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9.6: Resolver aplicaciones con ecuaciones racionales


Objetivos de aprendizaje

  • Resolver proporciones
  • Resolver aplicaciones de figuras similares
  • Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
  • Resolver aplicaciones de trabajo
  • Resolver problemas de variación directa
  • Resolver problemas de variación inversa

Estar preparado

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

    Ejemplo 2.2.13.Ejemplo 2.5.13.Ejemplo 2.2.9.

Resolver proporciones

Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se llama proporción.

Proporción

Una proporción es una ecuación de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), donde (b neq 0, d neq 0 ).

La proporción se lee " (a ) es a (b ) como (c ) es a (d )".

La ecuación ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) es una proporción porque las dos fracciones son iguales. La proporción ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) se lee "1 es a 2 como 4 es a 8."

Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el LCD para borrar las fracciones y luego resolveremos la ecuación resultante.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Resuelve: ( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ).

Solución

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7}, quad n neq-14 nonumber ]

Multiplica ambos lados por LCD.

[7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) nonumber ]

Elimina los factores comunes de cada lado.

[7 n = 5 (n + 14) nonumber ]

Simplificar.

[7 n = 5 n + 70 nonumber ]

Resuelve para (n ).

[ begin {alineado} 2n & = 70 n & = 35 end {alineado} nonumber ]

Cheque.

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} nonumber ]

Sustituir (n = 35 )

[ dfrac {35} {35 + 14} overset {?} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {35} {49} overset {?} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

Muestre factores comunes.

[ dfrac {5 cdot 7} {7 cdot 7} overset {?} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {5} {7} = dfrac {5} {7} ; surd nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Resuelve la proporción: ( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).

Respuesta

(y = 33 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Resuelve la proporción: ( dfrac {z} {z-84} = - dfrac {1} {5} ).

Respuesta

(z = 14 )

Observe en el último ejemplo que cuando borramos las fracciones multiplicando por el LCD, el resultado es el mismo que si hubiésemos multiplicado de forma cruzada.

[ begin {alineado} dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7 } 7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} 7n = 5 (n + 14) quad quad quad 7n = 5 (n + 14) end {alineado} sin número ]

Para cualquier proporción, ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), obtenemos el mismo resultado cuando despejamos las fracciones multiplicando por el MCD que cuando multiplicamos de forma cruzada.

[ begin {alineado} dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} quad quad quad dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} bd left ( dfrac {a} {b} = frac {c} {d} right) bd quad quad quad frac {a} {b} = frac {c} {d} ad = bc quad quad quad ad = bc end {alineado} nonumber ]

Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones. Pero cuando establezcamos la proporción, debemos asegurarnos de que las unidades sean correctas: las unidades de los numeradores deben coincidir entre sí y las unidades de los denominadores también deben coincidir. coincidir entre sí.

Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras de peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de acetaminofén le recetará su médico?

Solución

Identifique lo que se nos pide que busquemos y elija una variable para representarlo.

¿Cuántos ml de acetaminofén prescribirá el médico?

Sea (a = ml ) de acetaminofén.

Escribe una oración que dé la información para encontrarla.

Si se recetan 5 ml por cada 25 libras, ¿cuánto se recetará por 80 libras?

Traducir a una proporción, tenga cuidado con las unidades.

Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha. Nuestra desigualdad está en esta forma.

[ dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]

Paso 2. Determine los puntos críticos, los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.

La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Dado que (x-1 = 0 ) cuando (x = 1 ), entonces 1 es un punto crítico. La expresión racional estará indefinida cuando el denominador sea cero. Dado que (x + 3 = 0 ) cuando (x = -3 ), entonces -3 es un punto crítico.

Paso 3. Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.

Paso 4. Por encima de la recta numérica, muestre el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la recta numérica muestra el signo del cociente.

Utilice valores en cada intervalo para determinar el valor de cada factor en el intervalo. En el intervalo (-3,1), cero es un buen valor para probar. Por ejemplo, cuando (x = 0 ) entonces (x-1 = -1 ) y (x + 3 = 3 ) El factor (x-1 ) está marcado como negativo y (x + 3 ) marcado como positivo. Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca como negativo en ese intervalo.

Paso 5. Determina los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalo.

Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los números en los intervalos ((- infty, -3) ) y ((1, infty) ) son soluciones. Dado que 3 debe excluirse ya que hace que la expresión racional sea 0, no podemos incluirla en la solución. Podemos incluir 1 en nuestra solución.

[(- infty, -3) cup [1, infty) nonumber ]

Multiplica ambos lados por el LCD, 400. Elimina los factores comunes en cada lado. Simplifique, pero no multiplique a la izquierda. Fíjate cuál será el siguiente paso.

[16 cdot 5 = 5 a nonumber ]

Resuelve para (a ).

[ begin {alineado} dfrac {16 cdot 5} {5} & = dfrac {5 a} {5} 16 & = a end {alineado} nonumber ]

Cheque. ¿Es razonable la respuesta? Escribe una oración completa.

El pediatra le recetaría 16 ml de acetaminofén a Zoe.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofén le recetará el médico a Emilia, que pesa 60 libras?

Respuesta

El pediatra prescribirá 12 ml de acetaminofén a Emilia.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Por cada kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras recetan 15 miligramos (mg) de un antifebril. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos de antifebril prescribirá el pediatra?

Respuesta

El pediatra le recetará 180 mg de antifebril a Isabella.

Resolver aplicaciones de figuras similares

Cuando encoges o agrandas una foto en un teléfono o tableta, calculas una distancia en un mapa o usas un patrón para construir una estantería o coser un vestido, estás trabajando con figuras similares. Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes tienen la misma razón.

Figuras similares

Dos figuras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma razón.

Por ejemplo, los dos triángulos de la Figura siguiente son similares. Cada lado de ( Delta ABC ) es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de ( Delta XYZ ).

Esto se resume en la propiedad de triángulos similares.

Propiedad de triángulos similares

Si ( Delta ABC ) es similar a ( Delta XYZ ), entonces las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma razón.

Para resolver aplicaciones con figuras similares, seguiremos la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas que usamos anteriormente.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

En un mapa, San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de la izquierda a continuación representa el triángulo formado por las ciudades en el mapa. Si la distancia real de Los Ángeles a Las Vegas es de 270 millas, calcule la distancia de Los Ángeles a San Francisco.

Solución

Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales.

Leer el problema. Dibuja las figuras y etiquétalas con la información dada. Las figuras se muestran arriba.

Identificar lo que estamos buscando: la distancia real de Los Ángeles a San Francisco

Nombre las variables: Sea (x ) = distancia de Los Ángeles a San Francisco.

Traducir en una ecuación. Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales. Haremos que los numeradores sean "millas" y los denominadores "pulgadas".

