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7.2: Sumar y restar polinomios


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Determinar el grado de polinomios
  • Sumar y restar polinomios
  • Evaluar una función polinomial para un valor dado
  • Sumar y restar funciones polinomiales

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplificar: (3x ^ 2 + 3x + 1 + 8x ^ 2 + 5x + 5. )
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  2. Restar: ((5n + 8) - (2n − 1). )
    Si no vio este problema, revise [Enlace].
  3. Evalúa: (4xy ^ 2 ) cuando (x = −2x ) y (y = 5. ).
    Si no vio este problema, revise [Enlace].

Determinar el grado de polinomios

Hemos aprendido que un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. A monomio es una expresión algebraica con un término. Cuando tiene la forma (ax ^ m ), donde (a ) es una constante y (m ) es un número entero, se le llama monomio en una variable. Algunos ejemplos de monomio en una variable son. Los monomios también pueden tener más de una variable como y (- 4a ^ 2b ^ 3c ^ 2. )

Definición: MONOMIAL

A monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la forma (ax ^ m ), donde (a ) es una constante y (m ) es un número entero.

Un monomio, o dos o más monomios combinados por suma o resta, es un polinomio. Algunos polinomios tienen nombres especiales, basados ​​en el número de términos. Un monomio es un polinomio con exactamente un término. Un binomio tiene exactamente dos términos y un trinomio tiene exactamente tres términos. No hay nombres especiales para polinomios con más de tres términos.

Definición: POLINOMIOS

  • polinomio—Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
  • monomio—Un polinomio con exactamente un término se llama monomio.
  • binomio—Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomio.
  • trinomio—Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.

A continuación se muestran algunos ejemplos de polinomios.

Polinomio (y + 1 ) (4a ^ 2−7ab + 2b ^ 2 ) (4x ^ 4 + x ^ 3 + 8x ^ 2−9x + 1 )
Monomio(14) (8y ^ 2 ) (- 9x ^ 3y ^ 5 ) (- 13a ^ 3b ^ 2c )
Binomio (a + 7ba + 7b ) (4x ^ 2 − y ^ 2 ) (y ^ 2−16 ) (3p ^ 3q − 9p ^ 2q )
Trinomio (x ^ 2−7x + 12 ) (9m ^ 2 + 2mn − 8n ^ 2 ) (6k ^ 4 − k ^ 3 + 8k ) (z ^ 4 + 3z ^ 2−1 )

Observe que todo monomio, binomio y trinomio también es un polinomio. Son simplemente miembros especiales de la "familia" de polinomios y por eso tienen nombres especiales. Usamos las palabras monomio, binomio, y trinomio al referirse a estos polinomios especiales y simplemente llamar al resto polinomios.

La grado de un polinomio y el grado de sus términos está determinado por los exponentes de la variable. Un monomio que no tiene variable, solo una constante, es un caso especial. La grado de una constante es 0.

Definición: GRADO DE UN POLINOMIO

  • La grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
  • La grado de una constante es 0.
  • La grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

Veamos cómo funciona esto observando varios polinomios. Lo tomaremos paso a paso, comenzando con monomios y luego progresando a polinomios con más términos. Comencemos por mirar un monomio. El monomio (8ab ^ 2 ) tiene dos variables (a ) y (b ). Para encontrar el grado, necesitamos encontrar la suma de los exponentes. La variable a no tiene un exponente escrito, pero recuerda que significa que el exponente es 1. El exponente de (b ) es 2. La suma de los exponentes, 1 + 2,1 + 2, es 3, por lo que el grado es 3.

A continuación se muestran algunos ejemplos adicionales.

Trabajar con polinomios es más fácil cuando enumera los términos en orden descendente de grados. Cuando un polinomio se escribe de esta manera, se dice que está en forma estándar de un polinomio. Adquiera el hábito de escribir primero el término con el grado más alto.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Determina si cada polinomio es un monomio, binomio, trinomio u otro polinomio. Luego, encuentra el grado de cada polinomio.

  1. (7y2−5y + 3 )
  2. (- 2a ^ 4b ^ 2 )
  3. (3x5−4x3−6x2 + x − 8 )
  4. (2y − 8xy ^ 3 )
  5. (15)
Respuesta
PolinomioNumero de terminosTipoGrado de términosGrado de polinomio
(7y ^ 2−5y + 3 )3Trinomio2, 1, 02
(- 2a ^ 4b ^ 2−2a ^ 4b ^ 2 )1Monomio4, 26
(3x5−4x3−6x2 + x − 8 )5Polinomio5, 3, 2, 1, 05
(2y − 8xy ^ 3 )2Binomio1, 44
(15)1Monomio00

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Determina si cada polinomio es un monomio, binomio, trinomio u otro polinomio. Luego, encuentra el grado de cada polinomio.

  1. (−5)
  2. (8y ^ 3−7y ^ 2 − y − 3 )
  3. (- 3x ^ 2y − 5xy + 9xy ^ 3 )
  4. (81m ^ 2−4n ^ 2 )
  5. (- 3x ^ 6y ^ 3z )
Responde una

monomio, 0

Respuesta b

polinomio, 3

Respuesta c

trinomio, 3

Respuesta d

binomio, 2

Respuesta b

monomio, 10

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Determina si cada polinomio es un monomio, binomio, trinomio u otro polinomio. Luego, encuentra el grado de cada polinomio.

  1. (64k ^ 3−8 )
  2. (9m ^ 3 + 4m ^ 2−2 )
  3. (56)
  4. (8a ^ 4−7a ^ 3b − 6a ^ 2b ^ 2−4ab ^ 3 + 7b ^ 4 )
  5. (- p ^ 4q ^ 3 )
Respuesta

Ⓐbinomio, 3 ⓑ trinomio, 3 ⓒ monomio, 0 ⓓ polinomio, 4 ⓔ monomio, 7

Sumar y restar polinomios

Hemos aprendido a simplificar expresiones combinando términos semejantes. Dado que los monomios son términos, sumar y restar monomios es lo mismo que combinar términos semejantes. Si los monomios son términos semejantes, simplemente los combinamos sumando o restando los coeficientes.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Sumar o restar:

  1. (25 años ^ 2 + 15 años ^ 2 )
  2. (16pq ^ 3 - (- 7pq ^ 3) ).
Responde una

( begin {array} {ll} {} & {25y ^ 2 + 15y ^ 2} { text {Combinar términos semejantes.}} & {40y ^ 2} end {array} nonumber )

Respuesta b

( begin {array} {ll} {} & {16pq ^ 3 - (- 7pq ^ 3)} { text {Combinar términos semejantes.}} & {23pq ^ 3} end {array} sin número )

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Sumar o restar:

  1. (12q ^ 2 + 9q ^ 2 )
  2. (8mn ^ 3 - (- 5mn ^ 3) ).
Respuesta

Ⓐ (21q ^ 2 ) ⓑ (13mn ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Sumar o restar:

  1. (- 15c ^ 2 + 8c ^ 2 )
  2. (- 15y ^ 2z ^ 3 - (- 5y ^ 2z ^ 3) )
Respuesta

Ⓐ (- 7c ^ 2 ) ⓑ (- 10y ^ 2z ^ 3 )

Recuerda que los términos semejantes deben tener las mismas variables con los mismos exponentes.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. (a ^ 2 + 7b ^ 2−6a ^ 2 )
  2. (u ^ 2v + 5u ^ 2−3v ^ 2 )
Respuesta

Ⓐ Combinar términos semejantes.

(a ^ 2 + 7b ^ 2−6a ^ 2 ; = ; −5a ^ 2 + 7b ^ 2 )

Ⓑ No hay términos semejantes para combinar. En este caso, el polinomio no cambia.

(u ^ 2v + 5u ^ 2−3v ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Agregar:

  1. (8y ^ 2 + 3z ^ 2−3y ^ 2 )
  2. (m ^ 2n ^ 2−8m ^ 2 + 4n ^ 2 )
Respuesta

Ⓐ (5y ^ 2 + 3z ^ 2 )
Ⓑ (m ^ 2n ^ 2−8m ^ 2 + 4n ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Agregar:

  1. (3m ^ 2 + n ^ 2−7m ^ 2 )
  2. (pq ^ 2−6p − 5q ^ 2 )
Respuesta

Ⓐ (- 4m ^ 2 + n ^ 2 )
Ⓑ (pq ^ 2−6p − 5q ^ 2 )

Podemos pensar en sumar y restar polinomios como simplemente sumar y restar una serie de monomios. Busque los términos semejantes, aquellos con las mismas variables y el mismo exponente. La propiedad conmutativa nos permite reorganizar los términos para juntar términos semejantes.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Encuentra la suma: ((7y ^ 2−2y + 9) ; + ; (4y ^ 2−8y − 7) ).

Respuesta

( begin {align *} & text {Identificar términos semejantes.} & & ( underline { underline {7y ^ 2}} - underline {2y} +9) + ( underline { underline {4y ^ 2}} - subrayado {8y} −7) [6pt]
& text {Reescribir sin paréntesis,}
& text {reordenando para juntar los términos semejantes.} & & underline { underline {7y ^ 2 + 4y ^ 2}} - underline {2y − 8y} + 9−7 [6pt]
& text {Combinar términos semejantes.} & & 11y ^ 2−10y + 2 end {align *} )

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Encuentra la suma: ((7x ^ 2−4x + 5) ; + ; (x ^ 2−7x + 3) )

Respuesta

(8x ^ 2−11x + 8 )

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Hallar la suma: ((14y ^ 2 + 6y − 4) ; + ; (3y ^ 2 + 8y + 5) )

Respuesta

(17 años ^ 2 + 14 años + 1 )

Tenga cuidado con los signos mientras distribuye mientras resta los polinomios en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {13} )

Hallar la diferencia: ((9w ^ 2−7w + 5) ; - ; (2w ^ 2−4) )

Respuesta

( begin {align *} & & & (9w ^ 2−7w + 5) ; - ; (2w ^ 2−4) [6pt]
& text {Distribuir e identificar términos semejantes.} & & underline { underline {9w ^ 2}} - underline {7w} + 5- underline { underline {2w ^ 2}} + 4 [6pt ]
& text {Reorganizar los términos.} & & underline { underline {9w ^ 2-2w ^ 2}} - underline {7w} + 5 + 4 [6pt]
& text {Combinar términos semejantes.} & & 7w ^ 2−7w + 9 end {align *} )

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Hallar la diferencia: ((8x ^ 2 + 3x − 19) ; - ; (7x ^ 2−14) )

Respuesta

(x ^ 2 + 3x − 5 )

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Hallar la diferencia: ((9b ^ 2−5b − 4) ; - ; (3b ^ 2−5b − 7) )

Respuesta

(6b ^ 2 + 3 )

Ejemplo ( PageIndex {16} )

Reste ((p ^ 2 + 10pq − 2q ^ 2) ) de ((p ^ 2 + q ^ 2) ).

Respuesta

( begin {align *} & & & (p ^ 2 + q ^ 2) ; - ; (p ^ 2 + 10pq − 2q ^ 2) [6pt]
& text {Distribuir e identificar términos semejantes.} & & underline { underline {p ^ 2}} + underline {q ^ 2} - underline { underline {p ^ 2}} - 10pq + underline { 2q ^ 2} [6pt]
& text {Reorganiza los términos, juntando los términos semejantes.} & & underline { underline {p ^ 2-p ^ 2}} - 10pq + underline {q ^ 2 + 2q ^ 2} [6pt]
& text {Combinar términos semejantes.} & & −10pq + 3q ^ 2 end {align *} )

Ejemplo ( PageIndex {17} )

Restar ((a ^ 2 + 5ab − 6b ^ 2) ) de ((a ^ 2 + b ^ 2) )

Respuesta

(- 5ab + 7b ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Reste ((m ^ 2−7mn − 3n ^ 2) ) de ((m ^ 2 + n ^ 2) ).

Respuesta

7mn + 4n ^ 2

Ejemplo ( PageIndex {19} )

Encuentra la suma: ((u ^ 2−6uv + 5v ^ 2) ; + ; (3u ^ 2 + 2uv) )

Respuesta

( begin {align *} & & & (u ^ 2−6uv + 5v ^ 2) ; + ; (3u ^ 2 + 2uv) [6pt]
& text {Distribuir e identificar términos semejantes.} & & underline { underline {u ^ 2}} - underline {6uv} + 5v ^ 2 + underline { underline {3u ^ 2}} + underline { 2uv} [6pt]
& text {Reorganiza los términos para juntar términos similares.} & & underline { underline {u ^ 2}} + underline { underline {3u ^ 2}} - underline {6uv} + underline {2uv } + 5v ^ 2 [6pt]
& text {Combinar términos semejantes.} & & 4u ^ 2−4uv + 5v ^ 2 end {align *} )

Ejemplo ( PageIndex {20} )

Encuentra la suma: ((3x ^ 2−4xy + 5y ^ 2) ; + ; (2x ^ 2 − xy) )

Respuesta

(5x ^ 2−5xy + 5y ^ 2 )

Ejemplo ( PageIndex {21} )

Encuentra la suma: ((2x ^ 2−3xy − 2y ^ 2) ; + ; (5x ^ 2−3xy) )

Respuesta

(7x ^ 2−6xy − 2y ^ 2 )

Cuando sumamos y restamos más de dos polinomios, el proceso es el mismo.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Simplifica: ((a ^ 3 − a ^ 2b) ; - ; (ab ^ 2 + b ^ 3) ; + ; (a ^ 2b + ab ^ 2) )

Respuesta

( begin {align *} & & & (a ^ 3 − a ^ 2b) ; - ; (ab ^ 2 + b ^ 3) ; + ; (a ^ 2b + ab ^ 2) [6pt]
& text {Distribuir} & & a ^ 3 − a ^ 2b - ab ^ 2 - b ^ 3 + a ^ 2b + ab ^ 2 [6pt]
& text {Reorganiza los términos para juntar términos semejantes.} & & a ^ 3 − a ^ 2b + a ^ 2b− ab ^ 2 + ab ^ 2 - b ^ 3 [6pt]
& text {Combinar términos semejantes.} & & a ^ 3 − b ^ 3 end {align *} )

Ejemplo ( PageIndex {23} )

Simplificar: ((x ^ 3 − x ^ 2y) ; - ; (xy ^ 2 + y ^ 3) ; + ; (x ^ 2y + xy ^ 2) )

Respuesta

(x ^ 3 + y ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Simplificar: ((p ^ 3 − p ^ 2q) ; + ; (pq ^ 2 + q ^ 3) ; - ; (p ^ 2q + pq ^ 2) )

Respuesta

(p ^ 3−3p ^ 2q + q ^ 3 )

Evaluar una función polinomial para un valor dado

A función polinómica es una función definida por un polinomio. Por ejemplo, (f (x) = x ^ 2 + 5x + 6 ) y (g (x) = 3x − 4 ) son funciones polinómicas, porque (x ^ 2 + 5x + 6 ) y (3x − 4 ) son polinomios.

