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13.8: Geometría en el arte y la ciencia


Teselaciones

A mosaico[1] es un diseño que utiliza una o más formas geométricas sin superposiciones ni espacios. La idea es que el diseño podría continuar infinitamente hasta cubrir todo el plano (aunque, por supuesto, solo podemos dibujar una pequeña parte).

Muchas teselaciones tienen simetría traslacional, pero no es estrictamente necesario. La Baldosas Penrose mostrado a continuación[2] no tiene ninguna simetría traslacional.

En realidad, es mucho más difícil crear estos teselados "aperiódicos" que crear otros que tengan simetría de traslación. Así que nos centraremos en cómo hacer teselados simétricos.

Las dos primeras teselaciones de arriba se hicieron con una sola forma geométrica (llamada teja) diseñado para que puedan encajar sin espacios ni superposiciones. El tercer diseño utiliza dos mosaicos básicos. Los teselados a menudo se llaman teselaciones, y eso es en lo que debería pensar: si tuviera azulejos hechos con esta forma, ¿podría usarlos para revestir el piso de mi cocina? ¿O sería imposible?

Por tu cuenta

Realice estos ejercicios por su cuenta o con un compañero. Necesitará muchas copias (tal vez de 10 a 15 cada una) de cada forma a continuación. En cada problema, concéntrese en un solo mosaico para hacer su teselado.

  1. Empiece con la baldosa cuadrada. ¿Puedes unir los cuadrados en un patrón que pueda continuar para siempre, sin espacios ni superposiciones? ¿Puedes hacerlo de más de una forma?
  2. Ahora prueba con una de las baldosas triangulares. ¿Puedes usar muchas copias de un solo triángulo para teselar el plano?
  3. Repite este proceso con cada uno de los otros mosaicos. Mantenga un registro de sus hallazgos.

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  • ¿Cuáles de los mosaicos dados arriba están en mosaico y cuáles no?
  • ¿Tiene alguna conjetura basada en esta experiencia sobre qué formas se teselarán y cuáles no?

Dibujos De Escher

El artista M.C. Escher creó muchas obras de arte inspiradas en las matemáticas, incluidas algunas teselaciones muy hermosas. A continuación verás algunas imágenes.[3] inspirado en su trabajo. Puedes ver lo real en http://www.mcescher.com/ en la galería "Symmetry".

Puede hacer sus propios dibujos al estilo de Escher utilizando algunos datos que aprendió mientras estudiaba los teselados.

Teorema: teselaciones

Cualquier triángulo se teselará. También lo hará cualquier cuadrilátero.

La explicación de esto se reduce a lo que sabes sobre las sumas de ángulos. La suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Entonces, si haces seis copias de un solo triángulo y las juntas en un punto para que cada ángulo aparezca dos veces, habrá un total de 360 ​​° alrededor del punto, lo que significa que los triángulos encajarán perfectamente sin espacios ni superposiciones.

Luego puede repetir esto en cada vértice, usando más y más copias de los mismos triángulos.

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  • Usa el hecho de que la suma de los ángulos en cualquier cuadrilátero es 360 ° para explicar por qué cada cuadrilátero formará un teselado.
  • Usa ángulos para explicar por qué los hexágonos regulares se teselarán.
  • Explica por qué los pentágonos regulares no se teselan.

Por tu cuenta

Trabaje en los siguientes ejercicios por su cuenta o con un compañero. A continuación, le indicamos cómo puede crear sus propios dibujos al estilo de Escher.

  1. Seleccione su mosaico básico. La primera vez que lo hace, es más fácil comenzar con una forma simple que sepa que formará un mosaico, como un triángulo equilátero, un cuadrado o un hexágono regular.
  2. Dibuja un "garabato" en un lado de tu ficha básica.

  1. Recorta el garabato y muévelo al otro lado de tu forma. Puede traducirlo en línea recta o rotarlo.

o

  1. Es importante que el recorte se alinee a lo largo del nuevo borde en el mismo lugar en el que apareció en su borde original.
  2. Pega el garabato en su nueva ubicación. Esta es tu ficha básica. En una hoja grande de papel, traza alrededor de tu baldosa. Luego muévalo de la misma manera que movió el garabato (trasladar o rotar) para que el garabato encaje exactamente donde lo recortó.

  1. La forma seguirá formando un mosaico, así que sigue adelante y llena tu papel.
  2. Ahora sea creativo. Colorea tu forma básica para que parezca algo: ¿un animal? ¿una flor? una mancha colorida? Agregue color y diseño en todo el mosaico para transformarlo en su propio dibujo similar a Escher.
  3. Si quieres probar una versión más complicada, corta dos garabatos diferentes de dos lados diferentes y muévelos a ambos.

Torres de construcción

Para esta actividad, necesitará algunos materiales de construcción:

  • Necesitarás muchos mondadientes.
  • También necesitará algo para conectar los mondadientes. El mejor material para esto son los mini malvaviscos; puedes pegar los extremos de los palillos en los malvaviscos para conectarlos. También puede usar pedazos de arcilla, trozos de gomitas u otro material similar (pegajoso).

Problema 16

Pruebe esto como una actividad de calentamiento. Coge exactamente seis palillos de dientes. Tu trabajo consiste en hacer cuatro triángulos con los seis palillos de dientes. No puede romper ninguno de los palillos de dientes ni agregar ningún otro material además de los conectores de malvavisco.

Problema 17

Ahora viene el principal desafío. Tienes diez minutos para construir el estructura independiente más alta que puedes hacer. "Independiente" significa que se mantendrá de pie por sí solo. No puede sostenerlo ni apoyarlo contra algo. Cuando hayan transcurrido los diez minutos, aléjese de su torre y mida su altura.

Piensa / Empareja / Comparte

Mire su propia torre y las torres de otros estudiantes. Habla acerca de estas preguntas:

  • ¿Qué opciones de diseño llevaron a estructuras de varamiento libre más altas? ¿Por qué crees que es?
  • Si tuviera otros diez minutos para volver a intentar esta actividad, ¿qué haría de manera diferente y por qué?

  1. Teselado triangular de pixababy [CC0]. Teselaciones hexagonales y rómbicas de Wikimedia Commons [Dominio público].
  2. Imagen a través de Wikimedia Commons [Public donmain].
  3. Imágenes de flickr [CC BY-NC-SA 2.0]. Birds de Sharon Drummond. Azulejos Lizard de Ben Lawson.

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Requisitos académicos

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Promoción de un clima inclusivo en Penn Arts & amp Sciences.

Una serie de podcasts donde exploramos la compleja historia de la nación con la raza y planteamos preguntas desafiantes: ¿Quién controla la narrativa sobre los Estados Unidos? ¿Hemos ido más allá de nuestra historia de esclavitud y Jim Crow? ¿Estamos en un momento de ajuste de cuentas?

La división de pregrado de Penn Arts and Sciences, el College es el hogar académico de más de 6.200 estudiantes y proporciona una base de artes liberales para todos los estudiantes de pregrado de Penn. Con más de 50 especializaciones y más de 2,000 cursos, el Colegio ofrece una visión única de la educación clásica de artes liberales.

El hogar de programas de doctorado en artes y ciencias, con más de 30 grupos de posgrado que otorgan el doctorado, así como una serie de programas que conducen a los títulos de Maestría en Artes, Maestría en Ciencias y Maestría en Filosofía ( M. Phil.).

LPS es el hogar del aprendizaje permanente en Penn, con opciones para estudios de secundaria, licenciatura, posgrado, posgrado, verano y estudios en línea, así como capacitación profesional personalizable con cursos que abarcan todas las disciplinas.


Forma bidimensional

Puede ser definido por línea, en todas las formas descritas anteriormente. La línea, explícita o implícita, proporciona el contorno de las formas.

Valor (la relativa claridad u oscuridad de un color) también puede definir la forma. Los fuertes contrastes de valor dentro de una composición pueden definir los límites de las formas. Las gradaciones de valor, o el sombreado, también pueden crear la ilusión de contorno y volumen.


Del mismo modo, matiz los contrastes y gradaciones también pueden definir formas. La forma también se puede definir por cambio de textura, incluso cuando el tono y el valor permanecen esencialmente consistentes. Sin embargo, más típicamente, la forma se define por una combinación de estos factores, como es el caso de esta impresión de Max Ernst.

Forma en relación al espacio positivo y negativo

Las formas y las formas se pueden considerar como positivo o negativo. En una composición bidimensional, los objetos constituyen las formas positivas, mientras que el fondo es el espacio negativo. Para los estudiantes principiantes de arte y diseño, el uso efectivo del espacio negativo es a menudo un concepto especialmente importante que debe dominar. Este ejercicio en papel cortado requería que el alumno trabajara con la misma composición en negro sobre blanco y blanco sobre negro simultáneamente. Esto hace que sea difícil ignorar el fondo y tratarlo como un espacio vacío. La colocación efectiva de los objetos en relación con el espacio negativo circundante es esencial para el éxito en la composición.

Algunos artistas juegan con la inversión del espacio positivo y negativo para crear ilusiones complejas. Las impresiones de M. C. Escher (haga clic en Galería de imágenes, luego Simetría) a menudo presentan imágenes entrelazadas que juegan con nuestra percepción de lo que está en primer plano y lo que es de fondo. Otros artistas llevan estas ilusiones de imágenes positivas y negativas a distancias aún mayores, ocultando imágenes dentro de las imágenes. La percepción de la forma y la forma está condicionada por nuestro arraigado "instinto" de imputar significado y orden a los datos visuales. Cuando miramos una imagen e inicialmente nos formamos una impresión, hay una tendencia a aferrarnos a esa conclusión sobre su significado y luego ignorar otras posibles soluciones. Esto puede dificultar la visualización de las otras imágenes. Entrenar el ojo para seguir mirando más allá de las primeras impresiones es un paso crucial en el desarrollo de una verdadera alfabetización visual.


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