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4.2: Modelado con funciones lineales


Objetivos de aprendizaje

  • Construya modelos lineales a partir de descripciones verbales.
  • Modele un conjunto de datos con una función lineal.

Emily es una estudiante universitaria que planea pasar un verano en Seattle. Ella ha ahorrado $ 3,500 para su viaje y anticipa gastar $ 400 cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal para representar su situación? ¿Cuál sería la intersección con el eje x y qué puede aprender de ella? Para responder estas preguntas y otras relacionadas, podemos crear un modelo usando una función lineal. Modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar relaciones y hacer predicciones basadas en esas relaciones. En esta sección, exploraremos ejemplos de función lineal modelos.

Identificación de pasos para modelar y resolver problemas

Cuándo modelado escenarios con funciones lineales y resolución de problemas que involucran cantidades con un tasa de cambio constante, normalmente seguimos las mismas estrategias de problemas que usaríamos para cualquier tipo de función. Repasemos brevemente:

Identifique cantidades cambiantes y luego defina variables descriptivas para representar esas cantidades. Cuando sea apropiado, dibuje una imagen o defina un sistema de coordenadas.
Lea atentamente el problema para identificar información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
Lea atentamente el problema para determinar qué estamos tratando de encontrar, identificar, resolver o interpretar.
Identificar una ruta de solución desde la información proporcionada hasta lo que estamos tratando de encontrar. A menudo, esto implicará verificar y rastrear unidades, construir una tabla o incluso encontrar una fórmula para la función que se usa para modelar el problema.
Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función.
Resuelve o evalúa la función usando la fórmula.
Reflexione sobre si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemáticamente.
Transmita claramente su resultado usando unidades apropiadas y responda con oraciones completas cuando sea necesario.

Construcción de modelos lineales

Ahora echemos un vistazo al estudiante de Seattle. En su situación, hay dos cantidades cambiantes: tiempo y dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende de cuánto tiempo se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.

  • Salida: (M ), dinero restante, en dólares
  • Entrada: (t ), tiempo, en semanas

Entonces, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas: (M (t) )

También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio.

  • Valor inicial: Ahorró $ 3500, por lo que $ 3500 es el valor inicial de M.
  • Tasa de cambio: Ella anticipa gastar $ 400 por semana, entonces - $ 400 por semana es la tasa de cambio o pendiente.

Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida por nuestra variable de entrada. Además, debido a que la pendiente es negativa, la función lineal está disminuyendo. Esto debería tener sentido porque ella gasta dinero cada semana.

La la tasa de cambio es constante, entonces podemos comenzar con el modelo lineal (M (t) = mt + b ). Entonces podemos sustituir el intercepto y la pendiente proporcionados.

Para encontrar la intersección con el eje x, establecemos la salida en cero y resolvemos la entrada.

[ begin {align *} 0 & = - 400t + 3500 t & = dfrac {3500} {400} & = 8.75 end {align *} ]

La intersección con el eje x es de 8,75 semanas. Debido a que esto representa el valor de entrada cuando la salida será cero, podríamos decir que Emily no tendrá dinero después de 8,75 semanas.

Al modelar cualquier escenario de la vida real con funciones, normalmente hay un dominio limitado sobre el cual ese modelo será válido; casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada menores que cero. Un valor de entrada negativo podría referirse a un número de semanas antes de que ahorrara $ 3,500, pero el escenario discutido plantea la pregunta una vez que ahorró $ 3,500 porque es cuando comienza su viaje y los gastos posteriores. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección con el eje x, a menos que Emily use una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es (0 { leq} t { leq} 8.75 ).

En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Seguimos los pasos de modelar un problema para analizar la información. Sin embargo, es posible que la información proporcionada no siempre sea la misma. A veces, es posible que se nos proporcione una intercepción. En otras ocasiones, es posible que se nos proporcione un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos da y usarla de manera apropiada para construir un modelo lineal.

Usar una intersección dada para construir un modelo

Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección con el eje y, que es el valor inicial o constante. Una vez que se conoce la intersección con el eje y, se puede calcular la intersección con el eje x. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea cancelar un préstamo sin intereses de sus padres. El saldo de su préstamo es de $ 1,000. Ella planea pagar $ 250 por mes hasta que su saldo sea de $ 0. La intersección con el eje y es el monto inicial de su deuda, o $ 1,000. La tasa de cambio, o pendiente, es - $ 250 por mes. Luego podemos usar la forma pendiente-intersección y la información dada para desarrollar un modelo lineal.

[ begin {align *} f (x) & = mx + b & = - 250x + 1000 end {align *} ]

Ahora podemos igualar la función a 0 y resolver (x ) para encontrar la intersección con el eje x.

[ begin {align *} 0 & = - 250 + 1000 1000 & = 250x 4 & = x x & = 4 end {align *} ]

La intersección con el eje x es la cantidad de meses que le toma alcanzar un saldo de $ 0. La intersección con el eje x es de 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses en liquidar su préstamo.

Usar una entrada y una salida dadas para construir un modelo

Muchas aplicaciones del mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En su lugar, requieren que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. En cambio, a veces se nos puede pedir que evaluemos el modelo lineal en una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada.

Dado un problema verbal que incluye dos pares de valores de entrada y salida, use la función lineal para resolver un problema.

  1. Identifique los valores de entrada y salida.
  2. Convierta los datos en dos pares de coordenadas.
  3. Calcula la pendiente.
  4. Escribe el modelo lineal.
  5. Usa el modelo para hacer una predicción evaluando la función en un valor x dado.
  6. Usa el modelo para identificar un valor de x que resulte en un valor de y dado.
  7. Responde la pregunta planteada.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): uso de un modelo lineal para investigar la población de una ciudad

La población de una ciudad ha ido creciendo de forma lineal. En 2004 la población era de 6.200. En 2009, la población había aumentado a 8.100. Suponga que esta tendencia continúa.

  1. Predecir la población en 2013.
  2. Identifica el año en el que la población llegará a los 15.000.

Solución

Las dos cantidades cambiantes son el tamaño de la población y el tiempo. Si bien podríamos usar el valor real del año como la cantidad de entrada, hacerlo tiende a generar ecuaciones muy engorrosas porque la intersección con el eje y correspondería al año 0, ¡hace más de 2000 años!

Para hacer el cálculo un poco más agradable, definiremos nuestra entrada como el número de años desde 2004:

  • Entrada: (t ), años desde 2004
  • Resultado: (P (t) ), la población de la ciudad

Para predecir la población en 2013 ( (t = 9 )), primero necesitaríamos una ecuación para la población. Del mismo modo, para encontrar cuándo la población alcanzaría los 15 000, tendríamos que resolver la entrada que proporcionaría una salida de 15 000. Para escribir una ecuación, necesitamos el valor inicial y la tasa de cambio o pendiente.

Para determinar la tasa de cambio, usaremos el cambio en la producción por cambio en la entrada.

[m = dfrac { text {cambio en la salida}} { text {cambio en la entrada}} ]

El problema nos da dos pares de entrada-salida. Al convertirlos para que coincidan con nuestras variables definidas, el año 2004 correspondería a (t = 0 ), dando el punto ((0,6200) ). Observe que a través de nuestra inteligente elección de definición de variable, nos hemos "dado" la intersección con el eje y de la función. El año 2009 correspondería a (t = 5 ), dando el punto ((5,8100) ).

Los dos pares de coordenadas son ((0,6200) ) y ((5,8100) ). Recuerde que encontramos ejemplos en los que se nos proporcionaron dos puntos anteriormente en el capítulo. Podemos usar estos valores para calcular la pendiente.

[ begin {align *} m & = dfrac {8100-6200} {5-0} & = dfrac {1900} {5} & = 380 text {personas por año} end {align *} ]

Ya conocemos la intersección con el eje y de la línea, por lo que podemos escribir inmediatamente la ecuación:

[P (t) = 380t + 6200 ]

Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en (t = 9 ).

[ begin {align *} P (9) & = 380 (9) +6,200 & = 9,620 end {align *} ]

Si la tendencia continúa, nuestro modelo predice una población de 9,620 en 2013.

Para encontrar cuándo la población llegará a 15,000, podemos establecer (P (t) = 15000 ) y resolver para (t ).

[ begin {align *} 15000 & = 380t + 6200 8800 & = 380t t & { approx} 23.158 end {align *} ]

Nuestro modelo predice que la población llegará a 15.000 en poco más de 23 años después de 2004, o alrededor del año 2027.

Ejercicio ( PageIndex {1A} )

Una empresa vende donas. Incurren en un costo fijo de $ 25,000 por concepto de alquiler, seguro y otros gastos. Cuesta $ 0.25 producir cada rosquilla.

  1. Escribe un modelo lineal para representar el costo C de la empresa en función de (x ), la cantidad de donas producidas.
  2. Encuentra e interpreta la intersección con el eje y.

Solución

una. (C (x) = 0,25x + 25 000 ) b. La intersección con el eje y es ((0,25,000) ). Si la empresa no produce una sola rosquilla, igualmente incurren en un costo de $ 25,000.

Ejercicio ( PageIndex {1B} )

La población de una ciudad ha ido creciendo de forma lineal. En 2008, la población era de 28.200. Para 2012, la población era de 36.800. Suponga que esta tendencia continúa.

  1. Predecir la población en 2014.
  2. Identifique el año en el que la población llegará a 54.000.

Solución

una. 41,100 b. 2020

Usar un diagrama para modelar un problema

Es útil para muchas aplicaciones del mundo real hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida pueden usarse para responder una pregunta. Para hacer un dibujo, primero considere lo que pide el problema. Luego, determine la entrada y la salida. El diagrama debe relacionar las variables. A menudo, se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo se trazan distancias. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar el ancho y el alto.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): uso de un diagrama para modelar la distancia recorrida

Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este a 4 millas por hora mientras que Emanuel camina hacia el sur a 3 millas por hora. Se están comunicando con una radio de dos vías que tiene un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que empiecen a caminar perderán el contacto por radio?

Solución

En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta diciendo que se perderán el contacto por radio cuando estén a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a hacer una nueva pregunta:

"¿Cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia?"

En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y la posición, pero en última instancia, necesitamos saber cuánto tiempo tardarán en estar a 2 millas de distancia. Podemos ver que el tiempo será nuestra variable de entrada, por lo que definiremos nuestras variables de entrada y salida.

  • Entrada: (t ), tiempo en horas.
  • Salida: (A (t) ), distancia en millas y (E (t) ), distancia en millas

Debido a que no es obvio cómo definir nuestra variable de salida, comenzaremos dibujando una imagen como Figure ( PageIndex {3} ).

  • Valor inicial: Ambos comienzan en la misma intersección, por lo que cuando (t = 0 ), la distancia recorrida por cada persona también debe ser 0. Por lo tanto, el valor inicial para cada uno es 0.
  • Tasa de cambio: Anna camina 4 millas por hora y Emanuel camina 3 millas por hora, que son ambas tasas de cambio. La pendiente de (A ) es 4 y la pendiente de (E ) es 3.

Usando esos valores, podemos escribir fórmulas para la distancia que cada persona ha caminado.

[A (t) = 4t ]

[E (t) = 3t ]

Para este problema, las distancias desde el punto de partida son importantes. Para anotar estos, podemos definir un sistema de coordenadas, identificando el "punto de partida" en la intersección donde ambos comenzaron. Luego, podemos usar la variable, (A ), que presentamos anteriormente, para representar la posición de Anna y definirla como una medida desde el punto de partida en la dirección hacia el este. Asimismo, puede usar la variable, (E ), para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección sur. Tenga en cuenta que al definir el sistema de coordenadas, especificamos tanto el punto de inicio de la medición como la dirección de la medición.

Entonces podemos definir una tercera variable, (D ), para que sea la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en el diagrama suele ser útil, como podemos ver en la Figura ( PageIndex {4} ).

Recuerde que necesitamos saber cuánto tiempo tarda (D ), la distancia entre ellos, para igualar 2 millas. Observe que para cualquier entrada (t ) dada, las salidas (A (t) ), (E (t) ) y (D (t) ) representan distancias.

Usando el Teorema de Pitágoras, obtenemos:

[ begin {align *} d (t) ^ 2 & = A (t) ^ 2 + E (t) ^ 2 & = (4t) ^ 2 + (3t) ^ 2 & = 16t ^ 2 + 9t ^ 2 & = 25t ^ 2 D (t) & = pm sqrt {25t ^ 2} & text {Resuelve para $ D (t) $ usando la raíz cuadrada} & = pm 5 | t | end {alinear *} ]

En este escenario, estamos considerando solo valores positivos de (t ), por lo que nuestra distancia (D (t) ) siempre será positiva. Podemos simplificar esta respuesta a (D (t) = 5t ). Esto significa que la distancia entre Anna y Emanuel también es una función lineal. Debido a que D es una función lineal, ahora podemos responder la pregunta de cuándo la distancia entre ellos alcanzará las 2 millas. Estableceremos la salida (D (t) = 2 ) y resolveremos (t ).

