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1: Suma y resta de números enteros


1: Suma y resta de números enteros

Hojas de trabajo de adición: números grandes

¿Quiere dominar la suma de varios dígitos? Una gran colección de hojas de trabajo de adición imprimibles que incluyen números grandes, es decir, 4 dígitos, 5 dígitos, 6 dígitos y más, está a su servicio. Los ejercicios aquí incluyen problemas estándar, problemas de palabras, sumandos mixtos, adición de la lista, disposición del valor posicional, dígitos faltantes, etc. para proporcionar una amplia práctica a los estudiantes. ¡Ahora, puede conectarse a algunas de estas hojas de trabajo de forma gratuita!

Hojas de trabajo de suma de 4 dígitos

Hay seis hojas de trabajo en esta sección. Los primeros tres folletos tienen solo problemas estándar, mientras que los tres siguientes ofrecen problemas de palabras además de los problemas estándar.

Hojas de cálculo de suma de 4 y 3 dígitos

Uno de los sumandos es un número de 4 dígitos y el otro sumando es un número de 3 dígitos en todos los problemas.

Hojas de trabajo de suma de 5 dígitos

Acelere la práctica con este grupo de hojas de trabajo que abarcan más de 90 problemas estándar y algunos escenarios de la vida real sobre sumas de 5 dígitos que involucran dos sumandos.

Hojas de trabajo de suma de 6 dígitos

Calcula la suma de números de 6 dígitos. Se incluyen problemas de palabras de la vida real.

Hojas de trabajo de suma de 7 dígitos

Las hojas de trabajo de suma de 7 dígitos se vuelven más difíciles. La sección de problemas de palabras contiene nueve problemas estándar y dos problemas de historias en cada hoja de trabajo.

Los ejercicios de adición de números grandes que van desde 4 dígitos hasta 7 dígitos están disponibles en estas hojas de trabajo en pdf. Los sumandos están mezclados.

Hojas de trabajo de adición: 3 sumandos

Estas hojas de trabajo en pdf se basan en agregar 3 sumandos. Hay cuatro secciones basadas en el número de dígitos.

Esta sección incluye hojas de trabajo de adición avanzadas imprimibles que contienen más de 3 sumandos. Los sumandos son una combinación de diferentes dígitos.

Organizar y agregar: modelo de valor posicional

Obtenga acceso instantáneo a los ejercicios sobre la adición de valor posicional donde se espera que los estudiantes coloquen los números dados en el valor posicional correcto desde unidades hasta millones y los sumen.

Identifique los dígitos correctos y rellénelos en el lugar que falta para obtener la suma requerida. Faltan dos dígitos en el nivel 1 y faltan tres dígitos en el nivel 2.


1: Suma y resta de números enteros

Proyecto Mejora de la educación matemática en las escuelas (TIMES)

Número y álgebra: Módulo 2Años: F-4

Experiencias antes de empezar la escuela

A su llegada a la escuela, es probable que los niños pequeños se den cuenta de que existe el mundo de los números y pueden:

  • Recite los números hasta el 20 en orden.
  • Escribe los números del 0 al 9.
  • Capte la conexión entre el número "3", la palabra "tres" y una imagen como
    o .

La suma y la resta son dos de las formas en que trabajamos con los números. Las llamamos operaciones aritméticas. La palabra operación proviene del latín "operari", que significa trabajar o afanarse. De las cuatro operaciones aritméticas sobre números, la suma es la más natural.

La resta y la suma son operaciones inversas.

Por ejemplo, 6 & # 61 4 & # 43 2 es equivalente a 6 & menos 4 & # 61 2 y también 6 & menos 2 & # 61 4.

La capacidad de sumar números en tu cabeza se usa cuando juegas o miras deportes y cuando compras un par de artículos en las tiendas.

Los algoritmos formales o escritos son útiles cuando los números más grandes dificultan los cálculos mentales. Si bien hay muchas formas de calcular con aritmética, los algoritmos comúnmente enseñados se han mantenido en uso constante porque brindan un medio preciso y eficiente para la respuesta. Es habitual que los niños desarrollen algunas estrategias mentales básicas antes de que se les enseñen algoritmos formales.

Un estudiante no desarrollará el sentido numérico o la fluidez con las operaciones si se pasa a las calculadoras demasiado rápido. Una vez que se ha desarrollado la comprensión de los números, se pueden usar calculadoras y computadoras con cierta confianza en que se identificarán los errores de ingreso de datos que sean inconsistentes con nuestro sentido numérico. Un ejemplo relativamente común de alguien que trabaja sin sentido numérico es la persona en la caja que intenta cobrar una gran suma por un artículo económico simplemente porque la caja registradora se lo dice, sin detenerse a pensar que tal vez el código para el el artículo era incorrecto.

El desarrollo de una comprensión sólida de la suma y la resta es esencial para el desarrollo de conceptos posteriores, incluidas otras operaciones aritméticas, cálculos derivados de mediciones y álgebra.

Un niño puede desarrollar las ideas básicas relacionadas con la suma mientras investiga el sistema de valor posicional. Sin embargo, hay algunas habilidades básicas que son bases útiles necesarias para sumar y restar números enteros:

  • Cierta capacidad para descomponer números pequeños en decenas y unidades.
  • Alguna comprensión del valor posicional. (Consulte el módulo, Contar y valor posicional).
  • Contando hacia adelante y hacia atrás de uno en uno y saltando el conteo.
  • El uso de la recta numérica para colocar números en relación con otros números.
  • El uso de la recta numérica para comparar números hasta treinta.
  • La capacidad de emitir un juicio sobre el tamaño relativo de dos o más conjuntos de objetos como un precursor para encontrar la diferencia entre ellos.

La experiencia temprana de los niños con la suma y la resta puede incluir la comprensión de que "cuando sumo, obtengo más" y "cuando resto, tengo menos de lo que tenía al principio". Más tarde, cuando tengan alguna experiencia con números negativos, aprenderán que esto no siempre es cierto.

Cuando combinamos dos o más colecciones de objetos disjuntos, el número total de objetos es la suma de los números de cada una de las colecciones. Por ejemplo, en la imagen de abajo hay 4 piñas en el primer juego y 2 piñas en el segundo juego,

entonces decimos que hay 6 piñas en total y podemos escribir 4 & # 43 2 & # 61 6.

Si comenzamos con 6 piñas y quitamos 2, nos quedamos con 4. Podemos escribir 6 y menos 2 = 4.

Existe una gran cantidad de lenguaje relacionado con los conceptos de suma y resta.

Suma & menos y, suma, más, junta con, suma

Resta y menos quitar, menos, restar, diferencia

Algunas de esas palabras se usan de manera imprecisa fuera de las matemáticas. Por ejemplo, no hay una cantidad exacta de azúcar morena que deba agregar a mi papilla para que sea sabrosa. Es importante que los niños estén expuestos a una variedad de términos diferentes que se aplican en situaciones de suma y resta y que los términos se usen con precisión. A menudo es deseable enfatizar un término más que otros cuando se introducen conceptos, sin embargo, debe buscarse una flexibilidad con la terminología.

Observar de dónde provienen las palabras nos da una idea de lo que significan. La palabra "suma" proviene del latín summus y significa más alto. En latín, menos se escribe como menos, de ahí nuestro uso de la palabra para significar resta.

Es importante que usemos correctamente el lenguaje relacionado con la suma. Hace muchos años se les decía a los estudiantes que "hicieran sus sumas" y esto podría aplicarse a cualquier cálculo que utilice cualquiera de las cuatro operaciones básicas. Este es un uso inexacto de la palabra "suma". Encontrar la "suma" de dos o más números significa sumarlos. Los profesores de este nivel deben tener cuidado de no utilizar la palabra "suma" para nada que no sea la suma.

El primer uso de los símbolos & # 43 y & menos para sumar y restar en Europa ocurrió durante el siglo XVII. Hasta entonces, era común usar la letra P para más y la letra M para menos.

Una vez que los estudiantes adquieren fluidez con el concepto de suma y resta, se puede introducir la notación simbólica, & # 43 para la suma y & menos para la resta. Inicialmente, las ideas se explorarán a través de una conversación, luego se escribirán en palabras, seguido de una combinación de palabras y números y finalmente utilizando números y símbolos. En cada paso, cuando el niño está listo, el uso de símbolos puede reflejar la capacidad del niño para lidiar con conceptos abstractos.

Es importante que los niños vean el símbolo & # 61 como un signo de igualdad. Desafortunadamente, muchos niños piensan en = como un símbolo de "poner la respuesta aquí" y nunca desarrollan la capacidad de pensar en = como un equilibrio entre declaraciones equivalentes. Una forma de evitar este concepto erróneo es presentar la declaración de diferentes maneras para

3 + 1 = />también se puede escribir como /> & # 61 3 & # 43 1 o 4 = />+ 1

También es deseable establecer conexiones entre declaraciones equivalentes. A medida que los niños se familiarizan con la suma y la resta, pueden comenzar a escribir afirmaciones como
3 & # 43 1 & # 61 2 & # 43 2 ya que ambos son iguales a 4.

El símbolo & # 61 se puede considerar como una balanza de la misma manera que un conjunto de balanzas se equilibra cuando los dos lados son equivalentes. Muchos maestros usan esta idea con bloques u otros objetos del mismo tamaño y masa en un conjunto de escalas de aula para modelar la suma y la resta.

SUMA Y RESTA CON NÚMEROS DE UN DÍGITO

En los primeros años de la escuela, se desarrolla un sentimiento por las matemáticas mediante el uso de cuentos, juegos y conversaciones acompañados de objetos concretos como juguetes, guijarros o contadores y manipuladores virtuales como objetos de pizarra interactiva y elementos que se pueden mover en pantalla de computadora. Con la práctica, los estudiantes llegarán a visualizar objetos y manipularlos mentalmente para ayudar con los cálculos. Agrupamos todos estos tipos de objetos y los llamamos manipulables.

En esta etapa, la atención se centra en el uso de números hasta diez. A medida que se desarrolla el repertorio del niño, se pueden introducir números más grandes. Un mayor desarrollo en la comprensión del niño será que estas estrategias tempranas se conviertan en estrategias mentales.

A veces se necesita mucho trabajo con objetos concretos antes de que estos conceptos puedan abstraerse por completo. Como cada estrategia para realizar sumas y restas se desarrolla con los estudiantes, existe un enfoque similar:

El maestro puede dedicar más tiempo a cualquiera de estos pasos, dependiendo de las necesidades de los estudiantes.

El enfoque se describe a continuación para el ejemplo 2 & # 43 3 & # 61 5

    Presente la idea con contextos de la vida real y objetos concretos. Hay dos niñas y tres niñas sentadas en una mesa en nuestro salón de clases. ¿Cuántas chicas hay en total? El maestro dibuja lo siguiente o representa la situación con los estudiantes.

Comenzando con un número que conocen, los niños pueden aprender a sumar y restar a través de las ideas de "uno más" y "uno menos". Estas ideas le resultarán familiares al niño que ha experimentado contar hacia adelante y hacia atrás de uno en uno. Entonces, podemos construir el entendimiento hablando de "dos más" y "dos menos" que un número en particular y así sucesivamente.

Al principio, estas ideas deben discutirse junto con el uso de colecciones de objetos concretos.

Los contadores se pueden usar para mostrar la suma siguiendo los pasos como antes.

Tres Uno más que tres son cuatro
3 & # 43 1 es 4
3 + 1 = 4
También podemos usar contadores para demostrar la resta.
Cuatro Uno menos que cuatro es tres
4 para llevar (restar o menos) 1 es 3
4 y menos 1 es 3
4 y menos 1 y # 61 3

"Uno más" se puede ilustrar en la recta numérica:

"Uno menos" también se puede ilustrar en la recta numérica:

Después de un tiempo explorando uno y dos más y uno y dos menos, los niños comienzan a recordar el "hecho" de la suma o resta rápidamente, sin tener que pensar mucho en ello. A esto lo llamamos memoria rápida o automática de hechos, y esto proviene de la comprensión de los procesos involucrados, no solo de la memorización.

Suma con números de un solo dígito

En su primer año de escuela, antes de que se presenten los conceptos de suma y resta, los niños trabajan con números pequeños y los representan de diferentes maneras, mostrando su comprensión del sistema numérico y las formas en que podemos combinar y descomponer números.

Por ejemplo, pueden usar marcos de decenas con contadores para ilustrar su comprensión de que diez es 4 y 6 o 3 y 7 como se muestra:

Pueden demostrar las diferentes formas de "hacer un número" usando bloques de colores como se muestra a continuación. En cada caso, se han utilizado diferentes palabras para ilustrar la variedad de vocabulario relacionado con este ejercicio.

7 es igual a cero suma siete
1 y 6 hacen 7
2 más 5 son 7
7 es 3 más 4
cuatro suman tres son siete
la suma de 5 y 2 es 7
6 y uno más hace 7
7 más nada & # 61 siete

Es útil que los estudiantes se vuelvan expertos en todas las diferentes formas de descomponer cada número por debajo de diez e incluirlos en su repertorio de hechos.

Por ejemplo, 7 & # 61 7 & # 43 0 & # 61 6 & # 43 1 & # 61 5 & # 43 2 & # 61 4 & # 43 3 & # 61 3 & # 43 4 & # 61 2 & # 43 5 & # 61 1 & # 43 6 & # 61 0 & # 43 7

La recuperación rápida de estos hace que los cálculos más complejos sean mucho más simples y eficientes más adelante.

Una vez que se conocen los números hasta diez, los estudiantes pueden aumentar hasta veinte y más. El conocimiento de la suma y resta con números pequeños ayuda con los más difíciles. Por ejemplo, saber que 6 + 3 es 9 es esencial al calcular 26 + 3 = 29.

Necesitarás una pelota de playa y un marcador permanente. Escribe los números del 0 al 20 en una pelota de playa. Pase la pelota de playa por la clase. El profesor describe un procedimiento u operación a realizar utilizando el número que cae más cerca del pulgar derecho de la persona que atrapa la pelota. Por ejemplo, si un niño atrapa la pelota y el número más cercano a su pulgar derecho es 7. Algunas sugerencias:

  • Duplica el número
  • Di uno más que el número
  • Dígale a la clase el número que es dos menos que el número
  • Suma 6 al número
  • Suma 17 al número
  • Dígale a la clase una forma de "destrozar" el número
  • Di el número necesario para compensar los próximos diez

Cuando se agrega cero a cualquier número, el número no cambia.
Por ejemplo,

5 + 0 = 5 = 0 + 5.

Esto es cierto para todos los números. Por lo tanto, llamamos cero al elemento de identidad para la suma de
números enteros.

El elemento de identidad para la multiplicación es 1. Cuando cualquier número se multiplica por 1, el número no cambia. Por ejemplo,

5 y tiempos 1 y # 61 5 y # 61 1 y tiempos 5

Es importante tener esta conversación con los niños pequeños en términos muy simples, utilizando muchos ejemplos en las primeras etapas del desarrollo de la comprensión sobre la suma.

Suma en la recta numérica

La recta numérica da otra imagen para ayudar a comprender la suma. Cada adición es un salto hacia la derecha.

Entonces podemos mostrar 4 & # 43 7 & # 61 11 en la recta numérica:

En este módulo usamos la palabra descomponer para el acto de dividir un número en partes más pequeñas. En el aula, los profesores pueden ser menos formales en su idioma y utilizar frases como "separar" y "destrozar", además de descomponer.

La fluidez con las diferentes formas de descomponer diez es la base para calcular las estrategias futuras. Dado que el diez es fundamental en nuestro sistema numérico, recordar rápidamente los complementos de diez es una habilidad importante:

En los primeros años de escolaridad, la comprensión de los complementos de las decenas se puede modelar con bloques o contadores o se puede mostrar en la recta numérica.

Uso de dobles y cuasi dobles

Los dobles de cada uno de los números de un solo dígito se pueden demostrar usando materiales de concreto y emparejando uno por uno.

1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 4 + 4 = 8, 5 + 5 = 10, 6 + 6 = 12, 7 + 7 = 14,
8 + 8 = 16, 9 + 9 = 18…

La recuperación instantánea de los dobles es una habilidad útil.

Una vez que se han dominado los dobles, los "casi dobles" son el siguiente paso natural. Por ejemplo, para calcular 5 + 6, el niño podría decir “Sé que 5 + 5 es 10, por lo que 5 + 6 debe ser 11” y así sucesivamente.

Los dobles también se pueden usar a la inversa para resolver restas. Por ejemplo, si un niño está tratando de calcular 12 y menos 6, puede decir “el doble de seis es 12, por lo que 12 y menos 6 deben ser 6”.

Es esencial que los estudiantes puedan hacer todas las sumas en la tabla de suma para dos números de un solo dígito antes de que progresen a números más grandes. Ningún algoritmo de adición estándar ayudará a los estudiantes a hacer estas adiciones y menos, son los componentes básicos del algoritmo de adición.

La fluidez con la tabla de sumar proporciona un hito para la comprensión del alumno y una etapa clave en el desarrollo del niño que el maestro debe conocer. Cuanto más automáticos sean, más fácil será para el estudiante sumar y restar en el futuro.

Antes de pasar a los algoritmos de resta, los estudiantes deben dominar todas las restas para las que la tabla de suma de números de un solo dígito proporciona las sumas complementarias. Por ejemplo, 13 = 8 + 5 da 13 & menos 5 = 8 y 13 & menos 8 = 5.

Una vez que los estudiantes hayan comprendido la suma con números de un solo dígito y números de dos dígitos hasta alrededor de veinte, entonces deben progresar a los números más grandes. Es necesario tener una comprensión firme del valor posicional antes de embarcarse en esta etapa del viaje. Muchas de las estrategias para los números superiores a 20 se basan en las que se utilizan con los números pequeños.

Algunas estrategias de suma son más útiles que otras dependiendo de los números utilizados. Las estrategias descritas anteriormente para números de uno y dos dígitos pueden convertirse en estrategias mentales después de mucha práctica. La clave para el uso exitoso y eficiente de las estrategias mentales es elegir la mejor estrategia para los números involucrados. En algunos casos, la mejor estrategia puede ser el algoritmo formal.

Sumar números de un solo dígito

Una vez que se dominan las sumas hasta el 20, se pueden utilizar para resolver problemas similares en los que uno de los números es diez o múltiplo de diez.

Por ejemplo, si sabemos que 8 & # 43 7 & # 61 15, entonces 18 & # 43 7 son diez más, entonces 18 & # 43 7 & # 61 25
y 28 & # 43 7 & # 61 35 y así sucesivamente.

Usar objetos concretos para sumar más allá de 20

Es necesario tener una comprensión firme de la importancia de "diez", y del valor posicional en general, antes de embarcarse en esta etapa. Para introducir la idea del diez como una unidad, podemos hacer paquetes de diez con objetos concretos.

Se pueden usar palos de palo de hielo agrupados en un diez con una banda elástica para representar los dos números que se agregarán.

Para sumar 19 a 12, primero hacemos cada número usando palos de hielo. Empaquetando cada diez con una banda elástica.

Luego sumamos los dos números juntando los dos juegos de palos de hielo. Los agrupamos en decenas y unidades,

haciendo nuevos paquetes de diez cuando sea posible a partir de los "unos" sueltos.

y encontramos que 19 & # 43 12 es 31.

El siguiente paso es usar bloques MAB de la misma manera, pero esta vez intercambiamos diez unos por uno diez en el paso final.

Agregar un número de un solo dígito a un número de dos dígitos sin "llevar"

El primer paso es comprender que esto se simplifica a la suma de dos números de un solo dígito.El uso de materiales prácticos es necesario en las primeras etapas. Luego, los estudiantes deben aplicar mentalmente la descomposición y la asociatividad para producir argumentos como los siguientes.

22 + 5 =(20 + 2) + 5 = 20 + (2 + 5) = 20 + 7 = 27

Esta es la descomposición seguida del uso de la regla asociativa.

Cuando los niños usan la recta numérica, podemos identificar con qué niños todavía cuentan por unidades.

de los que cuentan de cinco en cinco.

Agregar un número de un solo dígito a un número de dos dígitos con transporte

Una vez que se domina el caso anterior, los estudiantes deben progresar hasta la complicación adicional de la necesidad de pasar el diez o "llevar" un diez. En el primer caso, los estudiantes usarían complementos de diez como se ilustra a continuación.

En la recta numérica, esto corresponde a saltar al primer número, luego saltar a la decena más cercana por encima de él y luego saltar el resto del camino. La estrategia mental consiste esencialmente en calcular el tamaño de este último salto.

También deben investigarse estrategias alternativas. Las diferentes estrategias deben reconocerse como igualmente válidas y discutirse sus méritos relativos. En particular, los estudiantes deben conocer el proceso utilizado en el algoritmo estándar de una manera informal. Por ejemplo,

28 + 5 = 20 + 8 + 5 = 20 + 13 = 33

Observamos que este argumento se reduce a una descomposición y dos aplicaciones de sumar dos números de un solo dígito, con una de las sumas que tiene lugar en la columna de las decenas.

Sumar dos números de dos dígitos sin que se lleve nada

Las estrategias mentales para sumar números de dos dígitos generalmente implican descomponer uno de ellos y reducir el problema a uno, o una combinación, de los casos ya discutidos. Ilustramos esto con el ejemplo 24 + 15.

Primero sume unos y luego sume decenas.

Este enfoque corresponde a

24 + 15 = (24 Ƴ) + 10 = 29 + 10 = 39

Este es el enfoque que se formaliza en el algoritmo estándar. En la recta numérica, esto corresponde al conteo de saltos como se ilustra a continuación.

Primero suma las decenas y luego las unidades.

Esto implica el cálculo

24 + 15 = 24 + 10 + 5 = 34 + 5 = 39

Este es un enfoque válido. De hecho, desde el punto de vista del desarrollo, a menudo se antepone a la técnica anterior. Es más complicado cuando se aplica algorítmicamente, por lo que es importante que los estudiantes que descubren naturalmente este método también comprendan el enfoque anterior.

En la recta numérica, esto corresponde a implementar el segundo y tercer saltos anteriores en el orden opuesto.

Sumar dos números de dos dígitos con transporte involucrado

El siguiente nivel de complicación implica la introducción de "acarreos". Ilustramos varias técnicas usando 28 + 15.

Primero sume unos y luego sume decenas

28 + 15 = 28 + 5 + 10 = 33 + 10 = 43

Primero sume las decenas y luego las unas

28 + 15 = 28 + 10 + 5 = 38 + 5 = 43

Esta técnica requiere volver a visitar las decenas después de que se hayan resuelto las unidades.

En esta técnica descomponemos un número para crear un complemento de decenas para el otro. Por lo general, esto se puede hacer de más de una manera. Por ejemplo

28 & # 43 15 & # 61 28 & # 43 2 & # 43 13 & # 61 30 & # 43 13 & # 61 43 y 28 & # 43 15 & # 61 23 & # 43 5 & # 43 15 & # 61 23 y 43 20 y 61 43.

Nuestra elección de enfoque para la resta depende de los números involucrados. Por lo general, calculamos 20 - 17 usando la suma complementaria, mientras que calculamos 20 - 3 directamente quitando. Ambos corresponden al mismo hecho de suma 20 = 17 + 3.

Una vez que los estudiantes comienzan a usar un algoritmo, es menos probable que desarrollen nuevas estrategias. Por lo tanto, es importante que los estudiantes tengan la oportunidad de desarrollar una variedad de estrategias útiles antes de introducir un algoritmo.

Se puede pensar en la resta como eliminar algunos objetos de un conjunto de objetos.

Esto se puede mostrar en la recta numérica. Se puede pensar en una resta como un salto hacia la izquierda en la recta numérica.

Entonces, para 9 y menos 7 y # 61 2, comenzamos en el número nueve y damos un salto de 7 a la izquierda.

Resta como diferencia

Hay otra forma de pensar en la resta, como la diferencia entre el tamaño de dos colecciones. Esto nos ayuda a responder preguntas del tipo "¿Cuál es la diferencia entre 9 y 7?" Esto se puede mostrar usando contadores.

