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3: Graficar rectas - Matemáticas


  • 3.1: Sistema de coordenadas rectangulares
    El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas de números reales que se cruzan en ángulo recto. La recta numérica horizontal se llama eje x, y la recta numérica vertical se llama eje y. Estas dos rectas numéricas definen una superficie plana llamada plano, y cada punto de este plano está asociado con un par ordenado de números reales (x, y). El primer número se llama coordenada x y el segundo número se llama coordenada y. La intersección es el origen: (0,0).
  • 3.2: Graficar por puntos de trazado
    Una ecuación lineal con dos variables tiene la forma estándar ax + by = c, donde a, byc son números reales y ayb no son ambos 0. Las soluciones a las ecuaciones de esta forma son pares ordenados (x, y), donde las coordenadas, cuando se sustituyen en la ecuación, producen un enunciado verdadero.
  • 3.3: Grafica usando intersecciones
  • 3.4: Grafica usando la intersección y la pendiente
    En matemáticas, llamamos pendiente a la inclinación de una línea y usamos la letra m para denotarla. El cambio vertical se llama subida y el cambio horizontal se llama carrera. La subida y la corrida pueden ser positivas o negativas. Una subida positiva corresponde a un cambio vertical hacia arriba y una subida negativa corresponde a un cambio vertical hacia abajo. Una carrera positiva denota un cambio horizontal a la derecha y una carrera negativa corresponde a un cambio horizontal a la izquierda.
  • 3.5: Encontrar ecuaciones lineales
    Dada la ecuación algebraica de una línea, podemos graficarla de varias formas. En esta sección, se nos dará una descripción geométrica de una línea y se nos pedirá que encontremos la ecuación algebraica. Encontrar la ecuación de una línea se puede lograr de varias maneras, la primera de las cuales hace uso de la forma pendiente-intersección, y = mx + b. Si conocemos la pendiente, my la intersección con el eje y, (0, b), podemos construir la ecuación.
  • 3.6: Líneas paralelas y perpendiculares
  • 3.7: Introducción a las funciones
  • 3.8: Desigualdades lineales (dos variables)
  • 3.E: Ejercicios de repaso y examen de muestra

8 actividades para hacer que las líneas gráficas sean impresionantes

Cuando enseñas preálgebra o álgebra, hay algunas habilidades en las que los estudiantes solo necesitan ser buenos. Graficar líneas entra en esta categoría. Algunos estudiantes realmente luchan por ver la conexión entre la ecuación y la línea en el gráfico. Encuentro que necesitan seguir viendo esto muchas veces y de diferentes maneras. Además, ayuda mucho si hablan sobre lo que está sucediendo. A veces, como profesores de matemáticas, no hacemos que los alumnos expliquen las cosas lo suficiente y asumimos que comprenden porque resuelven bien algunos problemas. Por lo tanto, he reunido esta colección de actividades que harán que los estudiantes practiquen de manera divertida las líneas gráficas.

Los estudiantes deben ver lo que sucede en diferentes situaciones con líneas. Además, necesitan practicar dibujando un montón de líneas. He incluido actividades en esta lista que practican tanto ver lo que sucede con las líneas como dibujar líneas. Querrá modelar para sus alumnos hasta que se sientan cómodos haciéndolo por su cuenta. Recuerde que los estudiantes pueden confundirse cuando la pendiente o la intersección con el eje y son cero. Tantos detalles que aprender y tan poco tiempo para aprenderlos.

Aquí & # 8217s la lista de actividades:

Actividad de graficar líneas

Juego y herramienta de demostración en línea

Proyecto de vidriera

Notas guiadas

Haz tu propia imagen

Barco de batalla de intercepción de pendiente

Enigma

Juego en linea


Para profesores

Consejos para maestros

Primer video

Actividades enviadas por el maestro

Título Autores Nivel Tipo Sujeto
Juegos Ideas de lecciones a distancia Trish Loeblein Introducción a UG
SRA
K-5
HS
HW
Remoto
Química
Física
Matemáticas
Hoja de actividades y lecciones de pendiente e intersección Amanda McGarry SRA
HS
Guiado
Remoto
Matemáticas
Pendiente y velocidad (revisada) Sarah Borenstein SRA Laboratorio Matemáticas
Física
Explorando la pendiente y la velocidad Sarah Borenstein y Trish Loeblein SRA Guiado
Laboratorio
Matemáticas
Física
Hoja de actividades y lecciones de punto-pendiente Amanda McGarry SRA
HS
Guiado Matemáticas
Hoja de actividad y lección de pendiente Amanda McGarry HS
SRA
Guiado Matemáticas
Usar transformaciones para graficar en forma de pendiente-intersección Dana Alderman HS
SRA
Guiado Matemáticas
Triángulos similares y pendiente Andrew Freeman SRA Guiado Matemáticas
Explorando líneas paralelas y perpendiculares David Schenck SRA
HS
Guiado
Laboratorio
Matemáticas
Ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersección y punto-pendiente usando "Simulación PhET de líneas gráficas" Enhui Chu SRA
HS
Guiado
Discutir
Laboratorio
Matemáticas
Dar sentido a la pendiente Jim Freund SRA Guiado Matemáticas
Explorando la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Mary Burr SRA Guiado
Discutir
Matemáticas
¡Ve a la Distancia! Mary Burr SRA Discutir
Guiado
Matemáticas
¿Cómo encajan las simulaciones PhET en mi programa de escuela secundaria? Sarah Borenstein SRA Otro ciencia de la Tierra
Química
Biología
Física
Alineación de Sim de matemáticas de la escuela secundaria Amanda McGarry SRA Otro Matemáticas
Alineación de MS y HS TEK a Sim Elyse Zimmer SRA
HS
Otro Biología
Química
Física
Gráficos de física e introducción a modelos Steve Banasiak HS HW
Laboratorio
Física
Mapeo de la física PhET y IBDP Jaya Ramchandani HS Otro Física
Pendiente Lección y Hoja de Actividades Amanda McGarry (Traducción Mayra Tavares) SRA
HS
Guiado Matemáticas
Pendiente-Intersección Lección y Hoja de Actividades Amanda McGarry (Traducción de Mayra Tavares) HS
SRA
Guiado
Remoto
Matemáticas
Punto - Pendiente Lección y Hoja de Actividades Amanda McGarry (Traducción Mayra Tavares) SRA
HS
Guiado Matemáticas
Explorando líneas paralelas y perpendiculares David Schenck (traducción de Mayra Tavares) HS
SRA
Guiado
Laboratorio
Matemáticas
SECUNDARIA: Alineación PhET con programas de la SEP México (2011 y 2017) Diana López HS
SRA
Otro Física
Matemáticas
Biología
Química
PREPARATORIA: Alineación de PhET con programas de la DGB México (2017) Diana López Introducción a UG
HS
Otro Matemáticas
Física
Química
PRIMARIA: Alineación con programas de la SEP México (2011 y 2017) Diana López SRA
K-5
HW
Discutir
Guiado
Manifestación
Laboratorio
Astronomía
Química
Matemáticas
Física
Preguntas de razonamiento para todas las simulaciones HTML5 Diana López HS
UG-Adv
Introducción a UG
K-5
Grad
SRA
Discutir
HW
Astronomía
Química
Matemáticas
Física
Equação e posição das retas Italândia Ferreira de Azevedo y Francisco Régis Vieira Alves HS Laboratorio Matemáticas
Estudo da Reta Thamires Silva Aquino de Souza y Francisco Silva Aquino de Souza HS Guiado Matemáticas
Gráficando Rectas, Gráficando Cuadráticas Andrés Gualberto Palomo Cuevas HS Remoto
HW
Matemáticas
Explorando sistemas de ecuaciones lineales Mary Burr y Jeffrey Bush, traducido al español por Diana López SRA
HS
Guiado Matemáticas

MathHelp.com

Luego trazaré mis puntos y dibujaré mi gráfico:

Grafico y = 7 y ndash 5X

La variable X se multiplica por un valor mayor aquí se multiplica por 5. Así que debería esperar que mi y -los valores crecerán con bastante rapidez. Esto significa que debería esperar un gráfico bastante "alto".

Esta ecuación es un ejemplo de una situación en la que probablemente querrá ser particular sobre la X -valores que elijas. Porque el X se multiplica por un valor relativamente grande, la y -los valores crecen rápidamente. Por ejemplo, probablemente no quieras usar X = 10 o X = & ndash7 como entradas. Podrías elegir más grande X -valores si lo desea, pero su gráfico rápidamente se volvería tremendamente alto.

Puedo ver, desde mi T-chart, que mi y -los valores se están volviendo bastante grandes en ambos extremos (es decir, en los números positivos sobre el eje horizontal y en los números negativos debajo). No quiero perder el tiempo calculando puntos que solo servirán para hacer que mi gráfico sea ridículamente grande, así que renunciaré con lo que tengo hasta ahora. Pero me alegro de haber trazado más de dos puntos, porque las líneas que comienzan a bordearse cerca de la vertical pueden salir mal fácilmente si no soy ordenado en mi trabajo.

Grafico y = 3

No debería dejar que esta ecuación o gráfico me asuste. Sí, no hay & quot X & quot en la ecuación, pero está bien. Solo lo pienso de esta manera: no importa qué X -valor elijo el y -el valor siempre será 3.

Mi gráfico T puede verse así:

No, no voy a trazar el punto (X, y) = (100, 3), pero mi gráfico T enfatiza el punto para mí. No importa el valor que elija X el valor de y es siempre van a ser 3!.

Esto significa que mi gráfico se ve así:

Nota: Siempre que tenga una ecuación de la forma & quot y es igual a un número & quot, sin X en él, el gráfico siempre ser una línea horizontal que pasa por el y -eje a una altura de cualquiera que sea ese número.

Grafico X = 4

¡Tampoco debería dejar que este me asuste! Si no hay y en la ecuación, por lo que no puedo resolver & quot y = ", pero está bien. El razonamiento funciona igual que el ejemplo anterior. No importa cuál sea el y -valor puede ser, el correspondiente X -el valor siempre será 4. (Sí, estoy trabajando hacia atrás, pero está bien. Todo lo que necesito son puntos de la trama. No siempre tengo que ir hacia adelante, desde X -valores a y -valores, para obtener esos puntos).

Así que haré mi T-chart al revés, eligiendo varios y -valores, poniendo siempre & quot 4 & quot como el correspondiente X -valores:

No, no voy a trazar el punto (X, y) = (4, 100), pero el punto enfatiza para mí que, para esta línea, todos los X -los valores van a ser 4, independientemente de lo que corresponda y -el valor podría haber sido. Entonces mi gráfico se completa así:

Nota: Siempre que tenga una ecuación de la forma & quot X es igual a un número & quot, sin y en la ecuación, la gráfica siempre ser una línea vertical que pasa por el X -eje en cualquiera que sea ese número.


Gráfico de líneas: definición con ejemplos

Un gráfico de líneas es un tipo de gráfico que se utiliza para mostrar información que cambia con el tiempo. Trazamos gráficos de líneas usando varios puntos conectados por líneas rectas. También lo llamamos gráfico de líneas. El gráfico de líneas consta de dos ejes conocidos como eje "lsquox" y eje "lsquoy".

Partes de un gráfico lineal

La imagen dada describe las partes de un gráfico lineal.

Título: indica los datos de cada gráfico lineal que se traza.

eje x: informa sobre las etiquetas en el eje x, que generalmente es el tiempo.

eje y: informa sobre las etiquetas en el eje y, que generalmente es una cantidad en números

Tendencia: Unimos los puntos para dibujar la gráfica. El punto de intersección de la etiqueta en el eje xy el eje y indica la tendencia. En la figura dada, la intersección del lunes y 5 muestra que se vendieron 5 muffins el lunes.

Trazar un gráfico lineal

Trazar un gráfico de líneas es fácil. Estos son los pasos simples que debe considerar al trazar un gráfico lineal.

Dibuja el eje xy el eje y en el papel cuadriculado. Asegúrese de escribir el título encima de la tabla para que determine el propósito del gráfico.

Por ejemplo, si uno de los factores es el tiempo, se ubica en el eje horizontal, denominado eje x. El otro factor iría posteriormente al eje vertical, que se conoce como eje y. Etiquete ambos ejes según sus respectivos factores. Por ejemplo, podemos etiquetar el eje x como hora o día.

Luego, con la ayuda de los datos ya dados, señale los valores exactos en el gráfico. Una vez que se une a los puntos, puede hacer una inferencia clara sobre la tendencia.

Por ejemplo, el gráfico de líneas dado informa sobre la tendencia en la temperatura de Nueva York en un día caluroso.

Leer un gráfico de líneas

Leer un gráfico de líneas es fácil y puede aprender a leer un gráfico leyendo los puntos que se comparten a continuación.

Primero, eche un vistazo a los dos ejes e intente comprender lo que estos ejes denotan.

Luego mire el gráfico y examine los valores de los puntos situados en las líneas del gráfico.

Siga las líneas y averigüe si hay algún tipo de subida o bajada. Además, verifique si hay patrones repetidos y si hay líneas que se cruzan entre sí. De esta manera, conocerá el propósito del gráfico lineal.

También existe la posibilidad de que termine viendo patrones emergentes que lo ayudarán a adivinar la tendencia.

Por ejemplo: en el gráfico anterior, la temperatura fue más alta a las 4:00 pm, que fue de 55 grados Celsius. Lea el gráfico anterior y responda las siguientes preguntas:


3: Graficar rectas - Matemáticas

En este capítulo, graficamos líneas trazando puntos, usando intersecciones y reconociendo líneas horizontales y verticales.

Otro método que podemos usar para graficar líneas es el método punto-pendiente. A veces, se nos dará un punto y la pendiente de la línea, en lugar de su ecuación. Cuando esto sucede, usamos la definición de pendiente para dibujar la gráfica de la línea.

Ejemplo

Grafique la línea que pasa por el punto [látex] left (1, -1 right) [/ látex] cuya pendiente es [látex] m = Large frac <3> <4> [/ látex].

Solución
Grafique el punto dado, [látex] left (1, -1 right) [/ látex].


Usa la fórmula de pendiente [látex] m = Large frac < text> < texto> [/ latex] para identificar la subida y la corrida.

Comenzando en el punto que trazamos, cuente la subida y corra para marcar el segundo punto. Contamos [látex] 3 [/ látex] unidades hacia arriba y [látex] 4 [/ látex] unidades hacia la derecha.


Luego conectamos los puntos con una línea y dibujamos flechas en los extremos para mostrar que continúa.


Podemos comprobar nuestra línea comenzando en cualquier punto y contando [látex] 3 [/ látex] y hacia la derecha [látex] 4 [/ látex]. Deberíamos llegar a otro punto de la línea.


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Cómo leer un gráfico lineal

Los gráficos de líneas proporcionan una forma sencilla de realizar un seguimiento de las tendencias. En muchos casos, la forma en que los datos tienen tendencia facilita la predicción de los resultados de los datos en períodos de tiempo que aún no se han registrado.

Los ejes típicamente se cruzan en el punto cero (llamado origen). En el ejemplo de muffins anterior, el eje X es una línea de tiempo y muestra el día anterior al inicio del seguimiento, mientras que el eje Y comienza en cero y muestra la cantidad de muffins vendidos. Existe una relación uno a uno de variables en el eje horizontal con el eje vertical para cada conjunto de datos (una sola Y para cada X); no puede vender tres muffins y cuatro muffins el mismo día. Sin embargo, esta no es una relación recíproca, ya que puede vender cuatro muffins el miércoles y otros cuatro el jueves.

También puede utilizar el gráfico de líneas para comparar varios conjuntos de datos.

Cómo los gráficos lineales pueden ser engañosos

Si bien los gráficos de líneas son una gran herramienta, se pueden usar para inducir a error de dos maneras diferentes.

1. No muestra la escala completa: por ejemplo, si ambos ejes no comienzan en el origen, los datos pueden aparecer como una exageración de la realidad.

Los siguientes dos gráficos muestran los mismos datos. Sin embargo, la escala del eje Y en el segundo gráfico comienza en 15 en lugar de cero, por lo que la disminución parece más pronunciada en ese gráfico de líneas.

2. Uso de diferentes escalas: cuando usa diferentes escalas en dos gráficos colocados uno al lado del otro, los datos pueden parecer más comparables o más diferentes de lo que realmente son. En ambos casos, se trata de una mala interpretación de los datos.

Estos dos gráficos también muestran los mismos datos, pero la escala del eje Y en el segundo gráfico se ha cambiado, por lo que parece que el segundo gráfico muestra un aumento mayor.

Estas dos técnicas se pueden utilizar en conjunto. En el siguiente ejemplo, los dos gráficos superiores parecen mostrar que las magdalenas y los bollos se venden aproximadamente al mismo ritmo. Sin embargo, cuando los datos se trazan en el mismo gráfico, es obvio no solo que los bollos inicialmente vendieron más, sino también que su popularidad está aumentando a un ritmo más rápido.

Al leer gráficos de líneas, preste atención al punto de partida y la escala para obtener una comprensión más precisa de lo que informan los datos, no de lo que el creador del gráfico podría querer que piense.

¿Cómo se hace un gráfico de una sola línea en Excel?

En el siguiente tutorial, le mostraremos cómo crear un gráfico de una sola línea en Excel 2011 para Mac. Cuando los pasos difieran para otras versiones de Excel, se llamarán después de cada paso.

Crear un gráfico de una sola línea en Excel es un proceso sencillo. Excel ofrece una serie de variaciones diferentes del gráfico de líneas.

Línea: si hay más de una serie de datos, cada una se traza individualmente.

Línea apilada: esta opción requiere más de un conjunto de datos. Cada conjunto adicional se agrega al primero, por lo que la línea superior es el total de los que están debajo. Por lo tanto, las líneas nunca se cruzarán.

Línea 100% apilada: este gráfico es similar a un gráfico de líneas apiladas, pero el eje Y representa porcentajes en lugar de valores absolutos. La línea superior siempre aparecerá directamente en la parte superior del gráfico y el total de un período será del 100 por ciento.

Gráfico de líneas marcadas: las versiones marcadas de cada gráfico bidimensional añaden indicadores en cada punto de datos.

Línea 3D: similar al gráfico de líneas básico, pero representado en formato 3D.

Instrucciones paso a paso para crear un gráfico de líneas en Excel

Una vez que recopile los datos que desea graficar, el primer paso es ingresarlos en Excel. La primera columna serán los segmentos de tiempo (hora, día, mes, etc.), y la segunda serán los datos recopilados (muffins vendidos, etc.).

Resalte ambas columnas de datos y haga clic Gráficos & gt Línea & gt y haga su selección. Nosotros elegimos Línea para este ejemplo, ya que solo estamos trabajando con un conjunto de datos.

Excel crea el gráfico de líneas y lo muestra en su hoja de trabajo.

Otras versiones de Excel: haga clic en la pestaña Insertar & gt Line Chart & gt Line. En las versiones de 2016, coloque el cursor sobre las opciones para mostrar una imagen de muestra del gráfico.

Personalizar un gráfico de líneas

Para cambiar partes del gráfico, haga clic con el botón derecho en la parte y luego haga clic en Formato. Las siguientes opciones están disponibles para la mayoría de los elementos del gráfico. Los cambios específicos de cada elemento se analizan a continuación:

Fuente: cambia el color, el estilo y la fuente del texto.

Relleno: agregue un color o patrón de fondo.

Sombra, brillo y bordes suaves y formato 3-D: haga que un objeto se destaque.

Títulos de gráficos de líneas

Si Excel no crea un título automáticamente, seleccione el gráfico y luego haga clic en Gráfico & gt Diseño de gráfico & gt Titulo del gráfico.

Otras versiones de Excel: haga clic en la pestaña Herramientas de gráficos & gt Diseño & gt Titulo del gráficoy haga clic en su opción.

Para cambiar el texto del título, simplemente haga clic en él y escriba.

Para cambiar la apariencia del título, haga clic derecho sobre él, luego haga clic en Dar formato al título del gráfico….

La Línea La opción agrega un borde alrededor del texto. Consulte el comienzo de esta sección para conocer las otras opciones.

Otras versiones de Excel: haga clic en el Diseño de página tab & gt Titulo del gráficoy haga clic en su opción.

Usar leyendas en gráficos de líneas

Para cambiar la leyenda, haga clic derecho sobre ella y haga clic en Leyenda de formato….

Haga clic en el Colocación opción para mover la ubicación en relación con el área de la parcela.

Para cambiar la escala de un eje, haga clic con el botón derecho en uno y haga clic en Eje de formato… & Gt Escala.

Ingresando valores en el Mínimo y Máximo Los cuadros cambiarán los valores superior e inferior del eje vertical.

Puede agregar más líneas al área de trazado para mostrar más granularidad. Haga clic con el botón derecho en un eje (las nuevas líneas aparecerán perpendiculares al eje seleccionado) y haga clic en Agregar líneas de cuadrícula menores o Agregar líneas de cuadrícula principales (si está disponible).

Otras versiones de Excel: haga clic en el Pestaña Herramientas de gráficos, haga clic en Diseñoy elija la opción. Dependiendo de su versión, también puede hacer clic en Agregar elemento de gráfico en cinta en el Diseño gráfico pestaña.

Para ajustar el espacio entre las líneas de la cuadrícula, haga clic con el botón derecho y luego haga clic en Dar formato a las líneas de cuadrícula principales o Dar formato a líneas de cuadrícula menores.

Otras versiones de Excel: haga clic en el Insertar tab & gt Gráfico de linea & gt Línea. En las versiones de 2016, coloque el cursor sobre las opciones para mostrar una muestra de cómo aparecerá el gráfico.

Cambiando la linea

Para cambiar la apariencia de la línea del gráfico, haga clic con el botón derecho en la línea, haga clic en Dar formato a la serie de datos… & Gt Línea. Si desea cambiar el color de la línea, seleccione en el cuadro de selección Color.

Mover el gráfico de líneas

Si necesita reubicar el gráfico en un lugar diferente en la misma hoja de trabajo, haga clic en un área en blanco del gráfico y arrastre el gráfico.

Para mover el gráfico de líneas a otra hoja de trabajo, haga clic con el botón derecho en el gráfico, haga clic en Moverse… Y luego elija una hoja de trabajo existente o cree una nueva.

Para agregar el gráfico a otro programa como Microsoft Word o PowerPoint, haga clic derecho en el gráfico y haga clic en Cortar o Dupdo, luego péguelo en el programa deseado.

¿Cómo se hace un gráfico de líneas múltiples en Excel 2010?

Para hacer un gráfico de varias líneas en Excel 2010, siga los mismos pasos para crear un gráfico de una sola línea. Sin embargo, debe ingresar al menos dos columnas de datos en Excel y resaltar todos los datos antes de crear el gráfico.

Otra forma de crear un gráfico lineal

Los gráficos de líneas se utilizan a menudo para presentarles la idea de graficar a los niños porque son fáciles de crear y comprender. La forma más sencilla es dibujar uno en papel.

Primero, recopile los datos. Una tabla de conteo es una manera fácil de rastrear un evento a lo largo del tiempo.

Una vez que tenga los datos, deberá crear un gráfico y luego trazar los datos en el gráfico. Trazar es el proceso de transferir los datos al gráfico.

Una vez que se trazan los datos, dibuje líneas para conectar los puntos de datos para hacer un gráfico de líneas dibujado a mano.

La definición matemática de un gráfico lineal

"Gráfico de líneas" tiene un significado diferente en el mundo de las matemáticas. Aquí está la definición formal, del libro de texto. Teoría de grafos y sus aplicaciones por Jonathan L. Gross y Jay Yellen:

Un gráfico lineal L (G) (también llamado gráfico adjunto, conjugado, de cobertura, derivado, derivado, de borde, de borde a vértice dual, de intercambio, representativo o theta-obrazom) de un gráfico simple G se obtiene asociando un vértice con cada borde del gráfico y conectando dos vértices con un borde si los bordes correspondientes de G tienen un vértice en común.

Algunas definiciones para aclarar el contenido del párrafo anterior:

Un gráfico es una colección de vértices conectados por aristas.

Un gráfico simple no tiene bucles (es decir, un borde no se origina y termina en el mismo vértice) y un solo borde puede conectar cualquier par de vértices.

En lenguaje sencillo, si toma un gráfico simple como se definió anteriormente, agrega un punto en el medio de cada línea, elimina las líneas y puntos originales y luego conecta todos los puntos nuevos cuyas líneas originales se unieron en un punto, tiene una línea grafico.

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Trazar una línea conectando puntos

Un método para graficar una función es encontrar dos o más puntos en la línea, trazarlos y luego conectar esos puntos con una línea. Para encontrar puntos en la línea, elija cualquier valor para x, luego sustituya ese número en la función y resuelva para la variable desconocida y. (Si necesita ayuda sobre este tema, revise la mini lección: "Sustituir valores en una ecuación y resolver una variable")

El siguiente video mostrará un ejemplo de cómo hacer esto. En este ejemplo, encontramos cuatro puntos. Solo es necesario hacer dos puntos, pero hacer más te ayudará a comprobar si hay errores.

No todas las ecuaciones vienen en forma de pendiente-intersección, pero aún podemos graficarlas. El siguiente video mostrará cómo graficar una ecuación en forma estándar, donde todas las variables están en el mismo lado de la ecuación. Sigue siendo una línea recta. Al igual que en el video anterior, encontramos dos o más puntos para trazar, luego los conectamos para formar la línea.

Recursos adicionales

Soluciones

La ecuación, (< text> = < color4> < texto> < color-3> ), se escribe en forma pendiente-intersección, que es y & # 61 metro x & # 43 B , dónde metro es el Pendiente y B es el intersección con el eje y . Necesitamos encontrar la gráfica que tiene un Pendiente de 4 y un intersección con el eje y de (< color-3>).

Primero, miramos el Gráfico # 1. Vemos que la intersección con el eje y es 3 y la pendiente es negativa. No es el gráfico correcto.

Luego miramos el Gráfico # 2. Vemos que la intersección con el eje y es (- 3 ) y la pendiente es positiva. La subida es 4 y la carrera es 1, entonces la pendiente es (m = frac <4> <1> ), que es igual a 4. Esta es la gráfica correcta.

También podemos comprobar el gráfico n. ° 3. Vemos que la intersección con el eje y es 0 y la pendiente es positiva. La subida es 1 y la carrera es 3, por lo que la pendiente es (m = frac <1> <3> ). Esta no es la gráfica correcta.

Para graficar la línea, ( frac <1> <3> < text> <-> < frac <1> <2>> < text> = 5 ), necesitamos encontrar al menos dos puntos que estén en la línea. Comenzaremos con una tabla de valores:

Para encontrar la intersección con el eje y, sustituiremos 0 por x y encontraremos el valor de y correspondiente:

Sabemos que ( frac <1> <3> times0 = 0 ) por lo que nuestra ecuación ahora dice:

Luego, multiplicamos ambos lados por (- frac <2> <1> ) para cancelar (- frac <1> <2> ) y despejar y. También escribimos 5 como ( frac <5> <1> ) para facilitar la resolución:

En el lado izquierdo, multiplicamos ( left (- frac <2> <1> right) times left (- frac <1> <2> right) ) juntos, lo que es igual a 1. Ahora tenemos :

Para multiplicar ( frac <5> <1> veces left (- frac <2> <1> right) ), multiplicamos directamente lo que equivale a (- frac <10> <1> ):

Entonces, el punto ( left (0, -10 right) ) está en la línea y podemos actualizar nuestra tabla en consecuencia.

X y
0 -10


Para encontrar la intersección en x, seguimos el mismo proceso conectando 0 para y y luego encontrando el valor de x correspondiente:

Luego multiplica ambos lados por 3:

Ahora tenemos un punto adicional, (15,0).

X y
0 -10
15 0

Usando los puntos (15,0) y ( left (0, -10 right) ) podemos graficar la recta. Primero, graficamos los puntos:

Luego dibujamos una línea a través de ambos puntos:

La ecuación de nuestra línea es (< text> = - 3 < texto> + < color2> ) y está escrito en forma pendiente-intersección, que es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Entonces la intersección con el eje y es (0, 2)

Nota: Las respuestas variarán según el valor de x que elija. Se muestran varios puntos posibles. Todos los puntos correctos estarán sobre la línea, pero como la línea es infinita, no podemos mostrar la línea completa o todos los puntos posibles en ella.

Queremos graficar esta línea y ya tenemos la intersección con el eje y que es (0, 2). Necesitamos un punto más para graficar la línea. Elegiremos x & # 61 1 y encontraremos el valor de y correspondiente (puede elegir cualquier valor para x. Elegimos x & # 61 1 por conveniencia). Nuestra ecuación es:

Entonces otro punto en nuestra línea es ((1, -1) ). Ahora podemos graficar ambos puntos:

Luego dibuja una línea a través de ambos puntos para graficar la línea:

Nota: Las respuestas variarán según el valor de x que elija. Se muestran varios puntos posibles. Todos los puntos correctos estarán sobre la línea, pero como la línea es infinita, no podemos mostrar la línea completa o todos los puntos posibles en ella.

Nota: Las respuestas variarán según el valor de x que elija. Se muestran varios puntos posibles. Todos los puntos correctos estarán sobre la línea, pero como la línea es infinita, no podemos mostrar la línea completa o todos los puntos posibles en ella.


3: Graficar rectas - Matemáticas

Ahora necesitamos discutir las funciones gráficas. Si recordamos de la sección anterior, dijimos que (f left (x right) ) no es más que una forma elegante de escribir (y ). Esto significa que ya sabemos cómo graficar funciones. Graficamos funciones exactamente de la misma manera que graficamos ecuaciones. Si sabemos de antemano cuál es la función de un gráfico, podemos usar esa información para ayudarnos con el gráfico y si no sabemos cuál es la función de antemano, entonces todo lo que tenemos que hacer es conectar algunos ( x ) calcula el valor de la función (que en realidad es un valor de (y )) y luego grafica los puntos.

Ahora, como hablamos cuando vimos por primera vez las gráficas anteriormente en este capítulo, necesitaremos elegir valores de (x ) para conectarlos y conocer los valores para elegir realmente solo viene con la experiencia. Por lo tanto, no se preocupe tanto por los valores de (x ) que estamos usando aquí. Al final de este capítulo, también podrá elegir correctamente estos valores.

Aquí están las evaluaciones de funciones.

(X) (f (x) ) (izquierda( derecho))
-1 -7 ( izquierda (<- 1, - 7> derecha) )
0 0 ( left (<0,0> right) )
1 1 ( izquierda (<1,1> derecha) )
2 2 ( izquierda (<2,2> derecha) )
3 9 ( izquierda (<3,9> derecha) )

Aquí está el bosquejo del gráfico.

Entonces, graficar funciones es más o menos lo mismo que graficar ecuaciones.

Hay una función que hemos visto hasta este momento y que en realidad no vimos nada como cuando graficamos ecuaciones en la primera parte de este capítulo. Eso es funciones por partes. Entonces, deberíamos graficar un par de estos para asegurarnos de que también podamos graficarlos.

Bien, ahora, cuando graficamos funciones por partes, en realidad graficamos varias funciones a la vez, excepto que solo las vamos a graficar en intervalos muy específicos. En este caso graficaremos las siguientes dos funciones,

Tendremos que tener un poco de cuidado con lo que está sucediendo justo en (x = 1 ) ya que técnicamente eso solo será válido para la función inferior. Sin embargo, nos ocuparemos de eso al final cuando realmente hagamos el gráfico. Por ahora, usaremos (x = 1 ) en ambas funciones.

Lo primero que debe hacer aquí es obtener una tabla de valores para cada función en el rango especificado y nuevamente usaremos (x = 1 ) en ambos aunque técnicamente solo debería usarse con la función inferior.

(X) ( - + 4) (izquierda( derecho))
-2 0 ( izquierda (<- 2,0> derecha) )
-1 3 ( izquierda (<- 1,3> derecha) )
0 4 ( left (<0,4> right) )
1 3 ( izquierda (<1,3> derecha) )

(X) (2x - 1 ) (izquierda( derecho))
1 1 ( izquierda (<1,1> derecha) )
2 3 ( izquierda (<2,3> derecha) )
3 5 ( izquierda (<3,5> derecha) )

Aquí hay un bosquejo de la gráfica y observe cómo denotamos los puntos en (x = 1 ). Para la función superior usamos un punto abierto para el punto en (x = 1 ) y para la función inferior usamos un punto cerrado en (x = 1 ). De esta manera, dejamos claro en el gráfico que solo la función inferior realmente tiene un punto en (x = 1 ).

Observe que, dado que las dos gráficas no se juntaban en (x = 1 ), dejamos un espacio en blanco en la gráfica. NO conecte estos dos puntos con una línea. Realmente es necesario que haya una ruptura allí para significar que las dos porciones no se encuentran en (x = 1 ).

Echemos un vistazo a otro ejemplo de una función por partes.

En este caso, graficaremos tres funciones en los rangos dados anteriormente. Entonces, como en el ejemplo anterior, obtendremos valores de función para cada función en su rango especificado e incluiremos los puntos finales de cada rango en cada cálculo. Cuando graficamos, reconoceremos a qué función pertenece realmente el punto final mediante el uso de un punto cerrado como lo hicimos anteriormente. Además, las funciones superior e inferior son líneas, por lo que no necesitamos más de dos puntos para estos dos. Obtendremos un par de puntos más por la función del medio.


Graficar ecuaciones lineales

La gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una línea (por eso la llaman lineal ).

Si sabe que una ecuación es lineal, puede graficarla encontrando dos soluciones cualesquiera

trazar estos dos puntos y trazar la línea que los conecta.

Grafica la ecuación x + 2 y = 7.

Puede encontrar dos soluciones, correspondientes a las intersecciones x y las intersecciones y del gráfico, estableciendo primero x = 0 y luego y = 0.

Entonces los dos puntos son (0, 3.5) y (7, 0).

Trace estos dos puntos y dibuje la línea que los conecta.

Si la ecuación está en forma pendiente-intersección o punto-pendiente, también puedes usar la pendiente como ayuda para graficar.

De la ecuación, sabemos que la intersección con el eje y es 1, el punto (0, 1) y la pendiente es 3. Grafica el punto (0, 1) y desde allí sube 3 unidades y hacia la derecha 1 unidad y grafica un segundo punto. Dibuja la línea que contiene ambos puntos.

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X e Y están en el mismo lado del símbolo de desigualdad

Esta vez, estamos interesados ​​en ejemplos en los que las variables xey se encuentran en el mismo lado del símbolo de desigualdad.

Podemos llamarlos como desigualdades lineales en Forma estándar. Los siguientes son cuatro casos generales en los que A, B y C son solo números o constantes.

Lo que tenemos que hacer es reescribir o manipular la desigualdad dada de modo que la variable y se vea obligada a permanecer en el lado izquierdo. En otras palabras, vamos a resolver y en términos de x. Después de hacerlo, ahora podemos aplicar los pasos sugeridos para graficar la desigualdad lineal como de costumbre.

Repasemos algunos ejemplos.

Ejemplo 5: Grafique la desigualdad lineal en forma estándar 4x + 2y & lt 8.

Comience a resolver para y en la desigualdad manteniendo la variable y a la izquierda, mientras que el resto de las cosas se mueven al lado derecho. Do that by subtracting both sides by 4x , and dividing through the entire inequality by the coefficient of y which is 4 . Since we divide by a positive number, the direction of the inequality symbol remains the same.

Since we have a “less than” symbol ( < ) and no “less than or equal to” symbol ( ≤ ), the boundary line is going to be dotted or dashed .

Just in case you forgot where to get the boundary line, change the inequality to equality symbol for the time being, that is, from y<-2x+4 to y=-2x+4 . Then graph the equation of the line using any of these methods.

So the next obvious step is to decide which area to shade. Would it be above or below the boundary line? We will shade the bottom region of the boundary line because we have a “menos que” case after we transformed the original inequality problem into the form in which is the y is on the left side.

We can verify if we have graphed it correctly by choosing any test points found in the shaded region. The best test point is the origin which is the point (0,0) because it is easy to calculate.

The test point (0,0) means x=0 and y=0 . Evaluate these values in the transformed inequality or the original inequality to see if you get a true statement.

It does work! So we have shaded the correct region which is below the dashed line.

Example 6: Graph the linear inequality in standard form 3x - 6y le 12 .

To keep the variable y on the left side, I would subtract both sides by 3 X and then divide the entire inequality by the coefficient of y which is 6.

REMEMBER: When dividing the inequality by a negative number, we must change or switch the direction of the inequality symbol.

The “new” inequality will have a solid boundary line due to the symbol “ ≥ ” where it has the “equal ” component to it. In addition, since y is “greater than” that means I will shade the region above the line.