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4.3: Resolución de problemas


En cursos de matemáticas anteriores, sin duda se ha encontrado con los infames "problemas de palabras". Desafortunadamente, estos problemas rara vez se parecen al tipo de problemas que encontramos en la vida cotidiana. En la vida real, la resolución de problemas requiere identificar una fórmula o procedimiento apropiado y determinar qué información necesitará (y no necesitará) para responder la pregunta.

En este capítulo, revisaremos varias ideas algebraicas básicas pero poderosas: porcentajes, tasas y proporciones. Luego, nos centraremos en el proceso de resolución de problemas y exploraremos cómo usar estas ideas para resolver problemas en los que no tenemos la información perfecta.

Porcentajes

En los debates vicepresidenciales de 2004, Edwards afirmó que las fuerzas estadounidenses han sufrido "el 90% de las bajas de la coalición" en Irak. Cheney refutó esto y dijo que, de hecho, las fuerzas de seguridad iraquíes y los aliados de la coalición "se han llevado casi el 50 por ciento" de las bajas.[1] ¿Quién tiene razón? ¿Cómo podemos dar sentido a estos números?

Por ciento literalmente significa "por 100" o "partes por cien". Cuando escribimos 40%, esto equivale a la fracción o el decimal 0.40. Observe que 80 de 200 y 10 de 25 también son 40%, ya que .

Ejemplo 1

243 personas de 400 afirman que les gustan los perros. ¿Qué porcentaje es esto?

Solución

. Esto es 60,75%.

Observe que el porcentaje se puede encontrar a partir del decimal equivalente moviendo el punto decimal dos lugares a la derecha.

Ejemplo 2

Escribe cada uno como un porcentaje:

  1. 0.02
  2. 2.35

Soluciones

  1. = 25%
  2. 0.02 = 2%
  3. 2.35 = 235%

Porcentajes

Si tenemos un parte eso es algo por ciento de un entero, luego , o equivalente,.

Para hacer los cálculos, escribimos el porcentaje como decimal.

Ejemplo 3

El impuesto sobre las ventas en una ciudad es del 9,4%. ¿Cuánto impuesto pagará por una compra de $ 140?

Solución

Aquí, $ 140 es el total y queremos encontrar el 9,4% de $ 140. Comenzamos escribiendo el porcentaje como decimal moviendo el punto decimal dos lugares a la izquierda (lo que equivale a dividir por 100). Entonces podemos calcular: impuesto = 0.094 (140) = $ 13.16 en impuestos.

Ejemplo 4

En las noticias, escuchas que "se espera que la matrícula aumente en un 7% el próximo año". Si la matrícula este año fue de $ 1200 por trimestre, ¿cuál será el próximo año?

Solución

La matrícula del próximo año será la matrícula actual más un 7% adicional, por lo que será el 107% de la matrícula de este año: $ 1200 (1.07) = $ 1284.

Alternativamente, podríamos haber calculado primero el 7% de $ 1200: $ 1200 (0.07) = $ 84.

Note que esto es no la matrícula esperada para el próximo año (solo podríamos desear). En cambio, este es el esperado incrementar, por lo que para calcular la matrícula esperada, tendremos que agregar este cambio a la matrícula del año anterior: $ 1200 + $ 84 = $ 1284.

Pruebalo ahora

Un televisor con un precio original de $ 799 está a la venta con un 30% de descuento. Luego hay un impuesto sobre las ventas del 9.2%. Encuentre el precio después de incluir el descuento y el impuesto a las ventas.

Ejemplo 5

El valor de un automóvil bajó de $ 7400 a $ 6800 durante el último año. ¿Qué porcentaje de disminución es esto?

Solución

Para calcular el cambio porcentual, primero necesitamos encontrar el cambio del valor en dólares: $ 6800 - $ 7400 = - $ 600. A menudo tomaremos el valor absoluto de esta cantidad, que se llama cambio absoluto: |–600| = 600.

Dado que estamos calculando la disminución en relación con el valor inicial, calculamos este porcentaje de $ 7400:

Disminución del 8,1%. A esto se le llama cambio relativo.

Cambio absoluto y relativo

Dadas dos cantidades,

Cambio absoluto =

Cambio relativo:

El cambio absoluto tiene las mismas unidades que la cantidad original.

El cambio relativo da un cambio porcentual.

La cantidad inicial se llama base del cambio porcentual.

La base de un porcentaje es muy importante. Por ejemplo, mientras Nixon era presidente, se argumentó que la marihuana era una droga de “entrada”, afirmando que el 80% de los fumadores de marihuana consumían drogas más duras como la cocaína. El problema es que esto no es cierto. La verdadera afirmación es que el 80% de los consumidores de drogas más fuertes primero fumaron marihuana. La diferencia es de base: el 80% de los fumadores de marihuana usan drogas duras, frente al 80% de los consumidores de drogas duras que han fumado marihuana. Estos números no son equivalentes. Resulta que solo uno de cada 2.400 consumidores de marihuana sigue consumiendo drogas más duras.[2]

Ejemplo 6

Hay alrededor de 75 supermercados QFC en los Estados Unidos. Albertsons tiene alrededor de 215 tiendas. Compare el tamaño de las dos empresas.

Solución

Cuando hacemos comparaciones, primero debemos preguntarnos si una comparación absoluta o relativa. La diferencia absoluta es 215 - 75 = 140. A partir de esto, podríamos decir "Albertsons tiene 140 tiendas más que QFC". Sin embargo, si escribió esto en un artículo o documento, ese número no significa mucho. La diferencia relativa puede ser más significativa. Hay dos cambios relativos diferentes que podríamos calcular, dependiendo de la tienda que usemos como base:

Usando QFC como base, .

Esto nos dice que Albertsons es 186.7% más grande que QFC.

Usando Albertsons como base,.

Esto nos dice que QFC es un 65,1% más pequeño que Albertsons.

Observe que ambos muestran porcentaje diferencias. También podríamos calcular el tamaño de Albertsons en relación con QFC:, lo que nos dice que Albertsons es 2.867 veces el tamaño de QFC. Asimismo, podríamos calcular el tamaño de QFC en relación con Albertsons:, lo que nos dice que QFC es el 34,9% del tamaño de Albertsons.

Ejemplo 7

Supongamos que una acción cae en valor en un 60% una semana y luego aumenta de valor en un 75% la semana siguiente. ¿Es el valor más alto o más bajo que donde comenzó?

Solución

Para responder a esta pregunta, suponga que el valor comienza en $ 100. Después de una semana, el valor se redujo en un 60%: $ 100 - $ 100 (0,60) = $ 100 - $ 60 = $ 40.

En la próxima semana, observe que la base del porcentaje ha cambiado al nuevo valor, $ 40. Calcular el aumento del 75%: $ 40 + $ 40 (0,75) = $ 40 + $ 30 = $ 70.

Al final, la acción sigue siendo $ 30 menos, o = 30% más bajo, valorado de lo que empezó.

Pruebalo ahora

La deuda federal de Estados Unidos a finales de 2001 era de 5,77 billones de dólares y creció a 6,20 billones de dólares a finales de 2002. A finales de 2005 era de 7,91 billones de dólares y aumentó a 8,45 billones de dólares a finales de 2006.[3] Calcule el aumento absoluto y relativo para 2001-2002 y 2005-2006. ¿Qué año vio un mayor aumento en la deuda federal?

Ejemplo 8

Un artículo del Seattle Times sobre las tasas de graduación de la escuela secundaria informó que “El número de escuelas que graduaron al 60 por ciento o menos de estudiantes en cuatro años, a veces denominadas“ fábricas de abandono ”, disminuyó en 17 durante ese período. La cantidad de niños que asisten a escuelas con tasas de graduación tan bajas se redujo a la mitad ".

  1. ¿Es el número de “disminuir en 17” una comparación útil?
  2. Considerando la última oración, ¿podemos concluir que el número de “fábricas de abandono” fue originalmente de 34?

Solución

  1. Este número es difícil de evaluar, ya que no tenemos base para juzgar si se trata de un cambio mayor o menor. Si el número de "fábricas de abandonos" se redujo de 20 a 3, sería un cambio muy significativo, pero si el número se redujera de 217 a 200, sería una mejora menor.
  2. La última oración proporciona un cambio relativo, lo que ayuda a poner la primera oración en perspectiva. Podemos estimar que la cantidad de "fábricas que abandonaron la escuela" probablemente era anteriormente de alrededor de 34. Sin embargo, es posible que los estudiantes simplemente se muden de escuela en lugar de que la escuela mejore, por lo que esa estimación podría no ser completamente precisa.

Ejemplo 9

En los debates vicepresidenciales de 2004, Edwards afirmó que las fuerzas estadounidenses han sufrido "el 90% de las bajas de la coalición" en Irak. Cheney refutó esto y dijo que, de hecho, las fuerzas de seguridad iraquíes y los aliados de la coalición "se han llevado casi el 50 por ciento" de las bajas. ¿Quién tiene razón?

Solución

Sin más información, es difícil para nosotros juzgar quién está en lo correcto, pero podemos concluir fácilmente que estos dos porcentajes están hablando de cosas diferentes, por lo que uno no necesariamente contradice al otro. La afirmación de Edward era un porcentaje con las fuerzas de la coalición como base del porcentaje, mientras que la afirmación de Cheney era un porcentaje con las fuerzas de seguridad iraquíes y de la coalición como base del porcentaje. Resulta que ambas estadísticas son bastante precisas.

Pruebalo ahora

En las elecciones presidenciales de 2012, un candidato argumentó que "el plan del presidente recortará $ 716 mil millones de Medicare, lo que llevará a menos servicios para las personas mayores", mientras que el otro candidato refuta que "nuestro plan no recorta el gasto actual y en realidad amplía los beneficios para las personas mayores, mientras se implementan medidas de ahorro de costos ". ¿Estas afirmaciones están en conflicto, coinciden o no son comparables porque se refieren a cosas diferentes?

Terminaremos nuestra revisión de porcentajes con un par de advertencias. Primero, cuando se habla de un cambio de cantidades que ya se miden en porcentajes, debemos tener cuidado al describir el cambio.

Ejemplo 10

El apoyo de un político aumenta del 40% de los votantes al 50% de los votantes. Describe el cambio.

Solución

Podríamos describir esto usando un cambio absoluto: . Observe que, dado que las cantidades originales eran porcentajes, este cambio también tiene unidades de porcentaje. En este caso, es mejor describirlo como un aumento de 10 puntos de porcentaje.

Por el contrario, podríamos calcular el cambio porcentual: incrementar. Este es el cambio relativo, y diríamos que el apoyo de los políticos ha aumentado en un 25%.

Por último, una advertencia contra el promedio de porcentajes.

Ejemplo 11

Un jugador de baloncesto anota en el 40% de los intentos de tiros de campo de 2 puntos y en el 30% de los intentos de tiros de campo de 3 puntos. Encuentra el porcentaje total de goles de campo del jugador.

Solución

Es muy tentador promediar estos valores y afirmar que el promedio general es del 35%, pero es probable que esto no sea correcto, ya que la mayoría de los jugadores hacen muchos más intentos de 2 puntos que de 3 puntos. En realidad, no tenemos suficiente información para responder la pregunta. Suponga que el jugador intentó 200 tiros de campo de 2 puntos y 100 tiros de campo de 3 puntos. Luego hicieron 200 (0,40) = 80 tiros de 2 puntos y 100 (0,30) = 30 tiros de 3 puntos. En general, hicieron 110 tiros de 300, por un porcentaje total de goles de campo.

Proporciones y tarifas

Si quisiera alimentar la ciudad de Seattle con energía eólica, ¿cuántos molinos de viento necesitaría instalar? Preguntas como estas se pueden responder utilizando tasas y proporciones.

Tarifas

Una tasa es la razón (fracción) de dos cantidades.

A unidad de medida es una tasa con un denominador de uno.

Ejemplo 12

Su automóvil puede recorrer 300 millas con un tanque de 15 galones. Exprese esto como una tarifa.

Solución

Expresado como tasa, . Podemos dividir para encontrar una tasa unitaria:, que también podríamos escribir como, o solo 20 millas por galón.

Ecuación de proporciones

Una ecuación de proporción es una ecuación que muestra la equivalencia de dos tasas o razones.

Ejemplo 13

Resuelve la proporción por el valor desconocido X.

Solución

Esta proporción nos pide que encontremos una fracción con denominador 6 que sea equivalente a la fracción. Podemos resolver esto multiplicando ambos lados de la ecuación por 6, dando .

Ejemplo 14

Una escala de mapa indica que ½ pulgada en el mapa corresponde a 3 millas reales. ¿A cuántas millas de distancia hay dos ciudades que están pulgadas de distancia en el mapa?

Solución

Podemos establecer una proporción estableciendo dos tarifas, e introduciendo una variable, X, para representar la cantidad desconocida: la distancia en millas entre las ciudades.

Muchos problemas de proporciones también se pueden resolver usando análisis dimensional, el proceso de multiplicar una cantidad por tasas para cambiar las unidades.

Ejemplo 15

Su automóvil puede recorrer 300 millas con un tanque de 15 galones. ¿Qué distancia recorre con 40 galones?

Solución

Ciertamente podríamos responder a esta pregunta usando una proporción: .

Sin embargo, descubrimos anteriormente que 300 millas con 15 galones dan una tasa de 20 millas por galón. Si multiplicamos la cantidad dada de 40 galones por esta tasa, el galones unidad "cancela" y nos queda un número de millas:

Observe si, en cambio, nos preguntaran "¿cuántos galones se necesitan para conducir 50 millas?" Podríamos responder a esta pregunta invirtiendo la tasa de 20 millas por galón para que el millas la unidad se cancela y nos quedamos con galones:

El análisis dimensional también se puede utilizar para realizar conversiones de unidades. Aquí hay algunas conversiones de unidades como referencia.

Conversiones de unidades

Largo

1 pie (ft) = 12 pulgadas (in)1 yarda (yd) = 3 pies (ft)
1 milla = 5,280 pies
1000 milímetros (mm) = 1 metro (m)100 centímetros (cm) = 1 metro
1000 metros (m) = 1 kilómetro (km)2,54 centímetros (cm) = 1 pulgada

Peso y masa

1 libra (lb) = 16 onzas (oz)1 tonelada = 2000 libras
1000 miligramos (mg) = 1 gramo (g)1000 gramos = 1 kilogramo (kg)
1 kilogramo = 2,2 libras (en la tierra)

Capacidad

1 taza = 8 onzas líquidas (fl oz)[4]1 pinta = 2 tazas
1 cuarto = 2 pintas = 4 tazas1 galón = 4 cuartos = 16 tazas
1000 mililitros (ml) = 1 litro (L)

Ejemplo 16

Una bicicleta viaja a 15 millas por hora. ¿Cuántos pies cubrirá en 20 segundos?

Solución

Para responder a esta pregunta, necesitamos convertir 20 segundos en pies. Si conocemos la velocidad de la bicicleta en pies por segundo, esta pregunta sería más sencilla. Como no lo hacemos, tendremos que realizar conversiones de unidades adicionales. Necesitaremos saber que 5280 pies = 1 milla. Podríamos comenzar convirtiendo los 20 segundos en horas:

Ahora podemos multiplicar por las 15 millas / h.

Ahora podemos convertir a pies

También podríamos haber hecho todo este cálculo en un conjunto largo de productos:

Pruebalo ahora

Un carrete de 1000 pies de alambre de cobre desnudo de calibre 12 pesa 19,8 libras. ¿Cuánto pesarán 18 pulgadas del alambre, en onzas?

Observe que con el ejemplo de millas por galón, si duplicamos las millas conducidas, duplicamos la gasolina utilizada. Del mismo modo, con el ejemplo de la distancia del mapa, si la distancia del mapa se duplica, la distancia de la vida real se duplica. Esta es una característica clave de las relaciones proporcionales y debemos confirmarla antes de asumir que dos cosas están relacionadas proporcionalmente.

Ejemplo 17

Suponga que está colocando baldosas en el piso de una habitación de 10 pies por 10 pies y encuentra que se necesitarán 100 baldosas. ¿Cuántas baldosas se necesitarán para colocar baldosas en el piso de una habitación de 20 pies por 20 pies?