Definición: FUNCIÓN POLINOMIAL

A función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

En Gráficos y funciones, donde introdujimos funciones por primera vez, aprendimos que evaluar una función significa encontrar el valor de (f (x) ) para un valor dado de (x ). Para evaluar una función polinomial, sustituiremos el valor dado por la variable y luego simplificaremos usando el orden de las operaciones.

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Para la función (f (x) = 3x ^ 2 + 2x − 15 ), encuentra

  1. (f (3) )
  2. (f (−5) )
  3. (f (0) ).
Respuesta

ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ (−15)

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Para la función (g (x) = 5x ^ 2 − x − 4 ), encuentre

  1. (g (−2) )
  2. (g (−1) )
  3. (g (0) ).
Respuesta

ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ (−4)

Las funciones polinomiales similares a las del siguiente ejemplo se utilizan en muchos campos para determinar la altura de un objeto en algún momento después de su proyección en el aire. El polinomio en la siguiente función se usa específicamente para dejar caer algo desde 250 pies.

Ejemplo ( PageIndex {28} )

La función polinomial (h (t) = - 16t ^ 2 + 250 ) da la altura de una bola t segundos después de que se deja caer desde un edificio de 250 pies de altura. Encuentra la altura después de (t = 2 ) segundos.

Respuesta

( begin {array} {ll} {} & {h (t) = - 16t ^ 2 + 250} {} & {} { text {Para encontrar} h (2) text {, sustituir} t = 2.} & {h (2) = - 16 (2) ^ 2 + 250} { text {Simplificar.}} & {h (2) = - 16 · 4 + 250} {} & {} { text {Simplificar.}} & {h (2) = - 64 + 250} {} & {} { text {Simplificar.}} & {h (2) = 186} {} & { text {Después de 2 segundos, la altura de la pelota es de 186 pies.}} end {array} nonumber )

Ejemplo ( PageIndex {29} )

La función polinomial (h (t) = - 16t ^ 2 + 150 ) da la altura de una piedra t segundos después de caer desde un acantilado de 150 pies de altura. Encuentra la altura después de (t = 0 ) segundos (la altura inicial del objeto).

Respuesta

La altura es (150 ) pies.

Ejemplo ( PageIndex {30} )

La función polinomial (h (t) = - 16t ^ 2 + 175 ) da la altura de una bola t segundos después de que se deja caer desde un puente de 175 pies de altura. Encuentra la altura después de (t = 3 ) segundos.

Respuesta

La altura es (31 ) pies.

Sumar y restar funciones polinomiales

Así como se pueden sumar y restar polinomios, también se pueden sumar y restar funciones polinomiales.

Definición: ADICION Y RESTA DE FUNCIONES POLINOMIALES

Para las funciones (f (x) ) y (g (x) ),

[(f + g) (x) = f (x) + g (x) ]

[(f − g) (x) = f (x) −g (x) ]

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Para las funciones (f (x) = 2x ^ 2−4x + 3 ) y (g (x) = x ^ 2−2x − 6 ), encuentre: ⓐ ((f + g) (x) ) Ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (- 2) ).

Respuesta

Ⓐ ((f + g) (x) = 3x ^ 2−6x − 3 )

Ⓑ ((f + g) (3) = 6 )

Ⓒ ((f − g) (x) = x ^ 2−2x + 9 )

Ⓓ ((f − g) (- 2) = 17 )

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Para las funciones (f (x) = 5x ^ 2−4x − 1 ) y (g (x) = x ^ 2 + 3x + 8 ), encuentre ⓐ ((f + g) (x) ) Ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (- 2) ).

Respuesta

Ⓐ ((f + g) (x) = 6x ^ 2 − x + 7 )

Ⓑ ((f + g) (3) = 58 )

Ⓒ ((f − g) (x) = 4x ^ 2−7x − 9 )

Ⓓ ((f − g) (- 2) = 21 )

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la suma y la resta de polinomios.

  • Sumar y restar polinomios

Conceptos clave

  • Monomio
    • A monomio es una expresión algebraica con un término.
    • Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y metro es un número entero.
  • Polinomios
    • Polinomio—Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
    • monomio —Un polinomio con exactamente un término se llama monomio.
    • binomio - Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomio.
    • trinomio —Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.
  • Grado de un polinomio
    • La grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
    • La grado de una constante es 0.
    • La grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

Glosario

binomio
Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos.
grado de una constante
El grado de cualquier constante es 0.
grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.
grado de un término
El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
monomio
Un monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y metro es un número entero.
polinomio
Un monomio o dos o más monomios combinados por suma o resta es un polinomio.
forma estándar de un polinomio
Un polinomio está en forma estándar cuando los términos de un polinomio se escriben en orden descendente de grados.
trinomio
Un trinomio es un polinomio con exactamente tres términos.
función polinómica
Una función polinomial es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

Polinomios

Earl está construyendo una caseta para perros, cuyo frente tiene la forma de un cuadrado rematado con un triángulo. Habrá una puerta rectangular por la que el perro podrá entrar y salir de la casa. Earl quiere encontrar el área del frente de la caseta del perro para poder comprar la cantidad correcta de pintura. Usando las medidas del frente de la casa, que se muestran en [enlace], podemos crear una expresión que combine varios términos variables, lo que nos permitirá resolver este problema y otros similares.

Primero encuentra el área del cuadrado en pies cuadrados.

Luego, calcula el área del triángulo en pies cuadrados.

Luego, encuentre el área de la puerta rectangular en pies cuadrados.

El área del frente de la caseta del perro se puede encontrar sumando las áreas del cuadrado y el triángulo, y luego restando el área del rectángulo. Cuando hacemos esto, obtenemos 4 x 2 + 3 2 x - x ft 2,

En esta sección, examinaremos expresiones como ésta, que combinan varios términos variables.

Identificación del grado y coeficiente principal de polinomios

La fórmula que acaba de encontrar es un ejemplo de polinomio, que es una suma o diferencia de términos, cada uno de los cuales consta de una variable elevada a una potencia entera no negativa. Un número multiplicado por una variable elevada a un exponente, como 384 π,

es conocido como coeficiente. Los coeficientes pueden ser positivos, negativos o cero, y pueden ser números enteros, decimales o fracciones. Cada producto a i x i,

es un término de un polinomio. Si un término no contiene una variable, se llama constante.

Un polinomio que contiene solo un término, como 5 x 4,

se llama un monomio. Un polinomio que contiene dos términos, como 2 x - 9,

se llama un binomio. Un polinomio que contiene tres términos, como −3 x 2 + 8 x - 7,

se llama un trinomio.

Podemos encontrar el la licenciatura de un polinomio identificando la potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio. El término con el grado más alto se llama término principal porque generalmente se escribe primero. El coeficiente del término principal se llama Coeficiente de liderazgo. Cuando un polinomio se escribe de manera que las potencias sean descendentes, decimos que está en forma estándar.

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A polinomio es una expresión que se puede escribir en la forma

Cada número real aIse llama un coeficiente. El número un 0

que no se multiplica por una variable se llama constante. Cada producto a i x i

es un término de un polinomio. La potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio se llama la licenciatura de un polinomio. La término principal es el término con mayor potencia, y su coeficiente se llama Coeficiente de liderazgo.

Dada una expresión polinomial, identifica el grado y el coeficiente principal.

  1. Encuentra el poder más alto de X para determinar el grado.
  2. Identifique el término que contiene el mayor poder de X para encontrar el término principal.
  3. Identifica el coeficiente del término principal.

Para los siguientes polinomios, identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal.

  1. El poder más alto de X es 3, entonces el grado es 3. El término principal es el término que contiene ese grado, −4 x 3.

El coeficiente principal es el coeficiente de ese término,

El término principal es el término que contiene ese grado,

El coeficiente principal es el coeficiente de ese término,

El término principal es el término que contiene ese título,

El coeficiente principal es el coeficiente de ese término,

Identifica el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio 4 x 2 - x 6 + 2 x - 6.

El grado es 6, el término principal es - x 6,

y el coeficiente principal es -1.

Sumar y restar polinomios

Podemos sumar y restar polinomios combinando términos semejantes, que son términos que contienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo, 5 x 2

son términos semejantes y se pueden sumar para obtener 3 x 2,

no son términos semejantes y, por lo tanto, no se pueden agregar.

Dados varios polinomios, súmelos o restelos para simplificar las expresiones.

(12 x 2 + 9 x - 21) + (4 x 3 + 8 x 2-5 x + 20)

Podemos verificar nuestras respuestas a este tipo de problemas usando una calculadora gráfica. Para comprobarlo, grafica el problema como se indica junto con la respuesta simplificada. Los dos gráficos deben ser equivalentes. Asegúrese de utilizar la misma ventana para comparar los gráficos. El uso de diferentes ventanas puede hacer que las expresiones parezcan equivalentes cuando no lo son.

(2 x 3 + 5 x 2 - x + 1) + (2 x 2-3 x - 4)

(7 x 4 - x 2 + 6 x + 1) - (5 x 3 - 2 x 2 + 3 x + 2)

Tenga en cuenta que encontrar la diferencia entre dos polinomios es lo mismo que sumar el opuesto del segundo polinomio al primero.

(−7 x 3-7 x 2 + 6 x - 2) - (4 x 3-6 x 2 - x + 7)

Multiplicar polinomios

Multiplicar polinomios es un poco más desafiante que sumar y restar polinomios. Debemos usar la propiedad distributiva para multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Luego combinamos términos semejantes. También podemos usar un atajo llamado método FOIL al multiplicar binomios. Ciertos productos especiales siguen patrones que podemos memorizar y usar en lugar de multiplicar los polinomios a mano cada vez. Veremos una variedad de formas de multiplicar polinomios.

Multiplicar polinomios usando la propiedad distributiva

Para multiplicar un número por un polinomio, usamos la propiedad distributiva. El número debe distribuirse a cada término del polinomio. Podemos distribuir los 2

para obtener la expresión equivalente 2 x + 14.

Al multiplicar polinomios, la propiedad distributiva nos permite multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Luego sumamos los productos y combinamos términos similares para simplificar.

Dada la multiplicación de dos polinomios, usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión.

  1. Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
  2. Combina términos semejantes.
  3. Simplificar.

Podemos usar una tabla para realizar un seguimiento de nuestro trabajo, como se muestra en [enlace]. Escribe un polinomio en la parte superior y el otro en el costado. Para cada casilla de la tabla, multiplique el término de esa fila por el término de esa columna. Luego sume todos los términos, combine los términos semejantes y simplifique.

3 x 2 - x + 4
2 x 6 x 3 −2 x 2 8 x
+ 1 3 x 2 - x 4

Usando FOIL para multiplicar binomios

A veces se usa un atajo llamado FOIL para encontrar el producto de dos binomios. Se llama FOIL porque multiplicamos el Fprimeros términos, el otérminos uterinos, el Itérminos internos, y luego el last términos de cada binomio.

El método FOIL surge de la propiedad distributiva. Simplemente multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo binomio y luego combinamos términos semejantes.

Dados dos binomios, use FOIL para simplificar la expresión.

  1. Multiplica los primeros términos de cada binomio.
  2. Multiplica los términos externos de los binomios.
  3. Multiplica los términos internos de los binomios.
  4. Multiplica los últimos términos de cada binomio.
  5. Agrega los productos.
  6. Combina términos semejantes y simplifica.

Utilice FOIL para encontrar el producto.

Encuentra el producto de los primeros términos.

Encuentra el producto de los términos externos.

Encuentra el producto de los términos internos.

Encuentra el producto de los últimos términos.

6 x 2 + 6 x - 54 x - 54 Suma los productos. 6 x 2 + (6 x - 54 x) - 54 Combina términos semejantes. 6 x 2-48 x - 54 Simplifica.

Utilice FOIL para encontrar el producto.

Trinomios cuadrados perfectos

Ciertos productos binomiales tienen formas especiales. Cuando un binomio se eleva al cuadrado, el resultado se llama trinomio cuadrado perfecto. Podemos encontrar el cuadrado multiplicando el binomio por sí mismo. Sin embargo, hay una forma especial que toma cada uno de estos trinomios cuadrados perfectos, y memorizar la forma hace que cuadrar binomios sea mucho más fácil y rápido. Veamos algunos trinomios cuadrados perfectos para familiarizarnos con la forma.

Observe que el primer término de cada trinomio es el cuadrado del primer término del binomio y, de manera similar, el último término de cada trinomio es el cuadrado del último término del binomio. El término medio es el doble del producto de los dos términos. Por último, vemos que el primer signo del trinomio es el mismo que el signo del binomio.

Cuando un binomio se eleva al cuadrado, el resultado es el primer término al cuadrado sumado para duplicar el producto de ambos términos y el último término al cuadrado.

Dado un binomio, eleve al cuadrado usando la fórmula para trinomios cuadrados perfectos.

  1. Eleva al cuadrado el primer término del binomio.
  2. Eleva al cuadrado el último término del binomio.
  3. Para el término medio del trinomio, duplique el producto de los dos términos.
  4. Suma y simplifica.

Empiece por elevar al cuadrado el primer término y el último término. Para el término medio del trinomio, duplique el producto de los dos términos.

Diferencia de cuadrados

Otro producto especial se llama diferencia de cuadrados, que ocurre cuando multiplicamos un binomio por otro binomio con los mismos términos pero el signo opuesto. Veamos qué sucede cuando multiplicamos (x + 1) (x - 1)

El término medio desaparece, lo que resulta en una diferencia de cuadrados. Al igual que hicimos con los cuadrados perfectos, veamos algunos ejemplos.

Debido a que el signo cambia en el segundo binomio, los términos externo e interno se cancelan entre sí, y solo nos queda el cuadrado del primer término menos el cuadrado del último término.

¿Existe una forma especial para la suma de cuadrados?

No. La diferencia de cuadrados ocurre porque los signos opuestos de los binomios hacen que desaparezcan los términos del medio. No hay dos binomios que se multipliquen para igualar una suma de cuadrados.

Cuando un binomio se multiplica por un binomio con los mismos términos separados por el signo opuesto, el resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del último término.

Dado un binomio multiplicado por un binomio con los mismos términos pero el signo opuesto, encuentre la diferencia de cuadrados.

  1. Eleva al cuadrado el primer término de los binomios.
  2. Eleva al cuadrado el último término de los binomios.
  3. Reste el cuadrado del último término del cuadrado del primer término.

Multiplicar (9 x + 4) (9 x - 4).

Eleve al cuadrado el primer término para obtener (9 x) 2 = 81 x 2.

Eleve al cuadrado el último término para obtener 4 2 = 16.

Reste el cuadrado del último término del cuadrado del primer término para encontrar el producto de 81 x 2 - 16.

Multiplicar (2 x + 7) (2 x - 7).

Realización de operaciones con polinomios de varias variables

Hemos analizado polinomios que contienen solo una variable. Sin embargo, un polinomio puede contener varias variables. Se aplican todas las mismas reglas cuando se trabaja con polinomios que contienen varias variables. Considere un ejemplo:

Multiplica (x + 4) (3 x - 2 y + 5).

Siga los mismos pasos que usamos para multiplicar polinomios que contienen solo una variable.

Multiplicar (3 x - 1) (2 x + 7 y - 9).

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con polinomios.

Ecuaciones clave

trinomio cuadrado perfecto (x + a) 2 = (x + a) (x + a) = x 2 + 2 a x + a 2
diferencia de cuadrados (a + b) (a - b) = a 2 - b 2

Conceptos clave

  • Un polinomio es una suma de términos, cada uno de los cuales consta de una variable elevada a una potencia entera no negativa. El grado es la potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio. El término principal es el término que contiene el grado más alto y el coeficiente principal es el coeficiente de ese término. Ver [enlace].
  • Podemos sumar y restar polinomios combinando términos semejantes. Vea [enlace] y [enlace].
  • Para multiplicar polinomios, use la propiedad distributiva para multiplicar cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo. Luego agregue los productos. Ver [enlace].
  • FOIL (First, Outer, Inner, Last) es un atajo que se puede usar para multiplicar binomios. Ver [enlace].
  • Los trinomios cuadrados perfectos y la diferencia de cuadrados son productos especiales. Vea [enlace] y [enlace].
  • Siga las mismas reglas para trabajar con polinomios que contengan varias variables. Ver [enlace].

Ejercicios de sección

Verbal

Evalúa el siguiente enunciado: El grado de un polinomio en forma estándar es el exponente del término principal. Explica por qué la afirmación es verdadera o falsa.

La afirmación es verdadera. En forma estándar, el polinomio con el exponente de valor más alto se coloca primero y es el término principal. El grado de un polinomio es el valor del exponente más alto, que en forma estándar también es el exponente del término principal.

Muchas veces, multiplicar dos binomios con dos variables da como resultado un trinomio. Este no es el caso cuando hay una diferencia de dos cuadrados. Explique por qué el producto en este caso también es un binomio.

Puede multiplicar polinomios con cualquier número de términos y cualquier número de variables usando cuatro pasos básicos una y otra vez hasta llegar al polinomio expandido. Cuales son los cuatro pasos?

Usa la propiedad distributiva, multiplica, combina términos semejantes y simplifica.

Indique si la siguiente afirmación es verdadera y explique por qué o por qué no: Un trinomio es siempre un grado más alto que un monomio.


Simplificar (X 3 + 3X 2 + 5X & ndash 4) y ndash (3X 3 y ndash 8X 2 y ndash 5X + 6)

Lo primero que tengo que hacer es pasar el signo "menos" a través del paréntesis que contiene el segundo polinomio. A algunos estudiantes les resulta útil poner un "1" delante del paréntesis, para ayudarles a seguir el signo menos.

Así es como se ve la resta cuando se trabaja horizontalmente:

Y así es como se ve la resta, cuando se va verticalmente:

En la suma horizontal (arriba), es posible que haya notado que pasar el negativo entre paréntesis cambió el signo en todos y cada uno de los términos dentro de esos paréntesis. El atajo cuando se trabaja verticalmente es no molestarse en escribir el signo de subtacción o el paréntesis en su lugar, escribir el segundo polinomio en la segunda fila y luego simplemente voltear todos los signos en esa fila, & quot más & quot a & quot menos & quot y & quot menos & quot a & quot más & quot.

Cambiaré todos los signos en la segunda fila (que se muestran en rojo a continuación) y agregaré:

De cualquier manera, obtengo la respuesta:

Simplificar (6X 3 y ndash 2X 2 + 8X) y ndash (4X 3 y ndash 11X + 10)

Aquí está la resta, hecha horizontalmente:

Yendo verticalmente, escribiré los polinomios, dejando espacios según sea necesario:

Luego voltearé todos los letreros en la segunda línea y luego agregaré:

De cualquier manera, obtengo la misma respuesta:

¿Estamos limitados a solo sumar o restar pares de polinomios? No, en absoluto. Especialmente una vez que se llega al cálculo, es muy probable que sea necesario combinar tres o más polinomios, algunos de los cuales se suman y otros se restan. Solo tenga cuidado de escribir las cosas de manera ordenada y no intente hacer demasiado en un solo paso.

Simplificar: (3X 2 y ndash 5X & ndash 1) y ndash (X 3 y ndash 2X 2 + 4) + (9X 3 + 5X 2 y ndash 3X & ndash 2)

Está bien, para hacer esto más fácil para mí, primero voy a cambiar todos los signos para el segundo paréntesis, porque actualmente hay un signo & quot; menos & quot delante de ese polinomio. Entonces ese polinomio medio se convierte en:

Luego, configuraré mi simplificación (que ahora implica solo una adición) en el formato vertical:

Puede usar el widget de Mathway a continuación para practicar sumar y restar polinomios. Pruebe el ejercicio introducido o escriba su propio ejercicio. Luego haga clic en el botón y seleccione & quotAñadir & quot o & quotRestar las expresiones & quot para comparar su respuesta con la de Mathway.

(Haga clic en & quot; Toque para ver los pasos & quot que se llevarán directamente al sitio de Mathway para una actualización paga).


Restar ecuaciones polinomiales

La ecuación polinomial es una ecuación de la forma: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (tercer grado), ax 3 + bx 2 + c = 0 (segundo grado). Restar la ecuación polinomial es bastante similar a la suma de ecuaciones, pero tienes que lidiar con un signo menos. Para restar ecuaciones polinomiales, primero invierta el signo de cada término ('+' en '-' y '-' en '+') y sume las ecuaciones como de costumbre. Aquí hay una calculadora de polinomios de resta en línea con la que fácilmente podría restar una ecuación polinomial de otra.


7.2: Sumar y restar polinomios

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Sumar y restar polinomios es simplemente sumar y restar sus términos semejantes. Existe una gran similitud entre las operaciones con polinomios y denominar números. Compare los siguientes ejemplos:

1. Agregue 5 cuartos de galón y 1 pt a 3 cuartos de galón y 2 pt.

Un método para sumar polinomios (que se muestra en los ejemplos anteriores) es colocar términos semejantes en columnas y encontrar la suma algebraica de los términos semejantes. Por ejemplo, para sumar 3a + b - 3c, 3b + c - d y 2a + 4d, ordenaríamos los polinomios de la siguiente manera:

La resta se puede realizar usando la misma disposición, es decir, colocando los términos del sustraendo bajo los términos similares del minuendo y llevando a cabo la resta con la debida consideración por el signo. Recuerde, en la resta, los signos de todos los términos del sustraendo deben primero cambiarse mentalmente y luego completarse el proceso como una suma. Por ejemplo, reste 10a + b de 8a - 2b, de la siguiente manera:

Nuevamente, observe la similitud entre este tipo de resta y la resta de denominar números.

La suma y resta de polinomios también se pueden indicar con la ayuda de símbolos de agrupación. La regla relativa a los cambios de signo al eliminar paréntesis precedidos por un signo menos se encarga automáticamente de la resta.

Por ejemplo, para restar 10a + b de 8a - 2b, podemos usar la siguiente disposición:

De manera similar, para sumar -3x + 2y a -4x - 5y, podemos escribir

Problemas de práctica. Agregue como se indica, en cada uno de los siguientes problemas:

En los problemas del 5 al 8, realice las operaciones indicadas y combine términos semejantes.

5. (2a + b) - (3a + 5b)
6. (5x3y + 3x2y) - (x3y)
7. (x + 6) + (3x + 7)
8. (4a 2 - b) - (2a 2 + b)

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIAL

Podemos explicar la multiplicación de un polinomio por un monomio usando un ejemplo aritmético. Sea necesario multiplicar la expresión binomial, 7 - 2, por 4. Podemos escribir esto 4 x (7 - 2) o simplemente 4 (7 - 2). Ahora 7 - 2 = 5. Por lo tanto, 4 (7 - 2) = 4 (5) = 20. Ahora, restaremos. Por lo tanto, 4 (7 - 2) = (4 x 7) - (4 x 2) = 20. Ambos métodos dan el mismo resultado. El segundo método hace uso de la ley distributiva de la multiplicación.

Cuando hay partes literales en la expresión que se van a multiplicar, no se puede utilizar el primer método y se debe emplear el método distributivo. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:

Por lo tanto, para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplique cada término del polinomio por el monomio.


Contenido

El campo finito con p n elementos se denota GF (p n ) y también se llama Campo de Galois, en honor al fundador de la teoría de campos finitos, Évariste Galois. GF (pag), dónde pag es un número primo, es simplemente el anillo de números enteros módulo pag. Es decir, se pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación) utilizando la operación habitual con números enteros, seguida del módulo de reducción. pag. Por ejemplo, en GF (5), 4 + 3 = 7 se reduce a 2 módulo 5. La división es una multiplicación por el módulo inverso. pag, que se puede calcular utilizando el algoritmo euclidiano extendido.

Un caso particular es GF (2), donde la suma es OR exclusivo (XOR) y la multiplicación es Y. Dado que el único elemento invertible es 1, la división es la función de identidad.

Elementos de GF (p n ) puede representarse como polinomios de grado estrictamente menor que norte sobre GF (pag). A continuación, las operaciones se realizan módulo R dónde R es un polinomio irreducible de grado norte sobre GF (pag), por ejemplo, utilizando la división polinomial larga. La suma de dos polinomios PAG y Q se hace como de costumbre la multiplicación se puede hacer de la siguiente manera: calcular W = PAGQ como de costumbre, luego calcule el módulo restante R (existen mejores formas de hacer esto).

Hay otras representaciones de los elementos de GF (p n ), algunos son isomorfos a la representación polinomial anterior y otros que se ven bastante diferentes (por ejemplo, usando matrices).

When the prime is 2, it is conventional to express elements of GF(p n ) as binary numbers, with each term in a polynomial represented by one bit in the corresponding element's binary expression. Braces ( "<" and ">" ) or similar delimiters are commonly added to binary numbers, or to their hexadecimal equivalents, to indicate that the value is an element of a field. For example, the following are equivalent representations of the same value in a characteristic 2 finite field:

Polynomial X 6 + X 4 + X + 1
Binary
Hexadecimal

There are many irreducible polynomials (sometimes called reducing polynomials) that can be used to generate a finite field, but they do not all give rise to the same representation of the field.

A monic irreducible polynomial of degree norte having coefficients in the finite field GF( q ), where q = pag t for some prime p and positive integer t , is called a primitive polynomial if all of its roots are primitive elements of GF( q n ). [1] [2] In the polynomial representation of the finite field, this implies that x is a primitive element. There is at least one irreducible polynomial for which x is a primitive element. [3] In other words, for a primitive polynomial, the powers of X generate every nonzero value in the field.

In the following examples it is best not to use the polynomial representation, as the meaning of x changes between the examples. The monic irreducible polynomial X 8 + X 4 + X 3 + X + 1 over GF(2) is not primitive. Let λ be a root of this polynomial (in the polynomial representation this would be x ), that is, λ 8 + λ 4 + λ 3 + λ + 1 = 0 . Now λ 51 = 1 , so λ is not a primitive element of GF(2 8 ) and generates a multiplicative subgroup of order 51. [4] Consider the field element λ + 1 (in the polynomial representation this would be x + 1). Now (λ+1) 8 + (λ+1) 4 + (λ+1) 3 + (λ+1) 2 + 1 = λ 8 + λ 4 + λ 3 + λ + 1 = 0 . As all the roots of this primitive polynomial are primitive elements, λ + 1 is a primitive element of GF(2 8 ) ( (λ + 1) 255 = 1 and no smaller power does). GF(2 8 ) has 128 generators (see Number of primitive elements). Having X as a generator for a finite field is beneficial for many computational mathematical operations.

Addition and subtraction are performed by adding or subtracting two of these polynomials together, and reducing the result modulo the characteristic.

In a finite field with characteristic 2, addition modulo 2, subtraction modulo 2, and XOR are identical. Por lo tanto,

Polynomial (X 6 + X 4 + X + 1) + (X 7 + X 6 + X 3 + X) = X 7 + X 4 + X 3 + 1
Binary <01010011>+ <11001010>=
Hexadecimal <53>+ =

Under regular addition of polynomials, the sum would contain a term 2X 6 . This term becomes 0X 6 and is dropped when the answer is reduced modulo 2.

Here is a table with both the normal algebraic sum and the characteristic 2 finite field sum of a few polynomials:

pag1 pag2 pag1 + pag2 under.
K[x] GF(2 norte )
X 3 + X + 1 X 3 + X 2 2X 3 + X 2 + X + 1 X 2 + X + 1
X 4 + X 2 X 6 + X 2 X 6 + X 4 + 2X 2 X 6 + X 4
X + 1 X 2 + 1 X 2 + X + 2 X 2 + X
X 3 + X X 2 + 1 X 3 + X 2 + X + 1 X 3 + X 2 + X + 1
X 2 + X X 2 + X 2X 2 + 2X 0

In computer science applications, the operations are simplified for finite fields of characteristic 2, also called GF(2 norte ) Galois fields, making these fields especially popular choices for applications.

Multiplication in a finite field is multiplication modulo an irreducible reducing polynomial used to define the finite field. (I.e., it is multiplication followed by division using the reducing polynomial as the divisor—the remainder is the product.) The symbol "•" may be used to denote multiplication in a finite field.

Rijndael's (AES) finite field Edit

Rijndael (standardised as AES) uses the characteristic 2 finite field with 256 elements, which can also be called the Galois field GF(2 8 ). It employs the following reducing polynomial for multiplication:

X 8 + X 4 + X 3 + X + 1.

For example, <53>• = <01>in Rijndael's field because

(X 6 + X 4 + X + 1)(X 7 + X 6 + X 3 + X)
= (X 13 + X 12 + X 9 + x 7 ) + (X 11 + X 10 + x 7 + X 5 ) + (X 8 + x 7 + X 4 + X 2 ) + (x 7 + X 6 + X 3 + X)
= X 13 + X 12 + X 9 + X 11 + X 10 + X 5 + X 8 + X 4 + X 2 + X 6 + X 3 + X
= X 13 + X 12 + X 11 + X 10 + X 9 + X 8 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X

X 13 + X 12 + X 11 + X 10 + X 9 + X 8 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X modificación X 8 + X 4 + X 3 + X 1 + 1
= (11111101111110 mod 100011011)
= <3F7E mod 11B>=
= 1 (decimal)

The latter can be demonstrated through long division (shown using binary notation, since it lends itself well to the task. Notice that exclusive OR is applied in the example and not arithmetic subtraction, as one might use in grade-school long division.):

(The elements <53>and are multiplicative inverses of one another since their product is 1.)

Multiplication in this particular finite field can also be done using a modified version of the "peasant's algorithm". Each polynomial is represented using the same binary notation as above. Eight bits is sufficient because only degrees 0 to 7 are possible in the terms of each (reduced) polynomial.

This algorithm uses three variables (in the computer programming sense), each holding an eight-bit representation. a y B are initialized with the multiplicands pag accumulates the product and must be initialized to 0.

At the start and end of the algorithm, and the start and end of each iteration, this invariant is true: a B + pag is the product. This is obviously true when the algorithm starts. When the algorithm terminates, a o B will be zero so pag will contain the product.

  • Run the following loop eight times (once per bit). It is OK to stop when a o B is zero before an iteration:
    1. If the rightmost bit of B is set, exclusive OR the product pag by the value of a. This is polynomial addition.
    2. Shift B one bit to the right, discarding the rightmost bit, and making the leftmost bit have a value of zero. This divides the polynomial by X, discarding the X 0 term.
    3. Keep track of whether the leftmost bit of a is set to one and call this value carry.
    4. Shift a one bit to the left, discarding the leftmost bit, and making the new rightmost bit zero. This multiplies the polynomial by X, but we still need to take account of carry which represented the coefficient of X 7 .
    5. Si carry had a value of one, exclusive or a with the hexadecimal number 0x1b (00011011 in binary). 0x1b corresponds to the irreducible polynomial with the high term eliminated. Conceptually, the high term of the irreducible polynomial and carry add modulo 2 to 0.
  • pag now has the product

This algorithm generalizes easily to multiplication over other fields of characteristic 2, changing the lengths of a, B, y pag and the value 0x1b appropriately.

The multiplicative inverse for an element a of a finite field can be calculated a number of different ways:

  • By multiplying a by every number in the field until the product is one. This is a brute-force search.
  • Since the nonzero elements of GF(p n ) form a finite group with respect to multiplication, ap n −1 = 1 (for a ≠ 0 ), thus the inverse of a es ap n −2 .
  • By using the extended Euclidean algorithm.
  • By making logarithm and exponentiation tables for the finite field, subtracting the logarithm from p n −1 and exponentiating the result.
  • By making an modular multiplicative inverse table for the finite field and doing a lookup.
  • By mapping to a composite field where inversion is simpler, and mapping back.
  • By constructing a special integer (in case of a finite field of a prime order) or a special polynomial (in case of a finite field of a non-prime order) and dividing it by a. [5]

Generator based tables Edit

When developing algorithms for Galois field computation on small Galois fields, a common performance optimization approach is to find a generator gramo and use the identity:

to implement multiplication as a sequence of table look ups for the loggramo(a) y gramo y functions and an integer addition operation. This exploits the property that every finite field contains generators. In the Rijndael field example, the polynomial X + 1 (or <03>) is one such generator. A necessary but not sufficient condition for a polynomial to be a generator is to be irreducible.

An implementation must test for the special case of a o B being zero, as the product will also be zero.

This same strategy can be used to determine the multiplicative inverse with the identity:

Here, the order of the generator, | gramo |, is the number of non-zero elements of the field. In the case of GF(2 8 ) this is 2 8 − 1 = 255 . That is to say, for the Rijndael example: (x + 1) 255 = 1 . So this can be performed with two look up tables and an integer subtract. Using this idea for exponentiation also derives benefit:

This requires two table look ups, an integer multiplication and an integer modulo operation. Again a test for the special case a = 0 must be performed.

However, in cryptographic implementations, one has to be careful with such implementations since the cache architecture of many microprocessors leads to variable timing for memory access. This can lead to implementations that are vulnerable to a timing attack.

Carryless multiply Edit

For binary fields GF(2^norte), field multiplication can be implemented using a carryless multiply such as CLMUL instruction set, which is good for norte <= 64. A multiplication uses one carryless multiply to produce a product (up to 2norte-1 bits), another carryless multiply of a pre-computed inverse of the field polynomial to produce a quotient = ⌊ product / (field polynomial) ⌋ , a multiply of the quotient by the field polynomial, then an xor: result = product ⊕ ((field polynomial) ⌊ product / (field polynomial) ⌋). The last 3 steps (pclmulqdq, pclmulqdq, xor) are used in the Barrett reduction step for fast computation of CRC using the X86 pclmulqdq instruction. [6]

Composite field Edit

When k is a composite number, there will exist isomorphisms from a binary field GF(2 k ) to an extension field of one of its subfields, that is, GF((2 metro ) norte ) dónde k = metro norte . Utilizing one of these isomorphisms can simplify the mathematical considerations as the degree of the extension is smaller with the trade off that the elements are now represented over a larger subfield. [7] To reduce gate count for hardware implementations, the process may involve multiple nesting, such as mapping from GF(2 8 ) to GF(((2 2 ) 2 ) 2 ). [8] There is an implementation constraint, the operations in the two representations must be compatible, so explicit use of the isomorphism is needed. More precisely, the isomorphism will be denoted by map(), it is a bijection that maps an element of GF(2 k ) to GF((2 metro ) norte ), satisfying: map(a+b) = map(a) + map(b) and map(a b) = map(a) map(b), where the operations on the left side occur in GF(2 k ) before mapping and the operations on the right side occur in GF((2 metro ) norte ) after mapping. [9] The isomorphism is usually implemented with a k row by k bit matrix, used to perform a matrix multiply over GF(2) of an element of GF(2 k ) treated as a k row by 1 bit matrix. Define α as a primitive element of GF(2 k ), and β as a primitive element of GF((2 metro ) norte ). Then β j = map(α j ) and α j = map −1 (β j ). The values of α and β determine the mapping matrix and its inverse. Since the actual math is performed in GF((2 metro ) norte ), the reducing polynomial for GF((2 metro ) norte ) is usually primitive and β = X in GF((2 metro ) norte ). In order to meet the compatibility constraint for addition and multiplication, a search is done to choose any primitive element α of GF(2 k ) that will meet the constraint. In the case where reducing polynomial for GF(2 k ) is primitive, an alternate mapping method is possible: the 1 bit coefficients of the reducing polynomial for GF(2 k ) are interpreted as metro bit elements 0 or 1 of GF(2 metro ), and there will be metro primitive factors of degree norte, any of which can be used as the reducing polynomial for GF((2 metro ) norte ). Mapping to a composite field can be generalized to map GF(pag k ) to a composite field such as GF((pag metro ) norte ), for pag a prime number greater than 2, but such fields are not commonly used in practice.

C programming example Edit

Here is some C code which will add and multiply numbers in the characteristic 2 finite field of order 2 8 , used for example by Rijndael algorithm or Reed–Solomon, using the Russian Peasant Multiplication algorithm:

This example has cache, timing, and branch prediction side-channel leaks, and is not suitable for use in cryptography.

D programming example Edit

This D program will multiply numbers in Rijndael's finite field and generate a PGM image:

This example does not use any branches or table lookups in order to avoid side channels and is therefore suitable for use in cryptography.


Approach: The implementation uses map data structure so that all coefficients of same power value are added together and kept in key-value pairs inside a map.

Below is the implementation of the above approach:

Time Complexity: O((m + n)log(m+n)) where m and n are numbers of nodes in first and second lists respectively and we are using a map for adding the coefficients extra log(m+n) factor is added.

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Polynomial math

The calculator evaluates a polynomial expression. The expression contains polynomials and operations +,-,/,*, mod- division remainder, gcd - greatest common divisior, egcda, egcdb, lc, deg, pp, content, monic functions.

The calculator below solves a univariate polynomial math expression. It supports polynomial addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, modulo, greatest common divisor, and other operations (have a look at the operation list just below the calculator). You may turn on the 'Show details' switch to get step by step solution.

Polynomial arithmetic

Polynomial input formats

The calculator expects input polynomials in any combinations of two formats:

Polynomial operations

+ - polynomial addition
- - polynomial subtraction
/ - polynomial division
*- polynomial multiplication
^ - exponentiation to integer degree
() - expression grouping
content(u) - polynomial content (mutual gcd of polynomial coefficients)
deg(u) - polynomial degree
egcda(uv) - a polynomail of Bézout's identity( )
egcdb(uv) - b polynomail of Bézout's identity
gcd(uv) - polynomial greatest common divisor
lc(u) - polynomial leading coefficient
mod(uv) - polynomial division remainder (modulo)
monic(u) - monic polynomial
pp(u) - primitive part of polynomial


Polynomial features are those features created by raising existing features to an exponent.

For example, if a dataset had one input feature X, then a polynomial feature would be the addition of a new feature (column) where values were calculated by squaring the values in X, e.g. X^2. This process can be repeated for each input variable in the dataset, creating a transformed version of each.

As such, polynomial features are a type of feature engineering, e.g. the creation of new input features based on the existing features.

The “degree” of the polynomial is used to control the number of features added, e.g. a degree of 3 will add two new variables for each input variable. Typically a small degree is used such as 2 or 3.

Generally speaking, it is unusual to use d greater than 3 or 4 because for large values of d, the polynomial curve can become overly flexible and can take on some very strange shapes.

It is also common to add new variables that represent the interaction between features, e.g a new column that represents one variable multiplied by another. This too can be repeated for each input variable creating a new “interaction” variable for each pair of input variables.

A squared or cubed version of an input variable will change the probability distribution, separating the small and large values, a separation that is increased with the size of the exponent.

This separation can help some machine learning algorithms make better predictions and is common for regression predictive modeling tasks and generally tasks that have numerical input variables.

Typically linear algorithms, such as linear regression and logistic regression, respond well to the use of polynomial input variables.

Linear regression is linear in the model parameters and adding polynomial terms to the model can be an effective way of allowing the model to identify nonlinear patterns.

For example, when used as input to a linear regression algorithm, the method is more broadly referred to as polynomial regression.

Polynomial regression extends the linear model by adding extra predictors, obtained by raising each of the original predictors to a power. For example, a cubic regression uses three variables, X, X2, and X3, as predictors. This approach provides a simple way to provide a non-linear fit to data.

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All About Polynomials

A main topic in algebra classes is polynomials. There are many subtopics of this topic, including adding, subtracting, multiplying, and dividing.

This page will take you through the basics, including the definition, labeling according to the number of terms, labeling according to the degree, and the end behavior.

Definition: A monomial or a sum of monomials. A monomial is simply a "term."

For more information about terms, see combining like terms.

Terms are seperated by + and - signs. Poly's with 1, 2, or 3 terms have specific names, while poly's of 4 or more terms are simply called polynomials of # terms. Take a look at the table below.

Again, all you are looking for is the number of terms. When there are 1, 2, or 3 the poly is given the special names monomial, binomial, trinomial, respectively. If there are more than 3, then it is simply called a poly de that many terms.

Labeling According to the Degree

The degree of a poly is determined by the exponents. In fact, it is determined by the largest exponent. Take a look at this table.

Notice that we are no longer interested in the number of terms, but simply the degree of the exponent.

Often polynomials will be referred to by both the number of terms and the degree. Take a look at the two examples below.

Example #1: X 2 + 4X - 8 (quadratic trinomial)
Example #2: 2X 3 - 16X (cubic binomial)

Standard Form

For simplicity, it is often preferred to put a poly into standard form. This means that the terms are place in descending order (highest to lowest) according to their degree.

End Behavior of the Polynomial

The end behavior of a graph is what happens at the far left and the far right. Two factors determine the end behavior: positive or negative, and whether the degree is even or odd.

For the examples below, we will use X 2 and X 3 , but the end behavior will be the same for any even degree or any odd degree. However, keep in mind that what happens "in the middle" will change.

Knowing the general shape and end behavior is an important step towards understanding polys. With a little practice, you will know how to perform all of the operations associated with polynomials. Take a look at how to perform polynomials division.


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