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6.4: Funciones logarítmicas - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Convierta de forma logarítmica a exponencial.
  • Convierte de forma exponencial a logarítmica.
  • Evalúa logaritmos.
  • Utilice logaritmos comunes.
  • Usa logaritmos naturales.

En 2010, un gran terremoto sacudió Haití, destruyendo o dañando más de 285.000 hogares. Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, destruyendo o dañando más de 332.000 edificios.como los que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ). Aunque ambos causaron daños sustanciales, el terremoto de 2011 fue 100 veces más fuerte que el terremoto de Haití. ¿Como sabemos? Las magnitudes de los terremotos se miden en una escala conocida como Escala de Richter. El terremoto de Haití registró un 7,0 en la escala de Richtermientras que el terremoto de Japón registró un 9,0.

La escala de Richter es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un terremoto de magnitud (8 ) no es el doble de grande que un terremoto de magnitud (4 ). Es

[10 ^ {8−4} = 10 ^ 4 = 10,000 nonumber ]

veces tan grande! En esta lección, investigaremos la naturaleza de la escala de Richter y la función de base diez de la que depende.

Conversión de forma logarítmica a exponencial

Para analizar la magnitud de los terremotos o comparar las magnitudes de dos terremotos diferentes, necesitamos poder convertir entre forma logarítmica y exponencial. Por ejemplo, suponga que la cantidad de energía liberada por un terremoto fuera 500 veces mayor que la cantidad de energía liberada por otro. Queremos calcular la diferencia de magnitud. La ecuación que representa este problema es (10 ​​^ x = 500 ), donde (x ) representa la diferencia de magnitudes en la escala de Richter. ¿Cómo resolveríamos (x )?

Todavía no hemos aprendido un método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas discutidas hasta ahora es suficiente para resolver (10 ​​^ x = 500 ). Sabemos que ({10} ^ 2 = 100 ) y ({10} ^ 3 = 1000 ), por lo que está claro que (x ) debe tener algún valor entre 2 y 3, ya que (y = {10} ^ x ) está aumentando. Podemos examinar una gráfica, como en la Figura ( PageIndex {1} ), para estimar mejor la solución.

Sin embargo, estimar a partir de un gráfico es impreciso. Para encontrar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que la gráfica de la Figura ( PageIndex {2} ) pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial (y = b ^ x ) es uno a uno, por lo que su inversa, (x = b ^ y ) también es una función. Como es el caso con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos (x ) y (y ) y resolvemos (y ) para encontrar la función inversa. Para representar (y ) como una función de (x ), usamos una función logarítmica de la forma (y = { log} _b (x) ). La base (b ) logaritmo de un número es el exponente por el cual debemos elevar (b ) para obtener ese número.

Leemos una expresión logarítmica como, "El logaritmo con base (b ) de (x ) es igual a (y )", o, simplificado, "log base (b ) de (x ) ) es (y ) ". También podemos decir, " (b ) elevado a la potencia de (y ) es (x )", porque los registros son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo base (2 ) de (32 ) es (5 ), porque (5 ) es el exponente que debemos aplicar a (2 ) para obtener (32 ). Como (2 ^ 5 = 32 ), podemos escribir ({ log} _232 = 5 ). Leemos esto como "log base (2 ) de (32 ) es (5 )".

Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su forma exponencial correspondiente de la siguiente manera:

[ begin {align} log_b (x) = y Leftrightarrow b ^ y = x, b> 0, b neq 1 end {align} ]

Tenga en cuenta que la base (b ) siempre es positiva.

Debido a que el logaritmo es una función, se escribe más correctamente como ( log_b (x) ), usando paréntesis para denotar la evaluación de la función, tal como lo haríamos con (f (x) ). Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o número, es común ver los paréntesis descartados y la expresión escrita sin paréntesis, como ( log_bx ). Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de (x ).

Podemos ilustrar la notación de logaritmos de la siguiente manera:

Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se cambian. Esto significa que (y = log_b (x) ) y (y = b ^ x ) son funciones inversas.

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA

Un logaritmo base (b ) de un número positivo (x ) satisface la siguiente definición.

Para (x> 0 ), (b> 0 ), (b ≠ 1 ),

[ begin {align} y = { log} _b (x) text {es equivalente a} b ^ y = x end {align} ]

dónde,

  • leemos ({ log} _b (x) ) como, “el logaritmo con base (b ) de (x )” o el “log base (b ) de (x ). "
  • el logaritmo (y ) es el exponente al que se debe elevar (b ) para obtener (x ).

