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5: Teoría de los números


5: Teoría de los números

Cinco es el tercer número primo más pequeño. [1] Dado que se puede escribir como 2 2 1 + 1, cinco se clasifica como un número primo de Fermat [1], por lo tanto, un polígono regular con 5 lados (un pentágono regular) se puede construir con compás y una regla sin marcar. Cinco es el tercer número primo de Sophie Germain, [1] el primer número primo seguro, el tercer número catalán, [2] y el tercer exponente primo de Mersenne. [3] Cinco es la primera prima de Wilson y la tercera prima factorial, también un factorial alterno. [4] Cinco es la primera buena prima. [5] Es un número primo de Eisenstein sin parte imaginaria y parte real de la forma 3norte - 1. [1] También es el único número que forma parte de más de un par de primos gemelos. Cinco también es un número superprimo y congruente. [6]

Se conjetura que cinco es el único número intocable impar [7] y si este es el caso, entonces cinco será el único número primo impar que no es la base de un árbol alícuota.

Cinco es también el único primo que es la suma de dos primos consecutivos, a saber, 2 y 3, siendo estos los solo posible conjunto de dos primos consecutivos.

El número 5 es el quinto número de Fibonacci, siendo 2 más 3. [1] Es el único número de Fibonacci que es igual a su posición. Cinco es también un número de Pell y un número de Markov, que aparece en soluciones a la ecuación diofántica de Markov: (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (5, 13, 194 ), (5, 29, 433),. (OEIS: A030452 enumera los números de Markov que aparecen en soluciones donde uno de los otros dos términos es 5). Mientras que el 5 es único en la secuencia de Fibonacci, en la secuencia de Perrin el 5 es el quinto y el sexto número de Perrin. [8]

5 es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados enteros más pequeño.

En las bases 10 y 20, 5 es un número 1-automórfico.

Cinco es el segundo número de Sierpinski del primer tipo y se puede escribir como S2 = (2 2) + 1. [9]

Mientras que las ecuaciones polinomiales de grado 4 e inferiores pueden resolverse con radicales, las ecuaciones de grado 5 y superiores generalmente no pueden resolverse así. Este es el teorema de Abel-Ruffini. Esto está relacionado con el hecho de que el grupo simétrico Snorte es un grupo solucionable para norte ≤ 4 y no solucionable para norte ≥ 5 .

Si bien todos los gráficos con 4 o menos vértices son planos, existe un gráfico con 5 vértices que no es plano: K5, el gráfico completo con 5 vértices.

Un polígono de cinco lados es un pentágono. Los números figurados que representan pentágonos (incluidos cinco) se denominan números pentagonales. Cinco es también un número piramidal cuadrado.

Cinco es el único número primo que termina en el dígito 5 porque todos los demás números escritos con un 5 en el lugar de las unidades bajo el sistema decimal son múltiplos de cinco. Como consecuencia de esto, 5 es en base 10 un número 1-automórfico.

Las fracciones vulgares con 5 o 2 en el denominador no producen expansiones decimales infinitas, a diferencia de las expansiones con todos los demás denominadores primos, porque son factores primos de diez, la base. Cuando se escribe en el sistema decimal, todos los múltiplos de 5 terminarán en 5 o 0.

Lista de cálculos básicos Editar

Multiplicación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5 × X 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
División 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 ÷ X 5 2.5 1. 6 1.25 1 0.8 3 0. 714285 0.625 0. 5 0.5 0. 45 0.41 6 0. 384615 0.3 571428 0. 3
X ÷ 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
Exponenciación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 X 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625 48828125 244140625 1220703125 6103515625 30517578125
X 5 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 161051 248832 371293 537824 759375

En las potencias de 5, cada potencia termina con el número cinco y de 5 3, si el exponente es impar, entonces el dígito de las centenas es 1, si es par, el dígito de las centenas es 6.

En notación decimal, n 5 siempre termina en el mismo dígito que n.

La evolución del dígito occidental moderno para el número 5 no se puede rastrear hasta el sistema indio, como para los dígitos 1 a 4. Los imperios Kushana y Gupta en lo que ahora es la India tenían entre sí varias formas diferentes que no se parecen a la dígito moderno. El nagari y el punjabi tomaron estos dígitos y todos crearon formas que eran similares a una "h" minúscula girada 180 °. Los árabes de Ghubar transformaron el dígito de varias formas diferentes, produciendo a partir de que eran más similares a los dígitos 4 o 3 que al 5. [11] Fue a partir de esos dígitos que los europeos finalmente obtuvieron el 5 moderno.

Mientras que la forma del carácter del dígito 5 tiene un ascendente en la mayoría de los tipos de letra modernos, en los tipos de letra con figuras de texto, el glifo suele tener un descendente, como, por ejemplo, en.


Sobrecarga de métodos

Hay un sitio (ProjectEuler.net) que publica numerosos desafíos matemáticos para programadores y nerds matemáticos como yo.

El problema n. ° 5 está clasificado como uno de los problemas más fáciles del sitio:


2520 es el número más pequeño que se puede dividir por cada uno de los números del 1 al 10 sin ningún resto.

¿Cuál es el número más pequeño que es divisible por todos los números del 1 al 20?

Es un problema fácil en cualquier lenguaje de programación.
comience en 1 y siga aumentando. En cada paso del camino, verifique el número módulo 2-20, si todos salen a 0, tiene la respuesta.
Es el programa más rápido de escribir, sin embargo, se necesitarán más de 4.600 millones de pasos antes de llegar a él.

Hay varias optimizaciones que se pueden hacer para acelerar las cosas, como se demuestra en esta publicación de blog:
http://www.fsharp.it/2008/02/07/project-euler-in-f-problem-5/
mostrando cómo encontrar la solución en alrededor de 25 segundos usando F #.

Después de mirar el código, quedé impresionado con F # y las habilidades y técnicas de optimización del autor. Pero muestra un problema evidente en las optimizaciones posteriores y un cambio fundamental en la informática que se aleja del campo de la teoría de números y las matemáticas del que proviene.

25 segundos no es tan malo para algo que podría tomar 4,6 mil millones de pasos, pero usando algo de teoría de números simple y factorización prima, puedo darle la respuesta en aproximadamente el mismo tiempo. Aquí está la solución para 1-10, ya que no quiero revelar la respuesta final.

Antes de comenzar, hay algo en lo que pensar, si un número es divisible entre 8, entonces es divisible entre 4 y 2, entonces, ¿por qué hacer la verificación redundante?

aquí están nuestros números omitiendo 1:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
y las factorizaciones primas:
2
3
2, 2
5
2, 3
7
2, 2, 2
3, 3
2, 5

respaldar el ser divisible por 8, eso es: 2, 2, 2
así que veamos y eliminemos cualquier número de 2 menos que 3 para una factorización determinada

y lo repetimos con nueve: 3, 3

lo que te deja con 7, 2, 2, 2, 3, 3, 5
7*2*2*2*3*3*5 = 2520

Un método similar sería comenzar con 2 y 3. encontrar el mcm (2, 3) = 6.
luego encuentra el mcm (6, 4) = 12
mcm (12, 5) = 60
mcm (60; 6) = 60
mcm (60, 7) = 420
mcm (420,8) = 840
mcm (840,9) = 2520
mcm (2520; 10) = 2520


Mientras discute la historia de la factorización moderna, Carl Pomerance & # 8217s 1996 pieza expositiva & # 8220A Tale of Two Sieves & # 8221 describe un algoritmo de factorización llamado Kraitchik & # 8217s Method y demuestra el algoritmo factorizando 2041.

El ejemplo es ciertamente más agradable e ilustrativo de lo que podría producir al azar. Pero, ¿qué tan especial es el ejemplo de Pomerance & # 8217s 2041?


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5: Teoría de los números

Un kit de herramientas de teoría de números para JavaScript.

Determina todos los divisores de un número determinado.

Cuenta los números enteros positivos menores que un número dado que son coprimos con el número dado. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia para la función Totient de Euler.

Determina la factorización prima para un entero dado. Para obtener más información, consulte la entrada Factorización de enteros de Wikipedia.

Utiliza el algoritmo de factorización de enteros de Pollard-Rho para encontrar rápidamente un pequeño divisor del número dado. Nota: el divisor encontrado no necesita ser primo (ya que Pollar-Rho es un algoritmo general de factorización de enteros).

Calcula el máximo común divisor de dos números enteros ay b.

Dado un número de base mixta y las bases para cada dígito, esto determina el incremento del número. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia sobre sistemas numéricos de radix mixtos.

Dado un número entero, esta función calcula el inverso multiplicativo modular al módulo dado.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número abundante.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número deficiente.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número heptagonal.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número hexagonal.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número octagonal.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número pentagonal.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número perfecto.

Determina si el número dado es primo. Nota: este es un método particularmente lento que utiliza la factorización prima completa para determinar si el número es primo. Para un método más rápido, consulte la función de molinero a continuación.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número cuadrado.

Dado un número entero, devuelve un booleano que indica si es un número triangular.

Calcula el símbolo de Jacobi para los números dados.

Calcula el mínimo común múltiplo de dos números enteros ay b.

Resuelve un logaritmo discreto. Para obtener más información, consulte lo siguiente:

Calcule el valor de la función de Möbius para n usando factorización ingenua. La función de Möbius se define como 1 si n es un número entero libre de cuadrados con un número par de factores primos, -1 si es libre de cuadrados con un número impar de factores primos y 0 si n tiene un factor primo al cuadrado.

mobiusRange (n1, n2 [, primalityTest = miller])

Calcule el valor de la función de Möbius para números enteros de n1 a n2 - 1 (inclusive) utilizando un método de tamiz. En comparación con mobius, este método aún factoriza efectivamente cada número entero, pero es algo más eficiente que factorizar y calcular cada valor individualmente. Los números menores que min (n1, sqrt (n2)) no se pueden tamizar implícitamente durante el cálculo, por lo que se debe realizar una prueba de primalidad explícita. De forma predeterminada, se utiliza la prueba de primalidad determinista de Miller-Rabin, pero opcionalmente se puede proporcionar cualquier prueba de primalidad booleana.

Utiliza la prueba determinísica de primacía de Miller-Rabin para determinar si el número dado es primo. Funciona para todos los números enteros positivos menores a 341,550,071,728,321.

Multiplica los dos números dados por el módulo dado. Consulte la entrada de Wikipedia sobre aritmética modular.

powerMod (base, exponente, mod)

Calcula la potencia de un módulo base del módulo dado. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia sobre Exponenciación modular.

Calcula una lista de todos los factores primos para el entero dado. Nota: aunque este método calcula completamente la factorización prima del entero, solo devuelve los números primos y no las potencias de la factorización. Para la factorización prima completa, utilice factor.

Calcula la raíz primitiva más pequeña para Z mod n, es decir, un generador multiplicativo para el grupo de unidades de Z mod n. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia sobre raíces primitivas módulo n.

Calcula un no residuo cuadrático para el número dado. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia sobre residuos cuadráticos.

Encuentre una raíz primitiva aleatoria para Z mod n, es decir, un generador multiplicativo para el grupo de unidades de Z mod n. A diferencia de primitiveRoot, esta función devuelve una raíz primitiva aleatoria. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia sobre raíces primitivas módulo n.

Determina una lista de números primos hasta el límite dado realizando el Tamiz de Eratóstenes.

Determina todas las raíces cuadradas de un número dado módulo el módulo dado. Para obtener más información, consulte la entrada de Wikipedia sobre residuos cuadráticos.

Utiliza el algoritmo de Tonelli-Shanks para determinar una raíz cuadrada única en Z mod p.

¡Las solicitudes de extracción son muy bienvenidas! Si ve una función que nos falta, tiene una implementación de algoritmo alternativo o incluso desea agregar una función de caso especial, estaremos encantados de revisar su código.

Trate de ceñirse a las siguientes pautas, ya que ayudarán a que las relaciones públicas se fusionen y publiquen rápidamente:


Aprender junto con hacer algo: autoeducación

ejercicios de matemáticas, tome los números de papel de lija por ejemplo, presenta a los niños el símbolo 0

9 y sus correspondientes nombres numéricos. Al trazar los números en el estilo y la dirección en que están escritos, los niños aprenden a escribir números. Luego, los niños tienen la oportunidad de relacionar sus conocimientos de cantidad y símbolo con las barras y tarjetas numéricas. Los períodos sensibles son momentos en los que los niños tienen la enorme necesidad de desarrollar ciertas características internas.


Un ejemplo

Dado el siguiente conjunto de datos, informaremos el resumen de cinco números:

1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 11, 12, 15, 15, 15, 17, 17, 18, 20

Hay un total de veinte puntos en el conjunto de datos. Por lo tanto, la mediana es el promedio de los valores de datos décimo y undécimo o:

La mediana de la mitad inferior de los datos es el primer cuartil. La mitad inferior es:

Así calculamosQ1= (4 + 6)/2 = 5.

La mediana de la mitad superior del conjunto de datos original es el tercer cuartil. Necesitamos encontrar la mediana de:

8, 11, 12, 15, 15, 15, 17, 17, 18, 20

Así calculamosQ3= (15 + 15)/2 = 15.

Reunimos todos los resultados anteriores e informamos que el resumen de cinco números para el conjunto de datos anterior es 1, 5, 7.5, 12, 20.


Ver el vídeo: Teoría de Números. Profe Monse (Septiembre 2021).