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8.4: Resolución de ecuaciones radicales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Resolver ecuaciones radicales
    • Aislar raíces cuadradas en ecuaciones y resolver una variable
    • Identificar soluciones extrañas a ecuaciones radicales.
  • Raíces cuadradas y completar el cuadrado para resolver ecuaciones radicales
    • Usa raíces cuadradas para resolver ecuaciones cuadráticas
    • Completa el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática.
  • Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas
    • Escribe una ecuación cuadrática en forma estándar e identifica los valores de a, B, y C en una ecuación cuadrática de forma estándar.
    • Usa la fórmula cuadrática para encontrar todas las soluciones reales.
    • Resolver problemas de aplicación que requieran el uso de la fórmula cuadrática.

Una estrategia básica para resolver ecuaciones radicales es aislar el término radical primero y luego elevar ambos lados de la ecuación a una potencia para eliminar el radical. (La razón para usar poderes se aclarará en un momento). Este es el mismo tipo de estrategia que usó para resolver otras ecuaciones no radicales: reorganice la expresión para aislar la variable que desea saber y luego resuelva la ecuación resultante .

Soluciones a ecuaciones radicales

Las soluciones de (x ^ 2 = a ) se llaman raíces cuadradas de a.

  • Cuando a es positivo, a> 0, (+ sqrt {a}, - sqrt {a} ). (- sqrt {a} ) es la raíz cuadrada negativa de a.
  • Cuando a es negativo, a <0, (x ^ 2 = a ) no tiene soluciones.
  • Cuando a es cero, a = 0, (x ^ 2 = a ) tiene una solución: a = 0

Para recordar la importancia del concepto de que cuando a es negativo, a <0, (x ^ 2 = a ) no tiene soluciones, lo reformularemos en palabras. Si tiene un número negativo debajo de un signo de raíz cuadrada como en este ejemplo,

( sqrt {-3} )

No habrá soluciones de números reales.

Hay dos ideas clave que utilizará para resolver ecuaciones radicales. La primera es que si (

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=

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). (Esta propiedad le permite elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación y tener la certeza de que los dos lados siguen siendo iguales). La segunda es que si la raíz cuadrada de cualquier número no negativo X está al cuadrado, entonces obtienes X: (

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= x ). (Esta propiedad le permite "eliminar" los radicales de sus ecuaciones).

Comencemos con una ecuación radical que puede resolver en unos pocos pasos: ( sqrt {x} -3 = 5 ).

Ejemplo

Resolver. ( sqrt {x} -3 = 5 )

[revel-answer q = ”946356 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”946356 ″] Suma 3 a ambos lados para aislar el término variable en el lado izquierdo de la ecuación.

( begin {matriz} {r} sqrt {x} -3 , , , = , , , 5 subrayado {+3 , , , , , , , + 3} end {matriz} )

Recopile términos semejantes.

( sqrt {x} = 8 )

Cuadre ambos lados para eliminar el radical, ya que (

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= x ). ¡Asegúrate de cuadrar el 8 también! Luego simplifica.

( begin {matriz} {r}

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=

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x = 64 end {matriz} )

Respuesta

( sqrt {x} -3 = 5 )

[/ respuesta-oculta]

Para comprobar su solución, puede sustituir 64 pulgadas por X en la ecuación original. Hace (8−3 = 5 ).

Observe cómo combinó términos semejantes y luego elevó al cuadrado ambos lados de la ecuación en este problema. Este es un método estándar para eliminar un radical de una ecuación. Es importante aislar un radical en un lado de la ecuación y simplificar tanto como sea posible antes de cuadratura. Cuantos menos términos haya antes de la cuadratura, menos términos adicionales generará el proceso de cuadratura.

En el ejemplo anterior, solo la variable X estaba debajo del radical. A veces, necesitará resolver una ecuación que contiene varios términos debajo de un radical. Siga los mismos pasos para resolverlos, pero preste atención a un punto crítico: cuadre ambos lados de una ecuación, no individual condiciones. Observe cómo se resuelven los dos problemas siguientes.

Ejemplo

Resolver. (x + 8 ). Cuadre ambos lados para eliminar el radical.

(

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=

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)

(

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= x + 8 ). Ahora simplifique la ecuación y resuelva para X.

( begin {matriz} {r} x + 8 = 9 x = 1 end {matriz} )

Comprueba tu respuesta. Sustituyendo 1 por X en la ecuación original produce un enunciado verdadero, por lo que la solución es correcta.

( begin {matriz} {r} sqrt {1 + 8} = 3 sqrt {9} = 3 3 = 3 end {matriz} )

Respuesta

( sqrt {x + 8} = 3 ).

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video mostramos cómo resolver ecuaciones radicales simples.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Ejemplo

Resolver. (1+ sqrt {2x + 3} = 6 )

[revel-answer q = ”479262 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”479262 ″] Empiece por restar 1 de ambos lados para aislar el término radical. Luego eleva ambos lados al cuadrado para eliminar el binomio del radical.

