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4: exponentes


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4: exponentes

Usar exponentes es solo una forma breve de decir que desea multiplicar algo por sí mismo varias veces. Digamos, por ejemplo, que desea hacer lo siguiente:

Esto podría escribirse con exponentes y se vería así:

Ambos son iguales, que es 64, pero la forma del exponente es más corta y más fácil de escribir. Esto es muy útil cuando quieres multiplicar algo muchas veces.

En el ejemplo anterior, 4 3, 4 se llama "base" y "3" se llama "exponente". A menudo se describe como "4 elevado a 3". Entonces, el exponente también se llama a veces "la potencia de" número.

Antes de continuar, hagamos un ejemplo de exponente más simple:

Obtuvimos esto multiplicando 2 x 2 x 2 x 2.

Hay algunos exponentes especiales que podemos estudiar a continuación:

Cuando algo tiene un exponente de 2, lo llamamos al cuadrado. El nombre proviene de encontrar el área de un cuadrado.

Cuando algo tiene un exponente de 3, lo llamamos al cubo. Este nombre proviene de encontrar el área de un cubo.

Lo primero que hay que tener en cuenta es un exponente de 0. CUALQUIER vez que haya un exponente de 0, la respuesta es 1. Por ejemplo:

Incluso una ecuación larga de aspecto loco como (4y-7 + x + 2z) 0 sigue siendo igual a 1.

Resulta que esto es lo mismo que 4 3 + 2 o 4 5

En el caso de que las bases sean las mismas, podemos sumar los exponentes durante la multiplicación.

Esto es lo mismo que 4 2x3 o 4 6. Cuando tenemos un exponente encima de un exponente, multiplicamos los exponentes.


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Resolver ecuaciones con exponentes

La ecuación 1 tiene dos soluciones: 2 y -2 ya que 2 2 = 4 y (-2) 2 = 4.

La ecuación 2 solo tiene uno solución: x = 3.

Siempre que una ecuación contenga todos los exponentes pares, debes considerar las soluciones tanto positivas como negativas. Si el exponente es una potencia impar, solo hay una solución.

Resolver ecuaciones con exponentes: x m = k

Si m es par: x = ± m √ k

Si m es impar: x = m √ k

Para las ecuaciones que incluyen raíces distintas de la raíz cuadrada, desea eliminar las raíces (1) aislando el término raíz en un lado de la ecuación y (2) elevando ambos lados de la ecuación a la potencia apropiada.

Ejemplo 1.Resolver (X² + 6X) 1/4 = 2

Recuerda que un exponente fraccionario es en realidad una raíz: un m / n = (n √ a) m

Quita la cuarta raíz elevando cada lado de la ecuación a la cuarta potencia.

Simplifica cada lado de la ecuación.

Iguala la ecuación a cero.

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Iguala los factores a cero y resuelve.

Nuestras posibles soluciones son X = - 8 y x = 2. Ambas soluciones deben comprobarse utilizando la ecuación original.

2 = 2 es una afirmación verdadera. Por lo tanto X = - 8 es una solución.

2 = 2 es una afirmación verdadera. Por lo tanto X = 2 es una solución.

Las soluciones de la ecuación, (X² + 6X) 1/4 = 2, son X = - 8 y X = 2.

Ejemplo 2: Resuelve para w: 5w 2/3 + 3 = 23

Aislar el w-termino en el lado izquierdo de la ecuación. Resta 3 de cada lado de la ecuación.

Divide cada lado de la ecuación por 5.

Aislar el w elevando ambos lados de la ecuación a la potencia 3/2. Dado que el numerador del exponente es par, habrá dos respuestas.


Contenido

El termino energía (Latín: potentia, potestas, dignitas) es una mala traducción [4] [5] del griego antiguo δύναμις (dúnamis, aquí: "amplificación" [4]) utilizado por el matemático griego Euclides para el cuadrado de una línea, [6] siguiendo a Hipócrates de Quíos. [7] Arquímedes descubrió y demostró la ley de los exponentes, 10 a ⋅ 10 B = 10 a+B , necesario para manipular potencias de 10. [8] [ se necesita una mejor fuente ] En el siglo IX, el matemático persa Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī usó los términos مَال (mal, "posesiones", "propiedad") por un cuadrado - los musulmanes, "como la mayoría de los matemáticos de aquellos y tiempos anteriores, pensaban en un número cuadrado como una representación de un área, especialmente de tierra, por lo tanto propiedad" [9] - كَعْبَة (kaʿbah, "cubo") para un cubo, que los matemáticos islámicos posteriores representaron en notación matemática como las letras mīm (m) y kāf (k), respectivamente, en el siglo XV, como se ve en la obra de Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī. [10]

A finales del siglo XVI, Jost Bürgi utilizó números romanos como exponentes. [11]

Nicolas Chuquet utilizó una forma de notación exponencial en el siglo XV, que luego fue utilizada por Henricus Grammateus y Michael Stifel en el siglo XVI. La palabra exponente fue acuñado en 1544 por Michael Stifel. [12] [13] Samuel Jeake introdujo el término índices en 1696. [6] En el siglo XVI, Robert Recorde usó los términos cuadrado, cubo, zenzizenzic (cuarta potencia), sursólido (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursólido (séptimo) y zenzizenzizenzic (octavo). [9] Biquadrate también se ha utilizado para referirse a la cuarta potencia.

A principios del siglo XVII, René Descartes introdujo la primera forma de nuestra notación exponencial moderna en su texto titulado La Géométrie allí, la notación se introduce en el Libro I. [14]

Algunos matemáticos (como Isaac Newton) usaban exponentes solo para potencias mayores que dos, prefiriendo representar cuadrados como multiplicaciones repetidas. Por lo tanto, escribirían polinomios, por ejemplo, como hacha + bxx + cx 3 + D .

Otro sinónimo histórico, involución, es ahora raro [15] y no debe confundirse con su significado más común.

“Considere exponenciales o potencias en las que el propio exponente es una variable. Está claro que cantidades de este tipo no son funciones algebraicas, ya que en ellas los exponentes deben ser constantes”. [dieciséis]

Con esta introducción de funciones trascendentales, Euler sentó las bases para la introducción moderna del logaritmo natural, como la función inversa de la función exponencial natural, F(X) = mi X .

La expresion B 2 = BB se llama "el cuadrado de B" o "B cuadrado ", porque el área de un cuadrado con longitud de lado B es B 2 .

Del mismo modo, la expresión B 3 = BBB se llama "el cubo de B" o "B cubed ", porque el volumen de un cubo con longitud de lado B es B 3 .

Cuando es un número entero positivo, el exponente indica cuántas copias de la base se multiplican juntas. Por ejemplo, 3 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243. La base 3 aparece 5 veces en la multiplicación, porque el exponente es 5. Aquí, 243 es el 5ta potencia de 3, o 3 elevado a la 5a potencia.

