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7.4: Resolver ecuaciones racionales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Resolver ecuaciones racionales
    • Resolver ecuaciones racionales limpiando denominadores.
    • Identificar soluciones extrañas en una ecuación racional.
    • Resolver para una variable en una fórmula racional
  • Aplicaciones de ecuaciones racionales
    • Identificar los componentes de una ecuación de trabajo.
    • Resolver una ecuación de trabajo
    • Definir y escribir una proporción.
    • Resolver problemas proporcionales que involucran dibujos a escala.
    • Definir variación directa y resolver problemas que involucren variación directa.
    • Definir variación inversa y resolver problemas que involucran variación inversa.
    • Definir variación conjunta y resolver problemas que involucran variación conjunta.

Las ecuaciones que contienen expresiones racionales se llaman ecuaciones racionales. Por ejemplo, ( frac {2x + 1} {4} = frac {x} {3} ) es una ecuación racional. Las ecuaciones racionales pueden ser útiles para representar situaciones de la vida real y para encontrar respuestas a problemas reales. En particular, son bastante buenos para describir una variedad de relaciones proporcionales.

Una de las formas más sencillas de resolver una ecuación racional es eliminar los denominadores con el denominador común y luego usar propiedades de igualdad para aislar la variable. Este método se usa a menudo para resolver ecuaciones lineales que involucran fracciones como en el siguiente ejemplo:

Resuelve ( frac {1} {2} x-3 = 2- frac {3} {4} x ) despejando primero las fracciones de la ecuación.

Multiplica ambos lados de la ecuación por 4, el denominador común de los coeficientes fraccionarios.

( begin {array} {c} frac {1} {2} x-3 = 2- frac {3} {4} x 4 left ( frac {1} {2} x-3 right) = 4 left (2- frac {3} {4} x right) texto {} , , , , 4 left ( frac {1} {2} x derecha) -4 izquierda (3 derecha) = 4 izquierda (2 derecha) +4 izquierda (- frac {3} {4} x derecha) 2x-12 = 8-3x subrayado {+ 3x} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , subrayado {+ 3x} 5x-12 = 8 , , , , , , , , , , , , , , , subrayado {+12} , , , , underline {+12} 5x = 20 x = 4 end {matriz} )

Podríamos haber encontrado un denominador común y trabajar con fracciones, pero eso a menudo conduce a más errores. Podemos aplicar la misma idea para resolver ecuaciones racionales. La diferencia entre una ecuación lineal y una ecuación racional es que las ecuaciones racionales pueden tener polinomios en el numerador y denominador de las fracciones. Esto significa que borrar el denominador a veces puede significar multiplicar toda la ecuación racional por un polinomio. En el siguiente ejemplo, limpiaremos los denominadores de una ecuación racional con términos que tienen un polinomio en el numerador.

Ejemplo

Resuelve la ecuación (2 cdot2 cdot2 ), o 8, será el MCM.

( begin {array} {l} 4 = 2 cdot2 8 = 2 cdot2 cdot2 cdot2 text {LCM} = 2 cdot2 cdot2 text {LCM} = 8 end {formación})

El MCM de 4 y 8 también es el mínimo común denominador para las dos fracciones.

Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común, 8, para mantener la ecuación equilibrada y eliminar los denominadores.

( begin {array} {r} 8 cdot frac {x + 5} {8} = frac {7} {4} cdot 8 , , , , , , , frac {8 (x + 5)} {8} = frac {7 (8)} {4} , , , , , , \ frac {8} { 8} cdot (x + 5) = frac {7 (4 cdot 2)} {4} \ frac {8} {8} cdot (x + 5) = 7 cdot 2 cdot frac {4} {4} 1 cdot (x + 5) = 14 cdot 1 , , , end {matriz} )

Simplifica y resuelve X.

( begin {matriz} {r} x + 5 = 14 x = 9 , , , end {matriz} )

Verifique la solución sustituyendo 9 por X en la ecuación original.

( begin {array} {r} frac {x + 5} {8} = frac {7} {4} \ frac {9 + 5} {8} = frac {7} { 4} \ frac {14} {8} = frac {7} {4} \ frac {7} {4} = frac {7} {4} end {array} )

Respuesta

(x = 9 )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo resolver una ecuación racional con un binomio en el denominador de un término. Usaremos el denominador común para eliminar los denominadores de ambas fracciones. Tenga en cuenta que el LCD es el producto de ambos denominadores porque no comparten ningún factor común.

Ejemplo

Resuelve la ecuación ( frac {8} {x + 1} = frac {4} {3} ).

[revel-answer q = ”331190 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”331190 ″] Limpia los denominadores multiplicando cada lado por el denominador común. El denominador común es (3 text {y} x + 1 ) no tiene ningún factor común.

( begin {array} {c} 3 left (x + 1 right) left ( frac {8} {x + 1} right) = 3 left (x + 1 right) left ( frac {4} {3} right) end {array} )

Simplifica los factores comunes.

( begin {array} {c} 3 cancel { left (x + 1 right)} left ( frac {8} { cancel {x + 1}} right) = cancelar {3} left (x + 1 right) left ( frac {4} { cancel {3}} right) 24 = 4 left (x + 1 right) 24 = 4x + 4 end {formación})

Ahora, esto parece una ecuación lineal, y podemos usar las propiedades de la igualdad de suma y multiplicación para resolverlo.

( begin {array} {c} 24 = 4x + 4 subrayado {-4} , , , , , , , , , , , , , , subrayado {-4} 20 = 4x , , , , , , , , x = 5 , , , , , , , , , end {matriz} )

Verifica la solución en la ecuación original.

( begin {array} {r} , , , , , frac {8} { left (x + 1 right)} = frac {4} {3} \ frac {8} { left (5 + 1 right)} = frac {4} {3} \ frac {8} {6} = frac {4} {3} end {array} )

Reduce la fracción ( frac {8} {6} ) simplificando el factor común de 2:

( large frac { cancel {2} cdot4} { cancel {2} cdot3} normalsize = large frac {4} {3} )

Respuesta

(x = 1 )

[/ respuesta-oculta]

También puedes resolver este problema multiplicando cada término de la ecuación por 3 para eliminar las fracciones por completo. Así es como se vería.

Ejemplo

Resuelve la ecuación ( frac {x} {3} + 1 = frac {4} {3} ).

[revel-answer q = ”950823 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”950823 ″] Ambas fracciones en la ecuación tienen un denominador de 3. Multiplica ambas lados de la ecuación (¡no solo las fracciones!) por 3 para eliminar los denominadores.

(3 left ( frac {x} {3} +1 right) = 3 left ( frac {4} {3} right) )

Aplica la propiedad distributiva y multiplica 3 por cada término entre paréntesis. Luego simplifica y resuelve para X.

( begin {array} {r} 3 left ( frac {x} {3} right) +3 left (1 right) = 3 left ( frac {4} {3} right) \ cancelar {3} left ( frac {x} { cancel {3}} right) +3 left (1 right) = cancelar {3} left ( frac {4} { cancelar {3}} derecha) x + 3 = 4 , , , , , , , , , , , , , , , subrayado {-3} , , , , , subrayado {-3} x = 1 end {matriz} )

Respuesta

(x = 1 )

[/ respuesta-oculta]

En el video que sigue presentamos dos formas de resolver ecuaciones racionales con denominadores enteros y variables.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

Valores excluidos y soluciones extrañas

Algunas expresiones racionales tienen una variable en el denominador. Cuando este es el caso, hay un paso adicional para resolverlos. Dado que la división entre 0 no está definida, debe excluir los valores de la variable que darían como resultado un denominador de 0. Estos valores se denominan valores excluidos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Resuelve la ecuación ( frac {2x-5} {x-5} = frac {15} {x-5} ).

