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2.5: Resolver ecuaciones con fracciones o decimales


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios
  • Resolver ecuaciones con coeficientes decimales

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Multiplica: (8 cdot 38 ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.6.16.
  2. Encuentre el MCD de ( frac {5} {6} ) y ( frac {1} {4} ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.7.16.
  3. Multiplica 4,78 por 100.
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 1.8.22.

Resolver ecuaciones con coeficientes de fracciones

Usemos la estrategia general para resolver ecuaciones lineales presentada anteriormente para resolver la ecuación, ( frac {1} {8} x + frac {1} {2} = frac {1} {4} ).

Para aislar el término x, reste ( frac {1} {2} ) de ambos lados.
Simplifica el lado izquierdo.
Cambie las constantes a fracciones equivalentes con la pantalla LCD.
Sustraer.
Multiplica ambos lados por el recíproco de ( frac {1} {8} ).
Simplificar.
Tabla ( PageIndex {1} )

Este método funcionó bien, pero muchos estudiantes no se sienten muy seguros cuando ven todas esas fracciones. Entonces, vamos a mostrar un método alternativo para resolver ecuaciones con fracciones. Este método alternativo elimina las fracciones.

Aplicaremos la Propiedad de la igualdad de la multiplicación y multiplicaremos ambos lados de una ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones de la ecuación. El resultado de esta operación será una nueva ecuación, equivalente a la primera, pero sin fracciones. Este proceso se llama "aclarar" la ecuación de fracciones.

Resolvamos una ecuación similar, pero esta vez usemos el método que elimina las fracciones.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Cómo resolver ecuaciones con coeficientes de fracciones

Resolver: ( frac {1} {6} y - frac {1} {3} = frac {5} {6} )

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Resolver: ( frac {1} {4} x + frac {1} {2} = frac {5} {8} )

Respuesta

(x = frac {1} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resolver: ( frac {1} {8} x + frac {1} {2} = frac {1} {4} )

Respuesta

(x = -2 )

Observe que en el ejercicio ( PageIndex {1} ), una vez que limpiamos la ecuación de fracciones, la ecuación era como las que resolvimos anteriormente en este capítulo. ¡Cambiamos el problema por uno que ya sabíamos cómo resolver! Luego usamos la estrategia general para resolver ecuaciones lineales.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER ECUACIONES CON COEFICIENTES DE FRACCIÓN.

  1. Encuentra el mínimo común denominador de todas las fracciones en la ecuación.
  2. Multiplica ambos lados de la ecuación por esa MCD. Esto borra las fracciones.
  3. Resuelve usando la estrategia general para resolver ecuaciones lineales.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resolver: (7 = frac {1} {2} x + frac {3} {4} x - frac {2} {3} x )

Respuesta

(x = 12 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resolver: (- 1 = frac {1} {2} u + frac {1} {4} u - frac {2} {3} u )

Respuesta

(u = -12 )

En el siguiente ejemplo, nuevamente tenemos variables en ambos lados de la ecuación.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Resolver: (x + frac {1} {3} = frac {1} {6} x - frac {1} {2} )

Respuesta

(x = -1 )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Resolver: (c + frac {3} {4} = frac {1} {2} c - frac {1} {4} )

Respuesta

(c = -2 )

En el siguiente ejemplo, comenzamos usando la propiedad distributiva. Este paso borra las fracciones de inmediato.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Resolver: (- 11 = frac {1} {2} (6p + 2) )

Respuesta

(p = -4 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Resolver: (8 = frac {1} {3} (9q + 6) )

Respuesta

(q = 2 )

En el siguiente ejemplo, incluso después de distribuir, todavía tenemos fracciones que borrar.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Resolver: ( frac {1} {5} (n + 3) = frac {1} {4} (n + 2) )

Respuesta

(n = 2 )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Resolver: ( frac {1} {2} (m - 3) = frac {1} {4} (m - 7) )

Respuesta

(m = -1 )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Resolver: ( frac {4y - 7} {3} = frac {y} {6} )

Respuesta

(y = 2 )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Resolver: ( frac {-2z - 5} {4} = frac {z} {8} )

Respuesta

(z = -2 )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Resolver: ( frac {b} {10} + 2 = frac {b} {4} + 5 )

Respuesta

(b = -20 )

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Resolver: ( frac {c} {6} + 3 = frac {c} {3} + 4 )

Respuesta

(c = -6 )

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Resolver: ( frac {3r + 5} {6} + 1 = frac {4r + 3} {3} )

Respuesta

(r = 1 )

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Resolver: ( frac {2s + 3} {2} + 1 = frac {3s + 2} {4} )

Respuesta

(s = -8 )

Resolver ecuaciones con coeficientes decimales

Algunas ecuaciones tienen decimales. Este tipo de ecuación ocurrirá cuando resolvemos problemas relacionados con dinero o porcentajes. Pero los decimales también se pueden expresar como fracciones. Por ejemplo, (0.3 = frac {3} {10} ) y (0.17 = frac {17} {100} ). Entonces, con una ecuación con decimales, podemos usar el mismo método que usamos para despejar fracciones: multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Resolver: (0.06x + 0.02 = 0.25x - 1.5 )

Respuesta

Mira los decimales y piensa en las fracciones equivalentes.

(0.06 = frac {6} {100} quad 0.02 = frac {2} {100} quad 0.25 = frac {25} {100} quad 1.5 = 1 frac {5} {10} )

Tenga en cuenta que la pantalla LCD es 100.

Al multiplicar por el LCD, eliminaremos los decimales de la ecuación.

Multiplica ambos lados por 100.
Distribuir.
Multiplica, y ahora no tenemos más decimales.
Recoge las variables de la derecha.
Simplificar.
Recoge las variables de la derecha.
Simplificar.
Dividir por 19.
Simplificar.
Verificar: Sea x = 8

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Resolver: (0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4 )

Respuesta

(h = 12 )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Resolver: (0.65k - 0.1 = 0.4k - 0.35 )

Respuesta

(k = -1 )

El siguiente ejemplo usa una ecuación que es típica de las aplicaciones monetarias del próximo capítulo. Observe que distribuimos el decimal antes de borrar todos los decimales.

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Resolver: (0.25n + 0.05 (n + 5) = 2.95 )

Respuesta

(n = 9 )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Resolver: (0.10d + 0.05 (d -5) = 2.15 )

Respuesta

(d = 16 )

Conceptos clave

  • Estrategia para resolver una ecuación con coeficientes de fracciones
    1. Encuentra el mínimo común denominador de todas las fracciones de la ecuación.
    2. Multiplica ambos lados de la ecuación por esa MCD. Esto borra las fracciones.
    3. Resuelve usando la estrategia general para resolver ecuaciones lineales.

Preálgebra: ecuaciones de un paso con fracciones

Paso 1: Multiplica ambos lados de la ecuación por el recíproco de la fracción para quedar solo en un lado:

Paso 2: Multiplicar:

Pregunta de ejemplo n. ° 3: Ecuaciones de un paso con fracciones

El objetivo es aislar la variable de un lado.

La operación opuesta de la división es la multiplicación, por lo tanto, multiplica cada lado por:

El lado izquierdo se puede reducir recordando que cualquier cosa dividida por sí misma es igual a 1:

La ley de identidad de la multiplicación entra en vigor y obtenemos la solución como:

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Ecuaciones de un paso con fracciones

El objetivo es aislar la variable de un lado.

La operación opuesta de la multiplicación es la división, por lo tanto, podemos dividir cada lado por o multiplicar cada lado por su recíproco:

El lado izquierdo se puede reducir recordando que cualquier cosa que multiplique una fracción por su recíproco es igual a 1:

La ley de identidad de la multiplicación entra en vigor y obtenemos la solución como:

Sin embargo, esta solución se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por 3:

Pregunta de ejemplo n. ° 5: Ecuaciones de un paso con fracciones

El objetivo es aislar la variable de un lado.

La operación opuesta de la suma es la resta, así que resta de cada lado:

Para completar la resta en el lado derecho, primero debemos determinar el denominador común, o múltiplos comunes de 3 y 6. El mínimo común múltiplo de 3 y 6 es el mismo 6.

Simplificando, obtenemos la solución final:

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Ecuaciones de un paso con fracciones

El objetivo es aislar la variable de un lado.

La operación opuesta de la resta es la suma, así que suma a cada lado:

Para completar la suma en el lado derecho, primero debemos determinar el denominador común, o múltiplos comunes de 6 y 12. El mínimo común múltiplo de 6 y 12 es el mismo 12.

Simplificando, obtenemos la solución:

Reduciendo la fracción a sus términos más simples obtenemos la solución final:

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Ecuaciones de un paso con fracciones

Para obtener y por sí solo, debes dividir por 6 en ambos lados

Pregunta de ejemplo n. ° 8: Ecuaciones de un paso con fracciones

Para obtener x por sí solo, debes multiplicar ambos lados de la ecuación por 5

Pregunta de ejemplo n. ° 9: Ecuaciones de un paso con fracciones

Resuelve la siguiente ecuación para x:

Para esta ecuación, aísle la variable realizando operaciones equivalentes en ambos lados de la ecuación.

Para aislar una variable multiplicada por una fracción, cualquier fracción multiplicada por su recíproco es igual a uno.

Porque aislamos y la ecuación se convierte en

multiplicar los valores del lado derecho nos da

Pregunta de ejemplo n. ° 10: Ecuaciones de un paso con fracciones

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EcuacionesCON FRACCIONES

PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON fracciones, la transformamos en una ecuación sin fracciones, que sabemos cómo resolver. La técnica se llama eliminación de fracciones.

Solución. Elimina las fracciones de la siguiente manera:

Multiplica ambos lados de la ecuación, cada término, por el MCM de denominadores. Luego, cada denominador se dividirá en su múltiplo. Entonces tendremos una ecuación sin fracciones.

El MCM de 3 y 5 es 15. Por lo tanto, multiplique ambos lados de la ecuación por 15.

15 y middot X
3
+ 15 y middot x y menos 2
5
= 15 y middot 6

A la izquierda, distribuya 15 a cada término. Cada denominador ahora se dividirá en 15, ese es el punto, y tenemos la siguiente ecuación simple que ha sido "limpiada" de fracciones:

5 x + 3 (x y menos 2) = 90.
Se resuelve fácilmente de la siguiente manera:
5 x + 3 x y menos 6 = 90
8 x = 90 + 6
X = 96
8
= 12.

Decimos "multiplicar" ambos lados de la ecuación, pero aprovechamos el hecho de que el orden en el que multiplicamos o dividimos no importa. (Lección 1.) Por lo tanto, dividimos el MCM por cada denominador primero, y de esa manera sin fracciones.

Elegimos un múltiplo de cada denominador, porque cada denominador será entonces un divisor de él.

Ejemplo 2. Elimina las fracciones y resuelve para x:

Solución. El MCM de 2, 6 y 9 es 18. (Lección 23 de Aritmética). Multiplica ambos lados por 18 y cancela.

No debería ser necesario escribir 18. El estudiante simplemente debe mirar y ver que 2 entrará en 18 nueve (9) veces. Por tanto, ese término se convierte en 9 x.

A continuación, mire y vea que el 6 se convertirá en 18 tres (3) veces. Por lo tanto, ese término se convierte en 3 & middot & minus5 x = & minus15 x.

Finalmente, mire y vea que el 9 se convertirá en 18 dos (2) veces. Por tanto, ese término se convierte en 2 & middot 1 = 2.

Aquí está la ecuación despejada, seguida de su solución:

9 x y menos 15 x = 2
& menos6 x = 2
X = 2
& menos6
X = &menos 1
3

Solución. Esta es una ecuación con una fracción. Elimina fracciones multiplicando ambos lados por 2:

5 x y menos 2 = 4 x + 8
5 x y menos 4 x = 8 + 2
X = 10.

En los siguientes problemas, elimine las fracciones y resuelva para x:

Para ver cada respuesta, pase el mouse sobre el área coloreada.
Para cubrir la respuesta nuevamente, haga clic en "Actualizar" ("Recargar").
¡Haz el problema tú mismo primero!

Problema 1. X
2
&menos X
5
= 3
El MCM es 10. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
5 veces &menos 2 x = 30
3 veces = 30
X = 10.

Al resolver cualquier ecuación con fracciones, la siguiente línea que escriba:

Problema 2. X
6
= 1
12
+ X
8
El MCM es 24. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
4 x = 2 + 3 x
4 x y menos 3 x = 2
X = 2
Problema 3. x y menos 2
5
+ X
3
= X
2
El MCM es 30. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
6 (x y menos 2) + 10 x = 15 x
6 x y menos 12 + 10 x = 15 x
16 x y menos 15 x = 12
X = 12.

Problema 4. Una fracción igual a una fracción.

x y menos 1
4
= X
7
El MCM es 28. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
7 (x y menos 1) = 4 x
7 x y menos 7 = 4 x
7 x y menos 4 x = 7
3 veces = 7
X = 7
3

Vemos que cuando una sola fracción es igual a una sola fracción, entonces la ecuación se puede borrar mediante una "multiplicación cruzada".

Problema 5. x y menos 3
3
= x y menos 5
2
Aquí está la ecuación despejada y su solución:
2 (x y menos 3) = 3 (x y menos 5)
2 x y menos 6 = 3 x y menos 15
2 x y menos 3 x = y menos 15 + 6
& menos x = & menos9
X = 9
Problema 6. x y menos 3
x y menos 1
= x + 1
x + 2
Aquí está la ecuación despejada y su solución:
(x y menos 3) (x + 2) = (x y menos 1) (x + 1)
x y sup2 y menos x y menos 6 = x & sup2 y menos 1
& menos x = & menos1 + 6
& menos x = 5
X = & menos5.
Problema 7. 2 x y menos 3
9
+ x + 1
2
= x y menos 4
El MCM es 18. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
4 x y menos 6 + 9 x + 9 = 18 x y menos 72
13 x + 3 = 18 x y menos 72
13 x y menos 18 x = & menos 72 y menos 3
& menos5 x = & menos 75
X = 15.
Problema 8. 2
X
&menos 3
8 x
= 1
4
El MCM es 8 x. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
16 y menos 3 = 2 x
2 x = 13
X = 13
2

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Solucionador de fracciones

Resolver fracciones es difícil cuando se hace mentalmente. Necesita lápiz y papel para resolverlo manualmente si desea obtener un resultado eficiente. E incluso si sabe cómo resolverlo, a veces aún comete errores en su cálculo. No puede confiar en su resultado calculado haciéndolo solo una vez. Debe revisarlo al menos una vez para asegurarse de que obtuvo la respuesta correcta. Este proceso requiere algo de esfuerzo, consume más tiempo y consume más energía. En resumen, este proceso de resolver fracciones manualmente no es eficiente y preciso en absoluto. Necesita un proceso seguro. Necesita un método a prueba de balas para obtener el cálculo exacto. Y la solución para este problema es utilizar un solucionador de fracciones. Esta herramienta es muy eficiente y se presenta a continuación. Puede usarlo en cualquier momento que necesite un cálculo de fracción.

El solucionador de fracciones es una herramienta diseñada para resolver todo tipo de problemas de fracciones. Trata todas las operaciones aritméticas relacionadas con fracciones. Se tratan todo tipo de fracciones como números propios, impropios, mixtos e incluso su combinación. Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones y sus combinaciones se realizan con esta herramienta sin cometer ningún error. Ha sido probado y utilizado durante más de cinco años. El usuario simplemente ingresará la operación que necesita presionando los botones correspondientes.

Descripción de las piezas de Fraction Solver y su uso:

Simplificar: este botón se utiliza para simplificar una fracción determinada. El usuario ingresará la fracción que desea simplificar y presionará el botón Simplificar. Para ingresar una fracción, solo necesita presionar el botón de número entero si tiene un número entero seguido del botón del numerador y, por último, el botón del denominador. Si la fracción ya está en su estado simplificado, seguirá siendo el mismo incluso si el botón simplificar se ha pulsado varias veces.

Números enteros: estos botones son de color gris más oscuro y son más grandes y voluminosos que los botones de numeradores y denominadores. Estos botones están ubicados en el lado izquierdo del solucionador de fracciones y deben presionarse si alguna vez la operación involucra números enteros; de lo contrario, no es necesario presionar estos botones.

Numeradores: estos botones se encuentran en la parte superior derecha del solucionador de fracciones y son más pequeños que el botón de números enteros, pero del mismo tamaño que el botón de denominadores. Son de color blanco. Es posible que el usuario no necesite presionar estos botones si el numerador que desea ingresar es uno (1) porque el numerador se establecerá automáticamente en uno (1) si el usuario presiona directamente los botones del denominador.

Denominadores: estos botones son de color gris claro y están ubicados en la parte inferior derecha del solucionador de fracciones. El usuario puede presionar directamente estos botones y omitir los botones del numerador si el numerador de la fracción es uno (1).

Retroceso: este botón se utiliza cuando desea eliminar un dígito o una operación. Esto se hace una vez a la vez hasta que se eliminen todas las operaciones o dígitos que desea eliminar.

A / C: este botón se presiona si desea limpiar la pantalla y comenzar de nuevo.

÷ - Este botón se utiliza para dividir una fracción.

×: este botón se utiliza para multiplicar.

+ - Esto es para la suma de fracciones.

- - Esto es para restar fracciones.

= - Cuando se establecen las operaciones de fracción deseadas, se presiona el botón de igualdad para que el solucionador de fracciones inicie el proceso de calcular los problemas y muestre el resultado.

¿Por qué se ha creado Fraction Solver?

El creador ha sentido una vez el peso de la consecuencia cuando alguien comete el error de calcular una fracción muy simple. Había un hombre rico que tenía cinco hijos legales y dos ilegítimos. Según la ley del país en el que viven, para repartir la herencia, el hijo ilegítimo debe tener la mitad del valor de lo que hereda el hijo legítimo. Afortunadamente solo hay dos hijos ilegítimos. Entonces, su valor de herencia debe ser igual al de ese hijo legítimo. Entonces, el cálculo debe ser que cada hijo legal debe obtener 1/6 de la herencia, mientras que los hijos ilegítimos deben obtener 1/12 cada uno. Calcular estas fracciones debe ser engorroso cuando se hace manualmente. Por eso nació la idea de crear una herramienta que calcule una fracción automáticamente.

Escenarios adecuados para esta herramienta:

Un profesor de matemáticas está creando un cuestionario para el examen de sus 60 alumnos. Para hacer una respuesta de referencia, así como las soluciones para los elementos relacionados con las fracciones, puede usar la herramienta de resolución de fracciones. Esto le permitirá ahorrar tiempo que podrá utilizar para preparar otros temas de matemáticas y le dará algo de tiempo para relajarse.

Un estudiante está preparando su examen de matemáticas y practicando el tema de la fracción. No tiene forma de confirmar si su respuesta es correcta o incorrecta. Solo puede verificarlo y revisarlo varias veces hasta que esté seguro de que su respuesta es correcta al tener la misma respuesta después de varias verificaciones. Este proceso lleva mucho tiempo y es posible que no cubra todo el tema a estudiar. Al usar el solucionador de fracciones como guía, si su cálculo manual es correcto, podría ayudarlo a aprender rápido y hacerlo más seguro sobre el tema.

Otro escenario es un hombre de negocios que calcula sus ganancias en los negocios. La calculadora física normal tiene una función limitada en el cálculo de fracciones. Hay algunos que tienen funcionalidad de cálculo de fracciones, pero deben establecer una configuración determinada. Es necesario tener una herramienta específica solo para calcular fracciones. Entonces, esta herramienta de resolución de fracciones realmente ayudaría mucho.

Un cocinero puede necesitar resumir todos los ingredientes de un plato determinado, pero no puede hacerlo porque algunos de los ingredientes están en forma de fracciones. La necesidad de resumirlo puede deberse a la necesidad de tener la proporción correcta entre la sopa y el plato o cualquier factor que necesite tener una buena proporción. Calcularlo manualmente no es una solución ideal porque un cocinero es un cocinero y no un matemático. Calcularlo con resultados exactos puede necesitar el servicio de la herramienta de resolución de fracciones.

¿Qué dice la gente sobre el solucionador de fracciones?

"Esta herramienta es muy buena. Desde que encontré esta herramienta, mi trabajo como cajera en una pequeña tienda de nuestro pueblo ha sido más fácil. Normalmente tengo que calcular dinero y hubo momentos en que una cantidad está relacionada con fracciones y he hacerlo manualmente con lápiz y papel. Esto me llevaría a hacer algunas horas extra impagas porque, dado que estoy tratando con cantidades en efectivo, tengo que asegurarme de que todos los cálculos sean precisos. Seguro que estamos usando el sistema POS y la caja registradora, pero no puedo escapar de alguna situación en la que el solucionador de fracciones sea la herramienta adecuada ". Desde Neddah Kramel - Arkansas.

