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9.1: Polos y ceros


Le recordamos la siguiente terminología: Suponga que (f (z) ) es analítico en (z_0 ) y

[f (z) = a_n (z - z_0) ^ n + a_ {n + 1} (z - z_0) ^ {n + 1} + ..., ]

con (a_n ne 0 ). Entonces decimos que (f ) tiene un cero de orden (n ) en (z_0 ). Si (n = 1 ) decimos que (z_0 ) es un cero simple.

Suponga que (f ) tiene una sigularidad aislada en (z_0 ) y Laurent series

[f (z) = dfrac {b_n} {(z - z_0) ^ n} + dfrac {b_ {n - 1}} {(z - z_0) ^ {n - 1}} + ... + dfrac {b_1} {z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + ... ]

que converge en (0 <| z - z_0 |

Hay varios ejemplos en las notas del Tema 8. Aqui hay uno mas

Ejemplo ( PageIndex {1} )

[f (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z ^ 2 + 1)} nonumber ]

tiene singularidades aisladas en (z = 0 ), ( pm i ) y un cero en (z = -1 ). Demostraremos que (z = 0 ) es un polo de orden 3, (z = pm i ) son polos de orden 1 y (z = -1 ) es un cero de orden 1. El estilo de argumento es el mismo en cada caso.

En (z = 0 ):

[f (z) = dfrac {1} {z ^ 3} cdot dfrac {z + 1} {z ^ 2 + 1}. sin número]

Llame al segundo factor (g (z) ). Dado que (g (z) ) es analítica en (z = 0 ) y (g (0) = 1 ), tiene una serie de Taylor

[g (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 2 + 1} = 1 + a_1 z + a_2 z ^ 2 + ... nonumber ]

Por lo tanto

[f (z) = dfrac {1} {z ^ 3} + dfrac {a_1} {z ^ 2} + dfrac {a_2} {z} + ... nonumber ]

Esto muestra que (z = 0 ) es un polo de orden 3.

En (z = i ): (f (z) = dfrac {1} {z - i} cdot dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z + i)} ). Llame al segundo factor (g (z) ). Dado que (g (z) ) es analítica en (z = i ), tiene una serie de Taylor

[g (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z + i)} = a_0 + a_1 (z - i) + a_2 (z - i) ^ 2 + ... nonumber ]

donde (a_0 = g (i) ne 0 ). Por lo tanto,

[f (z) = dfrac {a_0} {z - i} + a_1 + a_2 (z - i) + ... nonumber ]

Esto muestra que (z = i ) es un polo de orden 1.

Los argumentos para (z = -i ) y (z = -1 ) son similares.


9.1: Polos y ceros

    Puede considerarse como una sección de filtro de dos ceros seguida en serie por una sección de filtro de dos polos.

Es una propiedad muy útil de la implementación de la forma directa I que no puede desbordarse internamente en la aritmética de punto fijo en complemento a dos: mientras la señal de salida esté dentro del rango, el filtro estará libre de desbordamiento numérico. La mayoría de las implementaciones de filtros IIR no tienen esta propiedad. Si bien DF-I es inmune al desbordamiento interno, no se debe concluir que siempre sea la mejor opción de implementación. Otras formas a considerar incluyen secciones de segundo orden paralelas y en serie (& # 1679.2 a continuación) y formas de escalera normalizadas [32,48,86]. 10.2 Además, veremos que la forma directa II transpuesta (figura 9.4 a continuación) también es un fuerte contendiente.

Complemento envolvente de dos

En esta sección, damos un ejemplo que muestra cómo el desbordamiento temporal en el punto fijo en complemento a dos no causa efectos nocivos.

En aritmética de coma fija con signo de 3 bits, los números disponibles se muestran en la tabla 9.1.

Vamos a realizar la suma , que da un desbordamiento temporal (, que envuelve a ), pero un resultado final () que está en el rango permitido : 10.3


Ahora hagámoslo en complemento a dos de tres bits:


En ambos ejemplos, el resultado intermedio se desborda, pero el resultado final es correcto. Otra forma de indicar lo que sucedió es que un reinicio positivo en la primera adición se cancela mediante un reinicio negativo en la segunda adición.


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Salvo errores y omisiones (E & ampOE). El embalaje y el material del producto pueden contener más o diferente información del sitio web, incluida la descripción del producto y otra información. Siempre lea las etiquetas, advertencias e instrucciones y otra información proporcionada con el producto antes de usarlo. Todas las medidas son aproximadas. Los colores pueden variar.

Dada la variedad de factores que pueden afectar el uso y rendimiento de un producto, el usuario es el único responsable de evaluar el producto y determinar si es apto para un propósito particular y adecuado para el método de aplicación del usuario.


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Argumentos de salida

B, a & # 8212 Coeficientes de la función de transferencia vectores de fila

Coeficientes de la función de transferencia del filtro, devueltos como vectores de fila de longitud n + 1 para filtros de paso bajo y paso alto y 2 n + 1 para filtros de paso de banda y supresión de banda.

Para los filtros digitales, la función de transferencia se expresa en términos de by a como

H (z) = segundo (z) A (z) = segundo (1) + segundo (2) z - 1 + & # x22EF + segundo (n + 1) z - na (1) + a (2) z - 1 + & # x22EF + a (n + 1) z - n.

Para filtros analógicos, la función de transferencia se expresa en términos de by a como

H (s) = B (s) A (s) = segundo (1) sn + segundo (2) sn - 1 + & # x22EF + b (n + 1) a (1) sn + a (2) sn - 1 + & # x22EF + a (n + 1).

Tipos de datos: doble

Z, p, k & # 8212 Ceros, polos y ganancia vectores de columna, escalar

Ceros, polos y ganancia del filtro, devueltos como dos vectores de columna de longitud n (2 n para diseños de paso de banda y tope de banda) y un escalar.

Para los filtros digitales, la función de transferencia se expresa en términos de z, p y k como

H (z) = k (1 - z (1) z - 1) (1 - z (2) z - 1) & # x22EF (1 - z (n) z - 1) (1 - p (1) z - 1) (1 - p (2) z - 1) & # x22EF (1 - p (n) z - 1).

Para los filtros analógicos, la función de transferencia se expresa en términos de z, p y k como

H (s) = k (s - z (1)) (s - z (2)) & # x22EF (s - z (n)) (s - p (1)) (s - p (2)) y # x22EF (s - p (n)).

Tipos de datos: doble

Matrices de espacio de estados A, B, C, D y # 8212 matrices

Representación en espacio de estados del filtro, devuelta como matrices. Si metro = n para diseños de paso bajo y paso alto y metro = 2 n para filtros de paso de banda y de supresión de banda, entonces A es metro × metro, B es metro × 1, C es 1 × metroy D es 1 × 1.

Para los filtros digitales, las matrices de espacio de estado relacionan el vector de estado X, la entrada tuy la salida y mediante

x (k + 1) = A x (k) + B u (k) y (k) = C x (k) + D u (k).

Para filtros analógicos, las matrices de espacio de estado relacionan el vector de estado X, la entrada tuy la salida y mediante

Tipos de datos: doble


9.6 Teorema de Miller

En este punto vamos a desviarnos para discutir el teorema de Miller. Si bien los métodos que hemos estado usando hasta este punto son completamente generales, hay ciertas configuraciones que se prestan para ser analizadas de manera más simple por el teorema de Miller. El teorema de Miller establece que en un circuito lineal, si hay una rama donde una impedancia Z, conecta dos nodos con voltajes de nodo V 1y V 2, esta rama puede ser reemplazada por otras dos ramas que conectan los nodos correspondientes a tierra por impedancias respectivamente Z / (1-K) y KZ / (K -1), donde la ganancia del nodo 1 al nodo 2 es K = V 2 / V 1.

Figura 9.6.1 Teorema de Miller

En este punto, repasaremos los pasos que muestran cómo se llega a las impedancias de Miller. Podemos usar la técnica de red de dos puertos equivalente para reemplazar el de dos puertos representado en la figura 9.6.1 (a) por su equivalente en la figura 9.6.2.

Reemplazando las fuentes de voltaje en la figura 9.6.2 con sus fuentes de corriente equivalentes Norton, obtenemos la figura 9.6.3.

Utilizando el teorema de la absorción de la fuente (consulte el apéndice al final de este capítulo), obtenemos la figura 9.6.4.

Lo que nos da la figura 9.6.5 (que es la figura 9.6.1 (b)) cuando combinamos en paralelo las dos impedancias.


Informes

1. (ACTUALIZADO 29/10/2020) En el informe de evaluación generado a partir de la pantalla de personas y actividades faltan datos

Asunto: El informe de evaluación generado desde la pantalla Persona y actividad tiene menos datos que el mismo informe generado desde la pestaña Imprimir en la pantalla Evaluación. Y, un mensaje de error que dice “El parámetro de informe aún no se ha creado. Espere un poco y vuelva a intentarlo ". podría mostrarse cuando un usuario hace clic en el botón "Assmt Rpt" en la pantalla Persona y actividades.

Solución alterna: Solo debe generar el informe de evaluación desde la pestaña Imprimir dentro de la Evaluación.

2. Dificultad para imprimir algunos informes debido a un problema de Microsoft Silverlight

Asunto: Cuando los usuarios intentan generar informes, Silverlight a veces convierte los informes en imágenes, que pueden usar muchos más datos que otros formatos. Los archivos de datos grandes causan problemas a las impresoras, dependiendo de lo que esté sucediendo en el sistema y la red en el momento en que se envía un trabajo de impresión. Como resultado, los informes no se imprimen correctamente de forma coherente.

Solución 1: Espere aproximadamente 5 minutos antes de imprimir un informe. Reinicie el sistema si el problema persiste.

Solución 2: Configura la impresora / copiadora como una impresora IP local.

Solución alternativa 3: Conecte la computadora directamente a la impresora.

Solución alternativa 4: Aumentar el espacio de la memoria:


Si desea codificar su propia aplicación que traza la respuesta de magnitud, primero debe extraer los polos y ceros de su función de transferencia en el dominio $ Z $. El proceso que sigue puede ser analítico o gráfico. Intentaré abarcar ambos, comenzando por el enfoque analítico, luego gráfico.

Extrayendo los polos y ceros

Tomando su ecuación en el dominio del tiempo. : $ y [n] = 0.0976⋅x [n] + 0.1952⋅x [n − 1] + 0.0976⋅x [n − 2] + 0.9429⋅y [n − 1] −0.3334⋅y [n − 2] $ La función de transferencia en el dominio Z es $ H (z) = frac= frac <0.0976 + 0.1952z ^ <-1> + 0.0976z ^ <-2>> <1-0.9429z ^ <-1> + 0.3334z ^ <-2>> = frac <0.0976 (1 + 2z ^ <-1> + 1z ^ <-2>)> <1-0.9429z ^ <-1> + 0.3334z ^ <-2>> $

Resolver el numerador y el denominador para $ z = 0 $ producirá algunos polos, ceros y ganancias. No detallaré este paso ya que este tema está ampliamente cubierto. En su caso, encontrará: $ ceros = <- 1, -1 > $ $ polos = <(0.4746 + 0.3289j), (0.4746 - 0.3289j) > $ $ K_= 0.0976 $ $ K_=1$ El enfoque analítico

Una vez que tenga los polos y ceros, puede reescribir su función de transferencia en esta forma diferente:

La respuesta de magnitud de su filtro es básicamente la magnitud de su función de transferencia cuando $ z = e ^PS Podemos definir $ | H (z) | biggr rvert_<>>$

Traduzca eso en un código y obtendrá algo como: (ejemplo de matlab)

El enfoque gráfico

Lo que veremos aquí es exactamente lo que acabamos de ver en el enfoque analítico, pero intentaremos visualizarlo un poco. Tracemos sus polos y ceros en el plano $ Z $:

El círculo unitario, o $ z = e ^$, contiene todas las frecuencias desde $ omega = 0 $ a $ omega = Nyquist = frac <2 pi f_><2>$

Para conocer la respuesta de frecuencia de su filtro a un valor específico de $ omega $. Dibuja una línea desde cada polos / ceros hasta el punto correspondiente en el círculo unitario.

Tome los productos de la longitud de la línea que se origina en un cero y divídalos por el producto de la longitud de la línea que se origina en los polos. Obtendrá la respuesta de magnitud de su filtro.

Tómese unos segundos para comprender lo que acabamos de hacer allí y verá que es exactamente lo que sugiere el enfoque analítico.

Escribí un código de matlab para trazar la respuesta de frecuencia de un filtro no hace mucho y publiqué esta pregunta para obtener ayuda para hacer esto. También podría ayudarte.


Contenido

La función zeta de Riemann ζ(s) es una función de una variable compleja s = σ + eso . (La notación s, σ y t se usa tradicionalmente en el estudio de la función zeta, siguiendo a Riemann.) Cuando Re (s) = σ & gt 1, la función se puede escribir como una suma convergente o integral:

es la función gamma. La función zeta de Riemann se define para otros valores complejos mediante la continuación analítica de la función definida para σ & gt 1.

Leonhard Euler consideró la serie anterior en 1740 para valores enteros positivos de s, y más tarde Chebyshev extendió la definición a Re ⁡ (s) & gt 1. < displaystyle operatorname (s) & gt1.> [3]

La serie anterior es una serie de Dirichlet prototípica que converge absolutamente a una función analítica para s tal que σ & gt 1 y diverge para todos los demás valores de s. Riemann demostró que la función definida por la serie en el semiplano de convergencia se puede continuar analíticamente para todos los valores complejos s ≠ 1. Para s = 1, la serie es la serie armónica que diverge a + ∞, y

Por lo tanto, la función zeta de Riemann es una función meromórfica en todo el plano complejo s, que es holomórfico en todas partes excepto en un polo simple en s = 1 con residuo 1.

Para cualquier entero par positivo 2norte :

dónde B2norte es el 2norte -th número de Bernoulli.

Para los enteros positivos impares, no se conoce una expresión tan simple, aunque se cree que estos valores están relacionados con la teoría K algebraica de los enteros, consulte Valores especiales de funciones L.

Para enteros no positivos, uno tiene

por norte ≥ 0 (usando la convención que B1 = − 1 / 2 ).

En particular, ζ desaparece en los enteros pares negativos porque Bmetro = 0 para todos los m impares distintos de 1. Estos son los llamados "ceros triviales" de la función zeta.

  • ζ (- 1) = - 1 12 < Displaystyle zeta (-1) = - < tfrac <1> <12> >>
  • ζ (0) = - 1 2 < Displaystyle zeta (0) = - < tfrac <1> <2> >>
  • ζ (1 2) ≈ < displaystyle zeta < bigl (> < tfrac <1> <2>> < bigr)> approx> −1,460 354 508 809 586 812 88. (OEIS: A059750)
  • ζ (1) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ < Displaystyle zeta (1) = 1 + < tfrac <1> <2>> + < tfrac <1> <3>> + cdots = infty>
  • ζ (3 2) ≈ < Displaystyle zeta < bigl (> < tfrac <3> <2>> < bigr)> approx> 2.612 375 348 685 488 343 348. (OEIS: A078434)
  • ζ (2) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 ≈ < Displaystyle zeta (2) = 1 + < frac <1> <2 ^ <2> >> + < frac <1> <3 ^ <2> >> + cdots = < frac < pi ^ <2>> <6>> approx> 1,644 93406 848 226 436 472. (OEIS: A013661)
  • ζ (3) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ ≈ < Displaystyle zeta (3) = 1 + < frac <1> <2 ^ <3> >> + < frac <1> < 3 ^ <3> >> + cdots approx> 1.202 056 903 159 594 285 399. (OEIS: A002117)
  • ζ (4) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 ≈ < Displaystyle zeta (4) = 1 + < frac <1> <2 ^ <4> >> + < frac <1> <3 ^ <4> >> + cdots = < frac < pi ^ <4>> <90>> approx> 1.082 323 233 711 138 191 516. (OEIS: A013662)

En 1737, Euler descubrió la conexión entre la función zeta y los números primos, quien demostró la identidad

donde, por definición, el lado izquierdo es ζ(s) y el producto infinito en el lado derecho se extiende sobre todos los números primos p (tales expresiones se llaman productos de Euler):

La función zeta satisface la ecuación funcional

Una prueba de la ecuación funcional procede de la siguiente manera: Observamos que si σ & gt 0 < displaystyle sigma & gt0>, entonces

Con la inversión de los procesos limitantes justificada por la convergencia absoluta (de ahí el requisito más estricto en σ < displaystyle sigma>)

que es convergente para todos s, así lo sostiene la continuación analítica. Además, el RHS no cambia si s se cambia a 1 - s. Por eso

que es la ecuación funcional. E. C. Titchmarsh (1986). La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed.). Oxford: Publicaciones científicas de Oxford. págs. 21-22. ISBN 0-19-853369-1. Atribuido a Bernhard Riemann.

La ecuación funcional fue establecida por Riemann en su artículo de 1859 "Sobre el número de primos menores que una magnitud dada" y se utilizó para construir la continuación analítica en primer lugar. Euler había conjeturado una relación equivalente más de cien años antes, en 1749, para la función eta de Dirichlet (la función zeta alternante):

Por cierto, esta relación da una ecuación para calcular ζ(s) en la región 0 & lt Re (s) & lt 1, es decir

donde el η-la serie es convergente (aunque no absolutamente) en el semiplano más grande s & gt 0 (para una encuesta más detallada sobre la historia de la ecuación funcional, consulte, por ejemplo, Blagouchine [8] [9]).

Riemann también encontró una versión simétrica de la ecuación funcional que se aplica a la función xi:

Primeros pocos ceros no triviales [10] [11]
Cero
1/2 ± 14.134725 I
1/2 ± 21.022040 I
1/2 ± 25.010858 I
1/2 ± 30.424876 I
1/2 ± 32.935062 I
1/2 ± 37.586178 I

Las conjeturas de Hardy-Littlewood Editar

Estas dos conjeturas abrieron nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann.

Región libre de cero Editar

La ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann es de gran importancia en la teoría de números. El teorema de los números primos equivale al hecho de que no hay ceros de la función zeta en Re (s) = 1 línea. [13] Un mejor resultado [14] que se sigue de una forma efectiva del teorema del valor medio de Vinogradov es que ζ (σ + eso) ≠ 0 siempre que | t | ≥ 3 y

El resultado más fuerte de este tipo que uno puede esperar es la verdad de la hipótesis de Riemann, que tendría muchas consecuencias profundas en la teoría de los números.

Otros resultados Editar

Se sabe que hay infinitos ceros en la línea crítica. Littlewood mostró que si la secuencia ( γnorte ) contiene las partes imaginarias de todos los ceros en el semiplano superior en orden ascendente, luego

El teorema de la línea crítica afirma que una proporción positiva de los ceros no triviales se encuentra en la línea crítica. (La hipótesis de Riemann implicaría que esta proporción es 1.)

Para las sumas que involucran la función zeta en valores enteros y medios enteros, consulte la serie zeta racional.

Edición recíproca

El recíproco de la función zeta se puede expresar como una serie de Dirichlet sobre la función de Möbius μ(norte) :

para cada número complejo s con parte real mayor que 1. Hay una serie de relaciones similares que involucran varias funciones multiplicativas bien conocidas que se dan en el artículo sobre la serie de Dirichlet.

Universalidad Editar

La franja crítica de la función zeta de Riemann tiene la notable propiedad de universalidad. Esta universalidad de la función zeta establece que existe alguna ubicación en la franja crítica que se aproxima arbitrariamente bien a cualquier función holomórfica. Dado que las funciones holomorfas son muy generales, esta propiedad es bastante notable. La primera prueba de universalidad fue proporcionada por Sergei Mikhailovitch Voronin en 1975. [15] Un trabajo más reciente ha incluido versiones efectivas del teorema de Voronin [16] y su extensión a las funciones L de Dirichlet. [17] [18]

Estimaciones del máximo del módulo de la función zeta Editar

Deje que las funciones F(TH) y GRAMO(s0Δ) estar definido por las igualdades

El caso H ≫ ln ln T fue estudiado por Kanakanahalli Ramachandra el caso Δ & gt C , dónde C es una constante suficientemente grande, es trivial.

Anatolii Karatsuba demostró, [19] [20] en particular, que si los valores H y Δ exceden ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones

sostener, donde C1 y C2 son ciertas constantes absolutas.

El argumento de la función zeta de Riemann Editar

Hay algunos teoremas sobre las propiedades de la función. S(t). Entre esos resultados [21] [22] se encuentran los teoremas del valor medio para S(t) y su primera integral

en intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que cada intervalo (T, T + H] por

puntos donde la función S(t) cambia de signo. Atle Selberg obtuvo resultados anteriores similares para el caso

Serie Dirichlet Editar

Se puede obtener una extensión del área de convergencia reordenando la serie original. [23] La serie

converge para Re (s) & gt 0, mientras que

converge incluso para Re (s) & gt −1. De esta manera, el área de convergencia se puede extender a Re (s) & gt -k para cualquier entero negativo -k .

Integrales tipo Mellin Editar

La transformada de Mellin de una función F(X) Se define como

en la región donde se define la integral. Hay varias expresiones para la función zeta como integrales de tipo transformada de Mellin. Si la parte real de s es mayor que uno, tenemos

donde Γ denota la función gamma. Al modificar el contorno, Riemann demostró que

para todo s (donde H denota el contorno de Hankel).

Comenzando con la fórmula integral ζ (n) Γ (n) = ∫ 0 ∞ xn - 1 ex - 1 dx, < displaystyle zeta (n) < Gamma (n)> = int _ <0> ^ < infty> < frac <>><>-1 >> mathrm x,> se puede mostrar [24] por sustitución y diferenciación iterada para k natural ≥ 2

También podemos encontrar expresiones que se relacionan con los números primos y el teorema de los números primos. Si π(X) es la función de conteo de primos, entonces

para valores con Re (s) & gt 1.

Estas expresiones se pueden utilizar para demostrar el teorema de los números primos mediante la transformada inversa de Mellin. Es más fácil trabajar con la función de conteo de primos de Riemann y π(X) se puede recuperar mediante inversión de Möbius.

Funciones Theta Editar

La función zeta de Riemann puede estar dada por una transformada de Mellin [25]

Sin embargo, esta integral solo converge si la parte real de s es mayor que 1, pero se puede regularizar. Esto da la siguiente expresión para la función zeta, que está bien definida para todos los s excepto 0 y 1:

Serie Laurent Editar

La función zeta de Riemann es meromórfica con un solo polo de orden uno en s = 1. Por lo tanto, se puede ampliar como una serie Laurent sobre s = 1 el desarrollo de la serie es entonces

Las constantes γnorte aquí se llaman las constantes de Stieltjes y se pueden definir por el límite

Edición integral

Para todos sC , s ≠ 1, la relación integral (cf. fórmula de Abel-Plana)

es cierto, lo que puede usarse para una evaluación numérica de la función zeta.

Factorial en ascenso Editar

Otro desarrollo de la serie que utiliza el factorial ascendente válido para todo el plano complejo es [ cita necesaria ]

Esto se puede utilizar de forma recursiva para ampliar la definición de la serie de Dirichlet a todos los números complejos.

La función zeta de Riemann también aparece en una forma similar a la transformada de Mellin en una integral sobre el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing que actúa sobre X s - 1 ese contexto da lugar a una expansión de la serie en términos de la caída del factorial. [26]

Producto Hadamard Editar

donde el producto está sobre los ceros no triviales ρ de ζ y la letra γ nuevamente denota la constante de Euler-Mascheroni. Una expansión de producto infinita más simple es

Este formulario muestra claramente el poste simple en s = 1, los ceros triviales en −2, −4,. debido al término de la función gamma en el denominador, y los ceros no triviales en s = ρ . (Para asegurar la convergencia en la última fórmula, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1 - ρ debe combinarse.)

Serie globalmente convergente Editar

La serie apareció en un apéndice del artículo de Hasse y fue publicada por segunda vez por Jonathan Sondow en 1994. [29]

Hasse también demostró ser la serie globalmente convergente

en la misma publicación. [28] La investigación de Iaroslav Blagouchine [30] [27] ha encontrado que Joseph Ser publicó una serie equivalente similar en 1926. [31] Otras series similares globalmente convergentes incluyen

Representación de series en números enteros positivos mediante la edición primordial

Representación de series por números incompletos de poli-Bernoulli Editar

La función ζ se puede representar, para Re (s) & gt 1, por la serie infinita

dónde k ∈ <−1, 0>, Wk es la k-ésima rama de la función W de Lambert, y B (μ)
norte, ≥2 es un número poli-Bernoulli incompleto. [34]

La transformada de Mellin del mapa de Engel Editar

Representación de series como suma de series geométricas Editar

En analogía con el producto de Euler, que se puede probar usando series geométricas, la función zeta para Re (s) & gt1 se puede representar como una suma de series geométricas:

Un algoritmo clásico, en uso antes de 1930, procede aplicando la fórmula de Euler-Maclaurin para obtener, para norte y metro enteros positivos,

Un algoritmo numérico moderno es el algoritmo Odlyzko-Schönhage.

La función zeta ocurre en la estadística aplicada (ver la ley de Zipf y la ley de Zipf-Mandelbrot).

La regularización de la función Zeta se utiliza como un posible medio de regularización de series divergentes e integrales divergentes en la teoría cuántica de campos. En un ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en un método de cálculo del efecto Casimir. La función zeta también es útil para el análisis de sistemas dinámicos. [38]

Serie infinita Editar

La función zeta evaluada en enteros positivos equidistantes aparece en representaciones en serie infinita de varias constantes. [39]

De hecho, los términos pares e impares dan las dos sumas

Las versiones parametrizadas de las sumas anteriores están dadas por

todos los cuales son continuos en t = 1 < displaystyle t = 1>. Otras sumas incluyen

donde Im denota la parte imaginaria de un número complejo.

Hay aún más fórmulas en el artículo Número armónico.

Hay una serie de funciones zeta relacionadas que pueden considerarse generalizaciones de la función zeta de Riemann. Estos incluyen la función zeta de Hurwitz

(la representación de la serie convergente fue dada por Helmut Hasse en 1930, [28] cf. función zeta de Hurwitz), que coincide con la función zeta de Riemann cuando q = 1 (el límite inferior de la suma en la función zeta de Hurwitz es 0, no 1), las funciones L de Dirichlet y la función zeta de Dedekind. Para otras funciones relacionadas, consulte los artículos función zeta y función L.

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 .

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 y q = 1 (el límite inferior de suma en el trascendente de Lerch es 0, no 1).

La función Clausen Cls(θ) que se puede elegir como la parte real o imaginaria de Lis(mi yo ) .

Uno puede continuar analíticamente estas funciones en el espacio complejo n-dimensional. Los valores especiales que toman estas funciones en argumentos enteros positivos se denominan valores zeta múltiples por los teóricos de los números y se han relacionado con muchas ramas diferentes en matemáticas y física.

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380 ms 13.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::callParserFunction 280 ms 9.7% type 160 ms 5.6% (for generator) 120 ms 4.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::find 100 ms 3.5% Scribunto_LuaSandboxCallback::gsub 80 ms 2.8% 80 ms 2.8% dataWrapper 80 ms 2.8% [others] 700 ms 24.3% Number of Wikibase entities loaded: 1/400 -->


OK, we have gathered lots of info. We know all this:

  • positive roots: 2, or 0
  • negative roots: 1
  • total number of roots: 5

So, after a little thought, the overall result is:

  • 5 roots: 2 positive, 1 negative, 2 complex (one pair), o
  • 5 roots: 0 positive, 1 negative, 4 complex (two pairs)

And we managed to figure all that out just based on the signs and exponents!


9.7. Annotations

Un annotation is a modifier consisting of the name of an annotation type (§9.6) and zero or more element-value pairs, each of which associates a value with a different element of the annotation type.

The purpose of an annotation is simply to associate information with the annotated program element.

Annotations must contain an element-value pair for every element of the corresponding annotation type, except for those elements with default values, or a compile-time error occurs.

Annotations may, but are not required to, contain element-value pairs for elements with default values.

Annotations may be used as modifiers in any declaration, whether package (§7.4.1), class (§8.1.1) (including enums (§8.9)), interface (§9.1.1) (including annotation types (§9.6)), field (§8.3.1, §9.3), method (§8.4.3, §9.4), formal parameter (§8.4.1), constructor (§8.8.3), or local variable (§14.4.1).

Annotations may also be used on enum constants. Such annotations are placed immediately before the enum constant they annotate.

It is a compile-time error if a declaration is annotated with more than one annotation for a given annotation type.

Annotations are conventionally placed before all other modifiers, but this is not a requirement they may be freely intermixed with other modifiers.


Annotations:
Annotation
Annotations Annotation

Annotation:
NormalAnnotation
MarkerAnnotation
SingleElementAnnotation

There are three kinds of annotations. The first (normal annotation) is fully general. The others (marker annotation and single-element annotation) are merely shorthands.

9.7.1. Normal Annotations

A normal annotation is used to annotate a program element.


NormalAnnotation:
@ TypeName ( ElementValuePairsopt )

ElementValuePairs:
ElementValuePair
ElementValuePairs , ElementValuePair

ElementValuePair:
Identifier = ElementValue

ElementValue:
ConditionalExpression
Annotation
ElementValueArrayInitializer

ElementValues:
ElementValue
ElementValues , ElementValue

La TypeName names the annotation type corresponding to the annotation.

Note that the at-sign ( @ ) is a token unto itself. Technically it is possible to put whitespace between it and the TypeName , but this is discouraged as a matter of style.

It is a compile-time error if TypeName does not name an annotation type that is accessible (§6.6) at the point where the annotation is used.

La Identificador in an ElementValuePair must be the simple name of one of the elements (i.e. methods) of the annotation type identified by TypeName otherwise, a compile-time error occurs.

The return type of this method defines the element type of the element-value pair.

Un ElementValueArrayInitializer is similar to a normal array initializer (§10.6), except that annotations are permitted in place of expressions.

An element type T is commensurate with an element value V if and only if one of the following conditions is true:

T is an array type E [] and either:

V is an ElementValueArrayInitializer and each ElementValue (analogous to a VariableInitializer in an array initializer) in V is commensurate with E or

V is an ElementValue that is commensurate with E .

The type of V is assignment compatible (§5.2) with T , and furthermore:

If T is a primitive type or String , and V is a constant expression (§15.28).

If T is Class , or an invocation of Class , and V is a class literal (§15.8.2).

If T is an enum type, and V is an enum constant.

Note that null is not a legal element value for any element type.

It is a compile-time error if the element type is not commensurate with the ElementValue .

If the element type is not an annotation type or an array type, ElementValue must be a ConditionalExpression (§15.25).

A ConditionalExpression is simply an expression without assignments, and not necessarily an expression involving the conditional operator ( ? : ). ConditionalExpression is preferred over Expresión en ElementValue because an element value has a simple structure (constant expression or class literal or enum constant) that may easily be represented in binary form.

If the element type is an array type and the corresponding ElementValue is not an ElementValueArrayInitializer , then an array value whose sole element is the value represented by the ElementValue is associated with the element. Otherwise, if the corresponding ElementValue es un ElementValueArrayInitializer , then the array value represented by the ElementValueArrayInitializer is associated with the element.

In other words, it is permissible to omit the curly braces when a single-element array is to be associated with an array-valued annotation type element.

Note that the array's element type cannot be an array type. That is, nested array types are not permitted as element types. (While the annotation syntax would permit this, the annotation type declaration syntax would not.)

Un ElementValue is always FP-strict (§15.4).

An annotation on an annotation type declaration is known as a meta-annotation .

An annotation type may be used to annotate its own declaration. More generally, circularities in the transitive closure of the "annotates" relation are permitted.

For example, it is legal to annotate an annotation type declaration with another annotation type, and to annotate the latter type's declaration with the former type. (The pre-defined meta-annotation types contain several such circularities.)

Example 9.7.1-1. Normal Annotations

Here is an example of a normal annotation.

Here is an example of a normal annotation that takes advantage of default values.

Note that the types of the annotations in the examples in this section are the annotation types defined in the examples in §9.6. Note also that the elements are in the above annotation are in the same order as in the corresponding annotation type declaration. This is not required, but unless specific circumstances dictate otherwise, it is a reasonable convention to follow.

9.7.2. Marker Annotations

The second form of annotation, marker annotation , is a shorthand designed for use with marker annotation types.

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use the marker annotation form for annotation types with elements, so long as all the elements have default values.

Example 9.7.2-1. Marker Annotations

Here is an example using the Preliminary marker annotation type from §9.6.1:

9.7.3. Single-Element Annotations

The third form of annotation, single-element annotation , is a shorthand designed for use with single-element annotation types.


SingleElementAnnotation:
@ Identifier ( ElementValue )

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use single-element annotations for annotation types with multiple elements, so long as one element is named value , and all other elements have default values.

Example 9.7.3-1. Single-Element Annotations

Here is an example of a single-element annotation.

Here is an example of an array-valued single-element annotation.

Here is an example of a single-element array-valued single-element annotation. Note that the curly braces are omitted.

Here is an example with of a single-element annotation that contains a normal annotation.

Here is an example of a single-element annotation with a Class element whose value is restricted by the use of a bounded wildcard.

Here is an example of a single-element annotation using an enum type defined inside the annotation type.