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13.5: Sólidos platónicos - Matemáticas


Por supuesto, vivimos en un mundo tridimensional (¡al menos!), Por lo que solo estudiar geometría plana no tiene mucho sentido. ¿Por qué no pensar también en algunos objetos tridimensionales?

Definición

A poliedro es una figura sólida (tridimensional) limitada por polígonos. Un poliedro tiene caras que son polígonos planos, rectos bordes donde las caras se encuentran en parejas, y vértices donde se encuentran tres o más bordes.

El plural de poliedro es poliedros.

Recuerda que un polígono regular tiene todos los lados de la misma longitud y todos los ángulos de la misma medida. Existe una noción similar (aunque un poco más complicada) de regular para figuras sólidas.

Definición

A rpoliedro egular tiene caras que son todas polígonos regulares idénticos (congruentes). Todos los vértices también son idénticos (el mismo número de caras se encuentran en cada vértice).

Los poliedros regulares también se llaman Sólidos platónicos (llamado así por Platón).

Si fija el número de lados y su longitud, hay un solo polígono regular con ese número de lados. Es decir, cada cuadrilátero regular es un cuadrado, pero puede haber cuadrados de diferentes tamaños. Cada octágono regular parece una señal de alto, pero se puede escalar hacia arriba o hacia abajo. Su trabajo en esta sección es averiguar qué podemos decir acerca de los poliedros regulares.

Por tu cuenta

Realice los siguientes ejercicios por su cuenta o con un compañero. Deberá hacer muchas copias de los polígonos regulares a continuación. Copie y recorte al menos:

  • 40 copias del triángulo equilátero,
  • 15 copias del cuadrado,
  • 20 copias del pentágono regular, y
  • 10 copias de cada hexágono, heptágono y octágono.

También necesitará cinta adhesiva.

  1. En cualquier poliedro, al menos tres polígonos se encuentran en cada vértice. Empiece con los triángulos equiláteros: Ponga Tres de ellos juntos reuniéndose en un vértice y pegarlos con cinta adhesiva. Luego ciérrelos para que formen una forma sólida. ¿Puedes completar esta forma en un sólido platónico? Asegúrese de verificar que en cada vértice que tenga exactamente tres encuentro de triángulos.
  2. Ahora repita este proceso, pero comience con cuatro triángulos equiláteros alrededor de un solo vértice. ¿Puedes completar esto en un sólido platónico? Asegúrese de verificar que en cada vértice que tenga exactamente cuatro encuentro de triángulos.
  3. Repita este proceso con cinco triángulos equiláteros, luego seis, luego siete, y así sucesivamente. Continúe hasta que esté convencido de que comprende lo que está sucediendo con los sólidos platónicos que tienen caras triangulares.
  4. Cuando hayas terminado con las caras triangulares, pasa a las caras cuadradas. Trabaje sistemáticamente: intente construir un sólido platónico con tres cuadrados en cada vértice, luego cuatro, luego cinco, etc. Continúe hasta que pueda hacer una declaración definitiva sobre los sólidos platónicos con caras cuadradas.
  5. Repite este proceso con los otros polígonos regulares que cortaste: pentágonos, hexágonos, heptágonos y octágonos.

Debes haber notado que la situación de los sólidos platónicos es bastante diferente de la situación de los polígonos regulares. Existen infinitamente muchos polígonos regulares (incluso si no tiene en cuenta el tamaño). Hay un polígono regular con norte lados por cada valor de norte mayor que 2. Pero para los sólidos, tenemos el siguiente (quizás sorprendente) resultado.

Teorema

Hay exactamente cinco sólidos platónicos.

El hecho clave es que para que un sólido tridimensional se cierre y forme un poliedro, debe haber menos de 360 ​​° alrededor de cada vértice. De lo contrario, queda plano (si hay exactamente 360 ​​°) o se pliega sobre sí mismo (si hay más de 360 ​​°).

Problema 9

Con base en su trabajo en los ejercicios, debería poder escribir una justificación convincente del teorema anterior. Aquí tienes un boceto y debes completar las explicaciones.

  1. Si un sólido platónico tiene caras que son triángulos equiláteros, entonces deben encontrarse menos de 6 caras en cada vértice. ¿Por qué?
  2. Si un sólido platónico tiene caras cuadradas, entonces tres caras pueden encontrarse en cada vértice, pero no más que eso. ¿Por qué?
  3. Si un sólido platónico tiene caras que son pentágonos regulares, entonces tres caras pueden encontrarse en cada vértice, pero no más que eso. ¿Por qué?
  4. Los hexágonos regulares no se pueden usar como caras de un sólido platónico. ¿Por qué?
  5. Del mismo modo, regular norte-gones para norte mayor que 6 no se puede utilizar como caras de un sólido platónico. ¿Por qué?

  1. Imagen de Tom Ruen [dominio público], a través de Wikimedia Commons
  2. Imagen a través de pixababy.com, licencia CC0 Creative Commons.
  3. Imagen de Aldoaldoz (Trabajo propio) [CC BY-SA 3.0, vía Wikimedia Commons.
  4. Imagen de By Thinkingarena (Trabajo propio) [CC BY-SA 4.0], a través de Wikimedia Commons
  5. Imagen de Robert Webb Software Stella: http://www.software3d.com/Stella.php, a través de Wikimedia Commons.
  6. Imagen DTR CC-BY-SA-3.0], a través de Wikimedia Commons
  7. Imgae de Stephen.G.McAteer (Trabajo propio) [CC BY-SA 3.0], a través de Wikimedia Commons.
  8. Imgae a través de Wikimedia Commons [dominio público].
  9. Imagen de uno mismo [CC BY-SA 3.0], a través de Wikimedia Commons.

Demostrando que solo hay cinco sólidos platónicos usando geometría esférica

En 100 Great Problems of Elementary Mathematics de Dorrie, se demuestra que solo hay cinco teselados posibles de la esfera usando polígonos regulares (esféricos) congruentes: $ 4 $ triángulos regulares, $ 6 $ cuadrados regulares, $ 8 $ triángulos regulares, $ 20 $ triángulos regulares y pentágonos regulares de $ 12 $.

