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3.8: Funciones inversas


Objetivos de aprendizaje

  • Verificar funciones inversas.
  • Determine el dominio y el rango de una función inversa y restrinja el dominio de una función para que sea uno a uno.
  • Encuentra o evalúa la inversa de una función.
  • Utilice la gráfica de una función uno a uno para representar gráficamente su función inversa en los mismos ejes.

Una bomba de calor reversible es un sistema de control de clima que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo dispositivo. Operado en una dirección, bombea calor fuera de una casa para proporcionar enfriamiento. Al funcionar en reversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en climas fríos, para proporcionar calefacción. Como calentador, una bomba de calor es varias veces más eficiente que el calentamiento por resistencia eléctrica convencional.

Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las funciones "máquinas" que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La figura ( PageIndex {1} ) proporciona una representación visual de esta pregunta. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.


Figura ( PageIndex {1} ): ¿Puede una función “máquina” operar en reversa?

Verificación de que dos funciones sean funciones inversas

Supongamos que un diseñador de moda que viaja a Milán para un desfile de moda quiere saber cuál será la temperatura. Él no está familiarizado con el Celsius escala. Para tener una idea de cómo se relacionan las mediciones de temperatura, le pide a su asistente, Betty, que convierta 75 grados Fahrenheit a grados Celsius. Ella encuentra la formula

[C = dfrac {5} {9} (F − 32) ]

y sustituye (F ) por 75 para calcular

[ dfrac {5} {9} (75−32) approx24 ^ { circ} ]

Sabiendo que unos cómodos 75 grados Fahrenheit son aproximadamente 24 grados Celsius, envía a su asistente el pronóstico del tiempo de la semana de Figure ( PageIndex {2} ) para Milán y le pide que convierta todas las temperaturas a grados Fahrenheit.

Al principio, Betty considera usar la fórmula que ya encontró para completar las conversiones. Después de todo, ella conoce su álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para (F ) después de sustituir un valor por (C ). Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir

[ begin {align} 26 & = dfrac {5} {9} (F-32) 26⋅ dfrac {9} {5} & = F − 32 F & = 26⋅ dfrac {9} {5} +32 approx79 end {align} ]

Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será tremendamente tedioso. Se da cuenta de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener una fórmula diferente, una que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit.

La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de un función inversa, que es una función para la cual la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa.

Dada una función (f (x) ), representamos su inversa como (f ^ {- 1} (x) ), se lee como " (f ) inversa de (x )". El -1 elevado es parte de la notación. No es un exponente; no implica una potencia de -1. En otras palabras, (f ^ {- 1} (x) ) no significa ( frac {1} {f (x)} ) porque ( frac {1} {f (x)} ) es el recíproco de (f ) y no el inverso.

La notación "similar a un exponente" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que (a ^ {- 1} a = 1 ) (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número distinto de cero (a ) , entonces (f ^ {- 1} { circ} f ) es igual a la función de identidad, es decir,

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (y) = x ]

Esto es válido para todos (x ) en el dominio de (f ). De manera informal, esto significa que las funciones inversas se "deshacen" entre sí. Sin embargo, al igual que cero no tiene un recíproco, algunas funciones no tienen inversas.

Dada una función (f (x) ), podemos verificar si alguna otra función (g (x) ) es la inversa de (f (x) ) comprobando si (g (f (x )) = x ) o (f (g (x)) = x ) es cierto. Podemos probar la ecuación con la que sea más conveniente trabajar porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, la otra también).

Por ejemplo, (y = 4x ) y (y = frac {1} {4} x ) son funciones inversas.

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (4x) = dfrac {1} {4} (4x) = x ]

y

[(f { circ} f ^ {- 1}) (x) = f Big ( dfrac {1} {4} x Big) = 4 Big ( dfrac {1} {4} x Grande) = x ]

Algunos pares de coordenadas de la gráfica de la función (y = 4x ) son ((- 2, −8) ), ((0, 0) ) y ((2, 8) ) . Algunos pares de coordenadas de la gráfica de la función (y = frac {1} {4} x ) son ((- 8, −2) ), ((0, 0) ) y ((8, 2) ). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en la gráfica de la función inversa.

Definición: función inversa

Para cualquier función uno a uno (f (x) = y ), una función (f ^ {- 1} (x) ) es una función inversa de (f ) si (f ^ {- 1} (y) = x ). Esto también se puede escribir como (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todo (x ) en el dominio de (f ). También se deduce que (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) para todo (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} ) if (f ^ {- 1} ) es la inversa de (f ).

La notación (f ^ {- 1} ) se lee " (f ) inversa". Como cualquier otra función, podemos usar cualquier nombre de variable como entrada para (f ^ {- 1} ), por lo que a menudo escribiremos (f ^ {- 1} (x) ), que leemos como " (f ) inversa de (x ) ". Manten eso en mente

[f ^ {- 1} (x) neq dfrac {1} {f (x)} ]

y no todas las funciones tienen inversas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación de una función inversa para un par de entrada-salida dado

Si para una función uno a uno en particular (f (2) = 4 ) y (f (5) = 12 ), ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes para la función inversa?

Solución

La función inversa invierte las cantidades de entrada y salida, por lo que si

[f (2) = 4, text {luego} f ^ {- 1} (4) = 2; f (5) = 12, text {luego} f ^ {- 1} (12) = 5 ].

Alternativamente, si queremos nombrar la función inversa (g ), entonces (g (4) = 2 ) y (g (12) = 5 ).

Análisis

Observe que si mostramos los pares de coordenadas en forma de tabla, la entrada y la salida están claramente invertidas. Consulte la tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
((x, f (x)) ) ((x, g (x)) )
((2,4))((4,2))
((5,12))((12,5))

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dado que (h ^ {- 1} (6) = 2 ), ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes de la función original (h )?

Respuesta

(h (2) = 6 )

Cómo: Dadas dos funciones (f (x) ) y (g (x) ), prueba si las funciones son inversas entre sí.

  1. Determina si (f (g (x)) = x ) o (g (f (x)) = x ).
  2. Si ambas afirmaciones son verdaderas, entonces (g = f ^ {- 1} ) y (f = g ^ {- 1} ). Si cualquiera de las declaraciones es falsa, ambas son falsas, y (g { neq} f ^ {- 1} ) y (f { neq} g ^ {- 1} ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Prueba de relaciones inversas algebraicamente

Si (f (x) = frac {1} {x + 2} ) y (g (x) = frac {1} {x} −2 ), es (g = f ^ {- 1} )?

Solución

[ begin {align} g (f (x)) & = dfrac {1} {( frac {1} {x + 2}) - 2} & = x + 2−2 & = x end {align} ]

entonces

[g = f ^ {- 1} text {y} f = g ^ {- 1} ]

Esto es suficiente para responder afirmativamente a la pregunta, pero también podemos verificar la otra fórmula.

[ begin {align} f (g (x)) & = dfrac {1} { frac {1} {x} -2 + 2} & = dfrac {1} { frac {1} {x}} & = x end {align} ]

Análisis

Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Si (f (x) = x ^ 3−4 ) y (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ), ¿es (g = f ^ {- 1} )?

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Determinación de relaciones inversas para funciones de potencia

Si (f (x) = x ^ 3 ) (la función del cubo) y (g (x) = frac {1} {3} x ), es (g = f ^ {- 1} )?

Solución

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

No, las funciones no son inversas.
Análisis

La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz cúbica ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ), es decir, un tercio es un exponente , no un multiplicador.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Si (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) y (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ), es (g = f ^ {- 1} )?

Respuesta

Encontrar dominio y rango de funciones inversas

Las salidas de la función (f ) son las entradas a (f ^ {- 1} ), por lo que el rango de (f ) también es el dominio de (f ^ {- 1} ). Asimismo, debido a que las entradas a (f ) son las salidas de (f ^ {- 1} ), el dominio de (f ) es el rango de (f ^ {- 1} ). Podemos visualizar la situación como en la Figura ( PageIndex {3} ).


Figura ( PageIndex {3} ): Dominio y rango de una función y su inversa.

Cuando una función no tiene función inversa, es posible crear una nueva función donde esa nueva función en un dominio limitado tiene una función inversa. Por ejemplo, la inversa de (f (x) = sqrt {x} ) es (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 ), porque un cuadrado "deshace" una raíz cuadrada; pero el cuadrado es solo el inverso de la raíz cuadrada en el dominio ( left [0, infty right) ), ya que ese es el rango de (f (x) = sqrt {x} ).

Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática del juego de herramientas) (f (x) = x ^ 2 ). Si queremos construir una inversa a esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y –3. Pero una salida de una función es una entrada a su inversa; si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), entonces la “inversa” no es una función en absoluto. Para decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función uno a uno; falla la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene una función inversa. Para que una función tenga una inversa, debe ser una función uno a uno.

En muchos casos, si una función no es uno a uno, aún podemos restringir la función a una parte de su dominio en la que es uno a uno. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada (f (x) = x ^ 2 ) con su rango limitado a ( left [0, infty right) ), que es un uno- a uno (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada).

Si (f (x) = (x − 1) ^ 2 ) en ([1, ∞) ), entonces la función inversa es (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} +1 ).

  • El dominio de (f ) = rango de (f ^ {- 1} = left [1, infty right) ).
  • El dominio de (f ^ {- 1} ) = rango de (f = left [0, infty right) ).

¿Es posible que una función tenga más de una inversa?

No. Si dos funciones supuestamente diferentes, digamos, (g ) yh, ambas cumplen la definición de ser inversas de otra función (f ), entonces puedes probar que (g = h ). Acabamos de ver que algunas funciones solo tienen inversas si restringimos el dominio de la función original. En estos casos, puede haber más de una forma de restringir el dominio, dando lugar a diferentes inversas. Sin embargo, en cualquier dominio, la función original todavía tiene una única inversa.

Nota: dominio y rango de funciones inversas

El rango de una función (f (x) ) es el dominio de la función inversa (f ^ {- 1} (x) ).

El dominio de (f (x) ) es el rango de (f ^ {- 1} (x) ).

Cómo: Dada una función, encuentra el dominio y el rango de su inverso.

  1. Si la función es uno a uno, escriba el rango de la función original como el dominio de la inversa y escriba el dominio de la función original como el rango de la inversa.
  2. Si es necesario restringir el dominio de la función original para convertirlo en uno a uno, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar las inversas de las funciones del kit de herramientas

Identifique cuáles de las funciones del kit de herramientas, además de la función cuadrática, no son una a una, y encuentre un dominio restringido en el que cada función sea una a una, si corresponde. Las funciones del kit de herramientas se revisan en Table ( PageIndex {2} ). Restringimos el dominio de tal manera que la función asume todos los valores de y exactamente una vez.

Tabla ( PageIndex {2} )
ConstanteIdentidadCuadráticoCúbicoRecíproco
(f (x) = c ) (f (x) = x ) (f (x) = x ^ 2 ) (f (x) = x ^ 3 ) (f (x) = frac {1} {x} )
Cuadrado recíprocoRaíz cúbicaRaíz cuadradaValor absoluto
(f (x) = frac {1} {x ^ 2} ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) (f (x) = sqrt {x} ) (f (x) = | x | )

Solución

La función constante no es uno a uno, y no hay dominio (excepto un solo punto) en el que podría ser uno a uno, por lo que la función constante no tiene una inversa significativa.

La función de valor absoluto se puede restringir al dominio ( left [0, infty right) ), donde es igual a la función de identidad.

La función recíproca al cuadrado se puede restringir al dominio ((0, infty) ).

Análisis

Podemos ver que estas funciones (si no están restringidas) no son uno a uno al observar sus gráficos, que se muestran en la Figura ( PageIndex {4} ). Ambos fallarían en la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, si una función está restringida a un cierto dominio para que pase la prueba de la línea horizontal, entonces, en ese dominio restringido, puede tener una inversa.


Figura ( PageIndex {4} ): (a) Valor absoluto (b) Recíproco al cuadrado

( PageIndex {4} ): El dominio de la función (f ) es ((1, infty) ) y el rango de la función (f ) es ((- infty, −2) ). Encuentra el dominio y rango de la función inversa.

Solución

El dominio de la función (f ^ {- 1} ) es ((- infty, −2) ) y el rango de la función (f ^ {- 1} ) es ((1, infty ) ).

Encontrar y evaluar funciones inversas

Una vez que tenemos una función uno a uno, podemos evaluar su inversa en entradas de función inversa específicas o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos.

Inversión de funciones tabulares

Suponga que queremos encontrar la inversa de una función representada en forma de tabla. Recuerda que el dominio de una función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Entonces necesitamos intercambiar el dominio y el rango.

Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas para la función inversa. De manera similar, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Interpretación de la inversa de una función tabular

En la Tabla ( PageIndex {3} ) se da una función (f (t) ), que muestra la distancia en millas que ha recorrido un automóvil en (t ) minutos. Encuentra e interpreta (f ^ {- 1} (70) )

Tabla ( PageIndex {3} )

(t ) (minutos)

30507090

(f (t) ) (millas)

20406070

La función inversa toma una salida de (f ) y devuelve una entrada para (f ). Entonces, en la expresión (f ^ {- 1} (70) ), 70 es un valor de salida de la función original, que representa 70 millas. La inversa devolverá la entrada correspondiente de la función original (f ), 90 minutos, entonces (f ^ {- 1} (70) = 90 ). La interpretación de esto es que, para conducir 70 millas, tomó 90 minutos.

Alternativamente, recuerde que la definición de la inversa era que si (f (a) = b ), entonces (f ^ {- 1} (b) = a ). Según esta definición, si se nos da (f ^ {- 1} (70) = a ), entonces estamos buscando un valor (a ) de modo que (f (a) = 70 ). En este caso, estamos buscando a (t ) de modo que (f (t) = 70 ), que es cuando (t = 90 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usando la Tabla ( PageIndex {4} ), encuentre e interprete (a) (f (60) ) y (b) (f ^ {- 1} (60) ).

Tabla ( PageIndex {4} )

(t ) (minutos)

3050607090

(f (t) ) (millas)

2040506070
Respuesta

(f (60) = 50 ). En 60 minutos se recorren 50 millas.
(f ^ {- 1} (60) = 70 ). Para viajar 60 millas, tomará 70 minutos.

Evaluación de la inversa de una función, dada una gráfica de la función original

Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función se puede leer observando la extensión horizontal de su gráfica. Encontramos el dominio de la función inversa observando el vertical extensión de la gráfica de la función original, porque corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. De manera similar, encontramos el rango de la función inversa observando el horizontal extensión de la gráfica de la función original, ya que esta es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, encontramos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original.

Dada la gráfica de una función, evalúe su inversa en puntos específicos.

  1. Encuentre la entrada deseada en el eje y del gráfico dado.
  2. Lea la salida de la función inversa del eje x del gráfico dado.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): evaluar una función y su inverso a partir de un gráfico en puntos específicos

En la Figura ( PageIndex {5} ) se da una función (g (x) ). Encuentra (g (3) ) y (g ^ {- 1} (3) ).
.

Solución

Para evaluar (g (3) ), encontramos 3 en el eje xy encontramos el valor de salida correspondiente en el eje y. El punto ((3,1) ) nos dice que (g (3) = 1 ).

Para evaluar (g ^ {- 1} (3) ), recuerde que, por definición, (g ^ {- 1} (3) ) significa el valor de (x ) para el cual (g (x) = 3 ). Al buscar el valor de salida 3 en el eje vertical, encontramos el punto ((5,3) ) en la gráfica, lo que significa (g (5) = 3 ), entonces, por definición, (g ^ {-1} (3) = 5. ) Vea la figura ( PageIndex {6} ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Usando la gráfica de la Figura ( PageIndex {6} ), (a) encuentre (g ^ {- 1} (1) ) y (b) estime (g ^ {- 1} (4) ).

Responde una

3

Respuesta b

5.6

Encontrar inversas de funciones representadas por fórmulas

A veces, necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para unos pocos. Si la función original se da como una fórmula, por ejemplo, (y ) como una función de (x ) - a menudo podemos encontrar la función inversa resolviendo para obtener (x ) como una función de ( y ).

Cómo: Dada una función representada por una fórmula, encuentra la inversa.

  1. Asegúrese de que (f ) sea una función uno a uno.
  2. Solución para x)
  3. Intercambia (x ) y (y ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Inversión de la función Fahrenheit a Celsius

Encuentre una fórmula para la función inversa que dé la temperatura Fahrenheit en función de la temperatura Celsius.

[C = dfrac {5} {9} (F − 32) ]

Solución

[ begin {align} C & = frac {5} {9} (F-32) C { cdot} frac {9} {5} & = F − 32 F & = frac {9 } {5} C + 32 end {align} ]

Resolviendo en general, hemos descubierto la función inversa. Si

[C = h (F) = dfrac {5} {9} (F − 32) ],

luego

[F = h ^ {- 1} (C) = dfrac {9} {5} C + 32. ]

En este caso, introdujimos una función (h ) para representar la conversión porque las variables de entrada y salida son descriptivas y escribir (C ^ {- 1} ) podría resultar confuso.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Resuelve para (x ) en términos de (y ) dado (y = frac {1} {3} (x − 5) )

Respuesta

(x = 3y + 5 )

Ejemplo ( PageIndex {8} ): resolver para encontrar una función inversa

Encuentra la inversa de la función (f (x) = frac {2} {x − 3} +4 ).

Solución

[ begin {align} y & = dfrac {2} {x − 3 + 4} & text {Establece una ecuación.} y − 4 & = dfrac {2} {x − 3} & text {Resta 4 de ambos lados.} x − 3 & = dfrac {2} {y − 4} & text {Multiplica ambos lados por x − 3 y divide por y − 4.} x & = dfrac { 2} {y − 4} +3 & text {Suma 3 en ambos lados.} End {align} ]

Entonces (f ^ {- 1} (y) = frac {2} {y − 4} +3 ) o (f ^ {- 1} (x) = frac {2} {x − 4} +3 ).

Análisis

El dominio y el rango de (f ) excluyen los valores 3 y 4, respectivamente. (f ) y (f ^ {- 1} ) son iguales en dos puntos pero no son la misma función, como podemos ver al crear Table ( PageIndex {5} ).

Tabla ( PageIndex {5} )

(X)

125 (f ^ {- 1} (y) )

(f (x) )

325 (y )

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Resolver para encontrar un inverso con radicales

Encuentra la inversa de la función (f (x) = 2 + sqrt {x − 4} ).

Solución

[ begin {align} y & = 2 + sqrt {x-4} (y-2) ^ 2 & = x-4 x & = (y-2) ^ 2 + 4 end {align} ]

Entonces (f ^ {- 1} (x) = (x − 2) ^ 2 + 4 ).

El dominio de (f ) es ( left [4, infty right) ). Observe que el rango de (f ) es ( left [2, infty right) ), por lo que esto significa que el dominio de la función inversa (f ^ {- 1} ) también es ( left [2, infty right) )

Análisis

La fórmula que encontramos para (f ^ {- 1} (x) ) parece que sería válida para todos los (x ) reales. Sin embargo, (f ^ {- 1} ) en sí mismo debe tener una inversa (es decir, (f )) por lo que tenemos que restringir el dominio de (f ^ {- 1} ) a ( left [ 2, infty right) ) para hacer de (f ^ {- 1} ) una función uno a uno. Este dominio de (f ^ {- 1} ) es exactamente el rango de (f ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

¿Cuál es la inversa de la función (f (x) = 2- sqrt {x} )? Enuncie los dominios tanto de la función como de la función inversa.

Respuesta

(f ^ {- 1} (x) = (2 − x) ^ 2 ); dominio de (f ): ( left [0, infty right) ); dominio de (f ^ {- 1} ): ( left (- infty, 2 right] )

Encontrar funciones inversas y sus gráficos

Ahora que podemos encontrar la inversa de una función, exploraremos las gráficas de funciones y sus inversas. Regresemos a la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 ) restringida al dominio ( left [0, infty right) ), en la que esta función es uno a uno, y grafíquelo como en la Figura ( PageIndex {7} ).


Figura ( PageIndex {7} ): Función cuadrática con dominio restringido a ([0, infty) ).

Restringir el dominio to ( left [0, infty right) ) hace que la función sea uno a uno (obviamente pasará la prueba de la línea horizontal), por lo que tiene una inversa en este dominio restringido.

Ya sabemos que la inversa de la función cuadrática del juego de herramientas es la función raíz cuadrada, es decir, (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). ¿Qué sucede si graficamos (f ) y (f ^ {- 1} ) en el mismo conjunto de ejes, usando el eje x para la entrada de (f ) y (f ^ { -1} )?

Notamos una relación distinta: la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ) es la gráfica de (f (x) ) reflejada sobre la línea diagonal (y = x ), que llamar a la línea de identidad, que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

.
Figura ( PageIndex {8} ): Funciones cuadradas y de raíz cuadrada en el dominio no negativo

Esta relación se observará para todas las funciones uno a uno, porque es el resultado de la función y sus entradas y salidas de intercambio inverso. Esto equivale a intercambiar los roles de los ejes vertical y horizontal.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): encontrar la inversa de una función usando la reflexión sobre la línea de identidad

Dada la gráfica de (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {9} ), dibuje una gráfica de (f ^ {- 1} (x) ).

Esta es una función uno a uno, por lo que podremos dibujar una inversa. Tenga en cuenta que la gráfica que se muestra tiene un dominio aparente de ((0, infty) ) y un rango de ((- infty, infty) ), por lo que la inversa tendrá un dominio de ((- infty , infty) ) y rango de ((0, infty) ).

Si reflejamos este gráfico sobre la línea (y = x ), el punto ((1,0) ) se refleja en ((0,1) ) y el punto ((4,2) ) se refleja en ((2,4) ). Dibujar el inverso en los mismos ejes que el gráfico original da la Figura ( PageIndex {10} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuja gráficas de las funciones (f ) y (f ^ {- 1} ) del Ejemplo ( PageIndex {8} ).

Respuesta

¿Existe alguna función que sea igual a su propia inversa?

Si. Si (f = f ^ {- 1} ), entonces (f (f (x)) = x ), y podemos pensar en varias funciones que tengan esta propiedad. La función de identidad

lo hace, y también lo hace la función recíproca, porque

[ dfrac {1} { frac {1} {x}} = x ]

Cualquier función (f (x) = c − x ), donde (c ) es una constante, también es igual a su propia inversa.

Conceptos clave

  • Si (g (x) ) es la inversa de (f (x) ), entonces (g (f (x)) = f (g (x)) = x ).
  • Cada una de las funciones del kit de herramientas tiene una inversa.
  • Para que una función tenga una inversa, debe ser uno a uno (pasar la prueba de la línea horizontal).
  • Una función que no es uno a uno en todo su dominio puede ser uno a uno en parte de su dominio.
  • Para una función tabular, intercambie las filas de entrada y salida para obtener la inversa.
  • La inversa de una función se puede determinar en puntos específicos de su gráfico.
  • Para encontrar la inversa de una fórmula, resuelve la ecuación (y = f (x) ) para (x ) como una función de (y ). Luego intercambie las etiquetas (x ) y (y ).
  • La gráfica de una función inversa es el reflejo de la gráfica de la función original a través de la línea (y = x ).

§3.8 Ecuaciones no lineales

donde z es una variable real o compleja y la función f no es lineal. Las soluciones se llaman raíces de la ecuación, o ceros apagado . Si f ⁢ (z 0) = 0 y f ′ ⁢ (z 0) ≠ 0, entonces z 0 es un cero simple apagado . Si f ⁢ (z 0) = f ′ ⁢ (z 0) = ⋯ = f (m - 1) ⁢ (z 0) = 0 y f (m) ⁢ (z 0) ≠ 0, entonces z 0 es un cero fuera de multiplicidad m compárese con el § 1.10 (i).

A veces, la ecuación toma la forma

y las soluciones se llaman puntos fijos de ϕ.

Las ecuaciones (3.8.1) y (3.8.2) generalmente se resuelven mediante métodos iterativos. Sea z 1, z 2,… una secuencia de aproximaciones a una raíz, o punto fijo, ζ. Si

para todo n suficientemente grande, donde A y p son independientes de n, entonces se dice que la secuencia tiene convergencia de la p th pedido. (Más precisamente, p es el mayor de los posibles conjuntos de índices para (3.8.3).) Si p = 1 y A & lt 1, entonces se dice que la convergencia es lineal o geométrico. Si p = 2, entonces la convergencia es cuadrático si p = 3, entonces la convergencia es cúbico, y así.

Un método iterativo converge en la zona a una solución ζ si existe una vecindad N de ζ tal que z n → ζ siempre que la aproximación inicial z 0 se encuentre dentro de N.


Un registro inverso se define como el anti-registro de una función de registro elevado a un valor negativo.

¿Cómo calcular el logaritmo inverso?

    Primero, determina la base

Todas las funciones logarítmicas requieren un número base. Por lo general, esto se representa como b en la ecuación anterior. El logaritmo natural (ln) como base de e = 2.718 & # 8230

Determina el número del que deseas tomar el logaritmo inverso.

Calcula el logaritmo inverso de y usando la fórmula anterior.

Un registro inverso es otra forma de decir el anti-registro. Es un valor que representa el inverso de una función logarítmica y se puede calcular usando la ecuación x = b ^ y donde b es la base.


Álgebra

Myra usa una función de variación inversa para modelar los datos de los pares ordenados a continuación. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) ¿Qué enunciado explica mejor si una función de variación inversa es el mejor modelo para los datos?

Funciones - matemáticas

La función f es tal que f (x) = a ^ 2x ^ 2 - ax + 3b para x

Cálculo, comprueba mis respuestas, ¡por favor! 3

¿Hice bien estas preguntas de práctica? 1. Suponga que f es una función par cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales. Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones podemos afirmar que es verdad? *** La función f tiene una f –1 inversa que es

Funciones - matemáticas

La función f es tal que f (x) = 2x + 3 para x ≥ 0. La función g es tal que g (x) = ax ^ 2 + b para x ≤ q, donde a, byq son constantes. La función fg es tal que fg (x) = 6x ^ 2 - 21 para x ≤ q. i) Encuentra los valores de a

Cálculo

Suponga que f es una función diferenciable uno a uno y su función inversa f ^ −1 también es diferenciable. Se puede mostrar, usando la diferenciación implícita (¡hazlo!), Que (f ^ −1) ′ (x) = 1 / f ′ (f ^ −1 (x)) Find (f ^ −1) ′ (- 6) Si

POR FAVOR AYUDA, MATEMÁTICAS

Determine algebraicamente si f (x) = (7x-2) / (4). Y g (x) = (4x + 2) / (7) son funciones inversas. Muestre cómo sabe, no entiendo este tipo de problema, tengo una prueba en estos tmrw y necesito ayuda para resolverlos

Ayuda de cálculo

La fórmula C = 5/9 (F - 32), donde F ≥ −459.67, expresa la temperatura Celsius C en función de la temperatura Fahrenheit F. Encuentre una fórmula para la función inversa. ¿Cuál es el dominio de la función inversa? (Ingresar

Trigonometría

Tener problemas con preguntas de verdadero / falso en trigonometría. Leen lo siguiente: Verdadero o Falso: Para una función trigonométrica, y = f (x), luego x = F ^ -1 (y). Explica tu respuesta. Verdadero o falso: para una función uno a uno, y = f (x), entonces

Álgebra

¿Alguien puede ayudar con las funciones y relaciones inversas? ¿Es la relación t una función? ¿Es la t inversa una función? el gráfico se ve así: x 0 2 4 6 y -10-1 4 8 Si alguien pudiera explicar este problema

Álgebra

Tengo que encontrar la función inversa de f (x) = 3-4x. Obtuve y = 3-x / 4 para la función. Luego tengo que volver a conectarlo a la función y verificar que sea el inverso. Entonces escribí (3-4 (3-x)) / 4. Esto resultó en (-3 + x) / 4 = x. Lo intenté

Pre cálculo

Encuentra la inversa de la siguiente función. Grafica la función de abajo y la inversa. Determina el dominio, el rango y las asíntotas de la siguiente función y la función inversa. Muestra todo tu trabajo. f (x) = 2e ^ -x + 5 Solo mirando

Precálculo

Defina la función secante inversa restringiendo el dominio de la función secante a los intervalos (0, pi / 2) y (pi / 2, pi) y dibuje la gráfica de la función inversa.


3.8: Funciones inversas

f (a) = f (b)
4 x + 20 = 4 segundo + 20
4 a = 4 b
a = b

Por lo tanto, y = 4 x + 20 es un 1-1 función.

Usando la Prueba 2, si x = 10, entonces nosotros tenemos

Si x = & # 150 10, entonces nosotros tenemos

Dado que dos valores diferentes de X conducir al mismo valor de y,
luego, y = & # 150 & radic & # 160100 & # 150 x 2 & # 160 no es un 1-1 función.

y = 3 x 3 y # 150 6 & # 160 = 3 (x 3 & # 150 2)

f (a) = f (b)
3 (a 3 y # 150 2) = 3 (b 3 y # 150 2)
a 3 & # 150 2 = b 3 & # 150 2
a 3 = b 3
3 & radic & # 160a & # 160 = 3 & radic & # 160b & # 160
a = b

Por lo tanto, y = 3 x 3 y # 150 6 es un 1-1 función.

4 (b & # 150 8) = 4 (a & # 150 8)
b & # 150 8 = a & # 150 8
b = a

Usando la Prueba 2, si x = 4, entonces nosotros tenemos

f (4) = & # 150 3 (4 & # 150 6) 2 + 8 = & # 150 3 & # 183 4 + 8 = & # 150 12 + 8 = & # 150 4

y si x = 8, entonces nosotros tenemos

f (8) = & # 150 3 (8 & # 150 6) 2 + 8 = & # 150 3 & # 183 4 + 8 = & # 150 12 + 8 = & # 150 4

Dado que dos valores diferentes de X conducir al mismo valor de y,
por lo tanto, y = & # 150 3 (x & # 150 6) 2 + 8 no es un 1-1 función.

Por lo tanto, y = 3 x 3 y # 150 6 es un 1-1 función.

g (x) = & # 160 1
––
3
& # 160x & # 150 3

(f & omicron g) (x) = 3 & # 160 ( 1
––
3
& # 160x & # 150 3 ) & # 160 + 9 = x & # 150 9 + 9 = x

(g & omicron f) (x) = & # 160 1
––
3
( 3 x + 9 ) & # 160 & # 150 3 = x + 3 & # 150 3 = x

Desde (f & omicrón g) (x) = x y (g & omicron f) (x) = x,
entonces estas funciones son inversas.

g (x) = & # 150 & # 160 1
––
4
x & # 150 2

(f & omicron g) (x) = & # 150 4 & # 160 ( –  1
––
4
& # 160x & # 150 2 ) & # 160 + 2 = x + 8 + 2 = x + 10 & ne x

Desde (f y omicron g) (x) y ne x,
entonces estas funciones no son inversas.

Desde (f & omicrón g) (x) = x y (g & omicron f) (x) = x,
entonces estas funciones son inversas.

Desde (f y omicron g) (x) y ne x,
entonces estas funciones no son inversas.

f (x) = & radic & # 160x + 8 & # 160 , dónde x & ge & # 150 8

g (x) = x 2 y # 150 8, dónde x & ge 3

(g & omicron d) (x) = (& radic & # 160x + 8 & # 160) 2 & # 150 8 = x + 8 & # 150 8 = x

Desde (f & omicrón g) (x) = x y (g & omicron f) (x) = x,
entonces estas funciones son inversas.

Desde F es 1-1, su inverso es

Observa eso f (6) = & # 150 8 y f (0) = & # 150 8.
Similar, f (3) = & # 150 4 y f (5) = & # 150 4.

Desde F no es 1-1, no tiene inverso.

  1. escribe una ecuación para la función inversa
  2. grafico F y f -1
  3. dar el dominio y rango de F y f -1

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)
4 a & # 150 5 = 4 b & # 150 5
a = b

Por lo tanto, f (x) = 4 x & # 150 5 es 1-1 y tiene una inversa.

dominio de f (x) = (& # 150 & infin, & infin) = gama de f -1 (x)

gama de f (x) = (& # 150 & infin, & infin) = dominio de f -1 (x)

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)
& # 150 6 a & # 150 8 = & # 150 6 b & # 150 8
a = b

Por lo tanto, f (x) = & # 150 6 x & # 150 8 es 1-1 y tiene una inversa.

dominio de f (x) = (& # 150 & infin, & infin) = gama de f -1 (x)

gama de f (x) = (& # 150 & infin, & infin) = dominio de f -1 (x)

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)
& # 150 a 3 & # 150 2 = & # 150 b 3 & # 150 2
a = b

Por lo tanto, f (x) = & # 150 x 3 & # 150 2 es 1-1 y tiene una inversa.

dominio de f (x) = (& # 150 & infin, & infin) = gama de f -1 (x)

gama de f (x) = (& # 150 & infin, & infin) = dominio de f -1 (x)

    Ecuación de función inversa

Por lo tanto, f (x) = & # 150 x 2 + 2 no es 1-1 y no tiene inversa.

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)

Por lo tanto, & # 160 f (x) = & # 160 4
––
X
& # 160 es 1-1 y tiene una inversa.

x = 0 y # 160& # 160es una asíntota vertical.

Dado que el numerador tiene un grado menor que el grado del denominador,

y = 0 & # 160& # 160es una asíntota horizontal.

Dado que el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador,
entonces no hay asíntota oblicua.

No hay intersección con el eje y porque el eje y es una asíntota vertical.

No hay intersección con el eje x porque el eje x es una asíntota horizontal.

Por lo tanto, la gráfica no interseca la asíntota horizontal.

Los intervalos de dominio son (& # 150 & infin, 0) (0, & infin).

Intervalos Prueba
Puntos
Valor
de
f (x)
Firmar
de
f (x)
Grafico
sobre
debajo
eje x
(& # 150 & infin, 0) – 1 0 – 4 0 debajo
(0 e infinito) 1 0 4 0 + sobre

f (x) = & # 160 4
––
X

f (& # 150 1) = & # 160 4
–––
– 1
 = – 4

f (1) = & # 160 4
––
1
 = 4

dominio de f (x) = (& # 150 & infin, 0) & cup (0, & infin) = gama de f -1 (x)

gama de f (x) = (& # 150 & infin, 0) & cup (0, & infin) = dominio de f -1 (x)

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)

Por lo tanto, & # 160 f (x) = & # 160 1
–––––
x + 2
& # 160 es 1-1 y tiene una inversa.

x (y + 2) = 1
xy + 2x = 1
xy = & # 150 2x + 1

dominio de f (x) = (& # 150 & infin, & # 150 2) & cup (& # 150 2, & infin) = gama de f -1 (x)

gama de f (x) = (& # 150 & infin, 0) & cup (0, & infin) = dominio de f -1 (x)

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)

Por lo tanto, & # 160 f (x) = & # 160 x + 2
–––––
x & # 150 1
& # 160 es 1-1 y tiene una inversa.

x (y & # 150 1) = y + 2
xy & # 150 x = y + 2
xy & # 150 y = x + 2
y (x & # 150 1) = x + 2

x & # 150 1 = 0
x = 1
es una asíntota vertical.

y = 1 es una asíntota horizontal.

Dado que el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador,
entonces no hay asíntota oblicua.

f (0) = & # 160 0 + 2
–––––
0 – 1
 = – 2  & # 160es una intersección con el eje y.

0 = x + 2
x = & # 150 2 & # 160
& # 160es una intersección con el eje x.

x & # 150 1 = x + 2
x & # 150 x = 1 + 2
0 y ne 3

Por lo tanto, la gráfica no interseca la asíntota horizontal.

Los intervalos de dominio son (& # 150 & infin, & # 150 2) (& # 150 2, 1) (1, & infin).

Intervalos Prueba
Puntos
Valor
de
f (x)
Firmar
de
f (x)
Grafico
sobre
debajo
eje x
(& # 150 & infin, & # 150 2) – 3 0 0.25 + sobre
( – 2, 1 ) – 1 0 – 0.5 0 debajo
(1 e infinito) 2 0 4 .00 + sobre

f (x) = & # 160 x + 2
–––––
x & # 150 1

f (& # 150 3) = & # 160 – 3 + 2
–––––
– 3 – 1
 =   – 1
–––
– 4
 =   1
––
4

f (& # 150 1) = & # 160 – 1 + 2
––––––
– 1 – 1
 = –  1
––
2

f (2) = & # 160 2 + 2
–––––
2 – 1
 =  4
––
1
 = 4

dominio de f (x) = (& # 150 & infin, 1) & cup (1, & infin) = gama de f -1 (x)

gama de f (x) = (& # 150 & infin, 1) & cup (1, & infin) = dominio de f -1 (x)

    Ecuación de función inversa

Usando la Prueba 1, tenemos

f (a) = f (b)

& # 150 3 a + 12
––––––––
a & # 150 6
 =  – 3 b + 12
–––––––––
b – 6

Therefore,  f (x) =  – 3 x + 12
–––––––––
x – 6
 is 1-1 and has an inverse.

x ( y – 6 ) = – 3 y + 12
xy – 6 x = – 3 y + 12
xy + 3 y = 6 x + 12
y ( x + 3 ) = 6 x + 12

x – 6 = 0
x = 6 
  is a vertical asymptote.

