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12.2: Criterio de Nyquist para la estabilidad - Matemáticas


El criterio de Nyquist es una técnica gráfica para determinar si un sistema invariante en el tiempo lineal inestable se puede estabilizar mediante un ciclo de retroalimentación negativa. Veremos un poco más de cerca estos sistemas cuando estudiemos la transformada de Laplace en el próximo tema. Para este tema nos contentaremos con una declaración del problema con solo un poquito de contexto físico.

Nota

Ya ha encontrado sistemas invariantes en el tiempo lineal en 18.03 (o su equivalente) cuando resolvió ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante.

Funciones del sistema

Un sistema invariante en el tiempo lineal tiene una función de sistema que es función de una variable compleja. Por lo general, la variable compleja se denota con (s ) y se usa una letra mayúscula para la función del sistema.

Sea (G (s) ) tal función del sistema. Haremos una suposición estándar de que (G (s) ) es meromórfico con un número finito de polos (finitos). Esta suposición es válida en muchos casos interesantes. Por ejemplo, a menudo (G (s) ) es una función racional (Q (s) / P (s) ) ( (Q ) y (P ) son polinomios).

Nos preocuparemos por la estabilidad del sistema.

Definición

El sistema con función de sistema (G (s) ) se llama estable si todos los polos de (G ) están en el semiplano izquierdo. Es decir, si todos los polos de (G ) tienen parte real negativa.

El sistema se llama inestable si alguno de los polos está en el semiplano derecho, es decir, tiene una parte real positiva.

Para el caso de borde donde ningún polo tiene una parte real positiva, pero algunos son imaginarios puros, llamaremos al sistema marginalmente estable. Este caso se puede analizar utilizando nuestras técnicas. Para nuestros propósitos, requeriría un contorno sangrado a lo largo del eje imaginario. Si tenemos tiempo haremos el análisis.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

¿Es estable el sistema con función de sistema (G (s) = dfrac {s} {(s + 2) (s ^ 2 + 4s + 5)} )?

Solución

Los polos son (- 2, -2 pm i ). Dado que todos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

¿Es estable el sistema con función de sistema (G (s) = dfrac {s} {(s ^ 2 - 4) (s ^ 2 + 4s + 5)} )?

Solución

Los polos son ( pm 2, -2 pm i ). Dado que un polo está en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

¿Es estable el sistema con función de sistema (G (s) = dfrac {s} {(s + 2) (s ^ 2 + 4)} )?

Solución

Los polos son (- 2, pm 2i ). No hay polos en el semiplano derecho. Dado que hay polos en el eje imaginario, el sistema es marginalmente estable.

Terminología. Hasta ahora, hemos tenido cuidado de decir "el sistema con función de sistema (G (s) )". De ahora en adelante nos permitiremos ser un poco más informales y decir "el sistema (G (s) )". ¡Es perfectamente transparente y se sale de la lengua un poco más fácilmente!

Diagramas de polo cero

Podemos visualizar (G (s) ) usando un diagrama de polo cero. Este es un diagrama en el plano (s ) - donde colocamos una pequeña cruz en cada polo y un pequeño círculo en cada cero.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Dar diagramas de polo cero para cada uno de los sistemas

[G_1 (s) = dfrac {s} {(s + 2) (s ^ 2 + 4s + 5)}, G_1 (s) = dfrac {s} {(s ^ 2 - 4) (s ^ 2 + 4s + 5)}, G_1 (s) = dfrac {s} {(s + 2) (s ^ 2 + 4)} ]

Solución

Estos son los mismos sistemas que en los ejemplos anteriores. Primero notamos que todos tienen un solo cero en el origen. Entonces ponemos un círculo en el origen y una cruz en cada polo.


Diagramas de polo cero para los tres sistemas.

Un poco de estabilidad

Esto es solo para darle un poco de orientación física. Dada nuestra definición de estabilidad anterior, podríamos, en principio, discutir la estabilidad sin la menor idea de lo que significa para los sistemas físicos.

Los polos de (G (s) ) corresponden a los llamados modos del sistema. Un polo simple en (s_1 ) corresponde a un modo (y_1 (t) = e ^ {s_1 t} ). El sistema es estable si todos los modos decaen a 0, es decir, si los polos están todos en el semiplano izquierdo.

