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9.0: Preludio a las identidades y ecuaciones trigonométricas - Matemáticas


Las matemáticas están en todas partes, incluso en lugares que quizás no reconozcamos de inmediato. El gráfico sinusoidal de la Figura ( PageIndex {1} ) modela la reproducción de música en un teléfono, radio o computadora. Estos gráficos se describen mediante ecuaciones y funciones trigonométricas. En este capítulo, discutimos cómo manipular ecuaciones trigonométricas algebraicamente aplicando varias fórmulas e identidades trigonométricas. También investigaremos algunas de las formas en que se utilizan las ecuaciones trigonométricas para modelar fenómenos de la vida real.


Considere el ejemplo familiar de un triángulo rectángulo 45-45-90, cuyos ángulos son 4 5 ∘, 45 ^ circ, 4 5 ∘, 4 5 ∘, 45 ^ circ, 4 5 ∘ y 9 0 ∘. 90 ^ circ. 9 0 ∘. Según el teorema de Pitágoras, dicho triángulo debe tener una hipotenusa cuya longitud sea 2 sqrt <2> 2

Veces el de cada una de las piernas:

En este caso, en relación con uno de los ángulos agudos del triángulo, se puede escribir la razón de los lados como

hipotenusa del lado opuesto = 1 2, hipotenusa del lado adyacente = 1 2, lado opuesto lado adyacente = 1. frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <2>>, quad frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <2>>, quad frac < text> < texto> = 1. hipotenusa lado opuesto = 2

1, lado adyacente de la hipotenusa = 2

1, lado adyacente lado opuesto = 1.

Multiplicado por el del cateto más corto mientras que la hipotenusa tiene el doble de largo que el cateto más corto:

hipotenusa del lado opuesto = 1 2, hipotenusa del lado adyacente = 3 2, lado opuesto lado adyacente = 1 3. frac < texto> < texto> = frac <1> <2>, quad frac < text> < texto> = frac < sqrt <3>> <2>, quad frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <3>>. hipotenusa lado opuesto = 2 1, hipotenusa lado adyacente = 2 3

, Lado adyacente lado opuesto = 3

En ambos casos, especificar los ángulos agudos del triángulo rectángulo determina las proporciones relativas entre cada uno de los lados. A medida que un ángulo se hace más pequeño y el otro más grande, el lado opuesto al ángulo más grande se hace más grande mientras que el lado opuesto al ángulo más pequeño se hace más pequeño.

No hay ninguna razón por la que no se puedan especificar las proporciones para alguna triángulo rectángulo arbitrario. En principio, dado uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, las relaciones entre cada par de lados son fijas. En otras palabras, las proporciones entre los lados se pueden considerar funciones de la medida de un ángulo agudo. En trigonometría, las tres razones forman la base de la definición de las tres funciones trigonométricas básicas, llamadas seno, coseno, y tangente.

  • La seno de θ theta θ se escribe sin ⁡ θ sin < theta> sin θ y se define como la razón sin ⁡ θ = hipotenusa del lado opuesto. sin < theta> = frac < text> < texto>. sin θ = lado opuesto de la hipotenusa.

  • La coseno de θ theta θ se escribe como cos ⁡ θ cos < theta> cos θ y se define como la razón cos ⁡ θ = hipotenusa del lado adyacente. cos < theta> = frac < text> < texto>. cos θ = lado adyacente hipotenusa.

  • La tangente de θ theta θ se escribe tan ⁡ θ tan < theta> tan θ y se define como la razón tan ⁡ θ = lado opuesto lado adyacente = sin ⁡ θ cos ⁡ θ. tan < theta> = frac < text> < texto> = frac < sin < theta >> < cos < theta >>. tan θ = lado adyacente lado opuesto = cos θ sin θ.

Además, dado que se usan con frecuencia, los recíprocos de seno, coseno y tangente también tienen nombres: son los cosecante, secante, y cotangente.

  • La cosecante de θ theta θ se escribe como csc ⁡ θ csc < theta> csc θ y se define como csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ. csc < theta> = frac <1> < sin < theta >>. csc θ = sin θ 1.

  • La secante de θ theta θ se escribe como sec ⁡ θ sec < theta> sec θ y se define como sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ. sec < theta> = frac <1> < cos < theta >>. sec θ = cos θ 1.

  • La cotangente de θ theta θ se escribe cot ⁡ θ cot < theta> cot θ y se define como cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ. cot < theta> = frac <1> < tan < theta >>. cot θ = tan θ 1.

Si bien los valores de las funciones trigonométricas para ciertos ángulos pueden calcularse como un número algebraico (es decir, expresable en términos de fracciones y raíces solamente), en general el seno o coseno de un ángulo arbitrario puede ser trascendental. Esto está probado por el teorema de Baker.

Calcule el valor de las seis funciones trigonométricas para θ = 3 0 ∘ theta = 30 ^ circ θ = 3 0 ∘.

Por lo que sabemos sobre el triángulo rectángulo 30-60-90, tenemos

sin ⁡ 3 0 ∘ = hipotenusa del lado opuesto = 1 2, cos ⁡ 3 0 ∘ = hipotenusa del lado adyacente = 3 2, tan ⁡ 3 0 ∘ = lado opuesto lado adyacente = 1 3. sin <30 ^ circ> = frac < text> < texto> = frac <1> <2>, quad cos <30 ^ circ> = frac < text> < texto> = frac < sqrt <3>> <2>, quad tan <30 ^ circ> = frac < text> < texto> = frac <1> < sqrt <3>>. sin 3 0 ∘ = hipotenusa lado opuesto = 2 1, cos 3 0 ∘ = hipotenusa lado adyacente = 2 3

, Tan 3 0 ∘ = lado adyacente lado opuesto = 3

​ 1 ​ .

Por lo tanto

csc ⁡ 3 0 ∘ = 1 sin ⁡ 3 0 ∘ = 2, sec ⁡ 3 0 ∘ = 1 cos ⁡ 3 0 ∘ = 2 3, cot ⁡ 3 0 ∘ = 1 tan ⁡ 3 0 ∘ = 3. □ csc <30 ^ circ> = frac <1> < sin <30 ^ circ >> = 2, quad sec <30 ^ circ> = frac <1> < cos <30 ^ circ >> = frac <2> < sqrt <3>>, quad cot <30 ^ circ> = frac <1> < tan <30 ^ circ >> = sqrt <3> . _ cuadrado csc 3 0 ∘ = sin 3 0 ∘ 1 = 2, seg 3 0 ∘ = cos 3 0 ∘ 1 = 3

2, cuna 3 0 ∘ = tan 3 0 ∘ 1 = 3

​ . □ ​

Recuerde que dos ángulos y el lado entre ellos o dos lados y el ángulo entre ellos especifican un triángulo único. En última instancia, las funciones trigonométricas permiten especificar todos los lados y ángulos desconocidos de un triángulo determinado de forma única.


9.0: Preludio a las identidades y ecuaciones trigonométricas - Matemáticas

La trigonometría se acumula. ¿Cuánto mide este lado?

(10.69-3.2 = 7.49 tan42 ^ o = frac<7.49> tan42 ^ o approx0.9 \ frac<7.49>=0.9 o dapprox6.74\\sin37^o=frac<6.74> sin37 ^ o approx0.602 \ frac <6.74>= 0.602 ae approx11.2 11.2 + 4.3 = 15.5 sin53 ^ o = frac<15.5> sin53 ^ o approx0.8 \ frac<15,5> = 0,8 af aproximadamente 12,4 )

(12,4-2,2 = 10,2 g ^ 2 = 10,2 ^ 2 + 1,7 ^ 2 a g aproxx10,34 cos21 ^ o = frac <10,34> cos21 ^ o approx0.934 \ frac <10.34>= 0.934 ah = 11.07 11.07 + 1.7 = 12.77 sin71 ^ o = frac<12.77> sin71 ^ o approx0.946 \ frac<12,77> = 0,946 ax approx12,1 (cm) leftarrow Respuesta )



Esta lección divide las funciones logarítmicas complicadas en sus componentes básicos: la base (b), el valor de entrada fijo (y) y la salida de la función, x. Por lo tanto, el logaritmo se escribe b x = y. Esta lección también repasa la identidad del producto, la identidad del cociente, la identidad del poder y las bases cambiantes.

Tanto las coordenadas polares como las rectangulares se refieren a un punto en una tabla o gráfico. A menudo, el teorema de Pitágoras se usa para encontrar las coordenadas correspondientes. ¡Lea esta lección para obtener consejos rápidos de conversión!


Trigonometría

En el siguiente diagrama vemos que sin (& pi - & theta) = sin & theta y cos (- & theta) = cos & theta. Usamos esto para encontrar las soluciones de algunas ecuaciones trigonométricas.

Caso 1: -1 & ley& le 1, es decir, el valor de y está entre -1 y 1, por lo que hay una solución.

El conjunto de todas las soluciones para pecado(X) = y es

dónde k puede ser cualquier número entero, es decir, las soluciones para X consisten en sin -1 (y) más todos los múltiplos pares de &Pi, Juntos con menos pecado -1 (y) más todo impar múltiplos de &Pi.

Caso 2: -1 & gt y o y & gt 1, es decir, el valor de y es demasiado grande o demasiado pequeño para que sea posible una solución.

Caso 1: -1 & ley& le 1

El conjunto de todas las soluciones para porqueX) = y es

dónde k puede ser cualquier número entero

Caso 2: -1 & gt y o y & gt 1

El conjunto de todas las soluciones para broncearse(X) = y es


Derivación de forma polar

Aunque la identidad de Euler se deriva de la forma polar de números complejos, es imposible derivar la forma polar (en particular, la aparición espontánea del número mi) sin cálculo.

Comenzamos con la forma rectangular de un número complejo:

A partir del diagrama y la trigonometría, podemos realizar las siguientes sustituciones:

Desde aquí podemos factorizar r:

La función cis&fi resulta ser igual a mii & phi. Esta es la parte que es imposible de mostrar sin cálculo. A continuación se muestran dos derivaciones:


9.0: Preludio a las identidades y ecuaciones trigonométricas - Matemáticas

Pregunta de Aakash, un estudiante:

el período de la función f (x) = cos3x + sin4x + tan4x

Período de una función trigonométrica

El período de una función trigonométrica t (x) es la distancia en x que tarda el patrón en repetirse.

La gráfica de la función tangente tan (x) se ve así (x en grados aquí):

Entonces, el período en este caso es 180 °, ya que el patrón se repite cada 180 unidades de x. Si reemplazamos x con 3x + 90 & deg, luego graficamos tan (3x + 90 & deg), se ve así:

Entonces, el período de esta función es 60 °. De hecho, ese factor delante de la x nos dice cuál será el período, si sabemos cuál es el período normalmente (sin un factor dado). En el caso de tan () es 180 °. Multiplica el período normal por el recíproco del factor delante de x. Debería poder determinar usted mismo qué es normal para el seno y el coseno.

Agregar funciones trigonométricas

Cuando agrega funciones trigonométricas, el patrón general se repite cuando hay un número entero de todos los períodos individuales. Supongamos que tiene períodos de cuatro funciones trigonométricas: 60 °, 360 °, 16 ° y 90 °. Encuentra el mínimo común múltiplo (LCM) de estas cifras para encontrar el período de la función general:

Resuelva su problema de la misma manera: primero encuentre el período de cada función trigonométrica, luego encuentre el LCM y tendrá el período general de la suma de las funciones trigonométricas.


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        • Editorial: John Wiley & Sons, Inc.
        • Año: 2008
        • ISBN: 9780471614432 (rústica)
        • 540 págs
        • Basado en: Versión 6

        Descripción Diseñado para ser leído por los estudiantes, este libro, escrito usando Mathematica 6, se enfoca en temas necesarios para tener éxito en cálculo y prepara a los estudiantes para el cálculo integral. Incluye un prefacio para instructores y soluciones paso a paso para ejercicios impares para que los estudiantes puedan modelar sus propias aplicaciones de lo que han aprendido. Además, los primeros capítulos y los resúmenes al final del capítulo destacan el material que se estudiará.

        El autor, Sheldon Axler, recibió un premio de la Asociación Matemática de América en escritura expositiva. Contenido Los números reales | Funciones y sus gráficos | Funciones lineales, cuadráticas, polinomiales y racionales | Exponentes y logaritmos | Área, miy el logaritmo natural | Funciones trigonométricas | Aplicaciones de la trigonometría | Secuencias, series y límites Temas relacionados Álgebra, cálculo y análisis, geometría


        Pregunta 4

        Solución a la pregunta 4
        Dejemos que el "qué porcentaje" desconocido se denote por y%, ya que estamos buscando un porcentaje. "es" se representa por igual y "de" por una multiplicación. Por lo tanto, la pregunta anterior se puede traducir a una ecuación matemática de la siguiente manera:
        4 = y% * 32
        Ahora resolvemos para el y% desconocido
        y% = 4/32 = 0,125
        Hemos encontrado la forma decimal ay% que se puede cambiar a forma de porcentaje multiplicándola y dividiéndola por 100. Por lo tanto
        y% = 0,125 = 12,5 / 100 = 12,5%
        Como ejercicio, compruebe que el 12,5% de 32 da 4.


        Editar una ecuación en el Editor de ecuaciones

        Si usó el Editor de ecuaciones para insertar una ecuación, puede editar esa ecuación en el Editor de ecuaciones.

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        En PowerPoint, para volver a la presentación, en Editor de ecuaciones, sobre el Archivo menú, haga clic en Salir y volver a la presentación.

        Para aprender a usar ecuaciones integradas usando el Ecuación , consulte Escribir una ecuación o fórmula.


        Ver el vídeo: Identidades Trigonométricas. Introducción (Septiembre 2021).