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1.18: Resolver ecuaciones lineales


El tipo de ecuación determinará el método que usamos para resolverlo. Primero discutiremos ecuaciones lineales. Estas son ecuaciones que solo contienen la primera potencia de una variable y nada más.

Ejemplo 16.1

Ejemplos de ecuaciones lineales:

  1. (x-4 = 6 ) es una ecuación lineal.
  2. (5 x-6 = 4 x + 2 ) es una ecuación lineal.
  3. (x ^ {2} -2 x + 1 = 0 ) no es una ecuación lineal, ya que la variable (x ) es elevada a la segunda potencia. Ésta es una ecuación cuadrática que estudiaremos en el capítulo 20.

Observación crítica: Podemos sumar o restar cualquier cosa de una ecuación siempre que lo hagamos en ambos lados al mismo tiempo. Esta es una herramienta muy esencial para resolver ecuaciones lineales. Nos ayudara aislar la variable en un lado de la ecuación y los números en el otro lado de la ecuación.

Si ( quad a = b quad ) entonces ( quad a + c = b + c ).

Si ( quad a = b quad ) entonces ( quad a-c = b-c ).

Ejemplo 16.2

Aislar la variable en la ecuación dada:

a) (x-4 = 6 )

Aquí sumamos 4 a ambos lados de la ecuación para obtener

[x-4 + 4 = 6 + 4 nonumber ]

lo cual tiene el efecto de aislar (x ) en un lado de la ecuación y los números en el otro ya que al simplificar vemos que

[x = 10 nonumber ]

Puede ser útil escribir esto en forma vertical:

[x-4 = 6 nonumber ]

[+ 4 quad + 4 nonumber] ]

[ Longrightarrow x = 10 ]

b) (x + 7 = -2. ) Aquí sumamos -7 de ambos lados porque tendrá el efecto de aislar el (x: ) (escrito verticalmente)

[x + 7 = -2 nonumber ]

[+ - 7 quad-7 nonumber ]

[ Longrightarrow x = -9 nonumber ]

c) (5 x-6 = 4 x + 2 )

Aquí aparece (x ) en ambos lados de la ecuación. Si restamos uno de los términos de ambos lados, tendrá el efecto de aislar (x ) en un lado.

Tenemos una opción. Restaremos (4 x ) de ambos lados para que una (x ) esté en el LHS. La alternativa hubiera sido restar (5 x ) lo que nos hubiera dejado con (- x ) en ( mathrm {RHS} ) (esto sería algo inconveniente). Tenemos (escrito verticalmente)

[5 x-6 = 4 x + 2 nonumber ]

[- 4 x-4 x nonumber ]

[ Longrightarrow x-6 = 2 nonumber ]

[ quad + 6 quad + 6 nonumber ]

[ Longrightarrow x = 8 nonumber ]

Tenga en cuenta que cada solución se puede verificar insertando el número encontrado en la ecuación original.

Ejemplo 16.3

Resolver:

a) (17- (4-2 x) = 3 (x + 4) )

Para resolver esta ecuación, primero debemos eliminar todos los paréntesis y combinar los términos semejantes.

[17- (4-2 x) = 3 (x + 4) nonumber ]

[ Longrightarrow 17-4 + 2 x = 3 x + 12 nonumber ]

[ Longrightarrow 13 + 2 x = 3 x + 12 nonumber ]

Siguiendo el ejemplo anterior, la solución se encuentra (restando (2 x ) de ambos lados y restando 12 de ambos lados) para ser (x = 1. ) Ahora, podemos verificar si nuestro trabajo es correcto sustituyendo (x = 1 ) en la ecuación original y viendo si ( mathrm {RHS} ) y ( mathrm {LHS} ) dan el mismo valor:

DERECHA: (17- (4-2 x) = 17 + (- 1) (4 + (- 2 x)) = 17 + (- 1) (4 + (- 2 cdot 1)) = 17+ ( -1) (4 + (- 2)) = 17 + (- 1) (2) = 17 + (- 2) = 15 )

IZQUIERDA: (3 (x + 4) = 3 (1 + 4) = 3 (5) = 15 )

Dado que ambos valores son iguales, nuestra solución de (x = 1 ) es correcta.