( begin {matriz} {r} 1+ sqrt {2x + 3} -1 = 6-1 sqrt {2x + 3} = 5 , , , , , , , , , ,

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=

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, , , end {matriz} )

Simplifica la ecuación y resuelve para X.

( begin {matriz} {r} 2x + 3 = 25 2x = 22 x = 11 end {matriz} )

Comprueba tu respuesta. Sustituyendo 11 por X en la ecuación original produce un enunciado verdadero, por lo que la solución es correcta.

( begin {array} {r} 1+ sqrt {2 (11) +3} = 6 1+ sqrt {22 + 3} = 6 1+ sqrt {25} = 6 1 + 5 = 6 6 = 6 end {matriz} )

Respuesta

(1+ sqrt {2x + 3} = 6 ).

[/ respuesta-oculta]

Resolver ecuaciones radicales

Siga los siguientes cuatro pasos para resolver ecuaciones radicales.

  1. Aislar la expresión radical.
  2. Cuadre ambos lados de la ecuación: Si (x ^ {2} = y ^ {2} ).
  3. Una vez que se elimina el radical, resuelva lo desconocido.
  4. Revise todas las respuestas.

Identificar soluciones extrañas

Seguir las reglas es importante, pero también lo es prestar atención a las matemáticas que tiene delante, especialmente al resolver ecuaciones radicales. Eche un vistazo a este próximo problema que demuestra un peligro potencial de cuadrar ambos lados para eliminar el radical.

Ejemplo

Resolver. ( sqrt {a-5} = - 2 )

[revel-answer q = ”798652 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”798652 ″] Cuadre ambos lados para eliminar el término (a – 5 ) del radical.

(

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=

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)

Escribe la ecuación simplificada y resuelve a.

( begin {matriz} {r} a-5 = 4 a = 9 end {matriz} )

Ahora verifique la solución sustituyendo (a = 9 ) en la ecuación original.

¡No marca!

( begin {matriz} {r} sqrt {9-5} = - 2 sqrt {4} = - 2 2 ne -2 end {matriz} )

Respuesta

Sin solución.

[/ respuesta-oculta]

Mire eso: la respuesta (a = 9 ) no produce un enunciado verdadero cuando se sustituye de nuevo en la ecuación original. ¿Qué sucedió?

Verifique el problema original: (- 2 ), y recuerde que la raíz cuadrada principal de un número solo puede ser positivo. Esto significa que no hay valor para a resultará en una expresión radical cuya raíz cuadrada positiva es (- 2 )! Es posible que lo haya notado de inmediato y haya llegado a la conclusión de que no hay soluciones para a.

Los valores incorrectos de la variable, como los que se introducen como resultado del proceso de cuadratura, se denominan soluciones extrañas. Las soluciones extrañas pueden parecer la solución real, pero puede identificarlas porque no crearán un enunciado verdadero cuando se sustituyan nuevamente en la ecuación original. Ésta es una de las razones por las que comprobar su trabajo es tan importante: si no comprueba sus respuestas sustituyéndolas de nuevo en la ecuación original, es posible que esté introduciendo soluciones extrañas al problema.
En el siguiente video de ejemplo, resolvemos ecuaciones más radicales que pueden tener soluciones extrañas.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Eche un vistazo al siguiente problema. Observe cómo el problema original es (

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+ 8x + 16 = x + 10 ). Cuadrar ambos lados puede haber introducido una solución extraña.

Ejemplo

Resolver. (x + 4 = sqrt {x + 10} )

[revel-answer q = ”705028 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”705028 ″] Cuadre ambos lados para eliminar el término (x + 10 ) del radical.

(

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=

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)

Ahora simplifica y resuelve la ecuación. Combina términos semejantes y luego factoriza.

( begin {array} {r} left (x + 4 right) left (x + 4 right) = x + 10

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+ 8x + 16 = x + 10

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+ 8x-x + 16-10 = 0 , , , , , , , , , , , , , ,

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+ 7x + 6 = 0 , , , , , , , , , , , , , , izquierda (x + 6 derecha) izquierda (x + 1 right) = 0 , , , , , , , , , , , , , , end {matriz} )

Iguala cada factor a cero y resuelve para X.

( begin {array} {c} left (x + 6 right) = 0 , , text {o} , , left (x + 1 right) = 0 x = - 6 text {o} x = -1 end {matriz} )

Ahora verifique ambas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

Dado que (x = −6 ) produce una declaración falsa, es una solución extraña.

( begin {matriz} {l} -6 + 4 = sqrt {-6 + 10} , , , , , , , , - 2 = sqrt {4} , , , , , , , , - 2 = 2 texto {¡FALSO!} \ - 1 + 4 = sqrt {-1 + 10} , , , , , , , , , , , , , , , 3 = sqrt {9} , , , , , , , , , , , , , , , 3 = 3 text {¡VERDADERO!} End {matriz} )

Respuesta

(x = −1 ) es la única solución

[/ respuesta-oculta]

Ejemplo

Resolver. (4+ sqrt {x + 2} = x )

[revel-answer q = ”568479 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”568479 ″] Aislar el término radical.

( sqrt {x + 2} = x-4 )

Eleva ambos lados al cuadrado para quitar el término (x + 2 ) del radical.

(

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=

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)

Ahora simplifica y resuelve la ecuación. Combina términos semejantes y luego factoriza.

( begin {matriz} {l} x + 2 =

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-8x + 16 , , , , , , , , , , , 0 =

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-8x-x + 16-2 , , , , , , , , , , , 0 =

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-9x + 14 , , , , , , , , , , , 0 = left (x-7 right) left (x-2 right) end {formación})

Iguala cada factor a cero y resuelve para X.

( begin {array} {c} left (x-7 right) = 0 text {o} left (x-2 right) = 0 x = 7 text {o} x = 2 end {matriz} )

Ahora verifique ambas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

Dado que (x = 2 ) produce una declaración falsa, es una solución extraña.

( begin {array} {r} 4+ sqrt {7 + 2} = 7 4+ sqrt {9} = 7 4 + 3 = 7 7 = 7 text {VERDADERO !} 4+ sqrt {2 + 2} = 2 4+ sqrt {4} = 2 4 + 2 = 2 6 = 2 text {FALSE!} End {formación})

Respuesta

(x = 7 ) es la única solución.

[/ respuesta-oculta]

En el último video de ejemplo, resolvemos una ecuación radical con un término binomial en un lado.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Raíces cuadradas y completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver de muchas formas. En la sección anterior presentamos la idea de que las soluciones a las ecuaciones radicales en general se pueden encontrar usando estos hechos:

Soluciones a ecuaciones cuadráticas

Las soluciones de (x ^ 2 = a ) se llaman raíces cuadradas de a.

  • Cuando a es positivo, a> 0, (+ sqrt {a}, - sqrt {a} ). (- sqrt {a} ) es la raíz cuadrada negativa de a.
  • Cuando a es negativo, a <0, (x ^ 2 = a ) no tiene soluciones.
  • Cuando a es cero, a = 0, (x ^ 2 = a ) tiene una solución: a = 0

Una forma abreviada de escribir (- sqrt {a} ) es ( pm ) a menudo se lee "positivo o negativo". Si se usa como una operación (suma o resta), se lee "más o menos".

Ejemplo

Resuelve usando la propiedad de la raíz cuadrada. (x ^ {2} = 9 )

[revel-answer q = ”793132 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”793132 ″] Dado que un lado es simplemente (x ^ {2} ), puedes sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener X en un lado. ¡No olvide usar raíces cuadradas positivas y negativas!

( begin {matriz} {l} x ^ {2} = 9 , , , x = pm sqrt {9} , , , x = pm3 end {matriz } )

Respuesta

(x = 3 ) o (- 3 ))

[/ respuesta-oculta]

Observe que hay una diferencia aquí al resolver ( sqrt {9} ). Para ( sqrt {9} ), solo desea el principal raíz cuadrada (no negativa). El negativo de la raíz cuadrada principal es ( pm sqrt {9} ). A menos que haya un símbolo delante del signo radical, ¡solo se desea el valor no negativo!

En el ejemplo anterior, puede sacar la raíz cuadrada de ambos lados fácilmente porque solo hay un término en cada lado. En algunas ecuaciones, es posible que deba trabajar un poco para obtener la ecuación en esta forma. Encontrará que esto implica aislar (x ^ {2} ).

Ejemplo

Resolver. (10x ^ {2} + 5 = 85 )

[revel-answer q = ”637209 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”637209 ″] Si intentas sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación original, tendrás (x ^ {2} ) término por sí mismo.

(10x ^ {2} + 5 = 85 )

Ahora podría sacar la raíz cuadrada de ambos lados, pero tendría ( sqrt {10} ) como coeficiente, y necesitaría dividir por ese coeficiente. Dividir por 10 antes de sacar la raíz cuadrada será un poco más fácil.

(10x ^ {2} = 80 )

Ahora solo tiene (x ^ {2} ) a la izquierda, por lo que puede usar la propiedad de raíz cuadrada fácilmente.

Asegúrese de simplificar el radical si es posible.

( begin {matriz} {l}

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= 8 , , , x = pm sqrt {8} , , , , , , = pm sqrt {(4) (2)} , , , , , , = pm sqrt {4} sqrt {2} , , , , , , = pm 2 sqrt {2} end {matriz } )

Respuesta

(x = pm 2 sqrt {2} )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video mostramos más ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas simples usando raíces cuadradas.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

A veces más que solo el X está siendo cuadrado:

Ejemplo

Resolver. ( left (x – 2 right) ^ {2} –50 = 0 )

[revel-answer q = ”347487 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”347487 ″] Nuevamente, sacar la raíz cuadrada de ambos lados en esta etapa dejará algo con lo que no puede trabajar a la izquierda. Comience agregando 50 a ambos lados.

( left (x-2 right) ^ {2} -50 = 0 )

Como ( left (x – 2 right) ^ {2} ) es una cantidad al cuadrado, puedes sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

( begin {matriz} {r} left (x-2 right) ^ {2} = 50 , , , , , , , , , , x-2 = pm sqrt {50} end {matriz} )

Aislar X a la izquierda, debe agregar 2 a ambos lados.

Asegúrese de simplificar el radical si es posible.

( begin {matriz} {l} x = 2 pm sqrt {50} , , , , = 2 pm sqrt {(25) (2)} , , , , = 2 pm sqrt {25} sqrt {2} , , , , = 2 pm 5 sqrt {2} end {matriz} )

Respuesta

(x = 2 pm 5 sqrt {2} )

[/ respuesta-oculta]

En este video de ejemplo, verá más ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando raíces cuadradas.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Completar el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática

Por supuesto, las ecuaciones cuadráticas a menudo no vienen en el formato de los ejemplos anteriores. La mayoría de ellos tendrá X condiciones. Sin embargo, es posible que pueda factorizar la expresión en un binomio al cuadrado, y si no es así, aún puede usar binomios al cuadrado como ayuda.

Algunos de los ejemplos anteriores tienen binomios cuadrados: ( left (x – 2 right) ^ {2} ) son binomios cuadrados. Si los expande, obtiene un trinomio cuadrado perfecto.

Los trinomios cuadrados perfectos tienen la forma ( left (x + s right) ^ {2} ), o tienen la forma ( left (x – s right) ^ {2} ). Factoricemos un trinomio cuadrado perfecto en un binomio cuadrado.

Ejemplo

Factoriza (9x ^ {2} –24x + 16 ).

[revel-answer q = ”844629 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”844629 ″] Primero observe que el término (x ^ {2} ) y el término constante son cuadrados perfectos.

( begin {array} {l} 9x ^ {2} = left (3x right) ^ {2} , , , 16 = 4 ^ {2} end {array} )

Luego observe que el término medio (ignorando el signo) es dos veces el producto de las raíces cuadradas de los otros términos.

(24x = 2 left (3x right) left (4 right) )

Un trinomio en la forma ((r – s) ^ {2} ).

En este caso, el término medio se resta, así que resta r y s y elevarlo al cuadrado para obtener ((r – s) ^ {2} ).

( begin {matriz} {c} , , , r = 3x s = 4 9x ^ {2} -24x + 16 = left (3x-4 right) ^ {2} fin {matriz} )

Respuesta

( left (3x – 4 right) ^ {2} )

[/ respuesta-oculta]

Puede usar el procedimiento en el siguiente ejemplo para ayudarlo a resolver ecuaciones en las que identifica trinomios cuadrados perfectos, incluso si la ecuación no es igual a 0.

Ejemplo

Resolver. (4x ^ {2} + 20x + 25 = 8 )

[revel-answer q = ”538757 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = "538757 ″] Dado que hay un X término, no puede usar la propiedad de la raíz cuadrada inmediatamente (o incluso después de sumar o dividir por una constante).

Sin embargo, observe que ( left (2x right) ^ {2} ) y (2 left (2x right) left (5 right) )? ¡Sí!

(4x ^ {2} + 20x + 25 = 8 )

Un trinomio en la forma ( left (r + s right) ^ {2} ), así que reescribe el lado izquierdo como un binomio al cuadrado.

((2x + 5) ^ {2} = 8 )

Ahora tu lata usa la propiedad de la raíz cuadrada. Se necesitan algunos pasos adicionales para aislar X.

( begin {matriz} {r} 2x + 5 = pm sqrt {8} , , , , , , , , , , , , , , , , 2x = -5 pm sqrt {8} , , , , , x = - frac {5} {2} pm frac {1} {2} sqrt {8} end {matriz} )

Simplifique el radical cuando sea posible.

( begin {array} {l} x = - frac {5} {2} pm frac {1} {2} sqrt {4} sqrt {2} x = - frac {5} {2} pm frac {1} {2} (2) sqrt {2} x = - frac {5} {2} pm sqrt {2} end {matriz } )

Respuesta

(x = - frac {5} {2} pm sqrt {2} )

[/ respuesta-oculta]

Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas es por completando el cuadrado. Cuando no tienes un trinomio cuadrado perfecto, puedes crear uno agregando un término constante que sea un cuadrado perfecto a ambos lados de la ecuación. Veamos cómo encontrar ese término constante.

“Completar el cuadrado” hace exactamente lo que dice: toma algo que no es un cuadrado y lo convierte en uno. Esta idea se puede ilustrar usando un modelo de área del binomio (x ^ {2} + bx ).

En este ejemplo, el área del rectángulo total viene dada por (x left (x + b right) ).

Ahora convierta este rectángulo en un cuadrado. Primero, divide el rectángulo rojo con el área bx en dos rectángulos iguales, cada uno con un área (bx ).

Los rectángulos rojos ahora forman dos lados de un cuadrado, que se muestra en blanco. El área de ese cuadrado es la longitud de los rectángulos rojos al cuadrado, o (

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).

Aquí viene la parte interesante: ¿ves que cuando el cuadrado blanco se agrega a las regiones azul y roja, la forma completa ahora también es un cuadrado? En otras palabras, ¡ha "completado el cuadrado!" Sumando la cantidad (x + frac {b} {2} ).

