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9.4: Simplificar expresiones racionales complejas - Matemáticas


Simplifique una expresión racional compleja escribiéndola como división

Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador o denominador contiene una fracción. Anteriormente simplificamos fracciones complejas como estas:

[ dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} quad quad quad dfrac { dfrac {x} {2}} { dfrac {xy} {6 }} sin número ]

En esta sección, simplificaremos expresiones racionales complejas, que son expresiones racionales con expresiones racionales en el numerador o denominador.

Expresión racional compleja

Aquí hay algunas expresiones racionales complejas:

[ dfrac { dfrac {4} {y-3}} { dfrac {8} {y ^ {2} -9}} quad quad dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x}} quad quad dfrac { dfrac {2} {x + 6}} { dfrac {4} {x-6} - dfrac {4} {x ^ {2} -36}} nonumber ]

Recuerde, siempre excluimos valores que harían cero cualquier denominador.

Usaremos dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas.

Ya hemos visto esta compleja expresión racional anteriormente en este capítulo.

[ dfrac { dfrac {6 x ^ {2} -7 x + 2} {4 x-8}} { dfrac {2 x ^ {2} -8 x + 3} {x ^ {2} - 5 x + 6}} nonumber ]

Notamos que las barras de fracciones nos dicen que debemos dividir, así que reescriba como el problema de división:

[ left ( dfrac {6 x ^ {2} -7 x + 2} {4 x-8} right) div left ( dfrac {2 x ^ {2} -8 x + 3} { x ^ {2} -5 x + 6} right) nonumber ]

Luego, multiplicamos la primera expresión racional por el recíproco de la segunda, al igual que hacemos cuando dividimos dos fracciones.

Este es un método para simplificar expresiones racionales complejas. Nos aseguramos de que la expresión racional compleja sea de la forma en la que una fracción está sobre una fracción. Luego lo escribimos como si dividiéramos dos fracciones.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {6} {x-4}} { dfrac {3} {x ^ {2} -16}} nonumber ]

Solución

Reescribe la fracción compleja como división. [ dfrac {6} {x-4} div dfrac {3} {x ^ {2} -16} nonumber ]

Reescribe como el producto de los primeros por el recíproco del segundo. Reescribe como el producto de los primeros por el recíproco del segundo. Reescribe como el producto de los primeros por el recíproco del segundo.

[ dfrac {6} {x-4} cdot dfrac {x ^ {2} -16} {3} nonumber ]

Factor.

[ dfrac {3 cdot 2} {x-4} cdot dfrac {(x-4) (x + 4)} {3} nonumber ]

Multiplicar.

[ dfrac {3 cdot 2 (x-4) (x + 4)} {3 (x-4)} nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ dfrac { cancel {3} cdot 2 cancel {(x-4)} (x + 4)} { cancel {3} cancel {(x-4)}} nonumber ]

Simplificar.

[2 (x + 4) nonumber ]

¿Hay algún valor de (x ) que no debería permitirse? La expresión racional compleja original tenía denominadores de (x-4 ) y (x ^ 2-16 ). Esta expresión no estaría definida si (x = 4 ) o (x = -4 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {2} {x ^ {2} -1}} { dfrac {3} {x + 1}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {2} {3 (x-1)} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {x ^ {2} -7 x + 12}} { dfrac {2} {x-4}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {1} {2 (x-3)} )

Las barras de fracciones actúan como símbolos de agrupación. Entonces, para seguir el orden de las operaciones, simplificamos el numerador y el denominador tanto como sea posible antes de poder hacer la división.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1} {2} - dfrac {1} { 3}} nonumber ]

Solución

Simplifica el numerador y el denominador. Encuentra el MCD y suma las fracciones en el numerador. Encuentre el MCD y reste las fracciones en el denominador.

[ dfrac { dfrac {1 cdot { color {rojo} 2}} {3 cdot { color {rojo} 2}} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1 cdot { color {rojo} 3}} {2 cdot { color {rojo} 3}} - dfrac {1 cdot { color {rojo} 2}} {3 cdot { color {rojo} 2} }} sin número ]

Simplifica el numerador y el denominador.

