Artículos

P.2: Repaso - exponentes de números enteros


Uso de la regla del producto de exponentes

Considere el producto (x ^ 3 times x ^ 4 ). Ambos términos tienen la misma base, (x ), pero se elevan a diferentes exponentes. Expanda cada expresión y luego vuelva a escribir la expresión resultante.

[ begin {align *} x ^ 3 times x ^ 4 & = overbrace {x times x times x} ^ { text {3 factores}} times overbrace {x times x times x times x} ^ { text {4 factores}} [4pt] & = overbrace {x times x times x times x times x times x times x} ^ { text {7 factores }} [4pt] & = x ^ 7 end {align *} ]

Observe que el exponente de un producto es la suma de los exponentes de los dos factores. Es decir, al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y sumamos los exponentes. Esta es la regla del producto de los exponentes.

[x ^ 3 times x ^ 4 = x ^ {3 + 4} = x ^ 7 nonumber ]

Ahora considere un ejemplo con números reales.

(2 ^ 3 times2 ^ 4 = 2 ^ {3 + 4} = 2 ^ 7 )

Siempre podemos comprobar que esto es cierto simplificando cada expresión exponencial. Encontramos que (2 ^ 3 ) es (8 ), (2 ^ 4 ) es (16 ) y (2 ^ 7 ) es (128 ). El producto (8 times16 ) es igual a (128 ), por lo que la relación es verdadera. Podemos usar la regla del producto de los exponentes para simplificar expresiones que son el producto de dos números o expresiones con la misma base pero con diferentes exponentes.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): uso de la regla del producto

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. (t ^ 5 veces t ^ 3 )
  2. ((- 3) ^ 5 times (−3) )
  3. (x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 )

Solución

Utilice la regla del producto (Ecuación ref {prod}) para simplificar cada expresión.

  1. (t ^ 5 times t ^ 3 = t ^ {5 + 3} = t ^ 8 )
  2. ((- 3) ^ 5 times (−3) = (- 3) ^ 5 times (−3) ^ 1 = (- 3) ^ {5 + 1} = (- 3) ^ 6 )
  3. (x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 )

Al principio, puede parecer que no podemos simplificar un producto de tres factores. Sin embargo, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, comience simplificando las dos primeras.

[x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 = (x ^ 2 times x ^ 5) times x ^ 3 = (x ^ {2 + 5}) times x ^ 3 = x ^ 7 times x ^ 3 = x ^ {7 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

Observe que obtenemos el mismo resultado sumando los tres exponentes en un paso.

[x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 = x ^ {2 + 5 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

Pruébelo ( PageIndex {1} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. (k ^ 6 veces k ^ 9 )
  2. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 4 times left ( dfrac {2} {y} right) )
  3. (t ^ 3 times t ^ 6 times t ^ 5 )
Respuestas

una. (k ^ {15} ) ( qquad ) b. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 5 ) ( qquad ) c. (t ^ {14} )

Usar la regla de potencia de los exponentes

Suponga que una expresión exponencial se eleva a alguna potencia. ¿Podemos simplificar el resultado? Si. Para hacer esto, usamos la regla de potencia de los exponentes. Considere la expresión ((x ^ 2) ^ 3 ). La expresión entre paréntesis se multiplica dos veces porque tiene un exponente de (2 ). Luego, el resultado se multiplica tres veces porque toda la expresión tiene un exponente de (3 ).

[ begin {align *} (x ^ 2) ^ 3 & = (x ^ 2) times (x ^ 2) times (x ^ 2) & = x times x times x times x times x times x & = x ^ 6 end {align *} ]

El exponente de la respuesta es el producto de los exponentes. En otras palabras, al elevar una expresión exponencial a una potencia, escribimos el resultado con la base común y multiplicamos los exponentes.

[(x ^ 2) ^ 3 = x ^ {2⋅3} = x ^ 6 nonumber ]

Tenga cuidado de distinguir entre los usos de la regla de producto y la regla de potencia. Cuando se usa la regla del producto, diferentes términos con las mismas bases se elevan a exponentes. En este caso, suma los exponentes. Cuando se usa la regla de la potencia, un término en notación exponencial se eleva a una potencia. En este caso, multiplica los exponentes.

