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6.3: Gráficas de funciones exponenciales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Grafica funciones exponenciales.
  • Grafica funciones exponenciales usando transformaciones.

Como comentamos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones del mundo real, como finanzas, ciencias forenses, informática y la mayoría de las ciencias de la vida. Trabajar con una ecuación que describe una situación del mundo real nos da un método para hacer predicciones. Aprendemos mucho sobre las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y esa es exactamente la razón por la que graficar ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa de conocimiento para predecir eventos futuros.

Graficar funciones exponenciales

Antes de comenzar a graficar, es útil revisar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recuerde la tabla de valores para una función de la forma (f (x) = b ^ x ) cuya base es mayor que uno. Usaremos la función (f (x) = 2 ^ x ). Observe cómo los valores de salida en la Tabla ( PageIndex {1} ) cambian a medida que la entrada aumenta en (1 ).

Tabla ( PageIndex {1} )
(X)(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)
(f (x) = 2 ^ x ) ( dfrac {1} {8} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {2} )(1)(2)(4)(8)

Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, (2 ). Llamamos a la base (2 ) la relación constante. De hecho, para cualquier función exponencial con la forma (f (x) = ab ^ x ), (b ) es la razón constante de la función. Esto significa que a medida que la entrada aumenta en (1 ), el valor de salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de (a ).

Observe en la tabla que

  • los valores de salida son positivos para todos los valores de (x );
  • a medida que (x ) aumenta, los valores de salida aumentan sin límite; y
  • a medida que (x ) disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, acercándose a cero.

La figura ( PageIndex {1} ) muestra la función de crecimiento exponencial (f (x) = 2 ^ x ).

El dominio de (f (x) = 2 ^ x ) son todos los números reales, el rango es ((0, infty) ) y la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Para tener una idea del comportamiento de la disminución exponencial, podemos crear una tabla de valores para una función de la forma (f (x) = b ^ x ) cuya base está entre cero y uno. Usaremos la función (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ). Observe cómo los valores de salida en la Tabla ( PageIndex {2} ) cambian a medida que la entrada aumenta en (1 ).

Tabla ( PageIndex {2} )
(X)(-3)(-2)(-1)(0)(1)(2)(3)
(g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x )(8)(4)(2)(1) ( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {8} )

Nuevamente, debido a que la entrada aumenta en (1 ), cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o razón constante ( dfrac {1} {2} ).

Observe en la tabla que

  • los valores de salida son positivos para todos los valores de (x );
  • a medida que (x ) aumenta, los valores de salida disminuyen, acercándose a cero; y
  • a medida que (x ) disminuye, los valores de salida crecen sin límite.

La figura ( PageIndex {2} ) muestra la función de disminución exponencial, (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ).

El dominio de (g (x) = {( dfrac {1} {2})} ^ x ) son todos los números reales, el rango es ((0, infty) ) y la asíntota horizontal es (y = 0 ).

CARACTERÍSTICAS DEL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN PADRE (F (X) = b ^ x )

Una función exponencial con la forma (f (x) = b ^ x ), (b> 0 ), (b ≠ 1 ), tiene estas características:

  • función uno a uno
  • asíntota horizontal: (y = 0 )
  • dominio: ((- infty, infty) )
  • rango: ((0, infty) )
  • X-interceptar: ninguno
  • y-interceptar: ((0,1) )
  • aumentando si (b> 1 )
  • decreciente si (b <1 )

La figura ( PageIndex {3} ) compara las gráficas de las funciones de crecimiento y decrecimiento exponencial.

1 y la segunda gráfica tiene la misma función cuando b es 0

Cómo: Dada una función exponencial de la forma (f (x) = b ^ x ), grafica la función

  1. Crea una tabla de puntos.
  2. Trace al menos (3 ) punto de la tabla, incluido el y-interceptar ((0,1) ).
  3. Dibuja una curva suave a través de los puntos.
  4. Indique el dominio, ((- infty, infty) ), el rango, ((0, infty) ) y la asíntota horizontal, (y = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Dibujar la gráfica de una función exponencial de la forma (f (x) = b ^ x )

Dibuja una gráfica de (f (x) = 0.25 ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Antes de graficar, identifique el comportamiento y cree una tabla de puntos para la gráfica.

Tabla ( PageIndex {3} )
(X)(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)
(f (x) = {0.25} ^ x )(64)(16)(4)(1)(0.25)(0.0625(0.015625)
  • Dado que (b = 0.25 ) está entre cero y uno, sabemos que la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite y la cola derecha se acercará a la asíntota (y = 0 ).
  • Cree una tabla de puntos como en Table ( PageIndex {3} ).
  • Trazar el y-intercepción, ((0,1) ), junto con otros dos puntos. Podemos usar ((- 1,4) ) y ((1,0.25) ).

Dibuje una curva suave que conecte los puntos como en la Figura ( PageIndex {4} ).

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuja la gráfica de (f (x) = 4 ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Respuesta

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Graficar transformaciones de funciones exponenciales

Las transformaciones de gráficas exponenciales se comportan de manera similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones padre, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (cambios, reflejos, estiramientos y compresiones) a la función padre (f (x) = b ^ x ) sin pérdida de forma. Por ejemplo, así como la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general independientemente de las transformaciones aplicadas.

Graficar un desplazamiento vertical

La primera transformación ocurre cuando agregamos una constante (d ) a la función padre (f (x) = b ^ x ), lo que nos da un desplazamiento vertical d d unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si comenzamos graficando una función padre, (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar dos desplazamientos verticales a su lado, usando (d = 3 ): el desplazamiento hacia arriba, ( g (x) = 2 ^ x + 3 ) y el desplazamiento hacia abajo, (h (x) = 2 ^ x − 3 ). Ambos desplazamientos verticales se muestran en la Figura ( PageIndex {5} ).

Observe los resultados de desplazar (f (x) = 2 ^ x ) verticalmente:

  • El dominio, ((- infty, infty) ) permanece sin cambios.
  • Cuando la función se desplaza hacia arriba (3 ) unidades a (g (x) = 2 ^ x + 3 ):
    • La y-el intercepto se desplaza hacia arriba (3 ) unidades a ((0,4) ).
    • La asíntota se desplaza hacia arriba (3 ) unidades a (y = 3 ).
    • El rango se convierte en ((3, infty) ).
  • Cuando la función se desplaza hacia abajo (3 ) unidades a (h (x) = 2 ^ x − 3 ):
    • La y-el intercepto se desplaza hacia abajo (3 ) unidades a ((0, −2) ).
    • La asíntota también se desplaza hacia abajo (3 ) unidades a (y = −3 ).
    • El rango se convierte en ((- 3, infty) ).

Graficar un desplazamiento horizontal

La siguiente transformación ocurre cuando agregamos una constante (c ) a la entrada de la función padre (f (x) = b ^ x ), lo que nos da un desplazamiento horizontal (c ) unidades en el opuesto dirección de la señal. Por ejemplo, si comenzamos graficando la función padre (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar dos desplazamientos horizontales a su lado, usando (c = 3 ): el desplazamiento a la izquierda, (g (x) = 2 ^ {x + 3} ), y el desplazamiento a la derecha, (h (x) = 2 ^ {x − 3} ). (h (x) = 2 ^ {x − 3} ). Ambos desplazamientos horizontales se muestran en la Figura ( PageIndex {6} ).

Observe los resultados de desplazar (f (x) = 2 ^ x ) horizontalmente:

  • El dominio, ((- infty, infty) ), permanece sin cambios.
  • La asíntota, (y = 0 ), permanece sin cambios.
  • La y-interceptar cambios tales que:
    • Cuando la función se desplaza a la izquierda (3 ) unidades a (g (x) = 2 ^ {x + 3} ), el y-intercepto se convierte en ((0,8) ). Esto se debe a que (2 ^ {x + 3} = (8) 2 ^ x ), por lo que el valor inicial de la función es (8 ).
    • Cuando la función se desplaza hacia la derecha (3 ) unidades a (h (x) = 2 ^ {x − 3} ), el y-intercepto se convierte en ((0, dfrac {1} {8}) ). Nuevamente, vea que (2 ^ {x − 3} = ( dfrac {1} {8}) 2 ^ x ), por lo que el valor inicial de la función es ( dfrac {1} {8} ) .

CAMBIOS DE LA FUNCIÓN PADRE (F (X) = b ^ x )

Para cualquier constante (c ) y (d ), la función (f (x) = b ^ {x + c} + d ) desplaza la función padre (f (x) = b ^ x )

  • verticalmente (d ) unidades, en el mismo dirección del signo de (d ).
  • horizontalmente (c ) unidades, en el opuesto dirección del signo de (c ).
  • La y-intercepto se convierte en ((0, b ^ c + d) ).
  • La asíntota horizontal se convierte en (y = d ).
  • El rango se convierte en ((d, infty) ).
  • El dominio, ((- infty, infty) ), permanece sin cambios.

Cómo: Dada una función exponencial con la forma (f (x) = b ^ {x + c} + d ), grafica la traslación

  1. Dibuja la asíntota horizontal (y = d ).
  2. Identifica el cambio como ((- c, d) ). Desplaza la gráfica de (f (x) = b ^ x ) a la izquierda (c ) unidades si (c ) es positivo y a la derecha (c ) unidades si (c ) es negativo.
  3. Mueve la gráfica de (f (x) = b ^ x ) hacia arriba (d ) unidades si (d ) es positivo, y hacia abajo (d ) unidades si (d ) es negativo.
  4. Indique el dominio, ((- infty, infty) ), el rango, ((d, infty) ) y la asíntota horizontal (y = d ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Graficar un desplazamiento de una función exponencial

Grafica (f (x) = 2 ^ {x + 1} −3 ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Tenemos una ecuación exponencial de la forma (f (x) = b ^ {x + c} + d ), con (b = 2 ), (c = 1 ) y (d = - 3 ).

Dibuja la asíntota horizontal (y = d ), entonces dibuja (y = −3 ).

Identifica el cambio como ((- c, d) ), entonces el cambio es ((- 1, −3) ).

Desplaza la gráfica de (f (x) = b ^ x ) a la izquierda (1 ) unidades y hacia abajo (3 ) unidades.

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((- 3, infty) ); la asíntota horizontal es (y = −3 ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Grafica (f (x) = 2 ^ {x − 1} +3 ). Estado de dominio, rango y asíntota.

Respuesta

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((3, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 3 ).

Cómo: Dada una ecuación de la forma (f (x) = b ^ {x + c} + d ) para (x ), usa una calculadora gráfica para aproximar la solución

  • prensa [Y =]. Ingrese la ecuación exponencial dada en la línea titulada "Y1=”.
  • Ingrese el valor dado para f (x) f (x) en la línea titulada "Y2=”.
  • prensa [VENTANA]. Ajustar el y-eje para que incluya el valor introducido para "Y2=”.
  • prensa [GRAFICO] para observar la gráfica de la función exponencial junto con la línea para el valor especificado off (x). f (x).
  • Para encontrar el valor de x, x, calculamos el punto de intersección. prensa [2ND] luego [CALC]. Seleccione "intersectar" y presione [INGRESAR] tres veces. El punto de intersección da el valor de X para el valor indicado de la función.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Aproximación de la solución de una ecuación exponencial

Resuelve (42 = 1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) gráficamente. Redondea a la milésima más cercana.

Solución

prensa [Y =] e ingrese (1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) junto a Y1=. Luego ingrese (42 ) junto a Y2 =. Para una ventana, use los valores (- 3 ) a (3 ) para (x ) y (- 5 ) a (55 ) para (y ). prensa [GRAFICO]. Las gráficas deben cruzarse en algún lugar cerca de (x = 2 ).

Para una mejor aproximación, presione [2ND] luego [CALC]. Seleccione [5: intersección] y presione [INGRESAR] tres veces. La X-La coordenada del punto de intersección se muestra como (2.1661943 ). (Su respuesta puede ser diferente si usa una ventana diferente o usa un valor diferente para ¿Adivinar?) Al milésimo más cercano, (x≈2.166 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resuelve (4 = 7.85 {(1.15)} ^ x − 2.27 ) gráficamente. Redondea a la milésima más cercana.

Respuesta

(x≈ − 1,608 )

Graficar un estiramiento o compresión

Mientras que los cambios horizontales y verticales implican agregar constantes a la entrada oa la función en sí, una estirarse o compresión ocurre cuando multiplicamos la función padre (f (x) = b ^ x ) por una constante (| a |> 0 ). Por ejemplo, si comenzamos graficando la función padre (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar el estiramiento, usando (a = 3 ), para obtener (g (x) = 3 {(2)} ^ x ) como se muestra a la izquierda en la Figura ( PageIndex {8} ), y la compresión, usando (a = dfrac {1} {3} ), para obtener ( h (x) = dfrac {1} {3} {(2)} ^ x ) como se muestra a la derecha en la Figura ( PageIndex {8} ).

ESTIRAMIENTOS Y COMPRESIONES DE LA FUNCIÓN PADRE (F (X) = B ^ X )

Para cualquier factor (a> 0 ), la función (f (x) = a {(b)} ^ x )

  • se estira verticalmente por un factor de (a ) si (| a |> 1 ).
  • se comprime verticalmente por un factor de (a ) si (| a | <1 ).
  • tiene un y-intercepto de ((0, a) ).
  • tiene una asíntota horizontal en (y = 0 ), un rango de ((0, infty) ) y un dominio de ((- infty, infty) ), que no se modifican con respecto al padre función.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficar el estiramiento de una función exponencial

Dibuja una gráfica de (f (x) = 4 {( dfrac {1} {2})} ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave en la gráfica.

  • Dado que (b = dfrac {1} {2} ) está entre cero y uno, la cola izquierda de la gráfica aumentará sin límite a medida que (x ) disminuya, y la cola derecha se acercará a la X-eje a medida que (x ) aumenta.
  • Dado que (a = 4 ), la gráfica de (f (x) = {( dfrac {1} {2})} ^ x ) se estirará en un factor de (4 ).
  • Cree una tabla de puntos como se muestra en Table ( PageIndex {4} ).
    Tabla ( PageIndex {4} )
    (X)(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

    (f (x) = 4 {( dfrac {1} {2})} ^ x )

    (32)(16)(8)(4)(2)(1)(0.5)
  • Trazar el y-intersección, ((0,4) ), junto con otros dos puntos. Podemos usar ((- 1,8) ) y ((1,2) ).

Dibuje una curva suave que conecte los puntos, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dibuja la gráfica de (f (x) = dfrac {1} {2} {(4)} ^ x ). Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Respuesta

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Graficar reflejos

Además de cambiar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el X-eje o el y-eje. Cuando multiplicamos la función padre (f (x) = b ^ x ) por (- 1 ), obtenemos una reflexión sobre la X-eje. Cuando multiplicamos la entrada por (- 1 ), obtenemos una reflexión sobre la y-eje. Por ejemplo, si comenzamos graficando la función padre (f (x) = 2 ^ x ), entonces podemos graficar las dos reflexiones a su lado. La reflexión sobre el X-eje, (g (x) = - 2 ^ x ), se muestra en el lado izquierdo de la Figura ( PageIndex {10} ), y la reflexión sobre el eje y (h (x) = 2 ^ {- x} ), se muestra en el lado derecho de la Figura ( PageIndex {10} ).

REFLEXIONES DE LA FUNCIÓN DE PADRE (F (X) = B ^ x )

La función (f (x) = - b ^ x )

  • refleja la función padre (f (x) = b ^ x ) sobre el X-eje.
  • tiene un y-intercepto de ((0, −1) ).
  • tiene un rango de ((- infty, 0) )
  • tiene una asíntota horizontal en (y = 0 ) y un dominio de ((- infty, infty) ), que no se modifican con respecto a la función padre.

La función (f (x) = b ^ {- x} )

  • refleja la función padre (f (x) = b ^ x ) sobre el y-eje.
  • tiene un y-intercepto de ((0,1) ), una asíntota horizontal en (y = 0 ), un rango de ((0, infty) ), y un dominio de ((- infty, infty) ), que no se modifican con respecto a la función principal.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): escribir y representar gráficamente el reflejo de una función exponencial

Encuentre y grafique la ecuación para una función, (g (x) ), que refleja (f (x) = {( dfrac {1} {4})} ^ x ) sobre el X-eje. Indique su dominio, rango y asíntota.

Solución

Dado que queremos reflejar la función padre (f (x) = {( dfrac {1} {4})} ^ x ) sobre el X-eje, multiplicamos (f (x) ) por (- 1 ) para obtener, (g (x) = - {( dfrac {1} {4})} ^ x ). A continuación, creamos una tabla de puntos como en Table ( PageIndex {5} ).

Tabla ( PageIndex {5} )
(X)(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

(g (x) = - {( dfrac {1} {4})} ^ x )

(−64)

(−16)

(−4)

(−1)

(−0.25)

(−0.0625)

(−0.0156)

Trazar el y-intersección, ((0, −1) ), junto con otros dos puntos. Podemos usar ((- 1, −4) ) y ((1, −0.25) ).

Dibuja una curva suave que conecte los puntos:

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((- infty, 0) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentre y grafique la ecuación para una función, (g (x) ), que refleja (f (x) = {1.25} ^ x ) sobre el y-eje. Indique su dominio, rango y asíntota.

Respuesta

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((0, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 0 ).

Resumiendo las traducciones de la función exponencial

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traducción para la función exponencial, podemos resumirlos en Tabla ( PageIndex {6} ) para llegar a la ecuación general para traducir funciones exponenciales.

1, y observa los siguientes cambios: la función reflejada disminuye a medida que x se mueve de 0 a infinito, la asíntota permanece x = 0, la intersección con x permanece (1, 0), el punto clave cambia a (b ^ (- 1 ), 1), el dominio permanece (0, infinito) y el rango permanece (-infinito, infinito). La segunda columna muestra el desplazamiento a la izquierda de la ecuación g (x) = log_b (x) cuando b> 1, y observa los siguientes cambios: la función reflejada disminuye a medida que x se mueve de 0 a infinito, la asíntota permanece x = 0, la intersección con el eje x cambia a (-1, 0), el punto clave cambia a (-b, 1), el dominio cambia a (-infinito, 0) y el rango permanece (-infinito, infinito). ">

Tabla ( PageIndex {6} ): Traducciones de la función principal (f (x) = b ^ x )
TraducciónFormulario
Cambiar
  • Horizontalmente (c ) unidades a la izquierda
  • Verticalmente (d ) unidades hacia arriba

(f (x) = b ^ {x + c} + d )

Estirar y comprimir
  • Estirar si (| a |> 1 )
  • Compresión si (0 <| a | <1 )

(f (x) = ab ^ x )

Reflexiona sobre el eje x

(f (x) = - b ^ x )

Reflexiona sobre el eje y

(f (x) = b ^ {- x} = {( dfrac {1} {b})} ^ x )

Ecuación general para todas las traducciones

(f (x) = ab ^ {x + c} + d )

TRADUCCIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Una traslación de una función exponencial tiene la forma

(f (x) = ab ^ {x + c} + d )

Donde la función padre, (y = b ^ x ), (b> 1 ), es

  • desplazado horizontalmente (c ) unidades a la izquierda.
  • estirado verticalmente por un factor de (| a | ) si (| a |> 0 ).
  • comprimido verticalmente por un factor de (| a | ) si (0 <| a | <1 ).
  • desplazado verticalmente (d ) unidades.
  • reflexionó sobre el X-eje cuando (a <0 ).

Tenga en cuenta que el orden de los cambios, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): escribir una función a partir de una descripción

Escribe la ecuación para la función que se describe a continuación. Da la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

(f (x) = e ^ x ) se estira verticalmente por un factor de (2 ), reflejado a través del y-eje, y luego se desplazó hacia arriba (4 ) unidades.

Solución

Queremos encontrar una ecuación de la forma general f (x) = abx + c + d. f (x) = abx + c + d. Usamos la descripción proporcionada para encontrar, a, b, b, c, c y d. D.

  • Se nos da la función padre (f (x) = e ^ x ), entonces (b = e ).
  • La función se estira por un factor de (2 ), entonces (a = 2 ).
  • La función se refleja en el y-eje. Reemplazamos (x ) con (- x ) para obtener: (e ^ {- x} ).
  • La gráfica se desplaza verticalmente 4 unidades, entonces (d = 4 ).

Sustituyendo en la forma general obtenemos,

(f (x) = ab ^ {x + c} + d )

(= 2e ^ {- x + 0} +4 )

(= 2e ^ {- x} +4 )

El dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((4, infty) ); la asíntota horizontal es (y = 4 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Escribe la ecuación para la función que se describe a continuación. Da la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

(f (x) = e ^ x ) se comprime verticalmente por un factor de ( dfrac {1} {3} ), reflejado en la X-axis y luego se desplazó hacia abajo (2 ) unidades.

Respuesta

(f (x) = - dfrac {1} {3} e ^ {x} −2 ); el dominio es ((- infty, infty) ); el rango es ((- infty, 2) ); la asíntota horizontal es (y = 2 ).

Medios de comunicación

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones gráficas exponenciales.

  • Funciones gráficas exponenciales

Ecuaciones clave

Forma general para la traducción de la función madre (f (x) = b ^ x ) (f (x) = ab ^ {x + c} + d )

Conceptos clave

  • La gráfica de la función (f (x) = b ^ x ) tiene una y-intersección en ((0, 1) ), dominio ((- infty, infty) ), rango ((0, infty) ) y asíntota horizontal (y = 0 ). Ver ejemplo.
  • Si (b> 1 ), la función aumenta. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota (y = 0 ), y la cola derecha aumentará sin límite.
  • Si (0
  • La ecuación (f (x) = b ^ x + d ) representa un desplazamiento vertical de la función padre (f (x) = b ^ x ).
  • La ecuación (f (x) = b ^ {x + c} ) representa un desplazamiento horizontal de la función padre (f (x) = b ^ x ). Ver ejemplo.
  • Las soluciones aproximadas de la ecuación (f (x) = b ^ {x + c} + d ) se pueden encontrar usando una calculadora gráfica. Ver ejemplo.
  • La ecuación (f (x) = ab ^ x ), donde (a> 0 ), representa un estiramiento vertical si (| a |> 1 ) o compresión si (0 <| a | <1 ) de la función padre (f (x) = b ^ x ). Ver ejemplo.
  • Cuando la función padre (f (x) = b ^ x ) se multiplica por (- 1 ), el resultado, (f (x) = - b ^ x ), es una reflexión sobre la X-eje. Cuando la entrada se multiplica por (- 1 ), el resultado, (f (x) = b ^ {- x} ), es una reflexión sobre la y-eje. Ver ejemplo.
  • Todas las traslaciones de la función exponencial se pueden resumir mediante la ecuación general (f (x) = ab ^ {x + c} + d ). Ver tabla.
  • Usando la ecuación general (f (x) = ab ^ {x + c} + d ), podemos escribir la ecuación de una función dada su descripción. Ver ejemplo.

6.3: Gráficas de funciones exponenciales - Matemáticas

Funciones exponenciales: graficar (página 3 de 5)

Calcularé los mismos puntos que anteriormente:

Entonces y = ( 1 /3 ) X de hecho, modela el crecimiento. Sin embargo, para el registro, la base de las funciones exponenciales suele ser mayor que 1, por lo que el crecimiento suele tener la forma & quot 3 X & quot (es decir, con un exponente & quotpositivo & quot) y la desintegración suele tener la forma & quot 3 X & quot (es decir, con un exponente & quot negativo & quot).

Calcularé algunos puntos de la trama, como de costumbre:

Tenga en cuenta que, para graficar, las aproximaciones decimales son más útiles que las formas & quotexact & quot. Por ejemplo, es difícil saber dónde & quot mi Se debe trazar 2.25 & quot, pero es fácil encontrar dónde va & quot 9.488 & quot. Tenga en cuenta también que calculé más que puntos enteros. La función exponencial crece demasiado rápido para que pueda usar una amplia gama de X -valores (quiero decir, mira qué tan grande y tengo cuando X era solo 2). En cambio, tuve que elegir algunos puntos intermedios para tener suficientes puntos razonables para mi gráfico.

Ahora trazo los puntos y dibujo mi gráfico:

Copyright Elizabeth Stapel 2002-2011 Todos los derechos reservados

La función anterior implicaba una exponencial, pero no estaba en la forma exponencial & quot; habitual & quot (ya que la potencia no era lineal, sino cuadrática). Sin embargo, generalmente obtendrá la forma más estándar, con una base mayor que uno, quizás multiplicada por alguna constante y un exponente lineal. Tenga en cuenta que todos los gráficos se ven más o menos iguales, pueden haber sido movidos hacia arriba o hacia abajo, volteados al revés, hacia la izquierda o hacia la derecha, etc., etc., pero todos tienen prácticamente la misma forma:


Repasemos los gráficos de funciones exponenciales.

En primer lugar, ¿qué es una función exponencial?

La función exponencial tiene una forma de

Algo que debe destacarse es que es cualquier exponente. Y son constantes.

Veamos primero las funciones que.

Para fines de demostración, deje que los & # 8217s tengan

Echemos un vistazo a algunos específicos.

Cuando entonces ,
luego ,
luego ,
luego ,
luego ,
y entonces .

Lo que quiero señalar es cuándo entonces.

Cuando graficamos el exponente positivo, no será una línea recta. Aumenta a un ritmo mucho mayor. Incluso se curva drásticamente.

Cuando graficamos los exponentes negativos, se curvará pero no tocará el eje-.

Porque incluso si el exponente es negativo, solo cambia a una fracción y no a un número negativo.

Entonces esta es la gráfica básica de una fracción exponencial.

Veamos el gráfico de.

Tengamos los mismos puntos aquí.

Cuando entonces ,
luego ,
luego ,
luego ,
luego ,
y entonces .

Éste es muy empinado en los exponentes positivos y muy bajo en los exponentes negativos.

Pero aún así ganó & # 8217t tocar el eje-.

Déjame cambiar un poco los valores.

Cuando entonces ,
Cuando entonces ,
y cuando entonces.

Si lo mira, es una imagen reflejada de nuestro primer ejemplo.

Cuando entonces ,
Cuando entonces ,
y entonces .

Estará muy cerca del eje-.

Lo negativo se reflejará en el eje-.

Así que comencemos con & # 8217s de nuevo, porque cualquier número elevado a la potencia de es.

Cuando entonces ,
Cuando entonces ,
y cuando entonces.

Cuando entonces ,
Cuando entonces ,
y cuando entonces.

En comparación con el primer ejemplo, este gráfico se refleja en el eje-.

Tenemos una constante que & # 8217 es mayor que elevada a un exponente.

Aumentará constantemente en un lado si el exponente es mayor que. Ya que lo está multiplicando por sí mismo una y otra vez.

Mientras que con el otro, tenemos una fracción. Que es menor que uno y elevado a exponente.

Cuando se multiplica por sí mismo, se vuelve más pequeño.

Si tiene una base que & # 8217s mayor que, tendrá una línea que crecerá rápidamente.

Pero si tiene una base que & # 8217 es menor pero aún positiva, & # 8217 va a disminuir o decaer.


Cómo encontrar funciones exponenciales

Encontrar la ecuación de funciones exponenciales es a menudo un proceso de varios pasos, y cada problema es diferente según la información y el tipo de gráfico que se nos da. Dada la gráfica de funciones exponenciales, necesitamos poder tomar algo de información de la gráfica en sí y luego resolver las cosas que no podemos tomar directamente de la gráfica. A continuación se muestra una lista de todas las variables que podemos tener que buscar y cómo encontrarlas normalmente:

un & ndash resuélvalo usando álgebra, o se le dará

b & ndash resuélvalo usando álgebra, o se le dará

c & ndash deja x = 0 e imagina que "c" no está allí, el valor de y será igual a la intersección y ahora cuenta cuántas unidades el valor y para la intersección y es desde el eje y, y esto será igual " C"

d & ndash resolverlo usando álgebra

k & ndash igual al valor de la asíntota horizontal

Por supuesto, estos son solo los pasos generales que debe seguir para encontrar la ecuación de la función exponencial. ¡La mejor manera de aprender a hacer esto es probar algunos problemas de práctica!

Ejemplos de funciones exponenciales:

Ahora probemos con un par de ejemplos para poner en práctica toda la teoría que cubrimos. Con la práctica, ¡podrá encontrar funciones exponenciales con facilidad!

Determina la función exponencial en la forma y = a b x y = ab ^ x y = a b x de la gráfica dada.

Encontrar una función exponencial dada su gráfica

Para resolver este problema, probablemente tendremos que encontrar las variables "a" y "b". Además, tendremos que resolver ambos algebraicamente, ya que podemos determinarlos a partir de la gráfica de la función exponencial.

Para resolver "a", debemos elegir un punto en la gráfica donde podamos eliminar bx porque todavía no conocemos "b", y por lo tanto debemos elegir la intersección con el eje y (0,3). Dado que b0 es igual a 1, podemos encontrar que a = 3. Como atajo, dado que no & apost & apos tenemos un valor para k, a es igual a la intersección y de esta ecuación.

Encuentre a de la ecuación y = a b ^ x

Ahora que tenemos "a", todo lo que tenemos que hacer es sub en 3 para "a", elegir otro punto y resolver para b. Dejemos que & aposs elija el punto (1,6). Con toda esta información, podemos encontrar que b = 2.

Encuentra b de la ecuación y = a b ^ x

Paso 3: escribe la ecuación final

Ahora que hemos encontrado todas las variables necesarias, todo lo que nos queda es escribir nuestra ecuación final en la forma y = a b x y = ab ^ x y = a b x. Nuestra respuesta final es y = (3) 2 x y = (3) 2 ^ x y = (3) 2 x

Escribe la ecuación final de y = a b ^ x

Determine la función exponencial en la forma y = a 2 d x + k y = a2 ^+ k y = a 2 d x + k del gráfico dado.

Encontrar una función exponencial dada su gráfica

Para resolver este problema, probablemente tendremos que encontrar las variables "a", "d" y "k". Recuerde, podemos encontrar "k" en la gráfica, ya que es la asíntota horizontal. Sin embargo, para "a" y "d", tendremos que resolverlos algebraicamente, ya que podemos determinarlos a partir de la gráfica de la función exponencial.

Paso 1: encuentra "k" en el gráfico

Para encontrar "k", todo lo que necesitamos hacer es encontrar la asíntota horizontal, que es claramente y = 6. Por lo tanto, k = 6.

Encuentre k de la ecuación y = a 2 ^ (bx) + k

Para resolver "a", al igual que en el último ejemplo, debemos elegir un punto en la gráfica donde podamos eliminar 2dx porque todavía no conocemos "d", y por lo tanto debemos elegir la intersección con el eje y (0,3). Dado que 20 es igual a 1, sustituyendo (0, 3) en y = a 2 d x + 6 y = a2 ^+6 y = a 2 d x + 6 nos da que a = -3.

Encuentre a de la ecuación y = a 2 ^ (bx) + k

Ahora que tenemos "a" y "k", todo lo que tenemos que hacer es elegir otro punto y resolver para b. Dejemos que & aposs elija el punto (0.25, 0). Con toda esta información, podemos encontrar que d = 4.

Encuentre b de la ecuación y = a 2 ^ (bx) + k

Paso 4: escribe la ecuación final

Ahora que hemos encontrado todas las variables necesarias, todo lo que nos queda es escribir nuestra ecuación final en la forma y = a b d x + k y = ab ^+ k y = a segundo d x + k. Nuestra respuesta final es y = (- 3) 2 4 x + 6 y = (- 3) 2 ^ <4x> +6 y = (- 3) 2 4 x + 6

Escribe la ecuación final de y = a 2 ^ (bx) + k

¡Y eso y apostarlo por funciones exponenciales! Nuevamente, estas funciones son un poco más complejas que las ecuaciones para líneas o parábolas, así que asegúrese de hacer muchos problemas de práctica para familiarizarse con las nuevas variables y técnicas. ¡Con más práctica, pronto las ecuaciones exponenciales y las gráficas de funciones exponenciales no serán ningún problema!


Instantáneas


6.3: Gráficas de funciones exponenciales - Matemáticas

Las leyes de los exponentes son un conjunto de cinco reglas que nos muestran cómo realizar algunas operaciones básicas usando exponentes.

Matemáticamente se definen de la siguiente manera:

Dejar a y B ser números reales y metro y norte ser enteros positivos. Entonces se cumplen las siguientes leyes:

Observe que hemos tomado nuestros exponentes como números enteros positivos. Esta es la opción más intuitiva porque sabemos que,

dónde norte es un número entero positivo. También podemos usar la primera ley de los exponentes para definir los exponentes cero y negativos,

En 1), un 0 se comporta como el número 1, y definimos un 0 = 1. En (2), a & minusn se comporta como el recíproco de un y escribimos,

Las leyes de los exponentes proporcionan un conjunto de reglas que se pueden usar para simplificar expresiones complejas que contienen exponentes.

Estas reglas son importantes al simplificar expresiones que involucran exponentes. Por ejemplo, podemos usar las leyes de los exponentes para hacer la siguiente simplificación,

El propósito de la simplificación se hará evidente a medida que comience a resolver problemas que involucran exponentes. A veces, estas simplificaciones son necesarias para ver el siguiente paso en la resolución de un problema.

Un error común que debes evitar

Es importante reconocer cuándo no se puede hacer ninguna simplificación. Observe que las leyes de los exponentes no involucran sumas o diferencias de términos con exponentes.

Podría tener la tentación de escribir,

Sin embargo, esta declaración es incorrecto porque la suma de dos exponentes no se puede simplificar más. Muchas de las aplicaciones que discutimos requerirán que simplifique una expresión que contiene exponentes. Al hacerlo, debe tener en cuenta las reglas que hemos descrito en esta sección.

*****

En la siguiente sección comenzaremos una exploración de las gráficas de funciones exponenciales.


6.3: Gráficas de funciones exponenciales - Matemáticas

Las gráficas de funciones exponenciales no son muy diferentes entre sí en esta página veremos cómo graficar cualquier función exponencial en particular. Nuestras principales herramientas para esto son el conocimiento de las formas de las funciones exponenciales básicas y las técnicas de graficación discutidas anteriormente.

Primero, lea la siguiente descripción general de las funciones exponenciales y sus gráficas.

Ahora puedes practicar la representación gráfica de funciones exponenciales de dos maneras: el primer conjunto de ejercicios te da la forma básica y te pide que uses técnicas de representación gráfica para ajustarla a la función específica que te dan.


Primero seleccione uno de los tres tipos básicos de funciones exponenciales. Verá la forma general del tipo de función exponencial que ha elegido. Ahora, use los controles para transformar este gráfico en el gráfico de la función dada. Cuando termine, haga clic en "Verificar" o si tiene problemas, "Grafíquelo".

En el siguiente conjunto de ejercicios, se le pide que grafique funciones exponenciales "desde cero". Responda cada una de las preguntas en pantalla y después de cada una, haga clic en "SIGUIENTE". Cuando haya completado todas las preguntas, se le informará qué tan bien lo hizo y tendrá la oportunidad de corregir cualquier error. Una vez que no tenga más errores, dibuje el gráfico en su cuaderno. Luego haga clic en "SIGUIENTE" para ver el gráfico de la función y compararlo con su gráfico bosquejado.


GRÁFICOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTIMAS

En esta sección ilustraremos, interpretaremos y discutiremos las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas. También ilustraremos cómo puede usar gráficas para AYUDARLO a resolver problemas exponenciales y logarítmicos y verificar sus soluciones.

Gráficos de funciones en general:

Recordatorio: Recuerda que cuando hablamos de la función, el valor de la función, el valor de la función, yof (x), estamos hablando del valor y comportamiento de la parte y del punto (x, y) en el conjunto completo. de los puntos que forman la gráfica.

Una vez que conozca la forma de un gráfico exponencial, puede desplazarlo vertical u horizontalmente, estirarlo, encogerlo, reflejarlo, verificar las respuestas con él y, lo más importante, interpretar el gráfico.

La función siempre es positiva. Simplemente, no hay ningún valor de x que haga que el valor de sea negativo. ¿Qué significa esto en términos de un gráfico? Significa que toda la gráfica de la función está ubicada en los cuadrantes I y II.

Grafica la función . Observe que la gráfica nunca cruza el eje x. ¿Por qué es así? Es porque no hay un valor de x que hará que el valor de f (x) en la fórmula sea igual a 0.

Observe que la gráfica cruza el eje y en 1. ¿Por qué es así? El valor de x es siempre cero en el eje y. Sustituye x por 0 en la ecuación:. Esto se traduce en el punto (0, 1).

Observe en la gráfica que, a medida que aumenta el valor de x, también aumenta el valor de f (x). Esto significa que la función es una función creciente. Recuerde que una función creciente es una función uno a uno, y una función uno a uno tiene una inversa única.

La inversa de una función exponencial es una función logarítmica y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial.

Observe también en la gráfica que a medida que x crece más y más, el valor de la función de f (x) aumenta cada vez más drásticamente. Por eso la función se llama función exponencial.

Si está interesado en revisar las gráficas de funciones exponenciales, ejemplos y problemas, haga clic en Exponencial.

Una vez que conozca la forma de un gráfico logarítmico, puede desplazarlo vertical u horizontalmente, estirarlo, encogerlo, reflejarlo, verificar las respuestas con él y, lo más importante, interpretar el gráfico.

Grafica la función. Observe que la gráfica de esta función se ubica completamente en los cuadrantes I y IV. Observe también que la gráfica nunca toca el eje y.

¿Qué significa eso? Significa que el valor de x (dominio de la función f (x) en la ecuación es siempre positivo. ¿Por qué es así? Recuerde que la ecuación se puede reescribir como la función exponencial. No hay valor de f (x) que puede hacer que el valor de x sea negativo o cero.

La gráfica de nunca cruzará el eje y porque x nunca puede ser igual a 0. La gráfica siempre cruzará el eje x en 1.

Observe en la gráfica que, a medida que x aumenta, f (x) también aumenta. Esto significa que la función es una función creciente. Recuerde que una función creciente es una función uno a uno, y una función uno a uno tiene una inversa única.

Observe en la gráfica que el aumento en el valor de la función es más dramático entre 0 y 1. Después de x = 1, a medida que x se hace más y más grande, los valores crecientes de la función comienzan a disminuir (el aumento se vuelve cada vez más pequeño a medida que x se hace cada vez más grande).

Observe en la gráfica que el valores de función son positivas para x mayores que 1 y negativas para x menores que 1.

Si está interesado en revisar las gráficas de funciones logarítmicas, haga clic en Logarítmica.


6.3: Gráficas de funciones exponenciales - Matemáticas

e x ploring e x funciones ponenciales

La funcion exponencial es una de las pocas funciones cuya gráfica es reconocida por muchos no matemáticos. Tener una aplicación práctica en áreas del mundo real como las finanzas, la ciencia e incluso el crecimiento de la población ha hecho de & quotexponential & quot una palabra común en el idioma inglés. Pero, ¿cuánto se entiende realmente sobre esta función? ¿Qué implicaciones se pueden descubrir mediante la comprensión matemática de esta función? ¿Y cómo podemos inculcar a los estudiantes en nuestro salón de clases el valor y la importancia de su uso? Exploremos estas preguntas observando una función exponencial particular: aquella con base mi.

Primero, algunos antecedentes sobre el número mi. Los primeros trabajos matemáticos tendían a centrarse en los logaritmos, y aunque el logaritmo natural (base mi) es bastante conocido ahora, el número que conocemos como mi logró escapar de la atención de los matemáticos durante muchos años. Muchos de los primeros exploradores matemáticos y científicos bailaron alrededor del descubrimiento, acercándose mucho a descubrirlo solo para alejarse de él por algún otro aspecto distractor de su trabajo. Como consecuencia, mi no irrumpió en el mundo matemático con una comprensión significativa (como la de π), sino que emergió lentamente en escena a través de incursiones al azar en la naturaleza de cosas como las finanzas. Por que es mi ¿importante? ¡Porque y = e x es la única ecuación conocida por el hombre cuya derivada es ella misma!

Si desea obtener más información sobre la historia de mi y la función exponencial, lea & quotmi: La historia de un número '' de Eli Maor. Haga clic aquí para ver el número real mi a 10,000 dígitos!

Ahora centrémonos en la gráfica real de la función exponencial básica, y = e x

Como puede ver, la característica significativa de este tipo de función es su lento crecimiento inicial que conduce a un rápido aumento. Los estudiantes pueden establecer una conexión con lo que ven aquí considerando la siguiente analogía:

Suponga que hace un trato con sus padres en el sentido de que, en lugar de tomar su asignación mensual regular de $ 50, aceptará solo $ .01 el primer día del mes y así sucesivamente, con la condición de que ellos dupliquen la cantidad que le dan cada día. . Tus padres se dan cuenta rápidamente de que en una semana te habrán dado solo $ 1.25 (.01 + .02 + .04 + .08 + .16 + .32 + .64) por lo que están de acuerdo. ¿Recibirá más de $ 50 ese mes? Si es así, ¿en qué día del mes habrá excedido los $ 50? ¿Puedes calcular cuánto dinero te deben el último día del mes? (Suponga que hay 30 días en el mes).

Es posible que desee señalar que en esta analogía estamos viendo una función exponencial con base 2. La función que estamos explorando tiene una base de mi pero la forma del gráfico es similar. Aquí hay una gráfica de y = 2 x para que los estudiantes puedan comparar:

Ahora que los estudiantes tienen una apreciación general de la función, podemos permitirles que exploren algunas características. Veamos qué sucede cuando agregamos una constante a la función.

Pida a los estudiantes que adivinen cómo se vería y = e x + 10. Haga que los estudiantes creen un escenario relacionado con la analogía del dinero. (Por ejemplo, agregar una cantidad, como .50 a cada día). ¿Pueden ver por qué haría una gran diferencia al principio, pero se volvería menos importante a medida que x se hiciera más grande? Pídales que relacionen esta comprensión con lo que ven en el gráfico.

¿Qué pasa si multiplicamos alguna constante a nuestra función?

Puede utilizar los gráficos anteriores para observar de cerca los diversos aspectos. ¿Qué efecto tiene la multiplicación en la intersección con el eje y? ¿La multiplicación cambia el número más pequeño y al que se acerca la gráfica cuando x se vuelve cada vez más negativo? ¿Parece que las líneas se unirán en cualquier punto a medida que x se haga más grande? Haga que los estudiantes consideren las gráficas con su comprensión de la analogía del dinero. Esto sería como multiplicar lo que iban a recibir cada día por alguna cantidad. Haga que los estudiantes establezcan la conexión entre el día, x, y cuánto ganan. ¿Apoya la gráfica la idea de que es una buena idea multiplicar por una cantidad mayor que 1? Haga que los estudiantes consideren cómo se vería la gráfica si multiplicamos por algún número entre 0 y 1.

Podemos introducir la idea de diferenciar los valores del exponente en nuestra función haciendo que los estudiantes continúen con su analogía monetaria. Pídales que piensen en multiplicar un número mayor que uno por la cantidad que recibirán cada día, tal como lo habían hecho anteriormente. Ahora pídales que consideren el caso especial en el que la cantidad que están multiplicando es 2. Los estudiantes deben ver que esto es lo mismo que "aumentar" la cantidad en un día. In other words, if they were to receive .01 on day one and .02 on day two, then multiplying the amount they are supposed to get on day one by 2 gives them the amount they were supposed to get on day two. They should be able to see that this will be the case for every day. So, multiplying by 2 is the same as changing the day from x to x+1! Have them theorize a different way they can write the equation y = e(e x ).

We can have the students check their theory by graphing the equations:

Challenge the students to use what they just learned to predict the graphs of y = e x+n . Have them consider when n = x. What do they know about this special case?

Hopefully, after working through this exercise, your students will be more comfortable with the exponential function, even when it involves a base that isn't intuitive to them. They may have developed an appreciation for this type of function with their exploration of just one application. You may want to show them a few more real life applications of this amazing function or have them research it on their own.

Referencia

Maor, E. (1998). e: the story of a number. Princeton, NJ: Princeton University Press

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6.3: Graphs of Exponential Functions - Mathematics


For example, the function f ( x ) = 2 x (its graph is in red on the left) is an exponential function. Functions of this sort are very different from polynomial functions, even though exponents appear in both types. The function is an exponential function, while and are polynomial functions see how different the graphs are from each other. In particular, note the exponential function has a horizontal asymptote.


Since the graphs above show only a small portion of the functions, the relative sizes of f ( x ) = 2 x and the polynomials are not evident. In fact, an exponential with base greater than 1 grows much faster than any polynomial for large values of x . To get an idea of relative sizes, this example illustrates the values of for various values of n . As you click the "next" button you will see two growing rectangles. The red rectangle is of size n 2 pixels while the green rectangle is of size 2 n pixels the value of n at each step is given at the bottom.

If you are not familiar with properties of exponents, this is the time to practice them!

Exponential functions arise in a wide variety of areas in "real life" these include finance, biology, physics, and many others. The base that we use often depends on the application. One in particular is the irrational number mi whose decimal value is approximately 2.718. A brief description of one way in which the number mi arises follows the examples below.

Sometimes we manipulate these formulas to fit a special situation. For example, if we consider a credit card bill as the credit company investing in us instead of us investing in the bank, then we must pay the interest out to them. One way to do this is to use daily compounding on the average daily balance. We can get the following formula for a montly bill by noting that a month with d days contains t = d/365 of a year so that nt = d.

Investigating the ways in which money increases via compound interest shows how the interesting and important (irrational) number: e arises. Suppose you invest $1 at compound interest rate of 100%, compounded n times per year, for 1 year. How much money will you have after 1 year? Of course the answer will depend on the value of n . The formula that tells you how much money you have is given below. See how your money grows over just one year by moving the scroll bar to the right.

Move the indicator on the top scroll bar to increase the value of n . As n increases, the value of A gets closer and closer to e . You never actually reach the number e this way and the formula will always produce a number less than e . The value of e could not be given by such a formula involving fractions and integer powers since it is an irrational number.

When we use the number e as the base for an exponential function we call it the natural exponential function , even though at first glance the number e might seem to be very un -natural.


Now is the time to try out your skills on some problems using exponential functions. Click on Radioactive, Population, or Interest to choose the type of question you want to work on.

As for functions of any other sort, we need to be able to graph exponential functions . Please click here to work on this!


Ver el vídeo: 27 Funciones exponenciales I (Septiembre 2021).