[ dfrac { dfrac {2} {6} + dfrac {1} {6}} { dfrac {3} {6} - dfrac {2} {6}} nonumber ]

Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.

[ dfrac {3} {6} div dfrac {1} {6} nonumber ]

Multiplica el primero por el recíproco del segundo.

[ dfrac {3} {6} cdot dfrac {6} {1} nonumber ]

Simplificar.

[3 nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3}} { dfrac {5} {6} + dfrac {1} { 12}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {14} {11} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {3} {4} - dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {8} + dfrac {5} { 6}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {10} {23} )

Seguimos el mismo procedimiento cuando la expresión racional compleja contiene variables.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Cómo simplificar una expresión racional compleja usando la división

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} { x}} nonumber ]

Solución

Paso 1. Simplifica el numerador.

Simplificaremos la suma y el denominador. el numerador y la diferencia en el denominador.

[ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x}} nonumber ]

Encuentra un denominador común y suma las fracciones en el numerador.

[ dfrac { dfrac {1 cdot { color {rojo} y}} {x cdot { color {rojo} y}} + dfrac {1 cdot { color {rojo} x}} { y cdot { color {rojo} x}}} { dfrac {x cdot { color {rojo} x}} {y cdot { color {rojo} x}} - dfrac {y cdot { color {rojo} y}} {x cdot { color {rojo} y}}} nonumber ]

[ dfrac { dfrac {y} {xy} + dfrac {x} {xy}} { dfrac {x ^ {2}} {xy} - dfrac {y ^ {2}} {xy}} sin número ]

Encuentra un denominador común y resta las fracciones en el denominador.

[ dfrac { dfrac {y + x} {x y}} { dfrac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x y}} nonumber ]

Ahora tenemos solo una expresión racional en el numerador y una en el denominador.

Paso 2. Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.

Escribimos el numerador dividido por el denominador.

[ left ( dfrac {y + x} {x y} right) div left ( dfrac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x y} right) nonumber ]

Paso 3. Divide las expresiones.

Multiplica el primero por el recíproco del segundo.

[ left ( dfrac {y + x} {x y} right) cdot left ( dfrac {x y} {x ^ {2} -y ^ {2}} right) nonumber ]

Factoriza cualquier expresión si es posible.

[ dfrac {x y (y + x)} {x y (x-y) (x + y)} nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ dfrac { cancel {x y} cancel {(y + x)}} { cancel {x y} (x-y) cancel {(x + y)}} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {1} {x-y} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {1} {x} - dfrac {1} { y}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {y + x} {y-x} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b}} { dfrac {1} {a ^ {2}} - dfrac {1} {b ^ {2}}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {a b} {b-a} )

Resumimos los pasos aquí.

cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división.

  1. Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.
  2. Divide las expresiones.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac {n- dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {1} {n + 5} + dfrac {1} {n- 5}} nonumber ]

Solución

Simplifica el numerador y el denominador. Encuentra denominadores comunes para el numerador y el denominador.

[ dfrac { dfrac {n { color {rojo} (n + 5)}} {1 { color {rojo} (n + 5)}} - dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {1 { color {rojo} (n-5)}} {(n + 5) { color {rojo} (n-5)}} + dfrac {1 { color {rojo} (n +5)}} {(n-5) { color {rojo} (n + 5)}}} nonumber ]

Simplifica los numeradores.

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} +5 n} {n + 5} - dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {n-5} {(n + 5) ( n-5)} + dfrac {n + 5} {(n-5) (n + 5)}} nonumber ]

Resta las expresiones racionales en el numerador y suma el denominador.

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} +5 n-4 n} {n + 5}} { dfrac {n-5 + n + 5} {(n + 5) (n-5)} } sin número ]

Simplificar. (Ahora tenemos una expresión racional sobre una expresión racional).

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5}} { dfrac {2n} {(n + 5) (n-5)}} nonumber ]

Reescribe como división de fracciones.

[ dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5} div dfrac {2 n} {(n + 5) (n-5)} nonumber ]

Multiplica la primera por el recíproco de la segunda.

[ dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5} cdot dfrac {(n + 5) (n-5)} {2 n} nonumber ]

Factoriza cualquier expresión si es posible.

[ dfrac {n (n + 1) (n + 5) (n-5)} {(n + 5) 2 n} nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ dfrac { cancel {n} (n + 1) cancel {(n + 5)} (n-5)} { cancel {(n + 5)} 2 cancel {n}} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {(n + 1) (n-5)} {2} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac {b- dfrac {3 b} {b + 5}} { dfrac {2} {b + 5} + dfrac {1} {b- 5}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {b (b + 2) (b-5)} {3 b-5} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac {1- dfrac {3} {c + 4}} { dfrac {1} {c + 4} + dfrac {c} {3}} sin número ]

Respuesta

( dfrac {3} {c + 3} )

Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD

“Limpiamos” las fracciones multiplicando por el LCD cuando resolvimos ecuaciones con fracciones. Podemos usar esa estrategia aquí para simplificar expresiones racionales complejas. Multiplicaremos el numerador y el denominador por el MCD de todas las expresiones racionales.

Veamos la expresión racional compleja que simplificamos de una forma en el ejemplo 7.4.2. Lo simplificaremos aquí multiplicando el numerador y el denominador por el MCD. Cuando multiplicamos por ( dfrac {LCD} {LCD} ) estamos multiplicando por 1, por lo que el valor permanece igual.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1} {2} - dfrac {1} {3 }} sin número ]

Solución

El MCD de todas las fracciones en la expresión completa es 6.

Borre las fracciones multiplicando el numerador y el denominador por ese MCD.

[ dfrac {{ color {rojo} 6} cdot left ( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6} right)} {{ color {rojo} 6} cdot left ( dfrac {1} {2} - dfrac {1} {3} right)} nonumber ]

Distribuir.

[ dfrac {6 cdot dfrac {1} {3} +6 cdot dfrac {1} {6}} {6 cdot dfrac {1} {2} -6 cdot dfrac {1} {3}} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {2 + 1} {3-2} nonumber ]

[ dfrac {3} {1} nonumber ]

[3 nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {5}} { dfrac {1} {10} + dfrac {1} {5 }} sin número ]

Respuesta

( dfrac {7} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {1} {4} + dfrac {3} {8}} { dfrac {1} {2} - dfrac {5} {16 }} sin número ]

Respuesta

( dfrac {10} {3} )

Usaremos el mismo ejemplo que en el ejemplo 7.4.3. Decide qué método te funciona mejor.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Cómo simplificar una expresión racional compleja usando el LCD

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x }} sin número ]

Solución

Paso 1. Encuentre el MCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja is.

El mcd de todas las fracciones (xy ).

[ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x}} nonumber ]

Paso 2. Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.

Multiplica tanto el numerador como el denominador por (xy ).

[ dfrac {{ color {rojo} xy} cdot left ( dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y} right)} {{ color {rojo} xy} cdot left ( dfrac {x} {y} - dfrac {y} {x} right)} nonumber ]

Paso 3. Simplifica la expresión.

Distribuir.

[ dfrac {xy cdot dfrac {1} {x} + xy cdot dfrac {1} {y}} {xy cdot dfrac {x} {y} -xy cdot dfrac {y} {x}} nonumber ]

[ dfrac {y + x} {x ^ {2} -y ^ {2}} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac { cancel {(y + x)}} {(x-y) cancel {(x + y)}} nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ dfrac {1} {x-y} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b}} { dfrac {a} {b} + dfrac {b} {a }} sin número ]

Respuesta

( dfrac {b + a} {a ^ {2} + b ^ {2}} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {1} {x ^ {2}} - dfrac {1} {y ^ {2}}} { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {y-x} {x y} )

cómo simplificar una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD.

  1. Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
  2. Simplifica la expresión.

Asegúrese de comenzar factorizando todos los denominadores para que pueda encontrar el LCD.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {2} {x + 6}} { dfrac {4} {x-6} - dfrac {4} {x ^ {2} - 36}} nonumber ]

Solución

Encuentre el MCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja. La pantalla LCD es:

[x ^ {2} -36 = (x + 6) (x-6) nonumber ]

Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.

[ dfrac {(x + 6) (x-6) dfrac {2} {x + 6}} {(x + 6) (x-6) left ( dfrac {4} {x-6} - dfrac {4} {(x + 6) (x-6)} right)} nonumber ]

Simplifica la expresión.

Distribuir en el denominador.

[ dfrac {(x + 6) (x-6) dfrac {2} {x + 6}} {{ color {rojo} (x + 6) (x-6)} left ( dfrac { 4} {x-6} right) - { color {rojo} (x + 6) (x-6)} left ( dfrac {4} {(x + 6) (x-6)} right )} sin número ]

Simplificar.

[ dfrac { cancel {(x + 6)} (x-6) dfrac {2} { cancel {x + 6}}} {{ color {rojo} (x + 6) cancel {( x-6)}} left ( dfrac {4} {x-6} right) - { color {red} cancel {(x + 6) (x-6)}} left ( dfrac { 4} { cancelar {(x + 6) (x-6)}} right)} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {2 (x-6)} {4 (x + 6) -4} nonumber ]

Para simplificar el denominador, distribuya y combine términos semejantes.

[ dfrac {2 (x-6)} {4 x + 20} nonumber ]

Factoriza el denominador.

[ dfrac {2 (x-6)} {4 (x + 5)} nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ dfrac { cancel {2} (x-6)} { cancel {2} cdot 2 (x + 5)} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {x-6} {2 (x + 5)} nonumber ]

Observe que no hay más factores comunes al numerador y al denominador.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {3} {x + 2}} { dfrac {5} {x-2} - dfrac {3} {x ^ {2} - 4}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {3 (x-2)} {5 x + 7} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {2} {x-7} - dfrac {1} {x + 7}} { dfrac {6} {x + 7} - dfrac {1} {x ^ {2} -49}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {x + 21} {6 x-43} )

Asegúrese de factorizar los denominadores primero. ¡Proceda con cuidado ya que las matemáticas pueden complicarse!

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {4} {m ^ {2} -7 m + 12}} { dfrac {3} {m-3} - dfrac {2} {m-4}} nonumber ]

Solución

Encuentre el MCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.

El MCD es ((m − 3) (m − 4) ).

Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.

[ dfrac {(m-3) (m-4) dfrac {4} {(m-3) (m-4)}} {(m-3) (m-4) left ( dfrac { 3} {m-3} - dfrac {2} {m-4} right)} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac { cancel {(m-3) (m-4)} dfrac {4} { cancel {(m-3) (m-4)}}} { cancel {(m-3) } (m-4) left ( dfrac {3} { cancel {m-3}} right) - (m-3) cancel {(m-4)} left ( dfrac {2} { cancel {m-4}} right)} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {4} {3 (m-4) -2 (m-3)} nonumber ]

Distribuir.

[ dfrac {4} {3m-12-2m + 6} nonumber ]

Combina términos semejantes.

[ dfrac {4} {m-6} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {3} {x ^ {2} +7 x + 10}} { dfrac {4} {x + 2} + dfrac {1} {x + 5}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {3} {5 x + 22} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {4 y} {y + 5} + dfrac {2} {y + 6}} { dfrac {3 y} {y ^ {2 } +11 años + 30}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {2 left (2 y ^ {2} +13 y + 5 right)} {3 y} )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {y} {y + 1}} {1+ dfrac {1} {y-1}} nonumber ]

Solución

Encuentre el MCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.

El LCD es ((y + 1) (y − 1) ).

Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.

[ dfrac {(y + 1) (y-1) dfrac {y} {y + 1}} {(y + 1) (y-1) left (1+ dfrac {1} {y- 1} right)} nonumber ]

Distribuir en el denominador y simplificar.

[ dfrac { cancel {(y + 1)} (y-1) dfrac {y} { cancel {y + 1}}} {(y + 1) (y-1) (1) + ( y + 1) cancel {(y-1)} left ( dfrac {1} { cancel {(y-1)}} right)} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {(y-1) y} {(y + 1) (y-1) + (y + 1)} nonumber ]

Simplifica el denominador y deja el numerador factorizado.

[ dfrac {y (y-1)} {y ^ {2} -1 + y + 1} nonumber ]

[ dfrac {y (y-1)} {y ^ {2} + y} nonumber ]

Factoriza el denominador y elimina los factores comunes con el numerador.

[ dfrac { cancel {y} (y-1)} { cancel {y} (y + 1)} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {y-1} {y + 1} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac { dfrac {x} {x + 3}} {1+ dfrac {1} {x + 3}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {x} {x + 4} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Simplifique la expresión racional compleja usando la MCD: [ dfrac {1+ dfrac {1} {x-1}} { dfrac {3} {x + 1}} nonumber ]

Respuesta

( dfrac {x (x + 1)} {3 (x-1)} )

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con fracciones complejas.

  • Fracciones complejas

9-4 Multiplicar y dividir expresiones racionales (día 1) - Presentación de PowerPoint PPT

Título: Simplificar fracciones algebraicas Autor: Angel Última modificación por: Angel Fecha de creación: 10/4/2007 11:53:16 PM Formato de presentación del documento: Presentación en pantalla y presentación PowerPoint PPT

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9.4: Simplificar expresiones racionales complejas - Matemáticas

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Paso 2: Deja que Algebra Helper lo resuelva:

Paso 3: solicite una explicación de los pasos que no comprende:


Simplificando expresiones racionales

& # 8226 Los estudiantes aprenderán a definir e identificar expresiones racionales.

& # 8226 Los estudiantes aprenderán a simplificar expresiones racionales con polinomios.

& # 8226 Los estudiantes aprenderán a usar un MCD como herramienta de simplificación.

& # 8226 Los estudiantes practicarán todas estas habilidades.

Grados sugeridos:

Séptimo grado - Octavo grado - Noveno grado - Décimo grado - incluidos los estudiantes de educación especial

Procedimiento de la lección:

Imprima el plan de lección del aula y las preguntas de la hoja de trabajo (ver más abajo).

Extracto de la lección:

- "Hoy vamos a empezar a trabajar con expresiones racionales. Si piensas en números racionales, sabemos que un número racional se escribe en forma de fracción donde a / byb nunca pueden ser 0. Entonces sabemos que las fracciones , los decimales y los números mixtos, tanto positivos como negativos, son números racionales ".
- "Ahora vamos a las expresiones racionales. En Álgebra, una expresión racional se escribe en forma de fracción. El numerador y el denominador son polinomios. Copia estas notas en tus cuadernos".
- On Board: A Rational Expression - escrito en forma de fracción donde el numerador y el denominador son polinomios. El denominador nunca es 0. La barra de fracción significa que la división es la operación.
- "Al igual que cuando trabajábamos con números racionales, con expresiones racionales, el denominador nunca puede ser 0. Además, la barra de fracción significa que la operación es 0".


SIMPLIFICANDO EXPRESIONES RACIONALES PROBLEMAS DE PALABRAS

Pari necesita 4 horas para completar un trabajo. Su amigo Yuvan necesita 6 horas para completar el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo llevará completarlo si trabajan juntos?

Número de horas tomadas por pari & # xa0 = & # xa0 4 horas

Número de horas tomadas por Yuvan & # xa0 = & # xa0 6 horas

Trabajo realizado en una hora por Pari & # xa0 = & # xa0 1/4

Trabajo realizado en una hora por Pari & # xa0 = & # xa0 1/6

trabajo realizado juntos en una hora & # xa0 = & # xa0 (1/4) + (1/6)

Número de horas tomadas por ambos & # xa0 = & # xa0 12/5

Convirtamos en minutos & # xa0 = & # xa0 (12/5) 60 & # xa0 = & # xa0 144 minutos

Iniya compró 50 kg de frutas compuestas por manzanas y plátanos. Pagó el doble por kg por la manzana que por el plátano. Si Iniya compró manzanas por valor de $ 1800 y plátanos por valor de $ 600, ¿cuántos kg de cada fruta compró?

Sea "x" el número de kg de plátano y "2x" el número de kg de manzana.

Número de kg de manzana (costo por kg) & # xa0 = & # xa0 1800

Número de kg de manzana (2x) & # xa0 = & # xa0 1800

Número de kg de plátano (costo por kg) & # xa0 = & # xa0 600

Número de kg de plátano (x) & # xa0 = & # xa0 600

Número de kg de manzana & # xa0 = & # xa0 600 / x & # xa0 ----- (2)

Aplicando x = 30 en (1), obtenemos & # xa0

Aplicando x = 30 en (2), obtenemos & # xa0

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Simplificar las hojas de trabajo de expresiones algebraicas

Benefíciese de este conjunto conciso de hojas de trabajo imprimibles gratuitas que cubren todos los temas esenciales al simplificar expresiones algebraicas. Se incorporan temas como simplificación de expresiones lineales y expresiones polinomiales que simplifican expresiones que contienen múltiples variables y exponentes.

Las hojas de trabajo son muy recomendadas para estudiantes de 6º, 7º y 8º grado.

Combine los términos semejantes, realice el orden de las operaciones y aplique la propiedad distributiva donde sea necesario para simplificar las expresiones lineales proporcionadas en estas hojas de trabajo PDF.

Combina los términos semejantes para simplificar este conjunto de expresiones polinomiales.

Usa la ley de los exponentes para simplificar cada expresión que involucre exponentes positivos y negativos.

Emplee esta hoja de trabajo en PDF gratuita de séptimo grado para encontrar el perímetro de cuadriláteros con dimensiones expresadas en expresiones algebraicas. Suma las longitudes de los lados, simplifica las expresiones algebraicas y expresa el perímetro en expresión.

Esta hoja de trabajo de grado 7 y grado 8 incluye dos o más variables en una expresión. Simplifique cada expresión con múltiples variables combinando los términos semejantes.


9.4: Simplificar expresiones racionales complejas - Matemáticas

Operaciones con números complejos

· Encuentra conjugados de números complejos.

Cada vez que se introducen nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas que debe abordarse es: "¿Cómo se agregan?" En este tema, aprenderá a sumar números complejos y también a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.

Sumar y restar números complejos

Primero, considere la siguiente expresión.

Para simplificar esta expresión, combine los términos semejantes, 6X y 4X. Estos son términos semejantes porque tienen la misma variable con los mismos exponentes. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.

(6X + 8) + (4X + 2) = 10X + 10

De la misma forma, puedes simplificar expresiones con radicales.

Puede sumar porque los dos términos tienen el mismo radical, al igual que 6X y 4X tienen la misma variable y exponente.

El número I parece una variable, pero recuerde que es igual a. Lo bueno es que no tienes nuevas reglas de las que preocuparte, ya sea que lo trates como una variable o un radical, se aplican exactamente las mismas reglas para sumar y restar. números complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con I), y combina las partes reales.

Agregar. (−3 + 3I) + (7 – 2I)

Reorganice las sumas para juntar términos semejantes.

3I – 2I = (3 – 2)I = I

(−3 + 3I) + (7 – 2I) = 4 + I

Sustraer. (−3 + 3I) – (7 – 2I)

Asegúrese de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo.

Reorganice los términos para juntar términos semejantes.

3I + 2I = (3 + 2)I = 5I

(−3 + 3I) – (7 – 2I) = 10 + 5I

Sustraer. (5 + 3I) – (3 – I)

Correcto. Distribuir la resta al segundo número complejo da 5 + 3I – 3 + I. Reorganizar para poner términos similares juntos da 5 - 3 + 3I + I, y la combinación de términos semejantes da 2 + 4I.

Incorrecto. Puede haber combinado 5 + 3 del primer número (ignorando el I) y 3-1 del segundo número (ignorando el I), dando ese resultado de 8 - 2 = 6. En cambio, debes distribuir la resta entre el segundo número complejo para obtener 5 + 3I – 3 + I. Reorganizar para poner términos similares juntos da 5 - 3 + 3I + I, y la combinación de términos semejantes da la respuesta correcta 2 + 4I.

Incorrecto. Probablemente olvidó distribuir la resta a la parte imaginaria del segundo número complejo, dejándolo como - I en lugar de + I. Distribuir la resta al segundo número complejo da 5 + 3I – 3 + I. Reorganizar para poner términos similares juntos da 5 - 3 + 3I + I, y la combinación de términos semejantes da la respuesta correcta 2 + 4I.

Incorrecto. Es posible que haya sumado en lugar de restar. Distribuir la resta al segundo número complejo da 5 + 3I – 3 + I. Reorganizar para poner términos similares juntos da 5 - 3 + 3I + I, y la combinación de términos semejantes da la respuesta correcta 2 + 4I.

Multiplicar números complejos

Nuevamente, considere la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, considere cómo lo simplificaría.

Puedes simplificar multiplicando los coeficientes y luego las variables.

Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) Juntos funciona de manera similar, pero hay un paso adicional. Comience con el mismo método para multiplicar 5I y - 3I.

Esto parece estar bien hasta ahora, pero el I 2 se puede simplificar aún más.

Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número debajo del radical. Esto es lo que significa raíz cuadrada.

Bien, I también es una raíz cuadrada. Es igual a.

Entonces, el paso final para simplificar (5I)( − 3I) = − 15I 2 es reemplazar I 2 con - 1.


Simplificando números imaginarios

La naturaleza de los problemas resueltos en estos días ha aumentado las posibilidades de encontrar números complejos en las soluciones. Y dado que los números imaginarios no son números reales físicamente, simplificarlos es importante si desea trabajar con ellos. Consideraremos las diversas formas en que puede simplificar números imaginarios.

Poderes de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria, j, es la raíz cuadrada de -1. Por tanto, el cuadrado de la unidad imaginaria es -1. Esto sigue que:

  1. j0 = 1
  2. j1 = j
  3. j2 = -1
  4. j3 = j2 X j = -1 x j = -j
  5. j4 = j2 X j2 = -1 x -1 = 1
  6. j5 = j4 X j = 1 x j = j
  7. j6 = j4 X j2 = 1 x -1 = -1

Comprender los poderes de la unidad imaginaria es esencial para comprender los números imaginarios. Siguiendo los ejemplos anteriores, se puede ver que existe un patrón para las potencias de la unidad imaginaria. Siempre se simplifica a -1, -j, 1, o j. Un atajo simple para simplificar una unidad imaginaria elevada a una potencia es dividir la potencia entre 4 y luego elevar la unidad imaginaria a la potencia del recordatorio.

Por ejemplo: para simplificar j23, primero divide 23 entre 4.

23/4 = 5 resto 3. Entonces j23 = j3 = -j …… como ya se muestra arriba.

Conjugados

En pocas palabras, un conjugado es cuando cambia el signo entre las dos unidades en una ecuación. El conjugado de un número complejo sería otro número complejo que también tuviera una parte real, una parte imaginaria, de la misma magnitud. Sin embargo, tiene el signo opuesto al de la unidad imaginaria.

Por ejemplo, si X y y son números reales, luego dado un número complejo, z = x + yj, el complejo conjugado de z es x - yj.

Los conjugados complejos son muy importantes en números complejos porque el producto de conjugados complejos es un número real de la forma x2 + y2. Son importantes para encontrar las raíces de polinomios.

Para ilustrar más el concepto, evaluemos el producto de dos conjugados complejos.

Simplifica la expresión 2 / (1 + 3j)

La expresión anterior es una fracción compleja donde el denominador es un número complejo. Tal como está, no podemos simplificarlo más, excepto si racionalizamos el denominador. El concepto de conjugados sería útil en esta situación.

Cuando se trata de fracciones, si el numerador y el denominador son iguales, la fracción es igual a 1.

Además, cuando una fracción se multiplica por 1, la fracción no cambia. Entonces multiplicaremos la fracción compleja 2 / (1 + 3j) por (1-3j) / (1 – 3j) donde (1-3j) es el complejo conjugado de (1 + 3j).

El denominador de la fracción ahora es el producto de dos conjugados. Como se dijo anteriormente, el producto de los dos conjugados se simplificará a la suma de dos cuadrados.

Hemos podido simplificar la fracción aplicando el conjugado complejo del denominador.

Teorema de De Moivre

Los números complejos también se pueden escribir en forma polar. La forma anterior de X + yj es la forma rectangular de números complejos. Dado un número complejo z = x + yj, entonces el número complejo se puede escribir como z = r (cos (norte) + jpecado(norte))

Aquí hay un ejemplo que puede ayudar a explicar esta teoría.

Ejemplo

Convirtamos el número complejo a forma polar.

Entonces z en forma polar es z = sqrt (2) (cos (45) + jpecado (45)).

Puedes ver lo que sucede cuando aplicamos el teorema de De Moivre:

raíz cuadrada (2) (cos (45) + jsin (45)) 2 = (raíz cuadrada (2)) 2 (cos (2 x 45) + jpecado (2 x 45))

Puede verificar la respuesta expandiendo el número complejo en forma rectangular.


3 pasos para simplificar expresiones racionales

  1. Factoriza completamente el numerador y el denominador por separado.
  2. Busque factores que sean comunes al numerador y al denominador # 038. ¡Y recuerde siempre que solo podemos cancelar factores, no términos!
  3. Cancelar todos los factores comunes.

Ejemplo de simplificación de fracciones algebraicas

Confiaremos en nuestro conocimiento de cómo reducir fracciones, nuestras reglas de exponentes y estrategias de factorización, además de descubrir una nueva habilidad en la que aprenderemos a factorizar un signo menos.

¡Juntos, descubriremos que simplificar expresiones racionales puede ser muy divertido!

Hay & # 8217s solo una cosa más para señalar antes de saltar a la lección & # 8230

Como dice Paul & # 8217s Online Notes con tanta precisión, sabemos que nunca podemos dividir por cero.

Por lo tanto, hay una regla tácita cuando se trata de expresiones racionales: siempre asumiremos que siempre que haya una variable en el denominador, no dará una división por cero.


Simplificación de expresiones racionales: ejemplos

Ahora que comprende el proceso de simplificación de expresiones racionales, es hora de mirar un par de ejemplos.

Ejemplo 1: Simplifica la expresión racional (x 2 - 4) / (x 2 + 4x + 4)

No hay términos similares para combinar aquí, por lo que puede omitir ese primer paso. A continuación, con sus ojos agudos y un poco de práctica, puede ver que tanto el numerador como el denominador se factorizan fácilmente:

(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)

Quizás también veas eso (x + 2) es un factor tanto en el numerador como en el denominador. Una vez que cancele el factor compartido, se quedará con:

Ha simplificado su expresión racional tanto como puede, pero hay una cosa más que hacer: identifique cualquier "ceros" o raíces que resulten en una fracción indefinida, para que pueda excluirlos del dominio. En este caso, es fácil ver mediante un examen que cuando X = -2, el factor en la parte inferior será igual a cero. Entonces, su expresión racional simplificada es en realidad:

(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2

Ejemplo 2: Simplifica la expresión racional x / (x 2 - 4x)

No hay términos similares para combinar, por lo que puede pasar directamente a la factorización mediante un examen. No es demasiado difcil darse cuenta de que puede factorizar un X fuera del término inferior, lo que le da:

Puede cancelar el X factor tanto del numerador como del denominador, lo que te deja con:

Ahora su expresión racional está simplificada, pero también necesita anotar cualquier X valores que resultarían en una fracción indefinida. En este caso, X = 4 devolvería un valor de cero en el denominador. Entonces tu respuesta es: