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12.3: Evaluar y graficar funciones exponenciales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Grafica funciones exponenciales
  • Resolver ecuaciones exponenciales
  • Utilice modelos exponenciales en aplicaciones

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ( left ( frac {x ^ {3}} {x ^ {2}} right) ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.13.
  2. Evaluar: a. (2 ^ {0} ) b. ( left ( frac {1} {3} right) ^ {0} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.14.
  3. Evaluar: a. (2 ^ {- 1} ) b. ( left ( frac {1} {3} right) ^ {- 1} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.15.

Funciones gráficas exponenciales

Las funciones que hemos estudiado hasta ahora no nos dan un modelo para muchos fenómenos que ocurren naturalmente. Desde el crecimiento de poblaciones y la propagación de virus hasta la desintegración radiactiva y el interés compuesto, los modelos son muy diferentes de los que hemos estudiado hasta ahora. Estos modelos involucran funciones exponenciales.

Un funcion exponencial es una función de la forma (f (x) = a ^ {x} ) donde (a> 0 ) y (a ≠ 1 ).

Definición ( PageIndex {1} )

Una función exponencial, donde (a> 0 ) y (a ≠ 1 ), es una función de la forma

(f (x) = a ^ {x} )

Observe que en esta función, la variable es el exponente. En nuestras funciones hasta ahora, las variables eran la base.

Nuestra definición dice (a ≠ 1 ). Si dejamos (a = 1 ), entonces (f (x) = a ^ {x} ) se convierte en (f (x) = 1 ^ {x} ). Dado que (1 ^ {x} = 1 ) para todos los números reales, (f (x) = 1 ). Esta es la función constante.

Nuestra definición también dice (a> 0 ). Si dejamos que una base sea negativa, digamos (- 4 ), entonces (f (x) = (- 4) ^ {x} ) no es un número real cuando (x = frac {1} { 2} ).

( begin {alineado} f (x) & = (- 4) ^ {x} f left ( frac {1} {2} right) & = (- 4) ^ { frac {1 } {2}} f left ( frac {1} {2} right) & = sqrt {-4} text {no es un número real} end {alineado} )

De hecho, (f (x) = (- 4) ^ {x} ) no sería un número real en cualquier momento que (x ) sea una fracción con un denominador par. Entonces nuestra definición requiere (a> 0 ).

Al graficar algunas funciones exponenciales, podremos ver sus propiedades únicas.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} ).

Solución:

Usaremos la gráfica de puntos para graficar las funciones.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Gráfico: (f (x) = 4 ^ {x} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Gráfico: (g (x) = 5 ^ {x} )

Respuesta

Si miramos las gráficas del Ejemplo 10.2.1 anterior y los Ejercicios 10.2.1 y 10.2.2, podemos identificar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales.

Las gráficas de (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} ), así como las gráficas de (f (x) = 4 ^ {x } ) y (g (x) = 5 ^ {x} ), todos tienen la misma forma básica. Esta es la forma que esperamos de una función exponencial donde (a> 1 ).

Observamos que para cada función, la gráfica contiene el punto ((0,1) ). Esto tiene sentido porque (a ^ {0} = 1 ) para cualquier (a ).

La gráfica de cada función, (f (x) = a ^ {x} ) también contiene el punto ((1, a) ). La gráfica de (f (x) = 2 ^ {x} ) contenía ((1,2) ) y la gráfica de (g (x) = 3 ^ {x} ) contenía ((1 , 3) ). Esto tiene sentido como (a ^ {1} = a ).

Observe también que la gráfica de cada función (f (x) = a ^ {x} ) también contiene el punto ((- 1, frac {1} {a}) ). La gráfica de (f (x) = 2 ^ {x} ) contenía ((- 1, frac {1} {2}) ) y la gráfica de (g (x) = 3 ^ {x } ) contenía ((- 1, frac {1} {3}) ). Esto tiene sentido como (a ^ {- 1} = frac {1} {a} ).

¿Cuál es el dominio de cada función? De las gráficas podemos ver que el dominio es el conjunto de todos los números reales. No hay restricción en el dominio. Escribimos el dominio en notación de intervalo como ((- ∞, ∞) ).

Mira cada gráfico. ¿Cuál es el rango de la función? La gráfica nunca llega al eje (x ) -. El rango son todos números positivos. Escribimos el rango en notación de intervalo como ((0, ∞) ).

Siempre que una gráfica de una función se acerca a una línea pero nunca la toca, llamamos a esa línea una asíntota. Para las funciones exponenciales que estamos viendo, la gráfica se acerca al eje (x ) - muy de cerca pero nunca lo cruzará, llamamos a la línea (y = 0 ), el eje (x ) - asíntota horizontal.

Propiedades de la gráfica de (f (x) = a ^ {x} ) cuando (a> 1 )

Dominio ((- infty, infty) )
Distancia ((0, infty) )
(X-intersecciónNinguno
(y ) - intersección((0,1))
Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )
Asíntota (x ) - eje, la línea (y = 0 )
Tabla 10.2.1

Nuestra definición de una función exponencial (f (x) = a ^ {x} ) dice (a> 0 ), pero los ejemplos y la discusión hasta ahora han sido sobre funciones donde (a> 1 ). ¿Qué sucede cuando (0

Ejemplo ( PageIndex {2} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) y (g (x) = left ( frac {1} {3} derecha) ^ {x} ).

Solución:

Usaremos la gráfica de puntos para graficar las funciones.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Gráfico: (f (x) = left ( frac {1} {4} right) ^ {x} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Gráfico: (g (x) = left ( frac {1} {5} right) ^ {x} ).

Respuesta

Ahora veamos las gráficas del Ejemplo 10.2.2 anterior y los Ejercicios 10.2.3 y 10.2.4 para que podamos identificar algunas de las propiedades de funciones exponenciales donde (0

Las gráficas de (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) y (g (x) = left ( frac {1} {3} derecha) ^ {x} ) así como las gráficas de (f (x) = left ( frac {1} {4} right) ^ {x} ) y (g (x) = left ( frac {1} {5} right) ^ {x} ) todos tienen la misma forma básica. Si bien esta es la forma que esperamos de una función exponencial donde (0 1 ), iban de arriba de izquierda a derecho.

Observamos que para cada función, la gráfica todavía contiene el punto ((0, 1) ). Esto tiene sentido porque (a ^ {0} = 1 ) para cualquier (a ).

Como antes, la gráfica de cada función, (f (x) = a ^ {x} ), también contiene el punto ((1, a) ). La gráfica de (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) contenía ( left (1, frac {1} {2} right) ) y la gráfica de (g (x) = left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ) contenía ( left (1, frac {1} {3} right ) ). Esto tiene sentido como (a ^ {1} = a ).

Observe también que la gráfica de cada función, (f (x) = a ^ {x} ), también contiene el punto ( left (-1, frac {1} {a} right) ). La gráfica de (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) contenía ((- 1,2) ) y la gráfica de (g (x ) = left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ) contenía ((- 1,3) ). Esto tiene sentido como (a ^ {- 1} = frac {1} {a} ).

¿Cuál es el dominio y el rango de cada función? De las gráficas podemos ver que el dominio es el conjunto de todos los números reales y escribimos el dominio en notación de intervalo como ((- ∞, ∞) ). Nuevamente, la gráfica nunca llega al eje (x ) -. Escribimos el rango en notación de intervalo como ((0, ∞) ).

Resumiremos estas propiedades en el cuadro a continuación. Que también incluye cuando (a> 1 ).

Propiedades de la gráfica de (f (x) = a ^ {x} )

Cuando (a> 1 )Cuando (0
1 ) "> Dominio ((- infty, infty) )Dominio ((- infty, infty) )
1 ) "> Rango ((0, infty) )Distancia ((0, infty) )
1 ) "> (x ) - intersecciónninguno(X-intersecciónninguno
1 ) "> (y ) - intersección((0,1)) (y ) - intersección((0,1))
1 ) "> Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )
1 ) "> Asíntota

(x ) - eje, la línea (y = 0 )

Asíntota (x ) - eje, la línea (y = 0 )
1 ) "> Forma básicacrecienteForma básicadecreciente
Tabla 10.2.2

Es importante que notemos que ambos gráficos son uno a uno, ya que ambos pasan la prueba de la línea horizontal. Esto significa que la función exponencial tendrá una inversa. Veremos esto más tarde.

Cuando graficamos funciones cuadráticas, pudimos graficar usando traducción en lugar de solo graficar puntos. ¿Funcionará eso al graficar funciones exponenciales?

Ejemplo ( PageIndex {3} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 2 ^ {x + 1} ).

Solución:

Usaremos la gráfica de puntos para graficar las funciones.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica: (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 2 ^ {x-1} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {6} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x + 1} ).

Respuesta

Mirando las gráficas de las funciones (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 2 ^ {x + 1} ) en el último ejemplo, vemos que sumar uno en el exponente provocó un desplazamiento horizontal de una unidad a la izquierda. Reconocer este patrón nos permite graficar otras funciones con el mismo patrón por traducción.

Consideremos ahora otra situación que podría graficarse más fácilmente mediante la traducción, una vez que reconozcamos el patrón.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} -2 ).

Solución:

Usaremos la gráfica de puntos para graficar las funciones.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} +2 ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {8} )

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 4 ^ {x} ) y (g (x) = 4 ^ {x} -2 ).

Respuesta

Mirando las gráficas de las funciones (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} −2 ) en el último ejemplo, vemos que restando (2 ) provocó un desplazamiento vertical de dos unidades hacia abajo. Observe que la asíntota horizontal también se desplazó hacia abajo (2 ) unidades. Reconocer este patrón nos permite graficar otras funciones con el mismo patrón por traducción.
Todas nuestras funciones exponenciales han tenido un número entero o racional como base. Ahora veremos una función exponencial con un número irracional como base.

Antes de que podamos ver esta función exponencial, necesitamos definir el número irracional, (e ). Este número se utiliza como base en muchas aplicaciones de las ciencias y los negocios que se modelan mediante funciones exponenciales. El número se define como el valor de ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ) a medida que (n ) aumenta cada vez más. Decimos, cuando (n ) se acerca al infinito, o aumenta sin límite. La tabla muestra el valor de ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ) para varios valores de (n ).

(norte) ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} )
(1)(2)
(2)(2.25)
(5)(2.48832)
(10)(2.59374246)
(100) (2.704813829 ldots )
(1,000) (2.716923932 ldots )
(10,000) (2.718145927 ldots )
(100,000) (2.718268237 ldots )
(1,000,000) (2.718280469 ldots )
(1,000,000,000) (2.718281827 ldots )
Tabla 10.2.3

(e aproximadamente 2.718281827 )

El número (e ) es como el número (π ) en que usamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene ni se repite. El número irracional (e ) se llama el base natural.

Definición ( PageIndex {2} )

Base natural (e )

El número (e ) se define como el valor de ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ), ya que (n ) aumenta sin límite. Decimos, cuando (n ) se acerca al infinito,

(e aproximadamente 2.718281827 )

La función exponencial cuya base es (e ), (f (x) = e ^ {x} ) se llama función exponencial natural.

Definición ( PageIndex {3} )

Función exponencial natural

La función exponencial natural es una función exponencial cuya base es (e )

(f (x) = e ^ {x} )

El dominio es ((- ∞, ∞) ) y el rango es ((0, ∞) ).

Grafiquemos la función (f (x) = e ^ {x} ) en el mismo sistema de coordenadas que (g (x) = 2 ^ {x} ) y (h (x) = 3 ^ {x } ).

Observe que la gráfica de (f (x) = e ^ {x} ) está "entre" las gráficas de (g (x) = 2 ^ {x} ) y (h (x) = 3 ^ {x} ). ¿Tiene esto sentido como (2

Resolver ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones que incluyen una expresión exponencial (a ^ {x} ) se llaman ecuaciones exponenciales. Para resolverlos usamos una propiedad que dice siempre que (a> 0 ) y (a ≠ 1 ), si (a ^ {x} = a ^ {y} ) entonces es cierto que (x = y ). En otras palabras, en una ecuación exponencial, si las bases son iguales, los exponentes son iguales.