[ begin {align *} D (t) & = 2 5t & = 2 t & = dfrac {2} {5} = 0.4 end {align *} ]

Saldrán del contacto por radio en 0,4 horas o 24 minutos.

¿Debería dibujar diagramas cuando se me da información basada en una forma geométrica?

Si. Dibuja la figura y rotula las cantidades y las incógnitas en el esquema.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): uso de un diagrama para modelar la distancia entre ciudades

Hay una carretera recta que va desde la ciudad de Westborough hasta Agritown a 30 millas al este y 10 millas al norte. En la mitad de esta carretera, se cruza con una segunda carretera, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough se encuentra a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough?

Solución

Aquí podría ser útil hacer un dibujo de la situación. Vea la Figura ( PageIndex {5} ). Entonces sería útil introducir un sistema de coordenadas. Si bien podríamos ubicar el origen en cualquier lugar, ubicarlo en Westborough parece conveniente. Esto coloca a Agritown en las coordenadas ((30, 10) ) y Eastborough en ((20,0) ).

Usando este punto junto con el origen, podemos encontrar la pendiente de la línea de Westborough a Agritown:

[m = dfrac {10-0} {30-0} = dfrac {1} {3} ]

La ecuación de la carretera de Westborough a Agritown sería

[W (x) = dfrac {1} {3} x ]

A partir de esto, podemos determinar que la carretera perpendicular a Eastborough tendrá una pendiente (m = –3 ). Debido a que la ciudad de Eastborough está en el punto ((20, 0) ), podemos encontrar la ecuación:

[ begin {align *} E (x) & = - 3x + b 0 & = - 3 (20) + b & text {Sustituye en $ (20, 0) $} b & = 60 E (x) & = - 3x + 60 end {align *} ]

Ahora podemos encontrar las coordenadas del cruce de las carreteras encontrando la intersección de estas líneas. Poniéndolos iguales,

[ begin {align *} dfrac {1} {3} x & = - 3x + 60 dfrac {10} {3} x & = 60 10x & = 180 x & = 18 & text {Sustituyendo esto de nuevo en $ W (x) $} y & = W (18) & = dfrac {1} {3} (18) & = 6 end {align *} ]

Las carreteras se cruzan en el punto ((18,6) ). Usando la fórmula de la distancia, ahora podemos encontrar la distancia desde Westborough hasta el cruce.

[ begin {align *} text {distancia} & = sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} & = sqrt {(18-0) ^ 2 + ( 6-0) ^ 2} & approx 18.743 text {millas} end {align *} ]

Análisis

Un buen uso de los modelos lineales es aprovechar el hecho de que las gráficas de estas funciones son líneas. Esto significa que las aplicaciones del mundo real que discuten mapas necesitan funciones lineales para modelar las distancias entre puntos de referencia.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Hay una carretera recta que va desde la ciudad de Timpson a Ashburn 60 millas al este y 12 millas al norte. A mitad de camino, se cruza con una segunda carretera, perpendicular a la primera, que conduce al pueblo de Garrison. Si la ciudad de Garrison está ubicada a 22 millas directamente al este de la ciudad de Timpson, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Timpson?

Solución

21.15 millas

Sistemas de construcción de modelos lineales

Las situaciones del mundo real que incluyen dos o más funciones lineales se pueden modelar con un sistema de ecuaciones lineales. Recuerde, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos puntos que las dos rectas tengan en común. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Dada una situación que representa un sistema de ecuaciones lineales, escribe el sistema de ecuaciones e identifica la solución.

  1. Identifique la entrada y la salida de cada modelo lineal.
  2. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y de cada modelo lineal.
  3. Encuentre la solución igualando las dos funciones lineales a otra y resolviendo para (x ), o encuentre el punto de intersección en una gráfica.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Creación de un sistema de modelos lineales para elegir una empresa de alquiler de camiones

Jamal está eligiendo entre dos empresas de alquiler de camiones. El primero, Keep on Trucking, Inc., cobra una tarifa inicial de $ 20, luego 59 centavos la milla [1]. El segundo, Move It Your Way, cobra una tarifa inicial de $ 16, luego 63 centavos por milla. ¿Cuándo será Keep on Trucking, Inc. la mejor opción para Jamal?

Solución

Las dos cantidades importantes en este problema son el costo y la cantidad de millas recorridas. Como tenemos dos empresas a considerar, definiremos dos funciones.

  • Entrada: (d ), distancia recorrida en millas
  • Resultados: (K (d): ) costo, en dólares, para alquilar en Keep on Trucking

(M (d): ) costo, en dólares, para alquilar en Move It Your Way

  • Valor inicial: Tarifa inicial: (K (0) = 20 ) y (M (0) = 16 )
  • Tasa de cambio: (K (d) = dfrac {$ 0.59} { text {mile}} ) y (P (d) = dfrac {$ 0.63} { text {mile}} )

Una función lineal tiene la forma (f (x) = mx + b ). Usando las tasas de cambio y los cargos iniciales, podemos escribir las ecuaciones

[K (d) = 0.59d + 20 nonumber ]

[M (d) = 0.63d + 16 nonumber ]

Usando estas ecuaciones, podemos determinar cuándo Keep on Trucking, Inc. será la mejor opción. Debido a que todo lo que tenemos para tomar esa decisión son los costos, estamos buscando cuándo Move It Your Way costará menos o cuándo (K (d)

Estos gráficos están esbozados en la Figura ( PageIndex {7} ), con (K (d) ) en azul.

Para encontrar la intersección, igualamos las ecuaciones y resolvemos:

[ begin {align *} K (d) & = M (d) 0.59d + 20 & = 0.63d + 16 4 & = 0.04d 100 & = d d & = 100 end {align * } ]

Esto nos dice que el costo de las dos compañías será el mismo si se conducen 100 millas. Ya sea mirando el gráfico o observando que (K (d) ) está creciendo a un ritmo más lento, podemos concluir que Keep on Trucking, Inc. será el precio más barato cuando se conduzcan más de 100 millas, es decir (d> 100 ).

Conceptos clave

  • Podemos usar las mismas estrategias de problemas que usaríamos para cualquier tipo de función.
  • Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque valores clave, incluida la pendiente y la intersección con el eje y.
  • Dibuja un diagrama, cuando corresponda.
  • Verifique la razonabilidad de la respuesta.
  • Los modelos lineales se pueden construir identificando o calculando la pendiente y utilizando la intersección con el eje y.
  • La intersección con el eje x se puede encontrar estableciendo (y = 0 ), que equivale a establecer la expresión (mx + b ) igual a 0.
  • El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto donde los valores xey son iguales.
  • Se puede usar un gráfico del sistema para identificar los puntos donde una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea.

4.2 Modelos lineales estacionarios para series de tiempo

Un proceso estocástico es un modelo que describe la estructura de probabilidad de una secuencia de observaciones a lo largo del tiempo. Una serie de tiempo es una realización de muestra de un proceso estocástico que se observa solo durante un número finito de períodos, indexados por.

Cualquier proceso estocástico se puede caracterizar parcialmente por el primer y segundo momento de la distribución de probabilidad conjunta: el conjunto de medias, y el conjunto de varianzas y covarianzas. Para obtener métodos de pronóstico consistentes, necesitamos que la estructura probabilística subyacente sea estable en el tiempo. Entonces, un proceso estocástico se denomina estacionario débil o estacionario de covarianza cuando la media, la varianza y la estructura de covarianza del proceso es estable en el tiempo, es decir:

Dada la condición (4.3), la covarianza entre y depende solo del desplazamiento y se llama autocovarianza en el rezago,. El conjunto de autocovarianzas`` se denomina función de autocovarianza de un proceso estacionario.

El modelo general de media móvil autorregresiva es un modelo estocástico lineal donde la variable se modela en términos de sus propios valores pasados ​​y una perturbación. Se define de la siguiente manera:

donde la variable aleatoria se llama innovación porque representa la parte de la variable observada que es impredecible dados los valores pasados.

El modelo general (4.4) supone que es la salida de un filtro lineal que transforma las innovaciones pasadas, es decir, es un proceso lineal. Este supuesto de linealidad se basa en el teorema de descomposición de Wold (Wold 1938) que dice que cualquier proceso de covarianza estacionario discreto puede expresarse como la suma de dos procesos no correlacionados,

donde es puramente determinista y es un proceso puramente indeterminista que se puede escribir como una suma lineal del proceso de innovación:

donde es una secuencia de variables aleatorias no correlacionadas en serie con media cero y varianza común. La condición es necesaria para la estacionariedad.

La formulación (4.4) es una reparametrización finita de la representación infinita (4.5) - (4.6) con constante. Por lo general, se escribe en términos del operador de retraso definido por, que da una expresión más corta:

donde los polinomios del operador de retardo y se denominan polinomio y polinomio, respectivamente. Para evitar la redundancia de parámetros, asumimos que no existen factores comunes entre los componentes y.

A continuación, estudiaremos la trama de algunas series temporales generadas por modelos estacionarios con el objetivo de determinar los principales patrones de su evolución temporal. La figura 4.2 incluye dos series generadas a partir de los siguientes procesos estacionarios calculados mediante el cuantillo genarma:

Como era de esperar, ambas series de tiempo se mueven alrededor de un nivel constante sin cambios en la varianza debido a la propiedad estacionaria. Además, este nivel está cerca de la media teórica del proceso, y la distancia de cada punto a este valor rara vez está fuera de los límites. Además, la evolución de la serie muestra desviaciones locales de la media del proceso, lo que se conoce como el comportamiento de reversión a la media que caracteriza a las series temporales estacionarias.

Estudiemos con cierto detalle las propiedades de los diferentes procesos, en particular, la función de autocovarianza que captura las propiedades dinámicas de un proceso estacionario estocástico. Esta función depende de las unidades de medida, por lo que la medida habitual del grado de linealidad entre variables es el coeficiente de correlación. En el caso de procesos estacionarios, el coeficiente de autocorrelación en el rezago, denotado por, se define como la correlación entre y:

Así, la función de autocorrelación (ACF) es la función de autocovarianza estandarizada por la varianza. Las propiedades del ACF son:

Dada la propiedad de simetría (4.10), el ACF generalmente se representa mediante un gráfico de barras en los rezagos no negativos que se denomina correlograma simple.

Otra herramienta útil para describir la dinámica de un proceso estacionario es la función de autocorrelación parcial (PACF). El coeficiente de autocorrelación parcial en el rezago mide la asociación lineal entre y ajustada por los efectos de los valores intermedios. Por lo tanto, es solo el coeficiente en el modelo de regresión lineal:

Las propiedades del PACF son equivalentes a las del ACF (4.8) - (4.10) y es fácil demostrarlo (Box y Jenkins 1976). Al igual que el ACF, la función de autocorrelación parcial no depende de las unidades de medida y se representa mediante un gráfico de barras en los rezagos no negativos que se denomina correlograma parcial.

Las propiedades dinámicas de cada modelo estacionario determinan una forma particular de los correlogramas. Además, se puede demostrar que, para cualquier proceso estacionario, ambas funciones, ACF y PACF, se acercan a cero cuando el rezago tiende a infinito. Los modelos no siempre son procesos estacionarios, por lo que primero es necesario determinar las condiciones para la estacionariedad. Hay subclases de modelos que tienen propiedades especiales, por lo que las estudiaremos por separado. Por lo tanto, cuando y, es un proceso de ruido blanco, cuando, es un proceso de orden de promedio móvil puro, y cuando es un proceso de orden autorregresivo puro,.

4.2.1 Proceso de ruido blanco

El modelo más simple es un proceso de ruido blanco, donde es una secuencia de variables de media cero no correlacionadas con varianza constante. Se denota por. Este proceso es estacionario si su varianza es finita, ya que dado que:

verifica las condiciones (4.1) - (4.3). Además, no está correlacionado en el tiempo, por lo que su función de autocovarianza es:

Y su ACF y PACF son los siguientes:

Para comprender el comportamiento de un ruido blanco, generaremos una serie de tiempo de tamaño 150 a partir de un proceso de ruido blanco gaussiano. En la figura 4.3 se muestra la serie simulada que se mueve alrededor de un nivel constante de forma aleatoria, sin ningún tipo de patrón, como corresponde a la descorrelación en el tiempo. La serie de tiempo económica seguirá patrones de ruido blanco muy raramente, pero este proceso es la clave para la formulación de modelos más complejos. De hecho, es el punto de partida de la derivación de las propiedades de los procesos dado que estamos asumiendo que la innovación del modelo es un ruido blanco.

4.2.2 Modelo de media móvil

El modelo de orden de promedio móvil general (de orden finito) es:

Se puede demostrar fácilmente que los procesos siempre son estacionarios, dado que los parámetros de cualquier proceso finito siempre verifican la condición (4.6). Además, nos interesan los procesos invertibles. Cuando un proceso es invertible, es posible invertir el proceso, es decir, expresar el valor actual de la variable en términos de un shock actual y sus valores pasados ​​observables. Entonces, decimos que el modelo tiene una representación autorregresiva. Este requisito proporciona una forma sensata de asociar los eventos presentes con los pasados. Un modelo es invertible si las raíces de la ecuación característica se encuentran fuera del círculo unitario. Cuando la raíz es real, esta condición significa que el valor absoluto debe ser mayor que la unidad,. Si hay un par de raíces complejas, se pueden escribir como, donde están los números reales y, y luego la condición de invertibilidad significa que sus módulos deben ser mayores que la unidad, 1 $ ->.

Consideremos el proceso de promedio móvil de primer orden,:

Es invertible cuando la raíz de se encuentra fuera del círculo unitario, es decir, 1 $ ->. Esta condición implica la restricción de invertibilidad en el parámetro,.

Estudiemos este sencillo proceso en detalle. La Figura 4.4 traza series simuladas de longitud 150 de dos procesos donde los parámetros toman los valores (0, 0.8) en el primer modelo y (4, -0.5) en el segundo. Se puede observar que las series muestran los patrones generales asociados con los procesos de reversión estacionaria y media. Más específicamente, dado que solo una innovación pasada afecta el valor actual de la serie (positivamente para y negativamente para), el proceso se conoce como un proceso de memoria muy corta y, por lo tanto, no hay un patrón dinámico 'fuerte' en la serie. No obstante, se puede observar que la evolución temporal es más suave para el valor positivo de.

El ACF para modelos se deriva de los siguientes momentos: 1 end final -->

dado que, para todos y para todos, las innovaciones no están correlacionadas con. Entonces, la función de autocorrelación es:

Es decir, hay un corte en el ACF en el primer rezago. Finalmente, la función de autocorrelación parcial muestra una disminución exponencial. La Figura 4.5 muestra los perfiles típicos de este ACF en conjunto con el PACF.

    La media es igual a y la varianza está dada por.

La figura 4.6 muestra los correlogramas simple y parcial para dos procesos diferentes. Ambos ACF exhiben un corte en el retraso dos. Las raíces del polinomio de la primera serie son reales, por lo que el PACF decae exponencialmente mientras que para la segunda serie con raíces complejas el PACF decae como una onda seno-coseno amortiguadora.

4.2.3 Modelo autorregresivo

El modelo de orden autorregresivo general (de orden finito) es:

Comencemos por el proceso más simple, el proceso autorregresivo de primer orden, que se define como:

La figura 4.7 muestra dos series de tiempo simuladas generadas a partir de procesos con media cero y parámetros y -0,7, respectivamente. El parámetro autorregresivo mide la persistencia de eventos pasados ​​en los valores actuales. Por ejemplo, si un choque positivo (o negativo) afecta positivamente (o negativamente) durante un período de tiempo que es más largo cuanto mayor sea el valor de. Cuando, la serie se mueve más aproximadamente alrededor de la media debido a la alternancia en la dirección del efecto de, es decir, un choque que afecta positivamente en el momento, tiene efectos negativos sobre, positivo en,.

El proceso siempre es invertible y es estacionario cuando el parámetro del modelo está restringido a estar en la región. Para probar la condición estacionaria, primero escribimos en la forma de media móvil mediante sustitución recursiva de en (4.14):

Es decir, es una suma ponderada de innovaciones pasadas. Las ponderaciones dependen del valor del parámetro: cuándo, (o), la influencia de una determinada innovación aumenta (o disminuye) a lo largo del tiempo. Llevando las expectativas a (4.15) para calcular la media del proceso, obtenemos:

Dado eso, el resultado es una suma de términos infinitos que converge para todos los valores de solo si, en cuyo caso. Aparece un problema similar cuando calculamos el segundo momento. La demostración se puede simplificar asumiendo que, es decir,. Entonces, la varianza es:

Nuevamente, la varianza llega al infinito excepto, en cuyo caso. Es fácil verificar que tanto la media como la varianza explotan cuando esa condición no se cumple.

La función de autocovarianza de un proceso estacionario es 0 end -->

Por tanto, la función de autocorrelación para el modelo estacionario es:

Es decir, el correlograma muestra un decaimiento exponencial con valores positivos siempre si es positivo y con oscilaciones negativo-positivo si es negativo (ver figura 4.8). Además, la tasa de desintegración disminuye a medida que aumenta, por lo que cuanto mayor es el valor, más fuerte es la correlación dinámica en el proceso. Finalmente, hay un corte en la función de autocorrelación parcial en el primer rezago.

    Es estacionario solo si las raíces de la ecuación característica del polinomio se encuentran fuera del círculo unitario. La media de un modelo estacionario es.

Algunos ejemplos de correlogramas para modelos más complejos, como el, se pueden ver en la figura 4.9. Son muy similares a los patrones cuando los procesos tienen raíces reales, pero toman una forma muy diferente cuando las raíces son complejas (ver el primer par de gráficos de la figura 4.9).

4.2.4 Modelo de media móvil autorregresivo

El modelo de órdenes de media móvil autorregresiva general (de orden finito) es:

    Es estacionario si el componente es estacionario, es decir, las raíces de la ecuación característica se encuentran fuera del círculo unitario. La media de un modelo estacionario es

Una condición necesaria para mantener la estacionariedad es la siguiente que asegura un proceso medio finito:

Por ejemplo, el proceso se define como:

Este modelo es estacionario si y es invertible si. La media del proceso estacionario se puede derivar de la siguiente manera:

La función de autovarianza para un proceso estacionario (asumiendo) es la siguiente: 1 end final -->

La función de autocorrelación para el modelo estacionario es: 1 endderecho. final -->

La Figura 4.10 muestra los perfiles típicos de ACF y PACF para procesos estacionarios e invertibles.


4.2: Modelado con funciones lineales

Количество зарегистрированных учащихся: 150 тыс.

¿Cómo puede poner los datos a trabajar para usted? Específicamente, ¿cómo pueden los números en una hoja de cálculo informarnos sobre las actividades comerciales presentes y pasadas, y cómo podemos usarlos para pronosticar el futuro? La respuesta está en la construcción de modelos cuantitativos, y este curso está diseñado para ayudarlo a comprender los fundamentos de esta habilidad empresarial fundamental y fundamental. A través de una serie de breves conferencias, demostraciones y asignaciones, aprenderá las ideas clave y el proceso de modelado cuantitativo para que pueda comenzar a crear sus propios modelos para su propio negocio o empresa. Al final de este curso, habrá visto una variedad de modelos cuantitativos prácticos de uso común, así como los componentes básicos que le permitirán comenzar a estructurar sus propios modelos. Estos bloques de construcción se utilizarán en los otros cursos de esta especialización.

Получаемые навыки

Modelado, regresión lineal, modelos probabilísticos, análisis de regresión

Рецензии

Muy buen curso para principiantes, el nivel matemático no es alto (alrededor del bachillerato francés) por lo que está disponible para todos. Disfruté mucho este curso que muestra cómo se pueden usar las matemáticas simples en la vida real.

Realmente creo que este curso me ha ayudado a sentar las bases para abordar modelos de construcción que emulan la realidad. El contenido está bien explicado y el profesor lo hace simple pero importante.

Módulo 4: Modelos de regresión

Este módulo explora modelos de regresión, que le permiten comenzar con datos y descubrir un proceso subyacente. Los modelos de regresión son las herramientas clave en el análisis predictivo y también se utilizan cuando tiene que incorporar la incertidumbre de forma explícita en los datos subyacentes. Aprenderá más sobre qué son los modelos de regresión, qué pueden y qué no pueden hacer, y las preguntas que los modelos de regresión pueden responder. Examinará la correlación y la asociación lineal, la metodología para ajustar la mejor línea a los datos, la interpretación de los coeficientes de regresión, la regresión múltiple y la regresión logística. También verá cómo la regresión logística le permitirá estimar las probabilidades de éxito. Al final de este módulo, podrá identificar los modelos de regresión y sus componentes clave, comprender cuándo se utilizan y ser capaz de interpretarlos para que pueda discutir su modelo y convencer a otros de que su modelo tiene sentido, con el objetivo final de la implementación.

Преподаватели

Richard Waterman

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¿Qué pasa con las preguntas que podemos responder una vez que hayamos realizado una regresión? Bueno, quizás el aspecto más utilizado de un modelo de regresión es como metodología para el análisis predictivo. Por lo tanto, las empresas realmente han adoptado la analítica predictiva en los últimos años. Siempre tratando de predecir los resultados. Por ejemplo, predecir un producto que una persona podría comprar en un sitio web. Es posible que deseemos predecir la calificación que alguien le da a una película que ve en un servicio de transmisión. Podríamos intentar predecir el precio de una acción mañana. Entonces, la predicción es una tarea muy común a la que nos enfrentamos en los negocios. Llamamos a nuestros enfoques de la predicción, análisis predictivo en general. Y si tiene una regresión, ciertamente tiene una herramienta de predicción. Porque una vez que tienes esa línea de regresión allí, la predicción es bastante sencilla. Toma un valor de x, sube a la línea y lee el valor en la dirección y. Entonces, una pregunta de ejemplo sería, según nuestro modelo de regresión para el conjunto de datos de diamantes, ¿qué precio espera pagar por un diamante que pesa 0.3 de un quilate? La respuesta sería, tome 0.3 en el eje x, suba a la línea y lea el valor. O, de manera equivalente, puede insertar 0.3 en la ecuación de regresión para calcular ese valor esperado. Ahora bien, una de las otras cosas que hará la regresión será por ti. Ganó & # x27t solo le dará una predicción. Con las suposiciones adecuadas, que veremos en un momento en este módulo, con la suposición adecuada, también podemos obtener un intervalo de predicción. Y ese intervalo de predicción nos da un rango de valores factibles de dónde creemos que se ubicará el resultado o pronóstico. Y eso, en la práctica, tiende a ser mucho más realista que simplemente intentar dar la mejor suposición. Otra cosa que hacemos con estos modelos de regresión es interpretar los coeficientes que salen del modelo. Los propios coeficientes pueden decirnos cosas. Pueden darnos información. Y entonces podría hacer una pregunta.¿Cuánto, en promedio, excepto pagar por diamantes que pesan 0,3 quilates en comparación con diamantes que pesan 0,2 quilates? Bueno, eso es un cambio en x de 0,1. Y dada una regresión lineal con una pendiente que resulta ser igual a 3.720 básicamente, lo que podemos hacer es decir. Bueno, si observamos los diamantes que pesan 0,3 quilate frente a 0,2 quilate, podemos anticipar pagar $ 372 adicionales por ellos, dada la ecuación de regresión subyacente. Así que esencialmente estamos interpretando la pendiente en la regresión. Asimismo, las intersecciones a veces tienen interpretaciones. Una intersección podría interpretarse como un costo fijo, podría interpretarse como un tiempo de inicio. Entonces, a menudo queremos interpretar coeficientes. Otra cosa que una regresión puede hacer por nosotros es proporcionar una medida numérica de la cantidad de variabilidad en el resultado, aquí el precio, que se explica por las variables predictoras. Entonces, ¿cuánta variabilidad en los resultados podemos explicar con el modelo? Por lo general, nos gusta explicar mucha variabilidad, pero cuantificar eso puede ser una actividad útil por derecho propio. Entonces, veremos una medida numérica que nos dice la proporción de variabilidad explicada por el modelo de regresión a su debido tiempo. Pero la predicción, la interpretación y la explicación de los cálculos de variabilidad son cosas clave que un modelo de regresión puede hacer por nosotros. Así que deje que & # x27s transmita un poco más sobre esta idea de predicción y vea una de las formas en que puede poner inmediatamente en funcionamiento una regresión. Y esto se remonta a una discusión que tuvimos en otro módulo cuando hablábamos de prospectar oportunidades. Ahora, en este ejemplo particular en el que estoy mirando diamantes, me imagino que soy un comerciante de diamantes o un especulador de diamantes. Me refiero a que las mismas ideas podrían funcionar fácilmente para buscar nuevos clientes, buscar nuevas oportunidades de inversión. Pero digamos que hemos recopilado algunos datos. Hemos ajustado nuestro modelo de regresión lineal. Eso & # x27s encuentra la línea que mejor se ajusta a los datos. Y luego nos encontramos con un diamante, y ese diamante pesa 0,25 quilates y se vende por $ 500. Así que agregué ese punto al gráfico aquí, y es el gran punto rojo. Ahora, si veo un punto como ese, que está muy, muy por debajo de la línea de regresión, entonces es potencialmente de gran interés para mí. Porque si creo en mi modelo, y esta es una gran advertencia aquí. Dado que creo en mi modelo, entonces algo está sucediendo con este diamante en particular. Ahora, una de las posibilidades es que el mercado lo haya puesto de precio incorrecto. Y si el mercado lo ha tasado incorrectamente, entonces es potencialmente una gran oportunidad de inversión. Sin embargo, hay otra explicación, es que tal vez haya & # x27s algún piso asociado con este diamante y ese & # x27s por qué va por un precio tan bajo. No sé cuál de esos dos es una posible explicación hasta que haya ido a ver el diamante. El punto que estoy haciendo aquí es que esta actividad de mirar para ver qué tan lejos están los puntos de la línea de regresión, es una técnica para clasificar a los candidatos potenciales. Y algunas personas usan la palabra, clasificarlos para encontrar un conjunto de candidatos que me parecen más interesantes. Y ese es uno de los usos a los que se le puede dar un modelo de regresión. En resumen, los puntos alejados de la línea pueden ser de gran interés. Le he mostrado algunas líneas de regresión, pero todavía no le he dicho cómo se calculan. Entonces, ¿de dónde viene esta línea de regresión, a veces llamada la línea de mejor ajuste? Bueno, hay una metodología, y esa metodología se llama método de mínimos cuadrados. Ese es el que se usa con más frecuencia para calcular estas líneas de mejor ajuste. Por lo tanto, no es la única forma de calcular la línea para pasar por los datos, pero es muy común. Y si elige un programa típico de hoja de cálculo, es el que se implementará cuando ejecute sus regresiones allí. Entonces, el criterio de optimalidad, porque vamos a ajustar la mejor línea, se conoce como el método de mínimos cuadrados. Y en palabras, lo que hace la línea de mínimos cuadrados & # x27s es encontrar la línea entre todo el número infinito de líneas que potencialmente podría dibujar a través de los datos. Es encontrar la línea que minimiza la suma de los cuadrados de la distancia vertical de los puntos a la línea. Y he ilustrado esa idea transmitiendo los datos del diamante, he tomado un rango pequeño y he dibujado una línea allí. He dibujado los puntos a su alrededor. Y las líneas rojas recogen la distancia vertical desde el punto hasta la línea. Y lo que queremos hacer es encontrar una línea que minimice la suma de los cuadrados de esas distancias verticales. Y vamos a llamar a esa línea, la línea de mínimos cuadrados o la línea de mejor ajuste. Entonces, básicamente, lo que está tratando de hacer es encontrar la línea que sigue más de cerca los datos. Esa es otra forma de pensarlo. Pero hay un criterio formal. Ese criterio se implementa en el software, y usará ese software para calcular realmente una línea de mínimos cuadrados, una regresión para cualquier conjunto de datos en particular que pueda tener. Entonces, el criterio de mínimos cuadrados es nuestro criterio de ajuste de línea. Así que ahora hemos visto cómo se derivan estas líneas de mejor ajuste, se derivan a través del criterio de mínimos cuadrados. Lo que estas líneas nos permiten hacer es descomponer los datos en dos partes. Esa es una de las ideas clave con una regresión. Por lo tanto, se puede usar una línea de regresión para descomponer los datos, en nuestro caso cuando estamos mirando los diamantes, los precios, en dos componentes. Un componente se llama valores ajustados. Esas son las predicciones. Y el otro componente se conoce como residuos. Entonces, en términos de la imagen de la diapositiva anterior, si echamos un vistazo aquí, para cualquier valor dado de x, el valor ajustado sería subir a la línea azul. Y luego, el residuo es la distancia vertical desde la línea azul hasta el punto, para que pueda ver, finalmente puede llegar a uno de esos puntos en dos pasos. Toma su valor x debajo de él. Primero que nada, das un paso hacia la línea, y luego, una vez que estás en la línea, agregas la pequeña línea roja, el residual, y llegarás al punto de datos. Eso dice que el punto de datos se puede expresar en dos componentes. Uno, la línea. Y dos, el residuo de esa línea. Entonces, esa descomposición de los datos en dos partes refleja una idea básica que tomamos para ajustar estos modelos de regresión. Y esa idea es que los datos que vemos se componen de dos partes. A menudo llamamos a eso la señal y el ruido. Y la línea de regresión es nuestro modelo para la señal. Y los residuos codifican el ruido en el problema. Ambos componentes que salen de la regresión, tanto los valores ajustados como los residuales, son útiles. Los valores ajustados se convierten en nuestro costo total. Si me traes un diamante nuevo por un peso determinado, digamos & # x27s 0,25 de una zanahoria, ¿cuál creo que será el precio & # x27s? Simplemente subo a la línea de regresión, los llamados valores ajustados, y leo el valor de y, el precio. Ahora, los residuos también son útiles porque me permiten evaluar la calidad del ajuste del modelo de regresión. Idealmente, todos nuestros residuos serían cero. Eso significaría que la línea atravesó todos los puntos. En la práctica, eso simplemente no va a suceder, pero a menudo examinaremos los residuos de una regresión, porque al examinar los residuos podemos potencialmente obtener información sobre esa regresión. Y normalmente, cuando ejecuto la regresión, una de las primeras cosas que voy a hacer es eliminar todos los residuos de la regresión. Voy a ordenar esa lista de residuos. Y voy a mirar los residuos más extremos. Los puntos con los residuos más grandes son, por definición, aquellos puntos que no se ajustan bien a la regresión actual. Si puedo ver esos puntos y explicar por qué no encajan bien, entonces normalmente he aprendido algo que puedo incorporar en una iteración posterior del modelo de regresión. Ahora, si todo eso sonaba un poco abstracto, tengo un ejemplo para mostrarte ahora mismo. Así que aquí hay otro conjunto de datos que se presta a un análisis de regresión. Y en este conjunto de datos tengo dos variables. La variable de resultado, o la variable y, es la economía de combustible de un automóvil. Y para ser más precisos, es la economía de combustible medida por galones por mil millas en la ciudad. Entonces, digamos que vives en la ciudad y solo conduces en la ciudad, ¿cuántos galones vas a tener que poner en el tanque para poder conducir tu auto 1,000 millas en algún tiempo? Esa es la variable de resultado. Claramente, cuantos más galones tenga que poner en el tanque, menos eficiente será el combustible del vehículo. Esa es la idea. Ahora podríamos querer crear un modelo predictivo para el ahorro de combustible en función del peso del automóvil. Y aquí tengo una variable X como peso. Y voy a buscar la relación entre el peso de un automóvil y su economía de combustible. Recopilamos el conjunto de datos. Eso es lo que puede ver en el diagrama de dispersión. El gráfico inferior izquierdo de esta diapositiva. Y cada punto es un coche. Y para cada automóvil, hemos encontrado su peso, hemos encontrado su economía de combustible, hemos graficado la variable entre sí. Y tenemos una regresión a través de esos puntos mediante el método de mínimos cuadrados. Y esa regresión nos da una forma de predecir la economía de combustible de un vehículo de cualquier peso dado. Ahora, ¿por qué querrías hacer eso? Bueno, una de las cosas en las que muchos fabricantes de vehículos están pensando en estos días es crear vehículos más eficientes en combustible. Y una forma de hacerlo es cambiar los materiales con los que se fabrican los vehículos. Entonces, por ejemplo, podrían pasar del acero al aluminio. Bueno, eso reducirá el peso del vehículo. Bueno, si se reduce el peso del vehículo, me pregunto cómo afectará eso a la economía de combustible. Y esa es una especie de pregunta que podremos empezar a abordar a través de un modelo de este tipo. Así que eso es una configuración para este problema, pero quiero mostrarles por qué mirar los residuos puede ser algo tan útil. Entonces, cuando miro los residuos de esta regresión en particular, conozco uno de los residuos, en realidad encontré el residuo más grande en todo el conjunto de datos. Y ese es el punto que he identificado en rojo en el diagrama de dispersión. Y es el residuo más grande, es un residuo positivo grande. Lo que significa que la realidad es que este vehículo en particular necesita mucha más gasolina en el tanque de lo que predeciría el modelo de regresión. El modelo de regresión predeciría el valor de la línea. El punto de datos rojo es el valor observado real. Está por encima de la línea, por lo que ahorra menos combustible de lo que predice el modelo. Necesita más gasolina para entrar en el tanque de lo que predice el modelo. Entonces, ¿hay algo especial en ese vehículo? Bueno, en ese momento vuelvo al conjunto de datos subyacente y profundizo. Entonces, cuando vea grandes residuos, voy a profundizar en esos residuos. Y profundizar en este residuo identifica realmente el vehículo. Y el vehículo resulta ser algo llamado Mazda RX-7. Y este vehículo en particular es algo inusual, porque tenía lo que se denomina motor rotativo, que es un tipo de motor diferente al de cualquier otro vehículo en este conjunto de datos. Todos los demás vehículos tenían un motor estándar, pero el Mazda RX-7 tenía un motor rotativo. Y eso realmente explica por qué su economía de combustible es mala en la ciudad. Y así, al profundizar en el punto, al observar los residuos, he identificado una característica que no había incorporado originalmente en el modelo. Y ese sería el tipo de motor. Y así, el residual y la exploración del residual me ha generado una nueva pregunta que no tenía antes del análisis. Y esa pregunta es, me pregunto cómo el tipo de motor impacta también en la economía de combustible. Así que ese es uno de los resultados de una regresión que puede ser muy, muy útil. No es el modelo de regresión el que te habla directamente. Son las desviaciones del modelo subyacente las que a veces pueden ser la parte más reveladora del modelo en sí o del proceso de modelado. Entonces, recuerde que en uno de los otros módulos del que hablé, ¿cuáles son los beneficios del modelado? Y uno de ellos son los resultados fortuitos, cosas que encuentras que no esperabas al principio, y yo pondría esto allí como un ejemplo de eso. Al explorar los residuos con cuidado, he aprendido algo nuevo, algo que no había anticipado. Y podría mejorar posteriormente mi modelo incorporando esta idea de tipo de motor en el modelo en sí. Entonces, los residuos son una parte importante de un modelo de regresión.


Un curso muy breve sobre análisis de series de tiempo

la colección de ( < beta_j > ) se llama filtro lineal. Claramente, (y_t ) es una función lineal de (x_t ) y es una versión filtrada de (x_t ). El filtrado lineal, donde ( beta_j ) es una colección conocida de números, se usa a menudo para identificar patrones y señales en una serie de tiempo ruidosa (en este caso (x_t )).

El filtrado implica un circunvolución entre dos series (x_t ) y ( beta_j ). La serie convolucionada se llama entonces (y_t ). En el momento (t ), la convolución (en palabras) es la suma del producto entre la serie ( beta_j ) que avanza y la serie (x_t ) que retrocede.

Supondremos en todo momento que las ( beta_j ) s satisfacen la condición

4.2.1 Transformadas de Fourier de convoluciones

Dado el tiempo filtrado seres (y_t ) especificado como [y_t = sum_^ infty beta_j x_ ]

¿cuál es su transformada de Fourier?

[empezar y_ omega & amp = & amp sum_^ infty sum_^ infty beta_j x_ exp (-2 pi i omega t) & amp = & amp sum_^ infty sum_^ infty beta_j x_ exp (-2 pi i omega (t - j + j)) & amp = & amp sum_^ infty sum_^ infty beta_j exp (-2 pi i omega , j) x_ exp (-2 pi i omega (t - j)) & amp = & amp sum_^ infty beta_j exp (-2 pi i omega , j) sum_^ infty x_ exp (-2 pi i omega (t - j)) & amp = & amp sum_^ infty beta_j exp (-2 pi i omega , j) sum_^ infty x_ exp (-2 pi i omega , t) & amp = & amp beta_ omega x_ omega end]

Aquí, la colección ( beta_ omega ) en función de ( omega ) se llama función de transferencia y es la transformada de Fourier de la función de respuesta al impulso ( beta_j ).

¿Por qué es útil esto? Para empezar, este resultado proporciona una forma eficiente de calcular la convolución entre dos series, que es exactamente lo que se requiere con el filtrado lineal. Si queremos calcular los valores filtrados (y_1, y_2, dots, y_n ), la fórmula ingenua requiere que calculemos la fórmula de convolución (n ) veces, que tiene (O (n ^ 2) ) complejidad. Pero en cambio, podemos

Calcule la transformada de Fourier (x_ omega ) a través de la FFT para las frecuencias ( omega = 0 / n, 1 / n, dots, 1/2 ).

Calcule la FFT ( beta_ omega ) para las frecuencias ( omega = 0 / n, 1 / n, dots, 1/2 ).

Calcule (y_ omega = beta_ omega x_ omega ) para las frecuencias ( omega = 0 / n, 1 / n, dots, 1/2 ).

Calcule la FFT inversa para todo (y_ omega ) para obtener los valores filtrados (y_t ).

4.2.2 Filtro de paso bajo

Considere la siguiente serie de tiempo simple (simulada), que es una tendencia lineal simple más algo de ruido gaussiano.

¿Cómo se verá la serie de salida si convertimos los datos originales con el siguiente filtro lineal?

La respuesta está en el diagrama de abajo en azul. La línea azul muestra la serie filtrada, que podemos ver es una versión más suave de los datos originales. El filtro que se muestra arriba es un filtro de paso bajo, que amortigua las frecuencias más altas en los datos y permite que las frecuencias más bajas “pasen”.

Podemos ver la naturaleza de paso bajo del filtro examinando la función de transferencia a continuación. Aquí, podemos ver que las frecuencias más bajas (cerca de (f = 0 )) reciben mayor peso que las frecuencias más altas.

4.2.3 Filtro de paso alto

El siguiente es un ejemplo de un filtro lineal que amortigua las bajas frecuencias y permite que pasen las altas.

Aquí está la versión filtrada de los datos originales, usando el filtro de paso alto. Puede ver que parece una serie de residuos con la tendencia eliminada.

A continuación se muestra la función de transferencia correspondiente al filtro lineal mostrado anteriormente. Aquí, está claro que las frecuencias más altas (cerca de (f = 1/2 )) reciben mayor peso que las frecuencias más bajas.

4.2.4 Filtro a juego

La siguiente serie simulada es un ejemplo de una serie de tiempo que tiene un salto claro en un punto específico en el tiempo.

En algunas aplicaciones, se desea identificar cuándo tiene lugar el salto en la serie. Podemos hacer eso usando un filtro coincidente, que refleja el salto en los datos.

Al convertir el filtro coincidente con los datos, obtenemos el siguiente resultado. Podemos ver que la serie filtrada va muy alta en el punto de salto y de manera similar se vuelve muy negativa cuando los datos vuelven a bajar.

La función de transferencia para el filtro coincidente se muestra a continuación. Podemos ver que los senos y cosenos en la transformada de Fourier tienen dificultades para aproximarse a la naturaleza discontinua de este filtro lineal. De ahí la oscilación en la función de transferencia.


4.2.2 Despacho económico con costos marginales lineales

Un modelo de costos más realista para una planta de energía eléctrica (pero uno que usamos con menos frecuencia porque puede ser difícil encontrar suficientes datos para usar este modelo) es que el costo total de generación es cuadrático en la cantidad de electricidad producida.

donde TC es el costo total ($), Q es la producción total (MWh) y a, byc son constantes, entonces el costo marginal de producción de electricidad se calcula tomando la derivada de la función de costo total:

que es lineal en la producción total Q.

Debido a que las funciones de costo marginal aquí son lineales, podemos usar el cálculo para encontrar la solución al problema del despacho económico. En la solución que presentamos aquí, asumiremos que solo hay dos generadores. Sin embargo, la solución al problema del despacho económico que encontraremos también es válida para los casos en los que hay más de dos generadores.

Antes de entrar en él, definiremos algunas variables.

  • g1 y g2 son las salidas de energía eléctrica (MWh) de nuestras dos plantas de energía.
  • C1(g1) y C2(g2) son las funciones de costo total para las dos plantas de energía individualmente.
  • TC (g1 + g2) es la función de costo total para el sistema eléctrico en su conjunto. También podemos escribir esto como TC (g1 + g2) = C1(g1) + C2(g2).
  • D es la demanda total (en MWh).

El despacho económico es una especie de problema de optimización. La compañía eléctrica quiere elegir niveles de g1 y g2 para minimizar el costo total de atender toda la demanda de electricidad. La empresa de servicios públicos está limitada por el hecho de que tiene que satisfacer toda la demanda de electricidad. No puede simplemente optar por bloquear algunas casas o negocios porque su servicio es demasiado caro.

Matemáticamente, planteamos este problema de optimización como:

min g 1, g 2 TC (g1 + g2) s .t. g1 + g2 = D

En cálculo, es posible que haya visto que puede encontrar el máximo o el mínimo de una función tomando su derivada y estableciéndola igual a cero. Básicamente haremos lo mismo aquí. Primero, observe que dado que g1 + g2 = D, obtenemos g2 = D - g1. Además, la función de costo de cada generador depende solo de la salida de ese generador. Entonces podemos simplificar esto en un problema mucho más fácil que solo depende de g1:

min g 1 TC (g1) = [C 1 (g1) + C 2 (D - g1)]

Ahora tomaremos la derivada de esta función y la igualaremos a cero. Esto se denomina "condición de primer orden" del problema de optimización o FOC.

min g 1 TC (g1) = [C 1 (g1) + C 2 (D - g1)] FOC: dTC dg1 = dC 1 dg1 - dC 2 dg1 = 0 ⇒ dC 1 dg1 = dC 2 dg1

Observe que la solución al problema del despacho económico es establecer g1 y g2 de manera que sus costos marginales sean idénticos. A estos niveles óptimos de producción de energía los llamaremos g1 * y g2 *.

Este resultado también es válido si tenemos más de dos centrales eléctricas. En este caso, podemos encontrar el sistema lambda calculando el costo marginal para cualquier generador en el nivel óptimo (g1 * o g2 *).

Una especie de receta para resolver problemas de despacho económico con costos totales cuadráticos (costo marginal lineal) es:

  1. Calcule las funciones de costo marginal para cada generador.
  2. Establezca g2 = D - g1 y sustituya g2 en la función de costo marginal.
  3. Iguale las funciones de costo marginal, resuelva para g1 * (valor óptimo de g1).
  4. Encuentre g2 * = D - g1 *

Ejemplo

En este ejemplo dejaremos C1(g1) = 50g1 + 1.5g1 2 y C2(g2) = 100g2 + g2 2. También configuraremos D = 50 MWh. Tenga en cuenta que, al menos por ahora, no estamos estableciendo ningún límite de capacidad en los dos generadores. Los presentaremos más adelante en el curso.

Primero calculamos las funciones de costo marginal para cada generador:

  • MC (g1) = 50 + 3g1 = 50 + 3 (50 g2). Note aquí que hemos hecho la sustitución g1 = D - g2.
  • MC (g2) = 100 + 2g2

A continuación, establecemos MC (g1) = MC (g2) y resolvemos para g2.

  • 50 + 3 (50 g2) = 100 + 2g2
  • Cuando resolvemos esta ecuación, obtenemos g2* = 20 MWh
  • Finalmente, resolvemos para G1 * como: g1* = 50 g2* = 30 MWh

Así, nuestro despacho económico es g1 * = 30 MWh y g2 * = 20 MWh.

Para calcular la lambda del sistema, tomamos g1 * o g2 * y lo volvemos a conectar a la función de costo marginal respectiva. Tenga en cuenta que podemos hacer esto con cualquiera de las funciones de costo marginal, o podemos hacerlo con ambas como una especie de verificación.

MC (g1) = MC (g2) = 50 + 3g 1 * = 100 + 2g 2 * = $ 140 / MWh = λ sys

Finalmente, regresamos a las funciones de costo total para los dos generadores para obtener el costo total del sistema de atender 50 MWh de demanda de electricidad:

Aquí hay otro ejemplo que puede probar usted mismo.

Las funciones de costo total para los dos generadores son C1(g1) = 5 + 4g1 + g1 2 y C2(g2) = 5 + 2g2 + 2g2 2. La demanda total de electricidad es de 30 MWh. Resuelve el problema del despacho económico. Deberías conseguir:


Introducción a la econometría con R

En la práctica, se desconocen la intersección ( beta_0 ) y la pendiente ( beta_1 ) de la línea de regresión de la población. Por lo tanto, debemos emplear datos para estimar ambos parámetros desconocidos. A continuación, se utilizará un ejemplo del mundo real para demostrar cómo se logra esto. Queremos relacionar los resultados de las pruebas con la proporción de alumnos por maestro medida en las escuelas de California. El puntaje de la prueba es el promedio del distrito de puntajes de lectura y matemáticas para los estudiantes de quinto grado. Nuevamente, el tamaño de la clase se mide como el número de estudiantes dividido por el número de maestros (la proporción de estudiantes por maestro). En cuanto a los datos, el conjunto de datos de las escuelas de California (Escuelas) viene con un R paquete llamado AER, un acrónimo de Econometría Aplicada con R (Kleiber y Zeileis 2020). Después de instalar el paquete con install.packages ("AER") y adjuntarlo con biblioteca (AER) el conjunto de datos se puede cargar usando la función datos().

Una vez que se ha instalado un paquete, está disponible para su uso en otras ocasiones cuando se invoca con Biblioteca() - no hay necesidad de correr install.packages () ¡de nuevo!

Es interesante saber con qué tipo de objeto estamos tratando. clase() devuelve la clase de un objeto. Dependiendo de la clase de un objeto, algunas funciones (por ejemplo gráfico() y resumen()) se comportan de manera diferente.

Comprobemos la clase del objeto. Escuelas.

Resulta que Escuelas es de clase marco de datos que es un formato conveniente para trabajar, especialmente para realizar análisis de regresión.

Con la ayuda de cabeza() obtenemos una primera descripción general de nuestros datos. Esta función muestra solo las primeras 6 filas del conjunto de datos, lo que evita una salida de consola sobrecargada.

Encontramos que el conjunto de datos consta de muchas variables y que la mayoría de ellas son numéricas.

Por cierto: una alternativa a clase() y cabeza() es str () que se deduce de la "estructura" y ofrece una descripción completa del objeto. ¡Intentar!

Volviendo a Escuelas, las dos variables que nos interesan (es decir, el puntaje promedio de la prueba y la proporción alumno-maestro) son no incluido. Sin embargo, es posible calcular ambos a partir de los datos proporcionados. Para obtener las proporciones de estudiantes por maestro, simplemente dividimos el número de estudiantes por el número de maestros. La puntuación media de la prueba es la media aritmética de la puntuación de la prueba de lectura y la puntuación de la prueba de matemáticas. El siguiente fragmento de código muestra cómo las dos variables se pueden construir como vectores y cómo se agregan a Escuelas.

Si corrimos cabeza (CASchools) de nuevo encontraríamos las dos variables de interés como columnas adicionales denominadas STR y puntaje (¡Mira esto!).

La Tabla 4.1 del libro de texto resume la distribución de los puntajes de las pruebas y la proporción de alumnos por maestro. Hay varias funciones que se pueden utilizar para producir resultados similares, por ejemplo,

significar() (calcula la media aritmética de los números proporcionados),

Dakota del Sur() (calcula la desviación estándar de la muestra),

cuantil () (devuelve un vector de los cuantiles de muestra especificados para los datos).

El siguiente fragmento de código muestra cómo lograr esto. Primero, calculamos estadísticas resumidas en las columnas. STR y puntaje de Escuelas. Para obtener un buen resultado, reunimos las medidas en un marco de datos llamado Distribución Resumen.

En cuanto a los datos de muestra, utilizamos gráfico(). Esto nos permite detectar características de nuestros datos, como valores atípicos que son más difíciles de descubrir al observar simples números. Esta vez agregamos algunos argumentos adicionales a la llamada de gráfico().

El primer argumento en nuestra llamada de gráfico(), puntaje

STR, es nuevamente una fórmula que establece variables en el eje y y en el eje x. Sin embargo, esta vez las dos variables no se guardan en vectores separados sino que son columnas de Escuelas. Por lo tanto, R no los encontraría sin el argumento datos estar correctamente especificado. datos debe estar de acuerdo con el nombre del marco de datos a la que pertenecen las variables, en este caso Escuelas. Se utilizan más argumentos para cambiar la apariencia de la trama: mientras principal agrega un título, xlab y ylab agregue etiquetas personalizadas a ambos ejes.

La gráfica (Figura 4.2 en el libro) muestra la gráfica de dispersión de todas las observaciones sobre la proporción alumno-maestro y la puntuación de la prueba. Vemos que los puntos están fuertemente dispersos y que las variables están correlacionadas negativamente. Es decir, esperamos observar puntuaciones más bajas en las pruebas en clases más grandes.

La función cor () (ver ? cor para obtener más información) se puede utilizar para calcular la correlación entre dos numérico vectores.

Como ya sugiere el diagrama de dispersión, la correlación es negativa pero bastante débil.

La tarea a la que nos enfrentamos ahora es encontrar la línea que mejor se ajuste a los datos. Por supuesto, podríamos simplemente seguir con la inspección gráfica y el análisis de correlación y luego seleccionar la línea que mejor se ajuste a ojo. Sin embargo, esto sería bastante subjetivo: diferentes observadores dibujarían diferentes líneas de regresión. Por este motivo, nos interesan las técnicas menos arbitrarias. Esta técnica viene dada por la estimación de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).

El estimador de mínimos cuadrados ordinarios

El estimador de MCO elige los coeficientes de regresión de manera que la línea de regresión estimada sea lo más “cercana” posible a los puntos de datos observados. Aquí, la cercanía se mide por la suma de los errores al cuadrado cometidos al predecir (Y ) dado (X ). Sea (b_0 ) y (b_1 ) algunos estimadores de ( beta_0 ) y ( beta_1 ). Entonces, la suma de los errores de estimación al cuadrado se puede expresar como

El estimador MCO en el modelo de regresión simple es el par de estimadores para la intersección y la pendiente que minimiza la expresión anterior. La derivación de los estimadores MCO para ambos parámetros se presenta en el Apéndice 4.1 del libro. Los resultados se resumen en el concepto clave 4.2.

Concepto clave 4.2

Estimador de MCO, valores pronosticados y residuos

Los estimadores MCO de la pendiente ( beta_1 ) y la intersección ( beta_0 ) en el modelo de regresión lineal simple son [ begin hat beta_1 & amp = frac < sum_^ n (X_i - overline) (Y_i - overline)> < sum_^ n (X_i - overline) ^ 2>, hat beta_0 & amp = overline - hat beta_1 overline. final] Los valores predichos por MCO ( widehat_i ) y residuos ( hat_i ) son [ begin widehat_i & amp = hat beta_0 + hat beta_1 X_i, hat_i & amp = Y_i - widehat_I. final]

La intersección estimada ( hat < beta> _0 ), el parámetro de pendiente ( hat < beta> _1 ) y los residuos ( left ( hat_i right) ) se calculan a partir de una muestra de (n ) observaciones de (X_i ) y (Y_i ), (i ), (. ), (n ). Estos son estimados de la intersección de la población desconocida ( left ( beta_0 right) ), pendiente ( left ( beta_1 right) ) y término de error ((u_i) ).

Las fórmulas presentadas anteriormente pueden no ser muy intuitivas a primera vista. La siguiente aplicación interactiva tiene como objetivo ayudarlo a comprender la mecánica de OLS. Puede agregar observaciones haciendo clic en el sistema de coordenadas donde los datos están representados por puntos. Una vez que hay dos o más observaciones disponibles, la aplicación calcula una línea de regresión usando OLS y algunas estadísticas que se muestran en el panel derecho. Los resultados se actualizan a medida que agrega más observaciones al panel izquierdo. Un doble clic restablece la aplicación, es decir, se eliminan todos los datos.

Hay muchas formas posibles de calcular ( hat < beta> _0 ) y ( hat < beta> _1 ) en R. Por ejemplo, podríamos implementar las fórmulas presentadas en el concepto clave 4.2 con dos de RFunciones más básicas: significar() y suma(). Antes de hacerlo nosotros adjuntar la Escuelas conjunto de datos.

Vocación adjuntar (CASchools) nos permite abordar una variable contenida en Escuelas por su nombre: ya no es necesario utilizar el $ operador junto con el conjunto de datos: R puede evaluar el nombre de la variable directamente.

R utiliza el objeto en el entorno del usuario si este objeto comparte el nombre de la variable contenida en una base de datos adjunta. Sin embargo, es una mejor práctica usar siempre nombres distintivos para evitar tales (aparentemente) ambivalencias.

Observe que abordamos las variables contenidas en el conjunto de datos adjunto. Escuelas directamente para el resto de este capítulo.

Por supuesto, existen aún más formas manuales de realizar estas tareas. Dado que OLS es una de las técnicas de estimación más utilizadas, R por supuesto, ya contiene una función incorporada llamada lm () (len el oido metroodel) que se puede utilizar para realizar análisis de regresión.

El primer argumento de la función que se especificará es similar a gráfico(), la fórmula de regresión con la sintaxis básica y

X dónde y es la variable dependiente y X la variable explicativa. El argumento datos determina el conjunto de datos que se utilizará en la regresión. Ahora revisamos el ejemplo del libro donde se analiza la relación entre los puntajes de las pruebas y el tamaño de las clases. El siguiente código usa lm () para replicar los resultados presentados en la figura 4.3 del libro.

Agreguemos la línea de regresión estimada al gráfico. Esta vez también ampliamos los rangos de ambos ejes configurando los argumentos xlim y ylim.

¿Notó que esta vez, no pasamos los parámetros de intersección y pendiente a abline? Si llamas abline () en un objeto de clase lm que solo contiene un regresor, R dibuja la línea de regresión automáticamente!


Referencias

Fox, J. (1987). Visualizaciones de efectos para modelos lineales generalizados. Metodología sociológica 17, 347--361.

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Fox, J. y R. Andersen (2006). Visualizaciones de efectos para modelos logit multinomiales y de probabilidades proporcionales. Metodología sociológica 36, 225--255.

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Fox, J. y S. Weisberg (2019). An R Companion to Applied Regression, tercera edición, Thousand Oaks: Sage.

Fox, J. y S. Weisberg (2018). Visualización del ajuste y la falta de ajuste en modelos de regresión complejos con gráficos de efecto predictor con residuos parciales. Revista de software estadístico 87:9, 1--27, & lthttps: //www.jstatsoft.org/article/view/v087i09>

Hastie, T. J. (1992). Modelos aditivos generalizados. En Chambers, J. M. y Hastie, T. J. (eds.) Modelos estadísticos en S, Wadsworth.


3.2 Par de ecuaciones lineales en dos variables

Recuerde, de la Clase IX, que los siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales en dos variables:

También sabes que una ecuación que se puede poner en la forma ax + por + c = 0, donde a, byc son números reales, y ayb no son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables x e y. (A menudo denotamos la condición a y b no son cero por a 2 + b 2 ≠ 0). También ha estudiado que una solución de dicha ecuación es un par de valores, uno para x y el otro para y, lo que hace que los dos lados de la ecuación sean iguales.

Por ejemplo, sustituyamos x = 1 e y = 1 en el lado izquierdo (LHS) de la ecuación 2x ​​+ 3y = 5. Luego

que es igual al lado derecho (RHS) de la ecuación.

Por lo tanto, x = 1 e y = 1 es una solución de la ecuación 2x ​​+ 3y = 5.

Ahora sustituyamos x = 1 e y = 7 en la ecuación 2x ​​+ 3y = 5. Entonces,

que no es igual al RHS.

Por lo tanto, x = 1 y y = 7 es no una solución de la ecuación.

Geométricamente, ¿qué significa esto? Significa que el punto (1, 1) se encuentra en la línea que representa la ecuación 2x ​​+ 3y = 5, y el punto (1, 7) no se encuentra en ella. Entonces, cada solución de la ecuación es un punto en la línea que la representa.

De hecho, esto es cierto para cualquier ecuación lineal, es decir, cada solución (x, y) de una ecuación lineal en dos variables, ax + by + c = 0, corresponde a un punto en la línea que representa la ecuación y viceversa.

Ahora, considere las ecuaciones (1) y (2) dadas anteriormente. Estas ecuaciones, tomadas en conjunto, representan la información que tenemos sobre Akhila en la feria.

Estas dos ecuaciones lineales están en las mismas dos variables x e y. Ecuaciones como estas se llaman un par de ecuaciones lineales en dos variables.

Veamos cómo se ven estos pares algebraicamente.

La forma general de un par de ecuaciones lineales en dos variables xey es

Algunos ejemplos de pares de ecuaciones lineales en dos variables son:

2x + 3y - 7 = 0 y 9x - 2y + 8 = 0

¿Sabes cómo se ven geométricamente?

Recuerde que ha estudiado en la Clase IX que la representación geométrica (es decir, gráfica) de una ecuación lineal en dos variables es una línea recta. ¿Puede sugerir ahora cómo se vería un par de ecuaciones lineales en dos variables, geométricamente? Habrá dos líneas rectas, ambas a considerar juntas.

También has estudiado en la Clase IX que dadas dos líneas en un plano, solo puede suceder una de las siguientes tres posibilidades:

  • Las dos líneas se cruzarán en un punto.
  • Las dos líneas no se cruzarán, es decir, son paralelas.
  • Las dos líneas coincidirán.

Mostramos todas estas posibilidades en la Fig. 3.1:

En la figura 3.1 (a), se cruzan.

En la figura 3.1 (b), son paralelos.

En la figura 3.1 (c), son coincidentes.

Ambas formas de representar un par de ecuaciones lineales van de la mano: la algebraica y la geométrica. Dejanos considerar algunos ejemplos.

Tomemos el ejemplo dado en la Sección 3.1. Akhila va a una feria con 20 rupias y quiere montar en la Rueda Gigante y jugar alboroto. Represente esta situación algebraica y gráficamente (geométricamente).

El par de ecuaciones formadas es:

Representemos estas ecuaciones gráficamente. Para ello, necesitamos al menos dos soluciones para cada ecuación. Damos estas soluciones en la Tabla 3.1.

Cuadro 3.1

X 0 20/3 4
y = (20-3x) / 4 5 0 2

Recuerde de la Clase IX que hay infinitas soluciones de cada ecuación lineal. Entonces, cada uno de ustedes puede elegir dos valores cualesquiera, que pueden no ser los que hemos elegido. ¿Puedes adivinar por qué hemos elegido x = 0 en la primera ecuación y en la segunda ecuación? Cuando una de las variables es cero, la ecuación se reduce a una ecuación lineal en una variable, que se puede resolver fácilmente. Por ejemplo, poniendo x = 0 en la ecuación (2), obtenemos 4y = 20, es decir, y = 5. De manera similar, poniendo y = 0 en la ecuación (2), obtenemos 3x = 20, es decir, x = 20/3 . Pero como 20/3 no es un número entero, no será fácil trazar exactamente en el papel cuadriculado. Entonces, elegimos y = 2 que da x = 4, un valor integral.

Grafique los puntos A (0, 0), B (2, 1) y P (0, 5), Q (4, 2), correspondientes a las soluciones de la tabla 3.1. Ahora dibuje las líneas AB y PQ, que representan las ecuaciones x - 2y = 0 y 3x + 4y = 20, como se muestra en la figura 3.2.

En la figura 3.2, observe que las dos líneas que representan las dos ecuaciones se intersecan en el punto (4, 2). Discutiremos lo que esto significa en la siguiente sección.

Romila fue a una papelería y compró 2 lápices y 3 borradores por Rs 9. Su amiga Sonali vio la nueva variedad de lápices y borradores con Romila, y también compró 4 lápices y 6 borradores del mismo tipo por Rs 18. Representa esto situación algebraica y gráficamente.

Denotemos el costo de 1 lápiz por Rs x y un borrador por Rs y. Entonces la representación algebraica viene dada por las siguientes ecuaciones:

Para obtener la representación geométrica equivalente, encontramos dos puntos en la línea que representan cada ecuación. Es decir, encontramos dos soluciones de cada ecuación.

Estas soluciones se dan a continuación en la Tabla 3.2.

Trazamos estos puntos en un papel cuadriculado y dibujamos las líneas. Encontramos que ambas líneas coinciden (ver Fig. 3.3). Esto es así porque ambas ecuaciones son equivalentes, es decir, una se puede derivar de la otra.

Dos carriles están representados por las ecuaciones x + 2y - 4 = 0 y 2x + 4y - 12 = 0. Represente esta situación geométricamente.

Dos soluciones de cada una de las ecuaciones:

Cuadro 3.3

Para representar gráficamente las ecuaciones, trazamos los puntos R (0, 2) y S (4, 0), para obtener la línea RS y los puntos P (0, 3) y Q (6, 0) para obtener la línea PQ. .

Observamos en la figura 3.4, que las líneas no se cruzan en ninguna parte, es decir, son paralelas.

Entonces, hemos visto varias situaciones que se pueden representar mediante un par de ecuaciones lineales. Hemos visto sus representaciones algebraicas y geométricas. En las próximas secciones, discutiremos cómo se pueden usar estas representaciones para buscar soluciones del par de ecuaciones lineales.

  1. Aftab le dice a su hija: "Hace siete años, yo tenía siete veces más edad que tú entonces. Además, dentro de tres años, seré tres veces más vieja que tú". (¿No es interesante?) Represente esta situación de forma algebraica y gráfica.
  2. La entrenadora de un equipo de cricket compra 3 bates y 6 pelotas por 3900 rupias. Más tarde, compra otro bate y 2 pelotas más del mismo tipo por 1300 rupias. Representa esta situación de forma algebraica y geométrica.
  3. Se encontró que el costo de 2 kg de manzanas y 1 kg de uvas al día era de 160 rupias. Después de un mes, el costo de 4 kg de manzanas y 2 kg de uvas es de 300 rupias. Representa la situación de forma algebraica y geométrica.

Análisis de series de tiempo aplicadas para la pesca y las ciencias ambientales

Trazar datos de series de tiempo es un primer paso importante en el análisis de sus diversos componentes. Sin embargo, más allá de eso, necesitamos un medio más formal para identificar y eliminar características como una tendencia o variación estacional. Como se discutió en la conferencia, el modelo de descomposición reduce una serie de tiempo en 3 componentes: tendencia, efectos estacionales y errores aleatorios. A su vez, nuestro objetivo es modelar los errores aleatorios como alguna forma de proceso estacionario.

Comencemos con un modelo de descomposición aditivo simple para una serie de tiempo (x_t )

donde, en el momento (t ), (m_t ) es la tendencia, (s_t ) es el efecto estacional y (e_t ) es un error aleatorio que generalmente asumimos que tiene una media cero y estar correlacionados a lo largo del tiempo. Por lo tanto, estimando y restando tanto () y () de (), esperamos tener una serie temporal de residuos estacionarios () .

4.2.1 Estimación de tendencias

En la conferencia discutimos cómo los filtros lineales son una forma común de estimar tendencias en series de tiempo. Uno de los filtros lineales más comunes es el promedio móvil, que para retrasos de tiempo de (- a ) a (a ) se define como

Este modelo funciona bien para mover ventanas de longitudes impares, pero debe ajustarse para longitudes pares agregando solo ( frac <1> <2> ) de los 2 retrasos más extremos para que el valor filtrado en el tiempo (t ) se alinea con la observación original en el tiempo (t ). Entonces, por ejemplo, en un caso con datos mensuales como la concentración atmosférica de CO (_ 2 ) donde una media móvil de 12 puntos sería una opción obvia, el filtro lineal sería

Es importante señalar aquí que nuestra serie de tiempo de la tendencia estimada ( < hat_t > ) es en realidad más corta que la serie de tiempo observada en (2a ) unidades.

Convenientemente, R tiene el filtro de función incorporado () en el estadisticas paquete para estimar filtros lineales de media móvil (y otros). Además de especificar la serie de tiempo que se filtrará, debemos pasar los pesos de los filtros (y otros 2 argumentos de los que no nos preocuparemos aquí: escriba? Filter para obtener más información). La forma más sencilla de crear el filtro es con la función rep ():

Ahora obtengamos nuestra estimación de la tendencia ( < hat> ) con filter ()> y trazarlo:

La tendencia es una función que aumenta más o menos suavemente a lo largo del tiempo, cuya pendiente promedio parece estar aumentando con el tiempo también (Figura 4.3).

Figura 4.3: Serie temporal de la tendencia estimada ( < hat_t > ) para la concentración atmosférica de CO (_ 2 ) en Mauna Loa, Hawai'i.

4.2.2 Estimación de los efectos estacionales

Una vez que tengamos una estimación de la tendencia en el tiempo (t ) ( ( hat_t )) podemos obtener fácilmente una estimación del efecto estacional en el tiempo (t ) ( ( hat_t )) por resta

que es realmente fácil de hacer en R:

Sin embargo, esta estimación del efecto estacional para cada tiempo (t ) también contiene el error aleatorio (e_t ), que se puede ver trazando la serie de tiempo y comparando cuidadosamente las ecuaciones (4.1) y (4.4).

Figura 4.4: Serie temporal de efectos estacionales más errores aleatorios para la concentración atmosférica de CO (_ 2 ) en Mauna Loa, Hawai'i, medida mensualmente desde marzo de 1958 hasta el presente.

Podemos obtener el efecto estacional general promediando las estimaciones de ( < hat_t > ) para cada mes y repitiendo esta secuencia durante todos los años.

Antes de crear la serie de tiempo completa de efectos estacionales, tracemos un gráfico para cada mes para ver qué está sucediendo dentro de un año:

Parece, en promedio, que la concentración de CO (_ 2 ) es más alta en primavera (marzo) y más baja en verano (agosto) (Figura 4.5). (Aparte: ¿Sabes por qué es esto?)

Figura 4.5: Efectos estacionales mensuales estimados para la concentración atmosférica de CO (_ 2 ) en Mauna Loa, Hawai'i.

Finalmente, creemos la serie de tiempo completa de efectos estacionales ( < hat_t > ):

4.2.3 Completar el modelo

El último paso para completar nuestro modelo de descomposición completo es obtener los errores aleatorios ( < hat_t > ), que podemos obtener mediante una simple resta

Nuevamente, esto es realmente fácil en R:

Ahora que tenemos los 3 componentes de nuestro modelo, grafémoslos junto con los datos observados (). Los resultados se muestran en la Figura 4.6.

Figura 4.6: Serie de tiempo de la concentración atmosférica de CO (_ 2 ) observada en Mauna Loa, Hawai'i (arriba) junto con la tendencia estimada, los efectos estacionales y los errores aleatorios.

4.2.4 Uso de descomponer () para la descomposición

Ahora que hemos visto cómo estimar y graficar los diversos componentes de un modelo de descomposición clásico por partes, veamos cómo hacer esto en un paso en R con la función descomponer (), que acepta un ts objeto como entrada y devuelve un objeto de clase descompuesto.ts.

co2_decomp es una lista con los siguientes elementos, que ya deberían ser familiares:

  • x: la serie temporal observada ()
  • estacional: serie temporal del componente estacional estimado ( < hat_t > )
  • figura: efecto estacional medio (longitud (figura) == frecuencia (x))
  • tendencia: serie temporal de la tendencia estimada ( < hat_t > )
  • aleatorio: serie temporal de errores aleatorios ( < hat_t > )
  • tipo: tipo de error ("aditivo" o "multiplicativo")

Podemos fácilmente hacer gráficos de la salida y compararlos con los de la Figura 4.6:

Figura 4.7: Serie de tiempo de la concentración atmosférica de CO (_ 2 ) observada en Mauna Loa, Hawai'i (arriba) junto con la tendencia estimada, los efectos estacionales y los errores aleatorios obtenidos con la función descomponer ().

Los resultados obtenidos con descomponer () (Figura 4.7) son idénticos a los que estimamos anteriormente.


LTspice: Modelos de transitorios ISO 7637-2 e ISO 16750-2

Simular los transitorios ISO 7637-2 e ISO 16750-2 al principio de la fase de diseño de un producto automotriz puede identificar problemas que de otro modo saldrían a la luz durante las pruebas de compatibilidad electromagnética (EMC). Si un producto falla en las pruebas de EMC, se requieren modificaciones de hardware, los cronogramas del proyecto se ven afectados y los costos adicionales resultan de las pruebas repetidas en el nuevo hardware. Dedicar unos minutos u horas a simular los circuitos de protección en LTspice ayuda a evitar costosas respins de hardware debido a fallas de EMC.

ISO 7637-2 e ISO 16750-2 son las especificaciones más comunes que encuentran los ingenieros que diseñan electrónica automotriz. Estas dos especificaciones describen transitorios potencialmente destructivos y los procedimientos de prueba recomendados para garantizar que los componentes electrónicos estén adecuadamente protegidos. Puede encontrar más información sobre estas especificaciones en el siguiente artículo:

Además de revisar el artículo anterior, se recomienda que cualquier persona que se ocupe de estas especificaciones compre copias de la Organización Internacional de Normalización (ISO) o del Instituto Nacional Estadounidense de Normas (ANSI):

Para cada condición transitoria en las especificaciones ISO 16750-2 e ISO 7637-2, se sugiere una & ldquoClass & rdquo de operación con & ldquoClass A & rdquo el requisito más estricto y & ldquoClass E & rdquo el menos estricto. Las definiciones de Clase A a Clase E se proporcionan en la especificación ISO 16750-1: 2006, y también se incluyen al final de este documento para una fácil referencia. Apéndice: Clasificación de estado funcional ISO 16750-1: 2006 y sección 6.

Simular los transitorios ISO 7637-2 e ISO 16750-2 al principio de la etapa de diseño puede resaltar problemas potenciales antes de que resulten en costosas fallas durante las pruebas ISO 7637-2 e ISO 16750-2. Los símbolos ISO16750-2 e ISO7637-2 en LTspice simplifican esta tarea al proporcionar un conjunto casi completo de transitorios ISO 7637-2 e ISO 16750-2.

Al usar estos símbolos en un esquema de LTspice, la condición de prueba se puede seleccionar haciendo clic derecho en el símbolo y luego haciendo doble clic en el campo & ldquoSpiceModel & rdquo para abrir un menú desplegable como el que se muestra a continuación.

Debido a que los requisitos son diferentes para los dispositivos que funcionan con suministros de 12 V y suministros de 24 V, se proporcionan modelos separados para cada uno. Los modelos que corresponden a suministros de 12V tienen un & ldquo_12V & rdquo en su nombre, y los que corresponden a suministros de 24V tienen & ldquo_24V & rdquo en el nombre. .

Dado que muchos fabricantes de automóviles mantienen sus propias especificaciones independientes de la Organización Internacional de Normalización, estos símbolos se han creado con parámetros que permiten la personalización a través del campo & ldquoValue & rdquo, como se muestra a continuación. Los parámetros de cada forma de onda se describen en las secciones siguientes.

Para todas las siguientes condiciones, existe un parámetro t0 que define cuándo se aplicará la condición. No forma parte de las especificaciones ISO 7637-2 o ISO 16750-2, solo se utiliza para el modelo LTspice.

El pulso 1 describe el transitorio negativo observado por la electrónica conectada en paralelo con una carga inductiva cuando se interrumpe la conexión a la fuente de alimentación.

Requisito: El pulso 1 debe repetirse un mínimo de 500 veces. La operación de Clase A a Clase E se negocia entre el fabricante del vehículo y el proveedor del equipo. Dado que la energía se desconecta de manera efectiva durante la prueba, generalmente se define como Clase A si el equipo vuelve al funcionamiento normal sin la intervención del usuario después de volver a aplicar la energía.

El pulso 2a describe el pico de voltaje positivo que puede ocurrir cuando se interrumpe la corriente a un circuito en paralelo con la electrónica que se está probando. Si se acumula corriente en el arnés de cableado, cuando un dispositivo deja de absorber corriente repentinamente, la energía almacenada en la inductancia del arnés de cableado puede causar un pico de voltaje. La energía de este pico positivo está limitada por la resistencia en serie.

Requisito: El pulso 2a debe repetirse un mínimo de 500 veces. La operación de Clase A a Clase E se negocia entre el fabricante del vehículo y el proveedor del equipo, generalmente Clase A.

El pulso 2b define una situación que ocurre cuando se apaga el encendido y los motores de CC actúan como generadores. Por ejemplo, si el calefactor está funcionando cuando el conductor apaga el automóvil, durante un breve período de tiempo el motor del ventilador puede suministrar energía de CC al sistema mientras gira hacia abajo.

Requisito: El pulso 2b debe repetirse un mínimo de 10 veces. La operación de Clase A a Clase E se negocia entre el fabricante del vehículo y el proveedor del equipo. Dado que la energía se desconecta de manera efectiva durante la prueba, generalmente se define como Clase A si el equipo vuelve al funcionamiento normal sin la intervención del usuario después de volver a aplicar la energía.

El pulso 3a define los picos negativos que pueden ocurrir como resultado de los procesos de conmutación, incluido el arco a través de interruptores y relés. Para esta especificación, la energía está limitada por una resistencia de la serie 50 y Omega.

Requisito: Pulse 3a debe aplicarse repetidamente durante una hora. La operación de Clase A a Clase E se negocia entre el fabricante del vehículo y el proveedor del equipo, generalmente Clase A.

El pulso 3b define los picos positivos que pueden ocurrir como resultado de los procesos de conmutación, incluido el arco a través de interruptores y relés. Para esta especificación, la energía está limitada por una resistencia de la serie 50 y Omega.

Requisito: Pulse 3b debe aplicarse repetidamente durante una hora. La operación de Clase A a Clase E se negocia entre el fabricante del vehículo y el proveedor del equipo, generalmente Clase A.

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.2 Voltaje de suministro de corriente continua

La sección 4.2 de ISO 16750-2 define los voltajes de suministro mínimo y máximo. La especificación define múltiples & ldquocodes & rdquo para el voltaje de suministro mínimo, y el código apropiado para el voltaje de suministro se negocia entre el fabricante del vehículo y el proveedor del equipo. No se proporciona ningún modelo LTspice para este modelo porque es simplemente un voltaje constante, pero las condiciones se enumeran a continuación para una fácil referencia.

Requisito: Clase A (funcionamiento continuo).

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.3 Sobretensión

La sección 4.3 de ISO 16750-2 describe los requisitos de & ldquoOvervoltage & rdquo. El primer requisito tiene una duración de 60 minutos y simula la condición en la que ha fallado el regulador de voltaje. Para sistemas de 12V, se aplica 18V para sistemas de 24V, se aplica 36V. Dependiendo de la aplicación, puede que no sea necesario que el equipo funcione normalmente mientras se realiza la prueba, pero debe volver al funcionamiento normal después de que se elimine la condición de prueba. La segunda condición de prueba solo se aplica a sistemas de 12 V y simula un arranque con 24 V aplicados durante 60 segundos. Una vez más, puede que no sea necesario que el equipo funcione normalmente durante la prueba.

No se proporciona ningún modelo LTspice para esta condición, ya que es simplemente una fuente de voltaje.

Requisito: consulte la especificación ISO 16750-2: 2012.

ISO 16750-2: 2012 y sect4.4 Voltaje alterno superpuesto

La sección 4.4 proporciona condiciones de prueba para & ldquosimular una corriente alterna residual en el suministro de corriente continua & rdquo Durante esta prueba, un voltaje de CA con impedancia en serie entre 50 my Omega y 100 my Omega se barre de 50 Hz a 25 kHz varias veces. Los picos superiores de voltaje son 16 V para un sistema de 12 V y 32 V para un sistema de 24 V. El voltaje pico a pico se define por el & ldquoseverity level & rdquo como se indica a continuación, y la frecuencia se barre cinco veces logarítmicamente, triangular, durante 10 minutos.

ISO16750-2: 4-4 12V
Superpuesto
Voltaje alterno

ISO16750-2: 4-4 24 V
Superpuesto
Voltaje alterno

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.5 Disminución lenta y aumento de la tensión de alimentación

La sección 4.5 & ldquo Disminución lenta y aumento de la tensión de alimentación & rdquo simula una batería que se descarga lentamente y luego se recarga. La prueba comienza con el voltaje de suministro en Usmin, el voltaje de suministro mínimo, antes de que se descargue a 0 V a una velocidad de 0,5 V / minuto. Después de llegar a 0 V, el suministro se devuelve a Usmin a la misma velocidad.

En ISO 16750-2, Usmin, el voltaje de suministro mínimo, se identifica mediante el Código A al Código E en la Sección 4.2 de la especificación. Estos códigos se reproducen a continuación para facilitar su consulta.

Evidentemente, no es necesario operar de forma continua, pero esta prueba verifica que el hardware no falle.

ISO16750-2: 4-5 12V
Disminución lenta
y aumento de
Voltaje de suministro

ISO16750-2: 4-5 24 V
Disminución lenta
y aumento de
Voltaje de suministro

Requisito: consulte la especificación ISO 16750-2: 2012.

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.6.1 Discontinuidades en el voltaje de suministro

La sección 4.6.1 & ldquoDiscontinuidades en el voltaje de suministro & rdquo intenta simular una falla en otro circuito que hace que el suministro baje hasta que el fusible del otro circuito y rsquos se abra. En esta prueba, el suministro comienza en Usmin, el voltaje de suministro mínimo, luego desciende durante 100 ms y finalmente se recupera en Usmin. El tiempo de subida y bajada de la caída y la recuperación son más rápidos que 10 ms. Para los sistemas de 12 V, el suministro desciende a 4,5 V y para los sistemas de 24 V a 9 V.

En ISO 16750-2, Usmin, el voltaje de suministro mínimo, se identifica mediante el Código A al Código E en la Sección 4.2 de la especificación. Estos códigos se reproducen a continuación para facilitar su consulta.

En la simulación, el suministro cae en el punto de tiempo de 10 segundos de la simulación.

ISO16750-2: 4-6-1 12V
Caída momentánea
Voltaje de suministro

ISO16750-2: 4-6-1 24 V
Caída momentánea
Voltaje de suministro

Requisito: Clase B. El fabricante del vehículo y el proveedor del equipo pueden acordar que se permite un reinicio.

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.6.2 Restablecer comportamiento ante caída de voltaje

La sección 4.6.2 & ldquoReset comportamiento ante caída de voltaje & rdquo especifica una serie de caídas de suministro de 5 segundos, con cada pulso a un voltaje más bajo que el anterior. El propósito es verificar que el dispositivo se reinicia correctamente después de una caída de suministro. Durante la prueba, cada caída de 5 segundos es un 5% más baja que la anterior, y se recupera a Usmin durante al menos 10 segundos entre cada caída.

En ISO 16750-2, Usmin, el voltaje de suministro mínimo, se identifica mediante el Código A al Código E en la Sección 4.2 de la especificación. Estos códigos se reproducen a continuación para facilitar su consulta.

ISO16750-2: 4-6-2 24 V
Restablecer comportamiento en
Caída de voltaje

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.6.3 Perfil de inicio

La sección 4.6.3 especifica una forma de onda representativa del perfil de arranque de un vehículo y rsquos. Se aplica al dispositivo que se está probando 10 veces. Los voltajes y duraciones exactos requeridos dependen del Nivel I, II, III o IV deseado, que está determinado por la aplicación.

ISO16750-2: 4-6-3 24 V
Perfil inicial

Requisito: consulte la especificación ISO 16750-2: 2012.

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.6.4 Descarga de carga sin supresión de descarga de carga centralizada y prueba ndash A

La sección 4.6.4.2.2 & ldquoTest A & ndash sin supresión de descarga de carga centralizada & rdquo especifica un transitorio que ocurre cuando el alternador está cargando una batería y se pierde la conexión de la batería. & ldquoSin supresión de descarga de carga centralizada & rdquo significa que el alternador no contiene diodos de sujeción. Para un alternador con diodos de abrazadera, utilice la Prueba B en su lugar. Si no está familiarizado con esta distinción, consulte una descripción más detallada en el artículo:

ISO16750-2: 4-6-4 24 V
Volcado de carga sin
Supresión

Requisito: Diez pulsos a intervalos de 1 minuto. Clase C.

16750-2: 2012 y sect4.6.4 Descarga de carga con supresión de descarga de carga centralizada y prueba ndash B

La sección 4.6.4.2.2 & ldquoTest B & ndash con supresión de descarga de carga centralizada & rdquo especifica un transitorio que ocurre cuando el alternador está cargando una batería y se pierde la conexión de la batería. & ldquoCon supresión de descarga de carga centralizada & rdquo significa que el alternador contiene diodos de sujeción. Para un alternador sin diodos de abrazadera, utilice la Prueba A en su lugar. Si no está familiarizado con esta distinción, consulte una descripción más detallada en el artículo:

Requisito: cinco pulsos a intervalos de 1 minuto. Clase C.

ISO 16750-2: 2012 y sección 4.7 Voltaje invertido

La sección 4.7 de ISO 16750-2 describe & ldquoReversed voltage & rdquo o lo que la mayoría de los ingenieros automotrices simplemente denominan & ldquoReverse Battery & rdquo. Como era de esperar, esto cubre el escenario de error humano en el que alguien conecta una batería con la polaridad invertida. & ldquoCase 2 & rdquo se simula aquí, lo que requiere que se aplique un voltaje de prueba inverso en todas las entradas durante 60 segundos para garantizar que el sistema sobreviva sin daños.

ISO 16750-2 también permite una condición de prueba alternativa, & ldquoCase 1 & rdquo, para sistemas de 12V si no hay fusibles en serie con el alternador y los diodos rectificadores del alternador & rsquos limitan el voltaje al conducir la corriente sustancial entregada por la batería conectada en sentido inverso. Cuando se utiliza el Caso 1, se aplica un voltaje inverso de 4 V durante 60 segundos.

Requisito: Clase A después de reemplazar los fusibles fundidos.

ISO 16750-2: 2012 y sect4.9 Pruebas de circuito abierto

La sección 4.9 cubre las pruebas de interrupción de quolina y rdquo y describe los procedimientos para garantizar que un dispositivo reanude el funcionamiento normal después de que se quita una conexión y luego se restaura. Durante esta prueba, el circuito se abre durante 10 segundos y luego se restaura. La sección 4.9 también incluye requisitos de & ldquomultiple line interruption & rdquo que no se tratan aquí.

ISO 16750-2: 2012 & sect4.8, & sect4.10, & sect4.11, & sect4.12 y & sect4.13 Pruebas

Estas secciones no están incorporadas en los modelos de simulación de LTspice ya que la naturaleza de las pruebas está más allá del alcance de un solo modelo predefinido. De especial interés es & sección 4.10 Protección contra cortocircuitos pruebas, que requieren conectar cada entrada y salida a la tensión de alimentación máxima y a tierra durante 60 segundos. Estos pueden ser especialmente desafiantes y se sugiere simular y probar las condiciones de manera extensa.

  • ISO 16750-2: 2012 y sección 4.8 Referencia de tierra y compensación de suministro
  • ISO 16750-2: 2012 y sección 4.10 Protección contra cortocircuitos
  • ISO 16750-2: 2012 y sección 4.11 Voltaje de resistencia
  • ISO 16750-2: 2012 y sección 4.12 Resistencia de aislamiento
  • ISO 16750-2: 2012 y sección 4.13 Compatibilidad electromagnética

Los símbolos ISO16750-2 e ISO7637-2 en LTspice proporcionan modelos de simulación de los transitorios descritos por las especificaciones ISO 7637-2 e ISO 16750-2. La simulación de circuitos de protección durante la fase de diseño del desarrollo del producto ayuda a evitar fallas que de otro modo ocurrirían durante las pruebas de compatibilidad electromagnética del hardware. Claramente, el esfuerzo invertido en la simulación por adelantado vale la pena cuando se consideran los costos incurridos por eventuales fallas en las pruebas de EMC.

Apéndice: Clasificación de estado funcional ISO 16750-1: 2006 y sección 6

El funcionamiento de Clase A a Clase E se define en ISO 16750-1: 2006 de la siguiente manera:

Clase A Todas las funciones del dispositivo / sistema funcionan según lo diseñado durante y después de la prueba.
Clase B Todas las funciones del dispositivo / sistema funcionan según lo diseñado durante la prueba. Sin embargo, uno o más pueden ir más allá de la tolerancia especificada. Todas las funciones regresan automáticamente a los límites normales después de la prueba. Las funciones de memoria seguirán siendo de Clase A.
Clase C Una o más funciones de un dispositivo / sistema no funcionan según lo diseñado durante la prueba, pero regresan automáticamente al funcionamiento normal después de la prueba.
Clase D Una o más funciones de un dispositivo / sistema no funcionan según lo diseñado durante la prueba y no regresan al funcionamiento normal después de la prueba hasta que el dispositivo / sistema se reinicia mediante una simple acción & ldquooperator / use & rdquo.
Clase E Una o más funciones de un dispositivo / sistema no funcionan según lo diseñado durante y después de la prueba y no pueden volver a funcionar correctamente sin reparar o reemplazar el dispositivo / sistema

Autor

Dan Eddleman es un ingeniero analógico con más de 15 años de experiencia en Linear Technology como diseñador de circuitos integrados, director del centro de diseño de circuitos integrados de Singapur e ingeniero de aplicaciones.

Comenzó su carrera en Linear Technology diseñando los controladores de seguimiento de la fuente de alimentación LTC2923 y LTC2925, el diodo OR ideal dual de alto voltaje LTC4355 y el transceptor multiprotocolo LTC1546. También fue miembro del equipo que diseñó el primer controlador Power over Ethernet (PoE) del mundo, el LTC4255. Posee dos patentes relacionadas con estos productos.

Posteriormente se trasladó a Singapur para gestionar Linear Technology & rsquos Singapore IC Design Center, supervisando un equipo de ingenieros que diseñaron productos que incluyen controladores Hot Swap, controladores de protección contra sobretensión, controladores de fuente de alimentación de modo conmutado CC / CC, monitores de potencia y cargadores de supercondensadores.

Al regresar a la sede de Milpitas como ingeniero de aplicaciones, Dan creó Linduino, una plataforma de hardware compatible con Arduino para demostrar la tecnología lineal y los productos basados ​​en rsquos I 2 C y SPI. Linduino proporciona un medio conveniente para distribuir firmware C a los clientes, al mismo tiempo que proporciona una plataforma de creación rápida de prototipos simple para los clientes de Linear Technology y rsquos.

Además, en su función de ingeniero de aplicaciones, concibió el LTC2644 / LTC2645 PWM to VFUERA DAC y desarrolló el circuito traductor de direcciones basado en XOR que se utiliza en los traductores de direcciones LTC4316 / LTC4317 / LTC4318 I2C / SMBUS. Ha solicitado patentes relacionadas con ambos productos. Dan también ha desarrollado múltiples diseños de referencia que satisfacen la onerosa especificación de vehículos militares MIL-STD-1275 28V.

Dan continúa estudiando Safe Operating Area de MOSFET, y ha creado herramientas de software y lleva a cabo sesiones de capacitación dentro de la tecnología lineal relacionada con SOA. Su modelo SOAtherm distribuido con LTspice permite a los clientes simular MOSFET SOA dentro de sus simulaciones de circuito Hot Swap utilizando modelos térmicos que incorporan Spirito runaway.


Modelo Lencioni

En su libro de 2005, Las cinco disfunciones de un equipo, Lencioni [8] describe cinco problemas comunes que experimentan los equipos que afectan su efectividad:

  1. Falta de confianza: si los miembros del equipo no confían entre sí, es poco probable que se arriesguen o pidan ayuda. La falta de confianza significa un bajo nivel de comodidad que dificulta la comunicación y el desempeño efectivo como equipo.
  2. Miedo al conflicto: evitar el conflicto puede conducir a una “paz” artificial a expensas del progreso y la innovación. El conflicto es una parte normal del trabajo en equipo y puede ser muy productivo si se gestiona de forma eficaz.
  3. Falta de compromiso: los miembros del equipo no se comprometen a hacer el trabajo, no cumplen con las decisiones o tareas, no cumplen con los plazos y decepcionan a sus compañeros, lo que en última instancia afecta el éxito de todo el proyecto.
  4. Evitación de la responsabilidad.
  5. Falta de atención a los resultados: cuando los miembros del equipo se centran en sus propios objetivos personales en lugar de los objetivos del proyecto, pierden de vista los resultados esperados que realmente miden el éxito del proyecto. No centrarse en los resultados durante el proceso significa que nadie está planificando cómo mejorar esos resultados.
    Figura 4.2.5 Modelo Lencioni: Cinco disfunciones de un equipo

Lencioni aconseja abordar cada disfunción, que se muestra en la pirámide en Figura 4.2.5, de abajo hacia arriba. Establecer la confianza es un primer paso crucial para poder gestionar los conflictos, lograr el compromiso, generar responsabilidad y centrarse en los resultados.

EJERCICIO 4.2 Aplique estos modelos a su experiencia

Aplique uno o más de estos modelos a su experiencia pasada o actual de trabajo en equipo:


Ver el vídeo: 8 τεχνικές παρακίνησης των εργαζομένων (Septiembre 2021).