Físicamente los modos nos dicen el comportamiento del sistema cuando la señal de entrada es 0, pero existen condiciones iniciales. Un polo con parte real positiva correspondería a una moda que llega al infinito a medida que (t ) crece. Ciertamente es razonable llamar inestable a un sistema que hace esto en respuesta a una señal cero (a menudo llamada "sin entrada").

Para conectar esto con 18.03: si el sistema está modelado por una ecuación diferencial, los modos corresponden a las soluciones homogéneas (y (t) = e ^ {st} ), donde (s ) es una raíz de la característica ecuación. En 18.03 llamamos al sistema estable si cada solución homogénea decaía a 0. Es decir, si el sistema no forzado siempre se establecía en equilibrio.

Sistemas de circuito cerrado

Si el sistema con la función de sistema (G (s) ) es inestable, a veces puede estabilizarse mediante lo que se llama un circuito de retroalimentación negativa. El nuevo sistema se denomina sistema de circuito cerrado. Su función de sistema viene dada por la fórmula de Black

[G_ {CL} (s) = dfrac {G (s)} {1 + kG (s)}, ]

donde (k ) se llama factor de retroalimentación. Simplemente aceptaremos esta fórmula. Cualquier clase o libro sobre teoría del control lo derivará para usted.

En este contexto, (G (s) ) se denomina función del sistema de bucle abierto.

Dado que (G_ {CL} ) es una función del sistema, podemos preguntar si el sistema es estable.

Teorema ( PageIndex {1} )

Los polos de la función del sistema de lazo cerrado (G_ {CL} (s) ) dados en la Ecuación 12.3.2 son los ceros de (1 + kG (s) ).

Prueba

Al observar la ecuación 12.3.2, hay dos posibles fuentes de polos para (G_ {CL} ).

  1. Los ceros del denominador (1 + k G ). El teorema los reconoce.
  2. Los polos de (G ). Dado que (G ) está tanto en el numerador como en el denominador de (G_ {CL} ), debe quedar claro que los polos se cancelan. Podemos mostrar esto formalmente usando la serie Laurent. Si (G ) tiene un polo de orden (n ) en (s_0 ) entonces

[G (s) = dfrac {1} {(s - s_0) ^ n} (b_n + b_ {n - 1} (s - s_0) + ... a_0 (s - s_0) ^ n + a_1 (s - s_0) ^ {n + 1} + ...), ]

donde (b_n ne 0 ). Entonces,

[ begin {array} {rcl} {G_ {CL} (s)} & = & { dfrac { dfrac {1} {(s - s_0) ^ n} (b_n + b_ {n - 1} ( s - s_0) + ... a_0 (s - s_0) ^ n + ...)} {1 + dfrac {k} {(s - s_0) ^ n} (b_n + b_ {n - 1} (s - s_0) + ... a_0 (s - s_0) ^ n + ...)}} {} & = & { dfrac {(b_n + b_ {n - 1} (s - s_0 ) + ... a_0 (s - s_0) ^ n + ...)} {(s - s_0) ^ n + k (b_n + b_ {n - 1} (s - s_0) + ... a_0 (s - s_0) ^ n + ...)}} end {matriz} ]

que es claramente analítico en (s_0 ). (En (s_0 ) es igual a (b_n / (kb_n) = 1 / k ).)

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Establezca el factor de retroalimentación (k = 1 ). Suponga que (a ) es real, ¿para qué valores de (a ) es estable el sistema de bucle abierto (G (s) = dfrac {1} {s + a} )? ¿Para qué valores de (a ) es estable el sistema de circuito cerrado correspondiente (G_ {CL} (s) )?

(No hay ninguna razón en particular por la que (a ) deba ser real en este ejemplo. Pero en los sistemas físicos, los polos complejos tenderán a venir en pares conjugados).

Solución

(G (s) ) tiene un polo en (s = -a ). Por lo tanto, es estable cuando el polo está en el semiplano izquierdo, es decir, para (a> 0 ).

La función del sistema de circuito cerrado es

[G_ {CL} (s) = dfrac {1 / (s + a)} {1 + 1 / (s + a)} = dfrac {1} {s + a + 1}. ]

Esto tiene un polo en (s = -a - 1 ), por lo que es estable si (a> -1 ). El bucle de retroalimentación ha estabilizado los sistemas inestables de bucle abierto con (- 1

Nota

El álgebra involucrada en cancelar el término (s + a ) en los denominadores es exactamente la cancelación que hace que los polos de (G ) singularidades removibles en (G_ {CL} ).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Suponga (G (s) = dfrac {s + 1} {s - 1} ). ¿Es estable el sistema de circuito abierto? ¿Es estable el sistema de circuito cerrado cuando (k = 2 ).

