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11: Patrones y pensamiento algebraico - Matemáticas


Imagen en miniatura - Un móvil del artista Alexander Calder.[1]


  1. Imagen utilizada bajo la Dedicación de dominio público universal de Creative Commons CC0 1.0.

Visual Patterns es un sitio web muy simple y maravilloso, creado por un maestro de escuela secundaria pública en el sur de California llamado Fawn Nguyen.

El sitio es esencialmente una colección de 157 patrones visuales diferentes (y en crecimiento). Para cada patrón, se le dan las primeras tres figuras / etapas del patrón. Por ejemplo, aquí & # 8217s # 25:

También se le dice algo sobre la figura 43 del patrón. Por ejemplo, la figura número 43 del patrón anterior tiene 89 cuadrados.

Eso es todo, pero eso es todo lo que necesitas.

Cuando les pregunta a los estudiantes de educación para adultos qué es el álgebra, muchos dirán cosas como & # 8220x y y & # 8221, & # 8220 operaciones inversas & # 8221, & # 8220variables & # 8221, & # 8220 números negativos & # 8221, o & # 8220 resolviendo x & # 8221. También dirán cosas como & # 8220heartbreak & # 8221, & # 8220 cuando dejé la escuela & # 8221, & # 8220, algo que no tiene nada que ver con la vida real & # 8221. Sus respuestas a la pregunta a menudo pueden dar una idea de la raíz de su lucha. El álgebra es una forma de pensar que involucra conceptos básicos como igualdad / equilibrio, generalizaciones y representación simbólica, pero a los estudiantes a menudo se les enseña álgebra como solo un conjunto de pasos para realizar. Eso es similar a que te enseñen taquigrafía antes de aprender a escribir.

Hay muchas cosas que puede hacer con patrones visuales como el que encontrará aquí, especialmente en el desarrollo del pensamiento algebraico. Al exponer a los estudiantes a patrones visuales con regularidad y guiar sus exploraciones, puede ayudarlos a ver que el álgebra es más que resolver para x y que no es solo una serie de procedimientos que debe memorizar. Puede utilizar las propias observaciones de los estudiantes para construir una comprensión concreta de conceptos como constantes, variables, resolución de incógnitas, equivalencia entre ecuaciones y escritura de ecuaciones. Los estudiantes de todos los niveles de la educación de adultos pueden y deben observar patrones y hacer observaciones y, finalmente, predicciones y generalizaciones.

Aquí & # 8217s un ejemplo de una línea de preguntas que podría usar con el patrón anterior (que también se puede usar con casi cualquier otro patrón visual):

    Dibuja las siguientes dos figuras.

¿Cómo van cambiando las cifras?

Cree un gráfico con los datos que ha recopilado. (Esto puede ayudar a los estudiantes a identificar la regla iterativa del patrón. También hace que los estudiantes organicen los datos que han recopilado, lo que puede ayudarlos a encontrar patrones. También les permite crear una representación del patrón en las imágenes.)

En unas pocas oraciones, describe cómo se vería la décima figura.

Explica cómo calcularías el número de cuadrados en la figura 99. (Este tipo de pregunta anima a los estudiantes a buscar una regla explícita. Por ejemplo, considere el patrón n. ° 25 anterior. Puede usar el hecho de que cada figura tiene dos cuadrados más que el anterior para pensar en la décima figura, pero que se vuelve menos eficiente para el 99. Por supuesto, los maestros pueden usar un número menor para estudiantes de nivel inferior o cuando introducen patrones visuales).

6. En unas pocas oraciones, describe cómo calcular cuántos cuadrados habría en cualquier figura de este patrón. (Los profesores pueden utilizar la pregunta como un punto de partida para la redacción de ecuaciones más formales. Además, se pueden desarrollar ecuaciones diferentes para la mayoría de estos patrones, lo que puede ser un punto de partida para buscar ecuaciones equivalentes.)

    Los profesores también pueden cambiar la pregunta. Entonces, por ejemplo, para el patrón anterior, puede preguntar: & # 8220 ¿Qué figura / escenario tendrá 49 cuadrados? & # 8221 (Este tipo de pregunta puede ser la base para resolver una incógnita, excepto que en lugar de tener que decirles a los estudiantes cómo hacerlo, ellos pueden decirnos.)