Definición ( PageIndex {4} )

Propiedad uno a uno de las ecuaciones exponenciales

Para (a> 0 ) y (a ≠ 1 ),

Si (a ^ {x} = a ^ {y} ), entonces (x = y ).

Para usar esta propiedad, debemos estar seguros de que ambos lados de la ecuación estén escritos con la misma base.

Ejemplo ( PageIndex {5} ) Cómo resolver una ecuación exponencial

Resuelve: (3 ^ {2 x-5} = 27 ).

Solución:

Paso 1: Escribe ambos lados de la ecuación con la misma base.Como el lado izquierdo tiene la base (3 ), escribimos el lado derecho con la base (3 ). (27 = 3 ^ {3} ) (3 ^ {2 x-5} = 27 )
(3 ^ {2 x-5} = 3 ^ {3} )
Paso 2: Escribe una nueva ecuación igualando los exponentes.Dado que las bases son las mismas, los exponentes deben ser iguales. (2x-5 = 3 )
Paso 3: Resuelve la ecuación.

Agrega (5 ) a cada lado.

Dividir por (2 ).

( begin {alineado} 2 x & = 8 x & = 4 end {alineado} )
Paso 4: Verifique la solución.Sustituye (x = 4 ) en la ecuación original. ( begin {alineado} 3 ^ {2 x-5} & = 27 3 ^ {2 cdot color {rojo} {4} color {negro} {-} 5} & stackrel {?} {=} 27 3 ^ {3} & stackrel {?} {=} 27 27 & = 27 end {alineado} )
Tabla 10.2.4

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Resuelve: (3 ^ {3 x-2} = 81 ).

Respuesta

(x = 2 )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Resuelve: (7 ^ {x-3} = 7 ).

Respuesta

(x = 4 )

Los pasos se resumen a continuación.

Cómo resolver una función exponencial

  1. Escribe ambos lados de la ecuación con la misma base, si es posible.
  2. Escribe una nueva ecuación igualando los exponentes.
  3. Resuelve la ecuación.
  4. Comprueba la solución.

En el siguiente ejemplo, usaremos nuestras propiedades en exponentes.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Resuelve ( frac {e ^ {x ^ {2}}} {e ^ {3}} = e ^ {2 x} ).

Solución:

( frac {e ^ {x ^ {2}}} {e ^ {3}} = e ^ {2 x} )
Usa la propiedad de los exponentes: ( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n} ). (e ^ {x ^ {2} -3} = e ^ {2 x} )
Escribe una nueva ecuación igualando los exponentes. (x ^ {2} -3 = 2 x )
Resuelve la ecuación.
((x-3) (x + 1) = 0 )
(x = 3, x = -1 )
Verifique las soluciones.
Tabla 10.2.5

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Resuelve: ( frac {e ^ {x ^ {2}}} {e ^ {x}} = e ^ {2} ).

Respuesta

(x = -1, x = 2 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Resuelve: ( frac {e ^ {x ^ {2}}} {e ^ {x}} = e ^ {6} ).

Respuesta

(x = -2, x = 3 )

Utilice modelos exponenciales en aplicaciones

Las funciones exponenciales modelan muchas situaciones. Si posee una cuenta bancaria, ha experimentado el uso de una función exponencial. Hay dos fórmulas que se utilizan para determinar el saldo en la cuenta cuando se ganan intereses. Si un capital, (P ), se invierte a una tasa de interés, (r ), durante (t ) años, el nuevo saldo, (A ), dependerá de la frecuencia con la que se capitalicen los intereses . Si el interés se capitaliza (n ) veces al año, usamos la fórmula (A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} ). Si el interés se capitaliza continuamente, usamos la fórmula (A = Pe ^ {rt} ). Estas son las fórmulas para interés compuesto.

Definición ( PageIndex {5} )

Interés compuesto

Para un capital, (P ), invertido a una tasa de interés, (r ), durante (t ) años, el nuevo saldo, (A ), es:

( begin {array} {ll} {A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt}} & { text {cuando se compone} n text {veces al año .}} {A = P e ^ {rt}} & { text {cuando se compone continuamente.}} End {array} )

A medida que trabaja con las fórmulas de interés, a menudo es útil identificar primero los valores de las variables y luego sustituirlos en la fórmula.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Se invirtió un total de $ (10,000 ) en un fondo universitario para un nuevo nieto. Si la tasa de interés es (5 )%, ¿cuánto habrá en la cuenta en (18 ) años por cada método de capitalización?

  1. compuesto trimestral
  2. compuesto mensual
  3. compuesto continuamente

Solución:

Identifica los valores de cada variable en las fórmulas. Recuerde expresar el porcentaje como decimal.

( begin {alineado} A & =? P & = $ 10,000 r & = 0.05 t & = 18 text {años} end {alineado} )

una. Para capitalización trimestral, (n = 4 ). Hay (4 ) trimestres en un año.

(A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} )

Sustituye los valores en la fórmula.

(A = 10,000 left (1+ frac {0.05} {4} right) ^ {4 cdot 18} )

Calcule la cantidad. Tenga cuidado de considerar el orden de las operaciones al ingresar la expresión en su calculadora.

(A = $ 24 459,20 )

B. Para capitalización mensual, (n = 12 ). Hay (12 ) meses en un año.

(A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} )

Sustituye los valores en la fórmula.

(A = 10,000 left (1+ frac {0.05} {12} right) ^ {12 cdot 18} )

Calcule la cantidad.

(A = $ 24,550.08 )

C. Para la composición continua,

(A = P e ^ {r t} )

Sustituye los valores en la fórmula.

(A = 10,000 e ^ {0.05 cdot 18} )

Calcule la cantidad.

(A = $ 24,596.03 )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Ángela invirtió $ (15 000 ) en una cuenta de ahorros. Si la tasa de interés es (4 )%, ¿cuánto habrá en la cuenta en (10 ​​) años por cada método de capitalización?

  1. compuesto trimestral
  2. compuesto mensual
  3. compuesto continuamente
Respuesta
  1. $(22,332.96)
  2. $(22,362.49)
  3. $(22,377.37)

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Allan invirtió $ (10,000 ) en un fondo mutuo. Si la tasa de interés es (5 )%, ¿cuánto habrá en la cuenta en (15 ) años por cada método de capitalización?

  1. compuesto trimestral
  2. compuesto mensual
  3. compuesto continuamente
Respuesta
  1. $(21,071.81)
  2. $(21,137.04)
  3. $(21,170.00)

Otros temas que están modelados por funciones exponenciales involucran crecimiento y decadencia. Ambos también usan la fórmula (A = Pe ^ {rt} ) que usamos para el crecimiento del dinero. Para el crecimiento y la descomposición, generalmente usamos (A_ {0} ), como la cantidad original en lugar de llamarlo (P ), el principal. Vemos eso crecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento positiva y Decrecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento negativa.

Definición ( PageIndex {6} )

Crecimiento exponencial y decadencia

Para una cantidad original, (A_ {0} ), que crece o decae a un ritmo, (r ), durante un cierto tiempo, (t ), la cantidad final, (A ), es :

(A = A_ {0} e ^ {r t} )

El crecimiento exponencial se ve típicamente en el crecimiento de poblaciones de humanos o animales o bacterias. Nuestro siguiente ejemplo analiza el crecimiento de un virus.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Chris es investigador del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades y está tratando de comprender el comportamiento de un virus nuevo y peligroso. Comienza su experimento con (100 ) del virus que crece a una tasa del (25 )% por hora. Verificará el virus en (24 ) horas. ¿Cuántos virus encontrará?

Solución:

Identifica los valores de cada variable en las fórmulas. Asegúrese de poner el porcentaje en forma decimal. Asegúrese de que las unidades coincidan: la tasa es por hora y el tiempo en horas.

( begin {align} A & =? A_ {0} & = 100 r & = 0.25 / text {hora} t & = 24 text {horas} end {alineado} )

Sustituye los valores en la fórmula: (A = A_ {0} e ^ {r t} ).

(A = 100 e ^ {0.25 cdot 24} )

Calcule la cantidad.

(A = 40,342.88 )

Redondea al virus completo más cercano.

(A = 40,343 )

El investigador encontrará (40,343 ) virus.

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Lisa, otra investigadora del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades, está estudiando el crecimiento de una bacteria. Ella comienza su experimento con (50 ) de la bacteria que crece a una tasa de (15 )% por hora. Verificará las bacterias cada (8 ) horas. ¿Cuántas bacterias encontrará en (8 ) horas?

Respuesta

Encontrará (166 ) bacterias.

Ejercicio ( PageIndex {16} )

María, una bióloga está observando el patrón de crecimiento de un virus. Ella comienza con (100 ) del virus que crece a una tasa del (10 ​​)% por hora. Verificará el virus en (24 ) horas. ¿Cuántos virus encontrará?

Respuesta

Encontrará (1,102 ) virus.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la evaluación y representación gráfica de funciones exponenciales.

  • Graficar funciones exponenciales
  • Resolver ecuaciones exponenciales
  • Aplicaciones de funciones exponenciales
  • Interés continuamente compuesto
  • Desintegración radiactiva y crecimiento exponencial

Conceptos clave

  • Propiedades de la gráfica de (f (x) = a ^ {x} ):
Cuando (a> 1 )Cuando (0
1 ) "> Dominio ((- infty, infty) )Dominio ((- infty, infty) )
1 ) "> Rango ((0, infty) )Distancia ((0, infty) )
1 ) "> (x ) - intersecciónninguno(X-intersecciónninguno
1 ) "> (y ) - intersección((0,1)) (y ) - intersección((0,1))
1 ) "> Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )
1 ) "> Asíntota

(x ) - eje, la línea (y = 0 )

Asíntota (x ) - eje, la línea (y = 0 )
1 ) "> Forma básicacrecienteForma básicadecreciente
Tabla 10.2.2
  • Propiedad uno a uno de las ecuaciones exponenciales:
    Para (a> 0 ) y (a ≠ 1 ),

    (A = A_ {0} e ^ {r t} )

  • Cómo resolver una ecuación exponencial
    1. Escribe ambos lados de la ecuación con la misma base, si es posible.
    2. Escribe una nueva ecuación igualando los exponentes.
    3. Resuelve la ecuación.
    4. Comprueba la solución.
  • Interés compuesto: Para un capital, (P ), invertido a una tasa de interés, (r ), durante (t ) años, el nuevo saldo, (A ), es
    ( begin {array} {ll} {A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt}} & { text {cuando se compone} n text {veces al año .}} end {matriz} )
  • Crecimiento exponencial y decadencia: Para una cantidad original, (A_ {0} ) que crece o decae a un ritmo, (r ), durante un tiempo determinado (t ), la cantidad final, (A ), es ( A = A_ {0} e ^ {rt} ).

Glosario

asíntota
Una línea a la que se acerca de cerca la gráfica de una función pero nunca la toca.
funcion exponencial
Una función exponencial, donde (a> 0 ) y (a ≠ 1 ), es una función de la forma (f (x) = a ^ {x} ).
base natural
El número (e ) se define como el valor de ((1+ frac {1} {n}) ^ {n} ), a medida que (n ) aumenta cada vez más. Decimos, a medida que (n ) aumenta sin límite, (e≈2.718281827 ... )
función exponencial natural
La función exponencial natural es una función exponencial cuya base es (e ): (f (x) = e ^ {x} ). El dominio es ((- ∞, ∞) ) y el rango es ((0, ∞) ).


Ver el vídeo: Γραφική παράσταση χ=χt στην. (Septiembre 2021).