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3.6: Transformación de funciones - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Grafica funciones usando cambios verticales y horizontales.
  • Grafica funciones usando reflexiones sobre el eje xy el eje y.
  • Determina si una función es par, impar o ninguna de ellas a partir de su gráfica.
  • Grafica funciones usando compresiones y estiramientos.
  • Combina transformaciones.

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen precisa de nosotros mismos y de lo que está detrás de nosotros. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden cambiar horizontal o verticalmente. Pero, ¿qué pasa cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de carnaval, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. De manera similar, podemos distorsionar o transformar funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos en el mundo real. En esta sección, veremos varios tipos de transformaciones.

A menudo, cuando se nos presenta un problema, intentamos modelar el escenario utilizando matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del kit de herramientas para construir nuevos modelos para un escenario dado. Hay formas sistemáticas de alterar funciones para construir modelos apropiados para los problemas que estamos tratando de resolver.

Identificación de cambios verticales

Un tipo simple de transformación implica desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El cambio más simple es un desplazamiento vertical, moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica agregar una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, agregamos la misma constante al valor de salida de la función independientemente de la entrada. Para una función (g (x) = f (x) + k ), la función (f (x) ) se desplaza verticalmente (k ) unidades. Consulte la Figura ( PageIndex {2} ) para ver un ejemplo.

Para ayudarle a visualizar el concepto de desplazamiento vertical, considere que (y = f (x) ). Por lo tanto, (f (x) + k ) es equivalente a (y + k ). Cada unidad de (y ) se reemplaza por (y + k ), por lo que el valor de (y ) - aumenta o disminuye según el valor de (k ). El resultado es un cambio hacia arriba o hacia abajo.

Definición: Desplazamiento vertical

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (x) + k ), donde (k ) es una constante, es una desplazamiento vertical de la función (f (x) ). Todos los valores de salida cambian en (k ) unidades. Si (k ) es positivo, la gráfica se desplazará hacia arriba. Si (k ) es negativo, la gráfica se desplazará hacia abajo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Agregar una constante a una función

Para regular la temperatura en un edificio ecológico, las rejillas de ventilación cerca del techo se abren y cierran durante todo el día. La figura ( PageIndex {3} ) muestra el área de los conductos de ventilación abiertos (V ) (en pies cuadrados) a lo largo del día en horas después de la medianoche, (t ). Durante el verano, el gerente de las instalaciones decide tratar de regular mejor la temperatura aumentando la cantidad de respiraderos abiertos en 20 pies cuadrados durante el día y la noche. Dibuja una gráfica de esta nueva función.

Solución

Podemos trazar un gráfico de esta nueva función sumando 20 a cada uno de los valores de salida de la función original. Esto tendrá el efecto de desplazar el gráfico verticalmente hacia arriba, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Observe que en la Figura ( PageIndex {4} ), para cada valor de entrada, el valor de salida ha aumentado en 20, por lo que si llamamos a la nueva función (S (t) ), podríamos escribir

[S (t) = V (t) +20 ]

Esta notación nos dice que, para cualquier valor de (t ), (S (t) ) se puede encontrar evaluando la función (V ) en la misma entrada y luego sumando 20 al resultado. Esto define (S ) como una transformación de la función (V ), en este caso un desplazamiento vertical hacia arriba 20 unidades. Observe que, con un desplazamiento vertical, los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los valores de salida. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )

(t )

0810171924

(Vermont))

0022022000

(S t))

20202402402020

Cómo...

Dada una función tabular, cree una nueva fila para representar un desplazamiento vertical.

  1. Identifique la fila o columna de salida.
  2. Determina el magnitud del turno.
  3. Agregue el cambio al valor en cada celda de salida. Agregue un valor positivo para arriba o un valor negativo para abajo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Desplazamiento vertical de una función tabular

Una función (f (x) ) se da en la Tabla ( PageIndex {2} ). Cree una tabla para la función (g (x) = f (x) −3 ).

Tabla ( PageIndex {2} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

Solución

La fórmula (g (x) = f (x) −3 ) nos dice que podemos encontrar los valores de salida de (g ) restando 3 de los valores de salida de (f ). Por ejemplo:

[ begin {align *} f (x) & = 1 & text {Dado} [4pt] g (x) & = f (x) -3 & text {Transformación dada} [4pt] g (2) & = f (2) −3 & = 1-3 & = - 2 end {align *} ]

Restando 3 de cada valor de (f (x) ), podemos completar una tabla de valores para (g (x) ) como se muestra en la Tabla ( PageIndex {3} ).

Tabla ( PageIndex {3} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

-2048

Análisis

Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los valores de salida.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

La función (h (t) = - 4.9t ^ 2 + 30t ) da la altura (h ) de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de (t ) segundos. Supongamos que la pelota se lanza desde lo alto de un edificio de 10 m. Relaciona esta nueva función de altura (b (t) ) con (h (t) ), y luego encuentra una fórmula para (b (t) ).

Respuesta

(b (t) = h (t) + 10 = −4,9t ^ 2 + 30t + 10 )

Identificación de cambios horizontales

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida o fuera de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y significado. Un cambio a la entrada da como resultado un movimiento del gráfico de la función hacia la izquierda o hacia la derecha en lo que se conoce como desplazamiento horizontal, que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Por ejemplo, si (f (x) = x ^ 2 ), entonces (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) es una función nueva. Cada entrada se reduce en 2 antes de cuadrar la función. El resultado es que la gráfica se desplaza 2 unidades hacia la derecha, porque necesitaríamos aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en (f ).

Definición: desplazamiento horizontal

Dada una función (f ), una nueva función (g (x) = f (x − h) ), donde (h ) es una constante, es una desplazamiento horizontal de la función (f ). Si (h ) es positivo, la gráfica se desplazará a la derecha. Si (h ) es negativo, la gráfica se desplazará a la izquierda.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Agregar una constante a una entrada

Volviendo a nuestro ejemplo de flujo de aire del edificio de la Figura ( PageIndex {2} ), suponga que en otoño el gerente de instalaciones decide que el plan de ventilación original comienza demasiado tarde y quiere comenzar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuja una gráfica de la nueva función.

Solución

Podemos configurar (V (t) ) para que sea el programa original y (F (t) ) para que sea el programa revisado.

[V (t) = text {el plan de ventilación original} nonumber ]

[F (t) = text {comenzando 2 horas antes} nonumber ]

En el nuevo gráfico, en cada momento, el flujo de aire es el mismo que la función original (V ) fue 2 horas después. Por ejemplo, en la función original (V ), el flujo de aire comienza a cambiar a las 8 am, mientras que para la función (F ), el flujo de aire comienza a cambiar a las 6 am Los valores de la función comparable son (V (8 ) = F (6) ). Vea la Figura ( PageIndex {5} ). Observe también que los respiraderos se abrieron por primera vez a (220 text {ft} ^ 2 ) a las 10 a. M. En el plan original, mientras que en el nuevo plan los respiraderos llegan a (220 text {ft} ^ 2 ) en soy, entonces (V (10) = F (8) ).

En ambos casos, vemos que, debido a que (F (t) ) comienza 2 horas antes, (h = −2 ). Eso significa que se alcanzan los mismos valores de salida cuando (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

Análisis

Tenga en cuenta que (V (t + 2) ) tiene el efecto de desplazar la gráfica hacia la izquierda.

Los cambios horizontales o "cambios internos" afectan el dominio de una función (la entrada) en lugar del rango y, a menudo, parecen contradictorios. La nueva función (F (t) ) usa las mismas salidas que (V (t) ), pero hace coincidir esas salidas con las entradas 2 horas antes que las de (V (t) ). Dicho de otra manera, debemos agregar 2 horas a la entrada de (V ) para encontrar la salida correspondiente para (F: F (t) = V (t + 2) ).

Cómo...

Dada una función tabular, cree una nueva fila para representar un desplazamiento horizontal.

  1. Identifique la fila o columna de entrada.
  2. Determine la magnitud del cambio.
  3. Agregue el cambio al valor en cada celda de entrada.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Desplazamiento horizontal de una función tabular

Una función (f (x) ) se da en la Tabla ( PageIndex {4} ). Crea una tabla para la función (g (x) = f (x − 3) ).

Tabla ( PageIndex {4} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

Solución

La fórmula (g (x) = f (x − 3) ) nos dice que los valores de salida de (g ) son los mismos que el valor de salida de (f ) cuando el valor de entrada es 3 menos que el valor original. Por ejemplo, sabemos que (f (2) = 1 ). Para obtener el mismo resultado de la función (g ), necesitaremos un valor de entrada 3 más grande. Ingresamos un valor que es 3 más grande para (g (x) ) porque la función quita 3 antes de evaluar la función (f ).

[ begin {align *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 end {align *} ]

Continuamos con los otros valores para crear Table ( PageIndex {5} ).

Tabla ( PageIndex {5} )

(X)

57911

(x-3 )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

13711

El resultado es que la función (g (x) ) se ha desplazado hacia la derecha en 3. Observe que los valores de salida para (g (x) ) siguen siendo los mismos que los valores de salida para (f (x) ), pero los valores de entrada correspondientes, (x ), se han desplazado hacia la derecha en 3. Específicamente, 2 se desplazó a 5, 4 se desplazó a 7, 6 se desplazó a 9 y 8 se desplazó a 11.

Análisis

La figura ( PageIndex {6} ) representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): identificación de un desplazamiento horizontal de una función del juego de herramientas

La figura ( PageIndex {7} ) representa una transformación de la función del juego de herramientas (f (x) = x ^ 2 ). Relaciona esta nueva función (g (x) ) con (f (x) ), y luego encuentra una fórmula para (g (x) ).

Solución

Observe que la gráfica tiene una forma idéntica a la función (f (x) = x ^ 2 ), pero los valores de (x ) - se desplazan 2 unidades hacia la derecha. El vértice solía estar en ((0,0) ), pero ahora el vértice está en ((2,0) ). La gráfica es la función cuadrática básica desplazada 2 unidades a la derecha, entonces

[g (x) = f (x − 2) nonumber ]

Observe cómo debemos ingresar el valor (x = 2 ) para obtener el valor de salida (y = 0 ); los valores de (x ) - deben ser 2 unidades más grandes debido al desplazamiento hacia la derecha en 2 unidades. Entonces podemos usar la definición de la función (f (x) ) para escribir una fórmula para (g (x) ) evaluando (f (x − 2) ).

[ begin {align *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2 ) ^ 2 end {align *} ]

Análisis

Para determinar si el desplazamiento es (+ 2 ) o (- 2 ), considere un solo punto de referencia en la gráfica. Para una cuadrática, es conveniente mirar el punto del vértice. En la función original, (f (0) = 0 ). En nuestra función desplazada, (g (2) = 0 ). Para obtener el valor de salida de 0 de la función (f ), necesitamos decidir si un signo más o menos funcionará para satisfacer (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). Para que esto funcione, necesitaremos restar 2 unidades de nuestros valores de entrada.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Interpretación de los desplazamientos horizontales frente a los verticales

La función (G (m) ) da la cantidad de galones de gasolina necesarios para conducir (m ) millas. Interpreta (G (m) +10 ) y (G (m + 10) )

Solución

(G (m) +10 ) se puede interpretar como sumar 10 galones a la salida. Esta es la gasolina necesaria para conducir (m ) millas, más otros 10 galones de gasolina. El gráfico indicaría un desplazamiento vertical.

(G (m + 10) ) se puede interpretar como sumar 10 a la entrada, millas. Entonces, esta es la cantidad de galones de gasolina necesarios para conducir 10 millas más que (m ) millas. El gráfico indicaría un desplazamiento horizontal.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dada la función (f (x) = sqrt {x} ), grafica la función original (f (x) ) y la transformación (g (x) = f (x + 2) ) en el mismos ejes. ¿Es este un cambio horizontal o vertical? ¿De qué manera se desplaza la gráfica y en cuántas unidades?

Respuesta

Las gráficas de (f (x) ) y (g (x) ) se muestran a continuación. La transformación es un cambio horizontal. La función se desplaza 2 unidades hacia la izquierda.

Combinar cambios verticales y horizontales

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. Los cambios verticales son cambios externos que afectan los valores del eje de salida ((y -) ) y desplazan la función hacia arriba o hacia abajo. Los cambios horizontales son cambios internos que afectan los valores del eje de entrada ((x -) ) y desplazan la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de cambios hará que la gráfica de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o hacia la izquierda.

Cómo...

Dada una función y un desplazamiento vertical y horizontal, esboce el gráfico.

  1. Identifica los cambios verticales y horizontales de la fórmula.
  2. El desplazamiento vertical resulta de una constante agregada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa.
  3. El desplazamiento horizontal resulta de una constante agregada a la entrada. Mueva la gráfica hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa.
  4. Aplique los cambios al gráfico en cualquier orden.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Graficar desplazamientos verticales y horizontales combinados

Dado (f (x) = | x | ), dibuja una gráfica de (h (x) = f (x + 1) −3 ).

Solución

La función (f ) es la función de valor absoluto de nuestra caja de herramientas. Sabemos que esta gráfica tiene forma de V, con el punto en el origen. La gráfica de (h ) ha transformado (f ) de dos maneras: (f (x + 1) ) es un cambio en el interior de la función, lo que da un desplazamiento horizontal a la izquierda en 1, y la resta por 3 en (f (x + 1) −3 ) es un cambio hacia el exterior de la función, lo que da un desplazamiento vertical hacia abajo en 3. La transformación de la gráfica se ilustra en la Figura ( PageIndex {9} ).

Sigamos un punto de la gráfica de (f (x) = | x | ).

  • El punto ((0,0) ) se transforma primero desplazando 1 unidad a la izquierda: ((0,0) rightarrow (−1,0) )
  • El punto ((- 1,0) ) se transforma a continuación desplazando hacia abajo 3 unidades: ((- 1,0) rightarrow (−1, −3) )

La figura ( PageIndex {10} ) muestra la gráfica de (h ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Dado (f (x) = | x | ), dibuja una gráfica de (h (x) = f (x − 2) +4 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Identificación de desplazamientos verticales y horizontales combinados

Escribe una fórmula para el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ), que es una transformación de la función de raíz cuadrada del juego de herramientas.

Solución

El gráfico de la función del kit de herramientas comienza en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado 1 hacia la derecha y hacia arriba 2. En la notación de funciones, podríamos escribir eso como

[h (x) = f (x − 1) +2 nonumber ]

Usando la fórmula para la función de raíz cuadrada, podemos escribir

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 nonumber ]

Análisis

Tenga en cuenta que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio ( left [1, infty right) ) y rango ( left [2, infty right) ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Escribe una fórmula para una transformación de la función recíproca del juego de herramientas (f (x) = frac {1} {x} ) que desplaza la gráfica de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba.

Respuesta

[g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 nonumber ]

Graficar funciones usando reflexiones sobre los ejes

Otra transformación que se puede aplicar a una función es una reflexión sobre el eje xo y. A reflejo vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que un reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la Figura ( PageIndex {13} ).

.

Observe que la reflexión vertical produce una nueva gráfica que es una imagen especular de la gráfica base o original sobre el eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico que es una imagen especular del gráfico base o original sobre el eje y.

Definiciones: Reflexiones

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = - f (x) ) es una reflejo vertical de la función (f (x) ), a veces llamada reflexión sobre (o sobre oa través) del eje x.

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (−x) ) es una reflexión horizontal de la función (f (x) ), a veces llamada reflexión sobre el eje y.

Cómo...

Dada una función, refleje el gráfico tanto vertical como horizontalmente.

  1. Multiplique todas las salidas por –1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje x.
  2. Multiplique todas las entradas por –1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje y.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente

Refleja la gráfica de (s (t) = sqrt {t} ) (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Solución

una. Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el eje t horizontal como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).

Debido a que cada valor de salida es opuesto al valor de salida original, podemos escribir

[V (t) = - s (t) text {o} V (t) = - sqrt {t} nonumber ]

Observe que este es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que afecta los valores de salida (s (t) ), por lo que el signo negativo pertenece fuera de la función.

B. Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ).

Debido a que cada valor de entrada es opuesto al valor de entrada original, podemos escribir

[H (t) = s (−t) text {o} H (t) = sqrt {−t} nonumber ]

Tenga en cuenta que se trata de un cambio interior o un cambio horizontal que afecta los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función.

Tenga en cuenta que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función raíz cuadrada original tiene dominio ( left [0, infty right) ) y rango ( left [0, infty right) ), la reflexión vertical da (V (t) ) función el rango ( left (- infty, 0 right] ) y la reflexión horizontal da a la función (H (t) ) el dominio ( left (- infty, 0 right] ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Refleja la gráfica de (f (x) = | x − 1 | ) (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Respuesta

una.

B.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Reflejar una función tabular horizontal y verticalmente

Una función (f (x) ) se da como Tabla ( PageIndex {6} ). Cree una tabla para las funciones siguientes.

una. (g (x) = - f (x) )
B. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {6} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

una. Para (g (x) ), el signo negativo fuera de la función indica una reflexión vertical, por lo que los valores de x permanecen iguales y cada valor de salida será el opuesto al valor de salida original. Consulte la tabla ( PageIndex {7} ).

Tabla ( PageIndex {7} )

(X)

2468

(g (x) )

-1-3-7-11

B. Para (h (x) ), el signo negativo dentro de la función indica una reflexión horizontal, por lo que cada valor de entrada será el opuesto al valor de entrada original y los valores de (h (x) ) permanecerán iguales a los (f (x) ) valores. Consulte la tabla ( PageIndex {8} ).

Tabla ( PageIndex {8} )

(X)

-2-4-6-8

(h (x) )

13711

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Una función (f (x) ) se da como Tabla ( PageIndex {9} ). (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {9} )

(X)

-2024

(f (x) )

5101520
Respuesta

una. (g (x) = - f (x) )

Tabla ( PageIndex {10} )

(X)

-2024

(g (x) )

-5-10-15-20

B. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {11} )

(X)

-202-4

(h (x) )

1510520

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Aplicación de una ecuación de modelo de aprendizaje

Un modelo común de aprendizaje tiene una ecuación similar a (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ), donde (k ) es el porcentaje de dominio que se puede lograr después de (t ) sesiones de práctica. Esta es una transformación de la función (f (t) = 2 ^ t ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {18} ). Dibuja una gráfica de (k (t) ).

Solución

Esta ecuación combina tres transformaciones en una sola ecuación.

  • Una reflexión horizontal: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • Una reflexión vertical: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • Un desplazamiento vertical: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

Podemos esbozar una gráfica aplicando estas transformaciones una a la vez a la función original. Sigamos dos puntos a través de cada una de las tres transformaciones. Elegiremos los puntos ((0, 1) ) y ((1, 2) ).

  • Primero, aplicamos una reflexión horizontal: ((0, 1) ; (–1, 2) ).
  • Luego, aplicamos una reflexión vertical: ((0, −1) ; (-1, –2) ).
  • Finalmente, aplicamos un desplazamiento vertical: ((0, 0) ; (-1, -1) ).

Esto significa que los puntos originales, ((0,1) ) y ((1,2) ) se convierten en ((0,0) ) y ((- 1, -1) ) después de que aplicar las transformaciones.

En la Figura ( PageIndex {19} ), el primer gráfico resulta de una reflexión horizontal. El segundo resulta de una reflexión vertical. El tercero resulta de un desplazamiento vertical hacia arriba 1 unidad.

Análisis

Como modelo para el aprendizaje, esta función estaría limitada a un dominio de (t geq0 ), con el rango correspondiente ( left [0,1 right) ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Dada la función del juego de herramientas (f (x) = x ^ 2 ), grafica (g (x) = - f (x) ) y (h (x) = f (−x) ). Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente de estas funciones.

Respuesta

Aviso: (g (x) = f (−x) ) tiene el mismo aspecto que (f (x) ).

Determinación de funciones pares e impares

Algunas funciones exhiben simetría de modo que las reflexiones dan como resultado el gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones del juego de herramientas (f (x) = x ^ 2 ) o (f (x) = | x | ) dará como resultado el gráfico original. Decimos que estos tipos de gráficos son simétricos con respecto al eje y. Las funciones cuyas gráficas son simétricas con respecto al eje y se denominan incluso funciones.

Si las gráficas de (f (x) = x ^ 3 ) o (f (x) = frac {1} {x} ) se reflejaran en ambos ejes, el resultado sería la gráfica original, como se muestra en la Figura ( PageIndex {21} ).

Decimos que estas gráficas son simétricas con respecto al origen. Una función con una gráfica que es simétrica con respecto al origen se llama Función impar.

Nota: Una función no puede ser ni par ni impar si no presenta ninguna simetría. Por ejemplo, (f (x) = 2 ^ x ) no es ni par ni impar. Además, la única función que es par e impar es la función constante (f (x) = 0 ).

Definiciones: funciones pares e impares

Una función se llama incluso función si para cada entrada (x )

(f (x) = f (−x) )

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Una función se llama Función impar si para cada entrada (x )

(f (x) = - f (−x) )

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Cómo...

Dada la fórmula de una función, determina si la función es par, impar o ninguna de las dos.

  1. Determina si la función satisface (f (x) = f (−x) ). Si lo hace, es parejo.
  2. Determina si la función satisface (f (x) = - f (−x) ). Si lo hace, es extraño.
  3. Si la función no satisface ninguna de las reglas, no es ni par ni impar.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): determinar si una función es par, impar o ninguna

¿Es la función (f (x) = x ^ 3 + 2x ) par, impar o ninguna de las dos?

Solución

Sin mirar un gráfico, podemos determinar si la función es par o impar encontrando fórmulas para las reflexiones y determinando si nos devuelven a la función original. Comencemos con la regla para funciones pares.

[f (−x) = (- x) ^ 3 + 2 (−x) = - x ^ 3−2x nonumber ]

Esto no nos devuelve a la función original, por lo que esta función no es pareja. Ahora podemos probar la regla para funciones impares.

[- f (−x) = - (- x ^ 3−2x) = x ^ 3 + 2x nonumber ]

Como (- f (−x) = f (x) ), esta es una función impar.

Análisis

Considere la gráfica de (f ) en la Figura ( PageIndex {22} ). Observe que la gráfica es simétrica con respecto al origen. Para cada punto ((x, y) ) en el gráfico, el punto correspondiente ((- x, −y) ) también está en el gráfico. Por ejemplo, ((1, 3) ) está en la gráfica de (f ), y el punto correspondiente ((- 1, −3) ) también está en la gráfica.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

¿La función (f (s) = s ^ 4 + 3s ^ 2 + 7 ) es par, impar o ninguna de las dos?

Respuesta

incluso

Graficar funciones usando estiramientos y compresiones

Agregar una constante a las entradas o salidas de una función cambió la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afectó la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar las entradas o salidas por alguna cantidad.

Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que se puede ver gráficamente.

Estiramientos y compresiones verticales

Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuya gráfica se estira o comprime verticalmente en relación con la gráfica de la función original. Si la constante es mayor que 1, obtenemos un estiramiento vertical; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos un compresión vertical. La figura ( PageIndex {23} ) muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0.5 y el estiramiento y compresión verticales resultantes.

Definiciones: estiramientos y compresiones verticales

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = af (x) ), donde (a ) es una constante, es una estiramiento vertical o compresión vertical de la función (f (x) ).

Cómo...

Dada una función, grafica su estiramiento vertical.

  1. Identifica el valor de (a ).
  2. Multiplica todos los valores del rango por (a )
  3. Si (a> 1 ), la gráfica se estira por un factor de (a ).
  4. Si (0
  5. Si (a <0 ), el gráfico se estira o se comprime y también se refleja sobre el eje x.

Ejemplo 1.5.14: Graficar un estiramiento vertical

Una función (P (t) ) modela la población de moscas de la fruta. El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {24} ).

Un científico está comparando esta población con otra población, (Q ), cuyo crecimiento sigue el mismo patrón, pero es el doble. Dibuja una gráfica de esta población.

Solución

Debido a que la población siempre es dos veces mayor, los valores de salida de la nueva población son siempre el doble de los valores de salida de la función original. Gráficamente, esto se muestra en la Figura ( PageIndex {25} ).

Si elegimos cuatro puntos de referencia, ((0, 1) ), ((3, 3) ), ((6, 2) ) y ((7, 0) ) multiplicaremos todos de las salidas por 2.

A continuación se muestra dónde se ubicarán los nuevos puntos para el nuevo gráfico.

[(0, 1) rightarrow (0, 2) ]

[(3, 3) rightarrow (3, 6) ]

[(6, 2) rightarrow (6, 4) ]

[(7, 0) rightarrow (7, 0) ]

Simbólicamente, la relación se escribe como

[Q (t) = 2P (t) nonumber ]

Esto significa que para cualquier entrada (t ), el valor de la función (Q ) es el doble del valor de la función (P ). Observe que el efecto en el gráfico es un estiramiento vertical del gráfico, donde cada punto duplica su distancia desde el eje horizontal. Los valores de entrada, (t ), permanecen iguales mientras que los valores de salida son dos veces más grandes que antes.

Cómo...

Dada una función tabular y asumiendo que la transformación es un estiramiento o compresión vertical, cree una tabla para una compresión vertical.

  1. Determina el valor de (a ).
  2. Multiplica todos los valores de salida por (a ).

Ejemplo ( PageIndex {15} ): encontrar una compresión vertical de una función tabular

Una función (f ) se da como Tabla ( PageIndex {12} ). Crea una tabla para la función (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).

Tabla ( PageIndex {12} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

Solución

La fórmula (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) nos dice que los valores de salida de (g ) son la mitad de los valores de salida de (f ) con el mismo entradas. Por ejemplo, sabemos que (f (4) = 3 ). Luego

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} nonumber ]

Hacemos lo mismo con los otros valores para producir Table ( PageIndex {13} ).

Tabla ( PageIndex {13} )

(X)

2468

(g (x) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

Análisis

El resultado es que la función (g (x) ) ha sido comprimida verticalmente por ( frac {1} {2} ). Cada valor de salida se divide por la mitad, por lo que el gráfico tiene la mitad de la altura original.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Una función (f ) se da como Tabla ( PageIndex {14} ). Crea una tabla para la función (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).

Tabla ( PageIndex {14} )

(X)

2468

(f (x) )

1216200
Respuesta
Tabla ( PageIndex {15} )

(X)

2468

(g (x) )

912150

Ejemplo ( PageIndex {16} ): Reconocer un estiramiento vertical

El gráfico de la Figura ( PageIndex {26} ) es una transformación de la función del juego de herramientas (f (x) = x ^ 3 ). Relaciona esta nueva función (g (x) ) con (f (x) ), y luego encuentra una fórmula para (g (x) ).

Al intentar determinar un estiramiento o desplazamiento vertical, es útil buscar un punto en el gráfico que sea relativamente claro. En este gráfico, parece que (g (2) = 2 ). Con la función cúbica básica en la misma entrada, (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). Basado en eso, parece que las salidas de (g ) son ( frac {1} {4} ) las salidas de la función (f ) porque (g (2) = frac {1 } {4} f (2) ). De esto podemos concluir con bastante seguridad que (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

Podemos escribir una fórmula para (g ) usando la definición de la función (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe la fórmula para la función que obtenemos cuando estiramos la función del conjunto de herramientas de identidad en un factor de 3, y luego la desplazamos hacia abajo en 2 unidades.

Respuesta

(g (x) = 3x-2 )

Estiramientos y compresiones horizontales

Ahora consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuya gráfica se estira o se comprime horizontalmente en relación con la gráfica de la función original. Si la constante está entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal; si la constante es mayor que 1, obtenemos un compresión horizontal de la función.

Dada una función (y = f (x) ), la forma (y = f (bx) ) resulta en un estiramiento o compresión horizontal. Considere la función (y = x ^ 2 ). Observe la figura ( PageIndex {27} ). La gráfica de (y = (0.5x) ^ 2 ) es un tramo horizontal de la gráfica de la función (y = x ^ 2 ) por un factor de 2. La gráfica de (y = (2x) ^ 2 ) es una compresión horizontal de la gráfica de la función (y = x ^ 2 ) por un factor de 2.

Definiciones: estiramientos y compresiones horizontales

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (bx) ), donde (b ) es una constante, es una estiramiento horizontal o compresión horizontal de la función (f (x) ).

  • Si (b> 1 ), entonces el gráfico se comprimirá en ( frac {1} {b} ).
  • Si (0
  • Si (b <0 ), entonces habrá una combinación de un estiramiento o compresión horizontal con una reflexión horizontal.

Cómo...

Dada una descripción de una función, dibuje una compresión o estiramiento horizontal.

  1. Escribe una fórmula para representar la función.
  2. Establezca (g (x) = f (bx) ) donde (b> 1 ) para una compresión o (0

Ejemplo ( PageIndex {17} ): Graficar una compresión horizontal

Suponga que un científico está comparando una población de moscas de la fruta con una población que progresa a lo largo de su vida dos veces más rápido que la población original. En otras palabras, esta nueva población, (R ), progresará en 1 hora lo mismo que lo hace la población original en 2 horas, y en 2 horas, progresará tanto como lo hace la población original en 4 horas. Dibuja una gráfica de esta población.

Solución

Simbólicamente, podríamos escribir

( begin {align} R (1) & = P (2), R (2) & = P (4), & text {y en general,} R (t) & = P ( 2t). End {align} )

Consulte la Figura ( PageIndex {28} ) para ver una comparación gráfica de la población original y la población comprimida.

Análisis

Tenga en cuenta que el efecto en el gráfico es una compresión horizontal donde todos los valores de entrada son la mitad de su distancia original desde el eje vertical.

Ejemplo ( PageIndex {18} ): encontrar un estiramiento horizontal para una función tabular

Una función (f (x) ) se da como Tabla ( PageIndex {16} ). Crea una tabla para la función (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

Tabla ( PageIndex {16} )

(X)

2468

(f (x) )

13711

La fórmula (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) nos dice que los valores de salida para (g ) son los mismos que los valores de salida para la función (f ) con una entrada de la mitad del tamaño. Observe que no tenemos suficiente información para determinar (g (2) ) porque (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ), y lo hacemos no tiene un valor para (f (1) ) en nuestra tabla. Nuestros valores de entrada para (g ) deberán ser el doble de grandes para obtener entradas para (f ) que podamos evaluar. Por ejemplo, podemos determinar (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 ]

Hacemos lo mismo con los otros valores para producir Table ( PageIndex {17} ).

Tabla ( PageIndex {17} )

(X)

481216

(g (x) )

13711

La Figura ( PageIndex {29} ) muestra las gráficas de ambos conjuntos de puntos.

Análisis

Debido a que cada valor de entrada se ha duplicado, el resultado es que la función (g (x) ) se ha estirado horizontalmente por un factor de 2.

Ejemplo ( PageIndex {19} ): Reconocimiento de una compresión horizontal en un gráfico

Relacione la función (g (x) ) con (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {30} ).

Solución

La gráfica de (g (x) ) se parece a la gráfica de (f (x) ) comprimida horizontalmente. Como (f (x) ) termina en (6,4) y (g (x) ) termina en (2,4), podemos ver que los valores de x han sido comprimidos por ( frac { 1} {3} ), porque (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). También podríamos notar que (g (2) = f (6) ) y (g (1) = f (3) ). De cualquier manera, podemos describir esta relación como (g (x) = f (3x) ). Esta es una compresión horizontal por ( frac {1} {3} ).

Análisis

Observe que el coeficiente necesario para un estiramiento o compresión horizontal es el recíproco del estiramiento o compresión. Entonces, para estirar el gráfico horizontalmente en un factor de escala de 4, necesitamos un coeficiente de ( frac {1} {4} ) en nuestra función: (f ( frac {1} {4} x) ) . Esto significa que los valores de entrada deben ser cuatro veces mayores para producir el mismo resultado, lo que requiere que la entrada sea mayor, lo que provoca el estiramiento horizontal.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Escribe una fórmula para la función raíz cuadrada del kit de herramientas estirada horizontalmente por un factor de 3.

Respuesta

(g (x) = f ( frac {1} {3} x) ), entonces usando la función de raíz cuadrada obtenemos (g (x) = sqrt { frac {1} {3} x} )

Realización de una secuencia de transformaciones

Al combinar transformaciones, es muy importante considerar el orden de las transformaciones. Por ejemplo, el desplazamiento vertical en 3 y luego el estiramiento vertical en 2 no crea el mismo gráfico que el estiramiento vertical en 2 y luego el desplazamiento vertical en 3, porque cuando cambiamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo el la función original se estira cuando estiramos primero.

Cuando vemos una expresión como (2f (x) +3 ), ¿con qué transformación debemos comenzar? La respuesta aquí se desprende muy bien del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de (f (x) ), primero multiplicamos por 2, lo que provoca el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que provoca el desplazamiento vertical. En otras palabras, multiplicación antes que suma.

Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas de pensar. Cuando escribimos (g (x) = f (2x + 3) ), por ejemplo, tenemos que pensar en cómo las entradas de la función (g ) se relacionan con las entradas de la función (f ) . Suponga que conocemos (f (7) = 12 ). ¿Qué entrada a (g ) produciría esa salida? En otras palabras, ¿qué valor de (x ) permitirá (g (x) = f (2x + 3) = 12? ) Necesitaríamos (2x + 3 = 7 ). Para resolver (x ), primero restaríamos 3, lo que resultaría en un desplazamiento horizontal, y luego dividiríamos por 2, lo que provocaría una compresión horizontal.

Este formato termina siendo muy difícil de trabajar, porque generalmente es mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de cambiarlo. Podemos solucionar esto factorizando dentro de la función.

[f (bx + p) = f (b (x + frac {p} {b})) nonumber ]

Trabajemos con un ejemplo.

[f (x) = (2x + 4) ^ 2 nonumber ]

Podemos factorizar un 2.

[f (x) = (2 (x + 2)) ^ 2 nonumber ]

Ahora podemos observar más claramente un desplazamiento horizontal a la izquierda 2 unidades y una compresión horizontal. Factorizar de esta manera nos permite estirarnos horizontalmente primero y luego desplazarnos horizontalmente.

Combinando Transformaciones

  • Cuando combine transformaciones verticales escritas en la forma (af (x) + k ), primero estírese verticalmente en (a ) y luego desplace verticalmente en (k ).
  • Cuando combine transformaciones horizontales escritas en la forma (f (bx + h) ), primero cambie horizontalmente (h ) y luego estire horizontalmente ( frac {1} {b} ).
  • Cuando combine transformaciones horizontales escritas en la forma (f (b (x + h)) ), primero estire horizontalmente ( frac {1} {b} ) y luego cambie horizontalmente (h ).
  • Las transformaciones horizontales y verticales son independientes. No importa si se realizan primero las transformaciones horizontales o verticales.

Ejemplo ( PageIndex {20} ): Encontrar una transformación triple de una función tabular

Dada la Tabla ( PageIndex {18} ) para la función (f (x) ), cree una tabla de valores para la función (g (x) = 2f (3x) +1 ).

Tabla ( PageIndex {18} )

(X)

6121824

(f (x) )

10141517

Solución

Hay tres pasos para esta transformación y trabajaremos de adentro hacia afuera. Comenzando con las transformaciones horizontales, (f (3x) ) es una compresión horizontal por ( frac {1} {3} ), lo que significa que multiplicamos cada (x ) - valor por ( frac { 1} {3} ). Consulte la tabla ( PageIndex {19} ).

Tabla ( PageIndex {19} )

(X)

2468

(f (3x) )

10141517

Mirando ahora las transformaciones verticales, comenzamos con el tramo vertical, que multiplicará los valores de salida por 2. Aplicamos esto a la transformación anterior. Consulte la tabla ( PageIndex {20} ).

Tabla ( PageIndex {20} )

(X)

2468

(2f (3x) )

20283034

Finalmente, podemos aplicar el desplazamiento vertical, que sumará 1 a todos los valores de salida. Consulte la Tabla ( PageIndex {21} ).

Tabla ( PageIndex {21} )

(X)

2468

(g (x) = 2f (3x) + 1 + 1 )

21293135

Ejemplo ( PageIndex {21} ): Encontrar una transformación triple de un gráfico

Usa la gráfica de (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {31} ) para dibujar una gráfica de (k (x) = f Big ( frac {1} {2} x + 1 Grande) −3 ).

Para simplificar, comencemos por factorizar el interior de la función.

[f Big ( dfrac {1} {2} x + 1 Big) −3 = f Big ( dfrac {1} {2} (x + 2) Big) −3 ]

Al factorizar el interior, primero podemos estirar horizontalmente en 2, como lo indica ( frac {1} {2} ) en el interior de la función. Recuerda que el doble del tamaño de 0 sigue siendo 0, por lo que el punto ((0,2) ) permanece en ((0,2) ) mientras que el punto ((2,0) ) se estirará hasta ((4,0) ). Vea la Figura ( PageIndex {32} ).

A continuación, nos desplazamos horizontalmente a la izquierda 2 unidades, como lo indica (x + 2 ). Vea la Figura ( PageIndex {33} ).

Por último, cambiamos verticalmente hacia abajo en 3 para completar nuestro dibujo, como lo indica −3 en el exterior de la función. Vea la Figura ( PageIndex {34} ).

Ecuaciones clave

Conceptos clave

Glosario

incluso función

una función cuya gráfica no cambia por la reflexión horizontal, (f (x) = f (−x) ), y es simétrica con respecto al eje y

compresión horizontal
una transformación que comprime horizontalmente el gráfico de una función, al multiplicar la entrada por una constante b> 1

reflexión horizontal
una transformación que refleja el gráfico de una función en el eje y al multiplicar la entrada por −1

desplazamiento horizontal
una transformación que desplaza el gráfico de una función hacia la izquierda o hacia la derecha agregando una constante positiva o negativa a la entrada

estiramiento horizontal
una transformación que estira el gráfico de una función horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante 0

Función impar
una función cuya gráfica no cambia por la reflexión horizontal y vertical combinada, (f (x) = - f (−x) ), y es simétrica con respecto al origen

compresión vertical
una transformación de función que comprime el gráfico de la función verticalmente multiplicando la salida por una constante 0

reflejo vertical
una transformación que refleja el gráfico de una función en el eje x multiplicando la salida por −1

desplazamiento vertical
una transformación que desplaza el gráfico de una función hacia arriba o hacia abajo agregando una constante positiva o negativa a la salida

estiramiento vertical
una transformación que estira el gráfico de una función verticalmente al multiplicar la salida por una constante a> 1


3.5 Transformación de funciones

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen precisa de nosotros mismos y de lo que está detrás de nosotros. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden cambiar horizontal o verticalmente. Pero, ¿qué pasa cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de carnaval, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. De manera similar, podemos distorsionar o transformar funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos en el mundo real. En esta sección, veremos varios tipos de transformaciones.

Funciones gráficas mediante desplazamientos verticales y horizontales

A menudo, cuando se nos presenta un problema, intentamos modelar el escenario utilizando matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del kit de herramientas para construir nuevos modelos para un escenario dado. Hay formas sistemáticas de alterar funciones para construir modelos apropiados para los problemas que estamos tratando de resolver.

Identificación de cambios verticales

Un tipo simple de transformación implica desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El cambio más simple es un desplazamiento vertical, moviendo la gráfica hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica agregar una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, agregamos la misma constante al valor de salida de la función independientemente de la entrada. Para una función g (x) = f (x) + k, g (x) = f (x) + k, la función f (x) f (x) se desplaza verticalmente k k unidades. Consulte la Figura 2 para ver un ejemplo.


Graficar un desplazamiento vertical de [látex] y = text_ left (x right) [/ látex]

Cuando una constante D se agrega a la función principal [latex] f left (x right) = < mathrm>_ left (x right) [/ latex], el resultado es un desplazamiento vertical D unidades en la dirección del inicio de sesión D. Para visualizar los cambios verticales, podemos observar la gráfica general de la función madre [látex] f left (x right) = < mathrm>_ left (x right) [/ latex] junto con el cambio hacia arriba, [latex] g left (x right) = < mathrm>_ left (x right) + d [/ latex] y el cambio hacia abajo, [latex] h left (x right) = < mathrm>_ left (x right) -d [/ látex].

Una nota general: Desplazamientos verticales de la función principal [látex] y = text_ left (x right) [/ látex]

Para cualquier constante D, la función [látex] f left (x right) = < mathrm>_ left (x right) + d [/ látex]

  • cambia la función principal [latex] y = < mathrm>_ left (x right) [/ latex] arriba D unidades si D & gt 0.
  • cambia la función principal [latex] y = < mathrm>_ left (x right) [/ latex] abajo D unidades si D & lt 0.
  • tiene la asíntota vertical X = 0.
  • tiene dominio [latex] left (0, infty right) [/ latex].
  • tiene rango [latex] left (- infty, infty right) [/ latex].

Cómo: Dada una función logarítmica con la forma [látex] f left (x right) = >_ left (x right) + d [/ latex], grafica la traducción.

  1. Identifique el desplazamiento vertical:
    1. Si D & gt 0, desplaza la gráfica de [látex] f left (x right) = < mathrm>_ left (x right) [/ latex] arriba D unidades.
    2. Si D & lt 0, desplaza la gráfica de [látex] f left (x right) = < mathrm>_ left (x right) [/ latex] abajo D unidades.

    Ejemplo 5: Graficar un desplazamiento vertical de la función principal [latex] y = text_ left (x right) [/ látex]

    Dibuja una gráfica de [látex] f left (x right) = < mathrm> _ <3> left (x right) -2 [/ latex] junto con su función principal. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

    Solución

    Dado que la función es [látex] f left (x right) = < mathrm> _ <3> left (x right) -2 [/ latex], lo notaremos D = –2. Por lo tanto D & lt 0.

    Esto significa que cambiaremos la función [látex] f left (x right) = < mathrm> _ <3> left (x right) [/ latex] hacia abajo 2 unidades.

    La asíntota vertical es X = 0.

    Considere los tres puntos clave de la función principal, [latex] left ( frac <1> <3>, -1 right) [/ latex], [latex] left (1,0 right) [/ latex] y [latex] left (3,1 right) [/ latex].

    Las nuevas coordenadas se encuentran restando 2 de la y coordenadas.

    Rotula los puntos [látex] left ( frac <1> <3>, -3 right) [/ latex], [latex] left (1, -2 right) [/ latex], y [látex] left (3, -1 right) [/ látex].

    El dominio es [latex] left (0, infty right) [/ latex], el rango es [latex] left (- infty, infty right) [/ latex], y el asíntota vertical es X = 0.

    Figura 9. El dominio es [latex] left (0, infty right) [/ latex], el rango es [latex] left (- infty, infty right) [/ latex], y el asíntota vertical es X = 0.

    Pruébalo 5

    Dibuja una gráfica de [látex] f left (x right) = < mathrm> _ <2> left (x right) +2 [/ latex] junto con su función principal. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota.


    3.6: Transformación de funciones - Matemáticas

    TypeScript 3.6 introduce una comprobación más estricta de los iteradores y las funciones del generador. En versiones anteriores, los usuarios de generadores no tenían forma de diferenciar si un generador entregaba o devolvía un valor.

    Además, los generadores simplemente asumieron que el tipo de rendimiento siempre era cualquiera.

    En TypeScript 3.6, el corrector ahora sabe que el tipo correcto para curr.value debe ser string en nuestro primer ejemplo, y se equivocará correctamente en nuestra llamada a next () en nuestro último ejemplo. Esto se debe a algunos cambios en las declaraciones de tipo Iterator e IteratorResult para incluir algunos parámetros de tipo nuevos, y a un nuevo tipo que TypeScript usa para representar generadores llamado tipo Generator.

    El tipo de iterador ahora permite a los usuarios especificar el tipo generado, el tipo devuelto y el tipo que puede aceptar a continuación.

    Sobre la base de ese trabajo, el nuevo tipo de generador es un iterador que siempre tiene presentes los métodos de retorno y lanzamiento, y también es iterable.

    Para permitir la diferenciación entre los valores devueltos y los valores obtenidos, TypeScript 3.6 convierte el tipo IteratorResult en un tipo de unión discriminada:

    En resumen, lo que esto significa es que podrá delimitar adecuadamente los valores de los iteradores cuando trate con ellos directamente.

    Para representar correctamente los tipos que se pueden pasar a un generador desde las llamadas a next (), TypeScript 3.6 también infiere ciertos usos del rendimiento dentro del cuerpo de una función generadora.

    Si prefiere ser explícito, también puede aplicar el tipo de valores que se pueden devolver, generar y evaluar a partir de expresiones de rendimiento mediante un tipo de retorno explícito. A continuación, next () solo se puede llamar con booleanos, y dependiendo del valor de done, value es una cadena o un número.

    Para obtener más detalles sobre el cambio, consulte la solicitud de extracción aquí.

    Difusión de matriz más precisa

    En los objetivos anteriores a ES2015, las emisiones más fieles para construcciones como bucles for / of y distribuciones de matriz pueden ser un poco pesadas. Por esta razón, TypeScript usa una emisión más simple de forma predeterminada que solo admite tipos de matriz y admite la iteración en otros tipos usando la marca --downlevelIteration. El valor predeterminado más flexible sin --downlevelIteration funciona bastante bien, sin embargo, hubo algunos casos comunes en los que la transformación de los diferenciales de matriz tuvo diferencias observables. Por ejemplo, la siguiente matriz que contiene una extensión

    se puede reescribir como el siguiente literal de matriz

    Sin embargo, TypeScript transformaría el código original en este código:

    que es ligeramente diferente. Array (5) produce una matriz con una longitud de 5, pero sin ranuras de propiedad definidas.

    TypeScript 3.6 presenta un nuevo ayudante __spreadArrays para modelar con precisión lo que sucede en ECMAScript 2015 en objetivos más antiguos fuera de --downlevelIteration. __spreadArrays también está disponible en tslib.

    Promesas mejoradas de UX Around

    TypeScript 3.6 introduce algunas mejoras para cuando las Promesas se manejan incorrectamente.

    Por ejemplo, a menudo es muy común olvidarse de .then () o esperar el contenido de una Promise antes de pasarla a otra función. Los mensajes de error de TypeScript ahora son especializados e informan al usuario que tal vez debería considerar el uso de la palabra clave await.

    También es común intentar acceder a un método antes de esperar -o. Luego () -ing una Promesa. Este es otro ejemplo, entre muchos otros, en los que podemos hacerlo mejor.

    Para obtener más detalles, consulte el problema de origen, así como las solicitudes de extracción que lo vinculan.

    Mejor compatibilidad con Unicode para identificadores

    TypeScript 3.6 contiene un mejor soporte para caracteres Unicode en identificadores cuando se emiten a ES2015 y destinos posteriores.

    Soporte de import.meta en SystemJS

    TypeScript 3.6 admite la transformación de import.meta en context.meta cuando el destino de su módulo está configurado en system.

    obtener y establecer los accesores están permitidos en contextos ambientales

    En versiones anteriores de TypeScript, el lenguaje no permitía obtener y establecer accesos en contextos ambientales (como declare -d clases, o en archivos .d.ts en general). Sin embargo, la razón fundamental era que los descriptores de acceso no eran distintos de las propiedades en lo que respecta a la escritura y la lectura de estas propiedades, debido a que la propuesta de campos de clase de ECMAScript puede tener un comportamiento diferente al de las versiones existentes de TypeScript, nos dimos cuenta de que necesitábamos una forma de comunicar este comportamiento diferente a proporcionar errores apropiados en las subclases.

    Como resultado, los usuarios pueden escribir captadores y definidores en contextos ambientales en TypeScript 3.6.

    En TypeScript 3.7, el propio compilador aprovechará esta característica para que los archivos .d.ts generados también emitan accesos get / set.

    Las clases y funciones ambientales se pueden fusionar

    En versiones anteriores de TypeScript, era un error fusionar clases y funciones bajo cualquier circunstancia. Ahora, las clases y funciones ambientales (clases / funciones con el modificador declare, o en archivos .d.ts) pueden fusionarse. Esto significa que ahora puede escribir lo siguiente:

    en lugar de necesitar usar

    Una ventaja de esto es que el patrón del constructor invocable se puede expresar fácilmente al mismo tiempo que permite que los espacios de nombres se fusionen con estas declaraciones (ya que las declaraciones var no se pueden fusionar con los espacios de nombres).

    En TypeScript 3.7, el compilador aprovechará esta característica para que los archivos .d.ts generados a partir de archivos .js puedan capturar adecuadamente tanto la capacidad de llamada como la capacidad de construcción de una función similar a una clase.

    API de soporte --build e --incremental

    TypeScript 3.0 introdujo soporte para hacer referencia a otros y construirlos de forma incremental usando la marca --build. Además, TypeScript 3.4 introdujo la marca --incremental para guardar información sobre compilaciones anteriores para reconstruir solo ciertos archivos. Estas banderas fueron increíblemente útiles para estructurar proyectos de manera más flexible y acelerar las construcciones. Desafortunadamente, el uso de estos indicadores no funcionó con herramientas de compilación de terceros como Gulp y Webpack. TypeScript 3.6 ahora expone dos conjuntos de API para operar en referencias de proyectos y creación de programas incrementales.

    Para crear compilaciones incrementales, los usuarios pueden aprovechar las API createIncrementalProgram y createIncrementalCompilerHost. Los usuarios también pueden rehidratar instancias de programas antiguos a partir de archivos .tsbuildinfo generados por esta API utilizando la función readBuilderProgram recién expuesta, que solo debe usarse para crear nuevos programas (es decir, no puede modificar la instancia devuelta, solo está destinada a que se utilizará para el parámetro oldProgram en otras funciones de Create * Program).

    Para aprovechar las referencias del proyecto, se ha expuesto una nueva función createSolutionBuilder, que devuelve una instancia del nuevo tipo SolutionBuilder.

    Para obtener más detalles sobre estas API, puede ver la solicitud de extracción original.

    Ediciones de código con reconocimiento de punto y coma

    Editores como Visual Studio y Visual Studio Code pueden aplicar automáticamente correcciones rápidas, refactorizaciones y otras transformaciones, como importar automáticamente valores de otros módulos. Estas transformaciones están impulsadas por TypeScript, y las versiones anteriores de TypeScript agregaron incondicionalmente puntos y comas al final de cada declaración, desafortunadamente, esto no estaba de acuerdo con las pautas de estilo de muchos usuarios, y muchos usuarios estaban disgustados con el editor que insertaba puntos y comas.

    TypeScript ahora es lo suficientemente inteligente como para detectar si su archivo usa punto y coma al aplicar este tipo de ediciones. Si su archivo generalmente carece de punto y coma, TypeScript no agregará uno.

    Sintaxis de importación automática más inteligente

    JavaScript tiene muchas sintaxis o convenciones de módulos diferentes: la del estándar ECMAScript, la que Node ya admite (CommonJS), AMD, System.js, ¡y más! En su mayor parte, TypeScript se importaría automáticamente de forma predeterminada utilizando la sintaxis del módulo ECMAScript, que a menudo era inapropiada en ciertos proyectos de TypeScript con diferentes configuraciones de compilador, o en proyectos de nodo con JavaScript simple y requieren llamadas.

    TypeScript 3.6 ahora es un poco más inteligente al mirar sus importaciones existentes antes de decidir cómo importar automáticamente otros módulos. Puede ver más detalles en la solicitud de extracción original aquí.

    Nuevo patio de juegos de TypeScript

    ¡El campo de juegos de TypeScript ha recibido una actualización muy necesaria con una nueva y práctica funcionalidad! El nuevo parque infantil es en gran parte una bifurcación del parque infantil TypeScript de Artem Tyurin que los miembros de la comunidad han estado usando cada vez más. ¡Le debemos a Artem un gran agradecimiento por ayudarnos aquí!

    El nuevo parque infantil ahora admite muchas opciones nuevas, que incluyen:

    • La opción de destino (que permite a los usuarios cambiar de es5 a es3, es2015, esnext, etc.)
    • Todas las banderas de rigor (incluidas las estrictas)
    • Soporte para archivos JavaScript simples (usando allowJS y opcionalmente checkJs)

    Estas opciones también persisten cuando se comparten enlaces a muestras de juegos, lo que permite a los usuarios compartir ejemplos de manera más confiable sin tener que decirle al destinatario "¡oh, no olvide activar la opción noImplicitAny!".

    En un futuro cercano, actualizaremos las muestras del área de juegos, agregaremos soporte JSX y mejoraremos la adquisición automática de tipos, lo que significa que podrá ver la misma experiencia en el área de juegos que la que obtendría en su editor personal. .

    A medida que mejoramos el área de juegos y el sitio web, agradecemos sus comentarios y solicitudes de extracción en GitHub.

    Los documentos de TypeScript son un proyecto de código abierto. Ayúdanos a mejorar estas páginas enviando una solicitud de extracción ❤


    Reflexiones

    Otra transformación que se puede aplicar a una función es un reflejo sobre el eje [látex] x [/ látex] & # 8211 o [látex] y [/ látex]. A reflejo vertical refleja un gráfico verticalmente en el eje [látex] x [/ látex], mientras que un reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje [látex] y [/ látex]. Los reflejos se muestran en la Figura 9.

    Reflexiones verticales y horizontales de una función.

    Observe que la reflexión vertical produce una nueva gráfica que es una imagen especular de la gráfica base o original sobre el eje [látex] x [/ látex]. La reflexión horizontal produce una nueva gráfica que es una imagen especular de la base o gráfica original sobre el eje [látex] y [/ látex].

    Una nota general: reflexiones

    Dada una función [látex] f left (x right) [/ látex], una nueva función [látex] g left (x right) = - f left (x right) [/ látex] es un reflejo vertical de la función [látex] f left (x right) [/ látex], a veces llamada reflexión sobre (o sobre, oa través) del eje [látex] x [/ látex].

    Dada una función [látex] f left (x right) [/ látex], una nueva función [látex] g left (x right) = f left (-x right) [/ látex] es un reflexión horizontal de la función [látex] f left (x right) [/ látex], a veces llamada una reflexión sobre el eje [látex] y [/ látex].

    Cómo: Dada una función, refleja el gráfico tanto vertical como horizontalmente.

    1. Multiplique todas las salidas por –1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje [látex] x [/ látex].
    2. Multiplique todas las entradas por –1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje [látex] y [/ látex].

    Ejemplo: reflejar un gráfico horizontal y verticalmente

    Refleja la gráfica de [látex] s left (t right) = sqrt[/ látex] (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

    una. Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el [látex] t [/ látex] horizontaleje como se muestra a continuación.

    Reflexión vertical de la función raíz cuadrada

    Debido a que cada valor de salida es opuesto al valor de salida original, podemos escribir

    Observe que este es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que afecta los valores de salida [latex] s left (t right) [/ latex], por lo que el signo negativo pertenece fuera de la función.

    B. Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical como se muestra a continuación.

    Reflexión horizontal de la función raíz cuadrada

    Debido a que cada valor de entrada es opuesto al valor de entrada original, podemos escribir

    Tenga en cuenta que se trata de un cambio interior o un cambio horizontal que afecta los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función.

    Tenga en cuenta que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función raíz cuadrada original tiene dominio [látex] left [0, infty right) [/ látex] y rango [látex] left [0, infty right) [/ látex], la reflexión vertical da el [latex] V left (t right) [/ latex] funcionan el rango [latex] left (- infty, 0 right] [/ latex] y el reflejo horizontal da el [latex] H left (t right) [/ latex] funciona el dominio [latex] left (- infty, 0 right] [/ latex].

    Intentalo

    Refleja la gráfica de [látex] f left (x right) = | x - 1 | [/ látex] (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

    Ejemplo: reflejar una función tabular horizontal y verticalmente

    Se da una función [látex] f left (x right) [/ látex]. Cree una tabla para las funciones siguientes.

    1. Para [látex] g left (x right) [/ látex], el signo negativo fuera de la función indica un reflejo vertical, por lo que los valores de [látex] x [/ látex] permanecen iguales y cada valor de salida será el opuesto al valor de salida original.
      [látex] x [/ látex]2468
      [látex] g left (x right) [/ látex]–1–3–7–11
    2. Para [látex] h left (x right) [/ látex], el signo negativo dentro de la función indica un reflejo horizontal, por lo que cada valor de entrada será el opuesto al valor de entrada original y el [látex] h left ( x right) [/ latex] los valores permanecen igual que los valores de [latex] f left (x right) [/ latex].
      [látex] x [/ látex]−2−4−6−8
      [látex] h left (x right) [/ látex]13711

    Intentalo

    Usando la función [latex] f left (x right) [/ latex] dada en la tabla de arriba, crea una tabla para las funciones a continuación.

    1. [látex] g left (x right) = - f left (x right) [/ látex]
      [látex] x [/ látex]-2024
      [látex] g left (x right) [/ látex][látex] -5 [/ látex][látex] -10 [/ látex][látex] -15 [/ látex][látex] -20 [/ látex]
    2. [látex] h left (x right) = f left (-x right) [/ látex]
      [látex] x [/ látex]-2024
      [látex] h left (x right) [/ látex]15105desconocido

    Contenido

    Si bien es común usar el término transformación para cualquier función de un conjunto en sí mismo (especialmente en términos como "transformación semigrupo" y similares), existe una forma alternativa de convención terminológica en la que el término "transformación" se reserva sólo para biyecciones. Cuando una noción tan estrecha de transformación se generaliza a funciones parciales, entonces una transformación parcial es una función F: AB, donde ambos A y B son subconjuntos de algún conjunto X. [8]

    El conjunto de todas las transformaciones en un conjunto base dado, junto con la composición de funciones, forma un semigrupo regular.

    Para un conjunto finito de cardinalidad norte, existen norte norte transformaciones y (norte+1) norte transformaciones parciales. [9]


    3.6: Transformación de funciones - Matemáticas

    Discutiremos dos tipos de reflexiones: reflexiones a través del X-eje y reflejos a través del y-eje.

    Reflexiones a través del X-Eje

    Para visualizar un reflejo a través del Xeje, imagina la gráfica que resultaría de doblar la gráfica base a lo largo del X-eje. Simbólicamente, definimos reflejos a través del X-eje de la siguiente manera:

    Para la función base F (X), la función dada por

    En otras palabras, todas las partes del gráfico por encima del X-eje se reflejará en la posición correspondiente debajo del X-eje, mientras que todas las partes del gráfico debajo del X-eje se reflejará sobre el X-eje. Por supuesto, X-Las intersecciones se mantendrán sin cambios bajo este tipo de reflexión

    Ejemplos de reflexiones a lo largo del X-Eje

    Considere las siguientes funciones base,

    La representación gráfica de la función (1), F (X), es una parábola desplazada 9 unidades hacia abajo con respecto a la función base y = X 2. ¿Qué supones que la gráfica de

    ¿parece? Usando la definición de F (X), podemos escribir y1(X) como,

    Basado en la definición de reflexión a través del X-eje, la gráfica de y1(X) debería verse como el gráfico de F (X), reflejada en el X-eje. Eche un vistazo a las gráficas de F (X) y y1(X).

    Función (2), gramo(X), es una función de valor absoluto. ¿Cuál sería la gráfica de

    ¿parece? Usando nuestro conocimiento de las reflexiones a través del X-eje, la gráfica de y2(X) debería verse como el gráfico base gramo(X) reflejada en el X-eje. Para comprobar esto, podemos escribir y2(X) como,

    construya una tabla de valores y trace la gráfica de la nueva función. Como puede ver, la gráfica de y2(X) es de hecho el gráfico base gramo(X) reflejada en el X-eje.

    Reflexiones a través del y-Eje

    Puede visualizar un reflejo en el yeje imaginando el gráfico que resultaría de doblar el gráfico base a lo largo del y-eje. Simbólicamente, definimos reflejos a través del y-eje de la siguiente manera:

    Para la función base F (X), la función dada por

    En otras palabras, todas las porciones del gráfico a la izquierda del y-eje se reflejará en la posición correspondiente a la derecha del y-eje, mientras que todas las partes del gráfico a la derecha de y-eje se reflejará en las posiciones correspondientes a la izquierda del y-eje. Por supuesto, y-Las intersecciones se mantendrán sin cambios bajo este tipo de reflexión.

    Ejemplos de reflexiones a lo largo del y-Eje

    Considere las siguientes funciones base,

    La representación gráfica de la función (1), F (X), es una parábola desplazada 1 unidad hacia la derecha. ¿Qué supones que la gráfica de

    ¿parece? Usando la definición de F (X), podemos escribir y1(X) como,

    Basado en la definición de reflexión a través del y-eje, la gráfica de y1(X) debería verse como el gráfico de F (X), reflejada en el y-eje. Eche un vistazo a las gráficas de F (X) y y1(X).

    Función (2), gramo(X), es una función cúbica. ¿Cuál sería la gráfica de

    ¿parece? Usando nuestro conocimiento de las reflexiones a través del y-eje, la gráfica de y2(X) debería verse como el gráfico base gramo(X) reflejada en el y-eje. Para comprobar esto, podemos escribir y2(X) como,

    construya una tabla de valores y trace la gráfica de la nueva función. Como puede ver, la gráfica de y2(X) es de hecho el gráfico base gramo(X) reflejada en el y-eje.

    Ahora intente algunos problemas que pongan a prueba su conocimiento de las transformaciones gráficas.


    Transformación de traducción

    En una transformación de traslación, todos los puntos del objeto se mueven en línea recta en la misma dirección. El tamaño, la forma y la orientación de la imagen son los mismos que los del objeto original. Misma orientación significa que el objeto y la imagen miran en la misma dirección.

    Ejemplo:

    Describimos una traslación en términos de la cantidad de unidades que se mueven hacia la derecha o la izquierda y la cantidad de unidades que se mueven hacia arriba o hacia abajo.

    Ejemplo:
    Mueva el objeto 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba.

    Traducción representada por vector de columna o matriz

    La traducción se puede representar mediante un vector de columna como.

    El número superior representa el movimiento hacia la derecha y hacia la izquierda. Un número positivo significa moverse hacia la derecha y un número negativo significa moverse hacia la izquierda.

    El número inferior representa el movimiento hacia arriba y hacia abajo. Un número positivo significa subir y un número negativo significa bajar.

    En la siguiente figura, el triángulo ABC se traduce al triángulo A & rsquoB & rsquoC '

    La traducción está representada por el vector de columna.

    En general, una traducción se puede representar mediante un matriz de columna o vector de columna donde a es el número de unidades que se moverán hacia la derecha o la izquierda a lo largo del eje xyb es el número de unidades que se moverán hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje y.

    La ecuación matricial que representa una traslación es:

    donde es la matriz de traducción y es la imagen de.

    Ejemplo 1:
    El triángulo P se asigna al triángulo Q mediante la traslación.

    a) Encuentra las coordenadas del triángulo Q.
    b) En el diagrama, dibuja y rotula el triángulo Q.

    Solución:
    a)

    Como notación matemática, podemos escribir: T (A) = B, para significar que el objeto A se asigna a B bajo la transformación T.

    Describir las traslaciones de formas simples en el plano, usando la notación de vector de columna

    ¿Cómo transformar una forma usando un vector dado?

    Traslación en el plano de coordenadas

    Traducción de geometría
    Una traducción de geometría es una transformación isométrica, lo que significa que la figura original y la imagen son congruentes. La traducción de una figura puede considerarse como "deslizante" del original. Si la imagen se movió hacia la izquierda y hacia abajo, la regla será (x - __, y - __) donde los espacios en blanco son las distancias movidas a lo largo de cada eje para las traslaciones hacia la izquierda y hacia arriba: (x - __, y + __), para la derecha y abajo (x + __, y - __), para derecha y arriba (x + __, y + __).

    ¿Cómo trasladar un polígono en el plano de coordenadas?

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    3.6: Transformación de funciones - Matemáticas

    De vuelta en Cálculo I teníamos la regla de sustitución que nos decía que,

    En esencia, esto es tomar una integral en términos de (x ) y cambiarla en términos de (u ). Queremos hacer algo similar para integrales dobles y triples. De hecho, ya lo hemos hecho hasta cierto punto cuando convertimos integrales dobles en coordenadas polares y cuando convertimos integrales triples en coordenadas cilíndricas o esféricas. La principal diferencia es que en realidad no analizamos los detalles de la procedencia de las fórmulas. Si recuerda, en cada uno de esos casos comentamos que eventualmente justificaríamos las fórmulas para (dA ) y (dV ). Ahora es el momento de hacer esa justificación.

    Si bien a menudo la razón para cambiar las variables es para obtener una integral que podamos hacer con las nuevas variables, otra razón para cambiar las variables es convertir la región en una región más agradable para trabajar. Cuando estábamos convirtiendo las coordenadas polares, cilíndricas o esféricas, no nos preocupamos por este cambio ya que era bastante fácil determinar los nuevos límites basados ​​en la región dada. Sin embargo, ese no es siempre el caso. Entonces, antes de pasar a cambiar variables con múltiples integrales, primero debemos ver cómo la región puede cambiar con un cambio de variables.

    Primero, necesitamos un poco de terminología / notación fuera del camino. Llamamos a las ecuaciones que definen el cambio de variables un transformación. Además, normalmente comenzaremos con una región, (R ), en coordenadas (xy ) - y la transformaremos en una región en coordenadas (uv ) -.

    1. (R ) es la elipse ( + frac <<>> <<36>> = 1 ) y la transformación es (x = frac<2> ), (y = 3v ).
    2. (R ) es la región delimitada por (y = - x + 4 ), (y = x + 1 ) y ( displaystyle y = frac<3> - frac <4> <3> ) y la transformación es ( displaystyle x = frac <1> <2> left ( derecha) ), ( Displaystyle y = frac <1> <2> left ( derecho)).

    Realmente no hay mucho que hacer con este aparte de conectar la transformación en la ecuación de la elipse y ver qué obtenemos.

    Entonces, comenzamos con una elipse y después de la transformación teníamos un disco de radio 2.

    Al igual que con la primera parte, tendremos que insertar la transformación en la ecuación, sin embargo, en este caso, tendremos que hacerlo tres veces, una para cada ecuación. Antes de hacer eso, esbocemos el gráfico de la región y veamos qué tenemos.

    Entonces, tenemos un triángulo. Ahora, pasemos por la transformación. Aplicaremos la transformación a cada borde del triángulo y veremos a dónde llegamos.

    Hagamos (y = - x + 4 ) primero. Conectar la transformación da,

    [empezar frac <1> <2> left ( right) & = - frac <1> <2> left ( right) + 4 u - v & = - u - v + 8 2u & = 8 u & = 4 end]

    El primer límite se transforma muy bien en una ecuación mucho más simple.

    Ahora echemos un vistazo a (y = x + 1 ),

    [empezar frac <1> <2> left ( right) & = frac <1> <2> left ( right) + 1 u - v & = u + v + 2 - 2v & = 2 v & = - 1 end]

    Una vez más, una ecuación mucho más agradable que con la que empezamos.

    Finalmente, transformemos (y = frac <3> - frac <4> <3> ).

    [empezar frac <1> <2> left ( right) & = frac <1> <3> left ( <2> left ( derecha)> derecha) - frac <4> <3> 3u - 3v & = u + v - 8 4v & = 2u + 8 v & = frac <2> + 2 end]

    Entonces, nuevamente, obtuvimos una ecuación algo más simple, aunque no tan buena como las dos primeras.

    Echemos un vistazo a la nueva región en la que nos encontramos con la transformación.

    Todavía tenemos un triángulo, pero mucho mejor.

    Tenga en cuenta que no siempre podemos esperar transformar un tipo específico de región (un triángulo, por ejemplo) en el mismo tipo de región. Es completamente posible hacer que un triángulo se transforme en una región en la que cada uno de los bordes sea curvo y de ninguna manera se parezca a un triángulo.

    Tenga en cuenta que en cada uno de los ejemplos anteriores tomamos una región bidimensional que habría sido algo difícil de integrar y la convertimos en una región que sería mucho más agradable en la integración. Como señalamos al comienzo de este conjunto de ejemplos, ese suele ser uno de los puntos detrás de la transformación. Además de convertir el integrando en algo más simple, a menudo también transformará la región en una que sea mucho más fácil de manejar.

    Antes de continuar con el siguiente tema, abordemos otro punto. En ocasiones, también necesitaremos conocer el rango de (u ) y / o (v ) para cada una de las nuevas ecuaciones que obtenemos de la transformación. No lo necesitábamos para los dos ejemplos anteriores y no es algo que necesitemos a menudo. Sin embargo, en ocasiones puede ayudar a determinar la nueva región.

    Entonces, trabajemos con un ejemplo rápido para ver cómo lo hacemos.

    Bien, ya sabemos cómo se ve la nueva región y cuáles son las nuevas ecuaciones del ejemplo anterior. Entonces, aquí hay una revisión rápida de la transformación de cada una de las ecuaciones originales.

    Aquí está la nueva región en la que estamos sometidos a la transformación.

    Tenga en cuenta que, en este caso, podríamos determinar el rango de (u ) y (v ) para cada ecuación del dibujo anterior. Sin embargo, en los casos en los que realmente necesitemos los rangos, esto generalmente no es una opción, ya que a menudo necesitamos los rangos de (u ) y / o (v ) para obtener un esquema preciso de la nueva región.

    Entonces, comencemos ahora a resolver el problema.

    Comencemos con la ecuación (u = 4 ). Primero, no necesitamos un "rango" de (u ) aquí ya que la ecuación deja bastante claro que tenemos un valor único de (u ), a saber, (u = 4 ). Entonces, determinemos el rango de (v ) que deberíamos obtener.