Observe que el área de este cuadrado se puede escribir como un binomio cuadrado: ( left (x + frac {b} {2} right) ^ {2} ).

Encontrar un valor que complete el cuadrado en una expresión

Para completar el cuadrado de una expresión de la forma (x ^ {2} + bx ):

  • Identificar el valor de B;
  • Calcula y suma ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ).

La expresión se convierte en (x ^ {2} + bx + left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left (x + frac {b} {2} right) ^ {2} ).

Ejemplo

Encuentra el número para sumar a (x ^ {2} + 8x ) para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto.

[revel-answer q = ”691356 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”691356 ″] Primero identifica B si tiene la forma (x ^ {2} + bx ).

( begin {matriz} {c} x ^ {2} + 8x b = 8 end {matriz} )

Para completar el cuadrado, agregue ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ).

( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {8} {2} right) ^ {2} )

Simplificar.

( begin {matriz} {c} x ^ {2} + 8x + left (4 right) ^ {2} x ^ {2} + 8x + 16 end {matriz} )

Compruebe que el resultado sea un trinomio cuadrado perfecto. ( left (x + 4 right) ^ {2} = x ^ {2} + 4x + 4x + 16 = x ^ {2} + 8x + 16 ), así es.

Respuesta

Sumando (x ^ {2} + 8x ) un trinomio cuadrado perfecto.

[/ respuesta-oculta]

Darse cuenta de (

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) siempre es positivo, ya que es el cuadrado de un número. Cuando completas el cuadrado, siempre estás agregando un valor positivo.

En el siguiente video, mostramos más ejemplos de cómo encontrar términos constantes que harán de un trinomio un cuadrado perfecto.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Puedes usar completar el cuadrado para ayudarte a resolver una ecuación cuadrática que no se puede resolver factorizando.

Comencemos por ver qué sucede cuando completas el cuadrado en una ecuación. En el siguiente ejemplo, observe que completar el cuadrado resultará en agregar un número a ambas cosas lados de la ecuación, ¡tienes que hacer esto para mantener ambos lados iguales!

Ejemplo

Reescribe (x ^ {2} + 6x = 8 ) para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.

[revel-answer q = ”539170 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”539170 ″] Esta ecuación tiene una constante de 8. Ignórela por ahora y concéntrese en (x ^ {2} + bx ), para que pueda identificar B.

( begin {matriz} {r} x ^ {2} + 6x = 8 b = 6 end {matriz} )

Para completar el cuadrado, agregue (

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) hacia el lado izquierdo.

(

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=

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=

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=9.)

Sin embargo, esta es una ecuación, por lo que debe agregar el mismo número al derecho lado también.

(x ^ {2} + 6x + 9 = 8 + 9 )

Simplificar. Comprueba que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto. ( begin {matriz} {r} left (x + 3 right) ^ {2} = x ^ {2} + 3x + 3x + 9 = x ^ {2} + 6x + 9 end {matriz} {r} ), así es.

( begin {matriz} {r} x ^ {2} + 6x + 9 = 17 x ^ {2} + 6x + 9 = 17 (x + 3) ^ {2} = 17 end { formación})

Respuesta

(x ^ {2} + 6x + 9 = 17 )

[/ respuesta-oculta]

¿Puedes ver que completar el cuadrado en una ecuación es muy similar a completar el cuadrado en una expresión? La principal diferencia es que tienes que sumar el nuevo número ( (+ 9 ) en este caso) a ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad.

Ahora veamos un ejemplo en el que estás usando completar el cuadrado para resolver realmente una ecuación, encontrando un valor para la variable.

Ejemplo

Resolver. (x ^ {2} –12x – 4 = 0 )

[revel-answer q = ”903321 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”903321 ″] Ya que no puedes factorizar el trinomio en el lado izquierdo, usarás completar el cuadrado para resolver la ecuación.

Reescribe la ecuación con el lado izquierdo en la forma (x ^ {2} + bx ), para prepararse para completar el cuadrado. Identificar B.

( begin {matriz} {r} x ^ {2} -12x = 4 , , , , , , , , b = -12 end {matriz} )

Averigua qué valor agregar para completar el cuadrado. Agregar (

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=

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=

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=36).

Suma el valor a ambas cosas lados de la ecuación y simplificar.

( begin {matriz} {l} x ^ {2} -12x + 36 = 4 + 36 x ^ {2} -12x + 36 = 40 end {matriz} )

Reescribe el lado izquierdo como un binomio al cuadrado.

( left (x-6 right) ^ {2} = 40 )

Utilice la propiedad de la raíz cuadrada. Recuerde incluir la raíz cuadrada positiva y negativa, o perderá una de las soluciones.

(x-6 = pm sqrt {40} )

Resolver X agregando 6 a ambos lados. Simplifique según sea necesario.

