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8.2: Definición de una expresión variable - Matemáticas


Evaluar expresiones

© H. Feiner 2011

Definición de una expresión variable

Una expresión variable es una colección de números, letras (variables), operaciones, símbolos de agrupación, cualquier símbolo matemático excepto un signo igual o un signo de desigualdad.

Parte de una expresión que se puede sumar o restar de otra parte.

Las partes de una expresión relacionadas mediante la multiplicación son factores.

Ejemplos de expresiones:

(2a + 5 )

(3x ^ 2-4y )

( Displaystyle frac {x ^ 3-y ^ 3} {x-y} )

(V- pi x ^ 2y )

((a + b) ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 )

(A- Displaystyle frac {h} {2 (B + b)} )

A proporciónLa expresión final implica una razón (fracción) de dos polinomios (que se definirá en otro capítulo).

( Displaystyle frac {x ^ 2 + 6xy + 5y ^ 2} {x + 2y} )

Evaluación de Expresiones

Para evalucomió significa encontrar el valor de algo. Evaluar (2a ) si (a = 5 ) significa encontrar el valor del doble del número en el cuadro (`` a "- ) que se sabe que es (5 ) (en este ejemplo). Abra un conjunto de paréntesis en lugar de la variable (a ), luego coloque el valor de (a = 5 ) entre estos paréntesis. Así (2a = 2 (5) = 10 ).

Ejemplo 1:

Evalúa (2a + 5 ) si (a = -3 ).

Solución:

( begin {array} {rcl lll} 2a + 5 & = & 2 () + 5 [5pt] & = & 2 (-3) +5 [5pt] & = & - 6 + 5 [5pt ] & = & - 1 end {matriz} )
Ejemplo 2:

Evalúa (3x ^ 2-4 (y-3) ) si (x = -2 ) y (y = -3 ).

Solución:
( begin {array} {rcl lll} 3x ^ 2-4 (y-3) & = & 3 () ^ 2-4 [() - 3] [5pt] & = & 3 (-2) ^ 2 -4 [(- 3) -3] [5pt] & = & 3 (4) -4 (-3-3) [5pt] & = & 12-4 (-6) [5pt] & = & 12 + 24 [5pt] & = & 36 end {matriz} )
Ejemplo 3:

Evalúa ( displaystyle frac {x ^ 3-y ^ 3} {x-2y} ) si (x = 4 ) y (y = 2 ).

Solución:

( begin {array} {rcl lll} displaystyle frac {x ^ 3-y ^ 3} {x-2y} & = & displaystyle frac {() ^ 3 - () ^ 3} {() -2 ()} [15pt] & = & displaystyle frac {(4) ^ 3- (2) ^ 3} {(4) -2 (2)} [15pt] & = & displaystyle frac {64-8} {4-4} [15pt] & = & displaystyle frac {56} {0} ! hbox {que no está definido} [15pt] end {matriz } )
Ejemplo 4:

Evalúa (V- pi x ^ 2y ) si (V = 3,140 ), (x = 10 ) y (y = 3 ). Aproximada ( pi = 3,14 ).

Solución:

( begin {array} {rcl lll} V- pi x ^ 2y & = & () - () () ^ 2 () [6pt] & = & (3,140) - (3,14) (10) ^ 2 (3) [6pt] & = & 3,140- (3,14) (100) (3) [6pt] & = & 3,140- (314) (3) [6pt] & = & 3, 140-942 [6pt] & = & 2,198 end {array} )
Ejemplo 5:

Evalúa ((a + b) ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 ) si (a = 6 ) y (b = -6 ).

Solución:

( begin {matriz} {rcl lll} (a + b) ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 & = & [() + ()] ^ 2 - () ^ 2 - () ^ 2 [ 5pt] & = & [(6) + (- 6)] ^ 2- (6) ^ 2 - (- 6) ^ 2 [5pt] & = & (0) ^ 2-36-36 = -72 end {matriz} )

Ejemplo 6:

Evalúa (A- displaystyle frac {h} {2 (B + b)} ) si (A = 100 ), (h = 40 ), (B = 12 ) y (b = 8 ).

Solución:

( begin {array} {rcl lll} A- displaystyle frac {h} {2 (B + b)} & = & () - displaystyle frac {()} {2 [() + () ]} [11pt] & = & (100) - displaystyle frac {(40)} {2 [(12) + (8)]} [11pt] & = & 100- displaystyle frac {40 } {2 (20)} [11pt]% & = & 100- displaystyle frac {2} {2 (1)} [10pt] & = & 100-1 = 99 end {array} )

Ejemplo 7:

Evalúa ( displaystyle frac {x ^ 2 + 6xy + 5y ^ 2 + 1.99} {x + 2y} ) si (x = 0.4 ) y (y = 1.5 ).

Solución:
( begin {array} {rcl lll} displaystyle frac {x ^ 2 + 6xy + 5y ^ 2 + 1.99} {x + 2y} & = & displaystyle frac {() ^ 2 + 6 () ( ) +5 () ^ 2 + 1.99} {() + 2 ()} [10pt] & = & displaystyle frac {(0.4) ^ 2 + 6 (0.4) (1.5) +5 (1.5) ^ 2 + 1.99} {(0.4) +2 (1.5)} [10pt] & = & displaystyle frac {0.16+ (2.4) (1.5) +5 (2.25) +1.99} {0.4 + 3} [10pt]% & = & displaystyle frac {3,76 + 11,25 + 1,99} {3,4} [10pt] & = & displaystyle frac {0,16 + 3,6 + 11,25 + 1,99} {3,4} [10pt] & = & displaystyle frac {3,76 + 11,25 + 1,99} {3,4} [10pt] & = & displaystyle frac {15,01 + 1,99} {3,4} [10pt] & = & displaystyle frac { 17} {3.4} = frac {170} {34} [10pt] & = & 5 end {matriz} )
Ejemplo 8:

Evalúa (4x ^ 4-x ^ 2 + displaystyle frac {7} {9} ) si (x = displaystyle frac {1} {2} ).

Solución:
( begin {array} {rcl lll} 4x ^ 4-x ^ 2 + displaystyle frac {7} {9} & = & 4 () ^ 4 - () ^ 2+ displaystyle frac {7} { 9} [10pt] & = & 4 left ( displaystyle frac {1} {2} right) ^ 4- left ( displaystyle frac {1} {2} right) ^ 2 + displaystyle frac {7} {9} [10pt] & = & 4 left ( displaystyle frac {1} {16} right) - displaystyle frac {1} {4} + displaystyle frac {7 } {9} [10pt] & = & displaystyle frac {1} {4} - displaystyle frac {1} {4} + displaystyle frac {7} {9} [10pt] & = & Displaystyle frac {7} {9} [10pt] end {array} )

Ejemplo 9:

Evalúa (y- displaystyle frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} (x-x_1) ) si (x = 4 ), (x_1 = -2 ), (x_2 = -5 ), (y = 10 ) (y_1 = 9 ) y (y_2 = 7 ).
Solución:

( begin {array} {rcl lll} y- displaystyle frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} (x-x_1) & = & () - displaystyle frac {() - ()} { () - ()} [() - ()] [15pt] & = & (10) - displaystyle frac {(7) - (9)} {(- 5) - (- 2)} [ (4) - (- 2)] [15pt] & = & 10- displaystyle frac {-2} {- 3} (6) [12pt] & = & 10- displaystyle frac {-2} {-1} (2) [10pt] & = & 10-4 = 6 [10pt]% & = & 10-4 = 6 end {array} )

Ejemplo 10:

Una empresa maderera cortó una cierta cantidad (digamos T) de árboles el lunes. El martes la empresa cortó 5 árboles más que el lunes. El miércoles, la cantidad de árboles talados fue el doble que el martes. El jueves el número era la mitad del número del lunes.

(a) Escriba una expresión para el número total de árboles cortados en los cuatro días.

(b) Si se talaron 22 árboles el lunes, ¿cuál fue el número total de árboles talados en los cuatro días?

Solución:

( begin {array} {lrl lll} hbox {Árboles cortados el lunes} & T [5pt] hbox {Árboles cortados el martes} & T + 5 [5pt] hbox {Árboles cortados el miércoles } & 2 (T + 5) [5pt] hbox {Árboles cortados el jueves} & displaystyle frac {T} {2} [5pt] end {array} )

(a) Número total de árboles cortados:

( begin {array} {rcl lll} T + (T + 5) +2 (T + 5) + displaystyle frac {T} {2} & = & T + T + 5 + 2T + 10 + displaystyle frac {T} {2} & = & 4T + displaystyle frac {T} {2} + 15 = frac {9T} {2} +15 end {array} )
(b) Evalúe si (T = 22 ):
( begin {array} {rcl lll} displaystyle frac {9 cdot 22} {2} +15 & = & displaystyle frac {9 cdot 2 cdot 11} {2} +15 [10pt ] & = & 9 cdot 11 + 15 [10pt] & = & 99 + 15 [10pt] & = & 114 hbox {árboles.} End {matriz} )

Ejemplo 11:

Abel trabaja (14 ) horas en una semana en particular. Bianca trabaja (12 ) horas en esa semana. A Abel le pagan $ (a ) por hora y Bianca gana $ (b ) por hora.

(a) Escriba una expresión para los salarios totales que ganan Abel y Bianca en esa semana.

(b) Luego evalúe esa expresión si Abel obtiene ( $ 8 ) por hora y Bianca gana ( $ 12 ) por hora.

Solución:

(a) Abel y Bianca ganan (14a + 12b ) dólares en esa semana.
(b) Evaluar (14a + 12b ) conduce a
( begin {array} {rcl lll} 14 () + 12 () & = & 14 (8) +12 (12) [10pt] & = & 112 + 144 [10pt] & = & $ 256 fin {matriz} )

Términos similares

En ocasiones, los términos contienen variables idénticas. Ghey se parecen en una expresión. Estos términos similares pueden y deben combinarse.

(2 + 3 = 5 ). (2 ) manzanas agregadas a (3 ) manzanas da como resultado (5 ) manzanas.

(2x + 3x = (x + x) + (x + x + x) = 5x )

(2x ^ 2 + 3x ^ 2 = (x ^ 2 + x ^ 2) + (x ^ 2 + x ^ 2 + x ^ 2) = 5x ^ 2 )

No confunda con ((2x ^ 2) (3x ^ 2) = (2) (3) (x cdot x) (x cdot x) = 6x ^ 4 )
Ejemplo 12:

Combinar términos semejantes:

(2x ^ 3 + 5x + 9 + 6x ^ 3 + x-9 )

Solución:

( begin {array} {cl lll} & 2x ^ 3 + 5x + 9 + 6x ^ 3 + x-9 [10pt] = & underline {2x ^ 3} + underline { underline {5x}} + subrayado { subrayado { subrayado {9}}} + subrayado {6x ^ 3} + subrayado { subrayado {x}} - subrayado { subrayado { subrayado {9}}} hbox {marcar cada término similar con su propio símbolo} [10pt] = & ( underline {2x ^ 3} + underline {6x ^ 3}) + ( underline { underline {5x}} + underline { underline {x}}) + ( underline { underline { underline {9}}} - underline { underline { underline {9}}}) & hbox {} [10pt] = & 8x ^ 3 + 6x + 0 & hbox {} end {array} )
Ejemplo 13:

Combinar términos semejantes:

(7x ^ 3 + 4 [5 (x + 8) + 6x ^ 3-x-2] )

Solución:

