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8.4: Factorizar productos especiales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Factorizar trinomios cuadrados perfectos
  • Factorizar diferencias de cuadrados
  • Factorizar sumas y diferencias de cubos

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ((3x ^ 2) ^ 3 ).
  2. Multiplica: ((m + 4) ^ 2 ).
  3. Multiplicar: ((x − 3) (x + 3) ).

Hemos visto que algunos binomios y trinomios son el resultado de productos especiales: cuadrar binomios y multiplicar conjugados. Si aprende a reconocer este tipo de polinomios, puede utilizar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.

Factorizar trinomios cuadrados perfectos

Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Son el resultado de multiplicar un binomio por sí mismo. Elevamos al cuadrado un binomio usando el patrón Binomial Squares en un capítulo anterior.

El trinomio (9x ^ 2 + 24x + 16 ) se llama trinomio cuadrado perfecto. Es el cuadrado del binomio (3x + 4 ).

En este capítulo, comenzará con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizará en su principal factores. Podrías factorizar esto trinomio utilizando los métodos descritos en la última sección, ya que tiene la forma (ax ^ 2 + bx + c ). Pero si reconoce que el primer y último término son cuadrados y el trinomio se ajusta al patrón de trinomios cuadrados perfecto, se ahorrará mucho trabajo. Aquí está el patrón, el reverso del patrón de cuadrados binomiales.

PATRÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Si (a ) y (b ) son números reales

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 nonumber ]

[a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 nonumber ]

Para hacer uso de este patrón, debes reconocer que un trinomio dado se ajusta a él. Primero, verifique si el coeficiente principal es un cuadrado perfecto, (a ^ 2 ). Luego, verifica que el último término sea un cuadrado perfecto, (b ^ 2 ). Luego, verifique el término medio: ¿es el producto (2ab )? Si todo va bien, puede escribir fácilmente los factores.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos

Factoriza: (9x ^ 2 + 12x + 4 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Factoriza: (4x ^ 2 + 12x + 9 ).

Respuesta

((2x + 3) ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Factoriza: (9y ^ 2 + 24y + 16 ).

Respuesta

((3y + 4) ^ 2 )

El signo del término medio determina qué patrón usaremos. Cuando el término medio es negativo, usamos el patrón (a ^ 2−2ab + b ^ 2 ), que se factoriza en ((a − b) ^ 2 ).

Los pasos se resumen aquí.

TRINOMIOS CUADRADOS FACTOR PERFECTO

( begin {array} {lllll} textbf {Paso 1.} & text {¿El trinomio se ajusta al patrón?} & quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 & text {¿El primer y el último término son cuadrados perfectos?} & Quad & & & & text {Escríbalos como cuadrados.} & Quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & text {Marque el término medio . ¿Es} 2ab? & Quad & hspace {12mm} {,} ^ { seekrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} & hspace {12mm } {,} ^ { seekrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} textbf {Paso 2.} & text {Escribe el cuadrado del binomio .} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 textbf {Paso 3.} & text {Verifica multiplicando.} & & & end {matriz} )

Trabajaremos uno ahora donde el término medio es negativo.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Factoriza: (81y ^ 2−72y + 16 ).

Respuesta

El primer y último término son cuadrados. Vea si el término medio se ajusta al patrón de un cuadrado perfecto trinomio. El término medio es negativo, por lo que el cuadrado binomial sería ((a − b) ^ 2 ).

¿Son el primer y último término cuadrados perfectos?
Compruebe el término medio.
¿Coincide con ((a − b) ^ 2 )? Si.
Escribe como el cuadrado de un binomio. ((9 y-4) ^ {2} )
Verifique multiplicando:

[(9y − 4) ^ 2 nonumber ] [(9y) ^ 2−2 · 9y · 4 + 4 ^ 2 nonumber ] [81y ^ 2−72y + 16 checkmark nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Factoriza: (64y ^ 2−80y + 25 ).

Respuesta

((8y − 5) ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Factoriza: (16z ^ 2−72z + 81 ).

Respuesta

((4z − 9) ^ 2 )

El siguiente ejemplo será un trinomio cuadrado perfecto con dos variables.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Factoriza: (36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 ).

Respuesta
(36 x ^ {2} +84 x y + 49 y ^ {2} )
Pruebe cada término para verificar el patrón.
Factor. ((6 x + 7 y) ^ {2} )
Compruébelo multiplicando.

[(6x + 7y) ^ 2 nonumber ] [(6x) ^ 2 + 2 · 6x · 7y + (7y) ^ 2 nonumber ] [36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 checkmark nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Factoriza: (49x ^ 2 + 84xy + 36y ^ 2 ).

Respuesta

((7x + 6y) ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Factoriza: (64m ^ 2 + 112mn + 49n ^ 2 ).

Respuesta

((8m + 7n) ^ 2 )

Recuerde que el primer paso para factorizar es buscar un factor común máximo. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un GCF en los tres términos y debe tenerse en cuenta primero. Y, a veces, una vez que se ha factorizado el MCD, reconocerá un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Factoriza: (100x ^ 2y − 80xy + 16y ).

Respuesta
¿Existe un GCF? Sí, (4y ), así que factorícelo.
¿Es este un trinomio cuadrado perfecto?
Verifica el patrón.
Factor. (4 y (5 x-2) ^ {2} )
Recuerde: mantenga el factor 4y en el producto final.

Cheque:

[4y (5x − 2) ^ 2 nonumber ] [4y [(5x) 2−2 · 5x · 2 + 22] nonumber ]

[4y (25x2−20x + 4) nonumber ] 100x2y − 80xy + 16y checkmark ]

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Factoriza: (8x ^ 2y − 24xy + 18y ).

Respuesta

(2y (2x − 3) ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Factoriza: (27p ^ 2q + 90pq + 75q ).

Respuesta

(3q (3p + 5) ^ 2 )

Factorizar diferencias de cuadrados

El otro producto especial que vio en el capítulo anterior fue el patrón Producto de conjugados. Usaste esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí tienes un ejemplo:

Una diferencia de factores cuadrados a un producto de conjugados.

DIFERENCIA DE PATRÓN DE CUADRADOS

Si (a ) y (b ) son números reales,

Recuerde, "diferencia" se refiere a la resta. Entonces, para usar este patrón debes asegurarte de tener un binomio en el que se resten dos cuadrados.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Cómo factorizar un trinomio usando la diferencia de cuadrados

Factoriza: (64y ^ 2−1 ).

Respuesta




Ejemplo ( PageIndex {14} )

Factoriza: (121m ^ 2−1 ).

Respuesta

((11m − 1) (11m + 1) )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Factoriza: (81y ^ 2−1 ).

Respuesta

((9y − 1) (9y + 1) )

DIFERENCIAS DE FACTORES DE LOS CUADRADOS.

( begin {array} {llll} textbf {Paso 1.} & text {¿El binomio se ajusta al patrón?} & qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 & text {¿Es esto una diferencia?} & Qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} & text {¿El primer y el último término son cuadrados perfectos?} & & textbf {Paso 2.} & text {Escríbelos como cuadrados.} & qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 textbf {Paso 3.} & text {Escribe el producto de conjugados.} & qquad & (a − b) (a + b) textbf {Paso 4.} & text {Verifica multiplicando.} & & end {array} )

Es importante recordar que las sumas de cuadrados no se factorizan en un producto de binomios. No hay factores binomiales que se multipliquen para obtener una suma de cuadrados. Después de eliminar cualquier MCD, ¡la expresión (a ^ 2 + b ^ 2 ) es prima!

El siguiente ejemplo muestra variables en ambos términos.

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Factoriza: (144x ^ 2−49y ^ 2 ).

Respuesta

( begin {array} {lll} & quad & 144x ^ 2−49y ^ 2 text {¿Es esta una diferencia de cuadrados? Sí.} & quad & (12x) ^ 2− (7y) ^ 2 text {Factoriza como el producto de conjugados.} & quad & (12x − 7y) (12x + 7y) text {Verifica multiplicando.} & quad & (12x − 7y) (12x + 7y ) text {Verifique multiplicando.} & quad & & quad & & quad & hspace {14mm} (12x − 7y) (12x + 7y) & quad & hspace {21 mm} 144x ^ 2−49y ^ 2 checkmark & ​​ quad & end {array} )

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Factoriza: (196m ^ 2−25n ^ 2 ).