    Comencemos con la transformación (x ) y conectemos el valor conocido de (u ) para esta ecuación. Eso da,

    Ahora, sabemos que el rango de (x ) para la ecuación original, (y = - x + 4 ), es ( frac <3> <2> le x le 4 ) . También sabemos desde arriba qué es (x ) en términos de (v ), así que conéctelo a este rango y haga una pequeña manipulación de la siguiente manera,

    [empezar Displaystyle frac <3> <2> le x le 4 Displaystyle frac <3> <2> le frac <1> <2> left (<4 + v> right) le 4 3 le 4 + v le 8 - 1 le v le 4 end]

    Entonces, el rango de (v ) para (u = 4 ) debe ser (- 1 le v le 4 ), lo que coincide muy bien con lo que esperaríamos del gráfico de la nueva región .

    Tenga en cuenta que también podríamos usar la transformación (y ) y el rango (y ) para la ecuación original y obtener el mismo resultado.

    Bien, pasemos ahora a (v = - 1 ) y no daremos tanta explicación para esta parte.

    Primero, no necesitamos un rango de (v ) para esto porque claramente tenemos un solo valor de (v ). Entonces, para obtener el rango de (u ), comencemos nuevamente con la transformación (x ), conecte (v = - 1 ) en eso y luego usemos el rango de (x ) de la ecuación original, (y = x + 1 ).

    [empezar displaystyle - frac <7> <2> le x le frac <3> <2> displaystyle - frac <7> <2> le frac <1> <2> left ( right) le frac <3> <2> - 7 le u - 1 le 3 - 6 le u le 4 end]

    Entonces, el rango de (u ) para (v = - 1 ) es (- 6 le u le 4 ) que, de nuevo, coincide con lo que vemos en el gráfico. También tenga en cuenta que, una vez más, podríamos haber usado los rangos (y ) para hacer este trabajo.

    Finalmente, encontremos el rango de (u ) y (v ) para (v = frac <2> + 2 ). Esta vez usemos la transformación (y ) para que podamos decir que usamos eso en uno de estos. Entonces, comenzaremos con el rango de (y ) para la ecuación original, (y = frac <3> - frac <4> <3> ), ingrese la transformación (y ) y luego ingrese (v ). Hacer esto da,

    [empezar displaystyle - frac <5> <2> le y le 0 displaystyle - frac <5> <2> le frac <1> <2> left ( <2> + 2> right)> right) le 0 displaystyle - 5 le frac <2> - 2 le 0 Displaystyle - 3 le frac <2> le 2 - 6 le u le 4 end]

    Entonces, nuevamente obtenemos el rango de (u ) que esperamos obtener del gráfico. Una vez que los tenemos, el rango apropiado de (v ) se puede encontrar a partir de la ecuación en sí de la siguiente manera,

    [empezar Displaystyle - 6 le u le 4 - 3 le frac <2> le 2 displaystyle - 1 le frac <2> + 2 le 4 - 1 le v le 4 end]

    Básicamente, comienza con el rango de (u ) y "construye" la ecuación para el lado y obtenemos el rango de (v ) para este lado.

    Entonces, ahora sabemos cómo obtener rangos de (u ) y / o (v ) para nuevas ecuaciones bajo una transformación. Sin embargo, esto no es algo que se haga con mucha frecuencia, pero es una habilidad útil en caso de que surja en alguna parte.

    Ahora que hemos visto un par de ejemplos de regiones transformadoras, necesitamos hablar sobre cómo realmente cambiamos las variables en la integral. Empezaremos con integrales dobles. Para cambiar las variables en una integral doble necesitaremos Jacobiano de la transformación. Aquí está la definición del jacobiano.

    Definición

    La Jacobiano de la transformación (x = g left ( derecha) ), (y = h izquierda ( right) ) es

    El jacobiano se define como un determinante de una matriz de 2x2, si no está familiarizado con esto, está bien. A continuación se explica cómo calcular el determinante.

    Por lo tanto, otra fórmula para el determinante es,

    Ahora que tenemos el jacobiano fuera del camino, podemos dar la fórmula para el cambio de variables para una integral doble.

    Cambio de variables para una integral doble

    Supongamos que queremos integrar (f left ( right) ) sobre la región (R ). Bajo la transformación (x = g left ( derecha) ), (y = h izquierda ( right) ) la región se convierte en (S ) y la integral se convierte en,

    También tenga en cuenta que estamos tomando el valor absoluto del jacobiano.

    Si miramos solo los diferenciales en la fórmula anterior, también podemos decir que

    Entonces, lo que estamos haciendo aquí es justificar la fórmula que usamos cuando estábamos integrando con respecto a las coordenadas polares. Todo lo que tenemos que hacer es usar la fórmula anterior para (dA ).

    La transformación aquí son las fórmulas de conversión estándar,

    [x = r cos theta hspace <0.25in> hspace <0.25in> y = r sin theta ]

    El jacobiano de esta transformación es,

    Entonces, la fórmula que usamos en la sección de integrales polares era correcta.

    Ahora, hagamos un par de integrales.

    Primero, dibujemos la región (R ) y determinemos ecuaciones para cada uno de los lados.

    Cada una de las ecuaciones se encontró usando el hecho de que conocemos dos puntos en cada línea (es decir. los dos vértices que forman el borde).

    Si bien podríamos hacer esta integral en términos de (x ) y (y ), involucraría dos integrales y, por lo tanto, sería algo de trabajo.

    Usemos la transformación y veamos qué obtenemos. Haremos esto conectando la transformación en cada una de las ecuaciones anteriores.

    Comencemos el proceso con (y = x ).

    [empezar2u - 3v & = 2u + 3v 6v & = 0 v & = 0 end]

    Transformar (y = - x ) es similar.

    [empezar2u - 3v & = - izquierda (<2u + 3v> derecha) 4u & = 0 u & = 0 end]

    A continuación, transformaremos (y = - x + 5 ).

    [empezar2u - 3v & = - izquierda (<2u + 3v> derecha) + 5 4u & = 5 u & = frac <5> <4> end]

    Finalmente, transformemos (y = x - 5 ).

    [empezar2u - 3v & = 2u + 3v - 5 - 6v & = - 5 v & = frac <5> <6> end]

    La región (S ) es entonces un rectángulo cuyos lados están dados por (u = 0 ), (v = 0 ), (u = frac <5> <4> ) y (v = frac <5> <6> ) y entonces los rangos de (u ) y (v ) son,

    [0 le u le frac <5> <4> hspace <0.25in> hspace <0.25in> 0 le v le frac <5> <6> ]

    A continuación, necesitamos el jacobiano.

    Antes de continuar con este problema. Hagamos una gráfica rápida del límite de la región (R ). Afirmamos que es una elipse, pero claramente no está en forma "estándar". Aquí está el límite de (R ).

    Entonces, es una elipse, solo una que está en un ángulo en lugar de simétrica con respecto a los ejes (x ) y (y ), como estamos acostumbrados a tratar.

    Además, tenga en cuenta que usamos " ( le 2 )" al "definir" (R ) para dejar en claro que estamos usando tanto la elipse real como el interior de la elipse para (R ).

    Bien, continuemos con el problema.

    Lo primero que debe hacer es insertar la transformación en la ecuación de la elipse para ver en qué se transforma la región.

    O, al dividir por 2, vemos que la ecuación que describe (R ) se transforma en

    o el círculo unitario. Nuevamente, esto será mucho más fácil de integrar que la región original.

    Tenga en cuenta también que hemos demostrado que la función que estamos integrando es

    en términos de (u ) y (v ) por lo que no tendremos que rehacer ese trabajo cuando llegue el momento de hacer la integral.

    Finalmente, necesitamos encontrar el jacobiano.

    Antes de continuar, conviene hacer una advertencia. No cometa el error de sustituir ( - xy + = 2 ) o ( + = 1 ) in para el integrando. Estas ecuaciones solo son válidas en el límite de la región y también estamos mirando todos los puntos dentro del límite y para esos puntos ninguna de estas ecuaciones será verdadera.

    En este punto, notaremos que esta integral será mucho más fácil en términos de coordenadas polares y, por lo tanto, para terminar, la integral se convertirá en coordenadas polares.

    Veamos ahora brevemente las integrales triples. En este caso, comenzaremos nuevamente con una región (R ) y usaremos la transformación (x = g left ( derecha) ), (y = h izquierda ( right) ) y (z = k left ( right) ) para transformar la región en la nueva región (S ). Para hacer la integral necesitaremos un jacobiano, tal como hicimos con las integrales dobles. Aquí está la definición del jacobiano para este tipo de transformación.

    En este caso, el jacobiano se define en términos del determinante de una matriz de 3x3. Vimos cómo evaluarlos cuando miramos los productos cruzados en Cálculo II. Si necesita un repaso sobre cómo calcularlos, debe volver atrás y revisar esa sección.

    La integral bajo esta transformación es,

    Al igual que con las integrales dobles, usamos (d overline) en la integral (u ) / (v ) / (w ) anterior para recordarnos que necesitaremos usar (du ), (dv ) y (dw ) cuando convertir a integrales simples. Nuevamente, esto es solo una notación y generalmente se escribe simplemente como (dV ).

    Podemos mirar solo los diferenciales y notar que debemos tener

    No vamos a hacer ninguna integral aquí, pero verifiquemos la fórmula para (dV ) para coordenadas esféricas.

    Aquí la transformación es solo las fórmulas de conversión estándar.

    [x = rho sin varphi cos theta hspace <0.25in> y = rho sin varphi sin theta hspace <0.25in> z = rho cos varphi ]

    [dV = left | <- < rho ^ 2> sin varphi> right | , d rho , d theta , d varphi = < rho ^ 2> sin varphi , d rho , d theta , d varphi ]

    Recuerde que restringimos ( varphi ) al rango (0 le varphi le pi ) para coordenadas esféricas y, por lo tanto, sabemos que ( sin varphi ge 0 ) y así no ' t necesita las barras de valor absoluto en el seno.

    Dejaremos que usted verifique la fórmula de (dV ) para coordenadas cilíndricas si lo desea. Es una fórmula mucho más fácil de verificar.


    Detalles

    Haga clic en el icono + junto a cualquier control deslizante de parámetro para ingresar un valor específico o crear una animación. La Reiniciar casilla de verificación restablecerá los valores de los parámetros a , , , , y .


    Ver el vídeo: Desplazamientos Verticales y Horizontales - Transformaciones de Funciones - Ejercicios (Septiembre 2021).