( begin {array} {cl lll} & 7x ^ 3 + 4 [5 (x + 8) + 6x ^ 3-x-2] [10pt] = & 7x ^ 3 + 4 [5 (x + 8) + 6x ^ 3-x-2] hbox {¿Recuerda PEMDAS? Enfoque} [10pt] & hbox {en el grupo más interno (paréntesis). La suma es la única operación.} [10pt] & hbox {No podemos agregar un desconocido (valor desconocido) a una constante} [10pt] & hbox {(un número no variable conocido).} [10pt] = & 7x ^ 3 + 4 [5x + 5 (8) + 6x ^ 3-x-2] hbox {Usa la propiedad distributiva} [10pt] & hbox {de multiplicación sobre suma para eliminar el paréntesis.} [ 10pt] & hbox {Recuerde que ) x (es un número.} [10pt] = & 7x ^ 3 + 4 [ underline {5x} + underline { underline {40}} + 6x ^ 3- underline {x} - underline { underline {2}}] hbox {Subrayar términos similares.} [10pt] = & ! 7x ^ 3 ! + ! 4 [(5x ! - ! x) + (40 ! - ! 2) + 6x ^ 3] hbox {Asociar términos semejantes.} [10pt] = & 7x ^ 3 + 4 [4x + 38 + 6x ^ 3] hbox {Calcular.} [10pt] = & 7x ^ 3 + 4 [6x ^ 3 + 4x + 38] hbox {Reescribir con exponentes en orden decreciente.} [10pt] = & 7x ^ 3 + 4 (6x ^ 3) +4 (4x) +4 (38) hbox {Distribuye la multiplicación sobre la suma.} [10pt] = & underline {7x ^ 3} + underline {24x ^ 3} + 16x + 152 hbox {Compute.} [10pt] = & 31x ^ 3 + 16x + 152 end {array} )

Ejercicios 8

  1. Evalúa (P- (2L + 2W) ) si (P = 50 ), (L = 9 ) y (W = 4 ).

  2. Evalúa (S- (2x ^ 2 + 2xy) ) si (S = 100 ), (x = -3 ) y (y = 5 ).

  3. Evalúa (x- displaystyle frac {-b + sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} ) si
    (x = 10 ), (a = 1 ), (b = -4 ) y (c = -21 ).

  4. Evalúe (D-16t ^ 2 + vt + h ) si
    (D = 200 ), (t = 3 ), (v = 20 ) y (h = 128 ).

  5. Evalúa (S-a ^ 2 + b ^ 2 ) si (S = 169 ), (a = 12 ) y (b = -5 ).

  6. Evalúa (y- displaystyle frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} (x-x_1) ) si
    (x ! = ! 12 ), (x_1 ! = ! 9 ), (x_2 ! = ! 6 ),
    (y ! = ! 19 ), (y_1 ! = ! - 7 ) y (y_2 ! = ! - 10 ).

  7. (a) Escriba una expresión para el kilometraje total recorrido.

    (b) Si se recorrieron (32 ) millas en la Interestatal (405 ), ¿cuál fue el total de millas recorridas?

  8. Candy estudia (144 ) páginas para una prueba. Diane estudia (120 ) páginas para la misma prueba. Candy hace (c ) problemas por página estudiada y Diane termina (d ) problemas por página.
    (a) Escriba una expresión para el número total de problemas que Candy y Diane resuelven para la prueba. (Suponga que el número de problemas en cada página es el mismo).
    (b) Luego evalúe esa expresión si Candy completa (3 ) problemas por página y Diane logra terminar (4 ) problemas por página.

  9. Simplifica (7x ^ 4 + 11x ^ 2-4x + 9 + 3x ^ 4-11x ^ 3 + 4x + 9 )

  10. (9x ^ 4 + 7 [3 (x + 1) -6x ^ 4-x + 2] )
  1. Evalúa (P- (2L + 2W) ) si (P = 50 ), (L = 9 ) y (W = 4 ).
    Solución:
    ( begin {array} {rcl lll} P- (2L + 2W) & = & () - [2 () + 2 ()] [10pt] & = & (50) - [2 (9) +2 (4)] [10pt] & = & 50- (18 + 8) [10pt] & = & 50-26 [10pt] & = & 24 end {array} )

  2. Evalúa (S- (2x ^ 2 + 2xy) ) si (S = 100 ), (x = -3 ) y (y = 5 ).
    Solución:
    ( begin {array} {rcl lll} S- (2x ^ 2 + 2xy) & = & () - [2 () ^ 2 + 2 () ()] [8pt] & = & (100) - [2 (-3) ^ 2 + 2 (-3) (5)] [8pt] & = & 100- [2 (9) + (- 6) (5)] [8pt] & = & 100 - [18 + (- 30)] [8pt] & = & 100 - (- 12) = 112 end {matriz} )

  3. Evalúa (x- displaystyle frac {-b + sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} ) si (x = 10 ), (a = 1 ), (b = -4 ) y (c = -21 ).
    Solución:
    ( begin {array} {rcl lll} x- displaystyle frac {-b + sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} & = & () - displaystyle frac {- () + sqrt {() ^ 2-4 () ()}} {2 ()} [10pt] & = & ! (10) ! - ! Displaystyle frac {! - ! (- 4) ! + ! sqrt {(- 4) ^ 2 ! - ! 4 (1) (- 21)}} {2 (1)} [10pt] & = & 10- displaystyle frac {4 + sqrt {16-4 (-21)}} {2} [10pt] & = & 10- displaystyle frac {4+ sqrt {16 + 84}} {2} [10pt] & = & 10- displaystyle frac {4+ sqrt {100}} {2} [10pt] & = & 10- displaystyle frac {4 + 10} {2} [10pt] & = & 10- displaystyle frac {14} {2} [10pt] & = & 10-7 = 3 end {array} )

  4. Evalúa (D-16t ^ 2 + vt + h ) si (D = 200 ), (t = 3 ), (v = 20 ) y (h = 128 ).
    Solución:
    ( begin {array} {rcl lll} D-16t ^ 2 + vt + h & = & () - 16 () ^ 2 + () () + () [10pt] & = & (200) - 16 (3) ^ 2 + (20) (3) + (128) [10pt] & = & 200-16 (9) + 60 + 128 [10pt] & = & 200-144 + 60 + 128 [10pt] & = & 56 + 60 + 128 [10pt] & = & 116 + 128 = 44 end {array} )

  5. Evalúa (S-a ^ 2 + b ^ 2 ) si (S = 169 ), (a = 12 ) y (b = -5 ).
    Solución:
    ( begin {array} {rcl lll} Sa ^ 2 + b ^ 2 & = & () - () ^ 2 + () ^ 2 [15pt] & = & (169) - (12) ^ 2 + (-5) ^ 2 [15pt] & = & 169-144 + 25 [15pt] & = & 25 + 25 [15pt] & = & 50 end {array} )

  6. Evalúa (y- displaystyle frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} (x-x_1) ) si (x = 12 ), (x_1 = 9 ), (x_2 = 6 ) , (y = 19 ) (y_1 = -7 ) y (y_2 = -10 ).
    Solución:
    ( begin {array} {cl lll} y- displaystyle frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} (x-x_1) & = & () - displaystyle frac {() - ()} { () - ()} [(x) - (x_1)] [15pt] & = & (19) - displaystyle frac {(- 10) - (- 7)} {(6) - (9) } [(12) - (9)] [15pt] & = & 19- displaystyle frac {-10 + 7} {6-9} (12-9) [15pt] & = & 19- displaystyle frac {-3} {- 3} (3) [15pt] & = & 19- (1) (3) [15pt] & = & 16 end {array} )

  7. (a) Escriba una expresión para el número total de millas recorridas.

    (b) Si se recorrieron (32 ) millas en la Interestatal (405 ), ¿cuál fue el total de millas recorridas?

    Solución:

    ( begin {array} {lrl lll} hbox {Millas viajadas en la Interestatal ) 405 (} & x [10pt] hbox {Millas viajadas en la autopista ) 5 (} & x + 17 [10pt ] hbox {Millas recorridas en la autopista ) 18 (} & 3 (x) [10pt] hbox {Millas recorridas en calles locales} & displaystyle frac {x} {4} [10pt] end {formación})
    (a) Número total de millas:
    (x + (x + 17) + 3x + Displaystyle frac {x} {4} ).
    (b) Evalúe si (x = 32 )
    ( begin {array} {rl lll} & x + (x + 17) + 3x + displaystyle frac {x} {4} = & () + [() + 17] +3 () + displaystyle frac {()} {4} [10pt] = & (32) + [(32) +17] +3 (32) + displaystyle frac {(32)} {4} [10pt] = & 32 + 49 + 96 + 8 [10pt] = & 81 + 96 + 8 [10pt] = & 177 + 8 [10pt] = & 185 end {array} )

    El número de millas recorridas es
    ( displaystyle frac {185} {4} = 46,25 ) millas.

  8. (a) Escriba una expresión para el número total de problemas que Candy y Diane resuelven para la prueba.

    (b) Luego evalúe esa expresión si Candy completa (3 ) problemas por página y Diane logra terminar (4 ) problemas por página.

    Solución:

    (a) Candy y Diane completan (144c + 120d ) problemas para la prueba.

    (b) Evaluar (144c + 120d ) conduce a

    ( begin {array} {rcl lll} 144c + 120d & = & 144 () + 120 () [5pt] & = & 144 (3) +120 (4) [5pt] & = & 432 + 480 [5pt] & = & 912 end {array} )

  9. Solución:

    ( begin {array} {cl lll} & 7x ^ 4 + 11x ^ 2-4x + 9 + 3x ^ 4-11x ^ 3 + 4x + 9 [15pt] = & underline {7x ^ 4} + subrayado { underline { underline {11x ^ 2}}} - underbrace {4x} + underbrace { underbrace {9}} + underline {3x ^ 4} - underline { underline {11x ^ 3}} + underbrace {4x} + underbrace { underbrace {9}} [17pt] = & underline {7x ^ 4} + underline {3x ^ 4} - underline { underline {11x ^ 3}} + underline { underline { underline {11x ^ 2}}} - underbrace {4x} + underbrace {4x} + underbrace { underbrace {9}} + underbrace { underbrace {9}} [17pt] = & (7x ^ 4 + 3x ^ 4) -11x ^ 3 + 11x ^ 2 + (- 4x + 4x) + (9 + 9) [10pt] = & 10x ^ 4-11x ^ 3 + 11x ^ 2 + 18 end {matriz} )

  10. (9x ^ 4 + 7 [3 (x + 1) -6x ^ 4-x + 2] )

    Solución:

    ( begin {array} {cl lll} & 9x ^ 4 + 7 [3 (x + 1) -6x ^ 4-x + 2] [5pt] = & 9x ^ 4 + 7 [3x + 3-6x ^ 4-x + 2] [5pt]% = & 9x ^ 4-42x ^ 4 + 14x + 35 [5pt] = & 9x ^ 4 + 7 [ underline {3x} + underline { underline {3} } - underline { underline { underline {6x ^ 4}}} - underline {x} + underline { underline {2}}] [10pt]% = & 9x ^ 4-42x ^ 4 + 14x +35 [5pt] = & 9x ^ 4 + 7 [- underline { underline { underline {6x ^ 4}}} + underline {3x} - underline {x} + underline { underline {3 }} + subrayado { subrayado {2}}] [15pt] = & 9x ^ 4 + 7 [-6x ^ 4 + (3x-x) + (3 + 2)] [5pt] = & 9x ^ 4 + 7 [-6x ^ 4 + 2x + 5] [5pt] = & 9x ^ 4 + 7 (-6x ^ 4) +7 (2x) +7 (5) [5pt] = & (9x ^ 4-42x ^ 4) + 14x + 35 [5pt] = & - 33x ^ 4 + 14x + 35 [5pt] end {matriz} )


¿Cuáles son las variables limitadas y libres en estas expresiones?

Hice referencia a 1 y 2. Fuente: p 29, Cómo probarlo por Daniel Velleman

La variables libres [de aquí en adelante abreviado como FV] en un enunciado representan objetos sobre los que el enunciado dice algo. El hecho de que pueda introducir diferentes valores para una variable libre significa que es libre de representar cualquier cosa.

Variables limitadas [de aquí en adelante abreviado como BV], por otro lado, son simplemente letras que se utilizan como una conveniencia para ayudar a expresar una idea y no deben considerarse como representaciones de un objeto en particular. Una variable ligada siempre puede ser reemplazada por una nueva variable sin cambiar el significado de la declaración y, a menudo, la declaración puede reformularse para que las variables ligadas se eliminen por completo.

Fuente: p 457, Una breve introducción a la lógica (12 Ed, 2014) por Patrick Hurley

Las variables que ocurren en funciones de instrucción se llaman variables libres porque no están limitados por ningún cuantificador.
En contraste, las variables que ocurren en declaraciones se llaman variables vinculadas.

$ color <1. lim_ dfrac :>$
Por definición $ h: approx 0 $ entonces $ h $ es un BV. Nada vincula $ x $ por lo que $ x $ es un FV.

$ color<2. En t. int f (x_1. x_n) , dx_1. , dx_n:> $
¿Cómo enlaza la integral indefinida anterior $ x_j forall , 1 leq j leq n $?

$ large < color<3. forall x, , exist y, phi (x, y, z): >> $ Estoy confundido por qué Wikipedia dice $ x, y $ como BV y $ z $ como FV.

$ 4. $ En la respuesta del usuario 'dtldarek', ¿qué significa: $ x = x land forall x. x = x $?


Transmisión de expresiones y expresiones matemáticas

Visualizaciones: Galería de visualizaciones de expresión en streaming y expresión matemática.

Empezando: Introducción a la transmisión de expresiones, expresiones matemáticas y visualización.

Carga de datos: Visualización, transformación y carga de archivos CSV.

Búsqueda, muestreo y agregación: Búsqueda, muestreo, agregación y visualización de conjuntos de resultados.

Transformando datos: Transformar y filtrar conjuntos de resultados.

Matemáticas escalares: Funciones matemáticas y visualización aplicadas a números.

Matemáticas vectoriales: Matemáticas, manipulación y visualización de vectores.

Variables y vectorización: Vectorizar conjuntos de resultados y asignar y visualizar variables.

Matemáticas matriciales: Matriz matemática, manipulación y visualización.

Análisis de texto y vectores de término: Análisis de texto y vectores de términos TF-IDF.

Probabilidad: Funciones de distribución de probabilidad continuas y discretas.

Estadísticas: Estadísticas descriptivas, histogramas, percentiles, correlación, pruebas de inferencia y otras funciones estadísticas.

Regresión lineal: Regresión lineal simple y multivariante.

Ajuste de curvas: Ajuste de curvas polinomiales, armónicas y gaussianas.

Series de tiempo: Agregación, visualización, suavizado, diferenciación, detección de anomalías y pronóstico de series de tiempo.

Interpolación y cálculo numérico: Interpolación, derivadas e integrales.

Procesamiento de la señal: Convolución, correlación cruzada, autocorrelación y transformadas rápidas de Fourier.

Simulaciones: Simulaciones de Monte Carlo y paseos aleatorios

Aprendizaje automático: Distancia, KNN, DBSCAN, K-medias, K-medias difusas y otras funciones ML.

Geometría Computacional: Cascos convexos y discos envolventes.


Por qué son variables ¿importante?

La ciencia es un desastre. Nos gusta pensar en la experimentación como un simple proceso de "cambiar una cosa y registrar lo que sucede", pero en realidad, cada posible tema de estudio tiene docenas de factores diferentes que pueden afectar los resultados: el variables.

Los científicos están capacitados para tener cuidado al establecer todos los variables para un experimento. En muchos experimentos, incluso pequeñas fluctuaciones involuntarias en algún factor pueden hacer que los hallazgos sean inexactos o engañosos. Los resultados de los experimentos a veces se desacreditan más tarde después de que se ha revelado que variables de alguna manera sesgó los resultados.

Entendiendo la importancia de variables lo hará más propenso a sacar conclusiones sólidas y menos propenso a caer en afirmaciones basadas en ciencia defectuosa. Por ejemplo, al examinar estadísticas sospechosas o resultados de experimentos, un buen punto de partida es preguntar qué variables estuvieron involucrados, incluyendo si control variables se utilizaron y cuáles fueron. Conociendo el variables es fundamental para el pensamiento crítico.


Definición de variables: concepto

Las variables se utilizan en matemáticas después del álgebra y es importante comprenderlas. A variable definitoria es un símbolo, como x, que se utiliza para describir cualquier número. Cuando se usa una variable en una función, sabemos que no es solo un número constante, sino que puede representar muchos números. Las variables son fundamentales para comprender los problemas relacionados con la representación gráfica.

Una cosa que vas a aprender muy rápido sobre el álgebra es que no solo involucra números, sino que también usa muchas letras. Y lo que son las letras, se llaman oficialmente variables.
Una variable es una letra o un símbolo que se utiliza para representar cualquier número. Y es un poco complicado porque la letra va a representar el mismo número dentro de ese problema específico, pero la misma letra podría representar diferentes números entre diferentes problemas. Déjame mostrarte lo que quiero decir.
Digamos que tuve este problema que decía x + 5 = 8. Eso fue como el problema uno en mi tarea. Y luego el problema dos de mi tarea decía que x quita 4 es igual a 10. Así que probablemente puedas hacer esto en tu cabeza, piensa en lo que podría representar el número x. ¿Qué número más te da la respuesta 8? La mayoría de ustedes en su cabeza pueden decir x = 3. Ese es el problema uno.
Mire el problema 2. Utiliza la misma letra pero será un número diferente. ¿Qué número al quitar 4 nos da la respuesta 10? 14. Entonces, el truco con las variables es que tiene la misma letra y representa cualquier número como podría ser, a veces x sería como una fracción, a veces x será un decimal pero el truco es que podrían ser números diferentes de un problema al siguiente.
Cuando te encuentras con variables, es algo nuevo porque vas a tener que lidiar con letras y números. Pero use su lógica y reduzca la velocidad. Piensa en lo que representa la variable y, si te ayuda, conviértela en palabras en tu cabeza como lo hice yo. Por ejemplo, qué número más 5 le da 8. Esa es una gran estrategia para ayudarlo cuando está trabajando con variables.


Preguntas frecuentes sobre variables

Puedes pensar en variables independientes y dependientes en términos de causa y efecto: una variable independiente es la variable que crees que es la causa, mientras que una variable dependiente es la efecto.

En un experimento, manipulas la variable independiente y mides el resultado en la variable dependiente. Por ejemplo, en un experimento sobre el efecto de los nutrientes en el crecimiento de los cultivos:

  • La variable independiente es la cantidad de nutrientes añadidos al campo de cultivo.
  • La variable dependiente es la biomasa de los cultivos en el momento de la cosecha.

Definir sus variables y decidir cómo las manipulará y medirá es una parte importante del diseño experimental.

A variable de confusión, también llamado factor de confusión o factor de confusión, es una tercera variable en un estudio que examina una posible relación de causa y efecto.

Una variable de confusión está relacionada tanto con la supuesta causa como con el supuesto efecto del estudio. Puede resultar difícil separar el efecto real de la variable independiente del efecto de la variable de confusión.

En el diseño de su investigación, es importante identificar las posibles variables de confusión y planificar cómo reducirá su impacto.

Variables cuantitativas son las variables en las que los datos representan cantidades (por ejemplo, altura, peso o edad).

Variables categóricas son las variables donde los datos representan grupos. Esto incluye clasificaciones (por ejemplo, lugares que terminan en una carrera), clasificaciones (por ejemplo, marcas de cereales) y resultados binarios (por ejemplo, lanzamiento de monedas).

Necesita saber con qué tipo de variables está trabajando para elegir la prueba estadística adecuada para sus datos e interpretar sus resultados.

Las variables discretas y continuas son dos tipos de variables cuantitativas:


Simplemente escriba la tabla de verdad, que es bastante fácil de encontrar, y deduzca su CNF y DNF.

empezar <| c | c | c | c |> hline X & amp Y & amp Z & amp hline T & amp T & amp T & amp T hline T & amp T & amp F & amp F hline T & amp F & amp T & amp F hline T & amp F & amp F & amp T hline F & amp T & amp T & amp F hline F & amp T & amp F & amp T hline F & amp F & amp T & amp T hline F & amp F & amp F & amp F hline end

Si desea encontrar DNF, debe mirar todas las filas que terminan con $ T $. Cuando encuentre esas filas, tome los valores $ x, y, $ y $ z $ de cada columna respectiva. Por lo tanto, obtienes $ (x wedge y wedge z) vee (x wedge neg y wedge neg z) vee ( neg x wedge y wedge neg z) vee ( neg x wedge neg y wedge z). $ De manera similar, puedes encontrar CNF

$ ( lnot x lor lnot y lor z) land ( lnot x lor y lor lnot z) land (x lor lnot y lor lnot z) lor (x lor y lor z) $

Ajá. En una configuración más general, puede interpretar $ oplus $ como adición módulo 2. Por ejemplo, si tiene 5 variables $ a_1, ldots, a_4 in <0, 1 > $. Entonces $ a_1 oplus cdots oplus a_4 = (a_1 + ldots + a_4) mod 2 $. Usando este hecho, puede anotar su CNF. De hecho, este "método" utiliza implícitamente tablas de verdad.

Por ejemplo, suponga que queremos encontrar el CNF de $ a oplus b oplus c oplus d $. Luego tienes que enumerar todas las disyunciones de $ a, b, c, d $ con un número par de negaciones. En el CNF encontrará $ (a vee b vee c vee d) $, $ ( neg a vee neg b vee c vee d) $, $ ( neg a vee b vee neg c vee d) $ etc. pero no $ ( neg a vee b vee c vee d) $.

Tenga en cuenta que, en general, la transformación de fórmulas mediante transformaciones de equivalencia a CNF y DNF es NP-difícil.


Ayuda con la tarea de álgebra: términos y definiciones algebraicos

En álgebra, la letra que representa un número desconocido se llama variable. Las variables en 8x 2 y 3 son xey.

El número que multiplica una variable o variables se llama coeficiente. Por lo general, se escribe delante de la variable o variables. El coeficiente en 9yz 4 es 9. Cuando el coeficiente es 1, normalmente no se escribe (es decir, 1yz 4 = yz 4 y 1a 3 = a 3).

La potencia a la que se eleva una variable se llama exponente. El exponente en 7a 5 es 5. Cuando el exponente es 1, normalmente no se escribe (es decir, 6y 1 z 4 = 6yz 4). Cualquier variable o número elevado a la potencia cero da uno (es decir, x 0 = 1).

Cualquier número o variable o producto de números y variables se llama monomio. Cada uno de los siguientes es un ejemplo de un monomio:
5, −7, x, y, 6xyz, −9yz 4, 2.3a 3

Un monomio o la suma de dos o más monomios se llama polinomio. Cada uno de los siguientes es un ejemplo de polinomio:
6xyz, 5a 3 - 21, 4x 2 - 9y 2, 2x + 3y + 4z, 5x 2 + 6x + 7

Cada monomio que forma un polinomio se denomina término del polinomio.

Un polinomio que tiene dos términos (diferentes) se llama binomio (por ejemplo, 6a 3 - 23 y 5x 2 + 18y 2).

Un polinomio que tiene tres términos (diferentes) se llama trinomio. (por ejemplo, 3x + 5y + 7z y 6x 2 + 9x + 12).

Los términos semejantes son aquellos que tienen exactamente las mismas variables y exponentes. Pueden diferir solo en sus coeficientes. Es importante destacar que los únicos términos algebraicos que se pueden combinar (sumar o restar) son términos semejantes. Por tanto, 7y 2 z y −9y 2 z son términos semejantes, pero x 2 y y xy 2 son términos distintos.

Una colección de términos algebraicos conectados por símbolos matemáticos se llama expresión algebraica, y una expresión algebraica cuyas partes no están separadas por signos + o - se llama término. Por lo tanto, 5x 2 + 3xy + 2y 2 es una expresión algebraica con tres términos 5x 2, 3xy y 2y 2.

Una afirmación de que dos expresiones algebraicas son iguales se llama ecuación. Cada uno de los siguientes es un ejemplo de una ecuación:
2x + 7 = 5x - 8
x 2 + 5x + 6 = 0

Una ecuación en la que la potencia más alta a la que se eleva una variable es uno se llama ecuación lineal. Por lo tanto, 3x - 7 = 7x + 3 es un ejemplo de una ecuación lineal.

Una ecuación en la que la potencia más alta a la que se eleva una variable es dos se llama ecuación cuadrática. Por tanto, 3x 2 + 6x + 10 = 0 es un ejemplo de una ecuación cuadrática.

Una ecuación en la que la potencia más alta a la que se eleva una variable es tres se llama ecuación cúbica. Por tanto, 7x 3 + 8x + 9 = 0 es un ejemplo de una ecuación cúbica.

Una ecuación en la que la potencia más alta a la que se eleva una variable es cuatro se llama ecuación cuártica. Por tanto, 7x 4 + 15x 3 + 8x 2 + 9 = 0 es un ejemplo de una ecuación cuártica.


Variables: exploración de expresiones y ecuaciones

Los estudiantes resolverán problemas del mundo real usando variables en expresiones y ecuaciones algebraicas.

Enlaces rápidos a los materiales de las lecciones:

Enseñe esta lección

Objetivos

  • Determine variables dependientes e independientes en situaciones del mundo real.
  • Escribe expresiones y ecuaciones algebraicas para representar situaciones del mundo real.
  • Resolver ecuaciones algebraicas dado el valor de una variable.
  • Resolver expresiones y ecuaciones que contienen números racionales positivos y negativos.

Materiales

  • Herramienta interactiva digital: "Lanzamiento de expresiones y ecuaciones" (opcional)
  • Pizarra interactiva O conexión para computadora / proyector (opcional)
  • Conexión a internet (opcional)
  • Computadoras para grupos pequeños y / o todos los estudiantes (opcional)
  • Planificación de un viaje al Amazonas: uso de variables para representar números y escribir expresiones imprimibles
  • Explorando el Amazonas: traduciendo una situación del mundo real de un problema verbal a una ecuación imprimible
  • Clave de respuestas para aventuras en expresiones y ecuaciones

Nota: La lección incluye componentes en línea e imprimibles, pero fue diseñada para ser una experiencia de aprendizaje significativa, ya sea que se utilicen o no los componentes en línea.

Instrucciones de la lección

INTRODUCCIÓN A NUEVO MATERIAL

Paso 1: Presente la lección diciéndoles a los estudiantes que describirán el hábitat más grande del mundo, el océano. Pregunte a los estudiantes: ¿Cuáles son algunas de las amenazas a las formas de vida de este hábitat? ¿Cuáles son algunas soluciones para combatir estas amenazas?

Paso 2: Explique a los estudiantes que Irlanda implementó una solución en 2002 para combatir la cantidad de basura presente en el océano: comenzaron a cobrar un impuesto de 0,15 € por cada bolsa de plástico que los clientes usaban en las tiendas. (Un euro vale aproximadamente la misma cantidad que un dólar estadounidense y su signo es € en lugar de $).

Pregunte: Si un comprador requiere 1 bolsa de plástico para compras, ¿cuánto impuesto pagará por la bolsa de plástico? (0,15 €) ¿2 bolsas de plástico? (0,30 €) ¿3 bolsas de plástico? (0,45 €) Pregunte a los estudiantes si hay alguna forma general de calcular el impuesto que pagaría un cliente por cualquier cantidad de bolsas de plástico que use. Haga que las parejas discutan y luego compartan sus pensamientos con la clase. En este punto, se pueden y se deben sugerir descripciones verbales, en lugar de expresiones o ecuaciones (ejemplo: multiplicar el número de bolsas que utilizan por 0,15 €).

Paso 3: Definir variable, variable independiente, y dependiente variable para estudiantes.

  • variable: un valor desconocido o cambiante
  • variable independiente: una variable cuyo valor no depende del valor de otra variable un valor elegido libremente (a menudo representado por X)
  • variable dependiente: una variable cuyo valor se basa en el valor de la variable independiente (a menudo representada por y)

En la situación descrita anteriormente, pida a los estudiantes que identifiquen la variable independiente y la variable dependiente. Luego pídales que discutan en parejas por qué la cantidad de bolsas utilizadas es la variable independiente y por qué el impuesto total cobrado es la variable dependiente. Haga que los estudiantes compartan sus pensamientos con la clase.

Paso 4: Definir expresión, ecuación, y ecuación algebraica:

  • expresión: una frase matemática que incluye números, operadores y / o variables (ejemplos: 7 B + 2 40xy)
  • ecuación: una declaración que muestra dos expresiones iguales (ejemplos: 23 + 7 = 30 9 = 9)
  • ecuación algebraica: una ecuación que incluye variables (ejemplos: 0.8 + C = 40 6h = gramo)

Dígales a los estudiantes que a menudo se asigna la letra a las variables independientes X, y a las variables dependientes se les asigna la letra y. Sin embargo, si quisieran representar valores con otras letras, como B para bolsas y t para los impuestos, eso también se hace a menudo. Pida a los estudiantes que discutan la relación entre la cantidad de bolsas utilizadas y el impuesto cobrado, y escriba una ecuación que relacione los dos valores.

Paso 5: Modele para los estudiantes cómo resolver la ecuación (y = 0.15X) para un número determinado de bolsas. Luego haga que los estudiantes practiquen esta habilidad con otros valores de X.

Paso 6:
Dígales a los estudiantes que Irlanda ha tenido que gastar dinero para implementar y hacer cumplir el nuevo impuesto. Cada año, Irlanda tiene que pagar 350.000 € para administrar el plan. ¿Qué ecuación algebraica podría representar la cantidad de dinero gastada para administrar el plan durante un número determinado de años? (y = €350,000X, dónde X es el número de años que lleva el plan) Cuando comenzó el impuesto, la puesta en marcha del plan costaba un importe fijo de 1.200.000 €. Dígales a los estudiantes que modifiquen su ecuación para incluir el costo fijo de configuración del plan. (y = €350,000X + 1.200.000 €, donde X es el número de años que ha estado funcionando el plan) Luego haga que los estudiantes practiquen resolver la ecuación con diferentes valores de X.

Paso 7: Explique a los alumnos que Irlanda aumentó su impuesto a las bolsas de plástico a 0,22 € en 2007. Suponga que una familia tiene un presupuesto de 100 € para gastar en comestibles cada semana. ¿Qué ecuación puede representar la cantidad de dinero que una familia puede gastar en comestibles en relación con la cantidad de bolsas de plástico que utilizan para los comestibles? (y = €100 – €0.22X) Haga que los estudiantes resuelvan esta ecuación para una variedad de cantidades de bolsas de plástico.

PRÁCTICA GUIADA y PRÁCTICA INDEPENDIENTE

Paso 8: Mezcle y combine estos materiales digitales e imprimibles a continuación, según las necesidades y capacidades tecnológicas de su clase.

Estos atractivos materiales sitúan a los estudiantes en escenarios de exploración del mundo real, desde un astronauta despegando hacia el espacio hasta un biólogo nadando en el río Amazonas. Esto resalta el valor de las matemáticas en situaciones y carreras del mundo real, en las que las expresiones y ecuaciones son herramientas necesarias para resolver problemas.

  • Module 1 of the Digital Interactive Tool: Variables in Expressions and Equations.
  • Planning a Trip to the Amazon: Using Variables to Represent Numbers and Write Expressions
  • Exploring the Amazon: Translating a Real-World Situation From a Word Problem Into an Equation

Lesson Extensions

Tell students that another factor concerning scientists is sea level trends. Individually, or as a class, they can visit tides and current website in order to identify and write equations for sea level changes in various areas of the world over a certain number of years. They can then solve the equations to determine the sea level change for a specified number of years in those areas.


Evaluation of Simple Arithmetic Expressions

We use the operator precedence y associativity rules to determine the meaning and value of an expression in an unambiguous manner. Recall that the operators in an expression are bound to their operands in the order of their precedence. If the expression contains more than one operator at the same precedence level, they are associated with their operands using the associativity rules. Table summarizes these rules for arithmetic and assignment operators.

If the given expression is simple, we can often directly convert it to its mathematical form and evaluate it. However, if the given expression is complex, i. e., it contains several operators at different precedence levels, we need a systematic approach to convert it to a mathematical equation and evaluate it. The steps to convert a given valid C expression to its mathematical form (if possible) and to evaluate it are as follows:

1. First determine the order in which the operators are bound to their operands by applying the precedence and associativity rules. Note that after an operator is bound to its operand(s), that sub-expression is considered as a single operand for the adjacent operators.

2. Obtain the equivalent mathematical equation for given C expression (if possible) by following the operator binding sequence (obtained in step 1).

3. Determine the value of the given expression by evaluating operators in the binding sequence.

The steps to determine operator binding in an arithmetic expression are explained below with the help of the expression -a+ b * c – d I e + f.

1. The unary operators (unary +, unary – , ++ and – -) have the highest precedence and right-to-left associativity. Thus, the given expression is first scanned from right to left and unary operators, if any, are bound to their operands. The order is indicated below the expression as follows:

2. The multiplicative operators (*, I and %) have the next highest precedence and left to- right associativity. Thus, the expression is scanned from left-to-right and the multiplicative operators, if any, are bound to their operands as shown below. (Observe that after completion of the above step, sub-expressions -a, b * c and d I e will be operands for the remaining operator bindings.)

3. The additive operators (+ and -) have the next highest precedence and left-to-right associativity. Hence, the expression is scanned from left-to-tight and the additive operators, if any, are bound to their operands as shown below. Observe that the operands for the first + operator are the sub-expressions -a and b * c. Similarly, the operands for the – operator are -a+ b * c and d /e.

Now we can write the mathematical equation for the given C expression by following the operator binding sequence as shown below:

Now the given expression can be evaluated, again by following the operator binding sequence, as shown below. Assume that the variables a, b, c, ct, e and f are of type float and are initialized with values as a= 1. 5, b = 2. 0, c = 3. 5, ct= 5.0, e = 2. 5 and f = 1. 25.

Remember that except for some operators (& & || ? : and the comma operator), the C language does not specify the order of evaluation of sub-expressions. Thus, the sub expressions at the same level can be evaluated in any order. For example, the sub expressions -a, b * c and ct I e in the above expression can be evaluated in any order.

The procedure explained above can also be used to check the validity of an expression. The given expression is valid if we arrive at a single operand (or value) after all the operators in the given expression are considered. Consider a more complex arithmetic expression: -a–+ -b++ * –c. This expression appears to be invalid due to the excessive use of operators. It contains three operands a, b and c and seven operators, five of which are unary (-, ++ and –) and the other two are binary operators (+ and *). However, using the operator binding steps, we can easily verify that it is a valid expression:


Ver el vídeo: 25 Η έννοια της μεταβλητής (Septiembre 2021).