[revel-answer q = ”266674 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”266674 ″] Determine los valores para X eso haría que el denominador sea 0.

( frac {2x-5} {x-5} = frac {15} {x-5} )

5 es un valor excluido porque hace que el denominador (x-5 ) sea igual a 0.

Dado que el denominador de cada expresión en la ecuación es el mismo, los numeradores deben ser iguales. Iguala los numeradores entre sí y resuelve para X.

( begin {matriz} {r} 2x-5 = 15 2x = 20 x = 10 end {matriz} )

Verifica la solución en la ecuación original.

( begin {array} {r} frac {2x-5} {x-5} = frac {15} {x-5} , , \ frac {2 (10) -5 } {10-5} = frac {15} {10-5} \ frac {20-5} {10-5} = frac {15} {10-5} \ frac {15} {5} = frac {15} {5} , , , , , , , , , end {matriz} )

Respuesta

(x = 10 )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video presentamos un ejemplo de resolución de una ecuación racional con variables en el denominador.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

Has visto que hay más de una forma de resolver ecuaciones racionales. Debido a que ambas técnicas manipulan y reescriben términos, a veces pueden producir soluciones que no funcionan en la forma original de la ecuación. Estos tipos de respuestas se denominan soluciones extrañas. Es por eso que siempre es importante verificar todas las soluciones en las ecuaciones originales; puede encontrar que producen declaraciones falsas o expresiones indefinidas.

Ejemplo

Resuelve la ecuación ( frac {16} {m + 4} = frac

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [5] / div [2] / p [1] / span, línea 1, columna 3

{m + 4} ).

[revel-answer q = ”450589 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”450589 ″] Determine los valores para metro eso haría que el denominador 0. (m + 4 ) sea igual a 0.

Dado que el denominador de cada expresión en la ecuación es el mismo, los numeradores deben ser iguales. Iguala los numeradores entre sí y resuelve para metro.

( begin {array} {l} 16 = m ^ {2} , , , 0 =

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [5] / div [2] / p [4] / span, línea 1, columna 2

-16 , , , 0 = left (m + 4 right) left (m-4 right) end {matriz} )

( begin {array} {c} 0 = m + 4 , , , , , , text {o} , , , , , , 0 = m-4 m = -4 , , , , , , text {o} , , , , , , m = 4 m = 4, -4 end {matriz} )

Verifica las soluciones en la ecuación original.

Dado que (m = −4 ) conduce a la división por 0, es una solución extraña.

( begin {array} {c} frac {16} {m + 4} = frac

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [5] / div [2] / p [8] / span [1], line 1, columna 3

{m + 4} \ frac {16} {- 4 + 4} = frac

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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{-4 + 4} \ frac {16} {0} = frac {16} {0} end {array} )

(- 4 ) se excluye porque conduce a la división por 0.

( begin {array} {c} frac {16} {4 + 4} = frac

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [5] / div [2] / p [10] / span, línea 1, columna 5

{4 + 4} \ frac {16} {8} = frac {16} {8} end {array} )

Respuesta

(m = 4 )

[/ respuesta-oculta]

Fórmulas racionales

Fórmulas racionales pueden ser herramientas útiles para representar situaciones de la vida real y encontrar respuestas a problemas reales. Las ecuaciones que representan variaciones directas, inversas y conjuntas son ejemplos de fórmulas racionales que pueden modelar muchas situaciones de la vida real. Como verá, si puede encontrar una fórmula, generalmente podrá encontrarle sentido a una situación.

Al resolver problemas usando fórmulas racionales, a menudo es útil resolver primero la fórmula para la variable especificada. Por ejemplo, los problemas laborales le piden que calcule cuánto tiempo le tomará a diferentes personas trabajar a diferentes velocidades para terminar una tarea. Los modelos algebraicos de tales situaciones a menudo involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula de trabajo, (W = rt ). La cantidad de trabajo realizado (W) es el producto de la tasa de trabajo (r) y el tiempo dedicado a trabajar (t). Usando álgebra, puedes escribir la fórmula de trabajo de tres maneras:

(W = rt )

Encuentra el tiempo (t): (t = frac {W} {r} )(divide ambos lados por r)

Encuentre la tasa (r): (r = frac {W} {t} )(divide ambos lados por t)

Ejemplo

La fórmula para encontrar la densidad de un objeto es (D = frac {m} {v} ), donde D es la densidad, metro es la masa del objeto y v es el volumen del objeto. Reordena la fórmula para resolver la masa (metro) y luego para el volumen (v).

[revel-answer q = ”537110 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”537110 ″] Empiece con la fórmula para la densidad.

(D = frac {m} {v} )

Multiplica ambos lados de la ecuación por v aislar metro.

(v cdot D = frac {m} {v} cdot v )

Simplifica y reescribe la ecuación, resolviendo para metro.

( begin {matriz} {l} v cdot D = m cdot frac {v} {v} v cdot D = m cdot 1 v cdot D = m end {matriz} )

Para resolver la ecuación (D = frac {m} {v} ) en términos de v, deberá seguir los mismos pasos hasta este punto y luego dividir ambos lados por D.

( begin {array} {r} frac {v cdot D} {D} = frac {m} {D} \ frac {D} {D} cdot v = frac {m } {D} 1 cdot v = frac {m} {D} v = frac {m} {D} end {matriz} )

Respuesta

(v = frac {m} {D} )

[/ respuesta-oculta]

Ahora veamos un ejemplo usando la fórmula para el volumen de un cilindro.

Ejemplo

La fórmula para encontrar el volumen de un cilindro es (V = pi {r ^ {2}} h ), donde V es el volumen, r es el radio y h es la altura del cilindro. Reorganice la fórmula para resolver la altura (h).

[revel-answer q = ”644317 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”644317 ″] Empiece con la fórmula para el volumen de un cilindro.

(V = pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [6] / div [2] / p [3] / span, línea 1, columna 2

h )

Divide ambos lados por ( pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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) aislar h.

( frac {V} { pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [6] / div [2] / p [5] / span [1], line 1, columna 2

} = frac { pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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h} { pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

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})

Simplificar. Tu encuentras la altura, h, es igual a ( frac {V} { pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [6] / div [2] / p [6] / span, línea 1, columna 2

}).

( frac {V} { pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [6] / div [2] / p [7] / span, línea 1, columna 2

} = h )

Respuesta

(h = frac {V} { pi

ParseError: EOF esperado (haga clic para obtener más detalles)

Pila de llamadas: at (Courses / Lumen_Learning / Book: _Beginning_Algebra_ (Lumen) /07:_Rational_Expressions_and_Equations/7.04:_Solve_Rational_Equations), / content / body / div [6] / div [2] / div / p [1] / span, línea 1 , columna 2

})

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video damos otro ejemplo de cómo resolver una variable en una fórmula, o como también se les llama, una ecuación literal.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

Aplicaciones de ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales se pueden usar para resolver una variedad de problemas que involucran tasas, tiempos y trabajo. El uso de ecuaciones y expresiones racionales puede ayudarlo a responder preguntas sobre cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo a tiempo.