Alineamos 9 contadores y luego alineamos 7 contadores, colocándolos de modo que haya una correspondencia uno a uno entre las colecciones en la medida de lo posible:

y podemos ver que hay una diferencia de 2 en el tamaño de las colecciones. Entonces decimos que la diferencia entre 9 y 7 es 2.

La diferencia surge naturalmente cuando se comparan las alturas de dos personas.

Por ejemplo, Harry mide 123 cm de altura y Ally mide 112 cm de altura. ¿Cuánto más alto es Harry que Ally? Calculamos la diferencia entre la altura de Harry y la altura de Ally y concluimos que Harry es 11 cm más alto que Ally o que Ally es 11 cm más bajo que Harry.

A veces sumamos para resolver situaciones de resta. Para calcular la resta 5 y menos 2, podemos preguntar "¿Qué le sumas a 2 para llegar a 5?" Esto también se puede ilustrar en la recta numérica.

Un ejemplo de esto es “tengo 5 lápices y mi hermano tiene 2, entonces tengo 3 lápices más que mi hermano”.

Una vez que los estudiantes hayan comprendido la resta con números de un solo dígito y números de dos dígitos hasta alrededor de veinte, entonces deben progresar a los números más grandes. Es en este punto que el estudiante necesitará una comprensión firme del valor posicional. Muchas de las estrategias para los números superiores a 20 se basan en las que se utilizan con los números pequeños.

Usar objetos concretos para restar más allá de 20

Cuando exploramos el uso de objetos de hormigón para sumar más allá de 20, usamos palos de hielo y explicamos que el siguiente paso sería usar bloques MAB. En esta sección, usaremos bloques MAB y permitiremos que el lector determine cómo se pueden usar los palitos de hielo como paso introductorio para la resta.

Resta sin negociar

Por ejemplo, para restar 34 de 76 hacemos el número 76 usando 7 decenas y 6 unidades con MAB

luego quite 4 unidades y 3 decenas, lo que deja 42.

El intercambio, o descomposición, se basa en que el estudiante comprenda que se pueden intercambiar diez unidades por una decena.

Para calcular 76 y menos 39, hacemos el número 76 usando 7 decenas y 6 unidades con MAB.

El siguiente paso es tomar 9 unidades. Para tener suficientes, necesitamos "cambiar" uno de diez por diez:

haciendo 6 decenas y 16 unidades

Ahora podemos tomar 9 unidades y 3 decenas, lo que resulta en

el cálculo 76 & menos 39 & # 61 37.

El comercio es un paso importante.

76 y menos 39
= 60 y # 43 16 y menos (30 y # 43 9)
= 60 y menos 30 y # 43 16 y menos 9
= 30 + 7
= 37

Resta de un solo dígito sin cambios en "columnas"

Cuando un estudiante ve 68 - 5, debe reconocer que el cálculo mental no es mucho más complicado que 8 - 5 y concluir que 68 - 5 & # 61 63. Al hacerlo, está descomponiendo mentalmente 68 y calculando

68 − 5 = 60 + (8 − 5) = 63

La descomposición es un componente básico de todos los algoritmos de resta.

Resta de un solo dígito con cambio a "columnas"

Se debe pedir a los estudiantes que consideren cálculos como 62 - 5 y # 61 57 y se les debe animar a realizar la resta de diferentes maneras, incluyendo:

    Contando hacia atrás y siguiendo los pasos.
    Por ejemplo, />

Resta por suma igual

El principio de igual suma es la observación de que si suma la misma cantidad a dos números, su diferencia no cambia.

37 y menos 18 y # 61 39 y menos 20 y # 61 19,

hemos agregado 2 a 37 y 18 para facilitar el cálculo.

Tenga en cuenta que el principio de igual suma también nos dice que si resta la misma cantidad de dos números, su diferencia no cambia. Esto se puede usar en una resta mental como

115 − 65 = 100 − 50 = 50 o 115 y menos 65 y 61 110 y menos 60 y 61 50.

LA RELACIÓN ENTRE RESTA Y ADICION

Cada enunciado de suma da dos enunciados de resta.

Por ejemplo, 4 & # 43 6 & # 61 10 da 10 & menos 4 & # 61 6 y 10 & menos 6 & # 61 4.

A medida que los niños comprenden la suma y la resta, es importante que se acostumbren a hacer estas conexiones.

Podemos usar la suma para resolver problemas de resta porque la resta es la operación inversa a la suma. Para “deshacer” una suma realizamos la resta correspondiente y viceversa. Esta relación hace que sea tentador suponer que la resta se comporta de manera similar a la suma, pero esta suposición es incorrecta y este pensamiento puede ser la fuente de muchos errores en aritmética.

La adición satisface las siguientes propiedades importantes.

La propiedad de cualquier orden para la suma establece que se puede sumar una lista de números enteros de dos en dos en cualquier orden para obtener el mismo resultado.

La propiedad de la suma de cualquier orden es una consecuencia de dos propiedades.

La suma es conmutativa, en el sentido de que a & # 43 b & # 61 b ​​& # 43 a para todos los números ay b.
Por ejemplo, 14 & # 43 6 & # 61 6 & # 43 14

La suma es asociativa, en el sentido de que (a & # 43 b) & # 43 c & # 61 a & # 43 (b & # 43 c) para todos los números,
by c.

Por ejemplo, (3 & # 43 2) & # 43 6 & # 61 3 & # 43 (2 & # 43 6)

La resta no se comporta tan bien como la suma.

La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 2 - 4 & ne 4 - 2.

La resta no es asociativa. Por ejemplo, 6 - (4 - 1) & ne (6 - 4) - 1.

En particular, la propiedad de cualquier orden de la suma no se transfiere a la resta. Con la resta, el orden en el que se realizan las operaciones es fundamental. No observar y comprender esto puede causar muchos errores aritméticos.

Escriba los siguientes números en la pizarra (o elija algunos propios):

16 29 4 13 42 10 19 23 17 30 6 46

Pida a los estudiantes que seleccionen dos o tres números y muestren una conexión entre ellos usando & # 43 para sumar o & menos para restar y & # 61 para la igualdad y cualquiera de las estrategias que los estudiantes conocen para sumar o restar.

Un algoritmo funciona de manera más eficiente si usa una pequeña cantidad de estrategias que se aplican en todas las situaciones. Por tanto, los algoritmos no recurren a técnicas, como el uso de casi dobles, que son eficientes en unos pocos casos pero no útiles en la mayoría de los casos. El beneficio de un algoritmo es que puede convertirse en un proceso automatizado que, una vez comprendido, proporciona un medio preciso y eficiente para encontrar una solución. Los algoritmos son herramientas confiables y eficientes en matemáticas.

Los algoritmos de suma y resta no deben introducirse hasta que los estudiantes hayan comenzado a familiarizarse con la suma y resta básica hasta veinte.

La mayoría de los algoritmos de suma y resta se basan en el valor posicional para su implementación. Por lo tanto, la capacidad de alinear números en sus columnas de valor posicional es un precursor de la introducción de los algoritmos de suma y resta.

el algoritmo de adición estándar

Como procedimiento, el algoritmo estándar para la suma funciona en los siguientes pasos.

  • Alinee los dígitos de los números en columnas de valor posicional correspondiente.
  • Dibuje una línea debajo del último número que está agregando y coloque un & # 43 en algún lugar para anotar qué operación está realizando.
  • Comenzando desde la columna más a la derecha y trabajando de derecha a izquierda, realice el siguiente subprocedimiento para cada columna.
  • Agregue los dígitos en la columna, incluidos los dígitos de acarreo.
  • Escribe el dígito de las unidades de tu respuesta en la misma columna, pero debajo de la línea.
  • Anote cualquier dígito de acarreo en la siguiente columna a la izquierda.

Si queremos sumar 39 a 45 podemos usar el algoritmo de suma.

Decimos, "9 unos más 5 unos son 14 unos".

14 unidades es lo mismo que 1 decena y 4 unidades.

Escribe 4 en la columna de las unidades y lleva 1 decena
en la columna de las decenas.

Ahora mira la columna de las decenas.

Decimos, '3 decenas & # 43 4 decenas & # 43 1 decenas
(llevado desde antes) & # 61 8 decenas '.

Escribe el 8 en la columna de las decenas.

39 + 45 = 84

El algoritmo de suma se puede ampliar para agregar cualquier número de números de cualquier tamaño. Todo lo que necesita hacer es agregar las columnas de derecha a izquierda y continuar cada vez que obtenga diez o más.

Los dígitos se alinean en columnas para garantizar que se agreguen términos similares. Los dígitos en fuentes más pequeñas son los dígitos de acarreo y son recordatorios para agregar valores en esa columna generada a partir de la suma de los dígitos en la columna anterior (es decir, inmediatamente a la derecha). En el algoritmo estándar, la ubicación de los dígitos de acarreo es habitual, al igual que la ubicación del signo +.

Un error temprano común es desalinear las columnas. Por ejemplo, calcular mal 278 + 54 al escribir

Ingresar un número de dos dígitos en una sola columna

Otro error común es ingresar un número de dos dígitos en una sola columna, destruyendo así la alineación del valor posicional en la solución. Por ejemplo,

Olvidar agregar los dígitos de acarreo en el cálculo

Sumando varios números juntos

Cuando usamos el algoritmo estándar para sumar varios números, surgen nuevas situaciones.

Al implementar el algoritmo para sumar dos números, el proceso más complicado al que nos enfrentamos al sumar una columna de dígitos es la suma de dos números de un solo dígito. Cuando usamos el algoritmo para sumar más de dos números, es posible que tengamos que usar aritmética mental para sumar un número de un solo dígito a un número de dos dígitos. Considere el siguiente ejemplo.

Al sumar los dígitos en la columna de las unidades calculamos 3 & # 43 9 & # 61 12 y luego 12 & # 43 6 & # 61 18. De manera similar, al sumar los dígitos en la columna de las decenas también necesitamos usar aritmética mental para sumar un número de un solo dígito a un número de dos dígitos.

En algunos casos, los dígitos de acarreo son mayores que 1.

Cuando agregamos una lista larga de números, la suma de una columna puede ser un número de tres dígitos. En este caso, necesitaremos agregar un número de un solo dígito a un número de tres dígitos, y el acarreo será un número de dos dígitos.

ALGORITMOS ESTÁNDAR DE RESTAURACIÓN

Necesitamos un algoritmo para la resta, al igual que tenemos un algoritmo para la suma. Los algoritmos deben ser robustos y menos, es decir, deben ser fáciles de recordar e implementar.

Cuando cada dígito del "número inferior" es menor o igual que el dígito del "número superior", simplemente resta en cada columna.

Necesitamos lidiar con restas como

donde el 6 es mayor que el 4. Hay varios enfoques estándar para esto, y discutimos los dos más comunes.

El método de igual suma (también conocido como "pedir prestado y devolver")

Este método se basa en la observación de que sumar 10 a ambos números no cambia la diferencia entre ellos. Entonces escribimos

lo que significa que sumamos diez unos a 34 y uno diez a 16. El algoritmo funciona porque, aritméticamente, en realidad estamos restando 26 de 44. La diferencia entre 44 y 26 es la misma que la diferencia entre 34 y 16.

Esto se puede ver en la recta numérica:

Demuestre 42 & menos 17 & # 61 45 & menos 20 & # 61 25 en la recta numérica.

  1. Dibuje una recta numérica precisa en la pizarra, marcando puntos de referencia como 0, 50, los múltiplos de diez y los números 42 y 17.
  2. Corta una serpentina igual a la distancia en la recta numérica entre 42 y 17.
  3. Deslice la serpentina a lo largo de la recta numérica para mostrar que esto es igual a 45 y menos 20 y a la distancia entre 0 y 25

En la resta a continuación, estamos sumando "diez decenas" a la línea superior y sumando cien a la línea inferior.

Si hay muchos ceros, es posible que debamos realizar la misma suma en varias columnas antes de poder completar el cálculo, como se ilustra a continuación.

Puede verificar que 3004 & # 61 46 & # 43 2958.

La terminología tradicional para la adición equitativa, "pedir prestado y devolver", es un término desafortunado porque no describe con precisión el proceso. La frase "sume lo mismo a ambos números" es una descripción más precisa del principio de suma igual.

Método de descomposición (también conocido como "comercio")

El intercambio de nombres y la descomposición provienen de la representación del valor posicional de los números, según el modelo de los bloques de Diene (MAB). La resta de uno de la columna de las decenas y la suma de diez a la columna de las unidades puede verse como el bloque "largo" que se intercambia o descompone en diez "unidades".

Calculamos 34 - 16 escribiendo 34 como 20 & # 43 14 en lugar de 30 & # 43 4.

Algorítmicamente, indicamos la nueva reagrupación como una conversión de una decena a diez unidades.

Considere el siguiente cálculo

Esto puede complicarse con el método de descomposición si no tienes un buen sentido numérico. Podríamos implementar el cálculo de una columna a la vez, pero esto lleva mucho tiempo y puede volverse desordenado y difícil de seguir.

La gente suele decir "No tengo decenas". ¡Pero de hecho tienen 300 decenas! La clave es pensar en las 3000 como 300 decenas y desplazar una de las decenas a la columna de las unidades, dejándote con 299 decenas.

De esta manera, el cálculo se ve limpio y es rápido.

Las ventajas y desventajas de la suma igual
y algoritmos de descomposición

Una ventaja del método de suma igual es que es más fácil de usar y produce un diseño más ordenado y menos desordenado. Una desventaja del método es que las matemáticas que sustentan la técnica tienen una capa adicional de complejidad.

Una ventaja del método de descomposición es que inicialmente es más fácil de explicar, especialmente usando bloques de valor posicional. El algoritmo depende de expresar un número en un formato más conveniente. Una desventaja es que el diseño puede volverse desordenado, principalmente debido a todas las marcas, y esto puede generar más errores.

Calcule 842 y menos 678 usando la misma suma y usando la descomposición (comercio) para comparar las dos técnicas.

Comprender la suma y la resta de números enteros es esencial para el estudio posterior de la aritmética y las matemáticas. La multiplicación de números enteros se puede considerar como una suma repetida. La fluidez en la resta es esencial para la división. La resta se usa cuando realizamos cálculos de división, especialmente con el uso del algoritmo de división.

Un fuerte sentido numérico es una ventaja invaluable en la comprensión del álgebra. En particular, el proceso de descomposición y recombinación de números ayuda a comprender las manipulaciones algebraicas generales. Una base sólida en aritmética prepara al estudiante para el éxito en álgebra.

La aritmética del consumidor contiene una gran cantidad de aplicaciones de suma y resta. Estos incluyen cálculos básicos, como encontrar el cambio en una transacción financiera, calcular descuentos y reembolsos de hipotecas.

La suma, en el sentido de medir el tamaño de los conjuntos combinados, probablemente se hizo tan pronto como se contó la gente. La suma en sí no cambia 4 + 2 es seis independientemente de si lo escribe como 6, VI o . Así como la historia de los números tiene que ver con el desarrollo de los números, la historia de la suma y la resta es principalmente la historia de los procesos que la gente ha utilizado para realizar cálculos. El desarrollo de la suma y la resta no está documentado porque son esencialmente prehistóricos.Los registros escritos más antiguos de cálculos matemáticos se remontan a más de 4000 años de los antiguos egipcios y babilonios. Estos documentos incluyen problemas de suma y resta, por lo que sabemos que estas operaciones ya se usaban para entonces.

El desarrollo de la notación de valor posicional hindú-árabe permitió la implementación de algoritmos eficientes para la aritmética y fue probablemente la razón principal de la popularidad y rápida adopción de la notación.

La palabra algoritmo se deriva del nombre de Muhammad al-Khwārizmī, un astrónomo y matemático islámico. En el 825 d. C. escribió un tratado titulado Libro sobre la suma y la resta según el método de los indios. Fue traducido al latín en el siglo XII como Algoritmi de Numero Indorum. El término Algoritmi probablemente se refirió
al-Khwarizmi en lugar de un procedimiento general de cálculo, pero el nombre se ha quedado.

A History of Mathematics: An Introduction, 3rd Edition, Victor J. Katz, Addison-Wesley, (2008)

El Proyecto de Mejoramiento de la Educación Matemática en las Escuelas (TIMES) 2009-2011 fue financiado por el Departamento de Educación, Empleo y Relaciones Laborales del Gobierno de Australia.

Las opiniones expresadas aquí pertenecen al autor y no necesariamente representan las opiniones del Departamento de Educación, Empleo y Relaciones Laborales del Gobierno de Australia.


Lección 1.1: Country Countdown, Block Busters, Nivel C

Lección 1.2: Math Numberopolis, Crosstown Number Line, Nivel U

Lección 1.2: Acción de fracción, Mina de línea numérica, Nivel C

Lección 1.6 y amp 1.7: Cuenta atrás del país, Block Buster, Nivel U &erio Nivel V

Lección 1.10: Cuenta atrás del país, Block Buster, Nivel X &erio Nivel Y


Go Math Grade 3 Answer Key Capítulo 1 Sumas y restas dentro de 1,000 Prueba de evaluación

Este capítulo puede mejorar las habilidades matemáticas de los estudiantes, al consultar la clave de respuestas de Go Math Grade 3, el Capítulo 1, Sumas y restas dentro de 1,000 Assessment Test, y con la ayuda de esta clave de respuestas de la prueba de evaluación Go Math Grade 3, los estudiantes pueden obtener buenas calificaciones. en el examen.

Clave de respuestas de Go Math Grade 3 Capítulo 1 contiene todos los temas del capítulo 1 que ayuda a poner a prueba los conocimientos del estudiante. A través de esta prueba de evaluación, los estudiantes pueden verificar sus conocimientos. Esta prueba de evaluación también es útil para que los maestros sepan cuánto entendió un estudiante los temas.

Capítulo 1: Suma y resta dentro de 1,000 Prueba de evaluación

Prueba & # 8211 Página 1 & # 8211 Página No. 11

Pregunta 1.
Para los números 1a – 1d, elija Sí o No para saber si la suma es par.
una. 8 + 3
I. sí
ii. No

Explicación: Como 8 + 3 = 11, que es un número impar. Por tanto, la respuesta es no.

Pregunta 1.
B. 6 + 6
I. sí
ii. No

Explicación: Como 6 + 6 = 12, que es un número par. Entonces la respuesta es verdadera.

Pregunta 1.
C. 4 + 5
I. sí
ii. No

Explicación: Como 4 + 5 = 9, que es un número impar. Por tanto, la respuesta es no.

Pregunta 1.
D. 2 + 6
I. sí
ii. No

Explicación: Como 2 + 6 = 8, que es un número par. Entonces la respuesta es sí.

Pregunta 2.
Seleccione las oraciones numéricas que muestran la propiedad conmutativa de la suma. Marque todo lo que corresponda.
Opciones:
una. 9 + 7 = 16 + 0
B. 9 + 7 = 7 + 9
C. (4 + 5) + 7 = (5 + 4) + 7
D. 7 + (4 + 5) = (7 + 4) + 5

Explicación: Las & # 8220 Leyes conmutativas & # 8221 dicen que podemos intercambiar números y obtener la misma respuesta cuando sumamos a + b = b + a. Por lo tanto, 9 + 7 = 7 + 9 y (4 + 5) + 7 = (5 + 4) + 7 muestra la propiedad conmutativa de la suma.

Pregunta 3.
Seleccione los números que se redondean a 500 cuando se redondean a la centena más cercana. Marque todo lo que corresponda.
Opciones:
una. 438
B. 542
C. 450
D. 483
mi. 567

Explicación: Sabemos que 542, 450 y 483 están entre 400 y 500 y está más cerca de 500. Entonces, 483 redondeado a la centena más cercana es 500.

Pregunta 4.
Hay 165 autos en el estacionamiento. Complete la tabla para mostrar 165 redondeado a la decena más cercana.

Explicación: Redondear 165 a la decena más cercana = 170.
1 centena, 7 decenas y 0 unidades = 170.

Prueba & # 8211 Página 2 & # 8211 Página No. 12

Pregunta 5.
Escribe cada oración numérica en el cuadro debajo de la mejor estimación de la suma.
281 + 125 = ■ 236 + 119 = ■
242 + 128 = ■ 309 + 135 = ■

Respuesta:
281 + 125 = 300 + 100 = 400 236 + 119 = 200 + 100 = 300
242 + 128 = 200 + 100 = 300 309 + 135 = 300 + 100 = 400

Pregunta 6.
Abby y Cruz están jugando. La puntuación de Abby es de 586 puntos. La puntuación de Cruz es 754. Abby estima que necesita unos 200 puntos más para alcanzar la puntuación de Cruz. ¿Cómo calculó ella? Explicar.

Respuesta: Cruz redondeó los puntos estimados a la centena más cercana.

Explicación: Cruz redondeó 586 a 600 y 754 a 800. Luego calculó la diferencia para estimar puntos = 800 - 600 = 200.

Pregunta 7.
La tabla muestra cuántas conchas recogió cada persona.

Para los números 7a-7d, seleccione Verdadero o Falso para cada declaración.
una. Melba recogió unas 40 conchas más que Pablo.
I. Cierto
ii. Falso

Explicación:
Melba recogió 455 conchas y Pablo recogió 421 conchas
Diferencia entre ambos = 455 - 421 = 34 que está cerca de 40.

Pregunta 7.
B. Melba y Pablo recolectaron más de 800 proyectiles.
I. Cierto
ii. Falso

Explicación: Suma de conchas recolectadas por Melba y Pablo = 455 + 421 = 876.

Pregunta 7.
C. Amber recolectó unas 60 conchas menos que Pablo.
I. Cierto
ii. Falso

Explicación: Diferencia entre las conchas recolectadas de Amber y Pablo = 421 - 382 = 39.

Pregunta 7.
D. Amber, Melba y Pablo recolectaron más de 1.100 proyectiles.
I. Cierto
ii. Falso

Explicación: Suma de conchas recolectadas las tres = 382 + 455 + 421 = 1258.

Prueba & # 8211 Página 3 & # 8211 Página No. 13

Pregunta 8.
Mikio condujo 58 millas el sábado. El domingo condujo 23 millas. ¿Cuántas millas condujo el sábado y el domingo? Explique cómo resolvió el problema.
_____ millas

Explicación:
No de millas conducidas el sábado = 58 millas
No de millas conducidas el domingo = 23 millas
Número total de millas que condujo tanto el sábado como el domingo = 58 + 23 = 81 millas.

Pregunta 9.
Elija la propiedad que hace que el enunciado sea verdadero.
La La propiedad de la suma describe la oración numérica 17 + 1 = 1 + 17.
________

La La propiedad de la suma describe la oración numérica 17 + 1 = 1 + 17.

Utilice la tabla para 10-12.

Pregunta 10.
La tabla muestra el número de estudiantes que visitan el zoológico cada día.
¿Cuántos estudiantes visitaron el zoológico el miércoles y el jueves?
_____ estudiantes

Explicación: No de estudiantes visitaron el zoológico el miércoles y jueves = 349 + 508 = 857 estudiantes.

Pregunta 11.
¿Cuántos estudiantes más visitaron el zoológico el miércoles que el lunes?
_____ estudiantes

Explicación: No de estudiantes visitaron el zoológico el miércoles que el lunes = 349 - 246 = 103.

Pregunta 12.
¿Cuántos estudiantes más visitaron el zoológico el lunes y martes que el miércoles?
_____ estudiantes

Explicación: No de estudiantes visitaron el zoológico el lunes y martes que el miércoles = (246 + 418) - 349 = 315.

Prueba & # 8211 Página 4 & # 8211 Página No. 14

Pregunta 13.
Ayuda a Ben a encontrar la suma.
2 4 6
3 2 1
+1 2 8
———-
695

Para los números 13a-13d, elija Sí o No para decirle a Ben cuándo reagruparse.
una. Reagrupar los unos.
I. sí
ii. No

Pregunta 13.
B. Suma los diez reagrupados.
I. sí
ii. No

Pregunta 13.
C. Reagrupa las decenas.
I. sí
ii. No

Pregunta 13.
D. Suma los cien reagrupados.
I. sí
ii. No

Pregunta 14.
Avery envió 58 invitaciones por correo electrónico a una fiesta. Hasta el momento, respondieron 37 personas. ¿Cuántas personas aún necesitan responder? Dibuja saltos y rotula la recta numérica para mostrar tu pensamiento.

_____ correos electrónicos.

Explicación:

Dado que se envían un total de 58 invitaciones por correo electrónico a una fiesta
No de personas respondieron hasta ahora = 37
De la siguiente figura, no quedaron personas para responder = 1 + 10 + 10
= 21 personas.

Pregunta 15.
Hay 842 asientos en el auditorio de la escuela. 138 asientos necesitan reparaciones. ¿Cuántos asientos no necesitan reparación? Muestra tu trabajo.
_____ asientos

Explicación: Total de asientos en el auditorio de la escuela = 842
No de asientos necesitan reparación = 138
Por lo tanto, no de asientos que no es necesario reparar = 842 - 138 = 704 asientos.

Pregunta 16.
Madison resuelve este problema. Ella dice que la diferencia es 419. Explique el error que cometió Madison. ¿Cuál es la diferencia correcta?
6 4 5
−2 3 6
———–
_____

Explicación: Cuando Madison combinó las decenas y las unidades, debería haber reagrupado 1 decena como 10 unidades para restar 36 de 45. Entonces le quedarían 0 decenas y 9 unidades. La diferencia es 409, no 419.

Prueba & # 8211 Página 5 & # 8211 Página No. 15

Pregunta 17.
La escuela Radburn recicla latas de aluminio para recaudar fondos. Los estudiantes de tercer grado han recolectado 329 latas hasta ahora. Su objetivo es recolectar más de 500 latas. ¿Cuál es la menor cantidad de latas que necesitan recolectar para alcanzar su objetivo? Completa el modelo de barra y explica cómo usarlo para encontrar la parte desconocida.

_____ latas

Explicación:

El modelo dado muestra un total de 500 y una parte de 329. La parte desconocida representa el número de latas que quedan por recolectar. Resolviendo mediante resta: 500 - 329 = 171. Entonces, necesitan recolectar 1 lata más que 171, que es 172.

Pregunta 18.
El Centro de Ciencias exhibe 236 mariposas. El número de escarabajos en exhibición es 89 menos que el número de mariposas.
Parte A
¿Aproximadamente cuántos escarabajos se exhiben en el Centro de Ciencias? Explicar.
sobre _____ escarabajos

Explicación:
Dado que se han mostrado 236 mariposas en el Centro de Ciencias, redondeando al valor más cercano = 240
El número de escarabajos mostrados es 89 menos que el número de mariposas, después de redondear = 90
Por lo tanto, no se muestran escarabajos = 240 - 90 = 150.

Pregunta 18.
Parte B
¿Cuántas mariposas y escarabajos se exhiben en el Centro de Ciencias? Muestra tu trabajo.
_____ mariposas y escarabajos

Respuesta: 383 mariposas y escarabajos.

Explicación:
Dado el número de mariposas = 236
No de escarabajos = 236 - 89 = 147
No total de escarabajos y mariposas = 236 + 147 = 383.

Prueba & # 8211 Página 6 & # 8211 Página No. 16

Pregunta 19.
Elena usó 74 + 37 = 111 para verificar su resta. ¿Qué problema de matemáticas podría estar revisando? Marque todo lo que corresponda.
Opciones:
una. 74 - 37 = ■
B. 111 - 74 = ■
C. 111 + 37 = ■
D. 111 - 37 = ■

Explicación: Ella podría usar cualquiera de las dos opciones b. 111 - 74 = 37 u opción d. 111 - 37 = 74.

Pregunta 20.
Shawn y Steve son cazadores de rocas. Las tablas muestran los tipos de rocas que recolectaron.

Parte A
¿Quién recogió más muestras de rocas? ¿Cuántos coleccionó? Aproximadamente, ¿cuántos más recolectó? Explique cómo resolvió el problema.
__________

Respuesta: Shawn recolectó más muestras de rocas que son 288.

Explicación:
Suma de muestras de rocas recolectadas por Shawn = (127 + 65 + 96) = 288
Suma de muestras de rocas recolectadas por Steve = (79 + 109 + 93) = 281
Por lo tanto, Shawn recolectó más muestras de rocas en comparación con Steve.
Restando 288 - 281 = 9 (después de redondear) = & gt 10
Shawn tiene alrededor de 10 muestras de rocas más.

Pregunta 20.
Parte B
¿Shawn y Steve tienen la mayor cantidad de qué tipo de rock? ¿Cuántas rocas de ese tipo tienen? Muestra tu trabajo.

Respuesta: Rocas de cuarzo, 236 rocas 127 + 109 = 236.

Explicación:
Shawn recolectó 127 rocas de cuarzo donde Steve recolectó 109 rocas de cuarzo.
En total, ambos recolectaron 236 rocas de cuarzo, que son las más numerosas en comparación con otros tipos.

Esta prueba de evaluación ayuda a los estudiantes a verificar sus habilidades matemáticas. Las preguntas del Capítulo 10 de Go Math Grade 3 se explican en detalle para que los estudiantes las entiendan fácilmente.


Contenido

La suma se escribe usando el signo más "+" entre los términos [2] [3], es decir, en notación infija. El resultado se expresa con un signo igual. Por ejemplo,

También hay situaciones en las que se "entiende" la suma, aunque no aparezca ningún símbolo:

  • Un número entero seguido inmediatamente por una fracción indica la suma de los dos, llamado numero mixto. [4] Por ejemplo,
    3½ = 3 + ½ = 3.5.
    Esta notación puede causar confusión, ya que en la mayoría de los otros contextos, la yuxtaposición denota multiplicación. [5]

La suma de una serie de números relacionados se puede expresar mediante la notación sigma mayúscula, que denota de forma compacta la iteración. Por ejemplo,

Los números o los objetos que se van a sumar en la suma general se denominan colectivamente como condiciones, [6] el sumandos [7] [8] [9] o el sumandos [10] esta terminología se traslada a la suma de varios términos. Esto debe distinguirse de factores, que se multiplican. Algunos autores llaman al primer sumando el augend. [7] [8] [9] De hecho, durante el Renacimiento, muchos autores no consideraron el primer sumando un "sumando" en absoluto. Hoy en día, debido a la propiedad conmutativa de la suma, "augend" rara vez se usa, y ambos términos generalmente se denominan sumandos. [11]

Toda la terminología anterior se deriva del latín. "Addition" y "add" son palabras en inglés derivadas del verbo latino addere, que a su vez es un compuesto de anuncio "para y atrevimiento "dar", de la raíz protoindoeuropea * deh₃- "dar" así a agregar Es para dar a. [11] Usando el sufijo gerundivo -Dakota del Norte da como resultado "sumando", "cosa que se agregará". [a] Asimismo de augere "aumentar", se obtiene "augend", "cosa que aumentará".

"Sum" y "summand" derivan del sustantivo latino suma "el más alto, el de arriba" y el verbo asociado summare. Esto es apropiado no solo porque la suma de dos números positivos es mayor que cualquiera de los dos, sino porque era común que los antiguos griegos y romanos sumaran hacia arriba, contrariamente a la práctica moderna de sumar hacia abajo, de modo que una suma era literalmente mayor que el sumandos. [13] Addere y summare se remontan al menos a Boecio, si no a escritores romanos anteriores como Vitruvio y Frontino. Boecio también utilizó varios otros términos para la operación de adición. Chaucer popularizó los términos posteriores del inglés medio "adden" y "added". [14]

El signo más "+" (Unicode: U + 002B ASCII: & amp # 43) es una abreviatura de la palabra latina et, que significa "y". [15] Aparece en trabajos matemáticos que se remontan al menos a 1489. [16]

La suma se utiliza para modelar muchos procesos físicos. Incluso para el simple caso de sumar números naturales, hay muchas interpretaciones posibles e incluso más representaciones visuales.

Combinando conjuntos Editar

Posiblemente, la interpretación más fundamental de la suma radica en combinar conjuntos:

  • Cuando dos o más colecciones disjuntas se combinan en una sola colección, el número de objetos en la colección única es la suma de los números de objetos en las colecciones originales.

Esta interpretación es fácil de visualizar, con poco peligro de ambigüedad. También es útil en matemáticas superiores (para la definición rigurosa que inspira, consulte § Números naturales a continuación). Sin embargo, no es obvio cómo se debe extender esta versión de la suma para incluir números fraccionarios o números negativos. [17]

Una posible solución es considerar colecciones de objetos que se pueden dividir fácilmente, como tartas o, mejor aún, barras segmentadas. [18] En lugar de combinar únicamente conjuntos de segmentos, las varillas se pueden unir de un extremo a otro, lo que ilustra otra concepción de la adición: agregar no las varillas sino las longitudes de las varillas.

Extender una longitud Editar

Una segunda interpretación de la suma proviene de extender una longitud inicial por una longitud determinada:

  • Cuando una longitud original se extiende en una cantidad determinada, la longitud final es la suma de la longitud original y la longitud de la extensión. [19]

La suma a + B se puede interpretar como una operación binaria que combina a y B, en un sentido algebraico, o puede interpretarse como la suma de B más unidades para a. Según la última interpretación, las partes de una suma a + B juegan roles asimétricos, y la operación a + B se considera que aplica la operación unaria +B a a. [20] En lugar de llamar a ambos a y B sumandos, es más apropiado llamar a la augend en este caso, ya que a juega un papel pasivo. La vista unaria también es útil cuando se habla de resta, porque cada operación de suma unaria tiene una operación de resta unaria inversa, y viceversa.

Conmutatividad Editar

La suma es conmutativa, lo que significa que uno puede cambiar el orden de los términos en una suma, pero aún así obtener el mismo resultado. Simbólicamente, si a y B son dos números, entonces

a + B = B + a.

El hecho de que la adición sea conmutativa se conoce como "ley conmutativa de la adición" o "propiedad conmutativa de la adición". Algunas otras operaciones binarias son conmutativas, como la multiplicación, pero muchas otras no lo son, como la resta y la división.

Asociatividad Editar

La suma es asociativa, lo que significa que cuando se suman tres o más números, el orden de las operaciones no cambia el resultado.

Como ejemplo, ¿debería la expresión a + B + C ser definido para significara + B) + C o a + (B + C)? Dado que la suma es asociativa, la elección de la definición es irrelevante. Para tres números cualesquiera a, B, y C, es cierto que (a + B) + C = a + (B + C). Por ejemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Cuando la suma se usa junto con otras operaciones, el orden de las operaciones se vuelve importante. En el orden estándar de operaciones, la suma tiene una prioridad menor que la exponenciación, las raíces enésimas, la multiplicación y la división, pero se le da la misma prioridad que la resta. [21]

Elemento de identidad Editar

Al agregar cero a cualquier número, la cantidad no cambia. El cero es el elemento de identidad para la suma, también conocido como identidad aditiva. En símbolos, para cualquier a,

a + 0 = 0 + a = a.

Esta ley se identificó por primera vez en Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta en 628 d.C., aunque lo escribió como tres leyes separadas, dependiendo de si a es negativo, positivo o cero en sí mismo, y usó palabras en lugar de símbolos algebraicos. Matemáticos indios posteriores refinaron el concepto alrededor del año 830, escribió Mahavira, "cero se vuelve lo mismo que lo que se le agrega", correspondiente al enunciado unario 0 + a = a . En el siglo XII, Bhaskara escribió: "En la adición de cifrado o sustracción, la cantidad, positiva o negativa, permanece igual", correspondiente al enunciado unario a + 0 = a . [22]

Sucesor Editar

Dentro del contexto de los enteros, la suma de uno también juega un papel especial: para cualquier entero a, el entero (a + 1) es el menor número entero mayor que a, también conocido como el sucesor de a. [23] Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2 y 7 es el sucesor de 6. Debido a esta sucesión, el valor de a + B también puede verse como el Bel sucesor de a, haciendo que la adición sea sucesión iterada. Por ejemplo, 6 + 2 es 8, porque 8 es el sucesor de 7, que es el sucesor de 6, por lo que 8 es el segundo sucesor de 6.

Unidades Editar

Para sumar numéricamente cantidades físicas con unidades, deben expresarse con unidades comunes. [24] Por ejemplo, agregar 50 mililitros a 150 mililitros da 200 mililitros. Sin embargo, si una medida de 5 pies se extiende por 2 pulgadas, la suma es 62 pulgadas, ya que 60 pulgadas es sinónimo de 5 pies. Por otro lado, generalmente no tiene sentido intentar sumar 3 metros y 4 metros cuadrados, ya que esas unidades son incomparables, este tipo de consideración es fundamental en el análisis dimensional.

Habilidad innata Editar

Los estudios sobre el desarrollo matemático que comenzaron alrededor de la década de 1980 han explotado el fenómeno de la habituación: los bebés miran por más tiempo situaciones que son inesperadas. [25] Un experimento seminal de Karen Wynn en 1992 con muñecos de Mickey Mouse manipulados detrás de una pantalla demostró que los bebés de cinco meses suponer 1 + 1 es 2, y se sorprenden comparativamente cuando una situación física parece implicar que 1 + 1 es 1 o 3. Este hallazgo ha sido confirmado desde entonces por una variedad de laboratorios que utilizan diferentes metodologías. [26] Otro experimento de 1992 con niños pequeños mayores, entre 18 y 35 meses, aprovechó su desarrollo del control motor al permitirles recuperar pelotas de ping-pong de una caja; los más jóvenes respondieron bien para números pequeños, mientras que los sujetos mayores pudieron calcular sumas hasta 5. [27]

Incluso algunos animales no humanos muestran una capacidad limitada para agregar, particularmente los primates. En un experimento de 1995 que imitó el resultado de Wynn en 1992 (pero usando berenjenas en lugar de muñecas), los monos macacos rhesus y tamarinos de cabeza blanca se comportaron de manera similar a los bebés humanos. Más dramáticamente, después de que le enseñaron el significado de los números arábigos del 0 al 4, un chimpancé pudo calcular la suma de dos números sin más entrenamiento. [28] Más recientemente, los elefantes asiáticos han demostrado una capacidad para realizar aritmética básica. [29]

Aprendizaje infantil Editar

Por lo general, los niños primero dominan el conteo. Cuando se les presenta un problema que requiere que se combinen dos elementos y tres elementos, los niños pequeños modelan la situación con objetos físicos, a menudo dedos o un dibujo, y luego cuentan el total. A medida que adquieren experiencia, aprenden o descubren la estrategia de "contar con": cuando se les pide que encuentren dos más tres, los niños cuentan de tres a dos y dicen "tres, cuatro, cinco"(generalmente marcando los dedos) y llegando a los cinco. Esta estrategia parece casi universal que los niños pueden aprender fácilmente de sus compañeros o maestros. [30] La mayoría la descubre de forma independiente. Con experiencia adicional, los niños aprenden a sumar más rápidamente explotando el conmutatividad de la suma contando desde el número mayor, en este caso, comenzando con tres y contando "cuatro, cinco. "Con el tiempo, los niños comienzan a recordar ciertas sumas (" vínculos numéricos "), ya sea a través de la experiencia o de la memorización. Una vez que algunos hechos se memorizan, los niños comienzan a derivar hechos desconocidos de otros conocidos. Por ejemplo, a un niño se le pide que sume seis y siete pueden saber que 6 + 6 = 12 y luego razonar que 6 + 7 es uno más, o 13. [31] Tales hechos derivados se pueden encontrar muy rápidamente y la mayoría de los estudiantes de primaria eventualmente confían en una mezcla de memorizados y derivados hechos para agregar con fluidez. [32]

Diferentes naciones introducen números enteros y aritmética en diferentes edades, y muchos países enseñan la suma en la educación preescolar. [33] Sin embargo, en todo el mundo, la adición se enseña al final del primer año de la escuela primaria. [34]

Editar tabla

A los niños a menudo se les presenta la tabla de suma de pares de números del 0 al 9 para que los memoricen. Sabiendo esto, los niños pueden realizar cualquier adición.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Sistema decimal Editar

El prerrequisito para la suma en el sistema decimal es recordar o derivar con fluidez los 100 "hechos de suma" de un solo dígito. Uno podría memorizar todos los hechos de memoria, pero las estrategias basadas en patrones son más esclarecedoras y, para la mayoría de las personas, más eficientes: [35]

  • Propiedad conmutativa: Mencionado anteriormente, usando el patrón a + b = b + a reduce el número de "hechos de suma" de 100 a 55.
  • Uno o dos mas: Sumar 1 o 2 es una tarea básica y se puede lograr contando o, en última instancia, con la intuición. [35]
  • Cero: Dado que cero es la identidad aditiva, sumar cero es trivial. No obstante, en la enseñanza de la aritmética, a algunos estudiantes se les presenta la suma como un proceso que siempre aumenta los sumandos. Los problemas verbales pueden ayudar a racionalizar la "excepción" del cero. [35]
  • Dobles: Sumar un número a sí mismo está relacionado con contar de dos en dos y con la multiplicación. Los datos dobles forman la columna vertebral de muchos hechos relacionados, y los estudiantes los encuentran relativamente fáciles de comprender. [35]
  • Casi dobles: Sumas como 6 + 7 = 13 se pueden derivar rápidamente del hecho de dobles 6 + 6 = 12 sumando uno más, o de 7 + 7 = 14 pero restando uno. [35]
  • Cinco y diez: Las sumas de la forma 5 + x y 10 + x generalmente se memorizan temprano y se pueden usar para derivar otros hechos. Por ejemplo, 6 + 7 = 13 se puede derivar de 5 + 7 = 12 agregando uno más. [35]
  • Haciendo diez: Una estrategia avanzada usa 10 como intermedio para sumas que involucran 8 o 9, por ejemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. [35]

A medida que los estudiantes crecen, memorizan más hechos y aprenden a derivar otros hechos de manera rápida y fluida. Muchos estudiantes nunca memorizan todos los hechos, pero aun así pueden encontrar rápidamente cualquier hecho básico. [32]

Llevar Editar

El algoritmo estándar para agregar números de varios dígitos es alinear los sumandos verticalmente y agregar las columnas, comenzando por la columna de las unidades a la derecha. Si una columna excede nueve, el dígito adicional se "traslada" a la siguiente columna. Por ejemplo, en la suma 27 + 59

7 + 9 = 16, y el dígito 1 es el acarreo. [b] Una estrategia alternativa comienza a sumar desde el dígito más significativo de la izquierda. Esta ruta hace que el transporte sea un poco más torpe, pero es más rápido para obtener una estimación aproximada de la suma. Existen muchos métodos alternativos.

Fracciones decimales Editar

Las fracciones decimales se pueden sumar mediante una simple modificación del proceso anterior. [36] Uno alinea dos fracciones decimales una encima de la otra, con el punto decimal en la misma ubicación. Si es necesario, se pueden agregar ceros finales a un decimal más corto para que tenga la misma longitud que el decimal más largo. Finalmente, se realiza el mismo proceso de suma que el anterior, excepto que el punto decimal se coloca en la respuesta, exactamente donde se colocó en los sumandos.

Como ejemplo, 45.1 + 4.34 se puede resolver de la siguiente manera:

Notación científica Editar

Edición no decimal

La suma en otras bases es muy similar a la suma decimal. Como ejemplo, se puede considerar la suma en binario. [37] Agregar dos números binarios de un solo dígito es relativamente simple, usando una forma de llevar:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, llevar 1 (ya que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1))

Agregar dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que 1 debe agregarse a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito si el resultado es igual o superior al valor de la base (10), el dígito de la izquierda se incrementa:

5 + 5 → 0, lleva 1 (ya que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1)) 7 + 9 → 6, lleva 1 (ya que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1))

Esto se conoce como que lleva. [38] Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento es "llevar" la cantidad excedente dividida por la base (es decir, 10/10) a la izquierda, sumándola al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso mayor en un factor igual a la base. El transporte funciona de la misma manera en binario:

En este ejemplo, se suman dos números: 011012 (1310) y 101112 (2310). La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. Comenzando en la columna de la derecha, 1 + 1 = 102 . El 1 se lleva a la izquierda y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna más a la derecha. Se agrega la segunda columna de la derecha: 1 + 0 + 1 = 102 de nuevo se lleva el 1 y se escribe 0 en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 112 . Esta vez, se lleva un 1 y se escribe un 1 en la fila inferior. Proceder así da la respuesta final 1001002 (3610).

Computadoras Editar

Las computadoras analógicas trabajan directamente con cantidades físicas, por lo que sus mecanismos de adición dependen de la forma de los sumandos. Un sumador mecánico podría representar dos sumandos como las posiciones de los bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden agregar con una palanca promediadora. Si los sumandos son las velocidades de rotación de dos ejes, se pueden agregar con un diferencial. Un sumador hidráulico puede sumar las presiones en dos cámaras explotando la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas en un conjunto de pistones. La situación más común para una computadora analógica de propósito general es agregar dos voltajes (referidos a tierra), esto se puede lograr aproximadamente con una red de resistencias, pero un mejor diseño aprovecha un amplificador operacional. [39]

La adición también es fundamental para el funcionamiento de las computadoras digitales, donde la eficiencia de la adición, en particular el mecanismo de transporte, es una limitación importante para el rendimiento general.

El ábaco, también llamado marco de conteo, es una herramienta de cálculo que se usó siglos antes de la adopción del sistema de numeración moderno escrito y todavía es ampliamente utilizado por comerciantes, comerciantes y empleados en Asia, África y en otros lugares a los que se remonta en por lo menos 2700-2300 AC, cuando se usó en Sumer. [40]

Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642 [41] fue la primera máquina sumadora operativa. Hizo uso de un mecanismo de transporte asistido por gravedad. Fue la única calculadora mecánica operativa en el siglo XVII [42] y la primera computadora digital automática. La calculadora de Pascal estaba limitada por su mecanismo de transporte, que obligaba a sus ruedas a girar solo en una dirección para poder agregar. Para restar, el operador tenía que usar el complemento de la calculadora de Pascal, que requería tantos pasos como una suma. Giovanni Poleni siguió a Pascal, construyendo la segunda calculadora mecánica funcional en 1709, un reloj calculador hecho de madera que, una vez configurado, podía multiplicar dos números automáticamente.

Los sumadores ejecutan sumas de enteros en computadoras digitales electrónicas, generalmente usando aritmética binaria. La arquitectura más simple es el sumador de acarreo de ondulación, que sigue el algoritmo estándar de varios dígitos. Una ligera mejora es el diseño de salto de acarreo, de nuevo siguiendo la intuición humana uno no realiza todos los acarreos en el cálculo de 999 + 1, pero se pasa por alto el grupo de 9 y salta a la respuesta. [43]

En la práctica, la suma computacional se puede lograr mediante operaciones lógicas XOR y AND bit a bit junto con operaciones de desplazamiento de bits como se muestra en el pseudocódigo siguiente. Tanto las puertas XOR como las AND son fáciles de realizar en lógica digital, lo que permite la realización de circuitos sumadores completos que, a su vez, pueden combinarse en operaciones lógicas más complejas. En las computadoras digitales modernas, la suma de enteros suele ser la instrucción aritmética más rápida, pero tiene el mayor impacto en el rendimiento, ya que subyace a todas las operaciones de punto flotante, así como a tareas básicas como la generación de direcciones durante el acceso a la memoria y la obtención de instrucciones durante la ramificación. Para aumentar la velocidad, los diseños modernos calculan dígitos en paralelo, estos esquemas se conocen con nombres como carry select, carry lookahead y el pseudocarry de Ling. Muchas implementaciones son, de hecho, híbridos de estos tres últimos diseños. [44] [45] A diferencia de la suma en papel, la suma en una computadora a menudo cambia los sumandos. En el ábaco antiguo y en el tablero de adición, ambos sumandos se destruyen, quedando solo la suma. La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue lo suficientemente fuerte como para que los primeros textos latinos a menudo afirmaran que en el proceso de sumar "un número a un número", ambos números desaparecen. [46] En los tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza la leyenda con la suma, pero conserva la suma. [47] En un lenguaje de programación de alto nivel, evaluar a + B tampoco cambia a o B si el objetivo es reemplazar a con la suma esto debe ser solicitado explícitamente, típicamente con la declaración a = a + B . Algunos lenguajes como C o C ++ permiten abreviar esto como a += B .

En una computadora, si el resultado de una suma es demasiado grande para almacenarlo, se produce un desbordamiento aritmético que da como resultado una respuesta incorrecta. El desbordamiento aritmético imprevisto es una causa bastante común de errores de programa. Estos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de descubrir y diagnosticar porque pueden manifestarse solo para conjuntos de datos de entrada muy grandes, que es menos probable que se utilicen en pruebas de validación. [48] ​​El problema del año 2000 fue una serie de errores en los que se produjeron errores de desbordamiento debido al uso de un formato de 2 dígitos durante años. [49]

Para probar las propiedades habituales de la adición, primero se debe definir la adición para el contexto en cuestión. La suma se define primero en los números naturales. En la teoría de conjuntos, la suma se extiende luego a conjuntos progresivamente más grandes que incluyen los números naturales: los números enteros, los números racionales y los números reales. [50] (En la educación matemática, [51] las fracciones positivas se agregan antes de que se consideren los números negativos, esta es también la ruta histórica. [52])

Números naturales Editar

Hay dos formas populares de definir la suma de dos números naturales a y B. Si uno define los números naturales como cardinalidades de conjuntos finitos (la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos en el conjunto), entonces es apropiado definir su suma de la siguiente manera:

  • Sea N (S) ser la cardinalidad de un conjunto S. Toma dos conjuntos separados A y B, con N (A) = a y N(B) = B . Luego a + B se define como N (A ∪ B) < displaystyle N (A cup B)>. [53]

Aquí, AB es la unión de A y B. Una versión alternativa de esta definición permite A y B posiblemente se superpongan y luego toma su unión disjunta, un mecanismo que permite separar elementos comunes y, por lo tanto, contar dos veces.

La otra definición popular es recursiva:

  • Dejar norte + ser el sucesor de norte, ese es el número siguiente norte en los números naturales, entonces 0 + = 1, 1 + = 2. Definir a + 0 = a . Defina la suma general de forma recursiva por a + (B + ) = (a + B) +. Por tanto, 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2. [54]

Nuevamente, existen variaciones menores sobre esta definición en la literatura. Tomada literalmente, la definición anterior es una aplicación del teorema de recursividad en el conjunto parcialmente ordenado norte 2. [55] Por otro lado, algunas fuentes prefieren usar un teorema de recursividad restringida que se aplica solo al conjunto de números naturales. Uno luego considera a para ser "fijo" temporalmente, aplica recursividad en B para definir una función "a + ", y pega estas operaciones unarias para todos a juntos para formar la operación binaria completa. [56]

Esta formulación recursiva de la adición fue desarrollada por Dedekind ya en 1854, y la ampliaría en las décadas siguientes. [57] Demostró las propiedades asociativas y conmutativas, entre otras, mediante inducción matemática.

Enteros Editar

La concepción más simple de un número entero es que consta de un valor absoluto (que es un número natural) y un signo (generalmente positivo o negativo). El número entero cero es un tercer caso especial, que no es ni positivo ni negativo. La definición de adición correspondiente debe proceder por casos:

  • Por un entero norte, deje |norte| sea ​​su valor absoluto. Dejar a y B ser enteros. Si alguno a o B es cero, trátelo como una identidad. Si a y B son ambos positivos, definen a + B = |a| + |B| . Si a y B son ambos negativos, definen a + B = −(|a| + |B|). Si a y B tener diferentes signos, definir a + B ser la diferencia entre |a| y |B|, con el signo del término cuyo valor absoluto es mayor. [58] Como ejemplo, −6 + 4 = −2 porque −6 y 4 tienen signos diferentes, sus valores absolutos se restan, y dado que el valor absoluto del término negativo es mayor, la respuesta es negativa.

Aunque esta definición puede ser útil para problemas concretos, el número de casos a considerar complica innecesariamente las pruebas. Entonces, el siguiente método se usa comúnmente para definir números enteros. Se basa en la observación de que cada entero es la diferencia de dos enteros naturales y que dos de esas diferencias, aB y CD son iguales si y solo si a + D = B + C . Entonces, uno puede definir formalmente los enteros como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales bajo la relación de equivalencia

(C, D) si y solo si a + D = B + C .

La clase de equivalencia de (a, B) contiene (aB, 0) si aB , o (0, Ba) de lo contrario. Si n es un número natural, se puede denotar +norte la clase de equivalencia de (norte, 0) y por -norte la clase de equivalencia de (0, norte). Esto permite identificar el número natural n con la clase de equivalencia +norte .

La suma de pares ordenados se realiza por componentes:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Un cálculo sencillo muestra que la clase de equivalencia del resultado depende solo de las clases de equivalencias de los sumandos y, por lo tanto, esto define una adición de clases de equivalencia, es decir, enteros. [59] Otro cálculo sencillo muestra que esta adición es la misma que la definición de caso anterior.

Esta forma de definir enteros como clases de equivalencia de pares de números naturales, se puede utilizar para incrustar en un grupo cualquier semigrupo conmutativo con propiedad de cancelación. Aquí, el semigrupo está formado por números naturales y el grupo es el grupo aditivo de números enteros. Los números racionales se construyen de manera similar, tomando como semigrupo los enteros distintos de cero con multiplicación.

Esta construcción también se ha generalizado con el nombre de grupo Grothendieck al caso de cualquier semigrupo conmutativo. Sin la propiedad de cancelación, el homomorfismo de semigrupo del semigrupo al grupo puede ser no inyectivo. Originalmente, el Grupo Grothendieck fue, más específicamente, el resultado de esta construcción aplicada a las clases de equivalencias bajo isomorfismos de los objetos de una categoría abeliana, con la suma directa como operación de semigrupo.

Números racionales (fracciones) Editar

La suma de números racionales se puede calcular utilizando el mínimo común denominador, pero una definición conceptualmente más simple implica solo la suma y la multiplicación de enteros:

La suma de fracciones es mucho más simple cuando los denominadores son los mismos en este caso, simplemente se pueden sumar los numeradores dejando el denominador igual: a c + b c = a + b c < displaystyle < frac > + < frac > = < frac >>, entonces 1 4 + 2 4 = 1 + 2 4 = 3 4 < displaystyle < frac <1> <4>> + < frac <2> <4>> = < frac <1 + 2> <4>> = < frac <3> <4> >>. [60]

La conmutatividad y asociatividad de la suma racional es una consecuencia fácil de las leyes de la aritmética de enteros. [61] Para una discusión más rigurosa y general, ver campo de fracciones.

Números reales Editar

Una construcción común del conjunto de números reales es la terminación de Dedekind del conjunto de números racionales. Un número real se define como un corte de racionales de Dedekind: un conjunto no vacío de racionales que se cierra hacia abajo y no tiene el elemento mayor. La suma de números reales a y B se define elemento por elemento:

Esta definición fue publicada por primera vez, en una forma ligeramente modificada, por Richard Dedekind en 1872. [63] La conmutatividad y asociatividad de la adición real definen inmediatamente al número real 0 como el conjunto de racionales negativos, se ve fácilmente como el identidad aditiva. Probablemente la parte más complicada de esta construcción relacionada con la suma es la definición de inversos aditivos. [64]

Desafortunadamente, lidiar con la multiplicación de cortes de Dedekind es un proceso caso por caso que requiere mucho tiempo, similar a la suma de números enteros con signo. [65] Otro enfoque es la compleción métrica de los números racionales. Un número real se define esencialmente como el límite de una secuencia de racionales de Cauchy, lim anorte. La suma se define término por término:

Esta definición fue publicada por primera vez por Georg Cantor, también en 1872, aunque su formalismo fue ligeramente diferente. [67] Hay que demostrar que esta operación está bien definida y se trata de secuencias co-Cauchy. Una vez realizada esa tarea, todas las propiedades de la suma real se derivan inmediatamente de las propiedades de los números racionales. Además, las otras operaciones aritméticas, incluida la multiplicación, tienen definiciones análogas y sencillas. [68]

Números complejos Editar

Los números complejos se suman sumando las partes real e imaginaria de los sumandos. [69] [70] Es decir:

(una + segundo yo) + (do + re yo) = (una + do) + (segundo + re) yo.

Usando la visualización de números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos A y B, interpretado como puntos del plano complejo, es el punto X obtenido construyendo un paralelogramo tres de cuyos vértices son O, A y B. Equivalentemente, X es el punto tal que los triángulos con vértices O, A, B, y X, B, A, son congruentes.

Hay muchas operaciones binarias que pueden verse como generalizaciones de la operación de suma en los números reales. El campo del álgebra abstracta se ocupa fundamentalmente de tales operaciones generalizadas, y también aparecen en la teoría de conjuntos y la teoría de categorías.

Álgebra abstracta Editar

Vectores Editar

En álgebra lineal, un espacio vectorial es una estructura algebraica que permite sumar dos vectores cualesquiera y escalar vectores. Un espacio vectorial familiar es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales, el par ordenado (a,B) se interpreta como un vector desde el origen en el plano euclidiano hasta el punto (a,B) en el avión. La suma de dos vectores se obtiene sumando sus coordenadas individuales:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Esta operación de suma es fundamental para la mecánica clásica, en la que los vectores se interpretan como fuerzas.

Matrices Editar

La suma de matrices se define para dos matrices de las mismas dimensiones. La suma de dos metro × norte (pronunciado "m por n") matrices A y B, denotado por A + B , es de nuevo un metro × norte matriz calculada sumando los elementos correspondientes: [71] [72]

Aritmética modular Editar

En aritmética modular, el conjunto de números enteros módulo 12 tiene doce elementos; hereda una operación de suma de los enteros que es fundamental para la teoría de conjuntos musicales. El conjunto de números enteros módulo 2 tiene sólo dos elementos. La operación de suma que hereda se conoce en lógica booleana como función "exclusiva o". En geometría, la suma de las medidas de dos ángulos a menudo se toma como su suma como números reales módulo 2π. Esto equivale a una operación de suma en el círculo, que a su vez se generaliza a operaciones de suma en toros de muchas dimensiones.

Teoría general Editar

La teoría general del álgebra abstracta permite que una operación de "adición" sea cualquier operación asociativa y conmutativa en un conjunto. Las estructuras algebraicas básicas con tal operación de adición incluyen monoides conmutativos y grupos abelianos.

Teoría de conjuntos y teoría de categorías Editar

Una generalización de gran alcance de la suma de números naturales es la suma de números ordinales y números cardinales en la teoría de conjuntos. Estos dan dos generalizaciones diferentes de la suma de números naturales al transfinito. A diferencia de la mayoría de las operaciones de suma, la suma de números ordinales no es conmutativa. La suma de números cardinales, sin embargo, es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación de unión disjunta.

En la teoría de categorías, la unión disjunta se considera un caso particular de la operación del coproducto, y los coproductos generales son quizás la más abstracta de todas las generalizaciones de la adición. Algunos coproductos, como la suma directa y la suma en cuña, se nombran para evocar su conexión con la suma.

La suma, junto con la resta, la multiplicación y la división, se considera una de las operaciones básicas y se usa en aritmética elemental.

Aritmética Editar

Se puede pensar en la resta como una especie de suma, es decir, la suma de un aditivo inverso. La resta es en sí misma una especie de inversa a la suma, ya que sumar xy restar x son funciones inversas.

Dado un conjunto con una operación de suma, no siempre se puede definir una operación de resta correspondiente en ese conjunto. El conjunto de números naturales es un ejemplo simple. Por otro lado, una operación de resta determina unívocamente una operación de suma, una operación inversa aditiva y una identidad aditiva, por esta razón, un grupo aditivo puede describirse como un conjunto que está cerrado bajo resta. [73]

Se puede pensar en la multiplicación como una suma repetida. Si aparece un solo término x en una suma norte veces, entonces la suma es el producto de norte y x. Si norte no es un número natural, el producto aún puede tener sentido, por ejemplo, la multiplicación por −1 da como resultado el inverso aditivo de un número.

En los números reales y complejos, la suma y la multiplicación se pueden intercambiar por la función exponencial: [74]

Esta identidad permite realizar la multiplicación consultando una tabla de logaritmos y calculando la suma a mano; también permite la multiplicación mediante una regla de cálculo. La fórmula sigue siendo una buena aproximación de primer orden en el contexto amplio de los grupos de Lie, donde relaciona la multiplicación de elementos del grupo infinitesimales con la adición de vectores en el álgebra de Lie asociada. [75]

Hay incluso más generalizaciones de multiplicación que de suma. [76] En general, las operaciones de multiplicación siempre se distribuyen sobre la suma, este requisito se formaliza en la definición de un anillo. En algunos contextos, como los números enteros, la distributividad sobre la suma y la existencia de una identidad multiplicativa es suficiente para determinar de forma única la operación de multiplicación. La propiedad distributiva también proporciona información sobre la suma al expandir el producto (1 + 1) (a + B) en ambos sentidos, se concluye que la suma está obligada a ser conmutativa. Por esta razón, la adición de anillos es conmutativa en general. [77]

La división es una operación aritmética relacionada remotamente con la suma. Desde a/B = a(B −1), la división es distributiva a la derecha sobre la suma: (a + B) / C = a/C + B/C . [78] Sin embargo, la división no se deja distributiva sobre la suma 1 / (2 + 2) no es lo mismo que 1/2 + 1/2.

Pedido Editar

La operación máxima "max (a, B) "es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos a y B son de diferentes órdenes de magnitud, entonces su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en las aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo, al truncar series de Taylor. Sin embargo, presenta una dificultad perpetua en el análisis numérico, esencialmente porque "max" no es invertible. Si B es mucho mayor que a, luego un cálculo sencillo de (a + B) − B puede acumular un error de redondeo inaceptable, quizás incluso devolviendo cero. Ver también Pérdida de importancia.

La aproximación se vuelve exacta en una especie de límite infinito si a o B es un número cardinal infinito, su suma cardinal es exactamente igual al mayor de los dos. [80] En consecuencia, no existe una operación de resta para infinitos cardinales. [81]

La maximización es conmutativa y asociativa, como la suma. Además, dado que la suma conserva el orden de los números reales, la suma se distribuye sobre "max" de la misma manera que la multiplicación se distribuye sobre la suma:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

Por estas razones, en la geometría tropical se reemplaza la multiplicación por la suma y la suma por la maximización. En este contexto, la adición se llama "multiplicación tropical", la maximización se llama "adición tropical" y la "identidad aditiva" tropical es infinito negativo. [82] Algunos autores prefieren reemplazar la suma con la minimización, entonces la identidad aditiva es infinito positivo. [83]

Al unir estas observaciones, la suma tropical se relaciona aproximadamente con la suma regular a través del logaritmo:

log ⁡ (a + b) ≈ max (log ⁡ a, log ⁡ b),

que se vuelve más precisa a medida que aumenta la base del logaritmo. [84] La aproximación puede hacerse exacta extrayendo una constante h, nombrada por analogía con la constante de Planck de la mecánica cuántica, [85] y tomando el "límite clásico" como h tiende a cero:

max (a, b) = lim h → 0 h log ⁡ (mi a / h + mi b / h). < Displaystyle max (a, b) = lim _h log (e ^+ e ^).>

En este sentido, la operación máxima es una descuantificado versión de la adición. [86]

Otras formas de agregar Editar

El incremento, también conocido como operación sucesora, es la suma de 1 a un número.

La suma describe la suma de muchos números arbitrariamente, generalmente más de dos. Incluye la idea de la suma de un solo número, que es él mismo, y la suma vacía, que es cero. [87] Una suma infinita es un procedimiento delicado conocido como serie. [88]

Contar un conjunto finito equivale a sumar 1 sobre el conjunto.

La integración es una especie de "suma" sobre un continuo, o más precisamente y en general, sobre una variedad diferenciable. La integración sobre una variedad de dimensión cero se reduce a la suma.

Las combinaciones lineales combinan la multiplicación y la suma, son sumas en las que cada término tiene un multiplicador, generalmente un número real o complejo. Las combinaciones lineales son especialmente útiles en contextos donde la suma directa violaría alguna regla de normalización, como la mezcla de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica.

La convolución se usa para agregar dos variables aleatorias independientes definidas por funciones de distribución. Su definición habitual combina integración, resta y multiplicación. En general, la convolución es útil como una especie de adición del lado del dominio, por el contrario, la adición de vectores es una especie de adición del lado del rango.


Suma de un solo dígito

Contamos desde el número inicial (5) por el número de lugares como el segundo número (3) es decir, 6, 7 y 8 y obtenemos la suma como 8.

También podemos usar una recta numérica para encontrar la suma. Comenzamos desde 5 en la recta numérica y nos movemos tres lugares a la derecha para aterrizar en 8. Esta es la suma.

Suma los números de un solo dígito.

Solución

Empezamos a contar con el mayor número 7

Y luego contamos 4 más para obtener 11 como la suma.

También podemos usar una recta numérica para sumar los números 7 y 4. Empezamos desde el número mayor 7 en la recta numérica y damos 4 saltos hacia la derecha para aterrizar en el número 11, que es la suma.


Materiales necesarios para escribir y escribir oraciones numéricas:

  • Página de grabación de frases numéricas (¡descarga GRATIS a continuación!)
  • 1-2 dados (usamos dados de espuma gigantes porque hace las cosas más divertidas, ¡pero no tienes que hacerlo!)


Materiales Concretos

Claramente necesitábamos hacer los conceptos más concretos (CPA) y comenzamos usando cubos y pidiendo a los alumnos que hicieran el número más grande y luego agregar un cubo a la vez para crear el total. De esta manera, comenzaron a ver su método mental como una representación física. Para aquellos que lucharon por hacer esta conexión, usamos los cubos contra una recta numérica, lo que les permitió visualizar y por lo tanto comprender el proceso. A nuestros estudiantes más avanzados se les pidió que explicaran cómo contaban mentalmente y modelamos este proceso en una recta numérica que les permitiera visualizar las matemáticas.

De esta etapa de materiales concretos y visualización como clase, pasamos a un trabajo más independiente utilizando los recursos disponibles para ayudar. Para esta lección, les dimos a los alumnos cubos, un marco de diez y una recta numérica laminada. Descubrimos que a los alumnos les gustaba tener su propia recta numérica y hacer los saltos físicamente junto con un bolígrafo para encontrar la respuesta. Recomendamos encarecidamente tener líneas numéricas laminadas que los alumnos puedan usar para cada cálculo individual. Aquellos que usaron el del libro de trabajo se confundieron porque tenían varios cálculos mostrados en la misma línea numérica. Una vez que los alumnos tuvieran acceso a su propia recta numérica y comprendieran el proceso, podían completar fácil e independientemente las hojas de trabajo correspondientes en sus cuadernos de trabajo.


Capítulo 8 enteros. 8.1 definición de suma y resta: el conjunto de números enteros es el conjunto el.

Los números 1, 2, 3 se denominan enteros positivos y los números -1, -2, -3 se denominan enteros negativos. El cero no es un número entero positivo ni negativo.

Modelo de conjunto En un modelo de conjunto, se pueden usar dos fichas de colores diferentes, un color para números positivos y otro color para números negativos. + 5--3

Usando Chips Una ficha negra representa un crédito de uno y una ficha roja representa un débito de 1. Una ficha de cada color se cancela entre sí haciendo 0.

Usando chips Cada entero tiene infinitas representaciones usando chips.

Los tres ejemplos representan +3.

Representación de la recta numérica Los números enteros están igualmente espaciados y dispuestos simétricamente alrededor de 0. Debido a esta simetría, tenemos el concepto de opuesto.-5-4-3-25-101234

Suma de enteros Definición: Sean ayb cualesquiera enteros. Si a y b son positivos, se suman como números enteros. Si a y b son positivos (por lo tanto, a y b son negativos), entonces donde a + b es la suma de números enteros de a y b.

Continuación de la suma de enteros Agregando un positivo y un negativo a. Si ayb son positivos y entonces donde a b es la diferencia de números enteros de ay b. B. Si ayb son positivos y entonces donde b a es la diferencia de números enteros de ay b.

Suma usando el modelo de conjunto Ejemplo: -7 Ejemplo: -4-3 + 1 + 4-3

Propiedades Propiedad de cierre para la suma de enteros Propiedad conmutativa para la suma de enteros Propiedad asociativa para la suma de enteros Propiedad de identidad para la suma de enteros Propiedad aditiva inversa para la suma de enteros

Cancelación aditiva para enteros Teorema: Sean a, byc números enteros cualesquiera.

Prueba: LetThen AdditionAssociativityAdditive InverseAdditive Identity

Teorema: Sea a cualquier número entero. Luego

RestaPatrón: La primera columna sigue siendo 4. La segunda columna disminuye en 1 cada vez. La columna después de = aumenta en 1 cada vez.

Resta Para llevar: Para llevar 3 Hojas 2 Para llevar 4 Hojas 1

Resta Sumando lo opuesto Sean ayb cualesquiera números enteros. Luego

Enfoque de suma faltante Sean a, byc números enteros. Entonces si y solo si

8.2 Multiplicación, división y orden Positivo multiplicado por un negativo La primera columna sigue siendo 3. La segunda columna disminuye en 1 cada vez. La columna después de = disminuye en 3 cada vez.

Negativo multiplicado por positivo La primera columna sigue siendo 3. La segunda columna disminuye en 1 cada vez. La columna después de = aumenta en 3 cada vez.

Positive Times a NegativeChip ModelCombine 4 grupos de 3 chips rojos

Negativo Veces a Positivo Quite 4 grupos de 3 fichas negras. Modelo de chip 00-12 Inserte 12 fichas de cada color. Quite 4 grupos de 3 negros. Deja 12 rojos.

Multiplicación de números enteros Definición: Sean ayb números enteros cualesquiera. Si a y b son positivos, se multiplican como números enteros. Si a y b son positivos (por lo tanto, b es negativo), entonces ¿dónde es el número entero producto de a y b?

Continuación de la multiplicación de enteros Multiplicando dos negativos a. Si ayb son positivos, ¿dónde es el número entero producto de ay b?

PropiedadesPropiedad de cierre para la multiplicación de enterosPropiedad conmutativa para la multiplicación de enterosPropiedad asociativa para la multiplicación de enterosPropiedad de identidad para la multiplicación de enterosPropiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

Algunos teoremas Teorema: Sea a cualquier número entero. Luego

Teorema: Sean ayb números enteros cualesquiera. Luego

Dos propiedades más Propiedad de cancelación multiplicativa Sean a, b, c cualquier número entero con Si entonces cero Propiedad de los divisores Sean ayb enteros. Entonces si y solo si o ayb ambos son iguales a cero.

DivisionDefinition: Sean ayb cualesquiera números enteros, donde Entonces si y solo si para un entero único c.

Exponentes negativos Definición: Exponente entero negativo Sea a cualquier número distinto de cero yn un entero positivo.

Notación científica Se dice que un número está en notación científica cuando se expresa en la forma donde y n es cualquier número entero. El número a se llama mantisa y el exponente n es la característica.

Ordenar enterosMenos que: Enfoque de recta numérica-5-4-3-25-101234 El entero a es menor que el entero b, escrito si a está a la izquierda de b en la recta numérica de números enteros. la recta numérica, -2 es menor que 4.

Ordenar enteros menores que: Enfoque de suma El entero a es menor que el entero b, escrito si y solo si hay un entero positivo p tal que Dado que 2 + 6 = 4,