Además, dado que las funciones logarítmica y exponencial cambian los valores (x ) y (y ), el dominio y el rango de la función exponencial se intercambian por la función logarítmica. Por lo tanto,

  • el dominio de la función logarítmica con base (b ) es ((0, infty) ).
  • el rango de la función logarítmica con base (b ) es ((- infty, infty) ).

Preguntas y respuestas: ¿Podemos tomar el logaritmo de un número negativo?

No. Debido a que la base de una función exponencial es siempre positiva, ninguna potencia de esa base puede ser negativa. Nunca podemos tomar el logaritmo de un número negativo. Además, no podemos tomar el logaritmo de cero. Las calculadoras pueden generar un logaritmo de un número negativo cuando están en modo complejo, pero el logaritmo de un número negativo no es un número real.

Cómo: Dada una ecuación en forma logarítmica ({ log} _b (x) = y ), convertirla a forma exponencial

  1. Examina la ecuación (y = { log} _bx ) e identifica (b ), (y ) y (x ).
  2. Reescribe ({ log} _bx = y ) como (b ^ y = x ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Conversión de forma logarítmica a forma exponencial

Escribe las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial.

  1. ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} )
  2. ({ log} _3 (9) = 2 )

Solución

Primero, identifica los valores de (b ), (y ) y (x ). Luego, escribe la ecuación en la forma (b ^ y = x ).

  1. ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} )

    Aquí, (b = 6 ), (y = dfrac {1} {2} ) y (x = sqrt {6} ). Por lo tanto, la ecuación ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} ) es equivalente a

    (6 ^ { tfrac {1} {2}} = sqrt {6} )

  2. ({ log} _3 (9) = 2 )

    Aquí, (b = 3 ), (y = 2 ) y (x = 9 ). Por tanto, la ecuación ({ log} _3 (9) = 2 ) es equivalente a

(3^2=9)

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial.

  1. ({ log} _ {10} (1,000,000) = 6 )
  2. ({ log} _5 (25) = 2 )
Responde una

({ log} _ {10} (1,000,000) = 6 ) es equivalente a ({10} ^ 6 = 1,000,000 )

Respuesta b

({ log} _5 (25) = 2 ) es equivalente a (5 ^ 2 = 25 )

Conversión de forma exponencial a logarítmica

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos a la inversa. Identificamos la base (b ), el exponente (x ) y la salida (y ). Luego escribimos (x = { log} _b (y) ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Conversión de forma exponencial a forma logarítmica

Escribe las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica.

  1. (2^3=8)
  2. (5^2=25)
  3. ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10,000} )

Solución

Primero, identifica los valores de (b ), (y ) y (x ). Luego, escribe la ecuación en la forma (x = { log} _b (y) ).

  1. (2^3=8)

    Aquí, (b = 2 ), (x = 3 ) y (y = 8 ). Por lo tanto, la ecuación (2 ^ 3 = 8 ) es equivalente a ({ log} _2 (8) = 3 ).

  2. (5^2=25)

    Aquí, (b = 5 ), (x = 2 ) y (y = 25 ). Por lo tanto, la ecuación (5 ^ 2 = 25 ) es equivalente a ({ log} _5 (25) = 2 ).

  3. ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10,000} )

    Aquí, (b = 10 ), (x = −4 ) y (y = dfrac {1} {10,000} ). Por lo tanto, la ecuación ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10,000} ) es equivalente a ({ log} _ {10} left ( dfrac {1} {10,000} derecha) = - 4 ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Escribe las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica.

  1. (3^2=9)
  2. (5^3=125)
  3. (2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )
Responde una

(3 ^ 2 = 9 ) es equivalente a ({ log} _3 (9) = 2 )

Respuesta b

(5 ^ 3 = 125 ) es equivalente a ({ log} _5 (125) = 3 )

Respuesta c

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} ) es equivalente a ({ log} _2 left ( dfrac {1} {2} right) = - 1 )

Evaluación de logaritmos

Conocer los cuadrados, los cubos y las raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere ({ log} _28 ). Preguntamos: "¿A qué exponente se debe elevar (2 ) para obtener 8?" Como ya sabemos (2 ^ 3 = 8 ), se deduce que ({ log} _28 = 3 ).

Ahora considere resolver mentalmente ({ log} _749 ) y ({ log} _327 ).

  • Preguntamos: "¿A qué exponente debe elevarse (7 ) para obtener (49 )?" Sabemos (7 ^ 2 = 49 ). Por lo tanto, ({ log} _749 = 2 )
  • Preguntamos: "¿A qué exponente debe elevarse (3 ) para obtener (27 )?" Sabemos (3 ^ 3 = 27 ). Por lo tanto, ( log_ {3} 27 = 3 )

Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados se pueden evaluar sin una calculadora. Por ejemplo, evaluemos ( log _ { ce {2/3}} frac {4} {9} ) mentalmente.

  • Preguntamos: “¿A qué exponente debe elevarse ( ce {2/3} ) para obtener ( ce {4/9} )? ”Sabemos (2 ^ 2 = 4 ) y (3 ^ 2 = 9 ), entonces [{ left ( dfrac {2} {3} right)} ^ 2 = dfrac {4} {9}. nonumber ] Por lo tanto, [{ log} _ { ce {2/3}} left ( dfrac {4} {9} right) = 2. sin número]

Cómo: dado un logaritmo de la forma (y = { log} _b (x) ), evaluarlo mentalmente

  1. Reescribe el argumento (x ) como una potencia de (b ): (b ^ y = x ).
  2. Usa el conocimiento previo de las potencias de (b ) identifica (y ) preguntando, "¿A qué exponente debería elevarse (b ) para obtener (x )?"

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolver logaritmos mentalmente

Resuelve (y = { log} _4 (64) ) sin usar una calculadora.

Solución

Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: (4 ^ y = 64 ). A continuación, preguntamos: "¿A qué exponente debe elevarse (4 ) para obtener (64 )?"

Sabemos

(4^3=64)

Por lo tanto,

({ log} _4 (64) = 3 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resuelve (y = { log} _ {121} (11) ) sin usar una calculadora.

Respuesta

({ log} _ {121} (11) = dfrac {1} {2} ) (recordando que ( sqrt {121} = {(121)} ^ { tfrac {1} {2} } = 11) )

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Evaluación del logaritmo de un recíproco

Evalúe (y = { log} _3 left ( dfrac {1} {27} right) ) sin usar una calculadora.

Solución

Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: (3 ^ y = dfrac {1} {27} ). A continuación, preguntamos: "¿A qué exponente debe elevarse (3 ) para obtener ( dfrac {1} {27} )?"

Sabemos (3 ^ 3 = 27 ), pero ¿qué debemos hacer para obtener el recíproco, ( dfrac {1} {27} )? Recuerde haber trabajado con exponentes que (b ^ {- a} = dfrac {1} {b ^ a} ). Usamos esta información para escribir

[ begin {align *} 3 ^ {- 3} & = dfrac {1} {3 ^ 3} & = dfrac {1} {27} end {align *} ]

Por lo tanto, ({ log} _3 left ( dfrac {1} {27} right) = - 3 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Evalúe (y = { log} _2 left ( dfrac {1} {32} right) ) sin usar una calculadora.

Respuesta

({ log} _2 left ( dfrac {1} {32} right) = - 5 )

Usar logaritmos comunes

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, asumimos que la base es (10 ​​). En otras palabras, la expresión ( log (x) ) significa ({ log} _ {10} (x) ). Llamamos a un logaritmo de base (- 10 ) a logaritmo común. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter mencionada al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de ácidos y bases también utilizan logaritmos comunes.

DEFINICIÓN DEL LOGARITMO COMÚN

Un logaritmo común es un logaritmo de base (10 ​​). Escribimos ({ log} _ {10} (x) ) simplemente como ( log (x) ). El logaritmo común de un número positivo (x ) satisface la siguiente definición.

Para (x> 0 ),

[ begin {align} y = { log} (x) text {es equivalente a} {10} ^ y = x end {align} ]

Leemos ( log (x) ) como, "el logaritmo con base (10 ​​) de (x )" o "base logarítmica (10 ​​) de (x )".

El logaritmo (y ) es el exponente al que se debe elevar (10 ​​) para obtener (x ).

Cómo: dado un logaritmo común de la forma (y = log (x) ), evaluarlo mentalmente

  1. Reescribe el argumento (x ) como una potencia de (10 ​​): ({10} ^ y = x ).
  2. Usa el conocimiento previo de las potencias de (10 ​​) para identificar (y ) preguntando, "¿A qué exponente debe elevarse (10 ​​) para obtener (x )?"

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Hallar mentalmente el valor de un logaritmo común

Evalúe (y = log (1000) ) sin usar una calculadora.

Solución

Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: ({10} ^ y = 1000 ). A continuación, preguntamos: "¿A qué exponente se debe elevar (10 ​​) para obtener (1000 )?" Sabemos

({10}^3=1000)

Por lo tanto, ( log (1000) = 3 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Evalúe (y = log (1,000,000) ).

Respuesta

( log (1,000,000) = 6 )

Cómo: dado un logaritmo común con la forma (y = log (x) ), evaluarlo usando una calculadora

  1. prensa [INICIAR SESIÓN].
  2. Ingrese el valor dado para (x ), seguido de [ ) ].
  3. prensa [INGRESAR].

Ejemplo ( PageIndex {6} ): encontrar el valor de un logaritmo común usando una calculadora

Evalúa (y = log (321) ) con cuatro decimales usando una calculadora.

Solución

  • prensa [INICIAR SESIÓN].
  • Entre 321, seguido por [ ) ].
  • prensa [INGRESAR].

Redondeando a cuatro lugares decimales, ( log (321) ≈2.5065 ).

Análisis

Tenga en cuenta que ({10} ^ 2 = 100 ) y que ({10} ^ 3 = 1000 ). Dado que (321 ) está entre (100 ) y (1000 ), sabemos que ( log (321) ) debe estar entre ( log (100) ) y ( log ( 1000) ). Esto nos da lo siguiente:

(100<321<1000)

(2<2.5065<3)

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Evalúa (y = log (123) ) con cuatro decimales usando una calculadora.

Respuesta

( log (123) ≈2.0899 )

Ejemplo ( PageIndex {7} ): reescritura y resolución de un modelo exponencial del mundo real

La cantidad de energía liberada por un terremoto fue (500 ) veces mayor que la cantidad de energía liberada por otro. La ecuación ({10} ^ x = 500 ) representa esta situación, donde (x ) es la diferencia de magnitudes en la escala de Richter. Al milésimo más cercano, ¿cuál fue la diferencia de magnitudes?

Solución

Comenzamos reescribiendo la ecuación exponencial en forma logarítmica.

({10} ^ x = 500 )

( log (500) = x ) Usa la definición del logaritmo común.

A continuación, evaluamos el logaritmo usando una calculadora:

  • prensa [INICIAR SESIÓN].
  • Ingrese (500 ), seguido de [ ) ].
  • prensa [INGRESAR].
  • Al milésimo más cercano, ( log (500) ≈2.699 ).

La diferencia de magnitudes fue de aproximadamente (2,699 ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

La cantidad de energía liberada por un terremoto fue (8.500 ) veces mayor que la cantidad de energía liberada por otro. La ecuación ({10} ^ x = 8500 ) representa esta situación, donde (x ) es la diferencia de magnitudes en la escala de Richter. Al milésimo más cercano, ¿cuál fue la diferencia de magnitudes?

Respuesta

La diferencia de magnitudes fue de aproximadamente (3,929 ).

Usar logaritmos naturales

La base más utilizada para los logaritmos es (e ). Los logaritmos base (e ) son importantes en cálculo y en algunas aplicaciones científicas; se les llama logaritmos naturales. El logaritmo base (e ), ({ log} _e (x) ), tiene su propia notación, ( ln (x) ). La mayoría de los valores de ( ln (x) ) se pueden encontrar solo con una calculadora. La principal excepción es que, debido a que el logaritmo de (1 ) es siempre (0 ) en cualquier base, ( ln1 = 0 ). Para otros logaritmos naturales, podemos usar la tecla ( ln ) que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos encontrar el logaritmo natural de cualquier potencia de (e ) usando la propiedad inversa de los logaritmos.

DEFINICIÓN DEL LOGARITMO NATURAL

Un logaritmo natural es un logaritmo de base (e ). Escribimos ({ log} _e (x) ) simplemente como ( ln (x) ). El logaritmo natural de un número positivo (x ) satisface la siguiente definición.

Para (x> 0 ),

(y = ln (x) ) es equivalente a (e ^ y = x )

Leemos ( ln (x) ) como, "el logaritmo con base (e ) de (x )" o "el logaritmo natural de (x )".

El logaritmo (y ) es el exponente al que se debe elevar (e ) para obtener (x ).

Dado que las funciones (y = e ^ x ) y (y = ln (x) ) son funciones inversas, ( ln (e ^ x) = x ) para todos (x ) y (e ^ { ln (x)} = x ) para (x> 0 ).

Cómo: dado un logaritmo natural con la forma (y = ln (x) ), evaluarlo usando una calculadora

  1. prensa [LN].
  2. Ingrese el valor dado para (x ), seguido de [ ) ].
  3. prensa [INGRESAR].

Ejemplo ( PageIndex {8} ): evaluar un logaritmo natural con una calculadora

Evalúa (y = ln (500) ) con cuatro decimales usando una calculadora.

Solución

  • prensa [LN].
  • Ingrese (500 ), seguido de [ ) ].
  • prensa [INGRESAR].

Redondeando a cuatro lugares decimales, ( ln (500) ≈6.2146 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Evalúe ( ln (−500) ).

Respuesta

No es posible tomar el logaritmo de un número negativo en el conjunto de números reales.

Medios de comunicación

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con logaritmos.

  • Introducción a los logaritmos

Ecuaciones clave

Definición de la función logarítmicaPara (x> 0 ), (b> 0 ), (b ≠ 1 ), (y = { log} _b (x) ) si y solo si (b ^ y = x ).
Definición del logaritmo comúnPara (x> 0 ), (y = log (x) ) si y solo si ({10} ^ y = x ).
Definición del logaritmo naturalPara (x> 0 ), (y = ln (x) ) si y solo si (e ^ y = x ).

Conceptos clave

  • La inversa de una función exponencial es una función logarítmica y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial.
  • Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de un logaritmo. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • Las ecuaciones exponenciales se pueden escribir en su forma logarítmica equivalente usando la definición de un logaritmo. Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • Las funciones logarítmicas con base (b ) pueden evaluarse mentalmente utilizando conocimientos previos de las potencias de (b ). Vea Ejemplo ( PageIndex {3} ) y Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • Los logaritmos comunes se pueden evaluar mentalmente utilizando conocimientos previos de las potencias de (10 ​​). Vea Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • Cuando los logaritmos comunes no se pueden evaluar mentalmente, se puede usar una calculadora. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  • Los problemas exponenciales del mundo real con base (10 ​​) pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con una calculadora. Vea Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  • Los logaritmos naturales se pueden evaluar usando una calculadora Ejemplo ( PageIndex {8} ).

Expansión de logaritmos

Cuando se le pide que expandir expresiones de registro, su objetivo es expresar una sola expresión logarítmica en muchas partes o componentes individuales. Este proceso es exactamente lo opuesto a condensar logaritmos porque comprime un montón de expresiones logarítmicas en una más simple.

La mejor manera de ilustrar este concepto es mostrar muchos ejemplos. En esta lección, hay ocho problemas resueltos.

La clave para expandir con éxito los logaritmos es aplicar cuidadosamente las reglas de los logaritmos. Tómese el tiempo para repasar las reglas y comprender lo que están tratando de & # 8220decir & # 8221.

Por ejemplo, Regla 1 se llama el Regla del producto. Lo que hace es romper el producto de expresiones como una suma de expresiones logarítmicas. Vea el resto de las descripciones a continuación.


6.4: Funciones logarítmicas - Matemáticas

La escala de Richter: medición de magnitudes de terremotos

El terremoto del Océano Índico que sacudió la costa de Indonesia en 2004 se registró como un terremoto de magnitud 9,0. La magnitud es una medida de la energía liberada por un terremoto y se mide en una escala de Richter, generalmente con una lectura entre 2 y 9. Los terremotos de magnitud 8.0 o mayor son muy raros y pueden destruir completamente cualquier cosa cerca del epicentro. Las medidas de la escala de Richter son logarítmicas en base 10, lo que significa que un terremoto de magnitud 9.0 sería 10 veces más fuerte que un terremoto de magnitud 8.0. De manera similar, un terremoto de magnitud 9.0 sería 104 veces más poderoso que un terremoto de 5.0. Usando la distancia desde el tiempo del intervalo S-P y la amplitud máxima, ambas registradas en un sismógrafo, los expertos pueden usar los logaritmos de base 10 para encontrar la magnitud del terremoto.

La escala de Richter se basa en una medida estándar: un terremoto que se puede sentir a 100 km de distancia con una amplitud de 1 mm recibe una medida de magnitud de 3,0. Esta es la medida base y todas las demás medidas de magnitud se hacen con esta referencia. Como resultado, un terremoto que está a 100 km de distancia, pero tiene una medida de amplitud de 10 mm, mediría 4.0. El siguiente gráfico muestra esta relación y describe el estándar de referencia base en magnitud 3.0.

Se traza una línea recta desde la medición de la distancia hasta la medición de la amplitud de los tres sismógrafos. Las tres líneas deben encontrarse en un solo punto en la escala de magnitud en el medio, dando una lectura de magnitud para el terremoto.


Math Central cuenta con el apoyo de la Universidad de Regina y el Instituto Pacífico de Ciencias Matemáticas.


Evaluación numérica & # 160 & # 160 (6)

Evalúe numéricamente con alta precisión:

La precisión de la salida rastrea la precisión de la entrada:

Evalúe el registro de manera eficiente con alta precisión:

El registro puede tratar con intervalos valuados reales y # 8208:

Registre subprocesos por elementos sobre listas y matrices:

Se enhebra en listas en cualquiera de los argumentos:

Valores específicos & # 160 & # 160 (5)

Los valores exactos simples se generan automáticamente:

El argumento cero da un resultado simbólico:

Encuentre un valor de x para el cual Log [x] = 0.5:

Visualización & # 160 & # 160 (3)

Trace la parte real de :

Trace la parte imaginaria de :

Gráfico polar con :

Propiedades de función & # 160 & # 160 (12)

Log [z] da el logaritmo con base E:

El registro se define para todos los valores positivos reales:

El rango de valores complejos:

no es una función analítica:

El problema es un corte de rama a lo largo del eje real negativo:

El corte de rama existe por cualquier valor fijo de :

está aumentando en los reales positivos para y disminuyendo para :

El registro no es ni negativo ni positivo:

tiene tanto singularidades como discontinuidades para x & # 8804 0:

es cóncavo en los reales positivos para y convexo para :

Diferenciación & # 160 & # 160 (5)

La primera derivada con respecto a z:

La primera derivada con respecto a b:

Fórmula para el derivado:

Derivada de una función logarítmica anidada:

Integración & # 160 & # 160 (3)

Expansiones de serie & # 160 & # 160 (5)

Grafique las tres primeras aproximaciones para Log around :

Término general en la expansión de la serie de Log around :

Expansiones asintóticas en el corte de la rama:

El primer término de la serie de Fourier de Log:

El registro se puede aplicar a series de potencia:

Identidades y simplificaciones de funciones & # 160 & # 160 (6)

Logaritmo de una simplificación de la función de potencia:

Simplifique logaritmos con supuestos:

Expandir asumiendo variables reales xey:

Representaciones de funciones & # 160 & # 160 (5)

El registro surge de la función de potencia en un límite:

El registro se puede representar en términos de MeijerG:


6.4: Funciones logarítmicas - Matemáticas

Python ofrece muchas funciones logarítmicas incorporadas en el módulo & # 8220Matemáticas& # 8221 que nos permite calcular registros usando una sola línea. Hay 4 variantes de funciones logarítmicas, todas las cuales se describen en este artículo.

1. log (a, (Base)): Esta función se utiliza para calcular la logaritmo natural (Base e) de a. Si se pasan 2 argumentos, calcula el logaritmo de la base deseada del argumento a, valor numérico de log (a) / log (Base).

2. log2 (a): Esta función se utiliza para calcular la base logarítmica 2 de a. Muestra un resultado más preciso que el registro (a, 2).

3. log10 (a): Esta función se utiliza para calcular la base logarítmica 10 de a. Muestra un resultado más preciso que el registro (a, 10).

3. log1p (a): Esta función se utiliza para calcular logaritmo (1 + a) .

1. ValueError: Esta función devuelve un error de valor si el número es negativo.

Una de las aplicaciones de la función log10 () es que se utiliza para calcular la No. de dígitos de un número. El código siguiente ilustra lo mismo.

Este artículo es una contribución de Manjeet Singh. Si te gusta GeeksforGeeks y te gustaría contribuir, también puedes escribir un artículo usando contrib.geeksforgeeks.org o enviar tu artículo por correo a [email protected] Vea su artículo que aparece en la página principal de GeeksforGeeks y ayude a otros Geeks.

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Logaritmo

En logaritmo practicaremos diferentes tipos de preguntas sobre cómo resolver funciones logarítmicas en log. Los ejemplos resueltos sobre logaritmos nos ayudarán a comprender todas y cada una de las reglas de registro y sus aplicaciones. La resolución de la ecuación logarítmica se explica aquí en detalle para que el estudiante pueda entender dónde es necesario usar propiedades de logaritmo como regla de producto, regla del cociente, regla de potencia y regla de cambio de base.

Haga clic aquí comprender los conceptos básicos de las reglas de registro.

Ejemplo resuelto paso a paso en Log:

1. Encuentra los logaritmos de:

Sea x el logaritmo requerido.

o, (2√3) x = 1728 = 2 6 ∙ 3 3 = 2 6 ∙ (√3) 6


(ii) 0,000001 a la base 0,01.

Sea y el logaritmo requerido.

Por lo tanto, registre0.01 0,000001 = y


3. Si el logaritmo de 5832 es 6, calcula la base.

Sea x la base requerida.

o, x 6 = 5832 = 3 6 ∙ 2 3 = 3 6 ∙ (√2) 6 = (3 √2) 6

Por lo tanto, la base requerida es 3√2


4. Si 3 + log10 x = 2 log10 y, encuentre x en términos de y.

o 3 log10 10 + registro10 x = 1og10 y 2 [desde log10 10 = 1]

o. Iniciar sesión10 10 3 + registro10 x = registro10 y 2

o, iniciar sesión10 (10 3 ∙ x) = logaritmo10 y 2

o, x = y 2/1000, lo que da x en términos y.


5. Demuestre que, 7 log (10/9) + 3 log (81/80) = 2log (25/24) + log 2.

Dado que, 7 log (10/9) + 3 log (81/80) - 2 log (25/24)

= 7 (log 10 - log 9) + 3 (1og 81 - log 80) - 2 (1og 25 - 1og 24)

= 7 [log (2 ∙ 5) - log3 2] + 3 [1og3 4 - log (5 ∙ 2 4)] - 2 [log5 2 - log (3 ∙ 2 3)]

= 7 [log 2 + log 5 - 2 log 3] + 3 [4 log 3 - log 5 - 4 log 2] - 2 [2 log 5 - log 3 - 3 log 2]

= 7 log 2+ 7 log 5-14 log 3 + 12 log 3-3 log 5-12 log 2-4 log 5 + 2 log 3 + 6 log 2

= 13 log 2-12 log 2 + 7 log 5-7 log 5-14 log 3 + 14 log 3 = log 2

Por lo tanto, 7 log (10/9) +3 log (81/80) = 2 log (25/24) + log 2. Demostrado.

6. Si log10 2 = 0,30103, registro10 3 = 0.47712 y log10 7 = 0.84510, encuentre los valores de


Examen de matemáticas 4

una. El dominio de f (x) consta de todos los valores de x tales que g (x) ≠ 0 y h (x) ≠ 0.

B. Si f (x) tiene intersecciones en x, se pueden encontrar resolviendo la ecuación g (x) = 0 siempre que g (x) y h (x) no tengan factores comunes.

C. Si f (x) tiene una intersección con el eje y, se puede encontrar evaluando f (0) siempre que f (0) esté definida.

una. Toda función racional tiene al menos una asíntota vertical.

B. Para determinar el comportamiento de una función racional cerca de la asíntota vertical desde la izquierda de la asíntota, el signo de la función debe determinarse utilizando cualquier valor de prueba a la izquierda de la asíntota.

C. Si a es una constante y h (a) = 0, entonces f (x) debe tener una asíntota vertical en x = a.

una. La función f (x) = g (x) / h (x) tendrá una asíntota horizontal solo si el grado de g es igual al grado de h.

B. La función f (x) = g (x) / h (x) tendrá una asíntota horizontal solo si el grado de g es menor o igual que el grado de h.

C. La función f (x) = g (x) / h (x) tendrá una asíntota horizontal solo si el grado de g es menor que el grado de h.

una. La gráfica de una función racional nunca intersecará una asíntota vertical.

B. Una función racional puede tener muchas asíntotas horizontales.

C. Una función racional puede tener muchas asíntotas verticales.

una. Todos los puntos de frontera de una desigualdad racional que se encuentran determinando los valores para los cuales el numerador es igual a cero siempre deben representarse trazando un círculo abierto en una recta numérica.

B. Todos los puntos límite de una desigualdad racional siempre deben representarse trazando un círculo cerrado en una recta numérica.

C. Todos los puntos límite de una desigualdad racional que se encuentran determinando los valores para los cuales el denominador es igual a cero siempre deben representarse trazando un círculo abierto en una recta numérica.


Ajuste de mínimos cuadrados

Un procedimiento matemático para encontrar la curva que mejor se ajusta a un conjunto de puntos dado minimizando la suma de los cuadrados de las compensaciones ("los residuos") de los puntos de la curva. La suma de la cuadrícula de las compensaciones se utiliza en lugar de los valores absolutos de compensación porque esto permite que los residuos se traten como una cantidad diferenciable continua. Sin embargo, debido a que se utilizan cuadrados de las compensaciones, los puntos periféricos pueden tener un efecto desproporcionado sobre el ajuste, una propiedad que puede ser deseable o no según el problema en cuestión.

En la práctica, el vertical los desplazamientos de una línea (polinomio, superficie, hiperplano, etc.) casi siempre se minimizan en lugar de los desplazamientos perpendiculares. Esto proporciona una función de ajuste para la variable independiente que estima para un determinado (la mayoría de las veces lo que quiere un experimentador), permite que las incertidumbres de los puntos de datos a lo largo de los ejes - y - se incorporen de manera simple y también proporciona una forma analítica mucho más simple parámetros de ajuste que se obtendrían utilizando un ajuste basado en desplazamientos perpendiculares. Además, la técnica de ajuste se puede generalizar fácilmente a partir de un ajuste óptimo. línea a un mejor ajuste polinomio cuando se utilizan sumas de distancias verticales. En cualquier caso, para un número razonable de puntos de datos ruidosos, la diferencia entre los ajustes verticales y perpendiculares es bastante pequeña.

La lineal La técnica de ajuste por mínimos cuadrados es la forma más simple y más comúnmente aplicada de regresión lineal y proporciona una solución al problema de encontrar el mejor ajuste. derecho línea a través de un conjunto de puntos. De hecho, si la relación funcional entre las dos cantidades que se grafican se conoce dentro de las constantes aditivas o multiplicativas, es una práctica común transformar los datos de tal manera que la línea resultante es una línea recta, digamos trazando vs. en lugar de vs. en el caso de analizar el período de un péndulo en función de su longitud. Por esta razón, las formas estándar para las leyes exponenciales, logarítmicas y de potencia a menudo se calculan explícitamente. Las fórmulas para el ajuste de mínimos cuadrados lineales fueron derivadas de forma independiente por Gauss y Legendre.

Para el ajuste de mínimos cuadrados no lineales a una serie de parámetros desconocidos, el ajuste de mínimos cuadrados lineal puede aplicarse iterativamente a una forma linealizada de la función hasta que se logre la convergencia. Sin embargo, a menudo también es posible linealizar una función no lineal desde el principio y seguir utilizando métodos lineales para determinar los parámetros de ajuste sin recurrir a procedimientos iterativos. Este enfoque comúnmente viola el supuesto implícito de que la distribución de errores es normal, pero a menudo aún da resultados aceptables usando ecuaciones normales, una pseudoinversa, etc. Dependiendo del tipo de ajuste y los parámetros iniciales elegidos, el ajuste no lineal puede tener buenos o malos propiedades de convergencia. Si se dan incertidumbres (en el caso más general, elipses de error) para los puntos, los puntos se pueden ponderar de manera diferente para dar más peso a los puntos de alta calidad.

El ajuste de mínimos cuadrados verticales procede de encontrar la suma de los cuadrícula de El vertical desviaciones de un conjunto de puntos de datos

de una función. Tenga en cuenta que este procedimiento no no minimizar las desviaciones reales de la línea (que se medirían perpendicularmente a la función dada). Además, aunque el descuidado La suma de distancias puede parecer una cantidad más apropiada para minimizar, el uso del valor absoluto da como resultado derivadas discontinuas que no pueden tratarse analíticamente. Por lo tanto, se suman las desviaciones cuadradas de cada punto y luego se minimiza el residuo resultante para encontrar la línea de mejor ajuste. Este procedimiento da como resultado que los puntos periféricos reciban una ponderación desproporcionadamente grande.


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    • Ma217: WebHW GW GW -> Ex / HWData
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    • Ma425: WebHW
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    • Entrada de datos de E / S: acceso
    • Laboratorio de matemáticas: SignIn Log | TimeWorked Log | TimeSheet2 Log | Schedule Reconcile | CurrentTutors
    • Instructor Scheduling: scheduler
    • Placement Test: administrative info DHSP data
    • Math Circle: Registrations
    • Old Transfer Courses: search form

    The log-transformed power function is a straight line

    Why is it that when you log-transform a power function, you get a straight line? To show you, let's remember one of the most fundamental rules of algebra: you can do anything you want to one side of an equation - as long as you do the exact same thing to the other side (We just LOVE that rule!). So, what are we going to do?? Take the log of both sides of our equation:

    What were those rules of logs again? There are three, but the two that apply to this situation are:

    log rule #1: log(a*b) = log(a) + log(b)

    log rule #2: log(a b ) = b*log(a)

    OK, we know you are dying to remember log rule #3, so here it is: log (a/b) = log (a) - log (b) (but you don't need it here)

    Lets first apply log rule#1 to our equation:

    Now, lets apply log rule#2 to our equation:

    Now, for fun, I'm going to switch around the equation, just a bit - and now it looks just like the equation of a straight line:

    Of course Y = bX + a is just like Y = mX + b (with different letters for the parameters) - and just like we promised - the log-transformed power function (Y=aX b ) becomes a straight line (Y=bX + a). It turns out this is a real advantage - because not only is it easier to visualize the data, but it is MUCH easier to work with linear vs. non-linear functions when doing statistical analyses. You'll just have to take our word on that one. So, we're very happy that now we are working with a linear function - but how does this affect the meaning of our parameters we just spent all that time figuring out?


    Ver el vídeo: Funciones logarítmicas (Septiembre 2021).