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2.6: Otros tipos de ecuaciones - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Resolver ecuaciones que involucran exponentes racionales.
  • Resuelve ecuaciones usando factorización.
  • Resuelve ecuaciones radicales.
  • Resuelve ecuaciones de valor absoluto.
  • Resuelve otros tipos de ecuaciones.

Hemos resuelto ecuaciones lineales, ecuaciones racionales y ecuaciones cuadráticas usando varios métodos. Sin embargo, hay muchos otros tipos de ecuaciones, e investigaremos algunos tipos más en esta sección. Veremos ecuaciones que involucran exponentes racionales, ecuaciones polinomiales, ecuaciones radicales, ecuaciones de valor absoluto, ecuaciones en forma cuadrática y algunas ecuaciones racionales que se pueden transformar en cuadráticas. Sin embargo, para resolver cualquier ecuación se utilizan las mismas reglas algebraicas básicas. Aprenderemos algunas técnicas nuevas que se aplican a ciertas ecuaciones, pero el álgebra nunca cambia.

Resolver ecuaciones que involucran exponentes racionales

Los exponentes racionales son exponentes que son fracciones, donde el numerador es una potencia y el denominador es una raíz. Por ejemplo, ({16} ^ { tfrac {1} {2}} ) es otra forma de escribir ( sqrt {16} ); (8 ^ { tfrac {1} {3}} ) es otra forma de escribir ( sqrt [3] {8} ). La capacidad de trabajar con exponentes racionales es una habilidad útil, ya que es muy aplicable en cálculo.

Podemos resolver ecuaciones en las que una variable se eleva a un exponente racional elevando ambos lados de la ecuación al recíproco del exponente. La razón por la que elevamos la ecuación al recíproco del exponente es porque queremos eliminar el exponente del término variable, y un número multiplicado por su recíproco es igual a (1 ). Por ejemplo,

[ dfrac {2} {3} left ( dfrac {3} {2} right) = 1 nonumber ]

[3 left ( dfrac {1} {3} right) = 1, nonumber ]

y así.

EXPONENTES RACIONALES

A exponente racional indica una potencia en el numerador y una raíz en el denominador. Hay varias formas de escribir una expresión, una variable o un número con un exponente racional:

[a ^ { tfrac {m} {n}} = { left (a ^ { tfrac {1} {n}} right)} ^ m = {a ^ m} ^ { tfrac {1} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} = {( sqrt [n] {a})} ^ m ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): evaluar un número elevado a un exponente racional

Evaluar (8 ^ { tfrac {2} {3}} )

Solución

Si primero sacamos la raíz o la potencia depende del número. Es fácil encontrar la raíz cúbica de (8 ), así que reescribe (8 ^ { tfrac {2} {3}} ) como ({ left (8 ^ { tfrac {1} {3 }} derecha)} ^ 2 ).

[ begin {align *} { left (8 ^ { tfrac {1} {3}} right)} ^ 2 & = {(2)} ^ 2 & = 4 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Evaluar ({64} ^ {- tfrac {1} {3}} )

Respuesta

( dfrac {1} {4} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resuelva la ecuación que incluye una variable elevada a un exponente racional

Resuelve la ecuación en la que una variable se eleva a un exponente racional: (x ^ { tfrac {5} {4}} = 32 ).

Solución

La forma de eliminar el exponente en (x ) es elevando ambos lados de la ecuación a una potencia que sea el recíproco de ( dfrac {5} {4} ), que es ( dfrac {4} {5} ).

[ begin {align *} x ^ { tfrac {5} {4}} & = 32 { left (x ^ { tfrac {5} {4}} right)} ^ { tfrac { 4} {5}} & = { left (32 right)} ^ { tfrac {4} {5}} x & = (2) ^ 4 & = 16 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Resuelve la ecuación (x ^ { tfrac {3} {2}} = 125 ).

Respuesta

(25)

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolver una ecuación que involucra exponentes racionales y factorización

Resuelve (3x ^ { tfrac {3} {4}} = x ^ { tfrac {1} {2}} ).

Solución

Esta ecuación involucra exponentes racionales así como también factorizar exponentes racionales. Demos este paso a paso. Primero, coloque los términos variables en un lado del signo igual y establezca la ecuación en cero.

[ begin {align *} 3x ^ { tfrac {3} {4}} - left (x ^ { tfrac {1} {2}} right) & = x ^ { tfrac {1} { 2}} - left (x ^ { tfrac {1} {2}} right) 3x ^ { tfrac {3} {4}} - x ^ { tfrac {1} {2}} & = 0 end {align *} ]

Ahora, parece que deberíamos factorizar el lado izquierdo, pero ¿qué factorizamos? Siempre podemos factorizar el término con el exponente más bajo. Reescribe (x ^ { tfrac {1} {2}} ) como (x ^ { tfrac {2} {4}} ). Luego, factoriza (x ^ { tfrac {2} {4}} ) de ambos términos de la izquierda.

[ begin {align *} 3x ^ { tfrac {3} {4}} - x ^ { tfrac {1} {2}} & = 0 x ^ { tfrac {2} {4}} left (3x ^ { tfrac {1} {4}} - 1 right) & = 0 end {align *} ]

¿De dónde vino (x ^ { tfrac {1} {4}} )? Recuerde, cuando multiplicamos dos números con la misma base, sumamos los exponentes. Por lo tanto, si multiplicamos (x ^ { tfrac {2} {4}} ) usando la propiedad distributiva, obtenemos la expresión que teníamos antes de la factorización, que es lo que debería suceder. Necesitamos un exponente tal que cuando se suma a ( dfrac {2} {4} ) sea igual a ( dfrac {3} {4} ). Por tanto, el exponente en (x ) entre paréntesis es ( dfrac {1} {4} ).

Sigamos. Ahora tenemos dos factores y podemos usar el teorema del factor cero.

