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10.2: Triángulos no rectos - Ley de los cosenos


Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Usa la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuos.
  • Resolver problemas aplicados usando la Ley de los cosenos.
  • Usa la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo.

Suponga que un barco sale del puerto, viaja (10 ​​) millas, gira (20 ) grados y viaja otras 8 millas como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) ¿A qué distancia del puerto está el barco?

Desafortunadamente, mientras que la Ley de los senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos donde el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, un triángulo SAS (lado-ángulo-lado), o cuando los tres Se conocen lados, pero no se conocen ángulos, un triángulo SSS (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver triángulos oblicuos descrita por estos dos últimos casos.

Usar la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la Ley de los cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la Ley de los cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se comprende el patrón, es más fácil trabajar con la Ley de los cosenos que con la mayoría de las fórmulas en este nivel matemático.

Comprender cómo se deriva la Ley de los cosenos será útil para usar las fórmulas. La derivación comienza con el Teorema de Pitágoras Generalizado, que es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo (ABC ) se coloca en el plano de coordenadas con el vértice (A ) en el origen, el lado (c ) dibujado a lo largo del X-eje y vértice (C ) ubicado en algún punto ((x, y) ) en el plano, como se ilustra en la Figura ( PageIndex {2} ). Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano, pero para esta explicación colocaremos el triángulo como se indica.

Podemos colocar una perpendicular desde (C ) a la X-eje (esta es la altitud o altura). Recordando las identidades trigonométricas básicas, sabemos que

( cos theta = dfrac {x (adyacente)} {b (hipotenusa)} ) y ( sin theta = dfrac {y (opuesto)} {b (hipotenusa)} )

En términos de ( theta ), (x = b cos theta ) y (y = b sin theta ). El punto ((x, y) ) ubicado en (C ) tiene coordenadas ((b cos theta, b sin theta) ). Usando el lado ((x − c) ) como un cateto de un triángulo rectángulo y (y ) como el segundo cateto, podemos encontrar la longitud de la hipotenusa (a ) usando el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto,

( begin {matriz} {ll} a ^ 2 = {(x − c)} ^ 2 + y ^ 2 [4pt] ; ; ; ; ; = {(b cos theta −c)} ^ 2 + {(b sin theta)} ^ 2 & text {Sustituir} (b cos theta) text {para} x text {y} (b sin theta) texto {para} y [4pt] ; ; ; ; ; ; = (b ^ 2 { cos} ^ 2 theta − 2bc cos theta + c ^ 2) + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta & text {Expande el cuadrado perfecto.} [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 { cos} ^ 2 theta + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta + c ^ 2−2bc cos theta & text {Agrupa los términos señalando que} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) + c ^ 2−2bc cos theta & text {Factorizar} b ^ 2 [4pt] end {matriz} )

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta )

La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la Ley de los cosenos. Las otras ecuaciones se encuentran de manera similar.

Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver ángulos o lados. En un escenario del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, es posible que sea necesario modificar el diagrama. Haz esas alteraciones al diagrama y, al final, el problema será más fácil de resolver.

LA LEY DE LOS COSINOS

La Ley de los cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido.

Para triángulos etiquetados como en la Figura ( PageIndex {3} ), con ángulos ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ), y lados opuestos correspondientes (a ), (b ) y (c ), respectivamente, la Ley de los cosenos se expresa mediante tres ecuaciones.

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha ]

[b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta ]

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma ]

Para resolver la medición de un lado faltante, se necesita la medida del ángulo opuesto correspondiente.

Al resolver un ángulo, se necesita la medida del lado opuesto correspondiente. Podemos usar otra versión de la Ley de los cosenos para resolver un ángulo.

[ cos alpha = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 − a ^ 2} {2bc} ]

[ cos beta = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 − b ^ 2} {2ac} ]

[ cos gamma = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 − c ^ 2} {2ab} ]

Cómo: Dados dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), encuentra las medidas del lado restante y los ángulos de un triángulo

  1. Dibuja el triángulo. Identifica las medidas de los lados y ángulos conocidos. Usa variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
  2. Aplica la ley de los cosenos para hallar la longitud del lado o ángulo desconocido.
  3. Aplica la ley de los senos o cosenos para encontrar la medida de un segundo ángulo.
  4. Calcula la medida del ángulo restante.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo SAS

Encuentra el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la Figura ( PageIndex {4} ).

Solución

Primero, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Este arreglo se clasifica como SAS y proporciona los datos necesarios para aplicar la Ley de los cosenos.

Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado para resolver es el lado (b ), ya que conocemos la medida del ángulo opuesto ( beta ).

( begin {matriz} {ll} b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta [4pt] b ^ 2 = {10} ^ 2 + {12} ^ 2−2 ( 10) (12) cos (30 °) & text {Sustituye las medidas por las cantidades conocidas.} [4pt] b ^ 2 = 100 + 144−240 left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) & text {Evalúa el coseno y comienza a simplificar.} [4pt] b ^ 2 = 244−120 sqrt {3} [4pt] b = sqrt {244−120 sqrt {3}} & text {Usa la propiedad de la raíz cuadrada.} [4pt] b≈6.013 end {array} )

Debido a que estamos resolviendo para una longitud, usamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que conocemos la longitud (b ), podemos usar la Ley de los senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Resolviendo el ángulo ( alpha ), tenemos

( begin {array} {cc} dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} [4pt] dfrac { sin alpha} {10} = dfrac { sin (30 °)} {6.013} [4pt] sin alpha = dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} & text {Multiplica ambos lados de la ecuación por} 10 . [4pt] alpha = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} right) & text {Encuentra el seno inverso de} dfrac {10 sin (30 °)} {6.013}. [4pt] alpha≈56.3 ° end {array} )

La otra posibilidad para ( alpha ) sería ( alpha = 180 ° -56.3 ° ≈123.7 ° ). En el diagrama original, ( alpha ) es adyacente al lado más largo, entonces ( alpha ) es un ángulo agudo y, por lo tanto, (123.7 ° ) no tiene sentido. Observe que si optamos por aplicar la Ley de los cosenos, llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para los ángulos entre (0 ° ) y (180 ° ). Continuando con ( alpha≈56.3 ° ), podemos encontrar el tercer ángulo del triángulo.

[ begin {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -56.3 ^ { circ} & approx 93.7 ^ { circ} end {align *} ]

El conjunto completo de ángulos y lados es

( alpha≈56.3 ° ) (a = 10 )

( beta = 30 ° ) (b≈6.013 )

( gamma≈93.7 ° ) (c = 12 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra el lado y los ángulos que faltan del triángulo dado: ( alpha = 30 ° ), (b = 12 ), (c = 24 ).

Respuesta

(a≈14.9 ), ( beta≈23.8 ° ), ( gamma≈126.2 ° ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolver para un ángulo de un triángulo SSS

Encuentra el ángulo ( alpha ) para el triángulo dado si el lado (a = 20 ), el lado (b = 25 ) y el lado (c = 18 ).

Solución

Para este ejemplo, no tenemos ángulos. Podemos resolver cualquier ángulo usando la Ley de los cosenos. Para resolver el ángulo ( alpha ), tenemos

( begin {matriz} {ll} a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha [4pt] {20} ^ 2 = {25} ^ 2 + {18} ^ 2− 2 (25) (18) cos alpha & text {Sustituye las medidas apropiadas.} [4pt] 400 = 625 + 324−900 cos alpha & text {Simplifica en cada paso.} [ 4pt] 400 = 949−900 cos alpha [4pt] −549 = −900 cos alpha & text {Isolate} cos alpha. [4pt] −549−900 = cos alpha [4pt] 0.61≈ cos alpha [4pt] 0.61≈ cos alpha & text {Encuentra el coseno inverso.} [4pt] alpha≈52.4 ° end {array} )

Vea la Figura ( PageIndex {5} ).