[$ dfrac {x text {millas}} {1.3 text {pulgadas}} = dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgadas}} $ nonumber ]

Resolver la ecuacion.

[ begin {alineado} 1.3 left ( dfrac {x} {1.3} right) & = 1.3 left ( dfrac {270} {1} right) x & = 351 end {alineado} sin número ]

Cheque. En el mapa, la distancia de Los Ángeles a San Francisco es mayor que la distancia de Los Ángeles a Las Vegas. Dado que 351 es más de 270, la respuesta tiene sentido.

Marca (x = 351 ) en la proporción original. Usa una calculadora.

[ begin {alineado} dfrac {x text {millas}} {1.3 text {pulgadas}} & = dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgadas}} dfrac { 351 text {millas}} {1.3 text {pulgadas}} & overset {?} {=} Dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgadas}} dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgada}} & = dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgada}} surd end {alineado} nonumber ]

Respuesta la pregunta: la distancia de Los Ángeles a San Francisco es de 351 millas.

En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo. La distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentre la distancia real de Seattle a Portland.

Respuesta

La distancia es de 150 millas.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentre la distancia real de Portland a Boise.

Respuesta

La distancia es de 350 millas.

Podemos usar figuras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Tyler mide 6 pies de altura. Una tarde, su sombra medía dos metros y medio de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Calcula la altura del árbol.

Solución

Lee el problema y dibuja una figura. Estamos buscando (h ), la altura del árbol.

Usaremos triángulos similares para escribir una ecuación. El triángulo pequeño es similar al triángulo grande.

[ dfrac {h} {24} = dfrac {6} {8} nonumber ]

Resuelve la proporción.

[ begin {alineado} 24 left ( dfrac {6} {8} right) & = 24 left ( dfrac {h} {24} right) 18 & = h end {alineado} sin número ]

Simplificar. Cheque.

La altura de Tyler es menor que la longitud de su sombra, por lo que tiene sentido que la altura del árbol sea menor que la longitud de su sombra. Marca (h = 18 ) en la proporción original.

[ begin {alineado} & dfrac {6} {8} = dfrac {h} {24} & dfrac {6} {8} overset {?} {=} dfrac {18} { 24} & dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} surd end {alineado} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Un poste de teléfono proyecta una sombra de 50 pies de largo. Cerca de allí, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra de 10 pies de largo. ¿Qué altura tiene el poste telefónico?

Respuesta

El poste telefónico mide 40 pies de alto.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Un pino proyecta una sombra de 80 pies junto a un edificio de 30 pies de altura que proyecta una sombra de 40 pies. ¿Qué tan alto es el pino?

Respuesta

El pino mide 60 pies de altura.

Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme usando la fórmula (D = r t ) en capítulos anteriores. Usamos una tabla como la siguiente para organizar la información y llevarnos a la ecuación.

Tasa ( cdot ) Tiempo = Distancia

La fórmula (D = r t ) asume que conocemos (r ) y (t ) y las usamos para encontrar (D ). Si conocemos (D ) y (r ) y necesitamos encontrar (t ), resolveríamos la ecuación para (t ) y obtendríamos la fórmula (t = dfrac {D} {r } ).

También hemos explicado cómo el volar con o en contra del viento afecta la velocidad de un avión. Revisaremos esa idea en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Un avión puede volar 200 millas con un viento en contra de 30 mph en la misma cantidad de tiempo que se tarda en volar 300 millas con un viento de cola de 30 mph. Cual es la rapidez del aeroplano?

Solución

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

Rellenamos la tabla para organizar la información.

Buscamos la velocidad del avión. Sea (r ) = la velocidad del avión.

Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y, por lo tanto, la tasa es (r + 30 ).

Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la tasa es (r - 30 ).

Escriba las tarifas. Escribe las distancias. Dado que (D = r cdot t ), resolvemos (t ) y obtenemos (t = dfrac {D} {r} ). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

Tasa ( cdot ) Tiempo = Distancia
Viento en contra (r-30 ) ( dfrac {200} {r-30} )200
Viento de cola (r + 30 ) ( dfrac {300} {r + 30} )300

Sabemos que los tiempos son iguales y por eso escribimos nuestra ecuación.

[ dfrac {200} {r-30} = dfrac {300} {r + 30} nonumber ]

Multiplicamos ambos lados por el LCD.

[(r + 30) (r-30) left ( frac {200} {r-30} right) = (r + 30) (r-30) left ( frac {300} {r + 30} derecha) nonumber ]

Simplifica y resuelve.

[ begin {alineado} (r + 30) (200) & = (r-30) 300 200 r + 6000 & = 300 r-9000 15000 & = 100 r end {alineado} nonumber ]

Cheque.

¿Es (150 mathrm {mph} ) una velocidad razonable para un avión? Si. Si el avión viaja (150 mathrm {mph} ) y el viento es (30 mathrm {mph} ),

[ text {Viento de cola} quad 150 + 30 = 180 mathrm {mph} quad dfrac {300} {180} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

[ text {Viento en contra} 150-30 = 120 mathrm {mph} dfrac {200} {120} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

Los tiempos son iguales, por lo que comprueba. El avión viajaba (150 mathrm {mph} ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Link puede andar en su bicicleta 20 millas con un viento en contra de 3 mph en la misma cantidad de tiempo que puede andar 30 millas con un viento de cola de 3 mph. ¿Cuál es la velocidad en bicicleta de Link?

Respuesta

La velocidad en bicicleta de Link es de 15 mph.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Danica puede navegar en su bote 5 millas con un viento en contra de 7 mph en la misma cantidad de tiempo que puede navegar 12 millas con un viento de cola de 7 mph. ¿Cuál es la velocidad del barco de Danica sin viento?

Respuesta

La velocidad del barco de Danica es de 17 mph.

En el siguiente ejemplo, conoceremos el tiempo total resultante de viajar diferentes distancias a diferentes velocidades.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Jazmine entrenó durante 3 horas el sábado. Corrió 8 millas y luego pedaleó 24 millas. Su velocidad en bicicleta es 4 mph más rápida que su velocidad de carrera. ¿Cuál es su velocidad de carrera?

Solución

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

Rellenamos la tabla para organizar la información. Buscamos la velocidad de carrera de Jazmine. Sea (r ) = velocidad de carrera de Jazmine.

Su velocidad al andar en bicicleta es 4 millas más rápida que su velocidad al correr. (r + 4 ) = su velocidad en bicicleta

Se dan las distancias, introdúzcalas en la tabla. Dado que (D = r cdot t ), resolvemos (t ) y obtenemos (t = dfrac {D} {r} ).Dividimos la distancia por la tasa en cada fila y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

Tasa ( cdot ) Tiempo = Distancia
Correr (r ) ( dfrac {8} {r} )8
Bicicleta (r + 4 ) ( dfrac {24} {r + 4} )24
3

Escribe una oración de palabras: Su tiempo más el tiempo en bicicleta es de 3 horas.