"Hola, me encanta esta herramienta. Me ayuda mucho en mis tareas relacionadas con la fracción. Soy un estudiante de secundaria y tengo dificultades para manejar las fracciones. A veces siento que la fracción es una bestia. Ahora que encontré esto muy bueno herramienta, ahora estoy seguro de trabajar con fracciones ". De Jessie M. - Chicago.


Calculadora de descomposición y composición de fracciones

Una calculadora de descomposición de fracciones en línea para descomponer una fracción en una unidad de fracción. La descomposición de fracciones es la división de fracciones en varias partes que se pueden sumar. La composición de fracciones es lo opuesto a la descomposición, donde todas las fracciones de las partes se compondrán como una. Esta calculadora de descomposición y composición de fracciones en línea le ayuda a componer y descomponer fracciones. Elija la opción e ingrese los valores en la calculadora para encontrar el resultado.


2.5: Resolver ecuaciones con fracciones o decimales

Ayuda a Buffy a multiplicar fracciones por números enteros utilizando el algoritmo estándar además de los modelos visuales de fracciones en este tutorial interactivo con temática de panadería. Esta es la parte 4 de una serie de 4 partes. Haga clic a continuación para abrir otros tutoriales de la serie. Parte 2: Multiplicar fracciones Parte 3Usar modelos para multiplicar una fracción por un número entero

Área (s) temática: Matemáticas

Tipo de recurso principal: Tutorial original

Ayuda a Buffy la panadera a multiplicar una fracción por un entero usando modelos en este dulce tutorial interactivo. Esta es la parte 3 de una serie de 4 partes. Haga clic a continuación para abrir otros tutoriales de la serie. Parte 2: Multiplicar fracciones Parte 4: Multiplicar una fracción por un número entero - Algoritmo estándar

Área (s) temática: Matemáticas

Tipo de recurso principal: Tutorial original

Encuentre las cantidades totales de cantidades de fracciones repetidas multiplicando una fracción por un número entero utilizando modelos visuales que representan problemas y cookies del mundo real en este tutorial interactivo.


Fracciones impropias

Ahora, cuando intente localizar una fracción impropia en una recta numérica de fracciones. Por lo general, es más fácil convertir primero a una fracción mixta.

Se pueden ver los detalles de cómo hacerlo & nbspaquí.


Consideremos las fracciones impropias & nbsp boldsymbol < frac <7> <5>> & nbspand & nbsp boldsymbol < frac <13> <4>>.

En forma de fracción mixta, estas fracciones impropias son:

boldsymbol < frac <7> <5>> & nbsp = & nbsp 1 boldsymbol < frac <2> <5>> & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp & nbsp boldsymbol < frac <13> <4>> & nbsp = & nbsp 3 boldsymbol < frac <1> <4>>

Usando el mismo enfoque que antes para ubicar fracciones mixtas, ahora se puede usar para trazar las fracciones impropias.


Resolver ecuaciones con multiplicación / división

En orden para mover un número que se multiplica o divide por la variable, debes hacer lo inverso a ambos lados. Eso significa que si el número se multiplica, debe dividirlo por ambos lados. Si está dividido, debes multiplicarlo por ambos lados.

Ahora trabajaremos con cada lado. En el lado izquierdo,
los 3 se cancelarán y desaparecerán (3/3 = 1 y 1x = x).
Tenemos la variable por sí sola, así que esta es nuestra respuesta.

3x = 10 Podemos comprobar la respuesta volviendo a poner 10/3 en el
verdadera ecuación original en lugar de x.

Respuesta final: Esto es cierto, entonces sabemos que tenemos la respuesta correcta.


2) Incluso si puedes hacer esto en tu cabeza, necesitas aprender el

ambos lados por 5.
Ahora trabajaremos con cada lado. En el lado izquierdo,
y = -10 los 5 se cancelarán y desaparecerán. A la derecha,
-2(5) = -10

ecuación original en lugar de y.

cierto

Respuesta final: y = -10 Esto es cierto, entonces sabemos que tenemos la respuesta correcta.


3) La fracción 2/3 está del mismo lado que la x, por lo que es

La forma de dividir una fracción es voltearla y
3/2 y 2/3 se cancelarán y desaparecerán. A la derecha,

Tenemos la variable por sí sola, así que esta es nuestra respuesta.
Podemos comprobar la respuesta volviendo a poner -9 en el
ecuación original en lugar de x.

Respuesta final: x = -9 Esto es cierto, entonces sabemos que tenemos la respuesta correcta.


Práctica: Resuelve la ecuación y verifica tu respuesta

2)

3)

5)


Divirtiéndose con fracciones unitarias

Dividir ambos lados entre 28 da como resultado una descomposición de 1 en una suma de fracciones unitarias con cinco términos:

Hay muchos otros números perfectos (496, 8128, 33550336 y 8589869056, por ejemplo). Si bien podríamos descomponer estos números de manera similar a la anterior, la condición de que cada denominador debe ser 99 o menos limita cuáles podemos usar. Por ejemplo, 496 está fuera porque dos de sus divisores tienen tres dígitos:

Podemos generalizar nuestros métodos de descomposición y composición en cinco reglas.

Regla 1: Descomposición en dos términos

Hacer esto es relativamente simple a mano, pero también puede usar un software de hoja de cálculo para acelerar las cosas.

Regla 2: Descomposición en norte condiciones

Regla 3: Descomposición en dos términos por otro método

Regla 4: Descomposición en tres términos

Regla 5: Composición de dos términos en uno

Ocasionalmente, en el proceso de construir una suma de fracciones unitarias, podría ser útil reemplazar dos fracciones unitarias existentes por una que luego nos da más posibilidades. Por ejemplo, dada la descomposición en dos términos
podemos intercambiar los lados izquierdo y derecho para crear una composición de dos términos.

Usando estas cinco reglas, he encontrado una descomposición de 1 en 42 términos de fracción unitaria distintos. Puedes verlo a continuación.

La descomposición repetida y la composición de dos y tres términos para encontrar sumas cada vez más largas iguales a 1 es una excelente manera de matar el tiempo. Pero, ¿hasta dónde podemos llegar? Un poco de cálculo integral permite predecir que el valor máximo debe ser 62 (si no está familiarizado con el cálculo, puede omitir esta sección).

Un máximo de 62 términos

La Figura 2 muestra la misma curva, esta vez con rectángulos cuyas áreas suman menos que el área debajo de la curva.

Juntando las dos desigualdades tenemos

( 1 )

( 2 )

Una manipulación similar a la anterior da el análogo de la desigualdad (2)

Resolver la integral da

La desigualdad de la derecha dice que para que la suma de las fracciones unitarias no exceda 1 debemos tener

Un diagrama de árbol de mi solución de 42 términos

Mi solución actual con 42 términos de fracción unitaria distintos se ve así

le daré una respuesta alternativa de 42 términos, que dejo para que la resuelva (aquí está la respuesta).

La Figura 4 muestra la solución como un diagrama de árbol, en el que el tronco es nuestro valor original de 1 y las ramas muestran el proceso de descomposición en dos y tres términos. Cada una de las 42 hojas es un término de fracción unitaria único en la solución.

Quizás un poco más de búsqueda repararía esos lugares al eliminar la necesidad de las composiciones.

Sobre el Autor

"profesor boomerang". Está interesado en las matemáticas de la vida diaria y ha escrito ocho libros sobre el tema. El más reciente, El misterio de los cinco en la naturaleza, investiga, entre otras cosas, por qué muchas flores tienen cinco pétalos.

¿Cómo resolver una proporción?

Los estudiantes tienen que resolver proporciones a mano en sus exámenes y aulas. Esta herramienta puede ser muy útil para completar rápidamente las asignaciones y la tarea. Además, se puede utilizar para aprender los cálculos de proporciones. Aquí, ilustraremos cómo calcular la proporción usted mismo.

Método de multiplicación cruzada

Para calcular un valor perdido o una variable desconocida en una proporción, siga los pasos a continuación:

  • Escribe los valores dados en forma de fracción. Utilice cualquier variable para representar el valor desconocido.
  • Une ambas fracciones con un signo igual.
  • Multiplica ambas fracciones en diagonal. Es decir. multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.
  • Escribe ambos números después de la multiplicación y coloca un signo igual entre ellos.
  • Encuentra el valor de la variable aislándola en cualquier lado de la ecuación.

Ejemplo y proporción directa ndash

Un tren de Seúl a Busan recorre una distancia de 300 km en 4 horas. ¿Cuánto tiempo se tarda en alcanzar una distancia de 500 km?

Paso 1: Escribe los valores dados en forma de fracción. Utilice cualquier variable para representar el valor desconocido.

Recorre 300 km en 4 horas, la relación será: 300/4

La relación para la distancia de 500 km será: 500 / X

Paso 2: Une ambas fracciones con un signo igual.

300 / 4 = 500 / X

300 : 4 = 500 : X

Paso 3: Multiplica ambas fracciones en diagonal. Es decir. multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.

Paso 4: Escribe ambos números después de la multiplicación y coloca un signo igual entre ellos.

300 X = 500 y tiempos 4

Paso 5: Encuentra el valor de la variable aislándola en cualquier lado de la ecuación.

X = 2000/300

X = 6,6 horas aprox.

Entonces, el tren tardará aproximadamente 6 horas y media en cubrir una distancia de 500 km.

Ejemplo y proporción inversa ndash

En una fábrica de juguetes, 3 trabajadores hacen una caja de juguetes en 8 días. La empresa ha contratado a 2 trabajadores más para aumentar la producción de la unidad. Ahora hay un total de 5 trabajadores en la fábrica. ¿Cuánto tiempo llevará completar esa misma tarea por 5 trabajadores?

Paso 1: Escribe los valores dados en forma de fracción. Utilice cualquier variable para representar el valor desconocido.

Razón de trabajadores antes y después = 3/5

Proporción de días de finalización = X / 8

Paso 2: Une ambas fracciones con un signo igual.

3 / 5 = X / 8

Paso 3: Multiplica ambas fracciones en diagonal. Es decir. multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.

Paso 4: Escribe ambos números después de la multiplicación y coloca un signo igual entre ellos.

Paso 5: Encuentra el valor de la variable aislándola en cualquier lado de la ecuación.

Entonces, 5 trabajadores fabricarán los juguetes en aprox. 4.8 dias.

¿Cómo se calcula la proporción?

La proporción se puede calcular utilizando un método de multiplicación cruzada. En el método de multiplicación cruzada, multiplicamos diagonalmente el numerador y el denominador de ambas fracciones y calculamos el valor de una variable desconocida aislándola en un lado de la ecuación.

Por ejemplo, tenemos dos fracciones como:

Por multiplicación cruzada, obtenemos:

2X = 12 y egrave X = 6

¿Cuáles son ejemplos de proporciones?

Los siguientes son algunos ejemplos de proporciones:

  • Usamos proporciones de ingredientes para cocinar una cantidad específica de comida.
  • Comparamos los precios de varios centros comerciales usando proporciones.
  • Los constructores mezclan arena y cemento con la grava para hacer una solución usando las proporciones específicas.
  • Los químicos elaboran varias fórmulas químicas y medicamentos utilizando proporciones de diversos productos químicos y medicamentos.
  • Una cuerda de peso y longitud específicos. La longitud y el peso de la cuerda son proporcionales.
  • Los tamaños de las formas de cualquier objeto pueden ser proporcionales entre sí.

¿Cuál es la razón de 4 a 3?

La razón de 4 a 3 se puede escribir como 4 : 3. Significa que la segunda cantidad es 1/3 de la primera cantidad.

Algunas proporciones equivalentes de 4 : 3 están:

4 : 3 8 : 6 12 : 9 16 : 12 20 : 15
24 : 18 28 : 21 32 : 24 36 : 27 40 : 30
44 : 33 48 : 36 52 : 39 56 : 42 60 : 45
64 : 48 68 : 51 72 : 54 76 : 57 80 : 60
84 : 63 88 : 66 92 : 69 96 : 72 100 : 75

¿Cuál es la razón de 1 a 5?

Una razón de 1 a 5 se puede escribir como 1 : 5. Muestra que la cantidad en segundo lugar es cinco veces la cantidad en primer lugar. Algunas proporciones equivalentes de 1 : 5 están: