132 && qquad text {Agregar} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Usa el orden de las operaciones para evaluar cada una de las siguientes expresiones.

  1. ( sqrt {5 ^ 2-4 ^ 2} +7 veces (5-4) ^ 2 )
  2. (1+ dfrac {7 times5-8 times4} {9-6} )
  3. (| 1.8-4.3 | +0.4 times sqrt {15 + 10} )
  4. ( dfrac {1} {2} times [5 times3 ^ 2-7 ^ 2] + dfrac {1} {3} times9 ^ 2 )
  5. ([(3-8^2)-4]-(3-8))
Respuesta
  1. (10)
  2. (2)
  3. (4.5)
  4. (25)
  5. (26)

Usar propiedades de números reales

Para algunas actividades que realizamos, el orden de ciertas operaciones no importa, pero el orden de otras operaciones sí. Por ejemplo, no importa si nos ponemos el zapato derecho antes que el izquierdo o viceversa. Sin embargo, importa si nos ponemos primero los zapatos o los calcetines. Lo mismo es cierto para las operaciones en matemáticas.

Propiedades conmutativas

La propiedad conmutativa de la suma establece que los números se pueden sumar en cualquier orden sin afectar la suma.

[a + b = b + a ]

Podemos ver mejor esta relación cuando usamos números reales.

((- 2) +7 = 5 text {y} 7 + (- 2) = 5 )

Del mismo modo, el propiedad conmutativa de la multiplicación establece que los números se pueden multiplicar en cualquier orden sin afectar el producto.

[a times b = b times a ]

Nuevamente, considere un ejemplo con números reales.

((- 11) times (−4) = 44 ) y ((- 4) times (−11) = 44 )

Es importante notar que ni la resta ni la división son conmutativas. Por ejemplo, (17−5 ) no es lo mismo que (5−17 ). De manera similar, (20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20 ).

Propiedades asociativas

La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que no importa cómo agrupemos los números al multiplicar. Podemos mover los símbolos de agrupación para facilitar el cálculo y el producto sigue siendo el mismo.

[a (bc) = (ab) c ]

Considere este ejemplo.

((3 times4) times5 = 60 text {y} 3 times (4 times5) = 60 )

La propiedad asociativa de la suma nos dice que los números se pueden agrupar de manera diferente sin afectar la suma.

[a + (b + c) = (a + b) + c ]

Esta propiedad puede resultar especialmente útil cuando se trata de números enteros negativos. Considere este ejemplo.

([15 + (- 9)] + 23 = 29 text {y} 15 + [(- 9) +23] = 29 )

¿Son asociativas la resta y la división? Revise estos ejemplos.

[ begin {align *} 8- (3-15) overset {?} {=} & (8-3) -15 8 - (- 12) overset {?} {=} y 5-15 20 eq & 20-10 64 div (8 div 4) overset {?} {=} & (64 div 8) div 4 64 div 2 overset {?} {=} & 8 div 4 32 eq & 2 end {align *} ]

Como podemos ver, ni la resta ni la división son asociativas.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva establece que el producto de un factor por una suma es la suma del factor por cada término de la suma.

[a times (b + c) = a times b + a times c ]

Esta propiedad combina la suma y la multiplicación (y es la única propiedad que lo hace). Consideremos un ejemplo.

Tenga en cuenta que (4 ) está fuera de los símbolos de agrupación, por lo que distribuimos (4 ) multiplicándolo por (12 ), multiplicándolo por (- 7 ) y sumando los productos.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Para ser más precisos al describir esta propiedad, decimos que la multiplicación se distribuye sobre la suma. Lo contrario no es cierto, como podemos ver en este ejemplo.

[ begin {align *} 6+ (3 times5) overset {?} {=} & (6 + 3) times (6 times5) 6+ (15) overset {?} {= } & (9) times (11) 21 eq & 99 end {align *} ]

La multiplicación no se distribuye sobre la resta, y la división no se distribuye ni sobre la suma ni la resta.

Un caso especial de propiedad distributiva ocurre cuando se resta una suma de términos.

[a − b = a + (- b) ]

Por ejemplo, considere la diferencia (12− ​​(5 + 3) ). Podemos reescribir la diferencia de los dos términos (12 ) y ((5 + 3) ) convirtiendo la expresión de resta en la suma del opuesto. Entonces, en lugar de restar ((5 + 3) ), agregamos lo opuesto.

(12 + (- 1) veces (5 + 3) ])

Ahora, distribuya (- 1 ) y simplifique el resultado.

[ begin {align *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 1) times (5 + 3) & = 12 + [(- 1) times5 + (- 1) times3] & = 12 + (- 8) & = 4 end {align *} ]

Esto parece un gran problema para una simple suma, pero ilustra un resultado poderoso que será útil una vez que introduzcamos términos algebraicos. Para restar una suma de términos, cambie el signo de cada término y sume los resultados. Con esto en mente, podemos reescribir el último ejemplo.

[ begin {align *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 5-3) & = 12-8 & = 4 end {align *} ]

Propiedades de identidad

La propiedad de identidad de la suma establece que hay un número único, llamado identidad aditiva ((0) ) que, cuando se agrega a un número, da como resultado el número original.

[a + 0 = a ]

La propiedad de identidad de la multiplicación establece que hay un número único, llamado identidad multiplicativa ((1) ) que, cuando se multiplica por un número, da como resultado el número original.

[a times 1 = a ]

Por ejemplo, tenemos ((−6) + 0 = −6 ) y (23 times1 = 23 ). No hay excepciones para estas propiedades; funcionan para todos los números reales, incluidos (0 ) y (1 ).

Propiedades inversas

La propiedad inversa de la suma establece que, para cada número real a, hay un número único, llamado inverso aditivo (u opuesto), denotado (- a ), que, cuando se suma al número original, da como resultado el aditivo identidad, (0 ).

[a + (- a) = 0 ]

Por ejemplo, si (a = −8 ), el inverso aditivo es (8 ), ya que ((- 8) + 8 = 0 ).

La propiedad inversa de la multiplicación es válida para todos los números reales excepto (0 ) porque el recíproco de (0 ) no está definido. La propiedad establece que, para cada número real (a ), hay un número único, llamado inverso multiplicativo (o recíproco), denotado (1a ), que, cuando se multiplica por el número original, da como resultado el multiplicativo identidad, (1 ).

[a times dfrac {1} {a} = 1 ]

Por ejemplo, si (a = - dfrac {2} {3} ), el recíproco, denotado ( dfrac {1} {a} ), es (- dfrac {3} {2} ) porque

(a⋅ dfrac {1} {a} = left (- dfrac {2} {3} right) times left (- dfrac {3} {2} right) = 1 )

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Las siguientes propiedades son válidas para los números reales (a ), (b ) y (c ).

Tabla ( PageIndex {1} )
AdiciónMultiplicación
Propiedad conmutativa (a + b = b + a ) (a times b = b times a )
Propiedad asociativa (a + (b + c) = (a + b) + c ) (a (bc) = (ab) c )
Propiedad distributiva

(a times (b + c) = a times b + a times c )

Propiedad de identidad

Existe un número real único llamado identidad aditiva, 0, tal que, para cualquier número real un

(a + 0 = a )

Existe un número real único llamado identidad multiplicativa, 1, tal que, para cualquier número real un

(a times 1 = a )

Propiedad inversa

Todo número real a tiene un inverso aditivo, o un opuesto, denotado –a, tal que

(a + (- a) = 0 )

Todo número real a distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, o recíproco, denotado 1a, tal que

(a times left ( dfrac {1} {a} right) = 1 )

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Uso de propiedades de números reales

Usa las propiedades de los números reales para reescribir y simplificar cada expresión. Indique qué propiedades se aplican.

  1. (3 por 6 + 3 por 4 )
  2. ((5+8)+(−8))
  3. (6−(15+9))
  4. ( dfrac {4} {7} times left ( dfrac {2} {3} times dfrac {7} {4} right) )
  5. (100 veces [0,75 + (- 2,38)] )

Solución

  1. [ begin {align *} 3 times6 + 3 times4 & = 3 times (6 + 4) qquad text {Propiedad distributiva} & = 3 times10 qquad text {Simplificar} & = 30 qquad text {Simplificar} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} (5 + 8) + (- 8) & = 5+ [8 + (- 8)] qquad text {Propiedad asociativa de la suma} & = 5 + 0 qquad text {Propiedad inversa de la suma} & = 5 qquad text {Propiedad de identidad de la suma} end {align *} ]
  3. [ begin {align *} 6- (15 + 9) & = 6 + [(- 15) + (- 9)] qquad text {Propiedad distributiva} & = 6 + (- 24) qquad text {Simplificar} & = - 18 qquad text {Simplificar} end {align *} ]
  4. [ begin {align *} dfrac {4} {7} times left ( dfrac {2} {3} times dfrac {7} {4} right) & = dfrac {4} { 7} times left ( dfrac {7} {4} times dfrac {2} {3} right) qquad text {Propiedad conmutativa de la multiplicación} & = left ( dfrac {4} {7} times dfrac {7} {4} right) times dfrac {2} {3} qquad text {Propiedad asociativa de la multiplicación} & = 1 times dfrac {2} {3 } qquad text {Propiedad inversa de la multiplicación} & = dfrac {2} {3} qquad text {Propiedad de identidad de la multiplicación} end {align *} ]
  5. [ begin {align *} 100 times [0.75 + (- 2.38)] & = 100 times0.75 + 100 times (-2.38) qquad text {Propiedad distributiva} & = 75 + (- 238) qquad text {Simplificar} & = - 163 qquad text {Simplificar} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Usa las propiedades de los números reales para reescribir y simplificar cada expresión. Indique qué propiedades se aplican.

  1. ( left (- dfrac {23} {5} right) times left [11 times left (- dfrac {5} {23} right) right] )
  2. (5 veces (6.2 + 0.4) )
  3. (18-(7-15))
  4. ( dfrac {17} {18} + left [ dfrac {4} {9} + left (- dfrac {17} {18} right) right] )
  5. (6 veces (-3) +6 veces3 )
Respuesta
  1. (33 ), propiedad distributiva
  2. ( dfrac {4} {9} ), propiedad conmutativa de la suma, propiedad asociativa de la suma, propiedad inversa de la suma, propiedad de identidad de la suma
  3. (0 ), propiedad distributiva, propiedad inversa de la suma, propiedad identidad de la suma

Evaluar expresiones algebraicas

Hasta ahora, las expresiones matemáticas que hemos visto han involucrado solo números reales. En matemáticas, podemos ver expresiones como (x +5 ), ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) o ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} ) . En la expresión (x +5 ), (5 ) se llama constante porque no varía y (x ) se llama variable porque lo hace. (Al nombrar la variable, ignore cualquier exponente o radical que contenga la variable). expresión algebraica es una colección de constantes y variables unidas por las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división.

Ya hemos visto algunos ejemplos de números reales de notación exponencial, un método abreviado para escribir productos del mismo factor. Cuando se utilizan variables, las constantes y variables se tratan de la misma manera.

[ begin {align *} (-3) ^ 5 & = (- 3) times (-3) times (-3) times (-3) times (-3) Rightarrow x ^ 5 = x times x times x times x times x (2 times7) ^ 3 & = (2 times7) times (2 times7) times (2 times7) qquad ; ; Flecha derecha (yz) ^ 3 = (yz) times (yz) times (yz) end {align *} ]

En cada caso, el exponente nos dice cuántos factores de la base usar, si la base consiste en constantes o variables.

Cualquier variable en una expresión algebraica puede tomar o asignar valores diferentes. Cuando eso sucede, el valor de la expresión algebraica cambia. Evaluar una expresión algebraica significa determinar el valor de la expresión para un valor dado de cada variable en la expresión. Reemplaza cada variable en la expresión con el valor dado, luego simplifica la expresión resultante usando el orden de las operaciones. Si la expresión algebraica contiene más de una variable, reemplace cada variable con su valor asignado y simplifique la expresión como antes.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Describir expresiones algebraicas

Enumere las constantes y variables para cada expresión algebraica.

  1. (x + 5 )
  2. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 )
  3. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} )

Solución

ConstantesVariables
una. (x + 5 )(5)(X)
B. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) ( dfrac {4} {3} ), ( pi ) (r )
C. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} )(2)(Minnesota)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Enumere las constantes y variables para cada expresión algebraica.

  1. (2 (largo + ancho) )
  2. (4y ^ 3 + y )
Respuesta
ConstantesVariables
una. (2 pi r (r + h) ) (2 ), ( pi )(Rh)
B. (2 (largo + ancho) )(2) (L ), (W )
C. (4y ^ 3 + y )(4) (y )

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Evaluación de una expresión algebraica en diferentes valores

Evalúa la expresión (2x − 7 ) para cada valor de (x ).
  1. (x = 0 )
  2. (x = 1 )
  3. (x = 12 )
  4. (x = −4 )

Solución

  1. Sustituye (0 ) por (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (0) -7 & = 0-7 & = -7 end {align *} ]
  2. Sustituye (1 ) por (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (1) -7 & = 2-7 ​​ & = -5 end {align *} ]
  3. Sustituya ( dfrac {1} {2} ) por (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 left ( dfrac {1} {2} right) -7 & = 1-7 & = -6 end {align * } ]
  4. Sustituye (- 4 ) por (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (-4) -7 & = -8-7 & = -15 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Evalúa la expresión (11−3y ) para cada valor de (y ).

  1. (y = 2 )
  2. (y = 0 )
  3. (y = dfrac {2} {3} )
  4. (y = −5 )
Respuesta
  1. (11)
  2. (26)

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Evaluación de expresiones algebraicas

Evalúa cada expresión para los valores dados.

  1. (X + 5 ) para (x = -5 )
  2. ( dfrac {t} {2t-1} ) para (t = 10 )
  3. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) para (r = 5 )
  4. (a + ab + b ) para (a = 11 ), (b = -8 )
  5. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} ) para (m = 2 ), (n = 3 )

Solución

  1. Sustituir (- 5 ) para (x ). [ begin {align *} x + 5 & = (-5) +5 & = 0 end {align *} ]
  2. Sustituye (10 ​​) por (t ). [ begin {align *} dfrac {t} {2t-1} & = dfrac {(10)} {2 (10) -1} & = dfrac {10} {20-1} & = dfrac {10} {19} end {align *} ]
  3. Sustituye (5 ) por (r ). [ begin {align *} dfrac {4} {3} pi r ^ 3 & = dfrac {4} {3} pi (5) ^ 3 & = dfrac {4} {3} pi (125) & = dfrac {500} {3} pi end {align *} ]
  4. Sustituye (11 ) por (a ) y (- 8 ) por (b ). [ begin {align *} a + ab + b & = (11) + (11) (- 8) + (- 8) & = 11-88-8 & = -85 end {alinear*}]
  5. Sustituye (2 ) por (m ) y (3 ) por (n ). [ begin {align *} sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} & = sqrt {2 (2) ^ 3 (3) ^ 2} & = sqrt {2 (8) (9)} & = sqrt {144} & = 12 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Evalúa cada expresión para los valores dados.

  1. ( dfrac {y + 3} {y-3} ) para (y = 5 )
  2. (7-2t ) para (t = -2 )
  3. ( dfrac {1} {3} pi r ^ 2 ) para (r = 11 )
  4. ((p ^ 2 q) ^ 3 ) para (p = -2 ), (q = 3 )
  5. (4 (m-n) -5 (n-m) ) para (m = dfrac {2} {3} ) (n = dfrac {1} {3} )
Respuesta
  1. (4)
  2. (11)
  3. ( dfrac {121} {3} pi )
  4. (1728)
  5. (3)

Fórmulas

Una ecuación es una declaración matemática que indica que dos expresiones son iguales. Las expresiones pueden ser numéricas o algebraicas. La ecuación no es intrínsecamente verdadera o falsa, sino solo una proposición. Los valores que hacen que la ecuación sea verdadera, las soluciones, se encuentran usando las propiedades de los números reales y otros resultados. Por ejemplo, la ecuación (2x + 1 = 7 ) tiene la solución única de (3 ) porque cuando sustituimos (3 ) por (x ) en la ecuación, obtenemos el enunciado verdadero ( 2 (3) + 1 = 7 ).

Una fórmula es una ecuación que expresa una relación entre cantidades constantes y variables. Muy a menudo, la ecuación es un medio para encontrar el valor de una cantidad (a menudo una sola variable) en términos de otra u otras cantidades. Uno de los ejemplos más comunes es la fórmula para encontrar el área (A ) de un círculo en términos del radio (r ) del círculo: (A = pi r ^ 2 ). Para cualquier valor de (r ), el área (A ) se puede encontrar evaluando la expresión ( pi r ^ 2 ).

Ejemplo ( PageIndex {12} ): uso de una fórmula

Un cilindro circular recto con radio (r ) y altura (h ) tiene el área de superficie (S ) (en unidades cuadradas) dada por la fórmula (S = 2 pi r (r + h) ). Vea la Figura ( PageIndex {3} ). Encuentra el área de la superficie de un cilindro con radio (6 ) pulg y altura (9 ) pulg. Deja la respuesta en términos de ( pi ).

Evalúa la expresión (2 pi r (r + h) ) para (r = 6 ) y (h = 9 ).

Solución

[ begin {align *} S & = 2 pi r (r + h) & = 2 pi (6) [(6) + (9)] & = 2 pi (6) ( 15) & = 180 pi end {align *} ]

El área de la superficie es (180 pi ) pulgadas cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Una fotografía de largo (L ) y ancho (W ) se coloca en un mate de ancho (8 ) centímetros (cm). El área del mate (en centímetros cuadrados, o (cm ^ 2 ) resulta ser (A = (L + 16) (W + 16) - L ) ⋅W.Ver la figura ( PageIndex {4} ). Encuentra el área de un mate para una fotografía con un largo (32 ) cm y un ancho (24 ) cm.

Respuesta

(1152cm ^ 2 )

Simplificar expresiones algebraicas

A veces podemos simplificar una expresión algebraica para que sea más fácil de evaluar o usar de alguna otra manera. Para hacerlo, usamos las propiedades de los números reales. Podemos usar las mismas propiedades en fórmulas porque contienen expresiones algebraicas.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): simplificar expresiones algebraicas

Simplifica cada expresión algebraica.

  1. (3x-2y + x-3y-7 )
  2. (2r-5 (3-r) +4 )
  3. ( left (4t- dfrac {5} {4} s right) - left ( dfrac {2} {3} t + 2s right) )
  4. (2mn-5m + 3mn + n )

Solución

  1. [ begin {align *} 3x-2y + x-3y-7 & = 3x + x-2y-3y-7 && qquad text {Propiedad conmutativa de la suma} & = 4x-5y-7 && qquad text {Simplificar} end {alinear *} ]
  2. [ begin {align *} 2r-5 (3-r) + 4 & = 2r-15 + 5r + 4 && qquad qquad qquad text {Propiedad distributiva} & = 2r + 5y-15 + 4 && qquad qquad qquad text {Propiedad conmutativa de la suma} & = 7r-11 && qquad qquad qquad text {Simplificar} end {align *} ]
  3. [ begin {align *} left (4t- dfrac {5} {4} s right) - left ( dfrac {2} {3} t + 2s right) & = 4t- dfrac { 5} {4} s- dfrac {2} {3} t-2s && qquad text {Propiedad distributiva} & = 4t- dfrac {2} {3} t- dfrac {5} {4 } s-2s && qquad text {Propiedad conmutativa de la suma} & = dfrac {10} {3} t- dfrac {13} {4} s && qquad text {Simplify} end {alinear*}]
  4. [ begin {align *} 2mn-5m + 3mn + n & = 2mn + 3mn-5m + n && qquad text {Propiedad conmutativa de la suma} & = 5mn-5m + n && qquad text {Simplificar } end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Simplifica cada expresión algebraica.

  1. ( dfrac {2} {3} y − 2 left ( dfrac {4} {3} y + z right) )
  2. ( dfrac {5} {t} −2− dfrac {3} {t} +1 )
  3. (4p (q − 1) + q (1 − p) )
  4. (9r− (s + 2r) + (6 − s) )
Respuesta
  1. (- 2y − 2z ) o (- 2 (y + z) )
  2. ( dfrac {2} {t} −1 )
  3. (3pq − 4p + q )
  4. (7r − 2s + 6 )

Ejemplo ( PageIndex {14} ): simplificar una fórmula

Un rectángulo de largo (L ) y ancho (W ) tiene un perímetro (P ) dado por (P = L + W + L + W ). Simplifica esta expresión.

Solución

[ begin {align *} P & = L + W + L + W P & = L + L + W + W && qquad text {Propiedad conmutativa de la suma} P & = 2L + 2W && qquad text {Simplificar} P & = 2 (L + W) && qquad text {Propiedad distributiva} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Si la cantidad (P ) se deposita en una cuenta que paga interés simple (r ) durante el tiempo (t ), el valor total del depósito (A ) viene dado por (A = P + Prt ). Simplifica la expresión. (Esta fórmula se explorará con más detalle más adelante en el curso).

Respuesta

(A = P (1 + rt) )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con números reales.

  • Simplificar una expresión
  • Evaluar una expresión1
  • Evaluar una expresión2

Conceptos clave

  • Los números racionales pueden escribirse como fracciones o como decimales finales o periódicos. Ver ejemplo y ejemplo.
  • Determina si un número es racional o irracional escribiéndolo como decimal. Ver ejemplo.
  • Los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de números reales. Ver ejemplo. Un número puede clasificarse como natural, entero, entero, racional o irracional. Ver ejemplo.
  • El orden de las operaciones se usa para evaluar expresiones. Ver ejemplo.
  • Los números reales bajo las operaciones de suma y multiplicación obedecen a reglas básicas, conocidas como propiedades de los números reales. Estas son las propiedades conmutativas, las propiedades asociativas, la propiedad distributiva, las propiedades de identidad y las propiedades inversas. Ver ejemplo.
  • Las expresiones algebraicas se componen de constantes y variables que se combinan mediante suma, resta, multiplicación y división. Ver ejemplo. Toman un valor numérico cuando se evalúan reemplazando variables con constantes. Ver ejemplo, ejemplo y ejemplo
  • Las fórmulas son ecuaciones en las que una cantidad se representa en términos de otras cantidades. Pueden simplificarse o evaluarse como cualquier expresión matemática. Ver ejemplo y ejemplo.

Verbal

¿Es ( sqrt {2} ) un ejemplo de un número racional terminante, racional repetitivo o irracional? Di por qué encaja en esa categoría.

numero irracional. La raíz cuadrada de dos no termina y no repite un patrón. No se puede escribir como un cociente de dos números enteros, por lo que es irracional.

¿Cuál es el orden de las operaciones? ¿Qué acrónimo se utiliza para describir el orden de las operaciones y qué significa?

¿Qué nos permiten hacer las Propiedades Asociativas al seguir el orden de operaciones? Explica tu respuesta.

Las propiedades asociativas establecen que la suma o el producto de varios números se pueden agrupar de manera diferente sin afectar el resultado. Esto se debe a que se realiza la misma operación (suma o resta), por lo que los términos se pueden reordenar.

Numérico

Para los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.

Algebraico

Para los siguientes ejercicios, resuelve la variable.

Para los siguientes ejercicios, simplifique la expresión.

Aplicaciones del mundo real

Para los siguientes ejercicios, considere este escenario: Fred gana $ 40 cortando césped. Gasta $ 10 en mp3, pone la mitad de lo que queda en una cuenta de ahorros y obtiene otros $ 5 para lavar el auto de su vecino.

Escribe la expresión que represente la cantidad de dólares que Fred se queda (y no pone en su cuenta de ahorros). Recuerda el orden de las operaciones.

¿Cuánto dinero guarda Fred?

Para los siguientes ejercicios, resuelva el problema dado.

Según la U.S. Mint, el diámetro de un cuarto es de 0,955 pulgadas. La circunferencia del cuarto sería el diámetro multiplicado por π. ¿Es la circunferencia de un cuarto un número entero, un número racional o un número irracional?

Jessica y su compañera de cuarto, Adriana, han decidido compartir un frasco de cambio para gastos conjuntos. Jessica puso su cambio suelto en el frasco primero, y luego Adriana puso el cambio en el frasco. Sabemos que no importa en qué orden se agregó el cambio al frasco. ¿Qué propiedad de la suma describe este hecho?

Para los siguientes ejercicios, considere este escenario: Hay un montículo de libras de grava en una cantera. A lo largo del día, se agregan 400 libras de grava al montículo. Se venden dos pedidos de 600 libras y se retira la grava del montículo. Al final del día, el montículo tiene 1,200 libras de grava.

Escribe la ecuación que describe la situación.

Para el siguiente ejercicio, resuelva el problema dado.

Ramon dirige el departamento de marketing de su empresa. Su departamento obtiene un presupuesto todos los años, y todos los años, debe gastar todo el presupuesto sin pasarse. Si gasta menos que el presupuesto, entonces su departamento obtiene un presupuesto menor el año siguiente. A principios de este año, Ramón recibió $ 2.5 millones para el presupuesto anual de marketing. Debe gastar el presupuesto de tal manera que 2.500.000 − x = 0. ¿Qué propiedad de la suma nos dice cuál es el valor de X ¿debe ser?

propiedad inversa de la suma

Tecnología

Para los siguientes ejercicios, use una calculadora gráfica para resolver X. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

Extensiones

Si un número entero no es un número natural, ¿cuál debe ser el número?

Determina si el enunciado es verdadero o falso: el inverso multiplicativo de un número racional también es racional.

Determina si el enunciado es verdadero o falso: el producto de un número racional e irracional es siempre irracional.

Determina si la expresión simplificada es racional o irracional: −18−4 (5) (- 1) ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

Determina si la expresión simplificada es racional o irracional: −16 + 4 (5) + 5‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

¿La división de dos números enteros siempre resultará en qué tipo de número?

¿Qué propiedad de los números reales simplificaría la siguiente expresión: 4 + 7 (x − 1)?

Glosario

expresión algebraica
constantes y variables combinadas usando suma, resta, multiplicación y división
propiedad asociativa de la suma
la suma de tres números puede agruparse de manera diferente sin afectar el resultado; en símbolos, a + (b + c) = (a + b) + c
propiedad asociativa de la multiplicación
el producto de tres números puede agruparse de manera diferente sin afectar el resultado; en símbolos, a⋅ (b⋅c) = (a⋅b) ⋅c
base
en notación exponencial, la expresión que se está multiplicando
propiedad conmutativa de la suma
se pueden agregar dos números en cualquier orden sin afectar el resultado; en símbolos, a + b = b + a
propiedad conmutativa de la multiplicación
dos números se pueden multiplicar en cualquier orden sin afectar el resultado; en símbolos, a⋅b = b⋅a
constante
una cantidad que no cambia de valor
Propiedad distributiva
el producto de un factor por una suma es la suma del factor por cada término de la suma; en símbolos, a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c
ecuación
una declaración matemática que indica que dos expresiones son iguales
exponente
en notación exponencial, el número elevado o variable que indica cuántas veces se está multiplicando la base
notación exponencial
un método abreviado para escribir productos del mismo factor
fórmula
una ecuación que expresa una relación entre cantidades constantes y variables
propiedad de identidad de la suma
hay un número único, llamado identidad aditiva, 0, que, cuando se agrega a un número, da como resultado el número original; en símbolos, a + 0 = a
propiedad de identidad de la multiplicación
hay un número único, llamado identidad multiplicativa, 1, que, cuando se multiplica por un número, da como resultado el número original; en símbolos, a⋅1 = a
enteros
el conjunto que consta de los números naturales, sus opuestos y 0: {…, −3, −2, −1,0,1,2,3,…}
propiedad inversa de la suma
para cada número real a, hay un número único, llamado inverso aditivo (u opuesto), denotado como − a, que, cuando se suma al número original, da como resultado la identidad aditiva, 0; en símbolos, a + (- a) = 0
propiedad inversa de la multiplicación
para cada número real distinto de cero a, hay un número único, llamado inverso multiplicativo (o recíproco), denotado 1a, que, cuando se multiplica por el número original, da como resultado la identidad multiplicativa, 1; en símbolos, a⋅1a = 1
Numeros irracionales
el conjunto de todos los números que no son racionales; no pueden escribirse ni como decimal ni como decimal ni repetido; no se pueden expresar como una fracción de dos enteros
números naturales
el conjunto de números de conteo: {1,2,3,…}
Orden de operaciones
un conjunto de reglas que gobiernan cómo se evaluarán las expresiones matemáticas, asignando prioridades a las operaciones
numeros racionales
el conjunto de todos los números de la forma mn, donde n son enteros y n ≠ 0. Cualquier número racional puede escribirse como una fracción o un decimal final o repetido.
recta numérica real
una línea horizontal utilizada para representar los números reales. Se elige un punto fijo arbitrario para representar 0; los números positivos se encuentran a la derecha del 0 y los números negativos a la izquierda.
numeros reales
los conjuntos de números racionales y números irracionales tomados juntos
variable
una cantidad que puede cambiar de valor
números enteros
el conjunto que consta de 0 más los números naturales: {0,1,2,3,…}

Razonamiento matemático

No es necesario tener una "mente matemática" para aprobar el examen GED ® Math; solo necesita la preparación adecuada.

Esto es lo que necesita saber:

  • Debe estar familiarizado con los conceptos matemáticos, las medidas, las ecuaciones y la aplicación de conceptos matemáticos para resolver problemas de la vida real.
  • No es necesario que memorice fórmulas y se le entregará una hoja de fórmulas en el centro de pruebas, así como en la pantalla durante la prueba.
  • Utilice la Guía de estudio de matemáticas gratuita para comenzar a estudiar. Le ayudará a comprender las habilidades que se están evaluando. Inicie sesión para comenzar a usar la guía de estudio.
  • El examen de práctica de matemáticas GED Ready ® puede ayudarlo a determinar si está listo para tomar el examen real. Inicie sesión para realizar el examen de práctica.

Pruebe una pregunta de muestra

Resumen de la pregunta

Esta pregunta requiere que ordene un conjunto de fracciones y decimales de menor a mayor. Primero, todos los números deben convertirse al mismo formato, ya sea todas las fracciones o todos los decimales, luego los números resultantes se colocan en orden. (NOTA: En el examen de Razonamiento matemático de GED ®, no tendría una calculadora disponible para esta pregunta).

Se muestra una lista de números

¿Qué lista muestra los números ordenados de menor a mayor?

La opción A es correcta. Esta respuesta es el resultado de convertir los decimales en fracciones o las fracciones en decimales, luego comparar los resultados y colocar los números originales en el orden correcto.

La opción B es incorrecta. Si seleccionó esta respuesta, comparó incorrectamente los números distintos de cero en los decimales con los denominadores en las fracciones, antes de intentar colocarlos en orden numérico.

La opción C es incorrecta. Si seleccionó esta respuesta, cometió un error con el 0.07, lo leyó incorrectamente como 0.7 y lo colocó entre 0.6 y 4⁄5.

La opción D es incorrecta. Si seleccionó esta respuesta, cometió un error de cálculo al convertir, obteniendo una respuesta de 0.4 y colocándola entre 1⁄8 y 1⁄2.


ÁLGEBRA

Las cuatro operaciones y sus signos.
La función de los paréntesis.
Términos versus factores.
Potencias y exponentes.
El orden de las operaciones.
Valores y valoraciones.
Evaluar expresiones algebraicas.

Los enteros.
El signo algebraico y el valor absoluto.
Restar un número mayor de uno menor.
La recta numérica.
El negativo de cualquier número.

"Sumando" un número negativo.
Términos de denominación. La regla para agregar términos.
Restar un número negativo.

La regla de la simetría. Reglas conmutativas. Inversa.
Dos reglas para ecuaciones.

La definición de recíprocos. La definición de división. Reglas para 0.

Paréntesis. Soportes. Tirantes.
La relación de b & menos a con a & menos b.

La ley de las inversas.
Transposición.
Una secuencia lógica de declaraciones.
Ecuaciones fraccionarias simples.

Ecuaciones de valor absoluto.
Desigualdades de valor absoluto.

Poderes de un número.
Reglas de exponentes: cuándo sumar, cuándo multiplicar.

La definición de un polinomio en x.
Factorizar polinomios.
Factorizar por agrupación.
Ecuaciones en las que lo desconocido es un factor común.

Cuadráticas en diferentes argumentos.

Trinomios cuadrados perfectos.
El cuadrado de un trinomio.
Completando el cuadrado.
Álgebra geométrica.

Resumen de multiplicar / factorizar.
Factorizar por agrupación.
La suma y diferencia de dos potencias cualesquiera: a n & plusmn b n.

Exponentes negativos. Exponente 0. Notación científica.

Expresiones racionales. El principio de fracciones equivalentes. Reducir a los términos más bajos.

El mínimo común múltiplo (LCM) de una serie de términos.

El todo es igual a la suma de las partes.
Problema al mismo tiempo: Upstream-downstream.
Problema de tiempo total. Problema laboral.

Raíces cuadradas.
Ecuaciones x & sup2 = a, y la raíz cuadrada principal.
Racionalizar un denominador.
Numeros reales.

Raíces de números. El índice de un radical.
Exponentes fraccionarios.
Exponentes negativos.

La raíz cuadrada de un número negativo.
Los componentes reales e imaginarios.
Pares conjugados.

La distancia de un punto al origen.
La distancia entre dos puntos cualesquiera.
Una prueba del teorema de Pitágoras.

La ecuación de primer grado y su gráfica.
Líneas verticales y horizontales.

Forma de intersección de pendiente de la ecuación de una línea recta. La forma general.
Líneas paralelas y perpendiculares.
La fórmula punto-pendiente. La fórmula de dos puntos.

El método de adición. El método de sustitución. Regla de Cramer: el método de los determinantes.
Tres ecuaciones en tres incógnitas.

Problemas de inversión. Problemas de mezcla.
Problemas aguas arriba-aguas abajo.

Las raíces de una cuadrática.
Solución por factorización.
Completando el cuadrado.
La fórmula cuadrática.
El discriminante.
La gráfica de una cuadrática: una parábola.

Definición. Las tres leyes de los logaritmos.
Logaritmos comunes.

Variación directa. La constante de proporcionalidad.
Varía según el cuadrado. Varía inversamente. Varía como el cuadrado inverso.


Ejemplo 2: Resolver un problema del mundo real dados dos puntos

El departamento de matemáticas patrocina la Noche de diversión familiar de matemáticas todos los años. En el primer año, hubo 35 participantes. En el tercer año hubo 57 participantes.

  • Escribe una ecuación que pueda usarse para predecir la cantidad de participantes, y, para un año dado, x.
  • Según su ecuación, ¿cuántos participantes se pronostican para el quinto año?

Paso 1: Identifica tus dos puntos.

Sea y = número de participantes

Sabemos que el primer año hubo 35 participantes. Esto se puede escribir como (1,35)

En el tercer año, hubo 57 participantes. Esto se puede escribir como (3,57).

Por lo tanto, nuestros dos puntos son (1,35) y (3,57)

Ingresemos esta información en nuestro gráfico.

Ahora que tenemos una ecuación, podemos usar esta ecuación para determinar cuántos participantes se pronostican para el quinto año.

¡Todo lo que tenemos que hacer es sustituir!

Sustituiremos 5 por x (x es el año) y resolveremos para y.

Hay 79 participantes previstos para el quinto año.

¡Y eso es! No está tan mal, ¿verdad? Espero que esté aprendiendo a reconocer puntos, pendientes e intersecciones y al leer problemas del mundo real.

También puede visitar nuestra lección sobre cómo escribir ecuaciones usando la forma de punto-pendiente.

Comentarios

¿Necesita más ayuda con sus estudios de álgebra?

¡Obtenga acceso a cientos de ejemplos de videos y practique problemas con su suscripción! & # Xa0

Haga clic aquí para obtener más información sobre nuestras asequibles opciones de suscripción.

¿No estás listo para suscribirte? & # Xa0 Regístrate en nuestro curso de actualización de preálgebra GRATUITO.

MIEMBROS DEL CURSO ELECTRÓNICO CLASE DE ÁLGEBRA

Haga clic aquí para obtener más información sobre nuestros cursos electrónicos de clase de álgebra.


Juegos de matemáticas de tercer grado

Los juegos de matemáticas de tercer grado en esta página web se enfocan en varios temas importantes como valor posicional, suma y resta de números enteros y decimales, multiplicación y división de números enteros, conceptos de longitud, perímetro, área y tiempo, características de figuras geométricas, así como recopilar, organizar, mostrar e interpretar datos.

¡Aprender matemáticas nunca ha sido tan divertido!

¿Eres un mago de las matemáticas? Haz desaparecer 20 conejitos resolviendo problemas de suma, resta y multiplicación muy rápidamente.

Sé parte de la emoción de jugar a las carreras de coches con este fantástico juego de carreras de matemáticas con reagrupación. Aquí agregarás números correctamente para continuar en la carrera hasta la línea de meta. Trabaja rápido para que puedas cruzar la línea de meta primero.

Este es un juego de Tic Tac Toe divertido e interactivo sobre la clasificación de números enteros como pares o impares.

Redondea los números correctamente en este divertido juego de piratas matemáticos en línea para buscar el cofre del tesoro.

Juega a este espeluznante juego de matemáticas de Halloween y practica tus habilidades de medición matemática para destruir muchos monstruos. Por cada respuesta correcta, entrarás en una ronda de bonificación en la que podrás ganar puntos aplastando monstruos. Los problemas de matemáticas tratan de medir el tiempo, el volumen y la masa.

Disfruta de la diversión de las carreras de autos con este gran juego de carreras de matemáticas. Debes resolver problemas de las cuatro operaciones para continuar en la carrera hasta la meta. Trabaja rápido para que puedas cruzar la línea de meta primero.

La diversión, la emoción, el rugido de los motores están aquí en este juego de carreras de matemáticas. Multiplica hasta 100. Multiplica números de forma rápida y precisa para llegar a la bandera a cuadros.

Escuche el rugido de los motores, vea las curvas cerradas a medida que se acercan rápidamente en este juego de carreras de matemáticas Divida dentro de 100. Debe dividir números rápidamente para continuar en la carrera hacia la línea de meta o su "auto de carreras" podría girar y su carrera está hecho.

Datos de multiplicación hasta 12 Juego de béisbol
Diviértete practicando tus habilidades de multiplicación jugando a este emocionante juego de Hechos de multiplicación matemática de béisbol hasta 12.

Los estudiantes de 3er grado se divertirán identificando términos matemáticos importantes cuando jueguen a este juego de vocabulario interactivo. Para cada definición, los estudiantes tendrán solo 60 segundos para identificar la palabra correcta.

Adquiera grandes habilidades matemáticas con este juego de matemáticas de Halloween de redondeo de tercer grado y obtenga mucha práctica para redondear números a la decena más cercana.

Juega a este divertido e interactivo juego y haz desaparecer 20 conejitos haciendo coincidir rápidamente diferentes problemas de división con la respuesta correcta.

División hasta 100 Juego de béisbol
Aprenda y mejore sus habilidades de multiplicación jugando a esta emocionante División de Béisbol Matemática hasta 100 Juegos.

En este trepidante juego de carreras de autos, los estudiantes practicarán las tablas de multiplicar hasta 10 por 10.

En este divertido juego de baloncesto, los jóvenes estudiantes se divertirán multiplicando números de un dígito.

Une los problemas de redondeo con las soluciones correctas de estos pequeños conejitos en este divertido juego de redondeo de magos matemáticos.

En este juego, los estudiantes multiplicarán números de uno, dos y tres dígitos por 5, 6, 7, 8 y 9. Los niños pueden jugar este juego solos o en equipo.

En este juego de carreras de ritmo rápido, los estudiantes usarán sumas repetidas para modelar problemas de multiplicación.

En este juego de matemáticas de ritmo rápido, los estudiantes identificarán y usarán la propiedad conmutativa, asociativa y de identidad de la multiplicación.

En este juego, los estudiantes multiplicarán números de 2 dígitos por números de 1 dígito. Pueden jugarlo solos o en parejas.

En este juego, los estudiantes contarán varias monedas estadounidenses y unirán las imágenes de las monedas con las cantidades correctas.

En este divertido juego de fútbol, ​​los estudiantes sumarán números de dos dígitos para tener la oportunidad de patear la pelota y sumar puntos.

En este juego de fútbol interactivo, los estudiantes de segundo grado practicarán sumar números de 2 dígitos.

Los estudiantes de tercer grado se divertirán dividiendo números pequeños cuando jueguen este juego de baloncesto matemático.

En este divertido juego de valor posicional, los estudiantes deben pasar la pelota al receptor para que tengan la oportunidad de responder un problema y ganar puntos.

Este juego es adecuado para estudiantes de tercer grado y estudiantes de inglés de todas las edades. El objeto de cada problema es hacer coincidir los relojes analógicos con la frase correcta.

En este juego de baloncesto interactivo, los estudiantes de tercer grado practicarán cómo decir la hora de los relojes analógicos a los minutos más cercanos.

¿Quién tiene? ¡Tengo!

Este es un juego de tiempo imprimible que puede usarse como una actividad en el aula con estudiantes de primaria.

Une los problemas de multiplicación con las soluciones correctas de estos pequeños conejitos en este divertido juego de multiplicación del mago matemático.

Regrese de la página de Juegos de matemáticas de tercer grado a la página de Juegos de matemáticas de primaria oa la página de inicio de Math Play.


La mecánica clásica como modelado generativo

Recordemos las clases de física. Los primeros temas que le enseñaron fueron fuerza, movimiento, tiempo, velocidad, aceleración en los casos simples de 1D. Incluso antes de aprender la diferenciación o la integración en las clases de cálculo, puede calcular fácilmente la velocidad del objeto en función del tiempo y las posiciones relacionadas. La misma estrategia podría aplicarse a mecánicas más complicadas como fuerza de resorte, péndulo, mecánica multidimensional, etc. Solo sustituye fórmulas por las adecuadas y vuelve a hacer las rutinas de cálculo. El proceso simplificado de tal modelado sería el siguiente:

  • Identificar quéobjeto se está moviendo, cuáles son las posiciones, el origen del sistema de coordenadas, las condiciones iniciales
  • Encuentra el apropiadomodelo que describe el comportamiento del objeto dado en las condiciones dadas
  • Resuelve elecuación del modelo con las condiciones dadas y encuentre la velocidad, aceleración u otra variable
  • Analizar el solución y su validez

Por ejemplo, en el caso de un sistema de péndulo (en las ilustraciones de arriba), puede definir el objeto dinámica modelo como un equilibrio entre su energía cinética y potencial en un Lagrangiano, y si lo resuelves para un solo grado de libertad (el ángulo de oscilación), obtienes el ecuación del movimiento trayectoria, que puedes resolver para diferentes condiciones.

Al igual que muestreamos caras, gatos y canciones con GAN, podríamos muestrear movimientos complejos de movimientos de objetos físicos simplemente resolviendo ecuaciones. Por siglos. Literalmente nos llevó a la luna. Sin gigabytes de datos y GPU para redes neuronales profundas.

Apuesto a que no te enseñaron este ángulo en la clase de física. Si tiene la fórmula exacta para este péndulo, tiene su "Péndulo-GAN": solo necesita muestrear la longitud, la gravedad, la amplitud, etc. e insertarlos en la fórmula: de esta manera puede generar tantos péndulos como desee. La única diferencia de que GAN tiene algún vector cuasialeatorio como entrada y fórmula es una red neuronal de caja negra entrenada con datos. A continuación se muestran un par de ilustraciones de trayectorias muestreadas y el código que puede encontrar aquí.


Perspectiva matemática

donde la variable var toma sucesivamente cada valor en secuencia. Para cada uno de esos valores, el código representado por código se ejecuta con var teniendo ese valor de la secuencia.

A continuación, mostramos algunos ejemplos sencillos del uso de un bucle for en R.

Imprimir una lista de números

Digamos que queremos imprimir una lista de números del 0 al 3, inclusive. En R, el comando 0: 3 creará un vector con los números del 0 al 3, como puede ver ingresando ese comando en el símbolo del sistema de R & gt:

(Al comienzo de la salida, R imprime un [1] para hacerle saber que las líneas comienzan con la primera entrada del vector).

Podríamos crear un bucle for simple que recorra los cuatro números de 0: 3 e imprima cada número.

R genera cuatro líneas, una para cada número. (Al escribir el bucle for en el símbolo del sistema R & gt, R agrega un + al principio de la línea para indicar que el comando continúa. Omitimos esos signos + para mayor claridad).

Si no desea que R imprima el [1] al principio de la línea, puede usar el comando cat (concatenar) en su lugar, pero necesita agregar explícitamente un carácter de nueva línea n para imprimir cada número en su propia línea .

Podríamos asignar el vector de números a una variable y luego hacer referencia a la variable en el bucle for. Funcionaría exactamente de la misma manera.

Usar bucles for con vectores

Los bucles for son especialmente convenientes cuando se trabaja con vectores. A menudo queremos iterar sobre cada elemento en un vector y hacer algunos cálculos con cada elemento del vector. También podemos usar bucles for para crear o extender vectores, ya que R automáticamente hará que un vector sea más grande para acomodar los valores que le asignamos.

Primero, creemos un vector usando el comando c (combine) que se ilustra en la página sobre creación de vectores.

Para cualquier entero $ i $ entre 1 y 4, x [i] denota el $ i $ ésimo elemento del vector.

Podemos usar un bucle for para agregar uno al primer elemento de x, agregar dos al segundo elemento de x, etc. Dejamos usar la variable n para almacenar el número de elementos en x (es decir, 4). En el ciclo, usaremos la variable i para recorrer los números 1, 2, 3, 4.

El bucle for es equivalente a ejecutar los cuatro comandos:

Este bucle for crea un vector con cinco componentes donde cada componente es el doble del anterior.


1.2: Números reales - Fundamentos de álgebra

Pregunta: ¿cuál es la suma de los primeros 100 números enteros? ¿Cómo se supone que debo resolver esto de manera eficiente? Gracias

La pregunta que hizo se relaciona con un famoso matemático, Gauss. En la escuela primaria a finales de 1700 y rsquos, se le pidió a Gauss que encontrara la suma de los números del 1 al 100. La pregunta fue asignada como "trabajo ocupado" por el maestro, pero Gauss encontró la respuesta con bastante rapidez al descubrir un patrón. Su observación fue la siguiente:

Gauss notó que si tuviera que dividir los números en dos grupos (1 a 50 y 51 a 100), podría sumarlos verticalmente para obtener una suma de 101.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + y hellip + 48 + 49 + 50

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + y hellip + 53 + 52 + 51

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.
.
.
48 + 53 = 101
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101

Gauss se dio cuenta entonces de que su total final sería 50 (101) = 5050.

La secuencia de números (1, 2, 3 y hellip, 100) es aritmética y cuando buscamos la suma de una secuencia, la llamamos serie. Gracias a Gauss, existe una fórmula especial que podemos usar para encontrar la suma de una serie:

S es la suma de la serie yn es el número de términos de la serie, en este caso, 100.

Hay otras formas de solucionar este problema. Puede, por ejemplo, memorizar la fórmula

Esta es una serie aritmética, para la cual la fórmula es:
S = n [2a + (n-1) d] / 2
donde a es el primer término, d es la diferencia entre términos y n es el número de términos.
Para la suma de los primeros 100 números enteros:
a = 1, d = 1 y n = 100
Por lo tanto, sub en la fórmula:
S = 100 [2 (1) + (100-1) (1)] / 2 = 100 [101] / 2 = 5050

También puede usar propiedades especiales de la secuencia particular que tiene.

Una ventaja de usar la técnica de Gauss es que no tiene que memorizar una fórmula, pero ¿qué debe hacer si hay un número impar de términos para agregar para que no pueda dividirlos en dos grupos, por ejemplo? ¿Suma de los primeros 21 números enteros? "De nuevo escribimos la secuencia" hacia adelante y hacia atrás "pero usando la secuencia completa.

1 + 2 + 3 + . + 19 + 20 + 21
21 + 20 + 19 + . + 3 + 2 + 1


Matemáticas para el aficionado al bricolaje

Es posible que las matemáticas no hayan sido tu materia favorita en la escuela, pero te guste o no es parte de casi todos los proyectos de mejoras para el hogar.

Es posible que esté tratando de averiguar cuántos pies cuadrados hay en una habitación para poder comprar la cantidad correcta de pintura o piso, o tal vez esté haciendo algo un poco más complicado, como calcular el volumen de una habitación para dimensionar un ventilador de baño. o calcular la cantidad de pies de tabla en un trozo de madera.

Pero no dejes que tus ojos se pongan vidriosos todavía, porque todo lo que necesitas para manejar todo esto y más es una calculadora básica y algunas fórmulas simples.

Medidas de área

Los cálculos de área tienen en cuenta dos de las tres dimensiones. Puede ser ancho y largo, como cuando se mide un piso, o ancho y alto, como cuando se mide una pared. Para los siguientes ejemplos, usaremos una habitación rectangular de 10 pies de ancho, 12 pies de largo y 8 pies de alto.

Área del piso o techo: Multiplica la longitud por el ancho (10 pies x 12 pies = 120 pies cuadrados de área).

Área de una pared: Multiplica el ancho de la pared por su altura. Entonces, una de las paredes mide 80 pies cuadrados (10 pies de ancho x 8 pies de alto) y la otra mide 96 pies cuadrados (12 pies x 8 pies). Si necesita el total de pies cuadrados de las paredes, para calcular pintura o papel tapiz, por ejemplo, puede simplificar el cálculo sumando primero todas las longitudes de las paredes y luego multiplicando por la altura (10 + 12 + 10 + 12 = 44 x 8 = 352 pies cuadrados de área total de la pared).

Área en yardas cuadradas: Hay 3 pies en una yarda, por lo que hay un total de 9 pies cuadrados en una yarda cuadrada (3 x 3). Para calcular la cantidad de yardas cuadradas en nuestra habitación de ejemplo, lo que quizás desee hacer al pedir una alfombra, divida la cantidad total de pies cuadrados del piso por 9 (120 pies cuadrados / 9 = 13.33 yardas cuadradas).

Área en pulgadas cuadradas: Hay 12 pulgadas en un pie, por lo que hay 144 pulgadas cuadradas en un pie cuadrado (12 x 12). Para convertir un área de pies cuadrados a pulgadas cuadradas, simplemente multiplique por 144 (nuestra habitación tiene 17.280 pulgadas cuadradas).

Área de un triángulo: Si desea calcular el área de un espacio triangular, como un hastial, necesita una fórmula simple: 1/2 x base x altura. Esto significa que multiplicas .5 x la base del triángulo x la altura del triángulo. Entonces, si el hastial tiene 18 pies de ancho en la base y 6 pies de alto desde la base hasta el pico, contiene 54 pies cuadrados (.5 x 18 pies x 6 pies = 54 pies cuadrados).

Área de un círculo: La fórmula para esto es: pi x radio2 (pi = 3,1416). Digamos que tiene un espacio circular de 22 pies de ancho. Esa distancia es el diámetro, y la mitad, o 11 pies, es el radio. Entonces el cálculo sería: (3.1416 x 11 x 11 = 380.13 pies cuadrados).

Circunferencia de un círculo: La circunferencia de un círculo es la distancia total a su alrededor, que a menudo es útil para poder calcular. Para hacer eso, necesita esta fórmula: pi x diámetro. Para nuestro círculo de 22 pies de diámetro, la circunferencia sería de 69,12 pies (3,1416 x 22).

Medidas cúbicas

Cuando las medidas de área eran bidimensionales, las medidas cúbicas toman en consideración las tres dimensiones. Esto le dirá el volumen de un área determinada, desde el tamaño de un ventilador hasta el pedido de concreto para una base.

Volumen de una habitación: Para el volumen en pies cúbicos de nuestra habitación de ejemplo desde arriba, simplemente multiplique el ancho por el largo por la altura: (10 pies x 12 pies x 8 pies = 960 pies cúbicos).

Volumen en yardas cúbicas: Hay 27 pies cúbicos en una yarda cúbica (3 x 3 x 3). Entonces, si desea convertir pies cúbicos en yardas cúbicas, lo cual es necesario al ordenar tierra, grava y concreto, simplemente divida la cantidad de pies cúbicos por 27. Por ejemplo, si tiene una cimentación de 2 pies de ancho, 20 pies de largo y 1-1 / 2 pies de alto, primero calcule los pies cúbicos, luego convierta a yardas cúbicas: (2 pies x 20 pies x 1,5 pies = 60 pies cúbicos / 27 = 2,22 yardas cúbicas).

Volumen en pulgadas cúbicas: Hay 1,728 pulgadas cúbicas en un pie cúbico (12 x 12 x 12). Para convertir los pies cúbicos del ejemplo anterior en pulgadas cúbicas, debe multiplicar por 1,728 (60 pies cúbicos x 1,728 = 103,680 pulgadas cúbicas).

Muchos tipos de madera se venden por pie de tabla. Esta unidad de medida única se refiere a una tabla de 1 pie de largo, 1 pie de ancho y 1 pulgada de grosor. Siempre que desee saber cuántos pies de tabla hay en una pieza determinada de madera, use la siguiente fórmula: T x W x L / 12, donde T = el grosor de la tabla en pulgadas, W = el ancho de la tabla en pulgadas y L = la longitud de la tabla en pies.

Por ejemplo, suponga que tiene un trozo de madera de 2 x 8 que mide 16 pies de largo. Usando la fórmula, puede determinar que la tabla contiene 21,33 pies tablares (2 pulgadas x 8 pulgadas x 16 pies / 12 = 21,33).


Multiplicación para colorear

Esperamos que te gusten estas hojas de trabajo de multiplicación. Si te gustan, echa un vistazo a Coloring Squared: Multiplication and Division. Recopila nuestras páginas de multiplicación y división básicas y avanzadas en un impresionante libro para colorear.

Colorear al cuadrado: multiplicación y división $ 9.95

Hay algunos niveles de dificultad diferentes para cada función. Coloca el cursor sobre una imagen para ver cómo se ve el PDF. Luego, puede hacer clic en cualquiera de las imágenes para abrir el PDF. Luego puede imprimir el PDF.

Jr. Multiplicación



Hojas de trabajo de multiplicación - Básico



Hojas de trabajo de multiplicación - Avanzado



Coloring Squared intentará proporcionarle nuevas hojas de trabajo con frecuencia. Envíenos sus comentarios sobre las páginas que ha utilizado y disfrutado. O díganos qué le gustaría ver en uno de nuestros próximos libros.
Envíenos un correo electrónico a: [email & # 160protected]

Esperamos que los niños hayan disfrutado de estas páginas gratuitas para colorear de matemáticas. Pruebe nuestras páginas para colorear matemáticas gratuitas y nuestros cómics, dibujos animados y videojuegos. Pronto habrá más actividades gratuitas para niños. ¡Vuelve a menudo para ver las novedades!


Ver el vídeo: Multiplicación y División de Números Reales (Septiembre 2021).