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11.2: Vectores tangentes como números complejos - Matemáticas


En clases anteriores, usaste curvas parametrizadas ( gamma (t) = (x (t), y (t)) ) en el plano (xy ) -. Considerado de esta manera, el vector tangente es solo la derivada:

[ gamma '(t) = (x' (t), y '(t)). ]

Tenga en cuenta que, como vector, ((x ', y') ) representa un desplazamiento. Si el vector comienza en el origen, entonces el punto final está en ((x ', y') ). Más típicamente dibujamos el vector comenzando en el punto ( gamma (t) ).

También puede utilizar previamente curvas parametrizadas ( gamma (t) = x (t) + iy (t) ) en el plano complejo. Considerado de esta manera, el vector tangente es solo la derivada:

[ gamma '(t) = x' (t) + iy '(t). ]

Debe quedar claro que estas representaciones son equivalentes. El vector ((x ', y') ) y el número complejo (x '+ iy' ) ambos representan el mismo desplazamiento. Además, la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores es el mismo en ambas representaciones.

Pensar en los vectores tangentes a las curvas como números complejos nos permite reformular la conformidad en términos de números complejos.

Teorema ( PageIndex {1} )

Si (f (z) ) es conforme en (z_0 ) entonces hay un número complejo (c = ae ^ {i phi} ) tal que el mapa (f ) multiplica los vectores tangentes en (z_0 ) por (c ). Por el contrario, si el mapa (f ) multiplica todos los vectores tangentes en (z_0 ) por (c = ae ^ {i phi} ) entonces (f ) es conforme en (z_0 ).

Prueba

Por definición, (f ) es conforme en (z_0 ) significa que hay un ángulo ( phi ) y un escalar (a> 0 ) tal que el mapa (f ) rota los vectores tangentes en (z_0 ) por ( phi ) y los escala por (a ). Este es exactamente el efecto de la multiplicación por (c = ae ^ {i phi} ).


Ver el vídeo: Areas of Parallelograms and Triangles (Septiembre 2021).