Esto es genial, pero el autor procede a decir que si conectamos todos los vértices de los polígonos esféricos usando líneas rectas, obtenemos cinco sólidos regulares: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro, y dodecaedro. Por lo tanto, solo hay sólidos platónicos de $ 5 $. $ Q.E.D $

Me siento bastante incómodo con esta afirmación. ¿Me estoy perdiendo de algo? ¿Cómo sabemos que las teselaciones de esferas corresponden necesariamente a los sólidos platónicos? ¿Cómo podemos probar con certeza que no existe un sólido platónico que no se pueda construir conectando los vértices de todas las posibles teselaciones de esferas?


I & corazones matemáticas O ooh & # 8230.it & # 8217s he estado desde la última vez que publiqué. Tuvimos una maravillosa Navidad y año nuevo. ¡Espero que todos ustedes también lo hayan hecho! Mi computadora murió justo antes de Navidad y, a mi esposo ya mí, nos tomó un tiempo devolverla a la vida, por lo que ha estado un poco tranquilo. Perdí 3 meses de trabajo (resolución de año nuevo n. ° 33 = ¡archivos de respaldo con más regularidad!). Ahora parece un buen momento para agradecerles a todos ustedes por visitar minieco durante los últimos años. ¡Siempre me sorprende el creciente número de personas que sintonizan! También me doy cuenta de que en lo que respecta a los bloggers, soy bastante flojo y solo logro publicar una publicación cada semana o dos. Me gustaría decir que esto mejorará. ¡Gracias por acompañarme en los momentos tranquilos de todos modos! Entre publicaciones, uso regularmente pinterest, así que acércate y échale un vistazo si aún no lo has hecho. ¡Es un gran sitio para reunir todos tus elementos favoritos para la vista! Parece que hay un poco de locura por los poliedros en este momento. Me parece que las matemáticas nunca han sido tan geniales. He reunido algunas plantillas para una guirnalda & # 8216platonic solids & # 8216. Perfecto para animar el lugar ahora que se han eliminado todas las decoraciones festivas. Simplemente pique, marque y pegue. No olvides enhebrar el algodón mientras pegas las piezas juntas ... ¡Lo olvidé! (Me las arreglé para pasar el algodón después, pero fue bastante complicado y tomó más tiempo de lo que debería haber hecho). Intentaré obtener una mejor foto de él in situ. Nuestro invernadero es muy brillante y soleado, pero el resto de la casa está bastante oscuro (especialmente en este clima miserable). Si quieres algo un poco más sutil, ¡puedes hacer que los poliedros sean blancos con un hilo de neón / oro! Si te apetece probar, puedes descargar las plantillas aquí. (¡Hay dos plantillas en cada página!) Cubo Icosaedro Tetraedro Octaedro Dodecaedro Visite este sitio para ver una colección asombrosa de plantillas de poliedros. ¡Cosas asombrosas! Para material 2D

La característica de Euler también se aplica a la geometría 2D. Prueba esto por mí:

Dibuja una línea. Tiene 2 vértices y 1 arista y 0 caras. Entonces, V - E + F = 1.

Suponga que los dos vértices son A y B. Coloque un vértice C en cualquier lugar del plano (no en el borde AB). Dibuja el borde BC. Ahora, tenemos 3 vértices, 2 aristas y 0 caras. Nuevamente, V - E + F = 1. Ahora, une C y A con una arista. Ahora tenemos 3 vértices, 3 aristas y 1 cara V - E + F = 1.

¡La característica de Euler permanece en todos estos casos! Ahora, si asumimos todo el papel, aparte del triángulo que acabamos de obtener, como una cara, obtenemos V - E + F = 2.

Bien. Supongo que esto es suficiente charlatanería matemática para ti. Puedes ver el video de Zach Star que explica muchas más cosas.


13.5: Sólidos platónicos - Matemáticas

"Que nadie desprovisto de geometría entre por mis puertas".

Diapositiva 6-1: RAPHAEL: Escuela de Atenas
American Catalgo, pág. 126, nº 21061. Fresco, Vaticano, Stanza della Signurata, Biblioteca Privada del Papa

Ahora avanzamos en el tiempo unos 150 años, aún permaneciendo en Grecia, desde Pitágoras hasta Platón, él mismo un pitagórico.

En nuestra última unidad estudiamos algunos polígonos, y dije que Platón pensaba que uno de ellos, el triángulo, era el bloque de construcción del universo. Presentó esa idea y otras sobre la creación, como el universo que se crea para parecerse a una progresión geométrica, en uno de sus libros, el Timeo.

En el Timeo, veremos cómo Platón describe cómo los triángulos forman cinco sólidos, ahora llamados Sólidos Platónicos, y cómo estos sólidos forman los cuatro elementos y el cielo. Veremos los poliedros regulares en general y veremos por qué solo cinco son posibles.

Finalmente, veremos cómo los sólidos platónicos se usaron como motivos artísticos incluso antes de Platón, cómo se usaron más tarde y cómo sirvieron para unir a tres matemáticos y artistas del Renacimiento, Piero della Francesca, Luca Pacioli y Leonardo da Vinci.

Platón

Diapositiva 6-2: RAPHAEL: Escuela de Atenas. Sección central

Perfil: Platón (c. 427-347 a. C.) nació en una familia aristocrática en Atenas. Cuando era joven, Platón tenía ambiciones políticas, pero la dirección política de Atenas lo desilusionó. Finalmente se convirtió en discípulo de Sócrates, aceptando su filosofía básica y su estilo dialéctico de debate, la búsqueda de la verdad a través de preguntas, respuestas y preguntas adicionales. Platón presenció la muerte de Sócrates a manos de la democracia ateniense en el 399 a. C. En la Escuela de Atenas de Rafael vemos a Sócrates boca abajo, con una taza cerca.

El alumno más destacado de Platón fue Aristóteles, que se muestra aquí con Platón en la Escuela de Atenas de Rafael, Aristóteles sosteniendo su Ética y Platón con su Timeo.

En 387 a. C., Platón fundó una Academia en Atenas, a menudo descrita como la primera universidad. Proporcionó un plan de estudios integral, que incluía astronomía, biología, matemáticas, teoría política y filosofía.

Los últimos años de Platón los pasó dando conferencias en su Academia y escribiendo. Murió alrededor de los 80 años en Atenas en 348 o 347.

Sobre las puertas de su academia estaban las palabras

es decir, "Que nadie desprovisto de geometría entre por mis puertas".

