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6.4: Más métodos de factorización


Objetivos de aprendizaje

  • Factorizar por agrupación
    • Identificar patrones que resultan de multiplicar dos binomios y cómo afectan la factorización al agrupar
    • Factorizar un polinomio de cuatro términos agrupando términos
  • Métodos para factorizar trinomios
    • Aplicar un algoritmo para reescribir un trinomio como un polinomio de cuatro términos
    • Utilice la factorización por agrupación para factorizar un trinomio
    • Usa un atajo para factorizar trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c )
    • Reconocer dónde colocar los signos negativos al factorizar un trinomio
    • Reconocer cuándo un polinomio es una diferencia de cuadrados y cómo se factorizaría como el producto de dos binomios.

Cuando aprendimos a multiplicar dos binomios, encontramos que el resultado, antes de combinar términos semejantes, era un polinomio de cuatro términos, como en este ejemplo: ( left (x + 4 right) left (x + 2 right) = x ^ {2} + 2x + 4x + 8 ).

Podemos aplicar lo que hemos aprendido sobre la factorización de un monomio común para devolver un polinomio de cuatro términos al producto de dos binomios. ¿Por qué querríamos hacer esto?

¿Por qué debería importarme?

Porque es un paso importante en el aprendizaje de técnicas para factorizar trinomios, como el que se obtiene al simplificar el producto de los dos binomios anteriores:

( begin {matriz} {l} left (x + 4 right) left (x + 2 right) = x ^ {2} + 2x + 4x + 8 = x ^ 2 + 6x +8 end {matriz} )

Además, la factorización por agrupación es una técnica que nos permite factorizar un polinomio cuyos términos no todos comparten un MCD. En el siguiente ejemplo, le presentaremos la técnica. Recuerde, una de las principales razones para factorizar es porque ayudará a resolver ecuaciones polinomiales.

Ejemplo

Factorizar (a ^ 2 + 3a + 5a + 15 )
[revel-answer q = ”437455 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”437455 ″]

No hay un factor común entre los cuatro términos, por lo que agruparemos los términos en pares que nos permitirán encontrar un MCD para ellos. Por ejemplo, no quisiéramos agrupar (a ^ 2 text {y} 15 ) porque no comparten un factor común.

( left (a ^ 2 + 3a right) + left (5a + 15 right) )

Encuentra el MCD del primer par de términos.

( begin {matriz} {l} , , , , a ^ 2 = a cdot {a} , , , , 3a = 3 cdot {a} texto {GCF} = a end {matriz} )

Factoriza el MCD, a, del primer grupo.

( begin {array} {r} left (a cdot {a} + a cdot {3} right) + left (5a + 15 right) a left (a + 3 right ) + left (5a + 15 right) end {matriz} )

Encuentra el MCD del segundo par de términos.

( begin {array} {r} 5a = 5 cdot {a} 15 = 5 cdot3 text {GCF} = 5 , , , , , , , end {formación})

Factoriza 5 del segundo grupo.

( begin {array} {l} a left (a + 3 right) + left (5 cdot {a} +5 cdot3 right) a left (a + 3 right) + 5 left (a + 3 right) end {matriz} )

Observa que los dos términos tienen un factor común ( left (a + 3 right) ).

(a left (a + 3 right) +5 left (a + 3 right) )

Factoriza el factor común ( left (a + 3 right) ) de los dos términos.

( left (a + 3 right) left (a + 5 right) )

Observe cómo ay 5 se convierten en una suma binomial y el otro factor. Esta es probablemente la parte más confusa de la factorización por agrupación.

Respuesta

(a ^ 2 + 3a + 5a + 15 = left (a + 3 right) left (a + 5 right) )

[/ respuesta-oculta]

Observa que cuando factorizas un polinomio de dos términos, el resultado es un monomio multiplicado por un polinomio. Pero la forma factorizada de un polinomio de cuatro términos es el producto de dos binomios. Como señalamos antes, este es un paso intermedio importante para aprender a factorizar un polinomio de tres términos.

Este proceso se llama técnica de agrupamiento. Desglosado en pasos individuales, le mostramos cómo hacerlo (también puede seguir este proceso en el ejemplo a continuación).

  • Agrupa los términos del polinomio en pares que comparten un MCD.
  • Encuentre el máximo factor común y luego use la propiedad distributiva para extraer el MCD
  • Busque el binomio común entre los términos factorizados
  • Factoriza el binomio común de los grupos, los otros factores harán que el otro binomio

Intentemos factorizar algunos polinomios de cuatro términos más. Observe cómo ahora hay una constante delante del término (x ^ 2 ). Consideraremos este otro factor cuando encontremos el MCD.

Ejemplo

Factoriza (2x ^ {2} + 4x + 5x + 10 ).
[revel-answer q = ”313122 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”313122 ″] Agrupa los términos del polinomio en pares.

( left (2x ^ {2} + 4x right) + left (5x + 10 right) )

Factoriza el factor similar, 2x, del primer grupo.

(2x left (x + 2 right) + left (5x + 10 right) )

Factoriza el factor similar, 5, del segundo grupo.

(2x left (x + 2 right) +5 left (x + 2 right) )

Busque factores comunes entre las formas factorizadas de los términos emparejados. Aquí, el factor común es ((x + 2) ).

Factoriza el factor común, ( left (x + 2 right) ), de ambos términos.

( left (2x + 2 right) left (x + 5 right) )

El polinomio ahora se factoriza.

Respuesta

( left (2x + 2 right) left (x + 5 right) )

[/ respuesta-oculta]

Sigue otro ejemplo que contiene resta. Observe cómo elegimos un MCD positivo de cada grupo de términos y los signos negativos permanecen.

Ejemplo

Factoriza (2x ^ {2} –3x + 8x – 12 ).
[revel-answer q = ”715080 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”715080 ″] Agrupe los términos en pares.

((2x ^ {2} –3x) + (8x – 12) )

Factoriza el factor común, X, del primer grupo y el factor común, 4, del segundo grupo.

(x left (2x – 3 right) +4 left (2x – 3 right) )

Factoriza el factor común, ( left (2x – 3 right) ), de ambos términos.

( left (x + 4 right) left (2x – 3 right) )

Respuesta

( left (x + 4 right) left (2x-3 right) )

[/ respuesta-oculta]

El video que sigue proporciona otro ejemplo de factorización por agrupación.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

En el siguiente ejemplo, tendremos un MCD negativo. Es importante prestar atención a lo que sucede con el binomio resultante cuando el MCD es negativo.

Ejemplo

Factoriza (3x ^ {2} + 3x – 2x – 2 ).
[revel-answer q = ”744005 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”744005 ″] Agrupe los términos en pares.

( left (3x ^ {2} + 3x right) + left (-2x-2 right) )

Factoriza el factor común 3X fuera del primer grupo.

(3x left (x + 1 right) + left (-2x-2 right) )

Factoriza el factor común (- 2 ).

(3x left (x + 1 right) -2 left (x + 1 right) )

Factoriza el factor común, ( left (x + 1 right) ), de ambos términos.

( left (x + 1 right) left (3x-2 right) )

Respuesta

( left (x + 1 right) left (3x-2 right) )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video presentamos otro ejemplo de factorización por agrupación cuando uno de los MCD es negativo.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

A veces, encontrará polinomios que, a pesar de sus mejores esfuerzos, no se pueden factorizar en el producto de dos binomios.

Ejemplo

Factoriza (7x ^ {2} –21x + 5x – 5 ).
[revel-answer q = ”262926 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”262926 ″] Agrupe los términos en pares.

( left (7x ^ {2} –21x right) + left (5x – 5 right) )

Factorizar el factor común 7X fuera del primer grupo.

(7x left (x-3 right) + left (5x-5 right) )

Factoriza el factor común 5 del segundo grupo.

(7x left (x-3 right) +5 left (x-1 right) )

Los dos grupos (5 left (x – 1 right) ) no tienen ningún factor común, por lo que este polinomio no se puede factorizar más.

(7x left (x – 3 right) +5 left (x – 1 right) )

Respuesta

No se puede factorizar

[/ respuesta-oculta]

En el ejemplo anterior, cada par se puede factorizar, ¡pero entonces no hay un factor común entre los pares!

Factorizar trinomios Parte I

En la última sección presentamos la técnica de factorización agrupando como un medio para poder factorizar un trinomio. Ahora, de hecho, nos ocuparemos de comenzar con un polinomio de tres términos y reescribirlo como un polinomio de cuatro términos para poder factorizarlo.

Comenzaremos con la factorización de trinomios de la forma (x ^ 2 ) término.

Recuerda que cuando se multiplican ( left (x + 5 right) ), el resultado es un polinomio de cuatro términos y luego se simplifica en un trinomio:

( left (x + 2 right) left (x + 5 right) = x ^ 2 + 5x + 2x + 10 = x ^ 2 + 7x + 10 )

Factorizar es lo contrario de multiplicar, así que vayamos al revés y factoricemos el trinomio (x ^ {2} ), (7x = 5x + 2x ), entonces podemos usar la técnica de agrupamiento:

((x ^ {2} + 5x) + (2x + 10) )

Factoriza cada par: ( begin {array} {l} x underbrace { left (x + 5 right)} + 2 underbrace { left (x + 5 right)} text {binomio común factor} end {matriz} )

Luego, extrae el factor binomial común: ( left (x + 5 right) left (x + 2 right) )

¿Qué hubiera pasado si hubiéramos reescrito (6x + x )?

((x ^ {2} + 6x) + (x + 10) )

Factoriza cada par: (x left (x + 6 right) +1 left (x + 10 right) )

Entonces no tenemos un factor común de ( left (x + 5 right) ) como lo teníamos antes. Existe un método para la locura de elegir cómo reescribir los términos intermedios para terminar con un factor binomial común.

Método a la locura

El siguiente es un resumen del método, luego mostraremos algunos ejemplos de cómo usarlo.

Factorizar trinomios en la forma (x ^ {2} + bx + c )

Para factorizar un trinomio en la forma (x ^ {2} + bx + c ), encuentre dos enteros, r y s, cuyo producto es C y cuya suma es B.

( begin {matriz} {l} r cdot {s} = c text {y} r + s = b end {matriz} )

Reescribe el trinomio como ( left (x + r right) ) y ( left (x + s right) ).

Por ejemplo, para factorizar (x ^ {2} + 7x + 10 ), está buscando dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término medio) y cuyo producto sea 10 (el último término).

Observa los pares de factores de 10: 1 y 10, 2 y 5. ¿Alguno de estos pares tiene una suma de 7? Sí, 2 y 5. Entonces puedes reescribir (2x + 5x ) y continuar factorizando como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que también puede reescribir (5x + 2x ). Ambos funcionarán.

Factoricemos el trinomio (x ^ {2} + 5x + 6 ). En este polinomio, el B parte del término medio es 5 y el C el término es 6. Un cuadro nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enumere todos los factores posibles del C término, 6; a la derecha encontrarás las sumas.

Factores cuyo producto es 6Suma de los factores
(1+6=7)
(2+3=5)

Solo hay dos combinaciones de factores posibles, 1 y 6, y 2 y 3. Puedes ver que (2x + 3x = 5x ), lo que nos da el término medio correcto.

Ejemplo

Factoriza (x ^ {2} + 5x + 6 ).

[revel-answer q = ”141663 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”141663 ″] Utilice los valores del cuadro anterior. Reemplaza (2x + 3x ).

(x ^ {2} + 2x + 3x + 6 )

Agrupa los pares de términos.

( left (x ^ {2} + 2x right) + left (3x + 6 right) )

Factor X fuera del primer par de términos

(x left (x + 2 right) + left (3x + 6 right) )

Factoriza 3 del segundo par de términos.

(x left (x + 2 right) +3 left (x + 2 right) )

Factoriza ( left (x + 2 right) ).

( left (x + 2 right) left (x + 3 right) )

Respuesta

( left (x + 2 right) left (x + 3 right) )

[/ respuesta-oculta]

Tenga en cuenta que si escribió (x ^ {2} + 3x + 2x + 6 ) y agrupó los pares como (x left (x + 3 right) +2 left (x + 3 right) ) y factorizado ( left (x + 3 right) left (x + 2 right) ). Dado que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa. Entonces esta respuesta también es correcta; son respuestas equivalentes.

En el siguiente video, presentamos otro ejemplo de cómo usar la agrupación para factorizar un polinomio cuadrático.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

Finalmente, echemos un vistazo al trinomio (- 12 ). Por tanto, observe todas las combinaciones de factores cuyo producto es (- 12 ). Luego vea cuál de estas combinaciones le dará el término medio correcto, donde B es 1.

Factores cuyo producto es (1 cdot − 12 = −12 ) (2 cdot − 6 = −12 ) (3 cdot − 4 = −12 ) (4 cdot − 3 = −12 ) (6 cdot − 2 = −12 ) (12 cdot − 1 = −12 )(12+−1=11)

Solo hay una combinación donde el producto es (r = 4 ) y (s = −3 ). Usemos estos para factorizar nuestro trinomio original.

Ejemplo

Factoriza (x ^ {2} + x – 12 ).

[revel-answer q = ”205737 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”205737 ″] Vuelva a escribir el trinomio usando los valores de la tabla anterior. Usa valores (s = −3 ).

(x ^ {2} + 4x + −3x – 12 )

Agrupa pares de términos.

( left (x ^ {2} + 4x right) + left (−3x – 12 right) )

Factor X fuera del primer grupo.

(x left (x + 4 right) + left (-3x-12 right) )

Factoriza −3 del segundo grupo.

(x left (x + 4 right) –3 left (x + 4 right) )

Factoriza ( left (x + 4 right) ).

( left (x + 4 right) left (x-3 right) )

Respuesta

( left (x + 4 right) left (x-3 right) )

[/ respuesta-oculta]

En el ejemplo anterior, también podría reescribir (x ^ {2} - 3x + 4x – 12 ) primero. Luego factoriza ( left (x – 3 right) ) obteniendo ( left (x – 3 right) left (x + 4 right) ). Dado que la multiplicación es conmutativa, esta es la misma respuesta.

Consejos de factorización

Factorizar trinomios es cuestión de práctica y paciencia. ¡A veces, las combinaciones de números apropiadas simplemente aparecerán y parecerán tan obvias! Otras veces, a pesar de probar muchas posibilidades, las combinaciones correctas son difíciles de encontrar. Y hay ocasiones en las que el trinomio no se puede factorizar.

Si bien no existe una manera infalible de encontrar la combinación correcta en la primera aproximación, existen algunos consejos que pueden facilitar el camino.

Consejos para encontrar valores que funcionen

Al factorizar un trinomio en la forma (x ^ {2} + bx + c ), considere los siguientes consejos.

Mira el C término primero.

  • Si el C término es un número positivo, entonces los factores de C ambos serán positivos o ambos negativos. En otras palabras, r y s tendrá el mismo signo.
  • Si el C término es un número negativo, entonces un factor de C será positivo, y un factor de C será negativo. Ya sea r o s será negativo, pero no ambos.

Mira el B segundo término.

  • Si el C término es positivo y el B el término es positivo, entonces ambos r y s son positivas.
  • Si el C término es positivo y el B término es negativo, entonces ambos r y s son negativos.
  • Si el C término es negativo y el B término es positivo, entonces el factor que es positivo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si (| r |> | s | ), entonces r es positivo y s es negativo.
  • Si el C término es negativo y el B término es negativo, entonces el factor que es negativo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si (| r |> | s | ), entonces r es negativo y s es positivo.

Después de haber factorizado varios trinomios en la forma (x ^ {2} + bx + c ), puede notar que los números que identifica r y s terminan siendo incluidos en la forma factorizada del trinomio. Eche un vistazo al siguiente cuadro, que repasa los tres problemas que ha visto hasta ahora.

Trinomio (x ^ {2} + 5x + 6 ) (r = + 5, s = + 2 ) (r = + 4, s = –3 )
Forma factorizada ( left (x + 2 right) left (x + 3 right) ) ((x + 4) (x – 3) )

El atajo

Observe que en cada uno de los ejemplos anteriores, el r y s los valores se repiten en la forma factorizada del trinomio. Entonces, ¿qué significa esto? Significa que en trinomios de la forma (x ^ {2} ) es 1), si puede identificar el r y s valores, puede omitir efectivamente los pasos de agrupación e ir directamente a la forma factorizada. Para aquellos de ustedes a los que les gustan los atajos, veamos algunos ejemplos en los que usamos esta idea.

Atajo de esta manera

En los siguientes dos ejemplos, mostraremos cómo puede omitir el paso de factorización agrupando y pasar directamente a la forma factorizada de un producto de dos binomios con los valores rys que encuentre. La idea es que puedes construir factores para un trinomio en esta forma: (x ^ 2 + bx + c ) encontrando rys, luego colocándolos en dos factores binomiales como este:

( left (x + r right) left (x + s right) text {O} left (x + s right) left (x + r right) )

Ejemplo

Factorizar: (y ^ 2 + 6y-27 )
[revel-answer q = ”601131 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”601131 ″]

Encuentre r y s:

Factores cuyo producto es -27Suma de los factores
(1-27=-26)
(3-9=-6)
(-3+9=6)

En lugar de reescribir el término medio, usaremos los valores de rys que dan el producto y la suma que necesitamos.

En este caso:

( begin {matriz} {l} r = -3 s = 9 end {matriz} )

Es útil comenzar escribiendo dos conjuntos vacíos de paréntesis:

(izquierda derecha izquierda(,,,,,,, ,,,,,derecho))

El término al cuadrado es y, por lo que colocaremos una y en cada paréntesis:

( left (y , , , , , , , , right) left (y , , , , , , , , derecha) )

Ahora podemos completar el resto de cada binomio con los valores que encontramos para rys.

( left (y-3 right) left (y + 9 right) )

Observe cómo mantuvimos el signo en cada uno de los valores. Lo bueno de la factorización es que puedes comprobar tu trabajo. Multiplica los binomios para ver si lo hiciste correctamente.

( begin {array} {l} left (y-3 right) left (y + 9 right) = y ^ 2 + 9y-3y-27 = y ^ 2 + 6y-27 end {matriz} )

Respuesta

( left (y-3 right) left (y + 9 right) )

[/ respuesta-oculta]

Te mostraremos un ejemplo más para que puedas ganar más experiencia.

Ejemplo

Factorizar: (- m ^ 2 + 16m-48 )
[revel-answer q = ”402116 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”402116 ″]

Hay un negativo delante del término al cuadrado, por lo que primero sacaremos un factor negativo del trinomio completo. Recuerde, esto se reduce a cambiar el signo de todos los términos:

(- m ^ 2 + 16m-48 = -1 left (m ^ 2-16m + 48 right) )

Ahora podemos factorizar ( left (m ^ 2-16m + 48 right) ) encontrando rys. Tenga en cuenta que b es negativo yc es positivo, por lo que probablemente estemos buscando dos números negativos:

Factores cuyo producto es 48Suma de los factores
(-1-48=-49)
(-2-12=-14)
(-3-16=-19)
(-4-12=-16)

Hay más factores cuyo producto es 48, pero hemos encontrado los que suman -16, así que podemos detenernos.

( begin {matriz} {l} r = -4 s = -12 end {matriz} )

Ahora podemos completar cada binomio con los valores que encontramos para rys, ¡asegúrate de usar la variable correcta!

( left (m-4 right) left (m-12 right) )

Aún no hemos terminado, recuerde que factorizamos un signo negativo en el primer paso. Necesitamos recordar incluir eso.

(- 1 left (m-4 right) left (m-12 right) )

Respuesta

(- m ^ 2 + 16m-48 = -1 left (m-4 right) left (m-12 right) )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video, presentamos dos ejemplos más de factorización de un trinomio usando el atajo presentado aquí.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

Factor Trinomios Parte II

El siguiente objetivo es que se sienta cómodo reconociendo dónde colocar los signos negativos y si un trinomio puede incluso factorizarse. Además, exploraremos un caso especial a tener en cuenta al final de esta página.

No todos los trinomios se ven como (x ^ {2} ) término es 1. En estos casos, su primer paso debe ser buscar factores comunes para los tres términos.

TrinomioFactorizar factor comúnFactorizado
(2 (x ^ {2} + 5x + 6) ) (- 5a ^ {2} −15a − 10 ) (- 5 left (a + 2 right) left (a + 1 right) )
(c left (c ^ {2} –8c + 15 right) ) (y ^ {4} –9y ^ {3} –10y ^ {2} ) (y ^ {2} left (y – 10 right) left (y + 1 right) )

Observe que una vez que haya identificado y extraído el factor común, puede factorizar el trinomio restante como de costumbre. Este proceso se muestra a continuación.

Ejemplo

Factoriza (3x ^ {3} –3x ^ {2} –90x ).

[revel-answer q = ”298928 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[hidden-answer a = ”298928 ″] Dado que 3 es un factor común para los tres términos, factoriza el 3.

(3 left (x ^ {3} –x ^ {2} –30x right) )

X también es un factor común, así que factoriza X.

(3x left (x ^ {2} –x – 30 right) )

Ahora puedes factorizar el trinomio (- 30 ) y cuya suma es (- 1 ).

El par de factores es (5 ). Entonces reemplace (- 6x + 5x ).

(3x left (x ^ {2} –6x + 5x – 30 right) )

Utilice la agrupación para considerar los términos en pares.

(3x left [ left (x ^ {2} –6x right) + left (5x – 30 right) right] )

Factor X del primer grupo y factor 5 del segundo grupo.

(3x left [ left (x left (x – 6 right) right) +5 left (x – 6 right) right] )

Luego, factoriza (x – 6 ).

(3x left (x – 6 right) left (x + 5 right) )

Respuesta

(3x left (x – 6 right) left (x + 5 right) )

[/ respuesta-oculta]

El siguiente video contiene dos ejemplos más de factorización de un trinomio cuadrático donde el primer paso es factorizar un MCD. Usamos el método de atajo en lugar de factorizar por agrupación.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

La forma general de trinomios con un coeficiente principal de a es un término (x ^ {2} ), en lugar de un término (ax ^ {2} ).

Sin embargo, si los coeficientes de los tres términos de un trinomio no tienen un factor común, entonces deberá factorizar el trinomio con un coeficiente distinto de 1.

Factorizar trinomios en la forma (ax ^ {2} + bx + c )

Para factorizar un trinomio en la forma (ax ^ {2} + bx + c ), encuentre dos enteros, r y s, cuya suma es B y cuyo producto es C.A.

( begin {matriz} {l} r cdot {s} = a cdot {c} r + s = b end {matriz} )

Reescribe el trinomio como (ax ^ {2} + rx + sx + c ) y luego usa la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.

Esto es casi lo mismo que factorizar trinomios en la forma (a = 1 ). Ahora busca dos factores cuyo producto sea (a cdot {c} ) y cuya suma sea B.

Veamos cómo funciona esta estrategia factorizando (6z ^ {2} + 11z + 4 ).

En este trinomio, (b = 11 ) y (b = 11 ) y cuyo producto es (a cdot {c} = 6 cdot4 = 24 ). Puede hacer una tabla para organizar las posibles combinaciones de factores. (Observe que este gráfico solo tiene números positivos. Dado que C.A es positivo y B es positivo, puede estar seguro de que los dos factores que busca también son números positivos).

Factores cuyo producto es 24Suma de los factores
(1+24=25)
(2+12=14)
(3+8=11)
(4+6=10)

Solo hay una combinación donde el producto es 24 y la suma es 11, y es cuando (s = 8 ). Usemos estos valores para factorizar el trinomio original.

Ejemplo

Factoriza (11z ), como (3z + 8z ) (del cuadro anterior).

(6z ^ {2} + 3z + 8z + 4 )

Parejas de grupo. Utilice la agrupación para considerar los términos en pares.

( left (6z ^ {2} + 3z right) + left (8z + 4 right) )

Factor 3z del primer grupo y 4 del segundo grupo.

(3z left (2z + 1 right) +4 left (2z + 1 right) )

Factoriza ( left (2z + 1 right) ).

( left (2z + 1 right) left (3z + 4 right) )

Respuesta

( left (2z + 1 right) left (3z + 4 right) )

[/ respuesta-oculta]

En el siguiente video, presentamos otro ejemplo de factorización de un trinomio usando agrupación. En este ejemplo, el término medio, b, es negativo. Observe cómo tener un término medio negativo y un término c positivo influyen en las opciones para rys al factorizar.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

Antes de continuar, vale la pena mencionar que no todos los trinomios se pueden factorizar usando pares enteros. Tome el trinomio (b = 35 ) y cuyo producto es (a cdot {c} = 2 cdot7 = 14 )? ¡No hay ninguno! Este tipo de trinomio, que no se puede factorizar con números enteros, se denomina trinomio primo.

En algunas situaciones a es negativo, como en (- 1 ) como el primer paso en la factorización, ya que al hacerlo cambiará el signo de (ax ^ {2} ) de negativo a positivo, haciendo que el trinomio restante sea más fácil de factorizar.

Ejemplo

Factoriza (- 1 ) del trinomio. Observe que los signos de los tres términos han cambiado.

(- 1 left (4h ^ {2} –11h – 3 right) )

Para factorizar el trinomio, necesitas averiguar cómo reescribir (rs = 4 cdot − 3 = −12 ) y la suma de (rs = −11 ).

(r + s = −11 )
(−12+1=−11)
(−6+2=−4)
(−4+3=−1)

Reescribe el término medio (- 12h + 1h ).

(- 1 left (4h ^ {2} –12h + 1h – 3 right) )

Términos de grupo.

(- 1 left [ left (4h ^ {2} –12h right) + left (1h – 3 right) right] )

Factorizar 4h del primer par. El segundo grupo no se puede factorizar más, pero puede escribirlo como (+ 1 left (h – 3 right) = left (h – 3 right) ). Esto ayuda a tener en cuenta el siguiente paso.

(- 1 left [4h left (h – 3 right) +1 left (h – 3 right) right] )

Factoriza un factor común de ( left (h – 3 right) left (4h + 1 right) ); el (+ 1 left (h – 3 right) ) en el paso anterior.

(- 1 left [ left (h – 3 right) left (4h + 1 right) right] )

Respuesta

(- 1 left (h – 3 right) left (4h + 1 right) )

[/ respuesta-oculta]

Tenga en cuenta que la respuesta anterior también se puede escribir como ( left (h – 3 right) left (−4h – 1 right) ) si multiplica (- 1 ) por uno de los otros factores.

En el siguiente video presentamos otro ejemplo de factorización de un trinomio en la forma (- ax ^ 2 + bx + c ) usando la técnica de agrupamiento.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

Diferencia de cuadrados

Seríamos negligentes si no introdujáramos un tipo más de polinomio que pueda factorizarse. Este polinomio se puede factorizar en dos binomios, pero solo tiene dos términos. Empecemos por el producto de dos binomios para ver el patrón.

Dado el producto de dos binomios: ( left (x-2 right) left (x + 2 right) ), si los multiplicamos, perdemos el término medio que estamos acostumbrados a ver como resultado .

Multiplicar:

( begin {matriz} {l} left (x-2 right) left (x + 2 right) text {} = x ^ 2-2x + 2x-2 ^ 2 text {} = x ^ 2-2 ^ 2 text {} = x ^ 2-4 end {array} )

El polinomio (x ^ 2-4 ) se llama diferencia de cuadrados porque el término de enseñanza se puede escribir como algo al cuadrado. Una diferencia de cuadrados siempre se factorizará de la siguiente manera:

Factorizar una diferencia de cuadrados

Dado ( left (a + b right) left (a-b right) )

Factoricemos (x ^ {2} + 0x – 4 ). Esto es similar en formato a los trinomios que hemos estado factorizando hasta ahora, así que usemos el mismo método.

Encuentra los factores de (a cdot {c} ) cuya suma es B, en este caso, 0:

Factores de (1 cdot-4 = −4 ) (2 cdot − 2 = −4 ) (- 1 cdot4 = −4 )(-1+4=3)

2 y -2 tienen una suma de 0. Puedes usarlos para factorizar (x ^ {2} –4 ).

Ejemplo

Factoriza (0x ) como (- 2x + 2x ).

( begin {matriz} {l} x ^ {2} + 0x-4 x ^ {2} -2x + 2x-4 end {matriz} )

Parejas de grupo.

( left (x ^ {2} –2x right) + left (2x – 4 right) )

Factor X fuera del primer grupo. Factoriza 2 del segundo grupo.

(x left (x – 2 right) +2 left (x – 2 right) )

Factoriza ( left (x – 2 right) ).

( left (x – 2 right) left (x + 2 right) )

Respuesta

( left (3x – 2 right) left (3x + 2 right) )

[/ respuesta-oculta]

Dado que el orden no importa con la multiplicación, la respuesta también se puede escribir como ( left (x + 2 right) left (x – 2 right) ).

Puedes verificar la respuesta multiplicando ( left (x – 2 right) left (x + 2 right) = x ^ {2} + 2x – 2x – 4 = x ^ {2} –4 ).

El siguiente video muestra dos ejemplos más de factorización de una diferencia de cuadrados.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=118

Resumen

Cuando un trinomio tiene la forma de (ax ^ {2} + bx + c ), encuentre dos enteros, r y s, cuya suma es B y cuyo producto es C.A. Luego reescribe el trinomio como (ax ^ {2} + rx + sx + c ) y usa la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.

Cuando (- 1 ) de todo el trinomio antes de continuar.

Una diferencia de cuadrados ( left (a + b right) left (a-b right) ).

Resumen

Trinomios en la forma (x ^ {2} + rx + sx + c ) y luego usa la agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.


6.4: Más métodos de factorización

Este libro de texto trata principalmente sobre investigación cuantitativa, en parte porque la mayoría de los estudios realizados en psicología son de naturaleza cuantitativa. Los investigadores cuantitativos generalmente comienzan con una pregunta o hipótesis de investigación enfocada, recopilan una pequeña cantidad de datos de un gran número de individuos, describen los datos resultantes utilizando técnicas estadísticas y extraen conclusiones generales sobre una gran población. Aunque este método es, con mucho, el enfoque más común para realizar investigación empírica en psicología, existe una alternativa importante llamada investigación cualitativa. La investigación cualitativa se originó en las disciplinas de la antropología y la sociología, pero ahora también se utiliza para estudiar temas psicológicos. Los investigadores cualitativos generalmente comienzan con una pregunta de investigación menos enfocada, recolectan grandes cantidades de datos relativamente “sin filtrar” de un número relativamente pequeño de individuos y describen sus datos usando técnicas no estadísticas. Por lo general, están menos preocupados por sacar conclusiones generales sobre el comportamiento humano que por comprender en detalle la experiencia de sus participantes en la investigación.

Considere, por ejemplo, un estudio del investigador Per Lindqvist y sus colegas, que querían saber cómo las familias de las víctimas adolescentes de suicidio afrontan su pérdida (Lindqvist, Johansson y Karlsson, 2008) [1]. No tenían una pregunta o hipótesis de investigación específica, como, ¿Qué porcentaje de miembros de la familia se unen a los grupos de apoyo al suicidio? En cambio, querían comprender la variedad de reacciones que tenían las familias, con un enfoque en cómo es desde su perspectivas. Para abordar esta pregunta, entrevistaron a las familias de 10 víctimas de suicidio adolescentes en sus hogares en la Suecia rural. Las entrevistas fueron relativamente desestructuradas, comenzando con una solicitud general para que las familias hablaran sobre la víctima y terminando con una invitación a hablar sobre cualquier otra cosa que quisieran decirle al entrevistador. Uno de los temas más importantes que surgieron de estas entrevistas fue que incluso cuando la vida volvió a la “normalidad”, las familias continuaron luchando con la pregunta de por qué su ser querido se suicidó. Esta lucha pareció ser especialmente difícil para las familias en las que el suicidio fue más inesperado.


28 Hoja de trabajo de práctica de factorización de polinomios con respuestas

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Operationalization

Once a theoretical construct is defined, exactly how do we measure it? Operationalization refers to the process of developing indicators or items for measuring these constructs. For instance, if an unobservable theoretical construct such as socioeconomic status is defined as the level of family income, it can be operationalized using an indicator that asks respondents the question: what is your annual family income? Given the high level of subjectivity and imprecision inherent in social science constructs, we tend to measure most of those constructs (except a few demographic constructs such as age, gender, education, and income) using multiple indicators. This process allows us to examine the closeness amongst these indicators as an assessment of their accuracy (reliability).

Indicators operate at the empirical level, in contrast to constructs, which are conceptualized at the theoretical level. The combination of indicators at the empirical level representing a given construct is called a variable . As noted in a previous chapter, variables may be independent, dependent, mediating, or moderating, depending on how they are employed in a research study. Also each indicator may have several attributes (or levels) and each attribute represent a value . For instance, a “gender” variable may have two attributes: male or female. Likewise, a customer satisfaction scale may be constructed to represent five attributes: “strongly dissatisfied”, “somewhat dissatisfied”, “neutral”, “somewhat satisfied” and “strongly satisfied”. Values of attributes may be quantitative (numeric) or qualitative (non-numeric). Quantitative data can be analyzed using quantitative data analysis techniques, such as regression or structural equation modeling, while qualitative data require qualitative data analysis techniques, such as coding. Note that many variables in social science research are qualitative, even when represented in a quantitative manner. For instance, we can create a customer satisfaction indicator with five attributes: strongly dissatisfied, somewhat dissatisfied, neutral, somewhat satisfied, and strongly satisfied, and assign numbers 1 through 5 respectively for these five attributes, so that we can use sophisticated statistical tools for quantitative data analysis. However, note that the numbers are only labels associated with respondents’ personal evaluation of their own satisfaction, and the underlying variable (satisfaction) is still qualitative even though we represented it in a quantitative manner.

Indicators may be reflective or formative. A reflective indicator is a measure that “reflects” an underlying construct. For example, if religiosity is defined as a construct that measures how religious a person is, then attending religious services may be a reflective indicator of religiosity. A formative indicator is a measure that “forms” or contributes to an underlying construct. Such indicators may represent different dimensions of the construct of interest. For instance, if religiosity is defined as composing of a belief dimension, a devotional dimension, and a ritual dimension, then indicators chosen to measure each of these different dimensions will be considered formative indicators. Unidimensional constructs are measured using reflective indicators (even though multiple reflective indicators may be used for measuring abstruse constructs such as self-esteem), while multidimensional constructs are measured as a formative combination of the multiple dimensions, even though each of the underlying dimensions may be measured using one or more reflective indicators.


Who decides if you use this feature?

Who decides whether you use two-factor verification depends on what type of account you have:

Work or school account. If you're using a work or school account (such as [email protected]), it's up to your organization whether you use two-factor verification, along with the specific verification methods. Because your organization has decided you must use this feature, there's no way for you to individually turn it off.

Personal Microsoft account. You can choose to set up two-factor verification for your personal Microsoft accounts (such as [email protected]). You can turn it on or off whenever you want, using the simple instructions in Turning two-factor verification on or off for your Microsoft account.

If you're having other problems with two-factor verification and one of your personal Microsoft accounts, there are more suggestions in How to use two-step verification with your Microsoft account.


Highest Common Factor



Examples, examples, and videos to help GCSE Maths students learn how to find the highest common factor (HCF).

What is Highest Common Factor (HCF)?
The Highest Common Factor of two or more numbers is the largest number that can divide the numbers without any remainder. The highest common factor is also called the Greatest Common Factor (GCF)

The following diagrams show the methods that can be used to find the Highest Common Factor. Scroll down the page for more examples and solutions on how to find the Highest Common Factor.

How to find the HCF?
There are various methods to find the HCF. Éstos son algunos de ellos:
1. List out all the factors of each number and select the largest factor that is common to all the lists.
2. Use prime factors or factor trees.
3. Use division (ladder) method.

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

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Healthcare Additive Manufacturing Market Size Worth $6.4 Billion By 2028: Grand View Research, Inc.

SAN FRANCISCO , Feb. 3, 2021 /PRNewswire/ -- The global healthcare additive manufacturing market size is expected to be valued at USD 6.4 billion by 2028 and is anticipated to grow at a CAGR of 21.8% from 2021 to 2028, according to a new report by Grand View Research, Inc. Easy development of customized products, reduction in manufacturing cost due to technological advancements, and possibilities of using various material for printing are propelling the market growth.

Key suggestions from the report:

  • Laser sintering accounted for the largest market share of 31.0% in 2020 as it uses a wide variety of materials to make high-quality, complex geometries and can produce several pieces at one time
  • The polymers material segment accounted for the largest revenue share of more than 50% in 2020, as polymer-based AM has been used for decades in creating medical instruments as well as prosthetic limbs & related accessories
  • North America led the market in 2020 and accounted for the largest share of more than 35% due to the presence of several additive manufacturing companies with a robust distribution network
  • Asia Pacific is projected to be the fastest-growing regional market over the forecast period due to significant demand for dental 3D printing as a result of an increasing number of people undergoing tooth replacement surgeries.

Read 114 page research report with ToC on "Healthcare Additive Manufacturing Market Size, Share & Trends Analysis Report By Technology (Laser Sintering, Deposition Modeling), By Application (Medical Implants, Wearable Devices), By Material, And Segment Forecasts, 2021 - 2028" at: https://www.grandviewresearch.com/industry-analysis/healthcare-additive-manufacturing-market

The growing success of additive manufacturing is due to its benefits over conventional manufacturing methods. Some of the benefits include the application of advanced technology use of a wide range of materials like metal, plastics, and polymers flexibility in design build speed dimensional accuracy and its ability to produce complex parts/geometry, such as cooling channels and honeycomb structure. Production of implants and prosthetics is the largest application for additive manufacturing in the healthcare industry.

There is an increasing demand for orthopedic procedures, such as knee & hip replacements, due to the increasing geriatric population. Moreover, the increasing application of dental implants along with a growing need for prosthetics is another key factor expected to drive the market. North America and Europe were the leading regional markets in 2020. This growth was attributed to extensive R&D, advanced healthcare system, and the presence of leading 3D printing machinery manufacturers & material suppliers in these regions.

Additive manufacturing is playing a significant role in the fight against COVID-19 by compensating for the shortage of medical supplies by speeding up the manufacturing process. This will drive the growth of the market over the forecast period. However, stringent regulatory approvals associated with medical devices might hinder the growth.

Grand View Research has segmented the global healthcare additive manufacturing market on the basis of technology, application, material, and region:

  • Healthcare Additive Manufacturing Technology Outlook (Revenue, USD Million, 2016 - 2028)
    • Stereolithography
    • Deposition Modeling
    • Electron Beam Melting
    • Laser Sintering
    • Jetting Technology
    • Laminated Object Manufacturing
    • Otros
    • Medical Implants
    • Prosthetics
    • Wearable Devices
    • Tissue Engineering
    • Otros
    • Metals & Alloys
    • Polímeros
    • Biological Cells
    • Otros
    • América del norte
      • U.S.
      • Canadá
      • U.K.
      • Alemania
      • España
      • Francia
      • Italia
      • porcelana
      • India
      • Japón
      • Australia
      • South Korea
      • Brasil
      • México
      • Argentina
      • Colombia
      • Sudáfrica
      • Saudi Arabia
      • UAE

      List of Key Players of Healthcare Additive Manufacturing Market

      • GE Additive (General Electric)
      • 3D Systems, Inc.
      • EnvisionTEC GmbH
      • RegenHU
      • Allevi, Inc.
      • EOS GmbH (Electro Optical Systems)
      • Materialise N.V.
      • Stratasys Ltd.
      • Nanoscribe GmbH
      • GPI Prototype and Manufacturing Services, LLC.

      Find more research reports on Medical Devices Industry, by Grand View Research:

        – The global 3D printing market size was valued at USD 11.58 billion in 2019 and is expected to expand at a CAGR exceeding 14% from 2020 to 2027. Globally, 1.42 million units of 3D printers were shipped in 2018 and this number is expected to reach 8.04 million units by 2027. – The global restorative dentistry market size was valued at USD 14.59 billion in 2016 and is expected to grow at a CAGR of 6.7% during the forecast period. – The global prosthetics and orthotics market size was estimated at USD 5.9 billion in 2019 and is expected to exhibit a CAGR of 4.6% during the forecast period.

      Gain access to Grand View Compass, our BI enabled intuitive market research database of 10,000+ reports


      6.4: More Factoring Methods

      Here are the steps required for Solving Quadratics by Factoring:

      Paso 1: Write the equation in the correct form. To be in the correct form, you must remove all parentheses from each side of the equation by distributing, combine all like terms, and finally set the equation equal to zero with the terms written in descending order.
      Paso 2: Use a factoring strategies to factor the problem.
      Paso 3: Use the Zero Product Property and set each factor containing a variable equal to zero.
      Paso 4: Solve each factor that was set equal to zero by getting the x on one side and the answer on the other side.

      Ejemplo 1 &ndash Solve: x 2 + 16 = 10x

      Ejemplo 2 &ndash Solve: 18x 2 – 3x = 6

      Ejemplo 3 &ndash Solve: 50x 2 = 72

      Ejemplo 4 &ndash Solve: x(2x – 1) = 3

      Ejemplo 5 &ndash Solve: (x + 3)(x – 5) = 𔃅


      How do I add a multi-factor authentication (MFA) method to my ID.me account?

      You can set up one or more multi-factor authentication (MFA) options on your ID.me account for extra layers of security. When more than one MFA method is added to your ID.me account, you can select the one you want to use each time you sign in.

      To add MFA options to your account:

      • Sign into your ID.me My Account page .
      • Click the Sign in and Security tab.
      • En el Securing your account section below, you will see all available MFA options, including one(s) you have already set up. Just click Set Up to add one.

      In the example below, the user has set up two different MFA options: Text Message or Phone Call y Code Generator. At sign-in, the user can select either option, provided that both of those methods are accepted at the partner website.


      Use of Present Value Annuity Factor Formula

      The present value annuity factor is used for simplifying the process of calculating the present value of an annuity. A table is used to find the present value per dollar of cash flows based on the number of periods and rate per period. Once the value per dollar of cash flows is found, the actual periodic cash flows can be multiplied by the per dollar amount to find the present value of the annuity.

      For example, an individual is wanting to calculate the present value of a series of $500 annual payments for 5 years based on a 5% rate. By looking at a present value annuity factor table, the annuity factor for 5 years and 5% rate is 4.3295. This is the present value per dollar received per year for 5 years at 5%. Therefore, $500 can then be multiplied by 4.3295 to get a present value of $2164.75.


      Ver el vídeo: Factorización: Qué método usar para factorizar un polinomio? (Septiembre 2021).