( begin {array} {l} x = 6 pm sqrt {40} , , , , = 6 pm sqrt {4} sqrt {10} , , , , = 6 pm 2 sqrt {10} end {matriz} )

Respuesta

(x = 6 pm 2 sqrt {10} )

[/ respuesta-oculta]

En este último video, resolvemos más ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Es posible que haya notado que debido a que debe usar ambas raíces cuadradas, todos los ejemplos tienen dos soluciones. Aquí hay otro ejemplo que es ligeramente diferente.

Ejemplo

Resuelve (x ^ {2} + 16x + 17 = -47 ).

[revel-answer q = ”270245 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”270245 ″] Vuelva a escribir la ecuación para que el lado izquierdo tenga la forma (x ^ {2} + bx ). Identificar B.

( begin {matriz} {c} x ^ {2} + 16x = -64 b = 16 end {matriz} )

Agregar (

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=

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= 64 ), a ambos lados.

( begin {matriz} {l} x ^ {2} + 16x + 64 = -64 + 64 x ^ {2} + 16x + 64 = 0 end {matriz} )

Escribe el lado izquierdo como un binomio al cuadrado.

( left (x + 8 right) ^ {2} = 0 )

Toma las raíces cuadradas de ambos lados. Normalmente se necesitan raíces cuadradas tanto positivas como negativas, pero 0 no es ni positivo ni negativo. 0 tiene una sola raíz.

(x + 8 = 0 )

Resolver X.

(x = -8 )

Respuesta

(x = -8 )

[/ respuesta-oculta]

Eche un vistazo más de cerca a este problema y es posible que vea algo familiar. En lugar de completar el cuadrado, intente sumar 47 en ambos lados de la ecuación. La ecuación (x ^ {2} + 16x + 64 = 0 ). ¿Puedes factorizar esta ecuación usando agrupación? (Piense en dos números cuyo producto es 64 y cuya suma es 16).

Se puede factorizar como ((x + 8) (x + 8) = 0 ), ¡por supuesto! Saber cómo completar el cuadrado es muy útil, pero no siempre es la única forma de resolver una ecuación.

Usa la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas

Fórmula cuadrática

Puedes resolver cualquier ecuación cuadrática por completando el cuadrado—Escribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completa el cuadrado de la ecuación genérica (x = frac {-b pm sqrt

ParseError: se esperan dos puntos (haga clic para obtener más detalles)

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{2a} ). Esta ecuación se conoce como fórmula cuadrática.

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y su uso puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática se puede usar para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ).

La forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) se llama forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática, es vital que esté seguro de que la ecuación está en esta forma. Si no lo hace, puede utilizar los valores incorrectos para a, B, o C, y luego la fórmula dará soluciones incorrectas.

Ejemplo

Reescribe la ecuación (3x + 2x ^ {2} + 4 = 5 ) en forma estándar e identifica a, B, y C.

[revel-answer q = ”489648 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”489648 ″] Primero asegúrese de que el lado derecho de la ecuación sea 0. En este caso, todo lo que necesita hacer es restar 5 de ambos lados.

( begin {matriz} {c} 3x + 2x ^ {2} + 4 = 5 3x + 2x ^ {2} + 4–5 = 5–5 end {matriz} )

Simplifica y escribe los términos con exponente en la variable en orden descendente.

( begin {array} {r} 3x + 2x ^ {2} -1 = 0 2x ^ {2} + 3x-1 = 0 end {array} )

Ahora que la ecuación está en forma estándar, puede leer los valores de a, B, y C de los coeficientes y constante. Tenga en cuenta que, dado que se resta la constante 1, C debe ser negativo.

( begin {matriz} {l} 2x ^ {2} , , , + , , , 3x , , , - , , , 1 , , , = , , , 0 , , flecha hacia abajo , , , , , , , , , , , , , , , , , downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,ax^{2},, ,,,,,,,,bx,,,,,,,,,,,,,,,,c \,,a=2,,,b=3,,,c=-1end{array})

Respuesta

(2x^{2}+3x–1=0;a=2,b=3,c=−1)

[/ respuesta-oculta]

Ejemplo

Rewrite the equation (2(x+3)^{2}–5x=6) in standard form and identify a, B, y C.

[reveal-answer q=”585220″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”585220″]First be sure that the right side of the equation is 0.

(egin{array}{c}2left(x+3 ight)^{2}–5x=62(x+3)^{2}–5x–6=6–6end{array})

Expand the squared binomial, then simplify by combining like terms.

Be sure to write the terms with the exponent on the variable in descending order.

(egin{array}{r}2left(x^{2}+6x+9 ight)-5x-6=02x^{2}+12x+18–5x–6=02x^{2}+12x–5x+18–6=02x^{2}+7x+12=0end{array})

Now that the equation is in standard form, you can read the values of a, B, y C from the coefficients and constant.

(egin{array}{l}2x^{2},,,+,,,7x,,,+,,,12,,,=,,,0,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,,,,,,,,,,,,,,,,,c\,,,,,,a=2,,,b=7,,,c=7end{array})

Respuesta

(2x^{2}+7x+12=0;,,a=2,b=7,c=12)

[/ respuesta-oculta]

Solving a Quadratic Equation using the Quadratic Formula

The Quadratic Formula will work with alguna quadratic equation, but solo if the equation is in standard form, (ax^{2}+bx+c=0). To use it, follow these steps.