Solución

En este caso, mientras que el ancho de la habitación se ha duplicado, el área se ha cuadriplicado. Dado que el número de baldosas necesarias se corresponde con el área del piso, no con el ancho, se necesitarán 400 baldosas. Podríamos encontrar esto usando una proporción basada en las áreas de las habitaciones:

Otras cantidades simplemente no se escalan proporcionalmente en absoluto.

Ejemplo 18

Suponga que una pequeña empresa gasta $ 1000 en una campaña publicitaria y obtiene 100 nuevos clientes con ella. ¿Cuántos clientes nuevos deberían esperar si gastan $ 10,000?

Solución

Si bien es tentador decir que obtendrán 1000 nuevos clientes, es probable que la publicidad adicional sea menos efectiva que la publicidad inicial. Por ejemplo, si la empresa es una tienda de jacuzzi, es probable que solo haya un número fijo de personas interesadas en comprar un jacuzzi, por lo que es posible que ni siquiera haya 1000 personas en la ciudad que sean clientes potenciales.

A veces, cuando se trabaja con tasas, proporciones y porcentajes, el proceso puede resultar más desafiante debido a la magnitud de los números involucrados. A veces, los números grandes son simplemente difíciles de comprender.

Ejemplo 19

Compare el presupuesto militar estadounidense de 2010 de $ 683.7 mil millones con otras cantidades.

Solución

Aquí tenemos un número muy grande, alrededor de $ 683,700,000,000 escritos. Por supuesto, imaginar mil millones de dólares es muy difícil, por lo que puede ayudar compararlo con otras cantidades.

Si esa cantidad de dinero se usara para pagar los salarios de los 1.4 millones de empleados de Walmart en los EE. UU., Cada uno ganaría más de $ 488,000.

Hay alrededor de 300 millones de personas en los EE. UU. El presupuesto militar es de aproximadamente $ 2,200 por persona.

Si pusiera $ 683.7 mil millones en billetes de $ 100 y contara 1 por segundo, tomaría 216 años terminar de contarlo.

Ejemplo 20

Compare el consumo de electricidad per cápita en China con la tasa de Japón.

Solución

Para abordar esta pregunta, primero necesitaremos datos. De la CIA[5] En el sitio web podemos encontrar que el consumo de electricidad en 2011 para China fue de 4,693,000,000,000 KWH (kilovatios-hora), o 4.693 billones de KWH, mientras que el consumo de Japón fue de 859,700,000,000, o 859,7 mil millones de KWH. Para encontrar la tasa per cápita (por persona), también necesitaremos la población de los dos países. Del Banco Mundial,[6] podemos encontrar que la población de China es 1.344.130.000, o 1.344 billones, y la población de Japón es 127.817.277, o 127,8 millones.

Calculando el consumo per cápita de cada país:

Porcelana: ≈ 3491.5 KWH por persona

Japón: ≈ 6726 KWH por persona

Si bien China usa más de 5 veces la electricidad de Japón en general, debido a que la población de Japón es mucho más pequeña, resulta que Japón usa casi el doble de electricidad por persona en comparación con China.

Geometría

Las formas geométricas, así como el área y los volúmenes, a menudo pueden ser importantes en la resolución de problemas.

Ejemplo 21

Tienes curiosidad por saber cuán alto es un árbol, pero no tienes forma de treparlo. Describe un método para determinar la altura.

Solución

Hay varios enfoques que podemos adoptar. Usaremos uno basado en triángulos, lo que requiere que sea un día soleado. Suponga que el árbol proyecta una sombra, digamos 15 pies de largo. Entonces puedo pedirle a un amigo que me ayude a medir mi propia sombra. Supongamos que mido 6 pies de altura y proyecto una sombra de 1,5 pies. Dado que el triángulo formado por el árbol y su sombra tiene los mismos ángulos que el triángulo formado por mí y mi sombra, estos triángulos se llaman triángulos similares y sus lados se escalarán proporcionalmente. En otras palabras, la relación entre la altura y el ancho será la misma en ambos triángulos. Usando esto, podemos encontrar la altura del árbol, que denotaremos por h:

Multiplicando ambos lados por 15, obtenemos h = 60. El árbol mide unos 60 pies de altura.

Puede resultar útil recordar algunas fórmulas para áreas y volúmenes de algunas formas básicas.

Áreas

Rectángulo

Área: L · W

Perímetro: 2L + 2W

Circulo

Radio: r

Área: πr2

Circunferencia: 2πr

Volúmenes

Caja rectangular

Volumen: L · W · H

Cilindro

Volumen: πr2H

Ejemplo 22

Si una pizza de 12 pulgadas de diámetro requiere 10 onzas de masa, ¿cuánta masa se necesita para una pizza de 16 pulgadas?

Solución

Para responder a esta pregunta, debemos considerar cómo escalará el peso de la masa. El peso se basará en el volumen de la masa. Sin embargo, dado que ambas pizzas tendrán aproximadamente el mismo grosor, el peso se ajustará al área de la parte superior de la pizza. Podemos encontrar el área de cada pizza usando la fórmula para el área de un círculo, :

Una pizza de 30 cm tiene un radio de 15 cm, por lo que el área será = aproximadamente 113 pulgadas cuadradas.

Una pizza de 16 ″ tiene un radio de 8 pulgadas, por lo que el área será = aproximadamente 201 pulgadas cuadradas.

Tenga en cuenta que si ambas pizzas tuvieran 1 pulgada de grosor, los volúmenes serían 113 pulg.3 y 201 en3 respectivamente, que están en la misma proporción que las áreas. Como se mencionó anteriormente, dado que el grosor es el mismo para ambas pizzas, podemos ignorarlo con seguridad.

Ahora podemos establecer una proporción para encontrar el peso de la masa de una pizza de 16 ″:

Multiplica ambos lados por 201

= aproximadamente 17.8 onzas de masa para una pizza de 16 ″.

Es interesante notar que si bien el diámetro es = 1,33 veces más grande, la masa requerida, que escala con el área, es 1,332 = 1,78 veces más grande.

Ejemplo 23

Una empresa fabrica malvaviscos regulares y gigantes. El malvavisco regular tiene 25 calorías. ¿Cuántas calorías tendrá el malvavisco gigante?

Solución

Esperaríamos que las calorías escalaran con el volumen. Dado que los malvaviscos tienen formas cilíndricas, podemos usar esa fórmula para encontrar el volumen. A partir de la cuadrícula de la imagen, podemos estimar el radio y la altura de cada malvavisco.

El malvavisco regular parece tener un diámetro de aproximadamente 3,5 unidades, lo que da un radio de 1,75 unidades y una altura de aproximadamente 3,5 unidades. El volumen es de aproximadamente π (1,75)2(3,5) = 33,7 unidades3.

El malvavisco gigante parece tener un diámetro de aproximadamente 5,5 unidades, lo que da un radio de 2,75 unidades y una altura de aproximadamente 5 unidades. El volumen es de aproximadamente π (2,75)2(5) = 118,8 unidades3.

Ahora podríamos establecer una proporción o utilizar tarifas. El malvavisco regular tiene 25 calorías por 33,7 unidades cúbicas de volumen. El malvavisco gigante tendrá:

Es interesante notar que si bien el diámetro y la altura son aproximadamente 1,5 veces más grandes para el malvavisco gigante, el volumen y las calorías son aproximadamente 1,53 = 3.375 veces más grande.

Pruebalo ahora

Un sitio web dice que necesitará 48 bolsas de arena de cincuenta libras para llenar una caja de arena que mide 8 pies por 8 pies por 1 pie. ¿Cuántas bolsas necesitarías para una caja de arena de 6 pies por 4 pies por 1 pie?

Resolución de problemas y estimación

Finalmente, reuniremos las herramientas matemáticas que hemos revisado y las usaremos para abordar problemas más complejos. En muchos problemas, es tentador tomar la información proporcionada, insertarla en cualquier fórmula que tenga a mano y esperar que el resultado sea el que se suponía que debía encontrar. Lo más probable es que este enfoque le haya servido bien en otras clases de matemáticas.

Este enfoque no funciona bien con problemas de la vida real. En cambio, la resolución de problemas se aborda mejor comenzando por el final: identificando exactamente lo que está buscando. A partir de ahí, luego trabaja hacia atrás, preguntando "¿qué información y procedimientos necesitaré para encontrar esto?" Se pueden responder muy pocas preguntas interesantes en un paso matemático; A menudo, necesitará encadenar una ruta de solución, una serie de pasos que le permitirán responder la pregunta.

Proceso de resolución de problemas

  1. Identifique la pregunta que está tratando de responder.
  2. Trabaje hacia atrás, identificando la información que necesitará y las relaciones que utilizará para responder esa pregunta.
  3. Continúe trabajando al revés, creando una vía de solución.
  4. Si le falta información necesaria, búsquela o estímela. Si tiene información innecesaria, ignórela.
  5. Resuelva el problema siguiendo su ruta de solución.

En la mayoría de los problemas que trabajamos, estaremos aproximando una solución, porque no tendremos información perfecta. Comenzaremos con algunos ejemplos en los que podremos aproximarnos a la solución utilizando conocimientos básicos de nuestra vida.

Ejemplo 24

¿Cuántas veces late tu corazón en un año?

Solución

Esta pregunta solicita la frecuencia de latidos cardíacos por año. Dado que un año es mucho tiempo para medir los latidos del corazón, si supiéramos la frecuencia de los latidos por minuto, podríamos escalar esa cantidad hasta un año. Entonces, la información que necesitamos para responder a esta pregunta son los latidos del corazón por minuto. Esto es algo que puede medir fácilmente contando su pulso mientras mira un reloj durante un minuto.

Suponga que cuenta 80 latidos en un minuto. Para convertir estos latidos por año:

Ejemplo 25

¿Qué grosor tiene una sola hoja de papel? Cuanto pesa?

Solución

Si bien es posible que tenga una hoja de papel a la mano, intentar medirla sería complicado. En su lugar, podríamos imaginar una pila de papel y luego escalar el grosor y el peso a una sola hoja. Si alguna vez compró papel para una impresora o fotocopiadora, probablemente haya comprado una resma, que contiene 500 hojas. Podríamos estimar que una resma de papel tiene aproximadamente 2 pulgadas de grosor y pesa alrededor de 5 libras. Reduciendo estos,

Ejemplo 26

Una receta de muffins de calabacín indica que rinde 12 muffins, con 250 calorías por muffin. En su lugar, decides hacer mini-muffins, y la receta rinde 20 muffins. Si come 4, ¿cuántas calorías consumirá?

Solución

Hay varias vías de solución posibles para responder a esta pregunta. Exploraremos uno.

Para responder a la pregunta de cuántas calorías contendrán 4 mini-muffins, querríamos saber la cantidad de calorías en cada mini-muffin. Para encontrar las calorías en cada mini-muffin, primero podríamos encontrar las calorías totales de toda la receta y luego dividirlo por la cantidad de mini-muffins producidos. Para encontrar las calorías totales de la receta, podríamos multiplicar las calorías por panecillo estándar por el número por panecillo. Tenga en cuenta que esto produce una vía de solución de varios pasos. A menudo es más fácil resolver un problema en pequeños pasos, en lugar de tratar de encontrar una manera de saltar directamente de la información dada a la solución.

Ahora podemos ejecutar nuestro plan:

Ejemplo 27

Necesita reemplazar las tablas en su plataforma. ¿Aproximadamente cuánto costarán los materiales?

Solución

Hay dos enfoques que podríamos adoptar para resolver este problema: 1) estimar la cantidad de tablas que necesitaremos y encontrar el costo por tabla, o 2) estimar el área de la plataforma y encontrar el costo aproximado por pie cuadrado de las tablas de la plataforma. Adoptaremos el último enfoque.

Para esta vía de solución, podremos responder la pregunta si conocemos el costo por pie cuadrado de las tablas de la plataforma y los pies cuadrados de la plataforma. Para encontrar el costo por pie cuadrado de las tablas para terrazas, podríamos calcular el área de una sola tabla y dividirlo entre el costo de esa tabla. Podemos calcular los pies cuadrados de la plataforma usando fórmulas geométricas. Entonces, primero necesitamos información: las dimensiones de la plataforma y el costo y las dimensiones de una sola tabla de plataforma.

Suponga que midiendo la plataforma, es rectangular, mide 16 pies por 24 pies, para un área total de 384 pies2.

De una visita a la tienda local para el hogar, encontrará que una tarima de cedro de 8 pies por 4 pulgadas cuesta alrededor de $ 7,50. El área de esta tabla, haciendo la conversión necesaria de pulgadas a pies, es:

El costo por pie cuadrado es entonces

Esto nos permitirá estimar el costo del material para los 384 pies2 plataforma

Por supuesto, esta estimación de costos asume que no hay desperdicio, lo que rara vez es el caso. Es común agregar al menos un 10% a la estimación de costos para contabilizar el desperdicio.

Ejemplo 28

¿Vale la pena comprar un Hyundai Sonata híbrido en lugar del Hyundai Sonata normal?

Solución

Para tomar esta decisión, primero debemos decidir cuál será nuestra base de comparación. A los efectos de este ejemplo, nos centraremos en el combustible y los costos de compra, pero los impactos ambientales y los costos de mantenimiento son otros factores que un comprador podría considerar.

Puede ser interesante comparar el costo de la gasolina para hacer funcionar ambos autos durante un año. Para determinar esto, necesitaremos saber las millas por galón que obtienen ambos autos, así como la cantidad de millas que esperamos conducir en un año. A partir de esa información, podemos encontrar la cantidad de galones necesarios para un año. Usando el precio de la gasolina por galón, podemos encontrar el costo de funcionamiento.

Desde el sitio web de Hyundai, el Sonata 2013 obtendrá 24 millas por galón (mpg) en ciudad y 35 mpg en la carretera. El híbrido obtendrá 35 mpg en ciudad y 40 mpg en carretera.

Un conductor promedio conduce alrededor de 12,000 millas al año. Suponga que espera conducir aproximadamente el 75% de eso en la ciudad, es decir, 9,000 millas de ciudad al año y 3,000 millas de carretera al año.

Luego, podemos encontrar la cantidad de galones que necesitaría cada automóvil durante el año.

Sonata:

Híbrido:

Si la gasolina en su área tiene un promedio de $ 3.50 por galón, podemos usar eso para encontrar el costo de funcionamiento:

Sonata:

Híbrido:

El híbrido ahorrará 450,10 dólares al año. Los costos de gasolina para el híbrido son aproximadamente = 0.279 = 27.9% más bajo que los costos de la Sonata estándar.

Si bien las comparaciones absolutas y relativas son útiles aquí, aún dificultan la respuesta a la pregunta original, ya que “vale la pena” implica que existe una compensación por el ahorro de gas. De hecho, el Sonata híbrido cuesta alrededor de $ 25,850, en comparación con el modelo base del Sonata regular, a $ 20,895.

Para responder mejor a la pregunta de “vale la pena”, podríamos explorar cuánto tiempo tomará el ahorro de gas para compensar el costo inicial adicional. El híbrido cuesta $ 4965 más. Con un ahorro de gas de $ 451,10 al año, se necesitarán aproximadamente 11 años para que los ahorros de gas compensen los costos iniciales más altos.

Podemos concluir que si espera ser propietario del automóvil durante 11 años, el híbrido realmente vale la pena. Si planea ser propietario del automóvil por menos de 11 años, aún puede valer la pena, ya que el valor de reventa del híbrido puede ser mayor o por otras razones no monetarias. Este es un caso en el que las matemáticas pueden ayudarlo a guiar su decisión, pero no pueden hacerlo por usted.

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Si viaja de Seattle, WA a Spokane WA para una conferencia de tres días, ¿tiene más sentido conducir o volar?



El termino resolución de problemas tiene un significado ligeramente diferente según la disciplina. Por ejemplo, es un proceso mental en psicología y un proceso computarizado en informática. Hay dos tipos diferentes de problemas: para cada uno se utilizan enfoques diferentes mal definidos y bien definidos. Los problemas bien definidos tienen objetivos finales específicos y soluciones claramente esperadas, mientras que los problemas mal definidos no. Los problemas bien definidos permiten una planificación más inicial que los problemas mal definidos. [1] Resolver problemas a veces implica lidiar con la pragmática, la forma en que el contexto contribuye al significado, y la semántica, la interpretación del problema. La capacidad de comprender cuál es el objetivo final del problema y qué reglas se pueden aplicar representa la clave para resolver el problema. A veces, el problema requiere un pensamiento abstracto o encontrar una solución creativa.

Psicología Editar

La resolución de problemas en psicología se refiere al proceso de encontrar soluciones a los problemas encontrados en la vida. [2] Las soluciones a estos problemas suelen ser específicas de cada situación o contexto. El proceso comienza con la búsqueda y configuración del problema, donde el problema se descubre y se simplifica. El siguiente paso es generar posibles soluciones y evaluarlas. Finalmente se selecciona una solución para ser implementada y verificada. Los problemas tienen un final objetivo alcanzar y cómo llegar depende de la orientación del problema (estilo y habilidades de afrontamiento para la resolución de problemas) y del análisis sistemático. [3] Los profesionales de la salud mental estudian los procesos de resolución de problemas humanos utilizando métodos como la introspección, el conductismo, la simulación, el modelado por computadora y la experimentación. Los psicólogos sociales examinan el aspecto de la relación persona-entorno del problema y los métodos de resolución de problemas independientes e interdependientes. [4] La resolución de problemas se ha definido como un proceso cognitivo de orden superior y una función intelectual que requiere la modulación y el control de habilidades más rutinarias o fundamentales. [5]

La resolución de problemas tiene dos dominios principales: resolución de problemas matemáticos y resolución de problemas personales. Ambos se ven en términos de alguna dificultad o barrera que se encuentre. [6] La investigación empírica muestra que muchas estrategias y factores diferentes influyen en la resolución de problemas cotidianos. [7] [8] [9] Los psicólogos de rehabilitación que estudian a personas con lesiones en el lóbulo frontal han descubierto que los déficits en el control emocional y el razonamiento pueden remediarse con una rehabilitación efectiva y podrían mejorar la capacidad de las personas lesionadas para resolver problemas cotidianos. [10] La resolución de problemas cotidianos interpersonales depende de los componentes contextuales y motivacionales personales individuales. Uno de esos componentes es la valencia emocional de los problemas del "mundo real" y puede impedir o ayudar al desempeño en la resolución de problemas. Los investigadores se han centrado en el papel de las emociones en la resolución de problemas, [11] [12] demostrando que un control emocional deficiente puede interrumpir el enfoque en la tarea objetivo e impedir la resolución del problema y probablemente conducir a resultados negativos como fatiga, depresión e inercia. [13] En la conceptualización, la resolución de problemas humanos consta de dos procesos relacionados: la orientación al problema y el enfoque motivacional / actitudinal / afectivo a situaciones problemáticas y habilidades de resolución de problemas. Los estudios concluyen que las estrategias de las personas son coherentes con sus objetivos [14] y se derivan del proceso natural de compararse con los demás.

Ciencias cognitivas Editar

El trabajo experimental temprano de los Gestaltists en Alemania colocó el comienzo del estudio de resolución de problemas (por ejemplo, Karl Duncker en 1935 con su libro La psicología del pensamiento productivo [15] ). Más tarde, este trabajo experimental continuó durante los años sesenta y principios de los setenta con investigaciones realizadas sobre tareas de laboratorio relativamente simples (pero novedosas para los participantes) de resolución de problemas. [16] [17] El uso de tareas simples y novedosas se debió a las soluciones óptimas claramente definidas y al corto tiempo de resolución, lo que hizo posible que los investigadores rastrearan los pasos de los participantes en el proceso de resolución de problemas. La suposición subyacente de los investigadores era que las tareas simples como la Torre de Hanoi corresponden a las propiedades principales de los problemas del "mundo real" y, por lo tanto, los procesos cognitivos característicos dentro de los intentos de los participantes por resolver problemas simples son los mismos para los problemas del "mundo real" demasiado simples. Los problemas se utilizaron por razones de conveniencia y con la expectativa de que fueran posibles generalizaciones de pensamiento a problemas más complejos. Quizás el ejemplo más conocido e impactante de esta línea de investigación sea el trabajo de Allen Newell y Herbert A. Simon. [18] [ síntesis inadecuada? ] Otros expertos han demostrado que el principio de descomposición mejora la capacidad del solucionador de problemas para emitir un buen juicio. [19]

Ciencias de la computación Editar

En informática y en la parte de la inteligencia artificial que se ocupa de los algoritmos, la resolución de problemas incluye técnicas de algoritmos, heurística y análisis de la causa raíz. La cantidad de recursos (por ejemplo, tiempo, memoria, energía) necesarios para resolver problemas se describe mediante la teoría de la complejidad computacional. En términos más generales, la resolución de problemas es parte de un proceso más amplio que abarca la determinación de problemas, deduplicación, análisis, diagnóstico, reparación y otros pasos.

Otras herramientas de resolución de problemas son la programación lineal y no lineal, los sistemas de colas y la simulación. [20]

Gran parte de la informática implica el diseño de sistemas completamente automáticos que luego resolverán algún problema específico: sistemas para aceptar datos de entrada y, en un período de tiempo razonable, calcular la respuesta correcta o una aproximación suficientemente correcta.

Además, las personas en ciencias de la computación dedican una cantidad sorprendentemente grande de tiempo humano a encontrar y solucionar problemas en sus programas: depuración.

Lógica Editar

La lógica formal se ocupa de cuestiones como la validez, la verdad, la inferencia, la argumentación y la prueba. En un contexto de resolución de problemas, se puede utilizar para representar formalmente un problema como un teorema a demostrar, y para representar el conocimiento necesario para resolver el problema como premisas que se utilizarán en una prueba de que el problema tiene solución. El uso de computadoras para probar teoremas matemáticos usando lógica formal surgió como el campo de la demostración automatizada de teoremas en la década de 1950. Incluyó el uso de métodos heurísticos diseñados para simular la resolución de problemas humanos, como en la máquina de teoría lógica, desarrollada por Allen Newell, Herbert A. Simon y JC Shaw, así como métodos algorítmicos, como el principio de resolución desarrollado por John Alan Robinson. .

Además de su uso para encontrar demostraciones de teoremas matemáticos, la demostración automatizada de teoremas también se ha utilizado para la verificación de programas en informática. Sin embargo, ya en 1958, John McCarthy propuso al que tomaba consejos, para representar la información en lógica formal y derivar respuestas a preguntas utilizando la demostración automatizada de teoremas. Cordell Green dio un paso importante en esta dirección en 1969, utilizando un comprobador de teoremas de resolución para responder preguntas y para otras aplicaciones en inteligencia artificial como la planificación de robots.

El demostrador de teoremas de resolución utilizado por Cordell Green se parecía poco a los métodos humanos de resolución de problemas. En respuesta a las críticas a su enfoque, provenientes de investigadores del MIT, Robert Kowalski desarrolló la programación lógica y la resolución SLD, [21] que resuelve problemas mediante la descomposición de problemas. Ha abogado por la lógica tanto para la resolución de problemas humanos como por computadora [22] y la lógica computacional para mejorar el pensamiento humano [23].

Ingeniería Editar

La resolución de problemas se utiliza cuando los productos o procesos fallan, por lo que se pueden tomar medidas correctivas para evitar más fallas. También se puede aplicar a un producto o proceso antes de un evento de falla real, cuando un problema potencial se puede predecir y analizar, y se puede aplicar la mitigación para que el problema nunca ocurra. Se pueden utilizar técnicas como el modo de falla y el análisis de efectos para reducir de manera proactiva la probabilidad de que ocurran problemas.

La ingeniería forense es una técnica importante de análisis de fallas que implica rastrear defectos y fallas del producto. Luego, se pueden tomar acciones correctivas para evitar más fallas.

La ingeniería inversa intenta descubrir la lógica original de resolución de problemas utilizada en el desarrollo de un producto al desarmarlo. [24]

Ciencias militares Editar

En la ciencia militar, la resolución de problemas está vinculada al concepto de "estados finales", la condición o situación deseada que los estrategas desean generar. [25]: xiii, E-2 La capacidad para resolver problemas es importante en cualquier rango militar, pero es muy crítica a nivel de comando y control, donde está estrictamente correlacionada con la comprensión profunda de escenarios cualitativos y cuantitativos. [ aclaración necesaria ] Eficacia de resolución de problemas se utiliza para medir el resultado de la resolución de problemas, vinculado al logro de la meta. [25]: IV-24 Planificación para la resolución de problemas es el proceso de determinar cómo lograr la meta [25]: IV-1

Las estrategias de resolución de problemas son los pasos que uno usaría para encontrar los problemas que están en el camino para llegar a su propia meta. Algunos se refieren a esto como el "ciclo de resolución de problemas". [26]

En este ciclo, uno reconocerá, reconocerá el problema, definirá el problema, desarrollará una estrategia para solucionar el problema, organizará el conocimiento del ciclo del problema, descubrirá los recursos a disposición del usuario, controlará el progreso y evaluará la solución para su precisión. . La razón por la que se le llama ciclo es que una vez que uno se completa con un problema, normalmente aparece otro.

Visión es la solución repentina a un fastidioso problema, un reconocimiento repentino de una nueva idea, o una comprensión repentina de una situación compleja, un ¡Ajá! momento. Soluciones encontradas a través visión a menudo son más precisos que los que se encuentran a través del análisis paso a paso. Para resolver más problemas a un ritmo más rápido, se necesita conocimiento para seleccionar movimientos productivos en diferentes etapas del ciclo de resolución de problemas. Esta estrategia de resolución de problemas se refiere específicamente a los problemas denominados problemas de comprensión. A diferencia de la definición formal de Newell y Simon de los problemas de movimiento, no ha habido una definición generalmente acordada de un problema de insight (Ash, Jee y Wiley, 2012 [27] Chronicle, MacGregor y Ormerod, 2004 [28] Chu y MacGregor, 2011). [29]

Blanchard-Fields [30] analiza la resolución de problemas desde una de dos facetas. El primero examina aquellos problemas que solo tienen una solución (como problemas matemáticos o preguntas basadas en hechos) que se basan en la inteligencia psicométrica. El otro es de naturaleza socioemocional y tiene respuestas que cambian constantemente (como cuál es tu color favorito o qué deberías regalarle a alguien en Navidad).

Las siguientes técnicas suelen denominarse estrategias de resolución de problemas [31]

    : resolver el problema en un modelo del sistema antes de aplicarlo al sistema real: utilizar una solución que resuelva un problema análogo: (especialmente entre grupos de personas) proponer un gran número de soluciones o ideas y combinarlas y desarrollarlas hasta un óptimo Se encuentra una solución: dividir un problema grande y complejo en problemas más pequeños y que se pueden resolver: asumir una posible explicación del problema y tratar de probar (o, en algunos contextos, refutar) el supuesto: abordar soluciones de manera indirecta y creativa: elegir una acción en cada paso para acercarse al objetivo: sintetizar características aparentemente no coincidentes de diferentes objetos en algo nuevo: evaluar el resultado y las interacciones de un sistema completo: tratar de demostrar que el problema no se puede resolver. El punto donde la prueba falla será el punto de partida para resolverlo: transformar el problema en otro problema para el que existen soluciones: emplear ideas existentes o adaptar soluciones existentes a problemas similares: identificar la causa de un problema: probar posibles soluciones hasta el correcto uno se encuentra

Las barreras comunes para la resolución de problemas son construcciones mentales que impiden nuestra capacidad para resolverlos correctamente. Estas barreras impiden que las personas resuelvan los problemas de la manera más eficiente posible. Cinco de los procesos y factores más comunes que los investigadores han identificado como barreras para la resolución de problemas son el sesgo de confirmación, el estado mental, la fijación funcional, las restricciones innecesarias y la información irrelevante.

Sesgo de confirmación Editar

El sesgo de confirmación es un sesgo involuntario causado por la recopilación y el uso de datos de una manera que favorece una noción preconcebida. Las creencias afectadas por el sesgo de confirmación no necesitan tener motivación, el deseo de defender o encontrar fundamento para creencias que son importantes para esa persona. [32] La investigación ha encontrado que los profesionales dentro de los campos científicos de estudio también experimentan sesgo de confirmación. El experimento de Andreas Hergovich, Reinhard Schott y Christoph Burger realizado en línea, por ejemplo, sugirió que es probable que los profesionales dentro del campo de la investigación psicológica vean los estudios científicos que están de acuerdo con sus nociones preconcebidas de manera más favorable que los estudios que chocan con sus creencias establecidas. [33] Según Raymond Nickerson, se pueden ver las consecuencias del sesgo de confirmación en situaciones de la vida real, que varían en severidad desde políticas gubernamentales ineficientes hasta genocidio. Nickerson argumentó que quienes mataron a personas acusadas de brujería demostraron un sesgo de confirmación con motivación. El investigador Michael Allen encontró evidencia de sesgo de confirmación con motivación en niños en edad escolar que trabajaron para manipular sus experimentos científicos de tal manera que produjeran resultados favorables. [34] Sin embargo, el sesgo de confirmación no requiere necesariamente motivación. En 1960, Peter Cathcart Wason realizó un experimento en el que los participantes primero vieron tres números y luego crearon una hipótesis que proponía una regla que podría haberse utilizado para crear ese triplete de números. Al probar sus hipótesis, los participantes tendían a crear solo tripletes adicionales de números que confirmarían sus hipótesis, y tendían a no crear tripletes que negaran o refutaran sus hipótesis. Por lo tanto, la investigación también muestra que las personas pueden y trabajan para confirmar teorías o ideas que no apoyan o involucran creencias personalmente significativas. [35]

Conjunto mental Editar

El conjunto mental fue articulado por primera vez por Abraham Luchins en la década de 1940 y demostrado en sus conocidos experimentos con jarras de agua. [36] En estos experimentos, se pidió a los participantes que llenaran una jarra con una cantidad específica de agua usando solo otras jarras (típicamente tres) con diferentes capacidades máximas como herramientas. Después de que Luchins les dio a sus participantes un conjunto de problemas de jarras de agua que podrían resolverse empleando una sola técnica, luego les dio un problema que podría resolverse usando esa misma técnica o un método novedoso y más simple. Luchins descubrió que sus participantes tendían a utilizar la misma técnica a la que se habían acostumbrado a pesar de la posibilidad de utilizar una alternativa más sencilla. [37] Así, el conjunto mental describe la inclinación de uno a intentar resolver problemas de tal manera que ha demostrado ser exitoso en experiencias anteriores. Sin embargo, como reveló el trabajo de Luchins, tales métodos para encontrar una solución que ha funcionado en el pasado pueden no ser adecuados u óptimos para ciertos problemas nuevos pero similares. Por lo tanto, a menudo es necesario que las personas vayan más allá de su sistema mental para encontrar soluciones. Esto se demostró nuevamente en el experimento de Norman Maier de 1931, que desafió a los participantes a resolver un problema utilizando un objeto doméstico (alicates) de una manera poco convencional. Maier observó que los participantes a menudo eran incapaces de ver el objeto de una manera que se apartara de su uso típico, un fenómeno considerado como una forma particular de conjunto mental (más específicamente conocido como fijación funcional, que es el tema de la siguiente sección). Cuando las personas se aferran rígidamente a sus sistemas mentales, se dice que están experimentando fijación, una aparente obsesión o preocupación con estrategias intentadas que no tienen éxito en repetidas ocasiones. [38] A finales de la década de 1990, la investigadora Jennifer Wiley trabajó para revelar que la experiencia puede funcionar para crear un conjunto mental en personas consideradas expertas en sus campos, y obtuvo evidencia de que el conjunto mental creado por la experiencia podría conducir al desarrollo de fijación. [38]

Fijación funcional Editar

La fijación funcional es una forma específica de configuración y fijación mental, a la que se aludió anteriormente en el experimento de Maier y, además, es otra forma en la que el sesgo cognitivo puede verse a lo largo de la vida diaria. Tim German y Clark Barrett describen esta barrera como el diseño fijo de un objeto que obstaculiza la capacidad del individuo para verlo cumpliendo otras funciones. En términos más técnicos, estos investigadores explicaron que "los objetos se 'fijan' en la función de diseño de los objetos, y la resolución de problemas sufre en relación con las condiciones de control en las que no se demuestra la función del objeto". [39] La fijeza funcional se define como el hecho de que sólo la función primaria del objeto mismo obstaculice la capacidad de éste para servir a otro propósito que no sea su función original. En una investigación que destacó las razones principales por las que los niños pequeños son inmunes a la fijación funcional, se afirmó que "la fijación funcional. [Es cuando] los sujetos se ven obstaculizados para llegar a la solución de un problema por su conocimiento de la función convencional de un objeto". [40] Además, es importante señalar que la fijación funcional puede expresarse fácilmente en situaciones comunes. Por ejemplo, imagine la siguiente situación: un hombre ve un bicho en el suelo que quiere matar, pero lo único que tiene en la mano en este momento es una lata de ambientador. Si el hombre comienza a buscar algo en la casa para matar el insecto en lugar de darse cuenta de que la lata de ambientador podría usarse no solo porque tiene su función principal como refrescar el aire, se dice que está experimentando un efecto funcional. fijeza. El conocimiento del hombre de que la lata se servía simplemente como un ambientador obstaculizó su capacidad para darse cuenta de que también podría haber sido utilizada para otro propósito, que en este caso era como un instrumento para matar el insecto. La fijación funcional puede ocurrir en múltiples ocasiones y puede provocar que tengamos ciertos sesgos cognitivos. Si las personas solo ven un objeto como que sirve a un enfoque principal, entonces no se dan cuenta de que el objeto se puede usar de varias maneras distintas a su propósito previsto. Esto, a su vez, puede causar muchos problemas con respecto a la resolución de problemas.

La fijación funcional limita la capacidad de las personas para resolver problemas con precisión al hacer que uno tenga una forma de pensar muy estrecha. La fijación funcional también se puede ver en otros tipos de conductas de aprendizaje. Por ejemplo, la investigación ha descubierto la presencia de fijación funcional en muchos casos educativos. Los investigadores Furio, Calatayud, Baracenas y Padilla afirmaron que "la fijación funcional se puede encontrar tanto en el aprendizaje de conceptos como en la resolución de problemas de química". [41] Se hizo más énfasis en que esta función se vea en este tipo de temas y en otros.

Hay varias hipótesis con respecto a cómo la fijación funcional se relaciona con la resolución de problemas. [42] También hay muchas formas en las que una persona puede tener problemas al pensar en un objeto en particular con esta función. Si hay una forma en la que una persona suele pensar en algo en lugar de múltiples formas, esto puede llevar a una restricción en la forma en que la persona piensa en ese objeto en particular. Esto puede verse como un pensamiento de mente estrecha, que se define como una forma en la que uno no es capaz de ver o aceptar ciertas ideas en un contexto particular. La fijación funcional está muy relacionada con esto, como se mencionó anteriormente. Esto se puede hacer de forma intencionada o no intencionada, pero en su mayor parte parece que este proceso de resolución de problemas se realiza de forma no intencionada.

La fijación funcional puede afectar a los solucionadores de problemas de al menos dos formas particulares. La primera es con respecto al tiempo, ya que la fijación funcional hace que las personas empleen más tiempo del necesario para resolver cualquier problema. En segundo lugar, la fijación funcional a menudo hace que los solucionadores hagan más intentos de resolver un problema de los que hubieran hecho si no estuvieran experimentando esta barrera cognitiva. En el peor de los casos, la fijación funcional puede evitar por completo que una persona se dé cuenta de una solución a un problema. La fijación funcional es un hecho común que afecta la vida de muchas personas.

Restricciones innecesarias Editar

Las limitaciones innecesarias son otra barrera muy común a la que se enfrentan las personas al intentar resolver un problema. Este fenómeno particular ocurre cuando el sujeto, tratando de resolver el problema de manera subconsciente, pone límites a la tarea en cuestión, lo que a su vez lo obliga a esforzarse para ser más innovador en su pensamiento. El solucionador choca contra una barrera cuando se fija en una sola forma de resolver su problema, y ​​se vuelve cada vez más difícil ver otra cosa que no sea el método que ha elegido. Por lo general, el solucionador experimenta esto cuando intenta utilizar un método con el que ya ha tenido éxito, y no puede evitar intentar hacerlo funcionar también en las circunstancias actuales, incluso si ve que es contraproducente. [43]

El pensamiento grupal, o adoptar la mentalidad del resto de los miembros del grupo, también puede actuar como una restricción innecesaria al intentar resolver problemas. [44] Esto se debe al hecho de que todos piensan lo mismo, se detienen en las mismas conclusiones y se inhiben para pensar más allá de esto. Esto es muy común, pero el ejemplo más conocido de esta barrera que se hace presente es el famoso ejemplo del problema de los puntos. En este ejemplo, hay nueve puntos que se encuentran en una cuadrícula de tres puntos de ancho y tres puntos que se mueven hacia arriba y hacia abajo. Luego se le pide al solucionador que no dibuje más de cuatro líneas, sin levantar el bolígrafo o lápiz del papel. Esta serie de líneas debe conectar todos los puntos del papel. Entonces, lo que sucede típicamente es que el sujeto crea una suposición en su mente de que debe conectar los puntos sin dejar que su bolígrafo o lápiz se salga del cuadrado de puntos. Los procedimientos estandarizados como este a menudo pueden traer constricciones inventadas mentalmente de este tipo, [45] y los investigadores han encontrado una tasa de solución correcta del 0% en el tiempo asignado para completar la tarea. [46] La restricción impuesta inhibe al solucionador a pensar más allá de los límites de los puntos. De este fenómeno se deriva la expresión "pensar fuera de la caja". [47]

Este problema puede resolverse rápidamente con un amanecer de comprensión, o visión. Unos minutos de lucha por resolver un problema pueden traer estas ideas repentinas, donde el solucionador ve rápidamente la solución con claridad. Problemas como este se resuelven normalmente a través de la comprensión y pueden ser muy difíciles para el sujeto dependiendo de cómo hayan estructurado el problema en sus mentes, cómo se basan en sus experiencias pasadas y cuánto hacen malabarismos con esta información en sus memorias de trabajo. [47] En el caso del ejemplo de los nueve puntos, el solucionador ya se ha estructurado incorrectamente en sus mentes debido a la restricción que han impuesto a la solución. Además de esto, las personas experimentan dificultades cuando intentan comparar el problema con sus conocimientos previos y piensan que deben mantener sus líneas dentro de los puntos y no ir más allá. Hacen esto porque tratar de visualizar los puntos conectados fuera del cuadrado básico pone a prueba su memoria de trabajo. [47]

La solución al problema se vuelve obvia a medida que se produce la percepción tras los movimientos incrementales realizados hacia la solución. Estos pequeños movimientos ocurren sin que el solucionador lo sepa. Luego, cuando la percepción se realiza completamente, el momento "ajá" ocurre para el sujeto. [48] ​​Estos momentos de percepción pueden tardar mucho en manifestarse o no tanto en otras ocasiones, pero la forma en que se llega a la solución después de superar estas barreras sigue siendo la misma.

Información irrelevante Editar

La información irrelevante es información presentada dentro de un problema que no está relacionado o no es importante para el problema específico. [43] Dentro del contexto específico del problema, la información irrelevante no serviría de nada para ayudar a resolver ese problema en particular. A menudo información irrelevante es perjudicial para el proceso de resolución de problemas. Es una barrera común que muchas personas tienen problemas para atravesar, especialmente si no son conscientes de ello. Información irrelevante hace que la solución de problemas relativamente simples sea mucho más difícil. [49]

Por ejemplo: "El quince por ciento de la gente en Topeka tiene números de teléfono no listados. Usted selecciona 200 nombres al azar de la guía telefónica de Topeka. ¿Cuántas de estas personas tienen números de teléfono no listados?" [50]

Las personas que no figuran en el directorio telefónico no estarán entre los 200 nombres que seleccionó. Las personas que miraban esta tarea naturalmente hubieran querido utilizar el 15% que se les dio en el problema. Ven que hay información presente e inmediatamente piensan que es necesario utilizarla. Esto, por supuesto, no es cierto. Este tipo de preguntas se utilizan a menudo para evaluar a los estudiantes que realizan pruebas de aptitud o evaluaciones cognitivas. [51] No están destinados a ser difíciles, pero sí requieren un pensamiento que no es necesariamente común. Información irrelevante se representa comúnmente en problemas de matemáticas, específicamente en problemas de palabras, donde la información numérica se coloca con el propósito de desafiar al individuo.

Una de las razones por las que la información irrelevante es tan eficaz para mantener a una persona fuera del tema y alejada de la información relevante es la forma en que se representa. [51] La forma en que se representa la información puede marcar una gran diferencia en la dificultad de superar el problema. Ya sea que un problema se represente visual, verbal, espacial o matemáticamente, la información irrelevante puede tener un efecto profundo en el tiempo que tarda en resolverse un problema o incluso si es posible. El problema del monje budista es un ejemplo clásico de información irrelevante y cómo se puede representar de diferentes maneras:

Un monje budista comienza al amanecer un día subiendo una montaña, llega a la cima al atardecer, medita en la cima durante varios días hasta que un amanecer comienza a caminar de regreso al pie de la montaña, a la que llega al atardecer. Sin hacer suposiciones sobre su salida o parada o sobre su ritmo durante los viajes, demuestre que hay un lugar en el camino que ocupa a la misma hora del día en los dos viajes separados.

Este problema es casi imposible de resolver debido a cómo se representa la información. Debido a que está escrito de una manera que representa la información verbalmente, hace que intentemos crear una imagen mental del párrafo. Esto a menudo es muy difícil de hacer, especialmente con todos los información irrelevante involucrado en la pregunta. Este ejemplo se hace mucho más fácil de entender cuando el párrafo se representa visualmente. Ahora bien, si se planteó el mismo problema, pero también se acompañó de un gráfico correspondiente, sería mucho más fácil responder a esta pregunta. información irrelevante ya no sirve como un obstáculo en la carretera. Al representar el problema visualmente, no hay palabras difíciles de entender ni escenarios que imaginar. La representación visual de este problema ha eliminado la dificultad de resolverlo.

Este tipo de representaciones se utilizan a menudo para facilitar problemas difíciles. [52] Se pueden utilizar en pruebas como estrategia para eliminar Información irrelevante, que es una de las formas más comunes de barreras cuando se discuten los problemas de resolución de problemas. [43] Es esencial identificar la información crucial que se presenta en un problema y luego ser capaz de identificar correctamente su utilidad. Estar al tanto de información irrelevante es el primer paso para superar esta barrera común.

Otras barreras para las personas Editar

Los seres humanos que participan en la resolución de problemas tienden a pasar por alto los cambios sustractivos, incluidos aquellos que son elementos críticos de soluciones eficientes. Esta tendencia a resolver primero, solo o principalmente creando o agregando elementos, en lugar de restando elementos o procesos, se intensifica con cargas cognitivas más altas, como la sobrecarga de información. [53] [54]

La resolución de problemas también puede ocurrir sin despertar la conciencia. Hay muchos informes de científicos e ingenieros que resolvieron problemas en sus sueños. Elias Howe, inventor de la máquina de coser, descubrió la estructura de la bobina a partir de un sueño. [55]

El químico August Kekulé estaba considerando cómo el benceno ordenaba sus seis átomos de carbono e hidrógeno. Pensando en el problema, se quedó dormido y soñó con átomos danzantes que caían en un patrón en forma de serpiente, lo que lo llevó a descubrir el anillo de benceno. Como escribió Kekulé en su diario,

Una de las serpientes se agarró a su propia cola y la forma giró burlonamente ante mis ojos. Como por un relámpago me desperté y esta vez también pasé el resto de la noche trabajando en las consecuencias de la hipótesis. [56]

También existen estudios empíricos sobre cómo las personas pueden pensar conscientemente sobre un problema antes de irse a dormir y luego resolver el problema con una imagen de sueño. El investigador de sueños William C. Dement le dijo a su clase de 500 estudiantes que quería que pensaran en una serie infinita, cuyos primeros elementos fueron OTTFF, para ver si podían deducir el principio detrás de ella y decir cuáles son los siguientes elementos de la serie. sería. [57] Les pidió que pensaran en este problema todas las noches durante 15 minutos antes de irse a dormir y que escribieran cualquier sueño que tuvieran en ese momento. Se les indicó que volvieran a pensar en el problema durante 15 minutos cuando se despertaran por la mañana.

La secuencia OTTFF son las primeras letras de los números: uno, dos, tres, cuatro, cinco. Los siguientes cinco elementos de la serie son SSENT (seis, siete, ocho, nueve, diez). Algunos de los estudiantes resolvieron el rompecabezas reflexionando sobre sus sueños. Un ejemplo fue un estudiante que informó el siguiente sueño: [57]

Estaba de pie en una galería de arte, mirando las pinturas en la pared. Mientras caminaba por el pasillo, comencé a contar los cuadros: uno, dos, tres, cuatro, cinco. Cuando llegué al sexto y séptimo, las pinturas habían sido arrancadas de sus marcos. Contemplé los marcos vacíos con la peculiar sensación de que algún misterio estaba a punto de resolverse. ¡De repente me di cuenta de que los espacios sexto y séptimo eran la solución al problema!

Con más de 500 estudiantes de pregrado, se juzgó que 87 sueños estaban relacionados con los problemas asignados a los estudiantes (53 directamente relacionados y 34 indirectamente relacionados). Sin embargo, de las personas que tuvieron sueños que aparentemente resolvieron el problema, solo siete pudieron conocer conscientemente la solución. El resto (46 de 53) pensó que no conocía la solución.

Mark Blechner realizó este experimento y obtuvo resultados similares a los de Dement. [58] Descubrió que al tratar de resolver el problema, la gente tenía sueños en los que la solución parecía ser obvia a partir del sueño, pero era raro que los soñadores se dieran cuenta de cómo sus sueños habían resuelto el rompecabezas. Insinuaciones o insinuaciones no lograron que se dieran cuenta, aunque una vez que escucharon la solución, reconocieron cómo su sueño lo había resuelto. Por ejemplo, una persona en ese experimento OTTFF soñó: [58]

Hay un gran reloj. Puedes ver el movimiento. La manecilla grande del reloj estaba en el número seis. Podías verlo subir, número por número, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce. El sueño se centró en las pequeñas partes de la maquinaria. Podías ver los engranajes en el interior.

En el sueño, la persona contó los siguientes elementos de la serie: seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce, pero no se dio cuenta de que esa era la solución del problema. Su cerebro mental dormido resolvió el problema, pero su cerebro mental despierto no sabía cómo.

Albert Einstein creía que gran parte de la resolución de problemas ocurre de manera inconsciente, y la persona debe entonces descubrir y formular conscientemente lo que la mente-cerebro ya ha resuelto. Creía que este era su proceso al formular la teoría de la relatividad: "El creador del problema posee la solución". [59] Einstein dijo que resolvió problemas sin palabras, principalmente en imágenes. "Las palabras o el lenguaje, tal como están escritas o habladas, no parecen jugar ningún papel en mi mecanismo de pensamiento. Las entidades psíquicas que parecen servir como elementos en el pensamiento son ciertos signos e imágenes más o menos claras que pueden ser 'voluntariamente' reproducidos y combinados ". [60]

En las ciencias cognitivas, la comprensión de los investigadores de que los procesos de resolución de problemas difieren entre los dominios del conocimiento y los niveles de experiencia (p. Ej., Sternberg, 1995) y que, en consecuencia, los hallazgos obtenidos en el laboratorio no pueden generalizarse necesariamente a situaciones de resolución de problemas fuera del laboratorio, ha condujo a un énfasis en la resolución de problemas del mundo real desde la década de 1990. Sin embargo, este énfasis se ha expresado de manera bastante diferente en América del Norte y Europa. Mientras que la investigación norteamericana se ha concentrado típicamente en estudiar la resolución de problemas en dominios separados del conocimiento natural, gran parte de la investigación europea se ha centrado en problemas novedosos y complejos, y se ha realizado con escenarios computarizados (ver Funke, 1991, para una descripción general).

