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3.8: Funciones lineales - Matemáticas


Recuerde que una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Las funciones lineales son un tipo específico de función que se puede utilizar para modelar muchas aplicaciones del mundo real, como el crecimiento de las plantas a lo largo del tiempo. En este capítulo, exploraremos las funciones lineales, sus gráficas y cómo relacionarlas con los datos.


Florida- Matemáticas: Grados 9-12

Estándares de Matemáticas de Florida adoptados: 2014

MAFS.912.A-APR: Aritmética con polinomios y expresiones racionales

MAFS.912.A-APR.1: Realizar operaciones aritméticas en polinomios

MAFS.912.A-APR.1.1: Entender que los polinomios forman un sistema análogo a los números enteros, es decir, están cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación de sumar, restar y multiplicar polinomios.

MAFS.912.A-APR.2: Comprender la relación entre ceros y factores de polinomios

MAFS.912.A-APR.2.2: Conocer y aplicar el teorema del resto: para un polinomio p (x) y un número a, el resto de la división por x - a es p (a), por lo que p (a) = 0 si y solo si (x - a) es un factor de p (x).

MAFS.912.A-APR.2.3: Identifica ceros de polinomios cuando se dispone de factorizaciones adecuadas y usa los ceros para construir una gráfica aproximada de la función definida por el polinomio.

MAFS.912.A-APR.3: Usa identidades polinomiales para resolver problemas

MAFS.912.A-APR.3.5: Conocer y aplicar el teorema binomial para la expansión de (x + y) a la potencia n en potencias de xey para un entero positivo n, donde xey son números cualesquiera, con coeficientes determinados, por ejemplo, por el triángulo de Pascal.

MAFS.912.A-CED: Creación de ecuaciones

MAFS.912.A-CED.1: Crea ecuaciones que describen números o relaciones

MAFS.912.A-CED.1.1: Crea ecuaciones y desigualdades en una variable y úsalas para resolver problemas. Incluya ecuaciones que surjan de funciones lineales y cuadráticas y funciones simples racionales, absolutas y exponenciales.

MAFS.912.A-CED.1.2: Cree ecuaciones en dos o más variables para representar relaciones entre ecuaciones gráficas de cantidades en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

MAFS.912.A-CED.1.3: Representar restricciones por ecuaciones o desigualdades, y por sistemas de ecuaciones y / o desigualdades, e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado.

MAFS.912.A-CED.1.4: Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, usando el mismo razonamiento que para resolver ecuaciones.

MAFS.912.A-REI: Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

MAFS.912.A-REI.1: Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

MAFS.912.A-REI.1.1: Explique cada paso para resolver una ecuación simple como sigue a la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo del supuesto de que la ecuación original tiene una solución. Construya un argumento viable para justificar un método de solución.

MAFS.912.A-REI.1.2: Resolver ecuaciones racionales y radicales simples en una variable y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas.

MAFS.912.A-REI.2: Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable

MAFS.912.A-REI.2.3: Resuelve ecuaciones lineales y desigualdades en una variable, incluidas ecuaciones con coeficientes representados por letras.

MAFS.912.A-REI.2.4: Resuelve ecuaciones cuadráticas en una variable.

MAFS.912.A-REI.2.4.b: Resuelve ecuaciones cuadráticas mediante inspección (por ejemplo, para x² = 49), sacando raíces cuadradas, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y factorizando, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconoce cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escríbelas como a ± bi para los números reales ay b.

MAFS.912.A-REI.3: Resolver sistemas de ecuaciones

MAFS.912.A-REI.3.5: Demuestre que, dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.

MAFS.912.A-REI.3.6: Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (por ejemplo, con gráficos), centrándose en pares de ecuaciones lineales en dos variables.

MAFS.912.A-REI.3.8: Representa un sistema de ecuaciones lineales como una única ecuación matricial en una variable vectorial.

MAFS.912.A-REI.4: Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente

MAFS.912.A-REI.4.10: Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones trazadas en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una línea).

MAFS.912.A-REI.4.11: Explique por qué las coordenadas x de los puntos donde las gráficas de las ecuaciones y = f (x) y y = g (x) se intersecan son las soluciones de la ecuación f (x) = g (x) encuentre las soluciones aproximadamente, por ejemplo, usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya los casos en los que f (x) y / o g (x) son funciones lineales, polinomiales, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.

MAFS.912.A-REI.4.12: Grafique las soluciones de una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta) y grafique el conjunto de soluciones para un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los correspondientes semiplanos.

MAFS.912.A-SSE: Ver estructura en expresiones

MAFS.912.A-SSE.1: Interpretar la estructura de expresiones

MAFS.912.A-SSE.1.1: Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.

MAFS.912.A-SSE.1.1.a: Interpreta partes de una expresión, como términos, factores y coeficientes.

MAFS.912.A-SSE.1.1.b: Interprete expresiones complicadas viendo una o más de sus partes como una sola entidad.

MAFS.912.A-SSE.1.2: Usa la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla.

MAFS.912.A-SSE.2: Escribe expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

MAFS.912.A-SSE.2.3: Elija y produzca una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar las propiedades de la cantidad representada por la expresión.

MAFS.912.A-SSE.2.3.a: Factoriza una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define.

MAFS.912.A-SSE.2.3.c: Usa las propiedades de los exponentes para transformar expresiones para funciones exponenciales.

MAFS.912.F-BF: Funciones de construcción

MAFS.912.F-BF.1: Construya una función que modele una relación entre dos cantidades

MAFS.912.F-BF.1.1: Escriba una función que describa una relación entre dos cantidades.

MAFS.912.F-BF.1.1.a: Determina una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto.

MAFS.912.F-BF.1.2: Escribe secuencias aritméticas y geométricas de forma recursiva y con una fórmula explícita, úsalas para modelar situaciones y traduce entre las dos formas.

MAFS.912.F-BF.2: Cree nuevas funciones a partir de funciones existentes

MAFS.912.F-BF.2.3: Identificar el efecto en la gráfica de reemplazar f (x) por f (x) + k, kf (x), f (kx) yf (x + k) para valores específicos. de k (tanto positivo como negativo) halle el valor de k dados los gráficos. Experimente con casos e ilustre una explicación de los efectos en el gráfico usando tecnología.

MAFS.912.F-BF.2.4: Encuentra funciones inversas.

MAFS.912.F-BF.2.4.b: Verifique por composición que una función sea la inversa de otra.

MAFS.912.F-BF.2.4.c: Leer valores de una función inversa de un gráfico o una tabla, dado que la función tiene una inversa.

MAFS.912.F-BF.2.5: Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y usar esta relación para resolver problemas que involucran logaritmos y exponentes.

MAFS.912.F-IF: Interpretación de funciones

MAFS.912.F-IF.1: Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función

MAFS.912.F-IF.1.1: Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f (x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f (x).

MAFS.912.F-IF.1.2: Use la notación de funciones, evalúe las funciones para entradas en sus dominios e interprete declaraciones que usan la notación de funciones en términos de un contexto.

MAFS.912.F-IF.2: Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

MAFS.912.F-IF.2.4: Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interprete las características clave de los gráficos y tablas en términos de las cantidades y bosqueje los gráficos que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación.

MAFS.912.F-IF.2.5: Relacionar el dominio de una función con su gráfico y, en su caso, con la relación cuantitativa que describe.

MAFS.912.F-IF.2.6: Calcula e interpreta la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estima la tasa de cambio a partir de una gráfica.

MAFS.912.F-IF.3: Analizar funciones usando diferentes representaciones

MAFS.912.F-IF.3.7: Funciones gráficas expresadas simbólicamente y muestran características clave del gráfico, a mano en casos simples y usando tecnología para casos más complicados.

MAFS.912.F-IF.3.7.a: Grafica funciones lineales y cuadráticas y muestra intersecciones, máximos y mínimos.

MAFS.912.F-IF.3.7.b: Representar gráficamente la raíz cuadrada, la raíz cúbica y las funciones definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto.

MAFS.912.F-IF.3.7.c: Grafica funciones polinomiales, identifica ceros cuando se dispone de factorizaciones adecuadas y muestra el comportamiento final.

MAFS.912.F-IF.3.7.d: Grafica funciones racionales, identifica ceros y asíntotas cuando se dispone de factorizaciones adecuadas y muestra el comportamiento final.

MAFS.912.F-IF.3.7.e: Grafica funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando intercepciones y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando período, línea media y amplitud, y usando desplazamiento de fase.

MAFS.912.F-IF.3.8: Escribe una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función.

MAFS.912.F-IF.3.8.a: Use el proceso de factorizar y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos y simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto.

MAFS.912.F-IF.3.8.b: Usa las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones para funciones exponenciales.

MAFS.912.F-LE: Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales

MAFS.912.F-LE.1: Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

MAFS.912.F-LE.1.1: Distinguir entre situaciones que pueden modelarse con funciones lineales y con funciones exponenciales.

MAFS.912.F-LE.1.1.a: Demuestre que las funciones lineales crecen por diferencias iguales en intervalos iguales y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales en intervalos iguales.

MAFS.912.F-LE.1.1.b: Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una tasa constante por intervalo unitario en relación con otra.

MAFS.912.F-LE.1.1.c: Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decae en una tasa porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra.

MAFS.912.F-LE.1.2: Construya funciones lineales y exponenciales, incluidas secuencias aritméticas y geométricas, dado un gráfico, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluya la lectura de estos de una tabla).

MAFS.912.F-LE.1.4: Para modelos exponenciales, exprese como un logaritmo la solución de ab elevado a ct potencia = d donde a, cyd son números y la base b es 2, 10, oe evalúe la logaritmo usando tecnología.

MAFS.912.F-LE.2: Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan

MAFS.912.F-LE.2.5: Interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en términos de un contexto.

MAFS.912.F-TF: Funciones trigonométricas

MAFS.912.F-TF.2: Modelar fenómenos periódicos con funciones trigonométricas

MAFS.912.F-TF.2.5: Elija funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas.

MAFS.912.F-TF.3: Demostrar y aplicar identidades trigonométricas

MAFS.912.F-TF.3.9: Demuestre las fórmulas de suma y resta, medio ángulo y doble ángulo para seno, coseno y tangente y use estas fórmulas para resolver problemas.

MAFS.912.G-C.1: Comprender y aplicar teoremas sobre círculos

MAFS.912.G-C.1.2: Identificar y describir relaciones entre ángulos, radios y cuerdas inscritos.

MAFS.912.G-C.2: Encontrar longitudes de arco y áreas de sectores de círculos

MAFS.912.GC.2.5: Derivar usando similitud el hecho de que la longitud del arco interceptado por un ángulo es proporcional al radio, y definir la medida en radianes del ángulo como la constante de proporcionalidad derivar la fórmula para el área de un sector.

MAFS.912.G-CO.1: Experimentar con transformaciones en el plano

MAFS.912.G-CO.1.1: Conocer definiciones precisas de ángulo, círculo, línea perpendicular, línea paralela y segmento de línea, basándose en las nociones indefinidas de punto, línea, distancia a lo largo de una línea y distancia alrededor de un arco circular.

MAFS.912.G-CO.1.2: Representar transformaciones en el plano usando, por ejemplo, transparencias y software de geometría describe transformaciones como funciones que toman puntos en el plano como entradas y dan otros puntos como salidas. Compare las transformaciones que conservan la distancia y el ángulo con las que no (p. Ej., Traslación versus estiramiento horizontal).