Los profesores también pueden ampliar el problema haciendo una pregunta como, & # 8220 ¿Cuál será el perímetro de la figura 52? & # 8221

He tenido mucho éxito en las aulas de educación para adultos haciendo preguntas como las anteriores.

Nguyen ofrece algunas versiones diferentes de folletos con preguntas de los estudiantes en la página del maestro de patrones visuales. Esos folletos tienen menos preguntas, pero similares, pero les piden a los estudiantes que escriban ecuaciones. Muchos estudiantes de educación para adultos no podrán hacer esto por sí mismos, al menos al principio. La línea de preguntas anterior está diseñada para ayudarlos a hacer la conexión entre la imagen concreta y la ecuación abstracta.

A continuación, se muestran algunos ejemplos de otros patrones de la colección:

# 85 # 89 es un enlace que en realidad lo lleva a la cuarta etapa de un patrón de anillos entrelazados, donde puede rotar un modelo tridimensional.

#154

Una vez que los estudiantes tienen algo de experiencia trabajando con patrones visuales y comienzan a dominarlos, les encanta la oportunidad de crear los suyos propios. Si busca en la pestaña & # 8220Gallery & # 8221 en Patrones visuales, verá una selección de patrones creados por estudiantes. Aquí & # 8217s un ejemplo de uno que disfruté especialmente:

La clave de respuestas (por lo que supongo que se refiere a las ecuaciones) no está disponible en el sitio, pero si se comunica con Fawn, aparentemente ella se la enviará.

Estas son solo algunas de las formas en que los profesores pueden usar este sitio con los estudiantes:

  • Puede usarlos como calentamientos para el comienzo de la clase.
  • Puedes usarlos como fuente de problemas en una unidad sobre patrones y pensamiento algebraico.
  • Uno de los estudiantes se siente cómodo con las exploraciones, incluso puede enviarlos al sitio y hacer que trabajen, ya sea en patrones que asigne, patrones de su propia elección o ambos.

Para obtener más ideas sobre cómo hacer la conexión entre los patrones y el razonamiento algebraico, recomiendo leer & # 8220Desarrollo del pensamiento algebraico a través de la exploración de patrones & # 8221 [1] de Leslee Lee y Viktor Freiman. Modela una exploración de un patrón particular y también ofrece una línea general de preguntas (similar a la anterior) que se puede utilizar con una amplia variedad de patrones.

[1] De Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria, Vol. 11, No. 9, mayo de 2006.


11: Patrones y pensamiento algebraico - Matemáticas


PENSAMIENTO ALGEBRAICO (Línea D)

Oraciones numéricas / sentido numérico (estándares 1 y 2)

  • Haga que los estudiantes elijan un número. Pídales que escriban tantas oraciones numéricas diferentes como sea posible. Anime a los estudiantes a usar más de dos números, más de una operación y a escribir las oraciones usando el orden correcto de operaciones.

    Haga que los estudiantes creen un libro propio en la misma línea, escribiendo oraciones numéricas para describir las páginas de su libro. Además, las ideas para usar con 12 formas de obtener 11 son apropiadas aquí.

    Antes de leer el libro, haga que los estudiantes intenten contar hasta veinte lo más rápido posible y registren los tiempos. Después de leer el libro, conecte las diferentes formas de contar un número con los factores del número.

Patrones y variables (estándar 1)

    Haga que los estudiantes creen patrones repetidos y crecientes, agrupando patrones con la misma estructura básica.


  1. Scieszka, Jon y Lane Smith. The Stinky Cheeseman y otros relatos bastante estúpidos. Nueva York: Viking, 1992.

    Después de leer todos estos libros, dé a los niños una tira de cinta de máquina sumadora. Haga que dibujen un patrón en su tira, asegurándose de que dibujen al menos dos ciclos de su patrón. Luego, pida a los niños que ordenen sus patrones en la pared del aula para que los patrones similares se agrupen. Los niños deben justificar por qué los patrones en un grupo son similares e identificar el patrón como ABAB, etc. (Esta actividad se describe con más detalle en los Patrones K-6 de la serie de apéndices de NCTM).

    Lea las páginas de la sección sobre La máquina mágica. Haga que los niños identifiquen lo que hace cada máquina. Luego haga que los niños creen su propia máquina & # 147función & # 148. Lea la sección sobre contar con círculos. Haga que los estudiantes creen sus propias páginas similares.