Un buen día de trabajo

Trabaja

Un "problema de trabajo" es un ejemplo de una situación de la vida real que puede modelarse y resolverse mediante una ecuación racional. Los problemas laborales a menudo le piden que calcule cuánto tiempo le tomará a diferentes personas trabajar a diferentes velocidades para terminar una tarea. Los modelos algebraicos de tales situaciones a menudo involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula de trabajo, (d = rt ).) La cantidad de trabajo realizado (W) es el producto de la tasa de trabajo (r) y el tiempo dedicado a trabajar (t). La fórmula de trabajo tiene 3 versiones.

( begin {array} {l} W = rt \, , , , , t = frac {W} {r} \, , , , , r = frac {W} {t} end {matriz} )

Algunos problemas de trabajo incluyen varias máquinas o personas que trabajan juntas en un proyecto durante la misma cantidad de tiempo pero a diferentes velocidades. En ese caso, puede sumar sus tasas de trabajo individuales para obtener una tasa de trabajo total. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Myra tarda 2 horas en plantar 50 bulbos de flores. Francis tarda 3 horas en plantar 45 bulbos de flores. Trabajando juntos, ¿cuánto tiempo deberían tardar en plantar 150 bulbos?

[revel-answer q = ”550322 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”550322 ″] Piense en cuántos bulbos puede plantar cada persona en una hora. Esta es su tasa de siembra.

Myra: ( frac {25 , , text {bulbos}} {1 , , text {hora}} )

Francis: ( frac {15 , , text {bulbos}} {1 , , text {hora}} )

Combine sus tarifas por hora para determinar la tarifa que trabajan juntos.

Myra y Francis juntos:

( frac {25 , , text {bulbos}} {1 , , text {hora}} + frac {15 , , text {bulbos}} {1 , , texto {hora}} = frac {40 , , text {bulbos}} {1 , , text {hora}} )

Usa una de las fórmulas de trabajo para escribir una ecuación racional, por ejemplo (r = frac {W} {t} ). Sabes r, la tasa de trabajo combinada, y ya sabes W, la cantidad de trabajo que se debe realizar. Lo que no sabe es cuánto tiempo llevará hacer el trabajo requerido a la velocidad designada.

( frac {40} {1} = frac {150} {t} )

Resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por el denominador común, luego aislando t.

( begin {array} {c} frac {40} {1} cdot 1t = frac {150} {t} cdot 1t 40t = 150 t = frac {150 } {40} = frac {15} {4} t = 3 frac {3} {4} text {horas} end {matriz} )

Respuesta

Myra y Francis deberían tardar 3 horas y 45 minutos en plantar 150 bulbos juntos.

[/ respuesta-oculta]

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

Otros problemas laborales van al revés. Puede calcular cuánto tiempo le tomará a una persona hacer un trabajo sola cuando sabe cuánto tiempo le toma a las personas que trabajan juntas para completar el trabajo.

Ejemplo

Joe y John planean pintar una casa juntos. John piensa que si trabajara solo, le tomaría 3 veces más tiempo de lo que le tomaría a Joe pintar toda la casa. Trabajando juntos, pueden completar el trabajo en 24 horas. ¿Cuánto tiempo les tomaría a cada uno de ellos, trabajando solo, completar el trabajo?

[revel-answer q = ”593775 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”593775 ″] Elija variables para representar las incógnitas. Como John tarda 3 veces más que Joe en pintar la casa, su tiempo se representa como 3X.

Dejar X = tiempo que le toma a Joe completar el trabajo

3X = tiempo que le toma a John completar el trabajo

El trabajo es pintar 1 casa o 1. Escribe una expresión para representar la tasa de cada persona usando la fórmula (r = frac {W} {t} ).

Tarifa de Joe: ( frac {1} {x} )

Tarifa de John: ( frac {1} {3x} )

Su tarifa combinada es la suma de sus tarifas individuales. Usa esta tasa para escribir una nueva ecuación usando la fórmula (W = rt ).

tarifa combinada: ( frac {1} {x} + frac {1} {3x} )

El problema indica que les toma 24 horas juntos pintar una casa, así que si multiplicas su tarifa por hora combinada ( left ( frac {1} {x} + frac {1} {3x} right) ) a las 24, obtendrás 1, que es la cantidad de casas que pueden pintar en 24 horas.

( begin {array} {l} 1 = left ( frac {1} {x} + frac {1} {3x} right) 24 1 = frac {24} {x} + frac {24} {3x} end {matriz} )

Ahora resuelve la ecuación para X. (Recuérdalo X representa la cantidad de horas que le tomará a Joe terminar el trabajo).

( begin {array} {l} , , , 1 = frac {3} {3} cdot frac {24} {x} + frac {24} {3x} \ , , , 1 = frac {3 cdot 24} {3x} + frac {24} {3x} \, , , 1 = frac {72} {3x} + frac {24} {3x} \, , , 1 = frac {72 + 24} {3x} \, , , 1 = frac {96} {3x} 3x = 96 \, , , x = 32 end {matriz} )

Verifica las soluciones en la ecuación original.

( begin {array} {l} 1 = left ( frac {1} {x} + frac {1} {3x} right) 24 1 = left [ frac { text {1}} { text {32}} + frac {1} {3 text {(32})} right] 24 1 = frac {24} { text {32}} + frac {24} {3 text {(32})} 1 = frac {24} { text {32}} + frac {24} {96} 1 = frac {3} {3} cdot frac {24} { text {32}} + frac {24} {96} 1 = frac {72} {96} + frac {24} { 96} [ end {matriz} )

La solución se comprueba. Como (x = 32 ), Joe tarda 32 horas en pintar la casa por sí mismo. El tiempo de John es 3X, por lo que le tomaría 96 horas hacer la misma cantidad de trabajo.

Respuesta

A Joe le toma 32 horas pintar la casa él solo y 96 horas para que John pinte la casa él mismo.

[/ respuesta-oculta]

En el video que sigue, mostramos otro ejemplo de cómo encontrar la tasa de trabajo de una persona dada una tasa de trabajo combinada.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

Como se muestra arriba, muchos problemas de trabajo se pueden representar con la ecuación ( frac {t} {a} + frac {t} {b} = 1 ), donde t es el momento de hacer el trabajo juntos, a es el tiempo que le toma a la persona A hacer el trabajo, y B es el tiempo que le toma a la persona B hacer el trabajo. El 1 se refiere al trabajo total realizado; en este caso, el trabajo fue pintar 1 casa.

La idea clave aquí es calcular la tasa de trabajo individual de cada trabajador. Luego, una vez identificadas esas tasas, súmelas y multiplique por el tiempo t, ajústelo a la cantidad de trabajo realizado y resuelva la ecuación racional.

Presentamos otro ejemplo de dos personas pintando a ritmos diferentes en el siguiente video.

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Dimensiones

Matryoshka o muñecas anidadas.

Una proporción es una declaración de que dos razones son iguales entre sí. Hay muchas cosas que se pueden representar con proporciones, incluida la distancia real en la tierra que se representa en un mapa. De hecho, probablemente utilice el razonamiento proporcional de forma regular y no se dé cuenta. Por ejemplo, supongamos que se ha ofrecido como voluntario para proporcionar bebidas para un evento comunitario. Se le pide que traiga suficientes bebidas para 35-40 personas. En la tienda ves que las bebidas vienen en paquetes de 12. Multiplica 12 por 3 y obtienes 36; esto puede no ser suficiente si se presentan 40 personas, por lo que decides comprar 4 paquetes de bebidas solo para estar seguro.

Este proceso también puede expresarse como una ecuación proporcional y resolverse utilizando principios matemáticos. Primero, podemos expresar la cantidad de bebidas en un paquete como una proporción:

( frac {12 text {bebidas}} {1 text {paquete}} )

Luego expresamos la cantidad de personas para las que compramos bebidas como una proporción con la cantidad desconocida de paquetes que necesitamos. Usaremos el máximo para tener suficiente.

( frac {40 text {personas}} {x text {paquetes}} )

Podemos averiguar cuántos paquetes comprar al establecer las expresiones iguales entre sí:

( frac {12 text {bebidas}} {1 text {paquete}} = frac {40 text {personas}} {x text {paquetes}} )

Para resolver x, podemos usar técnicas para resolver ecuaciones lineales, o podemos multiplicar cruzadas como un atajo.

( begin {array} {l} , , , , , , , frac {12 text {bebidas}} {1 text {paquete}} = frac {40 text { personas}} {x text {paquetes}} text {} x cdot frac {12 text {bebidas}} {1 text {paquete}} = frac {40 text {personas} } {x text {paquetes}} cdot {x} text {} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 12x = 40 texto {} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , x = frac { 40} {12} = frac {10} {3} = 3.33 end {matriz} )

Podemos redondear a 4, ya que no tiene sentido hacerlo por 0,33 de un paquete de bebidas. Por supuesto, no escribe sus pensamientos de esta manera cuando está en la tienda de comestibles, pero hacerlo le ayuda a poder aplicar los conceptos a problemas menos obvios. En el siguiente ejemplo, mostraremos cómo usar una proporción para encontrar la cantidad de personas en el planeta que no tienen acceso a un baño.

Ejemplo

En marzo de 2016, la población mundial se estimaba en 7.400 millones. [1]. Según water.org, 1 de cada 3 personas en el planeta vive sin acceso a un baño. Encuentre la cantidad de personas en el planeta que no tienen acceso a un baño.
[revel-answer q = ”54118 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”54118 ″]

Lea y entienda: Podemos usar una proporción para encontrar el número desconocido de personas que viven sin baño, ya que se nos da que 1 de cada 3 no tiene acceso y se nos da la población del planeta.

Definir y traducir: Sabemos que 1 de cada 3 personas no tiene acceso, por lo que podemos escribirlo como una proporción (fracción)

( frac {1 text {no}} {3 text {hacer}} ).

Sea x el número de personas sin acceso a un baño. La proporción de personas con y sin inodoros es entonces

( frac {x text {no}} {7.4 text {mil millones do}} )

Observe cómo es útil usar descripciones o unidades para saber dónde colocar los números dados en la proporción.

Escribe y resuelve: Iguale las dos razones, ya que representan la misma fracción de la población.

( frac {1} {3} = frac {x} {7.4 text {mil millones}} )

Resolver:

( begin {array} {l} frac {1} {3} = frac {x} {7.4} text {} 7.4 cdot frac {1} {3} = frac { x} {7.4} cdot {7.4} text {} 2.46 = x end {matriz} )

Interpretar: Las unidades originales eran miles de millones de personas, por lo que nuestra respuesta es que (2,46 ) mil millones de personas no tienen acceso a un baño. Vaya, eso es mucha gente.

Respuesta

2.46 mil millones de personas no tienen acceso a un baño.

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente ejemplo, usaremos la longitud del fémur de una persona para estimar su altura. Este proceso se utiliza en la ciencia forense y la antropología, y se ha encontrado en muchos estudios científicos que es una muy buena estimación.

Ejemplo

Se ha demostrado que la altura de una persona es proporcional a la longitud de su fémur. [2]. Dado que una persona que mide 71 pulgadas de alto tiene una longitud de fémur de 17,75 pulgadas, ¿qué altura tiene alguien con una longitud de fémur de 16 pulgadas?
[revel-answer q = ”987898 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”987898 ″]

Lea y entienda: La altura y la longitud del fémur son proporcionales para todos, por lo que podemos definir una relación con la altura y la longitud del fémur dadas. Luego podemos usar esto para escribir una proporción para encontrar la altura desconocida.

Definir y traducir: Sea x la altura desconocida. Defina la relación entre la longitud y la altura del fémur para ambas personas utilizando las medidas dadas.

Persona 1: ( frac { text {longitud del fémur}} { text {altura}} = frac {17,75 text {pulgadas}} {71 text {pulgadas}} )

Persona 2: ( frac { text {longitud del fémur}} { text {altura}} = frac {16 text {pulgadas}} {x text {pulgadas}} )

Escribe y resuelve: Iguale las proporciones, ya que asumimos que la altura y la longitud del fémur son proporcionales para todos.

( frac {17,75 text {pulgadas}} {71 text {pulgadas}} = frac {16 text {pulgadas}} {x text {pulgadas}} )

Resuelve usando el denominador común para despejar fracciones. El denominador común es (71x )

( begin {array} {c} frac {17,75} {71} = frac {16} {x} 71x cdot frac {17,75} {71} = frac {16} {x } cdot {71x} 17,75 cdot {x} = 16 cdot {71} x = frac {16 cdot {71}} {17,75} = 64 end {matriz} )

Interpretar: La altura desconocida de la persona 2 es 64 pulgadas. En general, podemos reducir la fracción ( frac {17.75} {71} = 0.25 = frac {1} {4} ) para encontrar una regla general para todos. Esto se traduciría en decir que por cada longitud de un fémur, la altura de una persona es 4 veces esa longitud.

[/ respuesta-oculta]

Otra forma de describir la relación entre la longitud y la altura del fémur que encontramos en el último ejemplo es decir que hay una relación de 1: 4 entre la longitud y la altura del fémur, o de 1 a 4.

Las proporciones también se utilizan en dibujos a escala. Los dibujos a escala son dibujos agrandados o reducidos de objetos, edificios, carreteras y mapas. Los mapas son más pequeños de lo que representan y lo más probable es que un dibujo de células dendríticas en su cerebro sea más grande de lo que representa. La escala del dibujo es una proporción que representa una comparación de la longitud del objeto real y su representación en el dibujo. La siguiente imagen muestra un mapa de EE. UU. Con una escala de 1 pulgada que representa 557 millas. Podríamos escribir el factor de escala como una fracción ( frac {1} {557} ) o como hicimos con la relación fémur-altura, 1: 557.

Mapa con factor de escala

En el siguiente ejemplo usaremos el factor de escala dado en la imagen de arriba para encontrar la distancia entre Seattle Washington y San José California.

Ejemplo

Dado un factor de escala de 1: 557 en un mapa de los EE. UU., Si la distancia desde Seattle, WA a San José, CA es 1.5 pulgadas en el mapa, defina una proporción para encontrar la distancia real entre ellos.
[revel-answer q = ”936583 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”936583 ″]

Lea y entienda: Necesitamos definir una proporción para resolver la distancia desconocida entre Seattle y San José.

Definir y traducir: TEl factor de escala es 1: 557 y llamaremos x a la distancia desconocida. La razón de pulgadas a millas es ( frac {1} {557} ).

Conocemos las pulgadas entre las dos ciudades, pero no las millas, por lo que la razón que describe la distancia entre ellas es ( frac {1.5} {x} ).

Escribe y resuelve: La proporción que nos ayudará a resolver este problema es ( frac {1} {557} = frac {1.5} {x} ).

Resuelve usando el denominador común (557x ) para despejar fracciones.

( begin {array} {c} frac {1} {557} = frac {1.5} {x} 557x cdot frac {1} {557} = frac {1.5} {x } cdot {557x} x = 1.5 cdot {557} = 835.5 )

Interpretar: Usamos el factor de escala 1: 557 para encontrar una distancia desconocida entre Seattle y San José. También verificamos nuestra respuesta de 835.5 millas con mapas de Google y descubrimos que la distancia es de 839.9 millas, ¡así que lo hicimos bastante bien!

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente ejemplo, encontraremos un factor de escala dada la longitud entre dos ciudades en un mapa y su distancia real entre sí.

Ejemplo

Dos ciudades están separadas por 2,5 pulgadas en un mapa. La distancia real entre ellos es de 325 millas. Escribe una proporción para representar y resolver el factor de escala de una pulgada del mapa.
[revel-answer q = ”151234 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”151234 ″]

Lea y entienda: Sabemos que por cada 2.5 pulgadas en el mapa, representa 325 millas reales. Buscamos el factor de escala de una pulgada del mapa.

Definir y traducir: La razón que queremos es ( frac {2.5} {325} )

Escribe y resuelve: Podemos usar una proporción para igualar las dos razones y resolver la distancia desconocida.

( begin {array} {c} frac {1} {x} = frac {2.5} {325} 325x cdot frac {1} {x} = frac {2.5} {325 } cdot {325x} 325 = 2.5x x = 130 )

Interpretar: El factor de escala de una pulgada en el mapa es 1: 130, o por cada pulgada del mapa hay 130 millas reales.

[/ respuesta-oculta]

El video que sigue muestra otro ejemplo de cómo encontrar una distancia real usando el factor de escala de un mapa.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

En el video que sigue, presentamos un ejemplo del uso de proporciones para obtener la cantidad correcta de medicamento para un paciente, así como para encontrar la mezcla deseada de cafés.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=132

Variación

Tantos coches, tantos neumáticos.

Variación directa

Las ecuaciones de variación son ejemplos de fórmulas racionales y se utilizan para describir la relación entre variables. Por ejemplo, imagina un estacionamiento lleno de autos. El número total de neumáticos en el estacionamiento depende del número total de automóviles. Algebraicamente, puedes representar esta relación con una ecuación.

( text {número de neumáticos} = 4 cdot text {número de coches} )

El número 4 indica la velocidad a la que se relacionan los automóviles y los neumáticos. Llamas a la tasa la constante de variación. Es una constante porque este número no cambia. Debido a que la cantidad de autos y la cantidad de llantas están vinculadas por una constante, los cambios en la cantidad de autos hacen que la cantidad de llantas cambie de manera proporcional y constante. Esto es un ejemplo de Variación directa, donde el número de neumáticos varía directamente con el número de coches.

Puede usar la ecuación del automóvil y la llanta como base para escribir una ecuación algebraica general que funcionará para todos los ejemplos de variación directa. En el ejemplo, el número de neumáticos es la salida, 4 es la constante y el número de automóviles es la entrada. Ingresemos esos términos genéricos en la ecuación. Obtienes (y = kx ). Esa es la fórmula para todas las ecuaciones de variación directa.

( text {número de neumáticos} = 4 cdot text {número de coches} text {salida} = text {constante} cdot text {entrada} )

Ejemplo

Resolver k, la constante de variación, en un problema de variación directa donde (x = 10 ).

[revel-answer q = ”714779 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”714779 ″] Escriba la fórmula para una relación de variación directa.

(y = kx )

Substitute known values into the equation.

(300=kleft(10 ight))

Solve for k by dividing both sides of the equation by 10.

(egin{array}{l}frac{300}{10}=frac{10k}{10}\,,,,30=kend{array})

Respuesta

The constant of variation, k, is 30.

[/ respuesta-oculta]

In the video that follows, we present an example of solving a direct variation equation.

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Inverse Variation

Another kind of variation is called inverse variation. In these equations, the output equals a constant divided by the input variable that is changing. In symbolic form, this is the equation (y=frac{k}{x}).

One example of an inverse variation is the speed required to travel between two cities in a given amount of time.

Let’s say you need to drive from Boston to Chicago, which is about 1,000 miles. The more time you have, the slower you can go. If you want to get there in 20 hours, you need to go 50 miles per hour (assuming you don’t stop driving!), because (frac{1,000}{40}=25).

The equation for figuring out how fast to travel from the amount of time you have is (d=rt). If you solve (r=frac{d}{t}), or (speed=frac{miles}{time}).

In the case of the Boston to Chicago trip, you can write (y=frac{k}{x}).

Ejemplo

Solve for k, the constant of variation, in an inverse variation problem where (y=25).

[reveal-answer q=”752007″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”752007″]Write the formula for an inverse variation relationship.

(y=frac{k}{x})

Substitute known values into the equation.

(25=frac{k}{5})

Solve for k by multiplying both sides of the equation by 5.

(egin{array}{c}5cdot 25=frac{k}{5}cdot 5125=frac{5k}{5}125=k,,,end{array})

Respuesta

The constant of variation, k, is 125.

[/ respuesta-oculta]

In the next example, we will find the water temperature in the ocean at a depth of 500 meters. Water temperature is inversely proportional to depth in the ocean.

Water temperature in the ocean varies inversely with depth.

Ejemplo

The water temperature in the ocean varies inversely with the depth of the water. The deeper a person dives, the colder the water becomes. At a depth of 1,000 meters, the water temperature is 5º Celsius. What is the water temperature at a depth of 500 meters?

[reveal-answer q=”700119″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”700119″]You are told that this is an inverse relationship, and that the water temperature (y) varies inversely with the depth of the water (X).

(egin{array}{l},,,,,,,,,,y=frac{k}{x} emp=frac{k}{depth}end{array})

Substitute known values into the equation.

(5=frac{k}{1,000})

Solve for k.

(egin{array}{l}1,000cdot5=frac{k}{1,000}cdot 1,000\,,,,,,,,5,000=frac{1,000k}{1,000}\,,,,,,,,5,000=kend{array})

Ahora eso k, the constant of variation is known, use that information to solve the problem: find the water temperature at 500 meters.

(egin{array}{l}temp=frac{k}{depth} emp=frac{5,000}{500} emp=10end{array})

Respuesta

At 500 meters, the water temperature is 10º C.

[/ respuesta-oculta]

In the video that follows, we present an example of inverse variation.

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Joint Variation

A third type of variation is called joint variation. Joint variation is the same as direct variation except there are two or more quantities. For example, the area of a rectangle can be found using the formula (A=lw), where l is the length of the rectangle and w is the width of the rectangle. If you change the width of the rectangle, then the area changes and similarly if you change the length of the rectangle then the area will also change. You can say that the area of the rectangle “varies jointly with the length and the width of the rectangle.”

The formula for the volume of a cylinder, (pi).

Ejemplo

The area of a triangle varies jointly with the lengths of its base and height. If the area of a triangle is 30 inches(^{2}) when the base is 10 inches and the height is 6 inches, find the variation constant and the area of a triangle whose base is 15 inches and height is 20 inches.

[reveal-answer q=”264626″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”264626″]You are told that this is a joint variation relationship, and that the area of a triangle (A) varies jointly with the lengths of the base (B) and height (h).

(egin{array}{l},,,,,,,,,,y=kxzArea=k(base)(height)end{array})

Substitute known values into the equation, and solve for k.

(30=kleft(10 ight)left(6 ight)30=60k\frac{30}{60}=frac{60k}{60}\frac{1}{2}=k)

Ahora eso k is known, solve for the area of a triangle whose base is 15 inches and height is 20 inches.

(egin{array}{l}Area=k(base)(height)Area=(15)(20)(frac{1}{2})Area=frac{300}{2}Area=150,, ext{square inches}end{array})

Respuesta

The constant of variation, k, is (frac{1}{2}), and the area of the triangle is 150 square inches.

[/ respuesta-oculta]

Hallazgo k to be (A=frac{1}{2}bh). The (frac{1}{2}) that you calculated in this example!

In the following video, we show an example of finding the constant of variation for a jointly varying relation.

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Direct, Joint, and Inverse Variation

k is the constant of variation. In all cases, (k eq0).

  • Direct variation: (y=kx)
  • Inverse variation: (y=frac{k}{x})
  • Joint variation: (y=kxz)

Resumen

Rational formulas can be used to solve a variety of problems that involve rates, times, and work. Direct, inverse, and joint variation equations are examples of rational formulas. In direct variation, the variables have a direct relationship—as one quantity increases, the other quantity will also increase. As one quantity decreases, the other quantity decreases. In inverse variation, the variables have an inverse relationship—as one variable increases, the other variable decreases, and vice versa. Joint variation is the same as direct variation except there are two or more variables.

Resumen

You can solve rational equations by finding a common denominator. By rewriting the equation so that all terms have the common denominator, you can solve for the variable using just the numerators. Or, you can multiply both sides of the equation by the least common multiple of the denominators so that all terms become polynomials instead of rational expressions.

An important step in solving rational equations is to reject any extraneous solutions from the final answer. Extraneous solutions are solutions that don’t satisfy the original form of the equation because they produce untrue statements or are excluded values that make a denominator equal to 0.



Recursos abiertos para álgebra de colegios comunitarios

In your algebra studies, you have learned how to solve linear equations, quadratic equations, and radical equations. In this section, we examine some similarities among the processes for solving these equations. Understanding these similarities can improve your general equation solving ability, even into the future with new equations that are not of these three types.

Figure 7.4.1. Lección en video alternativa

Subsection 7.4.1 Equations Where the Variable Appears Once

Here are some examples of equations that all have something in common: the variable only appears once.

For equations like this, there is a strategy for solving them that will keep you from overcomplicating things. In each case, according to the order of operations, the variable is having some things “done” to it in a specific order.

then that result is added to (1)

and this result is a number, (7)

then that result is squared

and this result is a number, (36)

then that result has (3) subtracted from it

then that result has a square root applied

and this result is a number, (3)

Because there is just one instance of the variable, and then things happen to that value in a specific order according to the order of operations, then there is a good strategy to solve these equations. We can just undo each step in the opposite order.

Example 7.4.2 .

Solve the equation (2x+1=7 ext<.>)

The actions that happen to (x) are multiply by (2 ext<,>) and then agregar (1 ext<.>) So we will do the opposite actions in the opposite order to each side of the equation. We will sustraer (1) and then divide by (2 ext<.>)

You should check this solution by substituting it into the original equation.

Example 7.4.3 .

Solve the equation ((x+4)^2=36 ext<.>)

The actions that happen to (x) are agregar (4 ext<,>) and then cuadrado. So we will do the opposite actions in the opposite order to each side of the equation. We will apply the Square Root Property and then sustraer (4 ext<.>)

You should check these solutions by substituting them into the original equation.

Example 7.4.4 .

Solve the equation (sqrt<2x-3>=3 ext<.>)

The actions that happen to (x) are multiply by (2 ext<,>) and then sustraer (3 ext<,>) and then apply the square root. So we will do the opposite actions in the opposite order to each side of the equation. We will cuadrado both sides, agregar (3) and then divide by (2 ext<.>)

You should check this solution by substituting it into the original equation.

Subsection 7.4.2 Equations With More Than One Instance of the Variable

Now consider equations like

In these examples, the variable appears more than once. We can't exactly dive in to the strategy of undoing each step in the opposite order. For each of these equations, remind yourself that you can apply any operation you want, as long as you apply it to both sides of the equation. In many cases, you will find that there is some basic algebra move you can take that will turn the equation into something more “standard” that you know how to work with.

With (5x+1=3x+2 ext<,>) we have a linear equation. If we can simply reorganize the terms to combine like terms, a solution will be apparent.

With (x^2+6x=-8 ext<,>) adding (8) to both sides would give us a quadratic equation in standard form. And then the quadratic formula can be used.

With (sqrt=sqrt-1 ext<,>) the complication is those two radicals. We can take any action we like as long as we apply it to both sides, and squaring both sides would remove at least one radical. Maybe after that we will have a simpler equation.

Example 7.4.5 .

Solve the equation (5x+1=3x+2 ext<.>)

We'll use basic algebra to rearrange the terms.

You should check this solution by substituting it into the original equation.

Example 7.4.6 .

Solve the equation (x^2+6x=-8 ext<.>)

Adding (8) to each side will give us a quadratic equation in standard form, and then we may apply The Quadratic Formula.

You should check these solutions by substituting them into the original equation.

Example 7.4.7 .

Solve the equation (sqrt=sqrt-1 ext<.>)

Hoping to obtain a simpler equation, we will square each side. This will eliminate at least one radical, which may help.

You should check this solution by substituting it into the original equation. Es especialmente important to do this when the equation was a radical equation. At one point, we squared both sides, and this can introduce extraneous solutions (see Remark 6.4.4).

Subsection 7.4.3 Solving For a Variable in Terms of Other Variables

In the examples so far in this section, there has been one variable (but possibly more than one instance of that variable). This leaves out important situations in science applications where you have a formula with múltiple variables, and you need to isolate uno de ellos. Fortunately these situations are not more difficult than what we have explored so far, as long as you can keep track of which variable you are trying to solve for.

Example 7.4.8 .

In physics, there is a formula for converting a Celsius temperature to Fahrenheit:

Solve this equation for (C) in terms of (F ext<.>)

The variable we are after is (C ext<,>) and that variable only appears once. So we will apply the strategy of undoing the things that are happening to (C ext<.>) First (C) is multiplied by (frac<9><5> ext<,>) and then it is added to (32 ext<.>) So we will undo these actions in the opposite order: sustraer (32) and then multiply by (frac<5><9>) (or divide by (frac<9><5>) if you prefer).

We are satisfied, because we have isolated (C) in terms of (F ext<.>)

Example 7.4.9 .

In physics, when an object of mass (m) is moving with a speed (v ext<,>) its “kinetic energy” (E) is given by:

Solve this equation for (v) in terms of the other variables.

The variable we are after is (v ext<,>) and that variable only appears once. So we will apply the strategy of undoing the things that are happening to (v ext<.>) First (v) is squared, then it is multiplied by (m) and by (frac<1><2> ext<.>) So we will undo these actions in the opposite order: multiply by (2 ext<,>) divide by (m ext<,>) and apply the square root.

At the very end, we chose the positive square root, since a speed (v) cannot be negative. We are satisfied, because we have isolated (v) in terms of (E) and (m ext<.>)

Reading Questions 7.4.4 Reading Questions

When there is only one instance of a variable in an equation, describe a strategy for solving the equation.

You can do whatever algebra you like to the sides of an equation, as long as you do what?


Course Curriculum

Training and Certifications Make An Instructor, But Experience, Dedication And Character Builds Master Teachers.

Hi, my name is John Zimmerman, as a certified math teacher with a BA in Math and Master's in Educational Technology I want to welcome you to my online math course! I've successfully taught middle and high school math for many years. Additionally, I’ve taught math for a prestigious online technical school and been involved in independent math learning systems for over 10 years- teaching math to students all over the world. Helping students succeed is my passion and that’s why I love teaching math.

My idea for TabletClass began in my classroom while I was earning my Master of Science in Educational Technology. I wanted to leverage my technical knowledge of the internet and computer programming to create something special for my students. I started my effort to help students learn outside of class by making math videos and posting them on a website. I found that my web resource was working extremely well for my students in and out of school. I kept improving my web resource by using my students' suggestions and feedback I learned and refined a way to teach with videos that was very effective. I used my website in creative ways, like introducing new lessons online to those students who were ready to move forward, while at the same time focusing my attention on those students who were not. My students found the videos engaging and easy to understand, but more importantly I saw a dramatic increase in their abilities and skills—this was truly exciting! My classroom experiences gave way to the desire to build the ultimate online math program, so I decided to create TabletClass Math.

Since my days teaching in the classroom, I have formed a team of talented professionals to help me create and develop TabletClass. Our innovative online math learning system is perfect for all students learning middle and high school math. We provide everything a student needs to learn on their own. With our program, students can experience lessons just as if they were being taught by a great teacher in a class. With access to online instruction 24/7, students can study and learn in a relaxed environment and view the lessons as many times as they need. Lastly, I want to say that TabletClass is a proven system- it has been used by thousands of students all over the world, with great success. So I thank you for visiting our site, and I hope you will use TabletClass to take your math skills to a whole new level.


Solving Rational Equations with Like Denominators - Concept

Solving rational equations is substantially easier with like denominators. Cuándo solving rational equations, first multiply every term in the equation by the common denominator so the equation is "cleared" of fractions. Next, use an appropriate technique for solving for the variable.

Remember that an equation means you have an equal sign. And you're solving you're tying to find the value of the variable. In our case I'm probably going to be using x's like in this problem. Okay so when you start looking at equations that have denominators it can be really tricky unless all of the denominators are the same. If I have all the denominators the same like this, there's an idea I want you guys to think about, if I were to go through and multiply all 3 of these terms by 2, it'll be pretty much the same thing as just crossing out those denominators. Right if I multiply everything by 2 in this original equation then I would get this for my 3 terms. And now there's no fractions so I'm a happy camper.
I would subtract 3x from both sides and I can really easily get that x is equals to negative 1. That's a really great tool I want you guys to remember, when you're looking at your homework. I'm going to say it one more time, if all of your denominators are exactly the same, you can cross them out which is essentially like dividing all of those terms by that denominator. You can cross them out and just work with the numerators. Let me show you what that would look like if I had my variable in the denominator, you can do the same idea if I had like 3x over x plus 5 over x is equal to 8x squared over x. A lot of students who didn't know this trick would go through and they would reduce this fraction which is clever, they're on the right track. Other students might try to combine these fractions yeah because those are combinable fractions they have the same denominator.
But you guys this is the trick, these 3 terms all have exactly the same denominator, so I'm going to multiply everything by x and then just work with the tops. That can make your problems much easier when you're approaching them. Keep that in mind when you're going through solving rational equations. Especially if they all have like denominators.


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Let us study about list of rational numbers. The basic of mathematics is said to be as clear knowledge of numbers and its operations.
The math includes various forms of numbers as integers, whole numbers, natural numbers, real rational and irrational numbers.
The rational numbers are defined as the form of fractional numbers that are with the two simple integers. Some of the examples for list of rational numbers are below.

List of rational numbers – example 1:

Find out the rational numbers that are in the following number series (1, `sqrt(2)` , `1/2` , 0.3333…, `-5/2` , `7/4` , `sqrt(9)` , `55/10` , 4.44232…) and list them in the order that smallest to the largest rational numbers?

The number series given is as follows: (1, `sqrt(2)` , `1/2` , 0.3333…, `-5/2` , `7/4` , `sqrt(9)` , `55/10` , 4.44232…)
All the possible rational numbers that present in the given number series is found to be as follows:
(1, `1/2` , `-5/2` , `7/4` , `sqrt(9)` and `55/10` )
Therefore the rational numbers in the order from the smallest to the largest numbers are as follows:
(`-5/2` , `1/2` , 1, `7/4` , `sqrt(9)` , `55/10` )
(-2.5, 0.5, 1, 1.75, 3, 5.5)

List of rational numbers – example 2:

Find out the rational numbers that are in the following number series (`1/5` , `sqrt(16)` , 0.0222…, `3/2` , `8/4` , `5/100` , 4.2, 343.234…) and list them in the order that smallest to the largest rational numbers?

The number series given is as follows: (`1/5` , `sqrt(16)` , 0.0222…, `3/2` , `8/4` , `5/100` , 4.2, 343.234…)
All the possible rational numbers that present in the given number series is found to be as follows:
(`1/5` , `sqrt(16)` , `3/2` , `8/4` , `5/100` , 4.2)
Therefore the rational numbers in the order from the smallest to the largest numbers are as follows:
(`5/100` , `1/5` , `3/2` , `8/4,` `sqrt(16)` , 4.2)
(0.05, 1.2, 1.5, 2, 4, 4.2)

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List of rational numbers – exercises:

Find out the rational numbers that are in the following number series (`-11/2` , `sqrt(6)` , `sqrt(4)`, 0.02, `7/3` , `28/4` , `1/1000` , 43.234…) and list them in the order that smallest to the largest rational numbers?(Answer:-5.2, 0.001, 0.02, `sqrt(4)` , `28/4` )
Is the number 23.3434…. is a rational number? (Answer: no)
Is the number `sqrt(25)` is a rational number? (Answer: yes)


Input Arguments

Eqns — Rational equations vector of symbolic equations | vector of symbolic expressions

Rational equations, specified as a vector of symbolic equations or symbolic expressions. A rational equation is an equation that contains at least one fraction in which the numerator and the denominator are polynomials.

The relation operator == defines symbolic equations. If a symbolic expression eqn in eqns has no right side, then a symbolic equation with a right side equal to 0 is assumed.


Cardano’s formula for solving cubic equations

Let $a_<3>x^<3>+a_<2>x^<2>+a_<1>x+a_<0>=0$, $a_<3> eq 0$ be the cubic equation. By dividing the equation with $a_3$ we obtain:

The equation above is called a normalized cubic equation.

The square member we remove by the substitution $x= y – frac<3>$. Ahora tenemos:

In addition to tags $p = b-frac><3>$ and $q = frac<2a^<3>> <27>– frac <3>+ c$ we obtain the canonical form of the cubic equation:

It is enough to solve the cubic equation of this type.

Cardano’s formula

The solution of the cubic equation $y^ <3>+ py +q = 0$ we search in form:

These solution must satisfy the initial equation, that is:

After transformation of the previous equation, we obtain:

We choose $3vw + p =0$ as an additional requirement, because each number is possible in the infinite way to display in the form of the sum of two numbers.

Therefore, we need to solve the following system of equations:

Systems of equations (1) and (2) are not equivalent. The solution of the system (1) is the solution of the system (2), however, the reversal does not have to be valid. Therefore, we choose solutions which satisfy the equation $v w= – frac

<3>$.

By the Vieta’s formulas, solutions of the system (2) are roots of the quadratic equation

By using the formula for solutions of the quadratic equation, we obtain:

The solution of the equation $x^<3>+px+q=0$ we write in the following form:

The formula above is called the Cardano’s formula.

The expression $left (frac <2> ight) ^ <2>+left (frac

<3> ight) ^<3>$ which appears in the Cardano’s formula is called the discriminant of the cubic equation $x^<3>+px+q=0$. The discriminant of the cubic equation we will denote as $Delta$.

If $Delta > 0$, then the cubic equation has one real and two complex conjugate roots if $Delta = 0$, then the equation has three real roots, whereby at least two roots are equal if $Delta < 0$ then the equation has three distinct real roots.

Modified Cardano’s formula

be any value of third root and

Then the solutions of the cubic equation $x^<3>+px+q=0$ we can write in the form:

Ejemplo 1. Solve the following equation

The discriminant of the given equation is equal to:

Therefore, $Delta>0$ and equation has one real and two complex conjugate solutions.

By the Cardano’s formula we have:

The solutions of the given equation are:

$x_2 = v_1 epsilon + w_1 epsilon^2 $

$ = 2 cdot left (- frac<1> <2>– frac><2>i ight) + 1 cdot left ( -frac<1> <2>+ frac><2>i ight) $

$x_3 =v_1 epsilon^2 +w_1 epsilon = 2 cdot left ( -frac<1> <2>+ frac><2>i ight) + 1 cdot left (- frac<1> <2>– frac><2>i ight) = – frac<3> <2>+ frac> <2>i. PS

We can use formulas above when $Delta > 0$ and $Delta =0$. When $Delta < 0$, we have a different situation, because in the Cardano’s formula appears the square root of a negative number, that is, we have complex numbers.

For example, how to solve the equation $x^<3>-15x-4=0$?

By using the Cardano’s formula, we obtain:

$z=sqrt<125>(cosvarphi + i sin varphi), quad quad w=sqrt<125>left[cos(2pi – varphi) + i sin (2pi – varphi) ight],$

because $z$ and $w$ are complex conjugate numbers and they have the same modulus.

It is valid: $z_1 w_3=z_2 w_2= z_3 w_1=5$ and solutions of the equation $x^<3>-15x-4=0$ are real numbers:

The angle $varphi$ we can eliminate in the following way. Lo sabemos

and $ an varphi$ we can obtain from the coefficients of the equation:

where, if $varphi<0$ then the solutions are changing the sign.

$ an varphi= frac<2sqrt<121>> <4>=frac<22><4>=5.5 Longrightarrow varphi = arctan (5.5) = 1.3909428270 ldots rad.$

Therefore, the one solution of the given equation is

$= 2 cdot 2.2360679774 cdot 0.8944271909$

In general, the solutions of the cubic equation $x^3 + px +q=0$, where $Delta < 0$ and $z=-frac<2>+sqrti$, are:

where $varphi= arctan left[ an left(-frac<2sqrt<-Delta>> ight) ight]$ and if $ an left(-frac<2sqrt<-Delta>> ight) < 0$, then solutions are changing the sign.


A rational number is a number that can be expressed as a fraction. It can also be represented by decimal numbers that are either terminating or repeating.

Characteristics of Rational Numbers:

  • Rational numbers are infinite.
  • Between two rational numbers there are infinite rational numbers.
  • Rational numbers contain whole and natural numbers.
  • It can be expressed in fraction or in decimal form.

Rational vs. Irrational

  • Rational number is a number that can be expressed as a ratio of two integers while irrational number is a number that cannot be expressed that way.
  • A number that has repeating and terminating decimal is a rational number while a number that has non-repeating and non-terminating decimal is an irrational number.

SOLVING WORD PROBLEMS

In solving word problems involving rational numbers, we should always apply PEMDAS rule:

Parentheses Any parts of the equation that are written inside a set of parentheses should be done first from the inside out.
Exponent Next step in solving is to evaluate the exponents.
Multiplication, Division The third step is to multiply and divide the terms in order as you read them from left to right.
Addition, Subtraction The last step is the addition and subtraction of terms in order as you read them from left to right.


7.4: Solve Rational Equations - Mathematics

The total job can be represented as being a single job, which translates mathematically to a "1." Consequently, each hour of the job must constitute a third of the job, assuming Bridget works at the same speed throughout the entire job.

Now, if the question was changed so that it took five hours to do the job, we would see.

To fully understand this relationship, we should realize a three-hour job requires 1 &frasl3 of the work to be completed per hour. A five-hour job demands that 1 &frasl5 of the job gets handled per hour. Using mathematical terms, this relationship is called the reciprocal. So, a seven-hour job would translate to 1 &frasl7 of the work completed per hour.

To solve this equation, see what happens when we multiply all the terms of this equation by the denominators. If we multiply all the terms by seven and four, we get this equation.

We can cancel factors when a denominator and numerator contain the same factor, as shown in this next step.

After canceling on the left side and multiplying (7)(4)(1) on the right side, we get this remaining equation.

Now, we need to combine terms on the left side to get this next step.

Our last step involves dividing both sides by 11. So, the final answer is x = 2.5454 in a repeating pattern, which rounds to.

As we can see, when the denominators were canceled, the remaining equation is easily solved.

Notice how the table includes a "1" within the bottom row. The "1" stands for the single job that will be completed and it is a standard for all work problems.

Second, we need to start filling the table. Discussed within the work basics section, we will formulate the amount of work they do within one hour. We do this by finding the reciprocals of their work times. For Nancy, the reciprocal of 3 is 1 &frasl3. For Ben, the reciprocal of 4 is 1 &frasl4. These new figures will be placed within the "Work Per Time" column.

We would like to know how long they need to work together to finish the job. Since they will both begin and end at the same time, they will work for the same amount of time, which is known. So, we will call this unknown "x" and place it within the table.

The next step to solving this problem demands that we find values for the last column, "Work." Imagine if Ben worked for 2 hours. We would multiply 1 &frasl4 times 2 and get 1 &frasl2, which would mean only 1 &frasl2 of the job was done. So, if we multiply "Work Per Time" times "Time," we will gain "Work" within our table.

We will multiply across and represent work as algebraic expressions for each row.

Last, we need to develop an equation to solve this problem. We can get an equation if we think of Nancy and Ben's combined work effort. They are working together to get one problem done. Therefore, the last column holds the equation.

The sum of Nancy and Ben's work must be set equal to "1" for one job.

As was done within the solving simple rational equations section, we will follow the same steps. We will multiply all the terms by "3" and "4" to get.

Continuing on by adding like terms, we get this next equation.

After we divide both sides of the equation by "7," we get this solution once it is rounded to the nearest thousandth.

This means if Nancy and Ben work together, they will take 1.714 hours to do the job. This equates to 1 hour and 0.714(60) minutes or 1 hour and roughly 43 minutes to do the job.


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Preguntas más frecuentes de los estudiantes

P 1: ¿Cuáles son los pasos para resolver problemas verbales de matemáticas?

Respuesta:Estos son los pasos que debe seguir para resolver problemas matemáticos de palabras:

  • Lea el problema y establezca una ecuación.
  • Sustituye los valores de las palabras dadas en la pregunta para establecer la ecuación matemática.
  • Usa la fórmula para resolver la ecuación.
  • Responda la pregunta que hace el problema.

P 2: ¿Se puede utilizar el solucionador de problemas de palabras de Tophomeworkhelper.com de forma gratuita?

Respuesta:Sí, puede utilizar la herramienta Word Problem Solver de Tophomeworkhelper.com GRATIS sin suscribirse o descargar la herramienta. Así es como puede usarlo:

  • Escribe la suma de subir una imagen del problema verbal.
  • Sustituya los valores en la ecuación y haga clic en & lsquoGo & rsquo.
  • Descargue o copie y pegue los resultados en su tarea.

P 3: ¿Puedo contratar a los expertos de Tophomeworkhelper.com para resolver cualquier problema matemático?

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P 4: ¿Por qué los estudiantes luchan con los problemas de palabras de matemáticas?

Respuesta:Las razones más comunes por las que a los estudiantes les resulta difícil resolver problemas matemáticos en forma de enunciado son:

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