  • Put the equation in standard form first.
  • Identify the coefficients, a, B, y C. Be careful to include negative signs if the bx o C terms are subtracted.
  • Substitute the values for the coefficients into the Quadratic Formula.
  • Simplify as much as possible.
  • Use the (pm) in front of the radical to separate the solution into two values: one in which the square root is added, and one in which it is subtracted.
  • Simplify both values to get the possible solutions.

That’s a lot of steps. Let’s try using the Quadratic Formula to solve a relatively simple equation first; then you’ll go back and solve it again using another factoring method.

Ejemplo

Use the Quadratic Formula to solve the equation (x^{2}+4x=5).

[reveal-answer q=”296770″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”296770″]First write the equation in standard form.

(egin{array}{r}x^{2}+4x=5,,,x^{2}+4x-5=0,,,a=1,b=4,c=-5end{array})

Note that the subtraction sign means the constant C es negativo.

(egin{array}{r}

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,,,+,,,4x,,,-,,,5,,,=,,,0downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,a

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,,,+,,,bx,,,+,,,c,,,=,,,0end{array})

Substitute the values into the Quadratic Formula. (x=frac{-bpm sqrt

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{2a})

(egin{array}{l}x=frac{-4pm sqrt

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{2(1)}end{array})

Simplify, being careful to get the signs correct.

(x=frac{-4pmsqrt{16+20}}{2})

Simplify some more.

(x=frac{-4pm sqrt{36}}{2})

Simplify the radical: (sqrt{36}=6).

(x=frac{-4pm 6}{2})

Separate and simplify to find the solutions to the quadratic equation. Note that in one, 6 is added and in the other, 6 is subtracted.

(egin{array}{c}x=frac{-4+6}{2}=frac{2}{2}=1\text{or}x=frac{-4-6}{2}=frac{-10}{2}=-5end{array})

Respuesta

(x=1,,, ext{or},,,-5)

[/ respuesta-oculta]

You can check these solutions by substituting (−5) into the original equation.

(egin{array}{r}x=-5x^{2}+4x=5,,,,,left(-5 ight)^{2}+4left(-5 ight)=5,,,,,25-20=5,,,,,5=5,,,,,end{array})

You get two true statements, so you know that both solutions work: (-5). You’ve solved the equation successfully using the Quadratic Formula!

The power of the Quadratic Formula is that it can be used to solve alguna quadratic equation, even those where finding number combinations will not work.

In teh following video, we show an example of using the quadratic formula to solve an equation with two real solutions.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Most of the quadratic equations you’ve looked at have two solutions, like the one above. The following example is a little different.

Ejemplo

Use the Quadratic Formula to solve the equation (x^{2}-2x=6x-16).

[reveal-answer q=”998241″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”998241″]Subtract 6X from each side and add 16 to both sides to put the equation in standard form.

(egin{array}{l}x^{2}-2x=6x-16x^{2}-2x-6x+16=0x^{2}-8x+16=0end{array})

Identify the coefficients a, B, y C. (a=1). Since (a=1,b=-8,c=16)

(egin{array}{r}

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,,,-,,,8x,,,+,,,16,,,=,,,0downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,,a

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[9]/div[2]/p[5]/span[2], line 1, column 2

,,,+,,,bx,,,+,,,,c,,,,=,,,0end{array})

Substitute the values into the Quadratic Formula.

(egin{array}{l}x=frac{-bpm sqrt

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{2a}x=frac{-(-8)pm sqrt

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{2(1)}end{array})

Simplificar.

(x=frac{8pm sqrt{64-64}}{2})

Since the square root of 0 is 0, and both adding and subtracting 0 give the same result, there is only one possible value.

(x=frac{8pm sqrt{0}}{2}=frac{8}{2}=4)

Respuesta

(x=4)

[/ respuesta-oculta]

Again, check using the original equation.

(egin{array}{r}x^{2}-2x=6x-16,,,,,left(4 ight)^{2}-2left(4 ight)=6left(4 ight)-1616-8=24-16,,,,,,8=8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,end{array})

In the following video we show an example of using the quadratic formula to solve a quadratic equation that has one repeated solution.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

In this video example we show that solutions to quadratic equations can have rational answers.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Applying the Quadratic Formula

Quadratic equations are widely used in science, business, and engineering. Quadratic equations are commonly used in situations where two things are multiplied together and they both depend on the same variable. For example, when working with area, if both dimensions are written in terms of the same variable, you use a quadratic equation. Because the quantity of a product sold often depends on the price, you sometimes use a quadratic equation to represent revenue as a product of the price and the quantity sold. Quadratic equations are also used when gravity is involved, such as the path of a ball or the shape of cables in a suspension bridge.

A very common and easy-to-understand application is the height of a ball thrown at the ground off a building. Because gravity will make the ball speed up as it falls, a quadratic equation can be used to estimate its height any time before it hits the ground. Note: The equation isn’t completely accurate, because friction from the air will slow the ball down a little. For our purposes, this is close enough.

Ejemplo

A ball is thrown off a building from 200 feet above the ground. Its starting velocity (also called initial velocity) is (−10) feet per second. (The negative value means it’s heading toward the ground.)

The equation (h=-16t^{2}-10t+200) can be used to model the height of the ball after t seconds. About how long does it take for the ball to hit the ground?

[reveal-answer q=”704677″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”704677″]When the ball hits the ground, the height is 0. Substitute 0 for h.

(egin{array}{c}h=-16t^{2}-10t+200=-16t^{2}-10t+200-16t^{2}-10t+200=0end{array})

This equation is difficult to solve by factoring or by completing the square, so solve it by applying the Quadratic Formula, (a=−16,b=−10), and (c=200).

(t=frac{-(-10)pm sqrt

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[10]/div[1]/p[6]/span, line 1, column 7

{2(-16)})

Simplificar. Be very careful with the signs.

(egin{array}{l}t=frac{10pm sqrt{100+12800}}{-32},,=frac{10pm sqrt{12900}}{-32}end{array})

Use a calculator to find both roots.

t is approximately (3.24).

Consider the roots logically. One solution, (3.24) seconds, must be when the ball hits the ground.

Respuesta

The ball hits the ground approximately (3.24) seconds after being thrown.

[/ respuesta-oculta]

The area problem below does not look like it includes a Quadratic Formula of any type, and the problem seems to be something you have solved many times before by simply multiplying. But in order to solve it, you will need to use a quadratic equation.

Ejemplo

Bob made a quilt that is 4 ft ( imes) 5 ft. He has 10 sq. ft. of fabric he can use to add a border around the quilt. How wide should he make the border to use all the fabric? (The border must be the same width on all four sides.)

[reveal-answer q=”932211″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”932211″]Sketch the problem. Since you don’t know the width of the border, you will let the variable X represent the width.

In the diagram, the original quilt is indicated by the red rectangle. The border is the area between the red and blue lines.

Since each side of the original 4 by 5 quilt has the border of width X added, the length of the quilt with the border will be (4+2x).

(Both dimensions are written in terms of the same variable, and you will multiply them to get an area! This is where you might start to think that a quadratic equation might be used to solve this problem.)

You are only interested in the area of the border strips. Write an expression for the area of the border.

Area of border = Area of the blue rectangle minus the area of the red rectangle

Area of border(=left(4+2x ight)left(5+2x ight)–left(4 ight)left(5 ight))

There are 10 sq ft of fabric for the border, so set the area of border to be 10.

(10=left(4+2x ight)left(5+2x ight)–20)

Multiply (left(4+2x ight)left(5+2x ight)).

(10=20+8x+10x+4x^{2}–20)

Simplificar.

(10=18x+4x^{2})

Subtract 10 from both sides so that you have a quadratic equation in standard form and can apply the Quadratic Formula to find the roots of the equation.

(egin{array}{c}0=18x+4x^{2}-10\text{or}4x^{2}-102left(2x^{2}+9x-5 ight)=0end{array})

Factor out the greatest common factor, 2, so that you can work with the simpler equivalent equation, (2x^{2}+9x–5=0).

(egin{array}{r}2left(2x^{2}+9x-5 ight)=0\frac{2left(2x^{2}+9x-5 ight)}{2}=frac{0}{2}2x^{2}+9x-5=0end{array})

Use the Quadratic Formula. In this case, (c=−5).

(egin{array}{l}x=frac{-bpm sqrt

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{2a}x=frac{-9pm sqrt

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{2(2)}end{array})

Simplificar.

(x=frac{-9pm sqrt{121}}{4}=frac{-9pm 11}{4})

Find the solutions, making sure that the (pm) is evaluated for both values.

(egin{array}{c}x=frac{-9+11}{4}=frac{2}{4}=frac{1}{2}=0.5\text{or}x=frac{-9-11}{4}=frac{-20}{4}=-5end{array})

Ignore the solution (x=−5), since the width could not be negative.

Respuesta

The width of the border should be 0.5 ft.

[/ respuesta-oculta]

In this last video, we show how to use the quadratic formula to solve an application involving a picture frame.

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Resumen

A common method for solving radical equations is to raise both sides of an equation to whatever power will eliminate the radical sign from the equation. But be careful—when both sides of an equation are raised to an even power, the possibility exists that extraneous solutions will be introduced. When solving a radical equation, it is important to always check your answer by substituting the value back into the original equation. If you get a true statement, then that value is a solution; if you get a false statement, then that value is not a solution.

Completing the square is used to change a binomial of the form (

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+bx+

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), which can be factored to (

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) to ambas cosas sides of the equation to maintain equality. The Square Root Property can then be used to solve for X. With the Square Root Property, be careful to include both the principal square root and its opposite. Be sure to simplify as needed.

Quadratic equations can appear in different applications. The Quadratic Formula is a useful way to solve these equations, or any other quadratic equation! The Quadratic Formula, (" class="latex mathjax).