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11.4: Resolver ecuaciones de la forma ax = byx / a = b - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • estar familiarizado con la propiedad de igualdad de la multiplicación / división
  • ser capaz de resolver ecuaciones de la forma (ax = b ) y ( dfrac {x} {a} = b )
  • Ser capaz de utilizar técnicas combinadas para resolver ecuaciones.

Propiedad de igualdad de multiplicación / división

Recuerde que el signo igual de una ecuación indica que el número representado por la expresión del lado izquierdo es el mismo que el número representado por la expresión del lado derecho. A partir de esto, podemos sugerir la propiedad de igualdad de multiplicación / división.

Propiedad de multiplicación / división de Igualdad
Dada cualquier ecuación,

  1. Podemos obtener una ecuación equivalente por multiplicando ambos lados de la ecuación por el mismo distinto de cero número, es decir, si (c ne 0 ). entonces (a = b ) es equivalente a
    (a cdot c = b cdot c )
  2. Podemos obtener una ecuación equivalente por dividiendo ambos lados de la ecuación por el mismo número distinto de cero, es decir, si (c ne 0 ), entonces (a = b ) es equivalente a
    ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c} )

La propiedad de igualdad de multiplicación / división se puede utilizar para deshacer una asociación con un número que multiplica o divide la variable.

Conjunto de muestra A

Usa la propiedad de igualdad de multiplicación / división para resolver cada ecuación.

(6y = 54 )

Solución

6 está asociado con y por multiplicación. Deshaga la asociación por dividiendo ambos lados por 6

( begin {array} {rcl} { dfrac {6y} {6}} & = & { dfrac {54} {6}} { dfrac { cancel {6} y} { cancel { 6}}} & = & { dfrac { begin {array} {c} {^ 9} { cancel {54}} end {array}} { cancel {6}}} {y } & = & {9} end {matriz} )

Cheque: Cuando (y = 9 )

(6y = 54 )

se convierte en

una declaración verdadera.

La solución de (6y = 54 ) es (y = 9 ).

Conjunto de muestra A

( dfrac {x} {- 2} = 27 ).

Solución

-2 está asociado con (x ) por división. Deshaga la asociación por multiplicando ambos lados por -2.

((- 2) dfrac {x} {- 2} = (-2) 27 )

(( cancelar {-2}) dfrac {x} { cancelar {-2}} = (-2) 27 )

(x = -54 )

Cheque: Cuando (x = -54 ).

( dfrac {x} {- 2} = 27 )

se convierte en

una declaración verdadera.

La solución a ( dfrac {x} {- 2} = 27 ) es (x = -54 )

Conjunto de muestra A

( dfrac {3a} {7} = 6 ).

Solución

Examinaremos dos métodos para resolver ecuaciones como ésta.

Método 1: Uso de dividir factores comunes.

( dfrac {3a} {7} = 6 )

7 está asociado con (a ) por división. Deshaga la asociación por multiplicando ambos lados por 7.

(7 cdot dfrac {3a} {7} = 7 cdot 6 )

Divide los 7

( cancelar {7} cdot dfrac {3a} { cancelar {7}} = 42 )

(3a = 42 )

3 se asocia con (a ) por multiplicación. Deshaga la asociación por proporcionando ambos lados por 3.

( dfrac {3a} {3} = dfrac {42} {3} )

( dfrac { cancel {3} a} { cancel {3}} = 14 )

(a = 14 )

Cheque: Cuando (a = 14 ).

( dfrac {3a} {7} = 6 )

se convierte en

una declaración verdadera.

La solución a ( dfrac {3a} {7} = 6 ) es (a = 14 ).

Método 2: Uso de recíprocos

Recuerda que si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos. Por tanto, ( dfrac {3} {7} ) y ( dfrac {7} {3} ) son recíprocos.

( dfrac {3a} {7} = 6 )

Multiplicar ambas cosas lados de la ecuación por ( dfrac {7} {3} ), el recíproco de ( dfrac {3} {7} ).

( dfrac {7} {3} cdot dfrac {3a} {7} = dfrac {7} {3} cdot 6 )

( dfrac { begin {array} {c} {^ 1} { cancel {7}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {3}} {^ 1} end {matriz}} cdot dfrac { begin {matriz} {c} {^ 1} { cancel {3} a} end {matriz}} { begin {matriz} { c} { cancel {7}} {^ 1} end {array}} = dfrac {7} { begin {array} {c} { cancel {3}} {^ 1} end {matriz}} cdot dfrac { begin {matriz} {c} {^ 2} { cancel {6}} end {matriz}} {1} )

(1 cdot a = 14 )

(a = 14 )

Observe que obtenemos la misma solución usando cualquier método.

Conjunto de muestra A

(- 8x = 24 ).

Solución

-8 está asociado con (x ) por multiplicación. Deshaga la asociación por dividiendo ambos lados por -8.

( dfrac {-8x} {- 8} = dfrac {24} {- 8} )

(x = -3 )

Cheque: Cuando (x = -3 ).

(- 8x = 24 )

se convierte en

una declaración verdadera.

Conjunto de muestra A

(- x = 7 ).

Solución

Dado que (- x ) es en realidad (- 1 cdot x ) y ((- 1) (- 1) = 1 ). Podemos aislar (x ) multiplicando ambas cosas lados de la ecuación por -1.

((- 1) (- x) = -1 cdot 7 ).

(x = -7 )

Cheque: Cuando (x = 7 ).

(- x = 7 )

se convierte en

La solución a (- x = 7 ) es (x = -7 ).

Conjunto de práctica A

Usa la propiedad de igualdad de multiplicación / división para resolver cada ecuación. Asegúrese de revisar cada solución.

(7x = 21 )

Respuesta

(x = 3 )

Conjunto de práctica A

(- 5x = 65 )

Respuesta

(x = -13 )

Conjunto de práctica A

( dfrac {x} {4} = -8 )

Respuesta

(x = -32 )

Conjunto de práctica A

( dfrac {3x} {8} = 6 )

Respuesta

(x = 16 )

Conjunto de práctica A

(- y = 3 )

Respuesta

(y = -3 )

Conjunto de práctica A

(- k = -2 )

Respuesta

(k = 2 )

Combinar técnicas en la resolución de ecuaciones

Habiendo examinado la resolución de ecuaciones usando los principios de igualdad de suma / resta y multiplicación / división, podemos combinar estas técnicas para resolver ecuaciones más complicadas.

Al comenzar a resolver una ecuación como (6x - 4 = -16 ), es útil saber qué propiedad de igualdad usar primero, suma / resta o multiplicación / división. Recordando que en la resolución de ecuaciones estamos tratando de aislar la variable (disociar números de él), es útil tener en cuenta lo siguiente.

A asociar números y letras, usamos el orden de operaciones.

  1. Multiplicar / dividir
  2. Sumar / restar

A deshacer una asociación entre números y letras, usamos el orden de operaciones a la inversa.

  1. Sumar / restar
  2. Multiplicar / dividir

Conjunto de muestra B

Resuelve cada ecuación. (En estos problemas de ejemplo, no mostraremos los cheques).

(6x - 4 = -16 )

Solución

-4 se asocia con xx por resta. Deshacer la asociación por agregando 4 a ambas cosas lados.

(6x - 4 + 4 = -16 + 4 )

(6x = -12 )

6 está asociado con (x ) por multiplicación. Deshacer la asociación por dividiendo ambos lados por 6

( dfrac {6x} {6} = dfrac {-12} {6} )

(x = -2 )

Conjunto de muestra B

(- 8k + 3 = -45 )

Solución

3 se asocia con (k ) por suma. Deshaga la asociación por restando 3 de ambas cosas lados.

(- 8k + 3 - 3 = -45 - 3 )

(- 8k = -48 )

-8 está asociado con (k ) por multiplicación. Deshaga la asociación por dividiendo ambos lados por -8.

( dfrac {-8k} {- 8} = dfrac {-48} {- 8} )

(k = 6 )

Conjunto de muestra B

(5m - 6 - 4m = 4m - 8 + 3m ).

Solución

Comience resolviendo esta ecuación combinando términos semejantes.

(m - 6 = 7m - 8 ) Elige un lado en el que aislar metro. Como 7 es mayor que 1, aislaremos metro en el lado derecho.
Sustraer metro de ambas cosas lados.

(- m - 6 - m = 7m - 8 - m )

(- 6 = 6m - 8 )

8 está asociado con metro por resta. Deshaga la asociación por agregando 8 a ambas cosas lados.

(- 6 + 8 = 6m - 8 + 8 )

(2 = 6m )

6 se asocia con m por multiplicación. Deshaga la asociación por dividiendo ambos lados por 6.

( dfrac {2} {6} = dfrac {6m} {6} ) Reducir,

( dfrac {1} {3} = m )

Observe que si hubiéramos elegido aislar m en el lado izquierdo de la ecuación en lugar del lado derecho, habríamos procedido de la siguiente manera:

(m - 6 = 7m - 8 )

Restar (7m ) de ambas cosas lados.

(m - 6 - 7m = 7m - 8 - 7m )

(- 6m - 6 = -8 )

Agregar 6 a ambas cosas lados

(- 6m - 6 + 6 = -8 + 6 )

(- 6m = -2 )

Dividir ambas cosas lados por -6.

( dfrac {-6m} {- 6} = dfrac {-2} {- 6} )

(m = dfrac {1} {3} )

Este es el mismo resultado que con el enfoque anterior.

Conjunto de muestra B

( dfrac {8x} {7} = -2 )

Solución

7 está asociado con (x ) por división. Deshaga la asociación por multiplicando ambos lados por 7.

( cancelar {7} cdot dfrac {8x} { cancelar {7}} = 7 (-2) )

(7 cdot dfrac {8x} {7} = -14 )

(8x = -14 )

8 está asociado con (x ) por multiplicación. Deshacer la asociación por dividiendo ambos lados por 8.

( dfrac { cancel {8} x} { cancel {8}} = dfrac {-7} {4} )

(x = dfrac {-7} {4} )

Conjunto de práctica B

Resuelve cada ecuación. Asegúrese de revisar cada solución.

(5m + 7 = -13 )

Respuesta

(m = -4 )

Conjunto de práctica B

(- 3a - 6 = 9 )

Respuesta

(a = -5 )

Conjunto de práctica B

(2a + 10 - 3a = 9 )

Respuesta

(a = 1 )

Conjunto de práctica B

(11x - 4 - 13x = 4x + 14 )

Respuesta

(x = -3 )

Conjunto de práctica B

(- 3m + 8 = -5m + 1 )

Respuesta

(m = - dfrac {7} {2} )

Conjunto de práctica B

(5y + 8y - 11 = -11 )

Respuesta

(y = 0 )

Ejercicios

Resuelve cada ecuación. Asegúrese de comprobar cada resultado.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

(7x = 42 )

Respuesta

(x = 6 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

(8x = 81 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

(10 ​​x = 120 )

Respuesta

(x = 12 )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

(11 x = 121 )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

(- 6a = 48 )

Respuesta

(a = -8 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

(- 9y = 54 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

(- 3y = -42 )

Respuesta

(y = 14 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

(- 5a = -105 )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

(2m = -62 )

Respuesta

(m = -31 )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

(3m = -54 )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

( dfrac {x} {4} = 7 )

Respuesta

(x = 28 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

( dfrac {y} {3} = 11 )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

( dfrac {-z} {6} = -14 )

Respuesta

(z = 84 )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

( dfrac {-w} {5} = 1 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

(3m - 1 = -13 )

Respuesta

(m = -4 )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

(4x + 7 = -17 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

(2 + 9x = -7 )

Respuesta

(x = -1 )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

(5 - 11x = 27 )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

(32 = 4y + 6 )

Respuesta

(y = dfrac {13} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

(- 5 + 4 = -8m + 1 )

Ejercicio ( PageIndex {19} )

(3k + 6 = 5k + 10 )

Respuesta

(k = -2 )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

(4a + 16 = 6a + 8a + 6 )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

(6x + 5 + 2x - 1 = 9x - 3x + 15 )

Respuesta

(x = dfrac {11} {2} ) o (5 dfrac {1} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {22} )

(- 9y - 8 + 3y + 7 = -7y + 8y - 5y + 9 )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

(- 3a = a + 5 )

Respuesta

(a = - dfrac {5} {4})

Ejercicio ( PageIndex {24} )

(5b = -2b + 8b + 1 )

Ejercicio ( PageIndex {25} )

(- 3m + 2 - 8m - 4 = -14m + m - 4 )

Respuesta

(m = -1 )

Ejercicio ( PageIndex {26} )

(5a + 3 = 3 )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

(7x + 3x = 0 )

Respuesta

(x = 0 )

Ejercicio ( PageIndex {28} )

(7g + 4 - 11g = -4g + 1 + g )

Ejercicio ( PageIndex {29} )

( dfrac {5a} {7} = 10 )

Respuesta

(a = 14 )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

( dfrac {2m} {9} = 4 )

Ejercicio ( PageIndex {31} )

( dfrac {3x} {4} = dfrac {9} {2} )

Respuesta

(x = 6 )

Ejercicio ( PageIndex {32} )

( dfrac {8k} {3} = 32 )

Ejercicio ( PageIndex {33} )

( dfrac {3a} {8} - dfrac {3} {2} = 0 )

Respuesta

(a = 4 )

Ejercicio ( PageIndex {34} )

( dfrac {5m} {6} - dfrac {25} {3} = 0 )

Ejercicios de repaso

Ejercicio ( PageIndex {35} )

Usa la propiedad distributiva para calcular (40 cdot 28 )

Respuesta

(40(30 - 2) = 1200 - 80 = 1120)

Ejercicio ( PageIndex {36} )

Aproximadamente ( pi ) por 3,14, calcula la circunferencia aproximada del círculo.

Ejercicio ( PageIndex {37} )

Calcula el área del paralelogramo.

Respuesta

220 cm cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {38} )

Encuentra el valor de ( dfrac {-3 (4 - 15) - 2} {- 5} )

Ejercicio ( PageIndex {39} )

Resuelve la ecuación (x - 14 + 8 = -2 ).

Respuesta

(x = 4 )


Resolver ecuaciones cuadráticas nunca volverá a ser lo mismo. Una ecuación cuadrática de la forma & gt ax ^ 2 + bx + c = 0 para x ne 0 ahora se puede resolver en línea usando esta calculadora de ecuaciones. La calculadora es gratuita, precisa y eficiente. La mejor parte es que la calculadora muestra todos los pasos junto con una explicación de cómo llegar a la solución. Se dice que una ecuación cuadrática es un cuadrado si se puede reducir a un cuadrado perfecto de polinomios de primer grado. Por ejemplo, la ecuación

X ^ -2x + 1 = 0 se puede expresar como (x-1) ^ 2 = 0. Tenga en cuenta que (x-1) ^ 2 = X ^ -2x + 1

En el ejemplo anterior, es fácil encontrar las raíces de una función cuadrada. El proceso es tan simple como sacar la raíz cuadrada de cualquier lado de la ecuación.

En matemáticas, las cuadráticas agradables (las que son cuadrados perfectos) son raras. Sin embargo, es posible crear un cuadrado perfecto a partir de cualquier ecuación simplemente agregando una constante.


Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática se usa para hallar raíces o ceros en funciones cuadráticas cuando la ecuación no se puede factorizar y resolver x cuando y = 0 es demasiado difícil. Esta fórmula también da el valor x del vértice y el discriminante proporciona el número de soluciones.

Para cualquier ecuación cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c, la siguiente fórmula cuadrática

encontrará las raíces, o ceros, de la ecuación. Las raíces de una función cuadrática son las mismas que sus ceros. Son donde la gráfica cruza el eje x, o simplemente, donde y = 0. Una función cuadrática puede tener 0, 1 o 2 raíces.

Este problema no se puede factorizar y no hay una manera fácil de resolver para x cuando y = 0. Por lo tanto, debemos usar la fórmula cuadrática.

Paso 1: Primero encontramos a, by c.

Esta ecuación ya está escrita en la forma de y = ax 2 + bx + c, por lo que tenemos a = 4, b = -6 y c = 7.

Paso 2: Ahora sustituimos estos valores en la fórmula y usamos el orden de las operaciones para simplificar


Sea $ X = left [ beginx y end right] $, entonces la primera ecuación se puede escribir, en multiplicación de matrices, como $ left [ begin2 y amp-3 end right] left [ beginx y end right] = left [ begin-1 end right] $

De manera similar, la segunda ecuación se puede escribir como $ left [ begin-5 y amp5 end right] left [ beginx y end right] = left [ begin20 end right] $

Combinando estas dos ecuaciones como un sistema, se pueden escribir como $ begin left [ begin2 y amp-3 - 5 y amp5 end right] left [ beginx y end right] & amp = left [ begin-1 20 end right] AX & amp = B end$

Ahora, si el $ A $ anterior tiene una inversa, entonces ambos lados se pueden multiplicar por la izquierda por $ A ^ <-1> $ para obtener $ beginAX & amp = B A ^ <-1> AX & amp = A ^ <-1> B I_2X & amp = A ^ <-1> B X & amp = A ^ <-1> B left [empezarx y end right] & amp = left [ begin2 y amp-3 - 5 y amp5 end right] ^ <-1> left [ begin-1 20 end right] end$


Contenido

El teorema sigue siendo válido para las matrices reales con la salvedad de que se consideran sus valores propios complejos. La prueba de la parte "si" sigue siendo aplicable a la parte "solo si", tenga en cuenta que tanto R e (u v ∗) < displaystyle mathrm (uv ^ <*>)> y yo m (u v ∗) < Displaystyle mathrm (uv ^ <*>)> satisfacen la ecuación homogénea A X + X B = 0 < displaystyle AX + XB = 0>, y no pueden ser cero simultáneamente.

Uno comprueba fácilmente una dirección: si HACHAXB = C luego

La regla de eliminación de Roth no se generaliza a operadores acotados de dimensión infinita en un espacio de Banach. [5]

Un algoritmo clásico para la solución numérica de la ecuación de Sylvester es el algoritmo de Bartels-Stewart, que consiste en transformar A < displaystyle A> y B < displaystyle B> en la forma de Schur mediante un algoritmo QR y luego resolver el sistema triangular resultante vía sustitución hacia atrás. Este algoritmo, cuyo costo computacional es O (n 3) < displaystyle < mathcal > (n ^ <3>)> operaciones aritméticas, [ cita necesaria ] es utilizado, entre otros, por LAPACK y la función lyap en GNU Octave. [6] Véase también la función sylvester en ese idioma. [7] [8] En alguna aplicación de procesamiento de imágenes específica, la ecuación de Sylvester derivada tiene una solución de forma cerrada. [9]


2 respuestas 2

La solución general es la solución general homogénea más una solución particular. Una solución particular muy conveniente es una solución estacionaria. En este problema, una solución estacionaria $ x ^ * $ es cualquier solución para $ Ax ^ * = - b $. Si existe una solución estacionaria, entonces la solución general es $ x = e ^y + x ^ * $ como rangos de $ y $ en todo $ mathbb^ n $. Aquí en general $ y neq x (0) $. Sin embargo, $ e ^$ siempre es invertible. Por lo tanto, siempre puede encontrar $ y $ que se ajuste a cualquier condición inicial que desee.

Este enfoque puede verse como equivalente a lo que solemos hacer en el caso no lineal: $ x '= Ax + b $ es equivalente a $ (xx ^ *)' = A (xx ^ *) $, por lo que resuelve $ xx ^ * $ y agregue $ x ^ * $ al final.

Ya sea que exista una solución estacionaria o no, y de hecho si el forzamiento es constante o no, una solución para $ x '(t) = Ax (t) + f (t) $ es

En este caso $ f (t-s) equiv b $, entonces tenemos

Así, en general, la solución general para $ x '= Ax + b $ es

como $ y $ varía sobre todo $ mathbb^ n $. Tenga en cuenta que en este formulario en realidad $ y = x (0) $, que no es el caso del formulario del primer párrafo.


Ejemplos de

Esta sección cubrirá ejemplos comunes que involucran formas de ecuaciones lineales.

Ejemplo 1

¿Cuáles son la pendiente y la intersección con el eje y de una línea que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 5)?

Ejemplo 1 Solución

Sabemos que podemos encontrar la pendiente de una línea dividiendo la diferencia entre los valores de y de dos puntos por la diferencia entre los valores de x de los mismos dos puntos. En este caso, la pendiente es:

Ahora, dado que tenemos un punto y la pendiente, podemos usar la fórmula punto-pendiente. Cualquiera de los dos puntos funcionará, pero podemos usar los valores más pequeños y dejar que (1, 2) sea (x1, y1).

Por tanto, la pendiente es 3 /2 y la intersección con el eje y es 1 /2.

Ejemplo 2

¿Cuál es la pendiente y la intersección de la línea que se muestra a continuación?

Ejemplo 2 Solución

La intersección con el eje y, el punto donde la línea cruza el eje y, es fácil de ver. Es (0, 1). También necesitamos encontrar un segundo punto para poder encontrar la pendiente. Si bien hay muchas opciones, podemos elegir (3, 3) como ilustración.

Como ya conocemos la intersección, podemos simplemente insertar los valores en la ecuación pendiente-intersección para obtener:

Ejemplo 3

¿Cuál es la intersección con el eje x y la intersección con el eje y de la línea 4x + 2y = -7?

Ejemplo 3 Solución

Dado que esta ecuación ya está en forma estándar, podemos encontrar fácilmente las intersecciones. En este caso, A = 4, B = 2 y C = -7.

Recuerda que la intersección con el eje y es igual a:

Por lo tanto, la intersección con el eje y es:

Asimismo, recuerde que la intersección con el eje x es igual a:

Por lo tanto, la intersección con el eje x es:

Ejemplo 4

Una línea k es y = 7 / 2x-4 en forma pendiente-intersección. Encuentre la forma estándar de k.

Ejemplo 4 Solución

La conversión de la forma pendiente-intersección a la forma estándar requiere cierta manipulación algebraica.

Primero, coloque las variables xey del mismo lado:

Ahora, necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por el mismo número para que los coeficientes de xey sean ambos números enteros. Dado que el coeficiente de x se divide por 2, debemos multiplicar todo por 2:

Dado que A debe ser positivo, también debemos multiplicar toda la ecuación por -1:

Ejemplo 5

Escribe la ecuación de la línea que se muestra a continuación en las tres formas. Luego, enumera la pendiente y ambas intersecciones.

Ejemplo 5 Solución

Como se nos da la gráfica, tendremos que encontrar dos puntos para encontrar la pendiente. Desafortunadamente, la intersección con el eje y no está en la cuadrícula, por lo que tendremos que elegir otros dos puntos. Los puntos (1, 2) y (-1, -3). Por tanto, la pendiente es:

Ahora, usamos la forma punto-pendiente para encontrar la forma pendiente intersección. Sea (1, 2) el punto (x1, y1). Entonces nosotros tenemos:

Ahora, necesitamos convertir esto a la forma estándar. Como antes, pondremos las variables del mismo lado:

Ahora, necesitamos manipular algebraicamente la ecuación para que no haya fracciones. Podemos hacer esto multiplicando ambos lados por 2 para obtener:

Finalmente, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por -1 para asegurarnos de que el coeficiente de x sea positivo:

Por tanto, las tres formas de la ecuación son:

Podemos usar estas ecuaciones para derivar las intersecciones. La forma pendiente-intersección deja en claro que la intersección con el eje y es -1 /2. Para la intersección con el eje x, podemos usar la forma estándar porque C /A es la intersección con el eje x. Por lo tanto, la intersección con el eje x es 1 /5 para esta ecuación.


Operandos A, B y # 8212 vectores | matrices completas | matrices dispersas

Operandos, especificados como vectores, matrices completas o matrices dispersas. A y B deben tener el mismo número de columnas.

Si A o B tiene un tipo de datos entero, la otra entrada debe ser escalar. Los operandos con un tipo de datos entero no pueden ser complejos.

Tipos de datos: soltero | doble | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | lógico | carbonizarse
Soporte de números complejos:


Cómo resolver ecuaciones lineales & # 8211 Tutorial y preguntas de práctica

Ecuaciones lineales con variable x es una ecuación con la siguiente forma:

donde ayb son algunos números reales. Si a = 0 y b es diferente de 0, entonces la ecuación no tiene solución.

Resolvamos un ejemplo simple de una ecuación lineal con una variable:

Cuando se nos da este tipo de ecuaciones, siempre estamos moviendo variables a un lado de la ecuación y números reales al otro lado del signo igual. Recuerde siempre: si está cambiando de bando, está cambiando de signo. Muevamos todas las variables a la izquierda y el número real al lado derecho:

Cuando 2x va a la izquierda, ahora se convierte en -2x, y -2 va a la derecha y se convierte en +2. Después de los cálculos, encontramos que x es 4, que es una solución de nuestra ecuación lineal.

Resolvamos una ecuación lineal un poco más compleja:

Multiplicamos la ecuación completa por 4, para perder la línea fraccionaria. Ahora tenemos una ecuación lineal simple. Si cambiamos de bando, cambiamos los signos. Al final hacemos los cálculos finales.


Solución de una ecuación diferencial parcial

Una solución o integral de una ecuación diferencial parcial es una relación que conecta las variables dependientes e independientes que satisface la ecuación diferencial dada. Una ecuación diferencial parcial puede resultar tanto de la eliminación de constantes arbitrarias como de la eliminación de funciones arbitrarias, como se explica en la sección 1.2. Pero hay una diferencia básica en las dos formas de soluciones. Una solución que contiene tantas constantes arbitrarias como variables independientes se llama integral completa. Aquí, las ecuaciones diferenciales parciales contienen solo dos variables independientes, de modo que la integral completa incluirá dos constantes. Una solución obtenida al dar valores particulares a las constantes arbitrarias en una integral completa se llama integral particular.

ser la ecuación diferencial parcial cuya integral completa es

donde 'a' y 'b' son constantes arbitrarias.

Diferenciar (2) parcialmente w.r.t. ayb, obtenemos


La eliminación de 'a' y 'b' de las ecuaciones (2), (3) y (4), cuando existe, se llama integral singular de (1).

En la integral completa (2), pon b = F (a), obtenemos

Diferenciando (2), parcialmente w.r.t.a, obtenemos


La eliminación de 'a' entre (5) y (6), si existe, se llama integral general de (1).

SOLUCIÓN DE TIPOS ESTÁNDAR DE PRIMER PEDIDO PARCIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES.

La ecuación diferencial parcial de primer orden se puede escribir como

donde p = ¶ z / ¶ x y q = ¶ z / ¶ y. En esta sección, resolveremos algunas formas estándar de ecuaciones mediante métodos especiales.

Estándar I: f (p, q) = 0, es decir, ecuaciones que contienen p y q solamente.

Suponga que z = ax + by + c es una solución de la ecuación f (p, q) = 0, donde f (a, b)

Resolviendo esto para b, obtenemos b = F (a).

Por tanto, la integral completa es z = ax + F (a) y + c ------------

Ahora, la integral singular se obtiene eliminando a & amp c entre

z = ax + y F (a) + c 0 = x + y F '(a)

Siendo la última ecuación absurda, la integral singular no existe en este caso.

Para obtener la integral general, tomemos c = F (a).

Diferenciar (2) parcialmente w.r.t. a, obtenemos

Eliminando 'entre' a (2) y (3), obtenemos el gen

La ecuación dada tiene la forma f (p, q) = 0

La solución es z = ax + by + c, donde ab = 2.

Diferenciando (1) parcialmente w.r.t 'c',

lo cual es absurdo. Por tanto, no hay integral singular.

Para encontrar la integral general, ponga c =  (a) en (1), obtenemos

Diferenciando parcialmente w.r.t 'a', obtenemos

Al eliminar 'a' entre estas ecuaciones se obtiene la integral general.

La ecuación dada tiene la forma f (p, q) = 0.

La solución es z = ax + by + c, donde ab + a + b = 0.


Diferenciar (1) parcialmente w.r.t. 'C', obtenemos

Siendo la ecuación anterior absurda, no hay integral singular para la ecuación diferencial parcial dada.

Para encontrar la integral general, ponga c = F (a) en (1), tenemos


Diferenciando (2) parcialmente w.r.t a, obtenemos


La solución de esta ecuación es z = ax + by + c, donde a 2 + b 2 = nab.


Diferenciando (1) parcialmente w.r.t c, obtenemos 0 = 1, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no hay integral singular para la ecuación dada.

Para encontrar la integral general, pon C = F (a), obtenemos


La eliminación de 'a' entre estas ecuaciones da la integral general

Estándar II: Ecuaciones de la forma f (x, p, q) = 0, f (y, p, q) = 0 y f (z, p, q) = 0. es decir, una de las variables x, y, z ocurre explícitamente.

(i) Consideremos la ecuación f (x, p, q) = 0.

Dado que z es una función de xey, tenemos


Entonces la ecuación dada toma la forma f (x, p, a) = 0

Por lo tanto, dz = F (x, a) dx + a dy.

(ii) Consideremos la ecuación f (y, p, q) = 0. Suponga que p = a.

Entonces la ecuación se convierte en f (y, a, q) = 0 Resolviendo, obtenemos q = F (y, a).

Por lo tanto, dz = adx + F (y, a) dy.

Integrando, z = ax + òF (y, a) dy + b, que es una Integral completa.

(iii) Consideremos la ecuación f (z, p, q) = 0.

Entonces la ecuación se convierte en f (z, p, ap) = 0

Resolviendo, obtenemos p = F (z, a). Por tanto, dz = F (z, a) dx + a F (z, a) dy.


Esto tiene la forma f (x, p, q) = 0.


Esto es de la forma f (y, p, q) = 0

Por lo tanto, la ecuación dada se convierte en q = a 2 y.

Dado que dz = pdx + qdy, tenemos

Integrando, obtenemos z = ax + (a 2 y 2/2) + b

Esto es de la forma f (z, p, q) = 0

Entonces, poniendo q = ap, la ecuación dada se convierte en


Estándar III: f 1 (x, p) = f 2 (y, q). es decir, ecuaciones en las que "z" está ausente y las variables son separables.

Supongamos como una solución trivial que

Resolviendo para pyq, obtenemos p = F (x, a) y q = G (y, a).


Por tanto, dz = pdx + qdy = F (x, a) dx + G (y, a) dy

Por lo tanto, z = ò F (x, a) dx + ò G (y, a) dy + b, que es la integral completa de la ecuación dada que contiene dos constantes ay b. Las integrales singular y general se encuentran de la forma habitual.

La ecuación dada se puede escribir como


La ecuación dada se puede escribir como p 2 –x 2 = y 2 –q 2 = a 2 (digamos)

p 2 –x 2 = a 2 Implica p = Ö (a 2 + x 2)

andy 2 –q 2 = a 2 Implica q = Ö (y 2 –a 2)


Formulario estándar IV (de Clairaut)

La ecuación del tipo z = px + qy + f (p, q) ------ (1) se conoce como Clairaut

Al diferenciar (1) parcialmente w.r.t x e y, obtenemos p = a y q = b.

Por tanto, la integral completa viene dada por

La ecuación dada está en Clairaut. formulario

Poniendo p = a y q = b, tenemos

que es la integral completa.

Para encontrar la integral singular, diferenciando (1) parcialmente w.r.t ayb, obtenemos

Por lo tanto, tenemos a = -y y b = -x.

Sustituyendo los valores de a & amp b en (1), obtenemos

o z + xy = 0, que es la integral singular.

Para obtener la integral general, ponga b = F (a) en (1).

Entonces z = ax + F (a) y + a F (a) ---------- (2)

Diferenciando (2) parcialmente w.r.t a, tenemos

0 = x + F '(a) y + a F' (a) + F (a) ---------- (3)

Eliminando 'a' entre (2) y (3), obtenemos la integral general.

Encuentra las soluciones completas y singulares de


Resuelve las siguientes ecuaciones

ECUACIONES REDUCIBLES A LAS FORMAS ESTÁNDAR

A veces, es posible tener ecuaciones diferenciales parciales no lineales de primer orden que no pertenecen a ninguna de las cuatro formas estándar discutidas anteriormente. Al cambiar las variables de manera adecuada, las reduciremos a cualquiera de las cuatro formas estándar.

Tipo (i): Ecuaciones de la forma F (x m p, y n q) = 0 (o) F (z, x m p, y n q) = 0.

Caso (i): Si m ¹ 1 y n ¹ 1, luego ponga x 1-m = X e y 1-n = Y.


Por tanto, la ecuación dada toma la forma F (P, Q) = 0 (o) F (z, P, Q) = 0.

Caso (ii): Si m = 1 y n = 1, luego ponga log x = X y log y = Y.


Resolver x 4 p 2 + y 2 zq = 2z 2

La ecuación dada se puede expresar como

Ponga X = x 1-m = x -1 e Y = y 1-n = y -1.

Tenemos x m p = (1-m) P y y n q = (1-n) Q

Por lo tanto, la ecuación dada se convierte en

Esta ecuación tiene la forma f (z, P, Q) = 0.

Entonces la ecuación (1) se reduce a


Resolver x 2 p 2 + y 2 q 2 = z 2

La ecuación dada se puede escribir como

Ponga X = log x e ​​Y = log y.

Por lo tanto, la ecuación dada se convierte en

Esta ecuación tiene la forma F (z, P, Q) = 0.

Por tanto, supongamos que Q = aP.


Por lo tanto, Ö (1 + a 2) log z = logx + alogy + b, que es la solución completa.

Tipo (ii): Ecuaciones de la forma F (z k p, z k q) = 0 (o) F (x, z k p) = G (y, z k q).


Construcción de la solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales utilizando la forma de Jordan

Consideramos nuevamente un sistema de (n ) ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes:

[ mathbf& # 8217 left (t right) = A mathbf left (t right), ]

Un conjunto fundamental de soluciones del sistema debe incluir (n ) funciones linealmente independientes. Al construir una solución utilizando los valores propios y los vectores propios, a menudo parece que el número de vectores propios es menor que norte, es decir, para tales sistemas, no existe una base que consista únicamente en vectores propios. En este caso, la solución se puede buscar, por ejemplo, mediante el método de coeficientes indeterminados. Sin embargo, existe una forma más general y elegante de construir la solución. Se basa en el hecho de que cualquier matriz cuadrada puede reducirse a la llamada forma canónica de Jordan (estrictamente hablando, esto es cierto para los números complejos). Conociendo la forma de Jordan de una matriz y la base de Jordan, puede obtener la solución general del sistema.

Considere esta técnica de resolución con más detalle. Primero presentamos algunas definiciones básicas.

Forma de Jordan de una matriz

La forma de Jordan puede verse como una generalización de la matriz diagonal cuadrada. Los llamados bloques de Jordan correspondientes a los valores propios (< lambda _i> ) de la matriz original se colocan en su diagonal. Los valores propios (< lambda _i> ) pueden ser iguales en diferentes bloques. La estructura de la matriz de Jordan podría verse así:

Los valores propios (< lambda _i> ) en sí mismos están en la diagonal principal. Cada valor propio (< lambda _i> ) ocurre tantas veces como su multiplicidad algebraica (. ) En cada bloque de tamaño superior a (1, ) hay una diagonal paralela sobre el principal, que consta de unidades. Todos los demás elementos de la matriz de Jordan son cero. El orden de los bloques de Jordan en la matriz no es único.

Autovectores generalizados y cadenas de Jordan

Considere un bloque de Jordan de tamaño (k ) asociado con un valor propio (< lambda>. ) Dicho bloque tiene (k ) vectores base (< mathbf_1>, ) (< mathbf_2>, ldots, ) (< mathbf_k>. ) Vector (< mathbf_1> ) ( left (<< mathbf_1> ne 0> right) ) es el vector propio y satisface la ecuación

Vector (< mathbf_2> ) ( left (<< mathbf_2> ne 0> right) ) se determina a partir de la ecuación

y se denomina vector propio generalizado de primer orden. De manera similar, se pueden encontrar los otros vectores propios generalizados de orden superior:

Tenga en cuenta que de las relaciones

Para un vector propio generalizado (< mathbf_k> ) de orden (k ) se cumple la siguiente igualdad

El conjunto de vectores (< mathbf_1>, ) (< mathbf_2>, ldots, ) (< mathbf_k> ) que consta de un vector propio (< mathbf_1> ) y vectores propios generalizados (< mathbf_2>, ldots, ) (< mathbf_k> ) es linealmente independiente y se llama cadena de Jordan.

Cada cadena de Jordan de longitud (k ) corresponde a (k ) soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo en la forma

El número total de soluciones es igual a la suma de las longitudes de las cadenas de Jordan para todos los bloques, que es igual al tamaño de la matriz (n. ) El conjunto de tales funciones vectoriales linealmente independientes es un sistema fundamental de soluciones .

La solución general para las matrices (2 times 2 ) y (3 times 3 )

En la práctica, los más habituales son los sistemas de ecuaciones diferenciales de 2º y 3º orden. Consideramos todos los casos de forma de Jordan, que se pueden encontrar en tales sistemas y las fórmulas correspondientes para la solución general. En total, hay ocho casos diferentes ( (3 ) para la matriz (2 times 2 ) y (5 ) para la matriz (3 times 3 )). Es conveniente ilustrar esta clasificación con la siguiente tabla:

Ahora discutimos cómo calcular los autovectores y autovectores generalizados en estos casos y construimos la solución general.

Caso (1. ) Matriz (2 veces 2. ) Dos valores propios distintos (, )

En este caso, la forma normal de Jordan es diagonal. Cada valor propio (< lambda _i> ) tiene un vector propio (< mathbf_i>, ) que se puede encontrar a partir de la ecuación matricial

La solución general viene dada por

Caso (2. ) Matriz (2 veces 2. ) Un valor propio ( ) ( left (= 2, = 2> derecha) )

Esta matriz tiene un solo valor propio de multiplicidad (2. ) El rango de la matriz para este valor de (< lambda _1> ) es (0. ) Por lo tanto, la multiplicidad geométrica es igual a

es decir, al resolver la ecuación

obtenemos dos vectores propios linealmente independientes (< mathbf_1> ) y (< mathbf_2>. ) La solución general tiene casi la misma forma que en el caso (1: )

Caso (3. ) Matriz (2 por 2. ) Un valor propio ( ) ( left (= 2, = 1> derecha) )

Aquí el rango de la matriz es (1. ) Por lo tanto, la multiplicidad geométrica del valor propio (< lambda _1> ) y el número de vectores propios es igual

Este vector propio (< mathbf_1> = < izquierda (<>,>> right) ^ T> ) se puede encontrar a partir de la ecuación

Para construir un sistema fundamental de soluciones, necesitamos un vector linealmente independiente más. Como tal, tomamos el vector propio generalizado (< mathbf_2> = < izquierda (<>,>> right) ^ T> ) satisfaciendo la ecuación

Podemos componer la matriz (H ) basada en los vectores propios regulares y generalizados:

Entonces la forma de Jordan (J ) se puede encontrar usando la relación

dónde (> ) es la matriz inversa de (H. ) Esta propiedad se puede utilizar para la validación de vectores propios regulares y generalizados.

La solución general se representa como

Caso (4. ) Matriz (3 por 3. ) Tres valores propios distintos (, , )

Aquí la forma de Jordan es diagonal. Cada valor propio (< lambda _i> ) tiene su vector propio (< mathbf_i>, ) que se determina a partir de la ecuación

La solución general del sistema de 3 ecuaciones diferenciales se puede escribir como

Caso (5. ) Matriz (3 por 3. ) Dos valores propios ( left (= 2, = 2> derecha), ) ( izquierda (= 1, = 1> derecha) )

En este caso, la ecuación característica tiene dos raíces, una de las cuales tiene multiplicidad (<= 2>. ) Al sustituir esta raíz múltiple (< lambda _1>, ) la matriz (A & # 8211 < lambda _1> I ) tiene rango (1. ) Como resultado, el geometric multiplicity of () and the number of associated eigenvectors is equal to

Both the linearly independent eigenvectors (_1>) and (_2>) (they correspond to two Jordan blocks) are determined from the equation

The third block in the Jordan form consists of a simple eigenvalue (left( <= 1, = 1> ight).) The eigenvector (_3>) for this number can be found from the equation

The general solution is given by

Case (6.) Matrix (3 imes 3.) Two Eigenvalues (left( = 2, = 1> ight),) (left( = 1, = 1> ight))

This case differs from the previous one in that the first eigenvalue () has only one eigenvector (_1>,) which satisfies the equation

The matrix rank for the number () is (2:)

The missing linearly independent vector can be found as a generalized eigenvector (_2>,) connected to (_1>:)

The other eigenvalue () (corresponding to the second Jordan block) provides one more eigenvector (_3>.) The general solution has the form:

Case (7.) Matrix (3 imes 3.) One Eigenvalue () (left( = 3, = 2> ight))

Here the Jordan form consists of two blocks with the same eigenvalue (.) The first block has one regular eigenvector (_1>) and one generalized eigenvector (_2>.) They can be found from the relationships

The first equation has two solutions in the form of two eigenvectors (since ( extleft( I> ight) = 1)). The second regular eigenvector (denoted as (_3>)) is associated with the second Jordan block.

The general solution is described by

Case (8.) Matrix (3 imes 3.) One Eigenvalue () (left( = 3, = 1> ight))

In this case, the linear operator (A) has one eigenvalue () of multiplicity ( = 3.) The rank of the matrix (left( I> ight)) is (2.) This leads to the fact that the equation

has a solution in the form of a single eigenvector (_1>.) The missing two linearly independent vectors are determined as generalized eigenvectors from the chain of relations

Below we consider examples of systems of equations corresponding to the Cases (1 – 8.) Cases (1,2,4,5) with a “sufficient” number of eigenvectors are also presented on the web page Method of Eigenvalues and Eigenvectors.


Ver el vídeo: IntAlg -Applications Involving Quadratic Equations (Septiembre 2021).