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4.3: Multiplicación - Matemáticas


Definición: multiplicación

¿Cuál es la definición de multiplicación? Adición repetida

Common Core ha cambiado ligeramente el POR QUÉ detrás de la adición repetida

Adición repetida

Ejemplo ( PageIndex {1} )

  1. Las sandías cuestan $ 3 por libra. ¿Cuánto cuesta una sandía que pesa cinco libras?
    1. Podríamos responder a esta pregunta de dos formas diferentes.
      1. (5 + 5 + 5 = 5 times 3 = $ 15 ) (3 grupos de 5)
      2. (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 times 5 = $ 15 ) (5 grupos de 3)
    2. ¿Qué método es el correcto? El primero, solo.
    3. ¿Por qué? Dos razones.
      1. Piense más adelante en matemáticas: (5 ^ {3} = 5 times 5 times 5 ), que coincide con la forma en que escribimos. Tenga en cuenta que la multiplicación es comunitaria y.
      2. La sandía es el tema del problema. Su peso es el primer problema. Recogemos una sandía y luego miramos el precio. 5 libras se multiplica por $ 3 porque tenemos 5 libras por cada dólar.
  2. ¿Podemos usar la suma repetida para decimales como (0.3 times 6 = 1.8 )
    1. Seis cajas pesan 0,3 libras cada una. Cual es el peso total?
      1. ¿Eres capaz de escribir un 6, 0,3 veces repetido? No. Entonces en su lugar escribimos: (6 times 0.3 = 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 1.8 )
    2. ¿Cuánto es el 30% de 6 libras?
      1. (6 times 0.3 = 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 1.8 ) (6 grupos de 0.3)

Dibujar multiplicación

Common Core es muy importante en la visualización de las matemáticas. Se espera que los estudiantes hagan dibujos para mostrar cómo funciona la multiplicación.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Bosquejo (3 por 2 )

Bosquejo (2 por 3 )

Multiplicar con decimales

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Paso 1: Multiplica 7 por cada dígito del número superior de derecha a izquierda.

Paso 2: Multiplica 4 por cada dígito del número superior de derecha a izquierda.

Paso 3: Multiplica 2 por cada dígito del número superior de derecha a izquierda.

Paso 4: Agregar

Paso 5: Mueva el decimal tres lugares a la izquierda. Como hay tres dígitos a la derecha de los decimales, movemos el decimal final tres lugares a la izquierda. (números en negrita)

[ begin {array} {r}
123.8 \
veces 2,47
hline 28666
49520 \
+247600 \
hline 305. mathbf {786}
end {matriz} nonumber ]

Problemas de práctica

  1. Expandir (7 times 4 )
  2. Expandir (2 times 6 )
  3. Multiplica (4,61 por 7,94 ) (no redondear)
  4. Multiplica (516,4 por 0,347 ) (no redondear)

Lección 3

En una lección anterior, se recordó a los estudiantes la conexión entre la multiplicación y la división. Revisaron la idea de la división como una forma de encontrar un factor faltante, que puede ser el número de grupos o el tamaño de un grupo.

En esta lección, los estudiantes interpretan situaciones de división en problemas de historias que involucran grupos de igual tamaño. Dibujan diagramas y escriben ecuaciones de división y multiplicación para dar sentido a la relación entre cantidades conocidas y desconocidas (MP2).

Metas de aprendizaje

Exploremos situaciones que involucran división.

Objetivos de aprendizaje

Estándares CCSS

Materiales con formato de impresión

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Recursos adicionales

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La traducción al español de las evaluaciones "B" tiene derechos de autor 2020 de Illustrative Mathematics y está autorizada bajo la Licencia Internacional Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

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Interpretar el producto de números enteros

Primero asegúrese de recordar lo que significa la multiplicación, es decir, deberíamos poder interpretar 4 x 3 como "cuatro grupos de tres".

De manera similar a la introducción de las tablas de multiplicar para 2, 5 y 10, comenzamos con el conteo salteado, es decir, 3, 6, 9, ... y luego pasamos a usar papel de puntos (puntos en filas y columnas para representar el total).

Finalmente, introduciremos la propiedad distributiva para la multiplicación & # 8211 expresaremos el producto final como una suma o diferencia de dos operaciones de multiplicación "más fáciles". Por ejemplo:


Memorizar la tabla de multiplicar

Si bien 100 operaciones pueden parecer un gran número para memorizar cuando recién se comienza a aprender la multiplicación, la cantidad de operaciones que deben memorizarse se puede reducir mediante el uso de ciertas propiedades de la multiplicación.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden de multiplicación no importa. Dados dos números, ayb:

Podemos confirmar esto mirando la tabla de multiplicar y viendo que independientemente de si miramos el hecho de multiplicar 2 y multiplicar por 8 = 16 u 8 y multiplicar por 2 = 16, la solución sigue siendo 16. Esto es cierto para cualquier cosa que se multiplique. Dado que el orden no importa, solo necesitamos memorizar los números por debajo o por encima (e incluyendo) la diagonal que se muestra en verde en el gráfico. Esta propiedad casi reduce a la mitad el número de tablas de multiplicar que necesitamos memorizar.

Propiedad de identidad de la multiplicación

La propiedad de identidad de la multiplicación establece que cualquier número a multiplicado por 1 es igual a a:

Dado que 1 multiplicado por cualquier número es ese número, siempre que conozcamos esta propiedad, no es necesario memorizar la primera fila o columna de la tabla de multiplicar.

Multiplicación por 10

Debido a la naturaleza del sistema de numeración decimal, multiplicar cualquier número entero por 10 da como resultado ese mismo número entero con un 0 agregado al final. Por ejemplo, 2 & times 10 = 20, 20 & times 10 = 200, 200 & times 10 = 2000, y así sucesivamente. No importa cuál sea el número, la multiplicación por 10 da como resultado un desplazamiento del lugar decimal una posición a la derecha. Dado que los números enteros no tienen valores decimales, esto solo significa agregar un 0 (para los decimales, el punto decimal se mueve a la derecha un lugar). Esto nos permite eliminar la última fila y columna de la tabla de multiplicar, dejando las siguientes 36 tablas de multiplicar que deben memorizarse.


¿Cómo encontrar la fracción de 3/4 multiplicada por 3/4?

El siguiente entrenamiento con cálculo paso a paso muestra cómo encontrar la fracción equivalente de 3/4 multiplicada por 3/4.

Problema y entrenamiento
Encuentra lo que es 3/4 veces de 3/4 en forma de fracción.
paso 1 Dirección fórmula, parámetros y valores de entrada.
Parámetros y valores de entrada:
3/4 & 3/4
3/4 x 3/4 =?

paso 2 Multiplica ambos numeradores
= 3 x 3
= 9

paso 3 Multiplica ambos denominadores
= 4 x 4
= 16

paso 4 Utilice los valores anteriores de los pasos 2 y 3, y vuelva a escribir como se muestra a continuación
= 9/16

Por lo tanto, 9/16 es una fracción equivalente a 3/4 veces de 3/4.


Multiplicación de series de potencias para encontrar el producto de series de potencias

Anteriormente, aprendimos cómo crear una representación en serie de potencias para una función modificando una serie conocida similar para que coincida con la función.

A veces, la función que se nos da es el producto de otras dos funciones, como

Esta función es el producto de. g (x) = cos. y . h (x) = 1 / (1-x).

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Si ya conocemos las representaciones de series de potencias de. g (x) = cos. y . h (x) = 1 / (1-x). podemos multiplicar la serie de potencia expandida para encontrar una representación de la serie de potencias. f (x). desde . f (x). es el producto de. g (x). y . h (x).

En otras palabras, dado que ya sabemos de una tabla a la serie Maclaurin estándar que

. f (x) approx left (1- frac12x ^ 2 + frac1 <24> x ^ 4- frac1 <720> x ^ 6 +. right) left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. Derecha).

Tenga en cuenta también que multiplicar series de potencias es como multiplicar dos polinomios simples. Usamos la propiedad distributiva del álgebra y multiplicamos el primer término de la primera serie por todos los términos de la segunda serie, luego multiplicamos el segundo término de la primera serie por todos los términos de la segunda serie, y así en.

. f (x) approx1 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. right) - frac12x ^ 2 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. right).

. + frac1 <24> x ^ 4 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. right) - frac1 <720> x ^ 6 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3+. Derecha) +.

Recopilaremos términos similares y obtendremos

Recuerde enumerar los términos de la serie en orden ascendente de grado, con cualquier constante primero, seguida de. X. seguido por . x ^ 2. . x ^ 3. . x ^ 4. etc.

Para la mayoría de los problemas de multiplicación de series de potencias, se nos pedirá que encontremos un número específico de términos distintos de cero en la representación de series de potencias expandidas de. f (x). Teniendo esto en cuenta, podemos dejar de multiplicar una vez que tengamos el número de términos distintos de cero que se nos solicitó. En el ejemplo anterior, si nos pidieran los primeros cinco términos distintos de cero, podríamos haber dejado de multiplicar una vez que tuviéramos todos nuestros. x ^ 4. condiciones. Habríamos recopilado términos similares para todos los términos de cuarto o menor grado, y habríamos dado una respuesta de


Esta sección da el significado de la multiplicación presentando algunas imágenes de la misma y algunos de los tipos de problemas que resuelve.

La multiplicación y la suma son las dos operaciones aritméticas básicas (la división y la resta son los nombres de las operaciones que & # 8220undo, & # 8221 o son las inversas de, multiplicación y suma).

Presentado con dos conjuntos distintos & # 8212 como el conjunto de dos letras rojas (vocales) y tres letras azules (consonantes) que se muestran aquí & # 8212 la suma indica cuántas letras hay en total, y la multiplicación indica cuántas combinaciones de dos letras pueden hacerse comenzando con una vocal y terminando con una consonante. Las dos operaciones se comportan de manera diferente y responden preguntas diferentes.

La multiplicación no es suma repetida En la mayoría de los planes de estudio, la multiplicación se introduce como suma repetida o sumando grupos similares. La multiplicación se puede utilizar como un & # 8220 atajo & # 8221 para sumas repetidas & # 8212 del mismo modo que se puede utilizar para resolver muchos otros problemas & # 8212 pero eso & # 8217 no es lo que es. Por un lado, tan pronto como los estudiantes van más allá de contar números, la idea de la suma repetida ya no funciona. (¿Qué significa & # 8220add & # 8221 algo dos tercios de una vez, o incluso & # 8220add & # 8221 it zero times?!) Además, algunos hechos sobre la multiplicación & # 8212 como conmutatividad, el hecho de que 4 × 3 = 3 × 4 & # 8212 son difíciles de entender usando la suma repetida.

Las expresiones 3 × 4 y 4 × 3 pueden interpretarse como platos con galletas. Pensando solo en la suma repetida, podríamos calcular el total de cookies en estas dos imágenes como 3 + 3 + 3 + 3 y 4 + 4 + 4

Tanto con la imagen como con las expresiones, es nada menos que un milagro que 4 × 3 = 3 × 4. Los niños pueden, por supuesto, reorganizar objetos agrupados como 3 + 3 + 3 + 3 para mostrar la equivalencia a 4 + 4 + 4, pero es necesario reorganizarlo y no es & # 8220obvio. & # 8221

Pero si las mismas galletas están dispuestas en una bandeja en filas y columnas, es perfectamente obvio que de cualquier forma que sostengamos la bandeja, la cantidad de galletas es la misma. Incluso si tenemos una preferencia sobre cómo etiquetamos las dos primeras imágenes a continuación (insistiendo, por ejemplo, en que una es 4 × 3 y la otra es 3 × 4, lo que los matemáticos no hacen), no tenemos forma de hacer tal asignación para la última bandeja. 4 × 3 simplemente es igual a 3 × 4, aunque las notaciones no sean las mismas.

Si describimos los & # 8220three platos, cuatro galletas cada uno & # 8221 imagen usando una expresión de suma repetida, entonces 4 + 4 + 4 es más & # 8220natural & # 8221 de usar que 3 + 3 + 3 + 3. Pero si describimos eso imagen con una expresión de multiplicación, 3 × 4 y 4 × 3 son igualmente correctas, no hay un orden matemáticamente preferido para escribir las expresiones de multiplicación. [1].

Es útil y posible para los estudiantes jóvenes desarrollar una idea de la multiplicación que sobreviva a la transición de números enteros a fracciones y decimales. Por supuesto, también es útil ver cómo la multiplicación puede simplificar un cálculo que de otro modo requeriría una suma repetida, pero que no debería ser la imagen principal de la multiplicación y, por esa razón, preferiblemente no su primera imagen.

En ¡Piensa en matemáticas! la multiplicación se asocia principalmente con matrices e intersecciones, y se conecta bastante temprano con & # 8220combinaciones & # 8221 (incluyendo emparejamientos simples) de cosas: calles y avenidas, vocales y consonantes en palabras de dos letras, etc. La idea de la suma repetida también se presenta, pero más adelante, como un ejemplo de otro tipo de problema que resuelve la multiplicación.

Dado el número de filas y columnas en una matriz rectangular, la multiplicación nos dice cuántos elementos hay en la matriz sin hacernos contarlos uno por uno o agregar repetidamente (o omitir el recuento) los elementos en cada fila o columna. Cuando los elementos de las filas y columnas son cuadrados alineados de lado a lado, la multiplicación cuenta esos cuadrados y, por lo tanto, nos indica el área del rectángulo. Esta imagen funciona perfectamente incluso para fracciones y explica el algoritmo para la multiplicación de fracciones.

Si el rectángulo de tres por cuatro se coloca & # 8220level & # 8221 en una dirección, tiene 3 filas y 4 columnas /> si lo giramos 90 grados, las filas se convierten en columnas y las columnas en filas, por lo que tendrá 4 filas y 3 columnas />. Si se mantiene inclinado, no hay una regla que diga a cuál llamar filas y cuáles llamar columnas, pero no importa de todos modos el número de cuadrados dentro de él es el mismo. Tampoco importa en qué orden etiquetemos el ancho y el largo de un rectángulo: 3 × 4 y 4 × 3 etiquetan el mismo rectángulo, independientemente de cómo se sostenga el rectángulo. Las dos expresiones, 3 × 4 y 4 × 3, nombran el mismo número. Combinaciones: ¿Cuántos bloques posibles se pueden hacer con exactamente tres colores y cuatro formas? (Suponga que cada bloque es de un color y todos los bloques son del mismo tamaño). Preguntas de este tipo sugieren otra imagen (y uso) de la multiplicación.

De hecho, la multiplicación es adecuada para cualquier situación en la que los elementos de un conjunto estén emparejados en orden con elementos de otro conjunto. Aquí, los elementos de un conjunto son comienzos de & # 8220words & # 8221 y los elementos del otro conjunto son finales.

Una pista sobre la relación con el algoritmo de multiplicación.

Consulte el artículo sobre multiplicación y división para obtener un desarrollo completo de un algoritmo de multiplicación de varios dígitos, que muestra cómo es un registro fiel de los modelos de intersección / área que se muestran aquí.

A diferencia de la suma, que combina solo cantidades iguales (centenas con centenas, unos con unos), la multiplicación hace todas las parejas (3 × 7, 3 × 40, 3 × 200, 80 × 7, 80 × 40, 80 × 200)

A los efectos de realizar una multiplicación de varios dígitos, la imagen & # 8220intersections & # 8221 que se muestra arriba es inconveniente, porque dispersa los productos parciales de una manera que es una molestia para el último paso de adición requerido. Con el fin de comprender cómo organizar el cálculo, una representación tabular de las combinaciones es más fácil y también presenta el modelo de matriz / área.

Esta forma de pensar sobre la multiplicación de varios dígitos es la base de la multiplicación védica de la India. Este puede ser un tema secundario cultural fascinante para los estudiantes que han aprendido a multiplicar números de varios dígitos.

Matrices y la tabla de multiplicar

Al comienzo del segundo grado, los niños pueden resolver y disfrutar problemas como estos.

Aquí hay dos letras rojas y tres letras azules: A, I, S, N, T . ¿Cuántas palabras de dos letras puedes formar comenzando con una letra roja y terminando con una letra azul?

¿Cuántas torres de dos bloques, exactamente esta forma? , puedes hacer con estos bloques?
A continuación, se muestran dos ejemplos: . ¿Cuántos otros puedes hacer?

Los niños pueden realizar los experimentos, crear las combinaciones reales y pueden inventar su propio sistema para registrar estas combinaciones. En el caso de las palabras de dos letras, basta con escribirlas. Con las torres, los niños pueden dibujarlas o indicar las combinaciones de colores de una manera más abstracta. Cuando el número de posibilidades es lo suficientemente pequeño, como ocurre con las palabras de dos letras, los estudiantes de segundo grado encuentran rápidamente todas las posibilidades.

Intersecciones como modelo para hacer una lista organizada

Cuando el número de posibilidades es mayor, como ocurre con el problema de las torres de bloques, los niños tienden a pasar por alto las combinaciones o hacer una doble lista, a menos que sean sistemáticas.


Aquí hay una forma de visualizar los emparejamientos en estos dos experimentos. Cada intersección representa una combinación. El símbolo × en sí está conectado a las imágenes de la intersección, el cruce de líneas.


Los niños pueden & # 8220 conducir & # 8221 su dedo a lo largo de & # 8220A street & # 8221 y & # 8220N avenue & # 8221 y etiquetar el semáforo en esa intersección & # 8220an. & # 8221 Pueden verificar que tienen una torre para cada intersección: la intersección de fondo azul y superior rojo, por ejemplo. Cuando los estudiantes de segundo grado realizan estos experimentos por primera vez, están aprendiendo a hacer listas sistemáticas, no a la multiplicación. Pero podemos ver a dónde lleva esto: las intersecciones, en sí mismas, detallan las combinaciones que los niños están buscando y les ayudan a ver cómo organizar esas listas, el número de intersecciones se puede encontrar mediante la multiplicación, y los niños están obteniendo una vista previa de esas multiplicaciones. ideas.

Tablas como modelo para hacer una lista organizada

Las tablas son igualmente buenas para representar las combinaciones y organizar la tarea de enumerarlas. Las celdas dentro de la tabla (y evitando cuidadosamente confundirse con las celdas & # 8220header & # 8221 encima de cada columna y a la izquierda de cada fila) nuevamente muestran cómo la multiplicación responde a la pregunta & # 8220¿Cuántos emparejamientos se pueden hacer? & # 8221

Las matemáticas utilizan ambas estructuras & # 8212 tablas y líneas que se cruzan & # 8212 ampliamente.

La multiplicación a menudo se representa mediante matrices de cuadrados adyacentes & # 8212 el & # 8220area modelo & # 8221 de multiplicación & # 8212 o mediante matrices de puntos u otros objetos pequeños. Los primeros son visualmente más como el interior de las tablas, los segundos son visualmente más como intersecciones.

Construyendo los hechos básicos

Primeros pasos

Cuando vemos los mismos triples de números & # 8212 3, 5, 15 4, 3, 12 2, 5, 10 6, 4, 24 & # 8212 apareciendo en diferentes contextos, comienzan a sentirse familiares incluso antes de cualquier esfuerzo consciente. para memorizarlos. De hecho, el esfuerzo concentrado y deliberado que parece ser necesario para algunos triples (como 7, 8, 56) puede deberse precisamente a que hay muy pocos contextos naturales en los que esos triples aparecen de otra manera. Muchas experiencias extraescolares ayudan a construir la tabla de multiplicar del 5: experimente decir la hora en minutos en el reloj, manipule monedas de cinco centavos, observe las manecillas de uno y # 8217. Las siguientes ideas presentan varios contextos para los mismos hechos básicos para variar la práctica (para mantenerla interesante y construir una rica variedad de imágenes) de modo que cuando los niños estén tratando de memorizar las tablas de multiplicar, ya estén tan familiarizados con los más comunes. los que los conocen & # 8220 fríos & # 8221, y el número de hechos restantes que requieren memorización de memoria es bastante pequeño (¡sólo quince!).

Doblar y reducir a la mitad

En primer grado, los niños aprenden a duplicar ([[aritmética mental | mentalmente]) todos los números enteros hasta el 12. Los estudiantes de segundo grado practican estos dobles básicos aún más usándolos, junto con sus ideas en desarrollo de valor posicional, para duplicar (mentalmente) el total números hasta el 50. Los niños en estos grados también aprenden a hallar la mitad de los números pares que resultan de esa duplicación.

Pequeñas matrices

En ¡Piensa en matemáticas!, la segunda mitad del segundo grado les da a los estudiantes mucha experiencia con arreglos pequeños de los cuales pueden memorizar pequeñas tablas de multiplicar. En una actividad, el profesor puede sostener una matriz como esta y preguntar & # 8220¿Cuántas filas? Cuantas columnas? ¿Cuántos cuadrados pequeños? & # 8221

Los estudiantes que aún no dominan la suma pueden usar la suma o el conteo de saltos para calcular el número de cuadrados. Asociar las dimensiones de la matriz & # 8212 el número de filas y columnas & # 8212 con el número de pequeños cuadrados establece un hecho de multiplicación.

El maestro puede entonces mantener la misma matriz en esta orientación y hacer las mismas preguntas.

Las filas y las columnas se intercambian, pero el número de cuadrados sigue siendo el mismo.

El maestro puede hacer un juego animado de esto variando qué matriz se sostiene (2 × 3, 3 × 3, 4 × 5, etc., nunca con más de 5 filas o columnas, porque los números más grandes son demasiado difíciles de reconocer. sin contar tedioso), y los estudiantes rápidamente recuerdan cuántos cuadrados hay en estos rectángulos familiares.

El hecho de que un rectángulo, sostenido horizontal o verticalmente, tenga la misma cantidad de cuadrados pequeños en su interior, da una comprensión gráfica de por qué la multiplicación es conmutativa.


La intersección de líneas verticales y horizontales proporciona otra imagen para la multiplicación & # 8212 2 líneas verticales cruzan 3 líneas horizontales en 6 intersecciones & # 8212 y otro contexto en el que ensayar los hechos. Pueden dibujarlos o jugar con tarjetas transparentes, primero tratando de predecir el número de intersecciones y luego superponiendo las transparencias para contar directamente y probar sus predicciones. También es divertido jugar con las tarjetas con ranuras. Los niños eligen un par y, al igual que con las transparencias, tratan de imaginarse el número de intersecciones antes de experimentar realmente colocando una tarjeta encima de la otra para ver si su predicción fue correcta. Si se coloca una tarjeta con 2 ranuras verticales encima de una tarjeta con 5 ranuras horizontales, podemos ver a través de la doble capa solo en las 10 intersecciones.

Intersecciones para aclarar la multiplicación por 0 y 1. & # 8220Imagine una pequeña ciudad, con tres carreteras que van de este a oeste & # 8230 & # 8221 Mueva el dedo por el aire horizontalmente para ayudar a describir lo que significa & # 8220east-west & # 8221. Luego & # 8220dibujar & # 8221 dos caminos más de este a oeste, justo en el aire, para que los niños se imaginen en sus cabezas. Más tarde, usted o un niño los dibujarán en la pizarra. & # 8221 & # 8230 y solo una carretera que va de norte a sur. & # 8221

En el aire, indique la carretera norte-sur con el dedo.

& # 8220Dejemos & # 8217s dibujar un mapa de esta pequeña ciudad. Aquí están las carreteras de este a oeste. & # 8221

Dibuja un límite irregular para la ciudad, y en él dibuja tres líneas horizontales paralelas de un lado de la ciudad al otro lado (y que se extienden ligeramente fuera del límite de la ciudad para indicar que continúan entrando en las regiones vecinas).

& # 8220En el mapa, las carreteras se ven como tres líneas horizontales. ¿A quién le gustaría dibujar la carretera norte-sur? & # 8221

Puede volver a indicar la dirección con el dedo en el aire, pero no directamente en el mapa. Invite a alguien a dibujar.

& # 8220La ciudad puso un semáforo en cada intersección (señale las intersecciones). ¿Cuántos semáforos hay? & # 8221

& # 8220 ¿Qué pasa si la ciudad construye otra carretera de este a oeste? ¿Cuántas intersecciones haría eso? & # 8221

Multiplicar cualquier número por 1 da ese número, multiplicar cualquier número por 0 da 0. Los niños a los que se les enseñan estas reglas como reglas para memorizar, sin un poco de comprensión, a menudo confunden las reglas, confundiéndolas entre sí. (¿1 multiplicado por un número da 1 o el número?) La imagen de una pequeña ciudad ayuda a establecer por qué 1 multiplicado por cualquier número da ese número. (Con solo una línea vertical, el número de intersecciones será el mismo que el número de líneas horizontales).


Las tarjetas con ranuras de 0 a 5 también pueden ser especialmente útiles. Cuando se coloca una tarjeta con una sola ranura vertical encima de una tarjeta con tres ranuras horizontales, las tres intersecciones aparecen como las únicas & # 8220windows & # 8221 a través del par de tarjetas. Cambiar qué tarjeta se coloca en la parte superior, o cuál es vertical y cuál es horizontal, no hace ninguna diferencia. Si una tarjeta tiene una sola ranura, la cantidad de intersecciones coincidirá con la cantidad de ranuras en la otra tarjeta cuando se superpongan (y las otras ranuras son perpendiculares a la única ranura) .La imagen de la ranura deja particularmente claro por qué la multiplicación por 0 siempre da 0.

Esta lección brinda una buena oportunidad para usar las palabras horizontal y vertical en contexto y para conectar su uso como direcciones en mapas con el Este, Oeste, Norte y Sur como direcciones en la tierra. (Consulte horizontal y vertical para conocer las confusiones comunes sobre las ideas que representan estas palabras).

Construyendo una tabla de multiplicar

Un proyecto de estudiante para segundo grado: los estudiantes usan una cuadrícula que se presenta como una tabla de multiplicar, pero que no tiene una fila o columna para el cero. Usando una hoja de papel en forma de L hacia atrás, seleccionan una parte de la cuadrícula en la esquina inferior derecha de la selección, escriben el número de cuadrados que capturaron (que es el mismo que el área del rectángulo si cada el pequeño cuadrado representa una unidad cuadrada de área).

Observe que el número en la parte superior más cercana al límite azul da el ancho del rectángulo verde, el número de columnas de cuadrados el número de la izquierda más cercano al límite azul da la altura del rectángulo verde, el número de filas que tiene.

Si movemos el límite hacia abajo un paso, agregamos una nueva fila sin cambiar el número de cuadrados por fila.

Esta forma de pensar dice que 6 (el número de cuadrados en el rectángulo anterior, 2 × 3) más 3 (el número de cuadrados en la nueva fila) es igual a 9 (el número de cuadrados en el nuevo rectángulo). Otra forma de describir el nuevo rectángulo es 3 × 3. Entonces 2 × 3 + 3 = 3 × 3.

Este rectángulo tiene el mismo ancho y alto, por lo que es un cuadrado. Por lo tanto, el número de la esquina (el número de pequeños cuadrados que hay en su interior) se llama número cuadrado.

Un movimiento diagonal & # 8212 un paso & # 8220South & # 8221 y un paso & # 8220East & # 8221 (o un paso hacia abajo y un paso hacia la derecha) & # 8212 da otro número cuadrado.

Dos pasos diagonales al sureste dan otro número cuadrado.

Curiosamente, si comienza en un número cuadrado (en este caso, 16) y da un paso hacia el noreste

el número resultante es exactamente 1 menos que el cuadrado en el que comenzaste. Este ejemplo muestra que el rectángulo de 3 × 5 contiene un cuadrado menos que el rectángulo de 4 & # 2154. Consulte el artículo sobre la diferencia de cuadrados para obtener más información sobre este patrón intrigante y otra forma particularmente efectiva para que los estudiantes practiquen los hechos mientras desarrollan ideas matemáticas nuevas y útiles.

Simetría de la tabla de multiplicar

Contar cuadrados en los rectángulos deja en claro por qué 3 × 4 = 4 × 3. Ambas son formas de describir este rectángulo />. E incluso si decidimos reservar una de esas notaciones para />y la otra notación para />, los dos seguirían siendo iguales.

Debido a que la multiplicación es conmutativa & # 8212 es decir, porque 2 × 6 = 6 × 2 y 3 × 5 = 5 × 3, y así sucesivamente & # 8212 la tabla de multiplicar es simétrica alrededor de la diagonal noroeste-sureste. Esa diagonal, amarilla en estas ilustraciones, contiene los números cuadrados.

Deshaciéndonos de los números y flechas que distraen, vemos tres regiones: la diagonal con números cuadrados, la región verde con otros productos y la región blanca, con los mismos números que están en la región verde.

¡Esas son muy buenas noticias para cualquiera que intente memorizar las tablas de multiplicar! (Consulte ¿Cuántos datos hay que aprender? A continuación).

Multiplicar por 10 y 100

En construcción: 7 varillas son 70 cubos pequeños

Multiplicar por 5 y 50

Los niños que pueden multiplicar por 10 y tomar la mitad pueden usar esas habilidades para multiplicar por 5. Por ejemplo, 7 × 5 es la mitad de 7 × 10, por lo que es 35. En última instancia, 7 × 5 debería reconocerse por sí solo. & # 8212 uno de los & # 8220 hechos básicos & # 8221 & # 8212 pero el procedimiento de dos pasos (multiplicar por 10 y luego tomar la mitad del resultado) es valioso de conocer también, y una buena conexión para hacer con el 5- tiempos hechos. De manera similar, sabiendo que 50 es la mitad de 100, podemos ver que 50 sietes es la mitad de 100 sietes, por lo que 50 × 7 es la mitad de 100 × 7: podemos multiplicar cualquier número por 50 multiplicando por 100 y luego tomando la mitad. Los niños que aprenden esto bien pueden multiplicar fácilmente 18 × 5 mentalmente pensando en & # 8220 la mitad de 180. & # 8221 Debido a que la multiplicación y la división se pueden hacer en cualquier orden con el mismo resultado, podríamos tomar la mitad (de 18) primero y luego multiplique por 10.

¿Cuántos hechos aprender?

Si se entiende la multiplicación por cero y uno, no es necesario memorizar esos datos (azul claro). Si se entiende la simetría de la tabla (3 × 4 = 4 × 3, la propiedad conmutativa de la multiplicación), esos datos (azul oscuro) no necesitan ser memorizados. Para cuando los niños están trabajando en la práctica de operaciones, los números cuadrados (amarillos) ya están aprendidos y las operaciones & # 8220easy & # 8221 (rosa) ya están aprendidas (dobles, multiplicación por 10 y multiplicación por 5). En ese momento, solo quedan por memorizar 15 hechos & # 8212 los que están en verde & # 8212.


La relación de multiplicación y suma

Escribe dos expresiones diferentes que se puedan representar con el diagrama de cinta que se muestra. Una expresión debe incluir la suma, mientras que la otra debe incluir la multiplicación.

Ejercicios
1. Escribe la oración de suma que describe el modelo y la oración de multiplicación que describe el modelo.

2. Escribe una expresión equivalente para demostrar la relación entre la multiplicación y la suma.
una. 6 + 6
B. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
C. 4 + 4 + 4 + 4 + 4
D. 6 y por 2
mi. 4 y por 6
F. 3 y 9 veces
gramo. h + h + h + h + h
h. 6 años

3. Roberto no está familiarizado con los diagramas de cintas y cree que puede mostrar la relación de la multiplicación y la suma en una recta numérica. Ayude a Roberto a demostrar que la expresión 3 & times 2 es equivalente a 2 + 2 + 2 en una recta numérica.

4. Di si las siguientes oraciones numéricas son verdaderas o falsas. Luego explique su razonamiento.
una. x + 6g - 6g = x
B. 2f - 4e + 4e = 2f

5. Escribe una expresión equivalente para demostrar la relación entre la suma y la multiplicación.
una. 6 + 6 + 6 + 6 + 4 + 4 + 4
B. d + d + d + w + w + w + w
C. a + a + b + b + b + c + c + c + c

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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¿Cómo encontrar la fracción de 3/4 multiplicada por 8?

El siguiente entrenamiento con cálculo paso a paso muestra cómo encontrar la fracción equivalente para multiplicar 3/4 por un número entero 8.

Problema y entrenamiento
Encuentra lo que es 3/4 por 8 en forma de fracción.
paso 1 Dirección fórmula, parámetros de entrada y valores.
Parámetros y valores de entrada:
3/4 & 8/1
3/4 x 8 =?

paso 2 Multiplica ambos numeradores
= 3 x 8
= 24

paso 3 Multiplica ambos denominadores
= 4 x 1
= 4

paso 4 Utilice los valores anteriores de los pasos 2 y 3, y vuelva a escribir como se muestra a continuación
= 24/4

Por lo tanto, 24/4 es una fracción equivalente de 3/4 por 8, y su término simplificado es 6/1.


4.3: Multiplicación - Matemáticas

Estos son algunos de los secretos prácticos de la velocidad de cálculo matemático mental. Conocerlos puede ayudarlo a encontrar respuestas a la mayoría de las actividades diarias que involucran números. Hay muchas técnicas, trucos y secretos útiles de matemáticas que pueden ser valiosos en su trabajo o estudio diario. Conocer estos atajos es clave para la velocidad y precisión de los cálculos en su aptitud matemática mental. Esto puede ser útil en aplicaciones como pruebas de CI, pruebas de aptitud, pruebas de solicitud de empleo, pruebas militares, pruebas de ingreso a la universidad y muchos más usos en la oficina, el lugar de trabajo o en su propio hogar.


ATAJOS EN MULTIPLICACIÓN:

Multiplicación usando múltiplos
12 x 15
= 12 x 5 x 3
= 60 x 3
= 180

Multiplicación por distribución
12 x 17
= (12 x 10) + (12 x 7) --- & gt 12 se multiplica por 10 y amp 7
= 120 + 84
= 204

Multiplicación por "dar y recibir"
12 x 47
= 12 x (50 - 3)
= (12 x 50) - (12 x 3)
= 600 - 36
= 564

Multiplicación por 5 - & gt toma la mitad (0.5) y luego multiplica por 10
428 x 5
= (428 x 1/2) x 10 = 428 x 0,5 x 10
= 214 x 10
= 2140

Multiplicación por 10 --- & gt solo mueve el punto decimal un lugar a la derecha
14 x 10
= 140 --- & gt agregó un cero

La multiplicación por 50 --- & gt toma la mitad (0.5) y luego multiplica por 100
18 x 50
= (18/2) x 100 = 18 x 0,5 x 100
= 9 x 100
= 900

Multiplicación por 100 --- & gt mueve el punto decimal dos lugares a la derecha
42 x 100
= 4200 --- & gt agregó dos ceros

Multiplicación por 500 --- & gt toma la mitad (0.5) y luego multiplica por 1000
21 x 500
= 21/2 x 1000
= 10,5 x 1000
= 10500

Multiplicación por 25 --- & gt usa la analogía $ 1 = 4 x 25 centavos
25 x 14
= (25 x 10) + (25 x 4) --- & gt 250 + 100 --- & gt $ 2.50 + $ 1
= 350

Multiplicación por 25 --- & gt dividir por 4 y luego multiplicar por 100
36 x 25
= (36/4) x 100
= 9 x 100
= 900

Multiplicación por 11 si la suma de dígitos es menor que 10
72 x 11
= 7_2 --- & gt el término medio = 7 + 2 = 9
= coloque el término medio 9 entre 7 y amp 2
= 792

Multiplicación por 11 si la suma de dígitos es mayor que 10
87 x 11
= 8_7 --- & gt el término medio = 8 + 7 = 15
debido a que el término medio es mayor que 10, use 5 y luego
agregue 1 al primer término 8, lo que lleva a la respuesta de
= 957

Multiplicación de 37 por 3, 6, 9 hasta 27 series de números - & gt el "efecto triple"
resolver 37 x 3
multiplique 7 por 3 = 21, conociendo el último dígito (1), simplemente combine dos unos más dando la respuesta de tres dígitos 111

resolver 37 x 9
multiply 7 by 9 = 63, knowing the last digit (3), just combine two more 3's giving the triple digit answer 333
solve 37 x 21
multiply 7 by 21 = 147, knowing the last digit (7), just combine two more 7's giving the triple digit answer 777

Multiplication of the "dozen teens" group of numbers --
(i.e. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19) by ANY of the numbers within the group:
solve 14 x 17
4 x 7 = 28 remember 8, carry 2
14 + 7 = 21
add 21 to whats is carried (2)
giving the result 23
form the answer by combinig 23 to what is remembered (8)
giving the answer 238

Multiplication of numbers ending in 5 with difference of 10
45 x 35
first term = [(4 + 1) x 3] = 15 (4 is the first digit of 45 and 3 is the first digit of 35 --> add 1 to the higher first digit which is 4 in this case, then multiply the result by 3, giving 15)
last term = 75
combining the first term and last term,
= 1575

75 x 85
first term = (8 + 1) x 7 = 63
last term = 75
combining first and last terms,
= 6375

Multiplication of numbers ending in 5 with the same first terms (square of a number)
25 x 25
first term = (2 + 1) x 2 = 6
last term = 25
answer = 625 ---> square of 25

75 x 75
first term = (7 + 1) x 7 = 56
last term = 25
answer = 5625 ---> 75 squared



SHORTCUTS IN DIVISION:

Division by parts ---> imagine dividing $874 between two persons
874/2
= 800/2 + 74/2
= 400 + 37
= 437

Division using the factors of the divisor: "double division"
70/14
= (70/7)/2 ---> 7 and 2 are the factors of 14
= 10/2
= 5

Division by using fractions:
132/2
= (100/2 + 32/2) ---> break down into two fractions
= (50 + 16)
= 66

Division by 5 ---> divide by 100 then multiply by 20
1400/5
= (1400/100) x 20
= 14 x 20
= 280

Division by 10 ---> move the decimal point one place to the left
0.5/10
= 0.05 ---> 5% is 50% divided by ten

Division by 50 ---> divide by 100 then multiply by 2
2100/50
= (2100/100) x 2
= 21 x 2
= 42

700/50
= (700/100) x 2
= 7 x 2
= 14

Division by 100 ---> move the decimal point two places to the left
25/100
= 0.25

Division by 500 ---> divide by 100 then multiply by 0.2
17/500
= (17/100) x 0.2
= 0.17 x 0.2
= 0.034

Division by 25 ---> divide by 100 then multiply by 4
500/25
= (500/100) x 4
= 5 x 4
= 20

750/25
= (750/100) x 4
= 7.5 x 2 x 2
= 30



SHORTCUTS IN ADDITION:

Addition of numbers close to multiples of ten (e.g. 19, 29, 89, 99 etc.)
116 + 39
= 116 + (40 - 1)
= 116 + 40 - 1 ---> add 40 then subtract 1
= 156 - 1
= 155

116 + 97
= 116 + (100 - 3)
= 116 + 100 - 3 ---> add 100 then subtract 3
= 216 - 3
= 213

Addition of decimals
12.5 + 6.25
= (12 + 0.5) + (6 + 0.25)
= 12 + 6 + 0.5 + 0.25 ---> add the integers then the decimals
= 18 + 0.5 + 0.25
= 18.75



SHORTCUTS IN SUBTRACTION:

Subtraction by numbers close to 100, 200, 300, 400, etc.
250 - 96
= 250 - (100 - 4)
= 250 - 100 + 4 ---> subtract 100 then add 4
= 150 + 4
= 154

250 - 196
= 250 - (200 - 4)
= 250 - 200 + 4 ---> subtract 200 then add 4
= 50 + 4
= 54

216 - 61
= 216 - (100 - 39)
= 216 - 100 + 39
= 116 + (40 - 1) ---> now the operation is addition, which is much easier
= 156 - 1
= 155

Subtraction of decimals
47 - 9.9
= 47 - (9 + 0.9) ---> "double subtraction"
= 47 - 9 - 0.9 ---> subtract the integer first then the decimal
= 38 - 0.9
= 37.1

18.3 - 0.8
= 18 + 0.3 - 0.8
= (18 - 0.8) + 0.3 ---> subtract 0.8 from 18 first
= 17.2 + 0.3
= 17.5



WORKING ON PERCENTAGES:

30% of 120
= 10% x 3 x 120 ---> it is much easier working with tens (10%)
= 10% x 120 x 3
= 12 x 3
= 36

five percent of a number: 5%
360 x 5%
= 360 x 10%/2 ---> take the 10% and divide by 2
= 36/2
= 18

360 x 5%
= 360 x 50%/10 ---> take the half(0.5) and divide by 10
= (360/2)/10
= 180/10
= 18

ninety percent of a number: 90%
90% of 700
= (100% - 10%) x 700
= (100% x 700) - (10% x 700) ---> 100% minus 10% of the number
= 700 - 70
= 630

What is 18 as a percentage of 50?
= 18/50
= (18/100) x 2 ---> method: division by 50 (explained above)
= 0.18 x 2
= 0.36
= 36%

What is 132 as a percentage of 200?
= 132/200
= (132/2)/100
= [100/2 + 32/2]/100 ---> solution by "double division"
= (50 + 16)/100
= 66/100
= 0.66
= 66%

What is 270 as a percentage of 300?
= 270/300
= [(270/3)/100] ---> "double division" (using the factors of 300)
= 90/100
= 90%

What is 17 as percentage of 500?
= 17/500
= (17/50)/10
= (17/100) x 2/10 ---> solution using the procedure: division by 50
= (0.17 x 2)/10
= 0.34/10
= 0.034
= 3.4 %

percentages close to 100:
95% of 700
= (100% - 5%) x 700
= (100% x 700) - (5% x 700)
= 700 - (10% x 700/2) -------> 5% is 10%/2
= 700 - 70/2
= 700 - 35
= 665

percentages less than 10 percent:
3% of 70
= (3/100) x 70
= (70/100) x 3 ---> divide by 100 then multiply the percent value
= 0.7 x 3
= 2.1

To convert or express percentages as decimals, divide by 100 or simply just move the decimal point by two places to the left of the given number, thus:

1% = 1/100 = 0.01
2% = 2/100 = 0.02 = 1/50
3% = 3/100 = 0.03
4% = 4/100 = 0.04 = 1/25
5% = 5/100 = 0.05 = 1/20
6.25% = 6.25/100 = 0.0625 = 1/16
7% = 7/100 = 0.07
7.5% = 7.5/100 = 0.075
10% = 10/100 = 0.1 = 1/10
12.5% = 12.5/100 = 0.125 = 1/8
20% = 0.2 = 1/5
21% = 0.21
25% = 0.25 = 1/4
30% = 0.3 = 3/10
33.33% = 33.33/100 = 0.3333 = 1/3
37.5% = 0.375 = 3/8
40% = 0.4 = 2/5
50% = 0.5 = 1/2
60% = 0.6 = 3/5
62.5% = 0.625 = 5/8
66.66% = 66.66/100 = 2/3
75% = 0.75 = 3/4
80% = 0.8 = 4/5
87.5% = 0.875 = 7/8
100% = 1
125% = 1.25 = 1 1/4
150% = 1.5 = 1 1/2
200% = 2

What is three quarters of 80?
= 3/4 x 80
= (80/4) x 3 ---> divide by 4 then multiply by 3
= 20 x 3
= 60

How many quarters in two and a half?
2.5/.25
= 10 ---> there are 10 quarters in $2.50

4/3 = 1 1/3 = 1.3333 = 133.33% ---> useful number for volume of sphere, etc.

9/5 = 1 4/5 = 1.8 = 180% ---> conversion factor for Celsius/Fahrenheit temperatures


Ver el vídeo: Notación Científica Multiplicación. Ejemplo 1 (Septiembre 2021).