[ begin {align *}
x ^ { tfrac {2} {4}} left (3x ^ { tfrac {1} {4}} - 1 right) & = 0
x ^ { tfrac {2} {4}} & = 0
x & = 0
3x ^ { tfrac {1} {4}} - 1 & = 0
3x ^ { tfrac {1} {4}} & = 1
x ^ { tfrac {1} {4}} & = dfrac {1} {3}, qquad text {Divide ambos lados entre 3.}
{ left (x ^ { tfrac {1} {4}} right)} ^ 4 & = { left ( dfrac {1} {3} right)} ^ 4, qquad text {Levanta ambos lados al recíproco de} dfrac {1} {4}
x & = dfrac {1} {81}
end {alinear *} ]

Las dos soluciones son (0 ) y ( dfrac {1} {81} ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resuelve: ({ left (x + 5 right)} ^ { tfrac {3} {2}} = 8 ).

Respuesta

(-1)

Resolver ecuaciones usando factorización

Hemos usado la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas, pero es una técnica que podemos usar con muchos tipos de ecuaciones polinomiales, que son ecuaciones que contienen una serie de términos que incluyen coeficientes numéricos y variables. Cuando nos enfrentamos a una ecuación que contiene polinomios de grado superior a (2 ), a menudo podemos resolverlos factorizando.

ECUACIONES POLINOMIALES

Un polinomio de grado (n ) es una expresión del tipo

[a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} + ⋅⋅⋅ + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 ]

donde (n ) es un entero positivo y (a_n,…, a_0 ) son números reales y (a_n ≠ 0 ).

Al establecer el polinomio igual a cero se obtiene una ecuación polinomial. El número total de soluciones (reales y complejas) de una ecuación polinomial es igual al exponente más alto (n ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolver un polinomio por factorización

Resuelve el polinomio factorizando: (5x ^ 4 = 80x ^ 2 ).

Solución

Primero, iguale la ecuación a cero. Luego, factoriza lo que es común a ambos términos, el MCD.

[ begin {align *} 5x ^ 4-80x ^ 2 & = 0 5x ^ 2 (x ^ 2-16) & = 0 end {align *} ]

Observe que tenemos la diferencia de cuadrados en el factor (x ^ 2−16 ), que continuaremos factorizando y obteniendo dos soluciones. El primer término, (5x ^ 2 ), genera, técnicamente, dos soluciones ya que el exponente es (2 ), pero son la misma solución.

[ begin {align *} 5x ^ 2 & = 0 x & = 0 x ^ 2-16 & = 0 (x + 4) (x-4) & = 0 x & = 4 x & = -4 end {align *} ]

Las soluciones son (0 ) (solución doble), (4 ) y (- 4 ).

Análisis

Podemos ver las soluciones en el gráfico de la Figura ( PageIndex {1} ). Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza el eje (x ) son las soluciones, las intersecciones en (x ). Observe en la gráfica que en la solución (0 ), la gráfica toca el eje (x ) - y rebota. No cruza el eje (x ). Esto es típico de las soluciones dobles.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Resuelva por factorización: (12x ^ 4 = 3x ^ 2 ).

Respuesta

(x = 0, x = 12, x = −12 )

Ejemplo ( PageIndex {5} ): resolver un polinomio agrupando

Resuelve un polinomio agrupando: (x ^ 3 + x ^ 2−9x − 9 = 0 ).

Solución

Este polinomio consta de (4 ) términos, que podemos resolver agrupando. Los procedimientos de agrupación requieren factorizar los dos primeros términos y luego factorizar los dos últimos términos. Si los factores entre paréntesis son idénticos, podemos continuar el proceso y resolver, a menos que se sugiera más factorización.

[ begin {align *} x ^ 3 + x ^ 2-9x-9 & = 0 x ^ 2 (x + 1) -9 (x + 1) & = 0 (x ^ 2-9) (x + 1) & = 0 end {align *} ]

El proceso de agrupamiento termina aquí, ya que podemos factorizar (x ^ 2−9 ) usando la fórmula de la diferencia de cuadrados.

[ begin {align *} (x ^ 2-9) (x + 1) & = 0 (x-3) (x + 3) (x + 1) & = 0 x & = 3 x & = -3 x & = -1 end {align *} ]

Las soluciones son (3 ), (- 3 ) y (- 1 ). Tenga en cuenta que el exponente más alto es (3 ) y obtuvimos (3 ) soluciones. Podemos ver las soluciones, las intersecciones con el eje x, en el gráfico de la Figura ( PageIndex {2} ).

Análisis

Observamos cómo resolver ecuaciones cuadráticas factorizando cuando el coeficiente principal es (1 ). Cuando el coeficiente principal no es (1 ), lo resolvimos agrupando. La agrupación requiere cuatro términos, que obtuvimos al dividir el término lineal de ecuaciones cuadráticas. También podemos utilizar la agrupación para algunos polinomios de grado superior a (2 ), como vimos aquí, ya que había cuatro términos.

Resolver ecuaciones radicales

Ecuaciones radicales son ecuaciones que contienen variables en el radicando (la expresión debajo de un símbolo radical), como

[ sqrt {3x + 18} = x nonumber ]

[ sqrt {x + 3} = x-3 nonumber ]

[ sqrt {x + 5} - sqrt {x-3} = 2 nonumber ]

Las ecuaciones radicales pueden tener uno o más términos radicales y se resuelven eliminando cada radical, uno a la vez. Debemos tener cuidado al resolver ecuaciones radicales, ya que no es raro encontrar soluciones extrañas, raíces que no son, de hecho, soluciones a la ecuación. Estas soluciones no se deben a un error en el método de resolución, sino que resultan del proceso de elevar ambos lados de una ecuación a una potencia. Sin embargo, verificar cada respuesta en la ecuación original confirmará las verdaderas soluciones.

ECUACIONES RADICALES

Una ecuación que contiene términos con una variable en el radicando se llama ecuación radical.

Cómo: Dada una ecuación radical, resuélvala

  1. Aislar la expresión radical en un lado del signo igual. Ponga todos los términos restantes en el otro lado.
  2. Si el radical es una raíz cuadrada, eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado. Si es una raíz cúbica, eleva ambos lados de la ecuación a la tercera potencia. En otras palabras, para un radical raíz (n ^ {th} ), eleve ambos lados a la potencia (n ^ {th} ). Hacerlo elimina el símbolo radical.
  3. Resuelve la ecuación restante.
  4. Si aún queda un término radical, repita los pasos 1-2.
  5. Confirma las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolver una ecuación con un radical

Resuelve ( sqrt {15−2x} = x ).

Solución

El radical ya está aislado en el lado izquierdo del lado igual, así que proceda a cuadrar ambos lados.

[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x { left ( sqrt {15-2x} right)} ^ 2 & = {(x)} ^ 2 15-2x & = x ^ 2 end {align *} ]

Vemos que la ecuación restante es cuadrática. Ponlo igual a cero y resuelve.

[ begin {align *} 0 & = x ^ 2 + 2x-15 0 & = (x + 5) (x-3) x & = -5 x & = 3 end {align *} ]

Las soluciones propuestas son (- 5 ) y (3 ). Revisemos cada solución en la ecuación original. Primero, marque (x = −5 ).

[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x sqrt {15-2 (-5)} & = - 5 sqrt {25} & = -5 5 & neq -5 end {align *} ]

Esta es una solución extraña. Si bien no se cometió ningún error al resolver la ecuación, encontramos una solución que no satisface la ecuación original.

Marca (x = 3 ).

[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x sqrt {15-2 (3)} & = 3 sqrt {9} & = 3 3 & = 3 end {alinear*}]

La solución es (3 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resuelve la ecuación radical: ( sqrt {x + 3} = 3x-1 )

Respuesta

(x = 1 ), solución extraña (x = - dfrac {2} {9} )

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolver una ecuación radical que contiene dos radicales

Resuelve ( sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} = 4 )

Solución

Como esta ecuación contiene dos radicales, aislamos un radical, lo eliminamos y luego aislamos el segundo radical.

[ sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} = 4 nonumber ]

[ begin {align *} sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} qquad text {Restar} sqrt {x-2} text {de ambos lados} { left ( sqrt {2x + 3} right)} ^ 2 & = { left (4- sqrt {x-2} right)} ^ 2 qquad text {Cuadrar ambos lados} end {align * } ]

Usa la fórmula del cuadrado perfecto para expandir el lado derecho: ({(a − b)} ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 ).

[ begin {align *} 2x + 3 & = {(4)} ^ 2-2 (4) sqrt {x-2} + {( sqrt {x-2})} ^ 2 2x + 3 & = 16-8 sqrt {x-2} + (x-2) 2x + 3 & = 14 + x-8 sqrt {x-2} qquad text {Combinar términos semejantes} x-11 & = -8 sqrt {x-2} qquad text {Aislar el segundo radical} {(x-11)} ^ 2 & = {(-8 sqrt {x-2})} ^ 2 qquad text {Cuadrar ambos lados} x ^ 2-22x + 121 & = 64 (x-2) end {align *} ]

Ahora que se han eliminado ambos radicales, iguale la cuadrática a cero y resuelva.

[ begin {align *} x ^ 2-22x + 121 & = 64x-128 x ^ 2-86x + 249 & = 0 (x-3) (x-83) & = 0 x & = 3 x & = 83 end {align *} ]

Las soluciones propuestas son (3 ) y (83 ). Verifica cada solución en la ecuación original.

[ begin {align *} sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} & = 4 sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} sqrt {2 (3) +3} & = 4- sqrt {(3) -2} sqrt {9} & = 4- sqrt {1} 3 & = 3 end {align *} ]

Una solución es (3 ).

Marca (x = 83 ).

[ begin {align *} sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} & = 4 sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} sqrt {2 (83) +3} & = 4- sqrt {(83) -2} sqrt {169} & = 4- sqrt {81} 13 & neq -5 end {align *} ]

La única solución es (3 ). Vemos que (x = 83 ) es una solución extraña.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resuelve la ecuación con dos radicales: ( sqrt {3x + 7} + sqrt {x + 2} = 1 )

Respuesta

(x = −2 ), solución extraña (x = −1 )

Resolver una ecuación de valor absoluto

A continuación, aprenderemos cómo resolver un ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como (| 2x − 6 | = 8 ), notamos que el valor absoluto será igual a (8 ) si la cantidad dentro de las barras de valor absoluto es (8 ) o ( −8 ). Esto lleva a dos ecuaciones diferentes que podemos resolver de forma independiente.

[ begin {align *} 2x-6 & = 8 2x & = 14 x & = 7 end {align *} ]

O

[ begin {align *} 2x-6 & = -8 2x & = -2 x & = -1 end {align *} ]

Es útil saber cómo resolver problemas que involucran funciones de valor absoluto. Por ejemplo, es posible que necesitemos identificar números o puntos en una línea que se encuentran a una distancia específica de un punto de referencia dado.

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de (x ) se escribe como (| x | ). Tiene las siguientes propiedades:

Si (x≥0 ), entonces (| x | = x ). Si (x <0 ), entonces (x = −x ).

Para números reales (A ) y (B ), una ecuación de la forma (| A | = B ), con (B≥0 ), tendrá soluciones cuando (A = B ) o (A = −B ). Si (B <0 ), la ecuación (| A | = B ) no tiene solución.

Un ecuación de valor absoluto en la forma (| ax + b | = c ) tiene las siguientes propiedades:

  • Si (c <0 ), (| ax + b | = c ) no tiene solución.
  • Si (c = 0 ), (| ax + b | = c ) tiene una solución.
  • Si (c> 0 ), (| ax + b | = c ) tiene dos soluciones.

Cómo

Dada una ecuación de valor absoluto, resuélvala.

  1. Aísle la expresión de valor absoluto en un lado del signo igual.
  2. Si (c> 0 ), escribe y resuelve dos ecuaciones: (ax + b = c ) y (ax + b = −c ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolver ecuaciones de valor absoluto

Resuelva las siguientes ecuaciones de valor absoluto:

  1. (| 6x + 4 | = 8 )
  2. (| 3x + 4 | = −9 )
  3. (| 3x − 5 | −4 = 6 )
  4. (| −5x + 10 | = 0 )

Solución

  1. (| 6x + 4 | = 8 )

Escribe dos ecuaciones y resuelve cada una:

[ begin {align *} 6x + 4 & = 8 6x & = 4 x & = dfrac {2} {3} end {align *} ]

O

[ begin {align *} 6x + 4 & = -8 6x & = -12 x & = -2 end {align *} ]

Las dos soluciones son ( dfrac {2} {3} ) y (- 2 ).

  1. (| 3x + 4 | = −9 )

No hay solución ya que un valor absoluto no puede ser negativo.

  1. (| 3x − 5 | −4 = 6 )

Aísle la expresión de valor absoluto y luego escriba dos ecuaciones.

[ begin {align *} | 3x-5 | -4 & = 6 | 3x-5 | & = 10 3x-5 & = 10 3x & = 15 x & = 5 end {align *} ]

O

[ begin {align *} 3x-5 & = -10 3x = -5 x = dfrac {5} {3} end {align *} ]

Hay dos soluciones: (5 ) y (- dfrac {5} {3} ).

  1. (| −5x + 10 | = 0 )

La ecuación se establece igual a cero, por lo que tenemos que escribir solo una ecuación.

[ begin {align *} -5x + 10 & = 0 -5x & = -10 x & = 2 end {align *} ]

Hay una solución: (2 ).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Resuelve la ecuación de valor absoluto: (| 1−4x | + 8 = 13 ).

Respuesta

(x = −1, x = dfrac {3} {2} )

Resolver otros tipos de ecuaciones

Hay muchos otros tipos de ecuaciones además de las que hemos discutido hasta ahora. Veremos más de ellos a lo largo del texto. Aquí, discutiremos ecuaciones que están en forma cuadrática y ecuaciones racionales que resultan en una cuadrática.

Resolver ecuaciones en forma cuadrática

Ecuaciones en forma cuadrática son ecuaciones con tres términos. El primer término tiene una potencia distinta de (2 ). El término medio tiene un exponente que es la mitad del exponente del término principal. El tercer término es una constante. Podemos resolver ecuaciones en esta forma como si fueran cuadráticas. Algunos ejemplos de estas ecuaciones incluyen (x ^ 4−5x ^ 2 + 4 = 0 ), (x ^ 6 + 7x ^ 3−8 = 0 ) y (x ^ { tfrac {2} {3}} + 4x ^ { tfrac {1} {3}} + 2 = 0 ). En cada uno, duplicar el exponente del término medio es igual al exponente del término principal. Podemos resolver estas ecuaciones sustituyendo una variable por el término medio.

FORMA CUADRÁTICA

Si el exponente del término medio es la mitad del exponente del término principal, tenemos una ecuación en forma cuadrática, que podemos resolver como si fuera un cuadrático. Sustituimos una variable por el término medio para resolver ecuaciones en forma cuadrática.

Cómo: Dada una ecuación en forma cuadrática, resuélvala

  1. Identifica el exponente del término principal y determina si es el doble del exponente del término medio.
  2. Si es así, sustituya una variable, como (u ), por la parte variable del término medio.
  3. Reescribe la ecuación para que adopte la forma estándar de una cuadrática.
  4. Resuelve usando uno de los métodos habituales para resolver una cuadrática.
  5. Reemplaza la variable de sustitución con el término original.
  6. Resuelve la ecuación restante.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Resolver una ecuación de cuarto grado en forma cuadrática

Resuelve esta ecuación de cuarto grado: (3x ^ 4−2x ^ 2−1 = 0 ).

Solución

Esta ecuación se ajusta al criterio principal, que la potencia en el término principal es el doble de la potencia en el término medio. A continuación, haremos una sustitución del término variable en el medio. Sea (u = x ^ 2 ). Reescribe la ecuación en (u ).

[3u ^ 2−2u − 1 = 0 nonumber ]

Ahora resuelve la cuadrática.

[ begin {align *} 3u ^ 2-2u-1 & = 0 (3u + 1) (u-1) & = 0 end {align *} ]

Resuelve cada factor y reemplaza el término original por (u ).

[ begin {align *} 3u + 1 & = 0 3u & = -1 u & = - dfrac {1} {3} x ^ 2 & = - dfrac {1} {3} x & = pm i sqrt { dfrac {1} {3}} u-1 & = 0 u & = 1 x ^ 2 & = 1 x & = pm 1 end {align *} ]

Las soluciones son (x = ± i sqrt { dfrac {1} {3}} ) y (x = ± 1 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Resuelva usando sustitución: (x ^ 4−8x ^ 2−9 = 0 ).

Respuesta

(x = −3,3, −i, i )

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Resolver una ecuación en forma cuadrática que contiene un binomio

Resuelve la ecuación en forma cuadrática: ({(x + 2)} ^ 2 + 11 (x + 2) −12 = 0 ).

Solución

Esta ecuación contiene un binomio en lugar de una sola variable. La tendencia es ampliar lo que se presenta. Sin embargo, reconocer que se ajusta a los criterios de estar en forma cuadrática marca la diferencia en el proceso de resolución. Primero, haga una sustitución, dejando (u = x + 2 ). Luego, reescribe la ecuación en (u ).

[ begin {align *} u ^ 2 + 11u-12 & = 0 (u + 12) (u-1) & = 0 end {align *} ]

Resuelve usando la propiedad del factor cero y luego reemplaza (u ) con la expresión original.

[ begin {align *} u + 12 & = 0 u & = -12 x + 2 & = -12 x & = -14 end {align *} ]

El segundo factor da como resultado

[ begin {align *} u-1 & = 0 u & = 1 x + 2 & = 1 x & = -1 end {align *} ]

Tenemos dos soluciones: (- 14 ) y (- 1 ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Resuelve: ({(x − 5)} ^ 2−4 (x − 5) −21 = 0 ).

Respuesta

(x = 2, x = 12 )

Resolver ecuaciones racionales que dan como resultado una cuadrática

Anteriormente, resolvimos ecuaciones racionales. A veces, resolver una ecuación racional da como resultado una ecuación cuadrática. Cuando esto sucede, continuamos con la solución simplificando la ecuación cuadrática mediante uno de los métodos que hemos visto. Puede resultar que no haya solución.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): resolver una ecuación racional que conduce a una cuadrática

Resuelve la siguiente ecuación racional: ( dfrac {-4x} {x-1} + dfrac {4} {x + 1} = dfrac {-8} {x ^ 2-1} )

Solución

Queremos que todos los denominadores en forma factorizada encuentren el LCD. Dos de los denominadores no se pueden factorizar más. Sin embargo, (x ^ 2−1 = (x + 1) (x − 1) ). Entonces, el LCD es ((x + 1) (x − 1) ). A continuación, multiplicamos toda la ecuación por el LCD.

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left ( dfrac {-4x} {x-1} + dfrac {4} {x + 1} right) & = left ( dfrac {-8} {x ^ 2-1} right) (x + 1) (x-1) -4x (x + 1) +4 (x-1) & = -8 - 4x ^ 2-4x + 4x-4 & = -8 -4x ^ 2 + 4 & = 0
-4 (x ^ 2-1) & = 0 -4 (x + 1) (x-1) & = 0 x & = -1 x & = 1 end {align *} ]

En este caso, cualquier solución produce un cero en el denominador de la ecuación original. Por tanto, no hay solución.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Resolver ( dfrac {3x + 2} {x-2} + dfrac {1} {x} = dfrac {-2} {x ^ 2-2x} )

Respuesta

(x = −1, x = 0 ) no es una solución.

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con diferentes tipos de ecuaciones.

  1. Ecuación racional sin solución
  2. Resolver ecuaciones con exponentes racionales usando potencias recíprocas
  3. Resolver ecuaciones radicales parte 1 de 2
  4. Resolver ecuaciones radicales parte 2 de 2

Conceptos clave

  • Los exponentes racionales se pueden reescribir de varias formas dependiendo de lo que sea más conveniente para el problema. Para resolver, ambos lados de la ecuación se elevan a una potencia que hará que el exponente de la variable sea igual a (1 ). Consulte Ejemplo, Ejemplo y Ejemplo.
  • La factorización se extiende a polinomios de orden superior cuando implica factorizar el MCD o factorizar por agrupación. Ver ejemplo y ejemplo.
  • Podemos resolver ecuaciones radicales aislando el radical y elevando ambos lados de la ecuación a una potencia que coincida con el índice. Ver ejemplo y ejemplo.
  • Para resolver ecuaciones de valor absoluto, necesitamos escribir dos ecuaciones, una para el valor positivo y otra para el valor negativo. Ver ejemplo.
  • Las ecuaciones en forma cuadrática son fáciles de detectar, ya que el exponente del primer término es el doble del exponente del segundo término y el tercer término es una constante. También podemos ver un binomio en lugar de la variable única. Usamos la sustitución para resolver. Ver ejemplo y ejemplo.
  • Resolver una ecuación racional también puede conducir a una ecuación cuadrática o una ecuación en forma cuadrática. Ver ejemplo.

Ecuación diferencial estocástica

A ecuación diferencial estocástica (SDE) es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es un proceso estocástico, lo que da como resultado una solución que también es un proceso estocástico. Las SDE se utilizan para modelar diversos fenómenos, como precios de acciones inestables o sistemas físicos sujetos a fluctuaciones térmicas. Normalmente, los SDE contienen una variable que representa el ruido blanco aleatorio calculado como la derivada del movimiento browniano o el proceso de Wiener. Sin embargo, son posibles otros tipos de comportamiento aleatorio, como los procesos de salto. Las ecuaciones diferenciales aleatorias se conjugan con las ecuaciones diferenciales estocásticas. [1]


2.6: Otros tipos de ecuaciones - Matemáticas

Una ecuación es una oración matemática que contiene un signo igual. Nos dice que dos expresiones significan lo mismo o representan el mismo número. Una ecuación puede contener variables y constantes. Usando ecuaciones, podemos expresar operaciones matemáticas en formas breves y fáciles de recordar y resolver problemas rápidamente.

A continuación se muestran varios ejemplos de ecuaciones. Puede pensar en las letras como contenedores o cajas que pueden contener diferentes números.

3z + 2 = 14 x - 9 = 20 p + 2p = 3

La habilidad más importante que se debe desarrollar en álgebra es la capacidad de traducir un problema verbal en la ecuación correcta, de modo que pueda resolver el problema fácilmente. Probemos algunos ejemplos:

Un número n por 3 es igual a 120.

Esta es una fácil. La palabra & quottimes & quot te dice que debes multiplicar la variable n por 3, y que el resultado es igual a 120. Así es como se escribe esta ecuación:

Aquí hay uno que es un poco más complicado.

Diez dólares eran dos tercios del dinero total gastado.

¿Qué estamos tratando de encontrar en esta declaración? La cantidad desconocida es el dinero total gastado. Llamemos a esto m. Sabemos que diez dólares es igual a dos tercios de m, por lo que podemos escribir la ecuación así:

Tim trabajó durante 7 horas el sábado y cortó 3 céspedes. ¿Cuánto tiempo, en promedio, pasó en cada césped?

Deje que la letra & quott & quot represente el tiempo promedio por césped, el valor desconocido. Entonces, 3t representaría el tiempo para cortar los tres céspedes, y sabemos que esto equivale a 7 horas. Podemos escribir la ecuación así:


Tipos de lecciones de sistemas: inconsistentes, dependientes, independientes

Las ecuaciones se pueden ver de forma algebraica o gráfica. Por lo general, el problema es encontrar una solución para xey que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente. Gráficamente, esto representa un punto donde las líneas se cruzan. Hay 3 posibles resultados para esto (que se muestran aquí en azul, verde y rojo):


Es posible que las dos líneas no se crucen en absoluto, como en

Esto significa que hay sin soluciones, y el sistema se llama inconsistente.

Si intentas resolver este sistema algebraicamente, terminarás con algo que no es cierto, como 0 = 10.

Siempre que terminas con algo que no es cierto, el sistema es inconsistente.


Las dos ecuaciones pueden ser en realidad la misma línea, como en

Estas son ecuaciones equivalentes. Las líneas son en realidad la misma línea y se 'cruzan' en un número infinito de puntos (cada punto de la línea). En este caso, hay infinitas soluciones y el sistema se llama dependiente.

Si intentas resolver este sistema algebraicamente, terminarás con algo que es cierto, como 0 = 0.

Siempre que terminas con algo que es cierto, el sistema es dependiente.



Las dos líneas pueden cruzarse en un solo punto, como en

Si intenta resolver este sistema algebraicamente, terminará con algo que involucre una de las variables, como x = 10. En este caso, solo hay una solución, y el sistema se llama independiente.

Siempre que termine con algo que involucre una de las variables, como x = 10, el sistema es independiente.


Aquí hay un par de tablas útiles para reconocer con qué tipo de sistema está tratando.
Puedes probar los problemas de práctica aquí.


Tipos de problemas de GMAT

Se debe utilizar la resolución por sustitución cuando una variable se pueda aislar fácilmente en una de las dos ecuaciones. Recuerda que resolver dos ecuaciones es resolver su intersección. Por lo tanto, los valores de xey deben hacer que ambas ecuaciones sean verdaderas. Comience resolviendo la primera ecuación para una variable. Esta & quot; quotsolución & quot; involucrará tanto términos constantes como la otra variable. Sustituye esta solución en la segunda ecuación. Resuelve la segunda ecuación para la segunda variable. Esta solución para la segunda variable debe ser una constante. Sustituye la solución de la segunda variable de nuevo en la primera ecuación y resuelve para la primera variable. Para probar las soluciones, sustituya ambas en una de las ecuaciones y asegúrese de que el enunciado sea verdadero.

  1. Resuelve la primera ecuación para x.
    9x + 6y = 30
    9x = 30-6 años
    x = (30-6 años) / 9
  2. Sustituye la solución de x en la segunda ecuación y resuelve para y.
    6x-4y = 4
    6 * ((30-6 años) / 9) -4 años = 4
    ((180-36y) / 9) -4y = 4
    (20-4 años) -4 años = 4
    -8y = -16
    y = 2
  3. Sustituye la solución por y en la primera ecuación y resuelve para x.
    9x + 6y = 30
    9x + 6 * 2 = 30
    9x + 12 = 30
    9x = 18
    x = 2
  4. Verifica la respuesta sustituyendo x = 2, y = 2 en la primera ecuación.
    9*2+6*2 = 30
    18+12 = 30
    30 = 30

Se debe usar la resolución por resta cuando hay una manera fácil de manipular ambas ecuaciones mediante la multiplicación y terminar con una de las variables que tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. Empiece por multiplicar las dos ecuaciones para que una variable tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones (ignorando el signo). Suma o resta las dos ecuaciones para que la variable con el mismo coeficiente se cancele. Resuelve la variable que queda. Finalmente, sustituya la solución de la variable en una de las ecuaciones originales y resuelva para la variable restante.

  1. Multiplica la primera ecuación por 2 para que y tenga un coeficiente de 6 en ambas ecuaciones.
    4x-3y = 3
    Multiplicar por 2: 8x-6y = 6
  2. Suma la nueva ecuación con la segunda ecuación original y resuelve para x.
    8x-6y = 6
    + 2x + 6y = 4
    10 veces = 10
    x = 1
  3. Sustituye la solución de x en la primera ecuación y resuelve para y.
    4x-3y = 3
    4 (1) -3y = 3
    -3y = -1
    y = 1/3
  4. Sustituye las soluciones en la segunda ecuación para verificar la respuesta.
    2*1+6*(1/3) ?= 4
    2+(6/3) ?= 4
    2+2 ?= 4
    4=4
  5. x = 1 y y = 1/3

El proceso es muy similar a resolver dos ecuaciones. Se puede utilizar sustitución o sustracción, o una combinación de ambas. Sin embargo, después de resolver una variable, debe sustituirse en las otras dos ecuaciones. Una vez que se completa esta sustitución inicial, el problema se ha reducido a un sistema de dos ecuaciones. Una vez que se encuentran las soluciones para ambas variables en este nuevo sistema de dos ecuaciones, la variable final se puede encontrar sustituyendo las dos soluciones en cualquiera de las tres ecuaciones originales.

  1. Resuelve la primera ecuación para x.
    x-y-z = 0
    x = y + z
  2. Sustituye la solución por x en la segunda y tercera ecuaciones.
    3 * (y + z) + 4y + 3z = 4
    3y + 3z + 4y + 3z = 4
    7 años + 6z = 4


2.6: Otros tipos de ecuaciones - Matemáticas

Las ecuaciones juegan un papel crucial en las matemáticas modernas y forman la base para el modelado matemático de numerosos fenómenos y procesos en la ciencia y la ingeniería.

El sitio web científico-educativo internacional EqWorld presenta una amplia información sobre soluciones a varias clases de ecuaciones matemáticas ordinarias diferenciales, diferenciales parciales, integrales, funcionales y otras. También describe algunos métodos para resolver ecuaciones, incluye artículos interesantes, proporciona enlaces a sitios web matemáticos y paquetes de software, enumera manuales y monografías útiles y hace referencia a editoriales científicas, revistas, etc. El sitio web incluye una sección dinámica Archivo de ecuaciones que permite a los autores publicar rápidamente sus ecuaciones (diferencial, integral y otras) y también soluciones exactas, primeras integrales y transformaciones.

El sitio web de EqWorld está destinado a investigadores, profesores universitarios, ingenieros y estudiantes de todo el mundo. Contiene alrededor de 2000 páginas web y es visitado por más de 3000 usuarios al día (provenientes de 200 países de todo el mundo). Todos los recursos presentados en este sitio son gratuitos para sus usuarios.

'' ¿Necesita la solución para la ecuación integral de Abel generalizada de segundo tipo? ¿Desconcertado por la ecuación de FitzHugh-Nagumo, que puede describir la transferencia de calor y el voltaje a través de la membrana celular? Eche un vistazo a EqWorld. EqWorld reúne soluciones que se habían escondido en manuales, revistas y otras fuentes. El sitio incluye ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. ''

Science, 2005, Vol 308, Número 5727, p. 1387

''. EqWorld proporciona soluciones generales para muchos tipos de ecuaciones que los científicos e ingenieros probablemente encontrarán. El sitio web también incluye artículos y listas de lectura ''.


2.6: Otros tipos de ecuaciones - Matemáticas

Pregunta de Mary, una estudiante:

Tener problemas para hacer este problema, buscar una solución con el trabajo. Me gustaría ver cómo obtuvo su respuesta, para ver qué estaba haciendo mal.

resolver utilizando el método de sustitución, ¿hay & quot; ninguna solución & quot o & quot; infinitas soluciones & quot

Tenemos dos respuestas para ti

Dos ecuaciones pueden estar en cualquiera de las tres relaciones entre sí:

  1. Son expresiones diferentes de exactamente la misma línea. Por ejemplo, y = 2x y 2y = 4x son en realidad la misma línea. En este caso, hay "infinitas soluciones" porque hay un número infinito de valores de x que dan un valor para y que coincide en ambas ecuaciones. Observe también que cuando este es el caso, las pendientes y las intersecciones con el eje y de las dos ecuaciones coincidirían.
  2. Son líneas paralelas. Por ejemplo, y = 2x e y = 2x + 1 son paralelos. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, pero diferentes intersecciones en y. Como no hay puntos (x, y) que estén simultáneamente en ambas líneas, decimos que "no hay solución".
  3. Se cruzan en un punto. El único punto es la & quot; solución única & quot. Este solo puede ser el caso si las dos ecuaciones tienen pendientes diferentes. La intersección con el eje y no importa.

Para determinar cuál de estos casos tiene para un par de ecuaciones dado, a menudo lo más fácil de hacer es escribir ambas ecuaciones en la forma y = mx + b y comparar las pendientes, luego, si es necesario, comparar las intersecciones en y. Sin embargo, esto no le dirá cuál es realmente la solución única (si se cruzan en un solo punto, en lugar de ser líneas idénticas o paralelas).

Así es como se desarrollan las cosas cuando se usa el método de sustitución para & quotsolve & quot dos ecuaciones:

2x + y = 1
-3x + 2y = 0

Resuelve una ecuación para una sola variable (¿cuál? ¡Elige la que te parezca más fácil!)
2x + y = 1
y = 1 - 2x

Luego sustituye esta expresión (que es igual a y) por y en la otra ecuación. Entonces
-3x + 2y = 0
se convierte en
-3x + 2 (1 - 2x) = 0

Y resuelve para x:
-3x + 2 - 4x = 0
-7x = -2
x = 2/7.

Since it gave us a single value of x, I know that we will get a unique solution. I use this value of x to find the value of y. Just choose one of the original equations (doesn't matter which one) and substitute 2/7 in for x.
2x + y = 1
becomes
2(2/7) + y = 1
y = 3/7.

So the unique solution to this pair of equations is (2/7, 3/7).

Let's look at the other two situations to see what would have happened.

2x + y = 1
-2x - y = 2

Solve the first for y:
y = 1 - 2x

Substitute into second equation:
-2x - (1 - 2x) = 2
-2x - 1 + 2x = 2
-1 = 2.

That's a contradiction, obviously! So that means there is no solution. These two equations are parallel lines.

2x + y = 1
6x + 3y = 3

Solve the first for y:
y = 1 - 2x

Substitute into the second equation:
6x + 3(1 - 2x) = 3
6x + 3 - 6x = 3
3 = 3.

This is a truism: it is true regardless of the value of x, so there are an infinite number of solutions. These two equations are actually just two ways of expressing the same equation (multiply the first equation by 3 on both sides and you'll verify this).

I hope this explanation and set of examples helps you solve any problems you have with two linear equations.

Without actually solving this system of equations we can determine that there will in fact be ONLY ONE solution. The first equation has a slope of -4 (we can rearrange it to read y=-4x+4) and the second equation has a slope of -1/4 (we can rearrange it to read y=-1/4x). When two lines have different slopes, they are guaranteed to intersect at one point, giving us one solution.

If this system were to have no solutions or infinitely many solutions, the equations would have to have the same slope. Additionally, they would have to have different y-intercepts to have no solution and the same y-intercept to have infinitely many solutions.


2.6: Other Types of Equations - Mathematics

In many examples, especially the ones derived from differential equations, the variables involved are not linked to each other in an explicit way. Most of the time, they are linked through an implicit formula, like F ( x , y ) =0. Once x is fixed, we may find y through numerical computations. (By some fancy theorems, we may formally show that y may indeed be seen as a function of x over a certain interval). The question becomes what is the derivative , at least at a certain a point? The method of implicit differentiation answers this concern. Let us illustrate this through the following example.

Ejemplo. Find the equation of the tangent line to the ellipse

at the point (2,3). One way is to find y as a function of x from the above equation, then differentiate to find the slope of the tangent line. We will leave it to the reader to do the details of the calculations. Here, we will use a different method. In the above equation, consider y as a function of x :

and use the techniques of differentiation, to get

which implies that at the point (2,3). So the equation of the tangent line is given by

You may wonder why bother if this is just a different way of finding the derivative? Consider the following example! It can be very hard or in fact impossible to solve explicitly for y as a function of x .

This is a wonderful example of an implicit relation between x and y . So how do we find y '? Let us differentiate the above equation with respect to x where y is considered to be a function of x . We get

Easy algebraic manipulations give

We can also find higher derivatives of y such as y '' in this manner. We only have to differentiate the above result. Of course the calculations get little more messy.

Exercise 1. Find y ' if xy 3 + x 2 y 2 + 3 x 2 - 6 = 1.

Exercise 2. Prove that an equation of the tangent line to the graph of the hyperbola

at the point P ( x 0 , y 0 ) is

Exercise 3. Show that if a normal line to each point on an ellipse passes through the center of an ellipse, then the ellipse is a circle.


Logic and Mathematical Statements

In general, a mathematical statement consists of two parts: the hypothesis or assumptions, and the conclusion. Most mathematical statements you will see in first year courses have the form "If A, then B" o "A implies B" o "A $Rightarrow$ B". The conditions that make up "A" are the assumptions we make, and the conditions that make up "B" are the conclusion.

If we are going to prove that the statement "If A, then B" is true, we would need to start by making the assumptions "A" and then doing some work to conclude that "B" must also hold.

If we want to apply a statement of the form "If A, then B", then we need to make sure that the conditions "A" are met, before we jump to the conclusion "B."

For example, if you want to apply the statement "$n$ is even $Rightarrow$ $frac<2>$ is an integer", then you need to verify that $n$ is even, before you conclude that $frac<2>$ is an integer.

In mathematics you will often encounter statements of the form "A if and only if B" or "A $Leftrightarrow$ B". These statements are really two "if/then" statements. The statement "A if and only if B" is equivalent to the statements "If A, then B" and "If B, then A." Another way to think of this sort of statement is as an equivalence between the statements A and B: whenever A holds, B holds, and whenever B hold, A holds.

Consider the following example: "$n$ is even $Leftrightarrow frac<2>$ is an integer". Here the statement A is "$n$ is even" and the statement B is "$frac<2>$ is an integer." If we think about what it means to be even (namely that n is a multiple of 2), we see quite easily that these two statements are equivalent: If $n=2k$ is even, then $frac <2>= frac<2k> <2>= k$ is an integer, and if $frac <2>= k$ is an integer, then $n=2k$ so $n$ is even.

In everyday use, a statement of the form "If A, then B", sometimes means "A if and only if B." For example, when most people say "If you lend me $30, then I'll do your chores this week" they typically mean "I'll do your chores if and only if you lend me $30." In particular, if you don't lend the $30, they won't be doing your chores.

In mathematics, the statement "A implies B" is very different from "A if and only if B." Consider the following example: Let A be the statement "$n$ is an integer" and B be the statement "$frac<3>$ is a rational number." The statement "A implies B" is the statement "If $n$ is an integer, then $frac<3>$ is a rational number." This statement is true. However, the statement "A if and only if B" is the statement "$n$ is an integer if and only if $frac<3>$ is a rational number," which is false.

Mini-Lecture.

Ejemplo.

Consider the statement "Suppose that it's raining. Then there is a cloud in the sky.".

(i) Determine the hypotheses/assumptions and the conclusion.
(ii) Rewrite this statement explicitly in the form "If A, then B" using Part (i).
(iii) Is this statement true or false?

Solution.
(i) The hypothesis we are making is that it is raining. The conclusion we are making is that there must be a cloud in the sky.
(ii) "If it's raining, then there must be a cloud in the sky."
(iii) This statement is true. (Based on all that is currently known about how rain works!)

Ejemplo. Consider the statement "$x > 0 Rightarrow x+1>0$". Is this statement true or false?

Solution. To determine it's truth value, first we look at the hypothesis: $x>0$. Whatever we want to conclude, it is a consequence of the fact that $x$ is positive.

Next, we look at the conclusion: $x+1>0$. This statement must be true, since $x+1 > x > 0$.

This means that the statement is true.

Ejemplo. Consider the statement "If $x$ is a positive integer or a solution to $x+3>4$, then $x>0$ and $x> frac$." Is this statement true?

Solution. To determine if it's true, let's look first at the assumptions. We are assuming that either $x$ is a positive integer, or that it solves the inequality $x+3>4$.

Next let's consider the conclusion. We are concluding that $x$ must satisfy ambas cosas inequalities $x>0$ and $x > frac<1><2>$. If we look more closely, we see that once we satisfy the second inequality, the first is redundant. (If $x>frac<1><2>$, then it must already be larger than zero.)

Now, in order for this statement to be true, we need that if $x$ solves either of the assumptions, then it must solve $x>frac<1><2>$. Well, the first assumption is that $x$ is a positive integer, which means that $xgeq 1$, so in this case the conclusion holds. The second assumption is that $x+3>4$, or equivalently, that $x>1$, which means the conclusion holds as well.

Ejemplo. Consider the statement ">1 Rightarrow sin x = 2$". Is this statement true or false?

Solution. To determine it's truth value, first we look at the hypothesis: >1$. This is obviously false!

So the statement is true! (Why?) This kind of statements "A $Rightarrow$ B" where A is false are called vaccuously true.

A statement "A $Rightarrow$ B" is true when the relation "A implies B" is true, not when A, or B, or A and B are true. It states that "if A is true, then B must also be true".

This means that when A is false, the statement doesn't conclude anything.

So whenever the hypothesis A is false, a statement "A $Rightarrow$ B" is always true! (independently of whether B is true or false)


EQUATIONS OF HORIZONTAL AND VERTICAL LINES

where  b  represents the  y -intercept.

A  vertical line  goes up and down and its equation is in the form of 

where  a  represents the shared  x -coordinate of all points.

Write the equation of the line that passes through (-1, 2)  and (3, 2).

Connect with a straight line.

Equation of the line is y  = 2. 

Write the equation of the line that passes through (-2, 3)  and (-2, 1).

Connect with a straight line.

Equation of the line is x  = -2. 

Write the equation of the line that passes through (0, -4)  and (4, -4).

Connect with a straight line.

Equation of the line is y  = -4. 

Write the equation of the line that passes through (0, 5)  and (0, -3).

Connect with a straight line.

Equation of the line is x  = 0. 

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Ver el vídeo: Tipos de Ecuaciones- Ejemplos y Conceptos (Septiembre 2021).