Análisis

Debido a que el coseno inverso puede devolver cualquier ángulo entre (0 ) y (180 ) grados, no habrá casos ambiguos usando este método.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dado (a = 5 ), (b = 7 ) y (c = 10 ), encuentra los ángulos que faltan.

Respuesta

( alpha≈27.7 ° ), ( beta≈40.5 ° ), ( gamma≈111.8 ° )

Resolver problemas aplicados mediante la ley de los cosenos

Así como la Ley de los senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la Ley de los cosenos es aplicable a situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos de coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la topografía, la astronomía y la geometría, solo por nombrar algunos.

Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Uso de la ley de los cosenos para resolver un problema de comunicación

En muchos teléfonos móviles con GPS, se puede dar una ubicación aproximada antes de recibir la señal de GPS. Esto se logra mediante un proceso llamado triangulación, que funciona utilizando las distancias desde dos puntos conocidos. Suponga que hay dos torres de telefonía celular dentro del alcance de un teléfono celular. Las dos torres están ubicadas a (6000 ) pies de distancia a lo largo de una carretera recta, que corre de este a oeste, y el teléfono celular está al norte de la carretera. Según el retardo de la señal, se puede determinar que la señal está a (5050 ) pies de la primera torre y (2420 ) pies de la segunda torre. Determine la posición del teléfono celular al norte y al este de la primera torre y determine qué tan lejos está de la carretera.

Solución

Para simplificar, comenzamos dibujando un diagrama similar a la Figura ( PageIndex {6} ) y etiquetando nuestra información dada.

Usando la Ley de los cosenos, podemos resolver el ángulo ( theta ). Recuerda que la Ley de los cosenos usa el cuadrado de un lado para encontrar el coseno del ángulo opuesto. Para este ejemplo, sea (a = 2420 ), (b = 5050 ) y (c = 6000 ). Por lo tanto, ( theta ) corresponde al lado opuesto (a = 2420 ).

[ begin {align *} a ^ 2 & = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta [4pt] {(2420)} ^ 2 & = {(5050)} ^ 2 + {( 6000)} ^ 2−2 (5050) (6000) cos theta [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 [4pt] theta & ≈ { cos} ^ {- 1} (0.9183) [4pt] theta & ≈ 23.3 ° end {align *} ]

Para responder las preguntas sobre la posición del teléfono al norte y al este de la torre, y la distancia a la carretera, baje una perpendicular desde la posición del teléfono celular, como en la Figura ( PageIndex {7} ). Esto forma dos triángulos rectángulos, aunque solo necesitamos el triángulo rectángulo que incluye la primera torre para este problema.

Usando el ángulo ( theta = 23.3 ) ° y las identidades trigonométricas básicas, podemos encontrar las soluciones. Por lo tanto

[ begin {align *} cos (23.3 °) & = dfrac {x} {5050} [4pt] x & = 5050 cos (23.3 °) [4pt] x & ≈ 4638.15 , pies [4pt] sin (23.3 °) & = dfrac {y} {5050} [4pt] y & = 5050 sin (23.3 °) [4pt] y & ≈1997.5 , pies fin {alinear *} ]

El teléfono celular está aproximadamente a (4638 ) pies al este y (1998 ) pies al norte de la primera torre ya (1998 ) pies de la carretera.

Ejemplo ( PageIndex {3B} ): Calcular la distancia recorrida usando un triángulo SAS

Volviendo a nuestro problema al principio de esta sección, suponga que un barco sale del puerto, viaja (10 ​​) millas, gira (20 ) grados y viaja otras (8 ) millas. ¿A qué distancia del puerto está el barco? El diagrama se repite aquí en la Figura ( PageIndex {8} ).

Solución

El bote giró 20 grados, por lo que el ángulo obtuso del triángulo no rectángulo es el ángulo suplementario, (180 ° −20 ° = 160 ° ). Con esto, podemos utilizar la Ley de los cosenos para encontrar el lado que falta del triángulo obtuso: la distancia del barco al puerto.

[ begin {align *} x ^ 2 & = 8 ^ 2 + {10} ^ 2−2 (8) (10) cos (160 °) [4pt] x ^ 2 & = 314,35 [ 4pt] x & = sqrt {314.35} [4pt] x & ≈17.7 , miles end {align *} ]

El barco está a unas (17,7 ) millas del puerto.

Usar la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo

Ya aprendimos a encontrar el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para encontrar el área de un triángulo usando la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos usar Fórmula de la garza en lugar de encontrar la altura. Garza de Alejandría Fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para encontrar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.

FÓRMULA DE GARZA

La fórmula de Heron calcula el área de triángulos oblicuos en los que se conocen los lados (a ), (b ) y (c ).

[Área = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} ]

donde (s = dfrac {(a + b + c)} {2} ) es la mitad del perímetro del triángulo, a veces llamado semiperímetro.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Usar la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo dado

Encuentra el área del triángulo en la Figura ( PageIndex {9} ) usando la fórmula de Heron.

Solución

Primero, calculamos (s ).

[ begin {align *} s & = dfrac {(a + b + c)} {2} s & = dfrac {(10 + 15 + 7)} {2} & = 16 end { alinear*}]

Luego aplicamos la fórmula.

[ begin {align *} Área & = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} Área & = sqrt {16 (16-10) (16-15) (16-7)} Área & approx 29.4 end {align *} ]

El área es aproximadamente (29,4 ) unidades cuadradas.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Usa la fórmula de Heron para hallar el área de un triángulo cuyos lados miden (a = 29.7 ) pies, (b = 42.3 ) pies y (c = 38.4 ) pies.

Respuesta

Área = (552 ) pies cuadrados

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Aplicación de la fórmula de Heron a un problema del mundo real

Un desarrollador de la ciudad de Chicago quiere construir un edificio que consta de lofts de artistas en un lote triangular bordeado por Rush Street, Wabash Avenue y Pearson Street. El frente a lo largo de Rush Street mide aproximadamente (62,4 ) metros, a lo largo de Wabash Avenue mide aproximadamente (43,5 ) metros y a lo largo de Pearson Street mide aproximadamente (34,1 ) metros. ¿Cuántos metros cuadrados tiene a disposición el promotor? Consulte la Figura ( PageIndex {10} ) para ver la propiedad de la ciudad.

Solución

Encuentra la medida de (s ), que es la mitad del perímetro.

[ begin {align *} s & = dfrac {(62.4 + 43.5 + 34.1)} {2} s & = 70 ; m text {Aplicar la fórmula de Heron.} Area & = sqrt {70 (70-62.4) (70-43.5) (70-34.1)} Area & = sqrt {506,118.2} Area & approx 711.4 end {alinear *} ]

El desarrollador tiene aproximadamente (711,4 ) metros cuadrados.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Calcula el área de un triángulo dado (a = 4.38 ) pies, (b = 3.79 ) pies y (c = 5.22 ) pies.

Respuesta

aproximadamente (8.15 ) pies cuadrados

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la Ley de los cosenos.

  • Ley de los cosenos
  • Ley de los cosenos: aplicaciones
  • Ley de los cosenos: aplicaciones 2

Ecuaciones clave

Ley de los cosenos

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha )

(b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta )

(c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma )

Fórmula de la garza

(Área = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} )

donde (s = dfrac {(a + b + c)} {2} )

Conceptos clave

  • La Ley de los cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos.
  • El teorema de Pitágoras generalizado es la ley de los cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: SAS y SSS. Dejar caer una perpendicular imaginaria divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o forma un triángulo rectángulo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ) y Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • La ley de los cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver estos problemas es generalmente dibujar un bosquejo del problema presentado.Si la información proporcionada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces aplique la Ley de los cosenos para encontrar una solución. Vea Ejemplo ( PageIndex {3} ) y Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • La fórmula de Heron permite calcular el área en triángulos oblicuos. Los tres lados deben ser conocidos para aplicar la fórmula de Heron. Vea el ejemplo ( PageIndex {5} ) y vea el ejemplo ( PageIndex {6} ).

Usar la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la Ley de los cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la Ley de los cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se comprende el patrón, es más fácil trabajar con la Ley de los cosenos que con la mayoría de las fórmulas en este nivel matemático.

Comprender cómo se deriva la Ley de los cosenos será útil para usar las fórmulas. La derivación comienza con el Teorema de Pitágoras generalizado, que es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo A B C A B C se coloca en el plano de coordenadas con el vértice A A en el origen, el lado c c dibujado a lo largo del X-eje y vértice C C ubicado en algún punto (x, y) (x, y) en el plano, como se ilustra en [enlace]. Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano, pero para esta explicación colocaremos el triángulo como se indica.

La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la Ley de los cosenos. Las otras ecuaciones se encuentran de manera similar.

Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver ángulos o lados. En un escenario del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, es posible que sea necesario modificar el diagrama. Haz esas alteraciones al diagrama y, al final, el problema será más fácil de resolver.

La Ley de los cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. Para los triángulos etiquetados como en [enlace], con ángulos α, β, α, β y γ, γ, y lados opuestos correspondientes a, b, a, b, yc, c, respectivamente, la Ley de los cosenos se da como tres ecuaciones.

Para resolver la medición de un lado faltante, se necesita la medida del ángulo opuesto correspondiente.

Al resolver un ángulo, se necesita la medida del lado opuesto correspondiente. Podemos usar otra versión de la Ley de los cosenos para resolver un ángulo.

Dados dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), encuentra las medidas del lado restante y los ángulos de un triángulo.

  1. Dibuja el triángulo. Identifica las medidas de los lados y ángulos conocidos. Usa variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
  2. Aplica la ley de los cosenos para hallar la longitud del lado o ángulo desconocido.
  3. Aplica la ley de los senos o cosenos para encontrar la medida de un segundo ángulo.
  4. Calcula la medida del ángulo restante.

Encuentra el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en [enlace].

Primero, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Este arreglo se clasifica como SAS y proporciona los datos necesarios para aplicar la Ley de los cosenos.

Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado para resolver es el lado b, b, ya que conocemos la medida del ángulo opuesto β. β.

Debido a que estamos resolviendo para una longitud, usamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que conocemos la longitud b, b, podemos usar la Ley de los senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Resolviendo el ángulo α, α, tenemos

El conjunto completo de ángulos y lados es

Encuentra el lado y los ángulos que faltan del triángulo dado: α = 30 °, b = 12, c = 24. α = 30 °, b = 12, c = 24.


51 Triángulos no rectos: Ley de los cosenos

Suponga que un barco sale del puerto, viaja 10 millas, gira 20 grados y viaja otras 8 millas como se muestra en la (Figura). ¿A qué distancia del puerto está el barco?

Desafortunadamente, mientras que la Ley de los senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con triángulos donde el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, un triángulo SAS (lado-ángulo-lado), o cuando los tres Se conocen lados, pero no se conocen ángulos, un triángulo SSS (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver triángulos oblicuos descrita por estos dos últimos casos.

Usar la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la Ley de los cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la Ley de los cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se comprende el patrón, es más fácil trabajar con la Ley de los cosenos que con la mayoría de las fórmulas en este nivel matemático.

Comprender cómo se deriva la Ley de los cosenos será útil para usar las fórmulas. La derivación comienza con el Teorema de Pitágoras generalizado, que es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulose coloca en el plano de coordenadas con vérticeen el origen, ladodibujado a lo largo del X-eje y vérticeubicado en algún puntoen el plano, como se ilustra en la (Figura). Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano, pero para esta explicación colocaremos el triángulo como se indica.

Podemos dejar caer una perpendicular desdehacia X-eje (esta es la altitud o altura). Recordando las identidades trigonométricas básicas, sabemos que

En términos deyLapunto ubicado entiene coordenadasUsando el ladocomo un cateto de un triángulo rectángulo ycomo el segundo tramo, podemos encontrar la longitud de la hipotenusautilizando el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto,

La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la Ley de los cosenos. Las otras ecuaciones se encuentran de manera similar.

Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver ángulos o lados. En un escenario del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, es posible que sea necesario modificar el diagrama. Haz esas alteraciones al diagrama y, al final, el problema será más fácil de resolver.

La Ley de los cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. Para triángulos etiquetados como en (Figura), con ángulos y y lados opuestos correspondientes yrespectivamente, la Ley de los cosenos se da como tres ecuaciones.

Para resolver la medición de un lado faltante, se necesita la medida del ángulo opuesto correspondiente.

Al resolver un ángulo, se necesita la medida del lado opuesto correspondiente. Podemos usar otra versión de la Ley de los cosenos para resolver un ángulo.

Dados dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), encuentra las medidas del lado restante y los ángulos de un triángulo.

  1. Dibuja el triángulo. Identifica las medidas de los lados y ángulos conocidos. Usa variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
  2. Aplica la ley de los cosenos para hallar la longitud del lado o ángulo desconocido.
  3. Aplica la ley de los senos o cosenos para encontrar la medida de un segundo ángulo.
  4. Calcula la medida del ángulo restante.

Encuentra el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la (Figura).

Primero, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Este arreglo se clasifica como SAS y proporciona los datos necesarios para aplicar la Ley de los cosenos.

Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado para resolver es el ladocomo conocemos la medida del ángulo opuesto

Debido a que estamos resolviendo para una longitud, usamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que sabemos la longitudpodemos usar la Ley de los senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Resolviendo el ángulotenemos

La otra posibilidad deseríaEn el diagrama original,es adyacente al lado más largo, por lo quees un ángulo agudo y, por tanto,no tiene sentido. Observe que si optamos por aplicar la Ley de los cosenos, llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para los ángulos entreyContinuando conluego podemos encontrar el tercer ángulo del triángulo.

El conjunto completo de ángulos y lados es

Encuentra el lado y los ángulos que faltan del triángulo dado:

Encuentra el ángulopara el triángulo dado si el ladoladoy lateral

Para este ejemplo, no tenemos ángulos. Podemos resolver cualquier ángulo usando la Ley de los cosenos. Para resolver el ángulotenemos

Debido a que el coseno inverso puede devolver cualquier ángulo entre 0 y 180 grados, no habrá casos ambiguos al utilizar este método.

Dadoyencuentra los ángulos que faltan.

Resolver problemas aplicados mediante la ley de los cosenos

Así como la Ley de los senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la Ley de los cosenos es aplicable a situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos de coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la topografía, la astronomía y la geometría, solo por nombrar algunos.

En muchos teléfonos móviles con GPS, se puede dar una ubicación aproximada antes de recibir la señal de GPS. Esto se logra mediante un proceso llamado triangulación, que funciona utilizando las distancias desde dos puntos conocidos. Suponga que hay dos torres de telefonía celular dentro del alcance de un teléfono celular. Las dos torres están ubicadas a 6000 pies de distancia a lo largo de una carretera recta, que corre de este a oeste, y el teléfono celular está al norte de la carretera. Con base en el retardo de la señal, se puede determinar que la señal está a 5050 pies de la primera torre y a 2,420 pies de la segunda torre. Determine la posición del teléfono celular al norte y al este de la primera torre y determine qué tan lejos está de la carretera.

Para simplificar, comenzamos dibujando un diagrama similar a (Figura) y etiquetando nuestra información dada.

Usando la ley de los cosenos, podemos resolver el ánguloRecuerda que la Ley de los cosenos usa el cuadrado de un lado para encontrar el coseno del ángulo opuesto. Para este ejemplo, dejemosyPor lo tanto,corresponde al lado opuesto

Para responder las preguntas sobre la posición del teléfono al norte y al este de la torre, y la distancia a la carretera, baje una perpendicular desde la posición del teléfono celular, como en la (Figura). Esto forma dos triángulos rectángulos, aunque solo necesitamos el triángulo rectángulo que incluye la primera torre para este problema.

Usando el ánguloy las identidades trigonométricas básicas, podemos encontrar las soluciones. Por lo tanto

El teléfono celular está aproximadamente a 4,638 pies al este y 1998 pies al norte de la primera torre y a 1998 pies de la carretera.

Volviendo a nuestro problema al principio de esta sección, suponga que un barco sale del puerto, viaja 10 millas, gira 20 grados y viaja otras 8 millas. ¿A qué distancia del puerto está el barco? El diagrama se repite aquí en la (Figura).

El bote giró 20 grados, por lo que el ángulo obtuso del triángulo no rectángulo es el ángulo suplementario,Con esto, podemos utilizar la Ley de los cosenos para encontrar el lado que falta del triángulo obtuso: la distancia del barco al puerto.

El barco está a unos 27 km del puerto.

Usar la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo

Ya aprendimos a encontrar el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para encontrar el área de un triángulo usando la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos usar la fórmula de Heron en lugar de encontrar la altura. Garza de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para encontrar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.

La fórmula de Heron calcula el área de triángulos oblicuos en cuyos ladosyson conocidos.

dónde es la mitad del perímetro del triángulo, a veces llamado semiperímetro.

Encuentra el área del triángulo en (Figura) usando la fórmula de Heron.

Primero, calculamos

Luego aplicamos la fórmula.

El área es de aproximadamente 29,4 unidades cuadradas.

Usa la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo con lados de longitudesy

Un desarrollador de la ciudad de Chicago quiere construir un edificio que consta de lofts de artistas en un lote triangular bordeado por Rush Street, Wabash Avenue y Pearson Street. El frente a lo largo de Rush Street es de aproximadamente 62,4 metros, a lo largo de Wabash Avenue es de aproximadamente 43,5 metros y a lo largo de Pearson Street es de aproximadamente 34,1 metros. ¿Cuántos metros cuadrados tiene a disposición el promotor? Consulte la (Figura) para ver la propiedad de la ciudad.

Encuentra la medida paraque es la mitad del perímetro.

El desarrollador tiene unos 711,4 metros cuadrados.

Encuentra el área de un triángulo dadoy

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la Ley de los cosenos.

Ecuaciones clave

Ley de los cosenos
Fórmula de la garza

Conceptos clave

  • La Ley de los cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos.
  • El teorema de Pitágoras generalizado es la ley de los cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: SAS y SSS. Dejar caer una perpendicular imaginaria divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o forma un triángulo rectángulo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Consulte (Figura) y (Figura).
  • La ley de los cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver estos problemas es generalmente dibujar un bosquejo del problema presentado. Si la información proporcionada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces aplique la Ley de los cosenos para encontrar una solución. Consulte (Figura) y (Figura).
  • La fórmula de Heron permite calcular el área en triángulos oblicuos. Los tres lados deben ser conocidos para aplicar la fórmula de Heron. Ver (Figura) y Ver (Figura).

Ejercicios de sección

Verbal

Si está buscando un lado faltante de un triángulo, ¿qué necesita saber al usar la Ley de los cosenos?

dos lados y el ángulo opuesto al lado faltante.

Si está buscando un ángulo faltante de un triángulo, ¿qué necesita saber al usar la Ley de los cosenos?

Explica querepresenta en la fórmula de Heron.

es el semiperímetro, que es la mitad del perímetro del triángulo.

Explica la relación entre el Teorema de Pitágoras y la Ley de los cosenos.

¿Cuándo debe utilizar la Ley de los cosenos en lugar del Teorema de Pitágoras?

La ley de los cosenos debe usarse para cualquier triángulo oblicuo (no rectángulo).

Algebraico

Para los siguientes ejercicios, asumaestá en el lado opuesto está en el lado opuestoy está en el lado opuestoSi es posible, resuelve cada triángulo para el lado desconocido. Redondea a la décima más cercana.

Para los siguientes ejercicios, usa la Ley de los cosenos para resolver el ángulo faltante del triángulo oblicuo. Redondea a la décima más cercana.

encontrar el ángulo

encontrar el ángulo

encontrar el ángulo

encontrar el ángulo

encontrar el ángulo

Para los siguientes ejercicios, resuelve el triángulo. Redondea a la décima más cercana.

Para los siguientes ejercicios, usa la fórmula de Heron para encontrar el área del triángulo. Redondea a la centésima más cercana.

Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 18, 21 y 32 pulgadas. Redondea a la décima más cercana.

Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 26 cm y 37 cm. Redondea a la décima más cercana.

Gráfico

Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud del lado Redondea a la décima más cercana.

Para los siguientes ejercicios, encuentre la medida del ángulo

Encuentre la medida de cada ángulo en el triángulo que se muestra en la (Figura). Redondea a la décima más cercana.

Para los siguientes ejercicios, resuelve el lado desconocido. Redondea a la décima más cercana.

Para los siguientes ejercicios, encuentra el área del triángulo. Redondea a la centésima más cercana.

Extensiones

Un paralelogramo tiene lados de 16 unidades y 10 unidades. La diagonal más corta es de 12 unidades. Calcula la medida de la diagonal más larga.

Los lados de un paralelogramo son 11 pies y 17 pies. La diagonal más larga mide 22 pies. Calcula la longitud de la diagonal más corta.

Los lados de un paralelogramo son 28 centímetros y 40 centímetros. La medida del ángulo mayor es 100 °. Calcula la longitud de la diagonal más corta.

Un octágono regular está inscrito en un círculo con un radio de 8 pulgadas. (Vea la (Figura)). Encuentre el perímetro del octágono.

Un pentágono regular está inscrito en un círculo de radio de 12 cm. (Vea la (Figura)). Encuentre el perímetro del pentágono. Redondea a la décima de centímetro más cercana.

Para los siguientes ejercicios, suponga querepresenta la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo.

Calcula la longitud del tercer lado.

Para los siguientes ejercicios, encuentra el área del triángulo.

Aplicaciones del mundo real

Un topógrafo ha tomado las medidas que se muestran en la (Figura). Calcula la distancia al otro lado del lago. Redondea las respuestas a la décima más cercana.

Un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la (Figura) (no a escala). Calcula la distancia entre las dos ciudades. Redondea las respuestas a la décima más cercana.

Un avión vuela 220 millas con un rumbo de 40 ° y luego vuela 180 millas con un rumbo de 170 °. ¿Qué tan lejos está el avión de su punto de partida y en qué rumbo? Redondea las respuestas a la décima más cercana.

Una torre de 113 pies está ubicada en una colina que está inclinada 34 ° con respecto a la horizontal, como se muestra en la (Figura). Se debe colocar un cable de sujeción en la parte superior de la torre y anclarlo en un punto a 30 metros cuesta arriba desde la base de la torre. Encuentra la longitud de cable necesaria.

Dos barcos salieron de un puerto al mismo tiempo. Un barco viajó a una velocidad de 18 millas por hora con un rumbo de 320 °. El otro barco viajó a una velocidad de 22 millas por hora con un rumbo de 194 °. Calcula la distancia entre los dos barcos después de 10 horas de viaje.

El gráfico de la (Figura) representa dos barcos que salen al mismo tiempo del mismo muelle.El primer barco viaja a 18 millas por hora con un rumbo de 327 ° y el segundo barco viaja a 4 millas por hora con un rumbo de 60 °. Calcula la distancia entre los dos botes después de 2 horas.

Una piscina triangular mide 40 pies de un lado y 65 pies del otro. Estos lados forman un ángulo que mide 50 °. ¿Cuánto mide el tercer lado (al décimo más cercano)?

Un piloto vuela en línea recta durante 1 hora 30 min. Luego hace una corrección de rumbo, se dirige 10 ° a la derecha de su rumbo original y vuela 2 horas en la nueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 680 millas por hora, ¿qué tan lejos está de su posición inicial?

Los Ángeles se encuentra a 2,744 millas de Chicago, Chicago está a 1112 millas de Nueva York y Nueva York está a 2,451 millas de Los Ángeles. Dibuja un triángulo que conecte estas tres ciudades y encuentra los ángulos en el triángulo.

Filadelfia está a 140 millas de Washington, DC, Washington, DC está a 442 millas de Boston y Boston está a 505 millas de Filadelfia. Dibuja un triángulo que conecte estas tres ciudades y encuentra los ángulos en el triángulo.

Dos aviones salen del mismo aeropuerto al mismo tiempo. Se vuela a 20 ° al este del norte a 500 millas por hora. El segundo vuela a 30 ° al este del sur a 600 millas por hora. ¿A qué distancia están los aviones después de 2 horas?

Dos aviones despegan en diferentes direcciones. Uno viaja 300 mph hacia el oeste y el otro viaja 25 ° al norte del oeste a 420 mph. Después de 90 minutos, ¿a qué distancia están, suponiendo que estén volando a la misma altitud?

Un paralelogramo tiene lados de 15,4 unidades y 9,8 unidades de longitud. Su superficie es de 72,9 unidades cuadradas. Calcula la medida de la diagonal más larga.

Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 4,5 cm, 7,9 cm, 9,4 cm y 12,9 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 117 °. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero?

Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 5,7 cm, 7,2 cm, 9,4 cm y 12,8 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 106 °. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero?

Calcula el área de un terreno triangular que mide 30 pies en un lado y 42 pies en el otro, el ángulo incluido mide 132 °. Redondea al pie cuadrado entero más cercano.

Calcula el área de un terreno triangular que mide 110 pies en un lado y 250 pies en el otro, el ángulo incluido mide 85 °. Redondea al pie cuadrado entero más cercano.

Glosario


Usar la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la Ley de los cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la Ley de los cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se comprende el patrón, es más fácil trabajar con la Ley de los cosenos que con la mayoría de las fórmulas en este nivel matemático.

Comprender cómo se deriva la Ley de los cosenos será útil para usar las fórmulas. La derivación comienza con, que es una extensión de los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo A B C A B C se coloca en el plano de coordenadas con el vértice A A en el origen, el lado c c dibujado a lo largo del X-eje y vértice C C ubicado en algún punto (x, y) (x, y) en el plano, como se ilustra en la Figura 2. Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano, pero para esta explicación colocaremos el triángulo como se indica.

Figura 2

Podemos dejar caer una perpendicular de C C a la X-eje (esta es la altitud o altura). Recordando lo básico, sabemos que

En términos de θ, x = b cos θ θ, x = b cos θ y y = b sin θ. y = b sin θ. El punto (x, y) (x, y) ubicado en C C tiene coordenadas (b cos θ, (b cos θ, b sin θ). B sin θ). Usando el lado (x - c) (x - c) como un cateto de un triángulo rectángulo e y y como el segundo cateto, podemos encontrar la longitud de la hipotenusa a a usando el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto,

La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la Ley de los cosenos. Las otras ecuaciones se encuentran de manera similar.

Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver ángulos o lados. En un escenario del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, es posible que sea necesario modificar el diagrama. Haz esas alteraciones al diagrama y, al final, el problema será más fácil de resolver.

Nota: Ley de los cosenos:

Establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. Para los triángulos etiquetados como en la Figura 3, con ángulos α, β, α, β y γ, γ, y lados opuestos correspondientes a, b, a, byc, c, respectivamente, la Ley de los cosenos se da como tres ecuaciones.

figura 3

Para resolver la medición de un lado faltante, se necesita la medida del ángulo opuesto correspondiente.

Al resolver un ángulo, se necesita la medida del lado opuesto correspondiente. Podemos usar otra versión de la Ley de los cosenos para resolver un ángulo.

Cómo:

Dados dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), encuentra las medidas del lado restante y los ángulos de un triángulo.

  1. Dibuja el triángulo. Identifica las medidas de los lados y ángulos conocidos. Usa variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
  2. Aplica la ley de los cosenos para hallar la longitud del lado o ángulo desconocido.
  3. Aplica los cosenos o para encontrar la medida de un segundo ángulo.
  4. Calcula la medida del ángulo restante.

Ejemplo 1

Problema 1

Encontrar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo SAS

Encuentra el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la Figura 4.

Figura 4
Solución

Primero, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Este arreglo se clasifica como SAS y proporciona los datos necesarios para aplicar la Ley de los cosenos.

Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado para resolver es el lado b, b, ya que conocemos la medida del ángulo opuesto β. β.

Debido a que estamos resolviendo para una longitud, usamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que conocemos la longitud b, b, podemos usar la Ley de los senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Resolviendo el ángulo α, α, tenemos

La otra posibilidad para α α sería α = 180 ° - 56,3 ° ≈ 123,7 °. α = 180 ° - 56,3 ° ≈ 123,7 °. En el diagrama original, α α es adyacente al lado más largo, entonces α α es un ángulo agudo y, por lo tanto, 123.7 ° 123.7 ° no tiene sentido. Tenga en cuenta que si elegimos aplicar el, llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para ángulos entre 0 ° 0 ° y 180 °. 180 °. Continuando con α ≈ 56.3 °, α ≈ 56.3 °, podemos encontrar el tercer ángulo del triángulo.


Revisar

Usa la ley de los cosenos para hallar el valor de (x ), al grado más cercano, en los problemas del 1 al 6.


  1. Figura ( PageIndex <3> )

  2. Figura ( PageIndex <4> )

  3. Figura ( PageIndex <5> )

  4. Figura ( PageIndex <6> )

  5. Figura ( PageIndex <7> )

  6. Figura ( PageIndex <8> )
  7. Calcula la medida del ángulo más pequeño del triángulo con lados de 150, 165 y 200 metros.
  8. Encuentra la medida del ángulo más grande en el triángulo con una longitud de lado de 59, 83 y 100 yardas.
  9. Encuentra el (m ángulo C ) si (a = 6 ), (b = 9 ) y (c = 13 ).
  10. Encuentra el (m ángulo B ) si (a = 15 ), (b = 8 ) y (c = 9 ).
  11. Encuentra el (m ángulo A ) si (a = 24 ), (b = 20 ) y (c = 14 ).
  12. Una parcela de tierra triangular está rodeada por una carretera, una cerca y un arroyo. Si el tramo a lo largo de la carretera es de 100 metros, la longitud de la cerca es de 115 metros y el lado a lo largo del arroyo es de 90 metros, ¿en qué ángulo se unen la cerca y la carretera?

Respuestas a problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisión, abra este archivo PDF y busque la sección 13.16.


LA LEY DE LOS COSINOS

UTILIZAMOS LA LEY DE LOS COSINOS Y LA LEY DE LOS PECADOS para resolver triángulos que no tienen ángulos rectos. Estos triángulos se llaman triángulos oblicuos. La ley de los cosenos se usa mucho más ampliamente que la ley de los senos. Específicamente, cuando conocemos dos lados de un triángulo y su ángulo incluido, entonces la Ley de los cosenos nos permite encontrar el tercer lado.

Por lo tanto, si conocemos los lados ayb y su ángulo y theta incluidos, entonces la Ley de los cosenos establece:

(La Ley de los cosenos es una extensión del teorema de Pitágoras, porque si & theta fuera un ángulo recto, tendríamos c 2 = a 2 + b 2.)

Ejemplo 1. En el triángulo DEF, el lado e = 8 cm, f = 10 cm y el ángulo en D es 60 °. Encuentre el lado d.

Solución. . Conocemos dos lados y su ángulo incluido. Por tanto, según la Ley de los cosenos:

d 2 = e 2 + f 2 y menos 2 ef cos 60 y grados

Problema 1. En el triángulo oblicuo ABC, encuentre el lado b si el lado a = 5 cm, c = cm, e incluyen un ángulo de 45 °. No hay mesas.

Para ver la respuesta, pase el mouse sobre el área coloreada.
Para cubrir la respuesta nuevamente, haga clic en "Actualizar" ("Recargar").

b 2 = a 2 + c 2 y menos 2 ac cos 45 y grados

Problema 2. En el triángulo oblicuo PQR, encuentre el lado r si el lado p = 5 pulg, q = 10 pulg, e incluyen un ángulo de 14 °. (Mesa)

r 2 = 5 2 + 10 2 & menos 2 & middot 5 & middot 10 cos 14 & deg

= 25 + 100 y menos 100 (.970), de la Tabla.

Ejemplo 2. En el ejemplo 1, encontramos que d =, que es aproximadamente 9.17.

Usa la ley de los senos para completar la solución del triángulo DEF. Es decir, encuentre los ángulos E y F.

Solución. Para encontrar el ángulo F, tenemos esta versión de Desconocido
Conocido
:

pecado F
pecado D
= F
D
pecado F
pecado 60 & grados
= 10
9.17
pecado F = (.866) 10
9.17
de la mesa,
.944 con la ayuda de una calculadora.

Por lo tanto, al inspeccionar la Tabla para el ángulo cuyo seno está más cerca de .944,

Ang Lee = 180 grados y menos (71 grados + 60 grados)
= 180 grados y menos 131 grados
= 49 & deg.

Y así, usando las leyes de los senos y cosenos, hemos resuelto completamente el triángulo.

La Ley de los cosenos también es válida cuando el ángulo incluido es obtuso. Pero en ese caso, el coseno es negativo. Ver Tema 16.

Prueba de la ley de los cosenos

Sea ABC un triángulo con lados a, b, c. Nosotros mostraremos

c 2 = a 2 + b 2 y menos 2 ab cos C.

(Las funciones trigonométricas se definen en términos de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, solo con la ayuda de triángulos rectángulos podemos probar algo)

Dibuja BD perpendicular a CA, separando el triángulo ABC en los dos triángulos rectángulos BDC, BDA. BD es la altura h del triángulo ABC.

Llame a CD x. Entonces DA es todo b menos el segmento x: b & menos x.

Ahora, en el triángulo rectángulo BDC, según el teorema de Pitágoras,

Para h 2, sustituyamos la línea (2):

c 2 = a 2 y menos x 2 + b 2 y menos 2 bx + x 2

Finalmente, para x, sustituyamos la línea (1):

c 2 = a 2 + b 2 & menos 2 b & middot a cos C.

c 2 = a 2 + b 2 y menos 2 ab cos C.

Eso es lo que queríamos demostrar.

De la misma forma, podríamos demostrar que

a 2 = b 2 + c 2 y menos 2 bc cos A

b 2 = a 2 + c 2 y menos 2 ac cos B.

Esta es la Ley de los cosenos.

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4.1.9: Aplicaciones de la ley de los cosenos

Relación entre los tres lados y un ángulo para triángulos no rectángulos.

Mientras ayudaban a su mamá a hornear un día, ustedes dos tienen una idea inusual. Desea cortar el pastel en trozos y luego congelar sobre la superficie de cada trozo. Comienzas cortando una rebanada de pastel, pero no cortas la rebanada correctamente. Termina siendo un triángulo oblicuo, con un lado de 5 pulgadas, un lado de 6 pulgadas y un ángulo de (70 ^ < circ> ) entre los lados que mediste. ¿Puedes ayudar a tu mamá a determinar la longitud del tercer lado, para que pueda averiguar cuánto glaseado poner?

Ley de los cosenos

La Ley de los cosenos es una extensión fantástica del Teorema de Pitágoras a los triángulos oblicuos. En esta sección, mostramos algunas formas interesantes de utilizar esta fórmula para analizar situaciones del mundo real.

Echemos un vistazo a algunos problemas en los que usamos la Ley de los cosenos.

1. En un juego de billar, un jugador debe poner la bola ocho en el bolsillo inferior izquierdo de la mesa. Actualmente, la bola ocho está a 6,8 pies de distancia del bolsillo inferior izquierdo. Sin embargo, debido a la posición de la bola blanca, debe lanzar el tiro desde el parachoques del lado derecho. Si la bola ocho está a 2.1 pies de distancia del punto en el parachoques que necesita golpear y forma un ángulo (168 ^ < circ> ) con la tronera y el punto en el parachoques, ¿en qué ángulo debe girar la bola? dejar el parachoques?

Figura ( PageIndex <1> )

Nota: Este es en realidad un tiro con truco que se realiza haciendo girar la bola ocho, y la bola ocho no viajará en trayectorias en línea recta. Sin embargo, para simplificar el problema, suponga que viaja en línea recta.

En el escenario anterior, tenemos el SAS caso, lo que significa que necesitamos usar la Ley de los cosenos para comenzar a resolver este problema. La Ley de los cosenos nos permitirá encontrar la distancia desde el punto del parachoques hasta el bolsillo (y). Una vez que sabemos y, podemos usar la Ley de los senos para encontrar el ángulo (X).

2. La distancia desde el lugar del parachoques hasta el bolsillo es de 8,86 pies. Ahora podemos usar esta distancia y la Ley de los senos para encontrar el ángulo X. Como estamos encontrando un ángulo, nos enfrentamos al caso SSA, lo que significa que no podríamos tener una solución, una solución o dos soluciones. Sin embargo, dado que conocemos los tres lados, este problema producirá solo una solución.

En el ejemplo anterior, vimos cómo podemos usar la Ley de los senos y la Ley de los cosenos juntas para resolver un problema que involucra el caso SSA. En esta sección, veremos situaciones en las que podemos usar no solo la Ley de los senos y la Ley de los cosenos, sino también el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. También veremos otra aplicación del mundo real que involucra el caso de la SSA.

3. Tres científicos están instalando equipos para recopilar datos en una montaña local. La Persona 1 está a 131,5 metros de la Persona 2, que está a 67,8 metros de la Persona 3. La Persona 1 está a 72,6 metros de la montaña. Las montañas forman un ángulo (103 ^ < circ> ) con la Persona 1 y la Persona 3, mientras que la Persona 2 forma un ángulo (92.7 ^ < circ> ) con la Persona 1 y la Persona 3. Encuentra el ángulo formado por Persona 3 con Persona 1 y la montaña.

Figura ( PageIndex <2> )

En el triángulo formado por las tres personas, conocemos dos lados y el Angulo incluido (SAS). Podemos usar la Ley de los cosenos para encontrar el lado restante de este triángulo, al que llamaremos x. Una vez que sepamos x, tomaremos dos lados y el ángulo no incluido (SSA) en el triángulo formado por la Persona 1, la Persona 2 y la montaña. Entonces podremos usar la Ley de los senos para calcular el ángulo formado por la Persona 3 con la Persona 1 y la montaña, a la que nos referiremos como (Y ).

Ahora que sabemos (x = 150.8 ), podemos usar la Ley de los senos para encontrar (Y ). Dado que este es el caso de la SSA, debemos verificar si no tendremos una solución, una solución o dos soluciones. Desde 150.8 & gt72.6, sabemos que solo tendremos una solución para este problema.

4. Katie está construyendo una cometa con forma de triángulo.

Figura ( PageIndex <3> )

Ella sabe que las longitudes de los lados son a = 13 pulgadas, b = 20 pulgadas yc = 19 pulgadas. ¿Cuál es la medida del ángulo entre los lados & quot (a ) & quot y & quot (b ) & quot?

Como conoce la longitud de cada uno de los lados del triángulo, puede usar la Ley de los cosenos para encontrar el ángulo deseado:

Anteriormente, se le pidió que determinara la longitud del tercer lado.

Puedes usar la Ley de los cosenos para ayudar a tu mamá a averiguar la longitud del tercer lado del pedazo de pastel:

El pedazo de pastel mide poco más de 9 pulgadas de largo.

Estás recortando un triángulo para la escuela que se ve así:

Figura ( PageIndex <4> )

Encuentra el lado (c ) (que es el lado opuesto al ángulo (14 ^ < circ> )) y ( angle B ) (que es el ángulo opuesto al lado que tiene una longitud de 14).

Sabes que dos de los lados tienen longitudes de 11 y 14 pulgadas, y que el ángulo entre ellos es (14 ^ < circ> ). Puedes usar esto para encontrar la longitud del tercer lado:

Y con esto puedes usar la Ley de los senos para resolver el ángulo desconocido:

Mientras camina un día, camina 2 millas en una dirección. Luego, gira (110 ^ < circ> ) a la izquierda y camina 3 millas más. Tu camino se ve así:

Figura ( PageIndex <5> )

Cuando vuelvas a girar a la izquierda para completar el triángulo que es tu ruta de senderismo del día, ¿cuánto tendrás que caminar para completar el tercer lado? ¿Qué ángulo debes girar antes de empezar a caminar de regreso a casa?

Como conoces las longitudes de dos de los catetos del triángulo, junto con el ángulo entre ellos, puedes usar la Ley de los cosenos para averiguar qué tan lejos tendrás que caminar a lo largo del tercer cateto:

Ahora tiene suficiente información para resolver el ángulo interior del triángulo que es suplementario al ángulo que necesita para girar:

El ángulo (48.25 ^ < circ> ) es el ángulo interior del triángulo. Entonces debes girar (90 ^ < circ> + (90 ^ < circ> & minus48.25 ^ < circ>) = 90 ^ < circ> + 41.75 ^ < circ> = 131.75 ^ < circ> ) a la izquierda antes de empezar a casa.

Se está utilizando un soporte en un sitio de construcción para sostener una tabla de modo que forme un triángulo, como este:

Figura ( PageIndex <6> )

Si el ángulo entre el soporte y el suelo es (17 ^ < circ> ), la longitud del soporte es de 2,5 metros y la distancia entre el lugar donde la tabla toca el suelo y la parte inferior del soporte es de 3 metros, ¿A qué distancia del tablero toca el soporte? ¿Cuál es el ángulo entre la tabla y el suelo?

Primero debes usar la Ley de los cosenos para calcular la distancia desde el suelo hasta donde el soporte se encuentra con la tabla:


Ley de los cosenos

La Ley de los cosenos se utiliza para encontrar las partes restantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando se conocen las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido (SAS) o se conocen las longitudes de los tres lados (SSS).En cualquiera de estos casos, es imposible utilizar la Ley de los senos porque no podemos establecer una proporción resoluble.

La Ley de los cosenos establece:

c 2 = a 2 + b 2 & menos 2 a b & thinsp & thinsp cos C.

Esto se parece al Teorema de Pitágoras excepto por el tercer término y si C es un ángulo recto, el tercer término es igual a 0 porque el coseno de 90 ° es 0 y obtenemos el Teorema de Pitágoras. Entonces, el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la Ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también se puede establecer como

b 2 = a 2 + c 2 & menos 2 a c & thinsp & thinsp cos B o

a 2 = b 2 + c 2 & menos 2 b c & thinsp & thinsp cos A.

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo SAS incluido

Dado a = 11, b = 5 y m & ang C = 20 & deg. Encuentra el lado y los ángulos restantes.

c 2 = a 2 + b 2 & menos 2 a b & thinsp & thinsp cos C

c = a 2 + b 2 & menos 2 a b & thinsp & thinsp cos C

& thinsp & thinsp = 11 2 + 5 2 & menos 2 (11) (5) (cos 20 & grados)

Para encontrar los ángulos restantes, ahora es más fácil usar la Ley de los senos.

Tenga en cuenta que el ángulo A es opuesto al lado más largo y el triángulo no es un triángulo rectángulo. Entonces, cuando tomas la inversa, debes considerar el ángulo obtuso cuyo seno es 11 sen (20 & deg) 6.53 & asymp 0.5761.

Ejemplo 2: Tres lados-SSS

Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentra la medida de los ángulos.

Es mejor encontrar primero el ángulo opuesto al lado más largo. En este caso, ese es el lado b.

cos B = b 2 & menos a 2 & menos c 2 & menos 2 a c = 19 2 & menos 8 2 & menos 14 2 & menos 2 (8) (14) & asymp & menos 0.45089

Como cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

Dado que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene como máximo un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C son ambos agudos.


Triángulos no rectos: Ley de los cosenos

Suponga que un barco sale del puerto, viaja 10 millas, gira 20 grados y viaja otras 8 millas como se muestra en la (Figura). ¿A qué distancia del puerto está el barco?

Figura 1.

Desafortunadamente, mientras que la Ley de los senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con triángulos donde el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, un triángulo SAS (lado-ángulo-lado), o cuando los tres Se conocen lados, pero no se conocen ángulos, un triángulo SSS (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver triángulos oblicuos descrita por estos dos últimos casos.

Usar la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la Ley de los cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la Ley de los cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se comprende el patrón, es más fácil trabajar con la Ley de los cosenos que con la mayoría de las fórmulas en este nivel matemático.

Comprender cómo se deriva la Ley de los cosenos será útil para usar las fórmulas. La derivación comienza con el Teorema de Pitágoras Generalizado, que es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulose coloca en el plano de coordenadas con vérticeen el origen, ladodibujado a lo largo del X-eje y vérticeubicado en algún puntoen el plano, como se ilustra en la (Figura). Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano, pero para esta explicación colocaremos el triángulo como se indica.

Figura 2.

Podemos dejar caer una perpendicular desdehacia X-eje (esta es la altitud o altura). Recordando las identidades trigonométricas básicas, sabemos que

En términos deyLapunto ubicado entiene coordenadasUsando el ladocomo un cateto de un triángulo rectángulo ycomo el segundo tramo, podemos encontrar la longitud de la hipotenusautilizando el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto,

La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la Ley de los cosenos. Las otras ecuaciones se encuentran de manera similar.

Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver ángulos o lados. En un escenario del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, es posible que sea necesario modificar el diagrama. Haz esas alteraciones al diagrama y, al final, el problema será más fácil de resolver.

Ley de los cosenos

La Ley de los cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. Para triángulos etiquetados como en (Figura), con ángulos y y lados opuestos correspondientes yrespectivamente, la Ley de los cosenos se da como tres ecuaciones.

Figura 3.

Para resolver la medición de un lado faltante, se necesita la medida del ángulo opuesto correspondiente.

Al resolver un ángulo, se necesita la medida del lado opuesto correspondiente. Podemos usar otra versión de la Ley de los cosenos para resolver un ángulo.

Dados dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), encuentra las medidas del lado restante y los ángulos de un triángulo.

  1. Dibuja el triángulo. Identifica las medidas de los lados y ángulos conocidos. Usa variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
  2. Aplica la ley de los cosenos para hallar la longitud del lado o ángulo desconocido.
  3. Aplica la ley de los senos o cosenos para encontrar la medida de un segundo ángulo.
  4. Calcula la medida del ángulo restante.

Encontrar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo SAS

Encuentra el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la (Figura).

Figura 4.

Primero, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Este arreglo se clasifica como SAS y proporciona los datos necesarios para aplicar la Ley de los cosenos.

Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado para resolver es el ladocomo conocemos la medida del ángulo opuesto

Debido a que estamos resolviendo para una longitud, usamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que sabemos la longitudpodemos usar la Ley de los senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Resolviendo el ángulotenemos

La otra posibilidad deseríaEn el diagrama original,es adyacente al lado más largo, por lo quees un ángulo agudo y, por tanto,no tiene sentido. Observe que si optamos por aplicar la Ley de los cosenos, llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para los ángulos entreyContinuando conluego podemos encontrar el tercer ángulo del triángulo.

El conjunto completo de ángulos y lados es

[/ respuesta-oculta]

La ley de los cosenos

Como puede ver en la imagen anterior, el Caso I establece que debemos conocer el incluido ángulo. Examinemos si eso es realmente necesario o no.

Interactivo Demostración de la fórmula de la ley de los cosenos

La siguiente demostración interactiva ilustra la fórmula de la Ley de los cosenos en acción. Arrastre los puntos del triángulo para observar quién funciona la fórmula. Intente hacer clic en la casilla de verificación "Triángulo rectángulo" para explorar cómo esta fórmula se relaciona con el teorema de Pitágoras. (Applet por sí solo)

Ejemplos de

Ejemplo 1

Dado : 2 lados y 1 ángulo

$ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cdot text(44) red x ^ 2 = 14 ^ 2 + 10 ^ 2 -2 cdot 14 cdot 10 text(44 ^ circ) red x ^ 2 = 14 ^ 2 + 10 ^ 2 -2 cdot 14 cdot 10 text(44 ^ circ) red x ^ 2 = 296-280 text(44 ^ circ) red x ^ 2 = 94.5848559051777 red x = sqrt <94.5848559051777> red x = 9.725474585087234 $

Ejemplo 2

Dado : 3 lados

$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot text( red A) 25 ^ 2 = 32 ^ 2 + 37 ^ 2 -2 cdot 32 cdot 37 cdot text( red A) 625 = 2393 - 2368 cdot text( A rojo) frac <625-2393> <- 2368> = cos ( A rojo) 0.7466216216216216 = cos ( A rojo) A rojo = cos ^ <-1> (0.7466216216216216) rojo A = 41.70142633732469 ^ circ $

Práctica Problema

Los problemas a continuación son los que le piden que aplique la fórmula para resolver preguntas sencillas. Si empiezan a parecer demasiado fáciles, pruebe nuestros problemas más desafiantes.

Problema 1

Usa la fórmula de la ley de los cosenos para calcular la longitud del lado C.

Mostrar respuesta

$ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cdot text(66 ^ circ) c ^ 2 = 20 ^ 2 + 13 ^ 2 - 2 cdot20 cdot 13 cdot text(66 ^ circ) c ^ 2 = 20 ^ 2 + 13 ^ 2 - 2 cdot20 cdot 13 cdot text(66 ^ circ) c ^ 2 = 357.4969456005839 c = sqrt <357.4969456005839> c = 18.907589629579544 $

Problema 2

Usa la fórmula de la ley de los cosenos para calcular la medida de $ ángulo x $

Mostrar respuesta

$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot text(A) x ^ 2 = y ^ 2 + z ^ 2 - 2yz cdot text(X) 14 ^ 2 = 20 ^ 2 + 12 ^ 2 - 2 cdot 20 cdot 12 cdot text(X) 196 = 544-480 cdot text(X) frac <196-544> <480> = text(X) 0,725 = texto(X) X = cos ^ <-1> (0,725) X = 43,531152167372454 $

Problema 3

Usa la fórmula de la ley de los cosenos para calcular la longitud del lado b.

Mostrar respuesta

$ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cdot text(115 ^ circ) b ^ 2 = 16 ^ 2 + 5 ^ 2 - 2 cdot 16 cdot 5 text (115 ^ circ) b ^ 2 = 294.523784375712 b = sqrt <294.523784375712> b = 17.1616952652036098 $

Problema 4

Usa la fórmula de la ley de los cosenos para calcular X.

Mostrar respuesta

$ x ^ 2 = 17 ^ 2 + 28 ^ 2 - 2 cdot 17 cdot 28 text (114 ^ circ) x ^ 2 = 1460.213284208162 x = sqrt <1460.213284208162> x = 38,21273719858552 $

Problema 5

Mira los tres triángulos de abajo. ¿Para cuál (es) puede usar la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado desconocido, lado a ?

$ fbox red a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot cos (A) red a ^ 2 = 18.5 ^ 2 + 16 ^ 2 - 2 cdot 18.5 cdot 16 cdot cos (44 ^ circ) red a ^ 2 = 144.751689673565 red a = sqrt <144.751689673565> = 12.031279635748021 $

$ fbox red a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot cos (A) red a ^ 2 = 18.5 ^ 2 + 16 ^ 2 - 2 cdot 18.5 cdot 16 cdot cos ( color) $

Como no conocemos el ángulo incluido, $ angle A $, nuestra fórmula no ayuda: terminamos con 1 ecuación y 2 incógnitas.

$ fbox red a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cdot cos (A) red a ^ 2 = 18.5 ^ 2 + 16 ^ 2 - 2 cdot 18.5 cdot 16 cdot cos ( red A) $

Como no conocemos el ángulo incluido, $ angle A $, nuestra fórmula no ayuda: terminamos con 1 ecuación y 2 incógnitas.

Problema 6

El valor de x en el triángulo de abajo se puede encontrar usando la Ley de los cosenos o el teorema de Pitágoras. ¿Qué conclusiones puede sacar sobre la relación de estas dos fórmulas?

$ fbox x ^ 2 = 73.24 ^ 2 + 21 ^ 2 - 2 cdot 73.24 cdot 21 text (90 ^ circ) text red < texto(90 ^ circ) = 0> x ^ 2 = 73.24 ^ 2 + 21 ^ 2 - 2 cdot 73.24 cdot 21 cdot red 0 x ^ 2 = 73.24 ^ 2 + 21 ^ 2 - rojo 0 x ^ 2 = 73.24 ^ 2 + 21 ^ 2 fbox a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 a ^ 2 = 73,24 ^ 2 + 21 ^ 2 $

Como puede ver, el teorema de Pitágoras es consistente con la ley de los cosenos. Resulta que el teorema de Pitágoras es solo un caso especial de la ley de los cosenos.


Ver el vídeo: - Non-Right Triangles: Law of Cosines Part 1 (Septiembre 2021).