Respuesta

((16m − 5n) (16m + 5n) )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Factoriza: (121p ^ 2−9q ^ 2 ).

Respuesta

((11p − 3q) (11p + 3q) )

Como siempre, primero debe buscar un factor común siempre que tenga una expresión para factorizar. A veces, un factor común puede "disfrazar" la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factorices el MCD.

Además, para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces.

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Factoriza: (48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 ).

Respuesta

( begin {array} {ll} & 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 text {¿Hay un MCD? Sí,} 3y ^ 2 text {—factorialándolo!} & 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) text {¿Es el binomio una diferencia de cuadrados? Sí.} & 3y ^ 2 left ((4x ^ 2) ^ 2− (9) ^ 2 right) text {Factorizar como producto de conjugados.} & 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) text {¡Observa que el primer binomio también es una diferencia de cuadrados!} & 3y ^ 2 ((2x) ^ 2− ( 3) ^ 2) (4x ^ 2 + 9) text {Factorizarlo como el producto de conjugados.} & 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) end {array } )

El último factor, la suma de cuadrados, no se puede factorizar.

( begin {array} {l} text {Verifique multiplicando:} hspace {10mm} 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) hspace {15mm} 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) hspace {20mm} 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) hspace {19mm} 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 marca de verificación end {matriz} )

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Factoriza: (2x ^ 4y ^ 2−32y ^ 2 ).

Respuesta

(2y ^ 2 (x − 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4) )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Factoriza: (7a ^ 4c ^ 2−7b ^ 4c ^ 2 ).

Respuesta

(7c ^ 2 (a − b) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2) )

El siguiente ejemplo tiene un polinomio con 4 términos. Hasta ahora, cuando esto ocurrió, agrupamos los términos de dos en dos y factorizamos a partir de ahí. Aquí notaremos que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Factoriza: (x ^ 2−6x + 9 − y ^ 2 ).

Respuesta

Observe que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

Factoriza agrupando los primeros tres términos.
Utilice el patrón trinomial cuadrado perfecto. ((x-3) ^ {2} -y ^ {2} )
¿Es esta una diferencia de cuadrados? Si.
Sí, escríbalos como cuadrados.
Factorizar como el producto de conjugados.
((x-3-y) (x-3 + y) )

Quizás quieras reescribir la solución como ((x − y − 3) (x + y − 3) ).

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Factoriza: (x ^ 2−10x + 25 − y ^ 2 ).

Respuesta

((x − 5 − y) (x − 5 + y) )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Factoriza: (x ^ 2 + 6x + 9−4y ^ 2 ).

Respuesta

((x + 3−2y) (x + 3 + 2y) )

Factorizar sumas y diferencias de cubos

Hay otro patrón especial para factorizar, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y la diferencia de cubos. Primero escribiremos estas fórmulas y luego las comprobaremos mediante la multiplicación.

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 nonumber ]

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

Comprobaremos el primer patrón y te dejamos el segundo.

( color {rojo} (a + b) color {negro} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
Distribuir. ( color {rojo} a color {negro} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) + color {rojo} b color {negro} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} derecha) )
Multiplicar. (a ^ {3} -a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b-a b ^ {2} + b ^ {3} )
Combina términos semejantes. (a ^ {3} + b ^ {3} )

PATRÓN DE SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 nonumber ] [a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

Los dos patrones se ven muy similares, ¿no es así? Pero observe los signos en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo del binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomial es el opuesto al signo del binomio original. Si reconoce el patrón de los signos, puede que le ayude a memorizar los patrones.

El factor trinomial en la suma y la diferencia del patrón de cubos no se puede factorizar.

Será muy útil si aprende a reconocer los cubos de los números enteros del 1 al 10, al igual que ha aprendido a reconocer los cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los números enteros del 1 al 10 en Mesa.

norte12345678910
(n ^ 3 )1827641252163435127291000

Ejemplo ( PageIndex {25} ): Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos

Factoriza: (x ^ 3 + 64 ).

Respuesta

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Factoriza: (x ^ 3 + 27 ).

Respuesta

((x + 3) (x ^ 2−3x + 9) )

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Factoriza: (y ^ 3 + 8 ).

Respuesta

((y + 2) (y ^ 2−2y + 4) )

FACTOR LA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.

  1. ¿Se ajusta el binomio al patrón de suma o diferencia de cubos?
    ¿Es una suma o una diferencia?
    ¿El primer y el último término son cubos perfectos?
  2. Escríbalos como cubos.
  3. Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
  4. Simplifica entre paréntesis.
  5. Verifique multiplicando los factores.

Ejemplo ( PageIndex {28} )

Factoriza: (27u ^ 3−125v ^ 3 ).

Respuesta
Este binomio es una diferencia. El primero y el ultimo
los términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos.
Usa el patrón de diferencia de cubos.
Simplificar.
Compruébelo multiplicando.Te dejamos el cheque.

Ejemplo ( PageIndex {29} )

Factoriza: (8x ^ 3−27y ^ 3 ).

Respuesta

((2x − 3y) (4x ^ 2−6xy + 9y ^ 2) )

Ejemplo ( PageIndex {30} )

Factoriza: (1000m ^ 3−125n ^ 3 ).

Respuesta

((10m − 5n) (100m ^ 2−50mn + 25n ^ 2) )

En el siguiente ejemplo, primero factorizamos el MCD. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.

Ejemplo ( PageIndex {31} )

Factoriza: (6x ^ 3y + 48y ^ 4 ).

Respuesta
(6 x ^ {3} y + 48 y ^ {4} )
Factoriza el factor común. (6 y left (x ^ {3} +8 y ^ {3} right) )
Este binomio es una suma El primero y el último
los términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos.
Usa el patrón de suma de cubos.
Simplificar.

Cheque:

Para comprobarlo, es posible que le resulte más fácil multiplicar primero la suma de los factores de los cubos y luego multiplicar ese producto por 6y.6y. Te dejamos la multiplicación.

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Factoriza: (500p ^ 3 + 4q ^ 3 ).

Respuesta

(4 (5p + q) (25p ^ 2−5pq + q ^ 2) )

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Factoriza: (432c ^ 3 + 686d ^ 3 ).

Respuesta

(2 (6c + 7d) (36c ^ 2−42cd + 49d ^ 2) )

El primer término en el siguiente ejemplo es un binomio al cubo.

Ejemplo ( PageIndex {34} )

Factoriza: ((x + 5) ^ 3−64x ^ 3 ).

Respuesta
Este binomio es una diferencia. El primero y
los últimos términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos.
Usa el patrón de diferencia de cubos.
Simplificar.
Compruébelo multiplicando.Te dejamos el cheque.

Ejemplo ( PageIndex {35} )

Factoriza: ((y + 1) ^ 3−27y ^ 3 ).

Respuesta

((- 2y + 1) (13y ^ 2 + 5y + 1) )

Ejemplo ( PageIndex {36} )

Factoriza: ((n + 3) ^ 3−125n ^ 3 ).

Respuesta

((- 4n + 3) (31n ^ 2 + 21n + 9) )

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la factorización de productos especiales.

  • Factorizar binomios-cubos # 2

Conceptos clave

  • Patrón de trinomios cuadrados perfectos: Si a y B son números reales,

    [ begin {matriz} {l} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 end {matriz } sin número]

  • Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos.
    ( begin {array} {lllll} textbf {Paso 1.} & text {¿El trinomio se ajusta al patrón?} & quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 & text {¿El primer y el último término son cuadrados perfectos?} & Quad & & & & text {Escríbalos como cuadrados.} & Quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & text {Marque el término medio . ¿Es} 2ab? & Quad & hspace {12mm} {,} ^ { seekrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} & hspace {12mm } {,} ^ { seekrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} textbf {Paso 2.} & text {Escribe el cuadrado del binomio .} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 textbf {Paso 3.} & text {Verifica multiplicando.} & & & end {matriz} )
  • Diferencia de patrón de cuadrados: Si a, ba, b son números reales,
  • Cómo factorizar diferencias de cuadrados.
    ( begin {array} {llll} textbf {Paso 1.} & text {¿El binomio se ajusta al patrón?} & qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 & text {¿Es esto una diferencia?} & Qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} & text {¿El primer y el último término son cuadrados perfectos?} & & textbf {Paso 2.} & text {Escríbelos como cuadrados.} & qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 textbf {Paso 3.} & text {Escribe el producto de conjugados.} & qquad & (a − b) (a + b) textbf {Paso 4.} & text {Verifica multiplicando.} & & end {array} )
  • Patrón de suma y diferencia de cubos
    ( begin {matriz} {l} a ^ 3 + b3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) end {matriz} )
  • Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos.
    1. ¿Se ajusta el binomio al patrón de suma o diferencia de cubos?
      ¿Es una suma o una diferencia?
      ¿El primer y el último término son cubos perfectos?
    2. Escríbalos como cubos.
    3. Utilice el patrón de suma o diferencia de cubos.
    4. Simplifica entre paréntesis
    5. Verifique multiplicando los factores.

Diseño y clasificación de puentes

Los productos de software AASHTOWare Bridge Design (BrD) y AASHTOWare Bridge Rating (BrR) son herramientas integrales de diseño de puentes y clasificación de carga desarrolladas por AASHTO. Para el inventario de puentes de una agencia, los productos almacenan descripciones detalladas de puentes suficientes para el análisis estructural. AASHTOWare Bridge Design es la herramienta para ayudar en el diseño de superestructuras y subestructuras de acuerdo con las especificaciones de diseño de puentes AASHTO LRFD. AASHTOWare Bridge Rating es una herramienta para calificar superestructuras de puentes de acuerdo con el Manual AASHTO para la evaluación de puentes, las especificaciones estándar de AASHTO para puentes de carreteras y las especificaciones de diseño de puentes AASHTO LRFD. Los dos productos comparten gran parte de su interfaz de usuario y base de datos. Cuando ambos productos tienen licencia, se puede diseñar un puente utilizando AASHTOWare Bridge Design y estar inmediatamente disponible para AASHTOWare Bridge Rating para la capacidad de carga sin volver a ingresar y validar datos adicionales.

Hay tres componentes principales del sistema: la interfaz de usuario, la base de datos y los motores de análisis o computacionales. La base de datos y la interfaz de usuario pueden admitir una descripción bidimensional o tridimensional de un puente. La descripción tridimensional es la base para el modelado y análisis 3D de configuraciones especiales de vehículos. Los motores computacionales admiten análisis tanto de viga de línea como de 3-D.

AASHTOWare Bridge Design y AASHTOWare Bridge Rating utilizan una base de datos común para permitir que una agencia almacene una descripción detallada de cada puente, que es independiente del motor analítico (incluida la verificación de especificaciones) y la interfaz de usuario. El concepto de almacenar descripciones de puentes genéricos en una base de datos es poderoso y tiene muchos beneficios para el usuario y la agencia. Entre los beneficios se encuentran:

  • Diseñar y calificar un puente utilizando múltiples programas de análisis y especificaciones a partir de la misma descripción y entrada.
  • Actualizar y / o reemplazar componentes del sistema, incluido el motor de análisis estructural, el software de verificación de especificaciones y la interfaz de usuario mientras se preservan los datos básicos del puente y
  • Vinculación fácil a otros sistemas de software relacionados, incluidos los sistemas de gestión de puentes como AASHTOWare Bridge Management.

Los productos de clasificación y diseño de puentes de AASHTOWare se administran en el marco del Programa de desarrollo de software informático cooperativo de AASHTO. La hoja de ruta del producto y los proyectos de desarrollo son guiados y gestionados por un grupo de trabajo. El Grupo de trabajo de productos, junto con otros grupos de trabajo de asesoramiento, está dirigido por el Comité Especial de AASHTOWare (SCOA). Para el año fiscal actual, los productos tienen licencia de más de 35 agencias de transporte estatales.


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Factorizar polinomios usando productos especiales

Identifica los productos especiales por sus valores si es un cuadrado o cubos perfectos.

Explicación:

La diferencia de dos cuadrados es: # x ^ 2 - y ^ 2 = (x + y) (x - y) #

Hay una fórmula única que se refiere a la "diferencia de cuadrados":

Si usamos FOIL podemos demostrarlo. El método de diferencia de cuadrados se referiría a hacer algo como lo siguiente:

# x ^ 2 -1 = (x - 1) (x + 1) #
# x ^ 2-4 = (x-2) (x + 2) #

O incluso la doble aplicación aquí
# x ^ 4 - 16 = (x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2 = (x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4) = (x-2) (x + 2) (x ^ 2 + 4 ) #

Busque números que sean cuadrados perfectos o cubos perfectos.
Hay muchos productos especiales en factoring. Tres de los más conocidos son
# (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 #
y
# (x − y) ^ 2 = x-2xy + y ^ 2 #
y
# (x + y) (x − y) = x ^ 2 − y ^ 2 #

Dos menos conocidos son
# x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) (x ^ 2 − xy + y ^ 2) #
y
# x ^ 3 − y ^ 3 = (x − y) (x ^ 2 + xy − y ^ 2) #
Tenga en cuenta que en un problema real, xey pueden ser cualquier número o variable. ¡Espero que esto haya ayudado!


Factorizar polinomios usando productos especiales

Identifica los productos especiales por sus valores si es un cuadrado o cubos perfectos.

Explicación:

La diferencia de dos cuadrados es: # x ^ 2 - y ^ 2 = (x + y) (x - y) #

Hay una fórmula única que se refiere a la "diferencia de cuadrados":

Si usamos FOIL podemos demostrarlo. El método de diferencia de cuadrados se referiría a hacer algo como lo siguiente:

# x ^ 2 -1 = (x - 1) (x + 1) #
# x ^ 2-4 = (x-2) (x + 2) #

O incluso la doble aplicación aquí
# x ^ 4 - 16 = (x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2 = (x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4) = (x-2) (x + 2) (x ^ 2 + 4 ) #

Busque números que sean cuadrados perfectos o cubos perfectos.
Hay muchos productos especiales en factoring. Tres de los más conocidos son
# (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 #
y
# (x − y) ^ 2 = x-2xy + y ^ 2 #
y
# (x + y) (x − y) = x ^ 2 − y ^ 2 #

Dos menos conocidos son
# x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) (x ^ 2 − xy + y ^ 2) #
y
# x ^ 3 − y ^ 3 = (x − y) (x ^ 2 + xy − y ^ 2) #
Tenga en cuenta que en un problema real, xey pueden ser cualquier número o variable. ¡Espero que esto haya ayudado!


Antes de realizar un pedido, debe asegurarse de haber cumplido con los requisitos reglamentarios y legales locales y de la agencia.

Los pedidos deben incluir los siguientes elementos, además de cualquier información requerida por el contrato del Programa:

  • Direcciones de envío y facturación completas
  • Número de contrato, número de pedido de la agencia y fecha
  • ENGAÑAR. puntos de entrega, por ejemplo, origen o destino
  • Condiciones de descuento
  • Plazo de entrega o período de ejecución
  • Número de artículo especial (SIN) o número de stock nacional (NSN)
  • SOW, cuando sea necesario, o una descripción breve y completa de cada artículo
  • Cantidad
  • Número de unidades
  • Precio unitario
  • Precio total del pedido
  • Puntos de inspección y aceptación
  • Otros datos pertinentes, por ejemplo, instrucciones de entrega o horario de recepción y limitación del tamaño del camión.
  • Requisitos de marcado
  • Nivel de conservación, envasado y envasado.

Documentos de controles especiales de clase II

Esta página enumera la guía de controles especiales y los documentos de guía desarrollados por CDRH y CBER.

Los dispositivos clasificados en la clase II son dispositivos para los que se necesitan controles especiales, combinados con controles generales, para proporcionar una garantía razonable de seguridad y eficacia. Estos documentos establecen los controles especiales para los dispositivos de Clase II aplicables. Si bien estos documentos describen un medio por el cual un dispositivo puede cumplir con el requisito de controles especiales, se deben abordar los riesgos para la salud identificados en estos documentos. Por lo tanto, un fabricante que pretenda comercializar un dispositivo dentro de un tipo genérico de dispositivo cubierto por estos documentos debe:

  • cumplir con los controles generales en la Sección 513 (a) (1) (A) de la Ley Federal de Alimentos, Medicamentos y Cosméticos (la Ley)
  • Abordar los riesgos específicos (Sección 513 (a) (1) (B) de la Ley FD & ampC) para la salud identificados, ya sea cumpliendo con las recomendaciones de la guía / pautas o por algún otro medio que proporcione garantías equivalentes de seguridad y eficacia y
  • para dispositivos que no están exentos de notificación previa a la comercialización, obtenga una determinación de equivalencia sustancial (Secciones 510 (k) y 513 (i) de la Ley FD & ampC, y 21 CFR 807.100) de la FDA antes de comercializar el dispositivo.

Para obtener información adicional sobre la clasificación de dispositivos específicos, consulte el Código de Regulaciones Federales del Título 21 en las Partes 862 a 892 y la base de datos de clasificación de productos de la FDA.


Estilo de entrega

Teniendo en cuenta el método de impartición, ¿cuál es el mejor estilo para impartir esta formación? También es importante tener en cuenta que la mayoría de las personas no aprenden a través de la "muerte por PowerPoint", sino que aprenden de diversas formas, como auditivas, cinestésicas o visuales. Teniendo esto en cuenta, ¿qué tipo de actividades para romper el hielo, debates y actividades puede incorporar para que la capacitación sea lo más interactiva posible? Los juegos de roles y otros juegos pueden hacer que la capacitación sea divertida para los empleados. Muchos capacitadores implementan videos en línea, podcasts y otros medios interactivos en sus sesiones de capacitación. Esto asegura que se cumplan los diferentes estilos de aprendizaje y también hace que la formación sea más interesante.


Hemos reparado y restaurado más de 5000 pantallas LCD y pantallas táctiles que se encuentran en radios de automóviles y sistemas de información y entretenimiento de fábrica. De las radios Chrysler, Dodge, Jeep, Ram Uconnect y Mygig Ford Sync 2, MyFord Sync 3 sistemas de información y entretenimiento Chevrolet Mylink, Buick Intellink, Hummer, Cadillac Cue Toyota Entune, Nissan Connect, Mercedes Benz COMAND, automóviles, camionetas y SUV de Maserati: nosotros y # x27¡Lo he visto todo! ¡Tenemos el proceso hasta la ciencia! Con las piezas de radio de fábrica, las herramientas y las instrucciones sencillas adecuadas, ALGUIEN puede reparar la pantalla táctil de su radio de fábrica en la comodidad de su garaje o cocina. No más gastar más de 2 horas en un concesionario y gastar más de $ 400 o más por una reparación o $ 1000 o más por una nueva. usó ¡radio! Repare su radio en su tiempo libre y mantenga esos Benjamin & # x27 ganados con tanto esfuerzo en su bolsillo.


Преимущества трубных обжимных фитингов Swagelok ®

Трубные обжимные фитинги Swagelok рассчитаны на самые высокие требования к безопасности и надежности, характеризуются проверенной на практике конструкцией, прецизионным изготовлением и высококачественными материалами.

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Даже у самых квалифицированных специалистов могут возникнуть трудности с определением резьбы. Менеджер по продукции Swagelok Энди Хичкок (Andy Hitchcock) объясняет, как определить размер и шаг резьбы на фитингах с помощью штангенциркуля, калибра шага и руководства по идентификации резьбы.

Оптимизация нефтегазовых систем среднего давления с помощью компрессионных фитингов

Узнайте, как компрессионные фитинги помогут увеличить скорость монтажа и обеспечить более высокие характеристики по сравнению с обычными соединениями с конусом и резьбой в системах среднего давления верхних строений в нефтегазовой отрасли.

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Узнайте, как шанхайское подразделение Swagelok помогло группе компаний SBW обеспечить единообразие, надежность и экономию для клиентов и при этом повысить безопасность и эффективность собственного производства.

Монтаж трубного обжимного фитинга Swagelok

В этом видеоролике показаны основные этапы монтажа трубных обжимных фитингов Swagelok, известных всему миру стабильностью характеристик, качеством и надежностью.

Фитинги Swagelok

Когда самые уважаемые в мире компании хотят заключить долгосрочное сотрудничествое, они обсращваютвое. Мы задаем стандарты эффективной работы трубных обжимных фитингов в том, что касается герметичности, простоты монтажа, доступности и сервисов поддержки. Наш трубный обжимной фитинг из нержавеющей стали с двумя обжимными кольцами заслужил признание во всем мире за соответствие характеристик, качество и надежность. Это признание подкрепляется нашим неизменным стремлением к совершенствованию продукции, а также эффективностью работы фитинга в тысячах разнообразных систем.


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