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1.13: Simplificación de raíces cuadradas - Matemáticas


Encontrar la raíz cuadrada de un número es la operación inversa de elevar ese número al cuadrado. Por ejemplo,

[5 ^ {2} = 5 cdot 5 = 25 nonumber ]

y

[(- 5) ^ {2} = (- 5) cdot (-5) = 25. sin número]

La raíz cuadrada de un número (n, ) escrito como ( sqrt {n}, ) es el numero positivo eso da (n ) cuando se multiplica por sí mismo. Por ejemplo, ( sqrt {25} = 5 ) y no -5 porque 5 es el positivo número que multiplicado por sí mismo da 25.

Los cuadrados perfectos son los cuadrados de números enteros:

  • (1=1^{2})
  • (4=2^{2})
  • (9=3^{2})
  • (16=4^{2})
  • (25=5^{2})
  • (36=6^{2})
  • (49=7^{2})
  • (64=8^{2})
  • (81=9^{2})
  • (100 = 10 ^ {2}, ldots )

y encontrar sus raíces cuadradas es sencillo. Entonces

[ begin {align *} sqrt {16} & = sqrt {4 ^ {2}} [4pt] & = 4 sqrt {100} & = sqrt {10 ^ {2}} [4pt] & = 10. end {alinear *} ]

¿Qué pasa con ( sqrt {50}? ) ¿Puedes pensar en un número que multiplicas por sí mismo y la respuesta es (50? ) Lo único que podemos hacer es simplificar la raíz cuadrada. Decimos que una raíz cuadrada es simplificado si tiene sin factores cuadrados perfectos.

Entonces, para simplificar ( sqrt {50} ) primero escribimos 50 en su factor y buscamos cuadrados perfectos.

[50 = 25 cdot 2 = 5 ^ {2} cdot 2. sin número]

Luego,

[ begin {align *} sqrt {50} & = sqrt {25 cdot 2} [4pt] & = sqrt {5 ^ {2}} cdot sqrt {2} [4pt ] & = 5 cdot sqrt {2}. end {alinear *} ]

La justificación para separar ( sqrt {5 ^ {2}} ) y ( sqrt {2} ) es el hecho de que la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de la raíz cuadrada de cada factor:

Regla de producto para radicales

[ sqrt {a cdot b} = sqrt {a} cdot sqrt {b} ]

Ejemplo 11.1

Simplifique cada una de las siguientes expresiones radicales:

  1. ( begin {align *} sqrt {24} & = sqrt {4 cdot 6} = sqrt {2 ^ {2} cdot 6} & = sqrt {2 ^ {2}} cdot sqrt {6} = 2 cdot sqrt {6} end {align *} )
  2. ( sqrt {108} = sqrt {36 cdot 3} = sqrt {6 ^ {2} cdot 3} = sqrt {6 ^ {2}} cdot sqrt {3} = 6 cdot sqrt {3} )
  3. ( begin {align *} 2 cdot sqrt {80} & = 2 cdot sqrt {16 cdot 5} = 2 cdot sqrt {4 ^ {2} cdot 5} & = 2 cdot sqrt {4 ^ {2}} cdot sqrt {5} = 2 cdot 4 cdot sqrt {5} & = 8 cdot sqrt {5} end {align *} )

Cómo combinar raíces cuadradas "similares"

Podemos combinar raíces cuadradas "similares" de la misma manera que combinamos "términos similares" en el capítulo 8.

Como raíces cuadradas

Dos (o más) raíces cuadradas son "similares" si tienen la misma cantidad debajo de la raíz.

Nota: Siempre simplifique la raíz cuadrada si es posible antes de identificar raíces "similares".

Ejemplo 11.2

Como raíces cuadradas:

  1. ( sqrt {3} ) y (- 6 sqrt {3} )
  2. (2 sqrt {5} ) y (- 4 sqrt {5} )
  3. ( sqrt {7} ) y ( sqrt {28}, ) porque ( sqrt {28} = sqrt {4 cdot 7} = sqrt {4} cdot sqrt {7} = 2 sqrt {7} )
  4. ( sqrt {90} ) y ( sqrt {250} ) porque ( sqrt {90} = sqrt {9 cdot 10} = sqrt {9} cdot sqrt {10} = 3 sqrt {10} ) y ( sqrt {250} = sqrt {25 cdot 10} = sqrt {25} cdot sqrt {10} = 5 sqrt {10} )

Para sumar o restar radicales, primero debemos simplificar los radicales y luego combinarlos como radicales.

Ejemplo 11.3

Sumar o restar radicales:

  1. ( sqrt {160} + sqrt {490} = sqrt {16 cdot 10} + sqrt {49 cdot 10} = sqrt {16} cdot sqrt {10} + sqrt {49} cdot sqrt {10} = 4 cdot sqrt {10} +7 cdot sqrt {10} = (4 + 7) sqrt {10} = 11 sqrt {10} )
  2. (2 sqrt {27} -5 sqrt {3} = 2 sqrt {9 cdot 3} -5 sqrt {3} = 2 sqrt {9} cdot sqrt {3} -5 sqrt {3} = 2 cdot 3 sqrt {3} -5 sqrt {3} = 6 sqrt {3} -5 sqrt {3} = (6-5) sqrt {3} = 1 sqrt { 3} = sqrt {3} )
  3. (4 sqrt {18} -7 sqrt {8} -3 sqrt {1} = 4 sqrt {9} sqrt {2} -7 sqrt {4} sqrt {2} -3 cdot 1 = 4 cdot 3 sqrt {2} -7 cdot 2 sqrt {2} -3 = 12 sqrt {2} -14 sqrt {2} -3 = (12-14) sqrt {2} -3 = -2 sqrt {2} -3 )

Nota: Solo se pueden combinar raíces "similares".

¿Cómo simplificamos los radicales no numéricos?

Al igual que los números, las variables dentro de la raíz cuadrada que están elevadas al cuadrado (elevadas a la potencia 2) se pueden simplificar. Entonces, ( sqrt {x ^ {2}} = x ) de la misma manera que ( sqrt {8 ^ {2}} = 8 ). Entonces, necesitamos encontrar tantos múltiplos de variables que sean al cuadrado:

[ begin {align *} sqrt {x ^ {8}} & = sqrt {x ^ {2} cdot x ^ {2} cdot x ^ {2} cdot x ^ {2}} [4pt] & = sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x ^ {2}} [4pt] & = x cdot x cdot x cdot x [4pt] & = x ^ {4} [4pt] sqrt {x ^ {5}} & = sqrt {x ^ {2 } cdot x ^ {2} cdot x} [4pt] & = sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x} [4pt ] & = x cdot x cdot sqrt {x} [4pt] = x ^ {2} sqrt {x} end {align *} ]

Si tiene un número y una variable dentro de la raíz cuadrada (o más de una variable), trabaja con cada uno por separado. Por ejemplo:

[ sqrt {50 x ^ {8}} = sqrt {50} cdot sqrt {x ^ {8}} = 5 sqrt {2} cdot x ^ {4} = 5 x ^ {4} sqrt {2} nonumber ]

Ejemplo 11.4

Simplifique cada una de las siguientes expresiones radicales:

a) ( begin {align *}
sqrt {y ^ {4} x ^ {8}} & = sqrt {y ^ {4}} cdot sqrt {x ^ {8}} = sqrt {y ^ {2} cdot y ^ { 2}} cdot sqrt {x ^ {8}}
& = sqrt {y ^ {2}} cdot sqrt {y ^ {2}} cdot sqrt {x ^ {8}} = y cdot y cdot sqrt {x ^ {8}} = y ^ {2} cdot sqrt {x ^ {8}}
& = y ^ {2} cdot x ^ {4}
& = y ^ {2} x ^ {4}
end {alinear *} )

b) ( begin {align *}
sqrt {200 cdot m ^ {4}} & = sqrt {200} cdot sqrt {m ^ {4}} = sqrt {100 cdot 2} cdot sqrt {m ^ {4}}
& = sqrt {10 ^ {2} cdot 2} cdot sqrt {m ^ {4}} = sqrt {10 ^ {2}} cdot sqrt {2} cdot sqrt {m ^ { 4}} = 10 cdot sqrt {2} cdot m ^ {2}
& = 10 cdot m ^ {2} cdot sqrt {2} = 10 m ^ {2} sqrt {2}
end {alinear *} )

c) ( begin {align *}
m ^ {3} cdot sqrt {200 cdot m ^ {4}} & = m ^ {3} cdot sqrt {200} cdot sqrt {m ^ {4}} = m ^ {3} cdot sqrt {100 cdot 2} cdot sqrt {m ^ {4}}
& = m ^ {3} cdot sqrt {10 ^ {2} cdot 2} cdot sqrt {m ^ {4}} = m ^ {3} cdot sqrt {10 ^ {2}} cdot sqrt {2} cdot sqrt {m ^ {4}}
& = m ^ {3} cdot 10 cdot sqrt {2} cdot m ^ {2} = 10 m ^ {5} cdot sqrt {2}
& = 10 m ^ {5} sqrt {2}
end {alinear *} )

d) ( begin {align *}
2 sqrt {63 x ^ {3}} & = 2 cdot sqrt {63} cdot sqrt {x ^ {3}} = 2 cdot sqrt {9 cdot 7} cdot sqrt {x ^ {3}}
& = 2 cdot sqrt {3 ^ {2} cdot 7} cdot sqrt {x ^ {2} cdot x} = 2 cdot sqrt {3 ^ {2}} cdot sqrt {7 } cdot sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x}
& = 2 cdot 3 sqrt {7} cdot x cdot sqrt {x} = 6 x cdot sqrt {7 x} = 6 x sqrt {7 x}
end {alinear *} )

Similar a la regla del producto, la regla del cociente nos permite separar raíces cuadradas de la siguiente manera:

Regla del cociente para radicales

( sqrt { frac {a} {b}} = frac { sqrt {a}} { sqrt {b}} )

Y observe que ambas reglas se pueden leer de derecha a izquierda de la siguiente manera:

[ sqrt {a} cdot sqrt {b} = sqrt {a cdot b} nonumber ]

[ frac { sqrt {a}} { sqrt {b}} = sqrt { frac {a} {b}} nonumber ]

Esto nos proporciona las herramientas necesarias para combinar y simplificar raíces cuadradas, cuando la operación es multiplicación o división solo.

Ejemplo 11.5

Simplifica completamente:

  1. ( begin {align *} frac { sqrt {15} sqrt {70}} { sqrt {5}} & = frac { sqrt {15 cdot 70}} { sqrt {5}} & = sqrt { frac {15 cdot 70} {5}} = sqrt { frac {5 cdot 3 cdot 7 cdot 5 cdot 2} {5}} & = sqrt {5 cdot 3 cdot 2 cdot 7} = sqrt {210} end {align *} )
  2. ( begin {align *} -x sqrt {12 y ^ {3}} cdot 3 y ^ {2} sqrt {15 x} & = - 3 xy ^ {2} cdot sqrt {12 y ^ {3} cdot 15 x} = - 3 xy ^ {2} cdot sqrt {12 cdot 15 xy ^ {3}} & = - 3 xy ^ {2} cdot sqrt {4 cdot 3 cdot 3 cdot 5 xy ^ {3}} & = - 3 xy ^ {2} cdot sqrt {4 cdot 3 ^ {2} cdot 5 xy cdot y ^ {2}} & = - 3 xy ^ {2} cdot sqrt {4} cdot sqrt {3 ^ {2}} cdot sqrt {5 xy} cdot sqrt {y ^ {2}} & = - 3 xy ^ {2} cdot 2 cdot 3 cdot sqrt {5 xy} cdot y & = - 18 xy ^ {3} cdot sqrt {5 xy} end {align * } )

Problema de salida

Simplificar: (5 sqrt {24} -2 sqrt {54} -3 sqrt {16} )


SAT Math: Simplifying Square Roots (Simplificación de raíces cuadradas)

encontrar la raíz cuadrada de un exponente par es fácil, y 49 es un cuadrado perfecto, por lo que podemos escribir una notación científica incorrecta:

√49 = 7 √10 -6 = 10-3 esto equivale a elevar 10-6 a la potencia 1/2, en cuyo caso todo lo que hay que hacer es multiplicar los dos exponentes: 7 X 10-3 = 0.007

Pregunta de ejemplo n. ° 12: cuadratura básica / raíces cuadradas

Para sacar la raíz cuadrada, divide 576 entre 2.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Cómo simplificar raíces cuadradas

Pregunta de ejemplo n. ° 21: Aritmética

Simplifique el siguiente radical.

Puedes reescribir la ecuación como.

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En este capítulo, aprenderemos cómo simplificar raíces cuadradas y hacer operaciones con raíces cuadradas.

Definición 9.1.1. La definición de la raíz cuadrada de un número.

Si (y ^ 2 = x ) para un número positivo (y text <,> ) entonces (y ) se llama el de (x text <,> ) y escribimos (y = sqrt text <,> ) donde ( sqrt < phantom> ) el símbolo se llama o el. Llamamos expresiones con un símbolo de raíz. El número dentro del radical se llama.

Por ejemplo, desde (4 ^ 2 = 16 text <,> ) entonces ( sqrt <16> = 4 text <.> ) Ambos ( sqrt <2> ) y (3 sqrt <2> ) son expresiones radicales. En ambas expresiones, el número (2 ) es el radicando. Puede revisar los conceptos básicos de la raíz cuadrada en la Sección 1.4.

La palabra "radical" significa algo así como "marginal" cuando se usa en política, deportes y otros lugares. En realidad, tiene el mismo significado en matemáticas, cuando se considera un cuadrado con área (A ) como en la figura 9.1.2.

Subsección 9.1.1 Estimación de raíces cuadradas

Cuando el radicando es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es un número racional. Si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada es irracional. Queremos poder estimar raíces cuadradas sin usar una calculadora.

Para estimar ( sqrt <10> text <,> ) podemos encontrar los cuadrados perfectos más cercanos que sean números enteros a cada lado de (10 ​​ text <.> ) Recuerde que los cuadrados perfectos son (1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, dots ) ​​El cuadrado perfecto que está justo debajo de (10 ​​) es (9 ) y el cuadrado perfecto justo encima de (10 ​​) es (16 text <.> ) Esto nos dice que ( sqrt <10> ) está entre ( sqrt <9> ) y ( sqrt <16> text <,> ) o entre (3 ) y (4 text <.> ) También podemos decir que ( sqrt <10> ) está mucho más cerca de (3 ) que (4 ) porque (10 ​​ ) está más cerca de (9 text <,> ) por lo que creemos que (3.1 ) o (3.2 ) sería una buena estimación.

Para verificar nuestra estimación, busquemos ( sqrt <10> ) con una calculadora:

El valor real está justo por encima de (3 ) como estimamos, y entre (3.1 ) y (3.2 text <.> ) Veamos algunos ejemplos más.

Punto de control 9.1.3.
Ejemplo 9.1.4.

Estima ( sqrt <3.2> ) sin calculadora.

El radicando (3.2 ) está entre (1 ) y (4 text <,> ) entonces ( sqrt <3.2> ) está entre ( sqrt <1> ) y ( sqrt <4> text <,> ) o entre (1 ) y (2 text <.> )

Para ser más precisos, notamos que (3.2 ) está mucho más cerca de (4 ) que (1 text <.> ) Estimamos que ( sqrt <3.2> ) es aproximadamente (1.8 text <.> )

Comprobaremos nuestro presupuesto con una calculadora:

Subsección 9.1.2 Propiedades de multiplicación y división de raíces cuadradas

Aquí hay un ejemplo que usa cuadrados perfectos y las reglas de los exponentes para mostrar una relación entre el producto de dos raíces cuadradas:

Ya sea que multipliquemos los radicandos primero o que saquemos primero las raíces cuadradas, obtenemos el mismo resultado. Esto nos dice que en la multiplicación con radicales, podemos combinar factores en un solo radical o separarlos según sea necesario.

Ahora veamos la división. Cuando aprendimos a hallar la raíz cuadrada de una fracción en la sección 1.4, vimos que los numeradores y denominadores se podían simplificar por separado. Multiplicamos los numeradores y denominadores de forma independiente. Aquí hay un ejemplo de dos formas diferentes de simplificar una fracción en una raíz cuadrada:

Al igual que con la multiplicación, podemos separar los numeradores y denominadores en una expresión radical o combinarlos según sea necesario. Tenga en cuenta que trabajamos con expresiones que eran cuadrados perfectos, pero estas propiedades funcionarán independientemente del número dentro del radical. Resumamos estas propiedades.

Hecho 9.1.5. Propiedades de multiplicación y división de raíces cuadradas.

Para cualquier número real positivo (x ) y (y ) tenemos las siguientes propiedades:

Propiedad de multiplicación de raíces cuadradas

Propiedad de división de raíces cuadradas

Subsección 9.1.3 Simplificación de raíces cuadradas

Podemos usar las propiedades de multiplicación y división de raíces cuadradas para simplificar un radicando que no es un cuadrado perfecto. Simplificar radicales es similar a simplificar fracciones porque queremos que el radicando sea lo más pequeño posible.

Para entender por qué podemos simplificar radicales, usemos una calculadora para comparar ( sqrt <12> ) y (2 sqrt <3> text <.> )

Estas son expresiones equivalentes, así que veamos cómo podemos simplificar ( sqrt <12> ) a (2 sqrt <3> text <.> )

Primero, crearemos una tabla de pares de factores para el número (12 text <,> ) como hicimos en la Sección 7.3.

El par de factores con el cuadrado perfecto más grande es (3 cdot4 text <.> ) Usaremos la propiedad de multiplicar radicales para separar el cuadrado perfecto del otro factor. Primero escribimos el cuadrado perfecto porque terminará delante del radical.

Este proceso se puede utilizar para simplificar cualquier raíz cuadrada o para determinar que está completamente simplificado. Veamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 9.1.6.

Aquí hay una tabla de pares de factores para el número (72 text <.> )

El cuadrado perfecto más grande es (36 ) así que reescribiremos (72 ) como (36 cdot2 text <.> )

Observe que si hubiéramos elegido (4 cdot18 ) podríamos simplificar el radical parcialmente, pero necesitaríamos continuar y encontrar el cuadrado perfecto de (9 ) en (18 text <.> )


¿Cómo simplificar las raíces cuadradas?

Por ejemplo, un número 16 tiene 4 copias de factores, por lo que tomamos un número dos de cada par y lo colocamos delante del radical, finalmente eliminado, es decir, √16 = √ (2 x 2 x 2 x 2) = 4 .

La simplificación de la raíz cuadrada de un número implica varios métodos. Este artículo describe algunos de estos métodos.

Simplificación cuando los radicales son iguales

Puede sumar o restar raíces cuadradas solo si los valores bajo el signo del radical son iguales. Luego sume o reste los coeficientes (números delante del signo del radical) y mantenga el signo del radical y el número original.

Realice las siguientes operaciones

Simplificación bajo un solo signo radical

Puede simplificar una raíz cuadrada cuando los números enteros están bajo un solo signo mediante la suma, resta y multiplicación de los números enteros bajo el signo.

Simplifica las siguientes expresiones:

Simplificación cuando los valores radicales son diferentes

Cuando los radicales no son iguales, simplifica el cuadrado de un número, sumando o restando diferentes raíces cuadradas.

Realice las siguientes operaciones:

Simplificar mediante la multiplicación de raíces no negativas

Encuentra el valor de un número n si la raíz cuadrada de la suma del número con 12 es 5.

Escribe una expresión de este problema, la raíz cuadrada de la suma de n y 12 es 5
√ (n + 12) = raíz cuadrada de la suma.

√ (n + 12) = 5
Nuestra ecuación que debería resolverse ahora es:
√ (n + 12) = 5
Cada lado de la ecuación se eleva al cuadrado:
[√ (n + 12)] ² = 5²
[√ (n + 12)] x [√ (n + 12)] = 25
√ [(n + 12) x √ (n + 12)] = 25
√ (n + 12) ² = 25
n + 12 = 25
Restar 12 de ambos lados de la expresión
n + 12 & # 8211 12 = 25 & # 8211 12
n + 0 = 25 y # 8211 12
n = 13

El argumento 4500 tiene los factores 5, 9 y 100. Ahora es posible calcular su raíz cuadrada. Calcular la raíz cuadrada de números cuadrados perfectos

El número 72 es igual a 2 x 36, y dado que 36 es un cuadrado perfecto, calcula su raíz cuadrada.


¿Cuál es la suma de la ecuación anterior? Como se llama

No es una ecuación ni una suma, pero es una continuó radical definido como el límite (como $ n a infty $) de la secuencia del radicales anidados $ u_n = sqrt<>>> $ donde $ a_n = sum_^ n i = n (n + 1) / 2 $ (el $ n ^$ número de triángulo), $ n = 1,2,3. PS

Que este limite existe se deduce de un teorema demostrado por T. Vijayaraghavan (1927):

Para cualquier secuencia de reales no negativos $ (a_n) _$, la secuencia de radicales anidados $ (u_n) _$ con $ u_n = sqrt<>>> $ converge si y solo si existe un límite superior finito $ overline < lim> < left ( frac < log> <2 ^ n> right)> & lt infty. $

Esto se cumple claramente en el caso presente, porque $ overline < lim> < left ( frac < log < frac<2> >> <2 ^ n> derecha)> = 0. $

Para acotar el error de $ u_n $ como una aproximación del límite, se puede usar la siguiente consecuencia de un teorema probado por Herschfeld (1935):

Sustituyendo $ a_i = i (i + 1) / 2 $ y simplificando, entonces da $ 0 le u_-u_n le frac <1> sqrt < frac<2^>>, $ de ahí, teniendo en cuenta que $ n! ge sqrt <2 pi n> left ( frac right) ^ n $, $ 0 le u_-u_n le A left ( frac right) ^ n $ donde $ A = sqrt < frac <3> <4 pi >> = 0.4886. $ y $ B = frac< sqrt <2>> = 1.922. PS

$ begin 0 le u_m - u_n & amp = (u_m - u_) + (u_ - u_) + cdots + (u_ - u_n) & amp le A left ( left ( frac derecha) ^ + izquierda ( frac derecha) ^ + cdots + left ( frac derecha) ^ right) & amp le A left ( left ( frac derecha) ^ + izquierda ( frac derecha) ^ + cdots + left ( frac derecha) ^ right) & amp le A left ( frac right) ^ n frac <1 - ( frac)^> <1 - frac> etiqueta <*> end $ donde se sumó la progresión geométrica en el último paso (teniendo en cuenta que $ B / n & lt 1 $ para todos los $ n & gt 1 $).

Finalmente, tomando límites con $ m to infty $ y dejando $ u = lim_$, $ 0 le u - u_n le A left ( frac right) ^ n frac <1> <1 - frac>. $

(Tenga en cuenta que (*) arriba también da otra prueba de la existencia del límite, mostrando la secuencia $ (u_n) _$ para ser Cauchy.)

El último límite de error es bastante débil, pero basta para probar, por ejemplo, que

calculando $ u_n $ para $ n $ suficientemente grandes. Por ejemplo, $ u_n $ tiene al menos $ n $ dígitos correctos para cualquier $ n ge 20 $, porque en ese caso $ A left ( frac right) ^ n frac <1> <1 - frac> le 0.5 10 ^ <-n>. PS


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Cómo: simplificar raíces cuadradas en matemáticas

En este video, el instructor muestra cómo simplificar radicales. Un radical no es más que otro nombre para una raíz cuadrada. Para encontrar la raíz cuadrada de un número simple, lo primero que debes hacer es factorizarlo. Si necesita calcular la raíz cuadrada de un número, primero debe encontrar un número que, multiplicado por sí mismo, dé el número original debajo de la raíz. Por ejemplo, para encontrar la raíz cuadrada de 9, necesitas encontrar un número que multiplicado por sí mismo da 9. Aquí la respuesta es 3. Cuando 3 se multiplica por sí mismo, da 9. Esto significa que 3 es la raíz cuadrada de 9 Cuando se factoriza 9, es tres por tres o tres al cuadrado. Entonces, al cancelar la raíz cuadrada contra el cuadrado del número, puede simplificar el radical. Este video muestra cómo simplificar radicales.

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Simplificando raíces cuadradas, ¿qué número va primero?

El orden no importa. 25 x 2 y 2 x 25 producen 50, por lo que el orden en el que escribe los factores es irrelevante.

Sí, pero cuando simplifico aún más, termina siendo 5 y raíz cuadrada de 2. Si lo hiciera de otra manera, lo habría puesto 2 y raíz cuadrada de 5, lo cual habría estado mal, ¿no?

El orden no importa. El truco del árbol es una forma indirecta de aplicar algunas de nuestras reglas matemáticas.

Para números reales no negativos, se cumple lo siguiente:

Además, para números complejos (y, por tanto, números reales positivos), se cumple lo siguiente:

Cuando haces el árbol, estás dividiendo la raíz en factores más pequeños de los que, con suerte, puedes echar raíces. Dejemos que & # x27s pruebe un ejemplo:

Digamos que lo ramifica en 3 y 25. Eso hace lo siguiente:

Como conoce la raíz cuadrada de 25 y puede multiplicar en cualquier orden, podemos escribir:

La razón por la que el truco es útil es porque es posible que haya ido en un orden diferente. Dejemos que & # x27s intente el mismo problema, pero en su lugar, bifurque 75 en 5 y 15, luego bifurque 15 en 5 y 3. Esto significa que tenemos:

Ahora, sabemos que los cuadrados deshacen las raíces cuadradas, así que usemos eso en las raíces cuadradas de 5:

Tenemos la misma respuesta. Lo mismo ocurre en general: puedes hacerlo en cualquier orden porque el árbol es solo una herramienta para visualizar cómo interactúan la multiplicación, los factores y los radicales.


Solución

Solución

¿Recuerda el cociente de una propiedad de potencia? Dijo que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado.

Podemos usar una propiedad similar para simplificar la raíz cuadrada de una fracción. Después de eliminar todos los factores comunes del numerador y denominador, si la fracción no es un cuadrado perfecto, simplificamos el numerador y el denominador por separado.

Propiedad del cociente de raíces cuadradas

Si a, B son números reales no negativos y (b ne 0 ), entonces


Ver el vídeo: Simplificación de radicales. Parte 1 principiantes (Septiembre 2021).