MAFS.912.G-CO.1.4: Desarrollar definiciones de rotaciones, reflexiones y traslaciones en términos de ángulos, círculos, líneas perpendiculares, líneas paralelas y segmentos de línea.

MAFS.912.G-CO.1.5: Dada una figura geométrica y una rotación, reflexión o traslación, dibuje la figura transformada usando, por ejemplo, papel cuadriculado, papel de calco o software de geometría. Especifique una secuencia de transformaciones que llevarán una figura determinada a otra.

MAFS.912.G-CO.2: Comprender la congruencia en términos de movimientos rígidos

MAFS.912.G-CO.2.6: Use descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y para predecir el efecto de un movimiento rígido dado en una figura dada, dadas dos figuras, use la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para decidir si son congruentes.

MAFS.912.G-CO.2.8: Explica cómo los criterios para la congruencia de triángulos (ASA, SAS, SSS y Hypotenuse-Leg) se derivan de la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos.

MAFS.912.G-CO.3: Demuestre los teoremas geométricos

MAFS.912.G-CO.3.9: Demostrar teoremas sobre líneas y ángulos usa teoremas sobre líneas y ángulos para resolver problemas.

MAFS.912.G-CO.3.10: Demostrar teoremas sobre triángulos usa teoremas sobre triángulos para resolver problemas.

MAFS.912.G-CO.3.11: Demostrar teoremas sobre paralelogramos usa teoremas sobre paralelogramos para resolver problemas.

MAFS.912.G-CO.4: Realizar construcciones geométricas

MAFS.912.G-CO.4.12: Realizar construcciones geométricas formales con una variedad de herramientas y métodos (compás y regla, cuerda, dispositivos reflectantes, plegado de papel, software geométrico dinámico, etc.).

MAFS.912.G-GPE: Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

MAFS.912.G-GPE.1: Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación para una sección cónica

MAFS.912.G-GPE.1.1: Derive la ecuación de un círculo de centro y radio dados usando el Teorema de Pitágoras para completar el cuadrado para encontrar el centro y radio de un círculo dado por una ecuación.

MAFS.912.G-GPE.1.2: Derivar la ecuación de una parábola dados un foco y una directriz.

MAFS.912.G-GPE.1.3: Derivar las ecuaciones de elipses e hipérbolas dados los focos y directrices.

MAFS.912.G-GPE.2: Usar coordenadas para demostrar algebraicamente teoremas geométricos simples

MAFS.912.G-GPE.2.7: Usa coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, por ejemplo, usando la fórmula de la distancia.

MAFS.912.G-GMD: Medida y dimensión geométricas

MAFS.912.G-GMD.1: Explica las fórmulas de volumen y úsalas para resolver problemas

MAFS.912.G-GMD.1.1: Dé un argumento informal para las fórmulas de la circunferencia de un círculo, el área de un círculo, el volumen de un cilindro, la pirámide y el cono.

MAFS.912.G-GMD.1.3: Use fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas.

MAFS.912.G-SRT: similitud, triángulos rectángulos y trigonometría

MAFS.912.G-SRT.1: Comprender la similitud en términos de transformaciones de similitud

MAFS.912.G-SRT.1.1: Verificar experimentalmente las propiedades de las dilataciones dadas por un centro y un factor de escala:

MAFS.912.G-SRT.1.1.b: La dilatación de un segmento de línea es más larga o más corta en la relación dada por el factor de escala.

MAFS.912. la proporcionalidad de todos los pares de lados correspondientes.

MAFS.912.G-SRT.2: Demuestre teoremas que involucran similitud

MAFS.912.G-SRT.2.4: Demuestre teoremas sobre triángulos.

MAFS.912.G-SRT.2.5: Usar criterios de congruencia y similitud para triángulos para resolver problemas y probar relaciones en figuras geométricas.

MAFS.912.G-SRT.3: Definir razones trigonométricas y resolver problemas que involucran triángulos rectángulos

MAFS.912.G-SRT.3.6: Comprender que por similitud, las razones de los lados en los triángulos rectángulos son propiedades de los ángulos en el triángulo, lo que lleva a definiciones de razones trigonométricas para ángulos agudos.

MAFS.912.G-SRT.3.8: Usa razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados.

MAFS.912.N-CN: El sistema de números complejos

MAFS.912.N-CN.1: Realiza operaciones aritméticas con números complejos.

MAFS.912.N-CN.1.1: Sepa que hay un número complejo i tal que i² = -1, y todo número complejo tiene la forma a + bi con a y b reales.

MAFS.912.N-CN.1.2: Use la relación i² = -1 y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para sumar, restar y multiplicar números complejos.

MAFS.912.N-CN.1.3: Encuentre el conjugado de un número complejo use conjugados para encontrar módulos y cocientes de números complejos.

MAFS.912.N-CN.2: Representa números complejos y sus operaciones en el plano complejo.

MAFS.912.N-CN.2.4: Representa números complejos en el plano complejo en forma rectangular y polar (incluidos números reales e imaginarios) y explica por qué las formas rectangular y polar de un número complejo dado representan el mismo número.

MAFS.912.N-CN.3: Utilice números complejos en identidades y ecuaciones polinomiales.

MAFS.912.N-CN.3.7: Resuelve ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas.

MAFS.912.N-RN: El sistema de números reales

MAFS.912.N-RN.1: Extiende las propiedades de los exponentes a exponentes racionales.

MAFS.912.N-RN.1.1: Explica cómo la definición del significado de exponentes racionales se deriva de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, permitiendo una notación para radicales en términos de exponentes racionales.

MAFS.912.N-VM: Cantidades vectoriales y matriciales

MAFS.912.N-VM.1: Representar y modelar con cantidades vectoriales.

MAFS.912.N-VM.1.1: Reconocer que las cantidades vectoriales tienen magnitud y dirección. Represente cantidades vectoriales por segmentos de línea dirigidos y use símbolos apropiados para vectores y sus magnitudes (por ejemplo, v, | v |, || v ||, v).

MAFS.912.N-VM.1.2: Encuentre los componentes de un vector restando las coordenadas de un punto inicial de las coordenadas de un punto terminal.

MAFS.912.N-VM.1.3: Resuelve problemas que involucran velocidad y otras cantidades que pueden ser representadas por vectores.

MAFS.912.N-VM.2: Realiza operaciones sobre vectores.

MAFS.912.N-VM.2.4: Suma y resta vectores.

MAFS.912.N-VM.2.4.a: Agregue vectores de extremo a extremo, por componentes y por la regla del paralelogramo. Comprenda que la magnitud de la suma de dos vectores normalmente no es la suma de las magnitudes.

MAFS.912.N-VM.2.4.b: Dados dos vectores en forma de magnitud y dirección, determine la magnitud y dirección de su suma.

MAFS.912.N-VM.2.5: Multiplica un vector por un escalar.

MAFS.912.N-VM.2.5.a: Representar la multiplicación escalar gráficamente escalando vectores y posiblemente invirtiendo su dirección realice una multiplicación escalar por componentes, por ejemplo, como c (v subíndice x, v subíndice y) = (cv subíndice x, cv subíndice y).

MAFS.912.S-CP: Probabilidad condicional y las reglas de probabilidad

MAFS.912.S-CP.1: Comprender la independencia y la probabilidad condicional y utilizarlas para interpretar datos

MAFS.912.S-CP.1.1: Describe eventos como subconjuntos de un espacio muestral (el conjunto de resultados) usando características (o categorías) de los resultados, o como uniones, intersecciones o complementos de otros eventos ('o' 'y no').

MAFS.912.S-CP.1.2: Comprenda que dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que A y B ocurran juntos es el producto de sus probabilidades, y use esta caracterización para determinar si son independientes.

MAFS.912.S-CP.1.3: Comprender la probabilidad condicional de A dado B como P (A y B) / P (B), e interpretar la independencia de A y B como si dijera que la probabilidad condicional de A dado B es la igual que la probabilidad de A, y la probabilidad condicional de B dada A es la misma que la probabilidad de B.

MAFS.912.S-CP.2: Usar las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en un modelo de probabilidad uniforme

MAFS.912.S-CP.2.9: Usa permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de eventos compuestos y resolver problemas.

MAFS.912.S-ID: Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

MAFS.912.S-ID.1: Resumir, representar e interpretar datos en una sola variable de medición o recuento

MAFS.912.S-ID.1.1: Representa datos con gráficas en la recta numérica real (gráficas de puntos, histogramas y gráficas de caja).

MAFS.912.S-ID.1.2: Utilice estadísticas adecuadas a la forma de la distribución de datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartílico, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes.

MAFS.912.S-ID.1.3: Interprete las diferencias de forma, centro y dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos).

MAFS.912.S-ID.2: Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas

MAFS.912.S-ID.2.6: Representa datos sobre dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describe cómo se relacionan las variables.

MAFS.912.S-ID.2.6.a: Ajustar una función a los datos usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos.

MAFS.912.S-ID.2.6.b: Evaluar informalmente el ajuste de una función trazando y analizando los residuos.

MAFS.912.S-ID.2.6.c: Ajuste una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiera una asociación lineal.

MAFS.912.S-ID.3: Interpretar modelos lineales

MAFS.912.S-ID.3.7: Interprete la pendiente (tasa de cambio) y la intersección (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.

MAFS.912.S-ID.3.8: Calcular (usando tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.

MAFS.912.S-IC: Hacer inferencias y justificar conclusiones

MAFS.912.S-IC.2: Hacer inferencias y justificar conclusiones de encuestas por muestreo, experimentos y estudios observacionales.

MAFS.912.S-IC.2.4: Utilice datos de una encuesta por muestreo para estimar la media o proporción de una población y desarrolle un margen de error mediante el uso de modelos de simulación para muestreo aleatorio.

MAFS.912.S-IC.2.5: Use datos de un experimento aleatorio para comparar dos tratamientos use simulaciones para decidir si las diferencias entre los parámetros son significativas.

MAFS.912.S-MD: Uso de la probabilidad para tomar decisiones

MAFS.912.S-MD.1: Calcular valores esperados y usarlos para resolver problemas

MAFS.912.S-MD.1.2: Calcular el valor esperado de una variable aleatoria, interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad.

MAFS.912.S-MD.1.3: Desarrolle una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el que las probabilidades teóricas se pueden calcular para encontrar el valor esperado.

MAFS.912.S-MD.1.4: Desarrolle una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el que las probabilidades se asignan empíricamente para encontrar el valor esperado.

MAFS.912.S-MD.2: Usar probabilidad para evaluar los resultados de las decisiones

MAFS.912.S-MD.2.5: Sopese los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y encontrando los valores esperados.

MAFS.912.S-MD.2.5.a: Encuentre la recompensa esperada para un juego de azar.

MAFS.912.S-MD.2.5.b: Evaluar y comparar estrategias sobre la base de valores esperados.


Contenido

La dualidad en matemáticas no es un teorema, sino un "principio". [5]

La siguiente lista de ejemplos muestra las características comunes de muchas dualidades, pero también indica que el significado preciso de dualidad puede variar de un caso a otro.

Complemento de un subconjunto Editar

Una dualidad simple, quizás la más simple, surge de considerar subconjuntos de un conjunto fijo S. Para cualquier subconjunto A ⊆ S, el complemento A c [6] consiste en todos aquellos elementos en S que no están contenidos en A. De nuevo es un subconjunto de S. Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:

  • Aplicarlo dos veces devuelve el conjunto original, es decir, (A c) c = A. Se hace referencia a esto diciendo que la operación de tomar el complemento es una involución.
  • Una inclusión de los conjuntos A ⊆ B se convierte en una inclusión en el opuesto dirección B c ⊆ A c.
  • Dados dos subconjuntos A y B de S, A está contenido en B c si y solo si B está contenido en A c.

Esta dualidad aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de algún espacio topológico fijo X: un subconjunto U de X es cerrado si y solo si su complemento en X está abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales a los teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos está abierta, por lo que, de forma dual, cualquier intersección de conjuntos cerrados está cerrada. El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande que contiene, y el cierre del conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que lo contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto U es igual al cierre del complemento de U.

Edición de doble cono

Las otras dos propiedades se transfieren sin cambios:

Edición de espacio vectorial dual

Un ejemplo muy importante de dualidad surge en álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial V su espacio vectorial dual V *. Sus elementos son los funcionales lineales φ: V → k < displaystyle varphi: V to k>, donde k es el campo sobre el que se define V. Las tres propiedades del cono dual se trasladan a este tipo de dualidad al reemplazar subconjuntos de R 2 < displaystyle mathbb ^ <2>> por espacio vectorial e inclusiones de tales subconjuntos por mapas lineales. Es decir:

  • Al aplicar la operación de tomar dos veces el espacio vectorial dual, se obtiene otro espacio vectorial V **. Siempre hay un mapa V → V **. Para algunos V, a saber, precisamente los espacios vectoriales de dimensión finita, este mapa es un isomorfismo.
  • Un mapa lineal V → W da lugar a un mapa en la dirección opuesta (W * → V *).
  • Dados dos espacios vectoriales V y W, los mapas de V a W * corresponden a los mapas de W a V *.

Una característica particular de esta dualidad es que V y V * son isomorfos para ciertos objetos, a saber, espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es en cierto sentido una coincidencia afortunada, ya que dar tal isomorfismo requiere una cierta elección, por ejemplo la elección de una base de V Esto también es cierto en el caso de que V sea un espacio de Hilbert, vía el teorema de representación de Riesz.

Teoría de Galois Editar

En todas las dualidades discutidas antes, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es nuevamente un espacio vectorial. Muchas declaraciones de dualidad no son de este tipo. En cambio, tales dualidades revelan una estrecha relación entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de una dualidad más general es la teoría de Galois. Para una extensión K / F fija de Galois, se puede asociar el grupo Galois Gal (K / E) a cualquier campo intermedio E (es decir, F ⊆ E ⊆ K). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois G = Gal (K / F). A la inversa, para cualquier subgrupo de este tipo H ⊆ G existe el campo fijo K H que consta de elementos fijados por los elementos en H.

Comparado con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características:

  • Una extensión F ⊆ F ′ de campos intermedios da lugar a una inclusión de grupos de Galois en la dirección opuesta: Gal (K / F ′) ⊆ Gal (K / F).
  • La asociación de Gal (K / E) a E y K H a H son inversas entre sí. Este es el contenido del teorema fundamental de la teoría de Galois.

Dado un poset P = (X, ≤) (abreviatura de conjunto parcialmente ordenado, es decir, un conjunto que tiene una noción de ordenamiento pero en el que dos elementos no pueden colocarse necesariamente en orden entre sí), el poset dual P d = ( X, ≥) comprende el mismo conjunto de bases pero la relación inversa. Ejemplos familiares de órdenes parciales duales incluyen

  • las relaciones de subconjunto y superconjunto ⊂ y ⊃ en cualquier colección de conjuntos, como los subconjuntos de un conjunto fijo S. Esto da lugar al primer ejemplo de dualidad mencionado anteriormente.
  • la divide y múltiples de relaciones en los enteros.
  • la descendiente de y antepasado de relaciones en el conjunto de los humanos.

A transformación de dualidad es un antiautomorfismo involutivo f de un conjunto parcialmente ordenado S, es decir, una involución de orden inverso f: S → S. [8] [9] En varios casos importantes, estas propiedades simples determinan la transformación de forma única hasta algunas simetrías simples. Por ejemplo, si f 1 , f 2 son dos transformadas de dualidad, entonces su composición es un automorfismo de orden de S, por lo tanto, cualesquiera dos transformadas de dualidad difieren sólo por un automorfismo de orden. Por ejemplo, todos los automorfismos de orden de un conjunto de potencias S = 2 R son inducidos por permutaciones de R.

Un concepto definido para un orden parcial P corresponderá a un concepto dual en el poset dual P d. Por ejemplo, un elemento mínimo de P será un elemento máximo de P d: la mínima y la máxima son conceptos duales en la teoría del orden. Otros pares de conceptos duales son límites superior e inferior, conjuntos inferiores y conjuntos superiores e ideales y filtros.

En topología, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados son conceptos duales: el complemento de un conjunto abierto es cerrado y viceversa. En la teoría matroide, la familia de conjuntos complementarios a los conjuntos independientes de una matroide determinada forman otra matroide, llamada matroide dual.

Hay muchas dualidades distintas pero interrelacionadas en las que los objetos geométricos o topológicos se corresponden con otros objetos del mismo tipo, pero con una inversión de las dimensiones de las características de los objetos. Un ejemplo clásico de esto es la dualidad de los sólidos platónicos, en la que el cubo y el octaedro forman un par dual, el dodecaedro y el icosaedro forman un par dual, y el tetraedro es auto-dual. El poliedro dual de cualquiera de estos poliedros puede formarse como el casco convexo de los puntos centrales de cada cara del poliedro primario, por lo que los vértices del dual se corresponden uno por uno con las caras del primario. De manera similar, cada borde del dual corresponde a un borde del primario, y cada cara del dual corresponde a un vértice del primario. Estas correspondencias conservan la incidencia: si dos partes del poliedro primario se tocan, también lo hacen las dos partes correspondientes del poliedro dual. De manera más general, usando el concepto de reciprocidad polar, cualquier poliedro convexo, o más generalmente cualquier politopo convexo, corresponde a un poliedro dual o politopo dual, con una característica i-dimensional de un politopo n-dimensional correspondiente a un (n - i - 1) Característica -dimensional del politopo dual. La naturaleza de preservación de la incidencia de la dualidad se refleja en el hecho de que las redes faciales de los poliedros o politopos primarios y duales son en sí mismos duales de la teoría del orden. Duality of polytopes and order-theoretic duality are both involutions: the dual polytope of the dual polytope of any polytope is the original polytope, and reversing all order-relations twice returns to the original order. Choosing a different center of polarity leads to geometrically different dual polytopes, but all have the same combinatorial structure.

From any three-dimensional polyhedron, one can form a planar graph, the graph of its vertices and edges. The dual polyhedron has a dual graph, a graph with one vertex for each face of the polyhedron and with one edge for every two adjacent faces. The same concept of planar graph duality may be generalized to graphs that are drawn in the plane but that do not come from a three-dimensional polyhedron, or more generally to graph embeddings on surfaces of higher genus: one may draw a dual graph by placing one vertex within each region bounded by a cycle of edges in the embedding, and drawing an edge connecting any two regions that share a boundary edge. An important example of this type comes from computational geometry: the duality for any finite set S of points in the plane between the Delaunay triangulation of S and the Voronoi diagram of S . As with dual polyhedra and dual polytopes, the duality of graphs on surfaces is a dimension-reversing involution: each vertex in the primal embedded graph corresponds to a region of the dual embedding, each edge in the primal is crossed by an edge in the dual, and each region of the primal corresponds to a vertex of the dual. The dual graph depends on how the primal graph is embedded: different planar embeddings of a single graph may lead to different dual graphs. Matroid duality is an algebraic extension of planar graph duality, in the sense that the dual matroid of the graphic matroid of a planar graph is isomorphic to the graphic matroid of the dual graph.

A kind of geometric duality also occurs in optimization theory, but not one that reverses dimensions. A linear program may be specified by a system of real variables (the coordinates for a point in Euclidean space R n ^> ), a system of linear constraints (specifying that the point lie in a halfspace the intersection of these halfspaces is a convex polytope, the feasible region of the program), and a linear function (what to optimize). Every linear program has a dual problem with the same optimal solution, but the variables in the dual problem correspond to constraints in the primal problem and vice versa.

In logic, functions or relations A and B are considered dual if A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , where ¬ is logical negation. The basic duality of this type is the duality of the ∃ and ∀ quantifiers in classical logic. These are dual because ∃ x .¬ P ( x ) and ¬∀ x . P ( x ) are equivalent for all predicates P in classical logic: if there exists an x for which P fails to hold, then it is false that P holds for all x (but the converse does not hold constructively). From this fundamental logical duality follow several others:

  • A formula is said to be satisfiable in a certain model if there are assignments to its free variables that render it true it is valid Si every assignment to its free variables makes it true. Satisfiability and validity are dual because the invalid formulas are precisely those whose negations are satisfiable, and the unsatisfiable formulas are those whose negations are valid. This can be viewed as a special case of the previous item, with the quantifiers ranging over interpretations.
  • In classical logic, the ∧ and ∨ operators are dual in this sense, because (¬ x ∧ ¬ y ) and ¬( x ∨ y ) are equivalent. This means that for every theorem of classical logic there is an equivalent dual theorem. De Morgan's laws are examples. More generally, ∧ (¬ x I ) = ¬ ∨ x I . The left side is true if and only if ∀ i .¬ x I , and the right side if and only if ¬∃I.XI.
  • In modal logic, □ p means that the proposition p is "necessarily" true, and ◊ p that p is "possibly" true. Most interpretations of modal logic assign dual meanings to these two operators. For example in Kripke semantics, " p is possibly true" means "there exists some world W such that p is true in W ", while " p is necessarily true" means "for all worlds W , p is true in W ". The duality of □ and ◊ then follows from the analogous duality of ∀ and ∃ . Other dual modal operators behave similarly. For example, temporal logic has operators denoting "will be true at some time in the future" and "will be true at all times in the future" which are similarly dual.

Other analogous dualities follow from these:

  • Set-theoretic union and intersection are dual under the set complement operator ⋅ C . That is, A C ∩ B C = ( A ∪ B ) C , and more generally, ∩ A C
    α = ( ∪ A α ) C . This follows from the duality of ∀ and ∃ : an element x is a member of ∩ A C
    α if and only if ∀ α .¬ x ∈ A α , and is a member of ( ∪ A α ) C if and only if ¬∃ α . x ∈ A α .

A group of dualities can be described by endowing, for any mathematical object X , the set of morphisms Hom ( X , D ) into some fixed object D , with a structure similar to that of X . This is sometimes called internal Hom. In general, this yields a true duality only for specific choices of D , in which case X * = Hom ( X , D ) is referred to as the dual of X . There is always a map from X to the bidual, that is to say, the dual of the dual,

Dual vector spaces revisited Edit

The construction of the dual vector space

Isomorphisms of V y V ∗ and inner product spaces Edit

A vector space V is isomorphic to V ∗ precisely if V is finite-dimensional. In this case, such an isomorphism is equivalent to a non-degenerate bilinear form

Duality in projective geometry Edit

In some projective planes, it is possible to find geometric transformations that map each point of the projective plane to a line, and each line of the projective plane to a point, in an incidence-preserving way. [10] For such planes there arises a general principle of duality in projective planes: given any theorem in such a plane projective geometry, exchanging the terms "point" and "line" everywhere results in a new, equally valid theorem. [11] A simple example is that the statement "two points determine a unique line, the line passing through these points" has the dual statement that "two lines determine a unique point, the intersection point of these two lines". For further examples, see Dual theorems.

The (positive definite) bilinear form

Topological vector spaces and Hilbert spaces Edit

In the realm of topological vector spaces, a similar construction exists, replacing the dual by the topological dual vector space. There are several notions of topological dual space, and each of them gives rise to a certain concept of duality. A topological vector space X that is canonically isomorphic to its bidual X ″ is called a reflexive space:

    As in the finite-dimensional case, on each Hilbert space H its inner product ⟨⋅, ⋅⟩ defines a map


Linear equations in primes

Consider a system $Psi$ of nonconstant affine-linear forms $psi_1,dots,psi_t: mathbb^d o mathbb$, no two of which are linearly dependent. Let $N$ be a large integer, and let $K subseteq [-N,N]^d$ be convex. A generalisation of a famous and difficult open conjecture of Hardy and Littlewood predicts an asymptotic, as $N o infty$, for the number of integer points $ n in mathbb^d cap K$ for which the integers $psi_1( n),dots,psi_t( n)$ are simultaneously prime. This implies many other well-known conjectures, such as the twin prime conjecture and the (weak) Goldbach conjecture. It also allows one to count the number of solutions in a convex range to any simultaneous linear system of equations, in which all unknowns are required to be prime.

In this paper we (conditionally) verify this asymptotic under the assumption that no two of the affine-linear forms $psi_1,dots,psi_t$ are affinely related this excludes the important “binary” cases such as the twin prime or Goldbach conjectures, but does allow one to count “nondegenerate” configurations such as arithmetic progressions. Our result assumes two families of conjectures, which we term the inverse Gowers-norm conjecture ($< m GI>(s)$) and the Möbius and nilsequences conjecture ($operatorname(s)$), where $s in <1,2,dots>$ is the complexity of the system and measures the extent to which the forms $psi_i$ depend on each other. The case $s=0$ is somewhat degenerate, and follows from the prime number theorem in APs.

Roughly speaking, the inverse Gowers-norm conjecture $operatorname(s)$ asserts the Gowers $U^$-norm of a function $f : [N] ightarrow [-1,1]$ is large if and only if $f$ correlates with an $s$-step nilsequence, while the Möbius and nilsequences conjecture $< m MN>(s)$ asserts that the Möbius function $mu$ is strongly asymptotically orthogonal to $s$-step nilsequences of a fixed complexity. These conjectures have long been known to be true for $s=1$ (essentially by work of Hardy-Littlewood and Vinogradov), and were established for $s=2$ in two papers of the authors. Thus our results in the case of complexity $s leq 2$ are unconditional.

In particular we can obtain the expected asymptotics for the number of $4$-term progressions $p_1 < p_2 < p_3 < p_4 leq N$ of primes, and more generally for any (nondegenerate) problem involving two linear equations in four prime unknowns.

[baker-harman] R. C. Baker and G. Harman, "Exponential sums formed with the Möbius function," J. London Math. Soc., vol. 43, iss. 2, pp. 193-198, 1991.

Horizontal and Vertical Intercepts

The points where a line crosses the vertical and horizontal axes are known as the vertical and horizontal intercepts. (These points are often referred to as the x-intercept and the y-intercept.) Given a linear function f(x) = mx + b,

  1. La vertical intercept (y-intercept) is found by evaluating the function when the input variable, X, is 0 and is always the same as the constant B. It can be thought of as the original value of the function.
  2. La horizontal intercept (x-intercept) is the value of the variable X when the function value is 0. It is found by solving the equation 0= mx + b.

Interactive Example

Now explore how the values of the y-intercept, b, affect the graph of the linear function y = mx + b.

Algebraic Example

Find the vertical and horizontal intercept of the linear function .

Since f(0) = -7.2(0) + 250 = 250, the vertical intercept is 250. This means that the graph of the linear function crosses the horizontal axis at the point (0, 250). Also notice that this is the value of B in the linear function f(x) = mx + b.

To find the horizontal intercept we can replace f(x) with 0 and solve the linear equation The solution is given below.

The horizontal intercept is 34.7. This is the point (34.7, 0) on the graph of the linear function. A graph of the linear function is shown in Figure 2.


Common Core Learning Standards

CCLS State Standard
8.F.1 Understand that a function is a rule that assigns to each input exactly one output. The graph of a.
8.F.2 Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically.

To see a list of all New York State Common Core Learning Standards (CCLS), please visit our CCLS Search page


Order of Operations

One need only think of a toddler with two operations to do, eat lunch and wash face, to realise that the order in which the operations are done makes a tremendous difference to the result.

When evaluating numerical or algebraic expressions, we need to know the order in which addition, subtraction, multiplication, division and exponents are carried out. For all numerical or algebraic expressions, the order of evaluation is ( BEDMAS ):

B rackets and Parentheses First Priority
mi xponents Second Priority
D ivision Third Priority
METRO ultiplication Third Priority
A ddition Fourth Priority
S ubtracción Fourth Priority

If an expression involves two or more operations at the same level of priority, those operations are done from left to right.

Example 1A.

Click on the question marks to see the following examples done step-by-step. Keep the following order of operations in mind when studying these examples:

Example 1B.

When brackets occur within brackets, solve the expression inside the inner-most brackets first.

Example 1C.

When a quotient is written as a ratio the numerator and the denominator are evaluated first. That is, we treat the numerator and denominator as if they were inside brackets. Por ejemplo,

Example 1D.

To calculate -a 2 , first find the square of a, a 2. Then take its negative. Entonces -a 2 is the negative of a 2 .

To calculate ( -a) 2 , square -a.

For example, -3 2 = -9. But (-3) 2 = 9.

(While the above is the correct order of operations, note that Excel evaluates -a 2 as (-a) 2 .)

Exercise 1.

Now try some of these exercises:

If an expression involves functions such as

, e x , ln(X), sin(X) or cos(X) they have to be evaluated first, before they can be raised to a power, multiplied, divided, added or subtracted. They are given First Priority .

Example 2.

Exercise 2.

Now try some of these exercises. (The notation sqrt(a) is used for and exp(x) for e x .)


Mathematicians show the relationship between different factors in the form of equations. "Linear equations" mean the variable appears only once in each equation without being raised to a power. A "system" of linear equations means that all of the equations are true at the same time. So, the person solving the system of equations is looking for the values of each variable that will make all of the equations true at the same time. If no such values can satisfy all of the equations in the system, then the equations are called "inconsistent."

since it makes all three equations valid: [1]

In mathematics, the theory of linear systems is a branch of linear algebra, a subject which is fundamental to modern mathematics. Computer algorithms for finding the solutions are an important part of numerical linear algebra, and such methods play a prominent role in engineering, physics, chemistry, computer science, and economics. A system of non-linear equations can often be approximated by a linear system (see linearization), a helpful technique when making a mathematical model, computer model, or computer simulation of a relatively complex system. For complex systems, there are many equations and many variables, not just two or three. In many cases, the number of equations and variables in the system are the same. In some cases, there are more variables than equations, and the solution will be a range of different values rather than one exact solution.

The simplest kind of linear system involves two equations and two variables:

One method for solving such a system is as follows. First, solve the top equation for x in terms of y :

Now substitute this expression for X into the bottom equation:

This method generalizes to systems with additional variables.

Very often, all the coefficients are written in the form of a matrix A, which is called a coefficient matrix.

In much the same way, the variables can be written in the form of a vector:

This makes it possible to write

Mathematically, the vector defined above is a 1-by-n matrix. The system of equations can then be solved using the multiplication operation defined on matrices. A, x and b are all part of the same algebraic field.

There a three cases when looking for solutions to a system of linear equations:

  • There is no solution
  • There is exactly one solution
  • There are many solutions the exact number depends on the properties of the field. In many cases there will be an infinite number of solutions.

There are two categories of methods for solving a system of linear equations. Iterative methods use many steps to get a solution, direct methods only need one step:

  • An example for a direct method is to solve the system for one variable this variable can be eliminated and replaced by an expression that only uses other variables, or a number. Doing this for all variables of the equation will lead to a solution of the system if it exists.
  • Another method is to transform two equations so that one of the sides of the equations is the same in both cases it is then possible to write another equation, which replaces the two equations and reduces the number of equations by one.

Examples for iterative methods are:

There are examples such as geodesy where there many more measurements than unknowns. Such a system is almost always overdetermined and has no exact solution. Each measurement is usually inaccurate and includes some amount of error. Since the measurements are not exact, it is not possible to obtain an exact solution to the system of linear equations methods such as Least squares can be used to compute a solution that best fits the overdetermined system. This least squares solution can often be used as a stand-in for an exact solution.

Solving a system of linear equations has a complexity of at most O (n 3 ). At least n 2 operations are needed to solve a general system of n linear equations. The best algorithm known to date was developed by Don Coppersmith and Shmuel Winograd and dates from 1990. It has a complexity of n 2.376 [2] Unfortunately, it is of little practical use.

Using computers to solve systems of linear equations is used every day. For example, it is used in weather forecasting models. Hot dog factories use it to make small changes in the receipe as food ingredient prices change. College cafeterias use it to figure out how much food to cook based on past experience when the cafeteria gives students the choice between multiple entrees.


Download Free Genius Maker Educational Software - Including Equation Solver Software

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How to start with Equations solver - Equation calculator software ?

  • Open Genius Maker software and click "Equations Solver" button. It opens the Equations Solver window as shown above.
  • It automatically shows a mathematical equation in the equation box, which was typed last time or the default equation.
  • Click "Find Solutions" button.
  • The software starts finding solution. The progress of the solver is displayed below the solution box along with the message "Solver Running . ". As the search progresses, the software displays the found solutions in the solution box one below the other. Once search is completed, progress displays the message " Solver action completed". If you want to stop the solver action at any time during the running process, you may press the "STOP" button.
  • Now try typing another equation on the equation box. A few sample equations as well as syntax for constructing equations are given at the end of this page.

  • Let us type tan(x) = 0
  • Set range for finding solutions as From x = 0 To x = 30
  • Set precision as 6 decimal places
  • Click "Find Solutions" button.
  • The software starts finding solution and the final solution display reads like the following.

    x = 0
    x = 3.141593
    x = 6.283185
    x = 9.424778
    x = 12.566371
    x = 15.707963
    x = 18.849556
    x = 21.991149
    x = 25.132741
    x = 28.274334

Solving Options :

  • Range for finding solutions: Here you have to set a lower and upper value for ' x '. The solver will be searching for solutions only in the range prescribed. Broader the precision, longer will be the duration for solving.

  • Precision : Here you have to select the precision required in number of decimal places. You can set any precision ranging from 2 decimals to 10 decimals. Higher the precision, longer will be the duration for solving.

  • Search depth : You can set a desired search depth for finding solution by moving the slider to any position. The default position is normal depth, which is sufficient to solve most of the regular equations. If you set for a deeper search, the solver does an enhanced search, but it will consume more time to solve.

Sample Equations:

The following are a few examples of equations you can try solving.

Mathematical Expression Way of typing the equation
sin(x) = 0.6 sin(x) = 0.6
x + 3x = 2 x^2 + 3*x = 2
2x + 5x = sin(x) 2*x^2 + 5*x = sin(x)
(x - 4) / x = 2 (x^2 - 4) / x = 2
sin(π/3) . sin(x) = 0.1 sin(pi/3) * sin(x) = 0.1
2x + 5x - 31x - 2 = 0 2*x^3 + 5*x ^2 - 31*x - 2 = 0

Sample result of f(x) = Sin(x) or y = Sin(x)

Syntax for equations:

The following table gives the syntax to be followed for constructing the equations.