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4.6: Teorema de Cauchy - Matemáticas


El teorema de Cauchy es análogo al teorema de Green para campos vectoriales libres de curvatura.

Teorema ( PageIndex {1} ) Teorema de Cauchy

Suponga que (A ) es una región simplemente conectada, (f (z) ) es analítica en (A ) y (C ) es una curva cerrada simple en (A ). Entonces se cumplen las siguientes tres cosas:

(i) ( int_ {C} f (z) dz = 0 )

(i ') Podemos descartar el requisito de que (C ) es simple en la parte (i).

(ii) Las integrales de (f ) en las rutas dentro de (A ) son independientes de la ruta. Es decir, dos rutas con los mismos puntos finales se integran en el mismo valor.

(iii) (f ) tiene una antiderivada en (A ).

Prueba

Demostraremos (i) usando el teorema de Green; podríamos dar una prueba que no se basara en la de Green, pero sería bastante similar en sabor a la prueba del teorema de Green.

Sea (R ) la región dentro de la curva. Y escribe (f = u + iv ). Ahora escribimos la integral de la siguiente manera

[ int_ {C} f (z) dz = int_ {C} (u + iv) (dx + idy) = int_ {C} (u dx - v dy) + i (v dx + u dy). ]

Apliquemos el teorema de Green a las piezas reales e imaginarias por separado. Primero la pieza real:

[ int_ {C} u dx - v dy = int_ {R} (-v_x - u_y) dx dy = 0. ]

Lo mismo ocurre con la pieza imaginaria:

[ int_ {C} v dx + u dy = int_R (u_x - v_y) dx dy = 0. ]

Obtenemos 0 porque las ecuaciones de Cauchy-Riemann dicen (u_x = v_y ), entonces (u_x - v_y = 0 ).

Para ver la parte (i ′), debe dibujar algunas curvas que se crucen entre sí y convencerse de que se pueden dividir en una suma de curvas cerradas simples. Por tanto, (i ′) se sigue de (i). (Para probar verdaderamente la parte (i ′) necesitaríamos una definición técnicamente más precisa de simplemente conectado, por lo que podríamos decir que todas las curvas cerradas dentro de (A ) pueden deformarse continuamente entre sí).

La parte (ii) se sigue de (i) y el teorema 4.4.2.

Para ver (iii), elija un punto base (z_0 in A ) y deje

[F (z) = int_ {z_0} ^ {z} f (w) dw. ]

Aquí el itnegral está sobre cualquier ruta en (A ) conectando (z_0 ) a (z ). En el inciso ii), (F (z) ) está bien definido. Si podemos demostrar que (F '(z) = f (z) ) entonces habremos terminado. Hacer esto equivale a manejar la notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Entonces, escribamos

[f (z) = u (x, y) + iv (x, y), F (z) = U (x, y) + iV (x, y). ]

Entonces podemos escribir

[ dfrac { parcial f} { parcial x} = u_x + iv_x, text {etc.} ]

Podemos formular las ecuaciones de Cauchy-Riemann para (F (z) ) como

[F '(z) = dfrac { F parcial} { parcial x} = dfrac {1} {i} dfrac { F parcial} { parcial y} ]

es decir.

[F '(z) = U_x + iV_x = dfrac {1} {i} (U_y + i V_y) = V_y - i U_y. ]

Como referencia, notamos que usando la ruta ( gamma (t) = x (t) + iy (t) ), con ( gamma (0) = z_0 ) y ( gamma (b) = z ) tenemos

[ begin {matriz} {rcl} {F (z) = int_ {z_0} ^ {z} f (w) dw} & = & { int_ {z_0} ^ {z} (u (x, y) + iv (x, y)) (dx + idy)} {} & = & { int_0 ^ b (u (x (t), y (t)) + iv (x (t), y (t)) (x '(t) + iy' (t)) dt.} end {matriz} ]

Nuestro objetivo ahora es demostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann dadas en la ecuación 4.6.9 son válidas para (F (z) ). La siguiente figura muestra una ruta arbitraria de (z_0 ) a (z ), que se puede usar para calcular (f (z) ). Para calcular los parciales de (F ) necesitaremos las líneas rectas que continúan (C ) hasta (z + h ) o (z + ih ).


Rutas para la demostración del teorema de Cauchy

Para preparar el resto del argumento le recordamos que el teorema fundamental del cálculo implica

[ lim_ {h to 0} dfrac { int_0 ^ h g (t) dt} {h} = g (0). ]

(Es decir, la derivada de la integral es la función original).

Primero veremos ( dfrac { Particular F} { Particular x} ). Entonces, arregle (z = x + iy ). Mirando los caminos en la figura de arriba tenemos

[F (z + h) - F (z) = int_ {C + C_x} f (w) dw - int_C f (w) dw = int_ {C_x} f (w) dw. ]

La curva (C_x ) está parametrizada por ( gamma (t) + x + t + iy ), con (0 le t le h ). Entonces,

[ begin {matriz} {rcl} { dfrac { parcial F} { parcial x} = lim_ {h to 0} dfrac {F (z + h) - F (z)} {h} } & = & { lim_ {h to 0} dfrac { int_ {C_x} f (w) dw} {h}} {} & = & { lim_ {h to 0} dfrac { int_ {0} ^ {h} u (x + t, y) + iv (x + t, y) dt} {h}} {} & = & {u (x, y) + iv (x, y)} {} & = & {f (z).} end {matriz} ]

La penúltima igualdad se deriva de la Ecuación 4.6.10.

De manera similar, obtenemos (recuerde: (w = z + it ), entonces (dw = i dt ))

[ begin {array} {rcl} { dfrac {1} {i} dfrac { parcial F} { parcial y} = lim_ {h to 0} dfrac {F (z + ih) - F (z)} {ih}} & = & { lim_ {h to 0} dfrac { int_ {C_y} f (w) dw} {ih}} {} & = & { lim_ {h to 0} dfrac { int_ {0} ^ {h} u (x, y + t) + iv (x, y + t) i dt} {ih}} {} & = & {u (x, y) + iv (x, y)} {} & = & {f (z).} end {matriz} ]

Juntas, las ecuaciones 4.6.12 y 4.6.13 muestran

[f (z) = dfrac { F parcial} { parcial x} = dfrac {1} {i} dfrac { F parcial} { parcial y} ]

Por la ecuación 4.6.7 hemos demostrado que (F ) es analítica y (F '= f ).


Teorema de Cauchy


Teorema de Cauchy sobre poliedros: dos poliedros convexos cerrados son congruentes si sus caras, aristas y vértices verdaderos se pueden poner en una correspondencia uno a uno que preserva la incidencia de tal manera que las caras correspondientes sean congruentes. Este es el primer teorema sobre la definición única de superficies convexas, ya que los poliedros de los que habla son isométricos en el sentido de una métrica intrínseca. El teorema de Cauchy es un caso especial del teorema que establece que cada superficie convexa cerrada está definida de forma única por su métrica (ver [4]).

El teorema fue probado por primera vez por A.L. Cauchy (ver [1]).


Contenido

Muchos textos prueban el teorema con el uso de inducción fuerte y la ecuación de clase, aunque se requiere considerablemente menos maquinaria para probar el teorema en el caso abeliano. También se pueden invocar acciones de grupo para la prueba. [3]

Teorema de Cauchy - Sea G un grupo finito yp un primo. Si p divide el orden de G, entonces G tiene un elemento de orden p.

Prueba 1 Editar

Primero probamos el caso especial de que donde G es abeliano, y luego el caso general, ambas pruebas son por inducción en n = | G |, y tenemos como caso inicial n = p, que es trivial porque cualquier elemento no identitario ahora tiene el orden p. Supongamos primero que G es abeliano. Tome cualquier elemento que no sea de identidad a, y sea H el grupo cíclico que genera. Si p divide | H |, luego a | H | / p es un elemento de orden p. Si p no divide | H |, luego divide el orden [G: H] del grupo cociente G / H, que por lo tanto contiene un elemento de orden p por la hipótesis inductiva. Ese elemento es una clase xH para algún x en G, y si m es el orden de x en G, entonces xm = e en G da (xH) m = eH en G / H, entonces p divide m como antes de xm / p es ahora un elemento de orden p en G, completando la demostración para el caso abeliano.

En el caso general, sea Z el centro de G, que es un subgrupo abeliano. Si p divide | Z |, entonces Z contiene un elemento de orden p en el caso de grupos abelianos, y este elemento también funciona para G. Por tanto, podemos suponer que p no divide el orden de Z. Dado que p divide | G |, y G es la unión disjunta de Z y de las clases de conjugación de elementos no centrales, existe una clase de conjugación de un elemento no central a cuyo tamaño no es divisible por p. Pero la ecuación de clase muestra que el tamaño es [G: C GRAMO (a)], por lo que p divide el orden del centralizador C GRAMO (a) de a en G, que es un subgrupo adecuado porque a no es central. Este subgrupo contiene un elemento de orden p según la hipótesis inductiva, y hemos terminado.

Prueba 2 Editar

Esta demostración utiliza el hecho de que para cualquier acción de un grupo (cíclico) de primer orden p, los únicos tamaños de órbita posibles son 1 y p, que es inmediato del teorema del estabilizador de órbita.

El conjunto sobre el que actuará nuestro grupo cíclico es el conjunto

de p -tuplas de elementos de G cuyo producto (en orden) da la identidad. Tal p -tupla está determinada de forma única por todos sus componentes excepto el último, ya que el último elemento debe ser el inverso del producto de los elementos precedentes. También se ve que esos p - 1 elementos se pueden elegir libremente, por lo que X tiene | G | p −1 elementos, que es divisible por p.

Ahora bien, del hecho de que en un grupo si ab = e entonces también ba = e, se sigue que cualquier permutación cíclica de las componentes de un elemento de X da de nuevo un elemento de X. Por tanto, se puede definir una acción del grupo cíclico C pag de orden p en X por permutaciones cíclicas de componentes, en otras palabras en las que un generador elegido de C pag envía

Una consecuencia prácticamente inmediata del teorema de Cauchy es una caracterización útil de grupos p finitos, donde p es un primo. En particular, un grupo finito G es un grupo p (es decir, todos sus elementos tienen orden p k para algún número natural k) si y solo si G tiene orden p n para algún número natural n. Se puede usar el caso abeliano del teorema de Cauchy en una demostración inductiva [4] del primero de los teoremas de Sylow, similar a la primera demostración anterior, aunque también hay pruebas que evitan hacer este caso especial por separado.

Ejemplo 1 Editar

Sea G un grupo finito donde x 2 = e para todos los elementos x de G. Entonces G tiene el orden 2 n para algún número entero no negativo n. Let | G | es m. En el caso de m es 1, entonces G = . En el caso de m ≥ 2, si m tiene el factor primo impar p, G tiene el elemento x donde x p = e del teorema de Cauchy. Entra en conflicto con la suposición. Por tanto, m debe ser 2 n. [5] G es un grupo abeliano y G se llama un grupo 2 abeliano elemental o grupo booleano. El ejemplo más conocido es el de Klein de cuatro grupos.

Ejemplo 2 Editar

Un grupo simple abeliano es <mi> o grupo cíclico Cpag cuyo orden es un número primo p. Sea G un grupo abeliano, entonces todos los subgrupos de G son subgrupos normales. Entonces, si G es un grupo simple, G solo tiene un subgrupo normal que es <mi> o G. Si | G | = 1, entonces G es <mi>. Es adecuado. Si | G | ≥ 2, deje aGRAMO no es e, el grupo cíclico ⟨a⟩ < displaystyle langle a rangle> es un subgrupo de G y ⟨a⟩ < displaystyle langle a rangle> no es <mi>, entonces G = ⟨a⟩. < displaystyle G = langle a rangle.> Sea n el orden de ⟨a⟩ < displaystyle langle a rangle>. Si n es infinito, entonces

Entonces, en este caso, no es adecuado. Entonces n es finito. Si n es compuesto, n es divisible por el primo q, que es menor que n. A partir del teorema de Cauchy, existirá el subgrupo H cuyo orden es q, no es adecuado. Por tanto, n debe ser un número primo.


4.6: Teorema de Cauchy - Matemáticas

Este es un curso de cálculo de cuarto semestre. Los requisitos previos son Cálculo I - III o su equivalente. En particular, debe estar familiarizado con las técnicas estándar de diferenciación e integración y con las propiedades básicas de las funciones de varias variables, incluidas las derivadas parciales. La última parte del curso asume que algunos están familiarizados con números complejos (aunque estos serán revisados) así como con series de Taylor.

El curso comienza con la integración de funciones de dos y tres variables. A continuación, estudiamos el cálculo de campos vectoriales: los diversos operadores diferenciales (grad, curl, div) que se pueden aplicar a una función o campo vectorial, tipos de integrales de campos vectoriales (integrales de línea, integrales de superficie) y los teoremas fundamentales. (Green, Stokes, divergencia o Gauss) relacionando diferenciación e integración de campos vectoriales. La última parte del curso es una introducción a la teoría de funciones de una variable compleja. Esta teoría es importante en muchas aplicaciones de las matemáticas, la física y la ingeniería, y se basa en el material de los dos primeros tercios del curso.

Texto: James Stewart, Cálculo: principios trascendentales, sexta edición, Thomson Brooks Cole, 2008. Disponible en la librería de la Universidad.

Tarea: Habrá conjuntos de problemas semanales, los lunes al comienzo de la clase. El primer conjunto de problemas vencerá el lunes 28 de enero. Debe intentar cada problema de tarea y eventualmente entender cómo resolver cada problema correctamente. Se fomenta la colaboración y la discusión con sus compañeros de clase, pero deber redactar asignaciones individualmente. Cálculo IV es mucho más exigente que las clases de cálculo anteriores. Los estudiantes que recurren a copiar sus deberes de sus compañeros de clase, un manual de solución o la Web casi siempre se lamentan en los exámenes.

La tarea calificada estará disponible en la mesa fuera de 605 Mathematics. No se aceptarán tareas tardías.

Pruebas: Habrá cinco pruebas en clase, de las cuales se eliminará la más baja. Las fechas tentativas para las pruebas son el 4 de febrero, el 11 de febrero, el 10 de marzo, el 31 de marzo y el 28 de abril (todas las fechas los lunes).


Contenido

Si norte & lt metro luego ([n] m) < displaystyle < tbinom <[n]>>> es el conjunto vacío, y la fórmula dice que det (AB) = 0 (su lado derecho es una suma vacía) de hecho, en este caso, el rango del metro×metro matriz AB es como máximo norte, lo que implica que su determinante es cero. Si norte = metro, el caso donde A y B son matrices cuadradas, ([n] m) = <[n]> < displaystyle < tbinom <[n]>> = <[n] >> (un conjunto singleton), por lo que la suma solo implica S = [norte], y la fórmula establece que det (AB) = det (A) det (B).

Para metro = 0, A y B son matrices vacías (pero de diferentes formas si norte & gt 0), como es su producto AB la suma implica un solo término S = Ø, y la fórmula establece 1 = 1, con ambos lados dados por el determinante de la matriz 0 × 0. Para metro = 1, la suma abarca la colección ([n] 1) < displaystyle < tbinom <[n]> <1> >> del norte diferentes singleton tomados de [norte], y ambos lados de la fórmula dan ∑ j = 1 n A 1, j B j, 1 < displaystyle textstyle sum _^A_ <1, j> B_>, el producto escalar del par de vectores representados por las matrices. El valor más pequeño de metro para lo cual la fórmula establece una igualdad no trivial es metro = 2 se discute en el artículo sobre la identidad Binet-Cauchy.

En el caso norte = 3 Editar

En el caso metro & gt 3, el lado derecho siempre es igual a 0.

La siguiente prueba simple presentada en [1] se basa en dos hechos que se pueden probar de varias formas diferentes:

Hay varios tipos de pruebas que se pueden dar para la fórmula de Cauchy-Binet. La siguiente demostración se basa únicamente en manipulaciones formales y evita el uso de cualquier interpretación particular de los determinantes, que pueden considerarse definidos por la fórmula de Leibniz. Solo se usa su multilinealidad con respecto a filas y columnas, y su propiedad alterna (desapareciendo en presencia de filas o columnas iguales) en particular, la propiedad multiplicativa de los determinantes para matrices cuadradas no se usa, sino que se establece (el caso norte = metro). La prueba es válida para anillos de coeficientes conmutativos arbitrarios.

La fórmula se puede probar en dos pasos:

  1. utilizar el hecho de que ambos lados son multilineales (más precisamente 2metro-lineal) en el filas de A y el columnas de B, para reducir al caso de que cada fila de A y cada columna de B tiene solo una entrada distinta de cero, que es 1.
  2. manejar ese caso usando las funciones [metro] → [norte] que mapean respectivamente los números de fila de A al número de columna de su entrada distinta de cero, y los números de columna de B al número de fila de su entrada distinta de cero.

Para el paso 1, observe que para cada fila de A o columna de B, y para cada metro-combinación S, los valores de det (AB) y det (A[metro],S) det (BS,[metro]) de hecho dependen linealmente de la fila o columna. Para el último, esto es inmediato de la propiedad multilineal del determinante para el primero, además, debe comprobarse que tomando una combinación lineal para la fila de A o columna de B mientras que dejar el resto sin cambios solo afecta a la fila o columna correspondiente del producto AB, y por la misma combinación lineal. Por lo tanto, uno puede calcular ambos lados de la fórmula de Cauchy-Binet por linealidad para cada fila de A y luego también cada columna de B, escribiendo cada una de las filas y columnas como una combinación lineal de vectores básicos estándar. Las sumas múltiples resultantes son enormes, pero tienen la misma forma para ambos lados: los términos correspondientes involucran el mismo factor escalar (cada uno es un producto de entradas de A y de B), y estos términos solo difieren al involucrar dos expresiones diferentes en términos de matrices constantes del tipo descrito anteriormente, cuyas expresiones deben ser iguales de acuerdo con la fórmula de Cauchy-Binet. Esto logra la reducción del primer paso.

Concretamente, las sumas múltiples se pueden agrupar en dos sumas, una sobre todas las funciones. F:[metro] → [norte] que para cada índice de fila de A da un índice de columna correspondiente, y uno sobre todas las funciones gramo:[metro] → [norte] que para cada índice de columna de B da un índice de fila correspondiente. Las matrices asociadas a F y gramo están

donde "δ < displaystyle delta>" es el delta de Kronecker, y la fórmula de Cauchy − Binet para demostrar se ha reescrito como

Usando multilinealidad con respecto a ambas filas de A y las columnas de B en la prueba no es necesario, se podría usar solo uno de ellos, digamos el primero, y usar que un producto de matriz LFB o bien consiste en una permutación de las filas de BF([metro]),[metro] (Si F es inyectiva), o tiene al menos dos filas iguales.

Como hemos visto, la fórmula de Cauchy-Binet es equivalente a lo siguiente:

En términos de delta de Kronecker generalizado, podemos derivar la fórmula equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet:

Si A es un real metro×norte matriz, luego det (A A T) es igual al cuadrado de la metro-volumen dimensional del paralelopo extendido en R norte por el metro filas de A. La fórmula de Binet establece que esto es igual a la suma de los cuadrados de los volúmenes que surgen si el paralelepípedo se proyecta ortogonalmente sobre el metro-planos de coordenadas dimensionales (de los cuales hay (n m) < displaystyle < tbinom >> ).

En el caso metro = 1 el paralelootopo se reduce a un solo vector y su volumen es su longitud. La declaración anterior establece que el cuadrado de la longitud de un vector es la suma de los cuadrados de sus coordenadas, este es de hecho el caso según la definición de esa longitud, que se basa en el teorema de Pitágoras.

La fórmula de Cauchy-Binet se puede extender de manera sencilla a una fórmula general para los menores del producto de dos matrices. El contexto de la fórmula se da en el artículo sobre menores, pero la idea es que tanto la fórmula para la multiplicación de matrices ordinaria como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales del siguiente enunciado general sobre los menores de un producto de dos matrices. Suponer que A es un metro × norte matriz, B es un norte × pag matriz, I es un subconjunto de <1. metro> con k elementos y J es un subconjunto de <1. pag> con k elementos. Luego

donde la suma se extiende a todos los subconjuntos K de <1. norte> con k elementos.

Una versión continua de la fórmula de Cauchy-Binet, conocida como Identidad de Andréief-Heine o Andréief identidad aparece comúnmente en la teoría de matrices aleatorias. [2] Se establece de la siguiente manera: sea j = 0 N - 1 < displaystyle left <>(x) derecha > _^> y j = 0 N - 1 < displaystyle left <>(x) derecha > _^> ser dos secuencias de funciones integrables, admitidas en I < displaystyle I>. Luego

Forrester [3] describe cómo recuperar la fórmula habitual de Cauchy-Binet como una discretización de la identidad anterior.


Teorema de Cauchy-Lipschitz

Uno de los teoremas de existencia para las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria (cf. Ecuación diferencial, ordinaria), también llamado teorema de Picard-Lindelof o teorema de existencia de Picard por algunos autores. El teorema se refiere al problema del valor inicial beginetiqueta left < begin punto (t) = f (x (t), t) x (0) = x_0 , endderecho. final (una solución de eqref a menudo se denomina curva integral de $ f $ a $ x_0 $). Una versión (la local) del teorema establece lo siguiente

Teorema 1 Sea $ U subset mathbb R ^ n $ un conjunto abierto y $ f: U times [0, T] to mathbb R ^ n $ una función continua que satisface la condición de Lipschitz beginetiqueta | f (x_1, t) - f (x_2, t) | leq M | x_1-x_2 | qquad forall (x_1, t), (x_2, t) in U times [0, T] , end (donde $ M $ es una constante dada). Si $ x_0 en U $, entonces para algunos $ delta $ positivos hay un solución única $ x: [0, delta] a U $ del problema de valor inicial eqref.

Una declaración similar es válida si $ [0, T] $ se reemplaza por $ [- T, 0] $ o $ [- T, T] $ (el intervalo de existencia se convierte, respectivamente, en $ [- delta, 0] $ y $ [- delta, delta] $). La existencia se limita a un pequeño intervalo porque la curva integral $ x $ podría "salir" del dominio $ U $. En particular, $ delta $ puede tomarse igual a $ T $ o hay un intervalo de tiempo máximo de existencia $ [0, T_0 [$ de la solución, caracterizado por la propiedad de que $ x (t) $ se acerca al límite de $ U $ como $ t a T_0 $.

Una versión global de la misma declaración es la siguiente

Teorema 2 Sea $ U = mathbb R ^ n $ y $ f $ como en el Teorema 1. Entonces, para cualquier $ x_0 in mathbb R ^ n $ hay una solución única $ x: [0, T] a U $ del problema del valor inicial eqref.

El teorema global 2 también se cumple cuando $ [0, T] $ se reemplaza por $ [- T, 0] $ o $ [- T, T] $, por las medias líneas ilimitadas $ [0, infty [$ y $] - infty, 0] $) o por toda la línea real $ mathbb R $. La parte de existencia del enunciado se mantiene en condiciones mucho más débiles: ver, por ejemplo, el teorema de Peano y las condiciones de Caratheodory. La singularidad solo se puede mejorar ligeramente, consulte el criterio de Osgood.

Ambos teoremas 1 y 2 se utilizan para derivar la existencia (y unicidad) de curvas integrales de campos vectoriales en variedades, bajo supuestos de regularidad apropiados. De hecho, la existencia local de una curva integral $ dot < gamma> (t) = X ( gamma (t)) $ donde $ X $ es un campo vectorial en el paquete tangente de una variedad diferenciable se reduce al valor inicial problema eqref en gráficos locales.

Flujos de campos vectoriales y familias de difeomorfismos de un parámetro

Una versión reforzada del teorema de Cauchy-Lipschiz es de gran importancia en varias ramas de las matemáticas (topología diferencial, sistemas dinámicos y teoría de Lie, entre otras).

Teorema 3 Sea $ f $ como en el Teorema 2 y para cada $ t en [0, T] $ considere el mapa $ Phi_t: mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $ dado por $ Phi_t (x_0) = x (t) $, donde $ x $ es la única solución de eqref. Entonces $ Phi_t $ es un homeomorfismo biLipschitz de $ mathbb R ^ n $ sobre sí mismo, más precisamente satisface [e ^ <-Mt> | x_1-x_2 | leq | Phi_t (x_1) - Phi_t (x_2) | leq e ^ | x_1-x_2 | qquad forall x_1, x_2 in mathbb R ^ n ,. ]

El teorema 3 es una simple consecuencia del teorema 2 y el lema de Gronwall. En cuanto a los otros teoremas, versiones similares son válidas para diferentes intervalos de tiempo.

El teorema anterior también es válido:

  • para campos vectoriales $ C ^ 1 $ cuando $ mathbb R ^ n $ se sustituye por una variedad diferenciable compacta
  • para campos vectoriales de Lipschitz cuando $ mathbb R ^ n $ se sustituye por un conjunto abierto $ U subset mathbb R ^ n $ y se sabe a priori que las curvas integrales de $ f $ a través de cualquier $ x_0 en U $ no "salir" del dominio $ U $ antes del tiempo $ t $ (es decir, el intervalo máximo de existencia contiene $ t $ para cualquier valor inicial $ x_0 $).

De manera similar, se puede establecer una versión apropiada en subconjuntos abiertos de variedades.

Si $ f $ es, además, $ C ^ 1 $ (resp. $ C ^ k $, $ C ^ infty $ o $ C ^ omega $), el mapa $ Phi_t $ es un $ C ^ 1 $ (resp. $ C ^ k $, $ C ^ infty $ o $ C ^ omega $) difeomorfismo. La familia $ < Phi_t > $ se llama familia de difeomorfismos de un parámetro y el mapa $ Phi (t, x_0): = Phi_t (x_0) $ es el flujo del campo vectorial (dependiente del tiempo) $ f $. Cuando $ f $ es independiente de $ t $, se dice que la familia (que luego se define para cada $ t in mathbb R $) es generado por el campo vectorial $ f $.


Tarea

Serie 1 (Viernes 17 de enero)
Ch. 1, Ejercicios, pág. 24: 1, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 16, 19, 23

Conjunto 2 (Viernes 24 de enero)
Ch. 1, Ejercicios, pág. 24: 14, 15, 17, 24, 25, 26
Ch. 2, Problemas, pág. 67: 1

Conjunto 3 (Viernes 31 de enero)
Ch. 2, Ejercicios, pág. 64: 1, 2, 7, 8, 9, 11, 12, 13

Conjunto 4 (Miércoles, 12 de febrero)
Ch. 3, Ejercicios, pág. 103: 9, 12, 16, 19, 20, 22
Ch. 3, Problemas, pág. 108: 1, 5

Conjunto 5 (Miércoles, 19 de febrero)
Los problemas están aquí

Conjunto 7 (Miércoles, 12 de marzo)
Ch. 9, Ejercicios p. 278: 4, 6, 8
Ch. 9, Problemas p. 281: 3
El problema adicional aquí.

Conjunto 8 (Lun, 17 de marzo)
Ch. 5, Ejercicios p. 153: 6
Ch. 10, Ejercicios p. 309: 1, 7


Problemas resueltos

Haga clic o toque un problema para ver la solución.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 1.

Tenga en cuenta que debido a la condición (ab gt 0, ) el segmento ( left [ right] ) no contiene el punto (x = 0. ) Considere las dos funciones (F left (x right) ) y (G left (x right) ) que tienen la forma :

Para estas funciones, la fórmula de Cauchy se escribe de la forma:

donde el punto (x = c ) se encuentra en el intervalo ( left ( derecho).)

Sustituyendo esto en la fórmula de Cauchy, obtenemos

El lado izquierdo de esta ecuación se puede escribir en términos del determinante. Luego

Ejemplo 2.

Las derivadas de estas funciones son

Sustituyendo las funciones y sus derivadas en la fórmula de Cauchy, obtenemos

Tenemos en cuenta que los límites del segmento son (a = 1 ) y (b = 2. ) En consecuencia,

En este caso, el valor positivo de la raíz cuadrada (c = sqrt <2> normalsize> approx 1,58 ) es relevante. Es evidente que este número se encuentra en el intervalo ( left (<1,2> ​​ right), ) es decir, satisface el teorema de Cauchy.

Ejemplo 3.

Calcule las derivadas de estas funciones:

Sustituye las funciones (f left (x right) ), (g left (x right) ) y sus derivadas en la fórmula de Cauchy:

Para los valores de (a = 0 ), (b = 1, ) obtenemos:

Dado que consideramos el segmento ( left [<0,1> right], ) elegimos el valor positivo de (c. ) Asegúrate de que el punto (c ) se encuentra en el intervalo ( izquierda (<0,1> derecha): )

Por lo tanto, el teorema del valor medio de Cauchy es válido para las funciones y el intervalo dados.

Ejemplo 4.

Para estas funciones, la fórmula de Cauchy se escribe como

donde el punto (c ) se encuentra en el intervalo ( left ( derecho).)

En el contexto del problema, nos interesa la solución en (n = 0, ) que es

Como puede ver, el punto (c ) es el medio del intervalo ( left ( right) ) y, por tanto, se cumple el teorema de Cauchy.

Tenga en cuenta que la solución anterior es correcta si solo los números (a ) y (b ) satisfacen las siguientes condiciones:

Ejemplo 5.

Introducimos las funciones

y aplicar la fórmula de Cauchy en el intervalo ( left [<0, x> right]. ) Como resultado, obtenemos

donde el punto ( xi ) está en el intervalo ( left (<0, x> right). )

La expresión (< large frac << sin xi >> < xi> normalsize> left (< xi ne 0> right) ) en el lado derecho de la ecuación es siempre menos de uno. De hecho, esto se sigue de la Figura (3, ) donde ( xi ) es la longitud del arco que subtiende el ángulo ( xi ) en el círculo unitario, y ( sin xi ) es la proyección del radio-vector (OM ) sobre el eje (y ) -. En este caso podemos escribir


Teorema de Cauchy-Kovalevskaya


Un teorema que establece que el problema de Cauchy tiene una solución analítica (única) localmente si las funciones que ocurren en la ecuación diferencial (o sistema de ecuaciones diferenciales) y todos los datos iniciales, junto con la superficie inicial no característica, son analíticas.

Para un sistema de $ k $ ecuaciones diferenciales parciales en $ k $ funciones desconocidas $ u _ <1> (x, x _ <0>) dots u _ (x, x _ <0>) $, de la forma

$ etiqueta <1> frac < parcial ^ u _ > < parcial x _ <0> ^ > = F _ izquierda (x _ <0>, x, u, frac < parcial ^ + puntos m _ > u> < parcial x _ <0> ^ > puntos parcial x _ ^ >> derecha), $

$ i = 1 puntos k, x = (x _ <1> puntos x _ ), u = (u _ <1> puntos u _ ), $

$ suma _ ^ m _ leq m, m _ <0> & lt m, m geq 1, $

el teorema de Cauchy-Kovalevskaya establece lo siguiente: El problema de Cauchy planteado por los datos iniciales

$ etiqueta <2> left. < frac < parcial ^ u _ > < parcial x _ <0> ^ >> derecha | _ sigma = phi _ (x), i = 1 dots k j = 0 dots m-1, $

donde $ sigma = <<(x, x _ <0>)>: = 0, x in Omega _ <0>> > $ es la superficie inicial de los datos $ phi _ $, tiene una solución analítica única $ u (x, x _ <0>) $ en algún dominio $ Omega $ en $ (x _ <0>, x) $ - espacio que contiene $ Omega _ <0> veces > $, si $ F _ $ y $ phi _ $ son funciones analíticas de todos sus argumentos.

Considere un sistema lineal de ecuaciones diferenciales

$ etiqueta <3> P (x, D) u equiv sum _ <| alpha | leq m> A _ alpha (x) D ^ alpha u = B (x), $

donde $ alpha = ( alpha _ <0> dots alpha _ ) $ es un vector con coordenadas enteras no negativas

es el orden del operador diferencial

$ D ^ alpha = D _ <0> ^ < alpha _ <0>> puntos D _ ^ < alpha _ >, D _ = frac parcial < parcial x _ >, j = 0 puntos n $

$ A _ alpha (x) $, $ x = (x _ <0> puntos x _ ) $, es una matriz cuadrada dada de orden $ N $ $ u (x) = | u _ (x) | $, $ j = 1 dots N $, es el vector columna de funciones desconocidas y $ B (x) $ es un vector $ N $ dado.

En términos generales, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya no excluye la posibilidad de que el problema de Cauchy tenga soluciones no analíticas además de la solución analítica. Sin embargo, el problema de Cauchy para un sistema lineal (3) con coeficientes analíticos $ A _ alpha (x) $ y condiciones de Cauchy en una superficie analítica no característica $ sigma $ tiene como máximo una solución en un determinado vecindario $ Omega _ <0> $ de $ sigma $. Esta afirmación es válida sin ningún supuesto de analiticidad con respecto a los datos iniciales y la solución $ u (x) $.

Una solución del problema de Cauchy (1), (2), cuya existencia está garantizada por el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, puede resultar inestable (ya que una pequeña variación de los datos iniciales $ phi _ (x) $ puede inducir una gran variación de la solución). Por ejemplo, este es el caso cuando el sistema (1) es de tipo elíptico. Si los datos iniciales no son analíticos, el problema de Cauchy (1), (2) puede perder sentido a menos que la atención se limite a los sistemas hiperbólicos (1).

Para una amplia clase de ecuaciones, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya puede generalizarse al caso en el que la variedad inicial es característica en cada punto (ver [1], [2]). En ese caso, las funciones iniciales no se pueden prescribir a voluntad, deben satisfacer ciertas condiciones, dictadas por la ecuación diferencial.

Un problema característico de Cauchy (cf. Problema característico de Cauchy) puede tener más de una solución. En particular, uno tiene la siguiente proposición. Sea $ P (x, D) $ una ecuación diferencial de orden $ m $ con la parte principal $ P _ (x, D) $ y con coeficientes analíticos reales, definidos en una vecindad $ Omega $ de un punto $ x ^ <0> $ del espacio euclidiano $ mathbf R ^ $, y sea $ phi $ una función analítica real en $ Omega $ tal que

$ mathop < rm grad> phi (x ^ <0>) neq 0 textrm P _ (x, mathop < rm grad> phi) = 0, $

pero $ P _ ^ <(j)> (x, mathop < rm grad> phi) neq 0 $ en $ x = x ^ <0> $ por unos $ j $. Entonces existe un vecindario $ Omega _ <0> $ de $ x ^ <0> $ y una función $ u (x) $ de clase $ C ^ ( Omega _ <0>) $, analítica siempre que $ phi (x) neq phi (x ^ <0>) $, tal que $ P (x, D) u = 0 $ y

Si la variedad inicial es característica a lo largo de ciertas curvas, entonces, en términos generales, la solución del problema de Cauchy característico no es única en alguna vecindad de la superficie inicial y el grado de bifurcación está definido por la naturaleza geométrica de las superficies características correspondientes. El teorema fue probado por primera vez por S.V. Kovalevskaya (1875).

Referencias

[1] L. Bers, F. John, M. Schechter, "Ecuaciones diferenciales parciales", Interscience (1964)
[2] AV. Bitsadze, "Ecuaciones de la física matemática", MIR (1980) (Traducido del ruso)
[3] V.S. Vladimirov, "Ecuaciones de la física matemática", MIR (1984) (Traducido del ruso)
[4] R. Courant, D. Hilbert, "Métodos de física matemática. Ecuaciones diferenciales parciales", 2 , Interscience (1965) (Traducido del alemán)
[5] L. Hörmander, "Operadores diferenciales parciales lineales", Springer (1963)

Comentarios

El resultado de unicidad en el caso de datos no analíticos es el teorema de Holmgren (ver [5], Parte II, Capítulo 5, o [a2], Teorema 8.6.5). Una demostración moderna del teorema de Cauchy-Kovalevskaya en el caso lineal se puede encontrar en [a2], Sect. 9.4. Se puede encontrar una prueba relativamente breve en [a1].

El teorema también se denomina teorema de Cauchy-Kovalevski o Cauchy-Kowalewsky.


Matemáticas 322 Análisis complejo, primavera de 2019

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3 de abril. Geometría y topología del plano complejo. Hoja de cálculo . Líneas y círculos.

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May 20. Cauchy s theorem for a triangle. Cauchy s theorem for a convex region. Circular averages .

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