Solución

(G (s) ) tiene un polo en el semiplano derecho, por lo que el sistema de bucle abierto no es estable. La función del sistema de circuito cerrado es

[G_ {CL} (s) = dfrac {G} {1 + kG} = dfrac {(s + 1) / (s - 1)} {1 + 2 (s + 1) / (s - 1 )} = dfrac {s + 1} {3s + 1}. ]

El único polo está en (s = -1/3 ), por lo que el sistema de circuito cerrado es estable. Este es un caso en el que la retroalimentación estabilizó un sistema inestable.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

(G (s) = dfrac {s - 1} {s + 1} ). ¿Es estable el sistema de circuito abierto? ¿Es estable el sistema de circuito cerrado cuando (k = 2 ).

Solución

La única gráfica de (G (s) ) está en el semiplano izquierdo, por lo que el sistema de bucle abierto es estable. La función del sistema de circuito cerrado es

[G_ {CL} (s) = dfrac {G} {1 + kG} = dfrac {(s - 1) / (s + 1)} {1 + 2 (s - 1) / (s + 1 )} = dfrac {s - 1} {3s - 1}. ]

Este tiene un polo en (s = 1/3 ), por lo que el sistema de circuito cerrado es inestable. Este es un caso en el que la retroalimentación desestabilizó un sistema estable. ¡Puede pasar!

Parcelas de Nyquist

Para la gráfica y el criterio de Nyquist, la curva ( gamma ) siempre será el eje (s ) imaginario. Es decir

[s = gamma ( omega) = i omega, text {donde} - infty < omega < infty. ]

Para un sistema (G (s) ) y un factor de retroalimentación (k ), la gráfica de Nyquist es la gráfica de la curva

[w = k G circ gamma ( omega) = kG (i omega). ]

Es decir, la gráfica de Nyquist es la imagen del eje imaginario debajo del mapa (w = kG (s) ).

Nota

En ( gamma ( omega) ) la variable es una omega griega y en (w = G circ gamma ) tenemos una doble-u.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Sea (G (s) = dfrac {1} {s + 1} ). Dibuja la gráfica de Nyquist con (k = 1 ).

Solución

En el caso de que (G (s) ) sea una transformación lineal fraccionaria, sabemos que asigna el eje imaginario a un círculo. Es fácil comprobar que es el círculo que pasa por el origen con centro (w = 1/2 ). También puede comprobar que se desplaza en el sentido de las agujas del reloj.


Gráfico de Nyquist de (G (s) = 1 / (s + 1) ), con (k = 1 ).

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Tome (G (s) ) del ejemplo anterior. Describe la gráfica de Nyquist con factor de ganancia (k = 2 ).

Solución

La gráfica de Nyquist es la gráfica de (kG (i omega) ). El factor (k = 2 ) escalará el círculo en el ejemplo anterior en 2. Es decir, la gráfica de Nyquist es el círculo que pasa por el origen con centro (w = 1 ).

En general, el factor de retroalimentación solo escalará la gráfica de Nyquist.

Criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist proporciona un método gráfico para verificar la estabilidad del sistema de circuito cerrado.

Teorema ( PageIndex {2} ) Criterio de Nyquist

Suponga que (G (s) ) tiene un número finito de ceros y polos en el semiplano derecho. Suponga también que (G (s) ) decae a 0 cuando (s ) llega al infinito. Entonces el sistema de lazo cerrado con factor de retroalimentación (k ) es estable si y solo si el número de bobinado de la gráfica de Nyquist alrededor de (w = -1 ) es igual al número de polos de (G (s) ) en el semiplano derecho.

Más brevemente,

[G_ {CL} (s) text {es estable} Leftrightarrow text {Ind} (kG circ gamma, -1) = P_ {G, RHP} ]

Aquí, ( gamma ) es el eje (s ) imaginario y (P_ {G, RHP} ) es el número de polos de la función original del sistema de bucle abierto (G (s) ) en el semiplano derecho.

Prueba

(G_ {CL} ) es estable exactamente cuando todos sus polos están en el semiplano izquierdo. Ahora, recuerde que los polos de (G_ {CL} ) son exactamente los ceros de (1 + k G ). Entonces, la estabilidad de (G_ {CL} ) es exactamente la condición de que el número de ceros de (1 + kG ) en el semiplano derecho sea 0.

Trabajemos con un contorno familiar.

Sea ( gamma_R = C_1 + C_R ). Tenga en cuenta que ( gamma_R ) se recorre en la dirección (en el sentido de las agujas del reloj ). Elija (R ) lo suficientemente grande como para que el (número finito) de polos y ceros de (G ) en el semiplano derecho estén todos dentro de ( gamma_R ). Ahora podemos aplicar la Ecuación 12.2.4 en el corolario del principio del argumento a (kG (s) ) y ( gamma ) para obtener

[- text {Ind} (kG circ gamma_R, -1) = Z_ {1 + kG, gamma_R} - P_ {G, gamma_R} ]

(El signo menos se debe a la dirección de la curva en el sentido de las agujas del reloj). Por lo tanto, para todo (R ) grande

[ text {el sistema es estable} Leftrightarrow Z_ {1 + kG, gamma_R} = 0 Leftrightarow text {Ind} (kG circ gamma_R, -1) = P_ {G, gamma_R } ]

Finalmente, podemos dejar que (R ) vaya al infinito. La suposición de que (G (s) ) decae 0 a medida que (s ) va a ( infty ) implica que en el límite, toda la curva (kG circ C_R ) se convierte en un solo punto en el origen. Entonces, en el límite (kG circ gamma_R ) se convierte en (kG circ gamma ). ( text {QED} )

Ejemplos usando el mathlet de Nyquist Plot

El criterio de Nyquist es un método visual que requiere alguna forma de producir la trama de Nyquist. Para esto usaremos uno de los Mathlets del MIT (ligeramente modificado para nuestros propósitos). Abra el subprograma Nyquist Plot en

http://web.mit.edu/jorloff/www/jmoapplets/nyquist/nyquistCrit.html

Juega con el applet, lee la ayuda.

Ahora actualice el navegador para restaurar el subprograma a su estado original. Marca la casilla (Fórmula ). La fórmula es una manera fácil de leer los valores de los polos y ceros de (G (s) ). En su estado original, el subprograma debe tener un cero en (s = 1 ) y polos en (s = 0.33 pm 1.75 i ).

El gráfico de la izquierda es el diagrama de polo cero. El gráfico de la derecha es el gráfico de Nyquist.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Para tener una idea de la trama de Nyquist. Mire el diagrama de polos y use el mouse para arrastrar el punto amarillo hacia arriba y hacia abajo del eje imaginario. Su imagen debajo de (kG (s) ) trazará la gráfica de Nyquis.

Observe que cuando el punto amarillo está en cualquier extremo del eje, su imagen en el gráfico de Nyquist está cerca de 0.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Actualice la página para volver a poner el cero y los polos en su estado original. Hay dos polos en el semiplano derecho, por lo que el sistema de bucle abierto (G (s) ) es inestable. Con (k = 1 ), ¿cuál es el número de bobinado de la gráfica de Nyquist alrededor de -1? ¿Es estable el sistema de circuito cerrado?

Solución

La curva se enrolla dos veces alrededor de -1 en el sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que el número de devanado ( text {Ind} (kG circ gamma, -1) = 2 ). Dado que el número de polos de (G ) en el semiplano derecho es el mismo que este número de devanado, el sistema de circuito cerrado es estable.

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Con los mismos polos y ceros, mueva el control deslizante (k ) y determine qué rango de (k ) hace que el sistema de lazo cerrado sea estable.

Solución

Cuando (k ) es pequeño, la gráfica de Nyquist tiene un número sinuoso 0 alrededor de -1. Para estos valores de (k ), (G_ {CL} ) es inestable. A medida que (k ) aumenta, en algún lugar entre (k = 0,65 ) y (k = 0,7 ) el número de devanado salta de 0 a 2 y el sistema de circuito cerrado se vuelve estable. Esto continúa hasta que (k ) esté entre 3.10 y 3.20, momento en el que el número de bobinado se convierte en 1 y (G_ {CL} ) se vuelve inestable.

Respuesta: El sistema de circuito cerrado es estable para (k ) (aproximadamente) entre 0.7 y 3.10.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

En el problema anterior, ¿podría determinar analíticamente el rango de (k ) donde (G_ {CL} (s) ) es estable?

Solución

¡Sí! Esto es posible para sistemas pequeños. Es más desafiante para los sistemas de orden superior, pero hay métodos que no requieren calcular los polos. En este caso, tenemos

[G_ {CL} (s) = dfrac {G (s)} {1 + kG (s)} = dfrac { dfrac {s - 1} {(s - 0.33) ^ 2 + 1.75 ^ 2} } {1 + dfrac {k (s - 1)} {(s - 0.33) ^ 2 + 1.75 ^ 2}} = dfrac {s - 1} {(s - 0.33) ^ 2 + 1.75 ^ 2 + k (s - 1)} nonumber ]

Entonces los polos son las raíces de

[(s - 0.33) ^ 2 + 1.75 ^ 2 + k (s - 1) = s ^ 2 + (k - 0.66) s + 0.33 ^ 2 + 1.75 ^ 2 - k nonumber ]

Para una cuadrática con coeficientes positivos, ambas raíces tienen una parte real negativa. Esto pasa cuando

[0,66

Ejemplo ( PageIndex {14} )

¿Qué sucede cuando (k ) pasa a 0.

Solución

Cuando (k ) llega a 0, la gráfica de Nyquist se reduce a un solo punto en el origen. En este caso, el número de devanado alrededor de -1 es 0 y el criterio de Nyquist dice que el sistema de lazo cerrado es estable si y solo si el sistema de lazo abierto es estable.

Esto debería tener sentido, ya que con (k = 0 ),

[G_ {CL} = dfrac {G} {1 + kG} = G. nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Haz un sistema con los siguientes polos y ceros:

  • Un par de ceros en (0.6 pm 0.75i ).
  • Un par de polos en (- 0.5 pm 2.5i ).
  • Un solo polo a 0,25.

¿Es estable el sistema de circuito cerrado correspondiente cuando (k = 6 )?

Solución

La respuesta es no, (G_ {CL} ) no es estable. (G ) tiene un polo en el semiplano derecho. El mathlet muestra que el diagrama de Nyquist gira una vez alrededor de (w = -1 ) en la dirección (en el sentido de las agujas del reloj ). Entonces, el número de bobinado es -1, que no es igual al número de polos de (G ) en el semiplano derecho.

Si establecemos (k = 3 ), el sistema de circuito cerrado es estable.


2 respuestas 2

El sistema de circuito cerrado $ X (s) $ es inestable. Puede ver esto observando el polo que tiene en el semiplano derecho o aplicando el Criterio de estabilidad de Nyquist al sistema de circuito abierto $ G (s) $.

El criterio de estabilidad de Nyquist (tomé esta definición del libro de Ogata) establece que el sistema es estable si

$ Z = $ Número de ceros de 1 + G (s) en el semiplano derecho.

$ N = $ Número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj del punto -1 por G (s) en el plano complejo.

$ P = $ número de polos de G (s) en el semiplano derecho.

La función de transferencia $ 1 + G (s) $, que es la ecuación característica de $ X (s) $, tiene un cero en el semiplano derecho, pero todos sus polos son estables. Por lo tanto, $ N = 1 $ y $ P = 0 $, y la gráfica de Nyquist de $ G (s) $ debe rodear el punto -1 una vez, en el sentido de las agujas del reloj, para que el sistema de circuito cerrado sea estable. No es así, y $ X (s) $ es inestable.


Evaluación de la estabilidad relativa mediante el criterio de Nyquist

Explicación: El margen de fase se calcula en la frecuencia de cruce de ganancia donde la magnitud de la función de transferencia es 1.

2. El sistema con la función de transferencia de lazo abierto G (s) H (s) = 1 / s (s ^ 2 + s + 1) tiene el margen de ganancia de:

a) -6 dB
b) 0 dB
c) 3,5 dB
d) 6 dB

Explicación: El margen de ganancia se calcula en la frecuencia de cruce de fase donde la fase es de 180 °.

3. El ángulo de fase del sistema, G (s) = s + 5 / s & ltsup & gt2 & lt / sup & gt + 4s + 9, varía entre:

a) 0 ° y 90 °
b) 0 ° y -90 °
c) 0 ° y -180 °
d) -90 ° y -180 °

Explicación: Como es el sistema de tipo 0, el ángulo de fase puede ser de 0 ° y 90 °.

4. La gráfica polar de la función de transferencia G (s) = 10 (s + 1) / s + 10 estará en:

a) Primer cuadrante
b) Segundo cuadrante
c) Tercer cuadrante
d) Cuarto cuadrante

Explicación: La gráfica polar de la función de transferencia dada se encuentra en el cuarto cuadrante.

5. A medida que la gráfica polar se mueve hacia el punto (-1, 0), el sistema se convierte en:

a) Estable
b) Marginalmente estable
c) Condicionalmente estable
d) Inestable

Explicación: A medida que la gráfica polar se mueve hacia el punto (-1, 0), el sistema se vuelve inestable.

6. Las gráficas polares que se mueven hacia el eje imaginario hacen que el sistema:

a) Estable
b) Marginalmente estable
c) Condicionalmente estable
d) Inestable

Explicación: Los gráficos polares que se mueven hacia el eje imaginario hacen que el sistema sea inestable.

7. Los conceptos utilizados para medir la estabilidad relativa son:

a) Margen de fase
b) Margen de ganancia
c) Fase y margen de ganancia
d) Estable

Explicación: Los conceptos utilizados para medir la estabilidad relativa son margen de fase y margen de ganancia.

8. La fase y el margen de ganancia son aplicables tanto a los sistemas de circuito abierto como a los de circuito cerrado.

Explicación: Los márgenes de fase y ganancia son aplicables solo a sistemas de lazo abierto.

9. El margen de ganancia es:

a) Es un factor por el cual se puede aumentar la ganancia del sistema para llevarlo al borde de la inestabilidad.
b) Se calcula en la frecuencia de cruce de ganancia.
c) Se calcula a la frecuencia de cruce de fase.
d) Tanto a como c

Explicación: El margen de ganancia es un factor por el cual se puede aumentar la ganancia del sistema para llevarlo al borde de la inestabilidad y se calcula en la frecuencia de cruce de fase.

10. El margen de fase es:

a) Es la cantidad de retraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad
b) Siempre es positivo para sistemas de retroalimentación estables.
c) Se calcula en la frecuencia de cruce de ganancia.
d) Todo lo mencionado

Explicación: El margen de fase es la medida de estabilidad relativa que siempre es positiva para sistemas estables.


Análisis de dominio de frecuencia

6.4 Diagramas de Nyquist

Un diagrama de Nyquist es una versión del formato de diagrama polar para la respuesta de frecuencia. Es útil porque proporciona un procedimiento gráfico simple para determinar la estabilidad de bucle cerrado a partir de las curvas de respuesta de frecuencia de la función de transferencia de bucle abierto. KG(s).

La estabilidad de bucle cerrado de los sistemas estándar se puede evaluar en una forma simplificada (para una derivación completa del criterio de estabilidad de Nyquist, ver, por ejemplo, Burns [1]), conocido como el "criterio de la izquierda": Si KG(s) posee No polos o ceros que tienen partes reales positivas, luego 1 + KG(s) = 0 tiene No raíces inestables. Por tanto, si el KG() la trama se traza como ω va de 0 + a + ∞ siempre dejará el punto (−1,0) a su izquierda.

Ejemplo

El uso de diagramas de Nyquist con el criterio de la izquierda se demuestra más fácilmente con un ejemplo. Trace el diagrama de Nyquist de la siguiente planta para determinar su estabilidad en circuito cerrado:

para) K = 10, (b) K = 136,8 y (c) K = 500.

Primero sustituimos por y resolver la función de transferencia de bucle abierto:

Esto da las siguientes expresiones de magnitud y argumento:

Sustituyendo y calculando la magnitud y la fase de un conjunto de frecuencias seleccionadas, obtenemos valores como en la tabla 6.1.

Cuadro 6.1. Valores de magnitud y fase para el gráfico de Nyquist

La gráfica de Nyquist resultante se bosqueja en la Figura 6.13. Los tres valores de ganancia elegidos no fueron arbitrarios, pero de hecho son un valor que da un sistema estable en el circuito cerrado (K = 10), uno que da un sistema marginalmente estable (K = 136,8), y uno que llevaría al sistema a la inestabilidad si se cerrara el ciclo (K = 500). (Puede probar esto con las técnicas mostradas en los capítulos anteriores, por ejemplo, el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz).

Figura 6.13. Bosquejo de la gráfica de Nyquist para G (s) = 1 (1 + 0.2 s) (1 + s) (1 + 10 s).

Puede verse que para un sistema estable, la gráfica de Nyquist pasa a la izquierda del punto -1 en el eje real. En estabilidad marginal, la trama pasa mediante el punto -1, mientras que para un sistema inestable, el contorno de Nyquist rodeará el punto -1.

6.4.1 Márgenes de estabilidad en el diagrama de Nyquist

De manera similar, como en el diagrama de Bode, los márgenes de estabilidad se pueden leer directamente en el diagrama de Nyquist, como se muestra en la Figura 6.14. El punto en el que el contorno de Nyquist cruza el eje real es igual a la inversa del margen de ganancia. (Tenga en cuenta que es posible que sea necesario convertirlo en decibelios si lo compara con un valor leído en un diagrama de Bode). El margen de fase es el ángulo de la respuesta de magnitud unitaria al eje real, es decir, el ángulo en el punto donde la magnitud cruza un círculo unitario.

Figura 6.14. Determinación de ganancia y margen de fase a partir de gráficos de Nyquist.


Contenido

El criterio está relacionado con el teorema de Routh-Hurwitz. A partir del enunciado de ese teorema, tenemos p - q = w (+ ∞) - w (- ∞) < displaystyle p-q = w (+ infty) -w (- infty)> donde:

Según el teorema fundamental del álgebra, cada polinomio de grado norte debe tener norte raíces en el plano complejo (es decir, para un ƒ sin raíces en la línea imaginaria, pag + q = norte). Por tanto, tenemos la condición de que ƒ es un polinomio estable (Hurwitz) si y solo si pagq = norte (la prueba se da a continuación). Usando el teorema de Routh-Hurwitz, podemos reemplazar la condición en pag y q por una condición en la cadena de Sturm generalizada, que a su vez dará una condición en los coeficientes de ƒ.

Dejar F(z) ser un polinomio complejo. El proceso es el siguiente:

  1. Calcule los polinomios P ​​0 (y) < displaystyle P_ <0> (y)> y P 1 (y) < displaystyle P_ <1> (y)> de manera que f (iy) = P 0 (y) + i P 1 (y) < displaystyle f (iy) = P_ <0> (y) + iP_ <1> (y)> donde y es un número real.
  2. Calcule la matriz de Sylvester asociada a P 0 (y) < displaystyle P_ <0> (y)> y P 1 (y) < displaystyle P_ <1> (y)>.
  3. Reorganice cada fila de tal manera que una fila impar y la siguiente tengan el mismo número de ceros a la izquierda.
  4. Calcule cada menor principal de esa matriz.
  5. Si al menos uno de los menores es negativo (o cero), entonces el polinomio F no es estable.

Edición de ejemplo

Criterio de Routh-Hurwitz para polinomios de segundo y tercer orden Editar

Ejemplo de orden superior Editar

Se puede utilizar un método tabular para determinar la estabilidad cuando las raíces de un polinomio característico de orden superior son difíciles de obtener. Por un nortepolinomio de grado

la mesa tiene norte + 1 filas y la siguiente estructura:

Cuando se complete, el número de cambios de signo en la primera columna será el número de raíces no negativas.

0.75 1.5 0 0
-3 6 0 0
3 0 0 0
6 0 0 0

En la primera columna, hay dos cambios de signo (0,75 → −3 y −3 → 3), por lo que hay dos raíces no negativas donde el sistema es inestable.

La ecuación característica de un servosistema viene dada por: [4]

para la estabilidad, todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos. Entonces, las condiciones que deben cumplirse para la estabilidad del sistema dado son las siguientes: [4]

Tenemos la siguiente tabla:

1 11 200 0
6 1 6 1 0 0
10 1 200 20 0 0
-19 0 0 0
20 0 0 0

hay dos cambios de signo. El sistema es inestable, ya que tiene dos polos semiplano derecho y dos polos semiplano izquierdo. El sistema no puede tener jω polos ya que no aparece una fila de ceros en la tabla de Routh. [5]

A veces, la presencia de polos en el eje imaginario crea una situación de estabilidad marginal. En ese caso, los coeficientes de la "matriz de Routh" en una fila completa se vuelven cero y, por lo tanto, no es posible una solución adicional del polinomio para encontrar cambios de signo. Entonces entra en juego otro enfoque. La fila del polinomio que está justo encima de la fila que contiene los ceros se llama "polinomio auxiliar".


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Método de matriz de Routh

Si todas las raíces de la ecuación característica existen en la mitad izquierda del plano "s", entonces el sistema de control es estable. Si existe al menos una raíz de la ecuación característica en la mitad derecha del plano "s", entonces el sistema de control es inestable. Entonces, tenemos que encontrar las raíces de la ecuación característica para saber si el sistema de control es estable o inestable. Pero es difícil encontrar las raíces de la ecuación característica a medida que aumenta el orden.

Entonces, para superar este problema, tenemos la Método de matriz de Routh. En este método, no es necesario calcular las raíces de la ecuación característica. Primero formule la tabla de Routh y encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh da el número de raíces de la ecuación característica que existen en la mitad derecha del plano "s" y el sistema de control es inestable.

Siga este procedimiento para formar la tabla de Routh.

Llene las dos primeras filas de la matriz de Routh con los coeficientes del polinomio característico como se menciona en la tabla siguiente. Comience con el coeficiente de $ s ^ n $ y continúe hasta el coeficiente de $ s ^ 0 $.

Llene las filas restantes de la matriz de Routh con los elementos que se mencionan en la tabla siguiente. Continúe este proceso hasta que obtenga el primer elemento de columna de fila $ s ^ 0 $ es $ a_n $. Aquí, $ a_n $ es el coeficiente de $ s ^ 0 $ en el polinomio característico.

Nota & menos Si cualquier elemento de fila de la tabla de Routh tiene algún factor común, entonces puede dividir los elementos de fila con ese factor para que la simplificación sea fácil.

La siguiente tabla muestra la matriz de Routh del polinomio característico de n-ésimo orden.


Teorema de Cauchy

Un teorema de Cauchy puede proporcionar información sobre el número de ceros de una función F (s) que tiene partes reales positivas. En nuestro estudio de estabilidad, aplicaremos el teorema a la ecuación característica del sistema expresada como

Donde F (s) a menudo se da como

Aplicado a la ecuación (1) y (2), el teorema de Cauchy es el siguiente:

  1. Trazamos un contorno en el plano s que rodea ceros y polos p de F (s),
  2. El contorno no pasa por polos o ceros de F (s), y
  3. La transversal a lo largo del contorno en el plano s es en el sentido de las agujas del reloj,

El contorno (o imagen) correspondiente en el plano F (s) rodea el origen N = Z-P veces en el sentido de las agujas del reloj.

El teorema se resume en

P = el número de polos de F (s)

Z = el número de cero (raíces) de F (s)

N = el número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj del origen en el plano F (s).

Es conveniente mapear con GH (s) en lugar de 1+ GH (s) = F (s). Para el mapeo GH (s), se aplica la ecuación (3), si hacemos que N = el número de cercos en el sentido de las agujas del reloj del punto -1 en el plano GH. Para la mayoría de las aplicaciones, conocemos GH (s) en forma factorizada:

Donde –sISon los ceros de la función de transferencia de bucle abierto. Al encontrar la imagen en el plano GH en lugar del plano F (s), evitamos agregar 1 a cada uno de los cálculos.


Revista de avances en matemáticas e informática

La tuberculosis, una enfermedad infecciosa transmitida por el aire, sigue siendo una gran amenaza para la salud pública en Kenia. En este estudio, derivamos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales del modelo matemático SLICR de TB para estudiar los efectos de la conciencia de la higiene como una estrategia de control contra la TB en Kenia. El número de reproducción básico efectivo (R0) del modelo se determinó mediante el enfoque de matriz de próxima generación. Establecimos y analizamos los puntos de equilibrio. Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz para el análisis de estabilidad local y el teorema de comparación para el análisis de estabilidad global, se encontró que el equilibrio libre de enfermedad (DFE) era localmente asintóticamente estable dado que R0 & lt 1. También utilizando el criterio de Routh-Hurwitz para la estabilidad local análisis y función de Lyapunov y el principio de invariancia de LaSalle para el análisis de estabilidad global, se encontró que el punto de equilibrio endémico (EE) era localmente asintóticamente estable dado que R0 & gt 1. Usando el solucionador MATLAB ode45, simulamos el modelo numéricamente y los resultados sugieren que la conciencia de higiene poder ayudar
en el control de la enfermedad de tuberculosis si se incorpora eficazmente

Cómo citar

Referencias

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