Traduce la oración para obtener la ecuación.

[ dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} = 3 nonumber ]

Resolver.

[ begin {alineado}
r (r + 4) left ( dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} right) & = 3 cdot r (r + 4)
8 (r + 4) +24 r & = 3 r (r + 4)
8 r + 32 + 24 r & = 3 r ^ {2} +12 r
32 + 32 r & = 3 r ^ {2} +12 r
0 & = 3 r ^ {2} -20 r-32
0 y = (3 r + 4) (r-8)
end {alineado} nonumber ]

[ begin {array} {lc} {(3 r + 4) = 0} & {(r-8) = 0} cancel {r = dfrac {4} {3}} quad & { r = 8} end {matriz} nonumber ]

Cheque.

Una velocidad negativa no tiene sentido en este problema, entonces (r = 8 ) es la solución.

¿Es 8 mph una velocidad de carrera razonable? Si.

Si la velocidad de carrera de Jazmine es 4, entonces su velocidad de ciclismo, (r + 4 ), que es (8 + 4 = 12 ).

[ text {Run} 8 mathrm {mph} quad dfrac {8 mathrm {millas}} {8 mathrm {mph}} = 1 text {hora} nonumber ]

[ text {Bicicleta} 12 text {mph} quad dfrac {24 text {millas}} {12 mathrm {mph}} = 2 text {horas} nonumber ]

La velocidad de carrera de Jazmine es de 8 mph.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Dennis fue a esquiar de fondo durante 6 horas el sábado. Esquió 20 millas cuesta arriba y luego 20 millas cuesta abajo, regresando a su punto de partida. Su velocidad cuesta arriba fue 5 mph más lenta que su velocidad cuesta abajo. ¿Cuál fue la velocidad de Dennis al subir una colina y su velocidad al bajar?

Respuesta

La velocidad cuesta arriba de Dennis fue de 10 mph y su velocidad cuesta abajo fue de 5 mph.

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Joon condujo 4 horas hasta su casa, conduciendo 208 millas en la interestatal y 40 millas en carreteras rurales. Si condujo 15 mph más rápido en la interestatal que en las carreteras rurales, ¿cuál fue su velocidad en las carreteras rurales?

Respuesta

La velocidad de Joon en las carreteras rurales es de 50 mph.

Una vez más, usaremos la fórmula de movimiento uniforme resuelta para la variable (t ).

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Hamilton montó en bicicleta cuesta abajo 12 millas por el sendero del río desde su casa hasta el océano y luego montó cuesta arriba para regresar a casa. Su velocidad cuesta arriba fue de 8 millas por hora más lenta que su velocidad cuesta abajo. Le tomó 2 horas más llegar a casa de lo que tardó en llegar al océano. Calcula la velocidad cuesta abajo de Hamilton.

Solución

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

Rellenamos la tabla para organizar la información.

Buscamos la velocidad cuesta abajo de Hamilton. Sea (h ) = velocidad cuesta abajo de Hamilton.

Su velocidad cuesta arriba es 8 millas por hora más lenta. (h-8 ) = Velocidad cuesta arriba de Hamilton.

Ingrese las tarifas en la tabla.

La distancia es la misma en ambas direcciones: 12 millas.

Dado que (D = r cdot t ), resolvemos (t ) y obtenemos (t = dfrac {D} {r} ). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

Tasa ( cdot ) Tiempo = Distancia
Cuesta abajo (h ) ( dfrac {12} {h} )12
Cuesta arriba (h-8 ) ( dfrac {12} {h-8} )12

Escribe una oración de palabras sobre la línea: Le tomó 2 horas más cuesta arriba que cuesta abajo. El tiempo cuesta arriba es 2 más que el tiempo cuesta abajo.

Traduce la oración para obtener la ecuación.

[ dfrac {12} {h-8} = dfrac {12} {h} +2 nonumber ]

Resolver.

[ begin {alineado}
h (h-8) left ( dfrac {12} {h-8} right) & = h (h-8) left ( dfrac {12} {h} +2 right)
12 h & = 12 (h-8) +2 h (h-8)
12 h & = 12 h-96 + 2 h ^ {2} -16 h
0 & = 2 h ^ {2} -16 h-96
0 & = 2 left (h ^ {2} -8 h-48 right)
0 y = 2 (h-12) (h + 4)
end {alineado} nonumber ]

[ begin {array} {lc} h-12 = 0 & h + 4 = 0 h = 12 & cancel {h = 4} end {array} nonumber ]

Cheque. ¿Es (12 mathrm {mph} ) una velocidad razonable para andar en bicicleta cuesta abajo? Si.

[ text {Cuesta abajo} 12 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {millas}} {12 mathrm {mph}} = 1 text {hora} nonumber ]

[ text {Cuesta arriba} 12-8 = 4 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {millas}} {4 mathrm {mph}} = 3 text {horas} nonumber ]

El tiempo de subida es 2 horas más que el tiempo de bajada.

La velocidad cuesta abajo de Hamilton es (12 mathrm {mph} ).

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Kayla montó su bicicleta a 75 millas de la universidad un fin de semana y luego tomó el autobús de regreso a la universidad. Le tomó 2 horas menos viajar de regreso a la universidad en el autobús de lo que le tomó regresar a casa en su bicicleta, y la velocidad promedio del autobús fue 10 millas por hora más rápida que la velocidad de Kayla en bicicleta. Encuentra la velocidad en bicicleta de Kayla.

Respuesta

La velocidad de Kayla en bicicleta era de 15 mph.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Victoria corre 12 millas hasta el parque por un sendero llano y luego regresa trotando por un sendero montañoso de 20 millas. Trota 1 milla por hora más lento en el sendero montañoso que en el sendero llano, y su viaje de regreso le lleva dos horas más. Calcula su ritmo de trote en la pista llana.

Respuesta

Victoria corrió 6 mph en el camino llano.

Resolver aplicaciones de trabajo

La revista semanal de chismes tiene una gran historia sobre el bebé de la princesa y el editor quiere que la revista se imprima lo antes posible. Ella le ha pedido a la impresora que ejecute una prensa de impresión adicional para que la impresión se realice más rápidamente. Presionar # 1 toma 6 horas para hacer el trabajo y Presionar # 2 toma 12 horas para hacer el trabajo. ¿Cuánto tiempo le tomará a la impresora imprimir la revista con ambas prensas funcionando juntas?

Esta es una aplicación típica de "trabajo". Hay tres cantidades involucradas aquí: el tiempo que le tomaría a cada una de las dos prensas hacer el trabajo sola y el tiempo que les tomaría hacer el trabajo juntas.