Observación crítica: Podemos multiplicar o dividir una ecuación por cualquier número distinto de cero siempre que lo hagamos en ambos lados al mismo tiempo. Esta es una herramienta muy esencial para resolver ecuaciones lineales donde el coeficiente de la variable no es 1.

Si (a = b ) entonces (a times c = b times c ).

Si (a = b ) entonces ( frac {a} {c} = frac {b} {c} quad ) cuando (c neq 0 ).

Ejemplo 16.4

a) (6 x = 42 )

[6 x = 42 nonumber ]

[ Longrightarrow frac {6 x} {6} = frac {42} {6} nonumber ]

[ Longrightarrow x = 7 nonumber ]

b) (- 4 x-30 = 0 )

En este ejemplo, primero aislaremos el ' (x ) -term' que es (4 x ) antes de aislar (x ).

[- 4 x-30 = 0 nonumber ]

[ quad + 30 quad +30 nonumber ]

[ Longrightarrow-4 x = 30 nonumber ]

[ Longrightarrow frac {-4 x} {- 4} = frac {30} {- 4} nonumber ]

[ Longrightarrow x = - frac {15} {2} nonumber ]

c) (2 x = frac {1} {4} )

[2 x = frac {1} {4} nonumber ]

[ Longrightarrow frac {2 x} {2} = frac {1} {4} div 2 nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {1} {4} cdot frac {1} {2} nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {1 cdot 1} {4 cdot 2} nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {1} {8} nonumber ]

Tenga en cuenta que dividir por 2 en ambos lados de la ecuación es lo mismo que multiplicar por ( frac {1} {2} ). Entonces, podemos reescribir la solución de esta manera:

[2 x = frac {1} {4} nonumber ]

[ Longrightarrow frac {1} {2} cdot 2 x = frac {1} {2} cdot frac {1} {4} nonumber ]

[ Longrightarrow frac {1 cdot 2 x} {2} = frac {1 cdot 1} {4 cdot 2} nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {1} {8} nonumber ]

Generalmente, multiplicar un número por su recíproco da como resultado 1:

[ frac {a} {b} cdot frac {b} {a} = frac {a b} {b a} = 1 nonumber ]

Usemos este hecho en el siguiente ejemplo.

d) ( frac {2 x} {3} = frac {5} {6} )

[ frac {2 x} {3} = frac {5} {6} nonumber ]

[ Longrightarrow frac {2} {3} cdot x = frac {5} {6} nonumber ]

[ Longrightarrow frac {2} {3} cdot x = frac {5} {6} nonumber ]

[ Longrightarrow frac {3} {2} cdot frac {2} {3} cdot x = frac {3} {2} cdot frac {5} {6} nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {3 cdot 5} {2 cdot 6} nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {5} {2 cdot 2} nonumber ]

[ Longrightarrow x = frac {5} {4} nonumber ]

e) ( frac {x} {5} + 3 = 6 )

[ frac {x} {5} + 3 = 6 nonumber ]

[ quad -3 quad-3 nonumber ]

[ Longrightarrow frac {x} {5} = 3 nonumber ]

[ Longrightarrow 5 cdot frac {x} {5} = 5 cdot 3 nonumber ]

[ Longrightarrow x = 15 nonumber ]

f) (5 x-6 = 2 x + 3 )

[5 x-6 = 2 x + 3 nonumber ]

[ quad + 6 quad +6 quad nonumber ]

[ Longrightarrow 5 x = 2 x + 9 nonumber ]

[ Longrightarrow-2 x quad -2 x nonumber ]

[ Longrightarrow 3 x = 9 nonumber ]

[ Longrightarrow frac {3 x} {3} = frac {9} {3} nonumber ]

[ Longrightarrow x = 3 nonumber ]

g) (- 3 (x-1) = 4 (x + 2) +2 )

Primero eliminamos los paréntesis y recopilamos términos similares.

