Artículos

4.6: Funciones definidas por partes - Matemáticas


En ciertas situaciones, una relación numérica puede seguir un patrón de comportamiento durante un tiempo y luego exhibir un tipo diferente de comportamiento. En una situación como esta, es útil utilizar lo que se conoce como función definida por partes, una función que se define por partes.

En el ejemplo anterior de una función definida por partes, vemos que los valores (y ) para los valores negativos de (x ) se definen de manera diferente a los valores (y ) para los valores positivos de (x )

A veces se nos da un gráfico y necesitamos escribir una descripción por partes de la función que describe.

La función por partes que se muestra arriba podría describirse de la siguiente manera:

Ejercicios 4.6
Dibuje un gráfico para cada una de las funciones por partes que se describen a continuación.



















Grafique la función definida por partes que se muestra a continuación:

¿Cuáles son el dominio y el rango? ¿En qué intervalos aumenta o disminuye la función?

Dibuje la gráfica de y & # xa0 = & # xa0 4x + 11 para valores de x entre -10 y -2.

Podemos considerar los siguientes puntos para dibujar la gráfica de y & # xa0 = & # xa0 4x + 11: & # xa0

* & # xa0 y = 4x + 11 es una ecuación lineal. Entonces, su gráfica será una línea recta. & # Xa0

* & # xa0 y = 4x + 11 está en forma de intersección con pendiente y = mx + b.

obtenemos una pendiente positiva m = 4.

Entonces, la gráfica de y = 4x + 11 es una línea ascendente. & # Xa0

Dibuja la gráfica de y = x 2 & # xa0- 1 para valores de x entre -2 y 2.

Podemos considerar los siguientes puntos para dibujar la gráfica de y = x 2 & # xa0- 1: & # xa0

* & # xa0 y = x 2 & # xa0- 1 es una ecuación cuadrática. Entonces, su gráfica será una parábola. & # Xa0 & # xa0

* & # xa0 El signo de x 2 & # xa0 & # xa0in & # xa0y = x 2 & # xa0- 1 es positivo. Entonces, la gráfica será una parábola abierta hacia arriba. & # Xa0

* & # xa0 Podemos escribir y = x 2 & # xa0- 1 en forma de vértice como se muestra a continuación. & # xa0

obtenemos el vértice (h, k) & # xa0 = & # xa0 (0, -1)

Entonces, la gráfica de & # xa0y = x 2 & # xa0- 1 & # xa0 es una parábola abierta hacia arriba con el vértice (0, -1). & # Xa0

Dibuje la gráfica de y & # xa0 = & # xa0 x + 1 para valores de x entre 2 y 10.

Podemos considerar los siguientes puntos para dibujar la gráfica de y & # xa0 = & # xa0 x + 1: & # xa0

* & # xa0 y = x + 1 es una ecuación lineal. Entonces, su gráfica será una línea recta. & # Xa0

* & # xa0 y = x + 1 está en forma de intersección con pendiente y = mx + b.

obtenemos una pendiente positiva m = 1.

Entonces, la gráfica de y = x + 1 es una línea ascendente. & # Xa0

Para determinar el rango, calcule los valores de y que corresponden a los valores de x mínimo y máximo en el gráfico. & # Xa0

Para este gráfico, estos valores ocurren en los puntos finales del dominio de la función por partes,

Evalúe y = 4x + 11 para x = -10:

Evalúe y = x + 1 para x = 10:

Intervalos crecientes y decrecientes & # xa0: & # xa0

La función aumenta cuando

La función está disminuyendo cuando


Las siguientes notas y ejercicios incluyen ejemplos por partes, gráficas de pasos y problemas escritos en notación de funciones.

Haga clic para seleccionar la imagen (grande).

Luego, haga clic derecho para ver o copiar al escritorio.

Webcomic n. ° 223 - & quot; Función para la paz & quot (1-12-16)

Más información

  • Encontrar f (x)
  • Funciones gráficas
  • Trazar puntos
  • Funciones por partes (divididas)
  • Función continua
  • Valores absolutos

# 94 Math Masterpiece - Alfred Hitchock presenta su función de 39 pasos (7-12-13)

& quot542: La función más triste & quot de Chris Burke (01/12/10) (Haga clic en la esquina inferior derecha para ver)

Lea sobre & quotMaud Muller & quot de John Greenleaf Whittier (la fuente de la cita: & quot; De todas las palabras tristes de la lengua o la pluma, las más tristes son estas: & # 39¿Qué podría haber sido & # 39 & # 39 & quot;)


Política de privacidad

Resumen de privacidad

Las cookies necesarias son absolutamente esenciales para que el sitio web funcione correctamente. Estas cookies garantizan funcionalidades básicas y características de seguridad del sitio web, de forma anónima.

GalletaDuraciónDescripción
cookielawinfo-checbox-analytics11 mesesEsta cookie está configurada por el complemento de consentimiento de cookies de GDPR. La cookie se utiliza para almacenar el consentimiento del usuario para las cookies en la categoría "Análisis".
cookielawinfo-checbox-funcional11 mesesLa cookie está configurada por el consentimiento de cookies de GDPR para registrar el consentimiento del usuario para las cookies en la categoría "Funcional".
cookielawinfo-checbox-otros11 mesesEsta cookie está configurada por el complemento de consentimiento de cookies de GDPR. La cookie se utiliza para almacenar el consentimiento del usuario para las cookies en la categoría "Otro".
cookielawinfo-checkbox-required11 mesesEsta cookie está configurada por el complemento de consentimiento de cookies de GDPR. Las cookies se utilizan para almacenar el consentimiento del usuario para las cookies en la categoría "Necesarias".
cookielawinfo-checkbox-performance11 mesesEsta cookie está configurada por el complemento de consentimiento de cookies de GDPR. La cookie se utiliza para almacenar el consentimiento del usuario para las cookies en la categoría "Rendimiento".
view_cookie_policy11 mesesLa cookie está configurada por el complemento de consentimiento de cookies de GDPR y se utiliza para almacenar si el usuario ha dado su consentimiento o no para el uso de cookies. No almacena ningún dato personal.

Las cookies funcionales ayudan a realizar ciertas funcionalidades, como compartir el contenido del sitio web en plataformas de redes sociales, recopilar comentarios y otras características de terceros.

Las cookies de rendimiento se utilizan para comprender y analizar los índices de rendimiento clave del sitio web, lo que ayuda a brindar una mejor experiencia de usuario a los visitantes.

Las cookies analíticas se utilizan para comprender cómo los visitantes interactúan con el sitio web. Estas cookies ayudan a proporcionar información sobre métricas, el número de visitantes, la tasa de rebote, la fuente de tráfico, etc.

Las cookies publicitarias se utilizan para proporcionar a los visitantes anuncios y campañas de marketing relevantes. Estas cookies rastrean a los visitantes en los sitios web y recopilan información para proporcionar anuncios personalizados.

Otras cookies no categorizadas son las que se están analizando y aún no se han clasificado en una categoría.


Funciones por partes

En matemáticas, una función definida por partes (también llamada función por partes o función híbrida) es una función que está definida por múltiples subfunciones, cada subfunción se aplica a un cierto intervalo del dominio de la función principal (un subdominio ). Por partes es en realidad una forma de expresar la función, más que una característica de la función en sí, pero con una calificación adicional, puede describir la naturaleza de la función. Por ejemplo, una función polinomial por partes es una función que es un polinomio en cada uno de sus subdominios, pero posiblemente uno diferente en cada uno.

La palabra por partes también se usa para describir cualquier propiedad de una función definida por partes que se cumple para cada parte pero no necesariamente para todo el dominio de la función. Una función es diferenciable por partes o continuamente diferenciable por partes si cada pieza es diferenciable a lo largo de su subdominio, aunque la función completa no sea diferenciable en los puntos entre las piezas. En el análisis convexo, la noción de derivada puede reemplazarse por la de subderivada para funciones por partes. Aunque las "piezas" en una definición por partes no necesitan ser intervalos, una función no se llama "lineal por partes" o "continua por partes" o "diferenciable por partes" a menos que las piezas sean intervalos. 1

Maple es un potente software para explorar funciones por partes y para analizar, explorar, visualizar y resolver prácticamente cualquier problema matemático. Precios para estudiantes disponibles.


4.6: Funciones definidas por partes - Matemáticas

Podemos crear nuevas funciones a partir de las existentes de varias formas.

Cuando uno crea una nueva función a partir de funciones existentes de una manera "definida por partes", se divide algún dominio en dos o más partes disjuntas, usando diferentes funciones para calcular la salida para cada valor $ x $, donde la función utilizada es basado en la pieza en la que cae ese valor particular $ x $.

Un ejemplo simple de una función definida por partes es la función de valor absoluto, $ | x | $.

Cuando $ x ge 0 $, la función de valor absoluto en realidad no hace nada, devuelve su entrada sin cambios. Entonces, para esta pieza $ | x | = x $.

Sin embargo, cuando $ x lt 0 $, el valor absoluto cambia el signo de su entrada. Multiplicar un valor por uno negativo tiene el mismo efecto, por lo que podemos decir que para esta segunda pieza $ | x | = -x $.

Por lo tanto, resumimos cómo calcular la salida con la siguiente "definición por partes": $ | x | = left < begin x &, & x ge 0 -x &, & x lt 0 end derecho. PS

Graficar una función por partes se puede lograr simplemente graficando las funciones encontradas en las respectivas "piezas", limitando los puntos dibujados para cada pieza a los valores $ x $ que satisfacen la condición apropiada.

Por ejemplo, dada la función $ f (x) = left < begin sqrt <25-x ^ 2> &, & x le 3 2x-5 &, & x gt 3 end derecho. PS

Encontramos su gráfica graficando primero $ y = sqrt <25-x ^ 2> $ (un semicírculo con centro en el origen y radio 5) y $ y = 2x-5 $ (una línea de pendiente 2 con $ y $ -intercepción en $ (0, -5) $), como se muestra a la izquierda a continuación. Luego, descartamos aquellos puntos que no coinciden con las condiciones proporcionadas (es decir, las partes discontinuas del gráfico de la izquierda a continuación), para llegar al gráfico de la función definida por partes a la derecha.


Tenga en cuenta que usamos un punto completo en $ (3,4) $ para sugerir que la salida de la función en $ x = 3 $ está determinada por la pieza semicircular, ya que la condición de esta pieza es verdadera cuando $ x = 3 $. Asimismo, para indicar que el punto donde $ x = 3 $ debe excluirse de la pieza lineal (dada la desigualdad estricta), colocamos un círculo abierto en $ (3,1) $.


6.2: Un cohete de juguete y un dron (15 minutos)

Actividad

En esta actividad, los estudiantes examinan gráficas de funciones, identifican y describen sus características clave y conectan estas características con las situaciones representadas. Estas características clave incluyen las intersecciones horizontales y verticales, los máximos y mínimos, y los intervalos en los que una función aumenta o disminuye (o cuando un gráfico tiene una pendiente positiva o negativa).

Es probable que ni las características ni los términos sean nuevos para los estudiantes. La idea de intersecciones se introdujo en la escuela secundaria y se desarrolló más en unidades anteriores. Las características gráficas como máximos y mínimos se han considerado intuitivamente en varios casos. Simplemente se definen con más precisión aquí. En una actividad posterior, los alumnos distinguirán entre el máximo de una gráfica y el máximo de una función.

Lanzamiento

Dé a los estudiantes unos 5 minutos de tiempo de trabajo tranquilo. Siga con una discusión para toda la clase.

Se lanzaron un cohete de juguete y un dron al mismo tiempo.

Aquí están los gráficos que representan las alturas de dos objetos en función del tiempo desde que se lanzaron.

La altura se mide en metros sobre el suelo y el tiempo se mide en segundos desde el lanzamiento.

Expandir imagen

Descripción: Gráficos & ltp & gt2. Eje horizontal, 0 a 7, tiempo en segundos. Eje vertical, 0 a 50 por 10, altura en metros. El gráfico R es parabólico y se abre hacia abajo. Comienza en 0 coma 25. Su vértice está en 2 coma 45. Termina en 5 coma 0. El gráfico D es lineal por partes. Comienza en 0 coma 0. Aumenta hasta 2 coma 20, horizontal hasta 5 coma 20, luego disminuye a 7 coma 0. & lt / p & gt

Analice los gráficos y describa, con la mayor precisión posible, lo que estaba sucediendo con cada objeto. Tus descripciones deben ser lo suficientemente completas y precisas para que alguien que no esté mirando el gráfico pueda visualizar cómo se comportaban los objetos.

Respuesta del estudiante

Para acceder, consulte a uno de nuestros socios certificados de mensajería instantánea.

Conceptos erróneos anticipados

Al analizar las gráficas y describir lo que está sucediendo con cada objeto, algunos estudiantes pueden pensar erróneamente que el eje horizontal representa la distancia horizontal, sin darse cuenta de que representa el tiempo. Luego, pueden describir cómo los objetos se movían verticalmente mientras viajaban horizontalmente, en lugar de con respecto al número de segundos desde que despegaron. Anime a estos estudiantes a que revisen la etiqueta de cada eje y revisen sus descripciones.

Síntesis de actividades

Seleccione algunos estudiantes para compartir su descripción de los gráficos y haga que cada estudiante describa el movimiento de un objeto volador.

Muestre un plano de coordenadas en blanco para que todos lo vean. A medida que cada alumno comparta su respuesta, dibuje un gráfico para que coincida con lo que se describe.

Expandir imagen

Para cualquier laguna en su descripción, haga suposiciones y dibuje en consecuencia. (Por ejemplo, si un estudiante afirma que el cohete de juguete alcanza una altura de 45 metros después de 2 segundos pero no indica su altura inicial, comience la curva en ((0,0) ), ((0,40) ), o cualquier otro punto además de ((0,25) ).) Si se solicita, permita a los estudiantes refinar sus descripciones y ajustar el boceto en consecuencia.

Luego, invite a otros estudiantes a compartir su respuesta a la última pregunta. En los gráficos, resalte las características que notaron los estudiantes. (Consulte la Respuesta del estudiante para ver un ejemplo). Utilice los términos intersecciones verticales, intersecciones horizontales, máximo, y mínimo para hacer referencia a esas características y etiquetarlas en los gráficos.

  • Un punto en el gráfico que es tan alto o más alto que todos los demás puntos se llama máximo del gráfico (o un máximo relativo, porque su altura se ve en relación con otros puntos que se muestran en el gráfico).
  • Un punto en el gráfico que es tan bajo o más bajo que todos los demás puntos se llama mínimo del gráfico (o un mínimo relativo).

Un gráfico puede tener más de un máximo o mínimo relativo. Por ejemplo, los puntos ((2, (D (2)) ) y ((5, D (5) )) son máximos relativos, y ((0, D (0)) ) y ((7, D (7)) ) son ambos mínimos relativos.

Si ningún alumno mencionó los intervalos en los que cada función aumentaba, se mantenía constante o disminuía, llame su atención sobre estas características en los gráficos y etiquételas como tales.


Descripción general

Descripción

Para cursos de precálculo.

Este paquete incluye MyLab Math.

Vincula conceptos mediante un enfoque de funciones

La Conceptos a través de funciones Serie introduce funciones al comienzo de cada texto y mantiene un tema continuo al introducir / desarrollar una nueva función en cada capítulo.

Conocidos por su capacidad para conectarse con los estudiantes de hoy, los aclamados autores Sullivan y Sullivan se centran en los fundamentos: prepararse para la clase, practicar con la tarea y repasar conceptos clave - alentar a los estudiantes a dominar las habilidades básicas y desarrollar la comprensión conceptual necesaria para este y futuros cursos. La cobertura de la utilidad de gráficos es opcional y se puede incluir a discreción de cada instructor según las necesidades del curso.

Llegue a todos los estudiantes emparejando este texto con MyLab Math

MyLab ™ Math es la plataforma de enseñanza y aprendizaje que le permite alcanzar cada estudiante. Al combinar contenido de autor confiable con herramientas digitales y una plataforma flexible, MyLab personaliza la experiencia de aprendizaje y mejora los resultados para cada estudiante. Obtenga más información sobre MyLab Math.


Función definida por partes

En esta página puede obtener varias acciones con una función definida por partes, así como para la mayoría de los servicios: obtenga la solución detallada.

  • Derivada de a trozos
  • Trazar un gráfico
  • Bosquejo de curvas
  • Integral definida
  • Integral indefinida de funciones similares
  • Límite de piezas sabias
  • Serie de Fourier (en los ejemplos habituales hay métodos para calcular una serie)
  • Serie de taylor

Los ejemplos anteriores también contienen:

  • el módulo o valor absoluto: absoluto (x) o | x |
  • raíces cuadradas sqrt (x),
    raíces cúbicas cbrt (x)
  • funciones trigonométricas:
    seno sin (x), coseno cos (x), tangente tan (x), cotangente ctan (x)
  • funciones exponenciales y exponentes exp (x)
  • funciones trigonométricas inversas:
    arcoseno asin (x), arcocoseno acos (x), arcotangente atan (x), arcocotangente acot (x)
  • logaritmos naturales ln (x),
    logaritmos decimales log (x)
  • funciones hiperbólicas:
    seno hiperbólico sh (x), coseno hiperbólico ch (x), tangente hiperbólica y cotangente tanh (x), ctanh (x)
  • funciones hiperbólicas inversas:
    arcoseno hiperbólico asinh (x), arcocosino hiperbólico acosh (x), arcoseno hiperbólico atanh (x), arcocotangente hiperbólico acoth (x)
  • otras funciones de trigonometría e hiperbólicas:
    secante sec (x), cosecante csc (x), arcosecante asec (x), arcosecante acsc (x), secante hiperbólico sech (x), cosecante hiperbólico csch (x), arcosecante hiperbólico asech (x), arcosecante hiperbólico acsch (x )
  • funciones de redondeo:
    redondear el piso hacia abajo (x), redondear el techo (x)
  • el signo de un número:
    signo (x)
  • para la teoría de la probabilidad:
    la función de error erf (x) (integral de probabilidad), función de Laplace laplace (x)
  • Factorial de X:
    ¡X! o factorial (x)
  • Función gamma gamma (x)
  • Función de Lambert LambertW (x)

Las reglas de inserción

Se pueden realizar las siguientes operaciones

2 * x - multiplicación 3 / x - división x ^ 2 - cuadratura x ^ 3 - cubicando x ^ 5 - elevando al poder x + 7 - adición x - 6 - resta Numeros reales insertar como 7.5, No 7,5


Lección 6

Esta lección tiene dos objetivos. El primer objetivo es instar a los estudiantes a escribir una ecuación de la forma (y = a boldcdot b ^ x ) para representar una función exponencial sin un contexto a partir de información limitada.

Una segunda actividad opcional anima a los estudiantes a observar más de cerca cómo se pueden escribir diferentes expresiones equivalentes para resaltar diferentes aspectos de una cantidad. Por ejemplo, podemos escribir una expresión que muestre el factor de crecimiento de una población de bacterias cada semana, o una que muestre el factor de crecimiento diario.

En la primera actividad, para encontrar (a ) y (b ), los estudiantes necesitan razonar de manera abstracta y hacer uso de la estructura. Calcular el factor de crecimiento o disminución, el (b ) en (a boldcdot b ^ x ), a partir de las coordenadas de dos puntos, requiere que los estudiantes comprendan que las funciones exponenciales cambian por factores iguales en intervalos iguales (MP7). Además, debido a que la primera actividad utiliza la rutina de Brecha de información, los estudiantes primero deben decidir qué información necesitan para resolver el problema y por qué la necesitan. Obtener información útil puede requerir múltiples rondas de preguntas (MP1) y el uso de un lenguaje cada vez más preciso (MP6).


Ver el vídeo: - Alg. - Piecewise Defined Functions (Septiembre 2021).