Europa Editar

En Europa, han surgido dos enfoques principales, uno iniciado por Donald Broadbent (1977 ver Berry & amp Broadbent, 1995) en el Reino Unido y el otro por Dietrich Dörner (1975, 1985 ver Dörner & amp Wearing, 1995) en Alemania. Los dos enfoques comparten un énfasis en tareas de laboratorio computarizadas relativamente complejas, semánticamente ricas, construidas para parecerse a problemas de la vida real. Sin embargo, los enfoques difieren algo en sus objetivos teóricos y metodología. La tradición iniciada por Broadbent enfatiza la distinción entre los procesos cognitivos de resolución de problemas que operan bajo la conciencia versus fuera de la conciencia, y típicamente emplea sistemas computarizados matemáticamente bien definidos. La tradición iniciada por Dörner, por otro lado, tiene interés en la interacción de los componentes cognitivos, motivacionales y sociales de la resolución de problemas, y utiliza escenarios computarizados muy complejos que contienen hasta 2000 variables altamente interconectadas (p. Ej., Dörner, Kreuzig , Proyecto LOHHAUSEN de 1983 de Reither & amp Stäudel Ringelband, Misiak & amp Kluwe, 1990). Buchner (1995) describe las dos tradiciones en detalle.

América del Norte Editar

En América del Norte, iniciado por el trabajo de Herbert A. Simon sobre "aprender haciendo" en dominios semánticamente ricos, [61] [62] los investigadores comenzaron a investigar la resolución de problemas por separado en diferentes dominios del conocimiento natural, como la física, la escritura o jugar al ajedrez, renunciando así a sus intentos de extraer una teoría global de la resolución de problemas (por ejemplo, Sternberg & amp Frensch, 1991). En cambio, estos investigadores se han centrado con frecuencia en el desarrollo de la resolución de problemas dentro de un determinado dominio, es decir, en el desarrollo de la experiencia (Chase & amp Simon, 1973 Chi, Feltovich & amp Glaser, 1981). [63]

Las áreas que han atraído una atención bastante intensa en América del Norte incluyen:

  • Lectura (Stanovich & amp Cunningham, 1991)
  • Escritura (Bryson, Bereiter, Scardamalia & amp Joram, 1991)
  • Cálculo (Sokol & amp McCloskey, 1991)
  • Toma de decisiones políticas (Voss, Wolfe, Lawrence & amp Engle, 1991)
  • Resolución de problemas de gestión ([64])
  • Razonamiento de los abogados [65]
  • Resolución de problemas mecánicos (Hegarty, 1991)
  • Resolución de problemas en electrónica (Lesgold & amp Lajoie, 1991)
  • Habilidades informáticas (Kay, 1991)
  • Jugando (Frensch & amp Sternberg, 1991)
  • Resolución de problemas personales (Heppner & amp Krauskopf, 1987)
  • Resolución de problemas matemáticos (Pólya, 1945 Schoenfeld, 1985)
  • Resolución de problemas sociales [11] [12]
  • Resolución de problemas para innovaciones e invenciones: TRIZ [66]

La resolución de problemas complejos (CPS) se distingue de la resolución de problemas simples (SPS). Cuando se trata de SPS, hay un obstáculo singular y simple en el camino. Pero CPS comprende uno o más obstáculos a la vez. En un ejemplo de la vida real, un cirujano en el trabajo tiene problemas mucho más complejos que un individuo que decide qué zapatos usar. Según lo aclarado por Dietrich Dörner, y ampliado más tarde por Joachim Funke, los problemas complejos tienen algunas características típicas como sigue: [67]

    (gran cantidad de elementos, interrelaciones y decisiones) (relación de jerarquía, relación de comunicación, relación de asignación) (consideraciones de tiempo)
    • restricciones temporales
    • sensibilidad temporal
    • efectos de fase
    • imprevisibilidad dinámica
    • opacidad de inicio
    • opacidad de continuación
    • inexpresivos
    • oposición
    • transitoriedad

    La resolución de problemas se aplica en muchos niveles diferentes, desde el individuo hasta la civilización. La resolución colectiva de problemas se refiere a la resolución de problemas realizada de forma colectiva.

    Por lo general, los problemas sociales y los problemas globales solo se pueden resolver de manera colectiva.

    Se ha observado que la complejidad de los problemas contemporáneos ha excedido la capacidad cognitiva de cualquier individuo y requiere una experiencia diferente pero complementaria y una capacidad colectiva de resolución de problemas. [69]

    La inteligencia colectiva es inteligencia compartida o grupal que surge de la colaboración, los esfuerzos colectivos y la competencia de muchos individuos.

    Resolución colaborativa de problemas se trata de personas que trabajan juntas cara a cara o en espacios de trabajo en línea con un enfoque en la resolución de problemas del mundo real. Estos grupos están formados por miembros que comparten una preocupación común, una pasión similar y / o un compromiso con su trabajo. Los miembros están dispuestos a hacer preguntas, preguntarse y tratar de comprender problemas comunes. Comparten conocimientos, experiencias, herramientas y métodos. [70] Estos grupos pueden ser asignados por instructores o pueden ser regulados por los estudiantes según las necesidades individuales de los estudiantes. Los grupos, o miembros del grupo, pueden ser fluidos según la necesidad, o pueden ocurrir solo temporalmente para terminar una tarea asignada. También pueden ser de naturaleza más permanente según las necesidades de los alumnos. Todos los miembros del grupo deben participar en el proceso de toma de decisiones y participar en el proceso de aprendizaje. Los miembros del grupo son responsables del pensamiento, la enseñanza y el seguimiento de todos los miembros del grupo. El trabajo en grupo debe coordinarse entre sus miembros para que cada miembro haga una contribución igual a todo el trabajo. Los miembros del grupo deben identificar y aprovechar sus fortalezas individuales para que todos puedan hacer una contribución significativa a la tarea. [71] Los grupos colaborativos requieren esfuerzos intelectuales conjuntos entre los miembros e involucran interacciones sociales para resolver problemas juntos. El conocimiento compartido durante estas interacciones se adquiere durante la comunicación, negociación y producción de materiales. [72] Los miembros buscan activamente información de otros haciendo preguntas. La capacidad de utilizar preguntas para adquirir nueva información aumenta la comprensión y la capacidad para resolver problemas. [73] El trabajo en grupo colaborativo tiene la capacidad de promover habilidades de pensamiento crítico, habilidades de resolución de problemas, habilidades sociales y autoestima. Al utilizar la colaboración y la comunicación, los miembros a menudo aprenden unos de otros y construyen un conocimiento significativo que a menudo conduce a mejores resultados de aprendizaje que el trabajo individual. [74]

    En un informe de investigación de 1962, Douglas Engelbart vinculó la inteligencia colectiva con la efectividad organizacional y predijo que 'aumentar el intelecto humano' proactivamente produciría un efecto multiplicador en la resolución de problemas grupales: "Tres personas trabajando juntas en este modo aumentado [parecerían] ser más de tres veces más eficaz en la resolución de un problema complejo que una persona aumentada que trabaja sola ". [75]

    Henry Jenkins, un teórico clave de los nuevos medios y la convergencia de los medios, se basa en la teoría de que la inteligencia colectiva se puede atribuir a la convergencia de los medios y la cultura participativa. [76] Critica la educación contemporánea por no incorporar las tendencias en línea de resolución colectiva de problemas en el aula, afirmando que "mientras que una comunidad de inteligencia colectiva fomenta la propiedad del trabajo como grupo, las escuelas califican a los individuos". Jenkins sostiene que la interacción dentro de una comunidad de conocimiento crea habilidades vitales para los jóvenes, y el trabajo en equipo a través de comunidades de inteligencia colectiva contribuye al desarrollo de tales habilidades. [77]

    El impacto colectivo es el compromiso de un grupo de actores de diferentes sectores con una agenda común para resolver un problema social específico, utilizando una forma estructurada de colaboración.

    Después de la Segunda Guerra Mundial se crearon la ONU, la organización de Bretton Woods y la OMC, la resolución colectiva de problemas a nivel internacional cristalizó en torno a estos tres tipos de organizaciones a partir de la década de 1980. Dado que estas instituciones globales siguen siendo de tipo estatal o centradas en el estado, no es de extrañar que continúen con enfoques de tipo estatal o centrados en el estado para la resolución colectiva de problemas en lugar de enfoques alternativos. [78]

    El crowdsourcing es un proceso de acumulación de ideas, pensamientos o información de muchos participantes independientes, con el objetivo de encontrar la mejor solución para un desafío determinado. Las modernas tecnologías de la información permiten involucrar a un gran número de sujetos, así como sistemas de gestión de estas sugerencias que brindan buenos resultados. [79] Con Internet se creó una nueva capacidad para la resolución colectiva de problemas, incluida la escala planetaria. [80]


    4.3: Resolución de problemas

    Richard Perry, [email protected] - secciones 1, 2, 3 conferencias sección 2 laboratorio
    Horas de oficina: Lun 12-3 Tu / Th 2-4 Sat 8-10,11-4 - citas o visitas
    TA: Caroline Ross, [email protected]
    Horario de oficina: Tu 12-2 Th 10-12 - zoom

    Xun Jiao, [email protected] - laboratorio de la sección 1
    Horario de oficina: viernes 3-5 - zoom
    TA: Dongning Ma, [email protected]

    Sarvesh Kulkarni, [email protected] - laboratorio de la sección 3
    Horario de atención: Lunes / Miércoles 11: 30-12: 30 - zoom
    TA: Raymond Ogunjimi, [email protected]
    Horas de oficina: Tu 2: 15-4: 15 - zoom

    Resolución de problemas de ingeniería utilizando el lenguaje de programación C. Estructuras de control de C, archivos de datos, depuración, funciones, matrices, estructuras de datos elementales y punteros.

    La calificación del curso se basará en diez proyectos de programación. Las asignaciones del curso deben realizarse de forma individual e independiente. Se seguirán las políticas y procedimientos de la Universidad sobre asistencia, integridad académica y estudiantes con discapacidades. En particular, no se aceptarán asignaciones tardías sin la aprobación de ausencia justificada del Decano.

    Resolución de problemas de ingeniería con C, cuarta edición, Delores M. Etter, Prentice Hall, 2013, ISBN: 978-0136085317 Capítulo 1: Resolución de problemas de ingeniería 1.1 Ingeniería en el siglo XXI
    1.2 Sistemas informáticos: hardware y software
    1.3 Una metodología de resolución de problemas de ingeniería Capítulo 2: Programas en C simples 2.1 Estructura del programa
    2.2 Constantes y Variables
    2.3 Declaraciones de asignación
    2.4 Entrada y salida estándar
    2.5 Solución de problemas aplicada: estimación de la altura a partir de la longitud de los huesos
    2.6 Técnica numérica: interpolación lineal
    2.7 Solución de problemas aplicada: temperatura de congelación del agua de mar
    2.8 Funciones matemáticas
    2.9 Funciones de los personajes
    2.10 Solución de problemas aplicada: cálculo de velocidad
    2.11 Limitaciones del sistema Capítulo 3: Estructuras de control y archivos de datos 3.1 Desarrollo de algoritmos
    3.2 Expresiones condicionales
    3.3 Declaraciones de selección - if / else, switch
    3.4 Solución de problemas aplicada: reconocimiento facial
    3.5 Estructuras de bucle
    3.6 Solución de problemas aplicada: interacción de ondas
    3.7 Archivos de datos Capítulo 4: Programación modular con funciones 4.1 Modularidad
    4.2 Funciones definidas por el programador
    4.3 Solución de problemas aplicada: cálculo de los límites del iris
    4.4 Solución de problemas aplicada: seguimiento de iceberg
    4.5 Números aleatorios
    4.6 Solución de problemas aplicada: confiabilidad de la instrumentación Capítulo 5: Matrices y matrices 5.1 Matrices unidimensionales
    5.2 Solución de problemas aplicada: Categorías de huracanes
    5.3 Solución de problemas aplicada: pesos moleculares
    5.4 Medidas estadísticas
    5.5 Solución de problemas aplicada: análisis de señales de voz
    5.6 Algoritmos de clasificación
    5.7 Algoritmos de búsqueda
    5.8 Matrices bidimensionales
    5.9 Solución de problemas aplicada: navegación por el terreno Capítulo 6: Programación con punteros 6.1 Direcciones y punteros
    6.2 Punteros a elementos de matriz
    6.3 Solución de problemas aplicada: datos de oscilación El Niño-Sur
    6.4 Punteros en referencias de funciones
    6.5 Solución de problemas aplicada: detección de eventos sísmicos
    6.6 Cadenas de caracteres
    6.7 Solución de problemas aplicada: secuenciación de ADN Capítulo 7: Programación con estructuras 7.1 Estructuras
    7.2 Usar funciones con estructuras
    7.3 Solución de problemas aplicada: análisis de huellas dactilares
    7.4 Matrices de estructuras
    7.5 Solución de problemas aplicada: Análisis de tsunamis Apéndice A: Biblioteca estándar ANSI C Apéndice B: Códigos de caracteres ASCII

    A menos que la universidad notifique lo contrario a los estudiantes, los cursos que se completen completamente en línea, o que ya tengan una reunión de cursos en línea programada previamente para el día de las inclemencias del tiempo, continuarán según lo previsto, incluso si la universidad está cerrada.

    Cuando se anuncia un cierre por nieve, todas las clases, independientemente de la modalidad (en persona, híbrida, sincrónica, totalmente en línea) se cancelan ese día. Este ajuste a la política de nieve de la Universidad es solo para el semestre de primavera de 2021. El ajuste se aplica a nuestros programas de pregrado y a todos nuestros programas de posgrado, excepto al CWSL, independientemente de si las clases de posgrado se llevan a cabo en el campus o fuera del campus. El CWSL tiene su propio plan.


    Conocimientos y habilidades cognitivas, metacognitivas y de resolución de problemas en la programación orientada a objetos

    Introducción

    No se comprende bien cómo las personas aprenden a programar y resolver un problema en ciencias de la computación (Traynor & amp Gibson, 2004: 2). Según Deek (1999: 1), aprender a programar es una tarea cognitiva compleja que incluye aprender el lenguaje de programación, comprender programas existentes, modificar programas escritos, componer nuevos programas y utilizar técnicas de depuración. En el proceso de aprendizaje de la programación orientada a objetos (POO), el estudiante debe saber qué objetos, comportamientos e interacciones son importantes en el dominio del problema. Es necesario perfeccionar la investigación que explora las dificultades de la POO, así como directrices sobre tipos específicos de conocimientos y habilidades para apoyar el aprendizaje de la POO (Or-Bach & amp Lavy, 2004: 82 Staats & amp Blum, 1999: 13). El conocimiento y las habilidades eficientes por parte del programador son necesarios durante los procesos de resolución de problemas, toma de decisiones, planificación y pensamiento crítico en OOP. El conocimiento se relaciona con la información y las habilidades adquiridas a través de la experiencia o la educación y también se refiere a lo que alguien sabe (Concise Oxford English Dictionary, 2004: 789 §1.3) El conocimiento declarativo se refiere al conocimiento de los hechos, mientras que el conocimiento procedimental se refiere al conocimiento de los procedimientos que pueden ser implementado en una tarea (Sternberg, 2006: 229). Ambos tipos de conocimiento son importantes en la programación orientada a objetos. Una habilidad puede definirse como la capacidad para realizar una tarea en particular (Concise Oxford English Dictionary, 2004: 1351 §1.3). La Fig. 3.1 muestra varios tipos de conocimientos y habilidades, cuya aplicación en POO se explora en este capítulo.Esto incluye el conocimiento y las habilidades cognitivas, metacognitivas y de resolución de problemas necesarios en OOP. Los bloques sombreados en la Fig. 3.1 presentan el objetivo, varios tipos de conocimientos y habilidades, y su aplicación en POO que se abordarán en este capítulo.Después de una explicación del enfoque y los conceptos de la programación orientada a objetos (§3.2), este El capítulo se centra en los conocimientos y habilidades cognitivos, metacognitivos y de resolución de problemas necesarios en POO. Estos tres temas se tratan en las Secciones 3.3, 3.4 y 3.5 respectivamente. El capítulo 4 se basa en el capítulo 3, ya que se centra correspondientemente en las estrategias cognitivas, metacognitivas y de resolución de problemas en la programación orientada a objetos. Además, varias pautas y medios prácticos de apoyo durante el aprendizaje de OOP se discuten con cierto detalle en diferentes secciones del capítulo.

    Programación orientada a objetos

    Existen diferentes enfoques, llamados paradigmas, de la forma en que un programador analiza, diseña e implementa un programa (Ragonis & amp Ben-Ari, 2005: 203). El paradigma orientado a objetos se defiende ampliamente a nivel internacional en muchas instituciones de educación superior (Or-Bach & amp Lavy, 2004: 82), y se introdujo en las universidades sudafricanas hace unos años. Esta sección desarrolla el paradigma orientado a objetos, el origen de los lenguajes de programación orientada a objetos, las notaciones y modelos de programación, así como los espacios de problemas y diseño en programación orientada a objetos.

    La necesidad de cambiar al paradigma orientado a objetos

    Era aconsejable cambiar al paradigma orientado a objetos debido a muchos problemas en el desarrollo de software:
    • Los lenguajes de programación necesitan una plataforma o sistema operativo específico. La mayoría de los programas deben ejecutarse en la plataforma Windows, pero los lenguajes de programación tradicionales, como Turbo Pascal, necesitan un sistema operativo basado en DOS y se produjeron muchos errores al
    dichos programas se ejecutaron dentro de un entorno basado en Windows (§1.2)
    • La programación en un entorno DOS era difícil sin una interfaz gráfica fácil de usar.
    • En el antiguo paradigma procedimental, el programa principal tenía el control. Dado que se permitió la declaración global de datos, resultó en dificultades para modificar y probar los programas porque los datos pueden cambiar en cualquier procedimiento (Rosson & amp Alpert, 1990: 356)
    • Los problemas de programación se volvieron más complejos y, en consecuencia, los programas se volvieron engorrosos (Yousoof et al., 2006: 259).
    El enfoque orientado a objetos aborda algunos de estos problemas. La programación orientada a objetos se basa en este enfoque, donde los objetos son modelos de entidades del mundo real que tienen la responsabilidad de realizar tareas específicas para resolver el problema (Garrido, 2003: 26-27). La mayoría de las aplicaciones de software pueden ejecutarse en una plataforma Windows, tienen una interfaz gráfica fácil de usar y cada objeto es responsable de su propio comportamiento (Shalloway & amp Trott, 2002: 6,12-15).

    Pagina del titulo
    Resumen
    Agradecimientos
    Tabla de contenido
    Lista de Figuras
    Lista de tablas
    Lista de segmentos del programa
    Apéndices
    CD
    Glosario de terminología
    1. Antecedentes teóricos y planteamiento del problema del mundo real
    1.1 Introducción
    1.2 Antecedentes
    1.3 Enunciado del problema, pregunta de investigación y subpreguntas
    1.4 Objetivos de la investigación
    1.5 Delineación y limitaciones
    1.6 Marco y metodología de la investigación
    1.7 Datos a recopilar e instrumentos de investigación
    1.8 Importancia del estudio
    1.9 Breves descripciones generales de los capítulos
    1.10 Conclusión
    2. Diseño y metodología de la investigación
    2.1 Introducción
    2.2 Paradigma epistemológico, diseño de investigación y metodología
    2.3 El paradigma interpretivista
    2.4 Práctica de la investigación: teoría fundamentada
    2.4.1 Resumen
    2.4.2 El proceso de generar una teoría fundamentada
    2.5 Consideraciones de investigación con respecto a este estudio
    2.5.1 Relevancia del interpretivismo
    2.5.2 Relevancia de la teoría fundamentada
    2.5.3 Fiabilidad, validez y reflexividad
    2.6 El paradigma positivista
    2.6.1 Relevancia del paradigma positivista
    2.6.2 Fiabilidad y validez
    2.7 Métodos de investigación: técnicas de recopilación de datos
    2.7.1 Plan de investigación y participantes
    2.7.2 Programa informático orientado a objetos
    2.7.3 Documento escrito: procesos de pensamiento de los participantes
    2.7.4 Cuestionario
    2.7.5 Aspectos éticos
    2.8 Métodos de investigación: técnicas de análisis de datos
    2.8.1 Análisis de programas informáticos
    2.8.2 Análisis de documentos textuales: utilizando el soporte de Atlas.ti
    2.8.3 Análisis de datos del cuestionario
    2.9 Software de análisis de datos cualitativos - Atlas.ti
    2.9.1 Aplicación de Atlas.ti
    2.9.2 La armonía entre la teoría fundamentada y Atlas.ti
    2.10 Conclusión del capítulo
    3. Conocimientos cognitivos, metacognitivos y de resolución de problemas y habilidades en programación orientada a objetos
    3.1 Introducción
    3.2 Programación orientada a objetos
    3.2.1 La necesidad de cambiar al paradigma orientado a objetos
    3.2.2 El origen de los lenguajes de programación orientados a objetos
    3.2.3 Una descripción general de la programación orientada a objetos
    3.2.3.1 Objeto
    3.2.3.2 Clase
    3.2.3.3 Atributos y métodos
    3.2.3.4 Constructores y destructores
    3.2.3.5 Abstracciones y asociaciones
    3.2.3.6 Polimorfismo y enlace dinámico
    3.2.3.7 Ventajas y desventajas de la programación orientada a objetos
    3.2.4 Programación de notaciones y modelos
    3.2.4.1 Patrones en programación orientada a objetos
    3.2.4.2 UML: una notación gráfica importante
    3.2.4.3 Tarjetas CRC
    3.2.5 Problemas y espacios de diseño en la programación orientada a objetos
    3.3 Conocimientos y habilidades cognitivas en la programación orientada a objetos
    3.3.1 Memoria, comprensión, razonamiento, toma de decisiones, pensamiento creativo y crítico en la programación orientada a objetos
    3.3.1.1 Memoria y carga cognitiva
    3.3.1.2 Comprensión, razonamiento, toma de decisiones, pensamiento creativo y crítico
    3.3.2 Taxonomía de Bloom
    3.3.3 Algunos medios prácticos de apoyo cognitivo
    3.4 Conocimientos y habilidades metacognitivas en la programación orientada a objetos
    3.4.1 Conocimiento metacognitivo en general
    3.4.2 Conocimiento metacognitivo en la programación orientada a objetos
    3.4.3 Algunos ejemplos prácticos de apoyo metacognitivo
    3.5 Conocimientos y habilidades de resolución de problemas en la programación orientada a objetos
    3.5.1 Factores relacionados con el nivel de dificultad de los problemas
    3.5.1.1 La estructuración de los problemas
    3.5.1.2 La complejidad de los problemas
    3.5.1.3 La dinámica de los problemas
    3.5.1.4 La especificidad del dominio o el contexto de los problemas
    3.5.2 Pasos para la resolución de problemas
    3.5.2.1 Comprensión del problema
    3.5.2.2 Diseño del programa
    3.5.2.3 Codificación del programa
    3.5.2.4 Prueba del programa
    3.5.3 Nivel de experiencia y resolución de problemas
    3.5.4 Algunos medios prácticos de apoyo durante la resolución de problemas
    3.6 Conclusión del capítulo
    4. Estrategias cognitivas, metacognitivas y de resolución de problemas en programación orientada a objetos
    4.1 Introducción
    4.2 Aspectos estratégicos del desempeño
    4.3 Estrategias cognitivas
    4.3.1 Estrategia de ensayo en programación orientada a objetos
    4.3.2 Estrategia de elaboración en programación orientada a objetos
    4.3.3 La estrategia de organización e integración en la programación orientada a objetos
    4.4 Estrategias metacognitivas
    4.4.1 Estrategia de planificación en la programación orientada a objetos
    4.4.2 Estrategia de seguimiento en la programación orientada a objetos
    4.4.3 Estrategia de regulación en la programación orientada a objetos
    4.4.4 Reflexión en la programación orientada a objetos
    4.5 Estrategias de resolución de problemas en programación orientada a objetos
    4.5.1 Estrategias de resolución de problemas durante la programación
    4.5.1.1 Estrategia de abajo hacia arriba
    4.5.1.2 Estrategia de arriba hacia abajo
    4.5.1.3 Estrategia integrada
    4.5.1.4 Estrategia según sea necesario
    4.5.1.5 Estrategia de prueba y error
    4.6 Conclusión del capítulo
    5. Investigación empírica y análisis de datos
    5.1 Introducción
    5.2 Análisis de los programas informáticos y los procesos de pensamiento de los participantes
    5.3 Análisis cualitativo de los procesos de pensamiento de los participantes utilizando el software Atlas.ti
    5.4 Análisis estadístico - cuestionario
    5.5 Triangulación entre diferentes métodos de análisis
    5.6 Medidas para garantizar el rigor y la calidad de los datos
    5.7 Resumen de los resultados de la investigación
    5.8 Conclusión del capítulo
    6. Discusión y conclusión
    6.1 Introducción
    6.2 Discusión de los hallazgos de este estudio
    6.3 Un repertorio de aprendizaje de conocimientos, habilidades y estrategias para la programación orientada a objetos
    6.4 Aplicación de este estudio a la enseñanza y el aprendizaje
    6.5 Recomendaciones y direcciones de investigación futuras
    6.6 Conclusión del capítulo
    Referencias

    OBTENGA EL PROYECTO COMPLETO
    UNA INVESTIGACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS, LAS HABILIDADES Y LAS ESTRATEGIAS DE LOS ESTUDIANTES DURANTE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA PROGRAMACIÓN OBJETIVA


    Problema 5

    Muchas pantallas de televisión son rectángulos que se miden por la longitud de sus diagonales. La relación entre la longitud horizontal y la altura en una pantalla de televisión estándar es 4 & # 160: 3. ¿La longitud horizontal de una pantalla de televisión de "27 pulgadas" es la más cercana, en pulgadas, a cuál de las siguientes?


    Paso 2: Analice el problema

    Durante este paso, un grupo debe analizar el problema y la relación del grupo con el problema. Mientras que el primer paso consistió en explorar el "qué" relacionado con el problema, este paso se centra en el "por qué". En esta etapa, los miembros del grupo pueden discutir las posibles causas de la dificultad. Los miembros del grupo también pueden querer comenzar a establecer una agenda o un cronograma para el proceso de resolución de problemas del grupo, esperando los otros pasos. Para analizar completamente el problema, el grupo puede discutir las cinco variables comunes del problema discutidas anteriormente. Aquí hay dos ejemplos de preguntas que el grupo formado para abordar las violaciones de la ética podría hacer: ¿Por qué nuestra ciudad no tiene un mecanismo de denuncia de ética? ¿Las ciudades de tamaño similar tienen tal mecanismo? Una vez analizado el problema, el grupo puede plantear una pregunta sobre el problema que guiará al grupo en la generación de posibles soluciones. "¿Cómo pueden los ciudadanos informar sospechas de violaciones éticas de los funcionarios de la ciudad y cómo se procesarán y abordarán dichos informes?" Como puede ver, la pregunta del problema es más compleja que el planteamiento del problema, ya que el grupo ha pasado a una discusión más profunda del problema durante el paso 2.


    Gorjeo

    Problema # 1
    Implementar un sistema de autocompletar. Es decir, dada una cadena de consulta sy un conjunto de todas las cadenas de consulta posibles, devuelve todas las cadenas del conjunto que tienen s como prefijo.
    Por ejemplo, dada la cadena de consulta de y el conjunto de cadenas [perro, ciervo, trato], devuelve [ciervo, trato].

    Insinuación: Intente preprocesar el diccionario en una estructura de datos más eficiente para acelerar las consultas.

    Problema # 2
    Ejecuta un sitio web de comercio electrónico y desea registrar los últimos N ID de pedido en un registro. Implemente una estructura de datos para lograr esto, con la siguiente API:

    • registro (order_id): agrega el order_id al registro
    • get_last (i): obtiene el i-ésimo último elemento del registro. Se garantiza que i sea menor o igual que N.

    Problema # 1
    Uber planteó este problema.
    Dada una matriz de enteros, devuelva una nueva matriz de modo que cada elemento en un índice i de la nueva matriz sea el producto de todos los números de la matriz original excepto el de i. Por ejemplo, si nuestra entrada fuera [1, 2, 3, 4, 5], la salida esperada sería [120, 60, 40, 30, 24]. Si nuestra entrada fuera [3, 2, 1], la salida esperada sería [2, 3, 6]


    4.3: Resolución de problemas

    Decidir sobre el valor de verdad de los enunciados matemáticos es un aspecto esencial de la práctica matemática en el que los estudiantes rara vez participan. Este estudio exploró los enfoques de los estudiantes de ingeniería de primer año a los enunciados matemáticos con valores de verdad desconocidos, tomando una perspectiva de que los ejemplos de construcción son una actividad de resolución de problemas. Las entrevistas basadas en tareas que utilizan el método de pensar en voz alta revelaron a los estudiantes los procesos de resolución de problemas en profundidad. Las fuentes de datos primarias fueron los protocolos de 15 estudiantes al cuestionario, tres declaraciones falsas involucraron conceptos básicos sobre derivada e integral definida. Mediante análisis de los datos. Los hallazgos sugieren que los factores que los participantes no resolvieron los problemas incluyen: la intuición matemática y el ejemplo del prototipo obstaculizaron la construcción de contraejemplos, hay dos peligros en la visualización: las figuras pueden inducir conclusiones falsas y las figuras pueden engañar nuestro razonamiento.

    Palabras clave: estudiantes de ingeniería, intuición, resolución de problemas, visualización

    Derechos de autor © 2015 Publicaciones de ciencia y educación. Reservados todos los derechos.

    Cite este artículo:

    • Chih-Hsien Huang. Resolución de problemas matemáticos y uso de la intuición y visualización por estudiantes de ingeniería. Revista estadounidense de investigación educativa. Vol. 3, núm. 12, 2015, págs. 1484-1488. http://pubs.sciepub.com/education/3/12/1
    • Huang, Chih-Hsien. "Resolución de problemas matemáticos y uso de la intuición y visualización por estudiantes de ingeniería". Revista estadounidense de investigación educativa 3.12 (2015): 1484-1488.
    • Huang, C. (2015). Resolución de problemas matemáticos y uso de la intuición y visualización por estudiantes de ingeniería. Revista estadounidense de investigación educativa, 3(12), 1484-1488.
    • Huang, Chih-Hsien. "Resolución de problemas matemáticos y uso de la intuición y visualización por estudiantes de ingeniería". Revista estadounidense de investigación educativa 3, no. 12 (2015): 1484-1488.

    De un vistazo: Figuras

    1. Introducción

    Determinar el valor de verdad de los enunciados matemáticos es un componente importante del proceso de resolución de problemas. Al lidiar con la incertidumbre, los matemáticos a menudo intentan decidir el valor de verdad de una declaración con cierto grado de confianza antes de invertir tiempo en una prueba o un intento de refutación [5, 15]. El proceso de prueba es complejo y abarca una multitud de actividades de razonamiento, incluido el razonamiento intuitivo, informal y formal. Formal el razonamiento se basa en la lógica y la deducción, y informal El razonamiento incluye estrategias de razonamiento como el razonamiento visual, basado en ejemplos o basado en patrones. Este estudio intenta explorar el uso del razonamiento intuitivo y visual en la resolución de problemas matemáticos avanzados por parte de estudiantes de ingeniería en un entorno de entrevista. A través de un análisis de los protocolos y respuestas de resolución de problemas de los estudiantes de ingeniería, examiné la relación entre la intuición y la visualización para justificar el valor de verdad del enunciado matemático. Este estudio explora (a) las formas en que la intuición y la visualización interactúan en el proceso de toma de decisiones, (b) las formas en que este proceso de toma de decisiones influye en las construcciones de los estudiantes de contraejemplos asociados para las declaraciones.

    2. Marco teórico

    La intuición es especialmente importante para decidir sobre el valor de verdad de un enunciado matemático porque puede sugerir lo que es plausible en ausencia de una prueba [4, 12] y “proporciona una justificación para, pero es anterior a, la búsqueda de un argumento convincente y , en definitiva, prueba ”[3]. En la limitada investigación sobre la intuición en la educación matemática, los investigadores han encontrado una variedad de tipos de razonamiento intuitivo utilizados por estudiantes y matemáticos para evaluar conjeturas matemáticas. Inglis y col. [15] encontró que el apoyo intuitivo de los matemáticos a la verdad o falsedad de un enunciado matemático se basaba en propiedades sospechosas sobre objetos matemáticos o en relaciones conocidas entre conceptos matemáticos. La intuición construye una representación mental automática de una tarea, teniendo en cuenta las señales de la tarea, el conocimiento previo y la experiencia, y opera independientemente de la memoria de trabajo [9, 11, 14]. En este estudio, una intuición es "una representación, una explicación o una interpretación directamente aceptada por nosotros como algo natural, evidente por sí mismo, intrínsecamente significativo, como un simple hecho dado" [10]. Fischbein [11] ofreció dos enfoques para clasificar las intuiciones, uno basado en roles u orígenes. En este sistema de clasificación, las intuiciones pueden ser afirmativas, conjeturales, anticipatorias o concluyentes. En el caso de una intuición afirmativa, se afirma o se hace una afirmación. Una intuición conjetural es aquella en la que se expresa una suposición sobre eventos futuros. Las intuiciones anticipatorias y concluyentes representan fases en el proceso de resolución de un problema. Las intuiciones anticipatorias expresan una visión global preliminar que precede a una solución analítica a un problema. Las intuiciones concluyentes resumen en una visión global y estructurada la solución a un problema previamente elaborado. Las intuiciones anticipatorias son la cognición que emerge implícitamente durante un intento de resolución de problemas, inmediatamente después de una búsqueda seria de una estrategia de resolución de problemas. Las intuiciones anticipatorias son holísticas y están asociadas con el sentimiento de convicción derivado de un razonamiento o prueba comprensivos.

    Se ha prestado cada vez más atención a la centralidad de la visualización en el aprendizaje y la realización de las matemáticas, no solo con fines ilustrativos, sino también como un componente clave del razonamiento [1]. Al considerar el papel de las imágenes visuales en la estructuración de las intuiciones, "vale la pena tener en cuenta que las representaciones visuales son no por sí mismos conocimiento intuitivo ”[11]. La visualización es un aspecto crítico del pensamiento, la comprensión y el razonamiento matemáticos. Los investigadores sostienen que el pensamiento visual es un recurso alternativo y poderoso para que los estudiantes hagan matemáticas [2, 6], es diferente del pensamiento lingüístico, lógico-proposicional y la manipulación de símbolos. Según Duval [8], la visualización se puede producir en cualquier registro de representación ya que se refiere a procesos ligados a la percepción visual y luego a la visión. Zimmerman y Cunningham [21] sostuvieron que el uso del término “visualización” se refería a un concepto o problema que involucraba la visualización. Nemirovsky y Noble definieron la visualización como una herramienta que penetraba o viajaba de un lado a otro entre las representaciones externas y las percepciones mentales de los alumnos [18]. Dreyfus sostuvo que lo que los estudiantes "ven" en una representación estaría vinculado a su estructura conceptual, y propuso además que la visualización debería ser considerada como una herramienta de aprendizaje [7]. Según Arcavi, la visualización tiene un papel poderoso en la promoción de la comprensión como soporte e ilustración de resultados simbólicos y como herramienta para resolver conflictos entre intuiciones incorrectas y soluciones correctas [1]. La visualización ayuda a captar el significado oculto de las definiciones formales. Arcavi enfatizó que la visualización es un modo operativo: para él, el proceso de resolución de un problema se realiza a través de la visualización [1].

    3. Método

    Los participantes en este estudio fueron 15 estudiantes de primer año de pregrado en una universidad de tecnología en Taiwán, que habían completado previamente cursos en derivadas e integrales definidas. Todos los estudiantes habían resuelto con éxito problemas de rutina. Se les entregó un cuestionario que incluía tres afirmaciones matemáticas falsas, y fue diseñado para evaluar la capacidad de los estudiantes para generar ejemplos (contraejemplos) relacionados con conceptos básicos de diferenciación e integración. Estos estudiantes nunca antes habían abordado problemas similares.

    Declaración 1: Si, entonces. ¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta.

    Declaración 2: Si y son diferenciables y, entonces,. ¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta.

    Declaración 3: ¿Si y son diferenciables y, entonces, verdadero o falso? Justifica tu respuesta.

    Se pidió a los estudiantes que determinaran la precisión de los enunciados matemáticos y justificaran sus respuestas. Se recopilaron datos sobre los ejemplos (contraejemplos) que fueron producidos por los participantes. Cada alumno trabajó individualmente en cada problema. La investigación se llevó a cabo mediante entrevistas clínicas. En caso de dificultad, el entrevistador también actuó como apuntador. Las entrevistas se grabaron en audio y se recopilaron las notas y cifras de los sujetos.

    Los datos generados a partir de (a) las transcripciones de las entrevistas basadas en tareas de los participantes utilizando el método de pensar en voz alta, y (b) el trabajo escrito de los participantes sobre las tareas en las entrevistas se analizaron utilizando el enfoque de teoría fundamentada [13]. El procedimiento de análisis de datos involucró procesos de codificación abiertos, axiales y selectivos para datos cualitativos, siguiendo a Strauss y Corbin, para producir categorías descriptivas [20]. Los datos se analizaron de acuerdo con los usos del razonamiento intuitivo y visual durante los procesos de los participantes para decidir si el enunciado matemático era verdadero o falso y construir contraejemplos. Además, se analizaron los procesos de toma de decisiones y construcción de los estudiantes para determinar la toma de decisiones de los estudiantes y las conexiones entre estos procesos. Clasificaré el razonamiento como intuitivo si el estudiante (a) declaró que fue una intuición, instinto, instinto o primer pensamiento (b) usó la similitud para hacer una evaluación de la tarea o (c) no pudo justificar el razonamiento. El razonamiento se clasificará como visual si el estudiante (a) presenta diagramas (b) piensa explícitamente en imágenes o diagramas en lugar de representaciones algebraicas.

    4. Datos y análisis empíricos

    Cinco estudiantes, incluido S4, cometieron errores lógicos al generar ejemplos de apoyo.

    S4: Una integral mayor corresponde a una función mayor. Por ejemplo, dado y, es mayor que. La integral de 0 a 1 es 4/3, que también es mayor que la integral de 1/3 en el mismo intervalo.

    E: La condición es que la integral de es mayor que la integral de, pero dijiste que el enunciado es verdadero porque cuanto mayor es la integral, mayor es la función.

    S4: (Ocho segundos de silencio) Me equivoco. Debería encontrar dos integrales diferentes, y luego ... (12 de silencio) No tengo ni idea. Olvidé cómo hacerlo.

    Seis estudiantes utilizaron representaciones gráficas para generar ejemplos que respalden sus afirmaciones. Aunque conectaron integrales con áreas, no entendieron la verdadera relación entre las dos. Una respuesta típica es la siguiente.

    S6: La integral representa el área bajo la curva. Una integral mayor corresponde a un área mayor [Figura 1]. Aquí, la integral mayor está representada por la gráfica superior, por lo que la función es mayor.

    I: Dibujó gráficas de funciones sobre el eje x. Si estuvieran debajo del eje x, o uno estuviera por encima del eje x y el otro estuviera debajo del eje x, ¿los resultados serían los mismos?

    S6: El resultado sería el mismo, siempre que el gráfico de arriba del gráfico de.

    Seis estudiantes afirmaron que el enunciado era falso, pero proporcionaron un contraejemplo que no pudo refutar el enunciado; tampoco entendieron la relación entre integrales y áreas.

    S9: Una integral es un área, por lo que una integral más grande significa un área más grande. El área delimitada por y el eje x es mayor que la delimitada por y el eje x [Figura 2]. Sin embargo, es más pequeño que.

    I: El valor integral puede ser negativo, pero el área es positiva.

    S9: (Diez segundos de silencio) Si el área está por encima del eje x, entonces la integral es igual al área. Si el área debajo del eje x, entonces el valor absoluto de la integral es igual al área. (Diez segundos de silencio) Creo que cometí un error, la afirmación es correcta.

    Solo un estudiante determinó con precisión el valor de verdad del enunciado 1; adoptó una estrategia de prueba y error para generar ejemplos para evaluar el enunciado, hasta que construyó un contraejemplo:

    S13: En el gráfico [Figura 3] que dibujé, el área que está delimitada por y el eje x excede la delimitada por y el eje x es, por lo tanto, la integral de en [a, b] es mayor que la integral de en [a, b]. Sin embargo, el valor de la función de en el intervalo [a, c] es menor que el valor de la función de en el intervalo [a, c]. Por tanto, la afirmación es incorrecta.

    Cinco estudiantes determinaron que la Declaración 2 era cierta, no definieron el rango de la variable y, por lo tanto, no pudieron generar ejemplos de apoyo. S5 respondió normalmente.

    S5: Si y, entonces es mayor que,, y es mayor que.

    YO: Por qué no siempre es mayor que.

    S5: La afirmación es obviamente cierta, por ejemplo, si x es igual a 1, ya que el valor de es 2 es mayor que el valor de es 1.

    Cuatro estudiantes, incluido S7, dieron ejemplos similares pero refutaron la afirmación.

    S7: y es mayor que, y. Cuando x es menor que 1/2, es mayor que.

    I: Cuando x es menor que 1/2, es F siempre mayor que gramo?

    S7: No. no es mayor que, x debe ser menor que 1/2 y debe ser mayor que x. ¡Oh! Veo. Para este ejemplo, x debe ser menor que cero.

    Estos estudiantes se enfocaron en la manipulación algebraica, pero no apreciaron la importancia del dominio. Cuatro estudiantes que refutaron esta afirmación notaron los efectos de las constantes en el proceso de diferenciación. S8, por ejemplo, también notó el dominio de las funciones, “Dado que los términos constantes se vuelven cero después de la diferenciación y la constante de integración afecta el valor de la función. Por ejemplo, 0 ≦ x ≦ 10, F es mayor que gramo, y, y y es mayor que ". Dos estudiantes utilizaron representaciones gráficas y pendientes de tangentes para argumentar que el enunciado matemático era falso (Figura 4). Curiosamente, todos estos estudiantes marcaron el dominio de las funciones en las gráficas. Por ejemplo,

    S12: Creo que una función mayor no implica una derivada mayor. Esta afirmación es falsa. Por tanto, me gustaría encontrar un contraejemplo para probar su falsedad. La gráfica de está por encima de la de gramo. La gráfica de gramo es una línea recta con pendiente constante. Sin embargo, la pendiente de en el intervalo de (a, b) no siempre es mayor que la de. Por tanto, he probado que esta afirmación es falsa.

    El enunciado 3 es lo opuesto al enunciado 2. Sin embargo, los estudiantes se comportaron de manera diferente en sus respuestas a estos dos enunciados, revelando que el enunciado 3 fue más difícil de evaluar que el enunciado 2. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes no notaron el intervalo ni generaron ejemplos. o contraejemplos para confirmar o refutar la afirmación. Por ejemplo, S1 consideró y, y afirmó que es mayor que, y luego proporcionó y, y afirmó que es mayor que gramo. Este alumno no se dio cuenta de que este ejemplo no cumplía las condiciones del enunciado, ignorando el rango de x y la constante de integración. A diferencia de S1, S11 dijo que la afirmación era cierta y utilizó una representación simbólica para generar un ejemplo de apoyo. Sin embargo, descuidó la constante arbitraria c. Ella consideró y, afirmando que es mayor que gramo ′ (X), porque todo es es, y es mayor que, para todos.

    E: ¿Son estos dos valores de c iguales?

    S11: Son iguales, porque ambos son c.

    S11: No. c puede ser cualquier constante.

    E: Entonces estas dos constantes, c, pueden ser cualquier constante, ¿verdad?

    S11: Sí, pero (10 segundos de silencio) Cometí un gran error, c puede ser cualquier constante, por lo que estas dos "c" pueden ser diferentes. No se me ocurrió. (Siete segundos de silencio) Ahora afirmo que esta afirmación no es cierta, la constante c de es menos 100, y la constante c de es 100, y x debería estar entre cero y uno.

    Un estudiante generó con éxito contraejemplos usando representación algebraica. A diferencia de S11, S15 notó el efecto de la constante de integración y el rango de la variable que consideró “, y afirmó que es mayor que, alegando que para es, es y es mayor que gramo, si 0 ≦ x ≦ 10, y. ” Dos estudiantes utilizaron representaciones gráficas para generar contraejemplos. Por ejemplo, S2 conectó las derivadas a la pendiente de la tangente [Figura 5]: “las pendientes de las tangentes de son mayores que cero las pendientes de las tangentes de son menores que cero, entonces es mayor que, pero gramo es mayor que en el intervalo [a, c 1] ". Como en sus respuestas a la Declaración 3, estos dos estudiantes marcaron el dominio de las funciones en sus gráficos.

    5. Discusión y Conclusión

    A partir del comportamiento de resolución de problemas de los estudiantes de este estudio, y de juzgar los enunciados matemáticos, el tipo de intuición que se puede utilizar para los estudiantes clasificados en este tipo de ejercicio es la intuición afirmativa. Al planificar la solución, los estudiantes utilizaron la intuición para intentar utilizar representaciones simbólicas y gráficas. Esta intuición se clasifica como intuición anticipatoria. Al implementar la solución con éxito, la intuición se utiliza a modo de prueba y error, el tipo de intuición que se utiliza en este tipo de aprendizaje del estudiante se clasifica como intuición anticipatoria.

    Los errores intuitivos sistemáticos son errores de razonamiento intuitivo que causan tergiversaciones de situaciones y persisten en situaciones y personas. Muchos estudiantes cometieron errores lógicos al decidir el valor de verdad del enunciado matemático (por ejemplo, S4). Según Fischbein [11], podemos afirmar que la (falsa) equivalencia entre un enunciado y el inverso es una intuición. Además, es importante orientar a los estudiantes a la conciencia de la estructura de sus argumentaciones, de modo que el conocimiento de la no equivalencia entre el enunciado y el recíproco se convierta en un conocimiento intuitivo. Como escribió Fischbein [11]:

    El entrenamiento de las capacidades lógicas es una condición básica para el éxito en la educación matemática y científica. No nos referimos solo a un entrenamiento formal-algorítmico. La principal preocupación debe ser la conversión de estos esquemas mentales en herramientas intuitivas eficientes, es decir, en mecanismos incorporados orgánicamente en las habilidades conductuales mentales del individuo.

    El participante de este estudio también sostiene la falsa intuición 'Más A-Más B' [19] en el enunciado 1, por ejemplo, 'Cuanto mayor es la función, mayor es la integralis' (S4) Y 'Con una mayor integral, la el área es mayor '(S6). Lo interesante es que los estudiantes no tienen una falsa intuición similar con respecto al enunciado 2 y el enunciado 3 sobre el concepto de derivada, sino sobre el concepto de función. Como S10, porque 2 es mayor que 1, entonces 'es mayor que porque 4 es mayor que 2, entonces' es mayor que. La diferenciación suele ser más fácil que la integración y la representación del área es más fácil que la representación de la pendiente de la tangente, de acuerdo con los procesos de resolución de problemas de los participantes. Este hallazgo muestra que la complejidad del cálculo del enunciado matemático involucrado y la intensidad de su conexión con la representación gráfica. Estas observaciones parecen relacionarse con la inclinación de los estudiantes a utilizar leyes intuitivas. Muchos errores intuitivos sistemáticos pueden clasificarse como errores de accesibilidad [14, 16]. La accesibilidad es la facilidad con la que se evoca cierto conocimiento o se perciben ciertas características de la tarea y es un componente crucial del razonamiento intuitivo y la toma de decisiones [16]. Estos errores intuitivos implican la sustitución de atributos [16], cuando un atributo más fácilmente accesible se sustituye en una tarea por un atributo menos accesible. Por ejemplo, la similitud es un atributo al que siempre se puede acceder porque se procesa de forma intuitiva [17]. Los participantes pueden notar intuitivamente similitudes entre un concepto dado (integral, o) y un concepto familiar (área, 2 o 4) y sustituir atributos más accesibles por otros menos accesibles basados ​​en estas similitudes.

    5.2. Uso del razonamiento visual por parte de los estudiantes

    Una de las principales estrategias heurísticas en muchas tareas de cálculo es dibujar un gráfico de la función involucrada. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes tenía una fuerte inclinación a utilizar la representación simbólica. Lo interesante es que, incluso si los estudiantes usan representaciones gráficas para generar ejemplos, solo unos pocos estudiantes podrían generar contraejemplos correctos. Una posible razón es que no existe un componente visual en su imagen conceptual de la integral derivada y definida, esto les dificulta “ver” los enunciados. Esto es particularmente cierto para el enunciado 1. Es difícil encontrar un contraejemplo apropiado si no se puede expandir la imagen de concepto limitado. La expansión más significativa en el concepto evocado de imagen de función, en términos de estar asociado con eventos de aprendizaje, es el uso de visualización en el sentido de Zimmermann y Cunningham: “La visualización matemática es el proceso de formar imágenes (mentalmente, o con lápiz y papel, o con la ayuda de la tecnología) y utilizar esas imágenes de manera eficaz para el descubrimiento y la comprensión matemática ”[21]. ¿Por qué es importante la visualización? Los ejemplos generados por los estudiantes muestran que quienes usaron la representación simbólica no pudieron cumplir con la condición ”. Por el contrario, el uso de la representación gráfica permite a los estudiantes controlar más condiciones asumidas al mismo tiempo mientras genera un contraejemplo. La idea global, pero no local, que tenía el gráfico podría asociarse con la declaración, permitiendo que el gráfico actúe como una especie de ejemplo genérico. En otras palabras, la visualización permitió a los estudiantes controlar un mayor número de condiciones simultáneamente, mientras que en la representación simbólica los estudiantes solo pueden controlar un requisito a la vez. Este hallazgo proporcionó cierto apoyo para corroborar la afirmación de Fischbein de que la visualización "no solo organiza los datos disponibles en estructuras significativas, sino que también es un factor importante que guía el desarrollo analítico de una solución" [11]. Sugerimos que la visualización puede ser más que eso: puede ser el proceso analítico en sí mismo el que concluye con una solución genérica.

    Hay dos peligros al visualizar. El primer peligro al visualizar es que las cifras pueden inducir a conclusiones falsas. De hecho, en este caso (por ejemplo, S8 y S9), no es la cifra la que es incorrecta y la que nos lleva a la falsa conclusión. Más bien, lo que induce a error es el razonamiento "detrás" de la figura. Estas hipótesis incorrectas —expresadas proposicionalmente— activaron una cifra inexacta, y esto es lo que lleva a una conclusión falsa. Sin embargo, esto no significa que la figura sea incorrecta como figura. Más bien es el papel de esta figura como la activación de algunas hipótesis incorrectas. Por tanto, el error está en el razonamiento informal que está detrás de la construcción de estas cifras, y no en las propias cifras, ni en la posibilidad de ponerlas a prueba. Este tipo de error en el uso de figuras es previsual, ya que depende de hipótesis erróneas que se hacen antes de dibujar las figuras. El segundo peligro al visualizar es que flas cifras pueden engañar unos razonamiento. Esto puede suceder cuando el razonamiento se realiza sobre la imagen particular que representa el enunciado matemático sin considerar las consecuencias que éste implica. Con respecto al rendimiento de resolución de problemas de S2 y S6, aunque los estudiantes conocen los conceptos matemáticos de derivada e integral definida, no son capaces de resolver los enunciados matemáticos. Este tipo de errores en el uso de figuras son post-visuales, ya que dependen de hipótesis erróneas que se hacen sobre la figura dibujada.

    Si consideramos ejemplos tomados de la resolución de problemas matemáticos, vemos que el atractivo de la visualización no es directo, porque depende en gran medida de la experiencia. Además, el descubrimiento por visualización está mediado por la intuición de la generalidad de las conclusiones obtenidas por medio de él. Sin embargo, la intuición y la visualización son partes interconectadas de una vasta red de conocimiento que da como resultado el aprendizaje y la aplicación de la resolución de un problema matemático. Es la preservación de estas interconexiones lo que permite intuir la generalidad de alguna conclusión y la consecuente estabilización de ciertas creencias.

    Reconocimiento

    Este artículo es parte de un proyecto que cuenta con el apoyo del Consejo Nacional de Ciencias de Taiwán (NSC 102-2511-S-131-001-MY3).


    4.3: Resolución de problemas

    4. Evalúa ( displaystyle iint limits_ < right) , dA >> ) donde (D ) es la región delimitada por (y = 1 - ) y (y = - 3).

    Mostrar todos los pasos Ocultar todos los pasos

    A continuación se muestra un bosquejo rápido de la región (D ).

    En general, este esquema es a menudo importante para configurar correctamente la integral. Tendremos que determinar el orden de integración y, a menudo, la región "forzará" un orden en particular. Muchas regiones solo pueden tratarse fácilmente haciendo un orden particular de integración y, a veces, la única forma de verlo realmente es tener un boceto de (D ).

    Incluso si puede hacer la integral en cualquier orden, el esquema de (D ) a menudo le ayudará a establecer los límites para las integrales.

    Con este problema, la región solo está configurada para integrar (y ) primero. La integración de (x ) primero requeriría dos integrales (las funciones derecha / izquierda cambian) y los límites para las (x ) serían un poco complicados de manejar.

    Entonces, aquí están los límites para esta integral.

    [empezar - sqrt 2 le x le sqrt 2 - 3 le y le 1 - final]

    Los límites de (x ) se pueden encontrar fácilmente igualando las dos ecuaciones y despejando (x ).

    Aquí está la configuración integral para la integración (y ) primero.

    Aquí está la integración (y ).

    Con este problema tenemos dos opciones para tratar la simplificación del integrando. Será necesario simplificar los términos 3º y 4º. Sin embargo, los términos 1 y 2 pueden simplificarse, y no son tan difíciles de simplificar o podríamos hacer sustituciones bastante rápidas de Cálculo I para cada uno de ellos.

    Si multiplica todo, obtendrá la siguiente integral.

    Hay muchas cancelaciones con este integrando. Sin embargo, no es obvio que habría tantas cancelaciones a primera vista y la multiplicación requerida para hacer la cancelación es del tipo en el que es fácil pasar por alto un signo menos y obtener el integrando incorrecto y luego una respuesta incorrecta.

    Entonces, hagamos también la ruta de sustitución para ver la diferencia. Hacer eso da

    Entonces, la misma respuesta que no debería ser muy sorprendente, pero un proceso de integración y evaluación un poco más complicado. El camino que eligió tomar y el que cree que es el más fácil de los dos probablemente dependa mucho de la persona.Sin embargo, como se muestra, obtendrá la misma respuesta, por lo que no tendrá que preocuparse por eso.


    4.3 Segunda ley del movimiento de Newton: concepto de sistema

    La segunda ley del movimiento de Newton está estrechamente relacionada con la primera ley del movimiento de Newton. Enuncia matemáticamente la relación de causa y efecto entre la fuerza y ​​los cambios en el movimiento. La segunda ley del movimiento de Newton es más cuantitativa y se usa ampliamente para calcular lo que sucede en situaciones que involucran una fuerza. Antes de que podamos escribir la segunda ley de Newton como una ecuación simple que dé la relación exacta de fuerza, masa y aceleración, necesitamos afinar algunas ideas que ya se han mencionado.

    Primero, ¿qué entendemos por cambio de movimiento? La respuesta es que un cambio de movimiento equivale a un cambio de velocidad. Un cambio de velocidad significa, por definición, que hay una aceleración. La primera ley de Newton dice que una fuerza externa neta causa un cambio en el movimiento, por lo tanto, vemos que un la fuerza externa neta causa aceleración.

    Inmediatamente surge otra pregunta. ¿Qué entendemos por fuerza externa? Una noción intuitiva de externo es correcta: una fuerza externa actúa desde fuera del sistema de interés. Por ejemplo, en la Figura 4.5 (a), el sistema de interés es el vagón más el niño en él. Las dos fuerzas ejercidas por los otros niños son fuerzas externas. Una fuerza interna actúa entre los elementos del sistema. Volviendo a mirar la figura 4.5 (a), la fuerza que ejerce el niño en el vagón para colgarse del vagón es una fuerza interna entre los elementos del sistema de interés. Solo las fuerzas externas afectan el movimiento de un sistema, según la primera ley de Newton. (Las fuerzas internas en realidad se cancelan, como veremos en la siguiente sección). Debe definir los límites del sistema antes de poder determinar qué fuerzas son externas.. A veces, el sistema es obvio, mientras que otras veces la identificación de los límites de un sistema es más sutil. El concepto de sistema es fundamental para muchas áreas de la física, al igual que la aplicación correcta de las leyes de Newton. Este concepto será revisado muchas veces en nuestro viaje a través de la física.

    Ahora, parece razonable que la aceleración sea directamente proporcional ay en la misma dirección que la fuerza externa neta (total) que actúa sobre un sistema. Esta suposición se ha verificado experimentalmente y se ilustra en la Figura 4.5. En el inciso a), una fuerza menor provoca una aceleración menor que la fuerza mayor ilustrada en el inciso c). Para completar, también se muestran las fuerzas verticales que se supone que se cancelan ya que no hay aceleración en la dirección vertical. Las fuerzas verticales son el peso w w tamaño 12 <> y el apoyo del suelo N N tamaño 12 <>, y la fuerza horizontal f f tamaño 12 <> representa la fuerza de fricción. Estos se discutirán con más detalle en secciones posteriores. Por ahora, definiremos la fricción como una fuerza que se opone al movimiento entre sí de los objetos que se tocan. La figura 4.5 (b) muestra cómo los vectores que representan las fuerzas externas se suman para producir una fuerza neta, F neto F tamaño neto 12 > > <> .

    Para obtener una ecuación para la segunda ley de Newton, primero escribimos la relación de aceleración y fuerza externa neta como la proporcionalidad

    donde el símbolo ∝ ∝ significa "proporcional a" y F neto F tamaño neto 12 >> <> es la fuerza externa neta. (La fuerza externa neta es la suma vectorial de todas las fuerzas externas y se puede determinar gráficamente, usando el método de la cabeza a la cola, o analíticamente, usando componentes. Las técnicas son las mismas que para la suma de otros vectores, y están cubiertas en cinemática bidimensional.) Esta proporcionalidad establece lo que hemos dicho en palabras:la aceleración es directamente proporcional a la fuerza externa neta. Una vez elegido el sistema de interés, es importante identificar las fuerzas externas e ignorar las internas. Es una tremenda simplificación no tener que considerar las numerosas fuerzas internas que actúan entre los objetos dentro del sistema, como las fuerzas musculares dentro del cuerpo del niño, y mucho menos la miríada de fuerzas entre los átomos en los objetos, pero al hacerlo, podemos fácilmente resolver algunos problemas muy complejos con un error mínimo debido a nuestra simplificación

    Ahora, también parece razonable que la aceleración sea inversamente proporcional a la masa del sistema. En otras palabras, cuanto mayor es la masa (la inercia), menor es la aceleración producida por una fuerza dada. Y de hecho, como se ilustra en la Figura 4.6, la misma fuerza externa neta aplicada a un automóvil produce una aceleración mucho menor que cuando se aplica a una pelota de baloncesto. La proporcionalidad se escribe como

    Se ha encontrado que la aceleración de un objeto depende solo sobre la fuerza externa neta y la masa del objeto. La combinación de las dos proporcionalidades dadas da como resultado la segunda ley del movimiento de Newton.

    Segunda ley del movimiento de Newton

    La aceleración de un sistema es directamente proporcional ay en la misma dirección que la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema, e inversamente proporcional a su masa.

    En forma de ecuación, la segunda ley del movimiento de Newton es

    Esto a menudo se escribe en la forma más familiar.

    Cuando solo se consideran la magnitud de la fuerza y ​​la aceleración, esta ecuación es simplemente

    Aunque estas dos últimas ecuaciones son realmente iguales, la primera da más información sobre lo que significa la segunda ley de Newton. La ley es una relación de causa y efecto entre tres cantidades que no se basa simplemente en sus definiciones. La validez de la segunda ley se basa completamente en la verificación experimental.

    Unidades de fuerza

    Mientras que casi todo el mundo usa el newton como unidad de fuerza, en los Estados Unidos la unidad de fuerza más familiar es la libra (lb), donde 1 N = 0.225 lb.

    Peso y fuerza gravitacional

    Peso

    Esta es la ecuación para peso—La fuerza gravitacional sobre una masa m m tamaño 12 <> :

    Cuando la fuerza externa neta sobre un objeto es su peso, decimos que está en caída libre. Es decir, la única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza de gravedad. En el mundo real, cuando los objetos caen hacia la Tierra, nunca están realmente en caída libre porque siempre hay alguna fuerza ascendente del aire que actúa sobre el objeto.

    La definición más amplia de peso en este sentido es que el peso de un objeto es la fuerza gravitacional sobre él desde el cuerpo grande más cercano, como la Tierra, la Luna, el Sol, etc. Esta es la definición de peso más común y útil en física. Sin embargo, difiere drásticamente de la definición de peso utilizada por la NASA y los medios populares en relación con los viajes y la exploración espaciales. Cuando hablan de "ingravidez" y "microgravedad", en realidad se refieren al fenómeno que llamamos "caída libre" en física. Usaremos la definición anterior de peso y haremos una cuidadosa distinción entre caída libre e ingravidez real.

    Es importante tener en cuenta que el peso y la masa son cantidades físicas muy diferentes, aunque están estrechamente relacionadas. La masa es la cantidad de materia (cuánta "materia") y no varía en la física clásica, mientras que el peso es la fuerza gravitacional y varía dependiendo de la gravedad. Es tentador equiparar los dos, ya que la mayoría de nuestros ejemplos tienen lugar en la Tierra, donde el peso de un objeto solo varía un poco con la ubicación del objeto. Además, los términos masa y peso se usan indistintamente en el lenguaje cotidiano, por ejemplo, nuestros registros médicos a menudo muestran nuestro "peso" en kilogramos, pero nunca en las unidades correctas de newton.

    Conceptos erróneos comunes: masa frente a peso

    La masa y el peso a menudo se usan indistintamente en el lenguaje cotidiano. Sin embargo, en ciencia, estos términos son claramente diferentes entre sí. La masa es una medida de la cantidad de materia que hay en un objeto. La medida típica de masa es el kilogramo (o la "babosa" en unidades inglesas). El peso, por otro lado, es una medida de la fuerza de gravedad que actúa sobre un objeto. El peso es igual a la masa de un objeto (m m tamaño 12 <>) multiplicado por la aceleración debida a la gravedad (g g tamaño 12 <>). Como cualquier otra fuerza, el peso se mide en newtons (o libras en unidades inglesas).

    Experimento para llevar a casa: masa y peso

    ¿Qué miden las básculas de baño? Cuando te pones en una báscula de baño, ¿qué pasa con la báscula? Se deprime levemente. La báscula contiene resortes que se comprimen en proporción a su peso, similar a las bandas de goma que se expanden cuando se tira. Los resortes proporcionan una medida de su peso (para un objeto que no acelera). Esta es una fuerza en newtons (o libras). En la mayoría de los países, la medida se divide por 9.80 para dar una lectura en unidades de masa de kilogramos. La báscula mide el peso pero está calibrada para proporcionar información sobre la masa. Mientras está de pie sobre una báscula de baño, empuje hacia abajo una mesa a su lado. ¿Qué pasa con la lectura? ¿Por qué? ¿Su báscula mediría la misma "masa" en la Tierra que en la Luna?

    Ejemplo 4.1

    ¿Qué aceleración puede producir una persona al empujar una cortadora de césped?

    Suponga que la fuerza externa neta (empuje menos fricción) ejercida sobre una cortadora de césped es 51 N (aproximadamente 11 lb) paralela al suelo. La masa de la segadora es de 24 kg. ¿Cuál es su aceleración?


    Ver el vídeo: Esto es algo que no sabías que puedes hacer en CS:GO.. Mejora 4:3 (Septiembre 2021).