Platón sobre arte y geometría

Aunque Platón amaba la geometría, no habría sido bueno impartiendo un curso de Arte y Geometría porque tenía una mala opinión del arte. Enseñó que, dado que el mundo es una copia o imagen de lo real, entonces una obra de arte es una copia de una copia, en tercer lugar, alejada de la realidad.

Escribe en su República (p. 603),
". la pintura [y]. todo el arte de la imitación se ocupa de una obra que está muy alejada de la verdad. y es su amante y amiga sin ningún propósito sano o verdadero.. [es] la amante inútil de un amigo inútil , y padre de una progenie sin valor ".

Pero sobre geometría escribió en su República (p. 527),

"[La geometría se] ... persiste en aras del conocimiento de lo que existe eternamente, y no de lo que por un momento llega a existir y luego perece.
[ella] debe atraer el alma hacia la verdad y dar el toque final al espíritu filosófico ".

Platón dejó muchos escritos. Hemos mencionado su República en nuestra unidad sobre simbolismo numérico en la que dio las cuatro virtudes cardinales, pero su amor por la geometría es especialmente evidente en el Timeo.

Escrito hacia el final de la vida de Platón, c. 355 a. C., el Timeo describe una conversación entre Sócrates, el maestro de Platón, Critias, el bisabuelo de Platón, Hermócrates, un estadista y soldado siciliano, y Timeo, pitagórico, filósofo, científico, general, contemporáneo de Platón e inventor de la polea. Fue el primero en distinguir entre progresiones armónicas, aritméticas y geométricas.

En este libro, Timeo es el que más habla, con mucho homenaje a Pitágoras y ecos de la armonía de las esferas, mientras describe la creación geométrica del mundo.

Platón, a través de Timeo, dice que el creador hizo el alma del mundo a partir de varios ingredientes y la formó en una tira larga. A continuación, se marcó la tira en intervalos.

Primero, [el creador] tomó una parte del conjunto (1 unidad)
y luego una porción el doble de la primera (2 unidad)
una tercera parte la mitad de nuevo tanto como la segunda (3 unidad)
la cuarta parte el doble de la segunda (4 unidad)
el quinto tres veces el tercero (9 unidad)
el sexto ocho veces el primero (8 unidad)
y el séptimo 27 tmes el primero (27 unidad)

Dan los siete números enteros 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27. Estos contienen la mónada, fuente de todos los números, el primer par y el primer impar, y sus cuadrados y cubos.

Diapositiva 8-72: Aritmética personificada como mujer

Lawlor, Robert. Geometría sagrada. NY: Thames & amp Hudson, 1982. p. 7.

Estos siete números se pueden organizar como dos progresiones

Esto se llama Lambda de Platón, porque tiene la forma de la letra griega lambda.

Divisiones del alma mundial como intervalos musicales

Relacionando esto con la música, si comenzamos en C bajo y dejamos estos intervalos, obtenemos 4 octavas más una sexta. Todavía no parece una escala musical. Pero Platón continúa llenando cada intervalo con una media aritmética y una media armónica. Tomando el primer intervalo, de 1 a 2, por ejemplo,

La media armónica de dos números es el recíproco de la media aritmética de sus recíprocos.

Para 1 y 2, los recíprocos son 1 y 1/2, cuya media aritmética es 1+ 1/2 y divide 2 o 3/4. Por lo tanto,

Así obtenemos el cuarto o 4/3, y el quinto o 3/2, los mismos intervalos que agradaban a los pitagóricos. Además, están formados por los primeros cuatro números 1, 2, 3, 4 de los tetractys.

Tomó el intervalo entre el cuarto y el quinto como un tono completo. Es

Luego, Platón hace que su creador llene la escala con intervalos de 9/8, el tono. Esto deja intervalos de 256/243 como residuo, igual al semitono.

Así, Platón ha construido la escala a partir de cálculos aritméticos únicamente, y no experimentando con cuerdas estiradas para descubrir qué sonaba mejor, como hicieron los pitagóricos.

Proyecto: Repita los cálculos de Platón y vea si realmente obtiene una escala musical.

Formando los Círculos Celestiales

Después de marcar la tira en estos intervalos, el creador la corta a lo largo en dos tiras que se colocan en ángulo entre sí y se forman en círculos. Estos corresponden al ecuador celeste y la eclíptica, el inicio de una esfera armilar.

Diapositiva 10-121: Esfera armilar

Turner, Gerard. Instrumentos científicos antiguos. Dorset: Blandford, 1980. pág. 61

Recuerde nuestra cita de La República de Platón, donde, en el Mito de Er, escribió:

"... Sobre cada uno de sus círculos había una sirena que se transportaba con sus movimientos, pronunciando las concordancias de una sola escala". [República p. 354]

Este es el origen de la expresión Música de las esferas.

La idea de que todas las cosas se componen de cuatro elementos primordiales: tierra, aire, fuego y agua, se atribuye a Empédocles (circa 493-433 a. C.), filósofo, estadista y poeta griego. Nació en Agrigentum (ahora Agrigento), Sicilia, y fue discípulo de Pitágoras y Parménides.

¿Recuerda las fuerzas opuestas, Yin y Yang, masculino y femenino, cuya interacción creó todo en el universo? Empédocles pensó que las fuerzas activas y opuestas, el amor y el odio, o la afinidad y la antipatía, actúan sobre estos elementos, combinándolos y separándolos en formas infinitamente variadas.

También creía que ningún cambio que implique la creación de nueva materia es posible, solo pueden ocurrir cambios en las combinaciones de los cuatro elementos existentes.

Empédocles murió unos 6 años antes de que naciera Platón.

El universo como progresión geométrica

Platón deduce la necesidad de los cuatro elementos. Timeo, 31B-32C

1. Primero, debemos tener fuego para hacer visible el mundo y tierra para hacerlo resistente al tacto. Estos son los dos elementos extremos, el fuego que pertenece al cielo y la tierra a la tierra. El escribe,

. . . es necesario que la naturaleza sea visible y tangible.
y nada puede ser visible sin fuego o tangible sin tierra.

2. Pero dos no pueden mantenerse unidos sin un tercero como vínculo. [como pegamento]

. . . Pero es imposible que dos cosas se unan sin la intervención de una tercera.

3. Y el vínculo más perfecto es la proporción geométrica continua.

. [y] la analogía más hermosa es cuando en tres números,
el medio es hasta el último como el primero hasta el medio,. . . se vuelven iguales en relación con los demás.

4. Pero los cuerpos primarios son sólidos y deben estar representados por números sólidos (cubos).
Para conectar dos números planos (cuadrados), una media es suficiente,
pero para conectar dos números sólidos, se necesitan dos medios.

Pero si el universo no tuviera profundidad, un medio sería suficiente para unir todas las naturalezas que contiene. Pero . . . el mundo debe ser un sólido, y los sólidos nunca son armonizados por uno, sino siempre por dos médiums.

Por lo tanto, la Divinidad colocó el agua y el aire en medio del fuego y la tierra, fabricándolos en la misma proporción entre sí para que el fuego sea al aire como el aire al agua y el agua a la tierra.

fuego / aire = aire / agua = agua / tierra

Así, la relación es constante entre elementos sucesivos, dando una progresión geométrica.

Los sólidos platónicos pertenecen al grupo de figuras geométricas llamadas poliedros.

Un poliedro es un sólido delimitado por polígonos planos. Los polígonos se llaman caras que se cruzan en los bordes, los puntos donde se cruzan tres o más bordes se llaman vértices.

Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares idénticos. Solo son posibles cinco sólidos regulares

cubo tetraedro octaedro icosaedro dodecaedro

Estos han llegado a conocerse como los sólidos platónicos

Los elementos vinculados a los sólidos platónicos

Platón asocia cuatro del sólido platónico con los cuatro elementos. El escribe,

Debemos proceder a distribuir las figuras [los sólidos] que acabamos de describir entre fuego, tierra, agua y aire. . .

Asignemos el cubo a la tierra, porque es el más inmóvil de los cuatro cuerpos y el más retentivo de forma.

la menos móvil de las figuras restantes (icosaedro) al agua
el más móvil (tetraedro) para disparar
el intermedio (octaedro) al aire

Tenga en cuenta que la tierra está asociada con el cubo, con sus seis caras cuadradas. Esto prestó apoyo a la noción de la cuadratura de la tierra.

Pero hay cinco poliedros regulares y solo cuatro elementos. Platón escribe,

"Aún quedaba una quinta construcción, que el dios usó para bordar las constelaciones en todo el cielo".

La declaración de Platón es vaga y no da más explicaciones. Los filósofos griegos posteriores asignan el dodecaedro al éter o al cielo o al cosmos.

El dodecaedro tiene 12 caras y nuestro simbolismo numérico asocia 12 con el zodíaco.

Este podría ser el significado de Platón cuando escribe sobre "bordar las constelaciones" en el dodecaedro.

Tenga en cuenta que las 12 caras del dodecaedro son pentágonos. Recuerde que el pentágono contiene la proporción áurea. Quizás esto tenga algo que ver con equiparar esta figura con el cosmos.

Diapositiva 6-4: Sólidos de Archimedian
Wenniger, Magnus J. Modelos poliedros para el aula. NCTM 1966. pág. 7

Se pueden obtener otros conjuntos de sólidos a partir de los sólidos platónicos. Podemos obtener un conjunto cortando las esquinas de los sólidos platónicos y obtener poliedros truncados.

Ya no son regulares, se llaman semirregulares, todas las caras son polígonos regulares, pero hay más de un polígono en un sólido en particular y todos los vértices son idénticos.

Estos también se llaman los Sólidos de Arquímedes, llamados así por Arquímedes, (287-212) el matemático griego que vivía en Siracusa en la esquina inferior derecha de Sicilia.

Mini-proyecto: Haz algunos sólidos de Archimedian.

Diapositiva 6-5: Los cuatro sólidos de Kepler-Poinsot
Wenniger, Magnus J. Modelos poliedros para el aula. NCTM 1966. pág. 11

Diapositiva 6-6: Grabado de Harmonices Mundi, 1619.
Emmer, Michele, Ed. La Mente Visual: Arte y Matemáticas. Cambridge: MIT Press, 1993. p. 218

La segunda forma obvia de obtener otro conjunto de sólidos es extender las caras de cada uno para formar una estrella, dando los llamados Poliedros Estelares.

Poinsot descubrió dos poliedros estelares en 1809. Los otros fueron descubiertos unos 200 años antes que Johannes Kepler (1571-1630), el astrónomo y filósofo natural alemán conocido por formular las tres leyes del movimiento planetario, ahora conocidas como leyes de Kepler. incluida la ley de que los cuerpos celestes tienen órbitas elípticas, no circulares.

Mini-Proyecto: Haz poliedros en estrella.

Poliedros en arte y arquitectura

Los poliedros no son nada nuevo

Los poliedros han servido como motivos artísticos desde la prehistoria hasta el presente.

Tompkins, Peter. Secretos de la Gran Pirámide. NY: Harper, 1971. Portada

Los egipcios, por supuesto, conocían el tetraedro, pero también el octaedro y el cubo. Y hay dados icosaédricos de la dinastía ptolomaica en el Museo Británico de Londres.

Diapositiva 6-8: Dodecaedro etrusco

Emmer, Michele, Ed. La Mente Visual: Arte y Matemáticas. Cambridge: MIT Press, 1993. p. 216

Se encontraron sólidos neolíticos en Escocia, y las excavaciones cerca de Padua han desenterrado un dodecaedro etrusco, c. 500 a. C., probablemente utilizado como juguete.

Diapositiva 3-6: Modelo de universo de Kepler

En 1596, Kepler publicó un tratado llamado El Misterio Cósmico en el que imaginaba el universo como formado por sólidos platónicos anidados cuyas esferas inscritas determinan las órbitas de los planetas, todas encerradas en una esfera que representa el cielo exterior. Por supuesto, sus observaciones no encajaban en este esquema. Volveremos a encontrarnos con Kepler en nuestra unidad sobre temas celestiales en el arte.

Poliedros y plagio en el Renacimiento

Diapositiva 14-10: JACOPO DE 'BARBERI: Luca Pacioli, c. 1499

Esta pintura muestra a Fra Luca Pacioli y su alumno, Guidobaldo, duque de Urbino. En la parte superior izquierda hay un rombi-cuboctaedro, y sobre la mesa hay un dodecaedro encima de una copia de los Elementos de Euclides.

Diapositiva 15-11: Ilustraciones de Leonardo para el libro de Luca.

Luca Pacioli escribió un libro llamado Da Divina Proportione (1509) que contenía una sección sobre los sólidos platónicos y otros sólidos, que tiene 60 placas de sólidos de nada menos que su alumno Leonardo da Vinci. Contaremos la historia completa de cómo le robaron este material al maestro de Luca, Piero della Francesca, en nuestra unidad sobre Poliedros y plagio en el Renacimiento.

Sólidos platónicos como motivos artísticos

Diapositiva 6-12: UCELLO: Mosaico de la Catedral de San Marco, Venecia, 1425-1430 placa J2

Emmer, Michele, Ed. La Mente Visual: Arte y Matemáticas. Cambridge: MIT Press, 1993.

Diapositiva 16-08: DURER: Melancolia I, 1514

Albrech Durer (1471-1528) tenía un gran interés en la geometría, como veremos en una unidad posterior. Este famoso grabado muestra un poliedro irregular, así como una esfera, un cuadrado mágico y un compás. Las personas que han analizado este poliedro han decidido que en realidad es un cubo con las esquinas opuestas cortadas.

Diapositiva 6-13: NEUFCHATEL, Nicolaus: Imagen de Johannes Neudorfer y su hijo, 1561.

Kemp, Martin. Leonardo sobre la pintura. New Haven: Yale U. Press, 1989. pág. 63

Diapositiva 6-14: León bañado en oro del frente de la Puerta de la Pureza Celestial, Primer plano de la bola.

Ciudad Prohibida, Beijing. De la dinastía Qing (1736-1796)

Esta bola tiene hexágonos intercalados con pentágonos.

Poliedros en el arte del siglo XX

Diapositivas 6-15, 6-16, 6-17: Obras de Giacometti

Hohl, Reinhold. Alberto Giacometti. Nueva York: Abrams, 1972.

El artista suizo Alberto Giacometti (1901-1966) a menudo incluyó poliedros en sus obras surrealistas anteriores, como estos dos dibujos y una escultura.

Hablaremos de M.C. Escher (1902-1972) en detalle cuando llegamos al siglo XX, pero echemos un vistazo a su grabado de 1948, Stars. Note la similitud entre este poliedro y las ilustraciones de Leonardo para el libro de Pacioli.

Diapositiva 21-06: Escher contemplando su conjunto anidado de sólidos platónicos

Escher hizo un conjunto de sólidos platónicos anidados. Cuando se mudó a un nuevo estudio, se llevó la mayoría de sus pertenencias, pero se llevó su amada modelo.

Otros artistas del siglo XX que utilizan poliedros incluyen a Harriet Brisson, Paul Calter y Lucio Saffaro.

Diapositiva 6-18: Octaedros, rombidodecaedros y cubos compactos truncados. Plexiglás, tubos de aluminio y cordón de nailon, 1976

Emmer, Michele, Ed. La Mente Visual: Arte y Matemáticas. Cambridge: MIT Press, 1993. placa B3

Diapositivas 6-19, 6-20, 6-21: Sólidos platónicos

Círculo de hechicero de Calter

Diapositiva 6-22: LUCIO SAFFARO: Formas platónicas. Gráfica por computadora, 1989.

Emmer, Michele, Ed. La Mente Visual: Arte y Matemáticas. Cambridge: MIT Press, 1993. placa A3

Proyecto: Realiza una obra de arte con poliedros.

Así que hemos visto los orígenes de los sólidos platónicos, comenzando incluso antes de Platón, y hemos rastreado brevemente la influencia de los polígonos en el arte hasta el presente.

También hemos echado un primer vistazo a algunos temas que veremos con más detalle más adelante.

Para los temas matemáticos, hemos analizado brevemente las secuencias y series y la geometría de los poliedros.

Tarea de lectura:

Platón, Timeo, la selección en tu lector.

Emmer, The Visual Mind, de su lector

Calter, selección de Matemáticas técnicas con cálculo, folleto

Referencias adicionales de su bibliografía:

Proyecto: Repita los cálculos de Platón y vea si realmente obtiene una escala musical.

Haz algunos sólidos de Archimedian

Haz poliedros en estrella.

Haz una obra de arte con poliedros.



Más específicamente, el polar de un punto en un círculo es la línea que pasa por su punto de inversión y también es perpendicular a la línea que contiene el punto original y el centro del círculo. La figura de la derecha ilustra este proceso de reciprocidad. El punto está etiquetado como B, el punto de inversión es C y el centro del círculo es A. El polar del punto B es la línea que pasa por el punto C.


El polo de una línea con respecto a un círculo es el inverso del punto de la línea que está más cerca del centro del círculo. Note esto nuevamente en la figura de la derecha. El polo de la línea que pasa por C es el punto B.


Si el punto se encuentra en el círculo, entonces su polar es la línea que es tangencial al círculo en ese punto.

Los polos y los polares son recíprocos, lo que significa que cuando se intercambian una vez, los polos se convierten en polares y viceversa, por lo que cuando se intercambian dos veces se vuelve al punto de partida.


Una explicación alternativa usando la fórmula de Euler

La fórmula de Euler es un resultado que funciona para convexo poliedros (sin abolladuras). Afirma que el número de caras más el número de vértices menos el número de bordes debe ser igual a (2 ):

Los sólidos platónicos son poliedros convexos, por lo que deben satisfacer la fórmula de Euler.

Ejemplo

Un tetraedro tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas. Entonces:

Podemos ver por qué la fórmula de Euler funciona agregando un vértice o una arista a un tetraedro:

Si agregamos un vértice adicional (en el medio de uno de los bordes, digamos), también agregamos un borde adicional. Entonces,

Si agregamos un borde adicional (cortando una cara por la mitad, digamos), también agregamos una cara adicional. Entonces,

No importa lo que le hagamos a nuestro sólido, la fórmula de Euler continúa dándonos (2 ). Puede leer más sobre la fórmula de Euler en el artículo sobre la fórmula de Euler.


El arte matemático de M.C. Escher

Introducción

Maurits Cornelis Escher creó obras de arte únicas y fascinantes que exploran y exhiben una amplia gama de ideas matemáticas.

Nació en Leeuwarden, Holanda en 1898, y cuando estaba en la escuela, su familia planeó que siguiera la carrera de arquitectura de su padre. Sin embargo, las malas calificaciones y la aptitud para el dibujo y el diseño lo llevaron finalmente a una carrera en las artes gráficas, especializándose en xilografías, mezzotints y litografías.

Su obra pasó casi desapercibida hasta la década de 1950, pero en 1956 había realizado su primera exposición importante, fue redactada en Hora revista, y adquirió una reputación mundial. Entre sus mayores admiradores se encontraban los matemáticos, quienes reconocieron en su obra una extraordinaria visualización de los principios matemáticos. Esto fue más notable en el sentido de que Escher no tenía una formación matemática formal más allá de la escuela secundaria.

Su trabajo finalmente apareció no solo en forma impresa, sino como esculturas encargadas o imitativas en edificios públicos, como decoraciones en todo, desde corbatas hasta alfombrillas de ratón, y en software escrito para automatizar la reproducción y manipulación de teselaciones. Las reproducciones de su trabajo siguen teniendo una gran demanda, y ha inspirado a miles de otros artistas a buscar temas matemáticos en su propio trabajo. Por supuesto, también es muy imitado.

A medida que su trabajo se desarrolló, se inspiró en gran medida en las ideas matemáticas sobre las que leyó, a menudo trabajando directamente desde estructuras en geometría plana y proyectiva, y finalmente capturando la esencia de las geometrías no euclidianas, como veremos a continuación. También estaba fascinado con la paradoja y las figuras "imposibles", y utilizó una idea de Roger Penrose para desarrollar muchas obras de arte intrigantes. Así, para el estudiante de matemáticas, el trabajo de Escher abarca dos áreas amplias: la geometría del espacio y lo que podemos llamar la lógica del espacio.

Teselaciones

Divisiones regulares del plano, llamadas teselaciones son arreglos de formas cerradas que cubren completamente el plano sin superponerse y sin dejar huecos. Normalmente, las formas que componen un mosaico son polígonos o formas regulares similares, como las baldosas cuadradas que se utilizan a menudo en los suelos. Sin embargo, Escher estaba fascinado por todo tipo de teselados —regulares e irregulares— y se deleitaba especialmente con lo que llamó "metamorfosis", en las que las formas cambiaban e interactuaban entre sí y, a veces, incluso se liberaban del plano.

Su interés comenzó en 1936, cuando viajó a España y vio los patrones de azulejos utilizados en la Alhambra. Pasó muchos días esbozando estos detalles y luego afirmó que esta "era la fuente de inspiración más rica que jamás haya aprovechado". En 1957 escribió un ensayo sobre teselados, en el que comentó:

En cuartos matemáticos, la división regular del plano se ha considerado teóricamente… ¿Significa esto que es una cuestión exclusivamente matemática? En mi opinión, no es así.

[Los matemáticos] han abierto la puerta que conduce a un dominio extenso, pero ellos mismos no han entrado en este dominio. Por su propia naturaleza, están más interesados ​​en la forma en que se abre la puerta que en el jardín que está detrás de ella.

Sea o no justo para los matemáticos, es cierto que habían demostrado que de todos los polígonos regulares, solo el triángulo, el cuadrado y el hexágono pueden usarse para una teselación. (Mucho mas irregular polígonos en mosaico el plano; en particular, hay muchos mosaicos que usan pentágonos irregulares).

Escher explotó estos patrones básicos en sus teselados, aplicando lo que los geómetras llamarían reflexiones, reflexiones deslizantes, traducciones, y rotaciones para obtener una mayor variedad de patrones. También elaboró ​​estos patrones distorsionando las formas básicas para convertirlos en animales, pájaros y otras figuras. These distortions had to obey the three, four, or six-fold symmetry of the underlying pattern in order to preserve the tessellation. The effect can be both startling and beautiful.

The first of the examples presented here, titled Regular Division of the Plane with Birds, uses a tesselation with triangles. (To see an overlay of the triangle pattern, click on the thumbnail image to expand the large version, and then hover over it with the mouse pointer.)

The second example, Development I, uses a square tesselation. To emphasize the nature of the underlying pattern, Escher allows us to trace the developing distortions of the tesselation that lead to the pattern at the center.

The last two examples each use a hexagonal tesselation. In the first, Cycle, the running figures emerge from an orderly world to descend into a topsy-turvey chaos, but this chaos itself gives rise to the very order from which the figures emerge. In the final example, Reptiles. the tessellating creatures playfully escape from the prison of two dimensions and go snorting about the destop, only to collapse back into the pattern again. Escher used this reptile pattern in many hexagonal tessellations.

There are a number of software applications that make it easy to explore Escher-esque tesselation designs, and you can find them easily using your browser search engine.

Polyhedra

The regular solids, known as polyhedra, held a special fascination for Escher. He made them the subject of many of his works and included them as secondary elements in a great many more.

There are only five polyhedra with exactly similar polygonal faces, and they are called the Platonic solids: the tetrahedron, with four triangular faces the cube, with six square faces the octahedron, with eight triangular faces the dodecahedron, with twelve pentagonal faces and the icosahedron, with twenty triangular faces.

In the woodcut Four Regular Solids Escher has intersected all but one of the Platonic solids in such a way that their symmetries are aligned, and he has made them translucent so that each is discernable through the others. Which one is missing?

There are many interesting solids that may be obtained from the Platonic solids by intersecting them or stellating them. A stellate a solid means to replace each of its faces with a pyramid, that is, with a pointed solid having triangular faces this transforms the polyhedron into a pointed, three-dimensional star. A beautiful example of a stellated dodecahedron may be found in Escher’s Contrast (Order and Chaos). Here the stellated figure rests within a crystalline sphere, and the austere beauty of the construction contrasts with the disordered flotsam of other items resting on the table. Notice that the source of light for the composition may be guessed, for the bright window above and to the left of the viewer is reflected in the sphere.

Intersecting solids are also represented in many of Escher’s works, one of the most interesting being the wood engraving Stars. Here are solids constructed of intersecting octahedra, tetrahedra, and cubes, among many others. One might pause to consider, that if Escher had simply drawn a bunch of mathematical shapes and left it at that, we probably would never have heard of him or of his work. Instead, by such devices as placing the chameleons inside the polyhedron to mock and alarm us, Escher jars us out of our comfortable perceptual habits and challenges us to look with fresh eyes upon the things he has wrought. Surely this is another source of the mathematicians' admiration for Escher’s work—for just such a perceptual freshness lies at the back of all great mathematical discovery.

The Shape of Space

Among the most important of Escher’s works from a mathematical point of view are those dealing with the nature of space itself. His woodcut Three Intersecting Planes is a good place to begin a review of these works, for it exemplifies the artist’s concern with the dimensionality of space, and with the mind’s ability to discern three-dimensionality in a two-dimensional representation. As we will see in the next section, Escher often exploited this latter feature to achieve astonishing visual effects.

Inspired by a drawing in a book by the mathematician H.S.M Coxeter, Escher created many beautiful representations of hyperbolic space, as in the woodcut Circle Limit III. This is one of the two kinds of non-Euclidean space, and the model represented in Escher’s work is actually due to the French mathematician Poincaré.

To get a sense of what this space is like, imagine that you are actually en the picture itself. As you walk from the center of the picture towards its edge, you will shrink just as the fishes in the picture do, so that to actually reach the edge you have to walk a distance that, to you, seems infinite. Indeed, to you, being inside this hyperbolic space, it would not be immediately obvious that anything was unusual about it—after all, you have to walk an infinite distance to get to the edge of ordinary Euclidean space too. However, if you were a careful observer you might begin to notice some odd things, such as that all similar triangles were the same size, and that no straight-sided figure you could draw would have four right angles—that is, this space doesn’t have any squares or rectangles. A strange place indeed!

Even more unusual is the space suggested by the woodcut Snakes. Here the space heads off to infinity both towards the rim and towards the center of the circle, as suggested by the shrinking, interlocking rings. If you occupied this sort of a space, what would it be like? Not only can you not reach the edge of this space, you can’t reach the middle…

In addition to Euclidean and non-Euclidean geometries, Escher was very interested in visual aspects of Topology, a branch of mathematics just coming into full flower during his lifetime. Topology concerns itself with those properties of a space which are unchanged by distortions which may stretch or bend it—but which do not tear or puncture it—and topologists were busy showing the world many strange objects. The Möbius strip is perhaps the prime example, and Escher made many representations of it. It has the curious property that it has only one side, and one edge. Thus, if you trace the path of the ants in Möbius Strip II, you will discover that they are not walking on opposite sides of the strip at all—they are all walking on the same side. It is easy to make a Möbius strip just cut a strip of paper with scissors, give it a half-twist, and then glue or tape the ends. What do you predict will happen if you attempt to cut such a strip in two, lengthwise?

Another very remarkable lithograph, called Print Gallery, explores both the logic and the topology of space. Here a young man in an art gallery is looking at a print of a seaside town with a shop along the docks, and in the shop is an art gallery, with a young man looking at a print of a seaside wait! What’s happened?

All of Escher’s works reward a prolonged stare, but this one does especially. Somehow, Escher has turned space back into itself, so that the young man is both inside the picture and outside of it simultaneously. The secret of its making can be rendered somewhat less obscure by examining the grid-paper sketch the artist made in preparation for this lithograph. Note how the scale of the grid grows continuously in a clockwise direction. And note especially what this trick entails: A hole in the middle. A mathematician would call this a singularity, a place where the fabric of the space no longer holds together. There is just no way to knit this bizarre space into a seamless whole, and Escher, rather than try to obscure it in some way, has put his trademark initials smack in the center of it.

The Logic of Space

By the “logic” of space we mean those spatial relations among physical objects which are necessary, and which when violated result in visual paradoxes, sometimes called optical illusions. All artists are concerned with the logic of space, and many have explored its rules quite deliberately. Picasso, for instance.

Escher understood that the geometry of space determines its logic, and likewise the logic of space often determines its geometry. One of the features of the logic of space which he often applied is the play of light and shadow on concave and convex objects. In the lithograph Cube with Ribbons, the bumps on the bands are our visual clue to how they are intertwined with the cube. However, if we are to believe our eyes, then we cannot believe the ribbons!

Another of Escher’s chief concerns was with perspective. In any perspective drawing, vanishing points are chosen which represent for the eye the “point(s) at inifinity.” It was the study of perspective and points at infinity by Alberti, Desargues, and others during the renaissance that led directly to the modern field of projective geometry.

By introducing unusual vanishing points and forcing elements of a composition to obey them, Escher was able to render scenes in which the “up/down” and “left/right” orientations of its elements shift, depending on how the viewer’s eye takes it in. In his perspective study for High and Low, the artist has placed five vanishing points: top left and right, bottom left and right, and center. The result is that in the bottom half of the composition the viewer is looking up, but in the top half he or she is looking down. To emphasize what he has accomplished, Escher has made the top and bottom halves depictions of the same composition.

A third type of “impossible drawing” relies on the brain’s insistence upon using visual clues to construct a three-dimensional object from a two-dimensional representation, and Escher created many works which address this type of anomaly.

One of the most intriguing is based on an idea of the mathematician Roger Penrose’s—the impossible triangle. In this lithograph, Waterfall, two Penrose triangles have been combined into one impossible figure. One sees immediately one of the reasons the logic of space must preclude such a construction: the waterfall is a closed system, yet it turns the mill wheel continuously, like a perpetual motion machine, violating the law of conservation of energy. (Notice the intersecting cubes and octahedrons on the towers.)

Self-Reference

Our final consideration of Escher’s art involves its relationship to the fields of information science and artificial intelligence. This aspect of his work has been largely overlooked in previous studies, but the case for its importance to these fields was forcefully made by Douglas R. Hofstadter in his 1980 Pulitzer Prize winning book, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid.

A central concept Escher captured is that of self-reference, which many believe lies near the heart of the enigma of consciousness—and the brain’s ability to process information in a way that no computer has yet mimicked successfully.

The lithograph Drawing Hands and the woodcut Fish and Scales each captures this idea in a different way. In the former the self-reference is direct and conceptual the hands draw themselves much the way that consciousness considers and constructs itself, mysteriously, with both self and self-reference inseparable and coequal. En Fish and Scales, on the other hand, the self-reference is more functional one might rather call it self-resemblence. In this way the woodcut describes not only fish but all organisms, for although we are not built, at least physically, from small copies of ourselves, in an information-theoretic sense we are indeed built in just such a way, for every cell of our bodies carries the complete information describing the entire creature, in the form of DNA.

On a deeper level, self-reference is found in the way our worlds of perception reflect and intersect one another. We are each like a character in a book who is reading his or her own story, or like a picture of a mirror reflecting its own landscape. Many of Escher’s works exhibit this theme of intersecting worlds, but we will here consider only one of the exemplars. As is common in Escher’s treatment of this idea, the lithograph Three Spheres II makes use of the reflective properties of a spherical mirror. Here, as Hofstatder noted, “every part of the world seems to contain, and be contained in, every other The spheres relfect one another, the artist, the room in which he works, and the paper upon which he draws the spheres.

And so we end where we began, with a self portrait: the work a reflection of the artist, the artist reflected in his work.


Online Help

There is extensive online help available for assisting with subjects such as:

  • handling your account(s) - for schools how to set up and use separate teacher and student personal accounts
  • setting up student classes and accounts, including importing data from external sources
  • assessment from both the student's and teacher's perpective (including, for teachers, how to create and allocate student tasks)
  • how to use o-test progress charts
  • how teachers can monitor the progress of their students
  • setting up and printing exam papers (including how to handle common printing problems).

To access the online help click or touch the ? button near the top-right of the page. This button will appear with a green background when there is help available directly related to the page currently displayed.


Let’s add some STEAM

Art Now that you know the fancy math behind the complex shapes you are making have some fun creating artful patterns on them! A pattern as defined in art is an organizing structure for a composition. Patterns typically repeat in an organized way in drawings and designs. If you draw designs and patterns from the dots on the template you can create connecting designs that fluidly move around the final 3D geometric shapes. Experiment with your designs and watch how they change when folded into a 3D shape.

Engineering This is a wonderful project to illustrate how strong sheets of a material can become when that material is bent and shaped. A sheet of paper is flimsy and can’t support much, but when folded into 3d geometric shapes it becomes quite rigid, can support some modest weight, AND can be stacked to create height. Many construction materials such as sheet metal are not very strong in sheet form but when bent into tubes, squares, and other shapes, becomes very rigid and structural.


13.5: Platonic Solids - Mathematics

A platonic solid is a polyhedron all of whose faces are congruent regular polygons, and where the same number of faces meet at every vertex. The best know example is a cube (or hexahedron ) whose faces are six congruent squares.

Manipulating the shapes on this page.

There are only five!

The Greeks recognized that there are only five platonic solids. But why is this so? The key observation is that the interior angles of the polygons meeting at a vertex of a polyhedron add to less than 360 degrees. To see this note that if such polygons met in a plane, the interior angles of all the polygons meeting at a vertex would add to exactly 360 degrees. Now cut an angle out of paper, and fold another piece of paper to that angle along a line. The first piece will fit into the second piece when it is perpendicular to the fold. Think of the fold as a line coming out of our polyhedron. The faces of the polyhedron meet at the fold at angles less than 90 degrees. How can this be possible? Try wiggling your first piece of paper within the second. To be able to incline it with respect to the fold you have to decrease the angle of the first piece, or increase the angle of the second.

Next we'll consider all possibilities for the number of faces meeting at a vertex of a regular polyhedron. For each possibility we actually construct such a polyhedron, a picture of which you can see close by on this page. Here are the possibilities:

  • Triangles. The interior angle of an equilateral triangle is 60 degrees. Thus on a regular polyhedron, only 3, 4, or 5 triangles can meet a vertex. If there were more than 6 their angles would add up to at least 360 degrees which they can't. Consider the possibilities:
    • 3 triangles meet at each vertex. This gives rise to a Tetrahedron.
    • 4 triangles meet at each vertex. This gives rise to an Octahedron.
    • 5 triangles meet at each vertex. This gives rise to an Icosahedron

    But now things get a little more subtle. We have looked at all possibilities of congruent regular polygons meeting at a vertex of a polyhedron, but how do we know that there isn't another regular polyhedron for some of these cases? For example, why is the cube the only polyhedron for which three squares meet at each vertex? The rest of this page gives the answer to this question, but the going will be much harder!

    • m be the number of polygons meeting at a vertex,
    • n the number of vertices of each polygon,
    • f the number of faces of the polyhedron,
    • e the number of edges of the polyhedron, and
    • v the number of vertices of the polyhedron.

    The values of these numbers for each of the polyhedra are listed in this table:

    norte metro f mi v
    Tetrahedron 3 3 4 6 4
    Octahedron 3 4 8 12 6
    Icosahedron 3 5 20 30 12
    Hexahedron 4 3 6 12 8
    Dodecahedron 5 3 12 30 20
    Table: Combinatorics of Regular Polyhedra

    Our aim now is to show that for any pair of number n and m the values of the other parameters, f , e , and v are determined uniquely.

    First we note that since two faces meet in one edge, we must have

    Next, since every vertex is shared by m faces, we must have

    It is apparent from the Table that for all five regular polyhedra

    We'll see below that this equations actually holds for all convex polyhedra. Given metro y norte the above three equations determine f, mi, y v uniquely, and so there are only five possible regular polyhedra.

    Euler's Polyhedron Theorem

    Now think of the remaining faces of the polyhedron as made of rubber and stretched out on a table. This will certainly change the shape of the polygons and the angles involved, but it will not alter the number of vertices, edges, and faces. Now we draw diagonals in the stretched faces out of the Polygons. Every diagonal increase the number e of edges by one, and also the number F of faces, so that our equation (*) remains valid. We continue this process until all polygons have been changed into triangles.

    In the final stage we remove triangles until we are left with only one triangle for which (*) is obviously true. ¿Como hacemos eso? If the removed triangle has exactly one edge on the boundary then F and e are both decreased by 1 and (*) remains true. If it has two edges on the boundary then F is reduced by 1, e is reduced by 2, and v is reduced by 1, so that (*) remains true.

    There is one final subtlety . Can we really dismantle the triangles as described? The answer is yes. But as an exercise you may wish to modify the dismantling procedure to remove all doubts in your mind. A similar dismantling procedure could be designed for a tessellation of a polyhedron by polyhedra, but in that case it is not always possible. For an illustration you may want to visit my page that describes Rudin's example of an unshellable triangulation.

    If you'd like to play with polyhedron with many more faces, here is a crude rendering of a sphere, which is of course not a platonic solid!


    Ver el vídeo: Drúnvalo Melchizedek El por qué de la unidad de toda la vida en todas partes. (Septiembre 2021).