[- 3 (x-1) = 4 (x + 2) +2 nonumber ]

[ Longrightarrow-3 x + 3 = 4 x + 8 + 2 nonumber ]

[ Longrightarrow-3 x + 3 = 4 x + 10 nonumber ]

Ahora procedemos a resolver la ecuación lineal aislando la variable:

[- 3 x + 3 = 4 x + 10 nonumber ]

[ quad -3 quad-3 quad nonumber ]

[ Longrightarrow-3 x = 4 x + 7 nonumber ]

[ quad -4 x quad -4 x quad nonumber ]

[ Longrightarrow-7 x = 7 nonumber ]

[ Longrightarrow frac {-7 x} {- 7} = frac {7} {- 7} nonumber ]

[ Longrightarrow x = -1 nonumber ]

h) (10-3 x = -2 (x-1) )

[10-3 x = -2 (x-1) nonumber ]

[ Longrightarrow 10-3 x = -2 x + 2 nonumber ]

[ quad -10 quad quad-10 nonumber ]

[ Longrightarrow-3 x = -2 x-8 nonumber ]

[ quad + 2x quad + 2 x quad nonumber ]

[ Longrightarrow-x = -8 nonumber ]

[ Longrightarrow x = 8 nonumber ]

Problema de salida

Resolver: (5 y- (7-2 y) = 2 (y + 4) )


Un programa lineal encuentra una solución óptima para un problema donde las variables están sujetas a numerosas relaciones lineales. Además, el problema podría requerir que uno maximice o minimice una determinada condición, por ejemplo, minimizar el costo de un producto o maximizar la ganancia.

Un ejemplo de programa lineal que se discute a menudo es el del viajante de comercio. Partiendo de su ciudad natal, un vendedor necesita recorrer todas las ciudades de un distrito pero para minimizar los costos de viaje debe tomar el camino más corto posible que atraviese cada ciudad y termine en su ciudad natal. Generalmente, el mejor camino posible es el que cruza cada ciudad solo una vez, por lo que se asemeja a un circuito cerrado (que comienza y termina en la ciudad natal).

Personalmente he aplicado programas lineales en multitud de aplicaciones.

  • Industria del transporte: Para la optimización de rutas donde se tuvieron que visitar varios depósitos minimizando los costos operativos.
  • Industria energetica: Optimice el consumo de electricidad para un hogar con un panel solar, mientras predice el patrón de carga.
  • Problemas de lógica: Resolver problemas / acertijos de lógica usando un programa lineal donde todas las restricciones lógicas deben ser satisfechas & # x27 en paralelo & # x27 (tema del próximo post).

Ejemplos de

Solución iterativa al sistema lineal

Resuelva un sistema lineal cuadrado usando pcg con la configuración predeterminada y luego ajuste la tolerancia y el número de iteraciones utilizadas en el proceso de solución.

Cree una matriz dispersa simétrica aleatoria A. También cree un vector b de las sumas de fila de A para el lado derecho de Ax = b de modo que la verdadera solución x sea un vector de unos.

Resuelva Ax = b usando pcg. La pantalla de salida incluye el valor del error residual relativo ‖ b - Ax ‖ ‖ b ‖.

Por defecto, pcg usa 20 iteraciones y una tolerancia de 1e-6, y el algoritmo no puede converger en esas 20 iteraciones para esta matriz. Sin embargo, el residual está cerca de la tolerancia, por lo que es probable que el algoritmo solo necesite más iteraciones para converger.

Resuelva el sistema nuevamente usando una tolerancia de 1e-7 y 150 iteraciones.

Uso de pcg con preacondicionador

Examine el efecto de usar una matriz de preacondicionador con pcg para resolver un sistema lineal.

Cree una matriz de coeficientes en bandas, definida positiva simétrica.

Defina b para el lado derecho de la ecuación lineal Ax = b.

Establezca la tolerancia y el número máximo de iteraciones.

Utilice pcg para encontrar una solución con la tolerancia solicitada y el número de iteraciones. Especifique cinco salidas para devolver información sobre el proceso de solución:

x es la solución calculada para A * x = b.

fl0 es una bandera que indica si el algoritmo convergió.

rr0 es el residuo relativo de la respuesta calculada x.

it0 es el número de iteración cuando se calculó x.

rv0 es un vector del historial residual de "b" Ax ".

fl0 es 1 porque pcg no converge a la tolerancia solicitada de 1e-8 dentro de las 100 iteraciones solicitadas.

Para ayudar con la convergencia lenta, puede especificar una matriz de preacondicionador. Dado que A es simétrico, use ichol para generar el preacondicionador M = L L T. Resuelva el sistema preacondicionado especificando L y L 'como entradas a pcg.

El uso de un preacondicionador de ichol produce un residuo relativo menor que la tolerancia prescrita de 1e-8 en la 79ª iteración. La salida rv1 (1) es la norma (b) y rv1 (final) es la norma (b-A * x1).

Ahora, use la opción michol para crear un preacondicionador Cholesky incompleto modificado.

Este preacondicionador es mejor que el producido por la factorización Cholesky incompleta con relleno cero para la matriz de coeficientes en este ejemplo, por lo que pcg puede converger aún más rápido.

Puede ver cómo los preacondicionadores afectan la tasa de convergencia de pcg trazando cada una de las historias residuales a partir de la estimación inicial (número de iteración 0). Agregue una línea para la tolerancia especificada.

Suministro de conjeturas iniciales

Examine el efecto de proporcionar a pcg una estimación inicial de la solución.

Cree una matriz dispersa tridiagonal. Utilice la suma de cada fila como vector para el lado derecho de Ax = b de modo que la solución esperada para x sea un vector de unos.

Utilice pcg para resolver Ax = b dos veces: una vez con la estimación inicial predeterminada y una vez con una buena estimación inicial de la solución. Utilice 200 iteraciones y la tolerancia predeterminada para ambas soluciones. Especifique la estimación inicial en la segunda solución como un vector con todos los elementos iguales a 0,99.

En este caso, proporcionar una estimación inicial permite que pcg converja más rápidamente.

Devolver resultados intermedios

También puede utilizar la conjetura inicial para obtener resultados intermedios llamando a pcg en un bucle for. Cada llamada al solucionador realiza algunas iteraciones y almacena la solución calculada. Luego, usa esa solución como vector inicial para el siguiente lote de iteraciones.

Por ejemplo, este código realiza 100 iteraciones cuatro veces y almacena el vector de solución después de cada pasada en el bucle for:

X (:, k) es el vector solución calculado en la iteración k del bucle for, y R (k) es el residuo relativo de esa solución.

Uso del identificador de función en lugar de la matriz numérica

Resuelva un sistema lineal proporcionando a pcg un identificador de función que calcule A * x en lugar de la matriz de coeficientes A.

Utilice la galería para generar una matriz tridiagonal definida positiva de 20 por 20. Las superdiagonales y subdiagonales tienen unos, mientras que los elementos diagonales principales cuentan hacia atrás de 20 a 1. Obtenga una vista previa de la matriz.

Dado que esta matriz tridiagonal tiene una estructura especial, puede representar la operación A * x con un identificador de función. Cuando A multiplica un vector, la mayoría de los elementos del vector resultante son ceros. Los elementos distintos de cero en el resultado se corresponden con los elementos tridiagonales distintos de cero de A. Además, solo la diagonal principal tiene no ceros que no son iguales a 1.

La expresión Ax se convierte en:

[20 1 0 & # x22EF & # x22EF & # x22EF 0 0 1 19 1 0 0 0 1 18 1 0 & # x22EE & # x22EE 0 1 17 1 0 0 1 16 1 0 & # x22EE & # x22EE 0 1 15 1 0 0 1 14 1 0 & # x22EE & # x22EE 0 1 13 ⋱ 0 0 0 ⋱ ⋱ 1 0 0 & # x22EF & # x22EF & # x22EF 0 1 1] [x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 & # x22EE & # x22EE x 20] = [2 0 x 1 + x 2 x 1 + 19 x 2 + x 3 x 2 + 18 x 3 + x 4 & # x22EE x 18 + 2 x 19 + x 20 x 19 + x 20].

El vector resultante se puede escribir como la suma de tres vectores:

[2 0 x 1 + x 2 x 1 + 19 x 2 + x 3 x 2 + 18 x 3 + x 4 & # x22EE x 18 + 2 x 19 + x 20 x 19 + x 20] = [0 x 1 & # x22EE x 19] + [20 x 1 19 x 2 y # x22EE x 20] + [x 2 y # x22EE x 20 0].

En MATLAB & # 174, escriba una función que cree estos vectores y los sume, dando así el valor de A * x:

(Esta función se guarda como función local al final del ejemplo).

Ahora, resuelva el sistema lineal Ax = b proporcionando a pcg el identificador de función que calcula A * x. Utilice una tolerancia de 1e-12 y 50 iteraciones.

Compruebe que afun (x1) produce un vector de unos.


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Usa la herramienta de matriz para resolver el sistema de ecuaciones. Elija el par ordenado correcto. -3x + 5y = 19 5x - 5y = -5


RESOLVER ECUACIONES UTILIZANDO EL MÉTODO DE MULTIPLICACIÓN CRUZADA

Akshaya tiene monedas de 2 rupias y monedas de 5 rupias en su bolso. Si en total tiene 80 monedas por un total de ₹ 220, ¿cuántas monedas de cada tipo tiene?

Sea "x" e "y" & # xa0 monedas de 2 y 5 rupias respectivamente.

Por lo tanto, el número de monedas de 2 rupias y monedas de 5 rupias es 60 y 20 respectivamente.

Se necesitan 24 horas para llenar una piscina con dos tuberías. Si la tubería de mayor diámetro se usa durante 8 horas y la tubería de menor diámetro se usa durante 18 horas. Solo la mitad de la piscina está llena. ¿Cuánto tiempo tardaría cada tubería en llenar la piscina?

Entonces, en 1 hora, la cantidad de agua que llena la tubería x es 1 / x y la de la tubería y es 1 / y. La cantidad de agua que llenan ambas tuberías en una hora es 1 / x + 1 / y

Se necesitan 24 horas por tuberías para llenar la piscina.

La cantidad de agua llena en 8 horas por la tubería A = 8 / A

La cantidad de agua llena en 18 horas por tubería B = 18 / B

Dado en la pregunta, la mitad está llena de modo

Por lo tanto, una tubería más grande tarda 40 horas y una tubería más pequeña 60 horas.

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18 de enero de 2015

Lanzamiento de Sequalator 1.20.2

Sequalator significa Calculadora de ecuaciones simultáneas.
Es un software para resolver Lineal Ecuaciones simultáneas. El solucionador se basa en el método de eliminación de Gauss Jordan para resolver ecuaciones lineales simultáneas.
¡Sequalator es un software gratuito! Puede utilizarlo con fines educativos y comerciales.
Consulte la licencia para conocer los términos y condiciones de uso de este software.

  • Pantalla de bienvenida al inicio - Las mejoras recientes han aumentado significativamente el tiempo de inicio y, por lo tanto, la ventana principal de Sequalator tarda un poco en aparecer después de que se haya iniciado la aplicación. Entonces, para cuando cargue todos sus componentes, el ícono de Sequalator ahora se mostrará hasta que aparezca la ventana principal. Esta es una mejora necesaria para proporcionar una experiencia de usuario adecuada.
  • Error arreglado - Uno de nuestros usuarios de la comunidad informó de un error menor. Los puntos de referencia para el modo sigiloso eran más deficientes que la interfaz de usuario (UI) simple. Este error se ha resuelto y, en consecuencia, el rastreador de errores se actualiza para cerrar el error.
  • Se mejoró la interfaz de usuario del cuadro de diálogo Analizar - Anteriormente, el cuadro de diálogo solía mostrar 0 para el conjunto de soluciones del archivo, incluso si no había ningún conjunto de soluciones guardado en el archivo. Esto se ha corregido para que ahora, si no hay un conjunto de soluciones guardado en el archivo, no muestre ningún valor en el cuadro de diálogo. En consecuencia, algunas opciones se actualizan en el cuadro de diálogo.

Eliminación gaussiana con pivote parcial

  • Comenzamos con el valor de pivote en la primera fila y la primera columna: fila = 0, columna = 0
  • Encuentre el valor absoluto máximo de la columna del pivote. Si todos los valores de esa columna son 0, nos detenemos.
  • De lo contrario, intercambiamos E_0 y E_1

A continuación, aplique transformaciones equivalentes para convertir todas las entradas debajo del pivote a 0 mediante:

  1. Encuentre la relación entre el elemento j, i y el pivote i, i (. Es decir, 2/4 = 1/2).
  2. Multiplica todos los elementos de E0 por 1/2. Reste todos los elementos en la fila 1 por 1/2 E0 (es decir, 2- (4 * 1/2) = 2–2 = 0)

Después de simplificar cada columna, pasamos a la siguiente columna a la derecha.

Pivote: fila = 1, columna = 1. Valor absoluto máximo: 2 en la fila 2. Luego, permuta E_1 y E_2

Aplicar la transformación equivalente para obtener todas las entradas debajo del pivote convertidas a 0

¡Lindo! Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:

Una vez que llegamos aquí, este sistema de ecuación es increíblemente fácil de resolver usando sustitución inversa


Ecuación lineal

Nuestros editores revisarán lo que ha enviado y determinarán si deben revisar el artículo.

ecuación lineal, afirmación de que un polinomio de primer grado, es decir, la suma de un conjunto de términos, cada uno de los cuales es el producto de una constante y la primera potencia de una variable, es igual a una constante. Específicamente, una ecuación lineal en norte variables tiene la forma a0 + a1X1 + … + anorteXnorte = C, en el cual X1, …, Xnorte son variables, los coeficientes a0, …, anorte son constantes, y C es una constante. Si hay más de una variable, la ecuación puede ser lineal en algunas variables y no en otras. Por tanto, la ecuación X + y = 3 es lineal en ambos X y y, mientras que X + y 2 = 0 es lineal en X pero no en y. Cualquier ecuación de dos variables, lineales en cada una, representa una línea recta en coordenadas cartesianas si el término constante C = 0, la línea pasa por el origen.

Un conjunto de ecuaciones que tiene una solución común se denomina sistema de ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, en el sistema ambas ecuaciones se satisfacen con la solución X = 2, y = 3. El punto (2, 3) es la intersección de las líneas rectas representadas por las dos ecuaciones. Ver también Regla de Cramer.

Una ecuación diferencial lineal es de primer grado con respecto a la variable dependiente (o variables) y sus (o sus) derivadas. Como ejemplo simple, tenga en cuenta dy/dx + Py = Q, en el cual PAG y Q pueden ser constantes o pueden ser funciones de la variable independiente, X, pero no involucran la variable dependiente, y. En el caso especial de que PAG es una constante y Q = 0, esto representa la ecuación muy importante para el crecimiento o la desintegración exponencial (como la desintegración radiactiva) cuya solución es y = kmiPx , dónde mi es la base del logaritmo natural.

Este artículo fue revisado y actualizado más recientemente por William L. Hosch, editor asociado.


Operaciones básicas con matrices

La mayoría de las funciones de álgebra lineal se pueden encontrar en el modo Matrix. Para ingresar al modo Matrix en la TI-85/86 presione la secuencia [2nd] [7] y en la TI-82/83 presione [2nd] [x -1]. Este modo le brinda un menú que lo lleva a las funciones de álgebra lineal, un editor de matrices y un menú de matrices existentes. Para salir del modo Matrix y volver a la pantalla de inicio, presione la tecla [EXIT] en la TI-85/86 o la tecla QUIT ([2nd] [MODE]) en la TI-82/83.

  • Ingrese al modo de matriz y luego ingrese al editor de matrices
    (TI-85/86: [2nd] [MATRX] [F2]) (TI-83: [2nd] [MATRX] [->] [->])
  • Nombra la matriz "B"
    (TI-85/86: [B]) (TI-83: ​​Flecha hacia abajo y luego seleccionar: [v] [Entrar])
  • Una matriz de 2x2, usando las teclas de flecha para moverse entre campos
    (TI-83/85/86: [2][->][2][->][->])
  • Llenar la matriz
    (TI-83/85/86: [1] [ENTRAR] [2] [ENTRAR] [3] [ENTRAR] [4] [ENTRAR])
  • Salir del modo de matriz
    (TI-85/86: [SALIDA]) (TI-83: [DEJAR])

La matriz está ahora en la calculadora. Visualice la matriz volviendo al modo de matriz, yendo al menú Nombres y seleccionando B. (Alternativamente, en la TI-85/86 puede simplemente escribir el comando B en la pantalla de inicio). Ahora verá la matriz:

Ahora podemos calcular con esta matriz usando los operadores habituales de suma, resta, multiplicación e inversión (x -1):

Los elementos de la matriz se pueden manipular directamente. Para el caso, se puede crear una nueva matriz en la pantalla de inicio:

Resolver sistemas lineales

Un uso común de las matrices es expresar y resolver un sistema de ecuaciones lineales. Considere la ecuación matricial A * x = b, donde A es la matriz 2x2 [[1,2] [3,4]] y b es el vector [1,1]. Si la matriz es invertible (esta es) podemos resolver esta ecuación como x = A -1 b:

Un caso más general es cuando la matriz no es invertible. Para resolver un sistema de este tipo, podemos reducir por filas una matriz aumentada. Esta reducción de filas se realiza con una secuencia de operaciones de filas elementales. Estas operaciones se denominan rowSwap, * row y * row + en la TI-82/83 y rSwap, multR y mRAdd en la TI-85/86. Todos menos la TI-82 también tienen las funciones ref (forma escalonada de fila) y rref (forma escalonada de fila reducida) para reducir una matriz en un solo paso. Primero resolvemos la ecuación matricial Ax = b donde A es la matriz 2x3 [[1,2,3] [2,1,1]] y b es el vector [6,4]. Los comandos de matriz que usamos aquí se pueden encontrar en los menús del modo Matrix.

En la TI-83/85/86 podríamos lograr lo mismo (llevar la matriz aumentada a la forma escalonada de filas reducida) con un solo comando:

Interpretamos esta respuesta de la siguiente manera: el vector [0.66, 2.66, 0] es una solución, al igual que cualquier vector de la forma para cualquier valor de z.

Ahora buscamos soluciones de Cx = d, donde C es la matriz 3x2 [[1,2] [2,1] [1,1]] yd es el vector [1,2,2].

Interpretamos esta respuesta de la siguiente manera: cuando se reduce esta matriz aumentada, la tercera ecuación termina siendo 0 * x + 0 * y = 1, una ecuación inconsistente, una que no se puede satisfacer para ningún valor de x e y. Por tanto, la ecuación matricial original, Cx = d, era inconsistente y no tenía solución.

Descomposiciones LU (solo TI-85/86)

Las calculadoras TI-85/86 implementan un comando de descomposición LU. Este comando coloca las matrices L (triangular inferior), U (triangular superior) y P (permutación) en variables especificadas. Este comando realizará una descomposición LU con pivoteo parcial, produciendo tres matrices, L, U y P, de manera que si A es la matriz original, entonces L * U = P * A.

Autovalores y autovectores amp

Podemos calcular los autovalores y autovectores de una matriz cuadrada dada. La TI-85/86 tiene comandos que calcularán directamente los autovalores y autovectores de una matriz. El comando eigVl calculará numéricamente los autovalores de una matriz y el comando eigVc calculará numéricamente los autovectores.

En cualquiera de estas calculadoras podemos calcular valores propios usando el método de potencia numérica:

Si tenemos una TI-85/86, podemos usar los comandos incorporados para confirmar que el valor propio más grande de la matriz A es 4.507:

[[-.497 .532 .130]
[-.110 .684 -.455]
[.860 .498 .881]]

El comando eigVc devuelve los autovectores como columnas de una matriz, en el mismo orden que los autovalores correspondientes. Aquí podemos confirmar el par de autovalores / autovectores l = -. 285, v = (- 0.497, -0.110, 0.860) calculando Av / ly confirmando que es igual a v. Extraemos el primer autovector transponiendo la matriz de autovectores, convirtiéndola en la primera fila, luego extrayendo la primera fila:

[[-.497 -.110 .860]
[.532 .684 .498]
[ .130 -.455 .881]]

También se tratan las matrices con valores propios complejos, que devuelven números complejos como una lista de los componentes reales e imaginarios. En este ejemplo, los valores propios son i y - i.

Métodos iterativos y la matriz de Hilbert

Examinamos la clásica matriz mal condicionada, la matriz de Hilbert, cuya entrada (i, j) es 1 / (i + j). (Tenga en cuenta que las llaves utilizadas para configurar la dimensión de H se encuentran en el menú del modo de lista en la TI-85/86 y en el teclado de la TI-82/83 como [2nd] [(] y [2nd] [ )].)

[[0.5 0.33 0.25 .
[0.33 0.25 0.2 .
[0.25 0.2 0.16 .
[0.2 0.16 0.14 .

Una ecuación matricial que involucre la matriz de Hilbert puede ser difícil de resolver; la naturaleza mal condicionada de la matriz puede provocar grandes errores durante la reducción. Una medida de la mala naturaleza de esta matriz, disponible en la TI-85/86, es el número de condición:

Pulir una respuesta: aquí crearemos un problema con la matriz de Hilbert que tiene una respuesta conocida. Multiplique H por el vector conocido [1,1. 1] para obtener el lado derecho de nuestra ecuación, B. Cuando resolvemos la ecuación H * I = B para I, deberíamos recuperar el vector [1,1. 1]. Vemos que no estamos muy cerca. De hecho, si miramos muy de cerca la matriz reducida, vemos una columna inesperada no pivote:

Ahora pulimos la respuesta inexacta tomando repetidamente la respuesta I, calculando el residuo C = B - H * I, resolviendo el sistema H * X = C y calculando la nueva respuesta I + X.


Regresión lineal

Antes de intentar ajustar un modelo lineal a los datos observados, un modelador debe determinar primero si existe o no una relación entre las variables de interés. Esto no implica necesariamente que una variable cause la otra (por ejemplo, puntajes más altos en el SAT no causan calificaciones superiores en la universidad), pero que existe alguna asociación significativa entre las dos variables. Un diagrama de dispersión puede ser una herramienta útil para determinar la fuerza de la relación entre dos variables. Si parece no haber asociación entre las variables explicativas y dependientes propuestas (es decir, el diagrama de dispersión no indica ninguna tendencia creciente o decreciente), entonces ajustar un modelo de regresión lineal a los datos probablemente no proporcionará un modelo útil. Una valiosa medida numérica de asociación entre dos variables es el coeficiente de correlación, que es un valor entre -1 y 1 que indica la fuerza de la asociación de los datos observados para las dos variables.

Una línea de regresión lineal tiene una ecuación de la forma Y = a + bX, donde X es la variable explicativa e Y es la variable dependiente. La pendiente de la recta es b, y a es la intersección (el valor de y cuando x = 0).

Regresión de mínimos cuadrados

Ejemplo

Para ver el ajuste del modelo a los datos observados, se puede trazar la línea de regresión calculada sobre los puntos de datos reales para evaluar los resultados. Para este ejemplo, la gráfica aparece a la derecha, con el número de individuos por televisor (la variable explicativa) en el eje xy el número de individuos por médico (la variable dependiente) en el eje y. Si bien la mayoría de los puntos de datos están agrupados hacia la esquina inferior izquierda de la gráfica (lo que indica relativamente pocos individuos por televisor y por médico), hay algunos puntos que se encuentran muy lejos del grupo principal de datos. Estos puntos se conocen como valores atípicos y, según su ubicación, pueden tener un impacto importante en la línea de regresión (ver más abajo).

Fuente de datos: The World Almanac and Book of Facts 1993 (1993), Nueva York: Pharos Books. Conjunto de datos disponible a través de JSE Dataset Archive.

Valores atípicos y observaciones influyentes

Con esta observación influyente eliminada, la ecuación de regresión ahora es La correlación entre las dos variables se ha reducido a 0,427, lo que reduce el valor de r & sup2 a 0,182. Con esta influyente observación eliminada, menos del 20% de la variación en el número de personas por médico puede explicarse por el número de personas por televisión. Las observaciones influyentes también son visibles en el nuevo modelo y su impacto también debe investigarse.


Ver el vídeo: Løsning af Lineære Ligninger (Septiembre 2021).