Since the numerator and denominator have the same degree,
y = – 3  is a horizontal asymptote.

Since the degree of the numerator is not one more than the degree of the denominator,
then there is no oblique asymptote.

f (0) =  – 3 · 0 + 12
––––––––––
0 – 6
 =  12
–––
– 6
 = – 2   is a y-intercept.

0 = – 3 x + 12
3 x = 12
x = 4 
 is an x-intercept.

– 3 ( x – 6 ) = – 3 x + 12
– 3 x + 18 = – 3 x + 12
– 3 x + 3 x = 12 – 18
0 &ne – 6

Therefore, the graph does not intersect the horizontal asymptote.

Domain intervals are ( – &infin, 4 ) ( 4, 6 ) ( 6, &infin ).

Intervals Test
Points
Valor
of
f (x)
Sign
of
f (x)
Grafico
above
debajo
x-axis
( – &infin, 4 ) 3 0 – 1 debajo
( 4, 6 ) 5 0 3 + above
( 6, &infin ) 7 0 – 9 debajo

f (x) =  – 3 x + 12
–––––––––
x – 6

f (3) =  – 3 · 3 + 12
––––––––––
3 – 6
 =  – 9 + 12
–––––––
– 3
 =  3
––––
– 3
 = – 1

f (5) =  – 3 · 5 + 12
––––––––––
5 – 6
 =  – 15 + 12
––––––––
– 1
 = 3

f (7) =  – 3 · 7 + 12
––––––––––
7 – 6
 =  – 21 + 12
––––––––
1
 = – 9

x + 3 = 0
x = – 3 
 is a vertical asymptote.

Since the numerator and denominator have the same degree,
y = 6  is a horizontal asymptote.

Since the degree of the numerator is not one more than the degree of the denominator,
then there is no oblique asymptote.

f -1 (0) =  6 · 0 + 12
––––––––
0 + 3
 =  12
–––
3
 = 4  is a y-intercept.

0 = 6 x + 12
6 x = – 12
x = – 2 
 is an x-intercept.

6 ( x + 3 ) = 6 x + 12
6 x + 18 = 6 x + 12
6 x – 6 x = 12 – 18
0 &ne – 6

Therefore, the graph does not intersect the horizontal asymptote.

Domain intervals are ( – &infin, – 3 ) ( – 3, – 2 ) ( – 2, &infin ).

Intervals Test
Points
Valor
of
f (x)
Sign
of
f (x)
Grafico
above
debajo
x-axis
( – &infin, – 3 ) – 4 .0 12 0 + above
( – 3, – 2 ) – 2.5 – 6 0 debajo
( – 2, &infin ) – 1 .0 3 0 + above

f -1 (x) =  6 x + 12
–––––––
x + 3

f -1 (– 4) =  6 ( – 4 ) + 12
–––––––––––
– 4 + 3
 =  – 24 + 12
––––––––
– 1
 = 12

f -1 (– 2.5) =  6 ( – 2.5 ) + 12
––––––––––––
– 2.5 + 3
 =  – 15 + 12
––––––––
0.5
 = – 6

f -1 (– 1) =  6 ( – 1 ) + 12
–––––––––––
– 1 + 3
 =  – 6 + 12
–––––––
2
 = 3

domain of f (x) = ( – &infin, 6 ) &cup ( 6, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, – 3 ) &cup ( – 3, &infin ) = domain of f -1 (x)

    Inverse Function Equation

Using Test 1, we have

f (a) = f (b)

Por lo tanto, f (x) = – &radic  x 2 – 16  es 1-1 and has an inverse.

x 2 = ( – &radic  y 2 – 16  ) 2
x 2 = y 2 – 16
y 2 = x 2 + 16
y = &radic  x 2 + 16 

domain of f (x) = [ 4, &infin ) = range of f -1 (x)

range of f (x) = ( – &infin, 0 ] = domain of f -1 (x)

The function f (x) = 2 x – 9 was used to encode a message as

Find the inverse function and determine the message.

using the 1-1 function f (x) = ( x + 1 ) 3 .
Give the inverse function that the decoder will need when the message is received.

f (19) = ( 19 + 1 ) 3 = 20 3 = 8000

f (1) = ( 1 + 1 ) 3 = 2 3 = 8

f (9) = ( 9 + 1 ) 3 = 10 3 = 1000

f (12) = ( 12 + 1 ) 3 = 13 3 = 2197

f (15) = ( 15 + 1 ) 3 = 16 3 = 4096

f (18) = ( 18 + 1 ) 3 = 19 3 = 6859

f (2) = ( 2 + 1 ) 3 = 3 3 = 27

f (5) = ( 5 + 1 ) 3 = 6 3 = 216

f (23) = ( 23 + 1 ) 3 = 24 3 = 13,824

Message S A I L O R   B mi W A R mi
X 19 1 9 12 15 18 2 5 23 1 18 5
Code 8000 8 1000 2197 4096 6859 27 216 13824 8 6859 216

Source of exercise problems for the examples:   College Algebra and Trigonometry by Lial, Hornsey, Schneider, Daniels, Fifth Edition, Section 4.1, pp. 393-397


Solution 1:

NORMSINV (mentioned in a comment) is the inverse of the CDF of the standard normal distribution. Using scipy , you can compute this with the ppf method of the scipy.stats.norm object. The acronym ppf stands for percent point function, which is another name for the quantile function.

Check that it is the inverse of the CDF:

By default, norm.ppf uses mean=0 and stddev=1, which is the “standard” normal distribution. You can use a different mean and standard deviation by specifying the loc and scale arguments, respectively.

If you look at the source code for scipy.stats.norm , you’ll find that the ppf method ultimately calls scipy.special.ndtri . So to compute the inverse of the CDF of the standard normal distribution, you could use that function directly:

Solution 2:

Solution 3:

Starting Python 3.8 , the standard library provides the NormalDist object as part of the statistics module.

It can be used to get the inverse cumulative distribution function ( inv_cdf - inverse of the cdf ), also known as the quantile function o el percent-point function para una dada significar ( mu ) and standard deviation ( sigma ):

Which can be simplified for the distribución normal estándar ( mu = 0 and sigma = 1 ):


How to solve the problem:

Solution 1:

Maybe someone will find this useful (from wikibooks):

Solution 2:

If your modulus is prime (you call it p ) then you may simply compute:

Here is someone who has implemented some number theory capabilities in Python: http://www.math.umbc.edu/

Here is an example done at the prompt:

Solution 3:

You might also want to look at the gmpy module. It is an interface between Python and the GMP multiple-precision library. gmpy provides an invert function that does exactly what you need:

Updated answer

As noted by @hyh , the gmpy.invert() returns 0 if the inverse does not exist. That matches the behavior of GMP’s mpz_invert() function. gmpy.divm(a, b, m) provides a general solution to a=bx (mod m) .

divm() will return a solution when gcd(b,m) == 1 and raises an exception when the multiplicative inverse does not exist.

Disclaimer: I’m the current maintainer of the gmpy library.

Updated answer 2

gmpy2 now properly raises an exception when the inverse does not exists:

Solution 4:

As of 3.8 pythons pow() function can take a modulus and a negative integer. See here. Their case for how to use it is


Converse, Inverse, Contrapositive

Given an if-then statement "if p , then q ," we can create three related statements:

A conditional statement consists of two parts, a hypothesis in the &ldquoif&rdquo clause and a conclusion in the &ldquothen&rdquo clause. For instance, &ldquoIf it rains, then they cancel school.&rdquo
"It rains" is the hypothesis.
"They cancel school" is the conclusion.

To form the converse of the conditional statement, interchange the hypothesis and the conclusion.
The converse of "If it rains, then they cancel school" es "If they cancel school, then it rains."

To form the inverse of the conditional statement, take the negation of both the hypothesis and the conclusion.
The inverse of &ldquoIf it rains, then they cancel school&rdquo es &ldquoIf it does not rain, then they do not cancel school.&rdquo

To form the contrapositive of the conditional statement, interchange the hypothesis and the conclusion of the inverse statement.
The contrapositive of "If it rains, then they cancel school" es "If they do not cancel school, then it does not rain."

Statement If p , then q .
Converse If q , then p .
Inverso If not p , then not q .
Contrapositive If not q , then not p .

If the statement is true, then the contrapositive is also logically true. If the converse is true, then the inverse is also logically true.

Statement If two angles are congruent, then they have the same measure.
Converse If two angles have the same measure, then they are congruent.
Inverso If two angles are not congruent, then they do not have the same measure.
Contrapositive If two angles do not have the same measure, then they are not congruent.

In the above example, since the hypothesis and conclusion are equivalent, all four statements are true. But this will not always be the case!


Python3

Complejidad del tiempo: O(m).

Method 2 (Works when m and a are coprime)
The idea is to use Extended Euclidean algorithms that takes two integers ‘a’ and ‘b’, finds their gcd and also find ‘x’ and ‘y’ such that

To find multiplicative inverse of ‘a’ under ‘m’, we put b = m in above formula. Since we know that a and m are relatively prime, we can put value of gcd as 1.

If we take modulo m on both sides, we get

We can remove the second term on left side as ‘my (mod m)’ would always be 0 for an integer y.

So the ‘x’ that we can find using Extended Euclid Algorithm is the multiplicative inverse of ‘a’

Below is the implementation of the above algorithm.

Iterative Implementation:


So it's to my understanding that between ##f## and ##f'##, their derivatives should be reciprocals to each other according to the posted equation.
Following your advice, I used to formula and took the derivative of ##f## and got ##f'(x)=-3x^2-1##. Next I plugged in the x value to the point, x=-8, into ##f'## and got -193. So this would tell me that the derivative of its inverse would be ##frac<-1><193>##. But in the back of the book it says ##frac<-1><96>## so I'm sure I have misunderstood something about this problem.

(i) I want the slope of ##f^<-1>##. I dont know what ##f^<-1>## is, but that doesn't matter because as long as I know what the slope of ##f## is, I can find the slope of ##f^<-1>##.

(iii) By the Inverse Function Theorem, ##(f^<-1>)'(x) = frac<1>(x))>##
I know what ##f'## is.
Since ##f## and ##f^<-1>## are inverses, their x and y values are swapped.
Point ##P = (-8,2)## which corresponds to ##f##, so when the Inverse Function Theorem is asking me for ##f^<-1>(x)##, it wants the -8.

So the slope of the tangent line to ##f^<-1>## at point P should be ##frac<-1><193>##
However, the solution key says that it should be ##frac<-1><96>##

What do you mean by this? Are you saying that the given point ##P(-8,2)## goes with ##f^<-1>## and not ##f##, and that the corresponding point to ##f## would be ##Q(2,-8)##?

It is an easy check to see if (-8,2) and (2,-8) are on the graphs of ##f## or that of ##f^<-1>## (just insert the values and see if they satisfy ##(x,f(x))## or ##(f(y),y)##). In this case, (-8,2) is on the graph of ##f^<-1>## as ##(f(2),2) = (-2^3-2+2,2)=(-8,2)##.

Plotting the result of part B is a good way of double checking your result (although I would put it on the form ##y = k (x-x_0)+y_0## - in this case with ##x_0 = -8## and ##y_0 = 2##). You would obtain this for the answer key to B:

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(i) I want the slope of ##f^<-1>##. I dont know what ##f^<-1>## is, but that doesn't matter because as long as I know what the slope of ##f## is, I can find the slope of ##f^<-1>##.

(iii) By the Inverse Function Theorem, ##(f^<-1>)'(x) = frac<1>(x))>##
I know what ##f'## is.
Since ##f## and ##f^<-1>## are inverses, their x and y values are swapped.
Point ##P = (-8,2)## which corresponds to ##f##, so when the Inverse Function Theorem is asking me for ##f^<-1>(x)##, it wants the -8.

So the slope of the tangent line to ##f^<-1>## at point P should be ##frac<-1><193>##
However, the solution key says that it should be ##frac<-1><96>##

The tangent line to the graph of ##y = f(x)## at ##x=2, y=-8## has equation ##y+8 = -13(x-2),## since ##f'(2) =-13.## So, the tangent line to the inverse function ##x = g(y)## is obtained by solving for ##x## in terms of ##y## in the original tangent line. That will give you ##g'(y)= (f^<-1>)'(y)## at ##y = -8##.

I have never liked the practice of using ##x## in both ##f(x)## and ##f^<-1>(x)## to me, it is much clearer (and less confusing) to use ##f(x)## and ##f^<-1>(y).## That is also consistent with what we do in fields such as topology.


Ver el vídeo: HOW TO FIND THE INVERSE OF A FUNCTION (Septiembre 2021).