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1.3: Terminología y aritmética básica


Definición

Números complejos se definen como el conjunto de todos los números

(z = x + yi ),

donde (x ) y (y ) son números reales.

  • Denotamos el conjunto de todos los números complejos por ( mathbb {C} ).
  • Llamamos (x ) el parte real de (z ). Esto se denota por (x = text {Re} (z) ).
  • Llamamos (y ) el parte imaginaria de (z ). Esto se denota por (y = text {Im} (z) ).

Importante: La parte imaginaria de (z ) es una Número Real. Eso no es incluir el (i ).

Las operaciones aritméticas básicas siguen las reglas estándar. Todo lo que tienes que recordar es que (i ^ 2 = -1 ). Repasaremos estos rápidamente usando algunos ejemplos simples. Casi no hace falta decir que es esencial que domines estas manipulaciones.

  • Adición: ((3 + 4i) + (7 + 11i) = 10 + 15i )
  • Sustracción: ((3 + 4i) - (7 + 11i) = -4 - 7i )
  • Multiplicación:

((3 + 4i) (7 + 11i) = 21 + 28i + 33i + 44i ^ 2 = -23 + 61i. )

Aquí hemos utilizado el hecho de que (44i ^ 2 = -44 ).

Antes de hablar de división y valor absoluto, presentamos una nueva operación llamada conjugación. Será útil tener un nombre y un símbolo para esto, ya que lo usaremos con frecuencia.

Definición: conjugación compleja

Conjugación compleja se denota con una barra y se define por

( overline {x + iy} = x - iy ).

Si (z = x + iy ) entonces su conjugado es ( bar {z} = x - iy ) y leemos esto como "z-bar = (x - iy )".

Ejemplo ( PageIndex {1} )

( overline {3 + 5i} = 3 - 5i ).

La siguiente es una muy propiedad útil de la conjugación: Si (z = x + iy ) entonces

(z bar {z} = (x + iy) (x - iy) = x ^ 2 + y ^ 2 )

Tenga en cuenta que (z bar {z} ) es real. Usaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo para ayudar con la división.

Ejemplo ( PageIndex {2} ) (División).

Escribe ( dfrac {3 + 4i} {1 + 2i} ) en la forma estándar (x + iy ).

Solución

Usamos la propiedad útil de la conjugación para borrar el denominador:

( dfrac {3 + 4i} {1 + 2i} = dfrac {3 + 4i} {1 + 2i} cdot dfrac {1 - 2i} {1 - 2i} = dfrac {11 - 2i} { 5} = dfrac {11} {5} - dfrac {2} {5} i ).

En la siguiente sección discutiremos la geometría de los números complejos, lo que da una idea del significado de la magnitud de un número complejo. Por ahora solo damos la definición.

Definición: Magnitud

La magnitud del número complejo (x + iy ) se define como

(| z | = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

La magnitud también se llama valor absoluto, norma o módulo.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

La norma de (3 + 5i = sqrt {9 + 25} = sqrt {34} ).

Importante. La norma es la suma de (x ^ 2 ) y (y ^ 2 ). No incluye (i ) y, por tanto, siempre es positivo.


1.3: Terminología y aritmética básica

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La mayoría de los fenómenos del mundo que te rodea se basan, en el nivel fundamental, en la física, y gran parte de la física se basa en la mecánica. La mecánica comienza cuantificando el movimiento y luego explicándolo en términos de fuerzas, energía y momento. Esto nos permite analizar el funcionamiento de muchos fenómenos familiares que nos rodean, pero también la mecánica de planetas, estrellas y galaxias. Este curso bajo demanda se recomienda para estudiantes de secundaria y universitarios principiantes y para cualquier persona con curiosidad por la física básica. (La encuesta nos dice que los profesores de ciencias también lo utilizan con frecuencia). El curso utiliza ricos tutoriales multimedia para presentar el material: clips de películas de experimentos clave, animaciones y problemas de ejemplo resueltos, todo con un narrador amigable. Hará una serie de problemas de práctica interesantes y, en un componente opcional, utilizará su ingenio para completar experimentos en casa utilizando materiales sencillos y cotidianos. Necesitarás algunas matemáticas de la escuela secundaria: aritmética, un poco de álgebra, ecuaciones cuadráticas y las funciones seno, coseno y tangente de la trigonometría. El curso no utiliza cálculo. Sin embargo, proporcionamos una ayuda de estudio que presenta el cálculo que acompañaría a este curso si se impartiera en una universidad. Al estudiar mecánica en este curso, comprenderá con mayor profundidad muchas de las maravillas que le rodean en la vida cotidiana, en la tecnología y en el universo en general. Mientras tanto, creemos que usted también se divertirá un poco.

Рецензии

Verdaderamente asombroso para los estudiantes que aspiran al campo de la ciencia y en la aplicación de la vida real. Y también para aquellos que quieran revisar los conceptos de la física.

El curso es muy útil y se presenta de una manera agradable para que podamos entender el tema con claridad y utilizarlo en la resolución de problemas del mundo real.

Introducción y herramientas básicas

Esta sección introductoria cubre algunas herramientas básicas que necesitará para resolver algunos de los problemas de física que encontraremos más adelante.

Преподаватели

Prof. Joe Wolfe

Dra. Elizabeth J. Angstmann

Director de Física de primer año

Sr. Sebastian Fricke

Docente y gerente de laboratorio

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[MÚSICA] Aquí & # x27s una distinción muy importante. La velocidad es un ejemplo de lo que llamamos una cantidad escalar. Tiene. Tiene magnitud o tamaño sin dirección. La velocidad es un vector, tiene magnitud y dirección. [RISAS] Y la dirección es importante. Una velocidad de 1 metro por segundo al este no es buena si quieres ir al norte. Note la notación. Al escribir a mano, una letra V normal es la velocidad, que es el escalar. Para la velocidad, escribo V con una línea ondulada debajo, que indica que es un vector. Algunas personas ponen una flecha encima del vector en letra manuscrita y, al imprimir vectores, a menudo se les asignan funciones en negrita. Cuando especificamos un vector, debemos dar magnitud y dirección. Mira estas declaraciones. Esta ecuación es correcta. Tenemos un vector en ambos lados de la ecuación. El segundo no puede ser cierto, porque un vector no puede ser igual a un escalar. La tercera ecuación es correcta. Las dos líneas verticales significan la magnitud de un vector. Y la magnitud de un vector es de hecho un escalar. Por supuesto, la magnitud de la velocidad debe tener dimensiones de distancia por unidad de tiempo. La distancia es otro ejemplo de escalar. 30 centímetros es una distancia. En contraste, 30 centímetros al este es un desplazamiento. Desplazo mi bolígrafo 30 centímetros hacia el este. Si lo desplazo 30 centímetros hacia el sur, es un desplazamiento diferente. Ciertamente noto la diferencia cuando voy a buscar mi bolígrafo. Los escalares tienen magnitud de tamaño, pero no dirección. Los vectores tienen magnitud y dirección. Sumar y restar escalares es simple. Lo has estado haciendo durante años. Todo lo que tienes que hacer es recordar hacer las unidades correctamente y luego hacer la aritmética. 3 segundos + 4 segundos = 7 segundos. Sumar y restar vectores es más complicado. Suponga que el vector A está cinco metros al norte y el vector B está cinco metros al este. Los he dibujado aquí como flechas. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector. En este contexto, he escrito el norte y el este como vectores porque lo son. Tienen una dirección y su magnitud es una. Son ejemplos de lo que llamamos vectores unitarios. Bien, vayamos cinco metros al norte, gire en ángulo recto y cinco metros al este. Nuestro nuevo desplazamiento está al noreste de nuestro punto de partida. El teorema de Pitágoras & # x27 nos da la magnitud del nuevo desplazamiento. La magnitud de A + B es la raíz cuadrada. 5 metros cuadrados más 5 metros cuadrados equivalen a 7 metros. Recuerde una cifra significativa. Entonces, cuando representamos A y B con flechas, simplemente las agregamos colocándolas de la cabeza a la cola. Deje que & # x27s escriba la suma como vector C = A + B. Ahora, ya sabe cómo sumar vectores. Bueno, ¿qué pasa con A- B, cómo restamos vectores? Hay dos maneras. Podríamos decir que A- B = A + (-B). B está cinco metros al este, por lo que (-B) está cinco metros al oeste. Así que aquí & # x27s un diagrama de A + (-B), esa & # x27s es una forma fácil de restar vectores. Aquí & # x27s de otra manera, cuando digo 7- 4 = 3 quiero decir que 3 es lo que tengo que sumar a 4 para obtener 7. Entonces, si D = A- B, entonces D es lo que tengo que sumar B para obtener A. Voy a agregar B a algo para obtener A. Bueno, ahí está. A- B. Entonces podemos dibujar los vectores cara a cara, para restarlos. ¿Está claro? Bueno, realmente no lo sabrás hasta que hagas algunos ejemplos. Dejemos que & # x27s haga una prueba. [MÚSICA]


¿Cómo se encuentra la suma de la serie aritmética 1 + 3 + 5 +? + 27?

La suma de n términos de una secuencia aritmética viene dada por:

# S_n = n / 2 [2a + (n - 1) d] #

donde a, es el primer término, d la diferencia común yn, el número de términos a sumar.

Aquí a = 1, d = 2 y n = 14

#rArr S_14 = 14/2 [(2xx1) + (13xx2)] = 196 #

Solución reelaborada y resultó ser 196

Explicación:

Serie: # "" color (verde) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. +27) #

#underline ("Recuento de posiciones (n) | Valor de término | suma") #
#" 1 | 1 | 1"#
#" 2 | 3 | 4"#
#" 3 | 5 | 9"#
#" 4 | 7 | 16"#

Observe que cada término se calcula mediante # 2n-1 #

#color (verde) ("Entonces, el número de términos se encuentra por:" 2n-1 = 27) #

#color (marrón) (= & gt n = 28/2 = 14 "términos") # que es un número par

#color (magenta) ("Tenemos 7 pares de números") #

Hay un truco para resolver estos

Entonces, para un recuento par de valores, la suma es

Tenemos # n = 14 # términos que es par, por lo que podemos aplicar este método


Suponga que ha habido un número impar de términos.

Podríamos emparejar nuestros valores como se indicó anteriormente, pero habría un solo valor no emparejado en el medio. En este caso, tendrías:

# "" [(n-1) / 2 ("Primero" + "Último")] + "término medio" #

El # n-1 # excluye matemáticamente el término medio, por lo que debe volver a colocarlo con # "+ término medio" #


#color (red) ("Juega más con esta configuración y te darás cuenta de que") #
#color (rojo) ("que la suma es el valor medio multiplicado por n.") #
#color (red) ("Una investigación más a fondo revelará que la suma es" n ^ 2) #


Términos y definiciones eléctricos básicos

Corriente alterna (CA) & mdash Una corriente eléctrica que invierte su dirección muchas veces por segundo a intervalos regulares.

Amperímetro & mdash Un instrumento para medir el flujo de corriente eléctrica en amperios. Los amperímetros siempre están conectados en serie con el circuito que se va a probar.

Ampacidad & mdash La cantidad máxima de corriente eléctrica que un conductor o dispositivo puede transportar antes de sufrir un deterioro inmediato o progresivo.

Amperio-hora (Ah) & mdash Una unidad de medida para la capacidad de la batería. Se obtiene multiplicando la corriente (en amperios) por el tiempo (en horas) durante el cual fluye la corriente. Por ejemplo, se dice que una batería que proporciona 5 amperios durante 20 horas proporciona 100 amperios-hora.

Amperio (A) & mdash Unidad de medida de la intensidad de una corriente eléctrica que fluye en un circuito. Un amperio es igual a un flujo de corriente de un culombio por segundo.

Poder aparente & mdash Medido en voltios-amperios (VA). La potencia aparente es el producto del voltaje rms y la corriente rms.

Armadura & mdash La parte móvil de un generador o motor. Está compuesto por conductores que giran a través de un campo magnético para proporcionar voltaje o fuerza por inducción electromagnética. Los puntos de pivote en los reguladores del generador también se denominan armaduras.

Capacidad & mdash La capacidad de un cuerpo para almacenar una carga eléctrica. Medido en faradios como la relación entre la carga eléctrica del objeto (Q, medido en culombios) y el voltaje a través del objeto (V, medido en voltios).

Condensador & mdash Dispositivo utilizado para almacenar una carga eléctrica, que consta de uno o más pares de conductores separados por un aislante. Se usa comúnmente para filtrar picos de voltaje.

Circuito & mdash Un camino cerrado en el que fluyen electrones de una fuente de voltaje o corriente. Los circuitos pueden ser en serie, en paralelo o en cualquier combinación de los dos.

Cortacircuitos & mdash Un dispositivo automático para detener el flujo de corriente en un circuito eléctrico. Para restaurar el servicio, el disyuntor debe reiniciarse (cerrarse) después de corregir la causa de la sobrecarga o falla. Los disyuntores se utilizan junto con relés de protección para proteger los circuitos de fallas.

Conductor & mdash Cualquier material donde la corriente eléctrica pueda fluir libremente. Los materiales conductores, como los metales, tienen una resistencia relativamente baja. Los cables de cobre y aluminio son los conductores más comunes.

Corona & mdash Una descarga de corona es una descarga eléctrica provocada por la ionización de un fluido como el aire que rodea a un conductor que está cargado eléctricamente. Las descargas de corona espontáneas ocurren naturalmente en sistemas de alto voltaje a menos que se tenga cuidado de limitar la fuerza del campo eléctrico.

Corriente (I) & mdash El flujo de una carga eléctrica a través de un conductor. Una corriente eléctrica se puede comparar con el flujo de agua en una tubería. Medido en amperios.

Ciclo & mdash El cambio en una onda sinusoidal eléctrica alterna de cero a un pico positivo a cero a un pico negativo y de nuevo a cero. Ver frecuencia.

Demanda & mdash El valor promedio de potencia o cantidad relacionada durante un período de tiempo específico.

Constante dieléctrica & mdash Una cantidad que mide la capacidad de una sustancia para almacenar energía eléctrica en un campo eléctrico.

Resistencia dieléctrica & mdash El campo eléctrico máximo que un material puro puede soportar en condiciones ideales sin romperse (es decir, sin experimentar fallas en sus propiedades aislantes).

Diodo & mdash Un dispositivo semiconductor con dos terminales, que normalmente permite el flujo de corriente en una sola dirección. Los diodos permiten que la corriente fluya cuando el ánodo es positivo en relación con el cátodo.

Corriente continua (DC) & mdash Una corriente eléctrica que fluye en una sola dirección.

Electrólito & mdash Cualquier sustancia que, en solución, se disocie en iones y, por tanto, sea capaz de conducir una corriente eléctrica. La solución de ácido sulfúrico y agua en una batería de almacenamiento es un electrolito.

Fuerza electromotriz & mdash (EMF) Diferencia de potencial que tiende a dar lugar a una corriente eléctrica. Medido en voltios.

Electrón & mdash Partícula diminuta que gira alrededor del núcleo de un átomo. Tiene carga eléctrica negativa.

Teoría de electrones & mdash La teoría que explica la naturaleza de la electricidad y el intercambio de electrones "libres" entre átomos de un conductor. También se utiliza como una teoría para explicar la dirección del flujo de corriente en un circuito.

Faradio & mdash Unidad de medida de capacitancia. Un faradio es igual a un culombio por voltio.

Ferrorresonancia & mdash (resonancia no lineal) un tipo de resonancia en circuitos eléctricos que se produce cuando un circuito que contiene una inductancia no lineal se alimenta desde una fuente que tiene capacitancia en serie, y el circuito está sujeto a una perturbación, como la apertura de un interruptor. Puede causar sobretensiones y sobrecorrientes en un sistema de energía eléctrica y puede representar un riesgo para los equipos de transmisión y distribución y para el personal operativo.

Frecuencia & mdash El número de ciclos por segundo. Medido en hercios. Si una corriente completa un ciclo por segundo, entonces la frecuencia es 1 Hz, 60 ciclos por segundo equivalen a 60 Hz.

Fusible & mdash Un dispositivo de interrupción de circuito que consiste en una tira de alambre que se derrite y rompe un circuito eléctrico si la corriente excede un nivel seguro. Para restaurar el servicio, el fusible debe reemplazarse con un fusible similar con el mismo tamaño y clasificación después de corregir la causa de la falla.

Generador & mdash Un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica.

Suelo & mdash El punto de referencia en un circuito eléctrico a partir del cual se miden los voltajes, una ruta de retorno común para la corriente eléctrica o una conexión física directa a la Tierra.

Interruptores de circuito de falla a tierra (GFCI) & mdash Un dispositivo destinado a la protección del personal que funciona para desenergizar un circuito o parte del mismo dentro de un período de tiempo establecido cuando una corriente a tierra excede un valor predeterminado que es menor que el requerido para operar el dispositivo de protección contra sobrecorriente del suministro. circuito.

Enrique & mdash Unidad de medida de la inductancia. Si la tasa de cambio de la corriente en un circuito es de un amperio por segundo y la fuerza electromotriz resultante es de un voltio, entonces la inductancia del circuito es de un henry.

Hertz & mdash Unidad de medida de frecuencia. Reemplazo del término anterior de ciclo por segundo (cps).

Impedancia & mdash La medida de la oposición que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica un voltaje. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de CA y posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que solo tiene magnitud.

Inductancia & mdash La propiedad de un conductor por la cual un cambio en la corriente que fluye a través de él induce (crea) un voltaje (fuerza electromotriz) tanto en el conductor mismo (autoinductancia) como en cualquier conductor cercano (inductancia mutua). Medido en Henry (H).

Inductor & mdash Una bobina de alambre enrollada alrededor de un núcleo de hierro. La inductancia es directamente proporcional al número de vueltas de la bobina.

Aislante & mdash Cualquier material donde la corriente eléctrica no fluya libremente. Los materiales aislantes, como el vidrio, el caucho, el aire y muchos plásticos, tienen una resistencia relativamente alta. Los aisladores protegen el equipo y la vida de las descargas eléctricas.

Inversor & mdash Aparato que convierte la corriente continua en corriente alterna.

Kilovatio-hora (kWh) & mdash El producto de la potencia en kW y el tiempo en horas. Igual a 1000 vatios-hora. Por ejemplo, si se usa una bombilla de 100W durante 4 horas, se usarán 0.4kWhs de energía (100W x 1kW / 1000 Watts x 4 horas). La energía eléctrica se vende en unidades de kWh.

Medidor de kilovatios-hora & mdash Dispositivo que se utiliza para medir el uso de energía eléctrica.

Kilovatio (kilovatio) & mdash Igual a 1000 vatios.

Carga & mdash Cualquier cosa que consuma energía eléctrica, como luces, transformadores, calentadores y motores eléctricos.

Rechazo de carga & mdash La condición en la que hay una pérdida de carga repentina en el sistema que hace que el equipo generador tenga una sobrefrecuencia. Una prueba de rechazo de carga confirma que el sistema puede soportar una pérdida repentina de carga y volver a las condiciones normales de funcionamiento utilizando su gobernador. Los bancos de carga se utilizan normalmente para estas pruebas como parte del proceso de puesta en servicio de los sistemas de energía eléctrica.

Inducción mutua & mdash Ocurre cuando el cambio de corriente en una bobina induce voltaje en una segunda bobina.

Ohm & mdash (& # 8486) Unidad de medida de resistencia. Un ohmio es equivalente a la resistencia en un circuito que transmite una corriente de un amperio cuando se somete a una diferencia de potencial de un voltio.

Ley de Ohm & mdash La ecuación matemática que explica la relación entre corriente, voltaje y resistencia (V = IR).

Ohmímetro & mdash Un instrumento para medir la resistencia en ohmios de un circuito eléctrico.

Circuito abierto & mdash Un circuito abierto o abierto ocurre cuando un circuito se rompe, como por un cable roto o un interruptor abierto, interrumpiendo el flujo de corriente a través del circuito. Es análogo a una válvula cerrada en un sistema de agua.

Circuito paralelo & mdash Un circuito en el que hay múltiples caminos para que fluya la electricidad. Cada carga conectada en una ruta separada recibe el voltaje de circuito completo, y la corriente total del circuito es igual a la suma de las corrientes de derivación individuales.

Piezoelectricidad & mdash Polarización eléctrica en una sustancia (especialmente ciertos cristales) resultante de la aplicación de una tensión mecánica (presión).

Polaridad & mdash Término colectivo que se aplica a los extremos positivo (+) y negativo (-) de un imán o mecanismo eléctrico, como una bobina o una batería.

Energía & mdash La velocidad a la que la energía eléctrica es transferida por un circuito eléctrico. Medido en Watts.

Factor de potencia & mdash La relación entre la potencia eléctrica real disipada por un circuito de CA y el producto del valor eficaz. valores de corriente y voltaje. La diferencia entre los dos se debe a la reactancia en el circuito y representa una potencia que no realiza ningún trabajo útil.

Relé de protección & mdash Un dispositivo de relé diseñado para disparar un disyuntor cuando se detecta una falla.

Poder reactivo & mdash La porción de electricidad que establece y sostiene los campos eléctricos y magnéticos de los equipos de CA. Existe en un circuito de CA cuando la corriente y el voltaje no están en fase. Medido en VARS.

Rectificador & mdash Un dispositivo eléctrico que convierte una corriente alterna en una directa al permitir que la corriente fluya a través de ella en una sola dirección.

Relé & mdash Un interruptor de bobina eléctrica que usa una pequeña corriente para controlar una corriente mucho mayor.

Reluctancia & mdash La resistencia que ofrece un circuito magnético a las líneas de fuerza en un campo magnético.

Resistencia & mdash La oposición al paso de una corriente eléctrica. La resistencia eléctrica se puede comparar con la fricción que experimenta el agua cuando fluye a través de una tubería. Medido en ohmios.

Resistor & mdash Un dispositivo generalmente hecho de alambre o carbono que presenta una resistencia al flujo de corriente.

Rotor & mdash La parte giratoria de una máquina eléctrica, como un generador, motor o alternador.

Autoinducción & mdash Voltaje que ocurre en una bobina cuando hay un cambio de corriente.

Semiconductor & mdash Una sustancia sólida que tiene una conductividad entre la de un aislante y la de la mayoría de los metales, ya sea debido a la adición de una impureza o debido a los efectos de la temperatura. Los dispositivos hechos de semiconductores, especialmente de silicio, son componentes esenciales de la mayoría de los circuitos electrónicos.

Circuito en serie-paralelo & mdash Un circuito en el que algunos de los componentes del circuito están conectados en serie y otros están conectados en paralelo.

Circuito en serie & mdash Un circuito en el que solo hay un camino para que fluya la electricidad. Toda la corriente en el circuito debe fluir a través de todas las cargas.

Servicio & mdash Los conductores y equipos que se utilizan para suministrar energía desde el sistema de suministro eléctrico al sistema que se sirve.

Cortocircuito & mdash Cuando una parte de un circuito eléctrico entra en contacto con otra parte del mismo circuito, desviando el flujo de corriente de su camino deseado.

Circuito de estado sólido & mdash Circuitos electrónicos (integrados) que utilizan dispositivos semiconductores como transistores, diodos y rectificadores controlados por silicio.

Transistor & mdash Un dispositivo semiconductor con tres conexiones, capaz de amplificación además de rectificación.

Poder verdadero & mdash Medido en Watts. El poder manifestado en forma tangible como radiación electromagnética, ondas acústicas o fenómenos mecánicos. En un circuito de corriente continua (CC), o en un circuito de corriente alterna (CA) cuya impedancia es una resistencia pura, el voltaje y la corriente están en fase.

VARS & mdash Unidad de medida de potencia reactiva. Los Vars pueden considerarse como la parte imaginaria de la potencia aparente o la potencia que fluye hacia una carga reactiva, donde el voltaje y la corriente se especifican en voltios y amperios.

Resistencia variable & mdash Una resistencia que se puede ajustar a diferentes rangos de valor.

Voltio-amperio (VA) & mdash Unidad de medida de potencia aparente. Es el producto del voltaje rms y la corriente rms.

Voltios (V) & mdash Unidad de medida de voltaje. Un voltio es igual a la diferencia de potencial que conduciría un amperio de corriente contra una resistencia de un ohmio.

Voltaje & mdash Fuerza electromotriz o "presión" que hace que los electrones fluyan y se puede comparar con la presión del agua que hace que el agua fluya en una tubería. Medido en voltios.

Voltímetro & mdash Un instrumento para medir la fuerza en voltios de una corriente eléctrica. Esta es la diferencia de potencial (voltaje) entre diferentes puntos en un circuito eléctrico. Los voltímetros tienen una alta resistencia interna y están conectados a través (en paralelo a) los puntos donde se va a medir el voltaje.

Watt-hora (Wh) & mdash Unidad de energía eléctrica equivalente a un consumo de energía de un vatio durante una hora.

Vatio (W) & mdash Una unidad de energía eléctrica. Un vatio equivale a un joule por segundo, correspondiente a la potencia en un circuito eléctrico en el que la diferencia de potencial es un voltio y la corriente un amperio.

Vatímetro & mdash El vatímetro es un instrumento para medir la potencia eléctrica (o la tasa de suministro de energía eléctrica) en vatios de cualquier circuito dado.

Forma de onda & mdash Una representación gráfica de ciclos eléctricos que muestra la cantidad de variación en amplitud durante un período de tiempo.

Referencias: Wikipedia, EPQ # 138 - Definiciones y términos eléctricos básicos, NFPA-70, IEEE


Las matemáticas preescolares proporcionan bloques de construcción académicos

Las habilidades matemáticas básicas que los maestros brindan en la educación infantil establecen los pilares de toda la carrera académica. Sin aprender habilidades simples como el sentido numérico, conceptos matemáticos y la aplicación simple de ideas como sumar, los niños no están preparados para pasar a la educación primaria. Afortunadamente, los niños pequeños pueden aprender a un ritmo notable y los maestros pueden aplicar conceptos o habilidades matemáticas a las actividades normales de la infancia.


Consejos para padres de niños en edad preescolar

Probablemente tenga el hábito de medir el crecimiento de su niño en edad preescolar comprobando su altura y peso. Pero, ¿cómo puede medir el desarrollo de su hijo en otras áreas, como números y conteo - habilidades matemáticas tempranas?

¡Piense en todas las formas en que los números y el conteo son parte de la vida de su hijo! Desde los dedos de los pies enjabonados en la bañera hasta "¡prepárate y listo!" En el patio, está bien posicionado para observar y recopilar información sobre las primeras habilidades matemáticas que está desarrollando su hijo de 3 a 4 años. Las preguntas y los consejos que siguen le ayudarán a comprender qué conocimiento y habilidades matemáticas su hijo debería haberlo hecho y cómo puede apoyar su desarrollo.

¿Su hijo está desarrollando números y habilidades de conteo apropiados para su edad?

Es útil saber qué números y habilidades de conteo debe desarrollar su hijo a los 3 o 4 años. Revise la siguiente lista de hitos y observe cómo le está yendo a su hijo en cada área. Mi niño:

  • Es consciente y tiene curiosidad acerca de cómo los números y el conteo se aplican a su vida y al mundo que lo rodea.
  • Puede contar correctamente al menos cinco objetos.
  • Puede señalar lugares en una recta numérica y contar con correspondencia 1 a 1 a lo largo de la línea (de izquierda a derecha, de derecha a izquierda)
  • Entiende que el número escrito "3" significa tres objetos, y lo mismo con los números 1-5.
  • Puede sumar y restar pequeñas cantidades de objetos familiares. Por ejemplo: “Tengo tres galletas. Tienes dos. ¿Cuántos tenemos todos juntos? "
  • Puede poner números escritos (numerales) del 1 al 5 en el orden correcto, de pequeño a grande.
  • Puede contar del uno al diez en el orden correcto.
  • Entiende conceptos de cantidad (por ejemplo, "más" y "menos") y tamaño (como "más grande" y "más pequeño") y usa esos términos correctamente.

Fomentar los números y las habilidades para contar en casa

Ahora que conoce algunas de las habilidades y conceptos matemáticos básicos que su hijo en edad preescolar debe tener, puede reforzar y desarrollar estas habilidades. Hay muchas formas en que usted y su hijo pueden jugar con los números y contar durante el día. Aquí hay algunas ideas para comenzar:

  • Muéstrele a su hijo cómo los números y el conteo se aplican a la vida cotidiana. Use palabras numéricas, señale números e involucre a su hijo en actividades de conteo a medida que avanza el día. Por ejemplo: Pídale a su hijo que le ayude a medir los ingredientes de una receta midiendo y contando la cantidad de tazas o cucharadas. Hable sobre cómo las cosas o cantidades son más, menos, más grandes y más pequeñas, y asegúrese de elogiar sus esfuerzos y su progreso en el conocimiento de las matemáticas.
  • Reúna una variedad de materiales que su hijo pueda usar para contar de forma práctica. Las llaves viejas, las tapas de botellas de plástico y los botones funcionan bien. Recójalos en una bolsa o frasco y elija una hora para contarlos y volver a contarlos una y otra vez. (Para mayor diversión, ofrezca conjeturas sobre la cantidad total de elementos y vea quién se acerca más).
  • Utilice elementos de la casa para experimentar con sumas, restas y actividades de “más” y “menos”.
  • Leer, contar historias, cantar canciones y recitar poemas que incluyan números y conteo. Trate de incluir libros en los que los personajes vayan y vengan a medida que avanza la historia.
  • Juegue juegos de mesa sencillos que pidan a los jugadores que cuenten los espacios en el tablero, los objetos utilizados en el juego y reconozcan los números impresos o su representación (como "puntos en dados").

Nota: Si su hijo tiene una niñera o un proveedor de cuidado diurno habitual, asegúrese de transmitir estos consejos al cuidador.

Promoción de habilidades numéricas y de conteo en el preescolar

El salón de clases de preescolar está lleno de oportunidades para aprender y practicar habilidades numéricas y de conteo. Asegúrese de hablar con el maestro de su hijo sobre las actividades de enseñanza estructuradas para desarrollar habilidades en esta área. Para realizar un seguimiento del progreso de su hijo en las primeras habilidades matemáticas, querrá:

  • Pregúntele al maestro de su hijo a qué lecciones, juegos y actividades de matemáticas tempranas está expuesto su hijo y dónde está teniendo éxito o luchando.
  • Descubra qué habilidades matemáticas tempranas su hijo necesitará dominar para garantizar un comienzo sin problemas del año de jardín de infantes
  • Mire el trabajo y los proyectos que su hijo trae a casa de la escuela. Busque números y temas y elementos de conteo y discútalos juntos.
  • Anime a su hijo a hablar sobre la escuela y si encuentra interesantes (o difíciles) los números y el conteo.

¿Motivo de preocupación? A dónde acudir para obtener asesoramiento y asistencia

Tenga la seguridad de que el desarrollo "normal" de las habilidades matemáticas iniciales no progresa exactamente de la misma manera para todos los niños en edad preescolar. Sin embargo, es posible que desee buscar ayuda si su hijo:

  • Tiene dificultad con el conteo simple.
  • No comprende la correspondencia uno a uno entre los símbolos numéricos y los elementos / objetos.
  • No parece comprender ni notar variaciones de tamaño, patrones o formas.
  • No ve cómo existen los conceptos matemáticos en la vida cotidiana, incluso cuando se le señalan ejemplos.
  • No le gustan y evita las actividades y juegos que involucran números y conteo.


Kristin Stanberry es escritora y editora especializada en temas de crianza, educación y salud / bienestar del consumidor. Sus áreas de especialización incluyen discapacidades de aprendizaje y TDA / H, temas sobre los que escribió extensamente para Schwab Learning y GreatSchools.


6. Cuestiones filosóficas que rodean el teorema de Frege y rsquos

Como hemos visto ahora, la demostración del teorema de Frege & rsquos se puede llevar a cabo independientemente de la parte del sistema de Frege & rsquos que condujo a la inconsistencia. El propio Frege nunca identificó el "teorema de rsquos" de ldquoFrege y rdquo como un "teorema de rsquos". Como se señaló anteriormente, intentó derivar el Principio de Hume y rsquos de la Ley Básica V en Gg, pero una vez que conoció la contradicción, nunca se retiró oficialmente a la posición de "retroceder" de afirmar que la prueba de los axiomas de Dedekind-Peano del principio de Hume y rsquos constituía por sí sola un resultado importante. Una de las varias razones por las que no adoptó esta posición alternativa es que no consideró el Principio de Hume como un principio suficientemente general y no creyó que fuera lo suficientemente fuerte, desde un punto de vista epistemológico, para ayudarnos a responder la pregunta, ¿cómo somos? números que nos han dado? & rdquo. Discutimos el pensamiento detrás de esta actitud, y otras cosas, a continuación.

Una discusión de las cuestiones filosóficas que rodean al Teorema de Frege y rsquos debe comenzar con alguna declaración de cómo Frege concibió su propio proyecto al escribir Begr, Gl, y Gg. Parece claro que las consideraciones epistemológicas motivaron en parte el trabajo de Frege & rsquos sobre los fundamentos de las matemáticas. Está bien documentado que Frege tenía el siguiente objetivo, a saber, explicar nuestro conocimiento de las leyes básicas de la aritmética dando una respuesta a la pregunta "¿Cómo se nos" quitan "los números"? "Sin apelar a la facultad de la intuición. Si Frege pudiera demostrar que las leyes básicas de la teoría de números se pueden derivar de las verdades analíticas de la lógica, entonces podría argumentar que solo necesitamos apelar a la facultad de comprensión (en oposición a alguna facultad de intuición) para explicar nuestro conocimiento de las verdades de la lógica. aritmética. El objetivo de Frege & rsquos contrasta entonces con la visión kantiana de las ciencias matemáticas exactas, según la cual los principios generales del razonamiento deben complementarse con una facultad de intuición si queremos alcanzar el conocimiento matemático. The Kantian model here is that of geometry Kant thought that our intuitions of figures and constructions played an essential role in the demonstrations of geometrical theorems. (In Frege&rsquos own time, the achievements of Frege&rsquos contemporaries Pasch, Pieri and Hilbert showed that such intuitions were not essential.)

6.1 Frege&rsquos Goals and Strategy in His Own Words

Frege&rsquos strategy then was to show that no appeal to intuition is required for the derivation of the theorems of number theory. This in turn required that he show that the latter are derivable using only rules of inference, axioms, and definitions that are purely analytic principles of logic. This view has become known as &lsquoLogicism&rsquo. Here is what Frege says:

[Begr, Preface, p. 5:]
To prevent anything intuitive from penetrating here unnoticed, I had to bend every effort to keep the chain of inferences free of gaps. [from the Bauer-Mengelberg translation in van Heijenoort 1967]

[Begr, Part III, §23:]
Through the present example, moreover, we see how pure thought, irrespective of any content given by the senses or even by an intuition a priori, can, solely from the content that results from its own constitution, bring forth judgements that at first sight appear to be possible only on the basis of some intuition. (ldots) The propositions about sequences [(R)-series] in what follows far surpass in generality all those that can be derived from any intuition of sequences. [from the Bauer-Mengelberg translation in van Heijenoort 1967]

[Gl, §62:]
How, then, are numbers to be given to us, if we cannot have any ideas or intuitions of them? Since it is only in the context of a proposition that words have any meaning, our problem becomes this: To define the sense of a proposition in which a number word occurs. [from the Austin translation in Frege 1974]

[Gl, §87:]
I hope I may claim in the present work to have made it probable that the laws of arithmetic are analytic judgements and consequently a priori. Arithmetic thus becomes simply a development of logic, and every proposition of arithmetic a law of logic, albeit a derivative one. [from the Austin translation in Frege 1974]

[Gg I, §0:]
En mi Grundlagen der Arithmetik, I sought to make it plausible that arithmetic is a branch of logic and need not borrow any ground of proof whatever from either experience or intuition. In the present book, this shall be confirmed, by the derivation of the simplest laws of Numbers by logical means alone. [from the Furth translation in Frege 1967]

[Gg II, Appendix:]
The prime problem of arithmetic is the question, In what way are we to conceive logical objects, in particular, numbers? By what means are we justified in recognizing numbers as objects? Even if this problem is not solved to the degree I thought it was when I wrote this volume, still I do not doubt that the way to the solution has been found. [from the Furth translation in Frege 1967]

6.2 The Basic Problem for Frege&rsquos Strategy

The basic problem for Frege&rsquos strategy, however, is that for his logicist project to succeed, his system must at some point include (either as an axiom or theorem) statements that explicitly assert the existence of certain kinds of abstract entities and it is not obvious how to justify the claim that we know such explicit existential statements. Given the above discussion, it should be clear that Frege at some point in Gg endorsed existence claims, either directly in his formalism or in his metalanguage, for the following entities:

  • concepts (more generally, functions)
  • extensions (more generally, courses-of-value or value-ranges)
  • truth-values
  • números

Although Frege attempted to reduce the latter two kinds of entities (truth-values and numbers) to extensions, the fact is that the existence of concepts and extensions are derivable from his Rule of Substitution and Basic Law V, respectively.

In light of these existence claims, a Kantian might well suggest not only that explicit existence claims are synthetic rather than analytic (i.e., aren&rsquot true in virtue of the meanings of the words involved) but also that since the Rule of Substitution and Basic Law V imply existence claims, Frege cannot claim that such principles are purely analytic principles of logic. If the Kantian is right, then some other faculty (such as intuition) might still be needed to account for our knowledge of the existence claims of arithmetic.

6.3 The Existence of Concepts

Boolos (1985) noted that the Rule of Substitution causes a problem of this kind for Frege&rsquos program given that it is equivalent the Comprehension Principle for Concepts. Boolos suggests a defense for Frege with respect to this particular aspect of his logic, namely, to reinterpret (by paraphrasing) the second-order quantifiers so as to avoid commitment to concepts. (See Boolos (1985) for the details.) Boolos&rsquos suggestion, however, is one which would require Frege to abandon his realist theory of concepts. Moreover, although Boolos&rsquos suggestion might lead us to an epistemological justification of the Comprehension Principle for Concepts, it doesn&rsquot do the same for the Comprehension Principle for Relations, for his reinterpretation of the quantifiers works only for the &lsquomonadic&rsquo quantifiers (i.e., those ranging over concepts having one argument) and thus doesn&rsquot offer a paraphrase for quantification over relational concepts.

Another problem for a strategy of the type suggested by Boolos is that if the second-order quantifiers are interpreted so that they do not range over a separate domain of entities, then there is nothing appropriate to serve as the denotations of (lambda)-expressions. Although Frege wouldn&rsquot quite put it this way, our reconstruction suggests that Frege treats open formulas with free object variables as if they denoted concepts. Although Frege doesn&rsquot use (lambda)-notation, the use of such notation seems to be the most logically perspicuous way of reconstructing his work. The use of such notation faces the same epistemological puzzles that Frege&rsquos Rule of Substitution faces.

To see why, note that the Principle of (lambda)-Conversion:

(forall y([lambda x, phi ]y equiv phi^y_x))

seems to be an analytic truth of logic. It says this:

An object (y) exemplifies the complex property being such that (phi) if and only if (y) is such that (phi).

One might argue that this is true in virtue of the very meaning of the (lambda)-expression, the meaning of (equiv), and the meaning of the statement ([lambda x, phi]y) (which has the form ( Fx)). However, (lambda)-Conversion also implies the Comprehension Principle for Concepts, for the latter follows from the former by existential generalization:

(exists Fforall y(Fy equiv phi^y_x))

The point here is that the fact that an existential claim is derivable casts at least some doubt on the purely analytic status of (lambda)-Conversion. The question of how we obtain knowledge of such principles is still an open question in philosophy. It is an important question to address, since Frege&rsquos most insightful definitions are cast using quantifiers ranging over concepts and relations (e.g., the ancestrals of a relation) and it would be useful to have a philosophical explanation of how such entities and the principles which govern them become known to us. In contemporary philosophy, this question is still poignant, since many philosophers do accept that propiedades y relations of various sorts exist. These entities are the contemporary analogues of Frege&rsquos concepts.

6.4 The Existence of Extensions

Though the existence of extensions falls right out of the theory of identity (§2.3) once terms of the form (epsilon F) are added to second-order logic, the existence of extensions that are correlated one-to-one with concepts is a consequence of Basic Law V. The question for Frege&rsquos project, then, is why should we accept as a law of logic a statement that implies the existence of individuals and a correlation of this kind? Frege recognized that Basic Law V&rsquos status as a logical law could be doubted:

Moreover, he thought that an appeal to extensions would answer one of the questions that motivated his work:

Now it is unclear why Frege thought that he could answer the question posed here by saying that we apprehend numbers as the extensions of concepts. He seems to think we can answer the obvious next question &ldquoHow do we apprehend extensions?&rdquo by saying &ldquoby way of Basic Law V&rdquo. His idea here seems to be that since Basic Law V is supposed to be purely analytic or true in virtue of the meanings of its terms, we apprehend a pair of extensions whenever we truly judge that concepts (F) and (G) are materially equivalent. Some philosophers do argue that certain consistente principles having the same logical form as Basic Law V are analytic, and that such principles justify referencia to the entities described in the left-side condition by grounding such reference in the verdad of the right-side condition. [14]

Why did Frege think that Basic Law V is analytic and that the material equivalence of concepts (F) and (G) is analytically equivalent to an identity that implies the existence of extensions? To hold that Basic Law V is analytic, it seems that one must hold that the right-side condition implies the corresponding left-side condition as a matter of meaning. [15] This view, however, can be questioned. Suppose the right hand condition implies the left-side condition as a matter of meaning. That is, suppose that (R) implies (L) as a matter of meaning:

Now note that (L) itself can be analyzed, from a logical point of view. The expression &lsquo(epsilon F)&rsquo, though constructed from a term-forming operator, is really a definite description (&lsquothe extension of (F)&rsquo) and so, using Russell&rsquos theory of descriptions, (L) can be logically analyzed as the claim:

There is an object (x) and an object (y) such that:
(1) (x) is a unique extension of (F),
(2) (y) is a unique extension of (G), and
(3) (x = y).

That is, for some defined or primitive notion (mathit(x,F)) (&lsquo(x) is an extension of (F)&rsquo), (L) implies the analysis (D) as a matter of meaning:

But if (R) implies (L) as a matter of meaning, and (L) implies (D) as a matter of meaning, then (R) implies (D) as a matter of meaning. This conclusion can be questioned: why should the material equivalence of (F) and (G) imply the existence claim (D) as a matter of meaning? In other words, the suggestion that Va (i.e., the right-to-left direction of Basic Law V) is analytic leads to a question that has no obvious answer. Below, this line of reasoning will be adapted to question the analyticity of the right-to-left direction of Hume&rsquos Principle. See Boolos 1997 (307&ndash309), for reasons why (Vb) (the left-to-right direction of Hume&rsquos Principle) is not analytic.]

The moral to be drawn here is that, even if Basic Law V were consistent, it is not exactly clear how its right side analytically implies the existence of extensions. In the end, we may need some other way of justifying our knowledge of principles like Basic Law V, that imply the existence of abstract objects &ndash the justification discussed so far seems to contain a gap. Even if we follow Frege in conceiving of extensions as &lsquological objects&rsquo, the question remains: how can the claims that such objects exist be true on logical or analytic grounds alone? We might agree that there must be logical objects of some sort if logic is to have a subject matter, but if Frege is to achieve his goal of showing that our knowledge of arithmetic is free of intuition, then at some point he has to address the question of how we can know that numbers exist. We&rsquoll return to this issue in the final subsection.

6.5 The Existence of Numbers and Truth-Values: The Julius Caesar Problem

Given that the proof of Frege&rsquos Theorem makes no appeal to Basic Law V, some philosophers have argued Frege&rsquos best strategy for producing an epistemologically-justified foundation for arithmetic is to replace the primitive term (epsilon F) with the primitive term (#F), replace Basic Law V with Hume&rsquos Principle, and argue that Hume&rsquos Principle is an analytic principle of logic. [16] However, we have just seen one reason why such a strategy does not suffice. The claim that Hume&rsquos Principle is an analytic principle of logic is subject to the same problem just posed for Basic Law V. A reason must be given as to why the claim:

implies, as a matter of meaning, that:

After all, the statement &ldquo(#F = #G)&rdquo is analyzable in a manner analogous to the way we analyzed &ldquo(epsilon F = epsilon G)&rdquo in the previous section, where we used Russell&rsquos theory of description to analyze the sentence (L) as the sentence (D). Following that pattern, we take the primitive notion (mathit(x,F)) and analyze (#F = #G) as:

It is not clear why we should think that this last claim is implied by (F approx G) as a matter of meaning. The right-to-left direction of Hume&rsquos Principle is not obviously analytic.

Moreover, Frege had his own reasons for not replacing Basic Law V with Hume&rsquos Principle. One reason was that he thought Hume&rsquos Principle offered no answer to the epistemological question, &lsquoHow do we grasp or apprehend logical objects, such as the numbers?&rsquo. A second reason is that Hume&rsquos Principle is clearly subject to &lsquothe Julius Caesar problem&rsquo. Frege first raises this problem in connection with an inductive definition of &lsquo(n = #F)&rsquo that he tries out in Gl, §55. Concerning this definition, Frege says:

Frege raises this same concern again for a contextual definition that gives a &lsquocriterion of identity&rsquo for the objects being defined. En Gl §66, Frege considers the following contextual definition of &lsquothe direction of line (x)&rsquo:

With regard to this definition, Frege says:

Now trouble for Hume&rsquos Principle begins to arise when we recognize that it is a contextual definition that has the same logical form as this definition for directions. It is central to Frege&rsquos view that the numbers are objetos, and so he believes that it is incumbent upon him to say cual objects they are. But the &lsquoJulius Caesar problem&rsquo is that Hume&rsquos Principle, if considered as the sole principle offering identity conditions for numbers, doesn&rsquot describe the conditions under which an arbitrary object, say Julius Caesar, is or is not to be identified with the number of planets. That is, Hume&rsquos Principle doesn&rsquot define the condition &lsquo(#F = x)&rsquo, for arbitrary (x). It only offers identity conditions when (x) is an object known to be a cardinal number (for then (x = #G), for some (G), and Hume&rsquos Principle tells us when (#F = #G)).

En Gl, Frege solves the problem by giving his explicit definition of numbers in terms of extensions. (We described this in §4 above.) Unfortunately, this is only a stopgap measure, for when Frege later systematizes extensions in Gg, Basic Law V has the same logical form as Hume&rsquos Principle and the above contextual definition of directions. Frege is aware that the Julius Caesar problem affects Basic Law V, as the discussion in Gg I, §10 shows. In that section, he says (remembering that for Frege, (epsilon) binds object variables and is not a function term):

In other words, Basic Law V does not tell us the conditions under which an arbitrarily chosen object (x) may be identified with some given extension, such as (epsilon F).

Until recently, it was thought that Frege solved this problem in §10 by restricting the universal quantifier (forall x) of his Gg system so that it ranges only over extensions. If Frege could have successfully restricted this quantifier to extensions, then when the question arises, whether (arbitrarily chosen) object (x) is identical with (epsilon F), one could answer that (x) has to be the extension of some concept, say ( G), and that Basic Law V would then tell you the conditions under which (x) is identical to (epsilon F). On this interpretation of §10, Frege is alleged to have restricted the quantifiers when he identified the two truth values (The True and The False) with the two extensions that contain just these objects as members, respectively. By doing this, it was thought that all of the objects in the range of his quantifier (forall x) in Gg become extensions which have been identified as such, for the truth values were the only two objects of his system that had not been introduced as extensions or courses of value.

However, recent work by Wehmeier (1999) suggests that, in §10, Frege was not attempting to restrict the quantifiers of his system to extensions (nor, more generally, to courses-of-values). The extensive footnote to §10 indicates that Frege considered, but did not hold much hope of, identifying every object in the domain with the extension consisting of just that object. [17] But, more importantly, Frege later considers cases (in Gg, Sections 34 and 35) which seem to presuppose that the domain contains objects which aren&rsquot extensions. (In these sections, Frege considers what happens to the definition of &lsquo( x) is a member of (y)&rsquo when (y) is not an extension.) [18]

Even if Frege somehow could have successfully restricted the quantifiers of Gg to avoid the Julius Caesar problem, he would no longer have been able to apply his system by extending it to include names of ordinary non-logical objects. For if he were to attempt to do so, the question, &ldquoUnder what conditions is (epsilon F) identical with Julius Caesar?&rdquo, would then be legitimate but have no answer. That means his logical system could not be used for the analysis of ordinary language. But it was just the analysis of ordinary language that led Frege to his insight that a statement of number is an assertion about a concept.

6.6 Final Observations

Even when we replace the inconsistent Basic Law V with the powerful Hume&rsquos Principle, Frege&rsquos work still leaves two questions unanswered: (1) How do we know that numbers exist?, and (2) How do we precisely specify which objects they are? The first question arises because Hume&rsquos Principle doesn&rsquot seem to be a purely analytic truth of logic if neither Hume&rsquos Principle nor the existential claim that numbers exist is analytically true, by what faculty do we come to know (the truth of) the existential claim? The second question arises because the Julius Caesar problem applies to Hume's Principle without a solution to that problem, Frege can't claim to have precisely specified which objects the numbers are, so as to delineate them within the domain of all logical and non-logical objects? So questions about the very existence and identity of numbers still affect Frege&rsquos work.

These two questions arise because of a limitation in the logical form of these Fregean biconditional principles such as Hume&rsquos Principle and Basic Law V. These contextual definitions combine two jobs which modern logicians now typically accomplish with separate principles. A properly reformulated theory of &lsquological&rsquo objects should have separate principles: (1) one or more principles which assert the existencia of logical objects, and (2) a separate identity principle which asserts the conditions under which logical objects are idéntico. The latter should specify identity conditions for logical objects in terms of their most salient characteristic, one which distinguishes them from other objects. Such an identity principle would then be more specific than the global identity principle for all objects (Leibniz&rsquos Law) which asserts that if objects (x) and (y) fall under the same concepts, they are identical.

By way of example, consider modern set theory. Zermelo set theory ( (Z)) has several distinctive set existence principles. For example, consider the well-known Subset (or Separation) Axiom:

Subset (Separation) Axiom of Z:
(forall x[mathit(x) o exists y[mathit(y) amp forall z(z in y equiv (z in x amp phi))]]),
where (phi) is any formula in which (y) isn&rsquot free

The Subset Axiom and the other set existence axioms in Z are distinct from Z&rsquos identity principle for sets:

Identity Principle for Sets:
(mathit(x) amp mathit(y) o [forall z(z in x equiv z in y) o xeqclose y])

Note that the second principle offers identity conditions in terms of the most salient features of sets, namely, the fact that they, unlike other objects, have members. The identity conditions for objects which aren&rsquot sets, then, can be the standard principle that identifies objects whenever they fall under the same concepts. This leads us naturally to a very general principle of identity for any objects whatever:

Now, if something is given to us as a set and we ask whether it is identical with an arbitrarily chosen object (x), this specifies a clear condition that settles the matter. The only questions that remain for the theory (Z) concern its existence principle: Do we know that the Subset Axiom and other set existence principles are true, and if so, how? The question of existence is thus laid bare. We do not approach it by attempting to justify a principle that implies the existence of sets via definite descriptions which we don&rsquot yet know to be well-defined.

In some classic essays (1987 and 1986), Boolos appears to recommend this very procedure of using separate existence and identity principles. In those essays, he eschews the primitive mathematical relation of set membership and suggests that Frege could formulate his theory of numbers (&lsquoFrege Arithmetic&rsquo) by using a single nonlogical comprehension axiom which employs a special instantiation relation that holds between a concept (G) and an object (x) whenever, intuitively, (x) is an extension consisting solely of concepts and (G) is a concept &lsquoin&rsquo (x). He calls this nonlogical axiom &lsquoNumbers&rsquo and uses the notation &lsquo(G&etax)&rsquo to signify that (G) is in (x):

Números:
(forall Fexists !xforall G(G&etax equiv Gapprox F))

[See Boolos 1987 (5), 1986 (140).] This principle asserts that for any concept (F), there is a unique object which contains in it all and only those concepts (G) which are equinumerous to (F). Boolos then makes two observations: (1) Frege can then define (#F) as &ldquothe unique object (x) such that for all concepts (G), (G) is in (x) iff (G) is equinumerous to (F)&rdquo, and (2) Hume&rsquos Principle is derivable from Numbers. [See Boolos 1986 (140).] Given these observations, we know from our work in §§4 and 5 above that Numbers suffices for the derivation of the basic laws of arithmetic.

Since Boolos calls this principle &lsquoNumbers&rsquo, it is no stretch to suppose that he would accept the following reformulation (in which &lsquo(mathit(x))&rsquo is an undefined, primitive notion):

Números:
(forall Fexists !x [mathit(x) amp forall G(G&etax equiv Gapprox F)])

Though Boolos doesn&rsquot explicitly formulate an identity principle to complement Numbers, it seems clear that the following principle would offer identity conditions in terms of the most distinctive feature of numbers:

Identity Principle for Numbers:
(mathit(x) amp mathit(y) o [forall G(G&etax equiv G&etay) o xeqclose y])

It is then straightforward to formulate a general principle of identity, as we did in the case of the set theory (Z):

This formulation of Frege Arithmetic, in terms of Numbers and the General Principle of Identity, puts the Julius Caesar problem (described above) into better perspective the condition &lsquo(#F = x)&rsquo is defined for arbitrary concepts (F) and objects (x). It openly faces the epistemological questions head-on: Do we know that Numbers is true, and if so, how? This is where philosophers need to concentrate their energies. [For a reconstruction of Frege Arithmetic with a more general version of the special instantiation relation &eta, see Zalta 1999.]


In this article we have covered the fundamental information you need to know about numbers in JavaScript, for now. You'll see numbers used again and again, all the way through your JavaScript learning, so it's a good idea to get this out of the way now. If you are one of those people that doesn't enjoy math, you can take comfort in the fact that this chapter was pretty short.

In the next article, we'll explore text and how JavaScript allows us to manipulate it.

Nota: If you do enjoy math and want to read more about how it is implemented in JavaScript, you can find a lot more detail in MDN's main JavaScript section. Great places to start are our Numbers and dates and Expressions and operators articles.


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