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4.2: Términos y expresiones con exponentes - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Identificar los componentes de un término que contiene exponentes enteros.
  • Evaluar expresiones que contienen exponentes enteros

Una lengua franca es un idioma común que se utiliza para hacer posible la comunicación entre personas que hablan diferentes idiomas. Las matemáticas, como idea general, a veces se consideran un ejemplo de un lenguaje común porque las fórmulas y ecuaciones no dependen de la fluidez en un idioma específico.

Pero incluso dentro de las matemáticas se necesita un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas de manera clara y eficiente. Notación exponencial (recuerde que esto también se llama notación científica) se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas de manera más eficiente. Por ejemplo, el crecimiento se produce en los organismos vivos mediante la división de células. Un tipo de célula se divide 2 veces en una hora. Entonces, en 12 horas, la celda se dividirá (2 ^ {12} ). Expresarlo de esta manera es una forma mucho más eficiente y clara de expresar las formas en que las células se dividen.

En esta sección aprenderemos cómo simplificar y realizar operaciones matemáticas como multiplicación y división en términos que tienen exponentes. También aprenderemos cómo usar la notación científica para representar números muy grandes o muy pequeños y realizar operaciones matemáticas con ellos.

Anatomía de términos exponenciales

Usamos la notación exponencial para escribir multiplicaciones repetidas. Por ejemplo (10 ​​^ {3} ). El 10 en (10 ​​^ {3} ) se llama exponente. La expresión (10 ​​^ {3} ) se llama expresión exponencial. Conocer los nombres de las partes de una expresión o término exponencial te ayudará a aprender a realizar operaciones matemáticas con ellas.

( text {base} rightarrow10 ^ {3 leftarrow text {exponent}} )

(10 ​​ cdot10 cdot10 ) o 1000.

(8 cdot8 ) o 64.

(5 cdot5 cdot5 cdot5 ) o 625.

({b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} ). Su valor dependerá del valor de B.

El exponente se aplica solo al número al lado. Por lo tanto, en la expresión (xy ^ {4} ) significa ({x} cdot {y} cdot {y} cdot {y} cdot {y} ). La X en este término es un coeficiente de y.

Si la expresión exponencial es negativa, como (- left (3 cdot3 cdot3 cdot3 right) ) o (- 81 ).

Si ( left (−3 right) ^ {4} ), lo que significa (- 3 cdot − 3 cdot − 3 cdot − 3 ), o 81.

Del mismo modo, (- x ^ {4} = - left (x cdot x cdot x cdot x right) ).

Puedes ver que hay una gran diferencia, ¡así que debes tener mucho cuidado! Los siguientes ejemplos muestran cómo identificar la base y el exponente, así como cómo identificar el formato expandido y exponencial de la escritura de multiplicaciones repetidas.

Ejemplo

Identifica el exponente y la base en los siguientes términos, luego simplifica:

  1. (7^{2})
  2. ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} )
  3. (2x ^ {3} )
  4. ( left (-5 right) ^ {2} )

[revel-answer q = ”211363 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]

[respuesta oculta a = ”211363 ″]

1) (7^{2})

El exponente de este término es 2 y la base es 7. Para simplificar, expanda el término: (7 ^ {2} = 7 cdot {7} = 49 )

2) ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} )

El exponente de este término es 3 y la base es ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} = frac {1} {2} cdot { frac {1 } {2}} cdot { frac {1} {2}} = frac {1} {16} )

3) (2x ^ {3} )

El exponente de este término es 3, y la base es x, el 2 no obtiene el exponente porque no hay paréntesis que nos indiquen que lo es. Este término está en su forma más simplificada.

4) ( left (-5 right) ^ {2} )

El exponente de estos términos es 2 y la base es ( left (-5 right) ^ {2} = - 5 cdot {-5} = 25 )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video, se le proporcionan más ejemplos de cómo aplicar exponentes a varias bases.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=90

Evaluar expresiones

Evaluar expresiones que contienen exponentes es lo mismo que evaluar las expresiones lineales anteriores en el curso. Sustituye el valor de la variable en la expresión y simplifica.

Puede usar el orden de las operaciones para evaluar las expresiones que contienen exponentes. Primero, evalúe cualquier cosa entre paréntesis o símbolos de agrupación. Luego, busque Exponentes, seguido de Multiplicación y División (leyendo de izquierda a derecha), y por último, Suma y Resta (nuevamente, leyendo de izquierda a derecha).

Entonces, cuando evalúe la expresión (x = 4 ), primero sustituya el valor 4 por la variable X. Luego evalúe, usando el orden de operaciones.

Ejemplo

Evalúa (x = 4 ).

[revel-answer q = ”411363 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”411363 ″]

Sustituye 4 por la variable X.

(5 cdot4 ^ {3} )

Evalúe (4 ^ {3} ). Multiplicar.

(5 izquierda (4 cdot4 cdot4 derecha) = 5 cdot64 = 320 )

Respuesta

(x = 4 )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente ejemplo, observe cómo la adición de paréntesis puede cambiar el resultado cuando simplifica términos con exponentes.

Ejemplo

Evalúa (x = 4 ).

[revel-answer q = ”362021 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”362021 ″] Sustituye 4 por la variable X.

( izquierda (5 cdot4 derecha) 3 )

Multiplica dentro del paréntesis, luego aplica el exponente, siguiendo las reglas de PEMDAS.

(20^{3})

Evalúe (20 ^ {3} ).

(20 cdot20 cdot20 = 8,000 )

Respuesta

(x = 4 )

[/ respuesta-oculta]

¡La adición de paréntesis marcó una gran diferencia! Los paréntesis le permiten aplicar un exponente a variables o números que se multiplican, dividen, suman o restan entre sí.

Ejemplo

Evalúa (x = −4 ).

[revel-answer q = ”86290 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”86290 ″] Sustituye (- 4 ) por la variable X.

( left (−4 right) ^ {3} )

Evaluar. Observe cómo colocar paréntesis alrededor de (- 4 ) significa que el signo negativo también se multiplica.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 )

Multiplicar.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 = −64 )

Respuesta

(x = −4 )

[/ respuesta-oculta]

¡Precaución! El hecho de incluir un signo negativo como parte de una base o no suele generar confusión. Para aclarar si se aplica un signo negativo antes o después del exponente, aquí hay un ejemplo.

¿Cuál es la diferencia en la forma en que evaluaría estos dos términos?

  1. (-{3}^{2})
  2. ({ left (-3 right)} ^ {2} )

Para evaluar 1), aplicaría el exponente a los tres primero, luego aplicaría el signo negativo al final, así:

( begin {matriz} {c} - left ({3} ^ {2} right) = - left (9 right) = -9 end {matriz} )

Para evaluar 2), aplicarías el exponente al 3 y al signo negativo:

( begin {array} {c} { left (-3 right)} ^ {2} = left (-3 right) cdot left (-3 right) = {9 } end {matriz} )

La clave para recordar esto es seguir el orden de las operaciones. La primera expresión no incluye paréntesis, por lo que primero debe aplicar el exponente al número entero 3 y luego aplicar el signo negativo. La segunda expresión incluye paréntesis, por lo que es de esperar que recuerde que el signo negativo también se eleva al cuadrado.

En las siguientes secciones, aprenderá a simplificar expresiones que contienen exponentes. Vuelve a esta página si olvidas cómo aplicar el orden de las operaciones a un término con exponentes, o si olvidas cuál es la base y cuál es el exponente.

En el siguiente video, se le proporcionan ejemplos de evaluación de expresiones exponenciales para un número dado.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=90

Contenido con licencia CC, original

  • Simplifique las expresiones exponenciales básicas. Escrito por: James Sousa (Mathispower4u.com) para Lumen Learning. Situado en: https://youtu.be/ocedY91LHKU. Licencia: CC BY: Atribución
  • Revisión y Adaptación.

    10.2 Usar propiedades de multiplicación de exponentes

    Recuerda que un exponente indica una multiplicación repetida de la misma cantidad. Por ejemplo, 2 4 2 4 significa multiplicar cuatro factores de 2, 2, entonces 2 4 2 4 significa 2 · 2 · 2 · 2. 2 · 2 · 2 · 2. Este formato se conoce como notación exponencial.

    Notación exponencial

    Antes de comenzar a trabajar con expresiones variables que contienen exponentes, simplifiquemos algunas expresiones que involucran solo números.

    Ejemplo 10.11

    Solución

    Ejemplo 10.12

    Solución

    Ejemplo 10.13

    Solución

    Observe las similitudes y diferencias en las partes ⓐ y ⓑ. ¿Por qué las respuestas son diferentes? En la parte ⓐ los paréntesis nos dicen que elevemos el (−3) a la 4ª potencia. En la parte ⓑ aumentamos solo el 3 a la 4ª potencia y luego encontramos el opuesto.

    Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes

    Has visto que cuando combinas términos semejantes sumando y restando, necesitas tener la misma base con el mismo exponente. Pero cuando multiplica y divide, los exponentes pueden ser diferentes y, a veces, las bases también pueden ser diferentes. Derivaremos las propiedades de los exponentes buscando patrones en varios ejemplos. Todas las propiedades de los exponentes son verdaderas para cualquier número real, pero ahora solo usaremos exponentes de números enteros.

    Primero, veremos un ejemplo que conduce a la propiedad del producto.

    ¿Qué significa esto?

    ¿Cuántos factores en total?
    Entonces tenemos
    Observe que 5 es la suma de los exponentes, 2 y 3.
    Nosotros escribimos: x 2 ⋅ x 3 x 2 ⋅ x 3
    x 2 + 3 x 2 + 3
    x 5 x 5

    La base se mantuvo igual y sumamos los exponentes. Esto conduce a la propiedad del producto para exponentes.

    Propiedad del producto de los exponentes

    Para multiplicar con bases iguales, suma los exponentes.

    Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad.

    Ejemplo 10.14

    Solución

    Ejemplo 10.15

    Solución

    Ejemplo 10.16

    Solución

    Ejemplo 10.17

    Solución

    Podemos extender la propiedad del producto de los exponentes a más de dos factores.

    Ejemplo 10.18

    Solución

    Simplificar expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes

    Ahora veamos una expresión exponencial que contiene una potencia elevada a una potencia. Vea si puede descubrir una propiedad general.

    ¿Qué significa esto?

    ¿Cuántos factores en total?
    Entonces tenemos
    Observa que 6 es el producto de los exponentes, 2 y 3.
    Nosotros escribimos: (x 2) 3 (x 2) 3
    x 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 3
    x 6 x 6

    Multiplicamos los exponentes. Esto conduce a la propiedad de potencia de los exponentes.

    Propiedad de potencia de los exponentes

    Para elevar una potencia a una potencia, multiplica los exponentes.

    Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad.

    Ejemplo 10.19

    Solución

    Simplificar expresiones usando el producto a una propiedad de potencia

    Ahora veremos una expresión que contiene un producto elevado a una potencia. Busque un patrón.

    El exponente se aplica a cada uno de los factores. Esto conduce al producto a una propiedad de potencia para exponentes.

    Producto a una propiedad de potencia de los exponentes

    Para elevar un producto a una potencia, eleva cada factor a esa potencia.

    Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad:

    Ejemplo 10.20

    Solución

    Ejemplo 10.21

    Solución

    Simplifique las expresiones aplicando varias propiedades

    Ahora tenemos tres propiedades para multiplicar expresiones con exponentes. Vamos a resumirlos y luego haremos algunos ejemplos que usan más de una de las propiedades.

    Propiedades de los exponentes

    Ejemplo 10.22

    Solución

    Ejemplo 10.23

    Solución

    Ejemplo 10.24

    Solución

    Observe que en el primer monomio, el exponente estaba fuera del paréntesis y se aplicó a ambos factores dentro. En el segundo monomio, el exponente estaba entre paréntesis, por lo que solo se aplicaba al norte.

    Ejemplo 10.25

    Simplifica: (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3. (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3.

    Solución

    Simplifica: (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3. (u 3 contra 2) 5 (4 u contra 4) 3.

    Simplifica: (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3. (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3.

    Multiplicar monomios

    Dado que un monomio es una expresión algebraica, podemos usar las propiedades para simplificar expresiones con exponentes para multiplicar los monomios.

    Ejemplo 10.26

    Solución

    Multiplicar: (- 9 y 4) (- 6 y 5). (- 9 y 4) (- 6 y 5).

    Ejemplo 10.27

    Multiplicar: (3 4 c 3 d) (12 c d 2). (3 4 c 3 d) (12 c d 2).

    Solución

    Multiplicar: (4 5 m 4 n 3) (15 m n 3). (4 5 m 4 n 3) (15 m n 3).

    Multiplicar: (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7). (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7).

    Medios de comunicación

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    Sección 10.2 Ejercicios

    La práctica hace la perfección

    Simplificar expresiones con exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión con exponentes.

    Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad del producto de los exponentes.

    Simplificar expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad de potencia de los exponentes.

    Simplificar expresiones usando el producto a una propiedad de potencia

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la propiedad Producto a potencia.

    Simplifique las expresiones aplicando varias propiedades

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión.

    (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2 (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2

    (1 3 m 3 n 2) 4 (9 m 8 n 3) 2 (1 3 m 3 n 2) 4 (9 m 8 n 3) 2

    Multiplicar monomios

    En los siguientes ejercicios, multiplica los siguientes monomios.

    (3 5 m 3 n 2) (5 9 m 2 n 3) (3 5 m 3 n 2) (5 9 m 2 n 3)

    Matemáticas cotidianas

    Correo electrónico Janet envía por correo electrónico un chiste a seis de sus amigos y les dice que se lo reenvíen a seis de sus amigos, que lo reenvíen a seis de sus amigos, y así sucesivamente. El número de personas que reciben el correo electrónico en la segunda ronda es 6 2, 6 2, en la tercera ronda es 6 3, 6 3, como se muestra en la tabla. ¿Cuántas personas recibirán el correo electrónico en la octava ronda? Simplifique la expresión para mostrar la cantidad de personas que reciben el correo electrónico.

    Ejercicios de escritura

    Usa la propiedad del producto para exponentes para explicar por qué x · x = x 2. x · x = x 2.

    Autochequeo

    Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Ⓑ Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

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    • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
      • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Editor / sitio web: OpenStax
      • Título del libro: Prealgebra 2e
      • Fecha de publicación: 11 de marzo de 2020
      • Ubicación: Houston, Texas
      • URL del libro: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • URL de la sección: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-2-use-multiplication-properties-of-exponents

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      4.2: Términos y expresiones con exponentes - Matemáticas

      Un exponente es una notación matemática que implica el número de veces que un número debe multiplicarse por sí mismo.

      Más sobre exponente

      Existen algunas reglas y fórmulas de álgebra para exponentes y son útiles para evaluar ciertas expresiones.
      Los exponentes pueden ser positivos, negativos o cero.

      Ejemplos de video: exponentes

      Ejemplo de exponente

      En la expresión a 7, el exponente es 7. & # 39a & # 39 es la base.
      En 2 4, 4 es el exponente. Indica que 2 se debe multiplicar por sí mismo 4 veces.
      2 4 = 2 y tiempos 2 y tiempos 2 y tiempos 2 = 16

      Ejemplo resuelto en exponente

      Ques: Un trozo de tela tiene la forma de un cuadrado con una longitud de 8 yardas. Calcula el área de la tela en forma exponencial.

      Opciones:

      A. 8 3 Yardas cuadradas
      B.8 2 Yardas cuadradas
      C. 8 1 Yardas cuadradas
      D. 2 8 Yardas cuadradas
      Respuesta correcta: B

      Solución:

      Paso 1: Área de un cuadrado = s x s, donde s es la longitud del lado.
      Paso 2: = 8 y multiplicado por 8 [Sustituye s = 8.]
      Paso 3: = 8 2 yardas cuadradas
      Paso 4: Entonces, el área de la pieza de tela en forma exponencial es 8 2 Yardas cuadradas


      CÓMO ESCRIBIR EXPRESIONES CON EXPONENTES

      El & # xa0exponente & # xa0 de un número nos dice cuántas veces el número se multiplica por sí mismo.

      Podemos escribir expresiones en la forma más simple usando exponentes. & # Xa0

      Reescribe (m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m) en la forma más simple usando un exponente. & # Xa0 & # xa0

      m se multiplica por sí mismo por cuatro veces. & # xa0

      Reescribe (5 & # xa0 ⋅ 5 & # xa0 ⋅ 5) & # xa0 en la forma más simple usando un exponente. & # Xa0 & # xa0

      5 se multiplica por sí mismo por tres veces. & # Xa0

      Reescribe (7 & # xa0 ⋅ & # xa07 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ 5) en la forma más simple usando exponentes.

      7 se multiplica por sí mismo por dos veces y 5 se multiplica por sí mismo por tres veces. & # Xa0

      Reescribe (13 & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ b) en la forma más simple usando exponentes. & # Xa0

      13 viene una vez y b se multiplica por sí mismo por cuatro veces. & # Xa0

      Reescribe (17 & # xa0 ⋅ & # xa017 & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ w) en la forma más simple usando exponentes. & # Xa0 & # xa0

      17 se multiplica por sí mismo por dos veces y w se multiplica por sí mismo por tres veces. & # Xa0

      Reescribir (5 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa0p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p ) en su forma más simple usando exponentes.

      5 se multiplica por sí mismo por dos veces y p se multiplica por sí mismo por cinco veces. & # Xa0

      Reescribe (n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ b & # xa0 ⋅ b) en la forma más simple usando exponentes.

      n se multiplica por sí mismo por tres veces y b se multiplica por sí mismo por dos veces. & # xa0

      Reescribe (9 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ c) en la forma más simple usando un exponente.

      9 se multiplica por sí mismo por tres veces y c viene una vez. & # Xa0

      Reescribir (4 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ k & # xa0 ⋅ k ) en su forma más simple usando exponentes.

      4 se multiplica por sí mismo por tres veces y k se multiplica por sí mismo por dos veces. & # Xa0

      Reescribir (2 & # xa0 ⋅ & # xa02 & # xa0 ⋅ & # xa0r & # xa0 ⋅ r & # xa0 ⋅ r ) en su forma más simple usando exponentes.

      2 se multiplica por sí mismo por dos veces y r se multiplica por sí mismo por tres veces. & # Xa0

      Aparte de las cosas dadas anteriormente, si necesita alguna otra cosa en matemáticas, utilice nuestra búsqueda personalizada de Google aquí.

      Si tiene algún comentario sobre nuestro contenido matemático, envíenos un correo electrónico a: & # xa0

      Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

      También puede visitar las siguientes páginas web sobre diferentes temas de matemáticas. & # Xa0


      Exponentes enteros

      (5 ^ 4 ) significa (5 times 5 times 5 times 5 ). El exponente 4 indica el número de apariciones del factor repetido.

      ¿Qué puede significar un exponente negativo, por ejemplo, qué puede significar (5 ^ <-4> )?

      Los matemáticos han decidido usar exponentes negativos para indicar la repetición del inverso multiplicativo de la base, por ejemplo, (5 ^ <-4> ) se usa para indicar ( frac <1> <5> times frac <1 > <5> veces frac <1> <5> veces frac <1> <5> ) o (( frac <1> <5>) ^ 4 ), y (x ^ < -3> ) se usa para indicar (( frac <1>) ^ 3 ) que es ( frac <1> veces frac <1> veces frac <1> )

      Esta decisión no se tomó a ciegas; los matemáticos sabían muy bien que tiene sentido utilizar exponentes negativos en este sentido. Una ventaja importante es que los exponentes negativos, cuando se usan con este significado, tienen las mismas propiedades que los exponentes positivos, por ejemplo:

      (2 ^ <-3> times 2 ^ <-4> = 2 ^ <(- 3) + (- 4)> = 2 ^ <-7> ) porque (2 ^ <-3> times 2 ^ <-4> ) significa (( frac <1> <2> veces frac <1> <2> veces frac <1> <2>) veces ( frac <1> < 2> veces frac <1> <2> veces frac <1> <2> veces frac <1> <2>) ) que es (( frac <1> <2>) ^ 7 ).

      (2 ^ <-3> times 2 ^ 4 = 2 ^ <(- 3) +4> = 2 ^ 1 ) porque (2 ^ <-3> times 2 ^ 4 ) significa (( frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) times (2 times 2 times 2 times 2) ) que es 2.

      Exponentes negativos

      Exprese cada uno de los siguientes en notación exponencial de dos maneras: con exponentes positivos y con exponentes negativos.

      ( frac <1> <5> veces frac <1> <5> veces frac <1> <5> veces frac <1> <5> veces frac <1> <5> veces frac <1> <5> )

      En cada caso, compruebe si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falso, escriba una afirmación correcta. Si es cierto, explique las razones por las que lo dice.

      (25 ^ 2 times 10 ^ <-6> times 2 ^ 6 = 5 )

      Calcule cada uno de los siguientes sin usar una calculadora:

      Usa una calculadora científica para determinar los valores decimales de las potencias dadas.

      Ejemplo: Para encontrar (3 ^ <-1> ) en su calculadora, use la secuencia de teclas: (3 y ^ x 1 ± = )

      Explica el significado de (10 ​​^ <-3> ).

      Determine el valor de cada uno de los siguientes de dos formas:

      A. Usando la definición de potencias (por ejemplo, (5 ^ 2 times 5 ^ 0 = 25 times 1 = 25 ).)

      B. Usando las propiedades de los exponentes (por ejemplo, (5 ^ 2 times 5 ^ 0 = 5 ^ <2 + 0> = 5 ^ 2 = 25 ).)

      Calcule el valor de cada uno de los siguientes. Exprese sus respuestas como fracciones comunes.


      Preguntas sobre álgebra: ¡Exponentes y operaciones sobre exponentes respondidas por tutores reales!

      Los tutores responden a sus preguntas sobre exponentes (GRATIS)

      ¡Puedes poner esta solución en TU sitio web!

      si un polinomio de grado tiene ceros y, también tiene cero (los ceros complejos siempre vienen en pares)
      luego
      . expandir

      INSTRUCCIONES sobre cómo dar el primer paso

      Simplifique su tarea y dé el primer paso por su cuenta, calculando f (2) con la fórmula.

      Para ello, sustituya n = 2 en la fórmula y use el valor de 20 para f (1).

      En la forma que se presenta, esta publicación es un galimatías, pero no un problema de matemáticas.

      En este problema, puede moverse de cualquiera de las dos formas.

      Ambas formas te llevan al mismo resultado.


      ¿Entiendes todo en mis explicaciones?

      Si todavía tiene preguntas, NO DUDE en hacerlas.

      La ecuación que muestra es 3 ^ 2 (x + 1) - 8 * 3 ^ x + 1 = 9 =

      Asumiré que esa no es la ecuación que querías.

      Si está resolviendo problemas como este, su conocimiento matemático debería ser suficiente para saber que el uso adecuado de los paréntesis es importante.

      Asumiré, para que la ecuación (y por lo tanto el problema) sea razonable, que esta es la ecuación que desea:

      Las dos posibles soluciones son u = 9 y u = -1.


      Este valor de u no proporciona soluciones reales.

      RESPUESTA: hay una solución, x = 1.

      ¡Puedes poner esta solución en TU sitio web!

      parece ser exponencial
      para encontrar una ecuación de la forma usa los puntos dados
      (,),(,), enchufar

      hacer un sistema de dos ecuaciones, y luego resolver el sistema para y
      . usar (,)


      . ecuación 2
      de la ecuación 1 y la ecuación 2 tenemos
      . cancelar uno

      Lo que está escrito en tu publicación NO ES una ecuación.

      Es la definición de la función.


      POR LO TANTO, su pregunta es SIN SENTIDO.


      La publicación de @Penguin, que intenta responder una publicación sin sentido, también es NO SENSIBLE.

      Discriminante = b ^ 2 - 4ac = 4 - 4 (1/3) (- 3) = 8

      El discriminante es mayor que 0, por lo que esta ecuación tiene 2 raíces reales.

      2y ^ 2-8 = 2y + 1
      2y ^ 2 - 2y - 9 = 0

      Utilice la fórmula cuadrática: y = 1/2 + sqrt (19) / 2 o 1/2 - sqrt (19) / 2.

      y tiene que ser positivo, entonces: x ^ 3 = 1/2 + sqrt (19) / 2

      ¡Puedes poner esta solución en TU sitio web!
      El ángulo de referencia de un ángulo x en el cuadrante III es x - 180.

      (theta) - 180 = 26
      (theta) = 206 grados

      4 (3x + 2y + x - 4)
      = 4 (4x + 2y - 4)
      =

      Otra respuesta del tutor @CubeyThePenguin que no le sirve al alumno, ya que no le enseña nada.

      La función es una función exponencial creciente.

      Dominio: una función exponencial se puede evaluar para cualquier valor de entrada, por lo que el dominio son todos los números reales.

      Rango: una función exponencial creciente tiene un valor mínimo pero no un valor máximo.

      2 ^ (2x) no tiene un valor mínimo, se acerca tanto como queremos a 0 para valores negativos grandes de x. Entonces.

      El rango de 2 ^ (2x) es (0, infinito) la intersección con el eje y es 1

      El +3 eleva el gráfico 2 unidades el rango de 2 ^ (2x) +3 es (3, infinito) la intersección con el eje y es 1 + 3 = 4

      Multiplicar por 4 estira el gráfico verticalmente por un factor de 4 el rango de 4 (2 ^ (2x) +3) es (12, infinito) la intersección y es 4 (4) = 16

      El "-7" mueve el gráfico hacia abajo en 7 el rango de 4 (2 ^ (2x) +3) -7 es (5, infinito) la intersección con el eje y es 16-7 = 9

      El rango de la función es (5, infinito)

      ¡Puedes poner esta solución en TU sitio web!
      Dominio: todos los números reales
      Rango: (5, infinito)

      Exponentes y variables en expresiones

      Los estudiantes escribirán y evaluarán expresiones algebraicas que representan situaciones del mundo real.

      Enlaces rápidos a los materiales de las lecciones:

      Enseñe esta lección

      Objetivos

      • Evaluar expresiones numéricas que involucren exponentes de números enteros.
      • Escribe expresiones algebraicas para representar relaciones entre términos.
      • Escribe expresiones que involucren exponentes de números enteros para representar situaciones problemáticas.
      • Escribe expresiones algebraicas para representar situaciones problemáticas.
      • Evaluar expresiones algebraicas que representan situaciones problemáticas en valores dados de las variables.

      Materiales

      • Ski Time: exponentes en expresiones algebraicas imprimibles
      • Clave de respuestas para aventuras en expresiones y ecuaciones

      Instrucciones de la lección

      INTRODUCCIÓN A NUEVO MATERIAL

      Paso 1: Como introducción a los exponentes, pida a los estudiantes que escriban la siguiente expresión de multiplicación como una expresión de suma repetida: 4 x 7. (7 + 7 + 7 + 7)

      • ¿Por qué alguien usaría una expresión de multiplicación en lugar de una expresión de suma repetida?

      Es más eficiente escribir.

      Dígales a los estudiantes que usar exponentes es una forma de escribir de manera más eficiente una expresión de multiplicación repetida. La base es el número que se multiplica una y otra vez. La exponente es el número de veces que se multiplica la base. Por ejemplo, en la expresión 6 5, 6 es la base y 5 es el exponente. 6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776.

      Paso 2: Pida a los estudiantes que demuestren que la multiplicación es conmutativa usando la expresión 4 x 7 y la suma repetida (4 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 7 x 4) . Pida a los estudiantes que usen la expresión 6 5 para decidir si la base y el exponente en una expresión exponencial son conmutativos (No: 6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7,776 5 6 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625).

      Paso 3: Si sus estudiantes se beneficiarían de practicar la evaluación de expresiones exponenciales antes de pasar a discutir situaciones problemáticas, bríndeles algunas expresiones de práctica para evaluar (ejemplos: 3 8, 8 3, 11 2, 9 4, 4 8).

      Paso 4: Dígales a los estudiantes que imaginen a un esquiador subiendo por una pista de esquí en un telesilla. El esquiador deja caer un guante. Pedir:

      Dígales a los estudiantes que la velocidad del guante es igual al producto de la aceleración de la gravedad. gramo y el tiempo t en segundos que el guante se ha ido cayendo. Eso significa que cuanto más tiempo cae, más rápido viaja. Pedir:

      • La aceleración de la gravedad en la Tierra es de 9,8 m / s 2. ¿Qué expresión describe la velocidad del guante desde que cae en la atmósfera de la Tierra?

      Paso 5: Dígales a los estudiantes que la distancia que cae un objeto es la mitad del producto de la aceleración de la gravedad. gramo y el cuadrado del tiempo t en segundos que el objeto cae. Pedir:

      0.5gramo X t 2, o 0,5 x 9,8 x t 2 en la Tierra


      Paso 6: La esquiadora llega a la cima del telesilla para comenzar su descenso por la pendiente. Al esquiador le toma 165 segundos correr montaña abajo a 20 metros por segundo. Pedir:

      Paso 7: Los esquiadores n. ° 2, n. ° 3 y n. ° 4 corren por el mismo recorrido. Escribe una ecuación que represente qué tan rápido corre el esquiador dado el tiempo que le toma al esquiador bajar por el mismo recorrido (velocidad = 3300 ÷ tiempo). Modele para los estudiantes cómo encontrar la velocidad de los tres esquiadores restantes si al esquiador n. ° 2 le toma tres minutos y 7 segundos, al esquiador n. ° 3 tres minutos y 12 segundos y al esquiador n. metros por segundo, 17,1875 metros por segundo, 20,625 metros por segundo).

      Paso 8:
      Dígales a los estudiantes que a las 8 a.m., hay cuatro esquiadores solitarios en las pistas. Cada hora, el número de esquiadores en las pistas se cuadruplica. Pedir:

      Haga que los estudiantes trabajen individualmente para escribir expresiones para el número de esquiadores al mediodía, a la 1 p.m. y a las 2 p.m. Pídales que determinen el número de esquiadores en las pistas en esos distintos momentos. Entonces pregunta:

      • ¿Qué expresión podrías escribir para describir el número de esquiadores en las pistas? X horas después de que abran a las 8 a.m.?

      PRÁCTICA GUIADA

      Paso 9: Divida su clase en socios y publique las siguientes preguntas. Para cada pregunta, los socios deben:

      • Escribe una expresión para representar el problema verbal.
      • Evalúe la expresión si es una expresión algebraica, elija un valor para la variable.

      UNA. Está en un autobús que se dirige a Tampa, Florida, para un viaje de entrenamiento con su equipo de tenis. Tu velocidad promedio es de 65 millas por hora. Después de un cierto número de horas, ¿qué distancia ha recorrido?

      65h muestra el valor de la variable elegida: 65h Cuándo h = 7 serían 455 millas

      B. Estás amasando masa para hacer pan. Cada vez que amasa, la masa duplica su tamaño. Si amasas la masa 3 veces, ¿cuántas veces más grande es la masa cuando terminas en comparación con cuando comenzaste?

      C. Tu entrenador es 13,5 años mayor que tú. Cuando estás y años, ¿cuántos años tiene tu entrenador?

      13.5 + y muestra el valor de la variable elegida: 13,5 + y Cuándo y = 14 serían 27,5 millas

      D. Horneaste 4 docenas de galletas para el viaje. Si hay norte jugadores de su equipo, ¿cuántas cookies recibe cada persona?

      ¿Cuántas galletas quedan?

      48 – 48/norte muestra el valor de la variable elegida: 48 /norte Cuándo norte = 11 sería 4.3636…, entonces 4 galletas por persona, y luego quedarían 4 ya que 48 - 44 = 4

      Paso 10: Si los compañeros terminan temprano, entrégueles dos cubos de números. Pueden lanzar un cubo numérico para generar una base y un cubo numérico para generar un exponente. Haga que cada uno evalúe el valor de sus expresiones. El socio que tenga el mayor valor gana esa ronda.

      Paso 11: Comprobación de comprensión: Revise las respuestas como clase y responda cualquier pregunta.

      PRÁCTICA INDEPENDIENTE

      Paso 12: Assign the Ski Time: Exponents in Algebraic Expressions imprimibles para trabajo en clase o tarea.

      Paso 13: Comprobación de comprensión: Revise las respuestas de la impresión con la clase, asegurándose de que los estudiantes expliquen su pensamiento matemático. Aborde cualquier concepto erróneo que pueda surgir.


      Comentario de mensajería instantánea

      El propósito de esta tarea es introducir la idea de crecimiento exponencial y luego conectar ese crecimiento a expresiones que involucran exponentes. Ilustra bien lo rápido que crecen las expresiones exponenciales. Los estudiantes que recién están aprendiendo sobre exponentes pueden necesitar más estructura que las preguntas de seguimiento proporcionadas para escribir las expresiones.

      Algunas preguntas de seguimiento más buenas serían: "¿En qué día la cantidad de las monedas mágicas se vuelve más de 50.000? ¿En qué día la cantidad de las monedas mágicas llega a ser más de 1.000.000?"

      Los Estándares para la práctica matemática se enfocan en la naturaleza de la experiencia de aprendizaje al prestar atención a los procesos de pensamiento y los hábitos mentales que los estudiantes necesitan desarrollar para lograr una comprensión profunda y flexible de las matemáticas. Ciertas tareas se prestan a la demostración de prácticas específicas por parte de los estudiantes. Las prácticas que se pueden observar durante la exploración de una tarea dependen de cómo se desarrolle la instrucción en el aula. Si bien es posible que las tareas estén conectadas a varias prácticas, solo se discutirá en profundidad una conexión de práctica. Se pueden discutir las posibles conexiones de la práctica secundaria, pero no con el mismo grado de detalle.

      Esta tarea conecta cálculos repetidos con una expresión que involucra exponentes para crear una notación abreviada que se puede usar para responder las preguntas que se hacen (MP.8). El maestro podría plantear esta tarea a grupos pequeños o grandes y guiarlos a través de la creación de una tabla para demostrar los cálculos repetidos necesarios para resolver este problema. Una vez que se ha discutido el patrón, el maestro puede hacer que los estudiantes comiencen a discutir el crecimiento exponencial demostrado por la tabla, las soluciones a las preguntas planteadas en la tarea y guiar a los estudiantes en el uso de los cálculos repetidos para escribir una expresión que pueda usarse para resolver cualquier duda que se le pueda plantear sobre el crecimiento exponencial.


      Para multiplicar un monomio por un monomio, multiplique los coeficientes numéricos y cada variable. (Para repasar las reglas de los exponentes, consulte la sección Exponentes del capítulo anterior).

      Ejemplo

      Solución

      La multiplicación de expresiones polinómicas se basa en la propiedad distributiva. Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplica cada término del polinomio por el monomio.

      Ejemplo

      Solución

      Solución

      Para multiplicar dos polinomios, multiplica cada término de la primera expresión por cada término de la segunda. Luego combine los términos semejantes.

      Ejemplo

      Solución

      = 3X 3 + 5X 2 – 10X + 6 & # 8230Combina términos similares.

      Encontrar el área y el volumen a menudo usa la multiplicación de polinomios.

      Ejemplo

      Las dimensiones de una caja son
      (y + 2) pies de largo, (y + 7) pies de ancho y (2y - 4) pies de altura. ¿Cuál es el área de la parte inferior de la caja? ¿Cuál es el volumen de la caja?

      Solución

      Para encontrar el área del fondo del contenedor, multiplique el largo por el ancho, que son los dos primeros binomios.

      Para encontrar el volumen, multiplique el área del fondo por la altura.


      4 respuestas 4

      Si paga por dos plátanos y luego tres plátanos, ha pagado por cinco plátanos ($ 2x ^ 2 + 3x ^ 2 equiv 5x ^ 2 $). Pero si pagas por un plátano y un melocotón, ¿qué has pagado excepto por un plátano y un melocotón? ($ x ^ 2 + x ^ 3 equiv x ^ 2 + x ^ 3 $).

      Incluso en la escuela primaria (escuela primaria en los EE. UU.), A los niños se les enseña la regla de BODMAS (o BIDMAS). Primero evaluamos los corchetes, luego las órdenes (o índices). Luego hacemos División, Multiplicación, Suma y finalmente Sustracción.

      ¿Cómo podemos esperar combinar términos de la forma $ x ^ 2 $ y $ x ^ 3 $? Una expresión de la forma $ (x times x) + (x times x times x) $ solo tiene un significado, incluso si quitamos los corchetes, todavía tenemos que multiplicar primero.

      Piense en lo que significan las sumas y multiplicaciones:

      empezar 2x ^ 2 + 3x ^ 2 & amp equiv & amp 2 (x times x) + 3 (x times x) & amp equiv & amp [(x times x) + (x times x)] + [(x por x) + (x times x) + (x times x)] & amp equiv & amp (x times x) + (x times x) + (x times x) + (x times x) + (x times x) & amp equiv & amp 5 (x times x) & amp equiv & amp 5x ^ 2 end

      Incluso podemos verificar esto experimentando: $ 2 times 4 ^ 2 + 3 times 4 ^ 2 = 32 + 48 = 80 $ mientras que $ 5 times 4 ^ 2 = 80 $. Sin embargo, intentemos hacer esto con términos de un orden diferente, digamos $ x ^ 2 $ y $ x ^ 3 $:

      empezar x ^ 2 + x ^ 3 & amp equiv & amp (x times x) + (x times x times x) & amp equiv & amp ldots ldots? final