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14.5: Teorema del binomio


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Usa el triángulo de Pascal para expandir un binomio
  • Evaluar un coeficiente binomial
  • Usa el teorema del binomio para expandir un binomio

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifique: ( frac {7 cdot 6 cdot 5 cdot 4} {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.25.
  2. Expandir: ((3 x + 5) ^ {2} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.32.
  3. Expandir: ((x-y) ^ {2} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.32.

Usa el triángulo de Pascal para expandir un binomio

En nuestro trabajo anterior, hemos cuadriculado binomios usando FOIL o usando el patrón Binomial Squares. También podemos decir que expandimos ((a + b) ^ {2} ).

((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} )

Para expandir ((a + b) ^ {3} ), reconocemos que esto es ((a + b) ^ {2} (a + b) ) y multiplicamos.

((a + b) ^ {3} )
((a + b) ^ {2} (a + b) )
( left (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} right) (a + b) )
(a ^ {3} +2 a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b + 2 a b ^ {2} + b ^ {3} )
(a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} )
((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} )

Para encontrar un método que sea menos tedioso y que funcione para expansiones superiores como ((a + b) ^ {7} ), nuevamente buscamos patrones en algunas expansiones.

Número de términosPrimer periodoUltimo plazo
((a + b) ^ {1} = a + b )(2) (a ^ {1} ) (b ^ {1} )
((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} )(3) (a ^ {2} ) (b ^ {2} )
((a + b) ^ {3} = a ^ {3} +3 a ^ {2} b + 3 a b ^ {2} + b ^ {3} )(4) (a ^ {3} ) (b ^ {3} )
((a + b) ^ {4} = a ^ {4} +4 a ^ {3} b + 6 a ^ {2} b ^ {2} +4 ab ^ {3} + b ^ {4} )(5) (a ^ {4} ) (b ^ {4} )
((a + b) ^ {5} = a ^ {5} +5 a ^ {4} b + 10 a ^ {3} b ^ {2} +10 a ^ {2} b ^ {3} + 5 ab ^ {4} + b ^ {5} )(6) (a ^ {5} ) (b ^ {5} )
((a + b) ^ {n} )(norte) (a ^ {n} ) (b ^ {n} )
Tabla 12.4.1

Observe que el primer y último término muestran solo una variable. Recuerde que (a ^ {0} = 1 ), por lo que podríamos reescribir el primer y último término para incluir ambas variables. Por ejemplo, podríamos expandir ((a + b) ^ {3} ) para mostrar cada término con ambas variables.

Por lo general, no mostramos los exponentes cero, como solemos escribir (x ) en lugar de (1x ).

Nota

Patrones en la expansión de ((a + b) ^ {n} )

  • El número de términos es (n + 1 ).
  • El primer término es (a ^ {n} ) y el último término es (b ^ {n} ).
  • Los exponentes en (a ) disminuyen en uno en cada término de izquierda a derecha.
  • Los exponentes en (b ) aumentan en uno en cada término de izquierda a derecha.
  • La suma de los exponentes de cualquier término es (n ).

Veamos un ejemplo para resaltar los últimos tres patrones.

De los patrones que identificamos, vemos que las variables en la expansión de ((a + b) ^ {n} ), serían

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} ).

Para encontrar los coeficientes de los términos, escribimos nuestras expansiones nuevamente enfocándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes.

La matriz de la derecha se llama Triángulo de Pascal. Observe que cada número en la matriz es la suma de los dos números más cercanos en la fila de arriba. Podemos encontrar la siguiente fila comenzando y terminando con uno y luego agregando dos números adyacentes.

Este triángulo da los coeficientes de los términos cuando expandimos binomios.

Definición ( PageIndex {1} )

Triángulo de Pascal

En el siguiente ejemplo, usaremos este triángulo y los patrones que reconocimos para expandir el binomio.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((x + y) ^ {6} ).

Solución:

Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. Los exponentes distintos de cero de (x ) comenzarán en seis y disminuirán a uno. Los exponentes distintos de cero de (y ) comenzarán en uno y aumentarán a seis. La suma de los exponentes de cada término será seis. En nuestro patrón, (a = x ) y (b = y ).

( begin {array} {l} {(a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n}} {(x + y) ^ {6 } = x ^ {6} + _ _ _ x ^ {5} y ^ {1} + _ _ _ x ^ {4} y ^ {2} + _ _ _ x ^ {3} y ^ {3} + _ _ _ x ^ {2} y ^ {4} + _ _ _ x ^ {1} y ^ {5} + y ^ {6}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((x + y) ^ {5} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3}} { +5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((p + q) ^ {7} ).

Respuesta

( begin {matriz} {c} {p ^ {7} +7 p ^ {6} q + 21 p ^ {5} q ^ {2} +35 p ^ {4} q ^ {3}} { +35 p ^ {3} q ^ {4} +21 p ^ {2} q ^ {5} +7 pq ^ {6} + q ^ {7}} end {matriz} )

En el siguiente ejemplo queremos expandir un binomio con una variable y una constante. Necesitamos identificar (a ) y (b ) para aplicar cuidadosamente el patrón.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((x + 3) ^ {5} ).

Solución:

Identificamos (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = x ) y (b = 3 ).

Sabemos que las variables para esta expansión seguirán el patrón que identificamos. La suma de los exponentes de cada término será cinco.

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )

((x + 3) ^ {5} = x ^ {5} + _ _ _ x ^ {4} cdot3 ^ {1} + _ _ _ x ^ {3} cdot3 ^ {2 } + _ _ _ x ^ {2} cdot3 ^ {3} + _ _ _ x ^ {1} cdot3 ^ {4} + 3 ^ {5} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((x + 2) ^ {4} ).

Respuesta

(x ^ {4} +8 x ^ {3} +24 x ^ {2} +32 x + 16 )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((x + 1) ^ {6} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {x ^ {6} +6 x ^ {5} +15 x ^ {4} +20 x ^ {3} +15 x ^ {2}} {+6 x + 1} end {matriz} )

En el siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia y el primer término tiene una constante multiplicada por la variable. Una vez que identificamos (a ) y (b ) del patrón, debemos aplicar nuevamente el patrón con cuidado.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((3x-2) ^ {4} ).

Solución:

Identificamos (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = 3x ) y (b = -2 ).

((a + b) ^ {n} = a ^ {n} + _ _ _ a ^ {n-1} b ^ {1} + _ _ _ a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + _ _ _ a ^ {1} b ^ {n-1} + b ^ {n} )

((3 x-2) ^ {4} = 81 x ^ {4} +4 left (27 x ^ {3} right) (- 2) +6 left (9 x ^ {2} right ) (4) +4 (3 x) (- 8) +1 cdot 16 )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((2x-3) ^ {4} ).

Respuesta

(16 x ^ {4} -96 x ^ {3} +216 x ^ {2} -216 x + 81 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Usa el triángulo de Pascal para expandir ((2x-1) ^ {6} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {64 x ^ {6} -192 x ^ {5} +240 x ^ {4} -160 x ^ {3}} {+60 x ^ {2} -12 x +1} end {matriz} )

Evaluar un coeficiente binomial

Si bien el triángulo de Pascal es un método para expandir un binomio, también veremos otro método. Antes de llegar a eso, debemos introducir más notación factorial. Esta notación no solo se usa para expandir binomios, sino también en el estudio y uso de la probabilidad.

Para encontrar los coeficientes de los términos de binomios expandidos, necesitaremos poder evaluar la notación ( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) ) que se llama coeficiente binomial. Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) ) como “ (n ) elige (r )” o “ (n ) tomado (r ) a la vez ”.

Definición ( PageIndex {1} )

Un coeficiente binomial ( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) ), donde (r ) y (b ) son números enteros con (0 leq r leq n ), se define como

( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) = frac {n!} {r! (n-r)!} )

Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) ) como " (n ) elige (r )" o " (n ) tomado (r ) a la vez ".

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Evaluar:

  1. ( left ( begin {array} {l} {5} {1} end {array} right) )
  2. ( left ( begin {array} {l} {7} {7} end {array} right) )
  3. ( left ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) )
  4. ( left ( begin {array} {l} {8} {5} end {array} right) )

Solución:

una. Usaremos la definición de un coeficiente binomial,

( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) = frac {n!} {r! (n-r)!} )

( left ( begin {array} {l} {5} {1} end {array} right) )

Usa la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 5, r = 1 ) .

( frac {5!} {1! (5-1)!} )

Simplificar.

( frac {5!} {1! (4)!} )

Reescribe (5! ) Como (5 cdot 4! )

( frac {5 cdot 4!} {1! cdot 4!} )

Simplifique, eliminando factores comunes.

( frac {5 cdot cancel {4!}} {1! cdot cancel {4!}} )

Simplificar.

(5)

( left ( begin {array} {l} {5} {1} end {array} right) = 5 )

B. ( left ( begin {array} {l} {7} {7} end {array} right) )

Usa la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 7, r = 7 ) .

( frac {7!} {7! (7-7)!} )

Simplificar.

( frac {7!} {7! (0)!} )

Simplificar. Recuerda (0! = 1 ).

(1)

( left ( begin {array} {l} {7} {7} end {array} right) = 1 )

C. ( left ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) )

Usa la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 4, r = 0 ) .

( frac {4!} {0! (4-0)!} )

Simplificar.

( frac {4!} {0! (4)!} )

Simplificar.

(1)

( left ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) = 1 )

D. ( left ( begin {array} {l} {8} {5} end {array} right) )

Usa la definición, ( left ( stackrel {5} {1} right) = frac {n!} {R! (Nr)!} ), Donde (n = 8, r = 5 ) .

( frac {8!} {5! (8-5)!} )

Simplificar.

( frac {8!} {5! (3)!} )

Reescribe (8! ) Como (8 cdot 7 cdot 6 cdot 5! ) Y elimina los factores comunes.

( frac {8 cdot7 cdot cancel {6} cdot cancel {5!}} { cancel {5!} cdot cancel {3} cdot cancel {2} cdot1} )

Simplificar.

(56)

( left ( begin {array} {l} {8} {5} end {array} right) = 56 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Evalúe cada coeficiente binomial:

  1. ( left ( begin {array} {l} {6} {1} end {array} right) )
  2. ( left ( begin {array} {l} {8} {8} end {array} right) )
  3. ( left ( begin {array} {l} {5} {0} end {array} right) )
  4. ( left ( begin {array} {l} {7} {3} end {array} right) )
Respuesta
  1. (6)
  2. (1)
  3. (1)
  4. (35)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Evalúe cada coeficiente binomial:

  1. ( left ( begin {array} {l} {2} {1} end {array} right) )
  2. ( left ( begin {array} {l} {11} {11} end {array} right) )
  3. ( left ( begin {array} {l} {9} {0} end {array} right) )
  4. ( left ( begin {array} {l} {6} {5} end {array} right) )
Respuesta
  1. (2)
  2. (1)
  3. (1)
  4. (6)

En el ejemplo anterior, ((a) ), ((b) ), ((c) ) demuestran algunas propiedades especiales de los coeficientes binomiales.

Definición ( PageIndex {2} )

Propiedades de los coeficientes binomiales

( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n quad left ( begin {array} {l} {n} { n} end {matriz} right) = 1 quad left ( begin {matriz} {l} {n} {0} end {matriz} right) = 1 )

Utilice el teorema del binomio para expandir un binomio

Ahora estamos listos para usar el método alternativo de expandir binomios. La Binomio Teorema usa el mismo patrón para las variables, pero usa el coeficiente binomial para el coeficiente de cada término.

Definición ( PageIndex {3} )

Teorema del binomio

Para cualquier número real (a ) y (b ), y entero positivo (n ),

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {matriz} {c} {n} {1} end {matriz} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} {n} {2} end {matriz} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {matriz} {c} {n} {r} end {matriz } right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((p + q) ^ {4} ).

Solución:

Identificamos (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = p ) y (b = q ).

Usamos el teorema del binomio.

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {matriz} {c} {n} {1} end {matriz} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} {n} {2} end {matriz} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {matriz} {c} {n} {r} end {matriz } right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Sustituye los valores (a = p, b = q ) y (n = 4 ).

((p + q) ^ {4} = left ( begin {array} {c} {4} {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {matriz} {c} {4} {1} end {matriz} right) p ^ {4-1} q ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} {4} {2} end {matriz} right) p ^ {4-2} q ^ {2} + left ( begin {matriz} {c} {4} {3} end {matriz} derecha) p ^ {4-3} q ^ {3} + left ( begin {array} {c} {4} {4} end {array} right) q ^ {4} )

Simplifica los exponentes.

((p + q) ^ {4} = left ( begin {array} {l} {4} {0} end {array} right) p ^ {4} + left ( begin {matriz} {c} {4} {1} end {matriz} right) p ^ {3} q + left ( begin {matriz} {c} {4} {2} end { matriz} derecha) p ^ {2} q ^ {2} + izquierda ( begin {matriz} {c} {4} {3} end {matriz} derecha) pq ^ {3} + izquierda ( begin {matriz} {c} {4} {4} end {matriz} derecha) q ^ {4} )

Evalúe los coeficientes, recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} { n} {n} end {matriz} derecha) = 1, izquierda ( begin {matriz} {l} {n} {0} end {matriz} derecha) = 1 )

((p + q) ^ {4} = 1 p ^ {4} +4 p ^ {3} q ^ {1} + frac {4!} {2! (2)!} p ^ {2} q ^ {2} + frac {4!} {3! (4-3)!} p ^ {1} q ^ {3} +1 q ^ {4} )
((p + q) ^ {4} = p ^ {4} +4 p ^ {3} q + 6 p ^ {2} q ^ {2} +4 pq ^ {3} + q ^ {4} )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((x + y) ^ {5} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {x ^ {5} +5 x ^ {4} y + 10 x ^ {3} y ^ {2} +10 x ^ {2} y ^ {3}} { +5 xy ^ {4} + y ^ {5}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((m + n) ^ {6} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {m ^ {6} +6 m ^ {5} n + 15 m ^ {4} n ^ {2} +20 m ^ {3} n ^ {3}} { +15 m ^ {2} n ^ {4} +6 mn ^ {5} + n ^ {6}} end {matriz} )

Observe que cuando expandimos ((p + q) ^ {4} ) en el último ejemplo, usando el teorema del binomio, obtuvimos los mismos coeficientes que obtendríamos al usar Triángulo de Pascal.

El siguiente ejemplo, el binomio es una diferencia. Cuando el binomio es una diferencia, debemos tener cuidado al identificar los valores que usaremos en el patrón.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((x-2) ^ {5} ).

Solución:

Identificamos (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = x ) y (b = -2 ).

Usamos el teorema del binomio.

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {matriz} {c} {n} {1} end {matriz} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} {n} {2} end {matriz} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {matriz} {c} {n} {r} end {matriz } right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Sustituye los valores (a = x, b = -2 ) y (n = 5 ).

((x-2) ^ {5} = left ( begin {array} {l} {5} {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {matriz} {c} {5} {1} end {matriz} right) x ^ {5-1} (- 2) ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} { 5} {2} end {matriz} right) x ^ {5-2} (- 2) ^ {2} + left ( begin {matriz} {c} {5} {3} end {matriz} right) x ^ {5-3} (- 2) ^ {3} + left ( begin {matriz} {c} {5} {4} end {matriz} right ) x ^ {5-4} (- 2) ^ {4} + left ( begin {array} {c} {5} {5} end {array} right) (- 2) ^ { 5} )

Simplifica los coeficientes. Recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} {n} end {matriz} right) = 1, left ( begin {matriz} {l} {n} {0} end {matriz} right) = 1 ).

((x-2) ^ {5} = left ( begin {array} {l} {5} {0} end {array} right) x ^ {5} + left ( begin {matriz} {c} {5} {1} end {matriz} right) x ^ {4} (- 2) + left ( begin {matriz} {c} {5} {2 } end {matriz} right) x ^ {3} (- 2) ^ {2} + left ( begin {matriz} {c} {5} {3} end {matriz} right) x ^ {2} (- 2) ^ {3} + left ( begin {array} {c} {5} {4} end {array} right) x (-2) ^ {4} + left ( begin {array} {c} {5} {5} end {array} right) (- 2) ^ {5} )

((x-2) ^ {5} = 1 x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} + frac {5!} {2! cdot 3!} (- 2) ^ { 2} x ^ {3} + frac {5!} {3! 2!} (- 2) ^ {3} x ^ {2} + frac {5!} {4! 1!} (- 2) ^ {4} x + 1 (-2) ^ {5} )

((x-2) ^ {5} = x ^ {5} +5 (-2) x ^ {4} +10 cdot 4 cdot x ^ {3} +10 (-8) x ^ {2 } +5 cdot 16 cdot x + 1 (-32) )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((x-3) ^ {5} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {x ^ {5} -15 x ^ {4} +90 x ^ {3} -270 x ^ {2}} {+405 x-243} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((y-1) ^ {6} ).

Respuesta

( begin {array} {l} {y ^ {6} -6 y ^ {5} +15 y ^ {4} -20 y ^ {3} +15 y ^ {2}} {-6 y + 1} end {matriz} )

Las cosas pueden complicarse cuando ambos términos tienen un coeficiente y una variable.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((2x-3y) ^ {4} ).

Solución:

Identificamos (a ) y (b ) del patrón.

En nuestro patrón, (a = 2x ) y (b = -3y ).

Usamos el teorema del binomio.

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {matriz} {c} {n} {1} end {matriz} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} {n} {2} end {matriz} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {matriz} {c} {n} {r} end {matriz } right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )

Sustituye los valores (a = 2x, b = -3y ) y (n = 4 ).

Simplifica los exponentes.

Evalúa los coeficientes. Recuerde, ( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n, left ( begin {array} {l} {n} {n} end {matriz} right) = 1, left ( begin {matriz} {l} {n} {0} end {matriz} right) = 1 )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((3x-2y) ^ {5} ).

Respuesta

( begin {array} {l} {243 x ^ {5} -810 x ^ {4} y + 1080 x ^ {3} y ^ {2}} {-720 x ^ {2} y ^ {3 } +240 xy ^ {4} -32 y ^ {5}} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Usa el teorema del binomio para expandir ((4x-3y) ^ {4} ).

Respuesta

( begin {matriz} {l} {256 x ^ {4} -768 x ^ {3} y + 864 x ^ {2} y ^ {2}} {-432 xy ^ {3} +81 y ^ {4}} end {matriz} )

La verdadera belleza del teorema del binomio es que da una fórmula para cualquier término particular de la expansión sin tener que calcular la suma completa. Busquemos un patrón en el Teorema del binomio.

Observe que en cada caso el exponente en (b ) es uno menos que el número del término. El término ((r + 1) ^ {st} ) es el término donde el exponente de (b ) es (r ). Entonces podemos usar el formato del término ((r + 1) ^ {st} ) para encontrar el valor de un término específico.

Nota

Encuentre un término específico en una expansión binomial

El término ((r + 1) ^ {s t} ) en la expansión de ((a + b) ^ {n} ) es

( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) a ^ {n-r} b ^ {r} )

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Encuentra el cuarto término de ((x + y) ^ {7} ).

Solución:

En nuestro patrón, (n = 7, a = x ) y (b = y ).

Buscamos el cuarto trimestre.

Dado que (r + 1 = 4 ), entonces (r = 3 ).

Escribe la formula
Sustituye los valores (n = 7, r = 3, a = x ) y (b = y ).
Simplificar.
Simplificar.
Tabla 12.4.1

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentra el tercer término de ((x + y) ^ {6} ).

Respuesta

(15x ^ {4} y ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Encuentra el quinto término de ((a + b) ^ {8} ).

Respuesta

(8ab ^ {7} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Encuentra el coeficiente del término (x ^ {5} ) de ((x + 4) ^ {8} ).

Respuesta

(7,168)

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentra el coeficiente del término (x ^ {4} ) de ((x + 2) ^ {7} ).

Respuesta

(280)

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con secuencias.

  • Expansión binomial usando el triángulo de Pascal
  • Coeficientes binomiales

Conceptos clave

  • Patrones en la expansión de ((a + b) ^ {n} (
    • El número de términos es (n + 1 ).
    • El primer término es (a ^ {n} ) y el último término es (b ^ {n} ).
    • Los exponentes en (a ) disminuyen en uno en cada término de izquierda a derecha.
    • Los exponentes en (b ) aumentan en uno en cada término de izquierda a derecha.
    • La suma de los exponentes de cualquier término es (n ).
  • Triángulo de Pascal
  • Coeficiente binomial ( left ( begin {array} {l} { mathbf {n}} { mathbf {r}} end {array} right) ) : Un coeficiente binomial ( left ( begin {array} {l} { mathbf {n}} { mathbf {r}} end {array} right) ), donde (r ) y (n ) son números enteros con (0≤r≤n ), se define como

( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) = frac {n!} {r! (n-r)!} )

Leemos ( left ( begin {array} {l} {n} {r} end {array} right) ) como “ (n ) elige (r )” o “ (n ) tomado (r ) a la vez ”.

  • Propiedades de los coeficientes binomiales

( left ( begin {array} {l} {n} {1} end {array} right) = n quad left ( begin {array} {l} {n} { n} end {matriz} right) = 1 quad left ( begin {matriz} {l} {n} {0} end {matriz} right) = 1 )

  • Teorema del binomio:

Para cualquier número real (a ), (b ) y entero positivo (n ),

((a + b) ^ {n} = left ( begin {array} {c} {n} {0} end {array} right) a ^ {n} + left ( begin {matriz} {c} {n} {1} end {matriz} right) a ^ {n-1} b ^ {1} + left ( begin {matriz} {c} {n} {2} end {matriz} right) a ^ {n-2} b ^ {2} + ldots + left ( begin {matriz} {c} {n} {r} end {matriz } right) a ^ {nr} b ^ {r} + ldots + left ( begin {array} {c} {n} {n} end {array} right) b ^ {n} )


14.5: Teorema del binomio

Audio / Videos para Math 102

Conferencias flash de audio / video para Math 102 (no para MDEV 102).

Notas: Al ejecutar un video, puede seleccionar el tema que desea ver haciendo clic en un tema en la tabla de contenido. Además, cada uno tiene audio, así que use auriculares o use una computadora con parlantes. La mayoría de los videos duran entre 3 y 7 minutos. Si un video dura más de 7 minutos, el tiempo se indica a un lado.

curso introductorio

Capítulo uno y dos conjuntos

1.1 Enfoque de cuatro pasos de Polya 2.3 Intersección de conjuntos
1.1 Problema de apretón de manos (8.5 minutos) 2.3 Unión de Conjuntos
2.3 Complemento de un conjunto
1.2 Estimación, redondeo y notación 2.3 Establecer diferencia / complemento relativo
2.3 Cardinalidad de la unión de conjuntos
2.1 ¿Qué es un conjunto? 2.3 Leyes de DeMorgan
2.1 Descripción de un conjunto 2.3 Ejemplos simbólicos
2.1 Notación y términos básicos 2.3 Diagramas de Venn y propiedades distributivas
2 .2 Igualdad, subconjunto y subconjunto adecuado 2.4 Problema de encuesta 1 (básico)
2.2 Número de subconjuntos de un conjunto 2.4 Problema de encuesta 2 (O)
2.2 Conjuntos equivalentes 2.4 Problema de encuesta 3 (inconsistente)
2.2 Número de correspondencias uno a uno
2.2 Triángulo de Pascal (número de subconjuntos)

Capítulo Tres Lógica

1.3 Razonamiento inductivo 3.3 Tablas de verdad: condicional y bicondicional
1.3 Razonamiento deductivo 3.3 Formas de enunciar un condicional
3.3 Definir recíproco, inverso y contrapositivo
3.1 Declaraciones 3.3 Equivalencia - Con., Inv. & amp Contra. (Método 1) (Método 2)
3.1 Conectivos 3.3 Más ejemplos recíprocos, inversos y contrapositivos
3.1 Más muestras con conectivos 3.3 Bicondicional y Equivalencia (Método 1) (Método 2)
3.1 Cuantificadores 3.3 Propiedad de implicación (método 1) (método 2)
3.1 Negar declaraciones cuantificadas 3.3 Negación de lo suficiente y necesario
3.1 Coherencia entre declaraciones cuantificadas
3.4 Ley del desapego y falacia del inverso (Md1) (Md2)
3.2 Tablas de verdad: negación, conjunción, disyunción 3.4 Ley de contraposición y falacia de la inversa (Md1) (Md2)
3.2 Construcción de tablas de verdad (método 1) (método 2) 3.4 Silogismo disyuntivo (método 1) (método 2)
3.2 Número de casos para una tabla de verdad 3.4 Silogismo hipotético (método 1) (método 2)
3.2 Tautología y contradicción (método 1) (método 2) 3.4 Tabla de verdad para argumentos complejos (método 1) (método 2)
3.2 Equivalencia - Distributiva (Método 1) (Método 2) 3.4 Prueba T para un argumento
3.2 Leyes de DeMorgan (Método 1) (Método2) 3.4 Otra prueba T para un argumento
3.5 Silogismos con cuantificadores universales y existenciales
Resumen: argumentos & quotReal & quot 3.5 Más silogismos con cuantificadores universales y existenciales

Capítulo trece contando

13.1 Introducción a los métodos de conteo 13.3 Permutaciones
13.3 Fórmulas de permutación
13.2 Principio fundamental de conteo 13.3 Permutaciones con repeticiones
13.2 Principio fundamental de conteo (más ejemplos) 13.3 Combinaciones
13.3 Permutaciones y combinaciones
13.4 Póquer
13.4 Bola de poder

Capítulo catorce Probabilidad

Capítulo quince Estadística descriptiva

15.1 Encuestas y recopilación de datos 15.3 Medidas de dispersión
15.1 Definiciones básicas para estadísticas 15.3 Más medidas de dispersión
15.1 Tablas de frecuencia y frecuencia relativa (7:20) 15.3 Coeficiente de variación
15.1 Gráficos de barras e histogramas
15.1 Interpretación de histogramas 15.4 Introducción a la curva normal (7:11)
15.1 Pantallas de tallo y hojas 15.4 Introducción a la puntuación z
15.4 Más ejemplos de puntuación z
15.2 ¿Qué es & quotaverage & quot? 15.4 Más aplicaciones de z-score
15.2 Ventajas y desventajas de los tipos de promedios
15.2 Calcular media, mediana, moda y rango medio 15.5 Línea de mejor ajuste - Motivación - Mile Run
15.2 Inferencias conociendo el promedio y más información (7:18) 15.5 Calcular la línea de mejor ajuste
15.2 Resumen de cinco números y caja y bigote 15.5 Calcular el coeficiente de correlación lineal
15.5 Propiedades del coeficiente de correlación lineal
15.5 Ejemplo de resumen: sellos de primera clase

Microsoft Excel 2003 para estadísticas

Microsoft Excel 2007 para estadísticas

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5 Prueba binomial

La prueba binomial se utiliza para buscar evidencia de que la proporción de una variable aleatoria distribuida Binomial puede diferir de un valor hipotético (o observado previamente).

5.1.1 Estadística de prueba

La estadística de prueba para una prueba binomial es la frecuencia observada de sujetos experimentales que exhiben el rasgo de interés.

5.1.2 Definiciones

Sea (X ) una variable aleatoria siguiendo una distribución binomial con los parámetros (n ) y ( pi ). Sea (x ) la frecuencia observada de sujetos experimentales que exhiben el rasgo de interés.

5.1.3 Hipótesis

Las hipótesis para la prueba Binomial pueden adoptar las siguientes formas:

[empezar H_0: pi = pi_0 H_a: pi neq pi_0 end]

[empezar H_0: pi & lt pi_0 H_a: pi geq pi_0 end]

[empezar H_0: pi & gt pi_0 H_a: pi leq pi_0 end]

5.1.4 Regla de decisión

La decisión de rechazar la hipótesis nula se toma cuando el valor observado de (x ) se encuentra en la región crítica que sugiere que la probabilidad de esa observación es baja. Definimos la región crítica como el límite superior que estamos dispuestos a aceptar para ( alpha ), el error de tipo I.

En una prueba de dos caras, el límite superior se comparte por igual en ambas colas. Debido a la naturaleza discreta de la distribución, la probabilidad total en las colas puede no ser igual a ( alpha ). Las figuras siguientes muestran ejemplos de regiones de rechazo para valores seleccionados de los parámetros de distribución binomial. La regla de decisión es:

Rechazar (H_0 ) si (x & lt Binomial ( alpha / 2, n, pi_0) ) o (x & gt Binomial (1 - alpha / 2, n, pi_0) )

Figura 5.1: Los ejemplos mostrados usan (n = 20 ). Para los ejemplos superior, medio e inferior, ( pi ) se establece en 0,3, 0,5 y 0,75, respectivamente. Observe que, en algunos casos, las regiones de rechazo para ( alpha = 0.10 ) y ( alpha = 0.05 ) son idénticas.

En la prueba de un solo lado, ( alpha ) se coloca en una sola cola. Las figuras siguientes muestran ejemplos de regiones de rechazo para valores seleccionados de los parámetros de distribución binomial. En cada caso, ( alpha ) es el área en la cola de la figura. De ello se deduce, entonces, que la regla de decisión para una prueba de cola inferior es:

Rechazar (H_0 ) cuando (x leq Binomial ( alpha, n, pi_0) )

Para una prueba de cola superior, la regla de decisión es:

Rechazar (H_0 ) cuando (x geq Binomial (1 - alpha, n, pi_0) )

Figura 5.2: Los ejemplos mostrados usan (n = 20 ). Para los ejemplos superior, medio e inferior, ( pi ) se establece en 0,3, 0,5 y 0,75, respectivamente.

5.1.5 Energía

Las siguientes derivaciones utilizan los siguientes símbolos:

  • (x ): La frecuencia observada de unidades experimentales que exhiben el rasgo de interés.
  • (n ): el número total de unidades experimentales.
  • ( pi_0 ): La proporción de la población que exhibe el rasgo de interés bajo la hipótesis nula.
  • ( pi_a ): La proporción de la población que exhibe el rasgo de interés bajo la hipótesis alternativa.
  • ( alpha ): el nivel de significancia.
  • ( gamma ( pi) ): La potencia de la prueba para el parámetro ( pi ).
  • (Binomial ( alpha, n, pi) ): Un cuantil de la distribución Binomial con una probabilidad ( alpha ) y parámetros (n ) y ( pi ).
  • (C ): La región crítica.

Prueba de dos caras

[empezar gamma ( pi_a) & amp = P _ < pi_a> (x en C) & amp = P _ < pi_a> (Binomial ( alpha / 2, n, pi_0) leq Binomial ( alpha / 2, n, pi_a)) + & amp P _ < pi_a> (Binomial (1 - alpha / 2, n, pi_0) geq Binomial (1 - alpha / 2, n, pi_a)) end]

Prueba del lado izquierdo

[empezar gamma ( pi_a) & amp = P _ < pi_a> (x en C) & amp = P _ < pi_a> (Binomial ( alpha, n, pi_0) leq Binomial ( alpha, n, pi_a )) final]

Prueba del lado derecho

[empezar gamma ( pi_a) & amp = P _ < pi_a> (x en C) & amp = P _ < pi_a> (Binomial (1 - alpha, n, pi_0) geq Binomial (1 - alpha, n, pi_a)) end]

Dado que la distribución Binomial es discreta, la curva de potencia tiene la interesante característica de no ser monótona. A veces se describe como que tiene una apariencia de "dientes de sierra". Este comportamiento significa que no siempre se prefiere un tamaño de muestra mayor. Por ejemplo, en la siguiente figura, un tamaño de muestra de 10 tiene mejor poder que un tamaño de muestra de 12.

Figura 5.3: Potencia para una prueba binomial con ( pi_0 = .15 ) y ( pi_a = 0.25 )


Sobre el Autor

CARLOS A. BRAUMANN es profesor en el Departamento de Matemáticas y miembro del Centro de Investigación en Matemáticas y Aplicaciones de la Universidade de & # 201vora, Portugal. Es miembro electo del Instituto Internacional de Estadística & # 40 desde 1992 & # 41, ex presidente de la Sociedad Europea de Biología Matemática y Teórica & # 402009 & # 4512 & # 41 y de la Sociedad Portuguesa de Estadística & # 402006 & # 4509 y 2009 & # 4512 & # 41, y ex miembro del Comité Regional Europeo de la Sociedad Bernoulli & # 402008 & # 4512 & # 41. Se ha ocupado de la ecuación diferencial estocástica & # 40SDE & # 41 modelos y aplicaciones & # 40 principalmente biológicas & # 41.


33.4 Resultados preliminares en el campo de los números reales

33.4.1 Teorema: unicidad de las identidades

Los elementos de identidad son únicos.

Prueba: Suponga que (u star a = a star u = a ) y (e star a = a star e = a, forall a in Re ). Entonces (u = u star e = e ).

33.4.2 Teorema 2: Unicidad de los inversos

Si ( star ) es una operación asociativa, los elementos inversos de ( star ) son únicos.

Supongamos que (a star a_1 = a_1 star a = e ) y (a star a_2 = a_2 star a = e ), donde (e ) es el elemento de identidad para la operación ( star ).

Entonces (a_1 = a_1 star e = a_1 star (a star a_2) = (a_1 star a) star a_2) = e star a_2 = a_2 ).

33.4.3 Teorema: Ley de cancelación izquierda

Si (a ) tiene una (a ^ prime ) inversa con respecto a la operación asociativa ( star ), y (a star b = a star c ), entonces (b = C) .

Suponga (a star b = a star c ). Luego

[empezar a ^ prime star (a star b) & amp = a ^ prime star (a star c) Rightarrow (a ^ prime star a) star b & amp = (a ^ prime estrella a) estrella c Rightarrow e star b & amp = e star c Rightarrow b & amp = c end]

33.4.4 Corolario: Derecho de cancelación

En el campo (( Re, +, cdot), a + b = a + c Rightarrow b = c ), y si (a neq 0 ) y (ab = ac ), luego (b = c ).

Prueba: El Corolario se prueba usando conmutatividad y cancelación izquierda.

33.4.5 Lema

Por axioma 4 (- 0 + 0 = 0 ). Como 0 es la identidad aditiva, (- 0 + 0 = -0 ). Por lo tanto (- 0 = -0 + 0 = 0 ).

33.4.6 Teorema

( forall a in Re, a & gt0 ) si y solo si (a in Re ^ + ).

Prueba: Suponga (0 & lta ). Entonces (a-0 in Re ^ + ), pero (a-0 = a ), entonces (a in Re ^ + ). A la inversa, suponga (a in Re ^ + ). Entonces (a-0 = a in Re ^ + ), entonces (0 & lta ).

33.4.7 Teorema

[empezar 0 + x cdot 0 & amp = x cdot 0 & amp = x cdot (0 + 0) & amp = x cdot 0 + x cdot 0 Rightarrow 0 & amp = x cdot 0 end]


4.3 Valores esperados

  1. (q = (1 - pi) )
  2. Sea (y = x - 1 ) y (n = m + 1 )
    ( Flecha derecha ) (x = y + 1 ) y (m = n - 1 )
  3. ( suma límites_^y pi ^ yq ^) tiene la forma del valor esperado de (Y ), y (E (Y) = m pi = (n-1) pi ). ( suma límites_^ pi ^ yq ^) es la suma de todas las probabilidades sobre el dominio de (Y ) que es 1.

[empezar mu & amp = E (X) & amp = n pi sigma ^ 2 & amp = E (X ^ 2) - E (X) ^ 2 & amp = n ^ 2 pi ^ 2 - n pi ^ 2 + n pi - n ^ 2 pi ^ 2 & amp = -n pi ^ 2 + n pi & amp = n pi (- pi-1) & amp = n pi (1- pi) end]


Acerca de la práctica básica de la estadística 8a edición Pdf gratis

David Moore fue pionero en el enfoque (conceptual) del & # 8220data analysis & # 8221 para The Basic Practice Of Statistics 8th Edition Moore Pdf. Moore & # 8217s The Basic Practice Of Statistics Pdf se convirtió en el bestseller líder en el mercado al centrarse en cómo se recopilan, analizan y aplican las estadísticas a problemas y situaciones reales, y al confrontar las ansiedades de los estudiantes sobre la relevancia y las dificultades del curso.

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Sus estudiantes tienen acceso ilimitado a los cursos de WebAssign que usan esta edición del libro de texto sin costo adicional.

Los recursos de instrucción y aprendizaje adicionales están disponibles con el libro de texto y pueden incluir bancos de pruebas, presentaciones de diapositivas, simulaciones en línea, videos y documentos.

El acceso depende del uso de este libro de texto en el aula del instructor.

  • Capítulo 1: Representación de distribuciones con gráficos
    • 1.1: Individuos y variables (1)
    • 1.2: Variables categóricas: gráficos circulares y gráficos de barras (3)
    • 1.3: Variables cuantitativas: histogramas (1)
    • 1.4: Interpretación de histogramas
    • 1.5: Variables cuantitativas: stemplots (2)
    • 1.6: Gráficas de tiempo (1)
    • 1: Compruebe sus habilidades (10)
    • 1: Ejercicios (19)
    • 1: Explorando la Web
    • 1: Problemas adicionales (4)
    • 2.1: Centro de medida: la media (2)
    • 2.2: Centro de medición: la mediana
    • 2.3: Comparing the mean and the median (3)
    • 2.4: Measuring variability: the quartiles
    • 2.5: The five-number summary and boxplots (2)
    • 2.6: Spotting suspected outliers and modified boxplots (2)
    • 2.7: Measuring variability: the standard deviation
    • 2.8: Choosing measures of center and variability (3)
    • 2.9: Using technology
    • 2.10: Organizing a statistical problem (2)
    • 2: Check Your Skills (10)
    • 2: Exercises (18)
    • 2: Exploring the Web
    • 2: Extra Problems (12)
    • 3.1: Density curves (2)
    • 3.2: Describing density curves (2)
    • 3.3: Normal distributions
    • 3.4: The 68&ndash95&ndash99.7 rule (2)
    • 3.5: The standard Normal distribution (2)
    • 3.6: Finding Normal proportions
    • 3.7: Using the standard Normal table (3)
    • 3.8: Finding a value given a proportion (2)
    • 3: Check Your Skills (10)
    • 3: Exercises (27)
    • 3: Exploring the Web
    • 3: Extra Problems (19)
    • 4.1: Explanatory and response variables (3)
    • 4.2: Displaying relationships: scatterplots (1)
    • 4.3: Interpreting scatterplots (1)
    • 4.4: Adding categorical variables to scatterplots
    • 4.5: Measuring linear association: correlation (1)
    • 4.6: Facts about correlation (2)
    • 4: Check Your Skills (10)
    • 4: Exercises (18)
    • 4: Exploring the Web
    • 4: Extra Problems (4)
    • 5.1: Regression lines (3)
    • 5.2: The least-squares regression line
    • 5.3: Using technology (2)
    • 5.4: Facts about least-squares regression (1)
    • 5.5: Residuals (3)
    • 5.6: Influential observations (3)
    • 5.7: Cautions about correlation and regression (3)
    • 5.8: Association does not imply causation (3)
    • 5: Check Your Skills (10)
    • 5: Exercises (26)
    • 5: Exploring the Web
    • 5: Extra Problems
    • 6.1: Marginal distributions (2)
    • 6.2: Conditional distributions (3)
    • 6.3: Simpson's paradox (2)
    • 6: Check Your Skills (7)
    • 6: Exercises (14)
    • 6: Exploring the Web
    • 6: Extra Problems
    • 7: Test Yourself (33)
    • 7: Supplementary Exercises (15)
    • 7: Extra Problems (1)
    • 8.1: Population versus sample (3)
    • 8.2: How to sample badly (2)
    • 8.3: Simple random samples (3)
    • 8.4: Inference about the population (1)
    • 8.5: Other sampling designs (2)
    • 8.6: Cautions about sample surveys (1)
    • 8.7: The impact of technology (1)
    • 8: Check Your Skills (7)
    • 8: Exercises (16)
    • 8: Exploring the Web
    • 8: Extra Problems (5)
    • 9.1: Observation versus experiment (3)
    • 9.2: Subjects, factors, and treatments (3)
    • 9.3: How to experiment badly (1)
    • 9.4: Randomized comparative experiments (2)
    • 9.5: The logic of randomized comparative experiments (2)
    • 9.6: Cautions about experimentation (2)
    • 9.7: Matched pairs and other block designs (3)
    • 9: Check Your Skills (9)
    • 9: Exercises (19)
    • 9: Exploring the Web
    • 9: Extra Problems (1)
    • 10.1: Institutional review boards (1)
    • 10.2: Informed consent (1)
    • 10.3: Confidentiality (1)
    • 10.4: Clinical trials
    • 10.5: Behavioral and social science experiments (1)
    • 10: Check Your Skills
    • 10: Exercises (6)
    • 10: Exploring the Web
    • 10: Extra Problems
    • 11: Test Yourself (14)
    • 11: Supplementary Exercises (6)
    • 11: Extra Problems (1)
    • 12.1: The idea of probability
    • 12.2: The search for randomness (3)
    • 12.3: Probability models (3)
    • 12.4: Probability rules (4)
    • 12.5: Finite and discrete probability models (3)
    • 12.6: Continuous probability models (3)
    • 12.7: Random variables (2)
    • 12.8: Personal probability (2)
    • 12: Check Your Skills (10)
    • 12: Exercises (25)
    • 12: Exploring the Web
    • 12: Extra Problems (28)
    • 13.1: Independence and the multiplication rule (3)
    • 13.2: The general addition rule (2)
    • 13.3: Conditional probability (3)
    • 13.4: The general multiplication rule (3)
    • 13.5: Independence again (1)
    • 13.6: Tree diagrams (4)
    • 13.7: Bayes' rule
    • 13: Check Your Skills (10)
    • 13: Exercises (30)
    • 13: Exploring the Web
    • 13: Extra Problems (15)
    • 14.1: The binomial setting and binomial distributions
    • 14.2: Binomial distributions in statistical sampling (4)
    • 14.3: Binomial probabilities
    • 14.4: Using technology (3)
    • 14.5: Binomial mean and standard deviation (2)
    • 14.6: The Normal approximation to binomial distributions (3)
    • 14: Check Your Skills (9)
    • 14: Exercises (22)
    • 14: Exploring the Web
    • 14: Extra Problems (8)
    • 15.1: Parameters and statistics (2)
    • 15.2: Statistical estimation and the law of large numbers
    • 15.3: Sampling distributions (2)
    • 15.4: The sampling distribution of (3)
    • 15.5: The central limit theorem (2)
    • 15.6: Sampling distributions and statistical significance
    • 15: Check Your Skills (7)
    • 15: Exercises (19)
    • 15: Exploring the Web
    • 15: Extra Problems (16)
    • 16.1: The reasoning of statistical estimation (2)
    • 16.2: Margin of error and confidence level (1)
    • 16.3: Confidence intervals for a population mean (3)
    • 16.4: How confidence intervals behave (3)
    • 16: Check Your Skills (8)
    • 16: Exercises (7)
    • 16: Exploring the Web
    • 16: Extra Problems (8)
    • 17.1: The reasoning of tests of significance (1)
    • 17.2: Stating hypotheses (5)
    • 17.3: PAG-value and statistical significance (3)
    • 17.4: Tests for a population mean (2)
    • 17.5: Significance from a table (3)
    • 17.6: Resampling: significance from a simulation
    • 17: Check Your Skills (9)
    • 17: Exercises (13)
    • 17: Exploring the Web
    • 17: Extra Problems (8)
    • 18.1: Conditions for inference in practice (3)
    • 18.2: Cautions about confidence intervals (4)
    • 18.3: Cautions about significance tests (4)
    • 18.4: Planning studies: sample size for confidence intervals (2)
    • 18.5: Planning studies: the power of a statistical test (4)
    • 18: Check Your Skills (9)
    • 18: Exercises (25)
    • 18: Exploring the Web
    • 18: Extra Problems (11)
    • 19: Test Yourself (38)
    • 19: Supplementary Exercises (16)
    • 19: Extra Problems
    • 20.1: Conditions for inference about a mean (2)
    • 20.2: The t distributions (2)
    • 20.3: The one-sample t confidence interval (2)
    • 20.4: The one-sample t test (2)
    • 20.5: Using technology
    • 20.6: Matched pairs t procedures (1)
    • 20.7: Robustness of t procedures (2)
    • 20.8: Resampling and standard errors
    • 20: Check Your Skills (9)
    • 20: Exercises (18)
    • 20: Exploring the Web
    • 20: Extra Problems (12)
    • 21.1: Two-sample problems (1)
    • 21.2: Comparing two population means
    • 21.3: Two-sample t procedures (1)
    • 21.4: Using technology (1)
    • 21.5: Robustness again (4)
    • 21.6: Details of the t approximation (1)
    • 21.7: Avoid the pooled two-sample t procedures
    • 21.8: Avoid inference about standard deviations
    • 21.9: Permutation tests
    • 21: Check Your Skills (9)
    • 21: Exercises (23)
    • 21: Exploring the Web
    • 21: Extra Problems (8)
    • 22.1: The sample proportion (2)
    • 22.2: Large-sample confidence intervals for a proportion (2)
    • 22.3: Choosing the sample size (2)
    • 22.4: Significance tests for a proportion (3)
    • 22.5: Plus four confidence intervals for a proportion (3)
    • 22: Check Your Skills (7)
    • 22: Exercises (6)
    • 22: Exploring the Web
    • 22: Extra Problems (17)
    • 23.1: Two-sample problems: proportions
    • 23.2: The sampling distribution of a difference between proportions
    • 23.3: Large-sample confidence intervals for comparing proportions
    • 23.4: Using technology
    • 23.5: Significance tests for comparing proportions (3)
    • 23.6: Plus four confidence intervals for comparing proportions (1)
    • 23: Check Your Skills (6)
    • 23: Exercises (16)
    • 23: Exploring the Web
    • 23: Extra Problems (7)
    • 24: Test Yourself (24)
    • 24: Supplementary Exercises (15)
    • 24: Extra Problems (14)
    • 25.1: Two-way tables (1)
    • 25.2: The problem of multiple comparisons (1)
    • 25.3: Expected counts in two-way tables (1)
    • 25.4: The chi-square test statistic
    • 25.5: Cell counts required for the chi-square test
    • 25.6: Using technology (2)
    • 25.7: Uses of the chi-square test: independence and homogeneity (1)
    • 25.8: The chi-square distributions (1)
    • 25.9: The chi-square test for goodness of fit (5)
    • 25: Check Your Skills (10)
    • 25: Exercises (11)
    • 25: Exploring the Web
    • 25: Extra Problems (11)
    • 26.1: Conditions for regression inference
    • 26.2: Estimating the parameters (1)
    • 26.3: Using technology (2)
    • 26.4: Testing the hypothesis of no linear relationship (3)
    • 26.5: Testing lack of correlation (2)
    • 26.6: Confidence intervals for the regression slope (3)
    • 26.7: Inference about prediction (2)
    • 26.8: Checking the conditions for inference (2)
    • 26: Check Your Skills (9)
    • 26: Exercises (23)
    • 26: Exploring the Web
    • 26: Extra Problems (13)
    • 27.1: Comparing several means
    • 27.2: The analysis of variance F test (1)
    • 27.3: Using technology (1)
    • 27.4: The idea of analysis of variance
    • 27.5: Conditions for ANOVA (2)
    • 27.6: F distributions and degrees of freedom (2)
    • 27.7: Some details of ANOVA (3)
    • 27: Check Your Skills (2)
    • 27: Exercises (11)
    • 27: Exploring the Web
    • 27: Extra Problems (20)
    • 28.1: Comparing two samples: the Wilcoxon rank sum test
    • 28.2: The Normal approximation for W
    • 28.3: Using technology
    • 28.4: What hypotheses does Wilcoxon test?
    • 28.5: Dealing with ties in rank tests (2)
    • 28.6: Matched pairs: the Wilcoxon signed rank test
    • 28.7: The Normal approximation for W + (3)
    • 28.8: Dealing with ties in the signed rank test
    • 28.9: Comparing several samples: the Kruskal&ndashWallis test
    • 28.10: Hypotheses and conditions for the Kruskal&ndashWallis test
    • 28.11: The Kruskal&ndashWallis test statistic
    • 28: Check Your Skills (8)
    • 28: Exercises
    • 28: Exploring the Web
    • 28: Extra Problems
    • 29.1: Parallel regression lines (2)
    • 29.2: Estimating parameters
    • 29.3: Using technology
    • 29.4: Inference for multiple regression
    • 29.5: Interaction (4)
    • 29.6: The general multiple linear regression model (1)
    • 29.7: The woes of regression coefficients
    • 29.8: A case study for multiple regression
    • 29.9: Inference for regression parameters (1)
    • 29.10: Checking the conditions for inference (2)
    • 29: Check Your Skills (10)
    • 29: Exercises
    • 29: Exploring the Web
    • 29: Extra Problems
    • 30.1: Beyond one-way ANOVA
    • 30.2: Follow-up analysis: Tukey pairwise multiple comparisons
    • 30.3: Follow-up analysis: contrasts
    • 30.4: Two-way ANOVA: conditions, main effects, and interaction
    • 30.5: Inference for two-way ANOVA
    • 30.6: Some details of two-way ANOVA
    • 30: Check Your Skills
    • 30: Exercises
    • 30: Exploring the Web
    • 30: Extra Problems
    • 31.1: Processes
    • 31.2: Describing processes (2)
    • 31.3: The idea of statistical process control (1)
    • 31.4: charts for process monitoring (1)
    • 31.5: s charts for process monitoring
    • 31.6: Using control charts (1)
    • 31.7: Setting up control charts
    • 31.8: Comments on statistical control (2)
    • 31.9: Don't confuse control with capability
    • 31.10: Control charts for sample proportions
    • 31.11: Control limits for pag charts (4)
    • 31: Check Your Skills (4)
    • 31: Exercises (3)
    • 31: Exploring the Web
    • 31: Extra Problems

    Moore's data analysis approach in The Basic Practice of Statistics 7th edition moves students away from formulas and number-crunching, focusing instead on how working statisticians in a variety of fields collect and analyze data, and use the results to tackle real-world problems. The WebAssign component for this text engages students with immediate feedback, an interactive eBook with online resources, and a question bank of end-of-section exercises.

    • Every WebAssign question links to applicable chapters in a fully integrated eBook.
    • Learning Curve adaptive quizzing available for every chapter.
    • StatTutors provide multimedia tutorials with built-in assessments that explore important statistics concepts and procedures.
    • Video Technology Manuals provide brief instructions for using specific statistical software (over 50 topics/videos per software) and are available for TI-83/84 calculators, JMP, Excel, Minitab, SPSS, R, and RCmdr.
    • Statistical Videos consist of StatClips, StatClips Examples, Statistically Speaking "Snapshots," and StatBoards, including animated lecture videos, whiteboard lessons, and documentary-style footage that illustrate key statistical concepts and help students visualize statistics in real-world scenarios.
    • Associated data files from the textbook are available to use for appropriate exercises, formatted for TI-83/84 calculators, JMP, Excel, Minitab, SPSS, R, and RCmdr.
    • Descargable test banks and practice quizzes for each chapter.
    • Book specific PowerPoint lecture slides y iClicker slides.
    • Instructor and student solution manuals.
    • Extra Problems from the previous edition and available open source content can be used for extra practice and enriching assignments.

    14.2 Bernoulli’s Solution

    The St. Petersburg game was invented by the mathematician Nicolaus Bernoulli in the (18) th Century. He discussed it with his cousin Daniel Bernoulli, who published a famous solution in the St. Petersburg Academy Proceedings. (Hence the name of the game.)

    His solution: replace monetary value with real value, utility in other words. Recall that the more money you have, the less value additional money brings. So even though the payoffs in the St. Petersburg game double from ($2) to ($4) to ($8) etc., the verdadero value doesn’t double. It grows more slowly.

    Figure 14.3: Bernoulli’s logarithmic utility function

    What is the real value of money then? How much utility does a gain of ($x) bring? Bernoulli proposed that utility increases “logarithmically” with money. In terms of dollars, (u($x)=log(x)) . Look at Figure 14.3 to see what this looks like.

    Notice how, for example, ($16) doesn’t have twice the utility of ($8) . In fact you have to go all the way up to ($64) to get twice the utility of ($8) . That’s because (64 = 8^2) , and logarithms have the property that (log(a^b) = b imes log(a)) .

    The difference this makes to the St. Petersburg game is displayed in Figure 14.4. The rectangles don’t all have the same area of (1) anymore, they get smaller instead. In fact, Bernoulli showed that the total area of all the rectangles is only about (1.39) . In other words, the expected utility of the St. Petersburg game is about (1.39) , the equivalent of a ($4) gain (because (log(4) approx 1.39) ).

    Figure 14.4: Dollars vs. utils in the St. Petersburg game

    So if Bernoulli is right about the utility of money, the fair price for the St. Petersburg game is only about ($4) . And in fact that’s about what most people say they would pay.


    Introduction to Probability - MATH/STATS 425, Winter 2012

    Class meets: Section 3 MWF 1:10 - 2:00 in 1068 East Hall Section 7 MWF 2:10 - 3:00 in 1084 East Hall.

    Horas de oficina: Tu 3:30-5:00 pm, W 10:30 - 12:00 am, F 10:00 - 11:00 am in 4844 East Hall.

    Requisitos previos: This course makes serious use of the material from the Calculus sequence (Math 215, 255 or 285). You should have solid knowledge of differentiation y integration, in particular of the geometric ideas behind these concepts (tangent lines, local extrema, areas, volumes). This course requires a working knowledge of multivariate differentiation and integration (including change of variables). If you do not have a strong background in Calculus, please do not take this course we do not want you to fail because of your inadequate background.

    Previous exposure to basic combinatorics (combinations and permutations) is generally expected. If you do not have this background and wish to take this course, please carefully study Sections 1.1-1.4 of the textbook and the self-test problems at the end of Chapter 1.

    Course Description: Basic concepts of probability are introduced, and applications to other sciences are noted. The emphasis is on concepts, calculations, derivations and problem-solving. Topics include methods of both discrete and continuous probability, conditional probability, independence, random variables, joint distributions, expectations, variances, covariances, and limit laws.

    Texto: Sheldon Ross, A first course in probability. Pearson Prentice Hall, 8th ed. (2010). ISBN: 9780136033134.
    The course covers most of Chapters 1--7 and a part of Chapter 8.

    • Homework (20%). Scroll down to see it. One lowest homework will be dropped. To form study groups and for online collaboration, feel free to use the chat room and forums on the Ctools class page.
    • Quizzes (20%). One lowest quiz will be dropped.
    • Midterm Exam (25%). Wednesday, February 22, in class. Covers Chapters 1 - 4.
    • Final Exam (35%). Both sections: Friday, April 20, 1:30-3:30 pm, in 1400 CHEM. Covers the whole course.

    Missing/late work: There will be no make-up for the quizzes or exams for any reason. A missed exam counts as zero points, with the following exception. If you miss a midterm exam due to a documented medical or family emergency, the exam's weight will be added to the final exam. Late homework will not be accepted. In case of a medical or road emergency that prevents you from attending the class, you can e-mail me your scanned or typed homework as a single pdf file, along with short explanation of what happened, on the day when the homework is collected by 5 pm.

    Course Schedule: It is a useful practice to read ahead the sections to be covered. To see what material is coming next, have a look at my previous Math/Stats 425 course. After each class, the schedule will be updated with the description of the material we covered in class, examples and self-test problems, and new homework. It is a useful practice to work on the examples and self-test problems. Their solutions are included in the back of the textbook do not turn them in as a part of homework.

    Wednesday, January 4 Multiplication Principle (a.k.a. the basic principle of counting) (1.1). Permutations (1.3). Combinations (1.4 begin). Lecture notes All examples in Sections 1.2 Examples 3a, 3b, 3c 4a, 4b, 4c. Self-test problems (p.20-21): 1, 2, 3, 4, 6. Homework 1, due January 11 (p. 16-17): 3, 5, 7(a,b), 15, 17, 21. Friday, January 6 Combinations contd. (1.4). Binomial theorem. Multinomial coefficients (1.5). Lecture notes Examples 4d, 4e 5a, 5b, 5c. Self-test problems (p. 20-21):5, 8, 9, 10, 11, 12. Homework 1, due January 11 (p. 16-17): 9, 13, 28. Monday, January 9 Sample space and events. Operatoins on events (2.1-2.2). Lecture notes All Examples in 2.1-2.2. Self-test problems (p. 56-57): 1. Homework 2, due January 18 (p. 50-54): 1, 3, 6. Wednesday, January 11 Quiz 1 Axioms of probability (2.3). Properties of probability. Inclusion-Exclusion Principle (2.4 up to Example 4a). Lecture notes All examples in those sections. Self-test problems (p. 56-57): 2, 4, 14, 15. Homework 2, due January 18 (p. 50-54): 9, 11, 12 (hint: use Venn diagram for this last problem). (Do not do Problem 14 at this time it will be assigned later in Homework 3.) --> Friday, January 13 Inclusion-Exclusion Principle continued. Sample spaces having equally likely ourcomes (2.5 begins). Lecture notes Examples 5a-d, recall the Birthday Problem (Example 5i). Self-test problems (p. 56-57): 5, 6, 7, 8. Homework 2, due January 18 (p. 50-54): 8, 17, 21. Monday, January 16: no class (Martin Luther King Jr. Day) Wednesday, January 18 Quiz 2 Generalized Inclusion-Exclusion Principle (Proposition 4.4). The Matching Problem (Example 5m). More problems on equally likely outcomes. Lecture notes Examples 5e, l, n. Self-test problems (p.56-57): 10, 12, 13, 17, 18, 20. Homework 3, due January 25 (p. 50-54): 14, 23, 25, 28, 32. Friday, January 20 Conditional Probabilities. The Law of Total Probability (3.1-3.2). Lecture notes Examples 2b, e, f, the first example on p.21 of the lecture notes. Self-test problems (p.114-116): 2, 3, 5, 9a. Homework 3, due January 25 (p.102-110): 16, 19b, 21. Monday, January 23 Bayes Formula (3.3). Lecture notes Examples 3a, c, d (covered in class), e, f, k (covered in class), n. Homework 4, due February 1 (p.102-110): 15, 18, 19a, 26, 35, 90 (pass to the complement, use the inclusion-exclusion principle). Wednesday, January 25 Quiz 3 Independent events (3.4). Simple random walk. Lecture notes Examples 4b, c, g, h, i. Self-test problems (p.114-116): 4, 9b, 10, 11, 12, 15, 16 (should refer to problem 3.66b), 21, 23. Homework 4, due February 1 (p.102-110): 50, 57(a,b), 64, 66(a) (in some editions there is a typo -- this problem should refer to Figure 3.4). Friday, January 27 Random variables (4.1). Discrete random variables (4.2). Probability mass function (pmf) and cumulative distribution function (cdf). Lecture notes Examples 4a, b, c, d. No additional homework. Monday, January 30 Expected value (4.3). Examples: lottery group testing. Lecture notes Examples 3a, b, c, d. Self-test problems (p.183-185): 1, 2, 3, 4 (if you dare), 6. Homework 5, due February 8 (p.172-179): 1, 13, 17, 19. Note: the textbook often calls CDF "the distribution function". Wednesday, February 1 Quiz 4 Expected value of a function of a random variable (4.4). Variance (4.5). Lecture notes Examples 4a, 5a. Self-test problems (p.183-185): 5. Homework 5, due February 8 (p.172-179): 21, 25, 30, 35, 37. Friday, February 3 Example: the matching problem (expectation and variance). Bernoulli and binomial random variables (4.6). Lecture notes Examples 6a, b, c, e, f. Self-test problems (p.183-185): 9, 10, 11a, 12, 13. Homework 5, due February 8 (p.172-179): 42, 43, 48. Monday, February 6 Poisson distribution (4.7). Example: People vs. Collins trial. Lecture notes Examples 7a, b, c. Self-test problems (p.183-185): 14, 15. More examples are added for Feb.3 class above Homework 6, due February 15 (p.172-179): 45, 52, 53, 54, 59. Wednesday, February 8 Quiz 5 Binomial and Poisson distributions (continued). Example: jury duty letters. Lecture notes Self-test problems (p.384-387): 3, 4. Homework 6, due February 15 (p.172-179): 64(a,b) (p.373-379): 7 (express the number of chosen objects as a sum of 10 indicators), 8. Friday, February 10 Computing expectations by conditioning (from 7.5). Geometric distribution (4.8.1). Lecture notes Examples: from Section 7.5: 5c, h from section 4.8: 8a, b. Self-test problems (p.384-387): 17 (p.183-185): 22. Homework 6, due February 15 (p.373-379): 48(a,b), 53, 58 (condition on the outcome of the first flip). Monday, February 13 Continuous distributions (5.1). Uniform distribution (5.3). Lecture notes Examples: 1a, b, c (all very useful), 3c. Self-test problems (p.229-213): 1, 2, 7. Homework 7, due February 22 (p.224-227): 1, 4, 11, 13. Wednesday, February 15 Quiz 6 Transformations of random variables. Lecture notes Example from Section 5.2: 1d. Homework 7, due February 22: additional problems. Friday, February 17 Expectation of continuous random variables (5.2). Expectation and variance of the uniform distribution (Ex.3a). Lecture notes Self-test problems (p.229-231): 3, 4, 5, 6. Homework 7, due February 22 (p.224-227): 7, 14. Monday, February 20 Standard normal distribution (5.4). Lecture notes Wednesday, February 22 Midterm Exam. In class. Covers Chapters 1 - 4. Sample problems: Practice Exam (due to Prof. Montgomery): problems 1, 5. Solutions. More exam problems (due to Prof. Montgomery): try problems 1(a), 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12. Practice Exam (due to Prof. Derksen): problems 1, 2, 4, 5. Practice Exam (due to Prof. Montgomery): problems 3(except b), 4(except d,f). Solutions. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 1, 5, 8, 9, 11. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 3, 4a, 5, 9, 10, 11. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 2, 3, 7. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 2, 8(a,b). Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 1, 6, 9. Practice Exam (due to Prof. Khoury): problems 1, 3, 8. Homework 1: all problems, Homework 2: 9, 11, 8, 21 Homework 3: 14, 28, 32, 16, 19, 21 Homework 4: 15, 35, 57, 66a Homework 5: 17, 19, 43, 37 Homework 6: all problems. Friday, February 24 Normal distribution with general mean and varaince (5.4). Lecture notes Examples: 4b, c, d, e. Self-test problems (p.229-231): 8, 9, 10, 11. Homework 8, due March 7 (p.224-227): 15, 16, 17, 18, 22. Winter break: February 27 - March 2 Monday, March 5 Normal approximation to the binomial distribution (5.4.1). Lecture notes Examples 4f, g, h, i. Self-test problems (p.229-231): 12, 17. Homework 9, due March 14 (p.224-227): 20, 27, 28. Wednesday, March 7 Quiz 7 Exponential distribution (5.5). Lecture notes Examples 5a, b, c, d. Self-test problems (p.229-231): 18, 19. Homework 9, due March 14 (p.224-227): 31, 32, 34, 39. Friday, March 9 Joint distributions (6.1). Lecture notes Examples 1a, b, c, d, e. Self-test problems (p.293-296): 6.2, 6.3, 6.6(a,c), 6.7(b,c,d,e,f). Homework 9, due March 14 (p.287-291):6, 8, 9(a,b,c,e), 10. Monday, March 12 Independent random variabes (6.2). Lecture notes Examples 2a, d, f. Homework 10, due March 21 (p.287-291): 15, 16, 20, 22, 23, 27. Wednesday, March 14 Quiz 8 Sums of independent random variables (6.3). Lecture notes No additional homework problems today. Friday, March 16 Sums of independent random variables (6.3). Convolutions. Sums of independent normal random variables. Lecture notes Homework 10, due March 21 (p.287-291): 29, 30, 31. Monday, March 19 Sums of independent random variables (Bimonial, Poisson, exponential). Gamma distribution (6.3 continued). Lecture notes Homework 11, due March 28 (p.287-291): 28, 33(a,b). Wednesday, March 21 Quiz 9 Conditional distributions (6.4-6.5). Lecture notes Homework 11, due March 28 (p.287-291): 40, 41, 42 (compute the conditional pdf of Y given X=x). Friday, March 23 Conditional distributions (6.4-6.5 continued). Lecture notes Homework 11, due March 28 (p.287-291): 48, and an additional problem. Monday, March 26 Transformations of joint distributions (6.7). Lecture notes Homework 12, due April 4 (p.287-291): 52, 54, 55, 56(a). Wednesday, March 28 Quiz 10 Properties of expectation (7.1). Expectation of sums of random variables (7.2-7.3). Lecture notes Homework 12, due April 4 (p.373-379): 4, 5, 11, 21. Friday, March 30 Coupon collector's problem (Section 7, Examples 3d, 2i). Expectation of product of independent random variables (Proposition 4.1). Lecture notes Homework 12, due April 4 (p.373-379): 19(a). Monday, April 2 Covariance, correlation (7.3). Lecture notes Homework 13, due April 11 (p.373-379): 50, 38, 40. Additional problem. Wednesday, April 4 Quiz 11 Properties of covariance. Variance of a sum. Lecture notes Homework 13, due April 11 (p.373-379): 6, 31, 36, 37, 42, 45, 63(a). Friday, April 6 Applications to statistics: sample mean and sample variance (Ex. 4a). Lecture notes Homework 13, due April 11 (p.373-379): 65. Monday, April 9 Moment generating functions (7.7). Lecture notes Wednesday, April 11 Quiz 12 Central Limit Theorem (8.3). Lecture notes Homework 14, will not be collected (p.413-414): 5, 7, 8, 14. Friday, April 13 Markov's and Chebyshev's inequalities. Weak law of large numbers. Monday, April 16 Review. Practice Exam 0 Practice Exam 1 Practice Exam 2 Practice Exam 3 Homework 7: 4, 7, 13, 14, additional problems 1, 2. Homework 8: 16, 22. Homework 9: 28, 32, 8, 9, 10. Homework 10: 16, 20, 22, 27, 31. Homework 11: 28, 41, 42, 48. Homework 12: 54, 56(a), 4, 5, 11, 21. Homework 13: 50, 31, 36, 37, 42, 63(a). Homework 14: 5, 7, 8, 14.
    This formula sheet will be available during the exam. In addition, you may bring two index cards (3x5 in) to the exam. You may write whatever you like on uno side of each card. Please only write by hand on the cards photocopyied or printed cards are not allowed. Friday, April 20 Final Exam. 1:30-3:30 pm, in 1400 CHEM. Covers the whole course.

    Course webpage: http://www-personal.umich.edu/

    romanv/teaching/2011-12/425/425.html
    Also see the Ctools class page which contains the archive of e-mail messages to the class, forums and chat room.


    Ver el vídeo: Probability: Binomial Theorem (Septiembre 2021).