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12.6E: Ejercicios - Matemáticas


La práctica hace la perfección

Ejercicio ( PageIndex {17} ) Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de los logaritmos

En los siguientes ejercicios, resuelve (x ).

  1. ( log _ {4} 64 = 2 log _ {4} x )
  2. ( log 49 = 2 log x )
  3. (3 log _ {3} x = log _ {3} 27 )
  4. (3 log _ {6} x = log _ {6} 64 )
  5. ( log _ {5} (4 x-2) = log _ {5} 10 )
  6. ( log _ {3} left (x ^ {2} +3 right) = log _ {3} 4 x )
  7. ( log _ {3} x + log _ {3} x = 2 )
  8. ( log _ {4} x + log _ {4} x = 3 )
  9. ( log _ {2} x + log _ {2} (x-3) = 2 )
  10. ( log _ {3} x + log _ {3} (x + 6) = 3 )
  11. ( log x + log (x + 3) = 1 )
  12. ( log x + log (x-15) = 2 )
  13. ( log (x + 4) - log (5 x + 12) = - log x )
  14. ( log (x-1) - log (x + 3) = log frac {1} {x} )
  15. ( log _ {5} (x + 3) + log _ {5} (x-6) = log _ {5} 10 )
  16. ( log _ {5} (x + 1) + log _ {5} (x-5) = log _ {5} 7 )
  17. ( log _ {3} (2 x-1) = log _ {3} (x + 3) + log _ {3} 3 )
  18. ( log (5 x + 1) = log (x + 3) + log 2 )
Respuesta

2. (x = 7 )

4. (x = 4 )

6. (x = 1, x = 3 )

8. (x = 8 )

10. (x = 3 )

12. (x = 20 )

14. (x = 3 )

16. (x = 6 )

18. (x = frac {5} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {18} ) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentre la respuesta exacta y luego acérquela a tres lugares decimales.

  1. (3 ^ {x} = 89 )
  2. (2 ^ {x} = 74 )
  3. (5 ^ {x} = 110 )
  4. (4 ^ {x} = 112 )
  5. (e ^ {x} = 16 )
  6. (e ^ {x} = 8 )
  7. ( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = 6 )
  8. ( left ( frac {1} {3} right) ^ {x} = 8 )
  9. (4 e ^ {x + 1} = 16 )
  10. (3 e ^ {x + 2} = 9 )
  11. (6 e ^ {2 x} = 24 )
  12. (2 e ^ {3 x} = 32 )
  13. ( frac {1} {4} e ^ {x} = 3 )
  14. ( frac {1} {3} e ^ {x} = 2 )
  15. (e ^ {x + 1} + 2 = 16 )
  16. (e ^ {x-1} + 4 = 12 )
Respuesta

2. (x = frac { log 74} { log 2} approx 6.209 )

4. (x = frac { log 112} { log 4} approx 3.404 )

6. (x = ln 8 approx 2.079 )

8. (x = frac { log 8} { log frac {1} {3}} approx-1.893 )

10. (x = ln 3-2 approx-0.901 )

12. (x = frac { ln 16} {3} aproximadamente 0,924 )

14. (x = ln 6 aproximadamente 1.792 )

16. (x = ln 8 + 1 aprox 3.079 )

Ejercicio ( PageIndex {19} ) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.

  1. (3 ^ {3 x + 1} = 81 )
  2. (6 ^ {4 x-17} = 216 )
  3. ( frac {e ^ {x ^ {2}}} {e ^ {14}} = e ^ {5 x} )
  4. ( frac {e ^ {x ^ {2}}} {e ^ {x}} = e ^ {20} )
  5. ( log _ {a} 64 = 2 )
  6. ( log _ {a} 81 = 4 )
  7. ( ln x = -8 )
  8. ( ln x = 9 )
  9. ( log _ {5} (3 x-8) = 2 )
  10. ( log _ {4} (7 x + 15) = 3 )
  11. ( ln e ^ {5 x} = 30 )
  12. ( ln e ^ {6 x} = 18 )
  13. (3 log x = log 125 )
  14. (7 log _ {3} x = log _ {3} 128 )
  15. ( log _ {6} x + log _ {6} (x-5) = log _ {6} 24 )
  16. ( log _ {9} x + log _ {9} (x-4) = log _ {9} 12 )
  17. ( log _ {2} (x + 2) - log _ {2} (2 x + 9) = - log _ {2} x )
  18. ( log _ {6} (x + 1) - log _ {6} (4 x + 10) = log _ {6} frac {1} {x} )
Respuesta

2. (x = 5 )

4. (x = -4, x = 5 )

6. (a = 3 )

8. (x = e ^ {9} )

10. (x = 7 )

12. (x = 3 )

14. (x = 2 )

16. (x = 5 )

Ejercicio ( PageIndex {20} ) Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos

En los siguientes ejercicios, resuelva para (x ), dando una respuesta exacta y una aproximación a tres lugares decimales.

  1. (6 ^ {x} = 91 )
  2. ( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = 10 )
  3. (7 e ^ {x-3} = 35 )
  4. (8 e ^ {x + 5} = 56 )
Respuesta

2. (x = frac { log 10} { log frac {1} {2}} approx-3.322 )

4. (x = ln 7-5 approx-3.054 )

Ejercicio ( PageIndex {21} ) Usar modelos exponenciales en aplicaciones

En los siguientes ejercicios, resuelve.

  1. Sung Lee invierte $ (5,000 ) a la edad (18 ). Espera que las inversiones valgan $ (10,000 ) cuando cumpla (25 ). Si el interés se acumula continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo? ¿Es esa una expectativa razonable?
  2. Alice invierte $ (15,000 ) a la edad (30 ) del bono por firmar de su nuevo trabajo. Ella espera que las inversiones valgan $ (30,000 ) cuando cumpla (40 ). Si el interés se acumula continuamente, ¿aproximadamente qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo?
  3. Coralee invierte $ (5,000 ) en una cuenta que capitaliza los intereses mensualmente y gana un (7 )%. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse su dinero?
  4. Simone invierte $ (8,000 ) en una cuenta que capitaliza intereses trimestralmente y gana (5 )%. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse su dinero?
  5. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de (100.000 ) a (100 ) en (24 ) horas. A esta tasa de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá en (16 ) horas?
  6. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias disminuyó de (800,000 ) a (500,000 ) en (6 ) horas después de la administración de la medicación. A esta velocidad de descomposición, ¿cuántas bacterias habrá en (24 ) horas?
  7. Un virus tarda (6 ) días en duplicar su población original ( left (A = 2 A_ {0} right) ). ¿Cuánto tiempo llevará triplicar su población?
  8. Una bacteria duplica su población original en (24 ) horas ( left (A = 2 A_ {0} right) ). ¿Qué tamaño tendrá su población en (72 ) horas?
  9. El carbono 14 se utiliza para la datación arqueológica por carbono. Su vida media es de (5.730 ) años. ¿Cuánto de una muestra de (100 ) gramos de carbono 14 quedará en (1000 ) años?
  10. El tecnecio-99m radiactivo se utiliza a menudo en la medicina de diagnóstico, ya que tiene una vida media relativamente corta, pero dura lo suficiente para que se realicen las pruebas necesarias en el paciente. Si su vida media es (6 ) horas, ¿qué cantidad del material radiactivo de una inyección de (0,5 ) ml habrá en el cuerpo en (24 ) horas?
Respuesta

2. (6.9)%

4. (13,9 ) años

6. (122,070 ) bacterias

8. (8 ) veces más grande que la población original

10. (0.03 ) mL

Ejercicio ( PageIndex {22} ) Ejercicios de escritura

  1. Explica el método que usarías para resolver estas ecuaciones: (3 ^ {x + 1} = 81 ), (3 ^ {x + 1} = 75 ). ¿Su método requiere logaritmos para ambas ecuaciones? ¿Por qué o por qué no?
  2. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación del crecimiento exponencial y la ecuación del decrecimiento exponencial?
Respuesta

2. Las respuestas variarán.

Autochequeo

una. Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

B. Después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?