Patrones, tablas y reglas (estándar 1)

    Haz lo mismo que con Cien hormigas hambrientas.

    Toma cualquier página del libro. Cree una tabla para ilustrar las relaciones que se describen. Intente escribir una o más reglas para las relaciones. Grafica los resultados. Conecta la pendiente de las gráficas con las ideas de pendiente.

    Haga que los niños consideren los siguientes números del patrón. Haga que los niños escriban una regla para describir su patrón. Si es apropiado, introduzca la notación para exponentes.

  1. Anno, Masaichiro y Mitsumasa Anno. El misterioso tarro multiplicador de Anno. Nueva York: Philomel Books, 1983.

    Haga que los niños relacionen las descripciones del libro con la multiplicación. Si es apropiado, introduzca la notación factorial. Haga que los niños creen su propio libro de multiplicación. Relacione las ideas del libro con problemas relacionados con el principio de conteo de multiplicaciones. [por ejemplo, nueve personas están en un equipo de béisbol. Sin restricciones, ¿cuántas órdenes de bateo son posibles?

    Haga que los niños creen diseños con palillos de dientes de colores. Pídales que describan la cantidad de mondadientes de un color dado que se necesitan para 1, 2, 3, 4,. 100 de sus diseños. Escriba una regla que le diga a una empresa cuántos mondadientes de colores deben tener si alguien pide un número determinado de su diseño. (Las actividades con ejemplos de trabajos de niños y niñas se describen en un capítulo de Thompson, Chappell y Austin en la próxima serie de Addenda sobre Cambiando las caras de las matemáticas: perspectivas sobre los pueblos indígenas).

Patrones más avanzados: crecimiento exponencial (estándar 1)

    Suponga que comienza con 5 monedas y las coloca en la olla. Continúe duplicando los resultados y registre los valores en una tabla. ¿Cuánto tiempo pasará antes de tener 1000 monedas? ¿Y si tuvieras un bote triple? ¿Y si comenzaras con 1000 monedas y tuvieras medio bote? ¿Cuánto tiempo pasaría antes de tener menos de 50 monedas?

    Si el patrón continúa, ¿cuántas hormigas se necesitarían para los siguientes tres alimentos? Calcula el número total de hormigas cada vez que se agrega un alimento nuevo a la historia. Intente escribir reglas para describir sus patrones. Grafica la cantidad de hormigas con cada alimento y la cantidad total de hormigas.

Un sabio hace un servicio a un rey que insiste en dar una recompensa. El sabio pide un grano de arroz para la primera casilla de un tablero de ajedrez, y el número de granos se duplica por cada nueva casilla del tablero de ajedrez. El rey finalmente se da cuenta de que no habría suficiente arroz en todo el mundo para satisfacer la petición del sabio.


  1. Barry, David. El arroz del rajá: un cuento popular matemático de la India. Nueva York: W. H. Freeman and Company, 1994.

Una niña sana a los elefantes enfermos del rajá. Luego derrota al rajá pidiendo una recompensa de arroz en el que el número de granos se duplica cada día hasta que se cubren todos los cuadrados de un tablero de ajedrez.


Una joven usa su ingenio para ayudar a las personas hambrientas y darle una lección al rajá malvado. Esta es otra variante del cuento de duplicación.


    Para los cuatro de estos libros, haga que los niños creen una tabla con la cantidad de granos de arroz en cada cuadrado del tablero de ajedrez o cada día del período especificado. Haga que los niños describan los patrones que ven y grafiquen los resultados, si es posible. Haga que los niños exploren los problemas de peso y espacio relacionados con las cantidades de arroz.


Clave de respuestas de opción múltiple:

  1. Los ahorros de Kelsey & rsquos se duplican cada mes. Al final del primer mes, Kelsey tenía $ 9 en su cuenta de ahorros. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al cabo de 6 meses? Escribe la secuencia y resuelve.
  1. Describe una regla que pueda usarse para crear el patrón de forma a continuación. Identifica la cantidad de círculos que se encontrarán en la sexta forma.

Clave de respuesta corta y rúbricas de puntuación:

  1. Los ahorros de Kelsey & rsquos se duplican cada mes. Al final del primer mes, Kelsey tenía $ 9 en su cuenta de ahorros. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al cabo de 6 meses? Escribe la secuencia y resuelve.

La secuencia correcta es 9, 18, 36, 72, 144, 288,. . .

Descripción

El alumno proporciona una secuencia precisa y una solución.

El alumno proporciona una secuencia precisa o una solución.

El estudiante no proporciona una secuencia precisa o una solución.

  1. Describe una regla que pueda usarse para crear el patrón de forma a continuación. Identifica la cantidad de círculos que se encontrarán en la sexta forma.

Una regla posible es & ldquoAñadir una nueva columna a la derecha que tenga 1 círculo más que la columna más alta de la forma. & Rdquo La sexta forma tendrá 28 círculos.

Descripción

El alumno proporciona una regla precisa y una solución.

El estudiante proporciona una regla precisa o una solución.

El estudiante no proporciona una regla precisa o una solución.

La regla correcta es & ldquoMultiply by 7. & rdquo

Descripción

El estudiante proporciona una regla precisa y un valor faltante.

El estudiante proporciona una regla precisa o un valor faltante.

El estudiante no proporciona una regla precisa o un valor faltante.


Patrones y pensamiento algebraico: ¿cómo se pueden implementar los manipuladores como parte de la experiencia de aprendizaje?

¿Por qué los manipulables son parte de la experiencia de aprendizaje en las aulas? ¿Qué importancia tienen en el ámbito de la enseñanza de conceptos matemáticos? Cuando se trata de comprender las interrelaciones abstractas de las matemáticas o desarrollar las habilidades para aplicar técnicas de resolución de problemas, es importante que los estudiantes estén comprometidos y motivados intrínsecamente (Fennema, E. (1973). Los manipuladores atraen la atención de los niños, formulando una motivación intrínseca y ayudar en la representación visual de conceptos matemáticos que de otro modo serían inaccesibles para la mente de los niños.

Los manipuladores ayudan a formar conocimiento sobre patrones y pensamiento algebraico. Mediante el uso de manipulativos, los estudiantes pueden comunicar su comprensión de estos conceptos (Muschla, E, 2014).

Los materiales didácticos modernos proporcionan una variedad de materiales manipulables que se pueden usar en el aula. Lo siguiente ayuda a los niños a trabajar para comprender patrones y pensamiento algebraico.

  • Juego de secuenciación y clasificación de formas que incluye tarjetas de trabajo $ 54.95& # 8211 permite a los estudiantes clasificar en grupos las formas y luego comenzar a crear formas. Los estudiantes también pueden comparar los diferentes patrones que se pueden hacer.
  • Brain Twisters: Set de formas magnéticas $ 36.25& # 8211 se puede desafiar a los niños a manipular formas y a descubrir cómo encajan las formas para crear patrones
  • Juego de cuentas de número y operación de 116 $ 98.95& # 8211 permite a los estudiantes desarrollar una comprensión del orden de las operaciones. Luego, los niños pueden crear sus propias ecuaciones algebraicas para demostrar su comprensión y sembrar cómo resolverían el problema.
  • Mabble: crucigramas con números $ 35.15& # 8211 permite a los estudiantes explorar el pensamiento algebraico en un escenario grupal
  • Bloques de patrones magnéticos gigantes $ 47.25& # 8211 permite el reconocimiento de formas. Se puede utilizar para explorar el concepto de simetría en la creación de patrones.

Fennema, E. (1973). Manipulantes en el aula. El profesor de aritmética, 20 (5), 350-352.

Muschla, E., Muschla, Judith A y Muschla, Gary Robert. (2014). Enseñanza de los estándares básicos comunes de matemáticas con actividades prácticas, grados K-2 (maestro Jossey-Bass enseña los estándares básicos comunes de matemáticas con actividades prácticas, grados K-2). Hoboken: Wiley.


Lista de hojas de trabajo de operaciones y pensamiento algebraico

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Practique operaciones básicas para jóvenes matemáticos de maneras divertidas usando dos mazos de cartas (del as al más el comodín), los estudiantes juegan con la memoria haciendo coincidir números que se pueden sumar para hacer y escribir. Operaciones y pensamiento algebraico para escribir e interpretar expresiones numéricas.

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Por ejemplo, emparejando objetos o contándolos de por s, escribe una ecuación para expresar un número par como la suma de dos sumandos iguales. Los materiales educativos de grado grado operaciones matemáticas pensamiento algebraico usan las cuatro operaciones con números enteros para resolver problemas .. contenido.de.matemáticas.a. interpretar una ecuación de multiplicación como una comparación, por ejemplo, interpretar como un enunciado que es multiplicado por y multiplicado por. Ccss.a. Las hojas de trabajo con respuestas para enseñar, practicar o aprender matemáticas básicas comunes de grado están disponibles de forma gratuita en formato imprimible ().

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representar estos problemas usando ecuaciones con una letra que represente el. Todas las hojas de trabajo son gratuitas para uso individual y no comercial. visite k.a para ver nuestra gran colección de hojas de trabajo imprimibles. ver la lista completa de temas para este grado y asignaturas categorizadas por estándares básicos comunes o de una manera tradicional.

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Ejemplo de operaciones de preguntas y pensamiento algebraico: lea el siguiente escenario a tiene que hacer sesenta libras de una mezcla especial de café en, usando frijoles de avellana y frijoles de nuez. Operaciones de pensamiento algebraico: grado de matemáticas básicas comunes. usa las cuatro operaciones con números enteros para resolver problemas.

interpretar una ecuación de multiplicación como una comparación, por ejemplo, interpretar como un enunciado que es multiplicado por y multiplicado por. representar declaraciones verbales de comparaciones multiplicativas como. Ccss.math.content.a. escribir expresiones simples que registren cálculos con números e interpretar expresiones numéricas sin evaluarlas.

por ejemplo, exprese el cálculo suma y, luego multiplique por como (). reconocer que () es tres veces mayor que, sin tener que calcular la suma o el producto indicado.

24. Math Solver Hojas de trabajo de fácil comprensión Páginas para colorear Flores de verano Tarea Tutor gratuito Operaciones del programa Pensamiento algebraico Grado 5

Hojas de trabajo y actividades básicas comunes para. Las operaciones y el pensamiento algebraico resuelven problemas que involucran las cuatro operaciones e identifican y explican patrones en aritmética. resolver problemas verbales de dos pasos usando las cuatro operaciones. represente estos problemas usando ecuaciones con una letra que represente la cantidad desconocida.

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Operations and algebraic thinking represent and solve problems involving multiplication and division.a. interpret products of whole numbers, e.g., interpret x as the total number of objects in groups of objects each. for example, describe a context in which a total number of objects can be expressed as x.

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Learning is a continuous, lifelong process, and each child is entitled to every single minute of it. our website and the worksheets in it are entirely drawn by our two creators. the resources, worksheets, and projects on our website are completely free for you to use.

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Pattern puzzles for the whole year if you and your students enjoy these math challenges, you may be interested in the whole set of puzzles. the complete set includes different puzzles that increase in difficulty. these incorporate more math operations (multiplication division), a create you own puzzle challenge and come in both digital printer-friendly formats.

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South African Journal of Childhood Education

Background: Working structurally with patterns at foundation phase (FP) enhances habits of mind that advance early algebra at this early stage of mathematical learning. The South African curriculum proposes that learners work with and understand the logic of a pattern, but this important idea has largely been neglected in classroom texts and in the supporting texts that guide teachers regarding curriculum implementation. At FP, most problems dealing with cyclical structure operate at a level of extending sequences by producing the next item that continues the order in which items are presented.

Aim: The purpose of this article is to examine the curriculum documents and teaching resources used by FP teachers to deal with repeating patterns. Across the elementary mathematical landscape, there are opportunities to work explicitly with structure in its various conceptual embodiments.

Setting: Six Grade 2 teachers in public schools participated in three workshops that foreground a structural approach to teaching pattern.

Methods: A thorough document study was conducted to ascertain what the curriculum and supporting texts make available for the teaching and learning of repeating pattern.

Results: A more structural approach fosters algebraic habits of mind that lead to more sophisticated forms of mathematical reasoning. A typology that summarises the relational features, intended skills development, complexity of sequences and the use of structural features on four levels is proposed to guide practice towards structural exploration.

Conclusión: Focusing on the cyclical structural aspects embedded in repeating patterns inducts the young learner into relational thinking that advance early algebra.

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Crossref Citations

1. Investigating the strength of alignment between Senior Phase mathematics content standards and workbook activities on number patterns
Agnes D. Qhibi, Zwelithini B. Dhlamini, Kabelo Chuene
Pythagoras vol: 41 issue: 1 year: 2020
doi: 10.4102/pythagoras.v41i1.569


Algebraic Habits of Mind

One important purpose of learning mathematics is to develop useful, analytic, quantitative, logical ways of looking at the world and thinking about things. When mathematical ways of thinking begin to become automatic—not just ways one can use, but ways one is likely to use—it is reasonable to call them habits: mathematical habits of mind.

The Standards for Mathematical Practice (SMP) listed in the Common Core State Standards (CCSS) are one way of organizing and presenting a subset of mathematical habits of mind that are essential for mathematical proficiency. Transition to Algebra focuses on algebraic aspects of five of these: puzzling and persevering, seeking and using structure, using tools strategically, describing repeated reasoning, and communicating with precision. Transition to Algebra is designed to develop these algebraic habits by fostering and building on the common-sense logic that students bring.

Puzzling and Persevering:

Mathematically proficient students start by explaining to themselves the meaning of a problem and looking for entry points to its solution. They . plan a solution pathway rather than simply jumping into a solution attempt [and they] monitor and evaluate their progress and change course if necessary. ” (CCSS, MP1)

Students often see mathematics as a collection of rules to know and follow. Genuine problems—in school and out—are not so cut and dried. Standardized tests also give problems that require students to think beyond the rules. Even ordinary word problems require students to figure out where to start and what to do next. There is no “formula” for how to do that and that is one reason why students find word problems difficult. Puzzles place that particular skill—figuring out where to start—front and center. The puzzles in Transition to Algebra have been chosen strategically to support mathematical ways of thinking essential in algebra.

Seeking and Using Structure:

Mathematically proficient students look closely to discern a pattern or structure. They also can step back for an overview and shift perspective. They can see complicated things, such as some algebraic expressions, as single objects or as being composed of several objects. ” (CCSS, MP7)

Students in beginning algebra are often taught to solve equations like 2(X + 3) + 4 = 24 by going through a particular set of steps written in a particular way. On successive lines, they write the original equation, -4 below each side, a new equation, ÷2 below each side, a new equation, and so on. That method works for all first-year algebra cases and helps students “see the steps.” But it doesn’t encourage students to “see beyond the trees” and perceive the overall structure. Ambas cosas are necessary. Seeing the structure helps students see the logic of algebra it often also makes calculation much easier.

Consider the example to the right. Proceeding in the conventional way is much, much harder than seeing the equation as 11 minus “something” is 6 and concluding that the “something” (the ) equals 5. We can read que as “fifty divided by something” is 5. So, que “something” (the 3X – 2) is 10. That leaves 3X − 2 = 10, which is easier to solve.

Using Tools Strategically:

[This entails] knowing and flexibly using different properties of operations and objects.” (CCSS, MP2)

“[Mathematically proficient students] . identify important quantities in a practical situation and map their relationships using such tools as diagrams, two-way tables, graphs, flowcharts and formulas. They…reflect on whether the results make sense. ” (CCSS, MP4)

“[They] consider the available tools when solving a mathematical problem [and] are sufficiently familiar with tools appropriate for their grade or course to make sound decisions about when each of these tools might be helpful, recognizing both the insight to be gained and their limitations.” (CCSS, MP5)

Good use of tools requires a certain amount of reasoning about and picturing results before they are fully derived. In arithmetic and algebra, that means reasoning about calculations and operations and predicting how part or all of a calculation would go without necessarily carrying it out. For example, if students picture how -18 – 53 would look on the number line, and if they understand the calculation as asking for the total distance and sign, they can perform that calculation without needing a case-structured set of “rules.” Using only this reasoning, students can say whether the result is positive or negative or whether the “18” and “53” should be added or subtracted. This image of the number line clarifies that two distances are being added. The sign comes from subtracting a larger number (53) from a smaller one (-18), which is what they’ve always known with positive numbers.

Describing Repeated Reasoning:

Mathematically proficient students notice if calculations are repeated, and look both for general methods and for shortcuts. . As they work to solve a problem, [they] maintain oversight of the process, while attending to the details. They continually evaluate the reasonableness of their intermediate results.” (CCSS, MP8)

This habit manifests when students uncover a pattern, explore its mathematics, and develop a generic way (often an algebraic expression or equation) to describe it. The practice of seeking and articulating regularity is a cornerstone of algebraic thinking. Consider the following problem:

Asher has a part-time job, working 20 hours a week. He does so well that he is hired full time (40 hours a week) and he is also given a $1 per hour raise. He is really happy, because now he will make $270 more each week than he made before. How much was he making per-hour before the raise? How much is he making now?

Many students who can resolver the algebraic equation that represents this problem can’t generar that equation. Transition to Algebra teaches students how they can generate an equation by guessing a starting wage and calculating the weekly earnings before and after the promotion, then repeating that process for a different arbitrary guess. The goal is no for students to find an answer by guesswork, trial and error, or approximation and adjustment. The goal is for them to notice the regularity in the operations they use to check their guesses. Then students generalize the process by “calculating" and comparing the two different weekly earnings when they’ve “guessed" that Asher used to make X dollars per hour. His old earnings, then, are 20X and his new earnings are 40(X + 1). He earns 270 more now than before: 40(X + 1) - 20X = 270. This is the equation they need to solve.

Communicating with Precision:

Mathematically proficient students … justify their conclusions, communicate them to others, and respond to the arguments of others. They … distinguish correct logic or reasoning from that which is flawed, and—if there is a flaw in an argument—explain what it is.” (CCSS, MP3)

Mathematically proficient students try to communicate precisely to others. They try to use clear definitions in discussion with others and in their own reasoning. They state the meaning of the symbols they choose, including using the equal sign consistently and appropriately. They are careful about specifying units of measure, and labeling axes to clarify the correspondence with quantities in a problem.” (CCSS, MP6)

As students develop mathematical language, they learn to use algebraic notation to express what they already know and to translate among words, symbols, and diagrams. Clear communication also requires the refinement of academic language as students explain their reasoning and solutions. Along with some new specifically mathematical vocabulary, this includes the use of:


Materials Required

1. Look at the pattern below.

What are the next two shapes?

2. Look at the pattern below.

What are the next three shapes?

3. Look at the pattern below.

What are the next two shapes?

Example: Look at the pattern below.

The pattern starts with 1. The rule is add 3.

What are the next 2 numbers in the pattern? 19, 22

Notice that 19 is an odd number and 22 is an even number.

Notice that a feature of this pattern is an odd number and then an even number.

The pattern starts with 1. The rule is add 2.

What are the next 2 numbers in the pattern? 13, 15

What is a feature of this pattern? All numbers are odd.

The pattern starts with 2. The rule is add 2.

What are the next 2 numbers in the pattern? 14, 16

What is a feature of this pattern? All numbers are even.


Resource Center

• by Juanita C. García, Ph.D., and Rosana Rodríguez, Ph.D. • IDRA Newsletter • April 2015 •

To make sure that bilingual/bicultural students have the skills they need to be college- and career-ready, success in algebra matters. All too often, however, teachers of young children do not have the resources they need to know how to integrate language learning and mathematical literacy.

Teachers can inspire interest and concrete skills in mathematics while simultaneously building language proficiency. The ability to identify, describe and foster algebraic reasoning in the early grades through language can help promote STEM (science, technology, engineering, and mathematics) and foster skills in algebra specifically.

Algebra is not just computation with variables that begin with whole numbers, then fractions, then decimals. Students should be able to create equations that describe numerical relationships, reason abstractly, practice solving problems in more than one way, and justify and communicate their thinking.

Children as early as kindergarten benefit from practicing the skills and building comprehension and knowledge that lead to mastery in algebra. Because of their innate inquisitiveness, young children are natural-born scientists and mathematicians. Inherent in children are curiosity, creativity, collaboration and critical thinking-concepts that are at the heart of STEM (Chesloff, 2013). Highly effective teachers of English learners play a vital role in nurturing these natural behaviors for STEM learning that children bring.

Margarita’s Necklace is one of a number of stories that comprise IDRA’s comprehensive Semillitas de aprendizaje, bilingual supplemental early childhood materials based on the art of storytelling and story reading. (see Page 7) This culturally-relevant story entices children to learn to create different patterns, similar to the protagonist in this charming story who comes from a family of artisans. In her home, the family members work the chaquira, the fine art of intricate beadwork used to create lovely necklaces, bracelets and rings. Margarita learns how to work with patterns and begins to craft a marvelous necklace.

The story inspires children to create their own patterns. It can be used effectively by teachers as a springboard to encourage children to explore and analyze patterns, count, and make predictions that are essential skills in developing math literacy, thereby increasing their ability to identify, describe and foster algebraic reasoning in the early elementary grades.

Describing and understanding patterns, numbers and operations also can contribute greatly to language development. And by introducing the mathematical concepts of patterns and predictions through culturally-relevant children’s stories, teachers can facilitate a connection with content. This vital connection between language and mathematics builds on children’s knowledge and provides additional opportunities to think in particular ways that result from analyzing relationships between quantities, noticing structures, studying change, generalizing and analyzing patterns, and learning to recognize and generate predictions, and form mathematical equations and algebraic rules.

Stories that are reflective of history, language and culture can be powerful stimulators to set the stage that excites STEM interest. Additionally, this approach can support early learners in sharing values, introducing new ideas and vocabulary, and catalyzing children to learn more about mathematics in the world around them.

Through interactive and engaging STEM learning experiences, children develop mathematical concepts through and with language. This essential foundation helps students construct a concrete understanding of key concepts in mathematics, allowing for future learning of more abstract ideas and more advanced algebraic thinking.

Using the Semillitas de aprendizaje culturally-relevant bilingual children’s stories can support exploration of key math processes, such as recognizing, describing, extending and translating patterns that encourage children to think more globally and algebraically.

Why Algebra Matters

Algebra is recognized and often called the “gatekeeper” subject for college and career readiness. It is used across professions ranging from electricians to architects to computer scientists. It is increasingly a path to success in our globally competitive economy. When children make the transition from concrete arithmetic to the symbolic language of algebra, they develop abstract reasoning skills necessary to excel in math and science.

Juanita Copley writes: “Mathematics is the science and language of patterns. Thinking about patterns helps children make sense of mathematics. They learn that mathematics is not a set of unrelated facts and procedures instead, recognizing and working with patterns helps young children predict what will happen, talk about relationships, and see connections between mathematics concepts and their world.” (2000)

What Teachers Can Do

Highly effective teachers of English learners know the importance of math literacy and learn how to integrate language learning across disciplines. They understand the importance of fostering interest in STEM fields and increasing minority representation in these critical fields that will play an expanding role in our nation’s workforce and economy.

Excellent teachers of English learners encourage language and literacy, encourage early interest and success in math and language, inspire critical thinking skills/deeper learning, and develop mathematics inquiry and proficiency. They are familiar with and integrate the five strands of mathematical proficiency adopted by the National Council of Teachers of Mathematics:

  • conceptual understanding – the big picture of learning mathematics where concepts are connected to previous math learning
  • procedural fluency – the step-by-step calculations of solving problems
  • strategic competence – solving a problem in more than one way
  • adaptive reasoning – reflecting, justifying and communicating thinking and
  • productive disposition – the relevance and value of mathematics.

These five strands are interconnected and must all work together for mathematical proficiency.

Unfortunately, in many classrooms, step-by-step calculations or procedural fluency take a dominant and exclusive role in math instruction, limiting potential for student learning. But additional resources and strategies have been developed, such as those through IDRA’s Math Smart! professional development for teachers of English language learners. Grounded in scientifically-based and best-practices research in mathematics teaching and English learning, IDRA’s Math Smart! model focuses on increasing mathematical proficiency for all students while deepening teacher content knowledge. At the core is the understanding that all children have an innate, natural sense of mathematics – which is a shift away from a traditionally deficit view to a valuing and asset perspective of students’ knowledge and potential. Combining these Math Smart! best-practices approaches with IDRA’s Semillitas de aprendizaje stories can be a powerful combination in promoting critical thinking and connecting language learning to content areas.

Effective teachers of English learners who are knowledgeable in language and mathematical proficiency and who know how to effectively use tools to inspire STEM through the use of culturally-relevant educational supports can open doors to more equity, access and excellence in education for all students.

Copley, J. V. The Young Child and Mathematics (Washington, D.C.: National Association for the Education of Young Children, 2000).

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Principles and Standards for School Mathematics (Reston, Va.: NCTM, 2000).

Juanita C. García, Ph.D., is an IDRA consultant. Rosana Rodríguez, Ph.D., is an IDRA consultant. Comments and questions may be directed to IDRA via email at [email protected].

[©2015, IDRA. This article originally appeared in the April 2015 IDRA Newsletter by the Intercultural Development Research Association. Permission to reproduce this article is granted provided the article is reprinted in its entirety and proper credit is given to IDRA and the author.]