Si Press # 1 puede completar el trabajo en 6 horas, en una hora completaría ( dfrac {1} {6} ) del trabajo.

Si Press # 2 puede completar el trabajo en 12 horas, en una hora completaría ( dfrac {1} {12} ) del trabajo.

Dejaremos que (t ) sea la cantidad de horas que le tomarían a las prensas imprimir las revistas con ambas prensas funcionando juntas. Así que en 1 hora trabajando juntos han completado ( dfrac {1} {t} ) del trabajo.

Podemos modelar esto con la palabra ecuación y luego traducirlo a una ecuación racional. Para encontrar el tiempo que les tomaría a las prensas completar el trabajo si trabajaran juntas, resolvemos para (t ).

Siga los pasos para organizar la información. Estamos buscando cuántas horas se necesitarían para completar el trabajo con ambas prensas funcionando juntas.

Paso 1: Sea (t ) = la cantidad de horas necesarias para completar el trabajo juntos.

Paso 2: Ingrese las horas por trabajo para Presione # 1, Presione # 2 y cuando trabajen juntas.

Si un trabajo en la Prensa # 1 toma 6 horas, entonces en 1 hora ( dfrac {1} {6} ) del trabajo se completa.

De manera similar, encuentre la parte del trabajo completada / horas para la Prensa n. ° 2 y cuando ambos estén juntos.

Número de horas para completar el trabajo.Parte del trabajo completado / hora
Presiona 16 ( dfrac {1} {6} )
Presione # 212 ( dfrac {1} {12} )
Juntos (t ) ( dfrac {1} {t} )

Escribe una oración de palabras. La parte completada por Presione # 1 más la parte completada por Presione # 2 es igual a la cantidad completada juntos.

Paso 3: Traducir a una ecuación.

[ text {Trabajo completado por} underbrace { text {Presione} # 1 + text {Presione} # 2 = text {Juntos}} dfrac {1} {6} qquad + qquad dfrac {1} {12} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

Paso 4: Resolver. Simplificar.

[ dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} = dfrac {1} {t} nonumber ]

Multiplica por el MCD, (12t ) y simplifica.

[ begin {alineado}
12 t left ( dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} right) & = 12 t left ( dfrac {1} {t} right)
2 t + t & = 12
3 t & = 12
t & = 4
end {alineado} nonumber ]

Cuando ambas prensas están en funcionamiento, se necesitan 4 horas para hacer el trabajo.

Tenga en cuenta que dos prensas deben tardar menos tiempo en completar un trabajo trabajando juntas que para que cualquiera de las dos lo haga sola.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Supongamos que Pete puede pintar una habitación en 10 horas. Si trabaja a un ritmo constante, en 1 hora pintaría ( dfrac {1} {10} ) de la habitación. Si Alicia tardara 8 horas en pintar la misma habitación, en 1 hora pintaría ( dfrac {1} {8} ) de la habitación. ¿Cuánto tiempo tardarían Pete y Alicia en pintar la habitación si trabajaban juntos (y no interfirieran con el progreso del otro)?

Solución

Esta es una aplicación de "trabajo". Los pasos a continuación nos ayudarán a organizar la información. Estamos buscando la cantidad de horas que les tomará pintar la habitación juntos.

En una hora, Pete hizo ( dfrac {1} {10} ) del trabajo. Alicia hizo ( dfrac {1} {8} ) del trabajo. Y juntos hicieron ( dfrac {1} {t} ) del trabajo.

Paso 1: Sea (t ) la cantidad de horas necesarias para pintar la habitación juntos.

Paso 2: Ingrese las horas por trabajo para Pete, Alicia y cuándo trabajan juntos. En 1 hora trabajando juntos, han completado ( dfrac {1} {t} ) del trabajo. Del mismo modo, busque la parte del trabajo completada / hora por Pete y luego por Alicia.

Número de horas para completar el trabajo.Parte del trabajo completado / hora
Pete10 ( dfrac {1} {10} )
Alicia8 ( dfrac {1} {8} )
Juntos (t ) ( dfrac {1} {t} )

Escribe una oración de palabras. El trabajo completado por Pete más el trabajo completado por Alicia es igual al trabajo total completado.

Paso 3: Traducir a una ecuación.

[ text {Trabajo completado por} underbrace { text {Pete} + text {Alicia} = text {Together}} dfrac {1} {10} qquad + qquad dfrac {1 } {8} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

Paso 4: Simplifica. Resolver.

Multiplica por el LCD, (40t ).

[40 t left ( dfrac {1} {10} + dfrac {1} {8} right) = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

Distribuir.

[40 t cdot dfrac {1} {10} +40 t cdot dfrac {1} {8} = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

Simplifica y resuelve.

[ begin {array} {r}
{4 t + 5 t = 40}
{9 t = 40}
{t = dfrac {40} {9}}
end {matriz} nonumber ]

Escribiremos como un número mixto para que podamos convertirlo en horas y minutos.

[t = 4 dfrac {4} {9} text {horas} nonumber ]

Recuerde, 1 hora = 60 minutos.

[t = 4 text {horas} + dfrac {4} {9} (60 text {minutos}) nonumber ]

Multiplica y luego redondea al minuto más cercano.

[t = 4 text {horas} +27 text {minutos} nonumber ]

Pete y Alica tardarían unas 4 horas y 27 minutos en pintar la habitación.

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Un jardinero puede cortar un campo de golf en 4 horas, mientras que otro jardinero puede cortar el mismo campo de golf en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tomaría si los dos jardineros trabajaran juntos para cortar el césped del campo de golf?

Respuesta

Cuando los dos jardineros trabajan juntos, se necesitan 2 horas y 24 minutos.

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Daria puede quitar las malas hierbas del jardín en 7 horas, mientras que su madre puede hacerlo en 3. ¿Cuánto tiempo les llevará a los dos trabajar juntos?

Respuesta

Cuando Daria y su madre trabajan juntas, se necesitan 2 horas y 6 minutos.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Ra'shon puede limpiar la casa en 7 horas. Cuando su hermana lo ayuda, toma 3 horas. ¿Cuánto tiempo tarda su hermana en limpiar la casa sola?

Solución

Este es un problema de trabajo. Estamos buscando cuántas horas le tomaría a la hermana de Ra'shon completar el trabajo por sí misma.

Paso 1: Sea (s ) el número de horas que la hermana de Ra'shon tarda sola en limpiar la casa.

Paso 2: Ingrese las horas por trabajo de Ra’shon, su hermana, y cuándo trabajan juntos. Si Ra'shon tarda 7 horas, en 1 hora ( dfrac {1} {s} ) del trabajo se completa. Si la hermana de Ra'shon tarda (s ) horas, en 1 hora ( dfrac {1} {s} ) del trabajo se completa.

Número de horas para completar el trabajo.Parte del trabajo completado / hora
Ra'shon7 ( dfrac {1} {7} )
Su hermana(s) ( dfrac {1} {s} )
Juntos3 ( dfrac {1} {3} )

Escribe una oración de palabras. La parte completada por Ra'shon más la parte de su hermana es igual a la cantidad completada juntos.

Paso 3: Traducir a una ecuación.

[ text {Trabajo completado por} underbrace { text {Ra'shon} + text {Su hermana} = text {Juntos}} dfrac {1} {7} qquad + qquad dfrac {1} {s} qquad = qquad dfrac {1} {3} nonumber ]

Paso 4: Simplifica. Resolver.

[ dfrac {1} {7} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {3} nonumber ]

Multiplique por la pantalla LCD, 21 segundos.

[ begin {alineado}
21 s left ( dfrac {1} {7} + dfrac {1} {s} right) & = left ( dfrac {1} {3} right) 21 s
3 s + 21 y = 7 s
end {alineado} nonumber ]

Simplificar.

[ begin {alineado}
-4 s & = - 21
s & = frac {-21} {- 4} = frac {21} {4}
end {alineado} nonumber ]

Escribe como un número mixto para convertirlo en horas y minutos.

[s = 5 dfrac {1} {4} text {horas} nonumber ]

Hay 60 minutos en 1 hora.

[s = 5 text {horas} + dfrac {1} {4} (60 text {minutos}) s = 5 text {horas} +15 text {minutos} nonumber ]

La hermana de Ra'shon tardaría 5 horas y 15 minutos en limpiar la casa sola.

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Alice puede pintar una habitación en 6 horas. Si Kristina la ayuda, tardan 4 horas en pintar la habitación. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Kristina pintar la habitación sola?

Respuesta

Kristina puede pintar la habitación en 12 horas.

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Tracy puede colocar una losa de concreto en 3 horas, con la ayuda de Jordan pueden hacerlo en 2 horas. Si Jordan trabaja solo, ¿cuánto tiempo llevará?

Respuesta

Jordan tardará 6 horas.

Resolver problemas de variación directa

Cuando dos cantidades están relacionadas por una proporción, decimos que son proporcionales entre sí. Otra forma de expresar esta relación es hablar de la variación de las dos cantidades. Discutiremos la variación directa y la variación inversa en esta sección.

A Lindsay le pagan $ 15 por hora en su trabajo. Si dejamos que (s ) sea su salario y h el número de horas que ha trabajado, podríamos modelar esta situación con la ecuación

[s = 15 h nonumber ]

El salario de Lindsay es el producto de una constante, 15, y la cantidad de horas que trabaja. Decimos que el salario de Lindsay varía directamente con la cantidad de horas que trabaja. Dos variables varían directamente si una es el producto de una constante y la otra.

Variación directa

Para cualesquiera dos variables (x ) y (y ), (y ) varía directamente con (x ) si

(y = kx ), donde (k neq 0 )

La constante (k ) se llama constante de variación.

En aplicaciones que usan variación directa, generalmente conoceremos los valores de un par de variables y se nos pedirá que encontremos la ecuación que relaciona (x ) y (y ). Entonces podemos usar esa ecuación para encontrar valores de (y ) para otros valores de (x ).

Aquí enumeramos los pasos.

Cómo resolver problemas de variación directa

Paso 1. Escribe la fórmula para la variación directa.

Paso 2. Sustituye los valores dados por las variables.

Paso 3. Resuelve la constante de variación.

Paso 4. Escribe la ecuación que relaciona (x ) y (y ) usando la constante de variación.

Ahora resolveremos una aplicación de variación directa.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Cuando Raoul corre en la cinta en el gimnasio, la cantidad de calorías, (c ), que quema varía directamente con la cantidad de minutos, (m ), que usa la cinta. Quemó 315 calorías cuando usó la caminadora durante 18 minutos.

  1. Escribe la ecuación que relaciona (c ) y (m ).
  2. ¿Cuántas calorías quemaría si corriera en la cinta durante 25 minutos?

Solución

    La cantidad de calorías, (c ), varía directamente con la cantidad de minutos, (m ), en la caminadora, y (c = 315 ) cuando (m = 18 ).

    Escribe la fórmula para la variación directa.

    [y = kx nonumber ]

    Usaremos (c ) en lugar de (y ) y (m ) en lugar de (x ).

    [c = k m nonumber ]

    Sustituye los valores dados por las variables.

    [315 = k cdot 18 nonumber ]

    Resuelve la constante de variación.

    [ begin {alineado}
    & dfrac {315} {18} = dfrac {k cdot 18} {18}
    & 17,5 = k
    end {alineado} nonumber ]

    Escribe la ecuación que relaciona (c ) y (m ).

    [c = k m nonumber ]

    Sustituir en la constante de variación.

    [c = 17,5 m nonumber ]

      Escribe la ecuación que relaciona (c ) y (m ).

      [c = 17,5 m nonumber ]

      Sustituye (m ) por el valor dado.

      [c = 17.5 (25) nonumber ]

      Simplificar.

      [c = 437.5 nonumber ]

      Raoul quemaría 437,5 calorías si usara la cinta durante 25 minutos.

      Ejercicio ( PageIndex {19} )

      El número de calorías, (c ), quemadas varía directamente con la cantidad de tiempo, (t ), dedicado al ejercicio. Arnold quemó 312 calorías en 65 minutos de ejercicio.

      1. Escribe la ecuación que relaciona (c ) y (t ).
      2. ¿Cuántas calorías quemaría si se ejercitara durante 90 minutos?
      Respuesta
      1. (c = 4,8 t )
      2. Quemaría 432 calorías.

      Ejercicio ( PageIndex {20} )

      La distancia que viaja un cuerpo en movimiento, (d ), varía directamente con el tiempo, (t ), se mueve. Un tren viaja 100 millas en 2 horas.

      1. Escribe la ecuación que relaciona (d ) y (t ).
      2. ¿Cuántas millas viajaría en 5 horas?
      Respuesta
      1. (d = 50 t )
      2. Viajaría 250 millas.

      Resolver problemas de variación inversa

      Muchas aplicaciones involucran dos variables que varían inversamente. A medida que una variable aumenta, la otra disminuye. La ecuación que los relaciona es (y = dfrac {k} {x} )

      Variación inversa

      Para cualesquiera dos variables (x ) y (y ), (y ) varía inversamente con (x ) si

      (y = dfrac {k} {x} ), donde (k neq 0 )

      La constante (k ) se llama constante de variación.

      La palabra "inverso" en variación inversa se refiere al inverso multiplicativo. El inverso multiplicativo de (x ) es ( dfrac {1} {x} ).

      Resolvemos problemas de variación inversa de la misma manera que resolvimos problemas de variación directa. Solo ha cambiado la forma general de la ecuación. Copiaremos el cuadro de procedimiento aquí y simplemente cambiaremos "directo" a "inverso".

      cómo resolver problemas de variación inversa

      Paso 1. Escribe la fórmula para la variación inversa.

      Paso 2. Escribe la ecuación que relaciona (x ) y (y ) usando la constante de variación.

      Ejemplo ( PageIndex {11} )

      La frecuencia de una cuerda de guitarra varía inversamente con su longitud. Una cuerda de 26 pulgadas de largo tiene una frecuencia de 440 vibraciones por segundo.

      1. Escribe la ecuación de variación.
      2. ¿Cuántas vibraciones por segundo habrá si la longitud de la cuerda se reduce a 20 pulgadas poniendo un dedo en un traste?

      Solución

        La frecuencia varía inversamente con la longitud.

        Nombra las variables. Sea (f ) = frecuencia. (L ) = longitud

        Escribe la fórmula para la variación inversa.

        [y = dfrac {k} {x} nonumber ]

        Usaremos (f ) en lugar de (y ) y (L ) en lugar de (x ).

        [f = dfrac {k} {L} nonumber ]

        [f = 440 text {cuando} L = 26 nonumber ]

        Sustituye los valores dados por las variables.

        [440 = dfrac {k} {26} nonumber ]

        Resuelve la constante de variación.

        [ begin {alineado}
        & 26 (440) = 26 left ( dfrac {k} {26} right)
        & 11,440 = k
        end {alineado} nonumber ]

        Escribe la ecuación que relaciona (f ) y (L ).

        [f = dfrac {k} {L} nonumber ]

        Sustituye la constante de variación.

        [f = dfrac {11,440} {L} nonumber ]

          Encuentra (f ) cuando (L = 20 ).

          Escribe la ecuación que relaciona (f ) y (L ).

          [f = dfrac {11,440} {L} nonumber ]

          Sustituye L por el valor dado.

          [f = dfrac {11,440} {20} nonumber ]

          Simplificar.

          [f = 572 nonumber ]

          Una cuerda de guitarra de 20 '' tiene una frecuencia de 572 vibraciones por segundo.

          Ejercicio ( PageIndex {21} )

          El número de horas que tarda el hielo en derretirse varía inversamente con la temperatura del aire. Suponga que un bloque de hielo se derrite en 2 horas cuando la temperatura es de 65 grados Celsius.

          1. Escribe la ecuación de variación.
          2. ¿Cuántas horas tardaría el mismo bloque de hielo en derretirse si la temperatura fuera de 78 grados?
          Respuesta
          1. (h = dfrac {130} {t} )
          2. (1 dfrac {2} {3} ) horas

          Ejercicio ( PageIndex {22} )

          Xander’s new business found that the daily demand for its product was inversely proportional to the price, (p). When the price is $5, the demand is 700 units.

          1. Write the equation of variation.
          2. What is the demand if the price is raised to $7?
          Respuesta
          1. (x=dfrac{3500}{p})
          2. 500 units

          Access this online resource for additional instruction and practice with applications of rational expressions

          • Applications of Rational Expressions

          New numerical solutions for solving Kidder equation by using the rational Jacobi functions

          In this paper, a new method based on rational Jacobi functions (RJ) is proposed that utilizes quasilinearization method to solve non-linear singular Kidder equation on unbounded interval. The Kidder equation is a second order non-linear two-point boundary value ordinary differential equation on unbounded interval ([0,infty )) . The equation is solved without domain truncation and variable changing. First, the quasilinearization method is used to convert the equation to sequence of linear ordinary differential equations. Then, by using RJ collocation method equations are solved. For the evaluation, comparison with some numerical solutions shows that the proposed solution is highly accurate. Using 200 collocation points, the value of initial slope that is important is calculated as (-1.1917906497194217341228284 ) for (kappa =0.5) .

          Esta es una vista previa del contenido de la suscripción, acceda a través de su institución.


          Solving linear equation online

          A first-degree equation is an equation of the form `ax=b`. This type of equation is also called a linear equation. To solve these equations we use the following formula `x=b/a`.

          lineal equation solving of the form ax=b s is done very quickly, when the variable is not ambiguous, just enter ecuación a resolver and then click solve, then the result is returned by solver. Details of calculations that led to the resolution of the linear equation are also displayed. To solve the linear equation following 3x+5=0, just type the expression 3x+5=0 in the calculation area, then click on "solve" button, result is returned `[x=-5/3]`. it is also possible to solve equations the form of `(ax+c)/g(x)=0` or equations that may be in this form , g(x) represents a function. When you enter an expression without '=' sign the function returns when possible values ​​for which expression is zero. For example, enter x+5 and resolve back to x+5=0 and solve.

          Equations with variables on both sides

          The calculator can solve equations with variables on both sides like this: `3x+5=2x`, just enter 3x+5=2x to get the result.

          Equations with parentheses

          The calculator can solve equations with parentheses like this: `6*(3x+5)=5*(2x+3)`, just enter 6*(3x+5)=5*(2x+3) to get the result.

          Equation with the variable in the denominator

          • `(x-1)/(x^2-1)=0` returns the message no solution, domain definition is taken into account for the calculation, the numerator admits x = 1 as the root but the denominator is zero for x = 1 , 1 can't be a equation solution. The equation does not admit a solution.
          • equation_solver`(1/(x+1)=3)` returns `[-2/3]`

          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          I want to thank you for all you help. Your spport in resolving how do a problem has helped me understand how to do the problems, and actually get the right result. Thanks So Much.
          Brian Phillips, WI

          The Algebrator Software is marvelous. Complex numbers always scared me and I wanted a way out. The step-by-step way of your software really cleared my concepts and now I look forward to solve other types of algebra problems.
          Laura Keller, MD

          I just wanted to tell you that I just purchased your program and it is unbelievable! Thank you so much for developing such a program. By the way, I recently sent you an email telling you that I had purchased PAT (personal algebra tutor) and am very unhappy with it.
          Tina Washington, TX

          We bought it for our daughter and it seems to be helping her a whole bunch. It was a life saver.
          Jeff Galligan, AR

          My daughter is dyslexic and has always struggled with math. Your program gave her the necessary explanations and step-by-step instructions to not only survive grade 11 math but to thrive in it. Gracias.
          George Miller, LA


          MA001: College Algebra

          First, read the course syllabus. Then, enroll in the course by clicking "Enroll me in this course". Click Unit 1 to read its introduction and learning outcomes. You will then see the learning materials and instructions on how to use them.

          Unit 1: Basic Algebra Concepts

          We begin by quickly reviewing the basic concepts you will need to understand as you begin your study of algebra. If you have taken a pre-algebra course, you may be familiar with some of these concepts. With practice, every student, regardless of background, can grasp these concepts.

          Completing this unit should take you approximately 26 hours.

          Unit 2: Solving Linear Inequalities and Graphing

          In this unit, you will learn to apply the concept of solving equations to solve problems involving linear inequalities. You will also learn how to graph a straight line, use different methods to find the slope and intercept of a line, and interpret slope and intercept. You will learn more about types of straight lines.

          Completing this unit should take you approximately 20 hours.

          Unit 3: Exponents and Polynomials

          This section introduces you to the concept of evaluating exponents, converting scientific notations to decimal notations, and vice versa. You will apply these concepts to evaluating polynomial expressions.

          Completing this unit should take you approximately 19 hours.

          Unit 4: Factoring Polynomials

          This unit expands on what you learned in Unit 3. In Unit 4, you will learn to factor the greatest common factor by grouping and other factoring methods. Because factoring and distribution are opposite actions, you will be able to determine whether you have factored correctly by going in the opposite direction, which is distributing through multiplication.

          Completing this unit should take you approximately 19 hours.

          Unit 5: Rational Expressions

          In this unit, you will learn how to evaluate rational expressions and perform operations such as addition, multiplication, and division involving rational expressions. You will apply the concept of multiplying rational expressions to dimensional analysis, where you will convert units from single/dual unit of measurement to another.

          Completing this unit should take you approximately 17 hours.

          Course Feedback Survey

          Please take a few minutes to give us feedback about this course. We appreciate your feedback, whether you completed the whole course or even just a few resources. Your feedback will help us make our courses better, and we use your feedback each time we make updates to our courses.

          If you come across any urgent problems, email [email protected] or post in our discussion forum.

          Certificate Final Exam

          Take this exam if you want to earn a free Course Completion Certificate.

          To receive a free Course Completion Certificate, you will need to earn a grade of 70% or higher on this final exam. Your grade for the exam will be calculated as soon as you complete it. If you do not pass the exam on your first try, you can take it again as many times as you want, with a 7-day waiting period between each attempt.

          Once you pass this final exam, you will be awarded a free Course Completion Certificate.

          Saylor Direct Credit

          Take this exam if you want to earn college credit for this course. This course is eligible for college credit through Saylor Academy's Saylor Direct Credit Program.

          The Saylor Direct Credit Final Exam requires a proctor and a proctoring fee of $25. To pass this course and earn a Proctor-Verified Course Certificate and official transcript, you will need to earn a grade of 70% or higher on the Saylor Direct Credit Final Exam. Your grade for this exam will be calculated as soon as you complete it. If you do not pass the exam on your first try, you can take it again a maximum of 3 times, with a 14-day waiting period between each attempt.

          Once you pass this final exam, you will be awarded a Credit-Recommended Course Completion Certificate and an official transcript.


          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          Rational Equation Calculator

          Compute peak discharge from a drainage basin using the Rational Equation Method

          Units in Rational Equation calculation: ft 3 =cubic foot, m 3 =cubic meter, mm=millimeter, s=second

          Rational Method Equation
          The Rational equation is the simplest method to determine peak discharge from drainage basin runoff. It is not as sophisticated as the SCS TR-55 method, but is the most common method used for sizing sewer systems.

          Rational Equation: Q=ciA
          The Rational equation requires the following units:
          Q = Peak discharge, cfs
          c = Rational method runoff coefficient
          i = Rainfall intensity, inch/hour
          A = Drainage area, acre

          Note that our calculation allows you to use a variety of units.

          The Rational method runoff coefficient (c) is a function of the soil type and drainage basin slope. A simplified table is shown below. See the references at the bottom of the page for more complete tables including impact of slope.

          The Rainfall intensity (i) is typically found from Intensity/Duration/Frequency curves for rainfall events in the geographical region of interest. The duration is usually equivalent to the time of concentration of the drainage area. The storm frequency is typically stated by local authorities depending on the impact of the development. A 10-yr, 25-yr, 50-yr, or even 100-yr storm frequency may be specified.


          Simplified Table of Rational Method Runoff Coefficients (see references below)

          Ground Cover Runoff Coefficient, c
          Lawns 0.05 - 0.35
          Forest 0.05 - 0.25
          Cultivated land 0.08-0.41
          Meadow 0.1 - 0.5
          Parks, cemeteries 0.1 - 0.25
          Unimproved areas 0.1 - 0.3
          Pasture 0.12 - 0.62
          Residential areas 0.3 - 0.75
          Business areas 0.5 - 0.95
          Industrial areas 0.5 - 0.9
          Asphalt streets 0.7 - 0.95
          Brick streets 0.7 - 0.85
          Roofs 0.75 - 0.95
          Concrete streets 0.7 - 0.95

          Error Messages given by calculation
          "Need 0<c<1", "Need i>0" "Need A>0". Input values must be in these ranges.


          References and Bibliography
          Chin, David A. 2000. Water-Resources Engineering. Prentice-Hall.

          Chow, Ven Te, David R. Maidment, and Larry W. Mays. 1988. Applied Hydrology. McGraw-Hill.

          Corbitt, Robert A. 1999. Standard Handbook of Environmental Engineering. McGraw-Hill. 2ed.

          Lindsley, Ray K., Joseph B. Franzini, David L. Freyberg, and George Tchobanoglous. 1992. Water-Resources Engineering. McGraw-Hill. 4ed.

          McCuen, Richard H. 1998. Hydrology Analysis and Design. Prentice-Hall. 2ed.

          Singh, Vijay P. 1992. Elementary Hydrology. Prentice-Hall.

          © 2003-2015 LMNO Engineering, Research, and Software, Ltd. (All Rights Reserved)

          Please contact us for consulting or questions about the rational equation for peak discharge.


          MDTP Learning Modules

          MDTP Learning Modules are designed to support students’ independent practice in the identified MDTP topics.

          The Learning Modules were written by MDTP workgroup members using diagnostic data from MDTP assessments. Students can use these modules to review content before or after an assessment, prior to entering a new course, and at the direction of a math instructor.

          To access the Learning Modules, select a topic listed in the menu above, and work through appropriate Modules at the level(s) identified by the student’s MDTP results.

          Each Module is divided into lessons, and each lesson consists of Learning Experiences, which include exploration (Explorar), guided examples (¡Prueba esto!), instructional videos (Watch), making connections (Making Connections) and practice (Práctica). The conclusion of each lesson contains an interactive assessment to inform your level of understanding of the content.

          The different components of each lesson are identified by the following icons:

          Explorar

          ¡Prueba esto!

          Watch

          Making Connections

          Making Connections

          Práctica


          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          If you are not pleased with this calculator, you can choose out of huge collections of elementary and powerful complex variants.


          A handy calculator appearing in a small window. It containts only a single input line, but it understands (almost) as many statements as the JavaCalc calculator refered to above.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations exactly and numerically. (The equation may contain symbolic constants. Although the page offers only the solution of polynomial equations, some more general equations are admissible too). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations exactly. (The equations may contain symbolic constants). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations. (The matrix may contain symbolic constants). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          After entering one or more functional expressions, the graphs are drawn. Using the zoom option, you may study the graphs from a very "close" viewpoint and read off coordinates of interesting points with an accuracy of about 10 -14 . (Java applet part of the program is the parser by Darius Bacon).


          After typing in one or more functional expressions, the respective graphs are plotted. The necessary calculations are taken over by the computer algebra system Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Sqrt[x] + x^2 Exp[-x] or sqrt(x) + x^2 exp(-x).

          By the way: the plot is a gif-file and can be saved on your PC by a right mouse click. It may be printed or included in other documents. For a new plot, click the "Back"-button of your browser.

          After typing in an expression for a n , an initial value, an upper bound and a step-width, the items of the sequence are represented numerically.

          After typing in an expression for a k , the items of the sequence of partial sums are represented numerically.


          Type in an expression defining a function and get its derivarive (or derivatives up to the order required) in closed form. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Sin[x] + x^2 Exp[-x] or sin(x) + x^2 exp(-x).

          This page is a bit difficult to survey: The result is a web document looking exactly like the input page. On its bottom side, below the heading "The derivatives are:", you find the required list of derivatives. In case of long expressions, the symbol > means "to be continued next line".


          A very useful tool: Type in an expression defining a function and get its (indefinite) integral in closed form. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . Here, the action of functions must - according to the Mathematica syntax, be denoted by square brackets ! Inputs are case-insensitive (in Mathematica standard functions are written with capital first letter), the symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Tan[x] + x^2 Exp[-x], not tan(x) + x^2 exp(-x).


          Type in an expression defining a function and get its (exact) definite integral over the required interval. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Cos[x] + x^2 Exp[-x] or cos(x) + x^2 exp(-x).
          The program recognizes divergent integrals quite well (e.g. over 1/x if 0 is in the integration domain), but a little bit of caution is in place! The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          Computations with Mathematica
          in the framework of the Maths & Fun project at the BHAK und BHAS Grazbachgasse in Graz (Austria): This is the first Austrian server taking over your Mathematica job. You can choose between The action of functions must be denoted by square brackets ! Funktions must be denoted as Sin or sin (in Mathematica standard functions are written with capital first letter), the symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Cos[x] + x^2 Exp[-x], not Cos(x) + x^2 Exp(-x). --> This tool may help you to get mathematical symbols on a web page, provided you know a little bit about HTML. It comes with a detailled description. You may download it and use it on a local computer (without web connection).
          Further information on this topic may be found on the page Formulae and the web.


          How To Solve Similar Right Triangles

          In the figure below, we are being asked to find the altitude, using the geometric mean and the given lengths of two segments:

          Using Similar Right Triangles

          In the video below, you’ll learn how to deal with harder problems, including how to solve for the three different types of problems:


          How to Get Rid of Exponents in an Algebraic Equation

          Few things strike fear into the beginning algebra student like seeing exponents – expressions such as ​y​ 2 , ​X​ 3 or even the horrifying ​y x ​ – pop up in equations. In order to solve the equation, you need to somehow make those exponents go away. But in truth, that process isn't so difficult once you learn a series of simple strategies, most of which are rooted in the basic arithmetic operations you've been using for years.

          Simplify and Combine Like Terms

          Sometimes, if you're lucky, you might have exponent terms in an equation that cancel each other out. For example, consider the following equation:

          With a keen eye and a little practice, you might spot that the exponent terms actually cancel each other out, thusly:

          Once you simplify the right side of the sample equation, you'll see that you have identical exponent terms on both sides of the equals sign:

          Subtract 2​X​ 2 from both sides of the equation. Because you performed the same operation on both sides of the equation, you haven't altered its value. But you have effectively removed the exponent, leaving you with:

          If desired, you can finish solving the equation for ​y​ by adding 5 to both sides of the equation, giving you:

          Often problems won't be this simple, but it's still an opportunity worth looking out for.

          Look for Opportunities to Factor

          With time, practice and lots of math classes, you'll collect formulas for factoring certain types of polynomials. It's a lot like collecting tools that you keep in a toolbox until you need them. The trick is learning to identify which polynomials can be easily factored. Here are some of the most common formulas you might use, with examples of how to apply them:

          If your equation contains two squared numbers with a minus sign between them – for example, ​X​ 2 − 4 2 – you can factor them using the formula ​a​ 2 − ​B​ 2 ​= (a + b)(a − b)​. If you apply the formula to the example, the polynomial ​X​ 2 − 4 2 factors to (​X​ + 4)(​X​ − 4).

          The trick here is learning to recognize squared numbers even if they aren't written as exponents. For example, the example of ​X​ 2 − 4 2 is more likely to be written as ​X​ 2 − 16.

          If your equation contains two cubed numbers that are added together, you can factor them using the formula

          Consider the example of ​y​ 3 + 2 3 , which you're more likely to see written as ​y​ 3 + 8. When you substitute ​y​ and 2 into the formula for ​a​ and ​B​ respectively, you have:

          Obviously the exponent isn't gone entirely, but sometimes this type of formula is a useful, intermediate step toward getting rid of it. For example, factoring thusly in the numerator of a fraction might create terms that you can then cancel with terms from the denominator.

          If your equation contains two cubed numbers with one ​subtracted​ from the other, you can factor them using a formula very similar to that shown in the previous example. In fact, the location of the minus sign is the only difference between them, as the formula for the difference of cubes is:

          Consider the example of ​X​ 3 − 5 3 , which would more likely be written as ​X​ 3 − 125. Substituting ​X​ for ​a​ and 5 for ​B​, you get:

          As before, although this doesn't eliminate the exponent entirely, it can be a useful intermediate step along the way.

          Isolate and Apply a Radical

          If neither of the above tricks works and you have just one term containing an exponent, you can use the most common method for "getting rid of" the exponent: Isolate the exponent term on one side of the equation, and then apply the appropriate radical to both sides of the equation. Consider the example of

          Isolate the exponent term by adding 25 to both sides of the equation. This gives you:

          The index of the root you apply – that is, the little superscript number before the radical sign – should be the same as the exponent you're trying to remove. So because the exponent term in the example is a cube or third power, you must apply a cube root or third root to remove it. This gives you: