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2: Funciones - Matemáticas


  • 2.1: Introducción a las funciones
    Nuestro desarrollo del concepto de función es moderno, pero bastante rápido, particularmente a la luz del hecho de que la definición actual tardó más de 300 años en alcanzar su estado actual. Comenzamos con la definición de relación.
  • 2.2: La gráfica de una función
    Descartes presenta su sistema de coordenadas, un método para representar puntos en el plano mediante pares de números reales. De hecho, el plano cartesiano de la actualidad se llama así en honor a René Descartes, a quien algunos llaman el "padre de las matemáticas modernas". Un sistema de coordenadas cartesianas consta de un par de ejes, generalmente dibujados en ángulo recto entre sí en el plano, uno horizontal (etiquetado como x) y uno vertical (etiquetado como y).
  • 2.3: Interpretación de la gráfica de una función
    En la sección anterior, comenzamos con una función y luego dibujamos la gráfica de la función dada. En esta sección, comenzaremos con la gráfica de una función, luego haremos una serie de interpretaciones basadas en la gráfica dada: evaluaciones de funciones, el dominio y rango de la función y la resolución de ecuaciones y desigualdades.
  • 2.4: Resolver ecuaciones y desigualdades mediante la representación gráfica
    Nuestro énfasis en el capítulo ha estado en las funciones y la interpretación de sus gráficos. En esta sección, continuamos en esa línea y dirigimos nuestra exploración a la solución de ecuaciones y desigualdades mediante la representación gráfica. Las ecuaciones tendrán la forma f (x) = g (x), y las desigualdades tendrán la forma f (x) g (x).
  • 2.5: Transformaciones verticales
    En esta sección estudiamos el arte de las transformaciones: escalas, reflexiones y traducciones. Restringiremos nuestra atención a las transformaciones en la dirección vertical o y. Nuestro objetivo es aplicar ciertas transformaciones a la ecuación de una función y luego preguntar qué efecto tiene en la gráfica de la función.
  • 2.6: Transformaciones horizontales
    En la sección anterior, presentamos el concepto de transformaciones. Hicimos un cambio en la ecuación básica y = f (x), como y = af (x), y = −f (x), y = f (x) - c, o y = f (x) + c , luego estudió cómo estos cambios afectaron la forma de la gráfica de y = f (x). En esa sección, nos concentramos estrictamente en las transformaciones que se aplicaron en la dirección vertical. En esta sección, estudiaremos las transformaciones que afectarán la forma del gráfico en la dirección horizontal.
  • 2.7: Capítulo 2 Ejercicios con soluciones

Funciones

En el camino a la Ciudad del Escepticismo, tuve que pasar por el Valle de la Ambigüedad.

¿Qué es una función? La noción de función es fundamental para las matemáticas, pero como muchos aspectos fundamentales de las matemáticas, su definición no se concretó hasta hace relativamente poco tiempo. ¡Los matemáticos estaban usando funciones sin pensar tanto en lo que eran! Rectifiquemos eso.

La definición que prefiero usar es la siguiente:

Definición. A función del set al set es una regla inequívoca que asigna a cada elemento de un elemento de .

Por inequívoco, quiero decir que cada tiene solo un elemento de asignado a él. Esto puede parecer obvio, pero de hecho hay algunas operaciones matemáticas interesantes que resultan un poco ambiguas, por ejemplo:

Definición. Nosotros decimos eso es una raíz cuadrada de Si .

No es dificil ver que ambos y son raíces cuadradas de , por lo que la frase `` la raíz cuadrada de "es realmente ambiguo. Hay varias formas de lidiar con tal ambigüedad: por ejemplo, podríamos simplemente contentarnos con el símbolo , que representa el conjunto de dos elementos , pero entonces la raíz cuadrada de un número no es un número. La forma más sencilla es simplemente excluirlo por suposición, como hice con la definición de función que di anteriormente.

Para funcionalizar la noción de raíz cuadrada, generalmente hacemos lo siguiente:

Definición. Nosotros decimos eso es la raíz cuadrada principal de , y escribe , Si y .

Es decir, si existen las dos opciones posibles para la raíz cuadrada, siempre decidimos tomar la positiva. Esta noción de "la raíz cuadrada" ahora es inequívoca, es decir, una función.

Conectemos esta idea de nuevo a nuestro formalismo con relaciones. Está claro que expresa una relación entre y , por lo que podemos esperar que nuestro trabajo sobre las relaciones nos ayude a desarrollar una buena definición de función como una especie de relación. Para una función de a , querremos considerar pares , entonces nuestra relación (seamos tradicionales y llamémosla ) será un subconjunto de .

¿Qué significaría que la regla fuera ambigua? Habria algunos con y , dónde y son distintos. Es decir, ser ambiguo significa

Actividad. Escribe una negación de la oración lógica anterior. Esto es lo que significa para ser inequívoco.

Actividad. Si su denegación solo incluye y , modifíquelo usando hechos lógicos para que contenga un .


Introducción a las funciones: concepto

Carl enseñó matemáticas de nivel superior en varias escuelas y actualmente dirige su propia empresa de tutoría. ¡Apuesta a que nadie puede vencer su amor por las actividades intensivas al aire libre!

En matemáticas, una relación describe una cantidad en términos de otra. Una función es un tipo de relación en la que para cada primer componente hay uno y solo un segundo componente. En matemáticas, una introducción a las funciones y cómo identificar si una relación es o no una función es un bloque de construcción muy importante, ya que muchos temas complejos en matemáticas de nivel superior involucran funciones.

Hoy vamos a hablar de relaciones y funciones. Y la relación es cualquier cosa que describa una cantidad en términos de otra. Entonces, digamos que vas a la gasolinera. La gasolina cuesta $ 3 el galón, compras 4 galones y pagas $ 12. Esa es una relación, está bien. Algo entra, sale otra cosa. Entra gasolina, sale dinero.
Vamos a hablar más específicamente de funciones, que es una relación en la que para cada uno de los primeros componentes hay uno y solo uno de este segundo. Entonces, lo que eso significa es que pones esos tres, vas a una estación de servicio, pones esos cuatro galones, $ 3 se han ido. Cuesta $ 12. Si vas a una, tu amigo va directo al mismo tiempo y obtiene la misma cantidad de gasolina, esperaría pagar la misma cantidad. No tiene ningún sentido que si pones tres galones, una persona pagará una cantidad y una persona pagará a otra. Entonces, para cada cosa que entra, tiene que salir lo mismo. Se debe pagar la misma cantidad de gasolina, la misma cantidad de dinero.
Bien, con eso en realidad hay algo de lenguaje, ¿de acuerdo? Entonces, el primer componente y lo que quiero decir con eso es una variable independiente, está bien. Entonces, en este ejemplo con el gas, la cantidad de gas que pones puede ser la que él quiera. Puedes poner un galón, puedes poner dos, puedes poner tres. Realmente no importa. Puede poner todo lo que necesite su tanque.
El segundo componente es la variable dependiente. Y lo que eso significa es que, en el caso del gas, este sería el costo, ¿de acuerdo? Pones un galón, esperas pagar una cierta cantidad. La cantidad de gasolina que pones dicta la cantidad de dinero que pagas, de acuerdo. No va al revés.
En general, cuando tratamos con puntos en una línea y todo eso, estamos tratando con xey, x es nuestra variable independiente, y es nuestra dependiente, ¿de acuerdo? x puede ser lo que quiera, deje que & # 39s escriba esto un poco más grande para que pueda asegurarse de que puede verlo. x puede ser lo que quiera, y depende de eso, ¿de acuerdo? Y para ser una función que tiene que dejar ser una de estas variables dependientes para cada una de esas variables independientes.


¿Qué es una función no lineal en matemáticas?

Una función no lineal en matemáticas crea un gráfico que no es una línea recta, según la Universidad de Columbia. Tres funciones no lineales comúnmente utilizadas en aplicaciones comerciales incluyen funciones exponenciales, funciones parabólicas y funciones de demanda. Las funciones cuadráticas son ecuaciones no lineales comunes que forman parábolas en un gráfico bidimensional.

Las funciones parabólicas en los negocios miden la producción marginal de una empresa comparando unidades por empleado. La parte superior de la parábola es el punto de producción máxima por empleado. Las funciones parabólicas están formadas por uno de los términos al cuadrado. Cuando las variables cambian, la forma parabólica se vuelve más ancha, más delgada, más alta o más corta.

Una función de demanda muestra la relación entre la demanda y el precio de los productos. Cuando la demanda aumenta, el gráfico sube. Cuando la demanda disminuye, el gráfico desciende. Cuando los precios cambian, el gráfico de demanda cambia junto con la variable.

Una función exponencial generalmente muestra una inversión con interés compuesto. La gráfica de una gráfica para esta función no lineal predice cuánto vale una inversión financiera en el futuro.

Las ecuaciones cuadráticas forman parábolas en forma de U que se mueven hacia arriba, hacia abajo y se hacen más anchas o más delgadas en función de diferentes funciones de suma, resta, multiplicación o división. La función cuadrática más simple es "y = x ^ 2" (y es igual a x al cuadrado).

La forma de dibujar una función no lineal en un gráfico es trazar puntos en varios lugares y luego conectar los puntos. Los programas de gráficos en computadoras y calculadoras pueden crear fácilmente visualizaciones de funciones no lineales.


9.3. Funciones y operadores matemáticos

Se proporcionan operadores matemáticos para muchos tipos de PostgreSQL. Para los tipos sin convenciones matemáticas comunes para todas las permutaciones posibles (por ejemplo, tipos de fecha / hora), describimos el comportamiento real en las secciones siguientes.

La Tabla 9-2 muestra los operadores matemáticos disponibles.

Tabla 9-2. Operadores matemáticos

Los operadores bit a bit solo funcionan con tipos de datos integrales, mientras que los demás están disponibles para todos los tipos de datos numéricos. Los operadores bit a bit también están disponibles para los tipos de cadenas de bits. un poco y poco variable, como se muestra en la Tabla 9-10.

La Tabla 9-3 muestra las funciones matemáticas disponibles. En la mesa, dp indica Precisión doble. Muchas de estas funciones se proporcionan en múltiples formas con diferentes tipos de argumentos. Excepto donde se indique, cualquier forma dada de una función devuelve el mismo tipo de datos que su argumento. Las funciones que trabajan con Precisión doble los datos se implementan principalmente sobre la precisión de la biblioteca C del sistema host y, por lo tanto, el comportamiento en los casos límite puede variar según el sistema host.

Tabla 9-3. Funciones Matemáticas

Función Tipo de retorno Descripción Ejemplo Resultado
abdominales (X) (igual que X) valor absoluto abs (-17,4) 17.4
cbrtdp) dp raíz cúbica cbrt (27,0) 3
el techodp o numérico) (igual que la entrada) entero más pequeño no menor que argumento techo (-42,8) -42
techo (dp o numérico) (igual que la entrada) entero más pequeño no menor que argumento (alias de ceil) techo (-95,3) -95
gradosdp) dp radianes a grados grados (0.5) 28.6478897565412
Exp (dp o numérico) (igual que la entrada) exponencial exp (1.0) 2.71828182845905
suelo (dp o numérico) (igual que la entrada) entero más grande no mayor que argumento suelo (-42,8) -43
endp o numérico) (igual que la entrada) logaritmo natural ln (2,0) 0.693147180559945
Iniciar sesión (dp o numérico) (igual que la entrada) logaritmo en base 10 registro (100,0) 2
Iniciar sesión (B numérico, X numérico) numérico logaritmo a base B log (2,0, 64,0) 6.0000000000
modificación (y, X) (igual que los tipos de argumentos) resto de y/X mod (9,4) 1
Pi () dp constante "π" Pi() 3.14159265358979
energía (a dp, B dp) dp a elevado al poder de B potencia (9.0, 3.0) 729
energía (a numérico, B numérico) numérico a elevado al poder de B potencia (9.0, 3.0) 729
radianesdp) dp grados a radianes radianes (45,0) 0.785398163397448
aleatorio () dp valor aleatorio en el rango 0.0 & lt = x & lt 1.0 aleatorio()
redondo (dp o numérico) (igual que la entrada) redondear al entero más cercano redonda (42,4) 42
redondo (v numérico, s En t) numérico redondear a s lugares decimales redonda (42.4382, 2) 42.44
la semilladp) En t Sembrar semilla para subsecuentes aleatorio() llamadas (valor entre 0 y 1.0) semilla cuajada (0.54823) 1177314959
firmar (dp o numérico) (igual que la entrada) signo del argumento (-1, 0, +1) signo (-8,4) -1
sqrtdp o numérico) (igual que la entrada) raíz cuadrada sqrt (2.0) 1.4142135623731
truncdp o numérico) (igual que la entrada) truncar hacia cero trunc (42,8) 42
truncv numérico, s En t) numérico truncar a s lugares decimales trunc (42.4382, 2) 42.43
width_bucket (op numérico, b1 numérico, b2 numérico, contar En t) En t devolver el cubo al que operando se asignaría en un histograma de equidepth con contar cubos, en el rango b1 a b2 width_bucket (5.35, 0.024, 10.06, 5) 3

Finalmente, la Tabla 9-4 muestra las funciones trigonométricas disponibles. Todas las funciones trigonométricas toman argumentos y devuelven valores de tipo Precisión doble.


La constante matemática π = 3,141592. a la precisión disponible.

La constante matemática e = 2.718281. a la precisión disponible.

Detalle de la implementación de CPython: La Matemáticas El módulo consiste principalmente en envoltorios delgados alrededor de las funciones de la biblioteca matemática de la plataforma C. El comportamiento en casos excepcionales sigue el Anexo F de la norma C99 cuando corresponda. La implementación actual aumentará ValueError para operaciones inválidas como sqrt (-1.0) o log (0,0) (donde C99 Anexo F recomienda señalar operación inválida o dividir por cero), y OverflowError para resultados que se desbordan (por ejemplo, exp (1000,0) ). No se devolverá un NaN de ninguna de las funciones anteriores a menos que uno o más de los argumentos de entrada sea un NaN, en ese caso, la mayoría de las funciones devolverán un NaN, pero (nuevamente siguiendo el Anexo F de C99) hay algunas excepciones a esta regla por ejemplo pow (flotar ('nan'), 0.0) o hypot (flotar ('nan'), flotar ('inf')) .

Tenga en cuenta que Python no hace ningún esfuerzo por distinguir los NaN de señalización de los NaN silenciosos, y el comportamiento de los NaN de señalización permanece sin especificar. El comportamiento típico es tratar a todos los NaN como si estuvieran silenciosos.

Cambiado en la versión 2.6: El comportamiento en casos especiales ahora apunta a seguir el Anexo F de C99. En versiones anteriores de Python, el comportamiento en casos especiales se especificaba de manera flexible.

Módulo cmath Versiones de números complejos de muchas de estas funciones.

& copy Copyright IronPython Team Microsoft Corporation Python Software Foundation. Última actualización el 16 de noviembre de 2013.


Funciones matemáticas más rápidas

Estaba tratando de interpolar una función de escala en una SPU en PS3 y me di cuenta de que este dispositivo no tiene biblioteca matemática. ¿Cómo se escribe powf () sin acceso a libm? El estándar IEEE754 para números de coma flotante solo cubre cinco funciones fundamentales: suma, resta, multiplicación, división y negación unaria. Explícitamente apuesta por ofrecer garantías de precisión o corrección para funciones trascendentales, dejando la precisión a la implementación de la biblioteca. Es sorprendente que el punto flotante más allá de las expresiones simples funcione.

Esto inició una inmersión profunda en cómo se derivan y codifican las funciones trascendentales. El código fuente para una implementación de está disponible a través de la biblioteca matemática de Cephes y los comentarios fuente tienen una gran cantidad de experiencias pragmáticas incrustadas en ellos:

El código menciona & # 8220Cody & amp Waite & # 8221 en muchos lugares, en referencia al libro Cody, W.J. & amp W. Waite & # 8220 Manual de software para las funciones elementales & # 8221, Prentice Hall, 1980, ISBN 0138220646 & # 8211 un título tan agotado que muchas personas trabajan con su propia versión fotocopiada del título, copias de copias que se transmiten entre investigadores. (Para tener una idea de cómo se leen los documentos técnicos escritos a mano de la década de 1980 & # 8217, eche un vistazo a C.G.van der Laan, & # 8220 Cálculo de funciones especiales & # 8221, 1986)

La saga de IEEE754

Cody & amp Waite se escribió en los días anteriores a IEEE754 y tuvo que tener en cuenta los muchos problemas de precisión y representación de las arquitecturas de hardware de la competencia en ese momento. Eran los días del salvaje oeste numérico donde todo vale y todos jugaban rápido y suelto, y cada fabricante de mainframes y miniordenadores tenía sus propios estándares de diferentes niveles de eficiencia y precisión. DEC, IBM, Cray, etc.

La dramática historia de cómo se creó IEEE754 es una historia de David contra Goliat. Los representantes de la industria de los microprocesadores nacientes decidieron unirse para crear una verdadera especificación de punto flotante que todos pudieran usar para intercambiar datos. Se invitó a los grandes fabricantes de hierro, pero ninguno decidió que valiera la pena molestarse con los microchips. Intel, bajo la dirección del Dr. John Palmer, tenía ideas para un circuito integrado que sería rápido, pero por razones de patentes no pudo compartir con el comité cómo pudo implementar excepciones de punto flotante como una burbuja de canalización, los otros fabricantes no creyeron en el estándar. podría implementarse en 40,000 puertas y, por lo tanto, se propuso un estándar diferente sin el método de subdesbordamiento gradual (también conocido como flotadores desnormalizados). Hubo un enfrentamiento entre el formato VAX de Digital Equipment & # 8217s que había funcionado bien en el mundo de las minicomputadoras durante una década, y la propuesta Kahan-Coonen-Stone (K-C-S) de Intel. Llegó a un punto crítico:

& # 8220DEC trató de romper el impasse encargando Univ. de Maryland Prof. G.W. (Pete) Stewart III, un analista de errores muy respetado, para evaluar el valor de Gradual Underflow. Debían haber esperado que corroborara su afirmación de que era una mala idea. En una reunión de la p754 en 1981 en Boston, Pete entregó su informe verbalmente: en conjunto, pensaba que Gradual Underflow era lo correcto. (Hasta donde yo sé, DEC aún no ha publicado su informe escrito). Este importante revés en su propio terreno desanimó a DEC de continuar luchando contra K-C-S en las reuniones de la p754. & # 8221

Métodos basados ​​en tablas

Incluí una sección sobre la aproximación de seno y coseno basada en tablas porque en los primeros días de las máquinas de 8 bits siempre veía a la gente apretujarse en tablas de seno y coseno de 256 o 512 entradas (cuando tenías 32 KB de memoria, comienzas preocuparse por cada byte). Esto se convirtió en un problema cuando las memorias comenzaron a expandirse, pero SPU, GPU y procesadores integrados volvieron a poner las preocupaciones sobre el espacio en primer plano. Si analiza el error máximo de una tabla de pecado interpolada, puede demostrar que una tabla de 33 entradas es suficiente para reconstruir un seno y un coseno de coma flotante de 32 bits al mismo tiempo. Si tan sólo lo supiéramos en el pasado.

Aproximación polinomial

En la web hay muchas presentaciones sobre matemáticas informáticas & # 8220advanced & # 8221 que terminan usando series de Taylor para generar aproximaciones polinómicas para funciones matemáticas famosas. Los has visto en tu libro de texto de Cálculo, son las definiciones de Exp, Tan, Sin que te apoyaste en la escuela con tanta claridad que debe ser así como se calculan en las computadoras. Truncar la serie, generar un resto y listo, eres dorado. Equivocado.

Al leer la biblioteca de Cephes, los polinomios que encuentra se parecen a los polinomios que generaría usando una serie de Taylor, pero mucho más precisos. ¿Por qué la diferencia, cómo hacen que suceda la magia? Los tutoriales sobre Aproximación de funciones generalmente introducen la idea de usar polinomios de Chebyshev o Pade para aproximar funciones (sí, ese papel roba mis diagramas de SH Lighting Gritty Details) que lo acercan a los valores en Cephes pero no del todo. La salsa secreta que casi no se cubre en ninguna parte de la web fueron los polinomios Minimax.

Las funciones trascendentales fundamentales se escriben en su mayoría utilizando el mismo patrón:

Otros, como acosf (), se implementan a partir de funciones anteriores utilizando identidades trigonométricas, por lo que obtener versiones precisas de secciones cortas de una función es primordial. Una vez que aprenda a usar Mathematica o Maple para generar polinomios de bajo orden, puede producir aproximaciones más rápidas de muchas funciones utilizadas en gráficos & # 8211 y ese era el objetivo del tutorial de GDC.

Diapositivas y papel del tutorial de GDC

El gran paquete de investigación se convirtió en un tutorial de GDC de todo el día con aproximadamente 5 horas de diapositivas y un documento adjunto. El artículo se amplió un poco y aparece como un capítulo en DeLoura M, & # 8220Mejores gemas de programación de juegos & # 8221, Charles River Media ISBN 1584505710.

Investigando las diapositivas, descubrí un error en el firmware de PS2 donde un ingeniero había transcrito y truncado los coeficientes de los polinomios de instrucción ESIN y ECOS introduciendo un cambio demostrable en los resultados. No solo puede solucionar esto, sino que también es posible escribir un fragmento corto de código SPU que calculó un resultado de menor precisión más rápido que la instrucción ESIN. No todos los días se puede superar una instrucción de hardware con código.

Errata: BitLog mejorado

Buscando actualizar la presentación para esta segunda presentación en GDC, agregué algunas secciones adicionales como una ocurrencia tardía. Una sección trataba sobre si la función de potencia en los BRDF de reflexión especular podría separarse en varias potencias simples & # 8211 resultó que el ejemplo resuelto en el documento era el solo valor que funcionó según lo anunciado, ya que se encontraba en un mínimo de error global. La segunda adición fue una función rápida de logaritmo hacky llamada BitLog. Charles Bloom hizo una publicación examinándolo, destripando mi artículo, rastreando al autor original Jack Crenshaw y rompiendo uno nuevo. Luego escribió una versión mejorada. Sí, no podría haber sido poseído más a fondo.

Nota al pie: Impresión y lectura de números de coma flotante

El tema de imprimir y analizar valores de punto flotante tiene una historia sorprendentemente complicada y está lejos de ser un problema resuelto incluso hoy. El papel seminal & # 8220Lo que debe saber el informático sobre la aritmética de coma flotante & # 8221 cubre que imprimir 9 dígitos significativos de un número FP es suficiente para reconstruir la mantisa binaria exacta de un flotador de precisión simple (15 para precisión doble), es más difícil probar cuál es la expresión más corta que puede reconstruir correctamente un flotar a partir de él & # 8217s valor ASCII.

El algoritmo más utilizado para imprimir valores es Grisu3 que es rápido pero se basa en una pequeña cantidad de valores y tiene que volver al más lento, más completo Dragón4 algoritmo. En 2010 Florian Loitsch presentó un artículo en la conferencia PLDI titulado & # 8220Impresión de números de punto flotante de forma rápida y precisa con números enteros & # 8221 que propuso un método más rápido que usa una representación interna de solo enteros para acelerar el proceso, pero también se basa en aproximadamente el 0,6% de todos los valores de FP. En 2016, un nuevo algoritmo llamado Errol fue propuesto en el documento & # 8220Impresión de números de coma flotante: un método más rápido y siempre correcto & # 8221 que es mas rapido que Dragón4, solo 2,5 veces más lento que Grisu3 pero tiene la ventaja de ser completo.

La lectura de números FP es otro problema que para hacerlo correctamente requiere el uso de varios de los modos de redondeo IEEE754. Es el uso de redondo a medio par es uno de los argumentos más sólidos para respaldar correctamente los modos de redondeo en cualquier idioma. Puede probar la precisión de sus implementaciones de scanf e printf utilizando el código de Stephen Moshier.


Perspectiva matemática

La siguiente definición técnica de una función es un poco abstracta.

Dado un conjunto de entradas $ X $ y un conjunto de posibles salidas $ Y $, una función es la relación entre estos conjuntos, es decir, una colección de pares ordenados de la forma $ (x, y) $ donde $ x en X $ y $ y en Y $ (¿confuso?), que satisface una condición: cada elemento $ x $ en el dominio $ X $ debe estar emparejado con exactamente un elemento $ y $ en el codominio $ Y $.

Eso es. Una función $ f $ es solo esta colección de pares ordenados. Como sabemos que cada elemento $ x en X $ está emparejado con exactamente un elemento $ y en Y $, podríamos denotar este elemento por $ y = f (x) $ de modo que los pares ordenados se denoten por $ (x, f (x)) $.

Es posible que esta definición de conjunto de pares ordenados no le resulte extremadamente esclarecedora. Pero está bien, ya que hay otras formas de explicar el concepto de función que pueden ser más útiles al principio. Una herramienta para comprender las funciones es la metáfora de la máquina de funciones. Una vez que comprenda mejor los conceptos de funciones, siempre puede volver atrás e intentar desempaquetar la definición técnica de una función. Nunca se sabe que puede terminar apreciando la definición al final.

La metáfora de la máquina funcional

Podemos ver una función como algo que puede tomar un objeto (siempre que el objeto esté en su dominio) y convertirlo (o asignarlo) a un objeto diferente. Podemos imaginar que es alguna máquina la que hace esta transformación. Pones algún objeto en su embudo de entrada. Si el objeto de entrada encaja en el embudo, entonces la máquina de funciones procesará ese objeto y lo convertirá en algún otro objeto, que sale por su conducto de salida.

En esta ilustración, las entradas son esferas de varios tamaños (el dominio presumiblemente contiene solo aquellas esferas que son lo suficientemente pequeñas para caber en el embudo). Las salidas están ilustradas por los cubos que salen del conducto. Por tanto, esta función transforma cada esfera en un cubo.

Por lo general, podemos pensar en las funciones como tomar números como entradas y escupir números como salidas, pero no es necesario tener una visión tan limitada de las funciones. No hay nada en una máquina de funciones que implique que debe lidiar con números. Cualquier colección de objetos podría servir como dominio o codominio, como ilustramos con ejemplos.

El poder de la metáfora de la máquina funcional

La metáfora de la máquina funcional es bastante versátil y poderosa. Puede usarse para explicar muchas propiedades importantes de funciones y conceptos que involucran funciones.

El dominio: El dominio es simplemente el conjunto de objetos que encajan en el embudo de entrada y pueden ser procesados ​​por la máquina de funciones.

El codominio: Podría pensar en el codominio como el conjunto de objetos que teóricamente podrían encajar en la rampa.

El rango: El rango es el conjunto de objetos que saldrían de la rampa si pusieras todos los elementos del dominio en el embudo.

El maridaje único: Si la máquina está en buenas condiciones, siempre debe producir una salida cuando ingresa una entrada. Si ingresa la misma entrada varias veces, la máquina siempre debe producir la misma salida. De esta manera, cada elemento del dominio se empareja con exactamente una salida del codominio.

Parámetros: Los parámetros de una función pueden verse como diales que cambian el comportamiento de la función de la máquina.

Composición: Se pueden utilizar varias máquinas de funciones para ilustrar la composición de funciones.

Inverso: La inversa de una función equivale a ejecutar la máquina al revés. Pero, si dos elementos de entrada diferentes se transforman en el mismo elemento de salida, la máquina de función hacia atrás no sabrá cuál de los elementos de entrada escupir y el inverso no está definido.

Por supuesto, la metáfora de la máquina funcional no es perfecta. Una función en realidad no destruye sus entradas y las convierte en sus salidas. Eso es bueno cuando definimos la función de la madre, por lo que en realidad no convertimos a las personas en sus madres.


Investigando el crecimiento continuo

Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Para la mayoría de los fenómenos del mundo real, sin embargo, mi se utiliza como base para funciones exponenciales. Modelos exponenciales que utilizan mi como se llama la base modelos de crecimiento continuo o decadencia. Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos.

La fórmula de crecimiento / deterioro continuo

Para todos los números reales r, t, y todos los números positivos a, el crecimiento continuo o la descomposición está representado por la fórmula

  • a es el valor inicial,
  • r es la tasa de crecimiento o decaimiento continuo por unidad de tiempo,
  • y t es el tiempo transcurrido.

Si r & gt 0, entonces la fórmula representa un crecimiento continuo. Si r & lt 0, entonces la fórmula representa la desintegración continua.

Para aplicaciones comerciales, la fórmula de crecimiento continuo se llama fórmula de composición continua y toma la forma

  • PAG es el capital o la inversión inicial,
  • r es el crecimiento o tasa de interés por unidad de tiempo,
  • y t es el período o plazo de la inversión.

En nuestro siguiente ejemplo, calcularemos el crecimiento continuo de una inversión. Es importante tener en cuenta el lenguaje que se usa en las instrucciones para problemas de tasas de interés. Sabrás usar el continuo fórmula de crecimiento o deterioro cuando se le pide que encuentre una cantidad basada en la composición continua. En ejemplos anteriores le pedimos que encontrara una cantidad basada en capitalización trimestral o mensual, y para esto usó el compuesto fórmula de interés.

Ejemplo

Una persona invirtió $ 1,000 en una cuenta que ganaba un 10% nominal anual compuesto continuamente. ¿Cuánto había en la cuenta al final de un año?

Dado que la cuenta está aumentando de valor, este es un problema compuesto continuo con la tasa de crecimiento. r = 0,10. La inversión inicial fue de $ 1,000, entonces PAG = 1000. Usamos la fórmula de composición continua para encontrar el valor después de t = 1 año:

La cuenta vale $ 1,105.17 después de un año.

En el siguiente video mostramos otro ejemplo de continuo interés.

Cómo: dado el valor inicial, la tasa de crecimiento o deterioro y el tiempo t, resuelve una función de crecimiento o decaimiento continuo.

  1. Utilice la información del problema para determinar a, el valor inicial de la función.
  2. Utilice la información del problema para determinar la tasa de crecimiento. r.
    1. Si el problema se refiere a un crecimiento continuo, entonces r & gt 0.
    2. Si el problema se refiere a un deterioro continuo, entonces r & lt 0.

    En nuestro siguiente ejemplo, calcularemos la desintegración continua. Preste atención a la tasa & # 8211 es negativa, lo que significa que estamos considerando una situación en la que una cantidad disminuye o decae.

    Ejemplo

    El radón-222 se desintegra a una tasa continua del 17,3% por día. ¿A cuánto se desintegrarán 100 mg de radón-222 en 3 días?

    Dado que la sustancia se está descomponiendo, la tasa, 17.3%, es negativa. Entonces, r = –0,173. La cantidad inicial de radón-222 fue de 100 mg, por lo que a = 100. Usamos la fórmula de decaimiento continuo para encontrar el valor después de t = 3 días:

    Entonces quedarán 59,5115 mg de radón-222.

    En el siguiente video, mostramos un ejemplo de cómo calcular la cantidad restante de una sustancia radiactiva después de que se desintegra durante un período de tiempo.


    2: Funciones - Matemáticas

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    Complejidad = 2, Modo = regla dada

    Utilice la regla dada para completar los valores faltantes.

    Complejidad = 3, Modo = regla dada

    Utilice la regla dada para completar los valores faltantes.

    Complejidad = 1, Modo = palabra

    Complete los valores que faltan y encuentre la regla que se aplica a la tabla. Escribe la regla en el formato "y =.".

    Complejidad = 2, Modo = palabra

    Complete los valores que faltan y encuentre la regla que se aplica a la tabla. Escribe la regla en el formato "y =.".

    Complejidad = 3, Modo = regla dada

    Utilice la regla dada para completar los valores faltantes.

    Respuestas

    Complejidad = 1, Modo = regla dada

    Utilice la regla dada para completar los valores faltantes.

    Complejidad = 2, Modo = regla dada

    Utilice la regla dada para completar los valores faltantes.

    Complejidad = 3, Modo = regla dada

    Utilice la regla dada para completar los valores faltantes.

    Complejidad = 1, Modo = palabra

    Complete los valores que faltan y encuentre la regla que se aplica a la tabla. Escribe la regla en el formato "y =.".

    Complejidad = 2, Modo = palabra

    Complete los valores que faltan y encuentre la regla que se aplica a la tabla. Escribe la regla en el formato "y =.".


    2: Funciones - Matemáticas

    Esta sección enumera los errores conocidos de las funciones en la biblioteca matemática. Los errores se miden en "unidades del último lugar". Esta es una medida del error relativo. Por un numero z con la representacion d.d & hellipd & # x00B72 ^ e (asumimos números de coma flotante IEEE con base 2) el ULP está representado por

    dónde pag es el número de bits en la mantisa de la representación numérica de punto flotante. Idealmente, el error para todas las funciones es siempre menor de 0.5ulps en el modo de redondeo al más cercano. El uso de bits de redondeo también es posible y normalmente se implementa para las operaciones básicas. Excepto por ciertas funciones como sqrt, fma y rint cuyos resultados están completamente especificados por referencia a las correspondientes operaciones de coma flotante IEEE 754, y conversiones entre cadenas y coma flotante, la biblioteca GNU C no apunta a resultados correctamente redondeados para funciones en el biblioteca de matemáticas, y no apunta a la corrección en si se plantean excepciones & ldquoinexact & rdquo. En cambio, los objetivos de precisión de las funciones sin resultados completamente especificados son los siguientes: algunas funciones tienen errores, lo que significa que no cumplen estos objetivos en todos los casos. En el futuro, la biblioteca GNU C puede proporcionar algunas otras funciones de redondeo correctamente con nombres como crsin propuesto para una extensión de ISO C.

    • Each function with a floating-point result behaves as if it computes an infinite-precision result that is within a few ulp (in both real and complex parts, for functions with complex results) of the mathematically correct value of the function (interpreted together with ISO C or POSIX semantics for the function in question) at the exact value passed as the input. Exceptions are raised appropriately for this value and in accordance with IEEE 754 / ISO C / POSIX semantics, and it is then rounded according to the current rounding direction to the result that is returned to the user. errno may also be set (see Math Error Reporting). (The &ldquoinexact&rdquo exception may be raised, or not raised, even if this is inconsistent with the infinite-precision value.)
    • For the IBM long double format, as used on PowerPC GNU/Linux, the accuracy goal is weaker for input values not exactly representable in 106 bits of precision it is as if the input value is some value within 0.5ulp of the value actually passed, where &ldquoulp&rdquo is interpreted in terms of a fixed-precision 106-bit mantissa, but not necessarily the exact value actually passed with discontiguous mantissa bits.
    • For the IBM long double format, functions whose results are fully specified by reference to corresponding IEEE 754 floating-point operations have the same accuracy goals as other functions, but with the error bound being the same as that for division (3ulp). Furthermore, &ldquoinexact&rdquo and &ldquounderflow&rdquo exceptions may be raised for all functions for any inputs, even where such exceptions are inconsistent with the returned value, since the underlying floating-point arithmetic has that property.
    • Functions behave as if the infinite-precision result computed is zero, infinity or NaN if and only if that is the mathematically correct infinite-precision result. They behave as if the infinite-precision result computed always has the same sign as the mathematically correct result.
    • If the mathematical result is more than a few ulp above the overflow threshold for the current rounding direction, the value returned is the appropriate overflow value for the current rounding direction, with the overflow exception raised.
    • If the mathematical result has magnitude well below half the least subnormal magnitude, the returned value is either zero or the least subnormal (in each case, with the correct sign), according to the current rounding direction and with the underflow exception raised.
    • Where the mathematical result underflows (before rounding) and is not exactly representable as a floating-point value, the function does not behave as if the computed infinite-precision result is an exact value in the subnormal range. This means that the underflow exception is raised other than possibly for cases where the mathematical result is very close to the underflow threshold and the function behaves as if it computes an infinite-precision result that does not underflow. (So there may be spurious underflow exceptions in cases where the underflowing result is exact, but not missing underflow exceptions in cases where it is inexact.)
    • The GNU C Library does not aim for functions to satisfy other properties of the underlying mathematical function, such as monotonicity, where not implied by the above goals.
    • All the above applies to both real and complex parts, for complex functions.

    Therefore many of the functions in the math library have errors. The table lists the maximum error for each function which is exposed by one of the existing tests in the test suite. The table tries to cover as much as possible and list the actual maximum error (or at least a ballpark figure) but this is often not achieved due to the large search space.

    The table lists the ULP values for different architectures. Different architectures have different results since their hardware support for floating-point operations varies and also the existing hardware support is different. Only the round-to-nearest rounding mode is covered by this table, and vector versions of functions are not covered. Functions not listed do not have known errors.


    Ver el vídeo: Tipos de funciones 12 - Matemáticas para Economía C2 (Septiembre 2021).