Por lo general, se omite la palabra "elevado" y, a veces, también "potencia", por lo que 3 5 puede leerse simplemente "3 al 5" o "3 al 5". Por tanto, la exponenciación B norte se puede expresar como "B al poder de norte", "B hacia norteth poder ","B hacia norteth ", o más brevemente como"B hacia norte".

Una fórmula con exponenciación anidada, como 3 5 7 (que significa 3 (5 7) y no (3 5) 7), se llama torre de poderes, o simplemente un torre.

La operación de exponenciación con exponentes enteros se puede definir directamente a partir de operaciones aritméticas elementales.

Exponentes positivos Editar

Las potencias con exponentes enteros positivos pueden definirse mediante el caso base [17]

La asociatividad de la multiplicación implica que para cualquier entero positivo myn,

Exponente cero Editar

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1: [18] [2]

Una interpretación de tal poder es como un producto vacío.

El caso de 0 0 es más complicado y la elección de asignarle un valor y qué valor asignar puede depender del contexto. Para obtener más detalles, consulte Cero elevado a cero.

Exponentes negativos Editar

La siguiente identidad es válida para cualquier número entero n distinto de cero b:

Elevar 0 a un exponente negativo no está definido, pero en algunas circunstancias, puede interpretarse como infinito (∞).

La identidad anterior se puede derivar a través de una definición destinada a extender el rango de exponentes a números enteros negativos.

Para by distinto de cero y n positivo, la relación de recurrencia anterior se puede reescribir como

Al definir esta relación como válida para todo entero n y distinto de cero b, se deduce que

y más generalmente para cualquier by distinto de cero y cualquier entero no negativo n,

Entonces se demuestra fácilmente que esto es cierto para cada número entero n.

Identidades y propiedades Editar

Las siguientes identidades son válidas para todos los exponentes enteros, siempre que la base no sea cero: [2]

A diferencia de la suma y la multiplicación:

  • La exponenciación no es conmutativa. Por ejemplo, 2 3 = 8 ≠ 3 2 = 9.
  • La exponenciación no es asociativa. Por ejemplo, (2 3) 4 = 8 4 = 4096, mientras que 2 (3 4) = 2 81 = 2417851639229258349 412352. Sin paréntesis, el orden convencional de operaciones para la exponenciación en serie en notación de superíndice es de arriba hacia abajo (o derecho-asociativo), no ascendente [19] [20] [21] [22] (o izquierda-de asociación). Es decir, b p q = b (p q), < displaystyle b ^<>> = b ^ < left (p ^ derecha)>,>

que, en general, es diferente de

Poderes de una suma Editar

Las potencias de una suma normalmente se pueden calcular a partir de las potencias de los sumandos mediante la fórmula binomial

Sin embargo, esta fórmula es verdadera solo si los sumandos conmutan (es decir, que ab = licenciado en Letras ), lo que está implícito si pertenecen a una estructura conmutativa. De lo contrario, si ayb son, digamos, matrices cuadradas del mismo tamaño, esta fórmula no se puede utilizar. De ello se deduce que en álgebra computacional, muchos algoritmos que involucran exponentes enteros deben cambiarse cuando las bases de exponenciación no conmutan. Algunos sistemas de álgebra computarizada de propósito general usan una notación diferente (a veces ^^ en lugar de ^) para exponenciación con bases no conmutadas, que luego se llama exponenciación no conmutativa.

Interpretación combinatoria Editar

Para enteros no negativos nym, el valor de norte metro es el número de funciones de un conjunto de m elementos a un conjunto de n elementos (ver exponenciación cardinal). Estas funciones se pueden representar como m -tuplas de un conjunto de n elementos (o como palabras con m-letras de un alfabeto de n-letras). En la siguiente tabla se dan algunos ejemplos de valores particulares de myn:

norte metro La norte metro posibles m -tuplas de elementos del conjunto <1,. norte>
0 5 = 0 ninguno
1 4 = 1 (1,1,1,1)
2 3 = 8 (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)
3 2 = 9 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
4 1 = 4 (1),(2),(3),(4)
5 0 = 1 ()

Bases particulares Editar

Potencias de diez editar

En el sistema numérico de base diez (decimal), las potencias enteras de 10 se escriben como el dígito 1 seguido o precedido por un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo, 10 3 = 1000 y 10 −4 = 0,0001.

La exponenciación con base 10 se usa en notación científica para denotar números grandes o pequeños. Por ejemplo, 299 792 458 m / s (la velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo) se puede escribir como 2.997 924 58 × 10 8 m / sy luego aproximarse como 2.998 × 10 8 m / s.

Los prefijos SI basados ​​en potencias de 10 también se utilizan para describir cantidades pequeñas o grandes. Por ejemplo, el prefijo kilo significa 10 3 = 1000, por lo que un kilómetro es 1000 m.

Potencias de tres editar

Poderes de dos editar

Las primeras potencias negativas de 2 se usan comúnmente y tienen nombres especiales, por ejemplo: mitad y trimestre.

Las potencias de 2 aparecen en la teoría de conjuntos, ya que un conjunto con norte miembros tiene un conjunto de poderes, el conjunto de todos sus subconjuntos, que tiene 2 norte miembros.

Las potencias enteras de 2 son importantes en informática. El entero positivo potencia 2 norte dar el número de valores posibles para un norte -bit número binario entero por ejemplo, un byte puede tomar 2 8 = 256 valores diferentes. El sistema numérico binario expresa cualquier número como una suma de potencias de 2, y lo denota como una secuencia de 0 y 1, separados por un punto binario, donde 1 indica una potencia de 2 que aparece en la suma el exponente está determinado por el lugar de este 1: los exponentes no negativos son el rango del 1 a la izquierda del punto (comenzando desde 0), y los exponentes negativos están determinados por el rango a la derecha del punto.

Poderes de uno Editar

Los poderes de uno son todos uno: 1 norte = 1 .

Poderes de cero Editar

Si el exponente n es positivo ( norte & gt 0), la n-ésima potencia de cero es cero: 0 norte = 0 .

Si el exponente n es negativo ( norte & lt 0), la n-ésima potencia de cero 0 norte no está definido, porque debe ser igual a 1/0 - n < displaystyle 1/0 ^ <-n>> con -norte & gt 0, y esto sería 1/0 < displaystyle 1/0> de acuerdo con lo anterior.

La expresión 0 0 se define como 1 o se deja indefinida (ver cero elevado a cero).

Poderes del negativo Editar

Si norte es un número entero par, entonces (−1) norte = 1 .

Si norte es un número entero impar, entonces (−1) norte = −1 .

Debido a esto, las potencias de -1 son útiles para expresar secuencias alternas. Para una discusión similar de las potencias del número complejo I , ver § Potencias de números complejos.

Grandes exponentes Editar

El límite de una secuencia de potencias de un número mayor que uno diverge en otras palabras, la secuencia crece sin límite:

B norte → ∞ como norte → ∞ cuando B & gt 1

Esto se puede leer como "B al poder de norte tiende a + ∞ como norte tiende al infinito cuando B es mayor que uno ".

Las potencias de un número con valor absoluto menor que uno tienden a cero:

B norte → 0 como norte → ∞ cuando | B | & lt 1

Cualquier poder de uno es siempre uno:

B norte = 1 para todos norte Si B = 1

Las potencias de –1 alternan entre 1 y –1 como norte alterna entre pares e impares, y por lo tanto no tienden a ningún límite como norte crece.

Si B & lt –1, B norte , alterna entre números positivos y negativos más grandes y más grandes como norte alterna entre pares e impares, y por lo tanto no tiende a ningún límite como norte crece.

Si el número exponenciado varía mientras tiende a 1 ya que el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los anteriores. Un caso particularmente importante es

(1 + 1/norte) nortemi como norte → ∞

Otros límites, en particular los de las expresiones que adoptan una forma indeterminada, se describen en § Límites de poderes más adelante.

Funciones de potencia Editar

Lista de poderes de números enteros Editar

norte norte 2 norte 3 norte 4 norte 5 norte 6 norte 7 norte 8 norte 9 norte 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Un norteth raíz de un número B es un numero X tal que x n = B .

Si B es un número real positivo y norte es un número entero positivo, entonces hay exactamente una solución real positiva para x n = B . Esta solución se llama principal norteth raíz de B. Se denota norteB , donde √ es el radical símbolo alternativamente, el principal nortela raíz de B puede estar escrito B 1/norte . Por ejemplo: 9 1/2 = √ 9 = 3 y 8 1/3 = 3 √ 8 = 2.

Si B es igual a 0, la ecuación x n = B tiene una solución, que es X = 0 .

Si norte es par y B es positivo, entonces x n = B tiene dos soluciones reales, que son la positiva y la negativa nortelas raíces de B, es decir, B 1/norte & gt 0 y - (B 1/norte ) & lt 0.

Si norte es par y B es negativa, la ecuación no tiene solución en números reales.

Si norte es extraño, entonces x n = B tiene exactamente una solución real, que es positiva si B es positivo ( B 1/norte & gt 0) y negativo si B es negativo B 1/norte & lt 0).

Tomando un número real positivo B a un exponente racional tu/v, dónde tu es un entero y v es un número entero positivo y, considerando solo las raíces principales, se obtiene

Tomando un número real negativo B a un poder racional tu/v, dónde tu/v está en los términos más bajos, da un resultado real positivo si tu es par, y por lo tanto v es extraño, porque entonces B tu es positivo y da un resultado real negativo, si tu y v ambos son extraños, porque entonces B tu es negativo. El caso de incluso v (y, por tanto, extraño tu) no puede tratarse de esta manera dentro de los reales, ya que no hay un número real X tal que X 2k = −1, el valor de B tu/v en este caso debe utilizar la unidad imaginaria I, como se describe con más detalle en la sección § Potencias de números complejos.

Por lo tanto, tenemos (−27) 1/3 = −3 y (−27) 2/3 = 9. El número 4 tiene dos potencias 3/2, a saber, 8 y −8; sin embargo, por convención, la notación 4 3/2 emplea la raíz principal, y da como resultado 8. Para emplear el v-th root el tu/v-th potencia también se llama v/tu-th raíz, y para incluso v el termino raíz principal también denota el resultado positivo.

Esta ambigüedad de signo debe tenerse en cuenta al aplicar las identidades de poder. Por ejemplo:

está claramente equivocado. El problema comienza ya en la primera igualdad introduciendo un estándar notación para una situación intrínsecamente ambigua –pidiendo una raíz pareja– y simplemente confiando erróneamente en solo una, la convencional o principal interpretación. El mismo problema ocurre también con una notación surd introducida de manera inapropiada, que impone inherentemente un resultado positivo:

En general, ocurre el mismo tipo de problemas para números complejos que se describen en la sección § Fallo de potencia e identidades logarítmicas.

La exponenciación a potencias reales de números reales positivos puede definirse extendiendo las potencias racionales a reales por continuidad, o más habitualmente como se indica en § Potencias mediante logaritmos a continuación. El resultado es siempre un número real positivo, y las identidades y propiedades que se muestran arriba para exponentes enteros son verdaderas para bases reales positivas con exponentes no enteros también.

Por otro lado, la exponenciación a una potencia real de un número real negativo es mucho más difícil de definir de forma coherente, ya que puede ser no real y tener varios valores (ver § Exponentes reales con bases negativas). Uno puede elegir uno de estos valores, llamado valor principal, pero no hay elección del valor principal para el cual una identidad como

es cierto ver § Fallo de poder e identidades logarítmicas. Por lo tanto, la exponenciación con una base que no es un número real positivo generalmente se considera una función de varios valores.

Límites de exponentes racionales Editar

Dado que cualquier número irracional puede expresarse como el límite de una secuencia de números racionales, exponenciación de un número real positivo B con un exponente real arbitrario X puede definirse por continuidad con la regla [24]

donde el limite como r se acerca a X se toma solo sobre valores racionales de r. Este límite solo existe para positivos B. La (ε, δ) -se utiliza la definición de límite, esto implica mostrar que para cualquier precisión deseada del resultado B X se puede elegir un intervalo suficientemente pequeño alrededor de x para que todas las potencias racionales en el intervalo estén dentro de la precisión deseada.

Por ejemplo, si X = π , la representación decimal no terminal π = 3.14159… se puede usar (basado en la estricta monotonicidad de la potencia racional) para obtener los intervalos acotados por potencias racionales

La función exponencial Editar

La importante constante matemática e, a veces llamada número de Euler, es aproximadamente igual a 2.718 y es la base del logaritmo natural. Aunque la exponenciación de mi podría, en principio, tratarse de la misma manera que la exponenciación de cualquier otro número real, tales exponenciales resultan tener propiedades particularmente elegantes y útiles. Entre otras cosas, estas propiedades permiten exponenciales de mi para generalizarse de forma natural a otros tipos de exponentes, como números complejos o incluso matrices, coincidiendo con el significado familiar de exponenciación con exponentes racionales.

Como consecuencia, la notación mi X usualmente denota una definición de exponenciación generalizada llamada funcion exponencial, Exp(X), que se puede definir de muchas formas equivalentes, por ejemplo, por

Entre otras propiedades, exp satisface la identidad exponencial

exp ⁡ (x + y) = exp ⁡ (x) ⋅ exp ⁡ (y).

La función exponencial se define para todos los valores enteros, fraccionarios, reales y complejos de X. De hecho, la matriz exponencial está bien definida para matrices cuadradas (en cuyo caso esta identidad exponencial solo se cumple cuando X y y conmutar) y es útil para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Dado que exp (1) es igual a miy exp (X) satisface esta identidad exponencial, se sigue inmediatamente que exp (X) coincide con la definición de multiplicación repetida de mi X para entero X, y también se sigue que los poderes racionales denotan raíces (positivas) como de costumbre, por lo que exp (X) coincide con el mi X definiciones en la sección anterior para todos los X por continuidad.

Potencias a través de logaritmos Editar

Cuándo mi X se define como la función exponencial, B X puede definirse, para otros números reales positivos b, en términos de mi X . Específicamente, el logaritmo natural ln (X) es la inversa de la función exponencial mi X . Está definido para B & gt 0, y satisface

Si B X es preservar las reglas del logaritmo y del exponente, entonces uno debe tener

Esto se puede utilizar como una definición alternativa de la potencia del número real. B X y está de acuerdo con la definición dada arriba usando exponentes racionales y continuidad. La definición de exponenciación mediante logaritmos es más común en el contexto de números complejos, como se analiza a continuación.

Exponentes reales con bases negativas Editar

Las potencias de un número real positivo son siempre números reales positivos. Sin embargo, la solución de x 2 = 4 puede ser 2 o −2. El valor principal de 4 1/2 es 2, pero −2 también es una raíz cuadrada válida. Si la definición de exponenciación de números reales se amplía para permitir resultados negativos, entonces el resultado ya no se comporta bien.

Ni el método del logaritmo ni el método del exponente racional se pueden utilizar para definir B r como un número real para un número real negativo B y un número real arbitrario r. En efecto, mi r es positivo para cada número real r, entonces lnB) no está definido como un número real para B ≤ 0 .

El método del exponente racional no se puede utilizar para valores negativos de B porque se basa en la continuidad. La función F(r) = B r tiene una extensión continua única [24] de los números racionales a los números reales para cada B & gt 0. Pero cuando B & lt 0, la función F ni siquiera es continuo en el conjunto de números racionales r para el que está definido.

Por ejemplo, considere B = −1. La nortela raíz de −1 es −1 para cada número natural impar norte. Así que si norte es un entero positivo impar, (−1) (metro/norte) = −1 si metro es impar y (−1) (metro/norte) = 1 si metro incluso. Así, el conjunto de números racionales q para el cual (−1) q = 1 es denso en los números racionales, como lo es el conjunto de q para el cual (−1) q = −1. Esto significa que la función (−1) q no es continuo en ningún número racional q donde se define.

Por otro lado, poderes complejos arbitrarios de números negativos B se puede definir eligiendo un complejo logaritmo de B.

Exponentes irracionales Editar

Si B es un número algebraico real positivo, y X es un número racional, se ha demostrado anteriormente que B X es un número algebraico. Esto sigue siendo cierto incluso si uno acepta cualquier número algebraico para B, con la única diferencia de que B X puede tomar varios valores (un número finito, ver más abajo), que son todos algebraicos. El teorema de Gelfond-Schneider proporciona alguna información sobre la naturaleza de B X Cuándo X es irracional (es decir, no racional). Afirma:

Si B es un número algebraico diferente de 0 y 1, y X un número algebraico irracional, entonces todos los valores de B X (hay infinitos) son trascendentales (es decir, no algebraicos).

Si b es un número real positivo yz es cualquier número complejo, la potencia B z es definido por

dónde X = ln (B) es la única solución real a la ecuación mi X = B , y el complejo poder de mi se define por la función exponencial, que es la función única de una variable compleja que es igual a su derivada y toma el valor 1 para X = 0 .

Como, en general, B z no es un número real, una expresión como (B z ) w no está definido por la definición anterior. Debe interpretarse a través de las reglas para potencias de números complejos y, a menos que z sea real o w sea un número entero, generalmente no es igual a B zw , como era de esperar.

Hay varias definiciones de la función exponencial, pero se extienden de manera compatible a números complejos y satisfacen la propiedad exponencial. Para cualquier número complejo z y w, la función exponencial satisface e z + w = ​​e z e w < displaystyle e ^= e ^e ^>. En particular, para cualquier número complejo z = x + i y

Esta fórmula vincula problemas de trigonometría y álgebra.

Por lo tanto, para cualquier número complejo z = x + i y,

Definición de serie Editar

La función exponencial es igual a su derivada y satisface e 0 = 1, < displaystyle e ^ <0> = 1,> su serie de Taylor debe ser

Esta serie infinita, que a menudo se toma como la definición de la función exponencial mi z para exponentes complejos arbitrarios, es absolutamente convergente para todos los números complejos z.

Cuándo z es puramente imaginario, es decir, z = iy por un número real y, la serie anterior se convierte en

que (porque converge absolutamente) puede reordenarse para

Las partes real e imaginaria de esta expresión son expansiones de Taylor de coseno y seno respectivamente, centradas en cero, lo que implica la fórmula de Euler:

Definición de límite Editar

Periodicidad Editar

Es decir, la función exponencial compleja e z = exp ⁡ (z) = exp ⁡ (z + 2 k π i) < displaystyle e ^= exp (z) = exp (z + 2k pi i)> para cualquier número entero k es una función periódica con período 2 π i < displaystyle 2 pi i>.

Ejemplos Editar

Las potencias enteras de números complejos distintos de cero se definen mediante multiplicaciones o divisiones repetidas como se indicó anteriormente. Si I es la unidad imaginaria y norte es un número entero, entonces I norte es igual a 1, I, −1 o -I, según si el entero norte es congruente con 0, 1, 2 o 3 módulo 4. Debido a esto, los poderes de I son útiles para expresar secuencias del período 4.

Los poderes complejos de los reales positivos se definen mediante mi X como en la sección Exponentes complejos con bases reales positivas anterior. Estas son funciones continuas.

Intentar extender estas funciones al caso general de potencias no enteras de números complejos que no son reales positivos conduce a dificultades. O definimos funciones discontinuas o funciones multivalor. Ninguna de estas opciones es del todo satisfactoria.

La potencia racional de un número complejo debe ser la solución de una ecuación algebraica. Por tanto, siempre tiene un número finito de valores posibles. Por ejemplo, w = z 1/2 debe ser una solución a la ecuación w 2 = z . Pero si w es una solución, entonces también lo es -w, porque (−1) 2 = 1. Se puede elegir una solución única pero algo arbitraria llamada valor principal usando una regla general que también se aplica a los poderes no racionales.

Las potencias y logaritmos complejos se manejan de forma más natural como funciones de un solo valor en una superficie de Riemann. Las versiones de un solo valor se definen eligiendo una hoja. El valor tiene una discontinuidad a lo largo de un corte de rama. Elegir una entre muchas soluciones como valor principal nos deja con funciones que no son continuas, y las reglas habituales para manipular poderes pueden llevarnos por mal camino.

Cualquier potencia no racional de un número complejo tiene un número infinito de valores posibles debido a la naturaleza de múltiples valores del logaritmo complejo. El valor principal es un valor único elegido entre estos por una regla que, entre sus otras propiedades, asegura que las potencias de números complejos con una parte real positiva y una parte imaginaria cero dan el mismo valor que la regla definida anteriormente para la base real correspondiente.

Exponenciar un número real a una potencia compleja es formalmente una operación diferente a la del número complejo correspondiente. Sin embargo, en el caso común de un número real positivo, el valor principal es el mismo.

Las potencias de los números reales negativos no siempre están definidas y son discontinuas incluso cuando están definidas. De hecho, solo se definen cuando el exponente es un número racional y el denominador es un número entero impar. Cuando se trata de números complejos, normalmente se utiliza la operación de números complejos.

Exponentes complejos con bases complejas Editar

Para números complejos w y z con w ≠ 0, la notación w z es ambiguo en el mismo sentido que log w es.

Para obtener un valor de w z , primero elija un logaritmo de w llámalo registro w . Tal elección puede ser el valor principal Log w (el valor predeterminado, si no se proporciona ninguna otra especificación), o tal vez un valor dado por alguna otra rama de log w arreglado de antemano. Luego, usando la función exponencial compleja, uno define

porque esto concuerda con la definición anterior en el caso en que w es un número real positivo y el valor principal (real) de log w se utiliza.

Si z es un número entero, entonces el valor de w z es independiente de la elección del registro w , y está de acuerdo con la definición anterior de exponenciación con un exponente entero.

Si z es un número racional metro/norte en términos más bajos con norte & gt 0, entonces las innumerables opciones de log w solo ceder norte diferentes valores para w z estos valores son los norte soluciones complejas s a la ecuación s norte = w metro .

Si z es un número irracional, entonces las infinitas opciones de log w conducir a un número infinito de valores distintos para w z .

El cálculo de potencias complejas se facilita al convertir la base w a la forma polar, como se describe en detalle a continuación.

En los cuaterniones se emplea una construcción similar.

Raíces complejas de la unidad Editar

Un numero complejo w tal que w norte = 1 para un entero positivo norte es un nortela raíz de la unidad. Geométricamente, el norteLas raíces de la unidad se encuentran en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de una norte-gon con un vértice sobre el número real 1.

Si w norte = 1 pero w k ≠ 1 para todos los números naturales k tal que 0 & lt k & lt norte , luego w se llama un primitivo nortela raíz de la unidad. La unidad negativa −1 es la única raíz cuadrada primitiva de la unidad. La unidad imaginaria I es una de las dos cuartas raíces primitivas de la unidad, la otra es -I.

El otro norteLas raíces de la unidad están dadas por

Raíces de números complejos arbitrarios Editar

Aunque hay infinitos valores posibles para un logaritmo complejo general, solo hay un número finito de valores para la potencia w q en el importante caso especial donde q = 1/norte y norte es un número entero positivo. Estos son los norte th raíces de w son soluciones de la ecuación z n = w . As with real roots, a second root is also called a square root and a third root is also called a cube root.

It is usual in mathematics to define w 1/norte as the principal value of the root, which is, conventionally, the norte th root whose argument has the smallest absolute value. Cuándo w is a positive real number, this is coherent with the usual convention of defining w 1/norte as the unique positive real norte th root. Por otro lado, cuando w is a negative real number, and n is an odd integer, the unique real norte th root is not one of the two norte th roots whose argument has the smallest absolute value. In this case, the meaning of w 1/norte may depend on the context, and some care may be needed for avoiding errors.

El conjunto de norte th roots of a complex number w is obtained by multiplying the principal value w 1/norte by each of the norte las raíces de la unidad. For example, the fourth roots of 16 are 2, −2, 2 I , and −2 I , because the principal value of the fourth root of 16 is 2 and the fourth roots of unity are 1, −1, I , and − I .

Computing complex powers Edit

It is often easier to compute complex powers by writing the number to be exponentiated in polar form. Every complex number z can be written in the polar form

dónde r is a nonnegative real number and θ is the (real) argument of z. The polar form has a simple geometric interpretation: if a complex number tu + iv is thought of as representing a point (tu, v) in the complex plane using Cartesian coordinates, then (r, θ) is the same point in polar coordinates. Es decir, r is the "radius" r 2 = tu 2 + v 2 y θ is the "angle" θ = atan2(v, tu). The polar angle θ is ambiguous since any integer multiple of 2π could be added to θ without changing the location of the point. Each choice of θ gives in general a different possible value of the power. A branch cut can be used to choose a specific value. The principal value (the most common branch cut), corresponds to θ chosen in the interval (−π, π] . For complex numbers with a positive real part and zero imaginary part using the principal value gives the same result as using the corresponding real number.

In order to compute the complex power w z , write w in polar form:

Si z is decomposed as C + di , then the formula for w z can be written more explicitly as

This final formula allows complex powers to be computed easily from decompositions of the base into polar form and the exponent into Cartesian form. It is shown here both in polar form and in Cartesian form (via Euler's identity).

The following examples use the principal value, the branch cut which causes θ to be in the interval (−π, π] . To compute I I , write I in polar and Cartesian forms:

Similarly, to find (−2) 3 + 4I , compute the polar form of −2:

and use the formula above to compute

The value of a complex power depends on the branch used. For example, if the polar form I = 1mi 5πi/2 is used to compute I I , the power is found to be mi −5π/2 the principal value of I I , computed above, is mi −π/2 . The set of all possible values for I I is given by [28]

So there is an infinity of values that are possible candidates for the value of I I , one for each integer k. All of them have a zero imaginary part, so one can say I I has an infinity of valid real values.

Failure of power and logarithm identities Edit

Some identities for powers and logarithms for positive real numbers will fail for complex numbers, no matter how complex powers and complex logarithms are defined as single-valued functions. Por ejemplo:

  • The identity log(BX ) = X ⋅ log B holds whenever b is a positive real number and x is a real number. But for the principal branch of the complex logarithm one has i π = log ⁡ ( − 1 ) = log ⁡ [ ( − i ) 2 ] ≠ 2 log ⁡ ( − i ) = 2 ( − i π 2 ) = − i π ight] eq 2log(-i)=2left(-<2>> ight)=-ipi >

Regardless of which branch of the logarithm is used, a similar failure of the identity will exist. The best that can be said (if only using this result) is that:

This identity does not hold even when considering log as a multivalued function. The possible values of log(w z ) contain those of z ⋅ log w as a subset. Using Log(w) for the principal value of log(w) and m , n as any integers the possible values of both sides are:

On the other hand, when x is an integer, the identities are valid for all nonzero complex numbers.

Monoids Edit

Exponentiation with integer exponents can be defined in any multiplicative monoid. [30] A monoid is an algebraic structure consisting of a set X together with a rule for composition ("multiplication") satisfying an associative law and a multiplicative identity, denoted by 1. Exponentiation is defined inductively by

Monoids include many structures of importance in mathematics, including groups and rings (under multiplication), with more specific examples of the latter being matrix rings and fields.

Matrices and linear operators Edit

Si A is a square matrix, then the product of A with itself norte times is called the matrix power. Also A 0 > is defined to be the identity matrix, [32] and if A is invertible, then A − n = ( A − 1 ) n =left(A^<-1> ight)^> .

These examples are for discrete exponents of linear operators, but in many circumstances it is also desirable to define powers of such operators with continuous exponents. This is the starting point of the mathematical theory of semigroups. [34] Just as computing matrix powers with discrete exponents solves discrete dynamical systems, so does computing matrix powers with continuous exponents solve systems with continuous dynamics. Examples include approaches to solving the heat equation, Schrödinger equation, wave equation, and other partial differential equations including a time evolution. The special case of exponentiating the derivative operator to a non-integer power is called the fractional derivative which, together with the fractional integral, is one of the basic operations of the fractional calculus.

Finite fields Edit

A field is an algebraic structure in which multiplication, addition, subtraction, and division are all well-defined and satisfy their familiar properties. The real numbers, for example, form a field, as do the complex numbers and rational numbers. Unlike these familiar examples of fields, which are all infinite sets, some fields have only finitely many elements. The simplest example is the field with two elements F 2 = < 0 , 1 >=<0,1>> with addition defined by 0 + 1 = 1 + 0 = 1 and 0 + 0 = 1 + 1 = 0 , and multiplication 0 ⋅ 0 = 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0 and 1 ⋅ 1 = 1 .

Exponentiation in finite fields has applications in public key cryptography. For example, the Diffie–Hellman key exchange uses the fact that exponentiation is computationally inexpensive in finite fields, whereas the discrete logarithm (the inverse of exponentiation) is computationally expensive.

In abstract algebra Edit

Exponentiation for integer exponents can be defined for quite general structures in abstract algebra.

Dejar X be a set with a power-associative binary operation which is written multiplicatively. Luego X norte is defined for any element X de X and any nonzero natural number norte as the product of norte Copias de X, which is recursively defined by

One has the following properties

If the operation has a two-sided identity element 1, then X 0 is defined to be equal to 1 for any X: [ cita necesaria ]

If the operation also has two-sided inverses and is associative, then the magma is a group. The inverse of X can be denoted by X −1 and follows all the usual rules for exponents:

If the multiplication operation is commutative (as, for instance, in abelian groups), then the following holds:

If the binary operation is written additively, as it often is for abelian groups, then "exponentiation is repeated multiplication" can be reinterpreted as "multiplication is repeated addition". Thus, each of the laws of exponentiation above has an analogue among laws of multiplication.

When there are several power-associative binary operations defined on a set, any of which might be iterated, it is common to indicate which operation is being repeated by placing its symbol in the superscript. Thus, Xnorte es X ∗ . ∗ X , tiempo X #norte es X # . # X , whatever the operations ∗ and # might be.

Superscript notation is also used, especially in group theory, to indicate conjugation. Es decir, gramo h = h −1 gh , dónde gramo y h are elements of some group. Although conjugation obeys some of the same laws as exponentiation, it is not an example of repeated multiplication in any sense. A quandle is an algebraic structure in which these laws of conjugation play a central role.

Over sets Edit

Si norte is a natural number, and A is an arbitrary set, then the expression A norte is often used to denote the set of ordered norte-tuples of elements of A. This is equivalent to letting A norte denote the set of functions from the set <0, 1, 2, . norte − 1> to the set A la norte-tuple (a0, a1, a2,. anorte−1) represents the function that sends I a aI.

For an infinite cardinal number κ and a set A, the notation A κ is also used to denote the set of all functions from a set of size κ to A. This is sometimes written κ A to distinguish it from cardinal exponentiation, defined below.

This generalized exponential can also be defined for operations on sets or for sets with extra structure. For example, in linear algebra, it makes sense to index direct sums of vector spaces over arbitrary index sets. That is, we can speak of

where each VI is a vector space.

Then if VI = V para cada I, the resulting direct sum can be written in exponential notation as Vnorte , or simply V norte with the understanding that the direct sum is the default. We can again replace the set norte with a cardinal number norte Llegar V norte , although without choosing a specific standard set with cardinality norte, this is defined only up to isomorphism. Tomando V to be the field R of real numbers (thought of as a vector space over itself) and norte to be some natural number, we get the vector space that is most commonly studied in linear algebra, the real vector space R norte .

If the base of the exponentiation operation is a set, the exponentiation operation is the Cartesian product unless otherwise stated. Since multiple Cartesian products produce an norte-tuple, which can be represented by a function on a set of appropriate cardinality, S norte becomes simply the set of all functions from norte a S in this case:

This fits in with the exponentiation of cardinal numbers, in the sense that | S norte | = | S | | norte | , where | X | is the cardinality of X. When "2" is defined as <0, 1 >, we have | 2 X | = 2 | X | , where 2 X , usually denoted by PAG(X), is the power set of X each subset Y de X corresponds uniquely to a function on X taking the value 1 for XY and 0 for XY .

In category theory Edit

In a Cartesian closed category, the exponential operation can be used to raise an arbitrary object to the power of another object. This generalizes the Cartesian product in the category of sets. If 0 is an initial object in a Cartesian closed category, then the exponential object 0 0 is isomorphic to any terminal object 1.

Of cardinal and ordinal numbers Edit

In set theory, there are exponential operations for cardinal and ordinal numbers.

Si κ y λ are cardinal numbers, the expression κ λ represents the cardinality of the set of functions from any set of cardinality λ to any set of cardinality κ. [35] If κ y λ are finite, then this agrees with the ordinary arithmetic exponential operation. For example, the set of 3-tuples of elements from a 2-element set has cardinality 8 = 2 3 . In cardinal arithmetic, κ 0 is always 1 (even if κ is an infinite cardinal or zero).

Exponentiation of cardinal numbers is distinct from exponentiation of ordinal numbers, which is defined by a limit process involving transfinite induction.

Just as exponentiation of natural numbers is motivated by repeated multiplication, it is possible to define an operation based on repeated exponentiation this operation is sometimes called hyper-4 or tetration. Iterating tetration leads to another operation, and so on, a concept named hyperoperation. This sequence of operations is expressed by the Ackermann function and Knuth's up-arrow notation. Just as exponentiation grows faster than multiplication, which is faster-growing than addition, tetration is faster-growing than exponentiation. Evaluated at (3, 3) , the functions addition, multiplication, exponentiation, and tetration yield 6, 9, 27, and 7 625 597 484 987 ( = 3 27 = 3 3 3 = 3 3 ) respectively.

Zero to the power of zero gives a number of examples of limits that are of the indeterminate form 0 0 . The limits in these examples exist, but have different values, showing that the two-variable function X y has no limit at the point (0, 0) . One may consider at what points this function does have a limit.

More precisely, consider the function F(X, y) = X y definido en D = <(X, y) ∈ R 2 : X > 0>. Luego D can be viewed as a subset of R 2 (that is, the set of all pairs (X, y) with X , y belonging to the extended real number line R = [−∞, +∞] , endowed with the product topology), which will contain the points at which the function F has a limit.

De echo, F has a limit at all accumulation points of D , except for (0, 0) , (+∞, 0) , (1, +∞) and (1, −∞) . [36] Accordingly, this allows one to define the powers X y by continuity whenever 0 ≤ X ≤ +∞ , −∞ ≤ y ≤ +∞ , except for 0 0 , (+∞) 0 , 1 +∞ and 1 −∞ , which remain indeterminate forms.

Under this definition by continuity, we obtain:

  • X +∞ = +∞ and X −∞ = 0 , when 1 < X ≤ +∞ .
  • X +∞ = 0 and X −∞ = +∞ , when 0 ≤ X < 1 .
  • 0 y = 0 and (+∞) y = +∞ , when 0 < y ≤ +∞ .
  • 0 y = +∞ and (+∞) y = 0 , when −∞ ≤ y < 0 .

These powers are obtained by taking limits of X y por positivo valores de X . This method does not permit a definition of X y Cuándo X < 0 , since pairs (X, y) with X < 0 are not accumulation points of D .

Por otro lado, cuando norte is an integer, the power X norte is already meaningful for all values of X , including negative ones. This may make the definition 0 norte = +∞ obtained above for negative norte problematic when norte is odd, since in this case X norte → +∞ as X tends to 0 through positive values, but not negative ones.

Informática B norte using iterated multiplication requires norte − 1 multiplication operations, but it can be computed more efficiently than that, as illustrated by the following example. To compute 2 100 , note that 100 = 64 + 32 + 4 . Compute the following in order:

  1. 2 2 = 4
  2. (2 2 ) 2 = 2 4 = 16.
  3. (2 4 ) 2 = 2 8 = 256.
  4. (2 8 ) 2 = 2 16 = 65 536 .
  5. (2 16 ) 2 = 2 32 = 4 294 967 296 .
  6. (2 32 ) 2 = 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 .
  7. 2 64 2 32 2 4 = 2 100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 .

This series of steps only requires 8 multiplication operations (the last product above takes 2 multiplications) instead of 99.

In general, the number of multiplication operations required to compute B norte can be reduced to Θ(log norte) by using exponentiation by squaring or (more generally) addition-chain exponentiation. Finding the mínimo sequence of multiplications (the minimal-length addition chain for the exponent) for B norte is a difficult problem, for which no efficient algorithms are currently known (see Subset sum problem), but many reasonably efficient heuristic algorithms are available. [37]

Placing an integer superscript after the name or symbol of a function, as if the function were being raised to a power, commonly refers to repeated function composition rather than repeated multiplication. [38] [39] [40] Thus, F 3 (X) may mean F(F(F(X))) [41] in particular, F −1 (X) usually denotes the inverse function of F . This notation was introduced by Hans Heinrich Bürmann [ cita necesaria ] [39] [40] and John Frederick William Herschel. [38] [39] [40] Iterated functions are of interest in the study of fractals and dynamical systems. Babbage was the first to study the problem of finding a functional square root F 1/2 (X) .

To distinguish exponentiation from function composition, the common usage is to write the exponential exponent after the parenthesis enclosing the argument of the function that is, F(X) 3 means (F(X)) 3 , and F(X) –1 means 1/F(X) .

For historical reasons, and because of the ambiguity resulting of not enclosing arguments with parentheses, a superscript after a function name applied specifically to the trigonometric and hyperbolic functions has a deviating meaning: a positive exponent applied to the function's abbreviation means that the result is raised to that power, [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [20] [40] while an exponent of −1 still denotes the inverse function. [40] That is, sin 2 X is just a shorthand way to write (sin X) 2 = sin(X) 2 without using parentheses, [16] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [20] whereas sin −1 X refers to the inverse function of the sine, also called arcsin X . Each trigonometric and hyperbolic function has its own name and abbreviation both for the reciprocal (for example, 1/(sin X) = (sin X) −1 = sin(X) −1 = csc X ), and its inverse (for example cosh −1 X = arcosh X ). A similar convention exists for logarithms, [40] where today log 2 X usually means (log X) 2 , not log log X . [40]

To avoid ambiguity, some mathematicians [ cita necesaria ] choose to use ∘ to denote the compositional meaning, writing Fnorte (X) for the n -th iterate of the function F(X) , as in, for example, F ∘3 (X) significado F(F(F(X))) . For the same purpose, F [norte] (X) was used by Benjamin Peirce [55] [40] whereas Alfred Pringsheim and Jules Molk suggested norte F(X) instead. [56] [40] [nb 1]

Programming languages generally express exponentiation either as an infix operator or as a (prefix) function, as they are linear notations which do not support superscripts:

  • x ↑ y : Algol, Commodore BASIC, TRS-80 Level II/III BASIC. [57][58]
  • x ^ y : AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (and its derivatives), TI-BASIC, bc (for integer exponents), Haskell (for nonnegative integer exponents), Lua and most computer algebra systems. Conflicting uses of the symbol ^ include: XOR (in POSIX Shell arithmetic expansion, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby and Tcl), indirection (Pascal), and string concatenation (OCaml and Standard ML).
  • x ^^ y : Haskell (for fractional base, integer exponents), D.
  • x ** y : Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (for floating-point exponents), Turing, VHDL.
  • pown x y : F# (for integer base, integer exponent).
  • x⋆y : APL.

Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:

  • pow(x, y) : C, C++.
  • Math.Pow(x, y) : C#.
  • math:pow(X, Y) : Erlang.
  • Math.pow(x, y) : Java.
  • [Math]::Pow(x, y) : PowerShell.
  • (expt x y) : Common Lisp.

For certain exponents there are special ways to compute X y much faster than through generic exponentiation. These cases include small positive and negative integers (prefer X · X encima X 2 prefer 1/X encima X −1 ) and roots (prefer sqrt(X) over X 0.5 , prefer cbrt(X) over X 1/3 ).


Exponents Jeopardy Game

This Exponents Jeopardy Game has a variety of math problems with powers and exponents. In this Jeopardy-style game, middle school students will practice sharpening their math skills.

The game has 3 categories: Evaluating Exponents, Equations with Exponents, and Exponents with Fractional Bases. This game has a single-player feature, and a multi-player option. It can be played on computers, iPads, and other tablets. You do not need to install an app to play this game on the iPad. Enjoy this challenging game to test your knowledge about exponents. How many points can you earn?

The game is based on the following Common Core Math Standards:

CC.6.EE.1
Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents.

CC.8.EE.1 Know and apply the properties of integer exponents to generate equivalent numerical expressions.

CC.8.EE.3 Use numbers expressed in the form of a single digit times an integer power of 10 to estimate very large or very small quantities, and to express how many times as much one is than the other.

Return from the Exponents Jeopardy game to the Elementary Math Games webpage, or to Math Play.


Three Rules of Exponents

Why do we add the exponents? Because of what the symbols mean. Section 1.

Example 1. Multiply 3 x 2 · 4 x 5 · 2 x

Solution . The problem means (Lesson 5): Multiply the numbers, then combine the powers of x :

3 x 2 · 4 x 5 · 2 x = 24 x 8

Two factors of x -- x 2 -- times five factors of x -- x 5 -- times one factor of x , produce a total of 2 + 5 + 1 = 8 factors of x : x 8 .

Problem 1. Multiply. Apply the rule Same Base.

To see the answer, pass your mouse over the colored area.
To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
Do the problem yourself first!

a) 5 x 2 · 6 x 4 = 30 x 6 B) 7 x 3 · 8 x 6 = 56 x 9
c) x · 5 x 4 = 5 x 5 D) 2 x · 3 x · 4 x = 24 x 3
e) x 3 · 3 x 2 · 5 x = 15 x 6 f) x 5 · 6 x 8 y 2 = 6 x 13 y 2
g) 4 x · y · 5 x 2 · y 3 = 20 x 3 y 4 h) 2 x y · 9 x 3 y 5 = 18 x 4 y 6
i) a 2 b 3 a 3 b 4 = a 5 b 7 j) a 2 bc 3 b 2 ac = a 3 b 3 c 4
k) x m y n x p y q = x m + p y n + q l) a p b q ab = a p + 1 b q + 1

Problem 2. Distinguish the following:

Example 2. Compare the following:

Part b) has the same form as part a). It is part a) with x = 2.

One factor of 2 multiplies five factors of 2 producing six factors of 2.

2 · 2 = 4 is not correct here.

Problem 3. Apply the rule Same Base.

a) x x 7 = x 8 B) 3 · 3 7 = 3 8 c) 2 · 2 4 · 2 5 = 2 10
D) 10 · 10 5 = 10 6 e) 3 x · 3 6 x 6 = 3 7 x 7

Problem 4. Apply the rule Same Base.

a) x n x 2 = x n + 2 B) x n x = x n + 1
c) x n x n = x 2 n D) x n x 1 &minus n = x
e) x · 2 x n &minus 1 = 2 x n f) x n x m = x n + m
g) x 2 n x 2 &minus n = x n + 2

Rule 2: Power of a product of factors

"Raise each factor to that same power."

For example, ( ab ) 3 = a 3 b 3 .

Why may we do that? Again, according to what the symbols mean:

( ab ) 3 = ab · ab · ab = aaabbb = a 3 b 3 .

The order of the factors does not matter:

Problem 5. Apply the rules of exponents.

a) ( x y ) 4 = x 4 y 4 B) ( pqr ) 5 = p 5 q 5 r 5 c) (2 abc ) 3 = 2 3 a 3 b 3 c 3
d) x 3 y 2 z 4 ( xyz ) 5 = x 3 y 2 z 4 · x 5 y 5 z 5 Rule 2.
= x 8 y 7 z 9 Same Base.

"To take a power of a power, multiply the exponents."

For example, ( a 2 ) 3 = a 2 · 3 = a 6 .

¿Por qué hacemos eso? Again, because of what the symbols mean:

( a 2 ) 3 = a 2 a 2 a 2 = a 3 · 2 = a 6

Problem 6. Apply the rules of exponents.

a) ( x 2 ) 5 = x 10 B) ( a 4 ) 8 = a 32 c) (10 7 ) 9 = 10 63

Example 3. Apply the rules of exponents: (2 x 3 y 4 ) 5

Solution . Within the parentheses there are three factors: 2, x 3 , and y 4 . According to Rule 2 we must take the fifth power of each one. But to take a power of a power, we multiply the exponents. Por lo tanto,

(2 x 3 y 4 ) 5 = 2 5 x 15 y 20

Problem 7. Apply the rules of exponents.

a) (10 a 3 ) 4 = 10,000 a 12 B) (3 x 6 ) 2 = 9 x 12
c) (2 a 2 b 3 ) 5 = 32 a 10 b 15 D) ( xy 3 z 5 ) 2 = x 2 y 6 z 10
e) (5 x 2 y 4 ) 3 = 125 x 6 y 12 f) (2 a 4 bc 8 ) 6 = 64 a 24 b 6 c 48

Problem 8. Apply the rules of exponents.

a) 2 x 5 y 4 (2 x 3 y 6 ) 5 = 2 x 5 y 4 · 2 5 x 15 y 30 = 2 6 x 20 y 34

b) abc 9 ( a 2 b 3 c 4 ) 8 = abc 9 · a 16 b 24 c 32 = a 17 b 25 c 41

Problem 9. Use the rules of exponents to calculate the following.

a) (2 · 10) 4 = 2 4 · 10 4 = 16 · 10,000 = 160,000

b) (4 · 10 2 ) 3 = 4 3 · 10 6 = 64,000,000

c) (9 · 10 4 ) 2 = 81 · 10 8 = 8,100,000,000

The powers of 10 have as many 0's as the exponent of 10.

To square a power, double the exponent.

Problem 10. Square the following.

a) x 5 = x 10 B) 8 a 3 b 6 = 64 a 6 b 12
c) &minus6 x 7 = 36 x 14 D) x n = x 2 n

Part c) illstrates: The square of a number is never negative.

Problem 11. Apply a rule of exponents -- if possible.

a) x 2 x 5 = x 7 , Rule 1. B) ( x 2 ) 5 = x 10 , Rule 3.
c) x 2 + x 5
Imposible. The rules of exponents apply only to multiplication.

In summary: Add the exponents when the same base appears twice: x 2 x 4 = x 6 . Multiply the exponents when the base appears once -- and in parentheses: ( x 2 ) 5 = x 10 .


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4: Exponents


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To calculate it is necessary to extract the integer value of the exponent from the binary representation. Recall that the value of the significand of a double precision number is:

Most commercially available processors and programming languages, however, do not support 64-bit integers generally, only 8, 16, and 32-bit integers are available. To overcome this, we can overlay the storage location of the 64-bit double precision number with an array of four 16-bit (short) integers:

In C or C++ this can be accomplished using the union data structure: After the assignment: the exponent of the variable x can be extracted from D.sh[0] , whose 16 bits contain the sign bit (bit 15), the 11-bit biased exponent (bits 14 through 4), and the 4 most significant bits of the mantissa (bits 3 through 0):

The biased exponent can be extracted from D.sh[0] by performing a bitwise logical AND with the 16-bit mask to zero-out the sign bit and the four most significant bits of the mantissa:


and then right-shifting by 4 bits:

Then the unbiased exponent .

Some processor architectures order the four 16-bit elements of the array sh in the reverse order, in other words, sh[0] is the rightmost (least significant) 16-bit word, not the leftmost (most significant). To avoid the problem, we can define the constant MSW to indicate the proper index of the left-most 16 bit array element:

When the is a denormalized number a special case needs to be taken. Recall that and must be greater than . Thus, if (or equivalently, , since ) then can only be represented as a denormalized number with biased exponent and mantissa , for , where:

(Note that the C right-shift operation is equivalent to integer division, . Similarly, the left-shift is equivalent to integer multiplication, .)

This implementation correctly and efficiently computes the . For example, for the value = +2.2250738585072014 (the smallest positive normalized double precision number) the = +4.9406564584124654 , which has the denormalized binary representation:

For the value = -1.7976931348623157 (the largest negative normalized number) the = +1.9958403095347198 , which has the normalized binary representation:


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