Artículos

2.6E: Ejercicios para la sección 2.6


Para los ejercicios 1 a 8, determine los puntos, si los hay, en los que cada función es discontinua. Clasifique cualquier discontinuidad como saltar, retirable, infinito, o otro.

1) (f (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} )

Respuesta
La función está definida para todo (x ) en el intervalo ((0, ∞) ).

2) (f (x) = dfrac {2} {x ^ 2 + 1} )

3) (f (x) = dfrac {x} {x ^ 2 − x} )

Respuesta
Discontinuidad removible en (x = 0 ); discontinuidad infinita en (x = 1 ).

4) (g (t) = t ^ {- 1} +1 )

5) (f (x) = dfrac {5} {e ^ x − 2} )

Respuesta
Discontinuidad infinita en (x = ln 2 )

6) (f (x) = dfrac {| x − 2 |} {x − 2} )

7) (H (x) = tan 2x )

Respuesta
Discontinuidades infinitas en (x = dfrac {(2k + 1) π} {4} ), para (k = 0, , ± 1, , ± 2, , ± 3, ,… )

8) (f (t) = dfrac {t + 3} {t ^ 2 + 5t + 6} )

Para los ejercicios 9 a 14, decida si la función es continua en el punto dado. Si es discontinuo, ¿qué tipo de discontinuidad es?

9) ( dfrac {2x ^ 2−5x + 3} {x − 1} ) en (x = 1 )

Respuesta
No. Es una discontinuidad removible.

10) (h (θ) = dfrac { sin θ− cos θ} { tan θ} ) en (θ = π )

11) (g (u) = begin {cases} dfrac {6u ^ 2 + u − 2} {2u − 1}, & text {if} u ≠ 12 frac {7} {2} , & text {if} u = 12 end {cases} ), en (u = frac {1} {2} )

Respuesta
Si. Es continuo.

12) (f (y) = dfrac { sin (πy)} { tan (πy)} ), en (y = 1 )

13) (f (x) = begin {cases} x ^ 2 − e ^ x, & text {if} x <0 x − 1, & text {if} x≥0 end {cases } ), en (x = 0 )

Respuesta
Si. Es continuo.

14) (f (x) = begin {cases} x sin (x), & text {if} x≤π x tan (x), & text {if} x> π end {casos} ), en (x = π )

En los ejercicios 15 a 19, encuentre los valores de (k ) que hace que cada función sea continua durante el intervalo dado.

15) (f (x) = begin {cases} 3x + 2, & text {if} x

Respuesta
(k = −5 )

16) (f (θ) = begin {cases} sin θ, & text {if} 0≤θ < frac {π} {2} cos (θ + k), & text { si} frac {π} {2} ≤θ≤π end {cases} )

17) (f (x) = begin {cases} dfrac {x ^ 2 + 3x + 2} {x + 2}, & text {if} x ≠ −2 k, & text {if } x = −2 end {casos} )

Respuesta
(k = −1 )

18) (f (x) = begin {cases} e ^ {kx}, & text {if} 0≤x <4 x + 3, & text {if} 4≤x≤8 end {casos})

19) (f (x) = begin {cases} sqrt {kx}, & text {if} 0≤x≤3 x + 1, & text {if} 3

Respuesta
(k = frac {16} {3} )

En los ejercicios 20 a 21, use el Teorema del valor intermedio (IVT).

20) Sea (h (x) = begin {cases} 3x ^ 2−4, & text {if} x≤2 5 + 4x, & text {if} x> 2 end {cases} ) En el intervalo ([0,4] ), no hay valor de (x ) tal que (h (x) = 10 ), aunque (h (0) <10 ) y (h (4)> 10 ). Explique por qué esto no contradice el IVT.

21) Una partícula que se mueve a lo largo de una línea durante el tiempo (t ) tiene una función de posición (s (t) ), que es continua. Suponga (s (2) = 5 ) y (s (5) = 2 ). Otra partícula se mueve de manera que su posición está dada por (h (t) = s (t) −t ). Explica por qué debe haber un valor (c ) para (2

Respuesta
Dado que tanto (s ) como (y = t ) son continuas en todas partes, entonces (h (t) = s (t) −t ) es continua en todas partes y, en particular, es continua en el intervalo cerrado [ (2,5 )]. Además, (h (2) = 3> 0 ) y (h (5) = - 3 <0 ). Por lo tanto, según el IVT, hay un valor (x = c ) tal que (h (c) = 0 ).

22) [T] Usa el enunciado "El coseno de (t ) es igual a (t ) al cubo".

una. Escribe una ecuación matemática del enunciado.

B. Demuestre que la ecuación del inciso a. tiene al menos una solución real.

C. Usa una calculadora para encontrar un intervalo de longitud (0.01 ) que contenga una solución.

23) Aplique el IVT para determinar si (2 ^ x = x ^ 3 ) tiene una solución en uno de los intervalos [ (1.25,1.375 )] o [ (1.375,1.5 )]. Explique brevemente su respuesta para cada intervalo.

Respuesta
La función (f (x) = 2 ^ x − x ^ 3 ) es continua en el intervalo [ (1.25,1.375 )] y tiene signos opuestos en los extremos.

24) Considere la gráfica de la función (y = f (x) ) que se muestra en la siguiente gráfica.

una. Encuentre todos los valores para los que la función es discontinua.

B. Para cada valor del inciso a., Indique por qué no se aplica la definición formal de continuidad.

C. Clasifique cada discontinuidad como salto, removible o infinito.

25) Sea (f (x) = begin {cases} 3x, & text {if} x> 1 x ^ 3, & text {if} x <1 end {cases} ).

una. Dibuja la gráfica de (f ).

B. ¿Es posible encontrar un valor (k ) tal que (f (1) = k ), lo que hace que (f (x) ) sea continuo para todos los números reales? Explica brevemente.

Respuesta

una.

B. No es posible redefinir (f (1) ) ya que la discontinuidad es una discontinuidad de salto.

26) Sea (f (x) = dfrac {x ^ 4−1} {x ^ 2−1} ) para (x ≠ −1,1 ).

una. ¿Es posible encontrar valores (k_1 ) y (k_2 ) tales que (f (−1) = k ) y (f (1) = k_2 ), y eso hace que (f (x ) ) continua para todos los números reales? Explica brevemente.

27) Dibuja la gráfica de la función (y = f (x) ) con propiedades i. hasta vii.

I. El dominio de (f ) es ( (- ∞, + ∞ )).

ii. (f ) tiene una discontinuidad infinita en (x = −6 ).

iii. (f (−6) = 3 )

iv. ( Displaystyle lim_ {x → −3 ^ -} f (x) = lim_ {x → −3 ^ +} f (x) = 2 )

v. (f (−3) = 3 )

vi. (f ) es continua a la izquierda pero no continua a la derecha en (x = 3 ).

vii. ( displaystyle lim_ {x → −∞} f (x) = - ∞ ) y ( displaystyle lim_ {x → + ∞} f (x) = + ∞ )

Respuesta

Las respuestas pueden variar; ver el siguiente ejemplo:

28) Dibuja la gráfica de la función (y = f (x) ) con propiedades i. hasta iv.

I. El dominio de (f ) es [ (0,5 )].

ii. ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ +} f (x) ) y ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} f (x) ) existen y son iguales.

iii. (f (x) ) es continua a la izquierda pero no continua en (x = 2 ), y continua a la derecha pero no continua en (x = 3 ).

iv. (f (x) ) tiene una discontinuidad removible en (x = 1 ), una discontinuidad de salto en (x = 2 ), y se cumplen los siguientes límites: ( displaystyle lim_ {x → 3 ^ -} f (x) = - ∞ ) y ( displaystyle lim_ {x → 3 ^ +} f (x) = 2 ).

En los ejercicios 29 a 30, suponga (y = f (x) ) está definido para todos (X). Para cada descripción, dibuje un gráfico con la propiedad indicada.

29) Discontinuo en (x = 1 ) con ( displaystyle lim_ {x → −1} f (x) = - 1 ) y ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) = 4 )

Respuesta

Las respuestas pueden variar; ver el siguiente ejemplo:

30) Discontinuo en (x = 2 ) pero continuo en otros lugares con ( displaystyle lim_ {x → 0} f (x) = frac {1} {2} )

Determina si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifica tu respuesta con una explicación o un contraejemplo.

31) (f (t) = dfrac {2} {e ^ t − e ^ {- t}} ) es continuo en todas partes.

Respuesta
Falso. Es continuo sobre ( (- ∞, 0 )) ∪ ( (0, ∞ )).

32) Si los límites izquierdo y derecho de (f (x) ) como (x → a ) existen y son iguales, entonces (f ) no puede ser discontinuo en (x = a ) .

33) Si una función no es continua en un punto, entonces no está definida en ese punto.

Respuesta
Falso. Considere (f (x) = begin {cases} x, & text {if} x ≠ 0 4, & text {if} x = 0 end {cases} ).

34) Según el IVT, ( cos x− sin x − x = 2 ) tiene una solución en el intervalo [ (- 1,1 )].

35) Si (f (x) ) es continuo tal que (f (a) ) y (f (b) ) tienen signos opuestos, entonces (f (x) = 0 ) tiene exactamente uno solución en [ (a, b )].

Respuesta
Falso. Considere (f (x) = cos (x) ) en [ (- π, 2π )].

36) La función (f (x) = dfrac {x ^ 2−4x + 3} {x ^ 2−1} ) es continua en el intervalo [ (0,3 )].

37) Si (f (x) ) es continuo en todas partes y (f (a), f (b)> 0 ), entonces no hay raíz de (f (x) ) en el intervalo [ (a, b )].

Respuesta
Falso. ¡El IVT no funciona a la inversa! Considere ((x − 1) ^ 2 ) en el intervalo [ (- 2,2 )].

[T] Los siguientes problemas consideran la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Está dado por la ecuación (F (r) = k_e dfrac {| q_1q_2 |} {r ^ 2} ), dónde (k_e ) es la constante de Coulomb, (q_i ) son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, y (r ) es la distancia entre las dos partículas.

38) Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de un valor umbral (r = R ), aproximamos (F ) como cero.

una. Explique el razonamiento físico detrás de esta suposición.

B. ¿Qué es la ecuación de fuerza?

C. Evalúe la fuerza (F ) usando la ley de Coulomb y nuestra aproximación, asumiendo dos protones con una magnitud de carga de (1.6022 × 10 ^ {- 19} ) culombios (C), y la constante de Coulomb (k_e = 8.988 × 10 ^ 9Nm ^ 2 / C ^ 2 ) están separados por 1 m. Además, suponga (R <1 ) m. ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación?

D. ¿Existe algún valor finito de R para el cual este sistema permanece continuo en R?

39) En lugar de hacer la fuerza (0 ) en (R ), dejamos que la fuerza sea (10−20 ) para (r≥R ). Suponga dos protones, que tienen una magnitud de carga (1.6022 × 10 ^ {- 19} ; C ) y la constante de Coulomb (k_e = 8.988 × 10 ^ 9 ; Nm ^ 2 / C ^ 2 ) . ¿Existe un valor (R ) que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, encuéntrelo.

Respuesta
(R = 0.0001519 ) m

Recuerde la discusión sobre naves espaciales del inicio del capítulo. Los siguientes problemas consideran el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada por (F (d) = - mk / d ^ 2 ), donde m es la masa del cohete, (D) es la distancia del cohete al centro de la Tierra, y (k ) es una constante.

40) [T] Determine el valor y las unidades de (k ) dado que la masa del cohete en la Tierra es de 3 millones de kg. (Sugerencia: la distancia desde el centro de la Tierra hasta su superficie es de 6378 km).

41) [T] Después de que ha pasado una cierta distancia (D ), el efecto gravitacional de la Tierra se vuelve bastante insignificante, por lo que podemos aproximar la función de fuerza por (F (d) = begin {cases} - dfrac { mk} {d ^ 2}, & text {if} d

Respuesta
(D = 63,78 ) km

42) A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D donde el cohete arroja parte de su masa, ya que ya no necesita el exceso de almacenamiento de combustible. Podemos escribir esta función como (F (d) = begin {cases} - dfrac {m_1k} {d ^ 2}, & text {if} d

En los ejercicios 43 a 44, demuestre que cada función es continua en todas partes.

43) (f (θ) = sin θ )

Respuesta
Para todos los valores de (a ), (f (a) ) está definido, ( displaystyle lim_ {θ → a} f (θ) ) existe y ( displaystyle lim_ {θ → a} f (θ) = f (a) ). Por lo tanto, (f (θ) ) es continua en todas partes.

44) (g (x) = | x | )

45) ¿Dónde está (f (x) = begin {cases} 0, & text {if} x text {es irracional} 1, & text {if} x text {es racional} end {casos} ) continuo?

Respuesta
En ningún lugar

Sección 2.6. Ejercicios

Especifique la clase de dirección y el ID de subred para los siguientes casos:

Un paquete con la dirección IP 127.156.28.31 usando el patrón de máscara 255.255.255.0

Un paquete con la dirección IP 150.156.23.14 usando el patrón de máscara 255.255.255.128

Un paquete con la dirección IP 150.18.23.101 usando el patrón de máscara 255.255.255.128

Especifique la clase de dirección y el ID de subred para los siguientes casos:

Un paquete con la dirección IP 173.168.28.45 usando el patrón de máscara 255.255.255.0

Un paquete con la dirección IP 188.145.23.1 usando el patrón de máscara 255.255.255.128

Un paquete con la dirección IP 139.189.91.190 usando el patrón de máscara 255.255.255 .128

Aplique la agregación CIDR en las siguientes direcciones IP: 150.97.28.0/24, 150.97 .29.0 / 24 y 150.97.30.0/24.

Aplique la agregación CIDR en las siguientes direcciones IP: 141.33.11.0/22, 141.33 .12.0 / 22 y 141.33.13.0/22.

Utilice la máscara de subred 255.255.254.0 en las siguientes direcciones IP y luego conviértalas a formas CIDR:

Un paquete con la dirección IP de destino 180.19.18.3 llega a un enrutador. El enrutador usa protocolos CIDR y su tabla contiene tres entradas que se refieren a las siguientes redes conectadas: 180.19.0.0/18, 180.19.3.0/22 ​​y 180.19.16.0/20, respectivamente.

A partir de la información de la tabla, identifique el ID de red exacto de cada red en forma binaria.

Encuentre la entrada correcta que coincida con el paquete.

Parte de una infraestructura de red consta de tres enrutadores R1, R2 y R3 y seis redes N1 a N6, como se muestra en la Figura 2.16. Todas las entradas de dirección de cada enrutador también se dan como se muestra en la figura. Un paquete con la dirección IP de destino 195.25.17.3 llega al enrutador R1:

Encuentre el campo de ID de red exacto de cada red en forma binaria.

Encuentre la red de destino para el paquete (se necesita prueba).

Especifique cuántos hosts se pueden direccionar en la red N1.

Figura 2.16. Ejemplo de red del ejercicio 7

Considere una población estimada de 620 millones de personas.

¿Cuál es la cantidad máxima de direcciones IP que se pueden asignar por persona usando IPv4?

Diseñe un CIDR apropiado para entregar el direccionamiento en la parte (a).

¿Cuál es la cantidad máxima de direcciones IP que se pueden asignar por persona usando IPv6?

Para cada una de las siguientes direcciones IPv6, proporcione una forma abreviada y luego convierta el resultado a una forma binaria:


Capítulo 6

El ancho del patio es de 12 pies y el largo es de 15 pies.

La otra pierna mide 24 pies y la hipotenusa mide 25 pies.

Ⓐ 5 segundos ⓑ 0 y 3 segundos ⓒ 196 pies

Ⓐ 4 segundos ⓑ 0 y 2 segundos ⓒ 144 pies

Sección 6.1 Ejercicios

Sección 6.2 Ejercicios

Sección 6.3 Ejercicios

(2 z - 1) (2 z + 1) (4 z 2 + 1) (2 z - 1) (2 z + 1) (4 z 2 + 1)

2 b 2 (3 a - 2) (3 a + 2) (9 a 2 + 4) 2 b 2 (3 a - 2) (3 a + 2) (9 a 2 + 4)

(2 y - 5 z) (4 y 2 + 10 y z + 25 z 2) (2 y - 5 z) (4 y 2 + 10 y z + 25 z 2)

(6 a + 5 b) (36 a 2 - 30 a b + 25 b 2) (6 a + 5 b) (36 a 2 - 30 a b + 25 b 2)

2 x 2 (1-2 y) (1 + 2 y + 4 y 2) 2 x 2 (1-2 y) (1 + 2 y + 4 y 2)

- (3 años + 5) (21 años 2-30 años + 25) - (3 años + 5) (21 años 2-30 años + 25)

Sección 6.4 Ejercicios

3 x y (x - 3) (x 2 + 3 x + 9) 3 x y (x - 3) (x 2 + 3 x + 9)

5 x y 2 (x 2 + 4) (x + 2) (x - 2) 5 x y 2 (x 2 + 4) (x + 2) (x - 2)

4 u 2 (u + v) (u 2 - u v + v 2) 4 u 2 (u + v) (u 2 - u v + v 2)

10 (m - 5) (m + 5) (m 2 + 25) 10 (m - 5) (m + 5) (m 2 + 25)

(2 x - 3 y) (4 x 2 + 6 x y + 9 y 2) (2 x - 3 y) (4 x 2 + 6 x y + 9 y 2)

(y + 1) (y - 1) (y 2 - y + 1) (y 2 + y + 1) (y + 1) (y - 1) (y 2 - y + 1) (y 2 + y + 1)

Sección 6.5 Ejercicios

Ancho: 4 pies Longitud: 7 pies.

Ancho: 5 pies Largo: 11 pies.

Los lados miden 6 pies y 8 pies.

El lado del edificio mide 8 pies, la hipotenusa mide 17 pies y el tercer lado mide 15 pies.

Ⓐ 0 segundos y 2 segundos ⓑ 1 segundo

Ejercicios de repaso

(2 z - 1) (2 z + 1) (4 z 2 + 1) (2 z - 1) (2 z + 1) (4 z 2 + 1)

10 (m - 5) (m + 5) (m 2 + 25) 10 (m - 5) (m + 5) (m 2 + 25)

(4 x - 3 y + 8) (4 x - 3 y - 8) (4 x - 3 y + 8) (4 x - 3 y - 8)

Las longitudes son 8, 15 y 17 pies.

Examen de práctica

El ancho es de 12 pulgadas y la longitud es de 14 pulgadas.

Como Asociado de Amazon, ganamos con las compras que califican.

¿Quiere citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution License 4.0 y debe atribuir OpenStax.

    Si está redistribuyendo todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:

  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra intermedia 2e
    • Fecha de publicación: 6 de mayo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/chapter-6

    © 21 de enero de 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Attribution License 4.0. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las cubiertas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


    2.6 Otros tipos de ecuaciones

    Hemos resuelto ecuaciones lineales, ecuaciones racionales y ecuaciones cuadráticas usando varios métodos. Sin embargo, hay muchos otros tipos de ecuaciones, e investigaremos algunos tipos más en esta sección. Veremos ecuaciones que involucran exponentes racionales, ecuaciones polinomiales, ecuaciones radicales, ecuaciones de valor absoluto, ecuaciones en forma cuadrática y algunas ecuaciones racionales que se pueden transformar en cuadráticas. Sin embargo, para resolver cualquier ecuación se utilizan las mismas reglas algebraicas básicas. Aprenderemos algunas técnicas nuevas que se apliquen a ciertas ecuaciones, pero el álgebra nunca cambia.

    Resolver ecuaciones que involucran exponentes racionales

    Podemos resolver ecuaciones en las que una variable se eleva a un exponente racional elevando ambos lados de la ecuación al recíproco del exponente. La razón por la que elevamos la ecuación al recíproco del exponente es porque queremos eliminar el exponente en el término variable, y un número multiplicado por su recíproco es igual a 1. Por ejemplo, 2 3 (3 2) = 1, 2 3 ( 3 2) = 1, 3 (1 3) = 1, 3 (1 3) = 1, y así sucesivamente.

    Exponentes racionales

    Un exponente racional indica una potencia en el numerador y una raíz en el denominador. Hay varias formas de escribir una expresión, una variable o un número con un exponente racional:


    Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

    para algunos (F (t) text <.> ) text <.> ) La configuración es nuevamente: (m ) es masa, (c ) es fricción, (k ) es la constante de resorte y ( F (t) ) es una fuerza externa que actúa sobre la masa.

    Estamos interesados ​​en el forzamiento periódico, como partes giratorias no centradas, o quizás sonidos fuertes u otras fuentes de fuerza periódica. Una vez que aprendamos sobre las series de Fourier en el Capítulo 4, veremos que cubrimos todas las funciones periódicas simplemente considerando (F (t) = F_0 cos ( omega t) ) (o seno en lugar de coseno, los cálculos son esencialmente lo mismo).

    Subsección 2.6.1 Movimiento forzado no amortiguado y resonancia

    Primero consideremos el movimiento no amortiguado ( (c = 0 )). Tenemos la ecuación

    Esta ecuación tiene la solución complementaria (solución a la ecuación homogénea asociada)

    donde ( omega_0 = sqrt < nicefrac> ) es el frecuencia natural (angular). Es la frecuencia a la que el sistema "quiere oscilar" sin interferencias externas.

    Supongamos que ( omega_0 not = omega text <.> ) Probamos la solución (x_p = A cos ( omega t) ) y resolvemos (A text <.> ) We no necesita un seno en nuestra solución de prueba, ya que después de conectarlo solo tenemos cosenos. Si incluye un seno, está bien, encontrará que su coeficiente es cero (no pude encontrar una segunda rima).

    Resolvemos utilizando el método de coeficientes indeterminados. Encontramos eso

    Lo dejamos como ejercicio para hacer el álgebra requerido.

    x = C_1 cos ( omega_0 t) + C_2 sin ( omega_0 t) + frac cos ( omega t).

    La solución es una superposición de dos ondas coseno a diferentes frecuencias.

    Ejemplo 2.6.1.

    Calculemos. Primero leemos los parámetros: ( omega = pi text <,> ) ( omega_0 = sqrt < nicefrac <8> <0.5 >> = 4 text <,> ) (F_0 = 10 text <,> ) (m = 0.5 text <.> ) La solución general es

    Resuelve para (C_1 ) y (C_2 ) usando las condiciones iniciales: (C_1 = frac <-20> <16 - pi ^ 2> ) y (C_2 = 0 text <.> ) Por eso

    Observe el comportamiento de "golpes" en la Figura 2.5. Para verlo, usa la identidad trigonométrica

    La función (x ) es una onda de alta frecuencia modulada por una onda de baja frecuencia.

    Ahora suponga ( omega_0 = omega text <.> ) Obviamente, no podemos probar la solución (A cos ( omega t) ) y luego usar el método de coeficientes indeterminados. Observamos que ( cos ( omega t) ) resuelve la ecuación homogénea asociada. Por lo tanto, probamos (x_p = A t cos ( omega t) + B t sin ( omega t) text <.> ) Esta vez necesitamos el término seno, ya que la segunda derivada de (t cos ( omega t) ) contiene senos. Escribimos la ecuación

    Conectando (x_p ) en el lado izquierdo obtenemos

    Por tanto, (A = 0 ) y (B = frac<2m omega> text <.> ) Nuestra solución particular es ( frac <2m omega> , t sin ( omega t) ) y nuestra solución general es

    El término importante es el último (la solución particular que encontramos). Este término crece sin límite como (t to infty text <.> ) De hecho, oscila entre ( frac<2m omega> ) y ( frac <- F_0 t> <2m omega> text <.> ) Los dos primeros términos solo oscilan entre ( pm sqrt text <,> ) que se vuelve cada vez más pequeño en proporción a las oscilaciones del último término a medida que (t ) aumenta. En la Figura 2.6 vemos el gráfico con (C_1 = C_2 = 0 text <,> ) (F_0 = 2 text <,> ) (m = 1 text <,> ) ( omega = pi text <.> )

    Figura 2.6. Gráfica de ( frac <1> < pi> t sin ( pi t) text <.> )

    Al forzar el sistema en la frecuencia correcta, producimos oscilaciones muy salvajes. Este tipo de comportamiento se llama resonancia o quizás resonancia pura. A veces se desea resonancia. Por ejemplo, ¿recuerdas cuando cuando eras niño podías empezar a balancearte simplemente moviéndote hacia adelante y hacia atrás en el asiento del columpio en la “frecuencia correcta”? Estabas tratando de lograr resonancia. La fuerza de cada uno de tus movimientos fue pequeña, pero después de un tiempo produjo grandes vaivenes.

    Por otro lado, la resonancia puede ser destructiva. En un terremoto, algunos edificios se derrumban, mientras que otros pueden estar relativamente intactos. Esto se debe a que los diferentes edificios tienen diferentes frecuencias de resonancia. Por lo tanto, averiguar la frecuencia de resonancia puede ser muy importante.

    Un ejemplo común (pero incorrecto) de fuerza destructiva de resonancia es la falla del puente Tacoma Narrows. Resulta que había un fenómeno diferente en juego 1.

    Subsección 2.6.2 Movimiento forzado amortiguado y resonancia práctica

    En la vida real, las cosas no son tan simples como antes. Por supuesto, hay algo de amortiguación. Nuestra ecuación se convierte en

    para algunos (c & gt 0 text <.> ) Resolvimos el problema homogéneo antes. Dejamos

    Reemplazamos la ecuación (2.8) con

    Las raíces de la ecuación característica del problema homogéneo asociado son (r_1, r_2 = -p pm sqrt text <.> ) La forma de la solución general de la ecuación homogénea asociada depende del signo de (p ^ 2 - omega_0 ^ 2 text <,> ) o equivalentemente del signo de (c ^ 2 - 4km text <,> ) como antes:

    donde ( omega_1 = sqrt < omega_0 ^ 2 - p ^ 2> text <.> ) En cualquier caso, vemos que (x_c (t) to 0 ) como (t to infty text <.> )

    Busquemos una solución particular. No puede haber conflictos al intentar resolver los coeficientes indeterminados probando (x_p = A cos ( omega t) + B sin ( omega t) text <.> ) Vamos a conectar y resolver para (A ) y (B text <.> ) Obtenemos (los tediosos detalles se dejan al lector)

    También calculamos (C = sqrt) ser - estar

    Por tanto, nuestra solución particular es

    O en la notación alternativa tenemos amplitud (C ) y desplazamiento de fase ( gamma ) donde (si ( omega not = omega_0 ))

    Si ( omega = omega_0 text <,> ) entonces (A = 0 text <,> ) (B = C = frac<2m omega p> text <,> ) y ( gamma = nicefrac < pi> <2> text <.> )

    Figura 2.7. Soluciones con diferentes condiciones iniciales para los parámetros (k = 1 text <,> ) (m = 1 text <,> ) (F_0 = 1 text <,> ) (c = 0.7 text <,> ) y ( omega = 1.1 text <.> )

    Describamos lo que entendemos por resonancia cuando hay amortiguación. Como no hubo conflictos al resolver con coeficiente indeterminado, no hay término que vaya al infinito. En cambio, miramos el valor máximo de la amplitud de la solución periódica estable. Sea (C ) la amplitud de (x_ text <.> ) Si graficamos (C ) como una función de ( omega ) (con todos los demás parámetros fijos), podemos encontrar su máximo. Llamamos a la ( omega ) que alcanza este máximo la frecuencia de resonancia práctica. Llamamos a la amplitud máxima (C ( omega) ) la amplitud de resonancia práctica. Así, cuando la amortiguación está presente, hablamos de resonancia práctica en lugar de pura resonancia. En la figura 2.8 se da una gráfica de muestra para tres valores diferentes de (c ). Como puede ver, la amplitud de resonancia práctica crece a medida que la amortiguación se hace más pequeña, y la resonancia práctica puede desaparecer por completo cuando la amortiguación es grande.

    Figura 2.8. Gráfico de (C ( omega) ) que muestra la resonancia práctica con los parámetros (k = 1 text <,> ) (m = 1 text <,> ) (F_0 = 1 text <.> ) La línea superior está con (c = 0.4 text <,> ) la línea media con (c = 0.8 text <,> ) y la línea inferior con (c = 1.6 text <.> )

    Para encontrar el máximo, necesitamos encontrar la derivada (C '( omega) text <.> ) El cálculo muestra

    Esto es cero cuando ( omega = 0 ) o cuando (2p ^ 2 + omega ^ 2- omega_0 ^ 2 = 0 text <.> ) En otras palabras, (C '( omega ) = 0 ) cuando

    omega = sqrt < omega_0 ^ 2 - 2p ^ 2> quad text quad omega = 0.

    Si ( omega_0 ^ 2 - 2p ^ 2 ) es positivo, entonces ( sqrt < omega_0 ^ 2 - 2p ^ 2> ) es la frecuencia de resonancia práctica (ese es el punto donde (C ( omega ) ) es máxima). Esto sigue por la prueba de la primera derivada, por ejemplo, entonces (C '( omega) & gt 0 ) para ( omega ) pequeña en este caso. Si, por otro lado, ( omega_0 ^ 2 - 2p ^ 2 ) no es positivo, entonces (C ( omega) ) alcanza su máximo en ( omega = 0 text <,> ) y allí no hay resonancia práctica ya que asumimos ( omega & gt 0 ) en nuestro sistema. En este caso, la amplitud aumenta a medida que la frecuencia de forzamiento se reduce.

    Si ocurre una resonancia práctica, la frecuencia es menor que ( omega_0 text <.> ) A medida que el amortiguamiento (c ) (y por lo tanto (p )) se vuelve más pequeño, la frecuencia de resonancia práctica va a ( omega_0 text <.> ) Entonces, cuando la amortiguación es muy pequeña, ( omega_0 ) es una buena estimación de la frecuencia de resonancia práctica. Este comportamiento concuerda con la observación de que cuando (c = 0 text <,> ) entonces ( omega_0 ) es la frecuencia de resonancia.

    Otra observación interesante a hacer es que cuando ( omega to infty text <,> ) entonces (C to 0 text <.> ) Esto significa que si la frecuencia de forzamiento es demasiado alta, no lograr que la masa se mueva en el sistema masa-resorte. Esto es bastante razonable intuitivamente. Si nos movemos de un lado a otro muy rápido mientras estamos sentados en un columpio, no lograremos que se mueva en absoluto, por muy fuerte que sea. Las vibraciones rápidas simplemente se cancelan entre sí antes de que la masa tenga alguna posibilidad de responder moviéndose de una forma u otra.

    El comportamiento es más complicado si la función de forzamiento no es una onda coseno exacta, sino, por ejemplo, una onda cuadrada. Una función periódica general será la suma (superposición) de muchas ondas coseno de diferentes frecuencias. Se anima al lector a volver a esta sección una vez que hayamos aprendido sobre la serie de Fourier.

    Subsección 2.6.3 Ejercicios

    Ejercicio 2.6.1.

    Derivar una fórmula para (x_) si la ecuación es (m x '' + c x '+ kx = F_0 sin ( omega t) text <.> ) Suponga (c & gt 0 text <.> )

    Ejercicio 2.6.2.

    Derivar una fórmula para (x_) si la ecuación es (m x '' + cx '+ kx = F_0 cos ( omega t) + F_1 cos (3 omega t) text <.> ) Suponga (c & gt 0 texto <.> )

    Ejercicio 2.6.3.

    Tome (m x '' + cx '+ kx = F_0 cos ( omega t) text <.> ) Fix (m & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <, > ) y (F_0 & gt 0 text <.> ) Considere la función (C ( omega) text <.> ) Para qué valores de (c ) (resuelva en términos de (m text <,> ) (k text <,> ) y (F_0 )) no habrá resonancia práctica (es decir, para qué valores de (c ) no hay un máximo de ( C ( omega) ) para ( omega & gt 0 ))?

    Ejercicio 2.6.4.

    Tome (m x '' + cx '+ kx = F_0 cos ( omega t) text <.> ) Fix (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <, > ) y (F_0 & gt 0 text <.> ) Considere la función (C ( omega) text <.> ) Para qué valores de (m ) (resuelva en términos de (c text <,> ) (k text <,> ) y (F_0 )) no habrá resonancia práctica (es decir, para qué valores de (m ) no hay un máximo de ( C ( omega) ) para ( omega & gt 0 ))?

    Ejercicio 2.6.5.

    Una torre de agua en un terremoto actúa como un sistema de manantial de masa. Suponga que el recipiente de arriba está lleno y el agua no se mueve. El contenedor actúa entonces como masa y el soporte actúa como resorte, donde las vibraciones inducidas son horizontales. El recipiente con agua tiene una masa de (m = unit [10,000] text <.> ) Se necesita una fuerza de 1000 newtons para desplazar el contenedor 1 metro. Por simplicidad, suponga que no hay fricción. Cuando el terremoto golpea, la torre de agua está en reposo (no se mueve). El terremoto induce una fuerza externa (F (t) = m A omega ^ 2 cos ( omega t) text <.> )

    ¿Cuál es la frecuencia natural de la torre de agua?

    Si ( omega ) no es la frecuencia natural, encuentre una fórmula para la amplitud máxima de las oscilaciones resultantes del recipiente de agua (la desviación máxima de la posición de reposo). El movimiento será una onda de alta frecuencia modulada por una onda de baja frecuencia, así que simplemente encuentre la constante frente a los senos.

    Suponga que (A = 1 ) y se produce un terremoto con una frecuencia de 0,5 ciclos por segundo. ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? Suponga que si la torre de agua se mueve más de 1,5 metros desde la posición de reposo, la torre se derrumba. ¿Se derrumbará la torre?

    Ejercicio 2.6.101.

    Una masa de 4 kg en un resorte con (k = unitfrac [4]) y una constante de amortiguamiento (c = unitfrac [1] text <.> ) Suponga que (F_0 = unit [2] text <.> ) Usando la función forzada (F_0 cos ( omega t) text <,> ) encuentre el ( omega ) que causa resonancia práctica y encuentre la amplitud.

    Ejercicio 2.6.102.

    Derivar una fórmula para (x_) para (mx '' + cx '+ kx = F_0 cos ( omega t) + A text <,> ) donde (A ) es una constante. Suponga (c & gt 0 text <.> )

    Ejercicio 2.6.103.

    Suponga que no hay amortiguamiento en un sistema de masa y resorte con (m = 5 text <,> ) (k = 20 text <,> ) y (F_0 = 5 text <.> ) Suponga ( omega ) se elige para que sea precisamente la frecuencia de resonancia.

    Encuentre la amplitud de las oscilaciones en el tiempo (t = 100 text <,> ) dado que el sistema está en reposo en (t = 0 text <.> )


    Se utilizan más cebadores en la síntesis de hebras rezagadas que en la síntesis de hebras principales.

    ¿Por qué se requiere primasa para la replicación del ADN?

    ¿Cuál es el papel de la proteína de unión monocatenaria en la replicación del ADN?

    A continuación se muestra una secuencia de ADN. Imagine que esta es una sección de una molécula de ADN que se ha separado en preparación para la replicación, por lo que solo está viendo una hebra de ADN. Construya la secuencia de ADN complementaria (indicando los extremos 5 & rsquo y 3 & rsquo).

    Secuencia de ADN: 3 & rsquo-T A C T G A C T G A C G A T C-5 & rsquo


    Entrenamiento con ejercicios en pacientes mayores con insuficiencia cardíaca y fracción de eyección preservada: un ensayo aleatorio, controlado y ciego simple

    Fondo: La insuficiencia cardíaca (IC) con fracción de eyección del ventrículo izquierdo conservada (ICFEP) es la forma más común de IC en la población de mayor edad. La intolerancia al ejercicio es el síntoma crónico principal en pacientes con HFPEF y es un fuerte determinante de su calidad de vida (QOL) reducida. El entrenamiento con ejercicios (ET) mejora la intolerancia al ejercicio y la calidad de vida en pacientes con IC con fracción de eyección (FE) reducida. Sin embargo, el efecto de ET en HFPEF no se ha examinado en un ensayo controlado aleatorio.

    Métodos y resultados: Esta investigación de 16 semanas fue un estudio aleatorizado, controlado por atención, simple ciego de ET supervisado por un médico (3 días a la semana) sobre la intolerancia al ejercicio y la calidad de vida en 53 pacientes ancianos (edad media, rango de 70 ± 6 años, 60 a 82 años). mujeres, 46) con ICFEP aislada (FE ≥ 50% y sin enfermedad coronaria, valvular o pulmonar significativa). Los controles de atención recibieron llamadas telefónicas de seguimiento quincenales. Cuarenta y seis pacientes completaron el estudio (24 ET, 22 controles). La asistencia a las sesiones de ejercicio en el grupo ET fue excelente (rango de 88%, 64% a 100%). No hubo eventos adversos relacionados con el ensayo. El resultado primario del consumo máximo de oxígeno durante el ejercicio aumentó significativamente en el grupo ET en comparación con el grupo de control (13,8 ± 2,5 a 16,1 ± 2,6 ml / kg por minuto [cambio, 2,3 ± 2,2 ml / kg por minuto] frente a 12,8 ± 2,6 a 12,5 ± 3,4 ml / kg por minuto [cambio, -0,3 ± 2,1 ml / kg por minuto] P = 0,0002). Hubo mejoras significativas en la producción de potencia máxima, el tiempo de ejercicio, la distancia de caminata de 6 minutos y el umbral anaeróbico ventilatorio (todos P & lt0,002). Hubo una mejora en la puntuación de la calidad de vida física (P = 0,03) pero no en la puntuación total (P = 0,11).

    Conclusiones: La ET mejora la capacidad de ejercicio máxima y submáxima en pacientes mayores con HFPEF.


    Hacer buenos negocios requiere atención tanto a la ética como a la ley. Comprender las perspectivas de larga data sobre la ética y el mdashutilitarismo, la deontología, el contrato social y la ética de las virtudes es útil para resolver los problemas éticos que enfrentamos como individuos y empresas. Cada negocio necesita crear o mantener una cultura de excelencia ética, donde haya un diálogo continuo no solo sobre las mejores prácticas técnicas sino también sobre los desafíos y prácticas éticas de la empresa. Una empresa que tiene un propósito y una pasión más allá de la rentabilidad está mejor preparada para satisfacer las necesidades de las diversas partes interesadas y puede posicionarse mejor para el éxito sostenible a largo plazo para los accionistas y otras partes interesadas.

    1. Considere nuevamente el artículo de Milton Friedman & rsquos.
      1. ¿Qué quiere decir Friedman con "costumbre ética"?
      2. Si las leyes de la sociedad limitan la rentabilidad de la empresa, ¿estaría la empresa en su derecho de desobedecer la ley?
      3. ¿Qué pasa si la ley está "en los libros", pero la empresa podría contar con la falta de cumplimiento por parte de los funcionarios estatales que estaban sobrecargados de trabajo y mal pagados? ¿Debería la empresa limitar sus beneficios? Suppose that it could save money by discharging a pollutant into a nearby river, adversely affecting fish and, potentially, drinking water supplies for downstream municipalities. In polluting against laws that aren&rsquot enforced, is it still acting &ldquowithin the rules of the game&rdquo? What if almost all other companies in the industry were saving money by doing similar acts?
      1. Which of his actions, if any, were contrary to utilitarian thinking?
      2. If Kant were his second-in-command and advising him on ethical matters, would he have approved of Mr. Hardy&rsquos behavior? ¿Por qué o por qué no?

      Notice that this question is really a stand-in for any situation faced by a company today regarding its CEO where the actions are not illegal but are ethically questionable. What would conscious capitalism tell a CEO or a board to do where some group of its employees are regularly harassed or disadvantaged by top management?


      60 mins (1 hour) or more of moderate-to-vigorous intensity physical activity daily

      A variety of enjoyable physical activities

      As part of the 60 minutes, on at least 3 days a week, children and adolescents need:

      • Vigorous Activity such as running or soccer
      • Activity that strengthens muscles such as climbing or push ups
      • Activity that strengthens bones such as gymnastics or jumping rope

      2.6E: Exercises for Section 2.6

      En esta sección veremos los límites cuyo valor es infinito o menos infinito. Estos tipos de límites aparecerán con bastante regularidad en secciones posteriores y en otros cursos, por lo que deberá poder lidiar con ellos cuando los encuentre.

      Lo primero que probablemente deberíamos hacer aquí es definir lo que queremos decir cuando decimos que un límite tiene un valor de infinito o menos infinito.

      Definición

      [ mathop < lim> limits_ f left (x right) = infty ]

      si podemos hacer (f (x) ) arbitrariamente grande para todo (x ) lo suficientemente cerca de (x = a ), desde ambos lados, sin dejar realmente (x = a ).

      [ mathop < lim> limits_ f left (x right) = - infty ]

      si podemos hacer (f (x) ) arbitrariamente grande y negativo para todo (x ) lo suficientemente cerca de (x = a ), desde ambos lados, sin dejar realmente (x = a ).

      Estas definiciones también pueden modificarse adecuadamente para los límites unilaterales. Para ver una definición matemática más precisa de este tipo de límite, consulte la sección Definición del límite al final de este capítulo.

      Comencemos con un ejemplo bastante típico que ilustra límites infinitos.

      Por lo tanto, vamos a echar un vistazo a un par de límites unilaterales, así como al límite normal aquí. En los tres casos, observe que no podemos simplemente conectar (x = 0 ). Si lo hiciéramos, obtendríamos una división por cero. Recuerde también que las definiciones anteriores se pueden modificar fácilmente para dar definiciones similares para los dos límites unilaterales que necesitaremos aquí.

      Ahora, hay varias formas en las que podríamos proceder aquí para obtener valores para estos límites. Una forma es conectar algunos puntos y ver a qué valor se acerca la función. En la sección anterior dijimos que ya no íbamos a hacer esto, pero en este caso es una buena manera de ilustrar lo que está sucediendo con esta función.

      Entonces, aquí hay una tabla de valores de (x ) tanto de la izquierda como de la derecha. Usando estos valores, podremos estimar el valor de los dos límites unilaterales y una vez que lo hayamos hecho, podemos usar el hecho de que el límite normal existirá solo si los dos límites unilaterales existen y tienen el mismo valor. .

      (X) ( Displaystyle frac <1>) (X) ( Displaystyle frac <1>)
      -0.1 -10 0.1 10
      -0.01 -100 0.01 100
      -0.001 -1000 0.001 1000
      -0.0001 -10000 0.0001 10000

      En esta tabla podemos ver que a medida que hacemos (x ) cada vez más pequeña la función ( frac <1>) se hace cada vez más grande y conservará el mismo signo que originalmente tenía (x ). Debería tener sentido que esta tendencia continúe para cualquier valor menor de (x ) que decidamos usar. La función es una constante (una en este caso) dividida por un número cada vez más pequeño. La fracción resultante debe ser un número cada vez mayor y, como se indicó anteriormente, la fracción conservará el mismo signo que (x ).

      Podemos hacer que la función sea tan grande y positiva como queramos para todos (x ) lo suficientemente cerca de cero mientras permanecemos positivos (es decir. a la derecha). Del mismo modo, podemos hacer que la función sea tan grande y negativa como queramos para todos (x ) lo suficientemente cerca de cero mientras permanecemos negativos (es decir. a la izquierda). Entonces, de nuestra definición anterior, parece que deberíamos tener los siguientes valores para los dos límites unilaterales.

      Otra forma de ver los valores de los dos límites unilaterales aquí es graficar la función. Nuevamente, en la sección anterior mencionamos que no haremos esto con demasiada frecuencia ya que la mayoría de las funciones no son algo que podamos esbozar rápidamente, así como los problemas de precisión al leer los valores del gráfico. Sin embargo, en este caso, no es demasiado difícil dibujar un gráfico de la función y, en este caso, como veremos, la precisión no será un problema. Entonces, aquí hay un bosquejo rápido del gráfico.

      Entonces, podemos ver en este gráfico que la función se comporta de manera muy similar a como predijimos a partir de los valores de nuestra tabla. Cuanto más se acerca (x ) a cero desde la derecha, más grande (en el sentido positivo) se vuelve la función, mientras que cuanto más se acerca (x ) a cero desde la izquierda, más grande (en el sentido negativo) se vuelve la función .

      Finalmente, el límite normal, en este caso, no existirá ya que los dos límites unilaterales tienen valores diferentes.

      Entonces, en resumen, aquí están los valores de los tres límites para este ejemplo.

      Para la mayoría de los ejemplos restantes en esta sección, intentaremos "hablar a través de" cada límite. Esto significa que veremos si podemos analizar qué debería suceder con la función a medida que nos acercamos mucho al punto en cuestión sin tener que introducir ningún valor en la función. Para la mayoría de los siguientes ejemplos, este tipo de análisis no debería ser tan difícil de hacer. También verificaremos nuestro análisis con un gráfico rápido.

      Entonces, hagamos un par de ejemplos más.

      Como en el ejemplo anterior, comencemos mirando los dos límites unilaterales. Una vez que los tengamos, podremos determinar un valor para el límite normal.

      Por lo tanto, primero echemos un vistazo al límite de la derecha y, como se indicó anteriormente, veamos si podemos averiguar qué hará cada límite sin tener que introducir ningún valor de (x ) en la función. A medida que tomamos valores cada vez más pequeños de (x ), mientras permanecemos positivos, cuadrarlos solo los hará más pequeños (recuerde que elevar al cuadrado un número entre cero y uno lo hará más pequeño) y, por supuesto, permanecerá positivo. Entonces, tenemos una constante positiva dividida por un número positivo cada vez más pequeño. El resultado debería ser un número positivo cada vez mayor. Parece que deberíamos tener el siguiente valor para el límite de la derecha en este caso,

      Ahora, echemos un vistazo al límite de la izquierda. En este caso, vamos a tomar valores cada vez más pequeños de (x ), pero esta vez permanecemos negativos. Cuando los cuadramos, se vuelven más pequeños, pero al cuadrarlos, el resultado ahora es positivo. Entonces, tenemos una constante positiva dividida por un número positivo cada vez más pequeño. El resultado, al igual que con el límite de la derecha, será un número positivo cada vez mayor y, por lo tanto, el límite de la izquierda será,

      Ahora, en este ejemplo, a diferencia del primero, el límite normal existirá y será infinito ya que los dos límites unilaterales existen y tienen el mismo valor. Entonces, en resumen, aquí están todos los límites para este ejemplo, así como un gráfico rápido que verifica los límites.

      Con el siguiente ejemplo, nos alejaremos de solo una (x ) en el denominador, pero como veremos en los siguientes ejemplos, funcionan de la misma manera.

      Empecemos de nuevo con el límite de la derecha. Con el límite de la derecha sabemos que tenemos,

      Además, a medida que (x ) se acerca más y más a -2, (x + 2 ) se acercará más y más a cero, mientras se mantiene positivo como se indicó anteriormente. Entonces, para el límite de la derecha, tendremos una constante negativa dividida por un número positivo cada vez más pequeño. El resultado será un número cada vez mayor y negativo. Entonces, parece que el límite de la derecha será infinito negativo.

      Para el límite de la izquierda tenemos,

      y (x + 2 ) se acercará más y más a cero (y será negativo) a medida que (x ) se acerque más y más a -2. En este caso, tendremos una constante negativa dividida por un número negativo cada vez más pequeño. El resultado será entonces un número positivo cada vez mayor y, por lo tanto, parece que el límite de la izquierda será infinito positivo.

      Finalmente, dado que dos límites unilaterales no son iguales, el límite normal no existirá.

      Aquí están las respuestas oficiales para este ejemplo, así como un gráfico rápido de la función para fines de verificación.

      En este punto debemos reconocer brevemente la idea de asíntotas verticales. Cada uno de los tres gráficos anteriores ha tenido uno. Recuerde de una clase de álgebra que una asíntota vertical es una línea vertical (la línea discontinua en (x = - 2 ) en el ejemplo anterior) en la que la gráfica irá hacia el infinito y / o menos el infinito en uno o ambos lados de la línea.

      En una clase de álgebra son un poco difíciles de definir, aparte de decir prácticamente lo que acabamos de decir. Ahora que tenemos límites infinitos en nuestro haber, podemos definir fácilmente una asíntota vertical de la siguiente manera,

      Definición

      La función (f (x) ) tendrá una asíntota vertical en (x = a ) si tenemos alguno de los siguientes límites en (x = a ).

      [ mathop < lim> limits_> f left (x right) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> limits_> f left (x right) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> limits_ f left (x right) = pm , infty ]

      Tenga en cuenta que solo requiere uno de los límites anteriores para que una función tenga una asíntota vertical en (x = a ).

      Usando esta definición, podemos ver que los dos primeros ejemplos tenían asíntotas verticales en (x = 0 ) mientras que el tercer ejemplo tenía una asíntota vertical en (x = - 2 ).

      Realmente no vamos a hacer mucho con las asíntotas verticales aquí, pero queríamos mencionarlas en este punto, ya que habíamos llegado a un buen momento para hacerlo.

      Veamos ahora un par de ejemplos más de límites infinitos que pueden causar algunos problemas en ocasiones.

      Comencemos con el límite de la derecha. Para este límite tenemos,

      [x & gt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & lt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> right) ^ 3> & lt 0 ]

      también, (4 - x a 0 ) como (x a 4 ). Entonces, tenemos una constante positiva dividida por un número negativo cada vez más pequeño. Los resultados serán un número negativo cada vez mayor y, por lo tanto, parece que el límite de la derecha será infinito negativo.

      Para el límite de zurdos que tenemos,

      [x & lt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & gt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> right) ^ 3> & gt 0 ]

      y todavía tenemos, (4 - x a 0 ) como (x a 4 ). En este caso tenemos una constante positiva dividida por un número positivo cada vez más pequeño. Los resultados serán un número positivo cada vez mayor y, por lo tanto, parece que el límite de la izquierda será infinito positivo.

      El límite normal no existirá ya que los dos límites unilaterales no son iguales. Las respuestas oficiales a este ejemplo son entonces,

      Aquí hay un bosquejo rápido para verificar nuestros límites.

      Todos los ejemplos hasta este punto han tenido una constante en el numerador y probablemente deberíamos echar un vistazo rápido a un ejemplo que no tiene una constante en el numerador.

      Primero, echemos un vistazo al límite para diestros. Para este límite tendremos,

      [x & gt 3 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> x - 3 & gt 0 ]

      La principal diferencia aquí con este ejemplo es el comportamiento del numerador cuando dejamos que (x ) se acerque más y más a 3. En este caso, tenemos el siguiente comportamiento tanto para el numerador como para el denominador.

      Entonces, a medida que permitimos que (x ) se acerque cada vez más a 3 (siempre permaneciendo a la derecha, por supuesto), el numerador, aunque no es una constante, se acerca cada vez más a una constante positiva mientras que el denominador se acerca cada vez más. a cero y será positivo ya que estamos en el lado derecho.

      Esto significa que tendremos un numerador que se acerca cada vez más a una constante positiva distinta de cero dividida por un número positivo cada vez más pequeño y, por lo tanto, el resultado debería ser un número positivo cada vez más grande. El límite de la derecha debería ser infinito positivo.

      Para el límite de la izquierda tendremos,

      [x & lt 3 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> x - 3 & lt 0 ]

      Al igual que con el límite de la derecha, tendremos los siguientes comportamientos para el numerador y el denominador,

      La principal diferencia en este caso es que el denominador ahora será negativo. Entonces, tendremos un numerador que se aproxima a una constante positiva distinta de cero dividida por un número negativo cada vez más pequeño. El resultado será un número cada vez mayor y negativo.

      Las respuestas formales para este ejemplo son entonces,

      Como ocurre con la mayoría de los ejemplos de esta sección, el límite normal no existe ya que los dos límites unilaterales no son iguales.

      Aquí hay un gráfico rápido para verificar nuestros límites.

      Hasta ahora, todo lo que hemos hecho es mirar los límites de las expresiones racionales, hagamos un par de ejemplos rápidos con algunas funciones diferentes.

      Primero, observe que aquí solo podemos evaluar el límite para diestros. Sabemos que el dominio de cualquier logaritmo son solo los números positivos y, por lo tanto, ni siquiera podemos hablar del límite para zurdos porque eso requeriría el uso de números negativos. Del mismo modo, dado que no podemos lidiar con el límite para zurdos, no podemos hablar del límite normal.

      Este límite es bastante simple de obtener a partir de un bosquejo rápido del gráfico.

      De esto podemos ver que,

      [ mathop < lim> limits_> ln left (x right) = - infty ]

      A continuación, se muestra un bosquejo rápido de la gráfica de la función tangente.

      A partir de esto, es fácil ver que tenemos los siguientes valores para cada uno de estos límites,

      [ mathop < lim> limits_<2>> ^ + >> tan left (x right) = - infty hspace <0.5in> mathop < lim> limits_<2>> ^ - >> tan left (x right) = infty ]

      Tenga en cuenta que el límite normal no existirá porque los dos límites unilaterales no son iguales.

      Dejaremos esta sección con algunos datos sobre los límites infinitos.

      Hechos

      para algunos números reales (c ) y (L ). Luego,

      1. ( mathop < lim> límites_ izquierda[ right] = infty )
      2. Si (L & gt 0 ) entonces ( mathop < lim> limits_ izquierda[ right] = infty )
      3. Si (L & lt 0 ) entonces ( mathop < lim> limits_ izquierda[ right] = - infty )
      4. ( Displaystyle mathop < lim> limits_ frac <><> = 0)

      Para ver la prueba de este conjunto de hechos, consulte la sección Prueba de varias propiedades de límite en el capítulo Extras.

      Tenga en cuenta también que el conjunto de hechos anterior también se aplica a los límites unilaterales. También se mantendrán si ( mathop < lim> limits_ f left (x right) = - infty ), con un cambio de signo en los infinitos de las tres primeras partes. Las pruebas de estos cambios en los hechos son casi idénticas a las pruebas de los hechos originales y, por lo tanto, se las deja a usted.


      Ver el vídeo: Stewart Calculus Section day 2 (Septiembre 2021).