Regla del productoRegla de poder
(5 ^ 3 times5 ^ 4 = 5 ^ {3 + 4} = 5 ^ 7 ) ((5 ^ 3) ^ 4 = 5 ^ {3 times4} = 5 ^ {12} )
(x ^ 5 times x ^ 2 = x ^ {5 + 2} = x ^ 7 ) ((x ^ 5) ^ 2 = x ^ {5 times2} = x ^ {10} )
((3a) ^ 7 times (3a) ^ {10} = (3a) ^ {7 + 10} = (3a) ^ {17} ) (((3a) ^ 7) ^ {10} = (3a) ^ {7 times10} = (3a) ^ {70} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): uso de la regla de potencia

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. ((x ^ 2) ^ 7 )
  2. (((2t) ^ 5) ^ 3 )
  3. (((−3)^5)^{11})

Solución

Usa la regla de la potencia (Ecuación ref {potencia}) para simplificar cada expresión.

  1. ((x ^ 2) ^ 7 = x ^ {2⋅7} = x ^ {14} )
  2. (((2t) ^ 5) ^ 3 = (2t) ^ {5⋅3} = (2t) ^ {15} )
  3. (((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55})

Pruébelo ( PageIndex {2} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. (((3y) ^ 8) ^ 3 )
  2. ((t ^ 5) ^ 7 )
  3. (((- g) ^ 4) ^ 4 )
Respuestas

una. ((3y) ^ {24} ) ( qquad ) b. (t ^ {35} ) ( qquad ) c. ((- g) ^ {16} )

Usar la regla de los exponentes del cociente

La regla del cociente de los exponentes nos permite simplificar una expresión que divide dos números con la misma base pero con diferentes exponentes. De manera similar a la regla del producto, podemos simplificar una expresión como ( dfrac {y ^ m} {y ^ n} ). Considere el ejemplo ( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} ). Realice la división cancelando factores comunes.

[ begin {align *} dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y } {y cdot y cdot y cdot y cdot y} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y} {1} & = y ^ 4 end {align *} ]

Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del divisor y el dividendo. En otras palabras, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y restamos los exponentes.

( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} = y ^ {9−5} = y ^ 4 )

Ejemplo ( PageIndex {3} ): uso de la regla del cociente

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} )

Solución

Utilice la regla del cociente (Ecuación ref {quot}) para simplificar cada expresión.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} = (- 2) ^ {14−9} = (- 2) ^ 5 )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} = t ^ {23−15} = t ^ 8 )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} = (z sqrt {2}) ^ {5−1} = (z sqrt {2}) ^ 4 )

Pruébelo ( PageIndex {3} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

  1. ( dfrac {s ^ {75}} {s ^ {68}} )
  2. ( dfrac {(- 3) ^ 6} {- 3} )
  3. ( dfrac {(ef ^ 2) ^ 5} {(ef ^ 2) ^ 3} )
Respuestas

una. (s ^ 7 ) ( qquad ) b. ((- 3) ^ 5 ) ( qquad ) c. ((ef ^ 2) ^ 2 )

Uso de la regla de exponentes de exponente cero

¿Qué pasaría si se usara la regla del cociente y (m = n )? Considere el ejemplo.

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = 1 qquad text {porque un número dividido por sí mismo es 1} nonumber ]

Si tuviéramos que simplificar la expresión usando la regla del cociente en su lugar, tendríamos

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = t ^ {8−8} = t ^ 0 nonumber ]

Si equiparamos las dos respuestas, el resultado es (t ^ 0 = 1 ). Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real. La única excepción es la expresión (0 ^ 0 ), cuyo valor no está definido.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la regla de exponente cero

Simplifica cada expresión usando la regla del exponente cero de los exponentes.

  1. ( dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} )
  2. ( dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} )
  3. ( dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} )
  4. ( dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} )

Solución

Usa el exponente cero y otras reglas para simplificar cada expresión.

una. [ begin {align *} dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} & = c ^ {3-3} & = c ^ 0 & = 1 end {align *} ]

B. [ begin {align *} dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times dfrac {x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times x ^ { 5-5} & = -3 times x ^ 0 & = -3 times 1 & = -3 end {align *} ]

C. [ begin {align *} dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {( j ^ 2k) ^ {1 + 3}} && text {Usa la regla del producto en el denominador} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) ^ 4} && text {Simplificar} & = (j ^ 2k) ^ {4-4} && text {Usar la regla del cociente} & = (j ^ 2k) ^ 0 && text {Simplificar} & = 1 fin {alinear *} ]

D. [ begin {align *} dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} & = 5 (rs ^ 2) ^ {2-2} && text {Usa el cociente rule} & = 5 (rs ^ 2) ^ 0 && text {Simplify} & = 5 times1 && text {Use la regla del exponente cero} & = 5 && text {Simplify} end {alinear*}]

Pruébelo ( PageIndex {4} )

Simplifica cada expresión usando la regla del exponente cero de los exponentes.

  1. ( dfrac {t ^ 7} {t ^ 7} )
  2. ( dfrac {(de ^ 2) ^ {11}} {2 (de ^ 2) ^ {11}} )
  3. ( dfrac {w ^ 4 times w ^ 2} {w ^ 6} )
  4. ( dfrac {t ^ 3 times t ^ 4} {t ^ 2 times t ^ 5} )
Respuestas

una. (1 ) ( qquad ) b. ( dfrac {1} {2} ) ( qquad ) c. (1 ) ( qquad ) d. (1 )

Usar la regla negativa de exponentes

Considere la situación en la que una expresión exponencial se divide por otra expresión exponencial con un exponente mayor. Por ejemplo, ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} ).

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = dfrac {t times t times t} {t times t times t times t times t} & = dfrac {1} {t times t} & = dfrac {1} {t ^ 2} end {align *} ]

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = t ^ {3-5} & = t ^ {- 2} end {align *} ]

Juntando las respuestas, tenemos (t ^ {- 2} = dfrac {1} {t ^ 2} ). Esto es cierto para cualquier número real (t ) distinto de cero.

En general, un factor con un exponente negativo se convierte en el mismo factor con un exponente positivo si se mueve a través de la barra de fracciones, del numerador al denominador o viceversa.

(a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) y (a ^ n = dfrac {1} {a ^ {- n}} )

Hemos demostrado que la expresión exponencial (a ^ n ) se define cuando (n ) es un número natural, (0 ), o el negativo de un número natural. Eso significa que (a ^ n ) está definido para cualquier número entero (n ). Además, las reglas de producto y cociente y todas las reglas que veremos pronto son válidas para cualquier número entero (n ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la regla del exponente negativo

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplifique más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} )

Solución

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} = theta ^ {3-10} = theta ^ {- 7} = dfrac {1} { theta ^ 7} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} = dfrac {z ^ {2 + 1}} {z ^ 4} = dfrac {z ^ 3} {z ^ 4} = z ^ {3-4} = z ^ {- 1} = dfrac {1} {z} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} = (- 5t ^ 3) ^ {4-8} = (- 5t ^ 3) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 5t ^ 3) ^ 4} )

Pruébelo ( PageIndex {5} )

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( dfrac {(- 3t) ^ 2} {(- 3t) ^ 8} )
  2. ( dfrac {f ^ {47}} {f ^ {49} times f} )
  3. ( dfrac {2k ^ 4} {5k ^ 7} )
Respuestas

una. ( dfrac {1} {(- 3t) ^ 6} ) ( qquad ) b. ( dfrac {1} {f ^ 3} ) ( qquad ) c. ( dfrac {2} {5k ^ 3} )

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de las reglas de producto y cociente

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. (b ^ 2 times b ^ {- 8} )
  2. ((- x) ^ 5 veces (-x) ^ {- 5} )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} )

Solución

  1. (b ^ 2 times b ^ {- 8} = b ^ {2 : + : -8} = b ^ {- 6} = dfrac {1} {b ^ 6} )
  2. ((- x) ^ 5 times (-x) ^ {- 5} = (- x) ^ {5 : + : - 5} = (- x) ^ 0 = 1 )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} = dfrac {(- 7z) ^ 1} {(- 7z) ^ 5} = (- 7z) ^ {1 : - : 5} = (- 7z) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )

Pruébelo ( PageIndex {6} )

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. (t ^ {- 11} veces t ^ 6 )
  2. ( dfrac {25 ^ {12}} {25 ^ {13}} )
Respuestas

una. (t ^ {- 5} = dfrac {1} {t ^ 5} ) ( qquad ) b. ( dfrac {1} {25} )

Encontrar el poder de un producto

Para simplificar la potencia de un producto de dos expresiones exponenciales, podemos usar la regla de potencia de un producto de exponentes, que divide la potencia de un producto de factores en el producto de las potencias de los factores. Por ejemplo, considere ((pq) ^ 3 ). Comenzamos usando las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación para reagrupar los factores.

[ begin {align *} (pq) ^ 3 & = (pq) times (pq) times (pq) & = p times q times p times q times p times q & = p ^ 3 times q ^ 3 end {align *} ]

En otras palabras, ((pq) ^ 3 = p ^ 3 times q ^ 3 ).

EL PODER DE UN PRODUCTO REGLA DE EXPONENTES

[(ab) ^ n = a ^ nb ^ n ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Usar el poder de una regla de producto

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ((ab ^ 2) ^ 3 )
  2. ((2t) ^ {15} )
  3. ((- 2w ^ 3) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )
  5. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 )

Solución

Usa las reglas del producto y del cociente y las nuevas definiciones para simplificar cada expresión.

una. ((ab ^ 2) ^ 3 = (a) ^ 3 times (b ^ 2) ^ 3 = a ^ {1 times3} times b ^ {2 times3} = a ^ 3b ^ 6 )

B. ((2t) ^ {15} = (2) ^ {15} times (t) ^ {15} = 2 ^ {15} t ^ {15} = 32,768t ^ {15} )

C. ((- 2w ^ 3) ^ 3 = (- 2) ^ 3 times (w ^ 3) ^ 3 = −8 times w ^ {3 times3} = - 8w ^ 9 )

D. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} = dfrac {1} {(- 7) ^ 4 times (z) ^ 4} = dfrac {1} {2401z ^ 4} )

mi. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = (e ^ {- 2}) ^ 7 times (f ^ 2) ^ 7 = e ^ {- 2 times7} times f ^ {2 times7} = e ^ {- 14} f ^ {14} = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} )

Pruébelo ( PageIndex {7} )

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ((g ^ 2h ^ 3) ^ 5 )
  2. ((5t) ^ 3 )
  3. ((- 3y ^ 5) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(a ^ 6b ^ 7) ^ 3} )
  5. ((r ^ 3s ^ {- 2}) ^ 4 )
Respuestas

una. (g ^ {10} h ^ {15} ) ( qquad ) b. (125t ^ 3 ) ( qquad ) c. (- 27y ^ {15} ) ( qquad ) d. ( dfrac {1} {a ^ {18} b ^ {21}} ) ( qquad ) e. ( dfrac {r ^ {12}} {s ^ 8} )

Encontrar el poder de un cociente

Para simplificar la potencia de un cociente de dos expresiones, considere la siguiente expresión.

( left ( dfrac {2} {x} right) ^ 3 = dfrac {2} {x} cdot dfrac {2} {x} cdot dfrac {2} {x} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2} {x cdot x cdot x} = dfrac {2 ^ 3} {x ^ 3} )

Así, en general, la potencia de un cociente de factores es el cociente de las potencias de los factores.

