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2.2: Funciones y gráficas simples - Matemáticas


Una gran parte de la ciencia puede describirse como el estudio de la dependencia de una cantidad medida de otra cantidad medida. La palabra función se utiliza en este contexto de una manera especial. En ejemplos anteriores, la palabra función puede haber sido utilizado de la siguiente manera:

  • La densidad de V. natriegens es un función de tiempo.
  • La intensidad de la luz es un función de profundidad debajo de la superficie en un océano.
  • La intensidad de la luz es un función de distancia de la fuente de luz.
  • La frecuencia de los chirridos de los grillos es un función de la temperatura ambiente.
  • El porcentaje de tortugas hembras de una nidada de huevos es un función de la temperatura de incubación.

2.2.1 Tres definiciones de "función".

Debido a su prevalencia e importancia en las ciencias y las matemáticas, la palabra función se ha definido de varias formas durante los últimos trescientos años, y ahora se le suele dar un significado formal muy preciso. Los significados más intuitivos también son útiles y damos tres definiciones de función, todas las cuales nos serán útiles.

La palabra variable significa un símbolo que representa a cualquier miembro de un conjunto dado, más a menudo un conjunto de números, y generalmente denota un valor de una cantidad medida. Por lo tanto, la densidad de V. natriegens, el tiempo, el porcentaje de hembras, la temperatura de incubación, la intensidad de la luz, la profundidad y la distancia son todas variables.

Los términos dependiente variable y independiente variables son útiles en la descripción de un experimento y la relación funcional resultante. La densidad de V. natriegens (variable dependiente) es una función del tiempo (variable independiente). El porcentaje de tortugas hembras de una nidada de huevos (variable dependiente) es un función de la temperatura de incubación (variable independiente).

Usando la noción de variable, se puede definir una función:

Definición 2.2.1 Función I Dadas dos variables, xey, una función es una regla que asigna a cada valor de x un valor único de y.

En este contexto, x es el variable independientey y es el variable dependiente. En algunos casos, existe una ecuación que describe muy bien la "regla"; En el porcentaje de hembras en una nidada de huevos de tortuga, ejemplos de la sección anterior, no había una ecuación simple que describiera la regla, pero la regla cumplía con la definición de función, sin embargo.

El uso de las palabras dependiente e independiente al describir las variables puede cambiar con el contexto del experimento y la función resultante. Por ejemplo, los datos sobre la incubación de tortugas asumieron implícitamente que la temperatura se mantuvo constante durante la incubación. Sin embargo, para las tortugas en la naturaleza, la temperatura no se mantiene constante y se podría medir la temperatura de una nidada de huevos en función del tiempo. Entonces, la temperatura se convierte en la variable dependiente y el tiempo es la variable independiente.

En la Definición 2.2.1, la palabra "variable" es un poco vaga y "una función es una regla" deja una pregunta como "¿Qué es una regla?". Un "conjunto de objetos" o, de manera equivalente, una "colección de objetos", se considera más fácil de entender que "variable" y tiene una mayor concurrencia en cuanto a su significado. Tu experiencia previa con la palabra función puede haber sido que

Definición 2.2.2 Función II Una función es una regla que asigna a cada número en un conjunto llamado dominio un número único en un conjunto llamado rango de la función.

La Definición 2.2.2 es similar a la Definición 2.2.1, excepto que "un número en un conjunto llamado dominio" ha dado significado a variable independiente y "un número único en un conjunto llamado rango" ha dado significado a variable dependiente.

La palabra "regla" está en el centro de ambas definiciones 2.2.1 Función I. y 2.2.2 Función II. y todavía es un poco vago. La definición de función que actualmente se considera la más concisa es:

Definición 2.2.3 Función III Una función es una colección de pares de números ordenados, ninguno de los cuales tiene el mismo primer número.

Una pequeña reflexión revelará que "una tabla de datos" es la motivación para la Definición 2.2.3. Un punto de datos es en realidad un par de números. Considere las tablas de datos que se muestran en la Tabla 2.1 de V. natriegens crecimiento y registros de población humana. (16,0.036) es un punto de datos. (64,0.169) es un punto de datos. (1950, 2,52) y (1980, 4,45) son puntos de datos. Estos son bits de información básicos para las funciones. Por otro lado, examine los datos de los chirridos de los grillos en la misma tabla, del Capítulo 1. Esa también es una colección de pares ordenados, pero la colección no satisface la Definición 2.2.3. Hay dos pares ordenados en la tabla con el mismo primer término: (66,102) y (66,103). Por lo tanto, la colección contiene información importante sobre la dependencia de la frecuencia de chirrido de la temperatura, aunque la colección no constituye una función.

Cuadro 2.1: Ejemplos de tablas de datos

V. natriegens PH de crecimiento 6.25
Tiempo (min)Densidad de población
00.022
160.036
320.060
480.101
640.169
800.266
Población mundial
AñoPoblación (miles de millones)
19402.30
19502.52
19603.02
19703.70
19804.45
19905.30
20006.06
Chirridos del grillo
Temperatura ( (^ { circ} F ))Chirridos por minuto
67109
73136
78160
6187
66103
66102
67108
77154
74144
76150

En una función que es una colección de pares de números ordenados, el primer número de un par de números es siempre un valor de la variable independiente y un miembro del dominio y el segundo número es siempre un valor de la variable dependiente y un miembro del distancia. Casi siempre al registrar los resultados de un experimento, los números del dominio se enumeran en la columna de la izquierda y los números del rango se enumeran en la columna de la derecha. Formalmente,

Definición 2.2.4 Dominio y rango Para la Definición 2.2.3 de función, el dominio se define como el conjunto de todos los números que aparecen como el primer número en un par ordenado de la función y el distancia de la función es el conjunto de todos los números que aparecen como un segundo número en un par ordenado de la función.

Ejemplo 2.2.1 Los datos para el porcentaje de la población de EE. UU. En 1955 que tenía anticuerpos contra el virus de la polio en función de la edad se muestran en la Tabla 2.2.1.1. Los datos muestran un hecho interesante de que un alto porcentaje de la población en 1955 había sido infectada con poliomielitis. Un porcentaje mucho menor quedó lisiado o muerto por la enfermedad.

Aunque la tabla 2.2.1.1 es una función, es sólo una aproximación a un quizás función subyacente real. El par de órdenes, (17,5, 72), indica que el 72 por ciento de las personas de 17,5 años tenían anticuerpos contra el virus de la polio. Más exactamente, (17.5,72) señala que de un muestra de las personas que tenían edades comprendidas entre los 15 y menos de 20 años, el porcentaje que dio positivo a los anticuerpos contra el virus de la polio fue mayor o igual a 71,5 y menos de 72,5.

La tabla 2.2.1.1 es una representación útil de una enorme tabla de datos que enumera durante un cierto período de tiempo durante 1955, para cada ciudadano estadounidense, su edad (medida tal vez en horas (minutos, segundos?)), y si tenían anticuerpos contra el VIH, 'sí' o 'no', esta tabla no sería una función, pero para cada edad, el porcentaje de personas de esa edad que eran VIH positivas sería un número y esos pares de porcentaje de edad formarían una función. El dominio de esa función sería el conjunto finito de edades en la población de EE. UU.

Tabla para el ejemplo 2.2.1.1 Datos del porcentaje de la población de EE. UU. En 1955 a diversas edades que tenía anticuerpos contra el virus de la poliomielitis. Datos leídos de Anderson y May, Vacunación e inmunidad colectiva a enfermedades infecciosas, Naturaleza 318 1985, págs. 323-9, Figura 2f.
Edad0.81.52.53.54.55.56.57.58.59.512.517.522.527.5
%36131927354043464964727887

Recuerde que solo se enumeraron muy pocos "puntos" de datos de la gran cantidad de puntos posibles en cada uno de los experimentos que consideramos. Hay una función más grande en el trasfondo de cada experimento.

Debido a que muchas cantidades biológicas cambian con el tiempo, el dominio de una función de interés suele ser un intervalo de tiempo. En algunos casos, una reacción biológica depende de la temperatura (porcentaje de hembras en una nidada de huevos de tortuga, por ejemplo) de modo que el dominio de una función puede ser un intervalo de temperaturas. En los casos de distribución espacial de una enfermedad o intensidad de luz debajo de la superficie de un lago, el dominio puede ser un intervalo de distancias.

Está implícito en los datos de crecimiento de bacterias que en cualquier momento específico, solo hay un valor de la densidad bacteriana.2 asociado con ese tiempo. Puede que se lea de manera incorrecta o inexacta, pero una suposición fundamental es que solo hay una densidad correcta para ese tiempo específico. La condición de que dos de los pares de números ordenados no tengan el mismo primer término es una forma de decir que cada número en el dominio tiene un número único en el rango asociado con él.

Las tres definiciones de función son útiles, al igual que las descripciones verbales breves, y nos basaremos en todas ellas. Nuestra definición básica, sin embargo, es la definición de par ordenado, Definición 2.2.3.

2.2.2 Gráficos simples.

La geometría de coordenadas asocia pares de números ordenados con puntos del plano de modo que, según la Definición 2.2.3, una función se identifica automáticamente con un conjunto de puntos en el plano llamado gráfico simple:

Definición 2.2.5 Gráfico simple

Una gráfica simple es un conjunto de puntos, G, en el plano tal que ninguna línea vertical contiene dos puntos de G.

La dominio de G es el conjunto de coordenadas x de los puntos de G y el distancia de G es el conjunto de todas las coordenadas y de los puntos de G.

Nota: Para su uso en este libro, cada conjunto contiene al menos un elemento.

El dominio de una gráfica simple G a veces se llama proyección x de G, lo que significa que la proyección vertical de G sobre el eje xy el rango de G a veces se llama proyección y de G, lo que significa la proyección horizontal de G sobre el eje x. eje y.

Una revisión de los gráficos de temperatura de incubación - porcentaje de tortugas hembras en la Figura 2.1.1 y el Ejercicio Fig. 2.1.1 mostrará que en cada gráfico al menos una línea vertical contiene dos puntos del gráfico. Ninguno de estos gráficos es un gráfico simple, pero los gráficos transmiten información útil.

Un círculo no es un simple gráfico. Como se muestra en la Figura 2.2.1A, hay una línea vertical que contiene dos puntos. Hay muchas de esas líneas verticales. El círculo contiene un gráfico simple y contiene uno que es "lo más grande posible". El semicírculo superior que se muestra en la figura 2.2.1B es un gráfico simple. Los puntos (-1,0) y (1,0) se rellenan para mostrar que pertenecen a él. Es imposible agregar otros puntos del círculo a este gráfico simple y aún tener un gráfico simple, por lo que es "lo más grande posible". Una ecuación del semicírculo superior es

[y = sqrt {1-x ^ {2}}, quad-1 leq x leq 1 ]

El dominio de este gráfico simple es [-1,1] y el rango es [0,1]. Obviamente, el semicírculo inferior también es un gráfico simple máximo, y tiene la ecuación

[y = - sqrt {1-x ^ {2}}, quad-1 leq x leq 1 ]

El dominio es nuevamente [-1,1] y el rango es [-1,0].

Figura ( PageIndex {1} ): A. Un círculo; una línea vertical contiene dos puntos del círculo, por lo que no es un gráfico simple. B. Un subconjunto del círculo que es una gráfica simple. C. Otro subconjunto del círculo que es una gráfica simple. Las gráficas simples en (b) y (c) son máximas en el sentido de que cualquier punto del círculo agregado a las gráficas crearía un conjunto que no es una gráfica simple; la línea vertical que contiene ese punto también contendría un punto de la gráfico simple original.

Todavía hay un tercer gráfico simple contenido en el círculo, que se muestra en la Figura 2.2.1C, y es "lo más grande posible". Una ecuación para ese gráfico simple es

[y = left { begin {alineado}
sqrt {1-x ^ {2}} & text {if} & -1 leq x leq 0
- sqrt {1-x ^ {2}} & text {if} & 0 end {alineado} right. ]

El dominio es [-1,1] y el rango es [-1,1] Debido a la ventaja intuitiva de la geometría, a menudo es útil usar gráficos simples en lugar de ecuaciones o tablas para describir funciones, pero nuevamente, usaremos cualquier de estos según sea necesario.

Ejercicios para la sección 2.2 Funciones y gráficas simples.

Ejercicio 2.2.1 ¿Cuál de las tablas que se muestran en la Tabla Ej. 2.2.1 reportado como datos que describen el crecimiento de V. natriegens son funciones?

Tabla del ejercicio 2.2.1 Datos hipotéticos para V. natriegens creciendo en caldo nutritivo.
HoraAbdominalesHoraAbdominalesHoraAbdominales
00.01800.01800.018
120.023120.023120.023
240.030240.030240.030
360.039360.039480.049
480.049480.049480.049
480.065600.065480.049
600.085720.065720.065
780.120870.065870.065
960.145960.080960.080
1100.1951100.0951100.095
1200.2401200.1201200.120

Ejercicio 2.2.2 Para los siguientes experimentos, determine la variable independiente y la variable dependiente, y dibuje una gráfica simple o dé una breve descripción verbal (su mejor estimación) de la función que relaciona las dos.

  1. El tamaño de la población de conejos es función del número de coyotes en la región.
  2. Un agrónomo, interesado en la tasa más económica de aplicación de nitrógeno al maíz, mide el rendimiento del maíz en parcelas de prueba utilizando ocho niveles diferentes de aplicación de nitrógeno.
  3. Una enzima, E, cataliza una reacción que convierte un sustrato, S, en un producto P de acuerdo con [ mathrm {E} + mathrm {S} rightleftharpoons mathrm {ES} rightleftharpoons mathrm {E} + mathrm {P} ] Suponga que la concentración de enzima, [E], es fija. Un científico mide la velocidad a la que el producto P se acumula en diferentes concentraciones, [S], de sustrato.
  4. Un científico titula una solución 0.1 M de HCl en 5 ml de una solución básica desconocida que contiene tornasol (el tornasol hace que el color de la solución cambie a medida que cambia el pH).

Ejercicio 2.2.3 Una tabla de densidad bacteriana para el crecimiento de V. natriegens se repite en la tabla del ejercicio 2.2.3. Hay dos funciones que relacionan la densidad de población con el tiempo en esta tabla, una que relaciona la densidad de población con el tiempo y otra que relaciona la población con el índice de tiempo.

  1. Identifica un par ordenado que pertenezca a ambas funciones.
  2. Una de las funciones es implícitamente solo una lista parcial de los pares de órdenes que le pertenecen. Puede ser de la opinión de que ambas funciones tienen esa propiedad, pero algunas personas pueden pensar que una es más obviamente solo una muestra de los datos. ¿Cuál?
  3. ¿Cuál es el dominio de la otra función?
Tabla del ejercicio 2.2.3 Datos para V. natriegens creciendo en caldo nutritivo pH 6.25.
pH 6.25
Tiempo (min)Índice de tiempo (t )Densidad de población (B_t )
000.022
1610.036
3220.060
4830.101
6440.169
8050.266

Ejercicio 2.2.4 Consulte los gráficos de la Figura Ej. 2.2.4.

  1. ¿Cuáles de las gráficas son gráficas simples?
  2. Para aquellos que no son gráficos simples,
    1. Dibuje, usando solo los puntos del gráfico, un gráfico simple que sea "tan grande como sea posible", lo que significa que no se pueden agregar otros puntos y aún así tener un gráfico simple.
    2. Dibuja un segundo gráfico tan simple.
    3. Identifica los dominios y rangos de las dos gráficas simples que dibujaste.
    4. ¿Cuántos gráficos tan simples se pueden dibujar?

Figura para el ejercicio 2.2.4 Gráficos para el ejercicio 2.2.4. Algunos son gráficos simples; algunos no son simples gráficos.

Ejercicio 2.2.5 Haga una tabla que muestre los pares ordenados de una gráfica simple contenida en la gráfica de la Figura Ej. 2.2.5 y que tenga dominio

[{-1.5,-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5}]

¿Cuántas gráficas simples de este tipo están contenidas en la gráfica de la Figura Ex. 2.2.5 y que tienen este dominio?

Figura del ejercicio 2.2.5 Gráfico del ejercicio 2.2.5.

Ejercicio 2.2.6

  1. ¿Cada subconjunto del plano contiene una gráfica simple?
  2. ¿Cada subconjunto del plano contiene dos gráficos simples?
  3. ¿Existe un subconjunto del plano que contiene dos y solo dos gráficos simples?
  4. ¿Hay una línea en el plano que no sea la gráfica de una función?
  5. ¿Existe una función cuya gráfica sea un círculo?
  6. ¿Existe una gráfica simple en el plano cuyo dominio es el intervalo [0,1] (incluyendo 0 y 1) y cuyo rango es el intervalo [0,3]?
  7. ¿Existe una gráfica simple en el plano cuyo dominio es [0,1] y cuyo rango es el eje y?

Ejercicio 2.2.7 Un ejercicio un poco difícil. Para cualquier ubicación, ( lambda ) en la Tierra, deje que el Día Anual en ( lambda ), (AD ( lambda) ), sea la suma de las longitudes de tiempo entre el amanecer y el atardecer en ( lambda ) para todos los días del año. Encuentre una fórmula razonable para (AD ( lambda) ). Puede adivinar o encontrar datos que sugieran una fórmula razonable, pero encontramos que la prueba de la validez de nuestra fórmula es un poco ardua. Como sucede a menudo en matemáticas, en lugar de resolver el problema real planteado, encontramos que era mejor resolver un problema "cercano" que fuera más manejable. Los 365,24 ... días en un año son una distracción, la órbita elíptica de la Tierra es un obstáculo total y el bamboleo de la Tierra sobre su eje puede pasarse por alto. Específicamente, nos resulta útil suponer que hay exactamente 366 días en el año (después de todo esto era cierto hace unos 7 u 8 millones de años), la órbita de la Tierra alrededor del sol es un círculo, el eje de la Tierra forma un ángulo constante con el plano de la órbita, y que los rayos del sol a la Tierra son paralelos. Esperamos que disfrute de la pregunta.

2.2.3 Funciones en otros entornos.

Hay extensiones del concepto de función a configuraciones donde los pares ordenados no son pares de números ordenados. Un buen ejemplo de esto es el código genético que se muestra en la Figura 2.3. La relación es una función verdadera (no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer término), y durante la traducción de proteínas, el ribosoma y los ARN de transferencia usan esta función de manera confiable.

Figura ( PageIndex {2} ): El código genético (para el ARN nuclear humano). Los conjuntos de tres nucleótidos en el ARN (codones) se traducen en aminoácidos en el curso de la síntesis de proteínas. Códigos CAA para Gln (glutamina). ∗ Códigos AUG para Met (metionina) y también es el codón START.

Explorar 2.2.1 Enumere tres pares ordenados del código genético. ¿Cuál es el dominio del código genético? ¿Cuál es el rango del código genético?

El concepto de par ordenado se conserva en el ejemplo anterior; el único cambio ha sido en los tipos de objetos que están en el dominio y rango. Cuando los objetos se alejan demasiado de los números simples, a veces se usa la palabra transformación en lugar de función. El código genético es una transformación de los codones en aminoácidos y señales de inicio y parada.

Otra extensión común de los tipos de objetos en el dominio de una función ocurre cuando una cantidad física o biológica depende de otras dos. Por ejemplo, la conocida Ley de Charles en Química se puede establecer como

[P = frac {n R T} {V} ]

donde (P ) = presión en atmósferas, n = número de pesos moleculares del gas, (R ) = 0.0820 Atmósferas / grado Kelvin-mol = 8.3 / grado Kelvin-mol (la constante del gas), (T ) = temperatura en kelvin y (V ) = volumen en litros. Para una muestra fija de gas, la presión depende de dos cantidades, temperatura y volumen. El dominio es el conjunto de todos los pares de temperatura-volumen factibles, el rango es el conjunto de todas las presiones factibles. En este caso, se dice que la función es una función de dos variables. Los pares ordenados en la función tienen la forma

[((x, y), z), quad text {o} quad ( text {(temperatura, volumen)}, text {presión}) ]

También puede haber transformaciones de varios valores. Por ejemplo, los médicos recetan antibióticos. Para cada infección bacteriana, puede haber más de un antibiótico eficaz contra esa bacteria; puede haber una lista de estos antibióticos. El dominio sería un conjunto de bacterias y el rango sería un conjunto de listas de antibióticos.

Ejercicios para la Sección 2.2.3 Funciones en otros entornos.

Ejercicio 2.2.8 Describe el dominio y el rango de cada una de las siguientes transformaciones.

  1. Libro guía de identificación de aves.
  2. Un juez sentencia a los acusados ​​a penas de cárcel.
  3. El tiempo entre el amanecer y el atardecer.
  4. Efectos secundarios de los antibióticos.

2 Medido, por ejemplo, por absorbancia de luz en un espectrofotómetro como se explica en la página 4.


Relaciones, funciones y gráficas.

Un par consta de dos elementos. Algunos ejemplos de pares son (3,4) (a, b) (d, c). etc. Un par ordenado (a, b) es un par de objetos. El orden en el que aparecen los objetos en el par es significativo: el par ordenado (a, b) es diferente del par ordenado (b, a) a menos que a = b. (Por el contrario, el par desordenado es igual al par desordenado .) Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o secuencias

Algún ejemplo de par igual y desigual

una. (1, 3) y (3, 1) son desiguales, es decir, (1, 3) & ne (3, 1).

B. (a, b) y (a, b) son iguales, es decir, (a, b) = (a, b).

C. (1, a) y (1, x) son desiguales, es decir, (1, a) & ne (1, x).

D. (x, x) y (y, y) son desiguales, es decir, (x, x) & ne (y, y).

B. Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B se denota por A & vecesB y se define como la colección de todos los pares ordenados (a, b) tales que a & isinA yb & isinB.

Si A = <1, 2, 3> y B = encuentra A x A, B x B y B x A

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados (x, y) tal que el valor de la segunda coordenada `y & rsquo depende del valor de la primera coordenada` x & rsquo, entonces y es la variable dependiente y x es la variable independiente.

Una función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de posibles salidas con la propiedad de que cada entrada está relacionada exactamente con una salida. Un ejemplo es la función que relaciona cada número real x con su cuadrado x 2.

Función compuesta

Sean f: A & rarr B yg: B & rarr C las dos funciones. La función gof: A & rarr C se llama función compuesta de A a C

Si f = <(1,2), (2,3) (3,4)> anf g = <(2, a) (4, c), (3, b)>, entonces demuestre que la función compuesta gof en flecha

diagrama y encontrarlo en forma de pares ordenados.

Tipos de funcion

En función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es sobre, si cada elemento en Y tiene un elemento correspondiente en X tal que f (x) = y.

En función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y está dentro, si el elemento en Y es un subconjunto propio de X

Uno a uno para funcionar

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es uno a uno en función, si cada elemento en Y se asigna de forma única al elemento de X.

Uno a uno en función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es uno a uno en función, si el elemento en Y no se asigna necesariamente al elemento de X.

Muchos a uno para funcionar

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es Muchos a uno en función, si el elemento en Y tiene más de un elemento en x asignado a ellos.

Muchos a uno en función

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es Muchos a uno en función, si el elemento en Y tiene al menos un elemento que no está mapeado al elemento de X.

Algunas funciones algebraicas simples y sus gráficas:

1. Funciones lineales:

Estas son funciones de la forma: y = m x + b,

Donde myb son constantes

Un uso típico de las funciones lineales es la conversión de una cantidad o conjunto de unidades a otro. Los gráficos de estas funciones son líneas rectas. m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Si m es positivo, la línea se eleva hacia la derecha y si m es negativo, la línea desciende hacia la derecha.

2. Funciones cuadráticas:

Estas son funciones de la forma: y = a x 2 + b x + c,

Donde a, byc son constantes

Sus gráficos se llaman parábolas. Este es el siguiente tipo de función más simple después de la función lineal. Los objetos que caen se mueven a lo largo de trayectorias parabólicas. Si a es un número positivo, la parábola se abre hacia arriba y si a es un número negativo, la parábola se abre hacia abajo.

3. Funciones de energía:

Estas son funciones de la forma:

Donde ayb son constantes.

La potencia b es un número entero positivo:

Cuando x = 0 estas funciones son todas cero. Cuando x es grande y positivo, todos son grandes y positivos. Cuando x es grande y negativo, los que tienen poderes pares son grandes y positivos, mientras que los que tienen poderes impares son grandes y negativos.

La potencia b es un número entero negativo:

Cuando x = 0 estas funciones sufren una división por cero y por tanto son todas infinitas. Cuando x es grande y positivo, son pequeños y positivos. Cuando x es grande y negativo, los que tienen poderes pares son pequeños y positivos, mientras que los que tienen poderes impares son pequeños y negativos.

La potencia b es una fracción entre 0 y 1:

Cuando x = 0 estas funciones son todas cero. Las curvas son verticales en el origen y a medida que x aumenta, aumentan pero se curvan hacia el eje x.

Funciones polinomiales:

Estas son funciones de la forma:

Donde unnorte, anorte & menos1, & hellip, un2, a1, a0 son constantes. Solo se permiten potencias de números enteros de x. La mayor potencia de x que se produce se llama grado del polinomio. El gráfico muestra ejemplos de polinomios de grado 4 y grado 5. El grado da el número máximo de "grupos y descensos" que puede tener el polinomio y también el número máximo de cruces del eje x que puede tener.

Funciones racionales:

Estas funciones son la razón de dos polinomios. Un campo de estudio en el que son importantes es el análisis de estabilidad de sistemas mecánicos y eléctricos (que utiliza transformadas de Laplace).

Cuando el polinomio en el denominador es cero, entonces la función racional se vuelve infinita como lo indica una línea de puntos vertical (llamada asíntota) en su gráfica. En el ejemplo de la derecha, esto sucede cuando x = & minus2 y cuando x = 7.

Cuando x se vuelve muy grande, la curva puede estabilizarse. La curva de la derecha se nivela en y = 5.

La gráfica de la derecha muestra otro ejemplo de función racional. Éste tiene una división por cero en x = 0. No se nivela pero se acerca a la línea recta y = x cuando x es grande, como lo indica la línea de puntos (otra asíntota).

Funciones exponenciales:

Estas son funciones de la forma:

Donde x está en un exponente (no en la base como era el caso de la función de potencia) y ayb son constantes. (Tenga en cuenta que solo b se eleva a la potencia x, no a a). Si la base b es mayor que 1, el resultado es un crecimiento exponencial. Muchas cantidades físicas crecen exponencialmente (por ejemplo, poblaciones de animales y efectivo en una cuenta que devenga intereses).

Si la base b es menor que 1, el resultado es una disminución exponencial. Muchas cantidades decaen exponencialmente (por ejemplo, la luz del sol alcanza una profundidad determinada del océano y la velocidad de un objeto se ralentiza debido a la fricción).

Funciones logarítmicas:

Hay muchas formas equivalentes de definir funciones logarítmicas. Los definiremos para que sean de la forma:

Donde x está en el logaritmo natural y ayb son constantes. Solo se definen para x positivo. Para x pequeña son negativas y para x grande son positivas pero permanecen pequeñas. Las funciones logarítmicas describen con precisión la respuesta del oído humano a los sonidos de diferente intensidad y la respuesta del ojo humano a la luz de diferente brillo.

Funciones sinusoidales:

Estas son funciones de la forma:

Donde a, byc son constantes. Las funciones sinusoidales son útiles para describir cualquier cosa que tenga forma de onda con respecto a la posición o el tiempo. Ejemplos son las olas en el agua, la altura de la marea durante el transcurso del día y la corriente alterna en la electricidad. El parámetro a (llamado amplitud) afecta la altura de la onda, b (la velocidad angular) afecta el ancho de la onda yc (el ángulo de fase) desplaza la onda hacia la izquierda o hacia la derecha.


Gráfico completo

Para que un gráfico sea "completo", debemos mostrar todas las características importantes:

  • Puntos de cruce
  • Picos
  • Valles
  • Áreas planas
  • Cualquier otra característica especial

A menudo, esto significa pensar detenidamente en la función.

Ejemplo: (x − 1) / (x 2 −9)

En la página Expresiones racionales, trabajamos para descubrir que la función:

  • cruza el eje x en 1,
  • cruza el eje y en 1/9,
  • tiene asíntotas verticales (donde se dirige hacia menos / más infinito) en −3 y +3

El resultado es que podemos hacer este boceto:


Dado que el gráfico no está conectado, tiene al menos dos componentes. Incluso si tiene más de 2 componentes, puede pensar que tiene 2 "piezas", no necesariamente conectadas.

Sea $ k $ y $ n-k $ el número de vértices en las dos piezas. Entonces, cada vértice en la primera pieza tiene un grado como máximo $ k-1 $, por lo tanto, el número de aristas en el primer componente es como máximo $ frac<2> $, mientras que el número de aristas en el segundo componente es como máximo $ frac <(n-k) (n-k-1)> <2> $.

Para terminar el problema, simplemente demuestre que para $ 1 leq k leq k-1 $ tenemos $ frac<2> + frac <(n-k) (n-k-1)> <2> leq frac <(n-1) (n-2)> <2> $

También puede demostrar que solo obtiene igualdad para $ k = 1 $ o $ k = n-1 $.

Solución alternativa Hay exactamente $ k (n-k) $ aristas entre los vértices de las dos piezas.

Si los agrega a su gráfico, obtiene un gráfico simple, que por el lema de apretón de manos, tiene como máximo $ frac<2> $ bordes.

Por lo tanto, su gráfica tiene como máximo $ frac<2> -k (n-k) $ aristas, con igualdad si las dos piezas son gráficos completos. Para maximizar este número, necesita minimizar $ k (n-k) $ cuando $ 1 leq k leq n-1 $. Esta es una función cuadrática en $ k $.


Problemas abiertos: teoría de grafos y combinatoria

La mayoría de las páginas de este directorio aún no se han creado hasta ahora. Esta es principalmente una lista de algunos problemas conocidos para los que se escribirán páginas más detalladas más adelante. Su accesibilidad en esta etapa temprana es una petición de material aportado para acelerar su desarrollo. La organización de los temas sigue aproximadamente los cuatro volúmenes de El arte de la combinatoria en desarrollo por D.B. Oeste. Por lo tanto, los cuatro encabezados principales son Teoría de gráficos extremos, Estructura de gráficos, Orden y optimización, y Arreglos y métodos.
Alternativamente, a continuación se muestra una búsqueda directa, cortesía de Google. El código proporcionado ya no funciona como debería, pero se ha modificado para buscar en el dominio www.math.uiuc.edu. Por lo tanto, generalmente devolverá algunas páginas en las que no tiene interés, pero también encontrará páginas problemáticas debajo de esta que contienen su término de búsqueda.

Nota: Aquí hay una discusión de la notación para el número de vértices y el número de aristas de un gráfico. GRAMO.


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¿Cuál es el dominio y rango de la función? Suponga que la gráfica no se extiende más allá de la gráfica que se muestra.

Empecemos por el dominio. Recuerde que el dominio es qué tan lejos va la gráfica de izquierda a derecha.

Empiece por mirar el más a la izquierda que va este gráfico. La . X. -valor en el punto más a la izquierda está en. x = -2. Ahora continúa trazando el gráfico hasta que llegues al punto más alejado a la derecha. La . X. -el valor en este punto es. 2. No hay interrupciones en el gráfico que van de izquierda a derecha, lo que significa que es continuo desde. -2. a . 2.

Dominio:. [-2,2]. también escrito como. -2 leq x leq 2.

A continuación, veamos el rango. Recuerde que el rango es qué tan lejos va el gráfico de abajo hacia arriba.

Mire el punto más alejado hacia abajo en el gráfico o la parte inferior del gráfico. La . y. -el valor en este punto es. y = 1. Ahora mire qué tan alto llega el gráfico o la parte superior del gráfico. Esto es cuando . x = -2. o . x = 2. pero ahora estamos encontrando el rango, por lo que debemos mirar el. y. -valor de este punto que se encuentra en. y = 5. No hay interrupciones en el gráfico que van de arriba a abajo, lo que significa que es continuo.


2.2: Funciones y gráficos simples - Matemáticas

Considere los siguientes dos gráficos & # 8211


Son las gráficas y ¿lo mismo?

Si su respuesta es no, entonces necesita repensarlo. La disposición gráfica de los vértices y los bordes hace que se vean diferentes, pero son el mismo gráfico. También observe que el gráfico es un ciclo, específicamente . Para conocer los gráficos de ciclos, lea Conceptos básicos de la teoría de gráficos.

Formalmente,
& # 8220Los gráficos simples y están isomorfo si hay una función biyectiva de a con la propiedad que y son adyacentes en si y solo si y son adyacentes en .”

Ejemplo : Demuestre que las gráficas y mencionados anteriormente son isomorfos.

Solucion: Dejar ser una función biyectiva de a .
Sea la correspondencia entre los gráficos





La correspondencia anterior preserva la adyacencia como-
es adyacente a y en , y
es adyacente a y en
De manera similar, se puede demostrar que la adyacencia se conserva para todos los vértices.
Por eso, y son isomorfos.

Probar que las gráficas anteriores son isomórficas fue fácil ya que las gráficas eran pequeñas, pero a menudo es difícil determinar si dos gráficas simples son isomorfas. Esto es porque hay posibles funciones biyectivas entre los conjuntos de vértices de dos gráficos simples con vértices. Probar la correspondencia para cada una de las funciones no es práctico para valores grandes de n.
Aunque a veces no es tan difícil saber si dos gráficos no son isomorfos. Para demostrar que las gráficas dadas no son isomórficas, podríamos encontrar alguna propiedad que sea característica de una gráfica y no de la otra. Si fueran isomorfos, la propiedad se conservaría, pero como no lo es, los gráficos no son isomorfos.
Tal propiedad que es preservada por isomorfismo se llama gráfico invariante.

    Puede decir que los gráficos dados son isomórficos si tienen:

En la mayoría de los gráficos, basta con comprobar las tres primeras condiciones.

Nota IMPORTANTE : The complementary of a graph has the same vertices and has edges between any two vertices if and only if there was no edge between them in the original graph. Consequently, a graph se ha dicho self-complementary if the graph and its complement are isomorphic.

Connectivity :

Most problems that can be solved by graphs, deal with finding optimal paths, distances, or other similar information. Almost all of these problems involve finding paths between graph nodes.

Path – A path of length de a is a sequence of edges tal que is associated with , and so on, with associated with , dónde y .

Note : A path is called a circuit if it begins and ends at the same vertex. It is also called a cycle.

Connectivity of a graph is an important aspect since it measures the resilience of the graph.
“An undirected graph is said to be connected if there is a path between every pair of distinct vertices of the graph.”

Connected Component – A connected component of a graph is a connected subgraph of that is not a proper subgraph of another connected subgraph of .

For example, in the following diagram, graph is connected and graph is disconnected. Desde is connected there is only one connected component.
But in the case of there are three connected components.

In case the graph is directed, the notions of connectedness have to be changed a bit. This is because of the directions that the edges have.

Formally,
“A directed graph is said to be strongly connected if there is a path from a y a dónde y are vertices in the graph. The graph is weakly connected if the underlying undirected graph is connected.”

Strongly Connected Component –
Analogous to connected components in undirected graphs, a strongly connected component is a subgraph of a directed graph that is not contained within another strongly connected component.

Articulation points –

The removal of a vertex and all the edges incident with it may result in a subgraph that has more connected components than in the original graphs. Such vertices are called articulation points or cut vertices.
Analogous to cut vertices are cut edge the removal of which results in a subgraph with more connected components. A cut-edge is also called a bridge.

Cut set – In a connected graph , a cut-set is a set of edges which when removed from leaves disconnected, provided there is no proper subset of these edges disconnects .

Paths and Isomorphisms –

  • Example – Are the two graphs shown below isomorphic?
  • Solution – Both the graphs have 6 vertices, 9 edges and the degree sequence is the same. However the second graph has a circuit of length 3 and the minimum length of any circuit in the first graph is 4. Hence the given graphs are not isomorphic.

GATE CS Corner Questions

Practicing the following questions will help you test your knowledge. All questions have been asked in GATE in previous years or GATE Mock Tests. It is highly recommended that you practice them.

This article is contributed by Chirag Manwani. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article using contribute.geeksforgeeks.org or mail your article to [email protected] See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.

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Reflections

A reflection A transformation that produces a mirror image of the graph about an axis. is a transformation in which a mirror image of the graph is produced about an axis. In this section, we will consider reflections about the X- y y-eje. The graph of a function is reflected about the x-axis if each y-coordinate is multiplied by −1. The graph of a function is reflected about the y-axis if each X-coordinate is multiplied by −1 before the function is applied. For example, consider g ( x ) = − x and h ( x ) = − x .

Compare the graph of gramo y h to the basic square root function defined by f ( x ) = x , shown dashed in grey below:

The first function gramo has a negative factor that appears “inside” the function this produces a reflection about the y-eje. The second function h has a negative factor that appears “outside” the function this produces a reflection about the X-eje. In general, it is true that:

Reflection about the y-axis:

Reflection about the X-axis:

When sketching graphs that involve a reflection, consider the reflection first and then apply the vertical and/or horizontal translations.

Ejemplo 5

Sketch the graph of g ( x ) = − ( x + 5 ) 2 + 3 .

Begin with the squaring function and then identify the transformations starting with any reflections.

y = x 2 B a s i c f u n c t i o n . y = − x 2 R e f l e c t i o n a b o u t t h e x - a x i s . y = − ( x + 5 ) 2 H o r i z o n t a l s h i f t l e f t 5 u n i t s . y = − ( x + 5 ) 2 + 3 V e r t i c a l s h i f t u p 3 u n i t s .

Use these translations to sketch the graph.

Try this! Sketch the graph of g ( x ) = − | x | + 3 .


How to solve piecewise functions?

Now that we’ve learned about this unique function, how do we make sure that we return the right value for the function given X? Here are tips to remember when solving for and evaluating piecewise functions:

  • Double-check where x lies in the given interval.
  • Evaluate the value using the corresponding function.

Let’s say we want to find f(8) using the piecewise function that we’ve shown.

Since 8 is greater than 0, the function we’ll use to evaluate f(8) es f(x) = 2x. Hence, we have f(8) = 2(8) = 16. This also means that f(-6) = -2(-6) = 12 y f(0) = 1.


What Is the Greatest Integer Function?

$lfloor x floor = mbox$ menos que o equal to $x$.

In mathematical notation we would write this as

The notation "$minmathbb$" means "$m$ is an integer".

Ejemplos de

Example 1---Basic Calculations

If we examine a number line with the integers and 2.7 plotted on it, we see

The largest integer that is menos que 2.7 is 2. So $lfloor 2.7 floor = 2$ .

If we examine a number line with the integers and -1.3 plotted on it, we see

Since the largest integer that is menos que -1.3 is -2, so $lfloor -1.3 floor = -2$ .

Since $lfloor x floor =$ the largest integer that is less than or equal to $x$, we know $lfloor 8 floor = 8$ .

Graphing the Greatest Integer Function

To understand the behavior of this function, in terms of a graph, let's construct a table of values.

$ egin <|c|c|>hline x & lfloor x floor hline -1.5 & -2 -1.25 & -2 -1 & -1 -0.75 & -1 -0.5 & -1 -0.25 & -1 0 & 0 0.25 & 0 0.5 & 0 0.75 & 0 1 & 1 1.25 & 1 1.5 & 1 hline end $

The table shows us that the function increases to the next highest integer any time the x-value becomes an integer. This results in the following graph.

Respuesta

Ejemplo 2

Sketch a graph of $y = leftlfloor frac 1 2x ight floor$ .

We know what the basic graph should look like, so we just need to understand how the factor of $frac 1 2$ is going to affect things. We can do this in two ways: we can make a table of values, or we can interpret this as a transformation.

$ egin empezar <|c|c|c|>hline x & frac 1 2 x & leftlfloor frac 1 2 x ight floor[6pt] hline -2 & -1.5 & -2[6pt] -1.5 & -0.75 & -1[6pt] -1 & -0.5 & -1[6pt] -0.5 & -0.25 & -1[6pt] 0 & 0 & 0[6pt] 0.5 & 0.25 & 0[6pt] 1 & 0.5 & 0[6pt] 1.5 & 0.75 & 0[6pt] 2 & 1 & 1[6pt] hline end final $

We notice from the table that the function values jump to the next value when $x$ is even.

We can interpret $y = leftlfloor frac 1 2 x ight floor$ as a horizontal stretch which doubles the length of each piece.

Respuesta:

Solving Equations

There is a formula that can help us when working with equations that involve the floor function.

$lfloor x floor = mqquadmboxquad m leq x $lfloor 2x + 5 floor = 9$ .

Rewrite the equation using the inequality.

$ egin 9 & leq 2x + 5 Answer:

In interval notation, the equation is true for $x in [2, 2.5)$ .

Ejemplo 4

Solve the equation $lfloor 1.25 + lfloor x floor floor = 12$ .

Replace $lfloor x floor$ with $u$. This is called a "change of variable" and it will make the equation easier to work with.

$ egin lfloor 1.25 + lfloor x floor floor & = 12[6pt] lfloor 1.25 + u floor & = 12 end $

Replace the equation with one of the inequalities, where $m = 12$

$ egin 12 & leq 1.25 + u $lfloor x floor$ is an integer, the only way to satisfy the above inequalities is for $lfloor x floor = 11$ .


Ver el vídeo: Gráfica de la función lineal. Ejemplo 1 (Septiembre 2021).