Artículos

9.2: Identidades de suma y diferencia


Objetivos de aprendizaje

  • Usa fórmulas de suma y diferencia para el coseno.
  • Usa fórmulas de suma y diferencia para el seno.
  • Utilice fórmulas de suma y diferencia para la tangente.
  • Utilice fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones.
  • Utilice fórmulas de suma y diferencia para verificar identidades.

¿Cómo se puede medir la altura de una montaña? ¿Qué pasa con la distancia de la Tierra al sol? Como muchos problemas aparentemente imposibles, confiamos en fórmulas matemáticas para encontrar las respuestas. Las identidades trigonométricas, comúnmente utilizadas en pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluido su uso para calcular largas distancias.

Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del 950 d.C., pero los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las expresaron en términos de acordes. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, válidos para todos los valores introducidos en las ecuaciones y con innumerables aplicaciones.

En este apartado aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se usa como sinónimo de la palabra identidad.

Uso de las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Encontrar el valor exacto del seno, coseno o tangente de un ángulo suele ser más fácil si podemos reescribir el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos usar los ángulos especiales, que podemos revisar en el círculo unitario que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de modo que podamos encontrar el coseno de un ángulo dado si podemos dividirlo en la suma o diferencia de dos de los ángulos especiales (Table ( PageIndex {1} )).

Tabla ( PageIndex {1} )
Fórmula de suma para coseno ( cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta− sin alpha sin beta )
Fórmula de diferencia para coseno ( cos ( alpha− beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta )

Primero, probaremos la fórmula de diferencia para cosenos. Consideremos dos puntos en el círculo unitario (Figura ( PageIndex {3} )). El punto (P ) está en un ángulo ( alpha ) del positivo (x )-eje con coordenadas (( cos alpha, sin alpha) ) y el punto (Q ) está en un ángulo de ( beta ) del positivo (x )-eje con coordenadas (( cos beta, sin beta) ). Note que la medida del ángulo (POQ ) es ( alpha− beta ).

Rotula dos puntos más: (A ) en un ángulo de (( alpha− beta) ) del positivo (x )-eje con coordenadas (( cos ( alpha− beta), sin ( alpha− beta)) ); y el punto (B ) con coordenadas ((1,0) ). El triángulo (POQ ) es una rotación del triángulo (AOB ) y, por lo tanto, la distancia de (P ) a (Q ) es la misma que la distancia de (A ) a (B ) .

Podemos encontrar la distancia de (P ) a (Q ) usando la fórmula de la distancia.

[ begin {align *}
d_ {PQ} & = sqrt {{( cos alpha - cos beta)} ^ 2 + {(sin alpha - sin beta)} ^ 2} [4pt]
& = sqrt {{ cos} ^ 2 alpha-2 cos alpha cos beta + { cos} ^ 2 beta + { sin} ^ 2 alpha-2 sin alpha sin beta + { sin} ^ 2 beta} & & text {Aplicar identidad pitagórica y simplificar.} [4pt]
& = sqrt {({ cos} ^ 2 alpha + { sin} ^ 2 alpha) + ({ cos} ^ 2 beta + { sin} ^ 2 beta) -2 cos alpha cos beta-2 sin alpha sin beta} [4pt]
& = sqrt {1 + 1-2 cos alpha cos beta-2 sin alpha sin beta} [4pt]
& = sqrt {2-2 cos alpha cos beta-2 sin alpha sin beta} end {align *} ]

De manera similar, usando la fórmula de la distancia podemos encontrar la distancia de (A ) a (B ).

[ begin {align *}
d_ {AB} & = sqrt {{( cos ( alpha- beta) -1)} ^ 2 + {( sin ( alpha- beta) -0)} ^ 2} [4pt]
& = sqrt {{ cos} ^ 2 ( alpha- beta) -2 cos ( alpha- beta) +1 + { sin} ^ 2 ( alpha- beta)} & & text {Aplicar identidad pitagórica y simplificar} [4pt]
& = sqrt {({ cos} ^ 2 ( alpha- beta) + { sin} ^ 2 ( alpha- beta)) - 2 cos ( alpha- beta) +1} [4pt]
& = sqrt {1-2 cos ( alpha- beta) +1} [4pt]
& = sqrt {2-2 cos ( alpha- beta)} & & text {Resta 2 de ambos lados y divide ambos lados por −2.} [4pt]
cos alpha cos beta + sin alpha sin beta & = cos ( alpha- beta)
end {alinear *} ]

Por lo tanto, tenemos la fórmula de la diferencia para el coseno. Podemos usar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.

FÓRMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA PARA COSENO

Estas fórmulas se pueden utilizar para calcular el coseno de sumas y diferencias de ángulos.

[ cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta− sin alpha sin beta ]

[ cos ( alpha− beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta ]

Cómo: Dados dos ángulos, encuentra el coseno de la diferencia entre los ángulos

  1. Escribe la fórmula de la diferencia para el coseno.
  2. Sustituye los valores de los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el valor exacto usando la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos

Usando la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, encuentra el valor exacto de ( cos left ( dfrac {5 pi} {4} - dfrac { pi} {6} right) ) .

Solución

Comience escribiendo la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Luego sustituya los valores dados.

[ begin {align *} cos ( alpha- beta) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta [4pt] cos left ( dfrac {5 pi} {4} - dfrac { pi} {6} right) & = cos left ( dfrac {5 pi} {4} right) cos left ( dfrac { pi} { 6} right) + sin left ( dfrac {5 pi} {4} right) sin left ( dfrac { pi} {6} right) [4pt] & = left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) - left ( dfrac { sqrt {2}} {2 } right) left ( dfrac {1} {2} right) [4pt] & = - dfrac { sqrt {6}} {4} - dfrac { sqrt {2}} {4 } [4pt] & = dfrac {- sqrt {6} - sqrt {2}} {4} end {align *} ]

Tenga en cuenta que siempre podemos verificar la respuesta usando una calculadora gráfica en modo radianes.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Encuentra el valor exacto de ( cos left ( dfrac { pi} {3} - dfrac { pi} {4} right) ).

Respuesta

( dfrac { sqrt {2} + sqrt {6}} {4} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): encontrar el valor exacto usando la fórmula para la suma de dos ángulos para el coseno

Encuentra el valor exacto de ( cos (75 °) ).

Solución

Como (75 ° = 45 ° + 30 ° ), podemos evaluar ( cos (75 °) ) como ( cos (45 ° + 30 °) ).

[ begin {align *} cos ( alpha + beta) & = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta [4pt] cos (45 ^ { circ} + 30 ^ { circ}) & = cos (45 ^ { circ}) cos (30 ^ { circ}) - sin (45 ^ { circ}) sin (30 ^ { circ}) [4pt] & = dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) - dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac {1} {2} right) [4pt] & = dfrac { sqrt {6}} {4} - dfrac { sqrt {2}} {4} [4pt ] & = dfrac { sqrt {6} - sqrt {2}} {4} end {align *} ]

Tenga en cuenta que siempre podemos verificar la respuesta usando una calculadora gráfica en modo de grados.

Análisis

Tenga en cuenta que también podríamos haber resuelto este problema usando el hecho de que (75 ° = 135 ° −60 ° ).

[ begin {align *} cos ( alpha- beta) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta [4pt] cos (135 ^ { circ} - 60 ^ { circ}) & = cos (135 ^ { circ}) cos (60 ^ { circ}) + sin (135 ^ { circ}) sin (60 ^ { circ}) [4pt] & = left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) left ( dfrac {1} {2} right) + left ( dfrac { sqrt { 2}} {2} right) left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) [4pt] & = - dfrac { sqrt {2}} {4} + dfrac { sqrt {6}} {4} [4pt] & = dfrac { sqrt {6} - sqrt {2}} {4} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra el valor exacto de ( cos (105 °) ).

Respuesta

( dfrac { sqrt {2} - sqrt {6}} {4} )

Usar las fórmulas de suma y diferencia para seno

Las fórmulas de suma y diferencia para el seno se pueden derivar de la misma manera que las del coseno y se asemejan a las fórmulas del coseno.

FÓRMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA PARA SINE

Estas fórmulas se pueden utilizar para calcular los senos de sumas y diferencias de ángulos.

[ sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta ]

[ sin ( alpha− beta) = sin alpha cos beta− cos alpha sin beta ]

Cómo: Dados dos ángulos, encuentra el seno de la diferencia entre los ángulos

  1. Escribe la fórmula de la diferencia para el seno.
  2. Sustituye los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos

Use las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de los ángulos y muestre esa parte a es igual a parte B.

  1. ( sin (45 ° −30 °) )
  2. ( sin (135 ° −120 °) )

Solución

  1. Comencemos escribiendo la fórmula y sustituyamos los ángulos dados.

[ begin {align *} sin ( alpha- beta) & = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta [4pt] sin (45 ^ { circ} -30 ^ { circ}) & = sin (45 ^ { circ}) cos (30 ^ { circ}) - cos (45 ^ { circ}) sin (30 ^ { circ} ) end {align *} ]

A continuación, necesitamos encontrar los valores de las expresiones trigonométricas.

( sin (45 °) = frac { sqrt {2}} {2}, qquad cos (30 °) = frac { sqrt {3}} {2}, qquad cos (45 °) = frac { sqrt {2}} {2}, qquad sin (30 °) = frac {1} {2} )

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar.

[ begin {align *} sin (45 ° -30 °) & = dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) - dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac {1} {2} right) [4pt] & = dfrac { sqrt {6} - sqrt {2}} {4 } end {align *} ]

  1. Nuevamente, escribimos la fórmula y sustituimos los ángulos dados.

[ begin {align *} sin ( alpha- beta) & = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta [4pt] sin (135 ^ { circ} -120 ^ { circ}) & = sin (135 ^ { circ}) cos (120 ^ { circ}) - cos (135 ^ { circ}) sin (120 ^ { circ} ) end {alinear *} ]

A continuación, encontramos los valores de las expresiones trigonométricas.

( sin (135 °) = frac { sqrt {2}} {2}, qquad cos (120 °) = - frac {1} {2}, qquad cos (135 °) = frac { sqrt {2}} {2}, qquad sin (120 °) = frac { sqrt {3}} {2} )

Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar.

[ begin {align *} sin (135 ^ { circ} -120 ^ { circ}) & = dfrac { sqrt {2}} {2} left (- dfrac {1} {2 } derecha) - izquierda (- dfrac { sqrt {2}} {2} derecha) izquierda ( dfrac { sqrt {3}} {2} derecha) [4pt] & = dfrac { sqrt {6} - sqrt {2}} {4} end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar el valor exacto de una expresión que involucra una función trigonométrica inversa

Encuentra el valor exacto de ( sin left ({ cos} ^ {- 1} frac {1} {2} + { sin} ^ {- 1} frac {3} {5} right) ). Luego verifique la respuesta con una calculadora gráfica.

Solución

El patrón que se muestra en este problema es ( sin ( alpha + beta) ). Sea ( alpha = { cos} ^ {- 1} frac {1} {2} ) y ( beta = { sin} ^ {- 1} frac {3} {5} ) . Entonces podemos escribir

[ begin {align *}
cos alpha & = dfrac {1} {2}, quad 0 leq alpha leq pi [4pt]
sin beta & = dfrac {3} {5}, quad - dfrac { pi} {2} leq beta leq dfrac { pi} {2} [4pt] end {align *} ]

Usaremos las identidades pitagóricas para encontrar ( sin alpha ) y ( cos beta )

[ begin {align *}
sin alpha & = sqrt {1 - { cos} ^ 2 alpha} [4pt]
& = sqrt {1- dfrac {1} {4}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {3} {4}} [4pt]
& = dfrac { sqrt {3}} {2} [4pt]
cos beta & = sqrt {1 - { sin} ^ 2 beta} [4pt]
& = sqrt {1- dfrac {9} {25}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {16} {25}} [4pt]
& = dfrac {4} {5}
end {alinear *} ]

Usando la fórmula de la suma del seno,

[ begin {align *} sin left ({ cos} ^ {- 1} tfrac {1} {2} + { sin} ^ {- 1} tfrac {3} {5} right ) & = sin ( alpha + beta) [4pt] & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta [4pt] & = dfrac { sqrt {3}} {2} cdot dfrac {4} {5} + dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {5} [4pt] & = dfrac {4 sqrt {3} +3 } {10} end {align *} ]

Uso de fórmulas de suma y diferencia para tangente

Encontrar valores exactos para la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado, pero nuevamente, se trata de reconocer el patrón.

Encontrar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma del seno y el coseno y simplificar. Recuerda, ( tan x = dfrac { sin x} { cos x} ), cuando ( cos x ≠ 0 ).

Derivemos la fórmula de la suma para la tangente.

[ begin {align *}
tan left ( alpha + beta right) & = dfrac { sin left ( alpha + beta right)} { cos ( alpha + beta)} [6pt]
& = dfrac { sin alpha cos beta + cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} [6pt]
& = dfrac { dfrac { sin alpha cos beta + cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} { dfrac { cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} [6pt]
& = dfrac { dfrac { sin alpha cos beta} { cos alpha cos beta} + dfrac { cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta} } { dfrac { cos alpha cos beta} { cos alpha cos beta} - dfrac { sin alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} [6pt]
& = dfrac { dfrac { sin alpha} { cos alpha} + dfrac { sin beta} { cos beta}} {1- dfrac { sin alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} [6pt]
& = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta}
end {alinear *} ]

Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de una manera similar.

FÓRMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA PARA TANGENTE

Las fórmulas de suma y diferencia para la tangente son:

[ tan ( alpha + beta) = dfrac { tan alpha + tan beta} {1− tan alpha tan beta} ]

[ tan ( alpha- beta) = dfrac { tan alpha- tan beta} {1+ tan alpha tan beta} ]

Cómo: Dados dos ángulos, hallar la tangente de la suma de los ángulos

  1. Escribe la fórmula de la suma para la tangente.
  2. Sustituye los ángulos dados en la fórmula.
  3. Simplificar.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar el valor exacto de una expresión que involucra a la tangente

Encuentra el valor exacto de ( tan left ( dfrac { pi} {6} + dfrac { pi} {4} right) ).

Solución

Primero escribamos la fórmula de la suma para la tangente y luego sustituyamos los ángulos dados en la fórmula.

[ begin {align *}
tan ( alpha + beta) & = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta} [4pt]
tan left ( dfrac { pi} {6} + dfrac { pi} {4} right) & = dfrac { tan left ( dfrac { pi} {6} right) + tan left ( dfrac { pi} {4} right)} {1- left ( tan left ( dfrac { pi} {6} right) right) left ( tan izquierda ( dfrac { pi} {4} right) right)} end {align *} ]

A continuación, determinamos los valores de las funciones individuales dentro de la fórmula:

[ tan left ( dfrac { pi} {6} right) = dfrac {1} { sqrt {3}}, quad text {y} quad tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ]
Entonces tenemos,
[ begin {align *} tan left ( dfrac { pi} {6} + dfrac { pi} {4} right) & = dfrac { dfrac {1} { sqrt {3 }} + 1} {1- left ( dfrac {1} { sqrt {3}} right) (1)} [6pt]
& = dfrac { dfrac {1+ sqrt {3}} { sqrt {3}}} { dfrac { sqrt {3} -1} { sqrt {3}}} [6pt]
& = dfrac {1+ sqrt {3}} { sqrt {3}} cdot dfrac { sqrt {3}} { sqrt {3} -1} [6pt]
& = dfrac { sqrt {3} +1} { sqrt {3} -1}
end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Encuentra el valor exacto de ( tan left ( dfrac {2 pi} {3} + dfrac { pi} {4} right) ).

Respuesta

( dfrac {1- sqrt {3}} {1+ sqrt {3}} )

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar múltiples sumas y diferencias de ángulos

Dado ( sin alpha = frac {3} {5}, quad 0 < alpha < frac { pi} {2}, ) y ( cos beta = - frac {5} {13}, quad pi < beta < frac {3 pi} {2} ),

encontrar

  1. ( sin ( alpha + beta) )
  2. ( cos ( alpha + beta) )
  3. ( tan ( alpha + beta) )
  4. ( tan ( alpha− beta) )

Solución

Podemos usar las fórmulas de suma y diferencia para identificar la suma o diferencia de ángulos cuando se proporciona la razón de seno, coseno o tangente para cada uno de los ángulos individuales. Para hacerlo, construimos lo que se llama un triángulo de referencia para ayudar a encontrar cada componente de las fórmulas de suma y diferencia.

  1. Para encontrar ( sin ( alpha + beta) ), comenzamos con ( sin alpha = dfrac {3} {5} ) y (0 < alpha < dfrac { pi} { 2} ). El lado opuesto a ( alpha ) tiene una longitud de 3, la hipotenusa tiene una longitud de 5 y ( alpha ) está en el primer cuadrante. Vea la Figura ( PageIndex {4} ). Usando el Teorema de Pitágoras, podemos encontrar la longitud del lado (a ):

[ begin {align *} a ^ 2 + 3 ^ 2 & = 5 ^ 2 [4pt] a ^ 2 & = 16 [4pt] a & = 4 end {align *} ]

Dado que ( cos beta = - dfrac {5} {13} ) y ( pi < beta < dfrac {3 pi} {2} ), el lado adyacente a ( beta ) es (- 5 ), la hipotenusa es (13 ) y ( beta ) está en el tercer cuadrante. Vea la Figura ( PageIndex {5} ). Nuevamente, usando el Teorema de Pitágoras, tenemos

[ begin {align *} {(-5)} ^ 2 + a ^ 2 & = {13} ^ 2 [4pt] 25 + a ^ 2 & = 169 [4pt] a ^ 2 & = 144 [4pt] a & = pm 12 end {align *} ]

Dado que ( beta ) está en el tercer cuadrante, (a = –12 ).

El siguiente paso es encontrar el coseno de ( alpha ) y el seno de ( beta ). El coseno de α α es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Podemos encontrarlo en el triángulo de la Figura ( PageIndex {5} ): ( cos alpha = dfrac {4} {5} ). También podemos encontrar el seno de ( beta ) del triángulo en la Figura ( PageIndex {5} ), como lado opuesto sobre la hipotenusa: ( sin beta = - dfrac {12} {13 } ). Ahora estamos listos para evaluar ( sin ( alpha + beta) ).

[ begin {align *} sin ( alpha + beta) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta [4pt] & = left ( dfrac {3} { 5} derecha) izquierda (- dfrac {5} {13} derecha) + izquierda ( dfrac {4} {5} derecha) izquierda (- dfrac {12} {13} derecha) [4pt] & = - dfrac {15} {65} - dfrac {48} {65} [4pt] & = - dfrac {63} {65} end {align *} ]

  1. Podemos encontrar ( cos ( alpha + beta) ) de manera similar. Sustituimos los valores según la fórmula.

[ begin {align *} cos ( alpha + beta) & = cos alpha cos beta- sin alpha sin beta [4pt] & = left ( dfrac {4} {5} right) left (- dfrac {5} {13} right) - left ( dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {12} {13} right ) [4pt] & = - dfrac {20} {65} + dfrac {36} {65} [4pt] & = dfrac {16} {65} end {align *} ]

  1. Para ( tan ( alpha + beta) ), si ( sin alpha = dfrac {3} {5} ) y ( cos alpha = dfrac {4} {5} ) , luego

( tan alpha = dfrac { dfrac {3} {5}} { dfrac {4} {5}} = dfrac {3} {4} )

Si ( sin beta = - dfrac {12} {13} ) y ( cos beta = - dfrac {5} {13} ), entonces

( tan beta = dfrac {- dfrac {12} {13}} {- dfrac {5} {13}} = dfrac {12} {5} )

Luego,

[ begin {align *}
tan ( alpha + beta) & = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta} [6pt]
& = dfrac { dfrac {3} {4} + dfrac {12} {5}} {1- dfrac {3} {4} left ( dfrac {12} {5} right)} [6pt]
& = dfrac { dfrac {63} {20}} {- dfrac {16} {20}} [6pt]
& = - dfrac {63} {16}
end {alinear *} ]

  1. Para encontrar ( tan ( alpha− beta) ), tenemos los valores que necesitamos. Podemos sustituirlos y evaluarlos.

[ begin {align *}
tan ( alpha- beta) & = dfrac { tan alpha- tan beta} {1+ tan alpha tan beta} [6pt]
& = dfrac { dfrac {3} {4} - dfrac {12} {5}} {1+ dfrac {3} {4} left ( dfrac {12} {5} right)} [6pt]
& = dfrac {- dfrac {33} {20}} { dfrac {56} {20}} [6pt]
& = - dfrac {33} {56}
end {alinear *} ]

Análisis

Un error común al abordar problemas como este es que podemos tener la tentación de pensar que ( alpha ) y ( beta ) son ángulos en el mismo triángulo, lo cual, por supuesto, no lo son. También tenga en cuenta que

( tan ( alpha + beta) = sin ( alpha + beta) cos ( alpha + beta) )

Uso de fórmulas de suma y diferencia para funciones

Ahora que podemos encontrar las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de ángulos, podemos usarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Puede recordar de Trigonometría de triángulo rectángulo que, si la suma de dos ángulos positivos es ( frac { pi} {2} ), esos dos ángulos son complementos, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es ( frac { pi} {2} ), por lo que también son complementos. En la Figura ( PageIndex {6} ), observe que si uno de los ángulos agudos está etiquetado como ( theta ), entonces el otro ángulo agudo debe estar etiquetado como ( frac { pi} {2} - theta ).

Observe también que ( sin theta = cos left ( frac { pi} {2} - theta right) ), que es opuesto a la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos decir que el seno de ( theta ) es igual a la cofunción del complemento de ( theta ). De manera similar, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones.

A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunciones. Recuerde que encontró estas identidades por primera vez en El círculo unitario: funciones seno y coseno.

IDENTIDADES DE COFUNCIÓN

Las identidades de cofunciones se resumen en la Tabla ( PageIndex {2} ).

Tabla ( PageIndex {2} )
( sin theta = cos left ( dfrac { pi} {2} - theta right) ) ( cos theta = sin left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )
( tan theta = cot left ( dfrac { pi} {2} - theta right) ) ( cot theta = tan left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )
( sec theta = csc left ( dfrac { pi} {2} - theta right) ) ( csc theta = sec left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente usando las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, usando

( cos ( alpha- beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta )

Podemos escribir

[ begin {align *} cos left ( dfrac { pi} {2} - theta right) & = cos dfrac { pi} {2} cos theta + sin dfrac { pi} {2} sin theta [4pt] & = (0) cos theta + (1) sin theta [4pt] & = sin theta end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): encontrar una cofunción con el mismo valor que la expresión dada

Escribe ( tan dfrac { pi} {9} ) en términos de su función.

Solución

La cofunción de ( tan theta = cot left ( dfrac { pi} {2} - theta right) ). Por lo tanto,

[ begin {align *} tan left ( dfrac { pi} {9} right) & = cot left ( dfrac { pi} {2} - dfrac { pi} {9 } derecha) [4pt] & = cot left ( dfrac {9 pi} {18} - dfrac {2 pi} {18} right) [4pt] & = cot izquierda ( dfrac {7 pi} {18} right) end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Escribe ( sin dfrac { pi} {7} ) en términos de su función.

Respuesta

( cos left ( dfrac {5 pi} {14} right) )

Uso de fórmulas de suma y diferencia para verificar identidades

Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Es útil estar muy familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se resuelven los problemas. Revisar las reglas generales presentadas anteriormente puede ayudar a simplificar el proceso de verificación de una identidad.

Cómo: Dada una identidad, verificar usando fórmulas de suma y diferencia

  1. Comience con la expresión del lado del signo igual que parezca más complejo. Vuelve a escribir esa expresión hasta que coincida con el otro lado del signo igual. Ocasionalmente, es posible que tengamos que alterar ambos lados, pero trabajar solo en un lado es lo más eficiente.
  2. Busque oportunidades para usar las fórmulas de suma y diferencia.
  3. Reescribe las sumas o diferencias de cocientes como cocientes simples.
  4. Si el proceso se vuelve engorroso, vuelva a escribir la expresión en términos de senos y cosenos.

Ejemplo ( PageIndex {8A} ): Verificación de una identidad que involucra al seno

Verifica la identidad ( sin ( alpha + beta) + sin ( alpha− beta) = 2 sin alpha cos beta ).

Solución

Vemos que el lado izquierdo de la ecuación incluye los senos de la suma y la diferencia de ángulos.

( sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta )

( sin ( alpha- beta) = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta )

Podemos reescribir cada uno usando las fórmulas de suma y diferencia.

[ begin {align *} sin ( alpha + beta) + sin ( alpha- beta) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta + sin alpha cos beta- cos alpha sin beta [4pt] & = 2 sin alpha cos beta end {align *} ]

Vemos que se verifica la identidad.

Ejemplo ( PageIndex {8B} ): Verificación de una identidad que involucra a la tangente

Verifique la siguiente identidad.

( dfrac { sin ( alpha− beta)} { cos alpha cos beta} = tan alpha− tan beta )

Solución

Podemos comenzar reescribiendo el numerador en el lado izquierdo de la ecuación.

[ begin {align *} dfrac { sin ( alpha- beta)} { cos alpha cos beta} & = dfrac { sin alpha cos beta- cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta} [4pt] & = dfrac { sin alpha cos beta} { cos alpha cos beta} - dfrac { cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta} & & text {Reescribir usando un denominador común} [4pt] & = dfrac { sin alpha} { cos alpha} - dfrac { sin beta} { cos beta} & & text {Cancelar} [4pt] & = tan alpha- tan beta & & text {Reescribir en términos de tangente} end { alinear*}]

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Verifique la identidad: ( tan ( pi− theta) = - tan theta ).

Respuesta

[ begin {align *} tan ( pi- theta) & = dfrac { tan ( pi) - tan theta} {1+ tan ( pi) tan theta} [4pt] & = dfrac {0- tan theta} {1 + 0 cdot tan theta} [4pt] & = - tan theta end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {9A} ): Uso de fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación

Dejemos que (L_1 ) y (L_2 ) denoten dos rectas que se cruzan no verticales y que (θ ) denote el ángulo agudo entre (L_1 ) y (L_2 ). Vea la Figura ( PageIndex {7} ). Muestra esa

( tan theta = dfrac {m_2-m_1} {1 + m_1m_2} )

donde (m_1 ) y (m_2 ) son las pendientes de (L_1 ) y (L_2 ) respectivamente. (Insinuación: Usa el hecho de que ( tan theta_1 = m_1 ) y ( tan theta_2 = m_2 ).)

Solución

Usando la fórmula de la diferencia para la tangente, este problema no parece tan abrumador como podría.

[ begin {align *} tan theta & = tan ( theta_2- theta_1) [4pt] & = dfrac { tan theta_2- tan theta_1} {1+ tan theta_1 bronceado theta_2} [4pt] & = dfrac {m_2-m_1} {1 + m_1m_2} end {align *} ]

Ejemplo ( PageIndex {9B} ): Investigación de un problema de cable de tensión

Para un muro de escalada, un cable de sujeción (R ) se une (47 ) pies de alto en un poste vertical. Otro soporte (S ) unido (40 ) pies sobre el suelo en el mismo poste proporciona soporte adicional. Si los cables están conectados al suelo (50 ) pies desde el poste, encuentre el ángulo ( alpha ) entre los cables. Vea la Figura ( PageIndex {8} ).

Solución

Primero resumamos la información que podemos recopilar del diagrama. Como solo se conocen los lados adyacentes al ángulo recto, podemos usar la función tangente. Observe que ( tan beta = frac {47} {50} ) y ( tan ( beta− alpha) = frac {40} {50} = frac {4} {5} ). Luego podemos usar la fórmula de diferencia para la tangente.

[ tan ( beta- alpha) = dfrac { tan beta- tan alpha} {1+ tan beta tan alpha} ]
Ahora, sustituyendo los valores que conocemos en la fórmula, tenemos,
[ begin {align *} dfrac {4} {5} & = dfrac { tfrac {47} {50} - tan alpha} {1+ tfrac {47} {50} tan alpha } [4pt]
4 left (1+ tfrac {47} {50} tan alpha right) & = 5 left ( tfrac {47} {50} - tan alpha right) end {align *} ]
Usa la propiedad distributiva y luego simplifica las funciones.
[ begin {align *} 4 (1) +4 left ( tfrac {47} {50} right) tan alpha & = 5 left ( tfrac {47} {50} right) - 5 tan alpha [4pt]
4 + 3.76 tan alpha & = 4.7-5 tan alpha [4pt]
5 tan alpha + 3.76 tan alpha & = 0.7 [4pt]
8.76 tan alpha & = 0.7 [4pt]
tan alpha & approx 0.07991 [4pt]
tan ^ {- 1} (0.07991) y approx .079741 end {align *} ]
Ahora podemos calcular el ángulo en grados.
[ begin {align *} alpha & approx 0.079741 left ( dfrac {180} { pi} right) [4pt]
& approx 4.57 ^ { circ}
end {alinear *} ]

Análisis

En ocasiones, cuando aparece una aplicación que incluye un triángulo rectángulo, podemos pensar que resolver es cuestión de aplicar el Teorema de Pitágoras. Eso puede ser parcialmente cierto, pero depende de lo que pregunte el problema y de la información que se proporcione.

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con identidades de suma y diferencia.

  • Identidades de suma y diferencia para coseno
  • Identidades de suma y diferencia para seno
  • Identidades de suma y diferencia para tangente

Ecuaciones clave

Fórmula de suma para coseno ( cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta− sin alpha sin beta )
Fórmula de diferencia para el coseno ( cos ( alpha- beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta )
Fórmula de suma para seno ( sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta )
Fórmula de diferencia para seno ( sin ( alpha- beta) = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta )
Fórmula de suma para tangente ( tan ( alpha + beta) = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta} )
Fórmula de diferencia para tangente ( cos ( alpha− beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta )

Identidades cofuncionales

( sin theta = cos left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

( cos theta = sin left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

( tan theta = cot left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

( cot theta = tan left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

( sec theta = csc left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

( csc theta = sec left ( dfrac { pi} {2} - theta right) )

Conceptos clave

  • La fórmula de la suma de los cosenos establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto de los cosenos de los ángulos menos el producto de los senos de los ángulos. La fórmula de diferencia para cosenos establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto de los cosenos de los ángulos más el producto de los senos de los ángulos.
  • Las fórmulas de suma y diferencia se pueden usar para encontrar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ) y Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • La fórmula de la suma de los senos establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para los senos establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  • Las fórmulas de suma y diferencia para seno y coseno también se pueden usar para funciones trigonométricas inversas. Vea Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de las tangentes de los ángulos dividida por (1 ) menos el producto de las tangentes de los ángulos. La fórmula de diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida por (1 ) más el producto de las tangentes de los ángulos. Vea Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • El Teorema de Pitágoras junto con las fórmulas de suma y diferencia se pueden usar para encontrar múltiples sumas y diferencias de ángulos. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  • Las identidades de cofunción se aplican a ángulos complementarios y pares de funciones recíprocas. Vea Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  • Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar identidades. Vea Ejemplo ( PageIndex {8} ) y Ejemplo ( PageIndex {9} ).
  • Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver mediante el uso de fórmulas de suma y diferencia. Vea Ejemplo ( PageIndex {10} ) y Ejemplo ( PageIndex {11} ).

2.7. Funciones agregadas

Como la mayoría de los otros productos de bases de datos relacionales, PostgreSQL admite Funciones agregadas. Una función agregada calcula un único resultado a partir de varias filas de entrada. Por ejemplo, hay agregados para calcular el recuento, la suma, el promedio (promedio), el máximo (máximo) y el mínimo (mínimo) en un conjunto de filas.

Como ejemplo, podemos encontrar la lectura más alta a baja temperatura en cualquier lugar con:

Si quisiéramos saber en qué ciudad (o ciudades) se produjo la lectura, podríamos intentar:

pero esto no funcionará ya que el máximo agregado no se puede utilizar en el DÓNDE cláusula. (Esta restricción existe porque el DÓNDE La cláusula determina qué filas se incluirán en el cálculo agregado, por lo que obviamente debe evaluarse antes de que se calculen las funciones agregadas). subconsulta:

Esto está bien porque la subconsulta es un cálculo independiente que calcula su propio agregado por separado de lo que sucede en la consulta externa.

Los agregados también son muy útiles en combinación con AGRUPAR POR cláusulas. Por ejemplo, podemos obtener la máxima temperatura mínima observada en cada ciudad con:

lo que nos da una fila de salida por ciudad. Cada resultado agregado se calcula sobre las filas de la tabla que coinciden con esa ciudad. Podemos filtrar estas filas agrupadas usando TENIENDO:

lo que nos da los mismos resultados solo para las ciudades que tienen todos temp_lo valores por debajo de 40. Por último, si solo nos interesan las ciudades cuyos nombres comienzan con "S", podríamos hacer:

En el ejemplo anterior, podemos aplicar la restricción de nombre de ciudad en DÓNDE, ya que no necesita agregado. Esto es más eficiente que agregar la restricción a TENIENDO, porque evitamos hacer los cálculos de agrupamiento y agregado para todas las filas que fallan en el DÓNDE cheque.


Vista previa del contenido

Antes de configurar el modelo, debemos definir claramente nuestra notación.

Las observaciones se consideran coordenadas, ((x_i, y_i) ), para (i = 1,…, n ). Como vimos antes, los puntos, ((x_1, y_1),…, (x_n, y_n) ), pueden no caer exactamente en una línea, (como el ejemplo de peso y altura). Hay algún error que debemos considerar.

Combinamos la relación lineal junto con el error en el modelo de regresión lineal simple.

La forma general del modelo de regresión lineal simple es.

Para una observación individual,

( beta_0 ) es la intersección con el eje y de la población,

( beta_1 ) es la pendiente de la población y

( epsilon_i ) es el error o desviación de (y_i ) de la línea, ( beta_0 + beta_1x_i ).

Para hacer inferencias sobre estos parámetros poblacionales desconocidos, debemos encontrar una estimación para ellos. Hay diferentes formas de estimar los parámetros de la muestra. In this class, we will present the least squares method.

Using the least squares method, we can find estimates for the two parameters.

The formulas to calculate least squares estimates are:

Sample Slope

Sample Intercept

Note! You will not be expected to memorize these formulas or to find the estimates by hand. We will use Minitab to find these estimates for you.

We estimate the population slope, (eta_1), with the sample slope denoted (hat<eta_1>). The population intercept, (eta_0), is estimated with the sample intercept denoted (hat<eta_0>). The intercept is often referred to as the constant or the constant term.

Once the parameters are estimated, we have the least square regression equation line (or the estimated regression line).

(hat_0) (The constant term)

(hat<eta>_0) is the (Y)-intercept of the regression line. When (X = 0) is within the scope of observation, (hat<eta>_0) is the estimated value of (Y) when (X = 0).

However, when (X = 0) is not within the scope of the observation, the (Y)-intercept is usually not of interest. In our height and weight example, (X = 0) is not within the scope of the observation since no one has a height of 0. The value (hat<eta>_0) by itself is not of much interest other than being the constant term for the regression line.

We can also use the least squares regression line to estimate the errors, called residuals.

The graph below summarizes the least squares regression for the height and weight data. Selecciona el icons to view the explanations of the different parts of the scatterplot and the least squares regression line. We will go through this example in more detail later in the Lesson.


Rational arithmetic.

The following sessions illustrates basic arithmetic and built-in functions. Note the the answers given are exact, and no floating point approximations are made unless we explicitly convert to floating point. All statements end with a semicolon (in which case the result is printed to the screen) or a colon (in which case the result is suppressed).

One of the most powerful features of Maple is its support of symbolic variables. Maple uses := for assignment statements since = is reserved for mathematical equality.

Equation solving, arrays, conditionals, loops, functions, libraries, matrices,

garbage collection, variables are global so must be careful not to reuse - can reset with x := 'x'.

  1. Polynomials.
  2. Table lookup.
  3. Heuristics: substitutions, integration by parts, partial fractions, special forms involving trig and polynomials
  4. Risch algorithm: Horowitz reduction, Lazard/Rioboo/Trager method

To witness Maple in action,

Q. When I get an error in Maple, I don't get back to the Maple prompt.

A. Try typing a semicolon followed by return.

Ejercicios

  1. Modify the toString() method of Racional so that it suppresses the denominator if it is 1, e.g., 5 instead of 5/1.
  2. Add isOdd() y isEven() methods to the polynomial ADT to indicate if the polynomial is odd (all nonzero coefficients have odd exponents) or even (all nonzero coefficients have even exponents).
  3. Add equals() y compareTo() methods to Racional.
  4. Modify the toString() method of Polynomial so that it suppresses the exponent in the x^1 term and the x^0 in the constant term. Some boundary cases to check: f(x) = 0, 1, and x.
  5. Add an equals() method to Polynomial.
  6. Stave off overflow in Racional using the following ideas: . Check for overflow in Racional and throw an exception if the result will overflow.
  7. Agregar un método minus() a Racional and support for negative rational numbers.
  8. Write a program Taylor.java that creates a polynomial (of rational coefficients) containing the first 10 terms of the Taylor expansion of e^x, sin x and e^x sin x.
  9. Expand (1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4). (1-x^n). When n = 3, this is 1 -x - x^2 + x^4 + x^5 - x^6. In the limit, all of the coefficients are 0, +1, or -1.

Ejercicios creativos

  1. Chebyshev polynomials. La Chebyshev polynomials are defined by solutions to the equation

Write a program Farey.java that takes a command line parameter N and prints the Farey sequence of order N. Use the rational number data data type created above.

To compute the Farey sequence, you can use the following amazing relationship: If m/n and m'/n' are two consecutive elements in the Farey sequence of order N, then the next element is m''/n'' which can be computed as follows (where the division is integer division):

Although 27/10 is a decent approximation to e, it is excluded from the list since 19/7 provides a better approximation with an even smaller denominator. The Stern-Brocot tree method gives an elegant mathematical solution. Here's the algorithm for generating the best upper and lower rational approximations to a real number x:

As you iterate the above procedure, print out each new term if it provides a better approximation. Write a program RationalApprox.java to print out these best rational approximations.

  • Given a continued fraction expansion a0, a1, . an, write a program to determine what rational number it corresponds to.
  • Given a rational number, find its continued fraction expansion. For example 159/46 = 3 + 21/46 = 3 + 1 / (46/21) = 3 + 1 / (2 + 4/21) = 3 + 1 / (2 + 1 / (21/4)) = 3 + 1 / (2 + 1 / (5 + 1/4)).
  • F0(x) = p(x)
  • F1(x) = p'(x)
  • Fnorte(x) = fn-1(x) % fn-2(x) where % is polynomial remainder

Last modified on July 16, 2017.

Copyright y copia 2000 y ndash2019 Robert Sedgewick y Kevin Wayne. Reservados todos los derechos.


ROW COUNTERS

I include the row counter table calculation functions in every workbook, and I do it for many reasons.

INDEX() or RANK()

These two functions provide a unique incremental number for every row or partition assigned in the scope and direction of the table calculation. Basically, this table calculation will give you a rank field for every row or pane you can see in your viz. The RANK() function has additional functionality allowing for addressing ties and other groupings based on rank.

FIRST()

This function returns a 0 for the primero visible row and then negative incremental numbers for the following rows or partitions.

This function, obviously the opposite of FIRST(), returns a 0 for the último visible row and then positive incremental numbers for the subsequent rows.

fig. 4 – Deconstructed view of INDEX(), FIRST(), and LAST() table calculation functions (running Table Down), sorted Descending by Sales.

What makes these very simply functions so powerful? The row-counting functions can be leveraged in filters when your viz includes other table calculations.


Analytic Functions Versus Aggregate Functions

Like aggregate functions, analytic functions return aggregate results, but analytics do not group the result set. Instead, they return the group value multiple times with each record, allowing further analysis.

Analytic queries generally run faster and use fewer resources than aggregate queries.

Return a single summary value.

Return the same number of rows as the input.

Define the groups of rows on which they operate through the SQL GROUP BY clause.

Define the groups of rows on which they operate through window partition and window frame clauses.


9.2: Sum and Difference Identities

Proof . Let the straight line AB revolve to the point C and sweep out the

angle , and let it continue to D and sweep out the angle &beta

draw DE perpendicular to AB.

Then we are to determine sin ( + &beta ), which is ED
DA
,
and cos ( + &beta ), which is AE
DA
.

Note : The value of a trigonometric function is a number, namely the number that represents the ratio of two lengths. Throughout the proof, then, we will consider AE and DA not only as lengths, but also as the numbers that are their measures. Therefore the usual properties of arithmetic will apply.

Draw DF perpendicular to AC,

draw FG perpendicular to AB,

and draw FH perpendicular to ED.

Then angle HDF is equal to angle .

For, since the straight line AC crosses the parallel lines HF, AB, it makes the alternate angles equal (Theorem 8)

therefore angle HFA is equal to angle .

And by the construction, angle DFH is the complement of angle HFA

therefore angle HDF (the complement of DFH) is also equal to angle .

ED = GF + HD.
Therefore, on dividing by DA,
sin ( + &beta ) = ED
DA
= GF
DA
+ HD
DA

And on both dividing and multiplying by AF and FD

= GF
AF
AF
DA
+ HD
FD
FD
DA
Multiplying
fractions.
= sin cos &beta + cos sin &beta .

EA = GA &minus FH.
Por lo tanto,
cos ( + &beta ) = EA
AD
= GA
AD
&menos FH
AD
= GA
AF
AF
AD
&menos FH
DF
DF
AD
= cos cos &beta &minus sin sin &beta .

This is what we wanted to prove.

The difference formulas can be proved from the sum formulas, by replacing +&beta with +(&minus &beta ), and using these identities:


Respond to this Question

Arithmetic

the sum of the n termsof an ap whose first term is 5 and common difference is 36 is equal to the sum of 2n terms of another AP whose first term is 36 ans common difference is 5. Find n?

Progresión aritmética

An arithmetic progression has 3 as its first term. Also, the sum of the first 8 terms is twice the sum of the first 5 terms. Find the common difference.

The sum of the first 20 terms of an arithmetic series is identical to the sum of the first 22 terms. If the common difference is -2, find the first term.

Arithmetic

find the common difference of A.P whose first term is 5 and the sum of its first 4 terms is half the sum of next 4 terms

Find two integers whose sum is 2 and whose difference is 8.

Mathematics

1> the first term of an AP is 2 and the common difference is 3.Find the sum of the first 11 terms. 2>The 2nd and 5th terms of a GP are -6 and 48 respectively.Find the sum of the first four terms

Adding and subtracting fractions unit test part 1

Estimate the sum or difference. Use the benchmarks 0, 1/2, and 1. 4/5 + 3/20 0 1/2 1 Tim walked 2/5 of a mile on Monday, 6/7 of a mile on Tuesday, and 2/3 of a mile on Wednesday. How far did he walk in all? About 1 mile About 1

1. If the product of 5 and the sum of 10 and a certain number is equal to 15, what is the number? 2. The sum of two consecutive counting numbers divided by their positive difference is 9. Find the larger numbers.

Matemáticas

The 5th and 10th terms of an arithmetic progression are 18 and -2 respectively. (a) Find the common difference and the first term. (b) Determine the least number of terms which must be added together so that the sum of the

Math - PreCalc (12th Grade)

Which combination of limit properties is required to evaluate this limit? lim x->((24/x)-2x+2)^3 A) sum, difference, product, root B) sum, difference, product, power C) sum, difference, quotient, power D) sum, difference,

Arithmetic

THE SUM OF THE 2ND AND 5TH TERMS OF AN A.P IS 42. IF THE DIFFERENCE BETWEEN THE 6TH AND 3RD TERM IS 12, FIND THE: COMMON DIFFERENCE, 1ST TERM, 20TH TERM.

Trigonometry

How could you evaluate tan (13pi/12) if you did not know the sum and difference formula for tangent? Would you use the sin and cos sum and difference formulas, and if so, can someone walk me through it? Gracias.


9.2.7 Equilibrium conditions in a multiphase, multicomponent system

This section extends the derivation described in Sec. 8.1.2, which was for equilibrium conditions in a multiphase system containing a single substance, to a more general kind of system: one with two or more homogeneous phases containing mixtures of nonreacting species. The derivation assumes there are no internal partitions that could prevent transfer of species and energy between the phases, and that effects of gravity and other external force fields are negligible.

The system consists of a reference phase, (pha'), and other phases labeled by (pha< e>pha'). Species are labeled by subscript (i). Following the procedure of Sec. 8.1.1, we write for the total differential of the internal energy egin empezar dif U & = dif Uaphp + sum_dif Uaph cr & = Taphpdif Saphp - paphpdif Vaphp + sum_imu_iaphpdif n_iaphp cr & quad + sum_left(Taphdif Saph - paphdif Vaph + sum_imu_iaphdif n_iaph ight) end ag <9.2.37>end The conditions of isolation are egin dif U = 0 qquad x <(constant internal energy)> ag <9.2.38>end empezar dif Vaphp + sum_dif Vaph = 0 qquad x <(no expansion work)> ag <9.2.39>end empezar empezar & x cr &dif n_iaphp + sum_dif n_iaph = 0 qquad x <(closed system)>end ag <9.2.40>end We use these relations to substitute for (dif U), (dif Vaphp), and (dif n_iaphp) in Eq. 9.2.37. After making the further substitution (dif Saphp = dif S - sum_dif Saph) and solving for (dif S), we obtain egin dif S = sum_fracdif Saph - sum_fracdif Vaph + sum_isum_fracdif n_iaph ag <9.2.41>end This equation is like Eq. 8.1.6 with provision for more than one species.

In the equilibrium state of the isolated system, (S) has the maximum possible value, (dif S) is equal to zero for an infinitesimal change of any of the independent variables, and the coefficient of each term on the right side of Eq. 9.2.41 is zero. We find that in this state each phase has the same temperature and the same pressure, and for each species the chemical potential is the same in each phase.

Suppose the system contains a species (i') that is effectively excluded from a particular phase, (pha''). For instance, sucrose molecules dissolved in an aqueous phase are not accommodated in the crystal structure of an ice phase, and a nonpolar substance may be essentially insoluble in an aqueous phase. We can treat this kind of situation by setting (dif n^_) equal to zero. Consequently there is no equilibrium condition involving the chemical potential of this species in phase (pha'').

To summarize these conclusions: In an equilibrium state of a multiphase, multicomponent system without internal partitions, the temperature and pressure are uniform throughout the system, and each species has a uniform chemical potential except in phases where it is excluded.

This statement regarding the uniform chemical potential of a species applies to both a substance and an ion, as the following argument explains. The derivation in this section begins with Eq. 9.2.37, an expression for the total differential of (U). Because it is a total differential, the expression requires the amount (n_i) of each species (i) in each phase to be an independent variable. Suppose one of the phases is the aqueous solution of KCl used as an example at the end of the preceding section. In principle (but not in practice), the amounts of the species H(_2)O, K(^+), and Cl(^-) can be varied independently, so that it is valid to include these three species in the sums over (i) in Eq. 9.2.37. The derivation then leads to the conclusion that K(^+) has the same chemical potential in phases that are in transfer equilibrium with respect to K(^+), and likewise for Cl(^-). This kind of situation arises when we consider a Donnan membrane equilibrium (Sec. 12.7.3) in which transfer equilibrium of ions exists between solutions of electrolytes separated by a semipermeable membrane.


9.2: Sum and Difference Identities

Modular 9 arithmetic is the arithmetic of the remainders after division by 9. For example, the remainder for 12 after division by 9 is 3. This is expressed as

12 = 3 (mod 9)

Likewise 25=7 (mod 9) and 9=0 (mod 9). Note that 12+25=37 and that 37=1 (mod 9). But 3+7=10=1 (mod 9) so the equivalent of the sum of two numbers modulo 9 is equal to the modulo 9 equivalent of the sum of their modulo 9 equivalents.

The modulo 9 equivalent of 12 is 3 which is also the digit sum of 12. This is no coincidence. There is a very close relationship between the modulo 9 equivalents of numbers and their digit sums.

Integer Digit Sum Remainder Function
Mod 9
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 0
10 1 1
11 2 2
12 3 3
13 4 4
14 5 5
15 6 6
16 7 7
17 8 8
18 9 0

The only difference between the values in the second and third columns is that for a multiple of 9 the remainder function is zero but in the second column the value is 9. This is reasonable in that 9=0 (mod 9). Let the remainder function for integer k be expressed as k%9 and the second column function as k#9. Rather than make a special case for the multiples of 9 it is more elegant to express the correspondence between the two functions as

K#9 = (k-1)%9 + 1 y k%9 = (k+1)#9 - 1.

The # function can be generalized to

K#n = (k-1)%n + 1 and hence k%n = (k+1)#n - 1.

The digit sum function is the special case of the k#n function when n=9.

DigitSum(k) = (k-1)%9 +1

The multiplication table for modulo 9 arithmetic is:

If the 0's were replaced by 9's and the table rearranged so the first column becomes the last column and the first row becomes the last row the result would be identical to the table for the sequences of digit sums.

The Rearrangement of the
Multiplication Table for Modulo 9 Arithmetic
With 9 Substituted for 0
123456 789
246813 579
369369 369
483726 159
516273 849
639639 639
753186 429
8765432 19
999999999

This table is identical with the table of digit sums for multiples of numbers. The conclusion is that digit sum arithmetic is the virtually the same as modular 9 arithmetic except there is a replacement of 0's with 9's. The equivalence of 9 and 0 takes care of a small problem. The digit sum of all multiples of 9 is 9 except for the case of 0 times 9 which has a digit sum of 0. So the digit sum of all multiples of 9 is equivalent to 9.

In mathematical terminology there is an isomorphism between digit sum arithmetic and modular 9 arithmetic. All of the properties of associativity, distributivity, communtivity, identities and additive inverses carry over from modular 9 arithmentic to digit sum arithmetic. Multiplicative inverses exist for some elements but not all so neither entity is a mathematical field. In the table below the cases of products that yield the multiplicative identity i.e., 1 are shown in red.

Multiplication Table for Modulo 9 Arithmetic
012345678
0000000000
1012345678
2024681357
3036036036
4048372615
5051627384
6063063063
7075318642
808765432 1

As can be seen from the above table inverses exist for 1, 2, 4, 5, 7 and 8 but not for 0, 3 and 6.


Ver el vídeo: Identidades de la Suma y Diferencia de Ángulos (Septiembre 2021).