[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} ]

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Uso de la regla del poder de un cociente

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando la regla de la potencia del cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} )
  4. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 )
  5. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 )

Solución

una. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 = dfrac {(4) ^ 3} {(z ^ {11}) ^ 3} = dfrac {64} { z ^ {11 times3}} = dfrac {64} {z ^ {33}} )

B. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 = dfrac {(p) ^ 6} {(q ^ 3) ^ 6} = dfrac {p ^ {1 times6} } {q ^ {3 times6}} = dfrac {p ^ 6} {q ^ {18}} )

C. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} = dfrac {(- 1) ^ {27}} {(t ^ 2) ^ {27}} = dfrac {-1} {t ^ {2 times27}} = dfrac {-1} {t ^ {54}} = - dfrac {1} {t ^ {54}} )

D. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 = left ( dfrac {j ^ 3} {k ^ 2} right) ^ 4 = dfrac {(j ^ 3) ^ 4} {(k ^ 2) ^ 4} = dfrac {j ^ {3 times4}} {k ^ {2 times4}} = dfrac {j ^ {12}} {k ^ 8} )

mi. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 = left ( dfrac {1} {m ^ 2n ^ 2} right) ^ 3 = dfrac {(1) ^ 3} { (m ^ 2n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {(m ^ 2) ^ 3 (n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {m ^ {2 times3} n ^ {2 times3}} = dfrac {1} {m ^ 6n ^ 6} )

Pruébelo ( PageIndex {8} )

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando la regla de la potencia del cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ( left ( dfrac {b ^ 5} {c} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {5} {u ^ 8} right) ^ 4 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {w ^ 3} right) ^ {35} )
  4. ((p ^ {- 4} q ^ 3) ^ 8 )
  5. ((c ^ {- 5} d ^ {- 3}) ^ 4 )
Respuestas

una. ( dfrac {b ^ {15}} {c ^ 3} ) ( qquad ) b. ( dfrac {625} {u ^ {32}} ) ( qquad ) c. ( dfrac {-1} {w ^ {105}} ) ( qquad ) d. ( dfrac {q ^ {24}} {p ^ {32}} ) ( qquad ) e. ( dfrac {1} {c ^ {20} d ^ {12}} )

Simplificar expresiones exponenciales

Recuerde que simplificar una expresión significa reescribirla combinando términos o exponentes; en otras palabras, escribir la expresión de forma más sencilla con menos términos. Las reglas de los exponentes se pueden combinar para simplificar expresiones.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar expresiones exponenciales

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta solo con exponentes positivos.

  1. ((6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 )
  2. (17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} )
  3. ( left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 )
  4. ((- 2a ^ 3b ^ {- 1}) (5a ^ {- 2} b ^ 2) )
  5. ((x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2}) ^ {- 4} )
  6. ( dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} )

Solución

una. [ begin {align *} (6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 & = (6) ^ 3 (m ^ 2) ^ 3 (n ^ {- 1}) ^ 3 && text {El poder de una regla de producto} & = 6 ^ 3m ^ {2 times3} n ^ {- 1 times3} && text {La regla de poder} & = 216m ^ 6n ^ {- 3} && text { La regla de la potencia} & = dfrac {216m ^ 6} {n ^ 3} && text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

B. [ begin {align *} 17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} & = 17 ^ {5 + (- 4) + (- 3)} && text {La regla del producto} & = 17 ^ {- 2} && text {Simplificar} & = dfrac {1} {17 ^ 2} text {o} dfrac {1} {289} && text {El exponente negativo regla} end {align *} ]

Para evitar cometer errores al restar números negativos, es más fácil aplicar la regla del exponente negativo antes que la regla del cociente. Ambos enfoques se ilustran a continuación.

C. [ begin {align *} left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2
& = dfrac {(u ^ {- 1} v) ^ 2} {(v ^ {- 1}) ^ 2} && text {El poder de una regla del cociente}
& = dfrac {u ^ {- 2} v ^ 2} {v ^ {- 2}} && text {El poder de una regla de producto}
end {alinear *} ]

( begin {matriz} {ll | ll}
= u ^ {- 2} v ^ {2 - (- 2)} & text {Regla del cociente} & = dfrac {v ^ 2 { color {Cerúleo} {v ^ 2}}} { color {Cerúleo } {u ^ 2}} & text {Regla de exponente negativo}
= u ^ {- 2} v ^ 4 & text {Simplify} & = dfrac {v ^ {2 + 2}} {u ^ 2} & text {Regla de producto}
= dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} & text {Regla del exponente negativo} & = dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} & text {Simplify}
end {matriz} )

D. [ begin {align *} left (-2a ^ 3b ^ {- 1} right) left (5a ^ {- 2} b ^ 2 right)
& = -2 cdot a ^ 3 cdot b ^ {- 1} cdot 5 cdot a ^ {- 2} cdot b ^ 2 && text {Ley asociativa de la multiplicación}
& = -2 cdot 5 cdot a ^ 3 cdot a ^ {- 2} cdot b ^ {- 1} cdot b ^ 2 && text {Ley conmutativa de la multiplicación}
& = (-2 cdot 5) cdot (a ^ 3 cdot a ^ {- 2}) cdot (b ^ {- 1} cdot b ^ 2) && text {Ley asociativa de la multiplicación}
& = -10 times a ^ {3 + (- 2)} times b ^ {- 1 + 2} && text {La regla del producto}
& = -10ab && text {Simplify} end {align *} ]

mi. [ begin {align *} left (x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ {- 4} & = left (x ^ 2 sqrt { 2} right) ^ {4-4} && text {La regla del producto} & = left (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ 0 && text {Simplify} & = 1 && text {La regla del exponente cero} end {align *} ]

F. [ begin {align *} dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2}
& = dfrac {(3) ^ 5 times (w ^ 2) ^ 5} {(6) ^ 2 times (w ^ {- 2}) ^ 2} && text {El poder de una regla de producto}
& = dfrac {3 ^ 5w ^ {2 times5}} {6 ^ 2w ^ {- 2 times2}} && text {La regla del poder}
& = dfrac {243w ^ {10}} {36w ^ {- 4}} && text {Simplificar}
& = dfrac {243w ^ {10} w ^ 4} {36} && text {Regla del exponente negativo}
& = dfrac {243w ^ {10 + 4}} {36} && text {La regla del producto}
& = dfrac {27w ^ {14}} {4} && text {Reducir fracción} end {align *} ]

Pruébelo ( PageIndex {9x} )

Simplifica cada una de las siguientes expresiones exponenciales. Escribe respuestas con exponentes positivos.

  1. ((2uv ^ {- 2}) ^ {- 3} )
  2. (x ^ 8 cdot c ^ {- 12} cdot x )
  3. ( Big ( dfrac {e ^ 2f ^ {- 3}} {f ^ {- 1}} Big) ^ 2 )
  4. ((9r ^ {- 5} s ^ 3) (3r ^ 6s ^ {- 4}) )
  5. (( frac {4} {9} tw ^ {- 2}) ^ {- 3} ( frac {4} {9} tw ^ {- 2}) ^ 3 )
  6. ( dfrac {(2h ^ 2k) ^ 4} {(7h ^ {- 1} k ^ 2) ^ 2} )
Respuestas

una. ( dfrac {v ^ 6} {8u ^ 3} ) ( qquad ) b. ( dfrac {x ^ 9} {c ^ 12} ) ( qquad ) c. ( dfrac {e ^ 4} {f ^ 4} ) ( qquad ) d. ( dfrac {27r} {s} ) ( qquad ) e. (1 ) ( qquad ) f. ( dfrac {8h ^ {16}} {49} )

Ecuaciones clave

Reglas de exponentes para números reales distintos de cero a y b y enteros my n
Regla del producto (a ^ m⋅a ^ n = a ^ {m + n} )
Regla del cociente ( dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} )
Regla de poder ((a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} )
Regla del exponente cero (a ^ 0 = 1 )
Regla negativa (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} )
El poder de una regla de producto ((a⋅b) ^ n = a ^ n⋅b ^ n )
Poder de una regla del cociente ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} )

Conceptos clave

  • Los productos de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar sumando exponentes.
  • Los cocientes de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar restando exponentes.
  • Las potencias de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar multiplicando exponentes.
  • Una expresión con exponente cero se define como 1.
  • Una expresión con un exponente negativo se define como recíproca.
  • El poder de un producto de factores es el mismo que el producto de los poderes de los mismos factores.
  • La potencia de un cociente de factores es igual que el cociente de las potencias de los mismos factores.
  • Las reglas para expresiones exponenciales se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas.