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8.3: La hipérbola


Objetivos de aprendizaje

  • Localice los vértices y los focos de una hipérbola.
  • Escribe ecuaciones de hipérbolas en forma estándar.
  • Grafica hipérbolas centradas en el origen.
  • Grafica hipérbolas no centradas en el origen.
  • Resolver problemas aplicados que involucran hipérbolas.

¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, las explosiones supersónicas, los antiguos pilares griegos y las torres de enfriamiento de tiro natural? Todos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónico. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda de choque en forma de cono. Una parte de una cónica se forma cuando la onda se cruza con el suelo, lo que resulta en un boom sónico (Figura ( PageIndex {1} )).

La mayoría de la gente está familiarizada con el boom sónico creado por aviones supersónicos, pero los humanos estaban rompiendo la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el golpe del arma generalmente reemplaza el sonido del boom sónico.

Localización de los vértices y focos de una hipérbola

En geometría analítica, un hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas ilimitadas independientes que son imágenes especulares entre sí (Figura ( PageIndex {2} )).

Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ((x, y) ) y los focos es una constante positiva.

Observe que la definición de hipérbola es muy similar a la de elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias.

Al igual que con la elipse, cada hipérbola tiene dos ejes de simetría. La eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene vértices como puntos finales. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. La eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene los co-vértices como sus puntos finales. La centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se cruzan. Cada hipérbola también tiene dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. La rectángulo central de la hipérbola está centrada en el origen con lados que pasan por cada vértice y co-vértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para esbozar las asíntotas de la hipérbola, simplemente dibuje y extienda las diagonales del rectángulo central (Figura ( PageIndex {3} )).

En esta sección, limitaremos nuestra discusión a hipérbolas que se colocan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes (x ) - y (y ) -. Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto al origen.

Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Sean ((- c, 0) ) y ((c, 0) ) los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) tales que la diferencia de las distancias desde ((x, y) ) a los focos es constante. Vea la Figura ( PageIndex {4} ).

Si ((a, 0) ) es un vértice de la hipérbola, la distancia de ((- c, 0) ) a ((a, 0) ) es (a - (- c) = a + c ). La distancia de ((c, 0) ) a ((a, 0) ) es (c − a ). La suma de las distancias desde los focos hasta el vértice es

((a + c) - (c − a) = 2a )

Si ((x, y) ) es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables:

(d_2 = ) la distancia desde ((- c, 0) ) a ((x, y) )

(d_1 = ) la distancia desde ((c, 0) ) a ((x, y) )

Por definición de hipérbola, (d_2 − d_1 ) es constante para cualquier punto ((x, y) ) en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es (2a ) para el vértice ((a, 0) ). De ello se deduce que (d_2 − d_1 = 2a ) para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses.

[ begin {align *} d_2-d_1 & = 2a sqrt {{(x - (- c))} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} - sqrt {{(xc)} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} & = 2a qquad text {Fórmula de distancia} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {{(xc )} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a qquad text {Expresiones simplificadas.} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a + sqrt {{(xc) } ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Mueve el radical al lado opuesto.} {(x + c)} ^ 2 + y ^ 2 & = {(2a + sqrt {{(xc)} ^ 2+ y ^ 2})} ^ 2 qquad text {Cuadrar ambos lados.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2 + 4a sqrt {{(xc)} ^ 2+ y ^ 2} + {(xc)} ^ 2 + y ^ 2 qquad text {Expande los cuadrados.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2 + 4a sqrt { {(xc)} ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 qquad text {Expandir el cuadrado restante.} 2cx & = 4a ^ 2 + 4a sqrt {{( xc)} ^ 2 + y ^ 2} -2cx qquad text {Combinar términos semejantes.} 4cx-4a ^ 2 & = 4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Aislar el radical.} cx-a ^ 2 & = a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Dividir entre 4.} {(cx-a ^ 2) } ^ 2 & = a ^ 2 { left [ sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {Cuadrar ambos lados.} c ^ 2x ^ 2- 2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2 (x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2) qquad text {Expande los cuadrados.} c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {Distr ibute} a ^ 2 a ^ 4 + c ^ 2x ^ 2 & = a ^ 2x ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {Combinar términos semejantes.} c ^ 2x ^ 2-a ^ 2x ^ 2-a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2c ^ 2-a ^ 4 qquad text {Reorganizar términos.} x ^ 2 (c ^ 2-a ^ 2) -a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2 (c ^ 2-a ^ 2) qquad text {Factorizar términos comunes.} x ^ 2b ^ 2-a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2b ^ 2 qquad text {Establecer } b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 . dfrac {x ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} - dfrac {a ^ 2y ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} & = dfrac {a ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2 } qquad text {Divide ambos lados por} a ^ 2b ^ 2 dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 end {alinear*}]

Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices (( pm a, 0) ) y co-vértices ((0, pm b) ).

FORMAS ESTÁNDAR DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPERBOLA CON CENTRO ((0,0) )

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ((0,0) ) y eje transversal en el eje (x ) - es

( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

dónde

  • la longitud del eje transversal es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) )
  • la longitud del eje conjugado es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) )
  • la distancia entre los focos es (2c ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 )
  • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) )
  • las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {b} {a} x )

Vea la Figura ( PageIndex {5a} ).

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ((0,0) ) y eje transversal en el eje (y ) - es

( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

dónde

  • la longitud del eje transversal es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) )
  • la longitud del eje conjugado es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) )
  • la distancia entre los focos es (2c ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 )
  • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) )
  • las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {a} {b} x )

Vea la Figura ( PageIndex {5b} ).

Tenga en cuenta que los vértices, co-vértices y focos están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Cuando se nos da la ecuación de una hipérbola, podemos usar esta relación para identificar sus vértices y focos.

Cómo: Dada la ecuación de una hipérbola en forma estándar, ubicar sus vértices y focos

  1. Determina si el eje transversal se encuentra en el eje (x ) - o (y ) -. Observe que (a ^ 2 ) siempre está debajo de la variable con el coeficiente positivo. Entonces, si establece la otra variable igual a cero, puede encontrar fácilmente las intersecciones. En el caso de que la hipérbola esté centrada en el origen, las intersecciones coinciden con los vértices.
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), entonces el eje transversal se encuentra en (x ) -eje. Los vértices están ubicados en (( pm a, 0) ) y los focos están ubicados en (( pm c, 0) ).
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), entonces el eje transversal se encuentra en (y ) -eje. Los vértices están ubicados en ((0, pm a) ) y los focos están ubicados en ((0, pm c) ).
  2. Resuelve para (a ) usando la ecuación (a = sqrt {a ^ 2} ).
  3. Resuelve para (c ) usando la ecuación (c = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): ubicar los vértices y los focos de una hipérbola

Identifica los vértices y focos de la hipérbola con la ecuación ( dfrac {y ^ 2} {49} - dfrac {x ^ 2} {32} = 1 ).

Solución

La ecuación tiene la forma ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), por lo que el eje transversal se encuentra en (y ) - eje. La hipérbola está centrada en el origen, por lo que los vértices sirven como y-intercepciones del gráfico. Para encontrar los vértices, establezca (x = 0 ) y resuelva para (y ).

[ begin {align *} 1 & = dfrac {y ^ 2} {49} - dfrac {x ^ 2} {32} 1 & = dfrac {y ^ 2} {49} - dfrac {0 ^ 2} {32} 1 & = dfrac {y ^ 2} {49} y ^ 2 & = 49 y & = pm sqrt {49} & = pm 7 end {align * } ]

Los focos están ubicados en ((0, pm c) ). Resolviendo para (c ),

[ begin {align *} c & = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} & = sqrt {49 + 32} & = sqrt {81} & = 9 end {align *} ]

Por lo tanto, los vértices están ubicados en ((0, pm 7) ) y los focos están ubicados en ((0,9) ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Identifica los vértices y focos de la hipérbola con la ecuación ( dfrac {x ^ 2} {9} - dfrac {y ^ 2} {25} = 1 ).

Respuesta

Vértices: (( pm 3,0) ); Focos: (( pm sqrt {34}, 0) )

Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar

Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: su centro, vértices, co-vértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por el contrario, se puede encontrar una ecuación para una hipérbola dadas sus características clave. Comenzamos por encontrar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, centraremos nuestra atención en encontrar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto que no sea el origen.

Hipérbolas centradas en el origen

Al revisar las formas estándar dadas para hipérbolas centradas en ((0,0) ), vemos que los vértices, co-vértices y focos están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Tenga en cuenta que esta ecuación también se puede reescribir como (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). Esta relación se usa para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y vértices.

Cómo: Dados los vértices y focos de una hipérbola centrada en ((0,0) ), escribir su ecuación en forma estándar

  1. Determina si el eje transversal se encuentra en el eje (x ) - o (y ) -.
    • Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma (( pm a, 0) ) y (( pm c, 0) ), respectivamente, entonces el eje transversal es (x ) - eje. Utilice la forma estándar ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
    • Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ((0, pm a) ) y ((0, pm c) ), respectivamente, entonces el eje transversal es (y ) - eje. Utilice la forma estándar ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
  2. Encuentra (b ^ 2 ) usando la ecuación (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ).
  3. Sustituye los valores de (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación determinada en el Paso 1.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): encontrar la ecuación de una hipérbola centrada en ((0,0) ) dados sus focos y vértices

¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la hipérbola que tiene vértices (( pm 6,0) ) y focos (( pm 2 sqrt {10}, 0) )?

Solución

Los vértices y focos están en el eje (x ). Por tanto, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).

Los vértices son (( pm 6,0) ), entonces (a = 6 ) y (a ^ 2 = 36 ).

Los focos son (( pm 2 sqrt {10}, 0) ), entonces (c = 2 sqrt {10} ) y (c ^ 2 = 40 ).

Resolviendo para (b ^ 2 ), tenemos

[ begin {align *} b ^ 2 & = c ^ 2-a ^ 2 b ^ 2 & = 40-36 qquad text {Sustituye a} c ^ 2 text {y} a ^ 2 b ^ 2 & = 4 qquad text {Restar.} End {align *} ]

Finalmente, sustituimos (a ^ 2 = 36 ) y (b ^ 2 = 4 ) en la forma estándar de la ecuación, ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). La ecuación de la hipérbola es ( dfrac {x ^ 2} {36} - dfrac {y ^ 2} {4} = 1 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ((0, pm 2) ) y focos ((0, pm 2 sqrt {5}) )?

Respuesta

( dfrac {y ^ 2} {4} - dfrac {x ^ 2} {16} = 1 )

Hipérbolas no centradas en el origen

Al igual que las gráficas de otras ecuaciones, la gráfica de una hipérbola se puede traducir. Si una hipérbola se traduce (h ) unidades horizontalmente y (k ) unidades verticalmente, el centro de la hipérbola será ((h, k) ). Esta traducción da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con (x ) reemplazado por ((x − h) ) y (y ) reemplazado por ((y − k) ).

FORMAS ESTÁNDAR DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPERBOLA CON CENTRO ((H, K) )

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ((h, k) ) y eje transversal paralelo al eje (x ) - es

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

dónde

  • la longitud del eje transversal es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) )
  • la longitud del eje conjugado es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) )
  • la distancia entre los focos es (2c ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 )
  • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) )

Las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo central. La longitud del rectángulo es (2a ) y su ancho es (2b ). Las pendientes de las diagonales son ( pm dfrac {b} {a} ), y cada diagonal pasa por el centro ((h, k) ). Usando la fórmula punto-pendiente, es simple demostrar que las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k ). Vea la Figura ( PageIndex {7a} ).

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ((h, k) ) y eje transversal paralelo al eje (y ) - es

[ dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

dónde

  • la longitud del eje transversal es (2a )
  • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) )
  • la longitud del eje conjugado es (2b )
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) )
  • la distancia entre los focos es (2c ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 )
  • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) )

Usando el razonamiento anterior, las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {a} {b} (x − h) + k ). Vea la Figura ( PageIndex {7b} ).

Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto ((h, k) ) tienen vértices, co-vértices y focos que están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Podemos usar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y la distancia para encontrar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos.

Cómo: Dados los vértices y focos de una hipérbola centrada en ((h, k) ), escribir su ecuación en forma estándar

  1. Determina si el eje transversal es paralelo al eje (x ) - o (y ) -.
    • Si las coordenadas (y ) - de los vértices y focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje (x ) -. Utilice la forma estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
    • Si las coordenadas (x ) - de los vértices y focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje (y ) -. Utilice la forma estándar ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
  2. Identifica el centro de la hipérbola, ((h, k) ), usando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices.
  3. Encuentra (a ^ 2 ) resolviendo la longitud del eje transversal, (2a ), que es la distancia entre los vértices dados.
  4. Encuentra (c ^ 2 ) usando (h ) y (k ) encontrados en el Paso 2 junto con las coordenadas dadas para los focos.
  5. Resuelve para (b ^ 2 ) usando la ecuación (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ).
  6. Sustituye los valores de (h ), (k ), (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación determinada en el Paso 1.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar la ecuación de una hipérbola centrada en ((h, k) ) dados sus focos y vértices

¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la hipérbola que tiene vértices en ((0, −2) ) y ((6, −2) ) y focos en ((- 2, −2) ) y ((8, −2) ) ?

Solución

Las coordenadas (y ) - de los vértices y focos son las mismas, por lo que el eje transversal es paralelo al eje (x ) -. Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma

( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

Primero, identificamos el centro, ((h, k) ). El centro está a medio camino entre los vértices ((0, −2) ) y ((6, −2) ). Aplicando la fórmula del punto medio, tenemos

((h, k) = ( dfrac {0 + 6} {2}, dfrac {−2 + (- 2)} {2}) = (3, −2) )

A continuación, encontramos (a ^ 2 ). La longitud del eje transversal, (2a ), está limitada por los vértices.Entonces, podemos encontrar (a ^ 2 ) encontrando la distancia entre las coordenadas (x ) de los vértices.

Ahora necesitamos encontrar (c ^ 2 ). Las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) ). Entonces ((h − c, k) = (- 2, −2) ) y ((h + c, k) = (8, −2) ). Podemos usar la coordenada (x ) - de cualquiera de estos puntos para resolver (c ). Usando el punto ((8, −2) ) y sustituyendo (h = 3 ),

[ begin {align *} h + c & = 8 3 + c & = 8 c & = 5 c ^ 2 & = 25 end {align *} ]

Luego, resuelve (b ^ 2 ) usando la ecuación (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ):

[ begin {align *} b ^ 2 & = c ^ 2-a ^ 2 & = 25-9 & = 16 end {align *} ]

Finalmente, sustituya los valores encontrados para (h ), (k ), (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación.

( dfrac {{(x − 3)} ^ 2} {9} - dfrac {{(y + 2)} ^ 2} {16} = 1 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

¿Cuál es la ecuación en forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ((1, −2) ) y ((1,8) ) y focos ((1, −10) ) y ((1, dieciséis))?

Respuesta

( dfrac {{(y − 3)} ^ 2} {25} + dfrac {{(x − 1)} ^ 2} {144} = 1 )

Graficar hipérbolas centradas en el origen

Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfica: el centro, vértices, co-vértices, asíntotas, focos y longitudes y posiciones de la transversal. y conjugar ejes. Para graficar hipérbolas centradas en el origen, usamos la forma estándar ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) para hipérbolas horizontales y el estándar forma ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) para hipérbolas verticales.

Cómo: Dada una ecuación de forma estándar para una hipérbola centrada en ((0,0) ), esboce la gráfica

  1. Determina cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada.
  2. Utilice el formulario estándar identificado en el Paso 1 para determinar la posición del eje transversal; coordenadas para los vértices, co-vértices y focos; y las ecuaciones para las asíntotas.
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), entonces
      • el eje transversal está en el eje (x ) -
      • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) 0
      • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) )
      • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) )
      • las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {b} {a} x )
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), entonces
      • el eje transversal está en el eje (y ) -
      • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) )
      • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) )
      • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) )
      • las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {a} {b} x )
  3. Resuelve las coordenadas de los focos usando la ecuación (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).
  4. Trace los vértices, co-vértices, focos y asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficar una hipérbola centrada en ((0,0) ) dada una ecuación en forma estándar

Grafica la hipérbola dada por la ecuación ( dfrac {y ^ 2} {64} - dfrac {x ^ 2} {36} = 1 ). Identificar y etiquetar los vértices, co-vértices, focos y asíntotas.

Solución

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). Por lo tanto, el eje transversal está en el eje (y )

Las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) = (0, pm sqrt {64}) = (0, pm 8) )

Las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) = ( pm sqrt {36}, 0) = ( pm 6,0) )

Las coordenadas de los focos son ((0, pm c) ), donde (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Resolviendo para (c ), tenemos

(c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = pm sqrt {64 + 36} = pm sqrt {100} = pm 10 )

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((0, pm 10) )

Las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {a} {b} x = pm dfrac {8} {6} x = pm dfrac {4} {3} x )

Trace y etiquete los vértices y co-vértices, y luego dibuje el rectángulo central. Los lados del rectángulo son paralelos a los ejes y pasan por los vértices y co-vértices. Dibuja y extiende las diagonales del rectángulo central para mostrar las asíntotas. El rectángulo central y las asíntotas proporcionan el marco necesario para trazar un gráfico preciso de la hipérbola. Rotule los focos y asíntotas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Grafica la hipérbola dada por la ecuación ( dfrac {x ^ 2} {144} - dfrac {y ^ 2} {81} = 1 ). Identificar y etiquetar los vértices, co-vértices, focos y asíntotas.

Respuesta

vértices: (( pm 12,0) ); co-vértices: ((0, pm 9) ); focos: (( pm 15,0) ); asíntotas: (y = pm dfrac {3} {4} x );

Graficar hipérbolas no centradas en el origen

Graficar hipérbolas centradas en un punto ((h, k) ) distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Usamos las formas estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) para horizontales hipérbolas y ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) para hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar, podemos calcular y trazar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, vértices, co-vértices y focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversal y conjugado.

Cómo: Dada una forma general para una hipérbola centrada en ((h, k) ), esboce la gráfica

  1. Convierta la forma general a esa forma estándar. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada.
  2. Utilice el formulario estándar identificado en el Paso 1 para determinar la posición del eje transversal; coordenadas para el centro, vértices, co-vértices, focos; y ecuaciones para las asíntotas.
    1. Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) , luego
      • el eje transversal es paralelo al eje (x ) -
      • el centro es ((h, k) )
      • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) )
      • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) )
      • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) )
      • las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k )
    2. Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) , luego
      • el eje transversal es paralelo al eje (y ) -
      • el centro es ((h, k) )
      • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) )
      • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) )
      • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) )
      • las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {a} {b} (x − h) + k )
  3. Resuelve las coordenadas de los focos usando la ecuación (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).
  4. Trace el centro, vértices, co-vértices, focos y asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficar una hipérbola centrada en ((h, k) ) dada una ecuación en forma general

Grafica la hipérbola dada por la ecuación (9x ^ 2−4y ^ 2−36x − 40y − 388 = 0 ). Identificar y etiquetar el centro, vértices, co-vértices, focos y asíntotas.

Solución

Empiece por expresar la ecuación en forma estándar. Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

((9x ^ 2−36x) - (4y ^ 2 + 40y) = 388 )

Factoriza el coeficiente principal de cada expresión.

(9 (x ^ 2−4x) −4 (y ^ 2 + 10y) = 388 )

Completa el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado.

(9 (x ^ 2−4x + 4) −4 (y ^ 2 + 10y + 25) = 388 + 36−100 )

Reescribe como cuadrados perfectos.

(9 {(x − 2)} ^ 2−4 {(y + 5)} ^ 2 = 324 )

Divida ambos lados por el término constante para colocar la ecuación en forma estándar.

( dfrac {{(x − 2)} ^ 2} {36} - dfrac {{(y + 5)} ^ 2} {81} = 1 )

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a ^ 2 = 36 ) y (b ^ 2 = 81 ), o (a = 6 ) y (b = 9 ). Por tanto, el eje transversal es paralelo al eje (x ) -. Resulta que:

el centro de la elipse es ((h, k) = (2, −5) )

las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) = (2 pm 6, −5) ), o ((- 4, −5) ) y ((8, −5) )

las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) = (2, −5 pm 9) ), o ((2, −14) ) y ((2,4) )

las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) ), donde (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Resolviendo para (c ), tenemos

(c = pm sqrt {36 + 81} = pm sqrt {117} = pm 3 sqrt {13} )

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((2−3 sqrt {13}, - 5) ) y ((2 + 3 sqrt {13}, - 5) ).

Las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k = pm dfrac {3} {2} (x − 2) −5 ).

Luego, graficamos y etiquetamos el centro, vértices, co-vértices, focos y asíntotas y dibujamos curvas suaves para formar la hipérbola, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Grafica la hipérbola dada por la forma estándar de una ecuación ( dfrac {{(y + 4)} ^ 2} {100} - dfrac {{(x − 3)} ^ 2} {64} = 1 ) . Identificar y etiquetar el centro, vértices, co-vértices, focos y asíntotas.

Respuesta

centro: ((3, −4) ); vértices: ((3, −14) ) y ((3,6) ); co-vértices: ((- 5, −4) ); y ((11, −4) ); focos: ((3, −4−2 sqrt {41}) ) y ((3, −4 + ​​2 sqrt {41}) ); asíntotas: (y = pm dfrac {5} {4} (x − 3) −4 )

Resolver problemas aplicados que involucran hipérbolas

Como comentamos al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones del mundo real en muchos campos, como la astronomía, la física, la ingeniería y la arquitectura. La eficiencia del diseño de las torres de enfriamiento hiperbólicas es particularmente interesante. Las torres de enfriamiento se utilizan para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de manera eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras pueden resistir vientos extremos y requieren menos material que cualquier otra forma de su tamaño y fuerza (Figura ( PageIndex {12} )). Por ejemplo, una torre de (500 ) - pies puede estar hecha de un armazón de hormigón armado de solo (6 ) o (8 ) pulgadas de ancho.

Las primeras torres hiperbólicas fueron diseñadas en 1914 y tenían (35 ) metros de altura. Hoy en día, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con una notable altura de (170 ) metros. En el Ejemplo ( PageIndex {6} ) usaremos el diseño de una torre de enfriamiento para encontrar una ecuación hiperbólica que modele sus lados.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): resolución de problemas aplicados que involucran hipérbolas

La distribución del diseño de una torre de enfriamiento se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ). La torre tiene (179,6 ) metros de altura. El diámetro de la parte superior es (72 ) metros. En su punto más cercano, los lados de la torre están separados (60 ) metros.

Encuentre la ecuación de la hipérbola que modela los lados de la torre de enfriamiento. Suponga que el centro de la hipérbola, indicado por la intersección de líneas perpendiculares punteadas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondea los valores finales a cuatro decimales.

Solución

Suponemos que el centro de la torre está en el origen, por lo que podemos usar la forma estándar de una hipérbola horizontal centrada en el origen: ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2 } {b ^ 2} = 1 ), donde las ramas de la hipérbola forman los lados de la torre de enfriamiento. Debemos encontrar los valores de (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) para completar el modelo.

Primero, encontramos (a ^ 2 ). Recuerda que la longitud del eje transversal de una hipérbola es (2a ). Esta longitud está representada por la distancia donde los lados están más cerca, que se expresa como (65,3 ) metros. Entonces, (2a = 60 ). Por lo tanto, (a = 30 ) y (a ^ 2 = 900 ).

Para resolver (b ^ 2 ), necesitamos sustituir (x ) y (y ) en nuestra ecuación usando un punto conocido. Para hacer esto, podemos usar las dimensiones de la torre para encontrar algún punto ((x, y) ) que se encuentra en la hipérbola. Usaremos la esquina superior derecha de la torre para representar ese punto. Dado que el eje (y ) - biseca la torre, nuestro valor (x ) - se puede representar por el radio de la parte superior, o (36 ) metros. La y-valor está representado por la distancia desde el origen hasta la parte superior, que se da como (79,6 ) metros. Por lo tanto,

[ begin {align *} dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 qquad text {Forma estándar de hipérbola horizontal.} b ^ 2 & = dfrac {y ^ 2} { dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} -1} qquad text {Aislar} b ^ 2 & = dfrac {{(79.6)} ^ 2} { dfrac {{(36)} ^ 2} {900} -1} qquad text {Sustituye a} a ^ 2, : x, text {y} y & approx 14400.3636 qquad text {Redondear a cuatro decimales} end {align *} ]

Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica

( dfrac {x ^ 2} {900} - dfrac {y ^ 2} {14400.3636} = 1 ), o ( dfrac {x ^ 2} {{30} ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {{120.0015} ^ 2} = 1 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

En la Figura ( PageIndex {14} ) se muestra un diseño para un proyecto de torre de enfriamiento. Encuentre la ecuación de la hipérbola que modela los lados de la torre de enfriamiento. Redondea los valores finales a cuatro decimales.

Respuesta

Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica. ( dfrac {x ^ 2} {400} - dfrac {y ^ 2} {3600} = 1 ) o ( dfrac {x ^ 2} {{20} ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {{60} ^ 2} = 1 ).

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con hipérbolas.

  • Secciones cónicas: la hipérbola, parte 1 de 2
  • Secciones cónicas: la hipérbola, parte 2 de 2
  • Graficar una hipérbola con el centro en el origen
  • Graficar una hipérbola con el centro no en el origen

Ecuaciones clave

Hipérbola, centro en origen, eje transversal en X-eje ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
Hipérbola, centro en origen, eje transversal en y-eje ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
Hipérbola, centro en ((h, k) ), eje transversal paralelo a X-eje ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
Hipérbola, centro en ((h, k) ), eje transversal paralelo a y-eje ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

Conceptos clave

  • Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ((x, y) ) y los focos es una constante positiva.
  • La forma estándar de una hipérbola se puede utilizar para localizar sus vértices y focos. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • Cuando se dan las coordenadas de los focos y vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea Ejemplo ( PageIndex {2} ) y Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  • Cuando se nos da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, co-vértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea Ejemplo ( PageIndex {4} ) y Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de enfriamiento de tiro natural, podemos encontrar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ).

Elipsoide

Un elipsoide es una superficie que puede obtenerse de una esfera deformándola mediante escalas direccionales, o más generalmente, de una transformación afín.

  • Esfera, a = B = C = 4 cima
  • Esferoide, a = B = 5 , C = 3 abajo a la izquierda,
  • Triaxial elipsoide a = 4.5 , B = 6 C = 3 , abajo a la derecha

Un elipsoide es una superficie cuadrática, es decir, una superficie que puede definirse como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse, está vacía o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "similar a una elipse"). Está acotado, lo que significa que puede estar encerrado en una esfera suficientemente grande.

Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares que se cruzan en un centro de simetría, llamado centro del elipsoide. Los segmentos de recta que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se denominan ejes principales, o simplemente ejes del elipsoide.Si los tres ejes tienen diferentes longitudes, se dice que el elipsoide es triaxial o raramente escalenoy los ejes están definidos de forma única.

Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un elipsoide de revolución, también llamado esferoide. En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje, por lo que hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado, si es más largo, es un esferoide alargado. Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera.


La hipérbola

  • Localice los vértices y los focos de una hipérbola.
  • Escribe ecuaciones de hipérbolas en forma estándar.
  • Grafica hipérbolas centradas en el origen.
  • Grafica hipérbolas no centradas en el origen.
  • Resolver problemas aplicados que involucran hipérbolas.

Nota: está viendo una versión antigua de este documento. La nueva versión de estilo está disponible aquí.

Objetivos de aprendizaje

Objetivo 1: usar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)

Nota: Fórmula de distancia:

: La distancia D entre dos puntos x 1, y 1 x 1, y 1 y x 2, y 2 x 2, y 2 es d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2.

Ejemplo 1

Problema 1
Usa la fórmula de distancia

Usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los puntos (−5, −3) y (7,2).

Solución
Escribe la fórmula de la distancia. d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2
Etiquete los puntos (–5, –3) como (X1, y1) y el punto (7, 2) como (X2, y2) y sustituto. d = 7 2 - (-5) 2 + 2 - (-3) 2 d = 7 2 - (-5) 2 + 2 - (-3) 2
Simplificar. d = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169 d = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169
d = 13 d = 13

La práctica hace la perfección

Ejercicio 1

Usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre los puntos (−2, −5) y (−14, −10).

Ejercicio 2

Utilice la fórmula de distancia para encontrar la distancia entre los puntos (10, −4) y (−1,5). Escribe la respuesta en forma exacta y luego encuentra la aproximación decimal, redondeada a la décima más cercana si es necesario.

Objetivo 2: Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)

A son todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos se denomina hipérbola.

La línea que atraviesa los focos se llama. Los dos puntos donde el eje transversal se cruza con la hipérbola son cada uno a de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama hipérbola. La línea perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se llama. Cada parte del gráfico se llama hipérbola.

Tabla 2: La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (0,0)
Ecuación x 2 una 2 - y 2 segundo 2 = 1 x 2 una 2 - y 2 segundo 2 = 1 y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1
Orientación El eje transversal es horizontal.
Abre a derecha e izquierda.
El eje transversal es vertical.
Se abre hacia arriba y hacia abajo.
Vértices (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a)
intersecciones x (-a, 0), (a, 0) ninguno)
intersecciones y ninguno (0, -a), (0, a)
Rectángulo Utilice (± a, 0), (0, ± b) Utilice (0, ± a), (± b, 0)
Asíntotas (y = ± b a x y = ± b a x y = ± a b x y = ± a b x

darse cuenta que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de x 2 x 2 no siempre es a 2 a 2 y el denominador de y 2 y 2 no siempre es b 2 b 2.

que cuando el término x 2 x 2 es positivo, el eje transversal está en el eje x. Cuando el término y 2 y 2 es positivo, el eje transversal está en el eje y.

Cómo graficar una hipérbola con centro en (0, 0) .:

  1. Paso 1. Escribe la ecuación en forma estándar.
  2. Paso 2. Determine si el eje transversal es horizontal o vertical.
  3. Paso 3. Encuentra los vértices.
  4. Paso 4. Dibuje el rectángulo, ingresado en el origen, intersecando un eje en ±a y el otro en ±B.
  5. Paso 5. Dibuja las asíntotas: las líneas que atraviesan las diagonales del rectángulo.
  6. Paso 6. Dibuja las dos ramas de la hipérbola. Empiece en el vértice y utilice las asíntotas como guía.

Ejemplo 2

Problema 1
Grafique una hipérbola con centro en (0,0).

Gráfico x 2 25 - y 2 4 = 1. x 2 25 - y 2 4 = 1.

Solución

Ejemplo 3

Problema 1

Gráfico 4 y 2-16 x 2 = 64. 4 y 2-16 x 2 = 64.

Solución
4 y 2-16 x 2 = 64 4 y 2-16 x 2 = 64
Para escribir la ecuación en forma estándar, divide
cada término por 64 para hacer la ecuación igual a 1.
4 y 2 64 - 16 x 2 64 = 64 64 4 y 2 64 - 16 x 2 64 = 64 64
Simplificar. y 2 16 - x 2 4 = 1 y 2 16 - x 2 4 = 1
Desde el y 2-término es positivo, el eje transversal es vertical.
Dado que a 2 = 16 a 2 = 16 entonces a = ± 4. a = ± 4.
Los vértices están en el y -eje, (0, - a), (0, - a), (0, a). (0, a).
Dado que b 2 = 4 b 2 = 4 entonces b = ± 2. b = ± 2.
( 0 , −4 ) , ( 0 , −4 ) , ( 0 , 4 ) ( 0 , 4 )
Dibuja el rectángulo que interseca el X -eje en (−2, 0), (−2, 0), (2, 0) (2, 0) y el y -eje en los vértices.
Dibuja las asíntotas a través de las diagonales del rectángulo.
Dibuja las dos ramas de la hipérbola.

La práctica hace la perfección

Grafique una hipérbola con centro en (0,0).

Ejercicio 3

Gráfico x 2 9 - y 2 16 = 1 x 2 9 - y 2 16 = 1.

Ejercicio 4

Gráfico 25 y 2-9 x 2 = 225 25 y 2-9 x 2 = 225.

¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, las explosiones supersónicas, los antiguos pilares griegos y las torres de enfriamiento de tiro natural? Todos pueden ser modelados por el mismo tipo de. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda de choque en forma de cono. Una parte de una cónica se forma cuando la onda se cruza con el suelo, lo que resulta en un boom sónico. Ver figura 1.

Figura 1: Una onda de choque que se cruza con el suelo forma una parte de una cónica y da como resultado un boom sónico.

La mayoría de la gente está familiarizada con el boom sónico creado por los aviones supersónicos, pero los humanos estaban rompiendo la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el golpe del arma generalmente reemplaza el sonido del boom sónico.


Contenido

Usando un sistema de coordenadas cartesianas en el que el origen es el centro del elipsoide y los ejes de coordenadas son ejes del elipsoide, la ecuación implícita del elipsoide tiene la forma estándar

dónde a, B, C son números reales positivos.

Los puntos (a, 0, 0) , (0, B, 0) y (0, 0, C) yacen en la superficie. Los segmentos de línea desde el origen hasta estos puntos se denominan semiejes principales del elipsoide, porque a, B, C son la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al semieje mayor y al semieje menor de una elipse.

Si a = B & gt C , uno tiene un esferoide achatado si a = B & lt C , uno tiene un esferoide alargado si a = B = C , uno tiene una esfera.

El elipsoide puede parametrizarse de varias formas, que son más sencillas de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una opción común es

Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas, donde θ es el ángulo polar y φ es el ángulo azimutal del punto (X, y, z) del elipsoide. [1]

Midiendo desde el centro en lugar de un poste,

Midiendo ángulos directamente a la superficie del elipsoide, no a la esfera circunscrita,

γ sería la latitud geocéntrica en la Tierra y λ es la longitud. Estas son verdaderas coordenadas esféricas con el origen en el centro del elipsoide. [ cita necesaria ]

En geodesia, la latitud geodésica se usa más comúnmente, como el ángulo entre el plano vertical y el ecuatorial, definido para un elipsoide biaxial. Para obtener un elipsoide triaxial más general, consulte Latitud elipsoidal.

El volumen delimitado por el elipsoide es

En cuanto a los principales diámetros A, B, C (dónde A = 2a , B = 2B , C = 2C ), el volumen es

Esta ecuación se reduce al volumen de una esfera cuando los tres radios elípticos son iguales, y al de un esferoide achatado o alargado cuando dos de ellos son iguales.

El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es [2] [3]

y donde F(φ, k) y mi(φ, k) son integrales elípticas incompletas del primer y segundo tipo respectivamente. [4]

El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide) se puede expresar en términos de funciones elementales:

que, como se desprende de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para Soblato se puede utilizar para calcular el área de superficie de un elipsoide alargado y viceversa). En ambos casos, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo Mathworld. [5]

Fórmula aproximada Editar

En el límite "plano" de c mucho más pequeño que ayb, el área es aproximadamente 2πab , equivalente a pag ≈ 1.5850 .

Propiedades Editar

La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de algún otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines asignan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un solo punto, o está vacía. [7] Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para elipsoides triaxiales (consulte la sección Circular).

Determinación de la elipse de una sección plana Editar

Buscado: Tres vectores F0 (centro) y F1 , F2 (vectores conjugados), de modo que la elipse se puede representar mediante la ecuación paramétrica

Dejar metrotutu + metrovv + metroww = δ ser la forma normal de Hesse del nuevo plano y

su vector normal unitario. Por eso

es el centrar del círculo de intersección y

Dónde metrow = ± 1 (es decir, el plano es horizontal), sea

En cualquier caso, los vectores mi1, mi2 son ortogonales, paralelas al plano de intersección y tienen una longitud ρ (radio del círculo). Por lo tanto, el círculo de intersección se puede describir mediante la ecuación paramétrica

La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo en el elipsoide y los vectores. mi0, mi1, mi2 están mapeados en vectores F0, F1, F2 , que se querían para la representación paramétrica de la elipse de intersección.

Cómo encontrar los vértices y semiejes de la elipse se describe en elipse.

Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes. a = 4, B = 5, C = 3 que es cortado por el avión X + y + z = 5 .


Escribir la ecuación de hipérbolas

Podemos escribir la ecuación de una hipérbola siguiendo estos pasos:

1. Identifica el punto central (h, k)
2. Identifica ayc
3. Usa la fórmula c 2 = a 2 + b 2 para encontrar b (o b 2)
4. Inserte h, k, a y b en el patrón correcto.
5. Simplifica

A veces se le dará un gráfico y otras veces es posible que simplemente se le brinde información.

1. Encuentre la ecuación de una hipérbola cuyos vértices están en (-1, -1) y (-1, 7) y cuyos focos están en (-1, 8) y (-1, -2).

Para empezar, grafiquemos la información que tenemos:

Podemos decir que es una hipérbola vertical. Busquemos nuestro punto central a continuación y márquelo. Si queremos, también podemos dibujar una hipérbola aproximada solo para que sea más fácil de visualizar:

El punto central es (-1, 3). Para encontrar a, contaremos desde el centro hasta cualquier vértice. a = 4. Para encontrar c, contaremos desde el centro hasta cada enfoque. c = 5

Usaremos la fórmula c 2 = a 2 + b 2 para encontrar b. Para hacer eso, sustituiremos en a = 4 y c = 5 y luego resolveremos para b.

Tenemos toda nuestra información: h = -1, k = 3, a = 4, b = 3. Dado que es una hipérbola vertical, elegiremos esa fórmula y la sustituiremos en nuestra información.


Y simplifica:

2. Encuentra la ecuación de esta hipérbola:

Podemos decir que es una hipérbola horizontal. Busquemos nuestro punto central a continuación y márquelo.

El punto central es (1, 2). Para encontrar a, contaremos desde el centro hasta cualquier vértice. a = 2. Para encontrar c, contaremos desde el centro hasta cada enfoque. c = 6

Usaremos la fórmula c 2 = a 2 + b 2 para encontrar b. Para hacer eso, sustituiremos en a = 2 y c = 6 y luego resolveremos para b.

c 2 = a 2 + b 2
6 2 = 2 2 + b 2
36 = 4 + b 2
32 = b 2

Para encontrar b, necesitaríamos sacar la raíz cuadrada, pero no saldrá de manera uniforme. Sin embargo, está bien, porque el patrón necesita b 2, por lo que podemos sustituir b 2 por 32.

Tenemos toda nuestra información: h = 1, k = 2, a = 2, b 2 = 32. Dado que es una hipérbola horizontal, elegiremos esa fórmula y la sustituiremos en nuestra información.

Práctica: Encuentra la ecuación de cada parábola:

1) Vértices: (2, 1) y (2, -5) Focos: (2, 3) y (2, -7)
2) Vértices: (0, 1) y (6, 1) Focos: (-1, 1) y (7, 1)
3) Vértices: (1, 0) y (3, 0) Focos: (-1, 0) y (5, 0)


8.3: La hipérbola

1. El dibujo muestra la gráfica de xy = 16.
Completa la siguiente tabla:
x 1 a 4 c 12 16
años 16 8 b 3,2 d 1

1.1 Calcule el valor de a, b, cyd en la tabla.
1.2 ¿Qué sucede con el valor de y si x se vuelve mayor?
1.3 ¿Es y directamente proporcional ax? Explicar.
1.4 ¿Pueden xoy ser iguales a 0 en esta gráfica? Explicar.
1.5.1 ¿Cuál es el significado del punto (4 b)? Explicar.
1.5.2 Calcule la ecuación de la línea recta a través de la
origen y el punto (4 b).
1.6 Considere los puntos M (64 m) y N (128 n). Calcule los valores de my n.

2. Considere la siguiente tabla:
x 1 2 3 b 6 c 10 f 24 h
y 36 18 a 9 d 4 e 3 g 1

2.1 Escribe la ecuación de la gráfica.
2.2 Calcule los valores de a ah en la tabla.
2.3 Dibuja la gráfica en papel cuadriculado.
2.4 Muestra claramente en tu gráfica dónde leerás los valores de a ah en la gráfica.
2.5 Los puntos M (144 m) y N (n 0,2) son puntos en el gráfico. Calcule el valor de my de n.

3. Estudie la siguiente tabla:
x 1 2 4 8 0,5 32 e
y 8 a b c 16 d 64

3.1 Escribe la ecuación de la gráfica.
3.2 Calcula los valores de las letras de la tabla.
3.3 ¿Son los puntos M (0,25 16) y N (128 0,0625) puntos en el gráfico? Explica tu respuesta.

4. El dibujo muestra la gráfica de xy = 9
4.1 (1 b) y (c 18) son puntos en la gráfica.
Calcula los valores de by c.
4.2 La recta y = x interseca la hipérbola en el
punto (3 a).
4.2.1 Calcule el valor de a.
4.2.2 ¿Cuál es el significado del punto (3 a)?

5. El esquema muestra la gráfica de xy = 16
5.1 Los puntos (b 32) y (10 c) son puntos en
la gráfica. Calcula los valores de by c.
5.2 La recta y = x interseca la hipérbole en
el punto (a 4).
5.2.1 Calcule el valor de a.
5.2.2 ¿Cuál es el significado del punto (a 4)?
5.3 Explica cómo puedes usar la gráfica para encontrar el valor
de la raíz cuadrada de 16.
5.4 Explica cómo puedes usar la gráfica para encontrar el valor
de la raíz cuadrada de 64.

6. Dibuje la gráfica de xy = 25 completando la siguiente tabla:
x 1 2 4 10 d e f
y 25 a b c 20 50 0,25

6.1 Dibuja una línea recta en tu gráfica que puedas usar para encontrar la raíz cuadrada de 25.
Marque el punto donde leerá el valor P.
6.2 Explica cómo puedes usar la gráfica para determinar la raíz cuadrada de 100 y de 1.
6.3 Una línea recta pasa por los puntos (d 20) y (e 50).
6.3.1 Calcule la ecuación de la línea.
6.3.2 Calcule las coordenadas de las intersecciones de la línea con los ejes.

7. Dado que xy = 24
7.1 Los puntos A (2 a), B (b 8), C (c 6) y D (16 d) son puntos de la hipérbole.
Calcula los valores de a, b, cy d.
7.2 ¿Qué sucede con los valores de x si y se vuelve más pequeño?
7.3 ¿Para qué valor (es) de x es y = 0?
Explica tu respuesta.
7.4 Explica cómo puedes usar la gráfica para determinar la raíz cuadrada de 24.
7.5 Explica cómo puedes usar la gráfica para determinar la raíz cuadrada de 96 y de 6.


Cómo graficar una hipérbola horizontal - Tutorial

1. La excentricidad lineal (c) es la distancia entre el centro y el foco (o uno de los dos focos).
2. El latus recto (2 y gamma) es la cuerda que pasa por el foco (o uno de los dos focos).
3. El vértice es un punto en el eje donde se cruza la hipérbola.
4. Las líneas asintóticas son una línea que viene a lo largo de una curva pero nunca toca la curva.
5. El Foci es cualquier punto fijo que se encuentra dentro de la curva a lo largo del eje.

Excentricidad (c) = & radic (a2 + b2)
Foci = (0, c) y (0, -c)
Vértices = (0, a) y (0, -a)
Líneas asintóticas = (b / a) x & - (b / a) x
Latus recto = 2b 2 / a

Ejemplo: Encuentre la excentricidad, los focos, los vértices, las rectas asintóticas y el recto latus de la hipérbola con un punto (3,2)?
Dado: a = 3
b = 2

Encontrar,
Excentricidad, Focos, Vértices, Líneas asintóticas y Latus recto

Solución: Paso 1 :
Excentricidad (c) = & radic (a2 + b2)
c = & radic (32 + 22) c = & radic (9 + 4) = & radic13 = 3.6

Paso 2 :
Foci = (0, c) y (0, -c)
Focos = (0,3.6) y (0, -3.6)

Paso 3 :
Vértices = (0, a) y (0, -a)
Vértices = (0,3) & (0, -3)

Paso 4 :
Líneas asintóticas = (b / a) x & - (b / a) x
Líneas asintóticas = (2/3) x & - (2/3) x
Líneas asintóticas = (0,67) x & - (0,67) x


Problemas de ejemplo resueltos en aplicaciones de cónicas en la vida real


Dado que el ancho del camión es 3metro , para determinar el espacio libre, debemos encontrar la altura del arco 1.5metro desde el centro. Si esta altura es 2.7metro o menos, el camión no despejará el arco.

Del diagrama a = 6 y B = 3 produciendo la ecuación de elipse como .

El borde de los 3metro camión ancho corresponde a X = 1.5metro desde el centro encontraremos la altura del arco 1.5metro desde el centro sustituyendo X = 1,5 y despejando y


Por lo tanto, la altura del arco 1,5metro desde el centro es aproximadamente 2,90metro . Dado que la altura del camión es 2,7metro , el camión despejará el arco.

Las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol, respectivamente, son 152 × 10 6 km y 94,5 × 10 6 km. El Sol está en un foco de la órbita elíptica. Calcula la distancia del Sol al otro foco.

COMO = 94,5 × 10 6 km, SA '= 152 × 10 6 km

a + C = 152 ×10 6

Restando 2C = 57,5 ​​× 10 6 = 575 × 10 5 km


La distancia del Sol al otro foco es SS′ = 575 × 10 5 km.

Un puente de hormigón está diseñado como un arco parabólico. El camino sobre el puente es 40metro de largo y la altura máxima del arco es de 15metro . Escribe la ecuación del arco parabólico.

Desde el gráfico, el vértice está en (0, 0) y la parábola está abierta hacia abajo.


La ecuación de la parábola es X 2 = −4

(−20, −15) y (20, −15) se encuentran en la parábola


Por lo tanto, la ecuación es 3X 2 = -80 años

La antena de comunicación parabólica tiene un foco en 2metro distancia desde el vértice de la antena. Encuentra el ancho de la antena 3metro desde el vértice.

Deja que la parábola sea y 2 = 4hacha .

Dado que el enfoque es 2metro desde el vértice a = 2

La ecuación de la parábola es y 2 = 8X


Dejar PAG ser un punto en la parábola cuyo X -coordinate es 3metro desde el vértice PAG (3, y)

El ancho de la antena 3m desde el vértice es 4√6 metro.

La ecuacion y = (1/32) X 2 modelos de secciones transversales de espejos parabólicos que se utilizan para energía solar. Hay un tubo calefactor ubicado en el foco de cada parábola, ¿a qué altura se encuentra este tubo por encima del vértice de la parábola?


La ecuación de la parábola es

Es decir X 2 = 32y el vértice es (0, 0)

Por lo tanto, el tubo de calentamiento debe colocarse en foco (0, a). Por lo tanto, el tubo de calentamiento debe colocarse 8 unidades por encima del vértice de la parábola.

Una luz de búsqueda tiene un reflector parabólico (tiene una sección transversal que forma un "cuenco"). El cuenco parabólico tiene 40 cm de ancho de borde a borde y 30 cm profundo. La bombilla se encuentra en el foco.

(1) ¿Cuál es la ecuación de la parábola utilizada para reflector?

(2) ¿A qué distancia del vértice se colocará el bulbo para cubrir la distancia máxima?


La ecuación de la parábola es

(1) Dado que el diámetro es 40 cm y la profundidad es 30 cm , el punto (30,20) se encuentra en la parábola.

La ecuación es y 2 = 40/3 X.

(2) La bombilla está enfocada (0, a). Por tanto, el bulbo está a una distancia de 10/3 cm del vértice.

Ejemplo 5.36

Una ecuación de la parte elíptica de un sistema de lentes ópticas es .

La parte parabólica del sistema tiene un foco en común con el foco derecho de la elipse. El vértice de la parábola está en el origen y la parábola se abre hacia la derecha. Determina la ecuación de la parábola.

Solución


En la elipse dada a 2 = 16 , B 2 = 9

luego C 2 = a 2 - B 2

Por lo tanto, los focos son F (√7, 0), F ¢ (-√7, 0). El foco de la parábola es (√7, 0) ⇒ a = √7 La ecuación de la parábola es y 2 = 4√7X .

Ejemplo 5.37

Una habitación 34metro de largo está construido para ser una galería susurrante. La habitación tiene un techo elíptico, como se muestra en la figura 5.64. Si la altura máxima del techo es 8metro , determine dónde se encuentran los focos.

Solución

La longitud a del semieje mayor del techo elíptico es 17metro . La altura B del eje semi menor es 8metro . Por lo tanto


Para el techo elíptico, los focos se encuentran a cada lado alrededor de 15metro desde el centro, a lo largo de su eje mayor.

Un milagro médico no invasivo

En un litotriptor, se emite una onda de sonido de alta frecuencia desde una fuente que se encuentra en uno de los focos de la elipse. El paciente se coloca de manera que el cálculo renal se ubique en el otro foco de la elipse.

Ejemplo 5.38

Si la ecuación de la elipse es ( X y y se miden en centímetros) ¿dónde, redondeado al centímetro más cercano, se debe colocar el cálculo renal del paciente de modo que el sonido reflejado golpee el cálculo renal?

Solución

La ecuación de la elipse es .


El origen de la onda sonora y el cálculo renal del paciente deben estar en los focos para triturar los cálculos.

a 2 = 484 y B 2 = 64

C 2 = a 2 - B 2

Por lo tanto, el cálculo renal del paciente debe colocarse a 20,5 cm del centro de la elipse.

Ejemplo 5.39

Dos estaciones de guardacostas están ubicadas a 600 km de distancia en puntos A(0, 0) y B(0, 600). Una señal de socorro de un barco en PAG es recibido en momentos ligeramente diferentes por dos estaciones. Se determina que el barco está 200 km más lejos de la estación. A de lo que es de la estacion B . Determina la ecuación de hipérbola que pasa por la ubicación del barco.

Solución

Dado que el centro está ubicado en (0, 300), a medio camino entre los dos focos, que son las estaciones de guardacostas, la ecuación es


Para determinar los valores de a y B , seleccione dos puntos que se sabe que están en la hipérbola y sustituya cada punto en la ecuación anterior.

El punto (0, 400) se encuentra en la hipérbola, ya que está 200 km más lejos de la estación A que de la estacion B .


También hay un punto (X, 600) en la hipérbola tal que 600 2 + X 2 = ( X + 200) 2 .

360000 + X 2 = X 2 + 400x + 40000


Por tanto, la ecuación requerida de la hipérbola es


El barco se encuentra en algún lugar de esta hipérbola. La ubicación exacta se puede determinar utilizando datos de una tercera estación.

Algunos telescopios contienen tanto un espejo parabólico como un espejo hiperbólico. En el telescopio que se muestra en la figura 5.68, la parábola y la hipérbola comparten el foco F 1 que es 14metro por encima del vértice de la parábola. El segundo enfoque de la hipérbola F 2 es 2metro por encima del vértice de la parábola. El vértice del espejo hiperbólico es 1metro debajo F 1. Coloque un sistema de coordenadas con el origen en el centro de la hipérbola y con los focos en el y -eje. Luego, calcula la ecuación de la hipérbola.

Dejar V 1 sea el vértice de la parábola y V 2 sea el vértice de la hipérbola.

= 14 - 2 = 12metro, 2C = 12, C = 6


La distancia del centro al vértice de la hipérbola es a = 6 −1 = 5


8.3: La hipérbola

Geometría de taxi con tecnología:

Algunos materiales de exploración

Descripción general de la geometría de la cabina de taxi

Taxi Cab Geometry tiene la siguiente función de distancia entre los puntos A (x 1, y 1) y B (x 2, y 2):

D = | x 2 - x 1 | + | y ​​2 - y 1 |

Se afirma que se mantendrán todos los axiomas y teoremas de Geometría neutra (Capítulo 1) hasta la congruencia SAS.

Construya la calculadora gráfica y / o archivos GSP (o archivos GeoGebra) para

Círculo de taxi

Archivo Graphing Calculator 3.5 para el centro A y el radio d.

| x - a | + | y ​​- b | = d

Archivo Graphing Calculator 3.5 para el centro A hasta B

Si A (a, b) es el origen (0,0), la ecuación del círculo del taxi es | x | + | y ​​| = d.

En particular, la ecuación del círculo unitario de taxi es | x | + | y ​​| = 1. Grafíquelo.

En el plano de Euclides, usamos el círculo unitario para definir las relaciones de coseno, seno y tangente. ¿Existe una forma análoga de definir relaciones trigonométricas para el plano del taxi?

La razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo en el plano euclidiano es una constante - pi.

¿Es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo TC una constante? ¿Qué es?

Un archivo GCF

Usando la métrica de distancia TC y la definición de una elipse como los puntos de ajuste donde la suma de la distancia desde dos puntos fijos es una constante d, podemos escribir una ecuación para la elipse con focos en A (a, b) y B (g, h) como

(| x - una | + | y ​​- b |) + (| x - g | + | y ​​- h |) = d

Cree su propio archivo GCF, o use el del enlace de arriba, para explorar las formas y lugares que resultan de esta ecuación.

Aquí hay seis ejemplos para diferentes opciones de A, B y d. Cada elipse TC en cada uno de los primeros 5 se compone de seis u ocho segmentos. Estos segmentos son paralelos al eje x o al eje y (no se muestran aquí) o son segmentos con una pendiente de 1 o una pendiente de -1.

COMPROBAR CONTANDO LAS LÍNEAS DE LA REJILLA QUE CADA PUNTO DE LOS SEGMENTOS REPRESENTADOS SON PARTE DEL TCEllipse.

El último ocurre cuando AB = d. Si lo incluimos como TCEllipse es un caso degenerado. ¿La región siempre será un cuadrado? ¿Por qué? Verifique que para cada punto del cuadrado, la suma de las distancias TC de A y B sea una constante.

PARA SUS CONSTRUCCIONES GSP, desea trazar la intersección de los dos círculos TC que genera.

Haga clic aquí para obtener un archivo GSP adaptado de la página web de Susan Sexton

En primer lugar, hay 4 puntos de intersección para trazar, no 2. Solo ves 2 a la vez.

A continuación, hay 4 momentos en los que los lados de los círculos TC coinciden en el mismo segmento. En esos momentos, todos los puntos del segmento que coincide satisfacen la ecuación. Así, la elipse, si existe y no está degenerada, es una figura cerrada con 8 o 6 segmentos.

Verificar.

Desde este archivo GSP, puede mover fácilmente los puntos focales A y B. No he descubierto una manera de rastrear los segmentos de pendiente 1 o -1 de esta animación.

Hipérbola de taxi

Archivo GCF para Taxi Cab Hyperbola

La definición de hipérbola es el conjunto de puntos donde la diferencia en la distancia de dos puntos fijos es una constante. Prueba esta ecuación:

| (x - a) + (y - b) | - | (x - g) + (y - h) | = d

para los puntos fijos A (a, b) y B (h, g). Parece que el otro conjunto de puntos que satisfacen la diferencia constante estaría determinado por esta ecuación:

| (x - g) + (y - h) | - | (x - a) + (y - b) | = d

Por lo tanto, una sola ecuación que obtenga ambos conjuntos de puntos sería:

|| (x - a) + (y - b) | - | (x - g) + (y - h) || = d

Al igual que con el TCEllipse, la construcción de la versión GSP puede requerir cierta atención a los segmentos de cuadrados superpuestos y no solo a los puntos de intersección.

Verifique que la figura de la derecha sea una TCHyperbola con A (6,7), B (14,14) yd = 3

Explore otros focos y otros valores de d.

¿Qué sucede con d & gt AB? ¿Qué sucede cuando d = AB?

Hay otra locura aquí. Explore estos tres casos para d = 2:

1. A (5,5) y B (11, 14)

2. A (5,5) y B (12,14)

3. A (5,5) y B (13, 14)

EXPLICAR

La definición euclidiana habitual de una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una línea y un punto fijo.

Determina una forma de expresar la distancia desde una línea y úsala para escribir una ecuación para una parábola que se pueda representar gráficamente con la calculadora gráfica 3.5.

En primer lugar, debemos reconocer que la distancia de un punto a una línea en Taxicab Geometry tiene la siguiente definición:

Definición: Dejar l ser una recta y P un punto. Entonces la distancia de P a l es el mínimo TC distancia PQ donde Q es un punto en l.

Discusión:

Se presentan tres casos. La distancia del taxi es la suma a lo largo de una horizontal más una vertical. Si el punto Q está en la horizontal con P entonces h sería la distancia en taxi de P a Q.Si el punto Q está en la vertical con P, entonces v es la distancia en taxi de P a Q. Distancia TC de P a la línea sería el mínimo para todos los puntos Q de la línea.

Por lo tanto

si la pendiente de l es más de 1, el h es la distancia mínima.

si la pendiente de l es menor que 1, el v es la distancia mínima.

si la pendiente de l es igual a 1, h = vy todos los puntos entre BC tienen la misma longitud de TC.

Se podrían examinar cifras similares para pendientes negativas.

La definición de una parábola es el lugar geométrico de los puntos tal que un punto en la parábola es equidistante de una línea llamada directriz y un punto llamado foco. En geometría euclidiana, la distancia de un punto a la línea se toma a lo largo de la perpendicular a un punto de la directriz. No importa cuál sea la pendiente de la línea. Debería haber una bandera de precaución ondeando para advertir que se hará algo un poco diferente con Taxicab Geometry.

CALCULADORA GRÁFICA 3.5 para TC Parabola

Caso 1. | m | & gt 1.

| Si la línea es y = mx + c y tenemos punto F (a, b), entonces necesitamos establecer las dos distancias TC iguales entre sí. | x - a | + | y ​​- b | nos da la distancia desde F. La distancia a la línea sería a lo largo de un horizontal desde cualquier punto (x, y) del locus. Por lo tanto, las coordenadas de un punto Q que se encuentra a una distancia mínima de (x, y) sería ((y-c) / m, y). Por lo tanto, la distancia a la línea sería | x - (y-c) / m | + | y ​​- y | = | x - (y-c) / m |. Por lo tanto, la ecuación para la parábola TC es

| x - a | + | y ​​- b | = | x - (y-c) / m |

Como en el caso uno, tenemos y = mx + c y punto F (a, b). La distancia a la línea sería a lo largo de la vertical desde cualquier punto (x, y) del locus. Por lo tanto, las coordenadas de un punto Q que se encuentra a una distancia mínima de (x, y) sería (x, mx + b). Por lo tanto, la distancia a la línea sería | x - x | + | y ​​- (mx + b) | o, es decir, | y - (mx + b) |. Por lo tanto, la ecuación para la parábola TC es

| x - a | + | y ​​- b | = | y - (mx + b) |

Caso 3. m = 1

Utilice cualquiera de los dos archivos GCF anteriores para explorar este caso.

Construcción del TC Parabola con GSP.

Un punto clave a considerar con las construcciones GSP es que la distancia TC de un punto a una línea sería a lo largo de un segmento paralelo a uno de los ejes. Determine una distancia TC de esta manera y utilícela para desarrollar un círculo TC alrededor del punto F. Luego buscamos la intersección de una línea que se mueve paralela a la directriz y el círculo TC alrededor de F. Todos los casos están implementados en el GSP archivo (cuatro páginas) a continuación. Además, las herramientas de secuencia de comandos GSP se han integrado en el archivo.

Bisectriz perpendicular de un segmento de línea

La bisectriz perpendicular de un segmento de línea es el conjunto de puntos equidistantes de los dos extremos del segmento. Entonces la ecuación debería ser:

| (x - a) + (y - b) | = | (x - g) + (y - h) |

para A (a, b) y B (g, h). Haga clic aquí para ver un archivo GCF que implementa esta ecuación.

Verifique esta gráfica de una bisectriz perpendicular TC para A (1,1) y B (8,7).

Examine una gráfica similar para A (1,1) y B (7,7)

Examine una gráfica similar para A (1,1) y B (6,7). Contraste y explique las 3 gráficas.

Examine la gráfica con A (1,1) y B (1, 7)

Examine la gráfica con A (1,1) y B (7, 1)

¿El punto medio de AB está siempre en la gráfica? Demuestre o refute.

¿En qué se diferencia o se parece la gráfica de A (1, 8) B (8,3) a las que ha examinado hasta ahora?

Construye varios triángulos equiláteros de Taxi Cab. ¿Qué observas?

Considere un segmento AB y construya un triángulo equilátero TC sobre él. El círculo TC rojo tiene el centro en A y el círculo TC verde tiene el centro en B. Los dos círculos comparten los puntos C y C ', así como todos los puntos del segmento CC'.

Por lo tanto, el triángulo ABC es TC equilátero, el triángulo ABC 'es TC equilátero, Y, si C' 'es cualquier punto de CC', entonces el triángulo ABC '' es TC equilátero.

VERIFICAR estos o refutarlos. ¿Prueba esto que la congruencia SSS no se cumple?

¿Hay triángulos equiláteros euclidianos que sean TC equiláteros?

¿Hay triángulos euclidianos isósceles que sean TC isósceles?


Ley de presiones parciales de Dalton

Imagínese lo que sucedería, se añaden gases a diferente presión pero a la misma temperatura en un recipiente. La presión total aumentaría porque habría más colisiones con las paredes del contenedor. Hay tanto espacio vacío en el contenedor que cada tipo de moléculas de gas golpea las paredes del contenedor con tanta frecuencia en la mezcla como lo hizo cuando solo había un tipo de gas. La presión total aumentará a medida que más moléculas de gas golpeen las paredes del recipiente, pero la presión debida a las moléculas de gas individuales seguirá siendo la misma. El número total de colisiones con la pared en esta mezcla es, por tanto, igual a la suma de las colisiones que ocurrirían cuando cada gas está presente por sí solo. En otras palabras,

La presión total de una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones parciales de los gases individuales.
P t = P 1 + P 2 + P 3 +. . . = + + +. P t = P 1 + P 2 + P 3 +. . .


Ver el vídeo: Hipérbola trazado y elementos. Introducción (Septiembre 2021).